FEXP_1S2023

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APOSTILA DE FÍSICA
EXPERIMENTAL
Organizador:
Marcelo C. B. Cardinali
1S2023 - vs 1.0
Sumário
1 Teoria dos erros 1
1.1 Erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Incerteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Algarismos Significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Regras de arredondamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Propagação de incertezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Gráficos e Tabelas 17
2.1 Tabela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Ajuste de uma curva aos dados experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.1 Regressão linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.2 Gráficos de funções não lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
ii
1
Teoria dos erros
1.1 Erro
As grandezas f́ısicas são obtidas por comparação com um padrão ou por leitura direta na escala
de um medidor. O objetivo de medição de uma grandeza f́ısica é alcançar o seu valor real. Pode-se
chegar, quando muito, após uma série de medidas, a um valor que mais se aproxime do real.
Ao se efetuar diversas medidas de uma mesma grandeza, muito provavelmente um operador não
obterá os mesmos valores.
Erro é a diferença entre o valor medido e o valor real da grandeza. Os principais erros são chamados
sistemáticos e aleatórios. eatórios.
� Erros sistemáticos: São aqueles provenientes de falhas do instrumento ou de falhas do operador.
Os erros sistemáticos são de amplitude regular e influem na medida sempre num mesmo sentido,
para mais ou para menos. Em geral, os cientistas experimentais buscam identificar e eliminar tais
erros. Podemos citar como exemplos a calibração errônea do instrumento, relógio descalibrado,
instrumento mal aferido, etc.
� Erros aleatórios ou estatisticos: São aqueles cujas causas são acidentais e variáveis. Os erros
aleatórios podem ocorrer em diversas amplitudes e em qualquer sentido. Tais erros podem ser
causados pelas variações das condições ambientais (variação de temperatura, oscilações na tensão
da rede), rúıdos, movimentos inadequados do operador, erro de paralaxe, etc. A estimativa de
erros aleatórios é feita por meio da estat́ıstica descritiva, por meio da realização de várias medidas
e dispersão em torno da média.
1
Figura 1.1: Exemplos de erros sistemáticos e aleatórios e o quanto eles afetam a precisão e exatidão
das medidas.
1.2 Incerteza
Incerteza é uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma medição. Trata-se
de um conceito diferente do erro. O cálculo do erro depende de conhecermos o valor verdadeiro do
que estamos medindo. A incerteza pode ser calculada mesmo quando não se tem nenhuma ideia do
valor verdadeiro. A forma correta de expressar da medição de uma grandeza x é
x = (x̄± δx) unidade
onde x̄ é o valor mais provável da grandeza (média) e δx é a incerteza da medida. A incerteza
pode ser avaliada por duas formas distintas: Tipo A e Tipo B.
Incerteza tipo A
A avaliação da incerteza do tipo A ocorre essencialmente quando calculamos o desvio de uma série
de observações em relação à média das observações. Considere que repetimos uma medição n vezes,
obtendo os valores x1, x2,. . . xn. Nesse caso, o valor mais provável da grandeza é a média aritmética
dos valores x̄, ou seja:
2
x̄ =
x1 + x2 + x3 + . . .+ xn
n
=
∑n
i=1 x
n
(1.1)
onde x̄ = média de x ; xi = valor de cada medida; n = número de medidas.
Não se pode afirmar que o valor mais provável (média) seja o valor real da grandeza. Precisa-
mos obter uma medida de dispersão das medidas com relação ao valor médio. Chamaremos essa
medida de dispersão de incerteza. Para avaliar a incerteza, vamos utilizar o desvio padrão da média.
Primeiramente, definimos o desvio padrão amostral como:
σ =
√∑n
i=1 (xi − x̄)2
n− 1
(1.2)
O termo xi − x̄ refere-se ao desvio da medida em relação ao valor médio. Toma-se o quadrado do
desvio para eliminar o sinal de menos que pode ocorrer em alguns casos e tira-se raiz quadrada para
garantir a mesma unidade da grandeza x. Portanto, o desvio padrão da média é definido como:
σ̄ =
√∑n
i=1 (xi − x̄)2
n(n− 1)
=
σ√
n
(1.3)
Dessa forma, a incerteza do tipo A para um conjunto de medidas é definido por meio do intervalo
de confiança para a média, dado por:
δx = t σ̄ (1.4)
onde t é o valor da variável aleatória t-student. O valor de t é coletado da tabela t-student (1.1) e
depende do número de dados coletados no experimento. Como exemplo, se foram coletados dez dados
amostrais, então n = 10 e G.L = 9. Assim, o valor de t pela tabela 1.1 é t = 2,262. Note que essa
tabela é parcial e estamos considerando a distribuição bicaudal, com ńıvel de confiança de 95%.
Assim, o resultado do processo de medida pode ser entendido por meio do intervalo x̄− δx ≤ x ≤
x̄ + δx. Isso significa que se o experimento for repetido inúmeras vezes, existe uma probabilidade de
95% de que o valor medido esteja dentro desse intervalo.
Por fim, uma grandeza interessante de se compreender é o desvio relativo, que pode ser utilizada
na comparação entre dois instrumentos de medida ou na propagação de incertezas. Essa grandeza é
definida pela razão entre a incerteza da medida e o valor mais provável da medida:
dr =
δx
x̄
(1.5)
O desvio relativo percentual pode ser obtido multiplicando por 100%. Essa grandeza será impor-
tante na compreensão das regras de propagação de incertezas.
3
Tabela 1.1: Distribuição t-student para o ńıvel de confiança de 95%.
G.L. = n− 1 t (0,95)
1 12,706
2 4,303
3 3,182
4 2,776
5 2,571
6 2,447
7 2,365
8 2,306
9 2,262
10 2,228
11 2,201
12 2,179
13 2,160
14 2,145
15 2,131
20 2,086
30 1,960
Incerteza tipo B
A avaliação da incerteza do tipo B é utilizada quando é muito dificil realizar observações repetidas
ou quando não são observadas variações nas medidas a partir de um dado instrumento. A incerteza
do tipo B independe de uma série de observações, sendo obtida através da resolução de leitura dos
instrumentos, especificações do fabricante, comportamento e propriedades de materiais e instrumentos,
etc.
Exemplo 1
Para determinar a altura média de uma peça de madeira, foram realizadas diversas
medições com um paqúımetro de 0,05 mm de resolução, representadas na tabela 1.2.
Determine o valor médio da altura da peça com sua incerteza.
4
Tabela 1.2: Medidas experimentais da altura da peça de madeira.
i (hi ± 0,05)mm
1 12,65
2 12,50
3 12,55
4 12,60
5 12,65
6 12,65
7 12,55
Para determinar o valor médio, basta extrair a média dos valores da segunda coluna da tabela 1.2.
Em seguida, calcula-se o desvio de cada medida com relação à média e depois o desvio quadrático. Os
resultados obtidos podem ser conferidos na tabela 1.3.
Tabela 1.3: Procedimento para calculo do desvio padrão.
i (hi ± 0,05) (mm) (hi − h̄) (mm)
(
hi − h̄
)2
(mm2)
1 12,65 0,0571428 0,0032653
2 12,50 -0,0928571 0,0086224
3 12,55 -0,0428571 0,0018367
4 12,60 0,0071428 0,0000510
5 12,65 0,0571428 0,0032653
6 12,65 0,0571428 0,0032653
7 12,55 -0,0428571 0,0018367
Média 12,592857 - -
Para determinar a incerteza deltah, calculamos a soma dos quadrados dos desvios, o desvio padrão
amostral e o desvio padrão da média, cujos valores encontram-se na tabela 1.4.
Para calcular a incerteza, tomamos o valor de t na tabela 1.1 para G.L = 6, dado que foramrealizadas
7 medidas. O valor é t = 2,447. Logo,
δh = 2,447 · 0,02296 = 0,05618mm. (1.6)
5
Tabela 1.4: Tabela com a soma dos quadrados dos desvios, desvio padrão amostral e desvio padrão
da média.
n∑
i=1
(
hi − h̄
)2
(mm2) σ =
√∑n
i=1
(
hi − h̄
)2
n− 1
(mm) σ̄(mm)
0,0221429 0,06075 0,02296
Dado que a incerteza calculada foi maior que a precisão do instrumento, então essa deverá ser a
incerteza na medição. Portanto, a altura da peça da madeira é dada por:
h = (12,593± 0,056)mm
OBS: O desvio padrão amostral pode ser obtido rapidamente por uma calculadora cient́ıfica ou por
planilhas eletrônicas. Se utilizar o excel, basta selecionar as linhas com os dados e usar a função
DESVPAD.A. Por fim, multiplica o resultado por
t√
n
.
Exemplo 2
Considere um objeto de massa m colocado sobre uma balança mecânica, cuja leitura
foi 128,2 g. De acordo com o fabricante da balança, o erro máximo durante uma medição
direta é 0,3 g. Qual a incerteza da medida?
Nesta situação, pode-se efetuar uma avaliação do Tipo B para determinar a contribuição sistemática
da incerteza da medição. Assim, estimamos que a incerteza desta medição deve ser igual ao erro
máximo indicado pelo fabricante do instrumento. Portanto, o resultado desta medição é
m = (128,2± 0,3) g
1.3 Algarismos Significativos
Em uma medida devemos sempre levar em conta todos os algarismos significativos (a.s.). São
considerados a.s. os algarismos que são corretos (obtidos pelo instrumento de medida) mais o primeiro
algarismo duvidoso (avaliado pelo experimentador). Como exemplo, imagine que um experimentador
mediu o comprimento de uma barra com uma régua graduada em mm, obtendo C = 5,77 cm. Não se
pode afirmar que o comprimento seja esse, pois o último algarismo, 7, foi avaliado. Por mais experiente
que seja o experimentador, uma avaliação é sempre duvidosa.
6
Mas como devemos contar o número de a.s.? Começamos a contar sempre a partir do primeiro
número diferente de zero, independente do posicionamento da v́ırgula. Vejamos os exemplos abaixo:
� 0,023 cm → dois a.s.
� 0,003480 A → quatro a.s.
� 3,18 s → três a.s.
� 1,0 · 103 km → dois a.s.
� 402,10 g → cinco a.s.
As partes sublinhadas representam os algarismos significativos. O único significado do conjunto
de zeros a esquerda é indicar a posição da v́ırgula decimal.
Obs. 01 Em todas as unidades há o mesmo número de a.s. Exemplo:
� x = 0,0746 m → x = 7,46 cm. → três a.s.
Obs. 02 Zeros a esquerda, considerados algarismos não significativos, devem ser evitados por
meio de mudança de unidade ou usando notação cient́ıfica. Exemplo:
� x = 0,0037 m → x = 3,7 · 10−3 m. → dois a.s.
1.4 Regras de arredondamento
Segundo a Resolução 866/66 do IBGE, os critérios para o arredondamento de uma medida são:
1. Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 0, 1, 2, 3 ou 4, fica inalterado o último algarismo
a permanecer. Por exemplo:
� 761,04 mmHg ⇒ 761 mmHg
� 0,08931 cal/g K ⇒ 0,089 cal/g K
� 6,9305 N/m² ⇒ 6,9 N/m²
2. Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 6, 7, 8 ou 9, aumenta-se de uma unidade o
último algarismo que permanecer.
� 2,47 cm ⇒ 2,5 cm
7
� 3,688 A K ⇒ 3,7 A
� 787,678435 s ⇒ 787,68 s
3. Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 5, há duas soluções: 1ª: Se ao 5 seguir
qualquer casa um algarismo diferente de zero, aumenta-se em uma unidade o último algarismo
a permanecer. 2ª Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só seguirem zeros, o último algarismo
a permanecer só será aumentado em uma unidade se for ı́mpar.
� 2,7350 V ⇒ 2,74 V
� 45,185 Pa ⇒ 45,18 Pa
� 539,50 cal ⇒ 540 cal
� 32,6500 m² ⇒ 32,6 m²
OBS: O arredondamento deve ser feito de uma só vez (ao final dos cálculos) e não através de
arredondamentos sucessivos.
1.5 Propagação de incertezas
Muitas grandezas f́ısicas são calculadas indiretamente, i.e., a partir de uma operação matemática
entre duas outras grandezas f́ısicas medidas diretamente. Como exemplo, se desejamos calcular a área
de um terreno, precisamos medir diretamente o comprimento e a largura do mesmo para calcular a
área. Sendo assim, se cada uma das grandezas medidas são afetadas pelos erros, elas afetam a grandeza
a ser calculada.
Para estimar a incerteza propagada, vamos supor que uma grandeza f a ser determinada esteja
relacionada com outras duas através da relação f = f(x± δx, y ± δy, ...,z ± δz), onde f é uma relação
conhecida de x ± δx, y ± δy, ..., z ± δz. Um método usualmente utilizado e que nos fornece o valor de
δf em termos das incertezas das grandezas x, y, ..., z é baseado na aplicação do cálculo diferencial. A
diferencial total de f nos fornece
df =
∂f
∂x
dx+
∂f
∂y
dy + ...+
∂f
∂z
dz
Se as incertezas δx, ... δz forem suficientemente pequenas, podemos substituir as diferenciais pelas
incertezas. Sendo assim, δf é dada por
δf =
∂f
∂x
δx + ...+
∂f
∂z
δz
8
Por definição, a incerteza então é determinada sempre em módulo para obter o maior valor de δf
(critério mais desfavorável), que é dado por:
δf =
∣∣∣∣∂f∂xδx
∣∣∣∣+ ...+
∣∣∣∣∂f∂z δz
∣∣∣∣ (1.7)
Sendo assim, a grandeza f é expressa corretamente como (f ± δf ). A partir da equação 1.7,
podemos obter as regras de propagação de incertezas mais comuns1.
� Soma e Subtração
Se f é resultado da soma ou subtração das grandezas x, y... z, então:
δf = δx + δy + δz + ... (1.8)
� Multiplicação ou divisão
Se f é resultado da multiplicação ou divisão das grandezas x, y, ... z, então:
δf = f ·
(
δx
x
+
δy
y
+
δz
z
...
)
(1.9)
� Potência e raiz
Se f é resultado da potência xn (f = xn), então:
δf = f ·
(
n
δx
x
)
(1.10)
* Lembre-se que a raiz pode ser transformada em expoente: n
√
x = x
1
n
� Multiplicação por constante
Se f é resultado da multiplicação entre a grandeza x por uma constante k (f = k x), temos
δf = k δx (1.11)
� Casos gerais de multiplicação, divisão, potenciação e radiciação
1Não fique impressionado com todas essas equações, uma vez que é necessário o conhecimento de cálculo que será
adquirido no decorrer do curso.
9
Supondo que vamos calcular a grandeza f dada por f = k x yn zm, onde x, y e z são grandezas
acompanhadas de suas incertezas e k uma constante. A incerteza ∆f poderá ser obtida utilizando
as regras precedentes:
δf = f ·
[
δx
x
+ n
δy
y
+m
δz
z
]
(1.12)
� Seno
Seja f = sen(x), com x em radianos, temos:
δf = cos(x) δx (1.13)
� Cosseno
Seja f = cos(x), com x em radianos, temos:
δf = sen(x) δx (1.14)
� Logaritmo natural
Seja f = a ln(x), onde a é uma constante, temos:
δf = a
δx
x
(1.15)
� Logaritmo de base b
Seja f = a logb(x), onde a é uma constante, temos:
δf =
a
ln(b)
δx
x
(1.16)
Obs. 1 Lembre-se que sempre as incertezas devem ser sempre somadas em módulo como na
equação 1.7.
Obs. 2 Equações que possuem uma soma (ou subtração) com duas parcelas, como por exem-
plo f = k x + yn zm, use a regra geral para cada um dos termos e depois use a regra de soma
(ou subtração) para somar as incertezas. Nesse caso, o resultado seria δf = k x
(
k
δx
x
)
+
yn zm
(
n
δy
y
+m
δz
z
)
10
Observações adicionais
1. A metodologia empregada para obter as regras de propagação de incertezas pode se dar por
meio da raiz quadrada da soma das derivadas parciais ao quadrado, tal como expresso abaixo:
δf =
√(
∂f
∂x
)2
δ2x + ...+
(
∂f
∂z
)2
δ2z (1.17)
Essa metodologia alteraria as regras obtidas acima. Para este curso, escolhemos a metodologia
dada pela equação (1.7).
2. As incertezas devem ser apresentadas com, no máximo, dois algarismos significativos.
3. Quando números irracionais (como π, e, etc.) interferem no cálculo de um resultado, recomenda-
se usar estes números com precisão tal que o erro cometido no seu arredondamento não interfira
no resultado desejado. Isso pode ser feito mantendo ao menos um algarismo significativo a mais
do que a medida experimental ”mais pobre”em a.s.4. Como vimos, para escrever corretamente o resultado de uma medida indireta, devemos calcular
a incerteza propagada e escrever o resultado somente até o primeiro algarismo afetado por esta
incerteza. Quando, por falta de tempo, não se puder calcular a incerteza propagada, deve-
se cuidar para não colocar no resultado algarismos sem significação. Escrever algarismos sem
significado é pior que perder tempo: pode confundir as pessoas que lêem ou usam estes algarismos
neles confiando. A fim de evitar números ilusórios e cálculos desnecessários, podemos usar as
regras práticas a seguir:
� Quando dois ou mais números são somados ou subtraidos, o resultado deverá ser arredon-
dado até a casa decimal correspondente ao número ”mais pobre”em decimais.
Ex: x = 1,546m+ 0,34m → x = 1,886m → x = 1,89m
� Na multiplicação e divisão, o resultado deverá ser arredondado para o número de algarismos
signiicativos do número mais pobre em algarismos significativos.
Ex: A = 12,546m · 3,41m → A = 42,78186m2 → A = 42,8m2
� No caso de uma equação que envolve varios cálculos em sequência, o arredondamento deve
ser realizado ao final de toda a operação. O resultado final deve conter o número de
algarismos significativos da medida menos precisa
11
5. No caso de uma equação que envolve vários cálculos em sequência, o arredondamento deve ser
realizado ao final de toda a operação. O resultado final deve conter o número de algarismos
significativos da medida menos precisa.
Exemplo 3
Uma part́ıcula percorre uma distância d = (20,3 ± 0,1) cm em um intervalo de tempo
t = (6,43 ± 0,01) s. Determine a velocidade média da part́ıcula.
Sabendo-se que a velocidade média é obtida por vm =
d
t
, temos:
v =
20,3cm
6,43s
≈ 3,1571 cm/s.
Usando as regras de propagação de erros para a divisão, temos:
ev = v ·
(ed
d
+
et
t
)
= 3,1571 ·
(
0,1
20,3
+
0,01
6,43
)
≈ 0,0205 cm/s
Assim,
v = (3,1571± 0,0205) cm/s
Portanto, a velocidade média escrita na forma correta:
v = (3,157± 0,021) cm/s
Exemplo 4
Um objeto é solto de uma altura h = (2,00 ± 0,01)m. Considerando g = (9,80 ± 0,01)m/s2,
determine o tempo de queda. Despreze a resistência do ar.
Por se tratar de uma queda livre, o tempo de queda é dado por t =
√
2.h
g
. Substituindo os valores
sem as incertezas, obtemos que t ≈ 0,638876s. A incerteza propagada será obtida reescrevendo a
equação da seguinte forma:
t =
√
2.h
1
2 .g−
1
2 .
assim, aplicando as regras de propagação de incertezas, obtemos:
et = t.
[
1
2
eh
h
+
1
2
eg
g
]
12
et = t.
[
1
2
0,01
2
+
1
2
0,01
9,80
]
≈ 0,00192 s
Assim,
t = (0,638876± 0,00192) s.
Portanto, o tempo de queda escrito na forma correta vale
t = (0,6389± 0,0019) s
Exemplo 5
Uma part́ıcula parte da posição x0 = (2,25 ± 0,05) cm, com uma velocidade v = (5,4 ± 0,1) cm/s.
Considerando um movimento uniforme, determine a posição da part́ıcula após um tempo
t = (2,50 ± 0,01) s.
Por se tratar de um movimento uniforme, sabemos que a posição da part́ıcula pode ser determinada
por x = x0 + v.t. Podemos calcular a posição juntamente com a incerteza da seguinte forma:
x = (2,25± 0,05)cm+ (5,4± 0,1)
cm
s/
.(2,50± 0,01)s/
calcula-se o produto v.t aplicando a regra da multiplicação para a incerteza. Assim,
x = (2,25± 0,05)cm+ (13,500± 0,304) cm
Para finalizar, basta aplicarmos a regra da soma das incertezas para obter
x = (15,75± 0,354) cm
Portanto, a posição escrita da forma correta é
x = (15,75± 0,35) cm
A forma como esse exemplo foi resolvido é adequada em equações que envolvem soma ou subtração de
dois ou mais termos com desvios.
13
1.6 Exerćıcios
1. Para se determinar o peŕıodo de oscilação de um pêndulo simples, sete medidas foram realizadas
e estão listadas na tabela abaixo:
N T (s)
1 5,0
2 5,2
3 5,3
4 5,4
5 5,3
6 5,1
7 5,1
Determine o valor mais provável e a incerteza do peŕıodo. Represente a grandeza f́ısica correta-
mente.
2. Na tabela abaixo, encontram-se os valores para o comprimento de um corpo.
L (cm)
3,70 ± 0,05
3,75 ± 0,05
3,70 ± 0,05
3,70 ± 0,05
3,75 ± 0,05
Determine:
(a) O valor médio do comprimento;
(b) A incerteza associada;
(c) Escreva o resultado de acordo com a teoria de erros.
3. Efetue os seguintes cálculos e arredonde o resultado final com o número apropriado de algarismos
significativos.
(a) 1,58 · 0,03
(b) 2,4 · 1,53
14
(c) 2,4 + 1,53
(d) 2,14 · 102 + 7,93
(e) 15π ÷
(
4,86 · 10−3
)
(f) 82,5 · 9,6÷ 0,7214
4. Calcule cada uma das grandezas utilizando as regras de propagação de incertezas e escreva da
forma correta:
(a) A = b.h, onde b = (9,1± 0,2) cm e h = (12,4± 0,2) cm
(b) V =
4
3
πR3, onde R = (4,5± 0,1) mm
(c) a =
2h
t2
, onde h = (83,2± 0,1) cm e t = (4,03± 0,01) s
(d) h =
gt2
2
, onde t = (0,4302± 0,0004) s e g = (980± 1) cm/s2
(e) a =
m1g − µm2g
m1 +m2
, onde m1 = (300 ± 1) g, m2 = (432 ± 1) g, g = (9,80 ± 0,01) m/s2 e
µ = 0,25
5. Em uma experiência foram medidos os tempos constantes na tabela abaixo:
t (s)
16,4 ± 0,1
16,0 ± 0,1
15,9 ± 0,1
17,0 ± 0,1
16,8 ± 0,1
16,2 ± 0,1
16,5 ± 0,1
Determine:
(a) O valor mais provável do tempo;
(b) A incerteza do tempo;
(c) Escreva o resultado de acordo com a teoria de erros.
6. Na tabela a seguir encontram-se valores obtidos experimentalmente para os espaços percorridos,
nos respectivos tempos, por um corpo de massa m. Determine:
15
(a) O valor mais provável de m, ∆x e t com suas incertezas;
(b) a velocidade média do corpo juntamente com sua incerteza;
(c) a energia cinética do corpo, juntamente com sua incerteza.
m (g) (±0,01 g) ∆x (cm) (±0,005 cm) t (s) (±0,01 s)
98,89 3,652 1,28
98,86 3,645 1,22
98,91 3,640 1,25
98,90 3,648 1,24
98,87 3,656 1,20
Respostas
1. T = (5,20± 0,13) s
2. (a) 3,72 cm ; (b) 0,034 cm ; (c) L = (3,720± 0,034) cm
3. (a) 0,05 ; (b)3,7 ; (c)3,9 ; (d)222 ; (e)9,7.103 ; (f)1,1.103
4. (a) A = (112,8 ± 4,3) cm2 ; (b) V = (382 ± 25) mm3 ; (c) a = (10,246 ± 0,063) cm/s2 ; (d)
h = (90,69± 0,26) cm ; (e) a = (2,570± 0,037) m/s2
5. (a) 16,40 s ; (b) 0,35 s ; (c)t = (16,40± 0,35) s
6. (a) m = (98,886±0,017)g ; ∆x = (3,6482±0,0050) cm ; t = (1,238±0,022) s ; (b) v = 2,947±0,056
cm/s; (c) K = (43± 2) µJ
16
2
Gráficos e Tabelas
Durante as análises experimentais, torna-se interessante estudar a maneira que uma propriedade
ou grandeza f́ısica varia em relação a outra. Assim, tabelas ou gráficos podem ser utilizados para
apresentar os dados experimentais. Além destes, os dados poderão ser apresentados com equações
anaĺıticas, o que geralmente ocorre quando se resolve um problema teórico.
2.1 Tabela
Quando os dados experimentais forem apresentados com o aux́ıio de uma tabela, deve-se apresentar
um resumo com o máximo de informações que representem os dados medidos. Assim, uma tabela deve
apresentar:
� T́ıtulo com breve descrição do conteúdo inserido na tabela
� Cabeçalho: Deve apresentar o nome ou śımbolo das grandezas medidas e expressas nas colunas,
as unidades utilizadas nas medidas e quando necessário, potências de 10 pelas quais as medidas
contidas nas colunas devem ser multiplicadas;
� Abreviações: devem ser explicadas na própria tabela, por exemplo, abaixo da mesma como
informação de rodapé, ou deve ser mencionada no texto;
� Valores medidos: devem ser apresentados com os algarismos significativos adequados, bem como
suas incertezas
Exemplo:
17
Tabela 2.1: Posição x do centro de massa do carrinho em função do instante de tempo t
t(s)± 0,02 s x (mm)
0,25 22,4 ± 0,1
0,50 24,6 ± 0,1
0,76 26,9 ± 0,1
0,99 28,9 ± 0,2
1,24 31,0 ± 0,2
1,48 33,2 ± 0,3
2.2 Gráficos
Uma das principais maneiras de apresentar e analisar dados em ciência e tecnologia é através de
gráficos. Para isto, os gráficos devem ser claros, os ”nomes” dos eixos, as escalas, as unidades utilizadas
na medição e as barras de erro. Para não se esquecer das etapas de confecção de um bom gráfico,
abaixo estãolistados os tópicos para que o gráfico seja bem interpretado e efetivamente útil:
� A variável dependente deve estar sempre no eixo vertical y e a variável independente no eixo
horizontal x.
� Escreva na parte superior da área do gráfico o seu t́ıtulo (opcional)
� Marque abaixo do eixo horizontal e ao lado do eixo vertical o nome da variável representada e,
entre parênteses, as unidades utilizadas.
� Escreva uma legenda breve explicando de que se trata a figura e fornecendo a informação ne-
cessária para que o leitor possa compreender. Todas as figuras são numeradas em sequência.
Esquemas, desenhos e gráficos são figuras.
Um exemplo de gráfico pode ser observado na figura 2.1.
2.3 Ajuste de uma curva aos dados experimentais
Na F́ısica, grande parte do processo de análise de dados experimentais perpassam pelo tema de
ajuste de uma expressão anaĺıtica que melhor descreve os pontos coletados. Suponha que temos um
conjunto de dados experimentais (xi,yi) e que se deseja obter uma expressão matemática que relacione
uma função f tal que f(xi) ≈ yi para todo i. Em geral, esse processo é feito por meio do método dos
18
Figura 2.1: Posição x do centro de massa do carrinho em função do instante de tempo t. A reta
traçada no gráfico foi obtida pela regressão linear, descrita pela equação x = At + B, onde A =
(8,66± 0,14)mm/s e B = (20,29± 0,11)mm. O coeficiente angular A indica a velocidade do carrinho
e B a posição no instante de tempo 0 segundos.
mı́nimos quadrados, que determina os parâmetros da expressão da função f que minimizam a soma
dos quadrados das diferenças entre cada ponto yi dos dados e o ponto f(xi) correspondente. Essa
soma é dada por:
S =
n∑
i=1
[yi − f(xi)] (2.1)
Sejam a, b, c... os parâmetros da função que queremos determinar, para encontrar os seus valores
de forma a minimizar S, basta fazer:
∂S
∂a
= 0 ;
∂S
∂b
= 0 ;
∂S
∂c
= 0; (2.2)
Quando a função é linear nos parâmetros que se deseja ajustar, o sistema tem solução anaĺıtica.
Essas funções são facilmente resolvidas pelo método dos mı́nimos quadrados. Esse é o caso das funções
polinomiais. Vamos nos ater aqui no caso particular da regressão linear, muito utilizada na F́ısica.
19
2.3.1 Regressão linear
A regressão linear é um exemplo da situação em que queremos determinar a equação de uma reta
que melhor se ajusta ao conjunto de pontos experimentais (xi,yi), com i = 1, 2, 3, ...,n. Nesse caso, a
equação é descrita por
f(x) = ax+ b (2.3)
Os parâmetros a e b que melhor ajustam essa reta ao pontos (xi,yi) são os que minimizam a soma
S =
n∑
i=1
(yi − axi − b)2. Sendo assim, esses parâmetros são soluções das equações:
∂S
∂a
= −2
n∑
i=1
[yi − axi − b]xi = 0 (2.4)
∂S
∂b
= −2
n∑
i=1
[yi − axi − b] = 0 (2.5)
A solução para esse conjunto de equações é dada por:
coeficientes:
a =
∑
i xiyi −
∑
i xi
∑
yi
n
∑
i x
2
i − (
∑
i xi)
2 (2.6)
b = ȳ − ax̄ (2.7)
incertezas:
δa =
∑n
i=1[yi − axi − b]2
(n− 2)
√ ∑
i x
2
i
n
∑
i x
2
i − (
∑
i xi)
2
(2.8)
δb =
∑n
i=1[yi − axi − b]2
(n− 2)
√
n
∑
x2i − (
∑
i xi)
2
(2.9)
onde x̄ e ȳ são as médias das variáveis x e y. Para sabermos se a reta apresenta alta correlação
com os pontos experimentais, isto é, se ajusta bem aos pontos, é necessário calcular o coeficiente de
correlação, que é dado pela expressão:
R2 = a2
σ2
x
σ2
y
(2.10)
onde σx e σy são os desvios padrões amostrais de x e y, conforme visto no caṕıtulo 1. R2 é um número
entre 0 e 1 e indica melhor correlação (melhor ajuste) quanto mais próximo de 1 der seu resultado.
20
Vários aplicativos gratuitos e pagos realizam esses ajustes. O Microsoft excel é o mais simples deles,
porém, não calcula as incertezas dos parâmetros de ajuste. Sugiro fortemente que vocês utilizem o
software SciDAVis para construção dos gráficos e ajustes. Os softwares de planilhas podem ser úteis
para ajustar a tabela de dados para entrada no SciDAVis.
Exemplo 1
Um carrinho encontra-se em movimento retiĺıneo uniforme e suas posições em função
do tempo estão na tabela 2.2. A partir dos dados experimentais, obtenha a velocidade
do carrinho e sua posição inicial.
Tabela 2.2: Posição x do centro de massa do carrinho em função do instante de tempo t
t (s) x (cm)
0,0 4,9
1,0 9,7
2,0 15,2
3,0 20,1
4,0 24,8
5,0 30,1
Dado que o carrinho executa um MRU, sabemos que a função horária que descreve esse movimento
é dada por
x(t) = x0 + v t (2.11)
onde x0 é a posição no instante de tempo zero e v sua velocidade. Como se trata de uma relação linear,
vamos fazer a regressão linear para determinar v e x0, os quais são equivalentes aos coeficientes a e b,
respectivamente. Podemos obter os parâmetros a e b pelas equações (2.6) e (2.7) e suas incertezas δa
e δb pelas equações (2.8) e (2.9). Assim:
a = v = (5,034± 0,050) cm/s
b = x0 = (4,88± 0,15)
O coeficiente de correlação R2 é obtido pela equação (2.10), dado por:
21
R2 = 0,9996
Como seu valor é próximo de 1, isso indica alta correlação entre variáveis x e y e que a equação
ajustada é adequada. O gráfico dos dados é expresso na figura 2.2.
Figura 2.2: Gráfico da posição x do carrinho em função do instante de tempo t.
O gráfico foi construido no software SciDAVis, assim como o ajuste linear dos dados.
2.3.2 Gráficos de funções não lineares
Não devemos esperar que todos os fenômenos f́ısicos sejam lineares, isto é, que o gráfico de uma
variável em função da outra, mantida constante as demais variáveis que possam interferir no fenômeno
estudado, seja uma reta. Muitas funções matemáticas que regem os fenômenos f́ısicos são do tipo
y(x) = Axn + B, y(x) = B xn, y(x) = Ae(B x), dentre outros; É evidente que outras funções mais
complexas ou mais simples devem aparecer. Uma forma comum de se lidar com esse tipo de equação
é fazer o processo de linearização das equações (quando posśıvel). O motivo disso é a simplificação do
processo de obtenção dos coeficientes da equação. Vamos analisar a do primeiro tipo:
y(x) = Axn +B (2.12)
22
Supondo que n ̸= 1, podemos criar uma nova variável z = xn. Assim, temos
y(x) = Az +B (2.13)
Dessa forma, quando graficamos y em função de z, obtemos uma reta com coeficiente angular A e
coeficiente linear B. Nesse caso, basta utilizar a regressão linear do item anterior.
Para a equação do segundo tipo, podemos aplicar o mesmo método anterior ou aplicar o logaritmo
na equação. Vejamos:
y(x) = B xn (2.14)
aplicando o logaritmo, temos:
log(y) = log(B xn)
assim,
log(y) = log(B) + n log(x) (2.15)
Comparando a equação (2.15) com a equação (2.3), temos que log(y) corresponde à y′, log(B)
corresponde à b, n corresponde à a e log(x) corresponde à x′. Conclúımos que o gráfico log(y) vs
log(x) nos fornece uma reta. Caso queira evitar o cálculo de logaritmos de x e y, pode-se utilizar
escalas logaŕıtmicas nos eixos x e y. Assim os pontos são marcados diretamente nos eixos.
Agora tomemos a equação do terceiro tipo:
y(x) = Be(Ax) (2.16)
aplicando o logaritmo natural, teremos:
log(y) = log(B xAx)
assim,
log(y) = log(B) +Ax (2.17)
Comparando a equação (2.17) com a equação (2.3), temos que log(y) corresponde à y′, log(B) a
b e A corresponde à a. Nesse caso, o gráfico log(y) vs x nos fornece uma reta. Novamente podemos
evitar o cálculo do logaritmo de y usando escala logaŕıtmica no eixo y. Nesse caso, dizemos que este
gráfico é construido na escala mono-log.
23
Exemplo 2
A tensão V dependente do tempo t no processo de descarga de um capacitor de capacitância C,
ligada em série com um resistor R é dada por:
V (t) = V0e
− t
τ (2.18)
onde V0 é a tensão inicial do capacitor e τ é a constante de tempo do capacitor, dado por τ = RC.
Foi feita uma coleta de dados de V em cada instante de tempo t para se determinar a constante de
tempo τ do capacitor e suacapacitância C. Com os dados, foi traçado o gráfico de V em função de
t, dado pela figura 2.3.
Figura 2.3: Tensão em função do tempo na descarga do capacitor. Notamos o decaimento exponencial,
tal como esperado pela função (2.18).
Como era de se esperar, observa-se um decaimento exponencial. Porém, o ajuste desse tipo de
função é mais complicado. Para simplificar a análise, faremos o processo de linearização tal como o
realizado para a equação (2.16). Dessa forma, temos:
ln(V ) = ln(V0)−
1
τ
t (2.19)
Assim, podemos montar um gráfico com escala logaritmica no eixo y ou calcularmos ln(V ) para os
dados da tabela. Fazendo da segunda maneira, reconstruimos o gráfico e aplicamos a regressão linear.
24
Figura 2.4: Logaritmo natural da tensão em função do tempo na descarga do capacitor.
A partir da expressão da regressão linear, podemos compará-la com a equação (2.19) para obter
que
1
τ
=
1
RC
= (5,993± 0,040) s−1
Aplicando a regra de propagação de incerteza (1.9), a constante de tempo τ é dada por:
τ = 0,1669± 0,1669
(
0,040
5,993
)
τ = (0,1669± 0,0011) s
Dado que a resistência elétrica do resistor é R = (1000 ± 50)Ω, temos que a capacitância experi-
mental do capacitor é dada por:
C =
τ
R
=
0,1669
1000
= 166,9µF
A incerteza é dada por:
25
δC = C
(
δτ
τ
+
δR
R
)
= 9,44µF
Portanto, a capacitância do capacitor é dada por:
C = (166,9± 9,4)µF
Note que a incerteza representa
9,4
166,9
· 100 = 5,6% sobre o valor do capacitor. Espera-se que o valor
nominal do capacitor esteja dentro dessa margem de incerteza.
26
Referências Bibliográficas
[1] Filho, R. P.; Silva, E. C. da; Toledo, C. L. P. de. F́ısica Experimental - Como ensinar, como
aprender. Ed. Papirus, Campinas, SP, 1987.
[2] Albuquerque, W. V. de; Yoe, H. H.; Tobelem, R. M.; Pinto, E. P. da S. Manual do Laboratório de
F́ısica. Ed. McGraw-Hill, São PAulo, SP, 1980.
[3] Wilson, J.D.; Hall, C. A. H. Physics Laboratory Experiments, 7 Ed. Boston: Brooks/Cole, 2010.
[4] Taylor, J. R. Introdução à Análise de Erros. 2a Ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.
[5] Tipler, Paul A. F́ısica. Vol 1. 6ª Edição. LTC, 2010.
[6] Halliday, D.; Resnick, R.; Walker, J. Fundamentos de F́ısica. Vol 1. 8ª Edição. LTC, 2008.
[7] Hewitt, P. G. F́ısica Conceitual. 11 Edição, Bookman, 2011.
[8] Corradi, W. et al. F́ısica experimental. Belo Horizonte: Editora UFMG, 2008.
[9] Bonagamba, T. J. et al. Laboratórios de Ensino - IFSC/USP São Carlos, Vol. 1, 20a edição, 2002.
[10] Depto de F́ısica UFMG. Avaliação e expressão de medições e de
suas incertezas. Dispońıvel em: https://www.fisica.ufmg.br/ciclo-basico/wp-
content/uploads/sites/4/2020/05/Medicoes e Incertezas.pdf. Acesso em: 11/08/2021.
[11] Lima Junior, P. et al. O laboratório de mecânica. Porto Alegre: IF-UFRGS, 2012.
[12] Vuolo, J. E. Fundamentos da teoria de erros. 2.ed. São Paulo: Editora Edgard Blucher, 1993
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	Teoria dos erros
	Erro
	Incerteza
	Algarismos Significativos
	Regras de arredondamento
	Propagação de incertezas
	Exercícios
	Gráficos e Tabelas
	Tabela
	Gráficos
	Ajuste de uma curva aos dados experimentais
	Regressão linear
	Gráficos de funções não lineares