Material - Econometria 3

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Exercicios - P1 e P2 (Gabarito).docx
Processos estacionários
I. Assinale a alternativa verdadeira
1. (F) Se F (yt1, yt2,.....,ytk) F (yt1+h; yt2+h;......; ytk) ; hZ, então, necessariamente, o processo não é estritamente estacionário;
2. (F) Se F (yt1, yt2,.....,ytk) = F(yt1+h, yt2+h,......., ytk-1+h); hZ, então, o processo é estritamente estacionário.
3. (F) Seja um MA(), tal que 2< 1. Então, pode-se concluir que a série é ergódica.
4. (V) Se yt = -ϴyt-1 + ϴεt-1 + εt, sendo εti.i.d (0;σ2), então yt é um ruído branco.
II. Seja ut um ruído branco. Então pode-se concluir que:
1. (F) ut tem distribuição normal.
2. (F) ut é idêntica e independentemente distribuído.
3. (V) ut pode ser temporalmente dependente, apesar de não ter memória.
4. (F) ut é também um passeio aleatório, também conhecido como "random walk".
III. Considere a figura abaixo, cujas séries são simulações a partir dos mesmos erros, advindos de uma distribuição normal i.i.d. Assinale a alternativa correta. Considere as seguintes armações:
Pelo menos uma das séries é não estacionária.
A série X tende a ser um processo AR, enquanto a séria Y tende a ser um processo MA.
 A média incondicional dessas séries é idêntica.
 Ambas as séries são estacionárias
1. (F) Apenas a é falsa.
2. (V) b e d são verdadeiras.
3. (F) Apenas d é verdadeira.
4. (F) c e d são verdadeiras.
5. (F) Todas as anteriores são falsas.
IV. Assinale a alternativa verdadeira
1. (F) O critério de informação de Akaike é mais apropriado para médias e grandes amostras, enquanto que o BIC deve ser usado em pequenas amostras.
2. (V) O critério de informação Akaike tende a escolher modelos sobreparametrizados, devido a um certo viés.
3. (F) Os critérios de informação originalmente foram designados para selecionar a melhor especificação entre os modelos ARMA(p; q).
4. (F) Segundo os critérios de informação, deve-se escolher o modelo cujo valor for o maior possível.
V. Seja yt um processo ARMA(p; q). Então, pode-se afirmar que:
1. (F) A identificação das defasagens p e q pode ser feita por tentativa e erro usando o teste de Schwarz.
2. (F) A verificação dos resíduos desse modelo segue o mesmo processo usado para a identificação do modelo, mas FAC e FACP devem ser interpretadas de forma contrária.
3. (F) Sabendo que o R2 desse modelo é de 0; 25, pode-se concluir que a especificação deve ser refeita.
4. (F) A FACP de um AR(p) decai exponencialmente.
VI. Considere a seguinte especificação: yt = ɸ1yt-1 + ɸ2yt-2 + εt, εt RB (0;σ2) e as afirmações a seguir:
Se as raízes da polinomial característica de yt estão fora do círculo unitário, então ɸ1 e ɸ2 estão fora do triângulo de estabilidade
 eiπ = -1; i = (-1)1/2
Os autovalores da matriz A = são idênticos às raízes da equação λ2 - ɸ1λ - ɸ2= 0
|x + Yi| = x2 + y2
1. (V) Apenas a. é verdadeira.
2. (F) b. e d. são falsas.
3. (F) Apenas c. é verdadeira.
4. (F) b. e c. são verdadeiras.
Processos não estacionários
I. Assinale a afirmativa verdadeira:
1. (F) O principal problema dos testes ADF e Phillips-Perron é o tamanho;
2. (F) O teste ERS-GLS tem problema de poder;
3. (F) O teste ADF é não paramétrico e o teste de Phillips-Perron e semi-paramétrico;
4. (V) O teste de Ng-Perron melhora o tamanho e o poder dos testes de raiz unitária propostos anteriormente;
II. Considere o seguinte modelo:
yt = c + ɸyt-1 + εt; εtWN(0;σ2). Esse modelo pode ser estimado pelo Eviews de duas formas alternativas. Por exemplo, podem-se dar o seguintes comandos: quick/estimate equation/ y c y(-1) ou quick/estimate equation/ y c ar(1).
Assinale a alternativa correta:
(F) Ambas as forma de estimar geram o mesmo resultado para c;
(F) Seja c1 o coeficiente calculado usando a primeira alternativa. Seja c2 coeficiente calculado usando a segunda alternativa. Então: c1 = c2/1-ɸ
(V ) Seja c1 o coeficiente calculado usando a primeira alternativa. Seja c2 o coeficiente calculado usando a segunda alternativa. Então: c2 = c1/1-ɸ
(F) Seja c1 o coeficiente calculado usando a primeira alternativa e c2, o coeficiente calculado usando a segunda alternativa. Esses coeficientes não são comparáveis.
III. Assinale a afirmativa verdadeira:
1. (F) A decomposição de Beveridge-Nelson pode ser aplicada a séries estacionárias.
2. (V) A decomposição de Beveridge-Nelson pode ser aplicada a séries não estacionárias.
3. (F) A decomposição de Beveridge-Nelson não pode ser aplicada em série sazonais.
4. (F) A decomposição de Beveridge-Nelson pode ser aplicada em séries com tendência determinística.
IV. O teste de Dickey-Pantula é designado para testar múltiplas raízes unitárias. Assinale a alternativa correta:
1. (F) O máximo de raízes unitárias aceitas pelo teste de Dickey-Pantula é 3.
2. (F) O procedimento pode ser aplicado a séries sazonais:
3. (V) Para testar, inicia-se com um modelo de mais diferenças para menos diferenças.
4. (F) Se houver quebra estrutural, o teste de Dickey-Pantula ainda é aplicável.
V. Considere as seguintes sentenças:
1. Quebras estruturais enviesam os testes convencionais de raízes unitárias em direção a não rejeição da hipótese nula.
2. Um choque aleatório numa série com raiz unitária tem efeitos permanentes.
3. A distribuição da estatística t student de uma série com raiz unitária é assimétrica à direita com média negativa.
4. Tendência determinística junto com tendência estocástica altera a distribuição assintótica do parâmetro de raiz unitária em relação a uma série sem tendência determinística.
Então, assinale a alternativa correta:
1. (F) Os itens (1) e (3) estão corretos, enquanto que os itens (2) e (4) são falsos.
2. (F) Os itens (2) e (3) estão corretos, enquanto que os itens (1) e (4) são falsos.
3. (F) Os itens (3) e (4) estão corretos, enquanto que os itens (1) e (2) são falsos.
4. (F) Os itens (2) e (4) estão corretos, enquanto que os itens (1) e (3) são falsos.
5. (V) Todas as anteriores são verdadeiras.
VI. Um pesquisador concluiu que sua série possuía uma tendência quadrática, mas não tinha certeza se a séria possuía raiz unitária. Estimando a série com tendência quadrática como se fosse proceder ao teste de raiz unitária, ele observou que a
estatística t calculada era maior do que o valor crítico da tabela com tendência apenas. Assinale a alternativa correta:
1. (F) A série não possui raiz unitária.
2. (F) A série é uma tendência estacionária.
3. (F) A série tem uma tendência de grau incerto.
4. (V) A série possui uma raiz unitária.
VAR
I. Considere a forma reduzida de um VAR(3), em que há 4 variáveis endógenas como desvios de suas médias. Então, o número de coeficientes a estimar é:
1. (F) 48.
2. (F) 64.
3. (V) 58
4. (F) 52.
II. Considere as seguintes sentenças.
1. O VAR(1): Xt = Xt-1 + εt é estacionário
2. O VAR(n) pode ser estimado por máxima verossimilhança, mínimos quadrados ordinários, GMM ou Filtro de Kalman.
3. Se há variáveis não estacionárias no VAR, é preciso estacionarizá-lo antes de estimá-lo.
4. É possível introduzir tendência determinística no VAR(n).
Então, assinale a alternativa correta:
1. (F) Os itens (1) e (3) estão corretos, enquanto que os itens (2) e (4) são falsos.
2. (F) Os itens (2) e (3) estão corretos, enquanto que os itens (1) e (4) são falsos.
3. (F) Os itens (3) e (4) estão corretos, enquanto que os itens (1) e (2) são falsos.
4. (V) Os itens (2) e (4) estão corretos, enquanto que os itens (1) e (3) são falsos.
V ou F
Nas questões abaixo, responda V (verdadeiro) ou F (falso) nos parênteses.
01. (V ) O procedimento de Box-Jenkins é constituído de fases que incluem identicação, estimação e verificação do modelo;
02. (F) Estacionaridade forte implica estacionaridade
fraca, mas estacionaridade fraca não implica estacionaridade forte;
03. (F) Uma série é fracamente estacionária se tem variância e média constantes, mas pode ter autocorrelação não constante, dependente do tempo;
04. (F) Se a distribuição de uma série é Normal, mas não é Normal-padrão, então estacionaridade forte implica e é implicada por estacionaridade fraca;
05. (F) A hipótese nula do teste FAC é a de que a autocorrelação é zero. Para testar essa hipótese, usa-se a distribuição t-student;
06. (V ) O teste de raízes unitárias de Phillips-Perron é semi-paramétrico, enquanto que o teste de Dickey-Fuller é paramétrico;
07. (V ) Os resíduos resultantes do processo de modelagem proposto por Box-Jenkins devem ser um ruído branco;
08. (F) A função de autocorrelação sugere a ordem auto-regressiva na equação da média, enquanto que a função de autocorrelação parcial sugere a ordem do processo de médias móveis;
09. (F) A condição de estacionaridade de um modelo VAR é que as raízes da função característica da matriz (I – A1L - A2L2-....- AnL2) estejam dentro do círculo unitário;
10. (V ) Uma das restrições do VAR padrão é a ordem das variáveis dentro do modelo;
11. (V ) Embora se possa estimar um modelo nas diferenças quando as variáveis cointegram, esse procedimento não é recomendável, pois se perdem informações provenientes da relação de longo prazo;
12. (F) O Modelo de Correção de Erros é um VAR no qual a relação de longo prazo não está presente;
13. (F) O teste de Johansen é insensível a quebras estruturais ou intervenções;
14. (V ) Sejam duas variáveis I (2). Usando o teste de cointegração de Engle e Granger, verifica-se que o resíduo da combinação dessas variáveis é I (1). Então, há cointegração.
15. (F) Quando as variáveis endógenas de um modelo VAR não cointegram, mas mesmo assim estima-se o modelo, as inferências estatísticas individuais sobre os coeficientes são inválidas.
16. (F) Todos os modelos da classe ARCH conseguem captar curtoses altas, mas são incapazes de captar assimetrias na volatilidade;
17. (V ) Mesmo que os resíduos de uma série sejam resultantes de um processo ARCH, dependendo das hipóteses sobre o modelo, pode-se provar que esse resíduo é um ruído branco;
18. (F) O modelo ARCH-M é assimétrico na média;
19. (V ) O modelo GARCH é um modelo determinístico;
20. (F) Por ser mais flexível, o modelo multivariado VECH é o melhor modelo GARCH a ser estimado do ponto de vista prático;
21. (V ) Os modelos GARCH multivariados BEKK, VECH e DCC são modelo simétricos;
22. (V ) O modelo DCC permite haver assimetria na variância condicional, mas não na covariância condicional;
23. (F) Os modelos GARCH univariados assimétricos podem ser estimados a dois passos: primeiro a equação da média; depois a equação da variância, mesmo na presença de um AR(p), p > 0;
24. (V ) Mesmo que os resíduos de um modelo GARCH univariado não sejam normais, pode-se utilizar a máxima verossimilhança com função densidade normal porque resultará em estimativas de parâmetros de quasi-máxima verossimilhança;
25. (V ) O modelo BEKK gera matrizes de covariância positiva semi definidas para todo t diferentemente do VECH em que não se pode garantir isso a priori;
26. (V ) Os modelos GARCH são modelos lineares;
27. (F) É possível dizer se existe heterocedasticidade condicional e as ordens p e q do modelo de um modelo GARCH assimétrico;
28. (F) O IGARCH (1; 1) impede que se façam as inferências estatísticas convencionais por se tratar de um modelo com variância explosiva;
29. (V ) Sejam duas variáveis I (2). Usando o teste de cointegração de Engle e Granger, verifica-se que o resíduo da combinação dessas variáveis é I (1). Então, há cointegração.
30. (F) Os modelos GARCH univariados assimétricos podem ser estimados a dois passos: primeiro a equação da média; depois a equação da variância, mesmo na presença de um AR(p), p > 0.
P2
01.(F)Uma condição necessária para estimar corretamente matriz de variância de longo prazo dos momentos no GMMé ponderar as autocovariâncias. Autocovariância de peso maior têm peso maior.
02.(V)A matriz de variância de longo prazo dos momentos no GMM inclui a metodologia de Newey-west, Autorregressiva Espectral e PWRC.
03. (F) Se εt é i.i.d, então trata-se de um ruído branco
04.(F) De um modo geral, o acréscimo de regressores determinísticos nas equações de testes de raiz unitárias gera um estreitamento da distribuição do teste, reduzindo, em consequência seu poder.
05.(V) Pode-se aplicar o teste de razão de verossimilhança usando GMM. 
06.(F) O teste de Wald deve ser usado quando é mais fácil estimar a equação restrita em vez da restrita.
07.(V)Entre os métodos de estimação do GMM estão 2 passos, iterativo e atualização contínua.
08.(V)É possível usar o GMM para estimar um modelo de médias móveis.
09.(F)ARMA(p,q) não pode ser estimado por MQO, ML e por GMM.
10.(V)O teste LM deve ser usado quando é mais fácil estimar a equação restrita em vez da não restrita.
11.(F)As condições de primeira ordem da ML não podem ser interpretadas analogamente às condições de momento do GMM
12.(V)Se os erros não forem normais, pode-se estimar o modelo por máximaverossimilhança usando a distribuição normal, mas a matriz dos parâmetros de covariância será uma combinação da matriz de informação obtida usando CPO e da matriz de informação obtida usando as condições de segunda ordem.
13.(F)A matriz de covariância robusta do GMM é um caso especial da matriz de covariância robusta de White. 
14.(V)É possível usar a CPO de um modelo econômico para determinar as condições de momento a serem estimadas pelo GMM.
15.(F)O teste de sobreidentificação do GMM deve ser usado quando o número de parâmetros.
16.(F)Uma condição necessária para estimar corretamente a matriz de variância de longo prazo dos momentos no GMM deve ser usado quando o número de parâmetros estimados é igual ou menor ao número de momentos
17.(V)O teste KPSS inverte as hipóteses nula e alternativa do teste de Phillips-Perron. 
18.(V)O GMM não pode ser usado para estimar modelos no nível de séries não estacionárias.
19.(F)Os testes de Wald e LR precisam que a equação restrita seja estimada. 
20. (V)Considere os testes de raiz unitárias ADF,PP,GLS-ERS, Ng-Perron, quebra estrutural de Zivot-Andrews e Perron, Dickey-Pantula. Em todos esses testes se o valor das estatísticas calculado é menor que o valor crítico, rejeita-se a ho de raiz unitária
1.Um econometrista estimou várias versões de modelo ARMA para a diferença das exportações brasileiras (dXt) e escolheu o modelo tomando por bas os critérios de informação: xt=0.8xt-1+ 0.5 xt-2 + εt – 0.9εt-1. Considere as seguintes afirmações:
i.Esse modelo é inversível
ii.Esse modelo é estacionário
iii.Esse modelo não é estacionário
iv.Pode-se aplicar a decomposição de Beveridge-Nelson a Xt.
1.(F) A alternativa i é falsa
2.(F) A alternativa iii é falsa
3.(V)As alternativas iii e iv são verdadeiras
4.(F) i e ii são verdadeiras
5.Todas são falsas
2.Suponha uma série estacionária, sazonal com tendência determinística. Assinale a alternativa correta:
1.(V)Se os dados forem mensais, mesmo variáveis dummies para meses não podem representar a sazonalidade
2.(F)A decomposição de Beveridge-Nelson representa a tendência de longo prazo
3.(F)Não se pode estimar sazonalidade depois de expurgar a tendência determinística.
4.(F)A saoznalidade aditiva não pode ser aplicada quando há tendência determinística.. 
5.(F) Todas são falsas
3. Considere o seguinte modelo: yt = 1.5yt-1 – 0.5yt-2 + εt -0.45εt-1 – εt-2. Assinale a alternativa correta:
1.(V)Usando a decomposição de Beveridge-Nelson ψ(1)=-0.9
2.(F) Usando a decomposição de Beveridge-Nelson ψ(1)=-0.45
3.(F) Usando a decomposição de Beveridge-Nelson ψ(1)=0.9
4.(F) Usando a decomposição de Beveridge-Nelson ψ(1)=0.45
5.(F)Todas as anteriores são falsas
4.Suponha um
modelo ARMA(1,2) e pretenda estimá-lo por máxima verossimilhança. Considere as seguinte afirmações:
i.Supondo a existência de constante no modelo, a dimensão da matriz de covariância dos parâmetros é 5x5
ii.Supondo a existência de constante no modelo, a dimensão da matriz de covariância dos parâmetros é 4x4
iii.O desvio padrão dos coeficientes pode ser estimado a partir da CPO de primeira ordem da função log-verossimilhança
iv.O desvio padrão dos coeficientes pode ser estimado a partir da CPO de primeira ordem da função log-verossimilhança
1.(F)As alternativas i e iv são verdadeiras
2.(F)As alternativas i e iii são verdadeiras
3.(F)A alternativa ii é falsa
4.(F)A alternativa iii é falsa
5.(V)As alternativas ii, iii e iv são verdadeiras
5.Considere o seguinte modelo: 
yt = µ + xt+εt
xt = εt + ϴεt-1, εt i.i.d (0;σ2)
zt = βzt-1 + ut, ut i.i.d (0;σ2)
ut-s _|_ εt-j, s,j
i.yt é um ARMA(1,2)
ii.A condição suficiente para estacionaridade é que |β|>1
iii.A condição de invertibilidade é |ϴ|<1
iv.A previsão de longo prazo é dada por E(yt)=µ
1.(F) As alternativas i e ii são verdadeiras
2.(F) As alternativas ii e iv são verdadeiras
3.(F) As alternativas iii e iv são verdadeiras
4.(V) As alternativas i e iv são verdadeiras
5.(F)Todas as alternativas anteriores são falsas
6.Assinale a afirmativa verdadeira
1.(V) O principal problema dos testes ADF e Phillips-Perron é o poder
2.(F)O teste ERS-GLS tem problema de poder
3.(F)O teste ADF é não paramétrico e o teste de Phillips-Perron é semi-paramétrico
4.(F)O teste de Ng-Perron melhora poder dos testes de raiz unitária propostos anteriormente, mas não o tamanho
5.(F)Todas anteriores são falsas
7.Considere o seguinte modelo: yt = 5.168 + 1,294 yt-1 – 0,375t-2 + εt – 0.244εt-1 + 0.487εt-2. Assinale a afirmativa verdadeira sobre a decomposição de Beveridge-Nelson
1.(F)Então pt = pt-1 + 15.276εt
2.(F) Então pt = pt-1 + 5.168 + 0.647εt
3.(F) O componente cíclico não é estacionário
4.(F) Então pt = pt-1 + 0.647εt
5.(V) Então pt = pt-1 + 5.168 + 15.276εt
8.O teste de Dickey-Pantula é designado para testar múltiplas raízes unitárias. Assinale a alternativa correta: 
1.(F)O máximo de raízes unitárias aceitas pelo teste de Dickey-pantula é 3.
2.(F)O procedimento pode ser aplicado a séries sazonais
3.(V)Se houver quebra-estrutural, o teste de Dickey-Pantula ainda não é aplicável
4.(F)Para testar, inicia-se com um modelo de menos diferenças para mais diferenças
5.(F)Todas anteriores são falsas
9. Considere as seguintes sentenças
1.Quebras estruturais enviesam os testes convencionais de raízes unitárias em direção da rejeição da hipótese nula.
2.Um choque aleatório numa série com raiz unitária tem efeitos permanentes.
3.A distribuição da estatística t student de uma série com raiz unitária é assimétrica com média negativa.
4.Tendência determinística junto com tendência estocástica não altera a distribuição assintótica do parâmetro de raiz unitária em relação a uma série sem tendência determinística
Então, assinale a alternativa correta:
1. (F) Os itens (1) e (3) estão corretos, enquanto que os itens (2) e (4) são falsos.
2. (V) Os itens (2) e (3) estão corretos, enquanto que os itens (1) e (4) são falsos.
3. (F) Os itens (3) e (4) estão corretos, enquanto que os itens (1) e (2) são falsos.
4. (F) Os itens (2) e (4) estão corretos, enquanto que os itens (1) e (3) são falsos.
10. Um pesquisador concluiu que sua série possuía uma tendência quadrática, mas não tinha certeza se a séria possuía raiz unitária. Estimando a série com tendência quadrática como se fosse proceder ao teste de raiz unitária, ele observou que a
estatística t calculada era maior do que o valor crítico da tabela com tendência apenas. Assinale a alternativa correta:
1. (F) A série não possui raiz unitária.
2. (F) A série é uma tendência estacionária.
3. (F) A série tem uma tendência de grau incerto.
4. (V) A série possui uma raiz unitária.
Exercicios - P1 e P2.docx
Processos estacionários
I. Assinale a alternativa verdadeira
1. ( ) Se F (yt1, yt2,.....,ytk) F (yt1+h; yt2+h;......; ytk) ; hZ, então, necessariamente, o processo não é estritamente estacionário;
2. ( ) Se F (yt1, yt2,.....,ytk) = F(yt1+h, yt2+h,......., ytk-1+h); hZ, então, o processo é estritamente estacionário.
3. ( ) Seja um MA(), tal que 2< 1. Então, pode-se concluir que a série é ergódica.
4. ( ) Se yt = -ϴyt-1 + ϴεt-1 + εt, sendo εti.i.d (0;σ2), então yt é um ruído branco.
II. Seja ut um ruído branco. Então pode-se concluir que:
1. ( ) ut tem distribuição normal.
2. ( ) ut é idêntica e independentemente distribuído.
3. ( ) ut pode ser temporalmente dependente, apesar de não ter memória.
4. ( ) ut é também um passeio aleatório, também conhecido como "random walk".
III. Considere a figura abaixo, cujas séries são simulações a partir dos mesmos erros, advindos de uma distribuição normal i.i.d. Assinale a alternativa correta. Considere as seguintes armações:
Pelo menos uma das séries é não estacionária.
A série X tende a ser um processo AR, enquanto a séria Y tende a ser um processo MA.
 A média incondicional dessas séries é idêntica.
 Ambas as séries são estacionárias
1. ( ) Apenas a é falsa.
2. ( ) b e d são verdadeiras.
3. ( ) Apenas d é verdadeira.
4. ( ) c e d são verdadeiras.
5. ( ) Todas as anteriores são falsas.
IV. Assinale a alternativa verdadeira
1. ( ) O critério de informação de Akaike é mais apropriado para médias e grandes amostras, enquanto que o BIC deve ser usado em pequenas amostras.
2. ( ) O critério de informação Akaike tende a escolher modelos sobreparametrizados, devido a um certo viés.
3. ( ) Os critérios de informação originalmente foram designados para selecionar a melhor especificação entre os modelos ARMA(p; q).
4. ( ) Segundo os critérios de informação, deve-se escolher o modelo cujo valor for o maior possível.
V. Seja yt um processo ARMA(p; q). Então, pode-se afirmar que:
1. ( ) A identificação das defasagens p e q pode ser feita por tentativa e erro usando o teste de Schwarz.
2. ( ) A verificação dos resíduos desse modelo segue o mesmo processo usado para a identificação do modelo, mas FAC e FACP devem ser interpretadas de forma contrária.
3. ( ) Sabendo que o R2 desse modelo é de 0; 25, pode-se concluir que a especificação deve ser refeita.
4. ( ) A FACP de um AR(p) decai exponencialmente.
VI. Considere a seguinte especificação: yt = ɸ1yt-1 + ɸ2yt-2 + εt, εt RB (0;σ2) e as afirmações a seguir:
Se as raízes da polinomial característica de yt estão fora do círculo unitário, então ɸ1 e ɸ2 estão fora do triângulo de estabilidade
 eiπ = -1; i = (-1)1/2
Os autovalores da matriz A = são idênticos às raízes da equação λ2 - ɸ1λ - ɸ2= 0
|x + Yi| = x2 + y2
1. ( ) Apenas a. é verdadeira.
2. ( ) b. e d. são falsas.
3. ( ) Apenas c. é verdadeira.
4. ( ) b. e c. são verdadeiras.
Processos não estacionários
I. Assinale a afirmativa verdadeira:
1. ( ) O principal problema dos testes ADF e Phillips-Perron é o tamanho;
2. ( ) O teste ERS-GLS tem problema de poder;
3. ( ) O teste ADF é não paramétrico e o teste de Phillips-Perron e semi-paramétrico;
4. ( ) O teste de Ng-Perron melhora o tamanho e o poder dos testes de raiz unitária propostos anteriormente;
II. Considere o seguinte modelo:
yt = c + ɸyt-1 + εt; εtWN(0;σ2). Esse modelo pode ser estimado pelo Eviews de duas formas alternativas. Por exemplo, podem-se dar o seguintes comandos: quick/estimate equation/ y c y(-1) ou quick/estimate equation/ y c ar(1).
Assinale a alternativa correta:
( ) Ambas as forma de estimar geram o mesmo resultado para c;
( ) Seja c1 o coeficiente calculado usando a primeira alternativa.
Seja c2 coeficiente calculado usando a segunda alternativa. Então: c1 = c2/1-ɸ
( ) Seja c1 o coeficiente calculado usando a primeira alternativa. Seja c2 o coeficiente calculado usando a segunda alternativa. Então: c2 = c1/1-ɸ
( ) Seja c1 o coeficiente calculado usando a primeira alternativa e c2, o coeficiente calculado usando a segunda alternativa. Esses coeficientes não são comparáveis.
III. Assinale a afirmativa verdadeira:
1. ( ) A decomposição de Beveridge-Nelson pode ser aplicada a séries estacionárias.
2. ( ) A decomposição de Beveridge-Nelson pode ser aplicada a séries não estacionárias.
3. ( ) A decomposição de Beveridge-Nelson não pode ser aplicada em série sazonais.
4. ( ) A decomposição de Beveridge-Nelson pode ser aplicada em séries com tendência determinística.
IV. O teste de Dickey-Pantula é designado para testar múltiplas raízes unitárias. Assinale a alternativa correta:
1. ( ) O máximo de raízes unitárias aceitas pelo teste de Dickey-Pantula é 3.
2. ( ) O procedimento pode ser aplicado a séries sazonais:
3. ( ) Para testar, inicia-se com um modelo de mais diferenças para menos diferenças.
4. ( ) Se houver quebra estrutural, o teste de Dickey-Pantula ainda é aplicável.
V. Considere as seguintes sentenças:
1. Quebras estruturais enviesam os testes convencionais de raízes unitárias em direção a não rejeição da hipótese nula.
2. Um choque aleatório numa série com raiz unitária tem efeitos permanentes.
3. A distribuição da estatística t student de uma série com raiz unitária é assimétrica à direita com média negativa.
4. Tendência determinística junto com tendência estocástica altera a distribuição assintótica do parâmetro de raiz unitária em relação a uma série sem tendência determinística.
Então, assinale a alternativa correta:
1. ( ) Os itens (1) e (3) estão corretos, enquanto que os itens (2) e (4) são falsos.
2. ( ) Os itens (2) e (3) estão corretos, enquanto que os itens (1) e (4) são falsos.
3. ( ) Os itens (3) e (4) estão corretos, enquanto que os itens (1) e (2) são falsos.
4. ( ) Os itens (2) e (4) estão corretos, enquanto que os itens (1) e (3) são falsos.
5. ( ) Todas as anteriores são verdadeiras.
VI. Um pesquisador concluiu que sua série possuía uma tendência quadrática, mas não tinha certeza se a séria possuía raiz unitária. Estimando a série com tendência quadrática como se fosse proceder ao teste de raiz unitária, ele observou que a
estatística t calculada era maior do que o valor crítico da tabela com tendência apenas. Assinale a alternativa correta:
1. ( ) A série não possui raiz unitária.
2. ( ) A série é uma tendência estacionária.
3. ( ) A série tem uma tendência de grau incerto.
4. ( ) A série possui uma raiz unitária.
VAR
I. Considere a forma reduzida de um VAR(3), em que há 4 variáveis endógenas como desvios de suas médias. Então, o número de coeficientes a estimar é:
1. ( ) 48.
2. ( ) 64.
3. ( ) 58
4. ( ) 52.
II. Considere as seguintes sentenças.
1. O VAR(1): Xt = Xt-1 + εt é estacionário
2. O VAR(n) pode ser estimado por máxima verossimilhança, mínimos quadrados ordinários, GMM ou Filtro de Kalman.
3. Se há variáveis não estacionárias no VAR, é preciso estacionarizá-lo antes de estimá-lo.
4. É possível introduzir tendência determinística no VAR(n).
Então, assinale a alternativa correta:
1. ( ) Os itens (1) e (3) estão corretos, enquanto que os itens (2) e (4) são falsos.
2. ( ) Os itens (2) e (3) estão corretos, enquanto que os itens (1) e (4) são falsos.
3. ( ) Os itens (3) e (4) estão corretos, enquanto que os itens (1) e (2) são falsos.
4. ( ) Os itens (2) e (4) estão corretos, enquanto que os itens (1) e (3) são falsos.
V ou F
Nas questões abaixo, responda V (verdadeiro) ou F (falso) nos parênteses.
01. ( ) O procedimento de Box-Jenkins é constituído de fases que incluem identicação, estimação e verificação do modelo;
02. ( ) Estacionaridade forte implica estacionaridade fraca, mas estacionaridade fraca não implica estacionaridade forte;
03. ( ) Uma série é fracamente estacionária se tem variância e média constantes, mas pode ter autocorrelação não constante, dependente do tempo;
04. ( ) Se a distribuição de uma série é Normal, mas não é Normal-padrão, então estacionaridade forte implica e é implicada por estacionaridade fraca;
05. ( ) A hipótese nula do teste FAC é a de que a autocorrelação é zero. Para testar essa hipótese, usa-se a distribuição t-student;
06. ( ) O teste de raízes unitárias de Phillips-Perron é semi-paramétrico, enquanto que o teste de Dickey-Fuller é paramétrico;
07. ( ) Os resíduos resultantes do processo de modelagem proposto por Box-Jenkins devem ser um ruído branco;
08. ( ) A função de autocorrelação sugere a ordem auto-regressiva na equação da média, enquanto que a função de autocorrelação parcial sugere a ordem do processo de médias móveis;
09. ( ) A condição de estacionaridade de um modelo VAR é que as raízes da função característica da matriz (I – A1L - A2L2-....- AnL2) estejam dentro do círculo unitário;
10. ( ) Uma das restrições do VAR padrão é a ordem das variáveis dentro do modelo;
11. ( ) Embora se possa estimar um modelo nas diferenças quando as variáveis cointegram, esse procedimento não é recomendável, pois se perdem informações provenientes da relação de longo prazo;
12. (F) O Modelo de Correção de Erros é um VAR no qual a relação de longo prazo não está presente;
13. (V) O teste de Johansen é insensível a quebras estruturais ou intervenções;
14. (V) Sejam duas variáveis I (2). Usando o teste de cointegração de Engle e Granger, verifica-se que o resíduo da combinação dessas variáveis é I (1). Então, há cointegração.
15. (F) Quando as variáveis endógenas de um modelo VAR não cointegram, mas mesmo assim estima-se o modelo, as inferências estatísticas individuais sobre os coeficientes são inválidas.
16. (F) Todos os modelos da classe ARCH conseguem captar curtoses altas, mas são incapazes de captar assimetrias na volatilidade;
17. (V) Mesmo que os resíduos de uma série sejam resultantes de um processo ARCH, dependendo das hipóteses sobre o modelo, pode-se provar que esse resíduo é um ruído branco;
18. (F) O modelo ARCH-M é assimétrico na média;
19. (V) O modelo GARCH é um modelo determinístico;
20. (F) Por ser mais flexível, o modelo multivariado VECH é o melhor modelo GARCH a ser estimado do ponto de vista prático;
21. (V) Os modelos GARCH multivariados BEKK, VECH e DCC são modelo simétricos;
22. (V) O modelo DCC permite haver assimetria na variância condicional, mas não na covariância condicional;
23. ( ) Os modelos GARCH univariados assimétricos podem ser estimados a dois passos: primeiro a equação da média; depois a equação da variância, mesmo na presença de um AR(p), p > 0;
24. ( ) Mesmo que os resíduos de um modelo GARCH univariado não sejam normais, pode-se utilizar a máxima verossimilhança com função densidade normal porque resultará em estimativas de parâmetros de quasi-máxima verossimilhança;
25. ( ) O modelo BEKK gera matrizes de covariância positiva semi definidas para todo t diferentemente do VECH em que não se pode garantir isso a priori;
26. ( ) Os modelos GARCH são modelos lineares;
27. ( ) É possível dizer se existe heterocedasticidade condicional e as ordens p e q do modelo de um modelo GARCH assimétrico;
28. ( ) O IGARCH (1; 1) impede que se façam as inferências estatísticas convencionais por se tratar de um modelo com variância explosiva;
29. ( ) Sejam duas variáveis I (2). Usando o teste de cointegração de Engle e Granger, verifica-se que o resíduo da combinação dessas variáveis é I (1). Então, há cointegração.
30. ( ) Os modelos GARCH univariados assimétricos podem ser estimados a dois passos: primeiro a equação da média; depois a equação da variância, mesmo na presença de um AR(p), p > 0.
P2
01.( )Uma condição necessária para estimar corretamente matriz de variância de longo prazo dos momentos no GMMé ponderar as autocovariâncias. Autocovariância de peso maior têm peso maior.
02.( )A matriz de variância de longo prazo dos momentos no GMM inclui a metodologia de Newey-west, Autorregressiva Espectral e PWRC.
03. ( ) Se εt é i.i.d, então trata-se de um ruído branco
04.( ) De um modo geral, o acréscimo de regressores determinísticos nas equações de testes de raiz unitárias gera um estreitamento da distribuição do teste, reduzindo, em consequência seu poder.
05.( ) Pode-se aplicar o teste de razão de verossimilhança usando GMM. 
06.( ) O teste de Wald deve ser usado quando é mais fácil estimar a equação restrita em vez da restrita.
07.( )Entre os métodos de estimação do GMM estão 2 passos, iterativo e atualização contínua.
08.( )É possível usar o GMM para estimar um modelo de médias móveis.
09.( )ARMA(p,q) não pode ser estimado por MQO, ML e por GMM.
10.( )O teste LM deve ser usado quando é mais fácil estimar a equação restrita em vez da não restrita.
11.( )As condições de primeira ordem da ML não podem ser interpretadas analogamente às condições de momento do GMM
12.( )Se os erros não forem normais, pode-se estimar o modelo por máximaverossimilhança usando a distribuição normal, mas a matriz dos parâmetros de covariância será uma combinação da matriz de informação obtida usando CPO e da matriz de informação obtida usando as condições de segunda ordem.
13.( )A matriz de covariância robusta do GMM é um caso especial da matriz de covariância robusta de White. 
14.( )É possível usar a CPO de um modelo econômico para determinar as condições de momento a serem estimadas pelo GMM.
15.( )O teste de sobreidentificação do GMM deve ser usado quando o número de parâmetros.
16.( )Uma condição necessária para estimar corretamente a matriz de variância de longo prazo dos momentos no GMM deve ser usado quando o número de parâmetros estimados é igual ou menor ao número de momentos
17.( )O teste KPSS inverte as hipóteses nula e alternativa do teste de Phillips-Perron. 
18.( )O GMM não pode ser usado para estimar modelos no nível de séries não estacionárias.
19.( )Os testes de Wald e LR precisam que a equação restrita seja estimada. 
20. ( )Considere os testes de raiz unitárias ADF,PP,GLS-ERS, Ng-Perron, quebra estrutural de Zivot-Andrews e Perron, Dickey-Pantula. Em todos esses testes se o valor das estatísticas calculado é menor que o valor crítico, rejeita-se a ho de raiz unitária
1.Um econometrista estimou várias versões de modelo ARMA para a diferença das exportações brasileiras (dXt) e escolheu o modelo tomando por bas os critérios de informação: xt=0.8xt-1+ 0.5 xt-2 + εt – 0.9εt-1. Considere as seguintes afirmações:
i.Esse modelo é inversível
ii.Esse modelo é estacionário
iii.Esse modelo não é estacionário
iv.Pode-se aplicar a decomposição de Beveridge-Nelson a Xt.
1.( ) A alternativa i é falsa
2.( ) A alternativa iii é falsa
3.( )As alternativas iii e iv são verdadeiras
4.( ) i e ii são verdadeiras
5.Todas são falsas
2.Suponha uma série estacionária, sazonal com tendência determinística. Assinale a alternativa correta:
1.( )Se os dados forem mensais, mesmo variáveis dummies para meses não podem representar a sazonalidade
2.( )A decomposição de Beveridge-Nelson representa a tendência de longo prazo
3.( )Não se pode estimar sazonalidade depois de expurgar a tendência determinística.
4.( )A saoznalidade aditiva não pode ser aplicada quando há tendência determinística.. 
5.( ) Todas são falsas
3. Considere o seguinte modelo: yt = 1.5yt-1 – 0.5yt-2 + εt -0.45εt-1 – εt-2. Assinale a alternativa correta:
1.( )Usando a decomposição de Beveridge-Nelson ψ(1)=-0.9
2.( ) Usando a decomposição de Beveridge-Nelson ψ(1)=-0.45
3.( ) Usando a decomposição de Beveridge-Nelson ψ(1)=0.9
4.( ) Usando a decomposição de Beveridge-Nelson ψ(1)=0.45
5.( )Todas as anteriores são falsas
4.Suponha um modelo ARMA(1,2) e pretenda estimá-lo por máxima verossimilhança. Considere as seguinte afirmações:
i.Supondo a existência de constante no modelo, a dimensão da matriz de covariância dos parâmetros é 5x5
ii.Supondo a existência de constante no modelo, a dimensão da matriz de covariância dos parâmetros é 4x4
iii.O desvio padrão dos coeficientes pode ser estimado a partir da CPO de primeira ordem da função log-verossimilhança
iv.O desvio padrão dos coeficientes pode ser estimado a partir da CPO de primeira ordem da função log-verossimilhança
1.( )As alternativas i e iv são verdadeiras
2.( )As alternativas i e iii são verdadeiras
3.( )A alternativa ii é falsa
4.( )A alternativa iii é falsa
5.( )As alternativas ii, iii e iv são verdadeiras
5.Considere o seguinte modelo: 
yt = µ + xt+εt
xt = εt + ϴεt-1, εt i.i.d (0;σ2)
zt = βzt-1 + ut, ut i.i.d (0;σ2)
ut-s _|_ εt-j, s,j
i.yt é um ARMA(1,2)
ii.A condição suficiente para estacionaridade é que |β|>1
iii.A condição de invertibilidade é |ϴ|<1
iv.A previsão de longo prazo é dada por E(yt)=µ
1.( ) As alternativas i e ii são verdadeiras
2.( ) As alternativas ii e iv são verdadeiras
3.( ) As alternativas iii e iv são verdadeiras
4.( ) As alternativas i e iv são verdadeiras
5.( )Todas as alternativas anteriores são falsas
6.Assinale a afirmativa verdadeira
1.( ) O principal problema dos testes ADF e Phillips-Perron é o poder
2.( )O teste ERS-GLS tem problema de poder
3.( )O teste ADF é não paramétrico e o teste de Phillips-Perron é semi-paramétrico
4.( )O teste de Ng-Perron melhora poder dos testes de raiz unitária propostos anteriormente, mas não o tamanho
5.( )Todas anteriores são falsas
7.Considere o seguinte modelo: yt = 5.168 + 1,294 yt-1 – 0,375t-2 + εt – 0.244εt-1 + 0.487εt-2. Assinale a afirmativa verdadeira sobre a decomposição de Beveridge-Nelson
1.( )Então pt = pt-1 + 15.276εt
2.( ) Então pt = pt-1 + 5.168 + 0.647εt
3.( ) O componente cíclico não é estacionário
4.( ) Então pt = pt-1 + 0.647εt
5.( ) Então pt = pt-1 + 5.168 + 15.276εt
8.O teste de Dickey-Pantula é designado para testar múltiplas raízes unitárias. Assinale a alternativa correta: 
1.( )O máximo de raízes unitárias aceitas pelo teste de Dickey-pantula é 3.
2.( )O procedimento pode ser aplicado a séries sazonais
3.( )Se houver quebra-estrutural, o teste de Dickey-Pantula ainda não é aplicável
4.( )Para testar, inicia-se com um modelo de menos diferenças para mais diferenças
5.( )Todas anteriores são falsas
9. Considere as seguintes sentenças
1.Quebras estruturais enviesam os testes convencionais de raízes unitárias em direção da rejeição da hipótese nula.
2.Um choque aleatório numa série com raiz unitária tem efeitos permanentes.
3.A distribuição da estatística t student de uma série com raiz unitária é assimétrica com média negativa.
4.Tendência determinística junto com tendência estocástica não altera a distribuição assintótica do parâmetro de raiz unitária em relação a uma série sem tendência determinística
Então, assinale a alternativa correta:
1. ( ) Os itens (1) e (3) estão corretos, enquanto que os itens (2) e (4) são falsos.
2. ( ) Os itens (2) e (3) estão corretos, enquanto que os itens (1) e (4) são falsos.
3. ( ) Os itens (3) e (4) estão corretos, enquanto que os itens (1) e (2) são falsos.
4. ( ) Os itens (2) e (4) estão corretos, enquanto que os itens (1) e (3) são falsos.
10. Um pesquisador concluiu que sua série possuía uma tendência quadrática, mas não tinha certeza se a séria possuía raiz unitária. Estimando a série com tendência quadrática como se fosse proceder ao teste de raiz unitária, ele observou que a
estatística t calculada era maior do que
o valor crítico da tabela com tendência apenas. Assinale a alternativa correta:
1. ( ) A série não possui raiz unitária.
2. ( ) A série é uma tendência estacionária.
3. ( ) A série tem uma tendência de grau incerto.
4. ( ) A série possui uma raiz unitária.
Lista P1.docx
Processo estocástico é uma sequência ordenada (no tempo) de variáveis aleatórias definidas no mesmo espaço de probabilidade. Ou seja, em cada instante de tempo t, existe uma família de valores que uma série pode assumir, aos quais estão associadas probabilidades de ocorrência.
A série de valores observados para uma amostra é chamada realização do processo estocástico. Pode-se dizer que o conjunto de valores que a variável pode assumir corresponde à população e que a realização do processo estocástico é uma amostra dessa população.
Em uma série estocástica, para cada instante de tempo t, a série pode assumir uma família de valores que podem ocorrer aleatoriamente dependendo de uma certa probabilidade de ocorrência. Em processos deterministas, as séries estão sujeitas a tendências e sazonalidade, que dependem de fatores externos, como crescimento da população, riqueza, estações do ano, ciclos de produção, etc. Uma série determinista só desvia-se do traçado indicado pela função determinista através do termo aleatório .
Um processo estocástico é fracamente estacionário se a média e variância de y(t) forem constantes no tempo e as autocovariâncias não dependem do tempo, elas variam apenas em relação à distância (k) que separa as duas observações consideradas, ou seja, a cov(y1,y4) = cov(y15,y18). 
Adicionalmente, para um AR(1) devemos ter, // < 1, para que a variância seja negativa e finita. A condição de estacionariedade do AR(p) estabelece que todas as p raízes da equação característica caiam fora do círculo unitário. As expressões da variância e das autocovariâncias do MA(1) indicam que a estacionariedade (fraca) desse processo não impõe nenhuma restrição sobre o parâmetro θ, ao contrário do que ocorre com o parâmetro φ do modelo AR(1). No entanto, para que o modelo MA(1) possa ser invertível em um modelo AR de ordem infinita, deve-se respeitar a condição de invertibilidade . Para MA(q), a condição de invertibilidade requer que todas as raízes da equação característica caiam fora do círculo unitário.
Um ruído branco é uma variável aleatória com média zero, variância constante e não autocorrelacionada. Um passeio aleatório é um processo não-estacionário homogêneo ARIMA(0,1,0), ou seja, um ruído branco. Isso quer dizer que a trajetória da série do instante t-1 para t é totalmente aleatória.
Para permitir que o modelo MA(1) possa ser expresso como um modelo auto-regressivo de ordem infinita AR(∞), sendo yt uma série estacionária, sua representação na forma auto-regressiva requer a condição de invertibilidade . Caso contrário, o resultado será explosivo.
A transformação ou “inversão” do MA(1) em um modelo auto-regressivo, envolve a substituição de na equação por e substituições sucessivas dos ε defasados que aparecem em cada etapa do processo. O resultado final é:
A) ( portanto a condição de estacionariedade é respeitada, pois .
B) 
Sendo e , a condição de estacionariedade do AR(2), a qual determina que todas as raízes da equação características caiam fora do círculo unitário, não é respeitada.
C) 
D) Vemos que a raiz de (1+0,7B)=0 está fora do círculo unitário, atendendo às condições de estacionaridade. Já a condição de invertibilidade não é respeitada, visto que 1-B=0 possui raiz 1, o que desrespeita a condição de invertibilidade que estabelece .
E)1 
A função de Autocorrelação é a sequência de pares , onde é o coeficiente de autocorrelação ou correlação serial de ordem k, ou seja, a autocorrelação entre e . Já a autocorrelação parcial mede a correlação entre e , depois que a influência de , ,..., sobre foi descontada.
Na etapa de identificação iremos definir o modelo que determinou a série estudada, bem como sua ordem. Ao analisarmos a autocorrelação da série, definimos se ela é estacionária ou não. Caso ela não seja, teremos que diferenciá-la. Dessa forma, de acordo com o número de diferenciações necessárias até atingirmos a estacionariedade, nos da o valor de ‘d’. 
Após a definição de ‘d’, analisa-se o correlograma e verifica-se que se a FAC for globalmente declinante e a FACP for truncada em k=p, teremos a definição de ‘p’. No caso da FAC ser truncada em k=q e a FACP for declinante, teremos a definição de ‘q’. Num processo ARMA, a FAC nem a FACP são truncadas, o que não deixa definido os valores de ‘p’ e ‘q’. Ambas são declinantes.
As condições de estacionariedade e de invertibilidade de um ARMA(p, q) requerem, respectivamente, que todas as p raízes de φ(B) = 0 e todas as q raízes de θ(B) = 0 caiam fora do círculo unitário.
A presença de p e q nas fórmulas dos critérios AIC e BIC tem por objetivo “penalizar” os modelos com muitos parâmetros tendo em vista que modelos mais parcimoniosos devem ser privilegiados por apresentarem menor número de parâmetros a ser estimado. A crítica que se faz a esses critérios é que eles podem conduzir a modelos superespecificados, ou seja, modelos com valores de p e/ou q maiores do que o necessário.
Assim sendo, os critérios AIC e BIC devem ser usados como procedimento complementar e não alternativo àquele baseado na FAC e na FACP.
Na previsão sem atualização, reestimaremos o modelo baseado nas previsões passadas. Já na previsão com atualização, substituiremos os valores de por seus valores efetivos à medida que os conhecemos.
Quando a periodicidade da série é inferior a um ano (séries mensais e trimestrais, por exemplo), outro tipo de correlação serial passa a ter importância: a correlação entre os instantes de tempo distantes entre si por s ou múltiplos de s, onde s é o número de observações contidas em um ano (s=12 para dados mensais e s=4 para dados trimestrais). Essa classe de modelos permite apenas correlações entre instantes de tempo múltiplos de s. Diferentemente dos modelos não sazonais, a FAC do modelo AR(P)s tem valores não nulos apenas para os coeficientes de autocorrelação de ordens iguais a múltiplos de s, ou seja, ela é truncada em Qs nos modelos MA e nos modelos AR ela é exponencialmente declinante. No modelo ARMA, a FAC é declinante e os valores não nulos aparecem apenas quando a ordem do coeficiente de autocorrelação for múltiplo de s.
O primeiro passo consiste agora em determinar os valores de d e de D. A análise da FAC da série original e das séries resultantes da aplicação de diferenças consecutivas e/ou sazonais indicará quais devem ser esses valores. Se, por exemplo, a FAC da primeira diferença consecutiva da série (Δyt ) apresenta nas ordens que são múltiplos de s, valores altos e que declinam lentamente, é necessário aplicar à série também uma diferença sazonal (ΔΔsyt ) .
A determinação de p, P, q e Q é feita com base na FAC e na FACP da série estacionarizada após a aplicação das diferenças consecutivas e/ou sazonais. 
Se a série for gerada por um processo puramente sazonal (p=q=0), a FAC e a FACP comportam-se de forma análoga às dos modelos não sazonais, com a ressalva de que os valores não nulos só ocorrem nas ordens que são múltiplos de s. 
Para os modelos que contêm filtros sazonais e não-sazonais, a FAC e a FACP são mais complicadas. Para facilitar o entendimento, pode-se dizer que elas são uma mistura das funções dos modelos puramente sazonais e dos não-sazonais. O comportamento dos coeficientes de autocorrelação de ordens baixas fornecem subsídios para a determinação de p e q e o dos coeficientes de ordens múltiplas de s ajudam a definir P e Q.
Sim, neste caso os valores não nulos da autocorrelação da FAC serão múltiplos de 7. No entanto, usualmente não se vê esse tipo de sazonalidade em séries econômicas dado que estão geralmente atrelada a períodos do ano (semestral,
trimestral, mensal, etc).
Os testes DF pressupõe que sob , é descrito por um AR(1), além da eventual presença de tendência linear . Se for gerado por um AR(p) as equações de teste de DF devem ser aumentadas de maneira a preservar a condição de ruído branco de .
Em Box Jenkins, usamos a FAC para determinar a estacionariedade da série, que seria obtida quando a FAC declinasse rapidamente. No entanto, tal procedimento deixa a critério do observador que deve julgar se a FAC declina com a rapidez necessária, o que implica em dúvida quanto a ordem de integração de . DF busca não determinar a ordem de integração e sim testá-la, dando maior certeza ao determinarmos as raízes unitárias do modelo.
Como os testes de Dickey-Fuller têm como hipótese nula que yt tem uma raiz unitária (yt é não-estacionária) e, como hipótese alternativa, que yt não tem nenhuma raiz unitária (yt é estacionária). Dickey e Pantula (1987) sugerem um procedimento para testar a presença de mais de uma raiz unitária que consiste no seguinte: realiza-se uma seqüência de testes, começando pelo maior número de raízes unitárias presumido, e reduz-se esse número de um em um cada vez que a hipótese nula Ho: existem d raízes unitárias for rejeitada. O procedimento termina quando Ho não for rejeitada ou quando a última hipótese nula Ho: existe uma raiz unitária também for rejeitada. Dickey e Pantula colocam que a constante deve estar sempre presente no último passo do procedimento, sob o argumento de que as séries econômicas, em sua maioria, ou são não-estacionárias ou têm média diferente de zero.
Lista12013.pdf
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE 
 
 
EAE0327 - ECONOMETRIA III 
 
Lista de questões 1/2013 
 
1. Explique o significado de processo estocástico, ilustrando graficamente. O que é a 
realização de um processo estocástico? 
2. Qual a diferença entre uma série de tempo gerada por um processo estocástico e outra 
gerada por um processo determinista? 
3. Quais são as condições para a estacionariedade fraca de um processo estocástico? 
4. Defina os seguintes processos: ruído branco (white noise) e passeio aleatório (random 
walk). 
5. Mostre algebricamente como um modelo autorregressivo é expresso como um MA(∞), 
tomando o caso particular do AR(1). 
6. Verifique se os processos estocásticos descritos pelas equações abaixo são estacionários 
e/ou invertíveis. 
a. 
ttyB  )5,01(
 
b. 
ttyBB  )5,01)(1(
 
c. 
ttyBB  )9,15,01( 2
 
d. 
tt ByB )1()7,01( 
 
e. 
tt BBBByBBB )1,02,08,03,01()4,09,05,01( 43232  
7. O que é função de autocorrelação (FAC) e função de autocorrelação parcial (FACP)? 
8. No que consiste a etapa de identificação da abordagem de Box-Jenkins? 
9. Explicite as condições de estacionariedade e de invertibilidade de um modelo 
ARMA(p,q). 
10. Comente a seguinte afirmação: Na seleção do melhor modelo estimado deve-se dar 
prioridade aos critérios de informação de Akaike e de Schwartz. 
11. Supondo que yt é descrito por um ARMA(p,q), qual é o previsor ótimo de yT+? 
12. Considere a série yt ~ ARIMA(3,1,3) e sua primeira diferença wt. Escreva as equações 
para wT+, 
)(ˆ Tw
e 
)(ˆ Ty
,  = 1,2,3,4. 
13. Qual é a diferença entre previsão sem atualização (extrapolação) e previsão com 
atualização (um passo à frente)? Quais são as formas de atualizar a previsão? 
14. Quando se faz necessária a introdução de filtros sazonais em um modelo ARIMA? O 
que os distingue dos filtros não sazonais? 
15. Como é feita a identificação dos filtros sazonais? 
16. Uma série sazonal pode apresentar período sazonal de 7 meses? Por que? Qual é a 
diferença básica entre os testes DF e ADF? 
17. Qual é a utilidade dos testes de raízes unitárias quando se trabalha com a abordagem de 
Box-Jenkins? 
18. Qual é a seqüência recomendada para a aplicação dos testes de Dickey-Fuller? Por que? 
19. Como são determinadas as defasagens do teste ADF? 
20. Comente as diferenças que existem entre os testes ADF e DF-GLS. 
 
Livro Series Temporais - De Losso (Gabarito).pdf
Econometria de Séries Temporais:
Manual de Soluções
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno Juliana Inhasz
2.a edição
São Paulo, fevereiro de 2011.
1 INTRODUÇÃO
Exercício 1.1 Suponha o seguinte modelo linear: y = X�+", onde y e " são vetores
n� 1; X <1 é uma matriz n� k e � é um vetor k � 1.
1. Qual(is) a(s) hipótese(s) necessária(s) para estimar esse modelo por MQO?
2. Qual(is) a(s) hipótese(s) necessária(s) para que o � estimado, �^, exista e seja
único?
3. Qual(is) a(s) hipótese(s) necessária(s) para que �^ seja não viesado?
4. Qual(is) a(s) hipótese(s) necessária(s) para que �^ seja e…ciente?
5. Qual(is) a(s) hipótese(s) necessária(s) para que se possa fazer inferência es-
tatística?
Solução 1.1 Este exercício possui dois propósitos. Primeiro, induzir o estudante
a entender onde exatamente se aplica cada hipótese do modelo de regressão linear
múltipla, fazendo-o retornar a esses conceitos. Segundo, revisar os conceitos estatís-
ticos de viés e e…ciência, aplicados à Econometria dos Mínimos Quadrados –uma
boa referência, para o professor, seria WHITE, Halbert. Asymptotic Theory for
Econometricians, 2nd. ed. Orlando: Academic Press, 2000. Note que nada é dito
sobre o comportamento do termo aleatório, justamente porque algumas perguntas
referem-se a seu comportamento.
1. Estimar o modelo por MQO é apenas um método matemático, nada mais. Por-
tanto, apenas necessitamos de uma condição matemática que é r (x) = k, isto
é, que o posto da matriz X seja pleno. Precisamos disso porque, do contrário,
X 0X não seria inversível e, então, não poderíamos estimar o modelo por MQO.
2. Outra vez, apenas necessitamos que r (x) = k, do contrário, não existiria �^. A
unicidade é dada justamente porque o posto é pleno. Se X fosse estocástico,
precisaríamos que plimX
0X
n
= Q 6= 01.
3. Aqui precisamos de várias hipóteses.
(a) 9�^
1Este item apenas tem sentido em ser perguntado se, em aula, o professor apresentar os resultados
da regressão para X estocástico.
1
(b) �^ é único;
(c) Se X é não estocástico, como assumido neste capítulo, E("X) = 0 = E("),
onde a segunda desigualdade resulta da Lei das Expectativas Iterativas. Se
X é estocástico, precisamos que plimX
0"
n
= 0.
4. Aqui usamos a hipótese de homocedasticidade. Por isso, podemos concluir que,
para ser não viesado, nada precisamos impor sobre a variância dos resíduos.
(a) 9�^
(b) �^ é único;
(c) plimX
0"
n
= 0
(d) Se " � (0;�), onde � = �2I, basta estimar o modelo por MQO. Para com-
plementar, mesmo que o professor ainda não tenha dado heterocedastici-
dade, ele poderia dizer que precisamos estimar por um outro método a ser
aprendido, denominado mínimos quadrados generalizados. Isto é dizer,
formalmente, que, se � 6= �2I , estimamos C�1y = C�1X� + C�1";� =
CC 0.
5. Para inferência estatística, admitimos que os erros tenham uma distribuição
Normal e sejam independentes entre si, de onde se seguem todos os resultados
do capítulo. Se forem normais, mas não independentes, ter-se-ia que estimar
os parâmetros por mínimos quadrados generalizados, pois, do contrário, as in-
ferências estatísticas não seriam válidas. Esta é a única hipótese necessária.
Se não admitirmos que os erros têm distribuição Normal, podemos assumir a
hipótese mais fraca de que são identicamente e independentemente distribuídos,
mas nesse caso os testes somente serão válidos assintoticamente. Em ambos os
casos, pode-se argumentar que tais hipóteses são muito fortes, a primeira mais
forte do que a segunda.
Exercício 1.2 Adão Ismiti queria veri…car se a produtividade do trabalho aumen-
tava com a divisão do trabalho. Para isso, fez a seguinte experiência: regrediu a pro-
dutividade (p) de n trabalhadores de fábricas de al…netes contra o número de funções
exercidas pelo trabalhador (F ), anos de escolaridade (E), salário (w) e número de
…lhos (N). Formalmente a regressão foi: pi = �1 + �2Fi + �3Ei + �4wi + �5Ni + ui .
Usando o teste t � Student, Ismiti não rejeitou a hipótese nula de parâmetro igual
a zero para �^3. Retirou a variável E da regressão e estimou o modelo restrito, ob-
servando que �^5 tornou-se, também, estatisticamente não signi…cativo. Finalmente,
retirou N da regressão e estimou o modelo de novo.
2
1. Por que não foi preciso fazer o teste de F em �^3, para retirar E do modelo?
Ou seja, por que apenas o teste de t� Student pôde ser feito?
2. Justi…que se o procedimento adotado por Ismiti está correto ou equivocado,
para ter eliminado a variável N do modelo.
Solução 1.2 Este exercício é muito ilustrativo e traz um pouco de problemas em-
píricos à tona. Quer-se testar se o estudante entendeu como usar os testes t e F
corretamente, e evitar que ele cometa o erro de retirar variáveis explicativas, estatis-
ticamente iguais a zero, sequencialmente. O certo é apenas fazer um teste de hipótese
conjunta e, se for o caso, concluir que tais variáveis não explicam o modelo.
1. A razão para não usar o teste F é que, quando estamos testando apenas um
parâmetro, o teste t e F se equivalem. Ou seja, pode-se usar um ou outro.
Em geral, nos pacotes econométricos o teste t sai automaticamente, por isso
podemos olhar para ele sem problemas. Vale lembrar que, para um parâmetro
apenas, t2 é equivalente a F (1; n).
2. O procedimento de Ismiti está absolutamente equivocado. O correto seria testar,
conjuntamente, por F , se �^3 e �^5 são, simultaneamente, iguais a zero. A razão
especí…ca é que no segundo teste, mudou-se o número de graus de liberdade,
por isso o equívoco. Ou, em outras palavras, no segundo teste, o modelo mudou
em relação ao primeiro.
Exercício 1.3 Suponha um modelo de regressão linear múltiplo em que �^ exista,
seja não viesado e e…ciente, pois u é homocedástico. Suponha que você imponha
falsas restrições sobre os parâmetros do modelo.
1. Mostre que as estimativas nesse caso são viesadas.
2. Mostre que a variância das estimativas do modelo com restrições é menor do
que a variância das estimativas do modelo sem restrições.
3. Qual a implicação desse resultado em termos de previsão? Qual a intuição
desse resultado?
Sugestão: Lembre o que é EQM, ou seja, o erro quadrático médio.
Solução 1.3 O exercício procura ilustrar um caso que não é muito intuitivo, à
primeira vista, ou seja quando se impõem falsas restrições no modelo a variância
reduz-se. Isto é importante para se ter uma primeira intuição do erro quadrático
3
médio, sua importância e suas consequências para a previsão. Às vezes, impondo
falsas restrições, pode-se melhorar a previsão, pois reduz-se o erro de previsão, não
obstante o viés possa aumentar.
1. Primeiramente, note que
�^sr= �^ =(X
0X)�1X 0Y
�^cr= �
�= �^ +K
�
r �R�^
�
K =(X 0X)�1R0
h
R (X 0X)�1R0
i�1
Daqui podem-se tirar as seguintes conclusões:
Var
�
�^
�
= �2 (X 0X)�1
E (��)= � +K (r �R�)
Como r 6= R� ) E (��) 6= �. Portanto, as estimativas são viesadas.
2. Há bastante álgebra neste exercício, mas, com calma, obtém-se a resposta.
Var (��) =
= E
h
�^ +Kr �KR�^ � � �Kr �KR�
i
| {z }
=A
h
�^ +Kr �KR�^ � � �Kr �KR�
i
| {z }
=A
0
=
= E [AA0] =
= E
h
�^ � � �KR
�
�^ � �
�i
[A]0= E
�
(I �KR)
�
�^ � �
��
�^ � �
�0
(I �KR)0
�
=
=(I �KR)B (I �KR)0 �2=
 
B �BR0K 0 �KRB +KRBR0K 0| {z }
=D
!
�2
B =(X 0X)�1
Desenvolvendo D ; temos:
D =(X 0X)�1R0
h
R (X 0X)�1R0
i�1
| {z }
=K
R(X 0X)�1| {z }
=B
R0K 0= BR0K 0
4
Dessa forma, conseguimos:
Var (��)= (B �KRB)�2=(I �KR)B�2=(I �KR) (X 0X)�1 �2
Logo, se KR > 0 ) V ar (��) < V ar
�
�^
�
. Para ver este último fato, observe
que
KR=(X 0X)�1| {z }
>0
R0
h
R (X 0X)�1R0
i�1
R| {z }
R0L0LR| {z }
T 0T
Agora, seja c = Tv, onde c é um vetor nx1. Sendo assim, c0c = v0T 0Tv > 0,
como queríamos demonstrar, pois c0c é um escalar.
3. Mesmo com falsas restrições, as previsões serão melhores se a diminuição da
variância for maior do que o aumento do viés. Formalmente, se EQM� <
EQM . A intuição do resultado é que impor falsos parâmetros signi…ca que
haverá menos parâmetros variando, o que poderia reduzir o erro de previsão.
Exercício 1.4 Responda:
1. Cite pelo menos dois testes para a hipótese de homocedasticidade.
2. Cite pelo menos um teste para a hipótese de autocorrelação dos resíduos.
3. Em caso de rejeição da hipótese nula em (1), por que método você estimaria o
modelo?
4. Em caso de rejeição da hipótese nula em (2)., por que método você estimaria
o modelo?
Solução 1.4 O exercício pretende que o aluno volte ao livro-texto e veri…que clara-
mente que testes ele pode aplicar e de que maneiras ele deve estimar o modelo, em
caso de rejeição da hipótese nula. Com isso, sistematiza-se todo o capítulo. Sugeri-
mos consultar, adicionalmente, Johnston e Dinardo (1998).
1. Há vários testes que podem ser usados: Breusch-Pagan, White, Goldfeld-Quandt,
Glesjer.
2. Durbin-Watson, ACF, Ljung-Box.
5
3. Mínimos quadrados generalizados, mínimos quadrados generalizados factíveis.
4. Pode-se usar o método de Cochrane-Orcutt, Durbin ou Variáveis instrumentais.
Exercício 1.5 Faça os seguintes exercícios:
1. Suponha que
P1
i=0 jxij <1. Mostre que
P1
i=0 x
2
i <1;
2. Prove (ou não) que limn�!1
Pn
x=1
1
x
=1;
3. Prove (ou não) que limn�!1
Pn
x=1
1
x2
=1;
4. Prove (ou não) que se
P1
i=0 x
2
i <1, então
P1
i=0 jxij <1.
Solução 1.5 1. Pelo enunciado, temos que
P1
i=0 jxij < 1. Como a soma em
módulo converge para um valor menor que in…nito, devemos então notar que
cada elemento que forma essa série contribui com valor menor que 1, de forma
que a mesma converge para algum valor menor que in…nito. Assim, já podemos
concluir que:
lim
i!1
jxij < 1
Portanto, uma vez que todo elemento em módulo dessa série é menor que 1,
o quadrado de cada um desses elementos também vai ser menor que 1. Isso
nos indica, seguramente, que a soma de tais elementos (ou seja, a série dos
quadrados de jxij) também é convergente. Outra maneira de provar tal resultado
é notar que:
lim
i!1
jxij < 1
lim
i!1
����x2ixi
���� < 1
lim
i!1
x2i
jxij < 1
Pelo teste da razão vemos que a série converge.
6
2. Pelo enunciado, queremos saber limn�!1
Pn
x=1
1
x
.
Mas o que é
tX
x=1
1
x
? Primeiro observe que:
1
x
>
x+1Z
x
1
s
ds = ln sjx+1x = ln (x+ 1)� ln (x) = ln
�
1 +
1
x
�
1
x
> ln
�
1 +
1
x
�
Por polinômio de Taylor encontra-se uma função que se aproxima a ln
�
1 + 1
x
�
ln
�
1 +
1
x
�
=
1
x
� 1
2!� x2 +
1
3!x3
� � � �
Aplicando
tX
x=1
1
x
ao que temos
tX
x=1
1
x
>
t+1Z
1
1
x
dx = ln (t+ 1) :
3. A demonstração pode ser feita através da generalização do item anterior.
4. A demonstração desse item é, senão, apenas o raciocínio contrário ao efetuado
no primeiro item desse exercício. A prova con…rma o resultado enunciado.
1.1 EXERCÍCIOS PARA PROVAS
Exercício 1.6 Prove que uma regressão estimada sem a constante não implica que
os resíduos somarão, necessariamente, zero e que o R2, se calculado como 1� e^`e^
y`y�n�y2 ,
pode
ser negativo, onde e^ = y �X�^, em que �^ é o vetor de parâmetros estimados.
Solução 1.6 Este exercício mostra que o R2 pode ser negativo, quando a
regressão por mínimos quadrados ordinários é feita sem constante (note
que, mesmo com constante, quando estimamos um modelo não linear por
máxima verossimilhança, podemos ter um R2 negativo, mas isso é um caso
7
raro). Seu objetivo é alertar o estudante que, quando o R2 é negativo, na
regressão por MQO, é porque ele deve acrescentar a constante ao modelo.
O motivo é muito sutil e será explicitamente apresentado na resolução. A
primeira parte do exercício procura esclarecer por que os resíduos somam
zero, quando há constante.
Dada a regressão y = X� + " temos que:
yi = Xi1�1 +Xi2�2 + :::+Xik�k + "i; i = 1; 2; :::; n
@
nX
i=1
"2i
@�j
=
nX
i=1
(yi �Xi1�1 �Xi2�2 � :::�Xik�k)Xji = 0; j = 1; 2:::k
Isso não garante que o resíduos somarão zero, pois Xji pode ser diferente de 1, para
todo i, mesmo quando j = 1. Claramente, se X1i = 1, para todo i, os resíduos
somarão zero. Isto …naliza a primeira parte da questão. Sigamos para a segunda
parte. Lembremos que:
SQT =
nX
i=1
(yi � �y)2 = (yi � �y)
0
(yi � �y) = y0y � n�y2
SQE = y0y � n
_
y^
2
SQR = e^0e^� n
_
e^
2
Note como nada garante que
_
e^ seja zero, e, no cálculo do R2, não incluímos esse
termo (retorne à fórmula dada no exercício); é por isso que o R2 pode ser negativo.
Note, também, que: yi = y^i + e^ )
X
yi =
X
y^i +
X
e^ ) �y =
_
y^, apenas quandoX
e^ = 0, o que somente ocorre se o modelo é estimado com constante, como
demonstrado na primeira parte do exercício.
Sabemos, ainda, que y0y = y^0y^ + e^0e^. Com essas informações, temos:
1� e^0e^
y0y � n�y2 = 1�
y0y � y^0y^
y0y � n�y2 =
y0y � n�y2 � y0y + y^0y^
y0y � n�y2 =
�n�y2 + y^0y^
y0y � n�y2
Conseqüentemente, se n�y2 > y^0y^ ) R2 < 0.
Para ver por que o R2 é positivo quando existe constante, note que se �y =
_
y^ (caso
com constante), temos que -ny¯2+ˆy’ˆy=
nX
i=1
(y^i � �y)2 � 02.
2Veja a semelhança com a fórmula do SQT.
8
Exercício 1.7 Considere o modelo heterocedástico: yij = � + �Xi + uij, onde,
Xi <1 é uma matriz ni�k e � é um vetor k� 1; ui � N(0; �2i ) , E(uiuj) = 0, j 6= i
, i = 1; 2; :::;m (m > 1), j = 1; 2; :::; ni (ni > 2). Um estimador amostral de �2i é:
s2i =
Pni
j=1(yij��y)2
ni�1 , onde �yi =
Pni
j=1 yij
ni
. Determine E (s2i ).
Solução 1.7 O problema é interessante para que o estudante possa começar
a ver onde a heterocedasticidade se encaixa com relação ao modelo lin-
ear geral. Além disso, o problema não apresenta maiores di…culdades. O
propósito do exercício é mostrar uma metodologia para calcular a correção
da variância, quando há heterocedasticidade.
Solução 1.8 Exercício 1.8 Solução 1.9 Comecemos com os cálculos básicos. Se
ui~N(0; �
2I), então E (uij) = 0, 8i; j e E
�
u2ij
�
= �2i . Assim, de…na
ui=
niX
j=1
uij
Assim
�yi = �+ �Xi + �ui
e
s2i =
1
ni � 1
niX
j=1
(uij � �ui)2 = 1
ni � 1
 
niX
j=1
u2ij � ni�u2i
!
Logo,
E
�
s2i
�
=
1
ni � 1
 
E
"
niX
j=1
u2ij
#
� niE
�
�u2i
�!
=
1
ni � 1
�
ni�
2
i � ni
�2i
ni
�
= �2i
Exercício 1.9 Suponha o modelo y = X�+", onde y e " são vetores n�1, X <1 é
uma matriz n�k, e � é um vetor k�1, estimado por MQO com constante. Responda
F(also) ou V(erdadeiro) para cada alternativa e justi…que sucintamente:
1. Heterocedasticidade nas perturbações produz estimativas consistentes de �;
2. Heterocedasticidade nas perturbações geram estimativas ine…cientes;
3. Heterocedasticidade nas perturbações resulta numa matriz de covariância das
estimativas inconsistente;
9
4. Testes de hipóteses sobre os coe…cientes deixam de ser válidos se há hetero-
cedasticidade.
Solução 1.10 Este é um exercício que tenta dirimir dúvidas, dando ao
estudante a oportunidade de voltar aos conceitos básicos e entendê-los
melhor. A resposta do exercício exige que se façam algumas hipóteses
não explicitadas no enunciado. Elas são as seguintes:
� " � i:i:d:(0;
);
� X é não estocástico.
Com essas hipóteses, podemos responder a questão.
1. Verdadeiro, pois prova-se que E
�
�^
�
= �;
2. Verdadeiro, pois V ar
�
�^MQG
�
= (X 0
�1X) < V ar
�
�^MQO
�
= (X 0X)�1X 0
X (X 0X)�1;
3. Verdadeiro, decorrente de b.;
4. Verdadeiro, decorrente de b. Aqui, uma consideração. O teste de hipótese
usando o lado direito da igualdade em b. é válido. O problema é que
muitos pacotes econométricos simplesmente calculam como matriz de co-
variância como (X 0X)�1 e não a matriz de covariância correta. (Maiores
detalhes a respeito deste exercício são encontrados em WHITE,
H. A Heteroskedasticity-Consistent Covariance Matrix and a
Direct Test for Heteroskedasticity.Econometrica, vol. 48, n.o 4,
1980.)
Exercício 1.10 Suponha um modelo de regressão linear múltiplo em que �^ exista,
seja não viesado e e…ciente, pois u é homocedástico. Suponha que você imponha
falsas restrições sobre os parâmetros do modelo.
1. Mostre que as estimativas nesse caso são viesadas.
2. Mostre que a variância das estimativas do modelo com restrições é menor do
que a variância das estimativas do modelo sem restrição.
3. Qual a implicação desse resultado em termos de previsão? Qual a intuição
desse resultado? Sugestão: Lembre o que é EQM, ou seja, o erro quadrático
médio.
10
Solução 1.11 O exercício procura ilustrar um caso que não é muito in-
tuitivo, à primeira vista, ou seja quando se impõem falsas restrições no
modelo a variância reduz-se. Isto é importante para se ter uma primeira
intuição do erro quadrático médio, sua importância e suas conseqüências
para a previsão. Às vezes, impondo falsas restrições, pode-se melhorar
a previsão, pois reduz-se o erro de previsão, não obstante o viés possa
aumentar.
1. Primeiramente, note que
�^sr = �^ = (X
0X)�1X 0Y
�^cr = �
� = �^ +K
�
r �R�^
�
K = (X 0X)�1R0
h
R (X 0X)�1R0
i�1
Daqui podem-se tirar as seguintes conclusões:
V ar
�
�^
�
= �2 (X 0X)�1
E (��) = � +K (r �R�)
Como r 6= R� ) E (��) 6= �. Portanto, as estimativas são viesadas.
2. Há bastante álgebra neste exercício, mas, com calma, obtém-se a resposta.
�������V ar (��) = E
h
�^ +Kr �KR�^ � � �Kr �KR�
i
| {z }
=A
h
�^ +Kr �KR�^ � � �Kr �KR�
i
| {z }
=A
0
=
�������
= E [AA0] =
= E
h
�^ � � �KR
�
�^ � �
�i
[A]0 = E
�
(I �KR)
�
�^ � �
��
�^ � �
�0
(I �KR)0
�
=
= (I �KR)B (I �KR)0 �2 =
 
B �BR0K 0 �KRB +KRBR0K 0| {z }
=D
!
�2
B = (X 0X)�1
11
Desenvolvendo D temos:
D = (X 0X)�1R0
h
R (X 0X)�1R0
i�1
| {z }
=K
R(X 0X)�1| {z }
=B
R0K 0 = BR0K 0
Dessa forma, conseguimos:
V ar (��) = (B �KRB)�2 = (I �KR)B�2 = (I �KR) (X 0X)�1 �2
Logo, se KR > 0 ) V ar (��) < V ar
�
�^
�
. Para ver este último fato, observe
que
KR = (X 0X)�1| {z }
>0
R0
h
R (X 0X)�1R0
i�1
R| {z }
R0L0LR| {z }
T 0T
Agora, seja c = Tv, onde c é um vetor nx1. Sendo assim, c0c = v0T 0Tv > 0,
como queríamos demonstrar, pois c0c é um escalar.
3. Mesmo com falsas restrições, as previsões serão melhores se a diminuição da
variância for maior do que o aumento do viés. Formalmente, se EQM� <
EQM . A intuição do resultado é que impor falsos parâmetros signi…ca que
haverá menos parâmetros variando, o que poderia reduzir o erro de previsão.
Exercício 1.11 Responda:
1. Cite pelo menos dois testes para a hipótese de homocedasticidade.
2. Cite pelo menos um teste
para a hipótese de autocorrelação dos resíduos.
3. Em caso de rejeição da hipótese nula em a., por que método você estimaria o
modelo?
4. Em caso de rejeição da hipótese nula em b., por que método você estimaria o
modelo?
Solução 1.12 O exercício pretende que o aluno volte ao livro-texto e ver-
i…que claramente que testes ele pode aplicar e de que maneiras ele deve
estimar o modelo, em caso de rejeição da hipótese nula. Com isso,
sistematiza-se todo o capítulo. Sugerimos consultar, adicionalmente, John-
ston e Dinardo (1998).
12
1. Há vários testes que podem ser usados: Breusch-Pagan, White, Goldfeld-Quandt,
Glesjer;
2. Durbin-Watson, ACF, Ljung-Box;
3. Mínimos quadrados generalizados, mínimos quadrados generalizados factíveis;
4. Pode-se usar o método de Cochrane-Orcutt, Durbin ou Variáveis instrumentais.
2 FUNDAMENTOS ESTATÍSTICOS
Exercício 2.1 Considere verdadeira a seguinte a…rmação: Seja fZtg uma sequência
de variáveis aleatórias i.i.d N (0; 1), então fZtg é (estritamente) estacionária.
1. Qual a hipótese básica do resultado acima? Por quê?
2. Pode-se a…rmar que estacionaridade é um reforço à hipótese de distribuição
idêntica?
3. Pode-se a…rmar que a hipótese de estacionaridade sobre uma série qualquer é
mais fraca do que a hipótese i.i.d.? Por quê?
Solução 2.1 Este é um exercício para veri…car se o aluno entendeu o uso e a ne-
cessidade do conceito de estacionaridade, fundamental no tratamento de séries tem-
porais.
1. A hipótese de independência é crucial. Se fZtg é simplesmente identicamente
distribuída como normal-padrão, a sequência não é, necessariamente, esta-
cionária, pois é possível construir diferentes distribuições conjuntas com dis-
tribuições marginais normal. Se a distribuição conjunta muda com o tempo,
poderíamos violar a condição de estacionaridade, preservando a normalidade
marginal.
2. Assim, estacionaridade é uma hipótese mais forte à distribuição idêntica, já
que ela se aplica a distribuições conjuntas e marginais simultaneamente.
3. Por outro lado, estacionaridade é uma hipótese mais fraca do que a hipótese
i.i.d., já que sequências i.i.d. são estacionárias, mas sequências estacionárias
não precisam ser independentes necessariamente.
13
Exercício 2.2 De…na Processo Estocástico e ilustre gra…camente. Explique o que
é a realização de um processo estocástico e por que as séries econômicas podem ser
entendidas como sendo geradas por processos estocásticos.
Solução 2.2 Este é um exercício para reforçar os conceitos introdutórios apresen-
tados em aula. Aqui, somos mais formais e detalhistas que o texto, pois esperamos
que o estudante tenha curiosidade su…ciente para consultar outras fontes sobre este
assunto.
Seja uma sequência temporal de valores que não podem ser previstos, mas com
probabilidades que podem ser associadas a cada um dos diferentes valores a qualquer
tempo particular, temos então um processo estocástico.
Formalmente: suponha-se um determinado espaço amostral de um dado exper-
imento. Considere-se, também, os possíveis subconjuntos desse espaço amostral.
Além disso, associe-se a cada um desses eventos uma probabilidade. De…nindo-se
a função X (�; �) : S � T ! <, onde S representa o espaço amostral e T , o tempo,
ter-se-á um processo estocástico.
Para cada t 2 T , X (�; t), tem-se uma variável aleatória no espaço amostral, isto
é, no tempo de…nido, existe uma distribuição de probabilidade para aquela variável.
Para cada s 2 S, X (s; �), tem-se uma função de t que se chama realização de um
processo X (s; t), para dado s e t, é apenas um número real.
O problema prático que nos defrontamos é termos apenas a realização de um
processo estocástico para cada período de tempo, dos quais teríamos que deduzir os
valores da média e variância em cada instante de tempo, bem como das covariâncias.
Mas, obviamente, dado que temos menos observações do que o número de informação
que gostaríamos de obter, temos que impor restrições razoáveis que nos permitam
trabalhar com a série disponível.
As séries de tempo podem ser decompostas em quatro elementos: tendência, ci-
clo, sazonalidade e componentes irregulares. Tendência, ciclo e sazonalidade não
serão simples funções determinadas do tempo. Ao contrário, é típico encontrar-se
elementos estocásticos nesses componentes. Por isso, séries econômicas podem ser
entendidas como sendo geradas por processos estocásticos. É por isso, também, que
se pode dizer que uma série de tempo é uma coleção de observações geradas sequen-
cialmente no tempo.
Exercício 2.3 Por que se impõem restrições sobre a heterogeneidade temporal e
sobre a memória de um processo estocástico?
Solução 2.3 Este exercício veri…ca se o aluno compreendeu o problema que existe
em estimar séries temporais, indo aos pontos fundamentais da questão. Um processo
14
estocástico é temporalmente heterogêneo, o que signi…ca que possui momentos distin-
tos a cada instante de tempo (pois o processo gerador daquele evento pode ser diferente
a cada instante de tempo, como já se viu). Disso, surge uma grande di…culdade para
modelar fenômenos reais porque, usualmente, temos apenas uma observação para
cada t.
Em outras palavras, temos que estimar um número de parâmetros maior que
o número de observações, o que é impossível. Por isso, temos que impor certas
restrições para reduzir o número de parâmetros a serem estimados. Essas recaem
sobre a heterogeneidade temporal e sobre a memória do processo.
i. Restrições sobre a heterogeneidade temporal – reduz o número de parâmetros
a serem estimados. Implica estacionaridade fraca ou restrita. Por exemplo,
estabiliza num mesmo nível a média e a variância, assumindo que todas as
observações têm mesma média e mesma variância;
ii. Restrições sobre a memória –espera-se que a dependência entre x (t1) e x (t2)
enfraqueça conforme a distância t2 � t1 cresça. Para isso, usamos a seguinte
de…nição:
Um processo estocástico fu (t) ; t 2 Tg é dito assintoticamente não correlacionado
se existe uma sequência de constante f� (�) ; � � 1g, de…nidas por����� Cov [u (�) ; u (� + t)]pV ar [u (�)]V ar [u (� + t)]
����� � � (�) ;8t 2 T
tal que
i. 0 � � (�) � 1
ii.
1X
�=1
� (�) <1) lim
�!1
� (�) = 0
Com isso, podemos fazer inferências estatísticas, a partir de nossas estimativas.
Exercício 2.4 Qual a diferença entre estacionaridade forte (ou estrita) e estacionar-
idade (fraca)? Construa exemplos mostrando quando uma implica a outra, e quando
uma não implica a outra.
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Solução 2.4 Neste exercício, o resultado mais importante é mostrar que estacionar-
idade forte não implica estacionaridade fraca, como o nome poderia sugerir. Esta-
cionaridade forte (ou estrita) implica que a função de probabilidade acumulada con-
junta da série é igual para qualquer instante de tempo. Formalmente isso signi…ca:
FX(t1);X(t2);:::;X(tn) (x1; x2; :::; xn) = FX(t1+k);X(t2+k);:::;X(tn+k) (x1; x2; :::; xn)
onde
F (�) é a função densidade de probabilidade acumulada,
X (�) é uma variável aleatória,
x (�) é a realização dessa variável.
Estacionaridade fraca implica que os momentos da série até ordem m são coin-
cidentes a cada instante, isto é:
E [fX (t1)gm1 ; fX (t2)gm2 ; :::; fX (tn)gmn ]
= E [fX (t1 + k)gm1 ; fX (t2 + k)gm2 ; :::; fX (tn + k)gmn ]
Se, por exemplo, x (ti) tem uma distribuição de Cauchy, não terá momentos
…nitos, porque logo o primeiro momento, m1 não existe. Mas a função densidade
de probabilidade conjunta é invariante com relação ao tempo. Neste caso, então,
estacionaridade forte (ou estrita) não implica estacionaridade fraca.
Por outro lado, se x (ti)
d
6= x (ts), s 6= i onde
d
6= signi…ca distribuição diferente,
os momentos de x (ti) são iguais aos de x (ts), então existe estacionaridade, mas
não haverá estacionaridade