A3 ALGEBRAR LINEAR

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ROTEIRO DE PRÁTICA 
Tema Estudo do Produto Escalar e Produto Vetorial no GeoGebra Unidade 01 
Disciplina (s)  Álgebra Linear Computacional Data da última atualização 03/02/2020 
 
I. Instruções e observações 
 
LEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES 
1. É importante o conhecimento prévio do conteúdo sobre vetores, produto escalar e produto vetorial. 
2. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos. 
3. 
 
II. Materiais 
Descrição Quantidade 
Software GeoGebra 3D Online 
Roteiro da prática 1 
Calculadora científica 1 
III. Introdução 
A compreensão dos conceitos, bem como a execução dos cálculos, que envolvem os temas Produto Escalar e 
Produto Vetorial são de suma importância aos estudantes e profissionais das Engenharias/Ciências. Tal importância 
surge da grande variedade de aplicações desses produtos nas diversas disciplinas e na modelagem de problemas 
típicos dessas áreas. Entre outras aplicações, podemos citar: 
 Cálculo de ângulos, áreas e volumes. 
 Determinação do momento de uma força. 
 Trabalho realizado por uma força. 
 Fluxo de água através de uma mangueira. 
Nessa atividade, você utilizará o software GeoGebra (https://www.geogebra.org/) para determinação do ângulo e 
do produto vetorial entre dois vetores, além do cálculo da área de um triângulo. 
 
 
 
 
 
IV. Objetivos de Aprendizagem 
 
 
 
 
 
 Ao término desta atividade o aluno deverá ser capaz de determinar o ângulo e o produto vetorial entre dois 
vetores, bem como calcular a área de um triângulo a partir do produto vetorial. 
 Utilizar o software GeoGebra para determinação do ângulo e do produto vetorial entre dois vetores. Além disso, 
usando a ferramenta de medição, calcular a área de um triângulo. 
 
 V. Experimento 
 
ETAPA 1: determinação do ângulo entre dois vetores 
 
PASSO 1: Esboce, no GeoGebra 3D, os vetores 𝑢 = (1,1,1) e �⃗� = (1,1,3). O Geogebra reconhece os vetores a partir 
de letras minúsculas. 
 
PASSO 2: Ainda usando o GeoGebra, insira três pontos no espaço, sendo eles a origem do sistema de coordenadas 
cartesianas e as extremidades dos vetores já representados: 𝐴 = (0,0,0), 𝐵 = (1,1,1) e 𝐶(1,1,3). Esses pontos 
servirão para identificarmos o ângulo entre os vetores 𝑢 e �⃗�, conforme PASSO 3 abaixo. 
 
PASSO 3: Usando a ferramenta de medição ÂNGULO , clique sequencialmente nos pontos 𝐵𝐴𝐶. Qual o 
ângulo apresentado? 
 
O ângulo encontrado foi de 29,5° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PASSO 4: Calcule, usando a fórmula abaixo, o ângulo entre os vetores 𝑢 e �⃗� e compare o resultado com o valor 
encontrado no PASSO 3. 
𝑢 ∙ �⃗� = |𝑢| |𝑣| cos (𝑢, �⃗�) 
 
 
 
 
ETAPA 2: determinação do produto vetorial 
 
PASSO 5: Calcule, no espaço abaixo, o produto vetorial entre os vetores 𝑢 e �⃗�. 
 
 
 
Produto Vetorial 
 
𝑤 =
𝑖 𝑗 𝑘
1 1 1
1 1 3
=
1 1
1 3
→ −
1 1
1 3
→ +
1 1
1 1
→= 2 → − 2 → 0 → 𝒘 = (𝟐, −𝟐, 𝟎) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PASSO 6: Usando o GeoGebra, represente o vetor �⃗� = 𝑢 × �⃗�. Para isso, digite a função �⃗� = 𝑢 ⊗ �⃗�. Compare o 
resultado com o vetor determinado no PASSO 5. 
Observação: o operador ⊗ pode ser encontrado a partir do seguinte procedimento: 
 
PASSO 7: Usando o mesmo procedimento realizado nos PASSOS 2 e 3, identifique o ângulo entre os pares de 
vetores (𝑢, �⃗�) e (�⃗�, 𝑤). O resultado verificado era previsível? Por quê? 
 
Sim, o resultado foi previsível, foram obtidos ângulos de 90°. 
O produto vetorial gera um vetor ortogonal aos vetores que de origem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ETAPA 3: determinação da área de um triângulo a partir do produto vetorial 
 
PASSO 8: Utilizando a ferramenta de esboço de polígonos , clique nos pontos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 para representar o 
triângulo 𝐴𝐵𝐶. 
 
PASSO 9: Identifique a área do polígono 𝐴𝐵𝐶, clicando na ferramenta de medição de área e, em sequência, 
no polígono representado. Qual o valor da área encontrada? 
 
 
 
 
PASSO 10: Utilize produto vetorial para comprovar o resultado encontrado no PASSO 9. Lembrete: 𝐴 = |𝑢 × 𝑣|. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
THIAGO HENRIQUE DOS SANTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VII. Referências 
 
 PAULO WINTERLE. Vetores e geometria analítica, 2ed. Pearson 256 ISBN 9788543002392. 
 
 SANTOS, Fabiano José dos. Geometria analítica. Porto Alegre ArtMed 2009 1 recurso online ISBN 9788577805037.