Aula 3-Linhas de Influência

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Teoria das Estruturas I 
Profª Ma. Tayla Castilho Criado 
Linhas de Influência 
▪ Sobre uma estrutura qualquer atuam carregamentos que podem 
ser classificados em dois grandes grupos: carregamentos 
permanentes e carregamentos de utilização (variáveis). 
▪ Os carregamentos permanentes são aqueles que atuam 
constantemente na estrutura, não devendo sofrer variações em 
função do tempo (peso próprio, etc.); 
▪ A determinação de esforços provocados por esses 
carregamentos não apresenta maiores dificuldades, pois os 
mesmos têm posição e valor conhecidos. 
 
Introdução 
▪ Já os carregamentos de utilização são aqueles que podem ou não 
atuar sobre a estrutura, ou então atuar parcialmente em 
determinados trechos, sofrendo variações em função do tempo 
(ação do vento, variação de temperatura, peso de materiais 
armazenados, cargas móveis, etc) 
▪ Em particular, as cargas móveis são devidas às cargas que 
percorrem uma estrutura, como é o caso do veículo tipo 
trafegando sobre uma ponte rodoviária. 
Introdução 
Introdução 
▪ Para se quantificar os esforços provocados pelas cargas móveis 
em uma determinada seção de uma estrutura, deve-se sempre 
pesquisar o seguinte: 
▪ para uma determinada seção, quais são os esforços solicitantes 
máximos e mínimos; 
▪ quais seções estão sujeitas aos maiores valores, em módulo, dos 
esforços solicitantes; 
▪ no caso das ligações e das vinculações da estrutura, quais são os 
esforços máximos e mínimos que as solicitam. 
 
▪ No sentido de facilitar o cálculo de valores extremos de um 
determinado esforço, é interessante fazer o uso de um diagrama 
auxiliar, correspondente a esse esforço, chamado de Linha de 
Influência, definida por : 
▪ Linha de Influência de um determinado esforço EC de uma seção 
C de uma estrutura, para uma força percorrendo uma 
determinada linha S (x) associada à estrutura, é a representação 
gráfica do valor desse esforço naquela seção C, produzido por 
uma força unitária vertical concentrada, orientada de cima para 
baixo, que percorre a linha S(x) da estrutura analisada. 
Definição de Linha de Influência 
▪ Como ilustração, supõe-se conhecida a Linha de Influência dos 
momentos fletores da seção C de uma estrutura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
▪ Com isso, variando-se a posição de P, os valores de Mc são 
dados por: 
▫ p/ P=1 em A → 𝑀𝑐 = −𝛿𝐴: Tração fibra superior 
▫ p/ P=1 em 𝐵 → 𝑀𝑐 = +𝛿𝐵: Tração fibra inferior 
 
 
 
 
 
 
δB δA 
P=1 x 
Definição de Linha de Influência 
▪ Força unitária vertical 
percorrendo a linha 
S(x); 
▪ LI do esforço Mc. 
▪ Seja uma viga biapoiada sob ação de uma força unitária móvel 
dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
▪ O objetivo é determinar as LIs das reações RVA e RVB, do 
momento fletor MC e da força cortante VC. 
 
 
Determinação das Linhas de Influência de vigas 
biapoiadas 
P=1 A B 
a b 
l 
x 
Linha de Influência de RVA 
 
 
 
 
 
 
 
 
▪ O equilíbrio de momentos em B é dado por: 
 𝑀𝐵 = 0 → 𝑅𝑉𝐴. 𝑙 − 𝑃. 𝑙 − 𝑥 = 0 
𝑅𝑉𝐴 = 1 −
𝑥
𝑙
 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎 
 
 
P=1 
b a 
A B 
C RVA 
l 
x 
▪ As condições de contorno são dadas por: 
 
𝑅𝑉𝐴 = 1 −
𝑥
𝑙
 
▪ 𝑒𝑚 𝑥 = 0 → 𝑅𝑉𝐴 = 1 
▪ 𝑒𝑚 𝑥 = 𝑙 → 𝑅𝑉𝐴 = 0 
▪ Portanto a LI de RVA é dada por: 
 
 
1 
Linha de Influência de RVA 
Linha de Influência de RVB 
 
 
 
 
 
 
 
 
▪ O equilíbrio de momentos em A é dado por: 
 𝑀𝐵 = 0 → 𝑅𝑉𝐵 . 𝑙 − 𝑃. 𝑥 = 0 
𝑅𝑉𝐴 =
𝑥
𝑙
 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎 
 
 
P=1 
b a 
A B 
C 
RVB 
l 
x 
▪ As condições de contorno são dadas por: 
 
𝑅𝑉𝐵 =
𝑥
𝑙
 
▪ 𝑒𝑚 𝑥 = 0 → 𝑅𝑉𝐵 = 0 
▪ 𝑒𝑚 𝑥 = 𝑙 → 𝑅𝑉𝐵 = 1 
 
 
▪ Portanto a LI de RVB é dada por: 
 
 
Linha de Influência de RVA 
1 
MC 
b a 
A B 
RVB C 
x 
P=1 
l 
Linha de Influência de MC 
▪ Para força unitária à esquerda da seção C (0 ≤ x ≤ a), com corte 
em C e olhando-se para a direita, por facilidade, o equilíbrio de 
momentos em C é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝑀𝐶 = 0 → +𝑀𝐶 − 𝑅𝑉𝐵 . 𝑏 = 0 → 𝑀𝑐 = 𝑏.
𝑥
𝑙
 
▪ As condições de contorno são dadas por: 
 
𝑀𝑐 = 𝑏.
𝑥
𝑙
 
▪ 𝑒𝑚 𝑥 = 0 → 𝑀𝐶 = 0 
▪ 𝑒𝑚 𝑥 = 𝑙 → 𝑀𝐶 = 𝑏 
 
▪ Portanto a LI parcial de MC é dada por: 
 
 
 
 
▪ para 0 ≤ x ≤ a. 
 
 
 
b 
Linha de Influência de MC 
▪ Para força unitária à direita da seção C (a ≤ x ≤ l), com corte em 
C e olhando-se para a esquerda, por facilidade, o equilíbrio de 
momentos em C é dado por: 
 
 
 
𝑅𝑉𝐴 = 1 −
𝑥
𝑙
 
 
 
 
 
 𝑀𝐶 = 0 → −𝑀𝐶 + 𝑅𝑉𝐴. 𝑎 = 0 → 𝑀𝑐 = 𝑎. 1 −
𝑥
𝑙
 
 
 
 
 
 
 
P=1 
b a 
A B 
C 
l 
R VA 
C 
x 
Linha de Influência de MC 
▪ As condições de contorno são dadas por: 
 
𝑀𝑐 = 𝑎. 1 −
𝑥
𝑙
 
▪ 𝑒𝑚 𝑥 = 0 → 𝑀𝐶 = 𝑎 
▪ 𝑒𝑚 𝑥 = 𝑙 → 𝑀𝐶 = 0 
 
▪ Portanto a LI parcial de MC é dada por: 
 
 
 
 
▪ para a ≤ x ≤ l. 
 
 
 
Linha de Influência de MC 
a 
Linha de Influência de MC 
▪ Superpondo-se as equações tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝜃1 = tan 𝜃1 =
𝑏
𝑙
 𝑒 𝜃2 = tan𝜃2 =
𝑎
𝑙
 
 
𝜃 = 𝜃1 + 𝜃2 =
𝑏
𝑙
+
𝑎
𝑙
 → 𝜃 = 1 
 
▪ Portanto a LI final de MC é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
▪ com M + para tração na fibra inferior 
 
1 a 1 b 
Linha de Influência de MC 
R VB 
V C 
b a 
A B 
C 
x 
P=1 
l 
Linha de Influência de VC 
▪ Para força unitária à esquerda da seção C (0 ≤ x ≤ a), com corte 
em C e olhando-se para a direita, por facilidade, o equilíbrio das 
forças verticais é dado por: 
 
 
 
𝑅𝑉𝐵 =
𝑥
𝑙
 
 
 
 
 
 𝐹𝑉 = 0 → 𝑉𝐶 + 𝑅𝑉𝐵 = 0 → 𝑉𝐶 = −
𝑥
𝑙
 
 
▪ As condições de contorno são dadas por: 
 
𝑉𝐶 = −
𝑥
𝑙
 
▪ 𝑒𝑚 𝑥 = 0 → 𝑉𝐶 = 0 
▪ 𝑒𝑚 𝑥 = 𝑙 → 𝑉𝐶 = −1 
 
▪ Portanto a LI parcial de VC é dada por: 
 
 
 
 
▪ para 0 ≤ x ≤ a. 
 
 
 
Linha de Influência de VC 
P=1 
b a 
A B 
C 
x 
l 
R VA 
V C 
Linha de Influência de VC 
▪ Para força unitária à direita da seção C (a ≤ x ≤ l), com corte em C 
e olhando-se para a esquerda, por facilidade, o equilíbrio das 
forças verticais é dado por: 
 
 
 
𝑅𝑉𝐴 = 1 −
𝑥
𝑙
 
 
 
 
 
 𝐹𝑉 = 0 → −𝑉𝐶 + 𝑅𝑉𝐴 = 0 → 𝑉𝐶 = 1 −
𝑥
𝑙
 
 
 
▪ As condições de contorno são dadas por: 
 
𝑉𝐶 = 1 −
𝑥
𝑙
 
▪ 𝑒𝑚 𝑥 = 0 → 𝑉𝐶 = 1 
▪ 𝑒𝑚 𝑥 = 𝑙 → 𝑉𝐶 =0 
 
▪ Portanto a LI parcial de VC é dada por: 
 
 
 
 
▪ para a ≤ x ≤ l. 
 
 
 
Linha de Influência de VC 
1 
1 
▪ Superpondo-se as equações, a LI final de VC, + se horário sobre 
a seção transversal, é dada por: 
 
 
 
 
 
▪ Conferindo: 
 
1 
A 
C 
1 B 
C 
Linha de Influência de VC 
𝑅𝑉𝐴 = 1 −
𝑥
𝑙
 
 
𝑉𝐶 =
𝑥
𝑙
 
 
𝑉𝐶 = 1 −
𝑥
𝑙
 
 
𝑅𝑉𝐵 =
𝑥
𝑙
 
 
 Determinação das Linhas de Influência de vigas biapoiadas - 
Processo das Cadeias Cinemáticas 
 
▪ A determinação das Linhas de Influência pode ser feita através 
do Processo das Cadeias Cinemáticas. 
 
▪ Tal Processo consiste na retirada de um único vínculo de uma 
estrutura isostática, passando-se a ter uma cadeia cinemática 
com somente um grau de liberdade. 
 
▪ Dessa forma , o problema estático é transformado em um 
problema geométrico, podendo-se, então, utilizar o Princípio dos 
Trabalhos Virtuais. 
 
▪ Seja uma viga biapoiada dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
▪ Retirando-se o vínculo que transmite o esforço EC procurado, 
obtém-se uma cadeia cinemática com um grau de liberdade, 
com isso pode-se impor um deslocamento unitário, suposto 
positivo, no sentido contrário ao esforço EC procurado. 
 
 
b a 
C A B 
Processo das Cadeias Cinemáticas 
l 
1 
Linha de Influência de RVA 
RVA 
B 
 
RVB 
1 
Linha de Influência de RVB 
C MC MC 
1 1 
a b 
Linha de Influência de MC 
C VC VC 
1 
1 
Linha de Influência de VC 
Atenção 
▪ Convém notar o seguinte: 
▪ A Geometria dos Pequenos Deslocamentos deve ser mantida 
quando da imposição do deslocamento unitário; 
▪ O diagrama formado pela posição inicial e a posição deslocadada estrutura é a Linha de Influência procurada; 
▪ Uma vez definida a Linha de Influência, pode-se aplicar o PTV, ou 
seja, a soma dos trabalhos externos é igual a zero, e determinar 
o valor do esforço procurado. 
 
▪ Seja uma viga biapoiada com balanço nas extremidades dada 
por: 
 
Determinação das Linhas de Influência de vigas 
biapoiadas com balanço 
A 
β 
a b 
B 
α 
d 
LI Mα 
LI Mβ 
LI Vα 
Linhas de Influência 
LI Vβ 
LI RA 
LI RB 
Linhas de Influência 
▪ Viga Gerber é uma viga isostática, que contém vários apoios e 
articulações internas. Essa viga se origina de uma viga contínua, 
na qual são criadas articulações tornando-a isostática: 
 
 
 
 
 
 
 
▪ com NBS=0; BG=3; BN=9 e BE=9, portanto isostática. 
 
 
Determinação das Linhas de Influência de vigas 
Gerber 
α 
A 
B I II C 
RVA 
RVB 
RVC 
Linhas de INfluência 
Mα 
MA 
MB 
Linhas de Influência 
Vα 
VB 
Esq 
 
 
VB 
Dir 
Linhas de Influência 
VI 
VII 
Linhas de Influência 
Determinação de esforços solicitantes 
utilizando Linhas de Influência 
▪ A determinação de um esforço qualquer de uma estrutura, 
baseado no conceito de Linhas de Influência, pode ser dividido 
em duas fases distintas: 
▪ Para uma determinada seção C, pode-se determinar a Linha de 
Influência correspondente ao esforço EC procurado; 
▪ Conhecido o carregamento e a Linha de Influência, obtém-se o 
esforço EC devido a esse carregamento. 
 
▪ Determinar a Linha de Influência de um esforço EC(x) na seção C. 
 
 
 
 
 
▪ Para força unitária em x tem-se: 
𝐸𝑐 = 𝐸𝑐 𝑥 
▪ Para força F em x tem-se: 
𝐸𝑐 = 𝐹. 𝐸𝑐 𝑥 
 
 
Procedimento 
𝐸𝑐 𝑥 → + → 𝑎𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 
𝐸𝑐 𝑥 → − → 𝑎𝑐𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 
 
Procedimento 
▪ Para forças Fi em xi tem-se: 
𝐸𝑐 = 𝐹𝑖 . 𝐸𝑐 𝑥 𝑖
𝑛
𝑖=1
 
 
▪ Para força distribuída p(x) tem-se: 
 
 
 
 
▪ Convém observar que pode ser utilizada a tabela formulada por 
KURT BEYER para a resolução da integral acima. 
 
𝑑𝐸𝑐 = 𝑝 𝑥 . 𝑑𝑥. 𝐸𝑐 𝑥 
𝐸𝑐 = 𝐸𝑐 𝑥 . 𝑝 𝑥 𝑑𝑥
𝑥𝐵
𝑥𝐴
 
Exemplo 1 
Exemplo 1 
▪ Dada a estrutura, determinar VD: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
▪ Determinação de VD via Isostática: 
▪ Calcular as reações de apoio; 
▪ Fazer o diagrama da Força Cortante. 
 
 
40 kN 
20 kN/m 
B 
5m 2,5m 
A 
C D 
10m 
 
 Do diagrama extrair VD: 
120 kN 
120 kN 
20 kN 
20 kN + 
- 
2,5m 
120 kN 
120 kN 
20 kN 
2,5m 
20 kN + 
- 
VD=+70 kN 
Diagrama da Força Cortante 
▪ Determinar a Linha de Influência de VD: 
 
 
 
 
 
 
 
▪ Obter medidas de interesse: 
 
 
0,25 
2,5m 
 
 
 C 
0,75 1 
+ 
0,75 + 
0,5 
Determinação de VD via Linha de Influência 
0,25 - 
- 
+ 
0,5 
5m 
0,75 
2,5m 
 Aplicar o carregamento: 
40 kN 
20 kN/m 
 
0,25 
 
 Da tabela: 
- 
+ 
0,5 
5m 
0,75 
2,5m 
 Efetuar o cálculo de VD: 
40 kN 
20 kN/m 
 
0,25 
 
 
 
 
 
 
 
- 
𝑉𝐷 = −
1
2
. 2,5.0,25.20 +
1
2
. 7,5.0,75.20 + 40.0,5 = 70 𝑘𝑁 
Obrigada! 
Alguma dúvida? 
Vocês podem me encontrar em: 
tayla.criado@unifran.edu.br 
Referências 
▪ Este material foi desenvolvido a partir de notas de aula 
elaboradas pelo Prof. Dr. Rogério de Oliveira Rodrigues (UNESP-
ILHA SOLTEIRA). 
▪ MARTHA, Luiz Fernando. Análise de estruturas: conceitos e 
métodos básicos. Rio de Janeiro: Campus, 2010. 524 p. ISBN 
9788535234558. 
▪ CAMPANARI, Flavio Antonio. Teoria das estruturas : V 1. Rio de 
Janeiro Guanabara dois 1985 1274 ISBN 8570300476. 
 
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