AULA5

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AULA 5
• Grandeza Escalar e Grandeza Vetorial
• Vetor
• Soma de Vetores
• Regra do paralelogramo
• Método gráfico
• Propriedades
• Subtração de Vetores
• Método Gráfico
• Vetores e suas componentes
• Soma de Vetores: Componentes
• Multiplicação de Vetores
• Por um Escalar
• Produto Escalar
• Produto Vetorial
• Movimento em 2D
• Análise do movimento de duas bolas de golfe
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Grandeza Escalar e 
Grandeza Vetorial
• O que é um grandeza escalar (escalar?
• São grandezas físicas especificadas por um número e uma
unidade, e que obedecem às regras da álgebra comum.
• Temperatura: 300 K; 27°C
• Pressão: 1 atm; 30 bar; 80 PSI; 80 kgf/cm2
• Energia, Trabalho, calor: 1 J; 300 cal
• Tempo:150 minutos;
• O que é um grandeza vetorial (vetor)?
• São grandezas que módulo, direção e sentido, e obedecem a
certas regras de adição vetorial, que comentaremos nos
próximos slides. Um vetor é representado em negrito em alguns
livros, ou por uma seta sob a variável.
• Velocidade, v ou Ԧ𝑣
• Aceleração, a ou Ԧ𝑎
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Vetor
• Uma partícula com movimento restrito a uma linha reta só
pode se mover em uma direção, e o sentido pode ser no
sentido positivo e negativo;
• No espaço tridimensional (3-D) a partícula precisa de uma
representação para mostrar a direção e o sentido do
movimento.
As setas da figuras acima representam o vetor deslocamento. A linha tracejada em
vermelho, a distância percorrida.
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Vetor
• Por exemplo, força, que estudaremos nas próximas aulas, é
uma grandeza vetorial.
• Duas forças atuando sobre um dado corpo, o efeito
resultante será igual à atuação de uma única força;
• Na brincadeira do cabo de guerra, qual o lado que ganha?
• O que pode acontecer nas situações (a) e (b)?
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Adaptada de Minha Biblioteca: Fundamentos de Física - Vol. 1 - Mecânica, 10ª edição
https://app.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788521632054/epubcfi/6/36%5b%3Bvnd.vst.idref%3Dchapter07%5d!/4/92/12/7:18%5beal%2Ciza%5d
Vetor
• Na figura (b) do item anterior, o efeito das forças F1 e F2, é
representado pelo vetor R, como apresentado na figura abaixo:
• Pelo tamanho do vetor R, maior que a força da gravidade, pode-
se concluir:
• O cofre saiu do chão, pois o tamanho da seta indica a intensidade;
• O movimento está no sentido do espião 1;
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Soma de Vetores
• Na física, a soma só deve ser realizada por vetores que
represente a mesma grandeza física;
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• Regra do paralelogramo
• Coloque os vetores na mesma 
origem;
• Trace paralelas ao vetores;
• O vetor resultante inicia na 
origem dos vetores;
• E termina no encontro das 
paralelas.
Soma de Vetores
• O método gráfico fica mais
difícil quando temos a
soma de mais de um vetor;
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Soma de Vetores: 
Propriedades
• Comutativa → Quando dois vetores são somados, a soma
independe da ordem da adição.
𝑅 = Ԧ𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + Ԧ𝐴
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Soma de Vetores: 
Propriedades
• Associativa – Quando somamos três ou mais vetores, sua
soma é independente do modo que os vetores são
agrupados.
𝑅 = Ԧ𝐴 + 𝐵 + Ԧ𝐶 = Ԧ𝐴 + 𝐵 + Ԧ𝐶
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Subtração de Vetores: 
Método gráfico
• A subtração de um vetor b, como ele mesmo seja nulo;
• O que muda quando colocamos um sinal negativo na 
frente de um vetor:
• Muda o sentido;
• Soma –b, é a mesmo que subtrair b.
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Mecânica, 10ª edição
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Vetores: Método Gráfico
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Vetores e suas componentes
• Uma alternativa ao método gráfico
é trabalhar com as componentes
dos vetores;
• Na figura ao lado é apresentado o
vetor posição Ԧ𝑎 em 2-D, e os
valores matemáticos na direção x e
y.
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𝑎𝑥 = a cos 𝜃 → 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑥
Ԧ𝑎 = a = 𝑎𝑥
2 + 𝑎𝑦
2 → 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑜 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 Ԧ𝑎
𝑎𝑦 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝜃 → 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑦
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑎𝑦
𝑎𝑥
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Vetores e suas componentes
• No slide anterior foi apresentado os valores das
componentes do vetor posição Ԧ𝑎 em 2-D;
• Para usar os valores da componente no vetor são utilizados
os vetores unitários que indicam a direção do vetor no
espaço;
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Espaço tridimensional com os vetores 
unitários
Vetores e suas componentes
• As grandezas ax Ƹ𝑖 e ay Ƹ𝑗 são vetores, conhecidos como
componentes vetoriais de Ԧ𝑎.
• As grandezas ax e ay são escalares, conhecidas como
componentes escalares (ou, simplesmente, componentes)
de Ԧ𝑎.
• Outra forma de representar os vetores unitários é usar a
direção do eixo acompanhado do acento circunflexo.
• Para obter um vetor resultante de uma soma de outros
vetores, basta somar as componentes de cada direção.
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Ƹ𝑖 = ො𝑥
Ƹ𝑗 = ො𝑦
෠𝑘 = Ƹ𝑧
Vetores e suas componentes
4. Some os vetores a=3m î e b=4m ĵ, e encontre o módulo
do vetor resultante R e o ângulo formado por ele e a
horizontal.
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Soma de Vetores: 
Componentes
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𝑅 = 𝑅𝑥 Ƹ𝑖 + 𝑅𝑦 Ƹ𝑗
𝑅 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 Ƹ𝑖 + 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 Ƹ𝑗
Sinal das componentes do vetor A no
plano bidimensional.
Multiplicação de Vetores
• Multiplicação de um vetor por um escalar → Seja um vetor
a e um escalar k.
• O vetor ka tem a mesma direção do vetor a. Terá mesmo
sentido se k for positivo, e sentido contrário se k for
negativo.
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Multiplicação de Vetores
• Produto Escalar→ Define-se o produto escalar de dois
vetores a = axi + ayj + azk e b = bxi + byj + bzk como a
operação:
• onde φ é o ângulo entre os vetores, |a| e |b| são os
módulos dos vetores.
• O resultado do produtor escalar sempre gera uma
grandeza escalar.
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𝑎 = Ԧ𝑎 = 𝑎𝑥
2 + 𝑎𝑦
2 + 𝑎𝑧
2
𝑏 = 𝑏 = 𝑏𝑥
2 + 𝑏𝑦
2 + 𝑏𝑧
2
Ԧ𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑏 ⋅ Ԧ𝑎 = Ԧ𝑎 𝑏 cos𝜑 = 𝑎𝑥𝑏𝑥 + 𝑎𝑦𝑏𝑦 + 𝑎𝑧𝑏𝑧
Multiplicação de Vetores
• Produto Vetorial → Define-se o produto vetorial de dois
vetores a e b como a operação:
• onde c é um vetor perpendicular ao plano definido pelos
vetores a e b, e φ é o ângulo formado por esses dois
últimos vetores.
• O resultado de um produtor vetorial é um vetor, ou seja,
uma grandeza que possui módulo direção e sentido.
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Ԧ𝑐 = Ԧ𝑎 𝑏 𝑠𝑒𝑛𝜑
Ԧ𝑐 = Ԧ𝑎 × 𝑏 = −𝑏 × Ԧ𝑎 =
Ƹ𝑖 Ƹ𝑗 ෠𝑘
𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧
𝑏𝑥 𝑏𝑦 𝑏𝑧
Multiplicação de Vetores
5. Dados os vetores a = 3i + 3j + 3k e b = 2i + 1j + 3k, 
calcule:
a) O produto escalar entre a e b. 
b) Calcule o ângulo entre os vetores.
c) O produto vetorial entre a e b.
d) O módulo do produto vetorial entre a e b.
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Movimento em2-D
• Analisando o movimento, o que
mudou?
• No eixo vertical, ambas percorrem
a mesma distância vertical no
mesmo intervalo de tempo.
• Porém, no eixo horizontal, a
vermelha não muda a posição
horizontal, e a amarela muda;
• O movimento horizontal da bola
amarela não modificou o
movimento vertical, ou seja, são
independentes;
• Eixo y – MRUV;
• Eixo x – MRU;
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Movimento em2-D
• Já foi feito a análise do
movimento e a teoria
envolvida;
• O próximo passo é determinar a
origem do eixo;
• Definir as condições iniciais e
finais;
• x0 = 0; y = 0; e y0 = h para as duas
bolas;
• x = 0, bola vermelha (1-D)
• x = X, bola amarela (2-D)
• v0y = 0 para as duas bolas;
• v0x ≠ 0 para a bola amarela;
• ay = -g e ax = 0 para as duas bolas;
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0
Eixo y
h
X Eixo x
Movimento em2-D
• Bola vermelha – 1-D
(retilíneo)
• Bola amarela
• Uma variável relevante no
lançamento horizontal é a
variável alcance (X)
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0
Eixo y
h
X Eixo x
𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0y𝑡 −
1
2
𝑔𝑡2
0= ℎ + 0 −
1
2
𝑔𝑡2
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑥0𝑡
X= 0 + 𝑣0x𝑡
𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0y𝑡 −
1
2
𝑔𝑡2
0= ℎ + 0 −
1
2
𝑔𝑡2
𝑡 =
2ℎ
𝑔
→ 𝑋 = 𝑣0𝑥
2ℎ
𝑔
Movimento em2-D
• A velocidade final da bola
vermelha é:
• A velocidade anterior, também
é obtida pela equação de
Torricelli;
• Para a bola amarela, a
velocidade é um vetor com
componente x e y;
• Na próxima aula será calculado
o ângulo que v forma com a
horizontal quando y=0.
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𝑡 =
2ℎ
𝑔
→ 𝑣 = −𝑔
2ℎ
𝑔
= − 2𝑔ℎ
Eixo y
h
X Eixo x
𝑣𝑥 = 𝑣0𝑥
𝑣𝑦 = − 2𝑔ℎ
𝑣 = 𝑣𝑥
2 + 𝑣𝑦
2
𝑣 = 𝑣𝑜𝑥
2 + 2𝑔ℎ
Ԧ𝑣 = 𝑣𝑥 Ƹ𝑖 + 𝑣𝑦 Ƹ𝑗