Capítulo 03

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Halliday & Resnick 
Mecânica 
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Fundamentos de Física 
Volume 1 
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Vetores 
Capítulo 3 
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Fundamentos de Física – Mecânica – Vol. 1 
3-1 Vetores e Suas Componentes 
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Fundamentos de Física – Mecânica – Vol. 1 
3-1 Vetores e Suas Componentes 
3.01 Somar vetores 
geometricamente e aplicar 
as leis comutativa e 
associativa. 
3.02 Subtrair um vetor de outro 
vetor. 
3.03 Calcular as componentes 
de um vetor em um sistema 
de coordenadas e 
representá-las em um 
desenho. 
3.04 Dadas as componentes 
de um vetor, desenhar o 
vetor e determinar seu 
módulo e sua orientação. 
3.05 Converter ângulos de 
graus para radianos, e vice-
versa. 
Objetivos do Aprendizado 
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3-1 Vetores e Suas Componentes 
 A física lida com grandezas que têm um valor e uma orientação 
 O vetor é um objeto matemático que tem um valor e uma 
orientação 
 Uma grandeza vetorial é uma grandeza física que pode ser 
representada por um vetor 
 Exemplos: posição, velocidade, aceleração 
 As operações com vetores obedecem a regras diferentes das regras da 
álgebra 
 Uma grandeza escalar é uma grandeza que pode ser 
representada por um número 
 Exemplos: tempo, temperatura, energia, massa 
 As operações com escalares obedecem às regras da álgebra 
 
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3-1 Vetores e Suas Componentes 
 O exemplo mais simples é o vetor deslocamento 
 Se uma partícula se desloca do ponto A para o ponto 
B, podemos representar essa mudança de posição 
por uma reta orientada que liga o ponto A ao ponto B 
Figura 3-1 
 
 Em (a), as três retas têm o mesmo 
comprimento e a mesma orientação; são 
vetores deslocamento iguais. 
 Em (b), as três trajetórias correspondem 
ao mesmo vetor deslocamento. 
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3-1 Vetores e Suas Componentes 
 A soma vetorial ou resultante 
o é o resultado da adição de vetores 
o representa o deslocamento total produzido por dois ou mais 
vetores deslocamento 
 
 
 
 
 
 
o Soma geométrica de vetores: 
 
Figura 3-2 
Eq. (3-1) 
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3-1 Vetores e Suas Componentes 
 A soma de vetores é comutativa 
o podemos somar vetores em qualquer ordem 
 
 
Eq. (3-2) 
Figura 3-3 
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3-1 Vetores e Suas Componentes 
 A soma vetorial é associativa 
o Podemos agrupar os vetores em qualquer ordem para 
somá-los 
Eq. (3-3) 
Figura 3-4 
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3-1 Vetores e Suas Componentes 
 O sinal negativo inverte a 
orientação de um vetor 
 
 Podemos usar essa propriedade 
para definir a subtração de vetores 
 
Eq. (3-4) 
Figura 3-5 
Figura 3-6 
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3-1 Vetores e Suas Componentes 
 Essas regras se aplicam a todos os vetores, 
independentemente de representarem deslocamento, 
velocidade ou outra grandeza vetorial qualquer 
 Apenas vetores que representam a mesma grandeza podem 
ser somados 
o (distância) + (distância) faz sentido 
o (distância) + (velocidade) não faz sentido 
Respostas: 
(a) 3 m + 4 m = 7 m (b) 4 m  3 m = 1 m 
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3-1 Vetores e Suas Componentes 
 Em vez de usar um método gráfico, podemos somar 
vetores por componentes 
o Componente é a projeção do vetor em um eixo 
 O processo de obter as componentes de um vetor é 
chamado de decomposição do vetor 
Figura 3-8 
 As componentes de um 
vetor podem ser positivas ou 
negativas. 
 As componentes não 
mudam quando deslocamos 
um vetor sem mudar a 
orientação. 
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3-1 Vetores e Suas Componentes 
 As componentes em duas dimensões são dadas por 
 
 
 em que θ é o ângulo que o vetor faz com o semieixo x 
positivo, e a é o comprimento do vetor 
 O comprimento e o ângulo também podem ser 
calculados a partir das componentes 
 
 
As componentes definem univocamente um vetor 
 
 
 
Eq. (3-5) 
Eq. (3-6) 
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3-1 Vetores e Suas Componentes 
 No caso tridimensional, são necessários três 
parâmetros para especificar um vetor 
o (a,θ,φ) ou (a
x
,a
y
,a
z
) 
 
 
Resposta: os métodos mostrados em (c), (d) e (f)
 
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3-1 Vetores e Suas Componentes 
 Os ângulos podem ser medidos em graus ou radianos 
 Uma circunferência completa tem 360˚ ou 2π rad 
 
 
 
 Aqui estão as três funções trigonométricas básicas: 
 
Figura 3-11 
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3-2 Vetores Unitários; Soma de Vetores a Partir das 
Componentes 
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3-2 Vetores Unitários; Soma de Vetores a Partir das 
Componentes 
3.06 Converter um vetor da 
notação módulo-ângulo para 
a notação dos vetoresunitários, e vice-versa. 
3.07 Somar e subtrair vetores 
expressos na notação 
módulo-ângulo e na notação 
dos vetores unitários. 
3.08 Saber que a rotação do 
sistema de coordenadas em 
torno da origem pode mudar 
as componentes de um 
vetor, mas o vetor 
permanece o mesmo. 
Objetivos do Aprendizado 
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 Um vetor unitário 
o Tem módulo 1 
o Tem uma orientação 
o Não tem dimensão nem unidade 
o É representado com um acento circunflexo (^) 
 Usamos um sistema de coordenadas 
 dextrogiro 
o Permanece dextrogiro quando 
 sofre uma rotação 
3-2 Vetores Unitários; Soma de Vetores a Partir das 
Componentes 
Figura 3-13 
Eq. (3-7) 
 
Eq. (3-8) 
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 As grandezas a
x 
i e a
y 
j são componentes vetoriais 
 
 
 
 
 As grandezas a
x
 e a
y
 são componentes escalares 
o ou apenas “componentes” 
3-2 Vetores Unitários; Soma de Vetores a Partir das 
Componentes 
Eq. (3-7) 
 
Eq. (3-8) 
 Os vetores podem ser somados usando componentes 
Eq. (3-10) 
 
Eq. (3-11) 
 
Eq. (3-12) 
Eq. (3-9) → 
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3-2 Vetores Unitários; Soma de Vetores a Partir das 
Componentes 
 Para subtrair vetores, subtraímos as componentes 
Unit Vectors, Adding Vectors by Components 
Eq. (3-13) 
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 Os vetores não dependem do 
sistema de coordenadas usado para 
representá-los 
 Se fazemos girar o sistema de 
coordenadas, o vetor não muda 
 
 
 
 Todos os sistemas de coordenadas 
desse tipo são igualmente válidos 
3-2 Vetores unitários, Soma de Vetores a Partir das 
Componentes 
Figura 3-15 
Eq. (3-15) 
Eq. (3-14) 
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3-3 Multiplicação de Vetores 
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3-3 Multiplicação de Vetores 
3.09 Multiplicar vetores por 
escalares. 
3.10 Saber que o resultado do 
produto de um escalar por um 
vetor é um escalar, o produto 
escalar de dois vetores é um 
escalar e o produto vetorial de 
dois vetores é um vetor. 
3.11 Calcular o produto escalar 
de dois vetores. 
3.12 Calcular o ângulo entre dois 
vetores a partir do produto 
escalar. 
3.13 Calcular a projeção de um 
vetor na direção de outro vetor 
a partir do produto escalar de 
dois vetores. 
3.14 Calcular o produto vetorial de 
dois vetores. 
3.15 Usar a regra da mão direita 
para determinar a orientação do 
vetor resultante de um produto 
vetorial. 
 
Objetivos do Aprendizado 
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3-3 Multiplicação de Vetores 
 Multiplicação de um vetor z por um escalar c 
O resultado é um vetor 
o cujo módulo é o módulo de z vezes |c| 
o cuja direção é igual à do vetor z, ou oposta se c for negativo 
o cujas componentes são as componentes de z multiplicadas por c 
 Para dividir um vetor por um escalar, multiplicamos o vetor por 
1/c 
Exemplo Multiplicação do vetor z por 5 
o z = 3 i + 5 j 
o 5 z = 15 i + 25 j 
 
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 Multiplicação de vetores: o produto escalar 
o O resultado é um escalar, em que a e b são os módulos 
dos vetores e φ é o ângulo entre as direções dos dois 
vetores: 
 
 
 O produto escalar obedece à lei comutativa 
 ( ) e pode ser calculado usando as 
componentes: 
3-3 Multiplicação de Vetores 
Eq. (3-20) 
Eq. (3-22) 
Eq. (3-23) 
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3-3 Multiplicação de Vetores 
 O produto escalar é o produto do módulo de um dos 
vetores pela projeção do outro vetor na direção do 
primeiro vetor 
 
 
 
Eq. (3-21) 
Figura 3-18 
 Tanto faz usar a projeção 
do primeiro vetor no 
segundo vetor ou a 
projeção do segundo vetor 
no primeiro vetor 
 
 
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3-3 Multiplicação de Vetores 
Respostas: (a) 90 graus (b) 0 grau (c) 180 graus 
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3-3 Multiplicação de Vetores 
 Multiplicação de vetores: o produto vetorial 
o O resultado é um vetor cujo módulo c é dado por 
 
 em que a e b são os módulos dos vetores e φ é o ângulo 
 entre os vetores e cuja direção é perpendicular à direção 
 dos dois vetores. 
 A direção é determinada pela regra da mão direita. 
 
Eq. (3-24) 
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 (a) O produto ; (b) o produto 
3-3 Multiplicação de Vetores 
Figura 3-19 
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3-3 Multiplicação de Vetores 
 O produto vetorial não é comutativo 
 
 Pode ser calculado usando as componentes: 
 
 
 
 
 
 Assim, expandindo a Eq. (3-26), 
Eq. (3-25) 
Eq. (3-26) 
Eq. (3-27) 
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3-3 Multiplicação de Vetores 
Respostas: (a) 0 grau (b) 90 graus 
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3 Resumo 
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Escalares e Vetores 
 Escalares têm um valor 
 Vetores têm um módulo e 
uma orientação 
 Ambos têm unidades! 
Soma de Vetores 
 Obedece às leis comutativa e 
associativa 
Vetores Unitários 
 Podemos escrever vetores 
em termos de vetores 
unitários 
Componentes de um Vetor 
 Dadas por 
 
 Relações inversas 
Eq. (3-2) 
Eq. (3-5) 
Eq. (3-7) 
3 Resumo 
Eq. (3-3) 
Eq. (3-6) 
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Soma por Componentes 
 Somando por componentes, 
Escalar Vezes um Vetor 
 O produto é um vetor 
 O módulo é multiplicado pelo 
escalar 
 O sentido é igual ou oposto 
Produto Vetorial 
 Produz um vetor 
perpendicular 
 A direção é dadapela regra 
da mão direita 
Produto Escalar 
 Produz um escalar 
 
Eqs. (3-10) a (3-12) 
Eq. (3-22) 
3 Resumo 
Eq. (3-20) 
Eq. (3-24) 
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