livro dinâmica de máquinas elétricas ser educacional uninassau 2022 pesquisável

Prévia do material em texto

Diagramação: ©2022, MD
Presidente do Conselho de Administração Janguiê Diniz 
Diretor-presidente Jânyo Diniz 
Diretoria Executiva de Ensino Adriano A zevedo 
Diretoria Executiva de Serviços Corporativos Joaldo Diniz 
Diretoria de Ensino a Distância Enzo Moreira 
Autoria Victoria A. S. Herrera 
Projeto Gráfico e Capa DP Content 
o 
\ 
' , 
, ' 
ASSISTA 
Indicação de filmes, vídeos ou similares que trazem informações comple­
mentares ou aprofundadas sobre o conteúdo estudado. 
CITANDO 
Dados essenciais e pertinentes sobre a vida de uma determinada pessoa 
relevante para o estudo do conteúdo abordado. 
C O NTEXTUALI ZAN DO 
Dados que retratam onde e quando aconteceu determinado fato; demons­
tra-se a situação histórica do assunto. 
CURIOSIDADE 
1 nformação que revela algo desconhecido e interessante sobre o assunto 
tratado. 
DICA 
Um detalhe específico da informação, um breve conselho, um alerta, uma 
informação privilegiada sobre o conteúdo trabalhado. 
1 EXEMPLIFICANDO 
Informação que retrata de forma objetiva determinado assunto. 
EXPLICANDO 
Explicação, elucidação sobre uma palavra ou expressão específica da área 
de conhecimento trabalhada. 
Unidade 1 - Motores de corrente contínua e corrente alternada 
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 12 
Máquinas de corrente contínua ........................................................................................ 13 
Aspectos construtivos .................................................................................................... 16 
Princípio de funcionamento ........................................................................................... 17 
Modelagem do motor de corrente contínua .................................................................... 18 
Circuito equivalente ........................................................................................................ 19 
Modelo dinâmico ............................................................................................................. 22 
Controle da velocidade ................................................ ................................................... 25 
Máquinas de indução .......................................................................................................... 27 
Aspectos construtivos .................................................................................................... 28 
Princípio de funcionamento ........................................................................................... 29 
Modelagem do motor de indução trifásico ..................................................................... 30 
Hipóteses simplificadoras para o desenvolvimento do modelo .............................. 31 
Equações do modelo dinâmico em componentes abc ............................................. 34 
Sintetizando ........................................................................................................................... 39 
Referências bibliográficas ................................................................................................. 41 
Unidade 2 - Motor de indução 
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 43 
Introdução .............................................................................................................................. 44 
Obtenção do modelo vetorial em coordenadas DO ....................................................... 45 
Transformação de Clarke ............................................................................................. 46 
Transformação de Park ................................................................................................ 53 
Modelo DO em diferentes referenciais ............................................................................ 58 
Referencial no estator .................................................................................................. 62 
Referencial no rotor ...................................................................................................... 63 
Referencial síncrono .................................................................................................... 63 
Circuito equivalente do motor de indução ...................................................................... 64 
Obtenção do circuito equivalente .............................................................................. 66 
Aplicação do circuito equivalente em regime permanente ................................... 68 
Modelo dinâmico da máquina de indução em regime permanente ..................... 70 
Transitórios no motor de indução ...................................................................................... 71 
T •t 
r • A • 
72rans1 o rios mecan1cos .............................................................................................. .. 
Transitórios elétricos .................................................................................................... 72 
Sintetizando ........................................................................................................................... 74 
Referências bibliográficas ................................................................................................. 75 
OINÂM ICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS • 
Unidade 3 - Máquina Síncrona 
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 76 
lntrodução .............................................................................................................................. 17 
As máquinas síncronas ............................................................................................ .... 78 
Aspectos construtivos .................................................................................................. 78 
Princípios de funcionamento ...................................................................................... 81 
Modelagem das máquinas síncronas .............................................................................. 82 
Circuito equivalente da máquina síncrona ............................................................... 82 
Potência e conjugado das máquinas síncrona ........................................................ 86 
Equações dinâmicas da máquina síncrona .............................................................. 88 
Modos de operação da máquina sícrona ........................................................................ 91 
Diagramas vetoriais no modo gerador ...................................................................... 92 
Diagramas vetoriais no modo motor .......................................................................... 93 
Sistema por unidade (p.u) ................................................................................................... 95 
Explicação do método .................................................................................................. 95 
Aplicação no estudo da máquina síncrona .............................................................. 97 
Sintetizando ......................................................................................................................... 101 
Referências bibliográficas ............................................................................................... 102 
OINÂM ICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS • 
Unidade 4 - Máquina síncrona e determinação de parâmetros em máquinas de 
corrente alternada 
Objetivos da unidade ......................................................................................................... 104 
lntrodução ............................................................................................................................ 105 
Potência e conjugadoda máquina síncrona ................................................................ 105 
Diagrama de fluxo de potência ................................................................................. 105 
Características ângulo-potência .............................................................................. 107 
Comportamento da máquina síncrona ........................................................................... 108 
Transitórios mecânicos e elétricos .......................................................................... 108 
Regime permanente .................................................................................................... 11 O 
Obtenção dos parâmetros da máquina síncrona ......................................................... 112 
Descrição dos ensaios para a obtenção dos parâmetros ................................... 112 
Exemplo de aplicação dos ensaios na máquina síncrona ................................... 117 
Determinação dos parâmetros da máquina de indução ............................................. 119 
Descrição dos ensaios para a determinação dos parâmetros ........................... 120 
Exemplo de aplicação dos ensaios na máquina de indução ............................... 127 
Sintetizando ......................................................................................................................... 131 
Referências bibliográficas ............................................................................................... 132 
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS. 
OINÂM ICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS • 
Os motores elétricos são equipamentos que existem há mais de um século. Sua 
tecnologia tem avançado nas últimas décadas graças à melhora dos materiais con­
dutores e magnéticos, fazendo com que se reduzam os custos, melhore a eficiên­
cia e diminua o tamanho do equipamento.As aplicações são vastas, considerando, 
por exemplo, o uso de motores de corrente contínua em pequenos brinquedos, 
motores de indução aplicados em sistemas de bombeamento de água, e grandes 
geradores elétricos, como os que são usados na usina hidrelétrica de ltaipu. 
Assim como os projetos e empreendimentos atuais visam ao funcionamen­
to de carros elétricos, também está se realizando estudos e testes sobre aviões 
elétricos com o propósito de diminuir o tamanho e fazer projetos mais leves. 
Mas sem ir tão longe, as máquinas elétricas são usadas nos aviões acopladas 
com as turbinas para gerar eletricidade para uso dentro do avião, acionamen­
tos de acessórios como bombas elétricas e trem de pouso. Os sistemas elé­
tricos dos aviões podem ser variados de acordo com o modelo. Assim, nesta 
disciplina, estudaremos os diferentes tipos de motores elétricos para ter um 
entendimento de todas as tecnologias que podem ser usadas. 
O estudo dos motores elétricos conta com duas visões: a que considera o es­
tudo dos circuitos equivalentes em regime estacionário e a que estuda desde o 
ponto de vista dinâmico, considerando os transitórios e estabilidade e, portanto, 
precisa do conhecimento do modelo matemático que descreve cada um dos mo­
tores. Nesta disciplina, como o nome indica, você estudará as máquinas elétricas, 
considerando um enfoque aplicado ao estudo da dinâmica e, desse modo, ao con­
trole delas. De todas as formas, não se exclui a necessidade de entender os circui­
tos equivalentes, pois é a partir deles que são elaborados os modelos dinâmicos. 
OINÂM ICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS • 
A Professora Victoria A. S. Herrera
possui graduação em Engenharia Ele­
trônica e da Computação e mestrado 
e doutorado em Energia. Professora 
nos cursos de Engenharia de Contro­
le e Automação e Engenharia Elétrica, 
nas disciplinas Acionamentos e Mo­
tores Elétricos, Máquinas Elétricas, 
Conversão Eletromecânica da Energia 
e Geração de Energia Elétrica. Profes­
sora conteudista nos cursos de gra­
duação e pós-graduação EaD. Atuou 
como tutora em cursos de especiali­
zação e extensão. 
Currículo Lattes: 
http:l/lattes.cnpq.br/9058592189458524 
Aos futuros pilotos que anseiam pelo domínio de verdadeiras asas metáli­
cas de pássaros gigantes para servir, encurtar distâncias, realizar sonhos, 
negócios e aproximar corações. 
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS -
UNIDADE 
ser 
educacional 
Tópicos de estudo 
• Máquinas de corrente contínua
Aspectos construtivos 
Princípio de funcionamento 
• Modelagem do motor de cor­
rente contínua
Circuito equivalente 
Modelo dinâmico 
Controle da velocidade 
• Máquinas de indução
Aspec tos construtivos 
Princípio de funcionamento 
• Modelagem do motor de indu­
ção trifásico
Hipóteses simp lificadoras para 
o desenvolvimento do modelo
Equações do modelo dinâmico
em componentes abc 
OINÂM ICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS • 
O Máquinas de corrente contínua •• 
Nesta aula você vai estudar dois tipos de motor: motor de corrente contínua 
e motor de corrente alternada - especificamente o motor de indução. Você terá 
um breve contato com o princípio de funcionamento de cada um desses equi­
pamentos para posteriormente entender a dinâmica dos mesmos. 
Antes de iniciarmos, faz-se necessário lembrar de que esses equipamentos 
realizam um processo de conversão de energia em que a entrada é energia elé­
trica e a saída é energia mecânica ou, dito de outra forma, movimento. Como 
em todo processo de conversão de energia, existirão perdas características 
para cada equipamento. Esta ideia está sintetizada no Diagrama 1. 
DIAGRAMA 1. PROCESSO DE CONVERSÃO DE ENERGIA 
Máquina 
elétrica 
�Perdas 
Chapman, autor nas áreas de engenharia elétrica e mecânica, afirma que 
"os campos magnéticos constituem o mecanismo fundamental pelo qual a 
energia é convertida de uma forma em outra nos motores" (CHAPMAN, 2013, 
p. 8). Assim, para entender esse processo de conversão, existem quatro prin­
cípios básicos que descrevem como os campos magnéticos são usados nesses 
dispositivos. Acompanhe a seguir os quatro princípios listados por Chapman. 
1. Um fio condutor de corrente produz um campo magnético em sua vizinhança.
2. Um campo magnético variável no tempo induzirá uma tensão em uma
bobina se esse campo passar através da bobina (esse é o fundamento da ação 
de transformador). 
3. Um fio condutor de corrente, na presença de um campo magnético, tem
uma força induzida nele (esse é o fundamento da ação de motor). 
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS. 
4. Um fio se movendo na presença de um campo magnético tem uma ten­
são induzida nele (esse é o fundamento da ação de gerador). 
Nesta aula, consideram-se os três princípios, sendo que o primeiro é aplicado 
a todas as máquinas elétricas, isto é, transformadores, motores e geradores; o se­
gundo é o princípio de ação do transformador, no qual se fundamenta o princípio 
de funcionamento da máquina de indução (com a diferença de ter, na saída, ener­
gia mecânica e não energia elétrica, como no caso do transformador); e o terceiro 
princípio associado aos motores que estudaremos nesta aula. 
Ainda se faz necessário fazer menção às grandezas elétricas e mecânicas 
que serão adotadas para estudar os motores. Quanto às grandezas elétri­
cas, adota-se o sistema internacional, isto é, Volts, Amperes, Watts e Ohms. 
Mas, para as grandezas mecânicas, ainda existe o uso de unidades que não 
correspondem ao sistema internacional, como os HP (746 W) e o CV (735 W ). 
Essas unidades são comumente usadas para descrever a potência dos motores 
acompanhada do seu equivalente em kW. 
Outra consideração importante a fazer é a respeito da unidade usada para a 
velocidade. Como as máquinas sob estudo são do tipo rotacional, é necessário 
usar uma unidade para a velocidade angular. De forma comercial, é comumente 
usado o rpm (revolução por minuto), mas para manter as unidades de potência 
no sistema internacional, deve ser usado o rad/s (radiano sobre segundo). Para 
ajudar a evitar possíveis confusões nas unidades, Chapman adotauma nomen­
clatura diferente para a velocidade angular em função das unidades. Veja: 
nm = quando a velocidade está em rpm 
wm = quando a velocidade está em rad/s 
Obs.: nesta disciplina, aplicar-se-á também esta nomenclatura. 
' , 
, ' 
DICA 
Quando se usa a equação de conjugado de qualquer motor, a velocidade 
deve estar em rad/s. Portanto, lembre-se de realizar a conversão de rpm 
para rad/s, multiplicando o valor em rpm por m/30, obtendo assim o resul­
tado em rad/s. Quando se quer realizar o processo inverso, isto é, de rad/s 
para rpm, deve-se multiplicar o valor em rad/s por 30/m, obtendo assim o 
resultado em rpm. 
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS. 
Também é importante trazer o conceito de saturação magnética, e para 
entendê-lo apresenta-se a Figura 1, que representa uma curva de histerese de 
um material magnético. Nela, temos duas grandezas importantes: força mag­
netizante H e a densidade de campo magnético B (ou simplesmente campo 
magnético B). Se uma força magnetizante for aplicada no material magnético, 
o campo magnético aumentará até chegar a um ponto em que não importa
quanta força H você aumentar, o campo ficará limitado. Na Figura 1, esta região 
está marcada em círculos pontilhados e é chamada de saturação. 
b 
-H
fi 
8
mãx 
: l 
---•� H (NIII) 
Hs 
- 8máx 1 
< l""Tê�---
Figura 1. ClJr,d ce hst-.-re�t' .e 11m matenal n1agnetico. Fonte: BGYLFSTAD.201 • p 5Q:, (Aaapta 1 
Para complementar, a força magnetizante H está relacionada diretamente 
com a corrente, e o campo B está relacionado ao fluxo magnético. 
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS. 
EXPLICANDO 
A saturação magnética é o estado alcançado quando um aumento na 
aplicação externa de uma força magnetizante não pode aumentar a magne­
tização do material e o campo magnético será limitado (ou seja, não pode 
continuar a crescer). As máquinas elétricas estão projetadas para funcionar 
perto da região de saturação magnética, o que significa que, uma vez que 
o fluxo de pico tenha atingido o ponto de saturação do núcleo, um pequeno
aumento no fluxo de pico exigirá um aumento muito grande na corrente.
Os primeiros motores elétricos foram os motores de corrente contínua, di­
tos "equipamentos". Nesta seção, você verá os aspectos construtivos, princí­
pio de funcionamento, circuitos equivalentes e equações que descrevem o seu 
comportamento dinâmico. 
•• 
Aspectos construtivos 
O motor de corrente contínua consta das seguintes partes: uma parte mó­
vel, chamada rotor ou armadura; uma parte fixa, chamada de estator ou enro­
lamento campo; as escovas; o comutador; e os enrolamentos de compensação 
ou interpolas. Na Figura 2, apresentam-se todas as partes mencionadas ante­
riormente, mais o eixo do rotor e os rolamentos. 
Escovas 
Armadura ou rotor Comutador 
Rolamentos 
Carcaça 
Sapata polar 
Eixo 
Figura 2 Partes do motor CC. Fonte· Shutterstock Ace.-,,o em· 1 1/07/2019 (Adaptado). 
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS e 
Na Figura 3, observa-se um motor real, desmontado, sendo possível ver 
com clareza as partes construtivas, rotor (armadura) e estator (campo), e uma 
ampliação do comutador, onde cada bobina do rotor é conectada. O comuta­
dor é o encarregado de mudar o sentido da corrente para garantir que o rotor 
complete os 360 graus de rotação. 
Estato
r 
,. 
' I 
Rotor Comutador 
Figura 3. Destaca, do as duas partes principais do motor CC. Fonte ShuL,erc;tock Acesso erYJ: 11/07/2019. (Adaptado) . 
•• 
Princípio de funcionamento 
Na Figura 4, há uma versão simplificada do motor para você entender como 
é que ele funciona. Em vermelho e verde, temos uma representação do esta­
tor, como se ele fosse um ímã, e uma espira retangular é usada como rotor. É 
importante lembrar que o estator é um conjunto de bobinas, mas que se com­
portam como se fossem um ímã, gerando um campo magnético que percorre 
do sentido norte para o sul. 
Se uma corrente contínua percorrer pela espira, existirá um campo mag­
nético que será produzido ao redor da mesma. A interação que houver entre 
este campo e o campo do estator produzirá uma força em cujo sentido ocor­
rerá um movimento. Este movimento ocorrerá só em 180 graus; para a espira 
cumprir os 360 graus, é necessário que a corrente mude o seu sentido para 
assim a força apontar para abaixo, cumprindo um movimento dos 180 graus 
DINÂMICA DAS MÁOU I NAS ELÉTRICAS -
restantes. Essa mudança de sentido da corrente acontece a cada 180 graus 
para conseguir realizar o movimento completo, e o encarregado de realizá-la 
é o comutador. 
Figura 4 Pnnupo de ft,r,_ronarPento de motor CC. Fonte. Shuttersrnck. Aresso em: 1 /07/2019. (Ad2pt2dc. 
Existem cinco principais tipos de motores de corrente contínua (CHAPMAN, 
2013): 
1. Motor CC de excitação independente;
2. Motor CC em derivação;
3. Motor CC de ímã permanente (CCIP);
4. Motor CC série; e
5. Motor CC composto.
Na próxima seção, você estudará o circuito equivalente do motor em deri­
vação e o motor de excitação independente, junto com algumas simplificações 
que consideram todos os tipos de motores acima citados. 
• 
Modelagem do motor de corrente contínua 
Para compreendermos as equações que modelam a dinâmica do motor 
CC, precisamos entender algumas representações que são usadas para o cir­
cuito equivalente. 
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS. 
O circuito de campo que é alimentado diretamente pela fonte é representado 
como uma fonte alimentando um indutor de resistência em série. O circuito de 
armadura considera uma representação usando o conceito de circuito de Théve­
nin do rotor; portanto, considera uma tensão induzida nas bobinas da armadura 
em série com uma impedância que representa as bobinas de armadura. 
EXPLICANDO 
O circuito equivalente de qualquer sistema ou equipamento é uma repre­
sentação do mesmo, considerando as principais características de seu 
comportamento. Nas máquinas elétricas, geralmente são usados o Teore­
ma de Thévenin e representações das perdas por aquecimento resistivo, 
aquecimento dos materiais ferromagnéticos, indutâncias que representam 
fluxos de dispersão, entre outros. E importante que você entenda que o 
circuito equivalente serve para estudar o comportamento do sistema ou 
equipamento e não traduz "ao pé da letra" os componentes do sistema ou 
equipamento estudado. 
Circuito equivalente 
• 
Na Figura 5, temos o circuito equi­
valente do motor CC de excitação in­
dependente, que, conforme menciona­
do, considera certas abstrações para 
descrever o funcionamento do motor. 
Os índices f representam o circuito de 
campo (do inglês, fie/d) e os índices A 
representam o circuito de armadura (do 
inglês, armature). A fonte de tensão no 
lado do circuito de armadura represen­
ta a queda de tensão nas escovas, que, 
como muitas vezes, é pequena se com­
parada à alimentação total, podendo 
ser desprezível. A resistência R
F 
se mos­
tra como variável, pois, durante a partida, são colocadas resistências em série para 
diminuir a corrente. 
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS -
R
A A
1 __ .,. ... ---J..M-----o 
Figura 5 Circuite eqwvalc,nte ao rr ator CC de exc1taçao mdepénder , Fonte: CHAPMAN, 20 3 p 458 ,Adaptad 
As equações que descrevem o circuito de campo e o de armadura são: 
(1) 
(2) 
(3) 
IF = V/RF
VT = EA +IARA+ VESC
l l = IA
Agora, sobre esse circuito, considere que VF = Vr Redesenhando o circuito, 
ele ficará como na Figura 6. Este circuito representa o motor CC em derivação, 
que, como pode-se ver, é o mesmo circuito que o motor de excitação inde­
pendente; a diferença entre os dois se dá apenas pela equação (5), pois com a 
consideração VF = VT, (1) é igual a (4). 
(4) 
(2) 
(5) 
IF = V/R F
VT = EA + IARA+ VESC 
ll =IA+ I F 
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS. 
--------1---------0 + 
Figura 6. Cm1,1•,� er1L,1valen•e do rrotor CC em der rva,;ão. Fonte· CHAPMAN, 20 1 .\, p. 4 7'l. (Acldptad ª) 
As equações da tensão e do conjugado induzido estão dadaspelas equa­
ções (6) e (7), onde k é uma constante que depende das características cons­
trutivas do motor, <t> é o fluxo magnético, wm é a velocidade do motor e IA é a 
corrente de armadura. 
(6) 
(7) 
E
A 
= k<t>w
m
1:ind = k<t>I A 
Após observar as Figuras 4 e 5, você pode concluir que, para estudar ambos 
os tipos de motores, podem ser usadas as mesmas equações (1), (2), (6) e (7), 
e deverá escolher entre (3) e (5) se for motor de excitação independente ou em 
derivação, respectivamente. 
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS. 
EXPLICANDO 
Chaprnan ressalta que "no caso do motor CCI P, a máquina é basicamente 
a mesma que um motor CC em derivação, exceto pelo fato de que o fluxo 
no motor CCI Pé fixo" (CHAPMAN, 2013, p. 493). No caso do motor em sé­
rie, o fluxo é diretamente proporcional à corrente de armadura; a equação 
(1) é adotada para descrevê-lo enquanto que a equação (2) se converte
em (8) urna vez que terá urna resistência em série no circuito de armadura,
sendo a equação necessária para a tensão do motor em série.
(8) 
Finalmente, o motor composto usa as equações (5) e (8), juntando assim 
características do motor em série com o motor em derivação. 
•• 
Modelo dinâmico 
Os circuitos equivalentes, usados na seção anterior são utilizados para estudar 
o comportamento do motor em regime permanente. Mas, para estudar o com­
portamento dinâmico, é necessário considerar que o circuito de armadura consta 
também de uma indutância, como pode-se ver na Figura 7. Essa indutância não 
se considera para análise em regime permanente, como vimos nas Figuras 4 e 5. 
,-------1--------0 + 
VT 
Figura 7. Circuito equivalente do motor CC em derivação. Fonte: CHAPl'vlAN, 20·13, p. 470. (Adaptado). 
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS. 
Para estudar a dinâmica do motor de corrente contínua, será levado em 
consideração o motor CC em derivação, como apresentado por Ong (1997). Isto 
é, desconsiderar as perdas por atrito e ventilação, o que resulta em um circuito 
simplificado (Figura 8). A Eª está relacionada com a velocidade e o torque, ou 
seja, considera as equações (6) e (7). 
V w-+ T 
\
¾ 
e 
J 
-0-----------------...
Figura 8 (1r u1,c t'' wvalt"nt<" d motor CC para a ib(en�ao da modelo dmâmic:a. Fonte: (ERL)N MO I\..ES; VAZQUE?­
.-c,p NOZA AQUl'>JO-DIAZ, 2017, p. 1. (Adaptado) 
' , 
, ' 
DICA 
Um breve documento publicado por pesquisadores da 
Universidade de Puebla, no México, apresenta o modelo 
de motor de corrente contínua de ímãs permanentes. Sua 
leitura é válida, visto que, dentre os resultados, depreen­
de-se uma nova metodologia para o cálculo dos parâme­
tros dinâmicos de tal motor, o que, segundo os autores, 
tem sido negligenciado na literatura especializada. 
Por outro lado, a equação (2) sofrerá alterações pelo fato de que agora a Lª 
faz parte do equacionamento, sendo descrita pela equação (9). 
(9) V T = EA +IA RA + VESC + LA (dl/dt) 
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS. 
Substituindo (6) em (9), obtém-se (10). 
(1 O) 
Lembre-se que a tensão nas escovas pode ser V
Esc desconsiderada. Final­
mente, a equação da velocidade será descrita por (11). 
(11) 
Onde J é o momento de inércia e B é o coeficiente de atrito viscoso. 
Aplicando a transformada de Laplace às equações (6), (7), (10) e (12), obtém-se: 
(12) 
(13) 
(14) 
(15) 
EAts) = kAwts) 
Lind(S) = km lA(S) 
V1rs) = EAts) + 1Ars)RA + sLA IAts)
Trsi=Jsw rs) + Bw ts) 
Substituindo (12) e (13) em (14), obtém-se (16). 
(16) 
Reescrevendo (15), tem-se: 
Substituindo em (16), obtém-se (17). 
(17) 
Finalmente, pode-se obter a função de transferência que relaciona a entra­
da (tensão) com a saída (conjugado mecânico), descrita pela equação (18). 
(18) 
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS. 
É importante ter em mente que esta não é a única função de transferência 
possível; como apresentado pelos pesquisadores Cerón-Morales, Vázquez-Es­
pinoza e Aquino-Díaz (2017), também pode obter outras relações como: 
EXPLICANDO 
EArs/V T(S) 
ou 
1Ars/Vrts)
ou 
wrs/Vrts) 
Não esqueça que a função de transferência descrita na equação (18) é 
aplicada para o motor em derivação. Para obter esta mesma relação para 
os outros tipos de motores CC, deve-se levar em consideração as equa­
ções de corrente de linha específicas para cada motor, equações (3) e (5), 
caso precisar, e especialmente as equações de tensão de alimentação 
específicas para cada motor, equação (8). 
•• 
Controle da velocidade 
Em Fundamentos de máquínas elétricas (2013), Chapman cita as três formas 
para realizar o controle da velocidade de motores CC. Elas são citadas a seguir. 
• Aju ste da resistência de campo R
F 
(e consequentemente do fluxo de campo).
• Ajuste da tensão de terminal aplicada à armadura.
O método menos comum de se controlar a velocidade e, portanto, mencio­
nado apenas a título de conhecimento é: 
• Inserção de um resistor em série com o circuito de armadura.
Pode-se observar na Figura 9 que, alterando o valor de R
F
, obtém-se uma
variação da velocidade e também do conjugado; o conjugado tem uma relação 
inversamente proporcional à velocidade. Esse tipo de controle não pode ser 
aplicado a motores CCIP porque o fluxo de campo, neste caso, é fixo. Outra 
consideração importante é que esse método tem validez apenas para certas 
faixas de velocidade - quando a velocidade for muito baixa, ele se comporta 
de forma inversa. 
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS. 
Figura 9. ;dação v.:-lo, 1rJade vs ::m1t..gado quando vana , valor de PF. Fonte: CHAPMAN, 20 1, p. 482. (Aa ip-ad 
Contudo, o método mais usado é o segundo, ou seja, a variação da tensão 
de armadura (chamada de V
A
), conforme Figuras 10 e 11. Na Figura 10, pode-se 
ver com clareza que um aumento na tensão V
A 
produz um aumento na veloci­
dade do motor ou vice-versa . 
._ _____________________ • tind 
Figura 1 O. Relação vPlociclarlP vs. rnnJugado quando vana o valrn ele VA. Fonte: CHAPMA.N, 2013, p. 484. (Ac'apta J). 
OINÂM ICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS • 
Na Figura 11, apresenta-se a forma em que se realiza esse tipo de controle. 
A variação de V
A 
se realiza de forma simples através da técnica de PWM, modu­
lação por amplitude de pulsos. 
Controlador 
de tensão 
variável 
Vr é constante
V
A 
é variável 
Figura 11 CcrJ _,le ::lc kr.s2 de a, m2dU1 c1 de um matai CC em denva,,aa. Fonte: CHArMAN. 20 3. p. 483. Adc1ptc1do 
O Máquinas de indução •• 
As máquinas trifásicas de corrente alternada surgem como uma opção de 
menor custo frente às máquinas de corrente contínua da mesma potência, vis­
to que precisa de condutores mais finos na sua construção, diminuindo assim 
o tamanho do equipamento e do custo e as perdas por efeito Joule.
Nesta seção, você verá os aspectos construtivos e princípios de funcio­
namento do motor de indução trifásico. Também conhecerá o circuito equi­
valente e terá uma introdução às hipóteses realizadas para a obtenção do 
modelo dinâmico. 
Existem dois tipos de máquinas de indução de acordo como o tipo de rotor, 
sendo elas a máquina de indução com rotor em gaiola de esquilo e a máquina 
de indução com rotor bobinado. O foco de estudo nesta aula é o motor de in­
dução com rotor em gaiola de esquilo. 
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS. 
CONTEXTUALIZANDO 
Nestas seções é necessário que você lembre de conceitos básicos sobre 
circuitos trifásicos, principalmente as relações existentes entre tensão de 
linha e de fase, assim como corrente de linha e de fase; conceitos relacio­
nados ao triângulo de potência, como potência ativa, reativa e aparente -
medidas em Watts, Var e VA, respectivamente-, e o fator de potência 
(cos8) 
•• 
Aspectos construtivos 
O motor de indução tem duas principais partes, sendo, da mesma forma que 
em qualquer máquina rotativa, estator (parte fixa) e rotor (parte girante). Na Fi­
gura 12, podem ser observadas essas duas partes em um motor desmontado. 
Como o equipamento funciona com corrente alternada, não precisa do comuta­
dor para mudaro sentido da corrente, pois ela já terá valores positivos e negati­
vos a cada ciclo (ou seja, 1/60Hz). Também na Figura 12, podem ser observados 
os rolamentos e os bornes de conexão à alimentação trifásica do motor. 
Figura 12 Parte::, do motor de 1.,d, ÇdO com rotor em gaiola de esquilo. Fonte· Shutterstock Ace::,so em· l 1/07/2019. 
(Adaptado) 
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS -
A gaiola está constituída por dois tipos de materiais: um material magnético 
(por exemplo, ferro ou aço) e um condutor (cobre ou alumínio). Essa gaiola é 
formada por chapas de aço (Figura 13, à direita) e por material condutor em 
forma de gaiola (Figura 13, à esquerda). No processo de construção, as cha­
pas ficam em conjunto e o material condutor se insere dentro dos orifícios em 
forma líquida, a altas temperaturas. Depois, deve passar por um processo de 
resfriamento para obter a gaiola do motor. 
�. . 
Figura 13. CoT'ponentes 02 ga101a. Fonte· Shu,terstock. Acesso em: 11/07/2019. (Adaptado). 
•• 
Princípio de funcionamento 
A máquina de indução considera os três princípios de indução magnética 
mencionados no início desta unidade. Alimentando o estator do motor, uma 
corrente percorre pelos enrolamentos produzindo um campo magnético B
5 
(primeiro princípio); este campo B
5 
induz uma tensão no rotor E
R 
(segundo 
princípio). Então, E
R 
produz o fluxo de uma corrente no estator, que por sua 
vez induz um campo B
R
. Os campos B
5 
e B
R 
são campos girantes e têm uma 
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS -
velocidade de rotação igual à velocidade síncrona (wsinc}; a interação entre eles
produz um conjugado (1ind}.
O rotor da máquina gira a uma velocidade diferente da velocidade síncrona. 
Assim, o rotor do motor tem uma velocidade diferente da velocidade de 
rotação do campo magnético; os campos magnéticos se movimentam à veloci­
dade síncrona, que pode ser descrita pela equação (19). 
(19) N. = 120f/p s1nc 
Onde f é a frequência elétrica e p o número de polos do motor. 
O escorregamento é a velocidade relativa (diferença entre as velocidades de 
rotação dos campos e do rotor} expressa em uma base por unidade ou porcen­
tagem (CHAPMAN, 2013). Ele está definido pela equação (20). 
(20) 
Onde nrn é a velocidade de rotação do rotor ou velocidade mecânica. É im­
portante não confundir o símbolo s do escorregamento com o s da transforma­
da de Laplace. 
Finalmente, as velocidades síncronas e mecânicas estão relacionadas atra­
vés de (21 }. 
(21) n = (1 - s} n . rn smc
O Modelagem do motor d 
Para estudar o modelo do motor 
de indução, é necessário conhecer o 
circuito equivalente e os conceitos de 
velocidade síncrona, velocidade mecâ­
nica e escorregamento. 
•• 
OI NÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS -
• 
Hipóteses simplificadoras para o desenvolvimento do 
modelo 
Para estudar o modelo dinâmico da máquina de indução, como você deve 
estar pensando, é necessário analisar antes o comportamento através de 
equações diferenciais. 
Seguindo a abordagem de Barbi (1985), inicialmente consideramos apenas 
um enrolamento com um núcleo que se movimenta, como se observa na Fi­
gura 14 (à esquerda); no lado direito, a representação do circuito equivalente 
deste sistema. 
IE 
X 
�1 L(x} 
+
VL 
+ 
R VR 
L(x} 
V 
V 
Figura 14. Rep1 e-."ntoçco lo esquen1 a s,mple: para um enrolamen ,1. Fonte; BAR.B,. 1985, p. 3. (Aoaptad 
Analisando o circuito elétrico da Figura 14, a tensão total (v) será a soma 
das quedas de tensão na resistência e na indutância, v = v
R 
+v
L
. Escrevendo esta 
expressão de acordo com o comportamento de cada componente, tem-se a 
equação (22). 
(22) V= Ri+ d(t)/dt 
E a relação entre o fluxo e a corrente pode ser descrita por (23). 
(23) (t) = L(x) i 
OINÂM ICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS • 
O valor x é usado neste caso que estamos considerando apenas como um 
enrolamento, mas ele serve para descrever a relação que existe em ter enrola­
mentos quando se considera o sistema com mais enrolamentos. 
Substituindo (23) em (22), obtém-se uma equação que considera uma de­
rivada parcial v =Ri+ d(L(x) i)/dt que pode ser desenvolvida e escrita em (24). 
(24) v =Ri+ L(x) di/dt + i d(L(x)/dt) 
Se for considerado nesta análise mais um enrolamento, a equação (24) de­
verá ser considerada para análise na Figura 15, isto é, a equação (24) deve ser 
aplicada a cada enrolamento. 
; 
s 
+ 
1 
I; 
"1 
1 
,rR 
; 
+ 
VR 
Figura 1 S. Rer,resentaçá oo t'SCu"'rr a par a dois E•nr olementos girante<;, Fonte: BARB', 1985. p. 2. (ArJapto J • 
Acrescentado um termo que considera a indutância mútua entre ambos 
enrolamentos (descrita pela variável M(SR) com a qual tem relação), desta vez 
a equação (24) deverá ser reescrita para cada enrolamento, obtendo assim as 
equações (25) e (26). 
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS. 
(25) 
(26) 
v
5 
= Rsis + L
5 
di/dt + i
R 
d(MtsR)(8)/dt + MtsR)(8) diR /dt 
V
R 
= RRiR + L
R 
di/dt + i
5 
d(M
(SR)
(8)/dt + M
(SR)
(8) di
5 
/dt 
Em ambas equações, pode-se observar que, além da indutância mútua, as 
correntes que percorrem também não correspondem a cada bobina, isto é, na 
equação (25) que descreve o enrolamento S tem uma corrente i
R 
e na equação 
(26) que descreve o enrolamento R tem uma corrente i
R
. Esta consideração se faz
devido à indutância mútua MtsR) não existir fisicamente no sistema; ela é apenas
o resultado da interação do campo magnético entre ambas indutâncias.
Tomando pelo princípio de funcionamento de que o conjugado resulta da
interação dos campos magnéticos e que o fluxo magnético é diretamente pro­
porcional à corrente, tendo como "fator de proporção", por assim dizer, o valor 
da indutância como mostrado na equação (23), após manipulações matemáti­
cas, detalhadas por Barbi (1985, p. 12-14), obtém-se uma relação do conjugado 
em função das correntes nas indutâncias S e R relacionadas pela indutância 
mútua, descrita pela equação (27).
(27) 
Na equação (27), a indutância mútua varia em função do ângulo 8 que re­
presenta a posição do sistema girante. 
Finalmente, se considerarmos três enrolamentos identificados de um até 
três, as equações das tensões serão descritas pelas equações (28) a (30).
(28) 
(29) 
(30) 
v
1 
= R
1
i
1 
+ d(l)1)/dt + d(M1)2)/dt + d(M13i3)/dt
v
2 = R2i2 + d(M12i1)/dt + d(L))/dt + d(M2)3)/dt
v
3 
= R
3
i
3 
+ d(M
12
i
1)/dt + d(M23i2)/dt + d(L3i3)/dt
Para visualizar melhor estas equações, é possível utilizar a notação matricial: 
v
1 
R
1 
O o i
1 
L
1 
M12 M13 i1
v
2 = O R2 o i2 +-º.. M12 L2 M23 i2 dt 
v
3 
o o R
3 
i
3 
M
13 M23 L3 i3 
A equação do conjugado será: 
OINÂM ICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS • 
(31) 1: = (½)i
1
2dl,(8)/d8 + (½)i
2 
2dli8)/d8 + (½)i
3 
2dl
3
'8)/d8 + i
1
i
2
dM
12
(8)/d8 + 
i
1
i
3 
dM
13
(8)/d8 + i
2
i
3 
dM
23
'8)/d8
• 
Equações do modelo dinâmico em componentes abc 
A partir das equações (27) a (30), estende-se o estudo ao motor de indução, 
isto é, o estator trifásico e o rotor em gaiola de esquilo. Considere a gaiola como 
se fosse um conjunto de três enrolamentos; apesar de ser construtivamente 
diferente, o comportamento das tensões, correntes e fluxos magnéticos são 
idênticos no rotor gaiola (em funcionamento) do que se o rotor fosse um con­
junto de enrolamentos trifásicos em movimento. 
O modelo dinâmico a ser obtido tem como entradas as tensões no estator 
e rotor (lembrando que neste caso é uma tensão induzida) e o conjugado, e as 
saídas são as correntes de estator, correntes do rotor (lembrando que no caso 
da gaiola não se tem acesso para medir fisicamente essas correntes) e a posição. 
DIAGRAMA 2. REPRESENTAÇÃO DE UMA MÁQUINA ELEMENTAR 
v
s 
(t) 
) 
V
R 
(t) 
... 
, 
Te(t) 
) 
Fonte. dA B '"18:.,, p. G. ,ArldpTddO). 
e (t) 
) 
, i
s 
(t) 
MAQUINA .. > 
i
R 
(t) 
) 
Para obter o modelo, é necessário definir algumas hipóteses e convenções 
para simplificar o equacionamento. Barbi (1985) define elas como segue: 
a. Os ângulos elétricos entreos enrolamentos são iguais, tanto no rotor
quanto no estator. 
b. Não se considera a saturação magnética; isso quer dizer que se considera
um circuito magnético ideal. 
e. Não se consideram as perdas magnéticas e o entreferro é considerado
constante. 
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS. 
d. Os fluxos magnéticos podem ser superpostos, portanto a soma total do
fluxo será a soma do fluxo no rotor e a soma do fluxo do estator. 
e. Os três enrolamentos do estator são iguais entre si, da mesma forma
para o caso dos enrolamentos do rotor. Como os enrolamentos no rotor são 
iguais entre si, da mesma forma que no rotor se adota uma única variável para 
descrever o enrolamento do estator R
5 
e L
5 
e para representar os enrolamen­
tos do rotor R
R 
e LR. As variáveis L5 e LR representam as indutâncias próprias do 
estator e do rotor, respectivamente. 
f. Existem também as indutâncias mútuas M5 e MR, que, devido à simetria
adotada, serão também iguais nos três enrolamentos. M5 é a indutância mútua 
entre dois enrolamentos do estator e MR é a indutância mútua entre dois enro­
lamentos do rotor. 
g. As equações das tensões terão a seguinte representação:
va = R i + L<t> /dt a a a 
Onde <t> é o fluxo total que envolve o enrolamento "a". 
Após essas hipóteses e convenções, apresenta-se o desenvolvimento do mo­
delo da máquina de indução segundo a proposta de Barbi (1985). Inicialmente, 
apresentam-se as equações do fluxo do estator, com as equações a seguir: 
(32) <l>s1 = Ls is1+ Ms is2 + Ms is3 + Ms1R1 iR1 + Ms1R2 iR2 + Ms1R3 iR3
(33) <t>s2 = Ls is2 + Ms is1 + Ms is3 + Ms1R1 iR1 + Ms2R2 iR2 + MS2R3 iR3
(34) <t>S3 = Ls is3 + Ms is1 + Ms is2 + MS3R1 iR1 + MS3R2 iR2 + MS3R3 iR3
As equações (32) a (34) podem ser representadas de forma matricial como 
segue: 
<t\ Ls Ms Ms i S1 MS1R1 MS1R2 MS1R3 iR1
<Ps2 = Ms Ls Ms 1s2 + MS2R1 MS2R2 MS2R3 iR2
<Ps3 Ms Ms Ls iS3 MS3R1 MS3R2 MS3R3 iR3 
E stas equações podem ser escritas em forma matricial para facilitar a visua­
lização, reduzindo-se para uma expressão mais simples, como se pode ver na 
equação (35). 
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS. 
(35) 
E generalizando para o rotor, tem-se a equação (36). 
(36) 
Onde: 
(37) 
Lembrando o item (e) das hipóteses e convenções, L
5 
= L
A
= L
8 
= Lc (as variáveis 
A, B e e são usadas para definir as fases do enrolamento trifásico do estator). 
(38) 
L
R MR MR
L
RR
= MR LR MR
MR MR LR 
Lembrando o item (e) das hipóteses e convenções, L
R 
= Lª = L
b 
= Lc (as variá­
veis a, b e c são usadas para definir as fases do enrolamento trifásico do rotor). 
Do item ( f ) das hipóteses e convenções, obtém-se: 
Ms = M SAb = MSAc = MSBa = MSBc = M SCa = MSCb
e 
Lembrando que ABC maiúsculo se usa para o estator, e abc minúsculo
para o rotor. 
Do item (a) das hipóteses e convenções, obtém-se (39) e (40), lembrando 
que a variável 8 é usada para desc rever o ângulo elétrico. 
(39) 
cose 
LsR= (8) = LsR 
cos{e + 4;)
cos{e + 2;)
cos{e + 23
TI)
cos 8 
cos{e + iTI) 
cos{e + iTI) 
cos(e + 23
TI)
cos 8 
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS. 
(40) 
As equações das tensões estatóricas e retóricas, seguindo o item (g) das hipó­
teses e convenções, estão definidas pelas equações (41) e (42), respectivamente: 
(41) Vs = Rssis + Jt <Ps
(42) 
Lembrando o item (e) das hipóteses e convenções, R
55 
= RA = R8 = Rc (as 
variáveis A, B e e são usadas para definir as fases do enrolamento trifásico do 
estator) e RRR = Rª = Rb = Rc (as variáveis a, b e c se usam para definir as fases do 
enrolamento trifásico do rotor). 
(43) 
(44) 
R
5 
O O 
R
55
= O R
5 
O 
O O R
5
RR o o 
RRR= o RR o
o o RR 
Substituindo as equações do fluxo (35) e (36) em (41) e (42), respectivamen­
te, obtém-se (45) e (46). 
(45) 
(46) 
Finalmente, o torque mecânico está definido pela equação (47). 
(47) 
O modelo dinâmico da máquina de indução está descrito pelas equações (45) 
a (47). Parecem apenas três equações, certo? Mas, lembre-se: se R
55
, L
55
, L
5R, LRs' 
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS. 
R
55 
e R
RR 
são matrizes três por três descritas pelas equações (37), (38), (39), (40), 
(43) e (44), respectivamente, então as equações do modelo são matriciais.
As equações (45) a (47), como afirmado por Barbi (1985), são equações não
lineares e de difícil solução, e o estudo delas só pode ser realizado através do 
emprego de computadores. Para auxiliar o estudo do modelo dinâmico, foram 
desenvolvidas técnicas baseadas em transformações lineares, porém não fa­
zem parte do escopo desta unidade. 
OINÂM ICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS • 
Sintetizando 
•• 
Nesta unidade, você estudou dois equipamentos que realizam a conver­
são de energia elétrica em energia mecânica: o motor de corrente contínua e 
o motor de indução. Para poder estudar esses equipamentos, foi necessário
fazer uma breve introdução aos princípios do eletromagnetismo e como eles 
são aplicados no estudo de máquinas elétricas. Lembre sempre desses qua­
tro princípios. 
Também foram realizadas as variáveis para definir a velocidade de acordo 
com as unidades usadas (preste bastante atenção para não errar as contas!). 
Finalmente, na parte introdutória desta unidade, foi também explicado de for­
ma simples o conceito de saturação magnética. 
Sobre o motor de corrente contínua, você aprendeu as partes que o cons­
tituem e foi descrito o princípio de funcionamento. Como existem cinco tipos 
principais do motor CC, estudamos os circuitos equivalentes como foco nos 
motores em derivação e motor de excitação independente, e a modo de com­
plemento se explicitaram as equações que devem ser alteradas para conside­
rar os outros três tipos de motores CC: CCIP, composto e em série. 
Você aprendeu como obter o modelo dinâmico do motor CC e três técnicas 
para o controle de velocidade, sendo a mais usada a técnica de variação de 
tensão que é realizada de forma fácil com um PWM. 
Depois, foi visto o motor de indução, as partes que o compõem e o princí­
pio de funcionamento. Espero que tenha ficado clara a diferença entre ambos 
equipamentos. 
EXPLICANDO 
No caso do motor CC, é necessário alimentar tanto o circuito de campo 
quanto o circuito de armadura para que, após a interação entre os campos 
magnéticos, obtenha-se urna força . No caso da máquina de indução -
corno o nome sugere-, só se alimenta o estator, sendo a tensão no rotor 
induzida pelo princípio de ação do transformador, mas da mesma forma 
o movimento é resultado da interação dos campos magnéticos do rotor
e estator. Por esse motivo, a máquina de indução é chamada também de
máquina de excitação simples.
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS. 
Após a explicação sobre o princípio de funcionamento, você estudou a for­
ma em que é obtido o modelo dinâmico da máquina de indução, realizando 
previamente algumas analogias de comportamento com enrolamentos giran­
tes, simples, doble e trifásico. As equações que descrevem a máquina de indu­
ção são equações complexas e não lineares, e não é possível solucioná-las sem 
o uso de software computacional.
OINÂM ICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS • 
Referências bibliográficas 
•• 
BARBI, 1. Teoria fundamental do motor de indução. Florianópolis: Editora da 
UFSC, 1985. 
BOYLESTAD, R. L. Introdução à análise de circuitos. Tradução de Daniel Vieira 
e Jorge Ritter. Revisão técnica de Benedito Donizete Bonatto. 12. ed. São Paulo: 
Pearson, 2011. 
CERÓN-MORALES, I.; VÁZQUEZ-ESPINOZA, J. O.; AQUINO-DÍAZ, E. Modelo ma­
temático dei motor de corriente directa. Puebla: Universidad Politécnica de 
Puebla, 2017. Disponível em: <https://www.researchgate.net/profile/lsra_Cero/ 
pu bl ication/313215329_Modelo_matematico_del_motor_de_corriente_d irec­
ta/1 i nks/5892b56ea6fdcc1 b4146c965/Modelo-matematico-del-motor-de-cor­
riente-d irecta.pdf>. Acesso em: 11 jul. 2019. 
CHAPMAN, S. J. Fundamentos de máquinas elétricas. Tradução de Anatólio 
Laschuk. 5. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013. 
ONG, C.M. Dynamic Simulations of ElectricMachinery: Using Matlab/Simu ­
link. New Jersey: Prentice-Hall lnternational, 1997. 
OINÂM ICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS • 
UNIDADE 
ser 
educacional 
Tópicos de estudo 
• Introdução
• Obtenção do modelo vetorial em
coordenadas DQ
Transformação de Clarke 
Transformação de Park 
• Modelo DQ em diferentes
referenciais
Referencial no estator 
Referencial no rotor 
Referencial síncrono 
• Circuito equivalente do motor
de indução
Obtenção do circuito 
equivalente 
Aplicação do circuito 
equivalente em regime 
permanente 
Modelo dinâmico da 
máquina de indução em regime 
permanente 
• TransitcSrios nô motor de
indução
Transitórios mecânicoslente 
Transitórios elétricos 
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS. 
O Introdução •• 
Nesta aula, você vai estudar o modelo do motor de indução. Você pode es-
tar agora se perguntando por que dedicar uma unidade inteira para este as­
sunto, certo? A máquina de indução, como você deve saber, tem um modelo 
que é caracterizado como modelo não linear. Mas para explicar o conceito de 
não linearidade, é importante relembrar o conceito de linearidade. 
Para explicá-la, recorreremos aos estudos de B. P. Lathi, conforme publica-
do no livro Sinais e sistemas lineares, de 2008. O autor afirma que 
um sistema cuja saída seja proporcional à sua entrada é um 
exemplo de um sistema linear. Mas a linearidade implica em mais 
do que isto, ela também implica em propriedade aditiva. Ou seja, 
se várias entradas estão atuando em um sistema, então o efeito 
total no sistema, devido a todas estas entradas, pode ser deter­
minado considerando uma entrada por vez e assumindo todas 
as outras entradas iguais a zero. O efeito total é, então, a soma 
de todos os componentes de efeito (LATHI, 2008, p. 102-103). 
A saída de um sistema, quando linear, deve ser a soma dos componentes re­
sultantes de duas causas: a condição inicial e a entrada, ou seja, a resposta pode 
ser separada em duas partes independentes. Além desse princípio, os sistemas 
lineares devem também cumprir os princípios de aditividade e de superposição. 
As técnicas que você conhece para análise de sistemas no domínio do tem­
po e da frequência são aplicadas a sistemas lineares invariantes no tempo. Por­
tanto, é importante ter em mente que, como ressaltado por Lathi (2008), 
a análise de sistemas não lineares é geralmente difícil. Não li­
nearidades podem aparecer de tantas formas, que descrevê-las 
por uma forma matemática comum é praticamente impossível. 
Não somente cada sistema é uma catego­
ria por si só, mas mesmo para um dado 
sistema, mudanças nas condições 
iniciais ou nas amplitudes das 
entradas podem alterar a 
natureza do problema (LA-
THI, 2008, p. 105). 
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS. 
EXPLICANDO 
No caso do motor de corrente contínua, há um modelo dinâmico que é 
linear. Por esse motivo, urna vez que são obtidas equações diferenciais 
do circuito de armadura (tensão em função da corrente de armadura e 
velocidade de rotação), é só aplicar a transformada de Laplace e pôr em 
O 
evidência as variáveis escolhidas corno entrada e saída. 
- .. 
Obtenção do modelo vetorial em coordenadas DQ 
O modelo da máquina de indução em coordenadas abc consiste nas equa­
ções de tensão e de conjugado apresentadas a seguir: 
(1) 
(2) 
(3) 
Pode-se observar que, no dito modelo, na equação (1), que descreve a ten­
são do estator, tem-se entre as variáveis, além de suas grandezas (resistência, 
indutância e corrente), as correntes do rotor. Da mesma forma, na equação (2), 
que serve para descrever a tensão do rotor, além de suas grandezas (resistên­
cia, indutância e corrente), temos as correntes do estator. E na equação (3), a 
multiplicação das correntes de estator e rotor, que representam as correntes 
nas três fases, como vemos nas equações (4) e (5). 
í
5 = [ �:: ] 1sc 
(4) 
(5) 
No caso de um sistema linear, o passo para a obtenção do modelo no do­
mínio da frequência seria a obtenção das funções de transferência após a apli-
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS. 
cação da transformada de Laplace. No caso do motor de indução, é necessário 
realizar uma etapa prévia, que consiste na linearização do modelo. Linearizar 
significa obter uma aproximação linear de um sistema não linear, que seja váli­
do em uma região que cobre certo ponto de operação. 
Como indicado, cada sistema não linear tem as suas próprias caracterís­
ticas, e também existem métodos específicos para linearizá-los. No caso das 
máquinas elétricas rotativas, são usadas duas transformações para linearizar 
o modelo simétrico trifásico da máquina de indução: a transformação de Park
e a transformação de Clarke, que serão explicados mais adiante.
EXPLICANDO 
Urna máquina trifásica simétrica é aquela em que todas as fases estão 
descritas por grandezas iguais, isto é, os mesmos valores de tensões 
correntes e impedâncias. No caso dos circuitos trifásicos, a característica 
da simetria permite estudá-los corno um circuito rnonofásico. 
•• 
Transformação de Clarke 
A transformação de Clarke, ou transformada Oaí3, tem por objetivo esta­
belecer uma transformação que produza forças F ª e F 13 com efeito idêntico às
forças F
1
, F
2 
e F
3 
(que representam, por sua vez, as grandezas da máquina elé­
trica trifásica). Para entender melhor essa ideia, veja os diagramas da Figura 
1. Apesar de diferentes, a soma total das forças, em ambos, deve ser idêntica.
Esta transformação funciona também quando a alimentação for não simétrica
e não senoidal, desde que a máquina seja simétrica.
a) b) 
Figura 1. Representaçao gráfica da transformaçao de Clarke. Fonte: BARBI, 1985, p. 40. 
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS. 
A Figura 1 representa, portanto: 
a) três enrolamentos girantes representados pelas forças F
1
, F
2 
e F
3 
nos ei­
xos 5
1
, 5
2 
e 5
3
•
b) dois enrolamentos girantes representados pelas forças F
0 
e F
13 
nos eixos
5
0 
e 5
13• 
Para obter esta relação, devemos conhecimentos de vetores, ou seja, des­
compor as forças F
1
, F
2 
e F
3 
nos eixos 5
0 
e 5
13' 
O procedimento se realizaria da 
mesma forma caso eixos 5
0 
e 5
13 
fossem os eixos x e y, o que pode ser observado
nas equações (6) e (7). 
(6) F
5
ª= F
51 
cos(O) + F
52 
cos(2n/3) + F
53 
cos(4n/3) 
(7) F
513
= F
51 
sen(O) + F
52 
sen(2n/3) + F
53 
sen(4n/3)
Reescrevendo estas equações, temos: 
(6) F
5
ª= F51 + F52 cos(2n/3) + F53 cos(4n/3) 
(7) F
513
= O+ F
52 
sen(2n/3) + F
53 
sen(4n/3)
E levando-as para a notação matricial para facilitar a visualização, as equa­
ções (6) e (7) podem ser representadas pela equação (8): 
(8) 
Como as forças em questão são a força magnetomotriz, pois estamos estu­
dando um sistema eletromagnético, cada força F se representa pela corrente 
vezes o número de espiras do condutor, ou seja, F
5x 
= n i
5x
, substituindo cada 
força pela sua própria definição de corrente vezes número de espiras. Assim, a 
equação (8) converte-se em (9): 
(9) 
OINÂM ICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS • 
Onde n2 e n3, como se observa na Figura 1, são o número de enrolamentos 
em cada uma das estruturas analisadas, isto é, na estrutura bifásica e trifásica, 
respectivamente. Finalmente fatorando n2 e n3, obtemos a equação (10). 
(1 O) [ Í5a ] n3 [1 -1/2 -1/2 ] [ �s1 ] 
Í5� 
= n"; O ,J3/2 -,J3/2 ��� 
A equação (10) poderia ser considerada a equação de transformação de Clar­
ke, porém, toda transformação, para ser útil, precisa da existência de uma opera­
ção que realize o processo inverso. No caso da equação (10), a relação de trans­
formação entre as coordenadas bifásicas e trifásicas se faz a partir de uma matriz 
2x3. Por conceito de matrizes, entendemos que um dos requisitos para obter a 
inversa de uma matriz é que a dita matriz seja quadrada. Então, será necessário 
definirmos mais uma corrente, a corrente i0, descrita pela equação (11). 
Em um sistema simétrico, que é o caso do sistema em estudo, a soma de 
todas as correntes ézero. Portanto, adicionar esta corrente na matriz de trans­
formação da equação (10) não afeta em absoluto o resultado final. Apenas es­
tamos usando um 11truque" matemático para poder realizar também a transfor­
mação inversa. Adicionando (11) em (10), logo, obtemos (12). 
(12)
[ . ] [ ][; ] 
1so n3 
a a a .s1 
Í
5ª = � 1 -1/2 -1/2 '.s2 
í 2 o ../312' -../3/Z IS3 s� 
Os valores de a e a relação (n/n3), para garantir que não se afeta a matriz 
(10), são: 
a=1!../T 
e 
�; =/f
Finalmente, obtém-se a matriz de transformação A-1, descrita na equação 
(13), que deve ser usada para obter as coordenadas Oaí3 a partir das coordena-
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS. 
das trifásicas, ou escrita em forma de equação i
50013
=A1 i
5123
• Esta ideia é sinteti­
zada no Diagrama 1. 
(13) 
1 1 1 
A-1=/f
ff ff ff 
1 
__ 1_ __ 1 _ 
2 2 
o "3' _../3'
2 2 
DIAGRAMA 1. TRANSFORMAÇÃO lsoa.s = A-1 1
5123
TRANSFORMAÇÃO A-1
> 
11..f.2 1/� 11-Ü 
if 1 -1/2 -1/2 
o �/2 --0/2
Daí podemos deduzir que a matriz A deve ser obtida a partir da matriz A1 , 
para podermos realizar a transformação no sentido contrário, isto é, i
5123 
= A 
i
500ir A matriz A está descrita pela equação (14), enquanto a ideia da transfor­
mação é sintetizada no Diagrama 2. 
(14) 1 
1 o 
A=!f
ff 
1 1 €' 
ff 2 2 
1 __ 1_ _..ff 
ff 2 2 
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS. 
DIAGRAMA 2. TRANSFORMAÇÃO ls
123
=A isoa,B
TRANSFORMAÇÃO A 
) 
11..f.2 1
11.U -1/2 ..f312 
11.U -1/2 --ü'/2 
Estas mesmas relações podem ser aplicadas, por exemplo, para se o bter o 
fluxo do enrolamento, lembrando da equação que relaciona fluxo com corren­
te, ou seja: 
(J) = L í.
[ L 
Do estudo dos três enrolamentos girantes, temos que: L = M
Assim, os fluxos nos eixos trifásicos estão descritos por (15). M 
(15) 
Para aplicar a transformação aos fluxos, devemos efetuar ct>
50013
=A1Cl>
5123
,
assim como feito com as correntes. Para o caso da matriz de indutâncias, 
é necessário multiplicar a matriz A antes e depois, para garantir que não 
está afetando a relação. Dessa forma, a nova matriz de indutâncias será 
L
N
= A1 L A, ou seja: 
[ L+2M O O ]
(16) L
N = O L -M O 
O O L-M
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS. 
Se chamarmos L
0 
= L + 2M e L
5 
= L - M, a nova relação de fluxos com as cor­
restes será como apresentado no Diagrama 3. 
DIAGRAMA 3. MATRIZ DAS INDUTÂNCIAS DIAGONALIZADAS APÓS APLICAÇÃO 
DA TRANSFORMAÇÃO DE C LARKE 
"'º - -
"'ª - -
"'fl 
Fonte: ;:u.QR ogc. r 44.
-
-
� - - ,
L I Q I O 
o 1 
- --!-\L--� 1 
1 6. 1 L 5 1 "O,.
-\ - 1 -1 
Lo_ 1_'0'.i,. 1 Ls 
• 
'º - -
• 
'ª - -
• 
lfl 
Uma vez obtida a relação de transformação e como ela deve ser aplicada, o 
seguinte passo é aplicá-la nas equações da máquina de indução. 
Aplicando a transformação de Clarke, as equações dos fluxos de estator e 
rotor se transformam em: 
Lembre-se de que as matrizes das indutâncias devem ser multiplicadas an­
tes e depois pelas matrizes A·1 e A, respectivamente, e podem ser definidas 
como o exemplo a seguir. 
(19) L
55N
=A'L
55
A = [ g' ; f, ]
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS. 
(21) LsRN
=(0) = msR [ 0
0
° co�e -se�e] 
sene cose 
Onde L
50 
= L
5 
+ 2M
5
, L
R0 
= L
R 
+ 2M
R' 
L
5 
= L5 - M5, LR = LR - M5 e m5R = 3/2 M5R
De forma similar deve ser feito com as equações de tensão (1) e (2), e igual­
mente as indutâncias devem ser multiplicadas antes e depois (L
N
= A_
1 
LA). As 
resistências também deverão passar por tal procedimento. 
(23) 
(24) 
R =A-'R A=[� 
SN S 
o 
R =A-'RA=[� 
RN R 
o 
o 
JJ Rso 
o o] 
R
5 
O 
O R
5 
Finalmente, o modelo da máquina de indução em coordenadas Oaí3 está 
dado pelas equações (25) a (27). 
Este modelo agora está reduzido a coordenadas bifásicas. 
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS. 
•• 
Transformação de Park 
A transformação de Park, ou transformação a coordenadas dq, simpli­
fica as equações, introduzindo variáveis hipotéticas. Uma vez nas coorde­
nadas bifásicas Oa(3 (lembrando que são coordenadas girantes), a transfor­
mada de Park as converte em coordenadas fixas, tanto para o rotor quanto 
para o estator, mantendo os efeitos das forças. Esta ideia se sintetiza na 
Figura 2, em que os eixos R
0 
e R
13 
firam com a velocidade é.
Rp � 
V
( o 
IR 
q 
o IR o: 
Figi.:-a 2. Pf:p•e:.,r� çà l;:i •rans�orm.-i,,ã,, ri,-. Park Fonte: BARBI 1 Q85 r 67 
• 
e 
A transformação realizada pode ser observada na Figura 3 para fixar a 
ideia apresentada na Figura 2. Observe que, para o caso do estator, a re­
lação de a com d e de (3 com q é direta, porém, para o rotor, devemos con­
siderar mais alguns detalhes que serão aprofundados no próximo tópico. 
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS. 
q 
A) B) 
Fígu a 3 i::'?prc.5;:.rta •ª" ,:la tran-. or maça o de: Clarke em trarsforwaçao de Park Fonte BAr B 98:>, p. 68 
Assim, temos: 
a) enrolamentos girantes representados pelas forças nos eixos S
0 
e S
13
;
b) enrolamentos transformados a fixos nos eixos dq.
Para realizar esta nova transformação de aí3 a dq, também se realiza
uma representação vetorial das grandezas, obtendo uma relação para as 
correntes do estator dada pela equação (28). 
(28) [ísd] [cose 1
sq - -sene 
sene] [�sa]cose 1s{3 
Assim, a matriz de transformação será B, como representado na equa­
ção (29). 
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS. 
(29) 
B = [cose -sene 
sene]cose 
Voltando às equações da máquina de indução nas coordenadas bifásicas: 
(30) 
(31) 
Seguindo a observação realizada na Figura 3 sobre as grandezas do estator 
em af.3 e dq, a tensão do estator em ambas as coordenadas segue uma trans­
formação direta. 
(32) V =R í +_sf.._A.. Sdq SS Sdq dt 'f' Sdq
Para o caso do rotor, porém, deve ser realizada a conversão multiplicando 
as tensões, correntes e fluxos por B, e multipli cando antes e depois a resistên­
cia por B·1 e B. 
(33) V =R í + LA.. + de [º -1JA.. Rdq RR Rdq dt 'f' Rdq dt 1 0 'f' Rdq 
Se os fluxos em coordenadas dq estão definidos pelas equações (34) e (35), 
(34) 
(35) 
,,. = [L 5 O ] ; + [msR O ] ; 't' sdq O L s sdq O msR Rdq
m =[
msR O J; + ÍLR O J; 
'f'Rdq o msR
s
dq Lo LR 
Rdq
OINÂM ICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS • 
Então as equações finais da tensão serão as equações (36) e (37) para as 
tensões do estator e rotor, respectivamente - lembrando que o operador p é 
usado para simplificar a notação em caso do uso de derivadas. 
(36) 
(37) 
Juntando as equações (36) e (37), pode ser finalmente obtida a equação 
(38) para descrever as equações elétr icas da máquina simétrica trifásica
em coordenadas dq. 
(38) [�Sd]
Sq -
VRd -
VRq 
Rs+PLs o pmSR o 
o Rs+PLs o pmSR 
pmSR ms/J RR+pLR L/J 
-msfl pmSR -Lfl RR +pLR
Note que a variável e é a posição do vetor. Portanto, a velocidade de 
rotação será dada pela vari ável 6. 
Finalmente, a equação do torque (27), após ser aplicada a transforma­
ção de Park, passa a ser escrita como a equação (39). 
Como a máquina sob estudo é de indução com rotor em gaiola de esquilo, as 
tensões do rotor se consideram iguais a zero, pois a gaiola pode ser considerada 
um curto circuito. Por outro lado, neste caso, está sendo considerada uma máqui­
na com dois polos. Se a máquina tiver mais de dois pares de polos (n, tomando cui­
dado para não confundir com o número de espiras), deve ser adicionada esta va­
riável no modelo. Assim, as equações (38) e (39) se reescrevem da seguinte forma: 
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS. 
(38) [�Sdl
Sq -
o -
o 
Rs + pls o pmSR o 
r5dl 
o Rs + pls o pmSR �Sq 
pmSR ms/J RR + pLR L/J J_Rd 
-ms/J pmSR -Lfl RR + pLR 
/Rq 
Onde o número de pares de polos também pode ser definido como 
uma relação n = 60(fse)/nsinc' sendo fse a frequência elétrica das tensões de 
nalmente linearizadas, sendo que o 
modelo está na forma matricial pela 
quantidade de equações, em vez de 
usar funções de transferência. Nes­
te caso, adota-se o uso de equações 
de estado, isto é, px=Ax+Bu, sendo 
x o estado; A, a chamada matriz de 
estado; e u, as entradas do sistemaacompanhadas da matriz B. 
O Diagrama 4 apresenta um 
exemplo de diagrama de bloques 
usado para fins de simulação. Pode 
ser observada uma fonte de tensão 
trifásica que alimenta o motor (isto 
é, tensões de estator), que devem 
passar pelo procedimento de linea­
rização (transformação de Clarke e 
de Park). As saídas, neste caso, são 
as correntes e a velocidade do mo­
tor. As correntes em dq devem, por 
sua vez, passar pelos procedimen­
tos de transformação às coordena­
das abc novamente. 
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS -
DIAGRAMA 4. EXEMPLO DE DIAGRAMA DE BLOCOS PARA SIMULAÇÃO DO MODELO DO 
MOTOR DE INDUÇÃO 
VSd111,,. 
iSd ..,,.
iSa
... # .,.
0
Modelo isg
'-
i
Sb 
... VSabc -+ VSdq
dinâmico da i
S<lq 
� iSabcmáquina de # ,
indução 
v ... w ... i 
r , 
Fonte de tensão Lm l.i.t. 
i
m l.i.t. 
Fonte: W �C?E , . 2n "1. p 23.
Para finalizar este tópico, é importante ressaltar que alguns autores usam 
as correntes como estados, como é o caso do Kishore e Kumar (2006), enquan­
to outros usam os fluxos como estados (HERRERA; ANDRADE-ROMERO; ROME­
RO, 2012). No tópico a seguir, serão apresentadas ambas as abordagens. 
' , 
, ' 
DICA 
Ambas as referências aqui citadas decorrem de 
trabalhos apresentados em eventos científicos 
e publicados nos respectivos Proceedings, 
disponibilizados pela plataforma digital IEEE Xplore, 
um banco de dados que reúne um rico acervo de 
pesquisas e artigos, anais de congressos, dentre 
outros, focados em Eletrônica, Engenharia Elétrica e 
Ciências da Computação. Vale a pena explorá-lo, bem 
como ler os artigos aqui mencionados. 
O Modelo DO em diferentes referenciais •• 
Antes da obtenção da equação de estado da máquina de indução, é neces­
sária uma generalização das equações obtidas no tópico anterior. Conside­
rando que a transformação de Park permite considerar os enrolamentos da 
máquina como fixos, na Figura 3 havia sido estabelecida uma relação direta 
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS. 
entre os eixos do aí3 do estator com os dq. Esta transformação de Park fu ncio­
na desde que considerada uma referência de giro, isto é, os enrolamentos do 
rotor e estator podem ser considerados fixos porque os eixos dq são girantes. 
Para entender melhor este conceito, observe a Figura 4, na qual os enrola­
mentos S estão em repouso, os enrolamentos dq giram com velocidade lj.J e os 
enrolamentos R giram com a velocidade a. 
Realizando o procedimento de projetar os vetores aí3 do estator nos eixos 
dq, obtemos as equações (40) e (41). 
Representadas de forma matricial, elas se escrevem como a equação (42) 
(42) 
[ �sd] = [cos!/J 'sq -sen!/J 
sen 1/J] [ �sa ]costj.J , 513 
Realizando o mesmo procedimento de projetar os vetores aí3 rotor nos ei­
xos dq, obtemos as equações (43) e (44). 
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS. 
Escritas em forma matricial, elas se representam pela equação (45). 
(45) [ Írd ] = [COS(c/J - 0) 
írq -sen(c/J - 0) 
sen(c/J - 0)1[ í50 ] 
cos(c/J - 0)J í513
Assim, para definir o referencial, adotamos uma velocidade de rotação es­
colhendo as relações ou os valores de ljJ e e.
Com estas equações finais para a transformação de Park, é possível obter 
a equação de estados da máquina de indução. Inicialmente, observe a equa­
ção (38), renomeando a variável mSR para LM (um termo mais comum para a 
indutância de magnetização) e, aplicando as transformações de Park ao rotor e 
ao estator, obtemos (46). 
(46) 
[v'd] Rs + pls -L tj, pLM L,JÍJ [;,d] s VSq - Ls,P Rs.+ pls L,JÍJ f?LM I_Sq VRd - pLM . -LM(r/J - 8Jn RR .+ pLR -L/'P- 8Jn /Rd VRq ÍRq -L
M('P- 8Jn 
pL
M
L
R rr/J - 8Jn RR + pLR
Esta equação representa o conjunto de equações elétricas completas da 
máquina de indução trifásica simétrica. Separe de acordo com os parâmetros 
que estão acompanhados do operador derivada p e os que não precisam. Ela 
poderá ser escrita como uma equação da seguinte estrutura V= pZ/ + Z). 
(47) 
[Sd] Ls o 1' =p o LsL
M 
o 
o LM 
L
M 
o 
o L
M 
L
R 
o 
o LR ['íl 'sq . + /Rd ÍR 
Rs -nL ,Ps 
nL
5
efJ 
�5 
-L
M
('P- fJ)n o
LilP-iJJn o 
o 
nL� 
�R 
L
R ('P-B)n 
-nL� [Sd] 
o ís . q . . I Rd -L (t/J - 6Jn R /Rq 
RR 
Agora, a equação (47) pode ser rescrita seguindo a estrutura da equação de 
estados, isto é, pí = -í(Z/Z1) + v!Z1, sem entrar nos detalhes matemáticos. 
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS. 
(48) 
[jSdl -RiR nL/AJ-LM2(� - (J)n LMRR LM LR(Jn 
p �Sq =-1-/Rd (J 
jRq 
Onde: 
-nL/iP+LM2(,P- (J)n -Rs LR
LMRs -LM L/Jn
LM(,P - (}Jn LMRs
1 1 
-= 
2 CI Lis - L M
Escrevendo a equação da velocidade: 
(49) 
J e· 0 e· - L r· · · · J (/ p + (/ - n M 1s/Rd - 1sd 1Rq 
-LM LRên Lfy1RR . 
-Ris nliit/J- 0)-LM2t/Jn 
-nLiitÍJ-ê)+LM2,p -Ris
Portanto, o modelo da máquina de indução é descrito pelas equações (48) 
e (49), respectivamente, a equação de estado e a equação da velocidade. Os 
estados, neste caso, são as correntes. 
Também é possível obter uma equa­
ção de estado usando os fluxos magné­
ticos como estados em vez das corren­
tes, como apresentando por Victoria 
Herrera, J. Alexis Andrade-Romero e 
Franklin A. Romero, em seu trabalho 
apresentado em 2012 na IECON 2012 
(uma conferência de eletrônica indus­
trial promovida pela IEEE). Esta equa­
ção é a (50). A equação da velocidade, 
por sua vez, continua sendo a (49). 
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS -
(50) -RlR ,p 
R5 o 
aL2 aLm m 
[�Sd] -rb
-RlR o R5 
r
Sd
J r
º
J 
P 
</J5q = al
2 aLm $:: + � H �Sd J m qJRd R -R L 
rb-iJ qJRq 
r 
o 
r s 
qJ O O 
5q 
aL aL2 Rq m 1 
o
Rr
- (ifJ - iJ)
-RrLs
CJLm aL
2 
m
Onde: 
•• 
Referencial no estator 
Considerando que deve ser escolhido um referencial de acordo com a ve­
locidade de rotação dos eixos dq, observe as equações (42) e (45). Se o ângulo 
4J = O considera que o referencial está no estator, este é chamado também 
de referencial estacionário. Substituindo-o nas equações (42) e (45), obtém-se 
(46) e (47).
(46) 
(47) 
[i5d] ÍcosOi5q =�seno 
sen0] [
15a]
coso 1513 
[�rd] _ ícos(O - 0) sen(O - 8)][i5J1
rq -�sen(O - 0) cos(O - 0) i513J
Que serão simplificadas como segue: 
(48) [�5d] = r1 º][�5a] i5q Lo 1 1513 
(49) 
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS. 
•• 
Referencial no rotor 
Outro caso é o referencial no rotor em que se considera tµ = O. Aplicando 
esta relação em (42) e (45), obtém-se (50) e (51). 
(50) 
(51) 
[ísd] Ícose sene l[ísa] Í5q =�sen0 COS0J ÍS/3 
1
.r
d 
- cos(O) sen(O) 1.sa 
[. J r J[. J 1rq - -sen(O) cos(O) 1s13 
A equação (50) se mantém e a equação (51) se rescreve como (52). 
(52) 
Este referencial é usado, geralmente, quando as tensões no rotor são não 
balanceadas ou descontínuas e as tensões no estator são balanceadas . 
•• 
Referencial síncrono 
Finalmente, o referencial síncrono, ou no campo girante, é aquele em que 
as variáveis de tµ e 8 adotam os valores tµ = W
5
t e 8 = wmt, substituindo-os em 
(42) e (45).
(50) 
(51) 
O referencial síncrono é aconselhável quando todas as tensões se conside­
ram balanceadas e contínuas. 
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS. 
• 
Circuito equivalente do motor de indução 
Para o estudo do circuito equivalente no regime estacionário, considera-se 
o fato de que a máquina de indução segue, como seu nome indica , um prin­
cípio de indução similar ao do transformador, isto é, o estator (ou primário) 
induz uma tensão no rotor (ou secundário). Como afirmado pelo autor Stephen 
J. Chapman, em seu livro Fundamentos de máquinas elétricas:
para funcionar, um motor de indução baseia-se na indução efe­
tuada pelo circuito do estator de tensões e correntes no circuito 
do rotor (ação de transformador). Como as tensões e correntes 
no circuito do rotor de um motor de indução são basicamente o 
resultado de uma ação de transformador, o circuito equivalente 
de um motor de indução será muito semelhante ao circuito equi­
valente de um transformador (CHAPMAN, 2013, p. 315). 
Observe a Figura 5, que apresenta as curvas de magnetização de um 
transformador e de um motor de indução.Esta curva representa a varia­
ção do fluxo conforme varia a força magnetomotriz. Na Figura 5, claramen­
te observa a semelhança das curvas de ambos os equipamentos. Por este 
motivo, o circuito equivalente, que se usa para o estudo da máquina de 
indução, é semelhante ao circuito equivalente do transformador.
e,wb 
Figura 5. Cu1vas de rr agnetiza,;âo c!E> um transformador e de um m�tor de mduçào. Fonte· CHAPI\IIA�. 20 �. p. 3 7. 
OINÂM ICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS • 
CO NTEXTUALI ZAN DO 
Na figura a seguir, observa-se o circuito equivalente do transformador 
referido ao lado primário. Os índices p significam "primário" e os índices s 
significam "secundário". A constante define a relação de transformação. 
As indutâncias do primário e secundário representam o fluxo de dispersão� 
e a resistências, perdas por aquecimento resistivo dos condutores. O ramo 
em paralelo, chamado de ramo de excitação, representa as perdas do nú­
cleo e a indutância de magnetização. É importante ter em mente que estas 
variáveis não existem fisicamente no transformador, apenas são represen­
tações do comportamento eletromagnético dos seus componentes . 
•• 
Obtenção do circuito equivalente 
No caso da máquina de indução, o circuito equivalente está ilustrado na 
Figura 6, sendo o circuito equivalente por fase - lembrando que a máquina é 
considerada como uma máquina trifásica simétrica e é possível estudá-la usan­
do apenas o circuito monofásico. 
Figura 6. Circuito equivalente por fase da máquina de indução. Fonte: CHAPMAN, 2013, p. 321. 
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS. 
Este circuito tem o índice 1 para as variáveis do estator e o índice 2 para 
as variáveis do rotor. O ramo de excitação se mantém com os mesmos 
índices. A tensão de entrada deve ser sempre a tensão de fase (Vcp), por­
tanto, é necessário estar atento com o tipo de conexão do estator, se está 
conectado em delta (�) ou estrela (Y). 
No caso do circuito equivalente da máquina de indução, assim como no 
caso do transformador, você deve se lembrar que estes componentes não 
existem fisicamente: são apenas uma representação do equipamento de 
acordo com o seu funcionamento, semelhante ao do transformador. Por­
tanto, cada componente representa um tipo de perda específica do motor, 
descrita como segue: 
• Resistências do estator e do rotor (R1 e R2): representam as perdas
por aquecimento resistivo, ou efeito Joule; 
• Indutâncias do estator e do rotor (X1 e X2): representam os fluxos
de dispersão; 
· Resistência de núcleo (RC): geralmente se desconsidera na análise,
uma vez que as perdas de núcleo; às vezes, são consideradas entre as per­
das rotacionais; 
· Indutância de magnetização: que considera a histerese e perdas por
correntes parasitas, que resultam da interação das indutâncias próprias; 
• O escorregamento s: é o fator
que define a diferença entre a ve­
locidade síncrona e a do rotor. Por 
este motivo, ele deve ser considera­
do no circuito equivalente. O escor­
regamento adota diferentes valores 
de acordo com a velocidade de rota­
ção do rotor. 
Como as perdas no núcleo são 
muitas vezes consideradas nulas, a 
resistência RC geralmente se des­
preza . Assim, o circuito equivalente 
final pode ser considerado como o 
circuito da Figura 8. 
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS -
+ 
v
i" 
Figura 7 Cir ui• eql,rvalente por f;;se da m qurna de indu.,ã,,. Fonte: CHAPMAN, 201 :;, µ 33:;. 
•• 
Aplicação do circuito equivalente em regime permanente 
No caso da máquina de indução, o circuito equivalente está ilustrado na 
Figura 6, sendo o circuito equivalente por fase - lembrando que a máquina 
é considerada como uma máquina trifásica simétrica, e é possível estudá-la 
usando apenas o circuito monofásico. 
Neste tópico, será apresentado brevemente o estudo da máquina através 
do uso do circuito equivalente. Inicialmente, o dito circuito pode ser usado para 
conhecer o valor da corrente do estator em determinada condição de funciona­
mento, ou seja, para uma determinada alimentação (V<l>) e uma determinada 
velocidade (no caso da análise deste circuito, a velocidade se traduz no valor do 
escorregamentos). 
' , 
, ' 
DICA 
A velocidade síncrona (w
s
inc ou W
s
, n
sinc 
ou n
s
) se relaciona com a 
velocidade do motor (w
m 
ou n
m
) através do escorregamento s. Não 
confunda o s do escorregamento com o s da transformada de Lapla­
ce! Adotou-se a variável s para definir o escorregamento devido ao 
seu nome em inglês slip. A formula que relaciona o escorregamento 
com as velocidades és= (n
s
inc - n
m
)/n
sinc
). 
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS. 
A partir da análise do circuito equivalente do motor de indução mostra­
do anteriormente, podemos obter a corrente do estator (1
1
). O procedimento é 
simples, tendo em vista todas as resistências e indutâncias agrupadas em uma 
impedância total Z
T 
e uma relação da Lei de Ohm, como mostra a equação (52). 
Outra possibilidade é o circuito de Thevenin no motor de indução, que 
serve para se obter grandezas como a corrente do rotor (12), escorrega­
mento máximo e conjugado máximo e de partida. Nessa abordagem, o 
estator, junto com o ramo de excitação, fica represent ado por um circuito 
de Theveni n (isto é, uma fonte em série com uma impedância) e o circuito 
do rotor, continua sem alteração. Veja esta represent ação do circuito equi­
valente simplificado através do Thevenin na Figura 8. 
Figi.; a 8. "m. i• eql,1v;:il.�r�0 srrr-phfi a:lo resultanterlJ rnr' ,r de rnr:JucáJ Forte· rHAPMAN, .2'1 3 �. :::: �
Neste caso, a corrente do rotor será a relação entre a tensão de Theveni n di­
vidida pela impedância total, que, neste caso, é a agrupação em série de todas 
as resistências e indutâncias do circuito da Figura 7, como mostra a equação 
(53). Esta análise é adequada para um valor determinado de s. 
Para encerrar este tópico, destacamos, no Gráfico 1, o comportamento do 
conjugado do motor em relação à velocidade. O escorregamento varia desde s 
= 1 (wm = O) até um valor muito pequeno, em que wm se aproxima a W5• 
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS. 
GRÁFICO 1. CURVA DE CONJUGADO VS. VELOCIDADE 
SOO% 
� 400% 
� 
! Conjugado de partid 
. 300% 
,8 
·;;; 
·= 200% 
,8 
]' 100% - - - - - - - - - - - ����g!�� �
e
_p�e_
n
! ��a_ 
o Velocidade mecânica 
Fo'1te· (i-jAP� 1N LO .,, p. 33,:;
Essa região em que o escorregamento tem um valor baixo é onde o motor 
de indução apresenta o funcionamento normal em regime permanente. Nes­
sas condições, a relação entre conjugado e velocidade é considerada linear. 
Uma última observação sobre o funcionamento do motor de indução, ainda 
considerando o observado na Figura 8, é que a máquina pode ser acionada co­
nectada à carga e, como é possível observar, o conjugado de partida pode ser 
maior ao conjugado a plena carga. Isso quer dizer que não existe problema em 
acionar o motor com a carga total com a qual ele está projetado para trabalhar. 
A máquina é tão robusta, que consegue alimentar cargas de até 250% a 
mais do que conjugado projetado, mas não é desejável que isto aconteça por 
tempos longos, apenas em casos que assim exigirem. Quando se ultrapassa 
o valor do conjugado máximo, a máquina se desenergiza e para de funcionar .
Modelo dinâmico da máquina de indução em regime 
permanente 
•• 
Existe também uma abordagem, segundo a qual são considerados compo­
nentes simétricos do sistema trifásico para estudar máquina de indução em re­
gime permanente, obtendo-se, assim, modelos menos complexos, através do 
uso de uma abordagem conhecida como o método de componentes simétricas 
ou Teorema de Fortescue. Esta abordagem é aplicada para estudar sistemas 
trifásicos não balanceados (a nível de amplitude e/ou fase) e, no caso das má-
DINÂMICA DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS. 
quinas rotativas, é usada considerando-se a velocidade constante. 
Para representar um sistema trifásico, o Teorema de Fortescue considera a 
existência de três componentes: zero, positiva