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Física para
Ciências Biológicas
2022
Física para
Ciências Biológicas
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2022
Sumário
I Cinemática 1
1. Grandezas Físicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1 Unidades de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Grandezas escalares e vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Fator de conversão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Exercício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. Introdução à cinemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1 Conceitos fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Cinemática Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Grandezas fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Velocidade e aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Exercício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3. Gráficos e classificação dos movimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.1 Classificação dos movimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 Análise de gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Exercício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4. Movimento uniforme e variado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.1 Movimento uniforme (M.U.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2 Movimento uniformemente variado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.3 Lancamento vertical e queda livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Exercício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5. Cinemática Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.1 Velocidade e aceleração vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.2 Composição de movimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.3 Lançamento de projéteis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Exercício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
II Dinâmica 22
6. Dinâmica: Leis de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6.1 1ª Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6.2 2ª Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6.3 3ª Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Exercício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7. Algumas forças particulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7.1 Reação normal ~N e tensão ~T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7.2 Máquina de Atwood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7.3 Plano inclinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7.4 Força de atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Exercício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
8. Movimento de trajetória curvilínea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
8.1 Movimento circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
8.2 Movimento circular uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8.3 Movimento de trajetória curvilínea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Exercício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
9. Trabalho, potência e energia mecânica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
9.1 Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
ii SUMÁRIO
9.2 Energia cinética de um corpo (Ec) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
9.3 Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
9.4 Energia mecânica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
9.5 Conservação da energia mecânica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Exercício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
10. Impulso e quantidade de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
10.1 Impulso de uma força constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
10.2 Quantidade de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
10.3 Choque mecânico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Exercício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
11. Gravitação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
11.1 Leis de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
11.2 Lei da gravitação universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
11.3 Energia cinética e potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
11.4 Velocidade de escape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Exercício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
12. Estática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
12.1 Equilíbrio do ponto material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
12.2 Equilíbrio de um corpo extenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Exercício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
13. Hidrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
13.1 Pressão e densidade . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
13.2 Teorema de Stèvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
13.3 Princípio de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
13.4 Experiência de Torricelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
13.5 Princípio de Arquimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Exercício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
III Termodinâmica 58
14. Termometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
14.1 Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
14.2 Escalas termométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Exercício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
15. Dilatação térmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
15.1 Dilatação dos sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
15.2 Dilatação dos líquidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
15.3 Dilatação anômala da água . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Exercício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
16. Calorimetria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
16.1 Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
16.2 Mudança de estados físicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
16.3 Sistema termicamente isolado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
16.4 Propagação de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Exercício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
ii
Parte I
Cinemática
1
1 - Grandezas Físicas
Grandeza é um caráter daquilo que pode ser me-
dido. Parâmetros como massa, tempo, velocidade,
força, energia são considerados grandezas porque po-
dem ser medidos, pode-se estabelecer uma intensi-
dade, isto é, quantificá-los.
1.1 Unidades de medida
Toda grandeza possui uma intensidade, isto é, pode
ser traduzida por um valor numérico acompanhado
de uma unidade. A distância entre dois corpos, por
exemplo, pode ser explicitada em metros, centíme-
tros, quilômetros, milhas, pés, polegadas, entre ou-
tras unidades.
Com a finalidade de se eliminar essa pluralidade
de unidades, em 1960, durante a 11ª Conferência de
Pesos e Medidas, foi formulado um novo sistema, de-
nominado Sistema Internacional de Unidades
(SI).
Tabela 1.1 - Sete unidades de medidas básicas com base
no Sistema Internacional de Unidades (SI)
Grandeza Unidade Símbolo
Comprimento metro m
Massa quilograma kg
Tempo segundo s
Corrente elétrica ampère A
Temperatura termodinâmica kelvin K
Quantidade de matéria mol mol
Intensidade luminosa candela cd
O SI também sugere os seguintes prefixos, com
seus respectivos símbolos e a potência de dez corres-
pondente, a serem utilizados quando necessário:
Tabela 1.2 -Prefixos sugeridos pelo Sistema Internacio-
nal de Unidades (SI)
Prefixo Símbolo Potência Prefixo Símbolo Potência
femto f 10−15 hecto h 102
pico p 10−12 quilo k 103
nano n 10−9 mega M 106
micro µ 10−6 giga G 109
mili m 10−3 tera T 1012
centi c 10−2 peta P 1015
deci d 10−1 exa E 1018
deca da 101
1.2 Grandezas escalares e vetoriais
Grandezas escalares são aquelas que ficam perfei-
tamente definidas apenas por sua intensidade, tais
como: tempo (5 h; 920 s), massa (4,2 kg; 380 g),
temperatura (20°C; 48 K) e potência (750 W; 55
hp), entre outras.
Grandezas vetoriais são aquelas que para fica-
rem perfeitamente definidas necessitam de uma in-
tensidade, uma direção e um sentido. Como
exemplo, temos: força, velocidade, desloca-
mento, campo elétrico e quantidade de movi-
mento, dentre outras.
Vetor
Vetor é um operador matemático que possui mó-
dulo (ou intensidade), direção e sentido. Pode-
mos representar um vetor por:
~a .
Quando uma grandeza é representada por meio do
vetor ~a, estamos nos reportando à intensidade, à
direção e ao sentido.
O módulo de um vetor, no entanto, pode ser repre-
sentado por |~a| = a.
O vetor representado acima apresenta direção hori-
zontal, sentido para a direita e módulo a.
Soma vetorial
Uma soma vetorial implica a análise da intensidade,
da direção e do sentido de cada um dos vetores que
constituem a soma em questão. A soma de vetores
sempre resulta em um outro vetor, frequentemente
denominado vetor soma ~s, vetor resultante ou sim-
plesmente resultante. Uma soma vetorial pode ser
tratada a partir dos casos particulares a seguir.
Como exemplo, tomemos dois vetores ~a e ~b de
módulos respectivamente iguais a 80 e 30 unidades,
cuja soma resulta em um vetor ~s. Qualquer que seja
a soma, podemos escrever:
~s = ~a+~b
• Possibilidade 1: Vetores possuem a mesma dire-
ção e o mesmo sentido.
~a ~b
~s
Neste caso, a soma vetorial se assemelha a uma
soma aritmética e podemos então escrever: |~s| = s.
s = |~a|+ |~b|
= 80 unidades + 30 unidades
= 110 unidades
• Possibilidade 2: Vetores possuem a mesma dire-
ção e sentidos contrários.
2
3 CAPÍTULO 1. GRANDEZAS FÍSICAS
~a
~b
~s
Neste caso, a soma vetorial se assemelha a uma
subtração aritmética, podendo ser escrita: |~s| = s.
s = |~a|+ |~b|
= 80 unidades− 30 unidades
= 50 unidades
• Possibilidade 3: Os vetores são perpendiculares.
~a
~b
~s
·
~a
~b
~s
·
Neste caso: |~s| 6= |~a| + |~b|, e o cálculo do módulo
do vetor soma
~s = ~a+~b
é feito por meio do Teorema de Pitágoras:
|~s|2 = |~a|2 + |~b|2
s2 = (80 unidades)2 + (30 unidades)2
s2 = 6400 unidades2 + 900 unidades2
s =
√
7300 unidades2 ≈ 85 unidades
• Possibilidade 4: Vetores com direções diferentes
não perpendiculares.
~a
~b
~s
100°
Neste caso: |~s| 6= |~a| + |~b|, e o cálculo do módulo
do vetor soma
~s = ~a+~b
é feito com o uso da lei dos cossenos:
|~s|2 = |~a|2 + |~b|2 − 2 · |~a| · |~b| · cos θ
s2 = (80 un)2 + (30 un)2 − 2 · 80 un · 30 un · cos 100◦
s2 = 802 un2 + 302 un2 − (−833, 5 un2)
s2 = 8133, 5 un2
s ≈ 90 unidades
Decomposição de um vetor
A decomposição de um vetor consiste em deter-
minar as suas projeções em um par de eixos cartesi-
anos.
~a
O vetor ~a pode ser decomposto em relação aos
sistema de eixos Oxy:
~a
y
x0
Obtemos a projeção de ~a sobre o eixo x (~ax) e de
~a sobre o eixo y (~ay), como mostrado a seguir:
~a
y
x~ax
~ay
0 x
·θ
Os módulos de ~ax e ~a2 são obtidos a partir de
relações trigonométricas, aplicadas ao triângulo re-
tângulo hachurado:
sen θ = cateto opostohipotenusa =
ay
a
⇒ ay = a · sen θ
cos θ = cateto adjacentehipotenusa =
ax
a
⇒ ax = a · sen θ
1.3 Fator de conversão
Frequentemente faz-se necessário a conversão de uma
medida expressa em uma unidade para outra uni-
dade. Para fazer isso, utilizamos o método dos fa-
tores de conversão. Por exemplo, vamos converter
90 km/h em metros por segundos.
Sabemos que 1.000 m = 1 km, dessa forma:
1000 m = 1 km dividindo por 1 km
1000 m
1 km =
���1 km
���1 km
1000 m
1 km = 1
O quociente 1000 m/1 km é chamado de fator de con-
versão e o multiplicaremospor 90 km/h. Como esse
fator é igual a 1 ele não muda o valor real. No en-
tanto, ele realiza a conversão de unidades esperadas.
O mesmo raciocínio vale para
1 h
3600 s = 1
Na prática, é como se estivéssemos multiplicando 90
km/h por 1.
90 kmh · 1 · 1
3
4 CAPÍTULO 1. GRANDEZAS FÍSICAS
Substituindo 1 por nossos fatores de conversão
90 kmh ·
(1000 m
1 km
)
·
( 1 h
3600 s
)
= 9× 10 ·�
�km ·��103 m ·�h
��h ·���km · 3, 6×��103 s
=25 ms = 25 m/s
Vamos a outro exemplo: queremos converter 536 cm2
para m2. A relação centímetros e metros é
100 cm = 1 m.
Utilizaremos a relação acima para montar nosso fa-
tor de conversão. Como nosso objetivo é eliminar cm2
em nossa área, a unidade cm virá no denominador de
nosso fator de conversão. Observe abaixo que eleva-
mos nosso fator de conversão ao quadrado conforme
nossa unidade de medida original.
536 cm2 ·
( 1 m
100 cm
)2
= 5, 36× 10
2
��
�cm2 · m2
104���cm2
= 5, 36× 10−2 m2
= 0, 0536 m2
Exercício
1. O ângulo subten-
dido pelo diâmetro
da Lua em um ponto
da Terra é de aproxi-
madamente 0,524°.
Use esta informação
e o fato de que a Lua está aproximadamente
384 Mm distante para encontrar o diâmetro
da Lua (Dica: o ângulo pode ser determinado
a partir do diâmetro da Lua e da distância à
Lua.).
2. Algumas boas estimativas sobre o corpo hu-
mano podem ser feitas supondo que somos fei-
tos predominantemente de água. A massa de
uma molécula de água é 29, 9 × 10−27 kg. Se a
massa de uma pessoa é 60 kg, estime o número
de moléculas de água nessa pessoa.
3. Em 1959, cientistas da
IBM deslocaram átomos
com um microscópio de
tunelamento com varredura (scanning tunne-
ling microscope, STM). Uma das primeiras
imagens vistas pelo público em geral foi a das
letras IBM traçadas com átomos de xenônio
sobre uma superfície de níquel. As letras IBM
se estendiam por 15 átomos de xenônio. Se a
distância entre os centros de átomos de xenô-
nio adjacentes é 5 nm (5 × 10−9 m), estime
quantas vezes “IBM” poderia ser escrito em
uma linha nesta página (papel A4).
4. Está ocorrendo um debate ambiental so-
bre o uso de fraldas de tecido ou descartá-
veis. Assumido que a população americana é
de 300 milhões de habitantes, com expectativa
de vida de 75 anos, e que uma fralda ocupe um
volume de cerca de meio litro, responda:
Supondo que, entre o nascimento e a idade de 2,5
anos, uma criança usa 3 fraldas por dia, estime
o número total de fraldas descartáveis usadas nos
Estados Unidos por ano.
a)
Estime o volume total, em metros cúbicos, do
aterro que recebe essas fraldas.
b)
Quantas milhas quadradas de área de aterro, com
uma altura média de 10 m, são necessárias para
receber essas fraldas a cada ano (1 mi = 1,609
km)?
c)
5. Um megabyte (MB) é uma
unidade de armazenamento de
memória computacional. Um
CD tem uma capacidade de
armazenamento de 700 MB e
pode armazenar aproximada-
mente 70 minutos de música de alta qualidade.
Se uma canção típica dura 5 min, quantos me-
gabytes são necessários para cada canção?
a)
Se uma página de texto impresso requer aproxi-
madamente 5 quilobytes, estime o número de ro-
mances de 200 páginas que podem ser salvos em
um CD.
b)
6. Escreva as quantidades seguintes usando os
prefixos listados na Tabela 1.2 e as abreviatu-
ras listadas na Tabela 1.1 para Unidades. Por
exemplo, 10.000 metros = 10 km.
1.000.000 wattsa) 0,002 gramab)
3× 10−6 metroc) 30.000 segundosd)
7. Escreva, sem usar prefixos, o que se segue:
40µWa) 4 nsb)
3 MWc) 25 kmd)
4
5 CAPÍTULO 1. GRANDEZAS FÍSICAS
8. A rapidez do som no ar vale 343 m/s. Qual
é a rapidez de um avião supersônico que vi-
aja com o dobro da rapidez do som? Dê sua
resposta em quilômetros por hora e em milhas
por hora (1 mi = 1,609 km)
9. Há 640 acres em uma milha quadrada.
Quantos metros quadrados há em um acre?
(1 mi = 1,609 km)
10. Uma membrana
celular tem uma es-
pessura de 7,0 nm.
Quantas membranas celulares seriam necessá-
rias para fazer uma pilha de 1,0 in (polegada)
de altura? (1 in = 2,54 cm)
11. Um vetor com 7,0 unidades de compri-
mento e um vetor com 5,5 unidades de com-
primento são somados. Sua soma é um vetor
com 10,0 unidades de comprimento.
Mostre graficamente pelo menos uma maneira
pela qual esses vetores podem ser somados.
a)
Usando seu esboço do item anterior, determine o
ângulo entre os dois vetores originais.
b)
12. Você caminha 100 m em linha reta em um
plano horizontal e esta caminhada o levou 50
m para o leste.
Quais são seus possíveis movimentos para o norte
ou para o sul?
a)
Quais são os possíveis ângulos que sua caminhada
formou em relação ao sentido para o leste?
b)
13. Amassa de um átomo de urânio é 4, 0 ×
10−26 kg. Quantos átomos de urânio existem
em 8,0 g de urânio puro?
14. Um núcleo de ferro tem um raio de 5, 4 ×
10−15 m e uma massa de 9, 3 × 10−26 kg.
Qual é sua massa por unidade de volume, em
kg/m3?
(
V = 43πr
3
)a)
Se a Terra tivesse a mesma massa por unidade de
volume, qual seria seu raio? (A massa da Terra é
5, 98× 1024 kg.)
b)
15. A unidade astronômica (UA) é definida
como a distância média centro a centro en-
tre a Terra e o Sol, ou seja, 1, 496 × 1011 m. O
ano-luz é a distância que a luz percorre em 1
ano.
Quantos metros estão contidos em um ano-luz(
vluz = 2, 998× 108 m/s−1
)
?
a)
Quantas unidades astronômicas em um ano-luz?b)
5
2 - Introdução à cinemática
2.1 Conceitos fundamentais
A cinemática tem por finalidade o estudo descritivo
dos movimentos em geral, sem se preocupar com suas
causas.
2.2 Cinemática Escalar
Ponto material
A ideia física de ponto material é a de um corpo cujas
dimensões possam ser desprezadas em relação a ou-
tras dimensões envolvidas no fenômeno que se esteja
examinando.
Podemos tomar como exemplo um caminhão ma-
nobrando para entrar numa garagem e esse mesmo
caminhão viajando por uma estrada. Na primeira
situação, consideramos o caminhão como um corpo
extenso (suas dimensões não podem ser desprezadas,
neste caso); na segunda situação, o tamanho do cami-
nhão é muito pequeno se comparado com seu desloca-
mento pela estrada, donde o consideramos um ponto
material.
Referencial
Referencial é o lugar onde está localizado de fato ou
hipoteticamente um observador em relação ao qual
um dado fenômeno (como um corpo em movimento)
está sendo analisado. Por exemplo, quando o movi-
mento é analisado a partir de um referencial preso à
Terra, imaginemos um observador ligado à ela e nos
transmitindo as imagens do fenômeno como ele o vê.
Movimento e repouso
Um corpo está em movimento em relação a um dado
referencial quando as sucessivas posições ocupadas
pelo corpo, em relação a esse referencial, se modifi-
cam no decorrer do tempo. Caso contrário, quando
as posições não se modificam, dizemos que o corpo
está em repouso em relação a esse mesmo referencial.
A ideia de movimento está intimamente relacio-
nada ao conceito de referencial e, para afirmar que
um corpo está se deslocando ou está em repouso, de-
vemos citar o sistema de referência adotado.
Por exemplo, imagine um homem H, viajando no
interior de um vagãoV, olha pela janela e observa um
poste P. Tanto o passageiro como o vagão se encon-
tram em movimento em relação ao poste, pois suas
posições em relação ao poste se alteram no decorrer
do tempo. Da mesma forma, podemos afirmar que o
poste está em movimento em relação ao passageiro,
pois sua posição em relação ao passageiro se altera
de instante para instante.
Tanto o passageiro como o vagão se encontram
em movimento em relação ao poste, pois suas posi-
ções em relação ao poste se alteram no decorrer do
tempo. Da mesma forma, podemos afirmar que o
poste está em movimento em relação ao passageiro,
pois sua posição em relação ao passageiro se altera
de instante para instante.
Já o passageiro está em repouso em relação ao va-
gão, assim como o vagão está em repouso em relação
ao passageiro, porque suas posições não se alteram.
Trajetória
A trajetória corresponde à linha geométrica descrita
por um ponto material ao se deslocar em relação a
um dado referencial. A forma assumida pela trajetó-ria depende do referencial adotado.
Por exemplo, considere o movimento executado
por um ponto P situado no extremo da hélice de um
avião que se desloca em trajetória retilínea e com ve-
locidade constante em relação ao solo. Vejamos nas
duas figuras seguintes quais seriam as formas da tra-
jetória descrita por esse ponto P em relação ao avião
e em relação a um referencial ligado à Terra.
Um observador situado no avião veria P descre-
ver uma trajetória circular.
Um observador situado na Terra veria P descre-
ver uma movimento do avião trajetória helicoidal.
Do teto desse vagão pende um fio a cujo extremo
prendeu-se uma pedra. Num certo momento, esse fio
é cortado e vai se observar a queda da pedra a par-
tir de dois referenciais distintos: o próprio vagão e o
6
7 CAPÍTULO 2. INTRODUÇÃO À CINEMÁTICA
solo.
Agora visualize um vagão de trem com velocidade
constante que se desloca em trajetória retilínea em re-
lação ao solo.
Um observador O situado no inte-
rior do vagão veria a pedra cair verti-
calmente. Um observador O situado no
solo veria a pedra cair num arco de pa-
rábola.
2.3 Grandezas fundamentais
Tempo
A noção de tempo é intuitiva, relacionada à nossa
necessidade cotidiana de nos referirmos aos fatos
ordenando-os através de termos como “antes”, “de-
pois”, “anteriormente” etc., para estabelecermos uma
sequência na narração dos fatos que se sucedem.
O intervalo de tempo é definido da forma ∆t = t.
Adotaremos a unidade de medida nos sistemas S.I.
(Sistema Internacional) e C.G.S (centímetro, grama,
segundo).
Intervalo de tempo
∆t = t− t0
∆t: intervalo de tempo.
t0: tempo inicial.
t: tempo final.
Unidade de medida
SI: segundo (s) CGS: segundo (s)
O segundo (s) é definido em termos de uma
frequência característica associada ao átomo césio,
valendo exatamente 9.192.631.770 ciclos por segundo.
Espaço
Considere um ponto material deslocando-se ao longo
de uma trajetória previamente orientada, de tal
forma que num dado instante t1, ocupe a posição s1 e,
num instante posterior t2, sua posição é s2. Chama-
mos essa mudança de posição de variação de espaço
do ponto material no intervalo t1 `a t2 , e represen-
tamos por ∆s a grandeza definida como variação de
espaço.
Variação de espaço
∆s = s− s0
∆s: variação de espaço.
s0: espaço inicial.
s: espaço final.
Unidade de medida
SI: metro (m) CGS: centímetro (cm)
Se o sentido do movimento coincide com a orien-
tação da trajetória teremos ∆s > 0, caso contrário
teremos ∆s < 0.
O metro é a unidade SI de comprimento e cor-
responde à distância que a luz percorre no vácuo em
1
299.792.458 segundos.
2.4 Velocidade e aceleração
Velocidade
Se alguém nos disser que durante uma viagem per-
correu, num certo trecho, a distância de 500 km em
10 horas, quase que de imediato nos vem à mente o
resultado 50 km/h como sendo o valor que expressa
o que chamamos de velocidade média do movimento,
que obtivemos dividindo a “distância pelo tempo”.
vm =
500 km
10 h = 50 km/h
Note que a velocidade corresponde à dimensão com-
primento L dividida pela dimensão tempo T:
[v] = LT = LT
−1, (2.1)
sendo dada em metros por segundo no SI de unida-
des.
Na cinemática representaremos a velocidade es-
calar média como vm.
Velocidade escalar
Velocidade escalar média
vm =
∆s
∆t
Velocidade escalar instantânea
v = lim
∆t→0
∆s
∆t
Unidade de medida
SI: metro por segundo (m/s)
CGS: centímetro por segundo (cm/s)
Muitas vezes, a pergunta a ser respondida será:
qual era a velocidade do móvel no instante t = 4 s?
Ou, ainda, qual a sua velocidade ao passar por uma
dada localidade?
7
8 CAPÍTULO 2. INTRODUÇÃO À CINEMÁTICA
Nesses casos, devemos fornecer o valor da sua ve-
locidade escalar instantânea v, que definimos como
sendo o limite do quociente entre a variação do es-
paço ∆s e o intervalo de tempo ∆t, quando ∆t tende
a zero.
Em termos práticos, a velocidade escalar instan-
tânea nos é dada, por exemplo, pela indicação do
velocímetro de um automóvel.
Note que, sendo ∆t uma grandeza essencialmente
positiva, a velocidade terá o mesmo sinal de ∆s. Ou
seja, se o sentido do movimento coincide com a ori-
entação da trajetória teremos ∆v > 0, caso contrário
teremos ∆v < 0.
Aceleração
Considere um ponto material em movimento de tal
forma que, num intervalo de tempo ∆t sua velocidade
tenha sofrido uma variação ∆v. Definimos a acelera-
ção escalar média no intervalo de tempo considerado
como am =
∆v
∆t .
Note que a aceleração corresponde à velocidade
(Equação (2.1)) dividida pela dimensão tempo T:
[a] = [v]T =
LT−1
T =
L
TT =
L
T2
= LT−2, (2.2)
sendo dada em metros por segundo ao quadrado
(m/s2) no SI de unidades.
Aceleração escalar
Aceleração escalar média
am =
∆v
∆t
Aceleração escalar instantânea
a = lim
∆t→0
∆v
∆t
Unidade de medida
SI: metro por segundo (m/s2)
CGS: centímetro por segundo (cm/s2)
Sendo ∆t uma grandeza essencialmente positiva,
am terá sempre o mesmo sinal de ∆v.
Exercício
1. Ao passar pelo marco 200 km de uma rodovia, um
motorista vê um anúncio com a inscrição: “Abaste-
cimento e restaurante a 30 minutos”. Considerando
que o posto de serviço se encontra junto ao marco
245 km dessa rodovia, qual a velocidade prevista, se-
gundo o anúncio, para os carros que trafegam nesse
trecho?
2. Um programa esportivo de televisão calculou a
velocidade da bola que bateu na trave do gol como
sendo de 1, 1×102 km/h. Se o tempo necessário para
a bola atingir a trave, desde quando foi chutada, é de
0,5 s, e sendo a velocidade constante nesse tempo,
qual a distância (em metros) que a bola estava do
gol, imediatamente antes do chute?
3. A Embraer (Empresa Brasileira de Aeronáutica
S.A.) testou seu novo avião, o EMB-145. Na opi-
nião dos engenheiros da empresa, esse avião é ideal
para linhas aéreas ligando cidades de porte médio e
para pequenas distâncias. Conforme anunciado pelos
técnicos, à velocidade média do avião é de, aproxi-
madamente, 800 km/h (no ar). Considerando essa
informação, qual o tempo gasto pelo avião (em mi-
nutos) num percurso de 1480 km?
4. Ao final de uma corrida de automóveis, a vanta-
gem do primeiro para o segundo colocado é de 10
segundos. Se nessa corrida a velocidade média dos
automóveis é de cerca de 270 km/h, qual a distância
estimada (em metros) entre os dois automóveis?
5. Um barco descendo um rio cuja correnteza se des-
loca a 10 km/h gasta 6 horas para viajar de uma
cidade a outra, situadas na mesma margem e distan-
ciadas em 180 km. Quanto tempo o barco gastará
para fazer a viagem de volta estando sujeito à mesma
correnteza?
6. Uma escada rolante de 6 metros de altura e 8 me-
tros de base transporta uma pessoa da base até o
topo da escada num intervalo de tempo de 20s. Qual
a velocidade média desta pessoa, em m/s?
7. Se um motorista deseja medir o consumo de com-
bustível de seu automóvel, em qual dos conceitos ele
deve se basear: deslocamento ou espaço percorrido?
Justifique.
8. Um trem de carga de 240 metros de comprimento,
que tem velocidade constante de 20 m/s, gasta 0,5 mi-
nuto para atravessar completamente um túnel. Qual
o comprimento do túnel?
9. Um automóvel percorre um trecho retilíneo de es-
trada, indo da cidade A até a cidade B, distante 150
km da primeira. Saindo às 10 horas de A, para às
11 horas em um restaurante situado no ponto médio
do trecho AB, onde o motorista gasta exatamente
1 hora para almoçar. A seguir, prossegue viagem e
8
9 CAPÍTULO 2. INTRODUÇÃO À CINEMÁTICA
gasta mais 1 hora para chegar à cidade B. Qual a ve-
locidade escalar média do automóvel no trecho AB?
10. Para que os nossos ouvidos possam distinguir o
eco de um som, deve haver um intervalo mínimo de
0,1 segundo entre a emissão e a recepção do som.
Supondo que a velocidade do som no ar numa deter-
minada temperatura seja de 300 m/s, qual deve ser a
distância mínima de uma pessoa a um obstáculo para
que possa ouvir o eco de suas palavras?
11. Um barco é erguido 24 metros no interior de
uma eclusa, num intervalo de tempo de 40 mi-
nutos. Qual sua velocidade média de ascensão?
t(s) s(m)
0 4,0
1 6,0
2 11,0
3 16,0
4 21,05 18,0
6 14,0
12. Considere um móvel que
se desloque de acordo com a
tabela. Determine sua velo-
cidade escalar média entre os
instantes t1 = 1 s e t2 = 4 s;
e entre os instantes t3 = 4 s e
t4 = 6s.
13. O movimento de um ponto material é regido pela
equação horária: s(t) = 5 m + 3 m · s−1t. Determine
sua velocidade escalar média entre os instantes t1 = 2
s e t2 = 6 s.
t(s) v(cm/s)
0 2,0
1 4,0
2 7,0
3 9,0
4 12,0
5 16,0
14. Determine a aceleração
escalar média entre os instan-
tes t = 2 s e t = 5 s para
o movimento no qual a velo-
cidade varia no decorrer do
tempo de acordo com a ta-
bela.
9
3 - Gráficos e classificação dos movimentos
3.1 Classificação dos movimentos
Quanto ao sentido
• Progressivo Quando o sentido do movimento do
ponto material concordar com a orientação positiva
da trajetória. E fácil verificarmos que, nesse caso, a
velocidade será positiva (vm > 0).
||
t1
s1 ||
t2
s2sentido do movimento
⊕
De fato, se o móvel se desloca no mesmo sentido
da trajetória, teremos:
s1 > s2 ⇒ ∆s > 0⇒ v > 0
• Retrógrado Sempre que o móvel se deslocar em
sentido contrário à orientação positiva da trajetória.
Nesse caso, a velocidade será negativa (v < 0).
||
t2
s2 ||
t1
s1
sentido do movimento
⊕
Se o móvel se desloca em sentido oposto ao da
orientação positiva da trajetória, temos:
s2 < s1 ⇒ ∆s < 0⇒ v < 0
Quanto à velocidade e à aceleração
•Acelerado Todo movimento no qual o módulo da
velocidade aumenta no decorrer do tempo. Verifica-
mos que, nesse caso, a velocidade v e a aceleração a
têm mesmo sinal.
•Retardado Quando o módulo da velocidade dimi-
nui no decorrer do tempo. Nesse caso, velocidade v
e acelaração a terão sinais contrários.
Considere as tabelas velocidade versus tempo
(SI) apresentadas a seguir, onde a aceleração será to-
mada como constante a fim de simplificar a discussão.
I II III IV
v t v t v t v t
10 2 –6 0 20 2 –15 1
20 4 –12 3 16 4 –12 4
30 6 –18 6 12 6 –9 7
As Tabelas I e III referem-se a um movimento
progressivo, uma vez que temos v > 0; já as Tabe-
las II e IV nos mostram um movimento retrógrado,
pois v < 0. Mas apenas nas Tabelas I e II temos
movimentos acelerados, pois o módulo da velocidade
aumenta no decorrer do tempo.
Podemos ainda determinar o valor da aceleração
nos quatro casos:
aI =
∆v
∆t =
30 m · s−1 − 10 m · s−1
6 s− 2 s = 5 m/s
2
aII =
∆v
∆t =
−18 m · s−1 − (−6) m · s−1
6 s− 0 = −2 m/s
2
aIII =
∆v
∆t =
12 m · s−1 − 20 m · s−1
6 s− 2 s = −2 m/s
2
aIV =
∆v
∆t =
−9 m · s−1 − (−15) m · s−1
7 s− 1 s = 1 m/s
2
Voltando à análise dos movimentos, percebemos
que a Tabela I nos apresenta um movimento no qual
v > 0, ou seja, o movimento é progressivo, e, como v
e a têm mesmos sinais, o movimento é acelerado.
A Tabela II nos mostra que v < 0, ou seja, o mo-
vimento é retrógrado e, mais ainda, como v e a têm
sinais opostos, o movimento é acelerado.
De acordo com a tabela III, observamos que v >
0, ou seja, o movimento é progressivo; o movimento
correspondente à Tabela IV é retrógrado, pois v < 0.
Repare ainda que, de acordo com a Tabela III, o
módulo da velocidade diminui no decorrer do tempo;
este movimento será, então, retardado, o mesmo
ocorrendo com o movimento representado pela Ta-
bela IV.
3.2 Análise de gráficos
Gráfico espaço versus tempo
tt2t1
s2
s1
sVamos analisar um caso
particular, onde o gráfico do
espaço em função do tempo
é dado por uma reta. Como
neste caso a velocidade é
constante (o que será de-
monstrado no capítulo referente a movimento uni-
forme), o valor da velocidade escalar média é igual
ao valor da velocidade escalar instantânea.
• Se o gráfico s = f(t) é crescente ⇒ v > 0.
• Se o gráfico s = f(t) é decrescente ⇒ v < 0.
Estas conclusões podem ser generalizadas para si-
tuações nas quais o gráfico espaço versus tempo não
é linear, como no exemplo que se segue:
10
11 CAPÍTULO 3. GRÁFICOS E CLASSIFICAÇÃO DOS MOVIMENTOS
crescente
v > 0
decrescente
v < 0
t
s •A
decrescente
v < 0
crescente
v > 0
t
s
•A
O ponto A assinalado no gráfico acima, corres-
ponde ao que chamamos de um “ponto de máximo”;
ele possui a seguinte propriedade: no instante cor-
respondente a ele no gráfico a velocidade do móvel é
nula. Esta propriedade continua válida se o ponto A
for um “ponto de mínimo”, como mostra a figura.
Gráfico velocidade versus tempo
Consideremos o gráfico seguinte, que nos mostra
como varia a velocidade de uma partícula no decorrer
do tempo.
tt2t1
v2
v1
vComo neste caso o va-
lor da aceleração escalar é
constante (conforme veremos
no capítulo referente a mo-
vimento uniformemente vari-
ado), o valor da aceleração
escalar média é igual ao valor da aceleração escalar
instantânea.
Da mesma forma como procedemos no gráfico
do espaço versus tempo, podemos generalizar esta
propriedade do gráfico velocidade versus tempo da
maneira como se segue:
• gráfico velocidade × tempo crescente ⇒ a > 0
• gráfico velocidade × tempo decrescente ⇒ a < 0.
decrescente
a < 0
crescente
a > 0
t
v
•A
Assim teremos o grá-
fico ao lado, mesmo que
o gráfico velocidade versus
tempo não seja linear.
Vale ainda lembrar que:
• ponto de máximo⇒ a = 0
• ponto de mínimo ⇒ a = 0.
t
A
t1 t2
v
v
O gráfico velocidade
versus tempo apresenta
ainda uma segunda propri-
edade; para demonstrá-la,
consideremos um movimento
no qual o valor da velocidade
permanece constante no decorrer do tempo. Nesse
caso, teremos o gráfico de v = f(t).
Calculando o valor da área A do retângulo ha-
churado teremos:
A = base · altura
A = ∆t · v = ��∆t · ∆s
��∆t
A = ∆s
Ou seja, no gráfico da velocidade versus tempo
o valor da área delimitada pela curva com o eixo dos
tempos é numericamente igual ao valor da variação
do espaço do móvel no intervalo de tempo conside-
rado.
Continua então válida a propriedade de que a va-
riação de espaço é numericamente igual à área:
∆s N= área A,
com a seguinte observação:{
∆s > 0 : quando a área A está acima do eixo t.
∆s < 0 : quando a área A está abaixo do eixo t.
Gráfico aceleração versus tempo
t
A
t1 t2
a
a
Considerando uma situ-
ação na qual o valor da
aceleração escalar permanece
constante no decorrer do
tempo e calculando o valor da
área A do retângulo hachu-
rado do gráfico ao lado, teremos:
A = base · altura
A = ∆t · a = ��∆t · ∆v
��∆t
A = ∆v
Ou seja, no gráfico da aceleração versus tempo o
valor da área delimitada pela curva com o eixo dos
tempos é numericamente igual ao valor da variação
da velocidade do móvel no intervalo de tempo consi-
derado.
Continua então válida a propriedade de que a va-
riação da velocidade é numericamente igual à área:
∆v N= área A,
com a seguinte observação:{
∆v > 0 : quando a área A está acima do eixo t.
∆v < 0 : quando a área A está abaixo do eixo t.
11
12 CAPÍTULO 3. GRÁFICOS E CLASSIFICAÇÃO DOS MOVIMENTOS
Exercício
1. Considere o gráfico ao lado e obtenha a par-
tir dele o valor da velocidade escalar deste mo-
vimento.
t(s)
s(m)
10
20
30
30
2. Dado o gráfico ao lado espaço versus tempo
referente ao movimento de uma partícula, de-
termine o valor da sua velocidade no instante
t = 2 s.
t(s)
s(m)
5
20
3. Classifique o movimento de um ponto ma-
terial, cujo diagrama horário é dado ao lado.
O que podemos afirmar a respeito desse mo-
vimento em t = 2 s e t = 4 s?.
t(s)
s
10 20
4. Baseado no gráfico que se segue, determine
o valor da aceleração do móvel em t = 2 s.
t(s)
v(m)
4
16
5. A velocidade de um móvel varia, no decor-
rer do tempo, conforme mostra o gráfico se-
guinte. Classifique esse movimento.
t1
•
t2
•
t3
•
t4
• t(s)
v(m/s)
10
30
-30
6. A partir do gráfico da velocidade versus
tempo dado a seguir e que se refere ao mo-
vimento de um ponto material, obter o valor
da sua velocidade escalar média no intervalo
de t = 0 a t = 10 s.
A1 A2
t(s)
v(m/s)
10
106
20
7. A velocidade de um móvel varia no decorrer
do tempo, de acordo com o gráfico que se se-
gue. Determine o valor da variação do espaço
deste móvel entre t = 0 e t = 10 s.
A1
A2
-10
2 4 6 8 10
t(s)
v(m/s)
20
8. Um ponto material desloca-se de tal formaque em t = 0 e tínhamos v0 = 2 m/s.
Conhecendo-se graficamente a variação da sua
velocidade no decorrer do tempo, pede-se de-
terminar sua velocidade no instante t = 5 s.
4
1 2 3 4 5
t(s)
a(m/s2)
9. Com base no gráfico do exercício anterior,
determine o valor da aceleração média no in-
tervalo t = 0 sa t = 4 s.
12
4 -Movimento uniforme e variado
4.1 Movimento uniforme (M.U.)
Chamamos de movimento uniforme a todo aquele
no qual a velocidade escalar é constante.
Considere um móvel que se desloca ao longo da
sua trajetória com velocidade constante v e seja s0
sua posição no instante t = 0.
⊕
v•
t = 0
s0
||
0 ||
t
s
Sendo sua velocidade constante no decorrer do
tempo, seu valor será igual ao valor da velocidade es-
calar média; assim, no intervalo de tempo t = 0 até
o instante t, podemos escrever:
vm =
∆s
∆t ⇒ v =
s− s0
t− t0
para t0 = 0
⇒ v = s− s0
t− 0 multiplicando por t
⇒ s− s0 = vt somando s0
⇒ s = s0 + vt
Essa expressão corresponde à função horária dos es-
paços do movimento uniforme; ao montá-la fique
atento para atribuir os sinais corretos aos valores de
s0 e v.
Função horária dos espaços do M.U.
s = s0 + vt
s: posição final.
s0: posição inicial.
Gráficos para o MU
Diagrama horário s = f(t)
Sendo s = s0 + vt uma função linear, o gráfico da
função será dado por:
t
s
s0
v > 0
t
s
s0
v < 0
Gráfico de v = f(t)
Como, no movimento uniforme, a velocidade es-
calar é constante (v = cte.), teremos:
t
v
v
v > 0
t
v
v
v < 0
Gráfico de a = f(t)
t
aSe a velocidade escalar é
constante, a aceleração esca-
lar da partícula será sempre
nula.
4.2 Movimento uniformemente variado
Será chamado de movimento uniformemente variado
(MUV) todo aquele no qual o valor da aceleração es-
calar instantânea permanecer constante no decorrer
do tempo.
Considere uma partícula que se desloca ao longo
da sua trajetória com aceleração constante e sejam s0,
e v0 os valores do espaço inicial e da sua velocidade
inicial (instante t = 0).
Como a aceleração deve permanecer constante,
seu valor será igual ao valor da aceleração escalar
média:
⊕
a•
t = 0
s0, v0
||
0 ||
t
s, v
am =
∆v
∆t ⇒ a =
v − v0
t− t0
para t0 = 0
⇒ a = v − v0
t− 0 multiplicando por t
⇒ v − v0 = at somando v0
⇒ v = v0 + at
Esta expressão nos permitirá obter o valor da veloci-
dade do móvel em cada instante, uma vez conhecidos
os valores da velocidade inicial e da aceleração.
Função horária da velocidade do M.U.V
v = v0 + at
v: velocidade final.
v0: velocidade inicial.
13
14 CAPÍTULO 4. MOVIMENTO UNIFORME E VARIADO
t
A
t
v
v
v0
Para obtermos a função
horária dos espaços, vamos
construir o gráfico da velo-
cidade × tempo, lembrando
que ele será dado por uma
reta. Neste gráfico, o valor
da área hachurada é numericamente igual a ∆s, no
intervalo t = 0 a t.
A área A é igual a base b = t multiplicada pela
altura h = v + v02 . Como os lados direito e esquerdo
da área A apresentam alturas h diferentes, foi usada
a altura média.
∆s N= área A = b · h
∆s = t · v + v02 (4.1)
Substituindo v na Equação (4.1) pelo segundo mem-
bro da expressão v = v0 + at, obtemos:
∆s = t · (v0 + at) + v02
s− s0 = t ·
2v0 + at
2
s− s0 = �
2v0t
�2
+ at
2
2
s = s0 + v0t+
a
2 t
2 (4.2)
Função horária dos espaços do MUV
s = s0 + v0t+
a
2 t
2
s: posição final.
s0: posição inicial.
v0: velocidade inicial.
Gráficos para o MUV
Gráficos de s = f(t):
Sendo s = s0 + v0t+
a
2 t
2 uma função quadrática,
o gráfico de s = f(t) sera dado por urna parábola
cujo sentido da concavidade sera dado pelo sinal da
aceleração escalar a:
•a > 0: concavidade voltada “para cima”.
•a < 0: concavidade voltada “para baixo”.
progressivo
retardado
retrógrado
acelerado
t
s
a < 0
v > 0 v < 0
retrógado
retardado
progressivo
acelerado
t
s
a > 0
v < 0 v > 0
Gráfico de v = f(t):
A função velocidade v = v0 +at é linear, donde se
conclui que o gráfico de v = f(t) será dado por uma
reta.
t
v a > 0
v < 0 v > 0
t
v a < 0
v > 0 v < 0
Gráfico de a = f(t):
Sendo a aceleração constante, o gráfico de a =
f(t) será dado por uma reta paralela ao eixo dos tem-
pos.
t
a
a
a > 0
t
a
a
a < 0
Equação de Torricelli
O que caracteriza essa nova relação do MUV é o fato
de nos apresentar uma relação matemática entre o es-
paço s a velocidade v, sem se referir à variável tempo
t.
Pode ser deduzida como se segue, partindo-se da
equação da velocidade do MUV:
v = v0 + at subtraindo v0
at = v − v0 dividindo por a
t = v − v0
a
1©
Substituindo-se o valor obtido para t em 1© na fun-
ção horária dos espaços do MUV, resulta:
s = s0 + v0t+
a
2 t
2
s− s0 = v0
(
v − v0
a
)
+ a2
(
v − v0
a
)2
∆s = vv0 − v
2
0
a
+ �a2 ·
v2 − 2vv0 + v20
a�2
∆s = �
��2vv0a− 2v20�a+ v2�a���
�−2vv0a+ v20�a
2a�2
∆s = −v
2
0 + v2
2a ⇒ 2a∆s = −v
2
0 + v2
v2 = v20 + 2a∆s
Equação de Torricelli
v2 = v20 + 2a∆s
Utilize a equação de Torricelli sempre que o pro-
blema propuser uma relação entre velocidade e es-
paço, sem fazer menção à variável tempo.
14
15 CAPÍTULO 4. MOVIMENTO UNIFORME E VARIADO
4.3 Lancamento vertical e queda livre
Já nos séculos XVI e XVII, o físico italiano Galileu
Galilei (1564-1642) demonstraria que qualquer corpo
nas proximidades da superfície da Terra é atraído por
esta e que a aceleração adquirida por esse corpo, qual-
quer que seja a sua massa m, será sempre a mesma,
na ausência da resistência do ar.
Essa aceleração, de mesmo valor para todos os
corpos, é denominada aceleração da gravidade g
e seu valor está em torno de 9,81 m/s2. Entretanto,
esse valor não é o mesmo em qualquer local da Terra,
variando em função da latitude e altitude da região
considerada.
O movimento de queda livre corresponde ao mo-
vimento de um corpo abandonado nas proximida-
des da superfície da Terra (velocidade inicial nula,
v0 = 0); já no lançamento vertical, deveremos impri-
mir ao corpo uma certa velocidade inicial (v 6= 0), no
sentido ascendente ou descendente.
Em ambos os casos (queda livre e lançamento ver-
tical), estaremos tratando de movimentos que se dão
com aceleração constante (g = constante = 9,8 m/s2);
serão analisados, portanto, como casos particulares
de movimento uniformemente variado e, dessa ma-
neira, estudados a partir das mesmas equações.
Deveremos tomar alguns cuidados no momento
em que formos atribuir sinais às grandezas envolvi-
das (s, v, a), pois dependerão apenas do sentido que
fixarmos para a trajetória.
Como exemplo, consideremos um corpo lançado
do solo, verticalmente para cima, com velocidade ini-
cial v0.
Duas orientações para a trajetória serão possíveis:
a = −g
v0 > 0
+©
Orientação
para cima
a = +g
v0 < 0+©
Orientação
para baixo
O sinal que obtive-
mos para a acelera-
ção depende apenas
da orientação da tra-
jetória, independen-
temente do fato de o
corpo estar subindo
ou descendo. Esse
tipo de movimento
apresenta as seguintes propriedades:
• A velocidade do corpo no ponto mais alto da
trajetória (altura máxima) é zero, instantaneamente.
• O tempo gasto na subida é igual ao na descida
(desde que ele saia de um ponto e retorne ao mesmo
ponto).
• A velocidade, num dado ponto da trajetória,
tem os mesmos valores, em módulo, na subida e na
descida.
Exercício
1. Um móvel se desloca segundo a equação ho-
rária
s = 10− 2t (SI)
Determine:
seu espaço inicial s0 e sua velocidade escalar v;a)
a velocidade escalar média, entre t = 0 e t = 6 s.b)
2. O gráfico seguinte dá a posição s de uma
partícula, em função do tempo t. Forneça a
função horária desse movimento.
40 C
5
20 B
t(s)
s(m)
20
A
θ ·
3. Dois móveis partem simultaneamente de
dois pontos distintos A e B, em sentidos
contrários. Suas velocidades são, respectiva-
mente, de 54 km/h e 72 km/h, constantes, e
a distância AB é igual a 700 m. Determine:
quanto tempo após a partida se dá o encontro;a)
a posição do ponto de encontro.b)
4. Um ponto material desloca-se segundo a
função horária:
s = −10− 3t+ t2
Determine:
os valores de s0, v0 e a. Classifique o movimento
em t = 0;
a)
o(s) instante(s) em que ele passa pela origem dos
espaços;
b)sua velocidade média entre os instantes t1 = 1 e
t2 = 4 s;
c)
o instante em que sua velocidade se anula;d)
o esboço do gráfico v = f(t);e)
a classificação do movimento, no geral.f)
15
16 CAPÍTULO 4. MOVIMENTO UNIFORME E VARIADO
5. Um móvel A parte de um dado ponto com
velocidade de 20 m/s; cinco segundos após a
partida de A, parte do mesmo ponto um mó-
vel B com velocidade nula e aceleração de 4
m/s2. Determine:
o instante em que se dá o encontro;a)
a posição do encontro.b)
6. Um vagão ferroviário, deslocando-se com
velocidade v = 30 m/s, é desacelerado até o
repouso com aceleração constante. O vagão
percorre 100 m antes de parar. Qual é a ace-
leração do vagão?
7. Um corpo é lançado verticalmente para
cima, a partir do solo, com uma velocidade ini-
cial de 40 m/s. Desprezando-se a resistência
do ar e adotando-se g = 10 m/s2, determinar:
a altura máxima atingida;a)
o tempo gasto na subida;b)
a duração do movimento;c)
quanto tempo após o lançamento estará a 60 m do
solo;
d)
sua velocidade ao passar por esse ponto;e)
sua velocidade ao retornar ao chão;f)
os gráficos de s = f(t) e v = f(t).g)
16
5 - Cinemática Vetorial
5.1 Velocidade e aceleração vetorial
A partir de agora estudaremos a velocidade e a acele-
ração como sendo grandezas vetoriais ou seja, se nós
quisermos entender tudo a seu respeito deveremos
ser capazes de fornecer os seus módulos, direções e
sentidos.
trajetória
•
•
pedraExemplo 1 Um menino
amarra uma pedra na ponta
de um barbante e começa a
girá-la em torno de si; num
determinado momento o fio
se rompe. Verifica-se que a
pedra nesse instante tende a seguir uma trajetória
tangente à curva naquele ponto.
Exemplo 2 Quando numa corrida de Fórmula 1
um dos pilotos perde o controle do carro, na curva,
diz-se que “o carro saiu pela tangente”.
A partir destes dois exemplos podemos concluir
que a direção da velocidade vetorial deve ser tal que
coincida com a direção da reta tangente à trajetória
em cada ponto, uma vez que é esta a direção que o
corpo tende a seguir caso “o fio se rompa” ou caso “o
piloto perca o controle do seu carro”.
O sentido da velocidade vetorial coincide com o
sendo do movimento, como foi visto nos exemplos ci-
tados.
Com relação ao módulo da velocidade vetorial,
podemos entender que ele deve estar associado à ra-
pidez com que o móvel se desloca ao longo da sua
trajetória; mas essa rapidez já era medida a partir
de uma grandeza conhecida nossa: a velocidade es-
calar instantânea. Concluímos então que o módulo
da velocidade vetorial coincide com o valor da ve-
locidade escalar instantânea. Resumindo, podemos
caracterizar a velocidade vetorial da seguinte forma:
~v3~v2
~v1
• o módulo da velocidade ve-
torial é igual ao módulo da
velocidade escalar instantâ-
nea.
• a direção da velocidade ve-
torial é tangente à trajetória
em cada ponto da mesma.
• o sentido da velocidade vetorial coincide com o sen-
tido do movimento.
Nossa preocupação agora se volta para as medi-
das da variação da velocidade vetorial no decorrer do
tempo. Esse tipo de medida é feita com o auxílio da
aceleração vetorial, que é definida como se segue:
~a = lim
∆t→0
∆~v
∆t
Mas não podemos deixar de ter em vista que para
nós, agora, velocidade é uma grandeza vetorial e,
dessa forma, sua variação será uma decorrência das
seguintes situações: (a) varia apenas o módulo de ~v;
(b) varia apenas a direção de ~v; (c) variam, simulta-
neamente, o módulo e a direção de ~v.
(a) Apenas o módulo de ~v varia com direção
constante.
Sendo a direção do movimento constante, con-
cluímos que se trata de um movimento de trajetória
retilínea.
~v1 ~v2
trajetória
Assim: |~v2| 6= |~v1|.
Nesse caso, mediremos a variação da velocidade ~v
em relação ao tempo através da sua aceleração tan-
gencial ~at, que terá a mesma direção de ~v.
Para obtermos o sentido de ~at, vejamos as duas
possibilidades:{
|~v2| > |~v1|: movimento acelerado.
Sentido de ~at ≡ sentido de ~v.
~v1 ~v2
~at
trajetória{
|~v2| < |~v1|: movimento retardado.
Sentido de ~at será o oposto de ~v.
~v1 ~v2
~at
trajetória
17
18 CAPÍTULO 5. CINEMÁTICA VETORIAL
O módulo de ~a, será igual ao módulo da acelera-
ção escalar a, já que ambas as grandezas estão rela-
cionadas apenas com a medida da variação do valor
da velocidade.
Percebemos, então, que ~at é característica de mo-
vimentos variados.
(b) Apenas a direção de ~a varia, mantendo o
módulo constante.
Se a direção de ~v se altera, a trajetória será ne-
cessariamente curvilínea.
~v
~acp
·
~v
~acp
·
~v
~acp
·
Nesse caso, diremos que o ponto material está do-
tado de uma aceleração centrípeta ~aap, que terá di-
reção sempre perpendicular à direção de ~v em cada
ponto e cujo sentido será sempre voltado para o cen-
tro da curva descrita.
O módulo dessa aceleração será dado por:
|~acp| =
~v 2
R
Como:
{
v: módulo de |~v|.
R raio da curva descrita.
No caso acima inexiste a aceleração tangencial ~at,
pois |~v| = constante.
(c) Variam, simultaneamente, o módulo e
a direção da velocidade vetorial ~v.
Por variar o módulo de ~v, o movimento apresenta
aceleração tangencial ~at.
Como também varia a direção de ~v (a trajetória
será curvilínea), teremos também a presença da ace-
leração centrípeta ~acp.
Assim, teremos:
~at
~acp
~v
~a
·
A aceleração vetorial resultante do movimento
será ~a, obtida a partir da soma vetorial:
~a = ~at + ~acp
É imediato que, através da relação de Pitágoras, po-
demos escrever:
|~a|2 = |~at|2 + |~acp|2
Resumindo, temos:
Componente tangencial da aceleração (~at):
•típica de movimentos variados
•módulo: |~at| = aescalar
•direção: tangente à trajetória
•sentido:
{
movimento acelerado: coincide com ~v
movimento retardado: oposto ao de ~v
Componente centrípeta da aceleração (~acp):
•típica de movimentos de trajetória curvilínea
•módulo: |~acp| =
~v 2
R
•direção: perpendicular a ~v
•sentido: do ponto da curva para o centro da mesma.
5.2 Composição de movimentos
Uma técnica muito utilizada em Física para a aná-
lise de movimentos consiste na aplicação do princípio
da independência dos movimentos, de Galileu, que se
enuncia assim:
Princípio da independência dos movimentos
Todo movimento de um corpo pode ser analisado
como sendo o resultado da superposição de outros
movimentos independentes que se dão simultanea-
mente.
Como exemplo, podemos analisar o movimento
de um barco, lançado no ponto A por um re-
mador, perpendicularmente às águas de um rio:
~v1 correnteza
•
•
B
A
O movimento resultante executado pelo barco é
obtido a partir da composição dos movimentos “par-
ciais”:
•movimento do barco em relação às águas: resultado
da ação do remador que, por ele, levaria o barco de
A e B;
•movimento das águas em relação às margens (cor-
renteza).
Assim, o barco em questão se deslocaria como ve-
mos na figura.
18
19 CAPÍTULO 5. CINEMÁTICA VETORIAL
~v1~v1
correnteza
•
•
•B C
A
Generalizando:
Seja P um ponto material (o barco) que se des-
loca em relação a um referencial I (as águas), com
velocidade ~vrelativa.
Mas, por sua vez, o referencial I tem movimento
em relação a um referencial II (as margens); chama-
mos à velocidade de I em relação a II de ~varrastamento.
A velocidade do ponto P em relação ao referencial
II (~vabsoluta) será dada por:
~vabsoluta = ~vrelativa + ~varrastamento
5.3 Lançamento de projéteis
Lançamento oblíquo
Estudaremos a seguir o movimento de um corpo, lan-
çado com velocidade ~v0, nas proximidades da Terra,
inclinado inicialmente em relação à Terra.
A trajetória descrita peio corpo pode ser
visualizada se pensarmos na trajetória des-
crita por uma pedra lançada por um me-
nino com um estilingue, como mostra a figura.
~g
trajetória
θ
~v0
Supondo-se a resistência do ar desprezível, essa
pedra descreverá, em relação ao solo, uma trajetória
parabólica (arco de parábola).
Como podemos determinar, por exemplo, o valor
do alcance da pedra? Ou, ainda, qual o valor da al-
tura máxima atingida pela pedra durante o trajeto?
Para tanto, decomporemos o movimento resul-
tante em doisoutros: um vertical e outro horizontal.
Tornemos a olhar a figura e nela veremos a ace-
leração da gravidade g; lembramos, então, que sua
direção é vertical, de onde afirmamos que:
• em relação à horizontal, o movimento da pedra será
uniforme (v = constante), já que nessa mesma dire-
ção inexiste aceleração.
• em relação à vertical, a pedra executa um movi-
mento de aceleração constante e de módulo igual a g;
trata-se, de um movimento uniformemente variado
(MUV);
Consideremos, então, um corpo lançado a partir
do solo com velocidade ~v0, com uma dada incli-
nação θ, em relação à horizontal, conforme a figura:
MU
x
y MUV
0 ~v0x
~v0y ~g
θ
~v0
Decompondo-se ~v0, nos eixos 0x e 0y, mostrados na
figura, obtemos:
sen θ = v0y
v0
⇒ v0y = v0 · sen θ
cos θ = v0x
v0
⇒ v0x = v0 · cos θ
As equações que regem os movimentos nas direções
0x (horizontal) e 0y (vertical) serão:
• direção 0x – movimento uniforme:
s = s0 + v · t o mesmo que
x = ��x0 + v0x · t como v0x = (v0 · cos θ), temos
x = (v0 · cos θ) · t
• direção 0y – movimento uniformemente va-
riado:
s = s0 + v0 · t+
a
2 t
2, onde

s0 = y0 = 0
v0 = v0y = v0 · sen θ
a = −g
y = (v0 · sen θ) · t−
g
2 t
2
São equações difíceis de memorizar; é mais prático e
prudente que você saiba montá-las no momento da
resolução.
Propriedades do lançamento oblíquo:
• para uma dada velocidade inicial v0, o máximo
alcance é obtido para um ângulo de lançamento de
45°.
• para uma dada velocidade inicial v0, para ângulos
de lançamentos complementares, teremos alcances
de mesmo valor.
Lançamento horizontal
Neste caso teremos v0y = 0. O estudo e equaciona-
mento é idêntico ao do lançamento oblíquo.
19
20 CAPÍTULO 5. CINEMÁTICA VETORIAL
Exercício
1. Um ponto material descreve ummovimento
circular, de raio R = 10 m, com velocidade de
20 m/s. Determine o módulo da aceleração.
2. Um ponto se desloca sobre uma circunfe-
rência de raio R = 20 m, segundo a função
horária: s = 10t+ t2 (SI). Determine:
o módulo da aceleração centrípeta em t = 5, 0 s;a)
o módulo da aceleração tangencial no mesmo
instante.
b)
3. Um barco é lançado perpendicularmente às
águas de uma rio com velocidade v1 = 8, 0 m/s,
em relação às águas. Para um rio de largura
` = 80 m e correnteza com velocidade v2 = 6, 0
m/s, determine:
~v2
~v1
a velocidade do barco em relação às margens do
rio;
a)
o tempo de travessia, sem correnteza;b)
o tempo de travessia, com correnteza;c)
o deslocamento do barco, na direção paralela às
margens do rio.
d)
4. Uma pedra é lançada com velocidade v0 =
80 m/s, inclinada de 30° em relação à horizon-
tal. Determine, supondo desprezível a resis-
tência do ar:
o tempo de subida;a)
a duração do movimento;b)
a altura máxima atingida h;c)
o alcance horizontal desse lançamento.d)
5. Um avião supersônico está voando horizon-
talmente a uma altitude de 18 km, com veloci-
dade de 1.800 km/h, quando um dos motores
se desprende. Desprezando a resistência do
ar, forneça:
o tempo que leva para o motor atingir o solo;a)
a distância horizontal entre o ponto em que a
queda do motor começou e o ponto em que ba-
teu no chão;
b)
a distância entre o motor e o avião (admitindo
que este continue o voo sem pertubação) quando
aquele chega ao solo;
c)
a velocidade do motor ao atingir o solo.d)
6. Em voo horizontal, a 3000 m de altitude,
com velocidade de 540 km/h, um bombardeiro
deixa cair uma bomba. Esta explode 15 s an-
tes de atingir o solo. Desprezando a resistên-
cia do ar, calcule a velocidade da bomba no
momento da explosão. (Adote g = 10 m/s2)
7. Um bombardeiro voa a 3920 m de altura
com velocidade de 1440 km/h. De que posi-
ção ele deve soltar uma bomba para atingir
um alvo no solo? (Adote g = 10 m/s2)
8. Uma bola rola sobre uma mesa horizontal
de 1,25 m de altura e vai cair num ponto do
solo situado à distância de 2,5 m, medida hori-
zontalmente a partir da beirada da mesa. Qual
a velocidade da bola, em m/s, no instante em
que ela abandonou a mesa? (Adote g = 10 m/s2)
9. Calcule o alcance de um projétil lançado
por um morteiro com velocidade inicial de 100
m/s, sabendo-se que o ângulo formado entre
o morteiro e a horizontal é de 30º°. (Adote g =
10 m/s2)
10. Para bombardear um alvo, um avião em
voo horizontal a uma altitude de 2 km solta a
bomba quando a sua distância horizontal até
o alvo é de 4 km. Admite-se que a resistência
do ar seja desprezível. Para atingir o mesmo
alvo, se o avião voasse com a mesma veloci-
dade, mas agora a uma altitude de apenas 0,50
km, ele teria de soltar a bomba a que distância
horizontal do alvo? (Adote g = 10 m/s2)
20
21 CAPÍTULO 5. CINEMÁTICA VETORIAL
11. Um avião precisa soltar um saco com man-
timentos a um grupo de sobreviventes que está
numa balsa. A velocidade horizontal do avião
é constante e igual a 100 m/s em relação à
balsa e sua altitude é 2000 m. Qual a distância
horizontal que separa o avião dos sobreviven-
tes, no instante do lançamento? (Adote g = 10
m/s2)
12. Uma bola de pingue-pongue rola sobre
uma mesa com velocidade constante de 2 m/s.
Após sair da mesa, cai, atingindo o chão a uma
distância de 0,80 m dos pés da mesa. Adote
g = 10 m/s2, despreze a resistência do ar e
determine:
A altura da mesa.a)
O tempo gasto para atingir o solo.b)
13. De um ônibus que trafega numa estrada
reta e horizontal com velocidade constante de
20 m/s desprende-se um parafuso, situado a
0,80 m do solo e que se fixa à pista no local
em que a atingiu. Tomando-se como referência
uma escala cujo zero coincide com a vertical no
instante em que se inicia a queda do parafuso
e considerando-se g = 10 m/s2, determine, em
m, a que distância este será encontrado sobre
a pista.
14. Um canhão, em solo plano e horizontal,
dispara uma bala, com ângulo de tiro de 30º.
A velocidade inicial da bala é 500 m/s. Sendo
g = 10 m/s2 o valor da aceleração da gravi-
dade no local, qual a altura máxima da bala
em relação ao solo, em km?
15. Um objeto voa numa trajetória retilínea,
com velocidade v = 200 m/s, numa altura H =
1500 m do solo. Quando o objeto passa exata-
mente na vertical de uma peça de artilharia,
esta dispara um projétil, num ângulo de 60°
com a horizontal. O projétil atinge o objeto
decorrido o intervalo de tempo ∆t. Adote g =
10 m/s2. Calcule a velocidade de lançamento
do projétil.
16. Um projétil é lançado do solo numa di-
reção inclinada em relação à horizontal. Em
que instante sua velocidade será mínima? E
máxima?
17. Numa prova de tiro ao alvo, o atirador
deve dirigir o projétil exatamente para o cen-
tro do alvo? Justifique.
18. Uma bola é chutada em uma direção que
forma um ângulo de 45° com a horizontal.
Desprezando-se os atritos com o ar, no ponto
mais alto que a bola atinge a intensidade de
sua:
( ) velocidade é zero.a)
( ) aceleração é zero.b)
( ) velocidade é mínima, mas diferente de zero.c)
( ) aceleração é mínima, mas diferente de zero.d)
( ) velocidade e sua aceleração têm módulos iguais.e)
19. Uma pessoa sentada num trem, que se des-
loca numa trajetória retilínea e horizontal a 20
m/s, lança uma bola verticalmente para cima
e a pega de volta no mesmo nível do lança-
mento. A bola atinge uma altura máxima de
0,8 m em relação a este nível. Adotando-se
g = 10 m/s2 e desprezando-se o efeito do ar,
pede-se:
Os módulos da velocidade vetorial e da acelera-
ção vetorial da bola, em relação ao solo terrestre,
quando ela atinge sua altura máxima.
a)
O tempo durante o qual a bola permanece no ar.b)
20. A escada rolante que liga a plataforma de
uma estação subterrânea de metrô ao nível da
rua move-se com velocidade constante de 0,80
m/s:
Sabendo-se que a escada tem uma inclinação de
30° em relação à horizontal, determine, com o au-
xílio da tabela, a componente vertical de sua ve-
locidade.
ângulo θ sen θ cos θ
30° 0,500 0,867
60° 0,867 0,500
a)
Sabendo-se que o tempo necessário para um pas-
sageiro ser transportado pela escada, do nível da
plataforma ao nível da rua, é de 30 segundos, de-
termine a que profundidade se encontra o nível da
plataforma em relação ao nível da rua.
b)
21
Parte II
Dinâmica22
6 - Dinâmica: Leis de Newton
Nesta parte da mecânica, propomo-nos a respon-
der como se relacionam força e movimento?
Uma das respostas, dada por Aristóteles (século
IV a.C.), pode ser sintetizada como se segue: é im-
possível a um corpo se deslocar na ausência de forças.
À primeira vista, essa parece resumir de forma
simples um fato bem conhecido. Esse fato pode ser,
por exemplo, puxar uma cadeira: enquanto você a
puxa, ela anda; ao você parar de puxar, ela pára.
Entretanto, se nos prendermos a análises desse
tipo, imediatistas e simplórias, seremos levados a
acreditar que a conclusão de Aristóteles estava certa.
E essa conclusão perdurou por aproximadamente
2000 anos, pois apenas no fim do século XVI, com
Galileu, e no século XVII, com Newton, é que caíram
por terra os postulados aristotélicos do movimento.
Como se relacionam força e movimento? A res-
posta só poderá ser dada, na sua forma mais clara,
após a apresentação das leis do movimento de New-
ton, que passaremos a analisar a seguir.
6.1 1ª Lei de Newton
1ª Lei de Newton (princípio da inércia)
Quando a resultante das forças que atuam sobre um
corpo for nula, esse corpo permanecerá em repouso
ou em movimento retilíneo uniforme (MRU).
Antes de passarmos à discussão das ideias conti-
das nesse 1º princípio, vejamos o significado de suas
palavras.
A expressão “resultante das forças que atuam
sobre um corpo for nula” é, para nós, sinônimo
de equilíbrio. Esse equilíbrio pode manifestar-se de
duas formas:
~R = ~0⇒ equilíbrio
{
estático: repouso
dinâmico: MUV
Mas perceba que, no enunciado da lei, Newton apre-
senta, em primeira análise, dois fatos decorrentes da
situação “resultante das forças nula” (~R = ~0):
• O corpo permanece em repouso. Não discutiremos
essa ideia, por se tratar do resultado mais simples e
intuitivo contido na 1ª Lei.
• O corpo permanece em movimento retilíneo uni-
forme. Nessa segunda parte do enunciado, Newton
contradiz Aristóteles na medida em que passa a admi-
tir a possibilidade de movimento na “ausência de for-
cas” (~R = ~0): Isso, como vimos, era categoricamente
negado por Aristóteles. Vejamos como podemos che-
gar a essa mesma conclusão, através da experiência
a seguir.
Consideremos um bloco sobre um plano horizon-
tal. Imprimamos ao bloco uma certa velocidade ini-
cial ~v0 após o que ele se deslocará sobre o plano, pa-
rando após percorrer uma certa distância d.
~v0 v = 0
/
d
/
Podemos aumentar a distancia percorrida por
esse bloco até parar, se dermos um polimento me-
lhor na superfície, diminuindo o atrito entre ambos.
Perceberemos que, quanto mais “lisa” se torna a su-
perfície, maior será a distância percorrida pelo bloco
até parar.
Imaginemos uma situação ideal, na qual dispo-
mos de uma mesa infinitamente grande, perfeita-
mente lisa. Se empurrarmos o bloco com a mesma
velocidade inicial ~v, perceberemos que ele entrará em
movimento de trajetória retilínea e que sua veloci-
dade permanecerá constante (MRU) indefinidamente
e, nesse caso, a resultante das forças que atuam sobre
ele é nula (~R = ~0).
Outro exemplo, ao qual podemos recorrer, é o de
um foguete que se desloca no espaço, suficientemente
afastado de qualquer planeta, de tal forma que não é
atraído por nenhum deles (~R = ~0).
~R = ~0
instante t0
~R = ~0
instante t1
Se desligarmos os motores desse foguete, que tipo
de movimento ele executará?
A resposta, novamente, nos é dada pelo princípio
da inércia: se a resultante das forças que atuam sobre
o foguete é nula, ele permanecerá no mesmo estado
de movimento em que se encontrava. Como já es-
tava em movimento, continuará se deslocando com a
mesma velocidade em módulo, direção e sentido, ou
seja, continuará em MRU.
Como deveremos agir para aumentar a velocidade
desse foguete?
Se ligarmos os motores, estes serão responsáveis
por uma determinada força ~F , que provocará uma
alteração na velocidade ~v do foguete.
23
24 CAPÍTULO 6. DINÂMICA: LEIS DE NEWTON
~F ~F
t0
~v0 ~v1
t1
|~v1| > |~v0|
Nesse caso, observamos, por exemplo, que o mo-
vimento do foguete foi acelerado, já que ~F atuou no
mesmo sentido do movimento.
Poderemos diminuir a velocidade desse foguete
acionando os seus retromotores durante um certo in-
tervalo de tempo, como vemos a seguir.
~F ~F
t0
~v0 ~v1
t1
|~v1| < |~v0|
Assim, o movimento do foguete foi retardado, pois
~F atuou em sentido oposto ao do movimento do fo-
guete.
Os dois últimos exemplos mostram como alterar
o módulo da velocidade de um corpo: aplicamos ao
corpo uma força ~F na direção do movimento. Então
temos:{
~F no mesmo sentido de ~v: movimento acelerado
~F no sentido oposto ao de ~v: movimento retardado
Analisemos agora o caso de um bloco preso a um
fio, que está atado a um pino fixo em uma mesa ho-
rizontal e perfeitamente lisa. Posto em movimento,
esse bloco passará a se deslocar em movimento circu-
lar uniforme em torno do pino, como vemos na figura.
bloco
fiopino
Embora o valor da velocidade venha a permane-
cer constante, podemos perceber que a direção de ~v é
alterada de ponto para ponto da trajetória, graças à
ação do fio sobre o corpo, ou seja, o fio é responsável
pela presença de uma força ~F que atua sobre o bloco.
~v
~F
·
~v
~F ·
Essa força ~F , perpendicular à direção de ~v, é in-
capaz de alterar o valor da velocidade, mas altera a
direção da velocidade ~v.
A partir dos exemplos do foguete e do bloco, po-
demos perceber que, sempre que alterarmos o estado
de movimento de um corpo, ou, em outras palavras,
sempre que alterarmos a velocidade vetorial ~v de um
corpo, é necessário que sobre o mesmo atue uma força
~F . Generalizando, temos:
Força ~F será toda ação capaz de alterar a veloci-
dade vetorial ~v de um corpo.
Essa alteração pode ser apenas do módulo da ve-
locidade, como no caso do foguete, ou apenas da di-
reção, como no caso do bloco. Na situação mais geral
possível, teríamos alterações tanto do módulo quanto
da direção do movimento, como ocorre no movimento
de um planeta em órbita do Sol.
Hoje em dia, sabemos que os planetas se movem
em torno do Sol seguindo órbitas elípticas e que a ve-
locidade dos planetas aumenta quando se aproximam
do Sol e diminui quando se afastam.
Sol
~v1
~v2
~F
~F
órbita
Isso ocorre graças à ação da força gravitacional
~F .
Entre as ideias até aqui expostas, vimos que força
é toda ação capaz de alterar a velocidade vetorial de
um corpo, onde podemos concluir que, se nenhuma
força atuar sobre o corpo, ele manterá sua velocidade
vetorial inalterada (~v=cte.).
Mais do que um exercício de lógica formal, esse
raciocino nos leva a uma nova ideia: inércia.
Imagine-se no interior de um carro que é freado
bruscamente. Você se sentirá “jogado” para a frente.
Ou, ainda, o bloco mencionado num exemplo an-
terior é desligado do fio que o prendia. Veremos então
que ele “sai pela tangente”.
Todos os fatos citados podem ser explicados a par-
tir de uma propriedade comum a todos os corpos: a
inércia.
Inercia: é a propriedade apresentada por todos os
corpos, que se manifesta na tendência que os mes-
mos têm de manter seu estado de repouso ou de
movimento inalterado caso nenhuma força atue so-
bre ele.
24
25 CAPÍTULO 6. DINÂMICA: LEIS DE NEWTON
O que ocorreu com você dentro do carro? Ob-
serve a figura. Estando livre, quando o carro é fre-
ado, você tende a continuar em frente com a mesma
velocidade, na mesma direção e sentido. Daí a sen-
sação de ser “atirado” para a frente. A inércia do
bloco explica o porquê de ele “cair pela tangente” (fi-
gura B). Ao passar pelo ponto A, o fio se rompe; a
resultante das forças que atuam sobre ele passa a ser
nula. Sua tendência será seguir em movimento com a
mesma velocidade ~v (em módulo, direção e sentido)
que possuía no momento em que o fio se rompia.
Essa propriedade, a inércia, permite-nos explicar
um fato que já vimos e que nos deixou intrigados: de
uma cápsula espacial em órbita terrestre, a 30 000
km/h, sai um astronauta que está ligado a ela por
um “cordão umbilical” não tenso (portanto, que não
o está “puxando”): o astronautacaminha ao lado da
cápsula, sem a necessidade de foguetes etc. Isso só é
possível devido à inércia do astronauta.
6.2 2ª Lei de Newton
Newton conseguiu estabelecer, com sua 1ª lei, a rela-
ção entre força e movimento. Entretanto, ele mesmo
percebeu que apenas essa lei não era suficiente, pois
exprimia somente uma relação qualitativa entre força
e movimento: a força altera o estado de movimento
de um corpo. Mas, com que intensidade? Como po-
demos relacionar matematicamente as grandezas en-
volvidas?
Nessa 2ª lei, o princípio fundamental da
dinâmica– PFD, ou 2º princípio, as ideias centrais
são as mesmas do 1º princípio, só que formalizadas
agora com o auxílio de uma expressão matemática,
como segue:
2ª Lei de Newton (PFD)
~F = m · a
A resultante das forças ~F que atuam sobre um
corpo de massa m comunica ao mesmo uma acele-
ração resultante ~a, na mesma direção e sentido de
~F . Esse resultado era de se esperar, já que, como foi
visto, uma força ~F , ao atuar sobre um corpo, alterava
sua velocidade ~v. Se modifica sua velocidade ~v, está
transmitindo ao corpo uma determinada aceleração
~a.
Da 2ª lei podemos relacionar a força resultante ~F
e a aceleração adquirida pelo corpo ~at, como é mos-
trado na figura.

módulo: ~F = m · a
direção: ~F e ~a, mesma direção
sentido: ~F e ~a, mesmo sentido
~F
~a
m
Peso de um corpo ~Fg
Como já foi visto em cinemática, qualquer corpo
próximo à superfície da Terra é atraído por ela e ad-
quirirá uma aceleração cujo valor independe da massa
do corpo em questão, denominada aceleração da gra-
vidade g.
~P
~a
m
Se o corpo adquire uma certa aceleração, isso sig-
nifica que sobre o mesmo atuou uma força. No caso,
diremos que a Terra atrai o corpo e chamaremos de
peso ~Fg do corpo à força com que ele é atraído pela
Terra. De acordo com o 2º princípio, podemos escre-
ver:
~F = m · ~a⇒ ~Fg = m · ~g
O peso ~Fg de um corpo varia de local para local,
porque o valor da aceleração da gravidade ~g se altera
de local para local, mas sua massa m é a mesma em
todos os lugares, pois depende apenas do corpo em
estudo.
Unidades de Força
Serão apresentadas aqui três unidades utilizadas
para se exprimir o valor de uma força em três dife-
rentes sistemas de unidades: o CGS, o MKS (SI) e
o MKS* (MKS técnico). No quadro a seguir, apre-
sentamos as unidades fundamentais de cada sistema,
bem como as unidades de força de cada um deles.
25
26 CAPÍTULO 6. DINÂMICA: LEIS DE NEWTON
Comprimento Massa Tempo Força
CGS centímetro(cm)
grama
(g)
segundo
(s)
dina
(d)
MKS metro(m)
quilograma
(kg)
segundo
(s)
newton
(N)
MKS* metro(m)
unidade téc-
nica de mas-
sa (u.t.m.)
segundo
(s)
quilograma-
força
(kgf ou kg*)
Um dina corresponde à intensidade da força que,
aplicada a um corpo de massa 1 g, comunica ao
mesmo uma aceleração de 1 cm/s2.
1 d = 1 g·cm/s2
Um newton é a intensidade da força que, aplicada
a um corpo de massa 1 kg, transmite ao mesmo uma
aceleração de 1 m/s2.
1 N = 1 kg·m/s2
Um quilograma-força corresponde ao peso de um
corpo de massa 1 kg num local onde g = 9, 8 m/s2.
1 kgf = 9,8 kg·m/s2
As unidades de força estão assim relacionadas:{
1 N = 105 d
1 kgf = 9,8 N
Chama-se dinamômetro todo aparelho graduado de
forma a indicar a intensidade da força aplicada em
um dos seus extremos.
Internamente, o dinamômetro é do-
tado de uma mola que se distende à
medida que se aplica a ele uma força.
Chama-se dinamômetro todo aparelho
graduado de forma a indicar a intensi-
dade da força aplicada em um dos seus
extremos.
Internamente, o dinamômetro é dotado
de uma mola que se distende à medida
que se aplica a ele uma força.
O dinamômetro será ideal se tiver
massa desprezível.
6.3 3ª Lei de Newton
3ª Lei de Newton (Ação e reação)
Quando dois corpos A e B interagem, se A aplica
sobre B uma força, esse último corpo aplicará sobre
A uma outra força de mesma intensidade, mesma
direção e sentido contrário.
~FBA ~FABA B
~FAB força aplicada em B, por A
~FAB força aplicada em A, por B
⇒ ~FAB = −~FAB
É importante ressaltar que ação e reação nunca se
anulam, pois atuam sempre em corpos diferentes.
Exemplo 1 Um indivíduo dá um soco numa pa-
rede.
~F −~F
A reação da parede sobre sua mão é −~F .
Exemplo 2 Um nadador impele a água para trás
com auxílio das mãos e dos pés.
~Fágua
~Fnadador
~Fnadador = −~Fágua
A reação da água sobre o nadador ~Fnadador o leva
para a frente.
Exemplo 3 A turbina de um avião a jato em funci-
onamento empurra o ar para trás.
~Favião = −~Far
ttttttt
~Favião~Far
A reação do ar sobre a turbina leva o avião para
a frente.
Exercício
1. O carroceiro ordena (com uma vara) que o
burro puxe a carroça. Ele nem se mexe, como
que dizendo: “Não adianta. Se eu fizer uma força
na carroça, ela fará em mim uma força diretamente
oposta. A resultante será nula, e eu não conseguirei
puxá-la". O “argumento do burro” está cor-
26
27 CAPÍTULO 6. DINÂMICA: LEIS DE NEWTON
reto? Justifique sua resposta.
2. A resultante das forças que atuam sobre um
corpo é nula. Você pode afirmar que ele está
parado? Por quê?
3. Considere o mesmo caminhão, com a
mesma velocidade e a mesma força aplicada
pelo sistema de freios. Em que condições ele
percorre uma distância maior durante a frena-
gem: carregado ou descarregado? Explique.
4. Um corpo está sobre um plano horizon-
tal sem atrito. Qual a menor força capaz de
deslocá-lo? Explique.
5. Um corpo de massa m está sujeito à ação
de uma força F que o desloca segundo um eixo
vertical em sentido contrário ao da gravidade.
Se o corpo se move com velocidade constante
é porque:
A força F é maior que a da gravidade.a)
A força F é menor que a da gravidade.b)
A força resultante sobre o corpo é nula.c)
A diferença entre os módulos das duas forças é
diferente de zero.
d)
A afirmação da questão está errada, pois qualquer
que seja F o corpo está acelerado porque sempre
existe aceleração da gravidade.
e)
6. Imagine que um astronauta está fazendo
um conserto em sua nave “estacionada” num
lugar do espaço onde não existe gravidade.
Como ele não consegue fazer o conserto, fica
nervoso e atira, com toda sua força, a caixa
de ferramentas “para baixo”. O que aconte-
cerá com o astronauta? Por quê?
7. Um paraquedista e seu paraquedas sofrem
força de atração gravitacional exercida pela
Terra. Quando essa força for maior que a re-
sistência do ar que se opõe ao movimento, o
que acontece com sua velocidade? E quando
essas forças forem iguais?
8. O motor de um foguete de massa m é acio-
nado em um instante em que ele se encontra
em repouso sob a ação da gravidade (cons-
tante). O motor exerce uma força constante
perpendicular à força exercida pela gravidade.
Desprezando-se a resistência do ar e a vari-
ação da massa do foguete, podemos afirmar
que, no movimento subsequente, a velocidade
do foguete mantém:
Módulo nulo.a)
Módulo constante e direção constante,b)
Módulo constante e direção variável,c)
Módulo variável e direção constante,d)
Módulo variável e direção variável.e)
27
7 - Algumas forças particulares
7.1 Reação normal ~N e tensão ~T
Força de reação normal ~N
Força de contato entre um corpo e a superfície na
qual ele se apoia, que se caracteriza por ter direção
sempre perpendicular ao plano de apoio.
A figura abaixo representa um bloco que está
apoiado sobre uma mesa.
~Nbloco
~Nmesa
~Nbloco = − ~Nmesa
~Nmesa: força aplicada sobre a mesa pelo bloco.
~Nbloco: reação da mesa sobre o bloco.
Força de tração ou tensão ~T
Força de contato que aparecerá sempre que um corpo
estiver preso a um fio (corda, cabo).
Caracteriza-se por ter sempre a mesma direção do
fio e atuar no sentido em que se tracione o fio.
Na sequência de figuras abaixo, representa-
mos a força de tração ~T que atua num fio que
mantém um corpo preso ao teto de uma sala.
A B
~Tteto
~T2fio
~Tbloco
~T1f io
C
~T
~T
~T
~T
fio
ideal
Para melhor visualizarmos as forças nos extremos
do fio, isolamos o teto do fio e esse do corpo suspendo
(figura B).
Nas figuras A, B e C, temos:{
~Tbloco: força com que o fio “puxa” o bloco
~T1fio: forçade tração no extremo do fio
Onde: ~Tbloco = −~T1fio{
~Tteto: força com que o fio “’puxa” o teto
~T2fio: força de tração no extremo do fio
Onde: ~Tteto = −~T2fio
Se o fio for ideal (massa desprezível e inextensí-
vel), a força de tração ~T terá o mesmo valor em todos
os pontos.
O fio ideal transmite integralmente a força apli-
cada em um dos seus extremos. Na figura abaixo
vemos um operador aplicando uma força de in-
tensidade 10 N, ao puxar um bloco. O fio, que
é ideal, transmite a força integralmente ao bloco.
F = 10 N
T = 10 N
7.2 Máquina de Atwood
2
P
1
A
B
~g
No esquema da figura, vemos a montagem da cha-
mada máquina de Atwood: dois corpos A e B, de
massas mA a mB, ligados entre si por um fio (1)
ideal que passa através da polia ideal P (sem atrito
e de massa desprezível).
O conjunto está preso ao teto por outro fio (2),
também ideal.
É evidente que, para que o sistema adquira uma
determinada aceleração ~a, será necessário que mA 6=
mB; nesse caso, abandonando-se o sistema, este en-
trará em movimento, de tal forma que o corpo “mais
pesado” descerá, puxando o “mais leve” para cima.
Sendo inextensível o fio, ambos os corpos irão
deslocar-se com acelerações de mesmo módulo, po-
rém em sentidos opostos.
A solução de problemas que envolvam tal tipo de
montagem não irá exigir nada além do que propuse-
mos no método apresentado anteriormente:
• isolamento dos corpos;
• análise das forças que atuam sobre cada um deles;
• equacionamento através da 2ª lei de Newton (PFD).
28
29 CAPÍTULO 7. ALGUMAS FORÇAS PARTICULARES
7.3 Plano inclinado
Analisemos o comportamento de um bloco de massa
M apoiado sobre um plano inclinado de um ângulo θ
em relação à horizontal; desprezemos os atritos.
~Fg
~N
θ
~FgT
~FgN
~N
~a
θ
~Fg
θ
Conforme podemos observar na figura abaixo, as
forças que atuam sobre esse corpo são:
~Fg: peso do bloco;
~N : reação normal do plano de apoio sobre o bloco.
Para simplificarmos a análise matemática desse
tipo de problema, costumamos decompor as forças
que atuam sobre o bloco em duas direções:
• tangente: paralela ao plano inclinado;
• normal: perpendicular à direção do plano.
Assim, ao decompormos a força peso ~Fg temos:
• ~FgT : componente tangencial do peso do corpo; res-
ponsável pela descida do bloco;
• ~FgN : componente normal do peso; é equilibrado
pela reação normal ~N do plano.
θ
~Fg
~FgT
~FgN
Os módulos de ~FgT e ~FgN são obtidos a partir
das relações mostradas na figura ao lado, que é um
detalhe ampliado da figura anterior.
sen θ = FgT
Fg
⇒ FgT = Fg · sen θ
cos θ = FgN
Fg
⇒ FgN = Fg · cos θ
Equacionando, obtemos:
PFD⇒ FgT = m · a substituindo FgT
⇒��m · g · sen θ = ��m · a
⇒ a = g · sen θ
Perceba que o valor da aceleração com que o bloco
desce o plano independe da sua massa m.
7.4 Força de atrito
Já discutimos até aqui três forças comuns na análise
de problemas em Física: força de peso ~Fg, força de
reação normal ~N e força tensora num fio ~T .
Veremos uma nova força de contato, cujo com-
portamento irá exigir uma análise mais detalhada: a
força de atrito.
Seja A um bloco inicialmente em repouso sobre
um plano e apliquemos a esse corpo a força ~F , como
se vê na figura.
~F
~fat
Verificamos que, mesmo tendo sido aplicada ao
corpo uma força, esse corpo não se moverá.
Se isso ocorre, concluímos que sobre o mesmo es-
tará agindo outra força, de mesmo módulo e em sen-
tido oposto a ~F (figura abaixo). A essa força deno-
minaremos força de atrito fat.
Podemos, a seguir, aumentar gradativamente o
valor da força ~F ; verificaremos que o bloco continu-
ará em repouso.
Como explicar esse fato?
Muito simples: à medida que aumentamos a in-
tensidade da força ~F , a intensidade da força de atrito
fat também aumentou, de tal forma que a resultante
das forças atuantes no bloco continuasse nula.
Mas a prática nos mostra que, a partir de um
determinado momento, o bloco passa a se deslocar
no sentido da força ~F . A interpretação desse fenô-
meno é a seguinte: embora a intensidade da força de
atrito possa aumentar à medida que aumentamos a
intensidade da força solicitante ~F , a força de atrito
atinge um determinado valor máximo; a partir desse
momento, a tendência do bloco é sair do repouso.
O valor máximo atingido pela força de atrito na
fase estática é diretamente proporcional à intensi-
dade da reação normal ~N no bloco. Esse resultado,
experimental, pode ser expresso na forma:
fatest. = µe ·N
Nesta expressão, µe, é o coeficiente de atrito
estático entre o bloco e a superfície.
Uma vez atingido o valor máximo da força de
atrito, se aumentarmos a intensidade da força ~F , o
corpo entrará em movimento acelerado, no sentido de
~F .
~F
~fat
~a
F > fat
Nessa segunda fase, denominada dinâmica, a in-
tensidade da força de atrito permanecerá constante e
29
30 CAPÍTULO 7. ALGUMAS FORÇAS PARTICULARES
de módulo.
fatdin. = µd ·N
Nesta expressão, µd é o coeficiente de atrito di-
nâmico entre o bloco e a superfície.
Experimentalmente, verifica-se que µe > µd, ou
seja:
fatmáx > fatdin.
Caso o examinador, ao se referir à existência de atrito
entre duas superfícies, não faça referência explícita ao
coeficiente de atrito dinâmico ou estático, deveremos
considerar µe = µd.
Observemos, ainda, que o coeficiente de atrito µ
não possui unidades, pois se trata de uma relação
entre os valores de duas forças:
fat = µ ·N ⇒ µ =
fat
N
Graficamente temos:
F
fat
fatmáx = µe ·N
fatdin = µd ·N
fase estática
(repouso)
fase dinâmica
(movimento)
Exercício
1. No esquema da
figura, as massas
dos corpos são mA =
2,0 kg e mB = 3,0 kg, que deslizam sobre o
plano horizontal sem atrito. O fio que liga A a
B é ideal e a força ~F indicada tem intensidade
F = 20 N. Determinar:
a aceleração adquirida pelo sistema;a)
a intensidade da força que traciona o fio.b)
2. Um elevador de massa m = 2,0 tonela-
das (elevador + carga) sobe em movimento
retardado, com aceleração a = 3,0 m/s2. Con-
siderando a aceleração da gravidade no local
de módulo g = 10 m/s2, qual a intensidade
da força que traciona o cabo desse elevador?
3. O arranjo representado
na figura seguinte mostra
dois corpos A e B de mas-
sas ma = 10 kg e mB =
40 kg; o fio que os mantém
unidos é ideal e a polia gira
sem atrito. O corpo B des-
liza sobre o plano horizon-
tal sem atrito. Determine:
a aceleração adquirida pelo sistema;a)
a intensidade da força de tração no fio.b)
4. Na figura, os fios e polia
são ideais. As massas dos
corpos A e B são A e B são
mA = 7,0 kg e mB = 3,0
kg. Desprezando os atri-
tos e considerando a acele-
ração da gravidade no local
g = 10 m/s2, determine:
a aceleração do sistema;a)
a intensidade da força de tração no fio que une os
blocos;
b)
a intensidade da força de tração no fio que une a
polia ao teto.
c)
5. Um corpo de massa m = 10 kg está apoiado
num plano inclinado de 30° em relação à ho-
rizontal, sem atrito, e é abandonado no ponto
A. Supondo a aceleração da gravidade no local
de módulo g = 10 m/s2, determinar:
a aceleração com que o bloco desce o plano;a)
a intensidade da reação normal sobre o bloco;b)
o tempo gasto pelo bloco para atingir o ponto B;c)
a velocidade com que o bloco atinge o ponto B.d)
6. No esquema da fi-
gura, vemos um corpo
de massa m = 4.0 kg,
sujeito à ação de uma
dada força F , num plano horizontal. O coefi-
ciente de atrito entre o corpo e a superfície é µ
= 0,5 e a aceleração da gravidade no local é g
= 10 m/s2. Determine a intensidade da força
de atrito e a aceleração do bloco, quando:
F = 10 N;a)
F = 30 N.b)
30
31 CAPÍTULO 7. ALGUMAS FORÇAS PARTICULARES
7. Dois corpos A e
B de massas iguais
a mA = 5,0 kg e
mB = 5,0 kg são li-
gados por meio de um fio ideal, que passa pela
polia, também ideal. O coeficiente de atrito
entre o bloco A e o plano é µ = 0,4. Sendo g
= 10 m/s2, determine:
a aceleração do sistema;a)
a intensidade da força tensora no fio.b)
8. Um bloco de
massa m desliza
sobre o plano in-
clinado de um ân-
gulo θ em relação
à horizontal, em
movimento acelerado. A aceleração da gra-
vidade no local é g e o coeficientede atrito
entre o bloco e o plano é µ. Qual o módulo
da aceleração adquirida pelo corpo?
31
8 -Movimento de trajetória curvilínea
8.1 Movimento circular
Redefiniremos algumas das grandezas já vistas, numa
adaptação que torne mais simples o estudo dos mo-
vimentos circulares.
Espaço angular ϕ
Esaço angular ϕ (Seja P um ponto material que se
desloca em trajetória circular, como vemos na figura.
A sua localização num determinado instante t pode
ser obtida a partir do espaço s, como já vimos.
A mesma localização o pode ser fornecida a par-
tir da medida do ângulo central ϕ visto na figura ao
lado, a partir de uma referência OA, prefixada.
ss
O P
A medida do espaço angular ϕ poderá ser feita a
partir das unidades utilizadas para medidas de ângu-
los: graus e radianos.
Um radiano é a medida do ângulo central ϕ, tal
que determina sobre a circunferência um arco >AB
de comprimento igual ao raio da circunferência.
s
R
s
R
A B
O
ϕ
ϕ = 1 rad, se >AB = R
Como o comprimento de 1 rad = R, e o espaço an-
gular ϕ = s, temos:
ϕ = s
R
Desta relação resulta que a medida do ângulo cen-
tral ϕ pode ser obtida dividindo-se o comprimento
do arco >AB pelo raio R da circunferência.
Velocidade angular ω
Velocidade angular média (ωm) e instantânea
(ω): seja P1 a posição de um ponto material sobre
uma circunferência num certo instante t1, no instante
t2, sua posição será P2,:
∆s
s1
s2
∆ϕ
ϕ2
ϕ1
O
P1
P2
A definição de velocidade angular média ωm é a
seguinte:
ωm =
∆ϕ
∆t
A velocidade angular instantânea ω será:
ω = lim
∆t→0
∆ϕ
∆t
A partir da relação vista, ϕ = s
R
, resulta:
ωm =
∆ϕ
∆t ; mas ∆ϕ =
∆s
R
ωm =
∆s
∆t ·R onde
∆s
∆t = vm
∴ ωm =
vm
R
Da mesma forma, podemos concluir que:
ω = v
R
A velocidade angular ω pode ser obtida dividindo-
se a velocidade escalar v da partícula pelo raio R da
circunferência.
Aceleração angular α
Aceleração angular: média (αm) e instantânea (α).
Sejam ω1, e ω2 as velocidades angulares de um ponto
material nos instantes t1 e t2:
~v1
ω1
R
· ~v2
ω2
R
·
32
33 CAPÍTULO 8. MOVIMENTO DE TRAJETÓRIA CURVILÍNEA
A aceleração angular média é definida como
sendo:
αm =
∆ω
∆t
A aceleração angular instantânea α é dada por:
α = lim
∆t→0
∆ω
∆t
Como já vimos, ω = v
R
, donde:
αm =
∆ω
∆t , mas ∆ω =
∆v
R
αm =
∆v
∆t ·R, onde
∆v
∆t = am
αm =
am
R
R De forma análoga, resulta que:
α = a
R
Generalizando:
grandeza angular = grandeza linearraio(R)
8.2 Movimento circular uniforme
O movimento circular uniforme (MCU) corresponde
ao movimento executado sobre uma circunferência
por um ponto material, com velocidade escalar cons-
tante.
Mas, se a velocidade escalar v é constante, a ve-
locidade angular ω também será. Sendo a velocidade
angular ω constante, a aceleração angular α será nula.
Função horária
Como todo movimento uniforme, independentemente
da forma da trajetória, a função horária do MCU será
do tipo:
s = s0 + v · t (forma linear)
Se quisermos obter a função horária na forma an-
gular, basta que dividamos ambos os membros da
função horária pelo raio R.
s
R
= s0
R
+ v
R
· t
Substituindo cada termo por sua forma angular, te-
mos:
ϕ = ϕ0 + ω · t
Período T e frequência f
O movimento circular uniforme é um caso particular
de movimento periódico: cada volta é completada em
intervalos de tempo sempre iguais. Ao tempo neces-
sário para o móvel completar uma volta chamamos
de período T do movimento.
Para se obter a frequência f do movimento, de-
vemos calcular o número de voltas completadas num
intervalo de tempo unitário, como se faz a seguir:
f = 1
T
Se trabalharmos com o Sistema Internacional de Uni-
dades, teremos [T ] = segundo (s).
[f ] = 1[T ] =
1
s = s
−1 dessa forma
[f ] = s−1
Ou seja, a frequência f no SI é o número de rotações
por segundo (r.p.s), ou hertz (Hz).
1 r.p.s = 1 Hz
Relação fundamental
Sendo ω = ∆ϕ∆t em volta completa, teremos ∆ϕ =
2π rad e ∆t = T .
Substituindo os valores, obtemos:
ω = ∆ϕ∆t =
2π
T
⇒ ω · T = 2π
Sendo o MCU um movimento curvilíneo, apresentará
aceleração centrípeta acp, cujo módulo será dado por:
acp =
v2
R
(8.1)
Como ω = v
R
⇒ v = ω ·R , temos:
acp =
v2
R
substituindo v
acp =
(ω ·R)2
R
acp =
ω2 ·R��2
��R
⇒ acp = ω2 ·R
8.3 Movimento de trajetória curvilínea
A discussão que agora iniciamos está relacionada com
importante conceito do Princípio da Inércia (1º Lei
de Newton): força – que conceituamos como “toda
ação capaz de alterar a velocidade ~v de um corpo”.
Sendo velocidade uma grandeza vetorial, quando
nos referimos à variação de velocidade ∆~v, devemos
33
34 CAPÍTULO 8. MOVIMENTO DE TRAJETÓRIA CURVILÍNEA
levar em consideração não apenas mudanças no va-
lor da velocidade (módulo), mas também eventuais
alterações na direção do movimento.
Vamos considerar um ponto material que se des-
loca ao longo de uma trajetória curvilínea sob ação
da força resultante ~F .
sentido do
movimento
~F
A seguir, vamos decompor a força resultante ~F ,
segundo duas direções: tangente t e normal n, como
se vê na figura.
~Ft
n
t
~Fcp ~F
·
Obtemos então as seguintes componentes da força
resultante ~F :
• ~Ft: componente tangencial. Essa componente
será responsável pelas alterações do módulo da velo-
cidade, caracterizando os chamados movimentos va-
riados.
O módulo da componente tangencial será dado
por:
Ft = m · at onde at = a
(aceleração escalar instantânea), donde:
Ft = m · a
O sentido de ~F , dependerá do movimento:{
acelerado: ~Ft, no mesmo sentido do movimento;
retardado: ~Ft, em sentido contrário ao movimento.
• ~Fcp componente centrípeta, responsável pelas
eventuais mudanças na direção do movimento. Apa-
recerá, portanto, sempre que o corpo descrever tra-
jetórias curvilíneas.
O módulo da componente centrípeta é dado por:
~Fcp = m · acp, onde acp =
v2
R{
v: módulo da velocidade
R: raio da curva
Fcp = m ·
v2
R
Componente existe se módulo
tangencial ~Ft
variar o módulo
da velocidade Ft = m · a
centrípeta ~Fcp
a trajetória
for curvilínea Fcp = m ·
v2
R
Exercício
1. Um ponto material executa um movimento
circular, de raio R = 2,0 m, obedecendo à
equação horária
s = −10− 2t+ t
2
2 (S.I).
Determine:
o seu espaço angular no instante t = 10 s;a)
a sua velocidade angular média entre os instantes
t = 0 e t = 4 s;
b)
a sua velocidade angular no instante t = 3,0 s;c)
a aceleração angular em t = 10 s.d)
2. Determinar o período T de um movimento
cuja fregiiência é de 120 r.p.m.
3. Um ponto material descreve ummovimento
circular uniforme de período 2,0 s e raio 10 m.
Obter:
sua fregiência;a)
sua velocidade angular e escalar;b)
o valor da aceleração.c)
4. A velocidade escalar de um ponto material
que executa um MCU é v = 20π m/s. Sendo
o raio da circunferência R = 5,0 m, qual a fre-
giiência desse movimento?
5. Um corpo de massa m = 2,0 kg é preso à ex-
tremidade de um fio de comprimento l = 2,0
m. Coloca-se o sistema a oscilar num plano
vertical (pêndulo simples).
Ao passar pelo ponto mais baixo da trajetó-
ria, a velocidade do corpo é v = 4,0 m/s. De-
termine a intensidade da força tensora no fio,
supondo g = 10 m/s2.
34
35 CAPÍTULO 8. MOVIMENTO DE TRAJETÓRIA CURVILÍNEA
6. Um motociclista se exibe no chamado
“globo da morte”. Seja m a massa total do sis-
tema homem-moto, R o raio da curvatura do
globo e g a aceleração da gravidade no local.
Qual a mínima velocidade que o motociclista
deve imprimir à moto no ponto mais alto do
globo?
7. Um carro descreve uma curva de raio R, si-
tuada num plano horizontal. O coeficiente de
atrito entre as rodas e o carro é µ . Sendo g
a aceleração da gravidade no local, determine
a máxima velocidade com que o carro pode
fazer essa curva, sem derrapar.
35
9 - Trabalho, potência e energia mecânica
9.1 Trabalho
Trabalho de uma força constante (T )
Seja ~F uma força constante que atua sobre uma partí-
cula que se desloca na direção da reta r representada
na figura abaixo:
rθ
~F
A
||
B
O trabalho realizado pela força ~F sobre o corpo,
no deslocamento AB, será, por definição, dado por:
T BA = F ·AB · cos θ
O trabalho de uma forçaé uma grandeza escalar.
O sinal dessa grandeza dependerá de como a força
atua em relação ao movimento:
rθ
~F
A
||
B
sentido do
movimento
θ < 90◦ ⇒ cos θ > 0
∴ T > 0 trabalho motor
r
θ
~F
A
||
B
sentido do
movimento
90◦ < θ < 180◦ ⇒ cos θ < 0
∴ T < 0 trabalho resistente
• Se a força ~F for perpendicular ao deslocamento AB
do corpo (θ = 90°); 0 trabalho realizado pela força ~F
será nulo (cos 90° = 0).
Portanto, concluímos que forças perpendiculares
ao deslocamento de um corpo não realizam trabalho
sobre o mesmo.
• Na expressão de definição de trabalho, o produto
~F · AB · cos θ pode ser interpretado de duas formas
distintas:
T BA = F ·AB · cos θ
= (F · cos θ) ·AB, mas Ft = F · cos θ
= Ft ·AB
rθ
.
~F
A
||
B
F · cos θ = Ft
O produto (F cos θ) corresponde à projeção da
força ~F na direção do movimento (Ft: componente
tangencial).
T BA = Ft ·AB
T BA = F ·AB · cos θ
= F · (AB · θ)
r
θ
.
~F
A
||
B
C
O produto (AB · θ) corresponde à projeção do
deslocamento AB na direção da força ~F .
T BA = F · (proj. AB ~F )
Unidades de trabalho
A unidade de trabalho em qualquer sistema será
obtida pelo produto da unidade de força pela unidade
de deslocamento.
[T ] = [F ] · [d]
• CGS
[T ] = dina · cm = erg
• MKS
[T ] = newton · m = joule (J)
• MKS*
[T ] = quilograma-força · m = quilogâmetro (kgm)
Relações entre as unidades:
1 J = 107 erg e 1 kgm = 9,8 J
Propriedade gráfica: cálculo do trabalho
Se dispusermos do gráfico que nos dá a intensi-
dade da componente tangencial da força ~Ft que atua
num corpo, em função do seu deslocamento, podemos
obter o valor do trabalho realizado, como mostrare-
mos a seguir:
36
37 CAPÍTULO 9. TRABALHO, POTÊNCIA E ENERGIA MECÂNICA
Ft
d
Ft
d
A
Nesse caso, o valor da área hachurada nos dá o
valor do trabalho.
A = base · altura = Ft · d
O valor da área A, entre a curva e o eixo dos des-
locamentos, é numericamente igual ao trabalho rea-
lizado pela força ~F .
Forças conservativas
Algumas forças com as quais lidaremos apresentam
comportamento singular: o trabalho realizado por
elas, entre dois pontos, A e B, será sempre o mesmo,
qualquer que seja a trajetória descrita pelo corpo para
sair de A e alcançar B.
•
•B
••
A
~F
I
II
III
Tais forças serão denominadas conservativas e en-
tre elas estão duas que irão nos interessar, particu-
larmente em Dinâmica: a força peso ~P e a força
elástica ~F em uma mola. Vejamos as duas separa-
damente:
• Trabalho realizado pelo peso ~Fg
Consideremos um corpo de massa m, que é des-
locado no campo gravitacional terrestre de um ponto
A para outro ponto B, como vemos na figura abaixo,
seguindo a trajetória AB.
•
A
•B
m
•C
hB
hA
~Fg
Sendo o peso ~P uma força constante, podemos
obter o valor do trabalho realizado através da ex-
pressão:
T BA = F ·AB · cos θ
= F · (proj. AB ~F )
Como F = Fg = (m · g), temos:
T BA = (m · g) · (proj. AB ~F ),
e (proj. AB ~F ) = AB = (ha − hb),
T BA = (m · g) · (ha − hb)
Assim
T BA = m · g · (ha − hb) (9.1)
Reparem que:{
se o corpo desce: hA > hB ⇒ Tpeso > 0
se o corpo sobe: hA < hB ⇒ Tpeso < 0
• Trabalho realizado pela força elástica
Quando aplicamos a uma mola uma força ~F , pro-
vocando na mesma uma determinada deformação ~x,
verificamos que a intensidade da força é diretamente
proporcional à deformação provocada.
x
~F
antes
depois
Lei de Hooke A intensidade da força é direta-
mente proporcional à deformação da mola.
F = k · x
onde k é a constante elástica da mola.
Para obtermos o trabalho realizado pela força
elástica da mola, recorramos ao gráfico da força
versus deslocamento.
Fel.
x
k · x
x
A
Nesse caso,
T = A
= b · h2 para b = x e h = k · x
= x · k · x2
= x · k · x2
Assim
T = kx
2
2
37
38 CAPÍTULO 9. TRABALHO, POTÊNCIA E ENERGIA MECÂNICA
9.2 Energia cinética de um corpo (Ec)
Seja ~F a força resultante que atua sobre uma partí-
cula de massa m que se desloca entre dois pontos A
e B.
~F
~vA
~F
~vB
A B
Enunciamos esse Teorema da Energia Cinética
como segue:
Teorema da Energia Cinética
O trabalho realizado pela força resultante que atua
sobre um corpo é igual à variação de energia ciné-
tica sofrida por esse corpo.
Vamos ver o que acontece se uma força resultante
constante ~F atua sobre uma partícula de massa m
que se move de A a B. Aplicando o PFD, vemos que
Fres = m · a (9.2)
Se a força resultante é constante, a aceleração é cons-
tante, e podemos relacionar o deslocamento com a ra-
pidez inicial vA e a rapidez final vB, usando a equação
de Torricelli:
v2B = v2A + 2a∆s substraindo v2A
v2B − v2A = 2a∆s dividindo por 2∆s
a = v
2
B − v2A
2∆ (9.3)
Substituindo a aceleração a encontrada na Equa-
ção (9.3) na Equação (9.2), temos
Fres = m · a
Fres = m ·
(
v2B − v2A
2∆s
)
Fres =
m(v2B − v2A)
2∆s multiplicando por ∆s
Fres ·∆s =
mv2B
2 −
mv2A
2 T
B
A = Fres ·∆s
T BA =
mv2B
2 −
mv2A
2 (9.4)
A quantidade (mv2)/2 é uma grandeza escalar que
representa a energia associada ao movimento da par-
tícula e é chamada de energia cinética Ec da par-
tícula.
Ec =
mv2
2
Dessa forma, o Teorema da Energia Cinética é ex-
presso pela Equação (9.4), ou seja
T BA = ∆Ec
Embora a demonstração acima seja válida apenas
quando a força resultante ~F é constante, o Teorema
da Energia Cinética será válido em quaisquer circuns-
tâncias.
As unidades que expressam o valor da energia
cinética nos diversos sistemas de unidade são as mes-
mas de trabalho.
9.3 Potência
O conceito de potência de um sistema está relacio-
nado com a rapidez com que esse sistema possa vir a
realizar um determinado trabalho. |
Se, num dado intervalo de tempo ∆t, o trabalho
realizado por um sistema é T , a potência será defi-
nida como se segue:
P = T∆t
No Sistema Internacional de Unidades, teremos
para o trabalho a unidade watt (W):
[P ] = [T ][∆t] ⇒ [P ] =
J
s = W (watt)
Utilizam-se ainda as seguintes unidades de potên-
cia:
• cavalo-vapor (cv) = 1 cv = 735,5 W
• horse-power (HP) = 1 HP = 746 W
Podemos ainda obter a potência de uma força
constante lembrando que: T = Ft · AB (Ft: com-
ponente tangencial)
Assim resulta que:
P = T∆t para T = Ft ·AB
= Ft ·AB∆t
= Ft ·
AB
∆t para
AB
∆t = vm
= Ft · vm
Portanto
P = Ft · v
9.4 Energia mecânica
Sabemos que a energia pode apresentar-se sob diver-
sas formas. Estudaremos nesta lição uma dessas for-
mas, que é a energia mecânica.
A energia mecânica pode se manifestar de duas
maneiras:
• Energia cinética Ec ou energia de movimento:
Essa modalidade de energia de um corpo está relaci-
onada com a sua velocidade em relação a um dado
referencial.
38
39 CAPÍTULO 9. TRABALHO, POTÊNCIA E ENERGIA MECÂNICA
• Energia potencial Ep, ou energia de posição:
Essa forma de energia que um corpo apresenta de-
pende da sua posição em relação a um dado referen-
cial e só pode ser definida caso seja possível associar
ao problema analisado o trabalho de uma força con-
servativa, como se vê através da definição:
A energia potencial de um sistema, numa dada po-
sição A em relação a um dado referencial, é nu-
mericamente igual ao trabalho realizado pela força
conservativa que o transporta desse ponto A até o
referencial adotado.
Ou ainda:
EPA = Tconserv.]
N.R
A
No caso da mecânica, vamos interessar-nos por
duas formas particulares de energia potencial:
• Energia potencial gravitacional, relacionada ao
trabalho da força peso;
• Energia potencial elástica, associada ao traba-
lho das forças elásticas (numa mola, por exemplo).
Assim, quando nos referirmos à energia mecâ-
nica de um sistema, estaremos nos referindo à
soma das suas energias cinética e potencial.
Em = EC + EP
Energia potencial gravitacional
Consideremos um corpo de massa m situado num
ponto A, a uma altura hA, acima do solo, que adota-
remos como nosso nível de referência (NR):
•B
A m
N.R.
A energia potencial gravitacional do corpo A será
numericamente igual ao trabalho pela força peso, ao
transportar o corpo de A até um ponto qualquer si-
tuado no NR.
EPA = Tpeso]
B
A vê Equação (9.1)
= m · g · (ha −���hNR) para hNR = 0
EPA = m · g · hA
Notemos que aenergia potencial gravitacional do
corpo depende apenas da posição desse corpo em re-
lação ao referencial adotado e que, se mudarmos o
referencial, o valor da energia potencial gravitacional
também mudará, podendo inclusive assumir valores
negativos.
As unidades que utilizaremos para a medida de
energia potencial são as mesmas que já definimos
para o cálculo de trabalho, pois a definição de energia
potencial origina se do conceito de trabalho.
Energia potencial elástica
Tomemos uma mola de constante elástica k, inicial-
mente na sua posição de equilíbrio (x = 0), tal como
se vê a seguir:
x = 0
x
~F
situação 1
situação 2
Aplicando-se à mola uma força ~F , nós a deforma-
mos de um certo valor x, medido a partir da posição
de equilíbrio.
Para determinarmos o valor da energia potencial
acumulada pelo sistema na situação 2, calculemos o
trabalho realizado pela força elástica dessa situação
até a posição de equilíbrio (situação 1).
Como já vimos, o trabalho da força elástica é dado
por:
Telast. =
kx2
2
e fazendo
EPelást. = Telást.]
NR
(sit. 1),
temos:
EPelást. =
kx2
2
9.5 Conservação da energia mecânica
Na análise de algumas situações podemos perceber
que comumente ocorrem conversões de energia po-
tencial em cinética e vice-versa.
É o caso de um corpo lançado no campo gravita-
cional terrestre: à medida que vai subindo, vai per-
dendo velocidade, diminuindo portanto sua energia
cinética, mas aumentando sua energia potencial. Ob-
servamos que na descida ocorrerá o oposto: aumento
de energia cinética e diminuição de energia potencial.
Temos um caso análogo a esse quando lançamos
um corpo subindo um plano inclinado ou, ainda, um
pêndulo simples se movimentando em torno da sua
posição de equilíbrio.
Se quisermos outro exemplo, basta que lancemos
um corpo animado de uma certa velocidade v0 de en-
contro a uma mola: à medida que a mola vai sendo
comprimida, a energia cinética do corpo vai dimi-
nuindo, mas irá aumentando a energia potencial elás-
tica da mola.
Se não atuarem forças dissipativas, tais como
força de atrito e resistência do ar, podemos afirmar
39
40 CAPÍTULO 9. TRABALHO, POTÊNCIA E ENERGIA MECÂNICA
que a energia mecânica do sistema considerado per-
manecerá constante:
Princípio da conservação da energia mecâ-
nica
Num sistema conservativo, a energia mecânica será
sempre a mesma em qualquer instante.
Consideremos um corpo que passa de um A ponto
para outro ponto B, na ausência de forças dissipati-
vas.
•B
A
A partir do princípio da conservação da energia
mecânica, podemos escrever:
EMA = EMB
EPA + ECA = EPB + ECB subtraindo ECA e EPB
EPA − EPB = ECB − ECA
−∆EP = ∆EC
Desse último resultado, podemos concluir que
as variações de energia cinética (∆EC) e potencial
(∆EP ) num sistema conservativo são sempre iguais,
em módulo, mas se dão em sentidos contrários.
−∆EP = ∆EC
• Aumenta energia cinética ⇒ Diminui energia po-
tencial
• Diminui energia cinética ⇒ Aumenta energia po-
tencial
Exercício
1. Uma força ~F , constante, de intensidade 50
N, atua sobre um ponto material como se vê
na figura abaixo. Calcule o trabalho realizado
por essa força quando a partícula se desloca
de A a B, percorrendo 10 m.
2. No esquema da figura abaixo, temos a tra-
jetória descrita por um ponto material P, su-
jeito à ação de uma força ~F , de intensidade
constante e igual a 20 N, que atua sobre a
partícula numa direção paralela ao eixo das
abscissas e no mesmo sentido deste.
Calcule o trabalho realizado pela força ~F nesse
deslocamento.
3. Um corpo de massa m = 2,0 kg é lançado
sobre a superfície horizontal de uma mesa, pa-
rando após percorrer 10 m. Sendo o coefici-
ente de atrito entre o corpo e a mesa µ = 0,4,
determine o trabalho realizado pela força de
atrito sobre o corpo. Adote g = 10 m/s2.
4. O gráfico nos dá
a intensidade da força
que atua sobre um
ponto material. Sa-
bendo que a mesma
atua na mesma direção
e sentido do movimento, determine o trabalho
realizado por ela no deslocamento de 0 a 10 m.
5. Em relação
à questão ante-
rior, considerando
agora que a força
varia conforme o
gráfico ao lado,
determine o trabalho realizado por ela no
deslocamento de 0 a 10 m.
6. Uma pedra, de massa m = 200 g, cai de
um prédio de altura h = 80 m. Determine o
trabalho realizado pela força peso nesse deslo-
camento (g = 10 m/s2).
7. Uma mola, de constante elástica k = 2× 103
N/m, é comprimida 20 cm. Qual o trabalho
realizado pelo operador?
8. Um corpo de massa m = 10 kg está sujeito
à ação de uma força resultante de intensidade
F = 50 N, que atua no sentido do movimento.
40
41 CAPÍTULO 9. TRABALHO, POTÊNCIA E ENERGIA MECÂNICA
Se, num determinado instante, a velocidade
desse corpo é de 10 m/s, qual será a sua velo-
cidade após percorrer 12,5 m?
9. A força resultante que atua num corpo de
massa m = 4,0 kg varia ao longo da sua traje-
tória retilínea como mostra o gráfico.
Sabemos ainda que a velocidade do corpo na
posição x = 0 é nula. Determine a velocidade
do corpo na posição x = 20 m.
10. Um homem levanta um saco de peso 300
N a uma altura de 1,2 m em 3,0 s com ve-
locidade constante. Qual a potência motriz
desenvolvida pelo homem?
11. Um pára-quedista desce com velocidade
constante de 5.0 m/s. O conjunto pára-
quedista e pára-quedas pesa 100 kgf. Deter-
mine a potência dissipada pela resistência do
ar.
12. Qual a potência desenvolvida pelo motor
de um carro de peso P = 5 × 103 N, ao subir
uma rampa inclinada de 30° em relação à hori-
zontal,com velocidade constante de 72 km/h?
13. A força necessária para mover um barco
à velocidade constante é proporcional à ve-
locidade. Utilizam-se 20 HP para movê-lo à
velocidade de 10 m/s. Que potência se re-
quer para rebocá-lo à velocidade de 30 m/s?
14. Um corpo de
massa m é suspenso
por um fio de com-
primento l e massa
desprezível, conforme
a figura dada a seguir.
Ele é erguido até a
posição horizontal e
depois solto. A tração no fio, quando o corpo
passa pela posição mais baixa, vale:
2 · g · la) m · g · lb) zeroc)
3 ·m · gd) 2 ·m · ge)
15. Um motor queima 1 kg de combustível
com poder de combustão de 3 × 103 kcal/kg,
para elevar 5000 kg de água a uma altura de
30 m. Sendo a aceleração da gravidade local
igual a 10 m/s2 e sabendo-se que o equivalente
mecânico da caloria vale 4,18 J/cal, conclui-se
que o rendimento do motor é de aproximada-
mente:
24%a) 6%b) 18%c) 30%d) 12%e)
41
10 - Impulso e quantidade de movimento
10.1 Impulso de uma força constante
Seja ~F uma força constante, aplicada a um ponto
material, durante um certo intervalo de tempo ∆t.
O impulso ~I que essa força comunicou ao corpo é
dado, por definição, pela expressão que se segue:
~I = ~F ·∆t
A partir da definição, podemos concluir:
a) [~I| =]~F ] ·∆t
b) direção ~I ≡ direção ~F
c) sentido ~I ≡ sentido ~F
O vetor impulso, no intervalo de tempo (t1, t2)
será dado por:
Unidades
Obtemos as unidades de impulso a partir da pró-
pria definição:
[I] = [F ] ·∆t
CGS MKS MKS*
dina · s N · s kgf · s
Propriedade gráfica
O gráfico da intensidade da forca ~F em função do
tempo nos fornece a área hachurada e nos dá o mó-
dulo do impulso no intervalo de tempo considerado.
t
A
t1 t2
F
De fato:
A = altura · base
= F ·∆t
A
N= I]t2t1
10.2 Quantidade de movimento
Seja ~v a velocidade vetorial de um ponto material,
de massa m. Definimos sua quantidade de movi-
mento (momentum ou momento linear), através
da expressão:
~Q = m · ~v
A partir da definição, podemos concluir:
a) | ~Q| = m · |~v|
b) direção ~Q ≡ direção ~v
c) sentido ~Q ≡ sentido ~v
trajetória
~v1
~Q1m
Unidades
Da definição, inferimos que:
[Q] = [m] · [v]
CGS MKS MKS*
g ·cms kg ·
m
s u.t.m. ·
m
s
Pense na quantidade de movimento como uma
medida do esforço necessário para levar um partícula
ao repouso. Por exemplo, um caminhão pesado tem
mais quantidade de movimento do que um pequeno
carro de passeio que viaja com a mesma rapidez. É
necessária uma força maior para para o caminhão,
em dado tempo, do que para parar o carro no mesmo
tempo.
Teorema do impulso (T.I.)
Um ponto material, de massam, sujeito à ação da
força ~F (resultante), durante um dado intervalo de
tempo ∆t recebe, dessa força, um impulso ~I.
A sua velocidade vetorial ~v será, evidentemente,
alterada por ação dessa força, como mostramos nos
esquemas a seguir:
~v1
~Q1
~v2
~Q2
~F
Como poderemos relacionar as grandezas acima
citadas? Para responder a essa pergunta, lançamos
mão do seguinte teorema:
Teorema do impulso: O impulso resultante co-
municado a um corpo, num dado intervalo de
tempo, é igual à variação na quantidade de movi-
mento desse corpo, no mesmo intervalo de tempo.
A demonstração desse teorema é bastante sim-
ples, caso a força que atue sobre o ponto material
seja constante, embora sua aplicação não se restrinja
a essa situação.
42
43 CAPÍTULO 10. IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO
A partir da 2ª Lei de Newton, podemos escrever:
~F = m · ~a para ~a = ∆~v∆t
~F = m · ∆~v∆t multiplicando por ∆t
~F ·∆t = m ·∆~v
~F ·∆t = m(~v2 − ~v1) para ~I = ~F ·∆t
~I = m~v2 −m~v1 para ~Q = m~v,
~I = ~Q2 − ~Q1
Dessa forma.
∴ ~I = ~Q2 − ~Q1 ou ~I = ∆ ~Q
Ao efetuar a operação ∆ ~Q = ~Q2 − ~Q1, lembre-se de
que essa operação é vetorial e de que o vetor ~Q tem a
mesma direção da velocidade (tangente à trajetória)
e o mesmo sentido da velocidade.
Assim sendo, se o móvel descreve trajetória re-
tilínea, para obtermos o módulo de ∆ ~Q, basta que
operemos com os módulos de ~Q2 e ~Q1.
~Q2
~Q1 ∆ ~Q = ~I
~Q = ~Q2 − ~Q1,
em módulo:
| ~Q| = | ~Q2| − | ~Q1|
Se a trajetória for curvilínea, teremos:
~Q = ~Q2 − ~Q1,
em módulo:
| ~Q|2 = | ~Q1|2 + | ~Q2|2 − 2 · | ~Q1| · | ~Q2| · cos θ,
(lei dos cosenos).
θ
~Q1
~Q2
∆ ~Q ≡ ~I
Exemplo 10.1 Com um eficiente golpe de caratê,
você parte um bloco de concreto. Seja 0,70 kg a
massa da sua mão, que se move a 5,0 m/s quando
atinge o bloco, parando 6,00 mm além do ponto de
contato.
a) Qual o impulso que o bloco exerce sobre sua mão?
0
~F
Antes
~vi = −5, 0 m/s
yi
Depois
~vf = 0
yf
m = 0, 70 kg;
~vi = −5, 0 m/s;
~vf = 0 m/s;
∆s = 6, 00 mm (6, 00×10−3 m);
~I = ?
~I = ~Qf − ~Qi
= m~vf −m~vi
= 0, 70 · 0− 0, 70 · (−5, 0)
= 3, 5 N·s
b) Qual o tempo aproximado de colisão?
vm =
∆s
∆t multiplicnado por ∆t
∆t = ∆s
vm
A velocidade média é a média entre as velocidades
inicial e final:
vm =
vi + vf
2 =
0 + 5
2 = 2, 5 m/s
Dessa forma:
∆t = ∆s
vm
= −0, 006
−2, 5
= 0, 0024 s
c) Qual a força média que o bloco exerce sobre sua
mão?
~I = ~F ·∆t Dividindo por ∆t
~F =
~I
∆t =
3, 5
0, 0024 = 1.458 N
Conservação da quantidade de movimento
Chamaremos de sistema isolado a todo sistema
(conjunto de corpos) no qual a resultante das forças
externas que atuam sobre o mesmo for nula.
Para tais sistemas, enunciamos o seguinte princí-
pio:
Princípio da conservação da quantidade de
movimento: Num sistema isolado, a quantidade
de movimento permanece constante.
A demonstração desse princípio se baseia no teo-
rema do impulso:
~I = ∆ ~Q para ~I = ~F ·∆t
~F ·∆t = ∆ ~Q sistema isolado: ~F = ~0
~0 = ∆ ~Q
~0 = ~Q2 − ~Q1
~Q1 = ~Q2
Ou seja:
~Q1 = ~Q2 = constante
43
44 CAPÍTULO 10. IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO
Sendo a quantidade de movimento uma grandeza ve-
torial, se ela for constante não variam seu módulo,
direção e sentido.
Muitas vezes, aplicaremos este princípio a situa-
ções nas quais a resultante das forças externas não é
necessariamente nula. Para tanto, consideraremos as
forças internas muito mais intensas do que as exter-
nas. Casos típicos: disparos de um fuzil; explosão de
uma granada etc.
Exemplo 10.2 Durante o reparo do telescópio Hub-
ble, uma astronauta substitui um painel solar ava-
riado. Empurrando para o espaço o painel retirado,
ela é empurrada no sentido oposto. A massa da as-
tronauta é 60 kg e a massa do painel é 80 kg. A
astronauta e o painel estão inicialmente em repouso,
em relação ao telescópio, quando a astronauta em-
purra o painel. Depois disso, o painel se move a 0,30
m/s em relação ao telescópio. Qual é a subsequente
velocidade da astronauta em relação ao telescópio?
(Durante a operação a astronauta está amarrada à
nave, para efeito de cálculos, suponha que o cabo que
a prende permanece frouxo.)
Segundo o princípio da conservação da quantidade
de movimento: ~Qi = ~Qf .
~Qi = ~Qf
0 = mavaf +mpvpf
0 = 60 · vaf + 80 · 0, 3
0 = 60 · vaf + 24
vaf =
24
60 = 0, 4 m/s
10.3 Choque mecânico
O problema básico proposto é a determinação da ve-
locidade de dois corpos, após a colisão entre eles.
Para tanto, a hipótese a ser considerada é a de que
os corpos que colidem constituem um sistema isolado
(a resultante das forças externas ao sistema é nula).
Para que possamos determinar suas velocidades
após o choque, deveremos conhecer:
a) suas massas (ou a relação entre elas);
b) suas velocidades antes do choque;
c) o tipo de choque.
Como regra geral, trataremos da colisão entre
duas partículas; se quisermos obter suas velocidades
após o choque, deveremos ser capazes de montar um
sistema de duas equações a duas incógnitas.
Essas equações serão montadas a partir de condi-
ções impostas em função do tipo de choque analisado,
como veremos a seguir.
Condição geral
A condição geral independe do tipo de choque.
Sejam A e B duas partículas de massas mA e mB,
que se deslocam com velocidade ~vA e ~vB.
Após a colisão, passam a se deslocar com veloci-
dades ~vA′ e ~vB ′ (incógnitas).
~vA ~vB ~vA
′ ~vB
′
A B A B
Antes da colisão Depois da colisão
As figuras acima nos mostram um choque unidi-
mensional ou frontal: não há mudança na direção do
movimento de A e B.
~vA
~vA
′
~vB
~vB
′
A
A
B
B
Antes da colisão Depois da colisão
O conjunto das figuras acima ilustra um choque
bidimensional ou oblíquo: as direções dos movimen-
tos alteram-se na colisão.
Independentemente de como se dêem os choques,
podemos sempre escrever, baseados no princípio da
conservação da quantidade de movimento, já que o
sistema é isolado:
~Qantes = ~Qdepois (condição geral)
Ou ainda:
mA~vA +mB~vB = mA~v′A +mB~v′B
Se o choque é unidimensional, o cálculo matemá-
tico se simplifica:
mAvA +mBvB = mAv′A +mBv′B
Nessa última expressão percebemos explicitamente
que, conhecidos mA, vA, mB e vB, obtemos uma
primeira relação entre as nossas incógnitas v′A e v′B.
A segunda equação será obtida a partir da teoria
que expomos a seguir.
Classificação dos choques
Consideremos uma colisão entre as partículas A e B.
A
A
A
B
B
B
~vA ~vB
~v
~vA ~vB
Antes
Durante
Depois
44
45 CAPÍTULO 10. IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO
Antes da colisão o sistema (A + B) apresenta
energia cinética Eca . Durante a fase de choque, parte
dessa energia cinética é convertida em energia poten-
cial de deformação. A seguir, inicia-se a fase de res-
tituição, na qual a energia potencial de deformação
é reconvertida em energia cinética do sistema. Seja
Ecd , essa energia, após o fim do choque.
• Se Eca = Ecd , o choque será denominado elástico.
Caso Eca > Ecd , temos ainda duas possibilidades:
• Choque parcialmente elástico: Eca > Ecd ,
~vA 6= ~vB, ou seja, o choque se dá com perda de ener-
gia cinética, mas as partículas seguem separadas após
o choque.
• Choque inelástico: Eca > Ecd e ~vA = ~vB, ou
seja, as partículas seguem juntas após o choque.
Parte da energia cinética se perderá na forma de
calor, nos choques parcialmente elástico e inelástico.
Coeficiente de restituição
Definimos, para choques unidimensionais, coefici-
ente de restituição (e) como se segue:
e = velocidade relativa de afastamentovelocidade relativa de aproximação =
vaf
vap
Podemos obter o valor de e através da expressão:
e = −v
′
B − v′A
vB − vA
Observamos ainda que nos choques:
a) elástico e = 1,
b) parcialmente elástico 0 < e < 1,
c) inelástico e = 0.
Exercício
1. Um ponto material fica sujeito à ação de
uma força ~F , constante, de módulo F = 100
N, durante 20 segundos. Qual o módulo do
impulso comunicado ao corpo?
2. O gráfico a seguir nos dá a intensidade da
força que atua sobre um corpo, no decorrer
do tempo. A partir desse gráfico, calcule o
impulso comunicado ao corpo entre os instan-
tes t1 = 0 e t2 = 10 s.
3. Umcorpo de massa m = 200 g, desloca-se
com velocidade de módulo v = 30 m/s. Calcule
o módulo da sua quantidade de movimento.
4. Um corpo de massa m = 2, 0 kg desliza num
plano horizontal, sem atrito, em trajetória re-
tilínea, com velocidade v = 10 m/s. Se uma
força ~F horizontal, constante, for aplicada so-
bre esse corpo, no mesmo sentido do movi-
mento, qual o módulo da velocidade após 10
s, sendo F = 2, 0 N?
5. Uma partícula de massa m = 1, 0 kg des-
creve um quarto de uma circunferência; no
início desse trecho o módulo davelocidade é
v1 = 3, 0 m/s e no fim do mesmo v2 = 4, 0 m/s.
Se o movimento dura 0,2 s, qual a intensidade
média da força que atua sobre essa partícula?
6. Dois patinadores A e B, de massas mA = 60
kg e mB = 80 kg, encontram-se inicialmente
em repouso sobre uma superficie plana e hori-
zontal. O patinador A empurra B, que passa
a se deslocar com velocidade vB = 12 m/s. De-
termine a velocidade de A após o empurrão
(despreze todos os atritos).
7. Uma partícula de massa m = 1, 0 kg, inicial-
mente em repouso, explode, dividindo-se em
três pedaços; dois pedaços, de massa m1 = 200
g e m2 = 400 g, adquirem velocidades de 300
m/s e 200 m/s, respectivamente, de direções
perpendiculares entre si. Determine o mó-
dulo, a direção e o sentido da velocidade do
terceiro estilhaço.
8. Uma partícula A de massa m desloca-se
num plano horizontal, sem atrito, com velo-
cidade vA = 12 m/s. Sabe-se ainda que ela co-
lide com uma segunda partícula B de mesma
massa m, inicialmente em repouso. Sendo o
choque unidimensional e elástico, determine
suas velocidades após o choque.
9. Um corpo A, de massa mA = 2, 0 kg,
desloca-se com velocidade vA = 30 m/s e co-
lide frontalmente com uma segunda partícula
B, de massa mB = 1, 0 kg, que se desloca com
45
46 CAPÍTULO 10. IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO
velocidade vB = 10 m/s, em sentido oposto ao
de A. Se o coeficiente de restituição desse cho-
que vale 0,5, quais são as velocidades das par-
tículas após a colisão?
10. Um vagão de massa 30 toneladas desloca-
se a 72 km/h, num plano horizontal sem atrito,
chocando-se com outro vagão de 20 toneladas,
inicialmente em repouso. Após o choque, am-
bos seguem juntos. Determine a velocidade do
conjunto após o choque e a perda de energia
cinética.
11. Na figura que se segue, temos uma massa
M = 132 g, inicialmente em repouso, presa a
uma mola de constante elástica k = 1, 6 × 104
N/m, podendo deslocar-se sem atrito sobre a
mesa em que se encontra. Atira-se uma bala
de massa m = 12 g que encontra o bloco ho-
rizontalmente, com velocidade v0 = 200 m/s,
incrustando-se nele. Qual é a máxima defor-
mação que a mola experimenta?
12. Um bloco B acha-se em repouso sobre uma
superficie livre de atrito. Um bloco A está
preso a uma extremidade de uma corda de
comprimento l. Soltando o bloco A, na po-
sição horizontal ele colide com B. Os dois blo-
cos grudam-se e deslocam-se juntos após o im-
pacto. Sabendo que mB = 2mA, obtenha:
a velocidade do conjunto imediatamente após o
choque;
a)
a altura máxima atingida após a colisão.b)
13. Uma bola de aço cai de uma altura A, a
partir do repouso. Após ter-se chocado contra
uma placa colocada no solo, sobe novamente,
atingindo uma altura h. Determine o valor
do coeficiente de restituição desse choque em
função de h e h′.
46
11 - Gravitação
As leis que regem o movimento dos corpos celes-
tes foram estabelecidas a partir do século XVI por
Kepler, que se baseou num trabalho extremamente
minucioso de observação desses movimentos planetá-
rios realizado pelo astrônomo Tycho Brahe.
Posteriormente, Newton estabeleceu a lei da gra-
vitação universal que engloba, numa única expressão,
as três leis deixadas por Kepler.
11.1 Leis de Kepler
1ª) Lei das órbitas: Os planetas executam órbi-
tas elípticas em torno do Sol, sendo que o Sol ocupa
um dos seus focos.
Sol
planeta
2ª) Lei das áreas: O segmento que une o centro
de um planeta ao centro do Sol varre áreas iguais
em intervalos de tempos iguais.
Sol
D
C
A
B
A1 A2
∆t
∆t
Seja ∆t o tempo gasto por um planeta para per-
correr os arcos de trajetória AB e CD.
De acordo com a segunda lei de Kepler, teremos:
área A1 = área A2
Notemos que, para que isso seja possível, os arcos AB
e CD deverão, necessariamente, ter comprimentos di-
ferentes. No caso AB > CD.
Assim, concluímos que, se o planeta percorre es-
paços diferentes num mesmo intervalo de tempo, sua
velocidade escalar varia ao longo da órbita, sendo
maior nos pontos mais próximos do Sol e menor nos
pontos mais afastados.
O ponto de maior proximidade de um planeta com
o Sol é chamado periélio e, nesse ponto, a velocidade
do planeta é máxima.
O ponto de maior afastamento do planeta em re-
lação ao Sol é denominado afélio e, nesse ponto, a
velocidade do planeta é mínima.
Sol
afélio
vmín
periélio
vmáx
movimento acelerado
movimento retardado
3ª) Lei dos períodos: Para corpos que orbitam
em torno de um mesmo corpo, a relação entre o
cubo do raio médio da órbita R e o quadrado do
período de translação T é uma constante.
Analiticamente, temos:
R3
T 2
= k
A partir dessa lei, percebemos que, se o raio da
órbita de um planeta aumentar, seu período de trans-
lação também aumentará.
11.2 Lei da gravitação universal
Newton, a partir das leis de Kepler, percebeu que
as forças de interação entre o Sol e um planeta são
uma força conservativa e que seu módulo é direta-
mente proporcional ao produto das massas dos corpos
e inversamente proporcional ao quadrado da distân-
cia entre seus centros.
F = G · M ·m
d2
A direção da força de atração gravitacional é a da
reta que une os centros dos corpos considerados.
−~F~F
M
m
d
47
48 CAPÍTULO 11. GRAVITAÇÃO
A constante de proporcionalidade que aparece na
expressão da lei da gravitação universal é chamada
constante de gravitação universal ou constante de
Gauss (G) e seu valor, determinado experimental-
mente, é, no Sistema Internacional:
G = 6, 67× 10−11 · Nm
2
kg2
Variação da aceleração da gravidade (g)
com altura (h)
Seja m a massa de um corpo situado num ponto A,
a uma altura h da superfície terrestre. Sejam ainda
M a massa da Terra e R seu raio.
M
•R
~F
d
h
A
A intensidade da força ~F com que o corpo é
atraído pela Terra é, por definição, o peso Fg desse
corpo e pode também ser calculada a partir da lei da
gravitação universal.
Fg = m · g ou
Fg = G ·
M ·m
d2
igualando o 2º membro
��m · g = G ·
M ·��m
d2
para d = R+ h,
resulta:
g = G · M(R+ h)2
Se o corpo estiver na superfície da Terra, teremos
h = 0, resultando então:
gsup. = G ·
M
R2
11.3 Energia cinética e potencial
Energia cinética
A força gravitacional se comporta como força centrí-
peda do movimento.
F = m · acp para acp =
v2
d
F = m · v
2
d
mas também
F = G · M ·m
d2
igualando o 2º membro
��m ·
v2
�d
= G · M ·��m
d�2
para d = R+ h,
temos o valor da velocidade de um corpo em ór-
bita:
v2 = G · M
R+ h
v =
√
G ·M
R+ h
O valor de sua energia cinética será:
Ec =
m · v2
2 como v
2 = G ·M
d
Ec =
m
2 ·
G ·M
d
rearranjando,
temos o valor da energia cinética:
Ec = G ·
M ·m
2d
Energia potencial gravitacional
A demonstração da expressão para a energia poten-
cial gravitacional é um pouco mais complexa. Por
isso, para nosso propósito, basta sabermos que em
relação a um referencial adotado no infinito, seu va-
lor é:
EP = −G ·
M ·m
d
11.4 Velocidade de escape
A velocidade de escape (ve) é a velocidade ini-
cial mínima necessária para que um projétil escape
da Terra.
Considerando o princípio da conservação de ener-
gia mecânica, temos:
EmT = Eminfinito
ECT + EPT = EPinf +��
�ECinf
ECT + EPT = EPinf + 0
Sabemos que em um laçamento vertical, a força da
gravidade reduz a velocidade do projétil até ele atin-
gir uma altura máxima, puxando-o novamente à su-
perfície. Contudo, como o campo gravitacional reduz
48
49 CAPÍTULO 11. GRAVITAÇÃO
com o aumento da altura, há uma altura máxima (re-
presentada pelo infinito) na qual o campo gravitaci-
onal não atua sobre o corpo para puxá-lo de volta à
Terra. Nesse ponto, a energiapotencial gravitacional
EPinf. é zero. Dessa forma:
EmT = Eminfinito
ECT + EPT = ��
�EPinf +��
�ECinf
ECT + EPT = 0 + 0
m · v2e
2 −G ·
M ·m
d
= 0
Somando G · M ·m
d
e fazendo d = R+ d:
��m · v2e
2 = G ·
M ·��m
R+ h × 2
v2e =
2GM
R+ h
Observe que a energia potencial gravitacional EPT ,
não é nula e podemos calculá-la considerando o raio
do Terra. Dessa forma, extraindo a raiz quadrada em
ambos os membros, temos:
ve =
√
2GM
R+ h Velocidade de escape
ve =
√
2GM
R
Velocidade de escape da superfície
Nesta última expressão, como o corpo parte da su-
perfície, h = 0.
Exercício
1. Um planeta hipotético orbita em torno do
Sol e seu raio de órbita é supostamente 4 vezes
o da Terra. Qual será o período de translação
desse planeta em torno do Sol?
2. Sendo as massas da Terra e da Lua da or-
dem de 6, 0×1024 kg e 7, 3×1022 kg e a distância
entre os centros da ordem de 3, 8× 108 m, qual
é o valor aproximado da força de atração gra-
vitacional entre a Terra e a Lua? Dado:
G = 6, 7× 10−11Nm
2
Kg2
3. Esboce graficamente a variação do módulo
da força gravitacional F em função da distân-
cia d entre os centros dos corpos em questão.
4. Supondo que na superficie da Terra a acele-
ração da gravidade seja g = 10 m/s2, determine
o valor da aceleração da gravidade num ponto
situado a uma distância 3R da superficie da
Terra (R = raio da Terra).
5. Para um satélite em órbita circular a 700
km da superficie da Terra, pede-se:
o módulo da sua velocidade;a)
o número de voltas que o satélite dá em torno da
Terra por dia.
b)
Raio da Terra = 6, 4× 106 m;
Massa da Terra = 6, 0× 1024 kg.
6. Determine o valor da velocidade de escape
de um corpo lançado a partir da superficie
de um planeta; a seguir, determine o valor
dessa velocidade para um corpo lançado a
partir da superficie da Terra (Raio da Terra =
6, 4× 106 m; Massa da Terra = 6, 0× 1024 kg.).
7. Um foguete lançado verticalmente da su-
perficie da Terra atinge uma altura máxima
igual a três vezes o raio R da Terra. Sendo M
a massa da Terra e G a constante gravitacio-
nal, assinale a alternativa que corresponde ao
valor da velocidade inicial do foguete.
v =
√
3G ·M
2Ra) v =
√
4G ·M
3Rb)
v =
√
2G ·M
3Rc) v =
√
3G ·M
4Rd)
v =
√
G ·M
R
e)
8. Dois satélites artificiais S1, e S2, de massas
iguais gravitam em torno da Terra, em órbitas
circulares, a distâncias respectivamente iguais
a r1 = r e r2 = 3r de seu centro. A relação
entre suas energias cinéticas E1
E2
, onde E1 é a
energia cinética de S1 e E2 é a energia cinética
de S2, tem valor:
1a) 3b) 4c) 6d) 9e)
9. Determinar o valor da aceleração da gravi-
dade num ponto situado a 1600 km da super-
ficie da Terra. Adotar:
Raio da Terra = 6, 4× 106 m
Massa da Terra = 6, 0× 1024 kg
G = 6, 7× 10−11 unidades S.I.
49
12 - Estática
12.1 Equilíbrio do ponto material
No início deste curso, apresentamos a ideia de ponto
material: é todo corpo cujas dimensões possam
ser consideradas desprezíveis no problema analisado;
como decorrência, só terá significado analisarmos mo-
vimentos de translação desse ponto material.
Sendo o equilíbrio estático do ponto material, a
situação estudada agora, a resposta é dada direta-
mente pela primeira lei de Newton: a resultante das
forças que atuam sobre o ponto material é nula. Essa
condição é necessária e suficiente para que o equilí-
brio do ponto material seja atingido.
Assim, todos os problemas referentes ao equilí-
brio de um ponto material serão resolvidos a partir
da aplicação dessa ideia.
Conceitualmente, são problemas de fácil resolu-
ção, exigindo, do aluno, porém, alguma habilidade
no trabalho com vetores.
Resumindo: seja A, um ponto material sujeito ao
sistema de forças ~F1, ~F2, ... ,~Fn.
~F1
~F2
~F3
~F4
Se esse ponto material estiver em equilíbrio, en-
tão:
~F1 + ~F2 + ~F3 + ...+ ~Fn = ~0
12.2 Equilíbrio de um corpo extenso
Já vimos que a condição necessária e suficiente para
que um ponto material permaneça em equilíbrio é que
a resultante das forças que atuam sobre ele seja nula.
Um exemplo bem simples, todavia, mostra-nos
que essa condição não será suficiente se quisermos
impor o equilíbrio a um corpo extenso. Para tanto,
consideremos uma barra situada sobre a mesa, con-
forme a figura, e apliquemos aos seus extremos duas
forças de mesmo módulo, mesma direção e sentidos
opostos.
d
•
O
~F
~F
r
rotação
Embora a resultante das forças seja nula, a barra
não permanecerá em equilíbrio, mas executará um
movimento de rotação em torno de um dos seus pon-
tos.
Vemos, então, que uma nova condição deve ser
imposta, de forma que o movimento de rotação não
seja possível.
Lembre-se que quando a resultante das forças é
nula, o corpo não executa movimento de translação.
Movimento de uma força em relação a um
ponto material
Seja ~F uma força cuja linha de ação é dada pela reta
r; seja ainda O um ponto qualquer.
Definimos momento da força ~F em relação ao
ponto O através do produto:
MO = ±~F · d
Nessa expressão, d representa o braço de F em re-
lação ao ponto O: distância do ponto O à reta r.
Lembre-se de que a distância do ponto à reta corres-
ponde à medida do segmento de perpendicular bai-
xado do ponto à reta.
O sinal + ou – será atribuído ao momento,
comparando-se o sentido de rotação imprimido pela
força com um sentido anteriormente convencionado
como positivo (horário ou é anti-horário).
No,caso do exemplo da figura anterior, o momento
da força ~F em relação a O, de acordo com a conven-
ção adotada, será positivo.
No Sistema Internacional de Unidades, a unidade
de momento será:
[M ] = [F ] · [d]⇒ [M ] = N · m
Condições de equilíbrio de um corpo ex-
tenso
São duas as condições que devem ser satisfeitas si-
multaneamente para que um corpo extenso esteja em
equilíbrio:
50
51 CAPÍTULO 12. ESTÁTICA
1º condição
A resultante das forças que atuam sobre o corpo é
nula (não há translação).
2º condição
A soma algébrica dos momentos em relação a um
ponto qualquer é nula (não há rotação).
Centro de massa ou baricentro de um corpo
Consideremos um sistema de pontos materiais de
massas m1, m2, m3, cujas coordenadas em relação
a um sistema de referência são (x1, y1), (x2, y2) e
(x3, y3), respectivamente, conforme a figura seguinte.
Chamaremos de centro de massa M do sistema
um ponto no qual toda massa do sistema está con-
centrada.
x
y
y1
m1
•
x1
y2
m2
•
x2
y3
m3
•
x3
yM
M
•
xM
As coordenadas do centro de massa serão dadas
por:
xM =
m1x1 +m2x2 +m3x3
m1 +m2 +m3
yM =
m1y1 +m2y2 +m3y3
m1 +m2 +m3
Caso trabalhemos com corpos simétricos e homo-
gêneos, seus centros de massa coincidirão com seus
centros geométricos.
•
M
•
M
•
M
/ //
•
M
placa triangular placa retangular
barra prismática disco circular
`
2
`
2
Nos exemplos que envolvem corpos extensos, a
força-peso deverá sempre ser localizada no centro de
massa.
Exemplo 12.1
Uma barra homo-
gênea AB, de 2,8
m de comprimento
e peso de 20 N, serve como gangorra para duas crian-
ças de massas diferentes. A barra está em equilíbrio
estático horizontal sobre um apoio localizado a 1 m
da extremidade A, onde está sentada uma criança de
massa 44 kg. Qual é a massa da criança que está na
extremidade B?
~PA ~PB~FO
~Pb
A BCO
•
| | | |

AO = 1, 0 m
BO = 1, 8 m
CO = 0, 4 m
mA = 44 kg
PA = 440 N; Pb = 20 N
Como a barra está em equilíbrio, temos:
MA +MB +Mc = Mtotal = 0
PA ·AO + Pb · CO + PB ·BO = 0
440 · (−1) + 20 · 0, 4 + PB · 1, 8 = 0
−432 + PB · 1, 8 = 0
PB · 1, 8 = 432
PB = 240 P = m · g
m · g = 240
m = 24010 = 24 kg
Exercício
1. Uma criança pesando 400 N está sentada
numa extremidade de uma gangorra de 3
m de comprimento e apoiada a 1,4 m da
criança. Se outra criança estiver apoiada
na outra extremidade, equilibrando a gan-
gorra, qual o seu peso? Desprezar o peso
da gangorra. Qual a força total no apoio?
2. A barra AB é
uniforme, pesa 50
N e tem 10 m de
comprimento. O bloco D, de tamanho des-
prezível, pesa 30 N e dista 8 m de A. A dis-
tância entre os pontos de apoio da barra é 7
m. Calcule a reação na extremidade A.
51
52 CAPÍTULO12. ESTÁTICA
3. Um homem de peso 600 N caminha numa
tábua de madeira simplesmente apoiada em
uma extremidade A e articulada em C, dis-
tante 4 m de A. O peso da tábua é 900 N e
seu comprimento é de 6 m. Determine a má-
xima distância que o homem pode caminhar
sobre a tábua para que ela fique em equilíbrio.
Admita-se que à tábua é homogênea.
4. É comum encontrarmos, em manuais de
motos, 0 valor do torque (momento de uma
força) máximo que pode ser aplicado em uma
porca No manual da Honda CG125, por exem-
plo, aparece à seguinte informação: “torque
máximo para aperto da porca para o eixo di-
anteiro 70 N·m”. Se um mecânico usa uma
chave de boca que permite um braço máximo
de 14 cm, qual a maior força que ele pode
aplicar na ferramenta sem danificar a porca,
exercendo o menor esforço pessoal?
5. Um homem de massa 80 kg quer levan-
tar um objeto usando uma alavanca rígida e
leve. Os braços da alavanca têm 1 m e 3 m.
Qual é à maior massa que o homem conse-
gue levantar usando a alavanca e o seu pró-
prio peso? Neste caso, qual a força exer-
cida sobre a alavanca no ponto de apoio?
6. Na figura
ao lado, está
representada
uma viga ho-
mogênea de peso 6000 N, suspensa horizon-
talmente por dois cabos verticais. Determine
a tração exercida por esses cabos.
7. Uma pessoa A, tentando fechar uma porta,
aplica à maçaneta uma força de 40 N, perpen-
dicularmente à porta, tentando fazê-la girar
no sentido horário.
Sabendo que a maçaneta dista 90 cm das dobradi-
ças, determine o torque, em relação às dobradiças,
que a pessoa A aplica à porta.
a)
Uma pessoa B consegue impedir que a porta seja
fechada, aplicando-lhe uma força F. Qual o torque
que B aplicou à porta (em relação às dobradiças)?
b)
Supondo que F também seja perpendicular à
porta, aplicada a 20 cm das dobradiças, determine
o módulo dessa força.
c)
8. Para fazer girar uma porca, que prende
a roda de um automóvel, é necessário um
momento de 12 kgf·m. Supondo que a
força máxima que o motorista é capaz de
exercer seja de 50 kgf, qual deve ser o
comprimento mínimo do braço da chave de
roda para que ele consiga trocar o pneu?
9. Uma barra
homogênea
AB, de 8 m de
comprimento e
peso igual a 500 N, submetida à ação de uma
força F, é mantida em equilíbrio na posição
horizontal, apoiada no ponto O, a 6 m da
extremidade A, conforme esquema ao lado.
Qual o módulo da força vertical F, aplicada
na extremidade B, em newtons?
10. Duas crianças, de 20 kg e 30 kg de
massa, encontram-se sobre uma gangorra de
4 kg de massa, com apoio no ponto mé-
dio (O), A criança mais pesada está situ-
ada a 1 m do ponto O. A que distância
de O deve se situar à criança mais leve
para que a gangorra fique em equilíbrio?
11. Os benefícios
que às alavancas
nos trazem não
são descobertas
recentes. O grego Arquimedes, que viveu
na cidade de Siracusa, uma colônia grega
situada na Sicília, entusiasmou-se tanto com
a alavanca que formulou a frase: “Se me
deres uma alavanca e um ponto de apoio,
deslocarei o mundo”. Exageros à parte, Ar-
quimedes verificou que, com o auxílio de uma
barra rígida e um ponto de apoio, é possível
ao homem erguer ou equilibrar uma carga
muito grande. Conclui que quanto maior for
a distância do operador ao ponto de apoio
da barra, menor deverá ser a intensidade da
força que ele deverá aplicar.
Suponha que o peso da Terra seja igual a
6×1025 N e que a distância OT seja de 100.000
km. Neste caso:
determine qual a distância OA se Arquimedes
exerce uma força F = 20 N;
a)
se considerarmos a distância Terra-Lua como
sendo 4 ×105 km, compare com a distância en-
contrada no item anterior.
b)
52
13 - Hidrostática
A hidrostática estuda o comportamento dos flui-
dos (líquidos e gases) em equilíbrio.
Vamos definir inicialmente a pressão p, grandeza
básica para a compreensão dos fenômenos que anali-
saremos.
13.1 Pressão e densidade
Pressão
Consideremos uma superfície S da área A, sujeita
à ação de uma força ~F , perpendicular à mesma.
S
A
~F
Definimos pressão média pm sobre a superfície S
à grandeza escalar dada por:
pm =
F
A
Unidades
pm =
F
A
⇒ [p] = F[A]
S.I. C.G.S.
N/m2 (pascal) d/cm2 (bária)
1 pascal = 10 bária
Densidade absoluta (Massa específica)
Sejam m e V a massa e o volume, respectivamente,
de um corpo. Definimos densidade absoluta d desse
corpo como sendo a relação entre a massa e o volume.
d = m
V
Unidades
d = m
V
⇒ [d] = [m][V ]
S.I. C.G.S.
kg/m3 g/cm3
Densidade relativa
Dadas duas substâncias A e B, de densidades abso-
lutas dA e dB, respectivamente, definimos densidade
da substância A em relação à substância B (dA,B)
através da relação:
dA,B =
dA
dB
Observemos que o resultado final não apresenta uni-
dades, ou seja, a grandeza densidade relativa é adi-
mensional e constitui uma forma de compararmos a
densidade de duas substâncias distintas.
13.2 Teorema de Stèvin
Ao nadar ou mergulhar, você pode perceber que a
pressão da água sobre seu corpo torna-se maior à
medida que aumenta a profundidade. Como podemos
determinar o valor da pressão exercida pela água, por
exemplo, num ponto situado a uma profundidade A?
A resposta a essa pergunta nos é dada pelo teo-
rema de Stèvin, que veremos a seguir.
Consideremos um fluido de densidade d e um
ponto M situado a uma profundidade A.
A
patm
•
M
Ao redor de M, tomemos uma região plana de
área A, cujos pontos estejam todos situados à mesma
profundidade h.
A pressão exercida pela coluna de líquido em M
será:
p = F
A
A força ~F aplicada sobre a superfície de área A
é numericamente igual ao peso Fg do líquido contido
no cilindro de base A e altura h.
d = m
V
multiplicando por V
m = d · V Vcilindro = (A · h)
m = d · (A · h)
Agora temos:
Fg = m · g para m = (d ·A · h)
Fg = (d ·A · h) · g
Finalmente
p = F
A
com F = d ·A · h · g
p = d ·��A · h · g
��A
Temos agora a expressão para a pressão efetiva:
pef = d · g · h
53
54 CAPÍTULO 13. HIDROSTÁTICA
que é a pressão exercida pelo fluido no ponto consi-
derado.
Contudo, a pressão absoluta no ponto consi-
derado corresponde à pressão efetiva mais a pressão
atmosférica.
pabs = patm + pef
Na figura, temos um tubo em forma de U, no
interior do qual estão dois fluidos não-miscíveis de
densidades absolutas d1, e d2.
patm
patm
•
A
•
B
h1
h2
d1
d2
Sejam h1 e h2 as alturas das superfícies livres dos
líquidos de densidades d1 e d2, respectivamente, me-
didas a partir da superfície de separação dos fluidos.
De acordo com o teorema de Stèvin, pontos si-
tuados a mesma profundidade A, no interior de um
mesmo fluido em equilíbrio, estarão sujeitos à mesma
pressão.
De acordo com o teorema:
pA = pB, onde
{
pA = patm + d1 · g · h1
pB = patm + d2 · g · h2
Igualando as expressões, obtemos:
���patm + d1 · �g · h1 = ���patm + d2 · �g · h2
donde:
h1
h2
= d2
d1
A partir da última expressão, concluímos que o valor
da altura da coluna fluida h é inversamente propor-
cional à densidade absoluta d do fluido considerado.
13.3 Princípio de Pascal
A pressão exercida sobre um fluido em equilíbrio é
transmitida integralmente a todos os seus pontos
(inclusive às paredes do recipiente que o contém).
Consideremos um recipiente dotado de um êm-
bolo.
F área A
do êmbolo
Se a esse êmbolo de área A aplicarmos uma força
de intensidade ~F , estaremos comunicando à superfí-
cie do fluido a uma pressão p = F
A
.
De acordo com o princípio de Pascal, todos os
pontos do fluido apresentarão um acréscimo de pres-
são de mesmo valor p = F
A
.
O princípio de Pascal, que rege a transmissão de
pressão por intermédio de um fluido, apresenta vá-
rias aplicações práticas, como em prensas hidráulicas,
freios hidráulicos etc.
13.4 Experiência de Torricelli
O fisico italiano Torricelli (século XVII), através de
uma experiência bem simples, estabeleceu uma forma
de se medir a pressão atmosférica num dado local.
Essa experiência consiste em encher um tubo de
mercúrio (Hg) até a boca, e depois emborcá-lo no
interior de um recipiente que também contém mer-
cúrio.
Hg
Hg
patm patm
•
A
•
B
h
Após o tubo ter sido emborcado, parte do con-
teúdo se escoapara o recipiente; no interior do tubo,
a coluna de mercúrio remanescente de altura h é man-
tida na vertical pela pressão atmosférica do local da
experiência.
Se essa experiência for realizada ao nível do mar,
a altura da coluna de mercúrio será h = 76 cm e a
pressão atmosférica no local será, por definição, de 1
atmosfera (1 atm).
A partir do teorema de Stèvin e tomando como
base a figura, temos: pA = pB, mas:{
pA = patm
pB = d · g · h
Se a experiência foi realizada ao nível do mar, temos:
pA = patm = 1 atm
Se o fluido no tubo for mercúrio, teremos:

dHg = 13, 6 g/cm3 = 13, 6× 103 kg/m3
g = 9, 81 m/s2
h = 76 cm = 76× 10−2 m
54
55 CAPÍTULO 13. HIDROSTÁTICA
pA = pB
patm = d · g · h
1 atm = 13, 6 · 103 kg
m�32
· 9, 81��ms2 · 76 · 10
−2 m
1 atm = 10139, 616× 10m2 ·
kg ·m
s2
Como 1 N = 1 kg ·ms2 , temos:
1 atm ∼= 105
N
m2 ou 10
5 pascal
13.5 Princípio de Arquimedes
Um corpo imerso (total ou parcialmente) num fluido
fica sujeito à ação de uma força, denominada empuxo
~E, aplicada ao corpo pelo fluido.
~Fgc
~E
Essa força tem as seguintes características:
• Módulo: a intensidade da força de empuxo será
igual ao peso do fluido deslocado Fg` .
E = Fg`
Mas Fg` = m` · g (m`: massa fluida deslocada)
Ondem` = d` ·V`
{
d`: densidade do fluido
V`: volume do fluido deslocado
∴ Fg` = d` · V` · g
Assim, resulta que:
E = d` · V` · g
• Direção: o empuxo ~E tem direção vertical.
• Sentido: o empuxo ~E é dirigido de baixo para
cima.
• Volume do líquido deslocado: o volume deslo-
cado (V`) será sempre igual ao volume imerso do
corpo (Vi).
• Nem sempre a força de empuxo ~E equilibrará o peso
do corpo ~Fgc; isso só acontecerá se o corpo flutuar.
Consideremos então algumas situações particula-
res de um corpo em um líquido:
~Fgc
~E
~Fgc
~E
~Fgc
~E
Flutua parci-
almente imerso
Flutua total-
mente imerso
O corpo
afunda
O corpo flutua parcialmente imerso
Se o corpo flutua, podemos afirmar:
E = Fgc
De acordo com o princípio de Arquimedes, temos:
E = Fg` como Fg` = d` · V` · g
E = d` · V` · g como V` = Vi, temos:
E = d` · Vi · g
Contudo, o peso do corpo é:
Fgc = mc · g mas mc = (dc · Vc), assim temos:
Fgc = dc · Vc · g
Sabemos que E = Fgc. Dessa forma
E = Fgc
d` · Vi · �g = dc · Vc · �g
Ou seja:
d` · Vi = dc · Vc (13.1)
Como o corpo flutua parcialmente imerso, o valor do
volume imerso do corpo Vi, será, obviamente, menor
do que o do volume total do corpo Vc.
Assim, tendo Vi < Vc e retomando a Equa-
ção (13.1), obviamente
d` > dc (corpo flutua parcialmente imerso)
Para que o corpo possa flutuar parcialmente
imerso é necessário que a densidade do líquido do
seja maior do que a densidade do corpo.
O corpo flutua totalmente imerso
Como o corpo flutua totalmente imerso, o valor do
volume imerso do corpo Vi, será, obviamente, igual
ao do volume total do corpo Vc.
Assim, tendo Vi = Vc e retomando a Equa-
ção (13.1), obviamente
d` = dc (corpo flutua totalmente imerso)
Para que o corpo possa flutuar totalmente imerso
é necessário que a densidade do líquido seja igual à
densidade do corpo.
O corpo afunda
Se o corpo afunda, o peso do corpo Fgc será maior do
que o empuxo E. Assim, temos:
E < Fgc
d` ·��Vi · �g < dc ·��Vc · �g
d` < dc (o corpo afunda)
Caso a densidade do corpo dc seja maior do que a do
líquido d` o corpo não flutuará.
55
56 CAPÍTULO 13. HIDROSTÁTICA
Exercício
1. Com uma prensa hidráulica se quer equili-
brar um corpo de massa 5000 kg sobre o pistão
maior com um corpo de massa 200 kg sobre o
pistão menor. Qual deve ser a razão entre os
raios dos dois pistões?
2. Coloca-se dentro de um tanque com água
(dágua = 1 g/cm3) um corpo de 500 g de massa
e 1000 mL de volume, que fica flutuando à su-
perfície da água com metade de seu volume
imerso. Qual é a intensidade em N (newtons)
do empuxo aplicado pela água sobre o corpo?
3. Suponha que o sangue tenha a mesma den-
sidade que a água e que o coração seja uma
bomba capaz de bombeá-lo a uma pressão de
150 mm de mercúrio acima da pressão atmos-
férica. Considere uma pessoa cujo cérebro es-
teja 50 cm acima do coração e adote, para sim-
plificar, que 1 atm = 750 mm de mercúrio.
Até que altura o coração consegue bombear o
sangue?
a)
Suponha que esta pessoa esteja em outro planeta.
A que aceleração gravitacional máxima ela pode
estar sujeita para que ainda receba sangue no
cérebro?
b)
4. Uma esfera cujo volume é de 200 cm3, feita
de um material cuja densidade é 0,8 g/cm3, é
totalmente mergulhada em um tanque cheio
de água (densidade 1 g/cm3) de profundidade
10 m e abandonada a seguir. Considerando-se
g = 10 m/s2 e p = 100000 N/m2, calcule:
A pressão que a esfera suporta no fundo do tanque.a)
O módulo, a direção e o sentido da aceleração ad-
quirida pela esfera.
b)
A velocidade da esfera quando atinge a superfície
da água.
c)
O tempo que a esfera gastará para atingir a su-
perfície da água.
d)
5. Uma grande piscina e um pequeno tanque,
um ao lado do outro, contêm água a uma
mesma profundidade.
A pressão no fundo da piscina é maior, menor ou
igual à pressão no fundo do tanque?
a)
A força total, exercida pela água, no fundo da pis-
cina é maior, menor ou igual à força total no fundo
do tanque?
b)
6. Uma bailarina de 48 kg apoia-se sobre a
ponta de uma de suas sapatilhas, cuja área de
contato com o piso é de 6 cm2.
Determine a pressão que a bailarina exerce sobre
o piso.
a)
Suponha que o material de que é feito o piso não
resista a pressões superiores a 2 × 105 Pa. Qual
deve ser a área mínima da sapatilha para não afun-
dar o piso?
b)
7. Um submarino navega a 100 m de profundi-
dade. Qual a pressão a que o submarino está
sujeito? (Dados: densidade da água do mar
1, 03× 103 kg/m3 e g = 9,80 m/s2.)
8. Um astronauta, na Lua, conseguiria tomar
um refrigerante, usando canudinho, como se
faz aqui na Terra? Explique.
9. Em uma residência, há uma caixa-d’água
de 1 m de largura, 2 m de comprimento e 1 m
de altura. Para aumentar a pressão da água
nas torneiras, um bombeiro sugeriu que se co-
locasse, no mesmo local, outra caixa de maior
capacidade, com 2 m de largura, 3 m de com-
primento e 1 m de altura. Você concorda com
a proposta do bombeiro? Explique.
10. Um tijolo tem massa igual a 2 kg e volume
de 1000 cm3. Qual a densidade do tijolo?
11. Um bloco maciço de metal, em forma de
cubo, tem massa de 800 kg e está apoiado so-
bre uma superfície horizontal por uma de suas
faces. A pressão que ele exerce tem intensi-
dade de 5 × 104 Pa. Nessas condições, quanto
vale a medida da aresta desse cubo?
12. Os buracos negros seriam regiões do uni-
verso de densidade muito elevada, capazes de
absorver matéria, que passaria a ter a densi-
dade desses buracos. Se a Terra, com massa
da ordem de 1027 g, fosse absorvida por um
buraco negro de densidade 1024 g/cm3, qual
volume ela passaria a ocupar?
13. Misturam-se dois líquidos A e B. O líquido
A possui volume de 120 cm3 e densidade 0,78
g/cm3. O líquido B possui volume de 200 cm3
e densidade 0,56 g/cm3. Qual a densidade da
mistura em g/cm3?
14. Um ovo está no fundo de uma jarra com
água pura. Adicionam-se aos poucos peque-
nas quantidades de sal. Num determinado mo-
mento, o ovo sobe e fica flutuando. Sendo dS a
56
57 CAPÍTULO 13. HIDROSTÁTICA
densidade da solução salgada, dO densidade do
ovo e dA a densidade da água pura, podemos
afirmar que dx > dy > dz. As quais densidades
correspondem os índices x, y e z?
15. Num posto de gasolina, um elevador hi-
dráulico deve erguer um automóvel de 1000
kg de massa. O carro está sobre a extremi-
dade do pistão de área 600 cm2. Qual deve
ser o módulo da força aplicada à outra extre-
midade do pistão, de área 25 cm2? Adote g =
10 m/s2.
16. Ao serem retirados 128 L de água de uma
caixa-d’água de forma cúbica, o nível de água
baixa 20 cm.
Calcule o comprimento das arestas da referida
caixa.
a)
Calcule sua capacidade em litros.b)
17. Um mergulhador persegue um peixe a 5
m abaixo da superfície do mar. O peixe foge
da posição A e se esconde em uma gruta na
posição B, conforme mostra a figura. A pres-
são atmosféricana superfície da água é igual
a patm = 105 N/m2. Adote g = 10 m/s2 e dágua
= 1 g/cm3.
Qual é a pressão no mergulhador?a)
Qual a variação de pressão sobre o peixe nas po-
sições A e B?
b)
57
Parte III
Termodinâmica
58
14 - Termometria
14.1 Temperatura
A termometria é a parte da Física que tem por obje-
tivo o estudo e a medida da temperatura.
A noção de temperatura está associada às sensa-
ções de “quente” e “frio” que os corpos em geral cau-
sam. Mas é importante, em nosso estudo, conceituar
a temperatura em relação ao aspecto microscópico.
Temperatura de um corpo é o número que
mede o estado de agitação das partículas que consti-
tuem esse corpo.
Assim, por exemplo, a temperatura de um gás
mede o estado de agitação das moléculas desse gás
— quanto maior a velocidade média das moléculas,
maior o valor de sua temperatura. Também a tempe-
ratura de um sólido é a medida do estado de agitação
de seus átomos, que são as partículas que o consti-
tuem.
O termômetro é um dispositivo
utilizado para medir a temperatura.
Possui uma substância dotada de uma
grandeza que varia conforme a tempe-
ratura. Essa substância é denominada
substância termométrica e a gran-
deza, grandeza termométrica.
O termômetro mais popular é o
de mercúrio. Sua substância termo-
métrica é o próprio mercúrio e a gran-
deza termométrica, a altura atingida
pela coluna de mercúrio.
Note-se que a temperatura, medida do estado de
agitação das partículas do corpo, é determinada in-
diretamente por meio da grandeza termométrica –
quanto maior a altura da coluna de mercúrio, mais
elevada é a temperatura.
Existem diversas outras grandezas termométricas
utilizadas na construção de termômetros, como, por
exemplo, a pressão de um gás, a resistência elétrica
de um condutor, a cor de um sólido aquecido, o com-
primento de uma barra metálica etc.
Equação termométrica
A cada valor assumido pela grandeza termométrica
corresponde um valor de temperatura. Assim, no
termômetro de mercúrio, cada altura atingida na co-
luna corresponde a um valor de temperatura. Pode-
mos relacionar esses valores por meio de uma função
matemática denominada equação termométrica, que
geralmente é do 1º grau.
14.2 Escalas termométricas
É um conjunto de valores de temperaturas correspon-
dentes a certos estados térmicos preestabelecidos, de-
nominados pontos fixos da escala, Esses estados tér-
micos são, em geral, sob pressão normal, o ponto de
fusão do gelo e o de ebulição da água.
Assim, sob pressão normal, temos:
• 1º ponto fixo (PF) – ponto do gelo: fusão do gelo
• 2º ponto fixo (PF) – ponto de vapor: ebulição
da água.
Escala Celsius
A escala Celsius, antigamente chamada de escala cen-
tígrada, atribui os valores 0ºC (zero grau Celsius) e
100ºC (cem graus Celsius) para o 1º PF, ponto do
gelo, e para o 2º PF, ponto de vapor, respectiva-
mente.
Escala Fahrenheit
O uso dessa escala se restringe basicamente aos paí-
ses onde a língua oficial é o inglês. Ela vem, grada-
tivamente, sendo substituída pela escala Celsius. As
temperaturas dos pontos fixos para o ponto do gelo e
o ponto de vapor são, respectivamente, 32ºF e 212ºF.
Escala Kelvin
Essa escala é a que relaciona o conceito de tempe-
ratura (medida do estado de agitação das partículas)
com o valor numérico que a representa. O zero Kelvin
(0 K) chamado de “zero absoluto”, é um valor obtido
teoricamente e corresponde ao mais baixo nível tér-
mico, isto é, àquele no qual a agitação das partículas
se reduziria a zero.
Na escala Kelvin, os pontos do gelo e do vapor
são, respectivamente, 273 K e 373 K, aproximada-
mente. A indicação °K (grau Kelvin) foi abolida há
algum tempo por ser redundante, uma vez que se en-
tende K (Kelvin) como unidade de grandeza física.
Uma escala é absoluta quando seu valor zero de
temperatura coincide com 0 zero absoluto. A escala
Kelvin é absoluta, enquanto as escalas Celsius e Fah-
renheit são relativas.
Conversões entre as escalas
As escalas termométricas podem ser relacionadas
através dos valores indicados para os pontos fixos.
59
60 CAPÍTULO 14. TERMOMETRIA
1º PF 0 32 273
θC θF θT
2º PF 100 212 373
Celcius
°C
Fahrenheit
°F
Kelvin
K
Podemos utilizar a proporção entre as variações de
temperatura:
θC − 0
100− 0 =
θF − 32
212− 32 =
T − 272
373− 273 ,
obtendo-se a equação de conversão:
θC
100 =
θF − 32
180 =
T − 272
100
Uma mesma temperatura pode apresentar “núme-
ros diferentes” se medida em escalas diferentes. Por
exemplo, a temperatura da água em ebulição, sob
pressão normal, é única, embora possua “números
diferentes” nas diferentes escalas. Assim, 100°C re-
presentam a mesma temperatura que 212°F ou 373
K.
A equação de conversão dada acima permite des-
cobrir o número da temperatura de uma escala a par-
tir do número da mesma temperatura de outra escala.
Exemplo 14.1 A temperatura de 46°F corresponde
a qual temperatura na escala Celsius?
Utilizando a equação de conversão para as escalas
Celsius e Fahrenheit:
θC
100 =
θF − 32
180 para θF = 46
◦F
θC
100 =
46− 32
180
θC
100 =
14
180 multiplicando por 100
θC ≈ 7, 8◦C
Variação de temperatura e as escalas ter-
mométricas
Aprendemos a converter uma dada temperatura ex-
pressa numa escala para o correspondente valor de
outra escala. É importante, agora, saber também ex-
pressar a variação de temperatura ∆θ nas diferentes
escalas.
0 32 273
∆θC ∆θF ∆θT
100 212 373
Celcius
°C
Fahrennenheit
°F
Kelvin
K
Usando a proporcionalidade:
∆θC
100 =
∆θF
180 =
∆T
100
Exemplo 14.2 A variação de 45° na escala Celsius
corresponde a que mudança de temperatura na escala
Kelvin e Fahrenheit?
• Variação em Kelvin:
∆θC
100 =
∆T
100 para ∆θC = 45
◦C
45
��100
= ∆T
��100
multiplicando por 100
∆T = 45 K
• Variação em Fahrenheit:
∆θC
100 =
∆θF
180 para ∆θC = 45
◦C
45
100 =
∆θF
180 multiplicando por 180
∆θF = 81°F
Exercício
1. No texto de uma revista científica: “Em
Plutão, o planeta mais afastado do Sol, a tem-
peratura vai a 380° abaixo de zero”. O au-
tor, embora não tenha declarado qual a escala
termométrica utilizada, certamente se refere,
para a temperatura mencionada, a escala:
Kelvin.a)
Celsius.b)
Fahrenheit.c)
Diferente das anteriores, pois o valor não é com-
patível com nenhuma das três escalas.
d)
2. Um estudante, no laboratório, deveria
aquecer certa quantidade de água desde 25°C
até 70°C. Depois de iniciada a experiência, ele
quebrou o termômetro de escala Celsius e teve
de continuá-la com outro de escala Kelvin. Em
que posição do novo termômetro ele deve ter
parado o aquecimento?
3. Um pesquisador construiu uma escala ter-
60
61 CAPÍTULO 14. TERMOMETRIA
mométrica P com base nas temperaturas de
fusão e ebulição do álcool etílico, tomadas
como pontos 0 e 100 dessa escala. Na es-
cala Celsius, aqueles dois pontos extremos da
escala do pesquisador têm valores –118°C e
78°C. Qual a temperatura na escala Celsius
corresponde a 80 P?
4. Colocam-se em um mesmo recipiente três
termômetros: um Celsius, um Fahrenheit e
um Kelvin. Aquece-se o sistema até que a
variação de leitura fornecida pelo termômetro
Celsius seja de 45°C. Quais as variações de lei-
tura obtidas pelos outros termômetros?
5. A temperatura de uma máquina na escala Fahre-
nheit é de 122°F. Qual é sua temperatura na escala
Celsius?
6. Encontre a equação termométrica de
um termômetro de mercúrio, sabendo que,
quando a altura da coluna assume os valores
10 cm e 20 cm, atribuem-se as temperaturas
de 15 graus e 35 graus, respectivamente.
7. Utilizando a equação termométrica do
exercício anterior, encontre o valor da tempe-
ratura θ quando a coluna de mercúrio estiver
a uma altura de 35 cm.
8. Numa estação meteorológica, foi registrada
uma temperatura máxima de 25°C. Qual é a
indicação da máxima na escala Fahrenheit?
9. Qual é o valor da temperatura cuja indica-
ção na escala Fahrenheit supera em 64 unida-
des a indicação na escala Celsius?
10. A quantos graus Celsius corresponde o
zero absoluto?
11. Durante um dia, a temperatura ambiente
variou de 20°C. A quanto corresponde essa va-
riação expressaem:
graus Fahrenheita) Kelvinb)
12. O diagrama seguinte fornece-nos a relação
entre as temperaturas TA e TB de duas escalas
termométricas A e B. Qual é a temperatura
correspondente a 30°A na escala B?
TA0
TB
–20
40
13. A escala Reaumur adota para os pontos
fixos do gelo e do vapor os valores 0°R e 80°R.
Encontre a equação de conversão entre as es-
calas Reaumur e Celsius.
14. Um termômetro mal graduado assinala –
2°C e 108°C para o ponto do gelo e para o
ponto de vapor, respectivamente. Determine:
a equação de correção para esse termômetro;a)
a indicação correta, quando o termômetro mal gra-
duado assinala 53°C;
b)
a que temperatura o termômetro mal graduado
assinala um valor correto.
c)
61
15 - Dilatação térmica
As dimensões de um corpo sofrem variações
quando alteramos sua temperatura. Na grande maio-
ria dos casos, uma elevação da temperatura acarreta
um aumento nas dimensões do corpo, enquanto uma
diminuição da temperatura produz uma contração.
Entendemos esse comportamento lembrando que
a temperatura mede o estado de vibração das partí-
culas que constituem o corpo. Ao elevarmos a tem-
peratura, estaremos aumentando a vibração dessas
partículas, causando um aumento da distância entre
elas e, consequentemente, um aumento no tamanho
do corpo.
15.1 Dilatação dos sólidos
Ao se dilatar, um sólido altera suas dimensões em to-
das as direções, simultaneamente. Assim, por exem-
plo, um sólido cúbico, ao se dilatar, sofre modifica-
ções em seu comprimento, largura e altura.
aquecimento
A dilatação ocorre simultaneamente em todas as
direções.
Dilatação linear
O estudo da dilatação de um sólido considerando ape-
nas uma direção é denominado dilatação linear.
Por exemplo, podemos querer analisar a dilatação do
comprimento de uma barra, embora saibamos que o
fenômeno ocorreu em todas as direções.
L0
L
∆L
θ0
θ
Seja L0 o comprimento da barra quando a tempe-
ratura é θ0 e L o comprimento na temperatura θ,
a dilatação ∆L do comprimento da barra será dada
por:
∆L = L− L0
E a variação da temperatura ∆θ é:
∆θ = θ − θ0
Experimentalmente encontramos que ∆L é direta-
mente proporcional a L0 e a ∆θ, permitindo escrever:
∆L = L0 · α ·∆θ (15.1)
onde α, constante de proporcionalidade, é cha-
mada de coeficiente de dilatação linear, e o seu
valor depende unicamente do material com que a
barra é feita.
A tabela seguinte apresenta os valores dos coefi-
cientes de dilatação linear para alguns materiais.
Tabela 15.1 -Alguns coeficientes de dilatação linear α.
Material α(°C−1)
chumbo 27× 10−6
alumínio 22× 10−6
cobre 17× 10−6
vidro 9× 10−6
Se queremos determinar o comprimento final da
barra, basta considerar:
L− L0 = ∆L somando L0
L = L0 + ∆L ∆L = L0 · α ·∆θ
L = L0 + L0 · α ·∆θ fatorando
L = L0(1 + α ·∆θ) (15.2)
Exemplo 15.1 Um fio de alumínio mede 100 cm a
temperatura de 0°C. Sabendo que o coeficiente de
dilatação linear do alumínio é 22 × 10−6 °C−1, de-
termine a dilatação sofrida pela fio ao se aquecê-lo
até 100°C.
Do enunciado, temos: L0 = 102 cm; α = 22× 10−6
°C−1; θ0 = 0 e θ = 100 °C (∆θ = 102 °C).
Aplicando a Equação (15.1), temos:
∆L = L0 · α ·∆θ
∆L = 102 · 22× 10−6 · 102 = 0, 22 cm
Dilatação superficial
Considere uma placa retangular de lados a0 e b0 à
temperatura de θ0. Ao ser aquecida à temperatura
de θ, a placa sofrerá uma dilatação e seus lados pas-
sam a medir a e b.
62
63 CAPÍTULO 15. DILATAÇÃO TÉRMICA
aquecimento
a0
bb0
a
A0 A
θ0
θ
∆θ = θ − θ0: variação de temperatura.
A0 = a0 · b0: área inicial da superfície.
A = a · b: área final da superfície.
Usando o que aprendemos na dilatação linear,
Equação (15.2), podemos escrever:
L = L0(1 + α ·∆θ)
a = a0(1 + α ·∆θ)
b = b0(1 + α ·∆θ)
Assim:
A = a · b substitua a e b
= a0(1 + α ·∆θ) · b0(1 + α ·∆θ)
= a0 · b0(1 + α ·∆θ)2 A0 = a0 · b0
= A0(1 + 2α ·∆θ +���
��
α2 ·∆θ2)
Como o coeficiente linear α, em °C−1, é da ordem de
10−5 (ver Tabela 15.1), resulta que α2, em °C−2, é
da ordem de 10−10, ou seja, o termo α2 · ∆θ2 pode
ser desprezado. Dessa forma:
A = A0(1 + 2α ·∆θ)
A constante 2α é chamada de coeficiente de dila-
tação superficial e será representada pela letra β:
β = 2α .
A = A0(1 + β ·∆θ)
Sendo ∆A a dilatação superficial e lembrando que
∆A = A−A0, temos:
∆A = A−A0
∆A = A0(1 + β ·∆θ)−A0
∆A = ��A0 +A0 · β ·∆θ���−A0,
e concluímos que:
∆A = A0 · β ·∆θ
Exemplo 15.2 Uma moeda, fabricada com níquel
puro, encontra-se à temperatura ambiente de 20°C.
Ao ser levada a um forno, ela sofre um acréscimo
de 1% em sua superfície. Qual a temperatura do
forno? Dado αNi = 12, 5× 10−6 °C−1.
Como a moeda sofre um acréscimo ∆A de 1% em
sua superfície inicial, podemos escrever:
∆A = 1100 ·A0
Substituindo os valores: θ0 = 20°C; β = 25 × 10−6
°C−1, pois β = 2α, na equação ∆A = A0 · β · ∆θ,
teremos:
��A0 · β ·∆θ = �
�A0
100
25× 10−6(θ − 20) = 1100
θ − 20 = 1100 · 25× 10−6
θ = 400 + 20
θ = 420°C
Dilatação volumétrica
O estudo da dilatação volumétrica ou dilatação cú-
bica dos sólidos segue um raciocínio análogo ao que
fizemos anteriormente.
aquecimento
b
a
c
b0
a0
c0
V0
Vθ0
θ
∆θ = θ − θ0: variação de temperatura.
V0 = a0 · b0 · c0: volume inicial do sólido.
V = a · b · c0: volume final do sólido.
Usando o que aprendemos na dilatação linear,
Equação (15.2), podemos escrever:
L = L0(1 + α ·∆θ)
a = a0(1 + α ·∆θ)
b = b0(1 + α ·∆θ)
c = c0(1 + α ·∆θ)
Assim:
V = a · b · c
= a0(1 + α ·∆θ) · b0(1 + α ·∆θ) · c0(1 + α ·∆θ)
= a0 · b0 · c0(1 + α ·∆θ)3 V0 = a0 · b0 · c0
= V0(1 + 3α ·∆θ +���
��3α2 ·∆θ2 +����
�
α3 ·∆θ3)
Como o coeficiente linear α, em °C−1, é da ordem de
10−5 (ver Tabela 15.1), resulta que α2, em °C−2, é
da ordem de 10−10, ou seja, os termos 3α2 · ∆θ2 e
α3 ·∆θ3 podem ser desprezados. Dessa forma:
V = V0(1 + 3α ·∆θ)
A constante 3α é chamada de coeficiente de dila-
tação cúbica ou volumétrica e será representada
pela letra γ: γ = 3α .
V = V0(1 + γ ·∆θ)
63
64 CAPÍTULO 15. DILATAÇÃO TÉRMICA
Sendo ∆V a dilatação volumétrica, ou cúbica, e lem-
brando que ∆V = V − V0, temos:
∆V = V − V0
∆V = V0(1 + γ ·∆θ)− V0
∆V = ��V0 + V0 · γ ·∆θ���−V0,
e concluímos que:
∆V = V0 · γ ·∆θ (15.3)
Exemplo 15.3 Um cubo de ferro (αFe = 12×10−6
°C−1) tem aresta igual a 20 cm a 10°C. Se a tem-
peratura for elevada para 350°C, determine:
(a) a variação do comprimento da aresta.
A dilatação da aresta é linear, portanto:
∆L = L0 · α ·∆θ
∆L = 20 · 12× 10−6 · 340
∆L = 8, 16× 10−2 ≈ 0, 08 cm
(b) a variação da superfície de qualquer uma
de suas faces.
A dilatação da face é superficial. Como a área
da face é A0 = 202 = 400 = 4 × 102 cm2 e
β = 2α = 2 · 12× 10−6 = 24× 10−6 °C−1, temos:
∆A = A0 · β ·∆θ
∆A = 4× 102 · 24× 10−6 · 340
∆A = 3, 25 cm2
(c) a variação de seu volume.
O volume do cubo é V0 = 203 = 8000 = 8×103 cm3
e o coeficiente de dilatação volumétrica é γ = 3α =
3 · 12× 10−6; assim:
∆V = V0 · γ ·∆θ
∆V = 8× 103 · 36× 10−6 · 340
∆V = 98 cm3
15.2 Dilatação dos líquidos
O estudo da dilatação dos líquidos leva às mesmas
expressões que encontramos na dilatação volumétrica
dos sólidos. Contudo, há uma dificuldade adicional,
pois deve-se considerar o recipiente no qual o líquido
está contido. De fato, quando aquecemos um líquido,
estamos ao mesmo tempo aquecendo seu recipiente,
ocorrendo então a dilatação de ambos.
Vamos considerar um recipiente preenchido total-
mente por um líquido, os dois à temperatura de θ0.
Aquecendo o conjunto à temperatura θ, o reci-
piente e o líquido irão se dilatar. Supondo que o
líquido se dilate mais que o recipiente, como ocorre
geralmente, haverá um transbordamento.
Aqui, como em qualquer estudo de dilatação tér-
mica dos líquidos, supomos que não ocorre mudança
de estado físico. O líquido não se transforma em va-
por.
Seja ∆Vrec a dilatação volumétrica do recipiente
e ∆VR a dilatação real do líquido. Assim o volume
do líquido transbordado ∆Vtransb será dado por:
∆Vtransb = ∆VR −∆Vrec
O volume transbordado não representa o quanto
de fato o líquido se dilatou, uma vez que também
ocorreu a dilatação do recipiente. O volume trans-
bordado ∆Vtransb corresponde à dilatação aparentedo líquido ∆VAP .
∆Vtransb = ∆VAP
Dessa forma:
∆Vtransb = ∆VR −∆Vrec
∆VAP = ∆VR − ∆Vrec
Considerando a Equação (15.3) para VR e ∆Vrec:
∆VAP = V0R · γR ·∆θ − V0rec · γrec ·∆θ
Os volumes iniciais V0rec e V0R são iguais. Assim para
o volume inicial do líquido: V0L = V0R = V0rec .
∆VAP = V0L · γR ·∆θ − V0L · γrec ·∆θ
∆VAP = V0L(γR − γrec)∆θ
Da Equação (15.3), podemos deduzir que
γAP = γR − γrec . Assim:
∆VAP = V0L · γAP ·∆θ
Exemplo 15.4 Um caminhão-tanque, com capa-
cidade para 10000 `, está cheio de gasolina, a uma
temperatura de 10°C. Qual o aumento de volume
sofrido pela gasolina ao ser retirada à temperatura
de 30°C? Dado: γ(gasolina) = 9, 6× 10−4 °C−1.
Do enunciado, temos: θ0 = 10°C, θ = 30°C,
V0 = 1000 ` e γ = 9, 6× 10−4 °C−1.
∆V = V0L · γAP ·∆θ
∆V = 10000 · 9, 6× 10−4 · 20
∆V = 192 litros
64
65 CAPÍTULO 15. DILATAÇÃO TÉRMICA
15.3 Dilatação anômala da água
Em geral, quando se aquece um líquido, seu volume
aumenta. A água constitui uma exceção, pois ao ser
aquecida de 0°C a 4°C seu volume diminui (embora
acima de 4°C se comporte como os outros líquidos).
Essa propriedade se deve porque as moléculas
de água no estado sólido (gelo) estão dispostas de
maneira a formar anéis hexagonais. O aumento da
temperatura rompe a estrutura cristalina do gelo
(rompe as pontes de hidrogênio), as moléculas
se aproximam umas das outras e o volume diminui.
Assim, podemos esboçar o gráfico do volume de certa
massa de água em função de sua temperatura.
θ(°C)
V
40 gelo água líquida
Uma das consequências do fato do volume do gelo ser
maior do que uma amostra de mesma massa de água
líquida é que a densidade do gelo se torna menor do
que a da água líquida. Em vista disso o gelo flutua
sobre a água.
Nas regiões onde invernos são rigorosos, o gelo
atua como isolante térmico em lagos e rios, impe-
dindo o congelamento total das águas abaixo dele e
a consequente morte de animais que lá vivem.
Exercício
1. O comprimento de uma trena de aço é
de 2 m, a 0°C. A que temperatura deverá
encontrar-se a trena para que seu compri-
mento seja 0,5 mm maior que o comprimento
que ela possuía a 0°C? (Dado α = 10−5 °C−1)
2. Qual é o coeficiente de dilatação linear de
uma barra metálica que sofre um aumento de
0,1% de seu comprimento inicial, para uma
variação de 100°C?
3. O comprimento de uma barra de ferro é de
100 cm quando sua temperatura é de 0°C. Sa-
bendo que o coeficiente de dilatação do ferro
vale 12 × 10−6 °C−1, qual é comprimento da
barra a 100°C?
4. O gráfico dado representa o comprimento L
de uma barra metálica em função da tempera-
tura θ. Mostre que o coeficiente angular dessa
reta é dado por L0 · α, onde α é o coeficiente
de dilatação linear da barra.
θ
L
L0
L1
5. Na temperatura inicial θ0, uma barra metá-
lica A possui maior comprimento do que outra
barra metálica B. Esboce o gráfico dos compri-
mentos das barras A e B, durante um aqueci-
mento, em função da temperatura, sabendo-se
que elas são feitas de um mesmo metal.
6. Recortamos um disco circular de uma folha
de alumínio. O que ocorrerá com os diâmetros
do disco e do orifício da folha ao aquecê-los
igualmente?
folha do orifício
disco circular
7. Responda as perguntas seguintes.
Por que um copo de vidro comum trinca quando
nele colocamos um líquido muito quente?
a)
Em relação à pergunta anterior, por que é mais
difícil o copo trincar se ele for de vidro pirex?
b)
8. Um béquer de vidro, cujo volume é 1000
cm3, está completamente cheio de mercúrio,
a 20°C. Determine o volume de mercúrio que
irá transbordar quando o sistema for aquecido
a 120°C. (γ(Hg) = 180 × 10−6 °C−1, γ(vidro) =
27× 10−6 °C−1)
9. A temperatura de uma máquina na escala
Fahrenheit é de 122°F. Qual é sua tempera-
tura na escala Celsius?
10. Uma porca está muito apertada no para-
fuso. O que você deve fazer para afrouxá-la?
É indiferente esfriar ou esquentar a porca.a)
Esfriar a porca.b)
Esquentar a porca.c)
É indiferente esfriar ou esquentar o parafuso.d)
Esquentar o parafuso.e)
65
66 CAPÍTULO 15. DILATAÇÃO TÉRMICA
11. É comum um copo ficar preso dentro de
outro. Como você poderia soltá-los racioci-
nando termodinamicamente? Explique.
12. O tanque de gasolina de um carro tem ca-
pacidade para 50 L. Suponha que o proprie-
tário encha o tanque numa manhã, na som-
bra, a 15°C, e logo depois estacione o carro ao
sol, que, inclemente, faz a temperatura atingir
35°C. Considerando desprezível a variação de
volume do tanque, qual o volume de gasolina
que vaza do tanque? (γ = 9, 6× 10−4°C−1)
13. Para o ajuste sem folga, os rebites de alu-
mínio usados na fabricação de aviões são li-
geiramente maiores que os furos. Para passar
sem folga pelos furos, são resfriados com gelo
seco a −78°C. O diâmetro do furo a 20°C é de
0,635 cm. Qual o diâmetro do rebite a 20°C?
(Alumínio: α = 2, 4× 10−5°C−1).
14. O vidro“Pirex” apresenta maior resistên-
cia ao choque térmico do que o vidro comum
porque:
Possui alto coeficiente de rigidez.a)
Tem baixo coeficiente de dilatação térmica.b)
Tem alto coeficiente de dilatação térmica.c)
Tem alto calor específico.d)
É mais maleável que o vidro comum.e)
15. Um frasco completamente cheio de água é
aquecido e transborda um pouco do líquido.
O volume transbordado mede:
A dilatação absoluta da água.a)
A dilatação absoluta do frasco.b)
A dilatação aparente da água.c)
A dilatação do frasco mais a da água.d)
A dilatação relativa do líquido.e)
16. Um pino metálico, a uma dada tempera-
tura, ajusta-se perfeitamente em um orifício
de uma placa metálica. Se somente a placa
for aquecida, verifica-se que:
Haverá contração apenas do orifício da placa.a)
Haverá contração do pino da placa.b)
O pino não mais passará pelo orifício.c)
O pino passará mais facilmente pelo orifício.d)
Nenhuma das anteriores.e)
17. A expressão “dilatação anômala da água” refere-
se ao fato de uma determinada massa de água, sob
pressão constante:
Possuir volume máximo a 4°C.a)
Aumentar sua densidade quando sua temperatura
aumenta de 0°C para 4°C.
b)
Aumentar de volume quando sua temperatura au-
menta de 0°C para 4°C.
c)
Reduzir-se de volume quando sua temperatura au-
menta a partir de 4°C.
d)
Possuir uma massa específica constante acima de
4°C.
e)
18. Você é convidado para projetar uma ponte
metálica cujo comprimento será de 2 km.
Considerando os efeitos da contração e da ex-
pansão térmica para temperaturas no inter-
valo de –40°F e 110°F e o coeficiente de dila-
tação linear do metal é de 12× 10−6°C −1, qual
a máxima variação esperada no comprimento
da ponte? (O coeficiente de dilatação linear é
constante no intervalo de temperatura consi-
derado.)
66
16 - Calorimetria
16.1 Calor
Considere um corpo inicialmente aquecido à tempe-
ratura de θ0, e que agora, exposto ao ambiente, está
esfriando, isto é, está diminuindo sua temperatura,
procurando atingir a mesma temperatura θ do ambi-
ente.
Lembramos que temperatura é a medida do es-
tado de agitação das partículas que constituem o
corpo, ou da energia de agitação dessas partículas,
ou ainda da energia térmica do corpo.
Se o corpo está diminuindo sua temperatura, en-
tão significa que está reduzindo a energia de agitação
de suas partículas, isto é, perdendo energia térmica.
De fato, a energia térmica do corpo se transfere para
o ambiente.
Denomina-se calor a energia térmica que se
transfere. E, espontaneamente, o calor flui de pontos
de maior temperatura para os de menor temperatura.
Calor é energia térmica em transito.
E, de modo análogo, em um aquecimento o corpo
estará ganhando calor.
Unidade de medida
Sendo calor uma forma de energia, sua unidade de
medida é o J (Joule), embora seja mais usual medir
o calor utilizando a unidade cal (caloria).
1 cal = 4, 18 J
Calor sensível
Calor sensível é o calor que provoca no corpo uma
variação de temperatura.
A quantidade de calor sensível Q é direta-
mente proporcional à massa do corpo e à variação de
temperatura.
Quantidade de calor sensível Q
Q = m · c ·∆θ
• Q: quantidade de calor sensível;
• m: massa do corpo;
• c: constante de proporcionalidade(calor espe-
cífico) característica do material de que é feito o
corpo;
• ∆θ = (θ−θ0): variação de temperatura, sendo θ0
a temperatura inicial e θ a temperatura final.
Capacidade térmica
Capacidade térmica C de um corpo é o quociente
entre a quantidade de calor recebido Q e a correspon-
dente variação de temperatura ∆θ.
C = Q∆θ
Podemos ainda fazer
C = Q∆θ para Q = m · c ·∆θ
C = m · c ·�
�∆θ
��∆θ
Dessa forma:
C = m · c
16.2 Mudança de estados físicos
Os estados físicos da matéria são: sólido, líquido e
gasoso. Uma substância poderá passar de um estado
a outro, ao receber ou perder calor.
Observe que do estado sólido para o líquido e do es-
tado líquido para o gasoso, a substância recebe calor,
ocorrendo, portanto, uma transformação endotér-
mica. E, no sentido contrário, as transformações são
exotérmicas, isto é, a substância cede calor.
A tabela que se segue apresenta as temperaturas
de fusão e ebulição, sob pressão normal de algumas
substâncias. A ebulição é um processo contínuo e
acelerado de vaporização.
67
68 CAPÍTULO 16. CALORIMETRIA
Substância θfusão θebulição
água 0°C 100°C
álcool –114°C 78°C
mercúrio –39°C 357°C
zinco 420°C 907°C
alumínio 660°C 2.330°C
Sendo que
θfusão = θsolidificação
θebulição = θliquefação
Calor latente
Calor latente é o calor que provoca no corpo uma
mudança de estado físico.
Experimentalmente obtém-se que a quantidade
de calor latente Q é diretamente proporcional à
massa m da substância. Ou seja:
Q = m · L
A constante de proporcionalidade L é chamada de
calor específico latente ou, simplesmente, calor la-
tente L e depende da substância e do tipo de mu-
dança de estado.
Durante a mudança de estado de uma substância
pura a temperatura se mantém constante. Assim,
sob pressão normal, temos:
Mudança de estado Calor latente L
Fusão do gelo LF = 80 cal/g
Solidificação da água LS = −80 cal/g
Vaporização da água LV = 540 cal/g
Liquefação do vapor d’água LL = −540 cal/g
Observe que se o calor específico latente for po-
sitivo: (L > 0), a substância recebe calor para
que ocorra a mudança de estado. Se for negativo:
(L < 0), a substância cede calor.
16.3 Sistema termicamente isolado
Um sistema é termicamente isolado quando os cor-
pos em seu interior não trocam calor com o meio
externo. Na realidade, não existe um sistema termi-
camente isolado ideal, isto é, livre de toda e qualquer
influência térmica do meio ambiente. Contudo, na
prática, os corpos que trocam calor podem ser co-
locados em recipientes denominados calorímetros e
ser considerados, aproximadamente, um sistema ter-
micamente isolado.
Trocas no sistema termicamente isolado
Considere dois corpos A e B termicamente isolados,
de temperaturas θA e θB. Postos em contato, fluirá
calor do mais quente, o de maior temperatura, para
o mais frio, o de menor temperatura. Assim, o mais
quente, perdendo energia térmica, irá esfriando e o
mais frio, ganhando energia térmica, irá aquecendo,
até o momento em que os dois atinjam a mesma tem-
peratura θ, cessando o fluxo de calor. Nesse mo-
mento, diz-se que os corpos atingiram o equilíbrio
térmico.
• inicialmente ⇒ θA > θB
• durante o contato
• finalmente ⇒ θA = θB = θ: temperatura final de
equilíbrio térmico.
Nesse processo, pela conservação da energia, pode-
mos afirmar que a quantidade de calor cedido QA por
um corpo representa a quantidade de calor recebido
QB pelo outro.
|QA| = |QB|
Mas como por convenção a quantidade de calor rece-
bido é positiva e a de calor cedido é negativa, pode-
mos afirmar que:
QA +QB = 0 (equação da troca de calor)
A equação da troca de calor é válida também no
caso em que ocorre mudança de estado físico em um
ou nos dois corpos em contato.
Assim, por exemplo, se uma moeda aquecida for
colocada junto de um grande bloco de gelo a 0°C,
ocorrerá a fusão de uma parte do gelo à custa do
calor cedido pela moeda. E será válido escrever:
QA + QB = 0, onde QA é a quantidade de calor
sensível cedida pela moeda e QB é a quantidade
de calor latente recebida pela massa de gelo que
derreteu.
Podemos ter mais de dois corpos em contato e, a
partir daí, generalizar a equação da troca de calor.
Q1 +Q2 +Q3 + ...+Qn = 0
D+ OQ +O+..+Q,=0.
Exemplo 16.1 Misturam-se 80 g de água, inicial-
mente a 20°C, com 40 g de água a 80°C. Determine
a temperatura final da mistura, dado: cágua = 1
cal/g· °C.
Considerando as trocas de calor somente entre as
duas massas de água (sistema termicamente iso-
lado), podemos escrever: Q1 +Q2 = 0, onde:
• água fria: Q1 = m · c ·∆θ = 80 · 1 · (θ − 20).
68
69 CAPÍTULO 16. CALORIMETRIA
• água quente: Q2 = m · ·c ·∆θ = 40 · 1 · (θ − 80).
Dessa forma:
0 = Q1 +Q2
0 = 80 · (θ − 20) + 40 · (θ − 80)
0 = 80θ − 1600 + 40θ − 3200
0 = 120θ − 4800
−120θ = −4800
θ = 40 °C
16.4 Propagação de calor
O calor pode ser transmitido de uma região para ou-
tra de três modos diferentes: condução, convecção
e irradiação.
Condução
Quando as extremidades de uma barra possuem tem-
peraturas diferentes, haverá uma transferência de ca-
lor da extremidade de maior temperatura para a de
menor temperatura, em busca do equilíbrio térmico.
Na extremidade de maior temperatura, as partícu-
las possuem uma maior energia de agitação, que se
transfere de partícula a partícula até a extremidade
oposta. Esse tipo de propagação de calor denomina-
se condução.
Condução é a forma de transmissão de calor
através da transferência de vibração das partícu-
las do meio.
Fluxo de calor Φ
É a quantidade de calor Q que atravessa perpen-
dicularmente uma secção reta, dividida pelo intervalo
de tempo ∆t correspondente.
Φ = Q∆t (16.1)
Quando o fluxo de calor através da barra for cons-
tante, a temperatura em cada ponto não varia com o
tempo, e diz-se que a barra está em regime estaci-
onário de condução.
Nessa situação vale a expressão:
Φ = KA · (θ2 − θ1)
L
(16.2)
K A e (8, = 04) oj
Onde L corresponde ao comprimento, A é a área
da secção transversal, eK é uma constante que carac-
teriza o material de que a barra é feita e denomina-se
coeficiente de condutibilidade térmica.
Se o valor K é elevado, o material é bom condu-
tor de calor. Se o valor K é baixo o material é bom
isolante de calor.
Tipo Material K
( J
s ·m · °C
)
Condutores
prata 4, 0× 102
cobre 3, 9× 102
alumínio 2, 1× 102
Isolantes
isopor 0, 04
lã 0, 04
ar 0, 025
E importante observar na tabela que os metais
são bons condutores de calor. Verifica-se ainda que o
ar é bom isolante térmico, quando parado. De fato,
materiais como cortiça, lã e isopor são bons isolan-
tes térmicos porque também conservam ar em suas
cavidades. Note, por exemplo, que em dias de frio
os pássaros eriçam as penas para que o ar entre elas
sirva de isolante térmico.
Exemplo 16.2 Uma chapa de cobre de 5 mm de
espessura e 1 m2 de área tem suas faces mantidas
a 120°C e 20°C. Sabendo que a condutibilidade tér-
mica do cobre é 320 · Kcalh ·m · °C, determine (a) o
fluxo de calor e (b) a quantidade de calor que atra-
vessa a chapa em 10 minutos.
(a) Para o fluxo de calor, vamos usar a Equa-
ção (16.2). Primeiro convertemos milímetros e me-
tros (5 mm = 0,005 m) e depois substituímos os
valores:
Φ = K · A · (θ2 − θ1)
L
= 320 · 1 · 1000, 005 = 6, 4× 10
6 kcal/h .
(b) Convertendo minuto em horas (10 min = 1/6 h)
e substituindo os valores na Equação (16.1), temos:
Φ = Q∆t isolando Q
Q = Φ ·∆t = 6, 4× 106 · 16 ≈ 1, 1× 10
6 kcal .
Convecção
A convecção é uma forma de transmissão de
calor que ocorre em fluidos, ou seja, em líquidos
ou gases, porém, juntamente com transporte de
matéria.
69
70 CAPÍTULO 16. CALORIMETRIA
Considere a seguinte situação: ao colocarmos uma
barra de gelo sobre um barril de chope, a fim de
resfriá-lo, o chope da parte de cima, por estar perto
do gelo, esfria mais qu o de baixo. O chope mais frio,
por ser mais denso, se desloca para a parte inferior
do barril. Por outro lado, o liquido menos frio cami-
nha para a parte superior. Esse movimento contínuo
de massas denomina-se corrente de convecção e é
responsável pela transferência de calor.
As geladeiras domésticas são um
exemplo daaplicação da convecção
de calor. O ar na parte superior
da geladeira é mais frio porque fica
perto do refrigerador, e portanto é
mais denso e se desloca para a parte
inferior. O ar nessa região, menos
denso, sobe, estabelecendo-se assim
uma corrente de convecção.
Também ocorre um movimento convectivo
quando aquecemos a água contida numa panela. A
água na parte inferior, por estar mais quente, é me-
nos densa, e então sobe. A água perto da superfície,
sendo menos quente e mais densa desce. Assim, o
calor de baixo é transportado para cima.
Irradiação
Irradiação ou radiação é uma forma de trans-
missão de calor através de ondas eletromagnéti-
cas.
As ondas eletromagnéticas diferenciam-se entre si
pela frequência de vibração. São exemplos de ondas
eletromagnéticas: a luz, o raio X, o raio laser, as on-
das de rádio e TV, o ultravioleta, o infravermelho
etc.
Quando uma onda eletromagnética incide numa
superfície, dependendo de sua frequência e da super-
fície atingida, poderá ser refletida, absorvida ou
transmitida. Esses fenômenos não ocorrem isolada-
mente, porém um deles poderá predominar sobre os
outros. Assim, por exemplo, o vidro transmite com
maior intensidade a radiação luminosa, o metal po-
lido reflete bem as radiações em geral e os alimentos
absorvem mais a micro-onda.
Um corpo se aquece quando absorve radiação e se
resfria ao emiti-la. Se o corpo está em equilíbrio tér-
mico com o meio externo, a energia radiante emitida
por ele é igual à absorvida.
A radiação do infravermelho é conhecida como
ondas de calor. Qualquer objeto emite radiação
do infravermelho e, quando sua temperatura esti-
ver acima de aproximadamente 450°C, passa a emitir
também radiação luminosa.
Se deixarmos um objeto exposto ao sol, ele se
aquecerá devido à absorção da energia radiante. (Ob-
jetos de cor escura possuem maior poder de absor-
ção.) Se esse objeto for levado à sombra, ele se res-
friará pela emissão de radiação do infravermelho.
Dos processos de transmissão de calor (condução,
convecção e irradiação), a irradiação é o único que
pode ocorrer no vácuo.
EstufaNuma estufa, a radiação luminosa do sol atra-
vessa o vidro e é absorvida pelos objetos que estão no
interior, aquecendo-os. Em seguida, os objetos emi-
tem radiação do infravermelho, mas este é barrado
pelo vidro. Assim, é pelo fato de o vidro ser transpa-
rente à radiação luminosa e opaco ao infravermelho
que as estufas conservam uma temperatura superior à
do meio externo. (O mesmo fenômeno ocorre quando
um automóvel, com os vidros fechados, fica exposto
ao sol.)
Exercício
Calores específicos sensíveis
Gelo: 0,5 cal/g°C
Água: 1 cal/g°C
Vapor-d’água: 0,5 cal/g°C
Calores específicos latentes
Água em fusão: 80 cal/g
Água em vaporização: 540 cal/g
Densidade da água:
1 g/cm3
1. Uma dona de casa precisa de uma xícara
de água a 50°C, para seguir a receita de um
bolo. Embora bem aparelhada, a cozinha não
tem termômetro. Como a dona de casa pode
resolver o problema? Proponha qualquer pro-
cedimento correto, desde que não envolva o
uso do termômetro.
2. Um pedaço de 100 g de gelo, inicialmente à
70
71 CAPÍTULO 16. CALORIMETRIA
temperatura de –30°C, é imerso em 400 g de
água cuja temperatura é de 25°C. A mistura
é agitada até que um estado final de equilí-
brio seja alcançado. Supondo que não haja
troca de energia térmica entre os elementos e
o recipiente, qual a temperatura de equilíbrio
térmico?
3. Para aquecer 500 g de uma substância de
20°C a 30°C foram necessárias 2000 cal. Qual
o calor específico dessa substância?
4. Deseja-se converter um cubo de gelo de
massa 30 g, inicialmente a −12°C, em 30 g
de água a 70°C. Qual a quantidade de calor
necessária?
5. Dentro de um calorímetro, cuja capacidade
térmica é desprezível, colocou-se um bloco de
chumbo (calor específico 0,0306 cal/g°C) de 4
kg a uma temperatura de 80 °C. O calorímetro
contém 8 kg de água a 30°C. Qual a tempera-
tura de equilíbrio térmico?
6. Duzentos (200) g de água à temperatura
de 20°C são adicionados, em um calorímetro,
a 100 g de água à temperatura inicial de 80°C.
Desprezando as perdas, qual a temperatura fi-
nal de equilíbrio térmico da mistura?
7. Num mesmo local e ocasião, massas dife-
rentes de água pura são aquecidas lado a lado
em dois recipientes abertos, desde a tempera-
tura ambiente até começar a ferver. Assinale
a alternativa correta em relação aos valores,
para os dois recipientes, das: (1) quantida-
des de calor recebidas pelas massas de água
desde o início do aquecimento até começar a
ferver (despreze quaisquer tipos de perdas);
(2) temperaturas finais atingidas pelas massas
de água; e (3) densidades (ou massas específi-
cas) das massas de água.
As quantida-
des de calor
recebidas são
As temperatu-
ras finais atin-
gidas são
As densidades
ou massas es-
pecíficas são
a) iguais iguais iguais
b) diferentes diferentes diferentes
c) iguais diferentes diferentes
d) diferentes iguais diferentes
e) diferentes iguais iguais
8. Massas iguais de cinco líquidos distintos,
cujos calores específicos (em J/g°C) estão da-
dos na tabela, encontram-se armazenadas, se-
paradamente e à mesma temperatura, dentro
de cinco recipientes com boa isolação e capa-
cidade térmica desprezível.
Líquido Calor Especfico
Água 4,19
Petróleo 2,09
Glicerina 2,43
Leite 3,93
Mercúrio 0,14
Se cada líquido receber a mesma quantidade
de calor, suficiente apenas para aquecê-lo, mas
sem alcançar seu ponto de ebulição, qual lí-
quido apresentará maior temperatura após o
aquecimento?
9. Num dia de calor, em que a temperatura
ambiente era de 30°C, João pegou um copo
com volume de 200 cm3 de refrigerante à tem-
peratura ambiente e mergulhou nele dois cu-
bos de gelo de 15 g cada um. Se o gelo estava à
temperatura de –4,0°C e derreteu-se por com-
pleto e supondo que o refrigerante tem mesma
densidade e calor específico da água, qual a
temperatura final da bebida de João?
10. Um bloco de gelo de 80 gramas foi colo-
cado dentro de um calorímetro, bem isolado,
com 50 gramas de água. Depois de várias ho-
ras, verificou-se uma situação final, na qual
havia, ainda, 80 gramas de gelo no interior do
calorímetro. Pode-se concluir, dessa experi-
ência, que:
A condutividade térmica do gelo é igual à da água.a)
As quantidades de calor contidas na água e no
gelo, na situação final, tornaram-se iguais.
b)
A temperatura final do gelo e da água era de 0°C.c)
O calor específico do gelo é igual ao calor específico
da água.
d)
O calor latente de fusão do gelo é maior que a
energia contida na água.
e)
11. Por que os aquecedores são colocados na
parte inferior dos ambientes, e os aparelhos de
ar-condicionado, na parte superior?
12. Cobertor esquenta? Se você embrulhar
uma pedra de gelo em um cobertor, ele
vai derreter mais depressa do que desembru-
lhada? Explique.
13. Nos supermercados, os balcões frigoríficos
são abertos e mesmo assim os alimentos são
mantidos em temperaturas bem frias. Justifi-
que.
14. Em relação à transmissão de calor, a afir-
mação errada é:
71
72 CAPÍTULO 16. CALORIMETRIA
Nos sólidos, o calor se propaga principalmente por
condução.
a)
A energia térmica pode ser transmitida por meio
do vácuo apenas por meio da irradiação.
b)
Só haverá transmissão de calor de um ponto para
outro quando houver diferença de temperatura en-
tre os dois pontos.
c)
Na convecção não há transferência de matéria fria
ou quente de um ponto para outro.
d)
A sensação de quente ou frio que sentimos ao to-
car um objeto está relacionada com sua conduti-
bilidade térmica.
e)
15. Nas garrafas térmicas, usa-se uma parede
dupla de vidro. As paredes são espelhadas
e entre elas há vácuo. Assinale a alternativa
correta:
O vácuo entre as paredes evita perdas de energia
por irradiação.
a)
As paredes são espelhadas para evitar perdas de
energia por condução.
b)
As paredes são espelhadas para evitar perdas de
energia por convecção.
c)
O vácuo entre as paredes acelera o processo de
convecção.
d)
As paredes são espelhadas para evitar perdas de
energia por irradiação.
e)
16. Num dia quente de verão,sem vento, com
a temperatura ambiente na marca dos 38°C,
Seu Honório teria de permanecer bastante
tempo na cozinha de sua casa. Para não sentir
tanto calor, resolveu deixar a porta do refrige-
rador aberta, no intuito de esfriar a cozinha.
A temperatura no interior da geladeira é de
aproximadamente 0°C. A análise desta situa-
ção permite dizer que o objetivo do Seu Ho-
nório:
Será alcançado, pois o refrigerador vai fazer o
mesmo papel de um condicionador de ar, dimi-
nuindo a temperatura da cozinha.
a)
Não será atingido, pois o refrigerador vai transfe-
rir calor da cozinha para a própria cozinha, e isso
não constitui um processo de refrigeração.
b)
Será alcançado, pois atingido o equilíbrio térmico,
a cozinha terá sua temperatura reduzida para
19°C.
c)
Não será atingido, pois, com a porta do refrigera-
dor aberta, tanto a cozinha como o próprio refrige-
rador terão suas temperaturas elevadas, ao receber
calor do Seu Honório.
d)
Impossível prever o que ocorrerá.e)
17. Observe as figuras a seguir sobre a forma-
ção das brisas marítima e terrestre. Durante
o dia, o ar próximo à areia da praia se aquece
mais rapidamente que o ar próximo à superfí-
cie do mar. Dessa forma, o ar aquecido do con-
tinente sobe e o ar mais frio do mar desloca-se
para o continente, formando a brisa marítima.
À noite, o ar sobre o oceano permanece aque-
cido mais tempo que o ar sobre o continente,
e o processo se inverte. Ocorre, então, a brisa
terrestre. Dentre as alternativas a seguir, in-
dique a que explica, corretamente, o fenômeno
apresentado.
É um exemplo de convecção térmica e ocorre pelo
fato de a água ter um calor específico maior que
a areia. Dessa forma, a temperatura da areia se
altera mais rapidamente.
a)
Eu um exemplo de condução térmica e ocorre
pelo fato de a areia e a água serem bons condu-
tores térmicos. Dessa forma, o calor se dissipa
rapidamente,
b)
É um exemplo de irradiação térmica e ocorre pelo
fato de a areia e a água serem bons conduto-
res térmicos. Dessa forma, o calor se dissipa
rapidamente.
c)
É um exemplo de convecção térmica e ocorre pelo
fato de a água ter um calor específico menor que
a areia. Dessa forma, a temperatura da areia se
altera mais rapidamente.
d)
É um processo de estabelecimento do equilibrio
térmico e ocorre pelo fato de a água ter uma ca-
pacidade térmica desprezível.
e)
72
Respostas
Capítulo 1
1. Sabemos que o diâmetro vale 2 vezes o raio (d = 2r) e o arco ra-
diano apresenta o mesmo comprimento do raio (rad = r). Além
disso 360◦ = 2πrad . Como o ângulo 0,524° é muito pequeno,
podemos estimar o diâmetro d pelo arco formado por ele. Para
isso, basta convertermos graus em radiano.
0, 524◦ ·
(
π2rad
360◦
)
Como r = rad = 384 Mm:
5, 24�◦ × 10−1 ·
π2(3, 84× 108 m)
3, 60�◦ × 102
= 35, 12× 105 m ou 3.512 km
2. 1 molécula = 29, 9× 10−27 kg
6, 0× 10 kg ·
( 1 molécula
2, 99× 10−26 kg
)
= 2, 0× 1027 moléculas
3. Como são 15 átomos cujos centros distam 5 nm, temos:
1 nome = 15 · 5 nm . Como a largura de uma folha A4 é 21
cm, temos:
2, 1×��10× 10−2��m ·
( 1 nome
7, 5×��10× 109��m
)
= 0, 28× 107 nome ou 2, 8× 106 nomes
4. (a) Em 1 ano temos cerca de 365,5 dias. Como 3 fraldas = 1 dia ,
basta multiplicarmos o consumo anual de fraldas, por criança,
pelo número de crianças nos país.
consumo anual de fraldas︷ ︸︸ ︷
3, 655× 102�d
( 3 f
��1 d
) (
3, 00× 108 · 2, 5
75
)
︸ ︷︷ ︸
número de crianças
= 1, 1× 1010 f ou 11× 109 de fraldas
(b) Na prática, queremos converter o número de fraldas encon-
trado no item anterior em volume. Como 1 fralda = 0, 5 litro e
1 litro = 1 m3 , fazemos:
1, 1× 1010�f ·
(
5× 10−1��L
1�f
)(
1 m3
103��L
)
= 5, 5× 106 m3
(c) Sabemos que V = A · h, dessa forma:
A = V
h
Assim, encontramos área dividindo o volume de fraldas (V =
5, 5× 106 m3) pela altura média do aterro (h = 10 m).
A = 5, 5× 10
6 m3
10 m
= 5, 5× 105 m2
Convertendo a área em milhas quadradas
5, 5× 105 m2 ·
( 1 mi
1, 609× 103 m
)2
= 5, 5× 10
5��m2 · mi2
1, 6092 × 106��m2
= 2, 12 mi2
ou ≈ 0, 2 mi2
5. (a) 700 MB = 70 min
5��min · 7× 10�
2 · MB
7���10 min
= 50 MB
(b) Em 1 CD temos 700 MB para armazenar R romances de 200
páginas. Sabendo que 1 p = 5 kb e 1 R = 200 p , temos:
7×��102 · 106��B
( 1�p
5× 103��B
)( 1 R
2���×102�p
)
= 0, 7× 103 R ou 700 romances
6. (a) 1 MW, (b) 2 mg, (c) 3 µm, (d) 30 ks.
7. (a) 0,000040 W, (b) 0,000000004 s, (c) 3000000 W, (d) 25000 m.
8. Sabendo que a rapidez do avião é duas vezes a velocidade do som
e 1 km = 1000 m , fazemos:
2 · 3, 43× 10
2
��m
�s
( 1 Km
��103��m
)(3, 6��103�s
1 h
)
= 24, 7× 102 km
h
ou 2, 47× 103 km · h−1
Convertendo 2, 47× 103 km/h em mi/h:
2, 47× 103��km
1 h
( 1 mi
1, 609��km
)
= 1, 53× 103 mi
h
9. Solução:
1 a ·
(
1 mi2
6, 40× 102 a
)
·
(
1, 609× 103 m
1 mi
)2
= 1 a ·�
�mi2 · 1, 6092 × 106 m2
6, 40× 102 a ·��mi2
= 4045 m2
10. Como 1 memb = 7 nm e 1 polegada = 2,54 cm. Além disso,
109 nm = 102 cm . Assim temos:
2, 54��cm ·
(1 membrana
7��nm
)
·
(
109��nm
102��cm
)
= 3, 6× 106 membranas
11. (a) Solução:
~a
~b
~s
αθ
~a+~b = ~s
(b) Solução:
~s = ~a+~b
|~s|2 = |~a|2|~b|2 − |~a||~b| cos θ
102 = 5, 52 + 72 − 2 · 5, 5 · 7 · cos θ
100 = 79, 25− 77 cos θ
cos θ = −20, 75
77
θ = cos−1
(
−
20, 75
77
)
= 105, 6◦
Como α+ θ = 180◦, logo a = 74, 4◦ .
73
74 CAPÍTULO 16. CALORIMETRIA
12. (a) Solução:
50 m
100 m
α
β
·
(b) Solução:
cosα = 50 m
100 m
α = cos−1
(
5�0��m
10�0��m
)
⇒ α = ±60◦
O sinal ± indica 60° ao norte ou sul.
13. Solução:
8, 0�g
(
1 átomo
4, 0× 10−26��kg
)(
��1 kg
103�g
)
= 2, 0× 1023 átomos
14. (a) A massa m por unidade de volume V é dada por m
V
.
m
V
= 9, 3× 10
−26 kg
4
3
· π(5, 4× 10−15 m)3
= 9, 3× 10
−26 kg
4
3
· π5, 43 × 10−45 m3
= 0, 0141× 1019 kg·m−3
= 1, 4× 1017 kg·m−3
(b) O volume da Terra é dado por 4
3
πr3. Vamos utilizar a re-
lação encontrada no item anterior para converter massa da terra
em volume. Assim temos:
4
3
πr3 =
converte massa em volume︷ ︸︸ ︷
5, 98×24��kg ·
(
1 m3
1, 4× 1017��kg
)
4
3
πr3 = 4, 27× 107 m3
Isolando r:
r3 = 3
4π
· 4, 27× 107 m3
r3 = 1, 0× 107 m3
r = 3
√
107 m3 = 3
√
101 × 106 m
r = 3
√
10× 102 m = 2, 2× 102 m
15. (a) Basta convertermos metros por segundo em metros por ano.
2, 998× 108 m
�s
(
3, 6 · 103�s
��1 h
)(
2, 4 · 10�h
���1 dia
)
(
3, 6524 · 102��dia
1 ano
)
= 94, 61 · 10 · 1014 m
ano
= 9, 461× 1015 m
ano
(b) Basta dividirmos a distância de 1 ano-luz pela distância de
uma unidade astronômica.
1 ano-luz
U.A
= 9, 461× 10
15 m
1, 496× 1011 m
= 6, 324× 104
Capítulo 2
1. s0 = 200 km; s =245 km; t = 30 min (0,5 h); vm =?
vm =
∆s
∆t
= 245 km− 200 km
0, 5 h− 0
= 90km
h
2. v = 1, 1× 102 km; t = 0, 5 s (0,5 h); ∆s =?
v = ∆s
∆t
⇒ ∆s = v ·∆t
∆s = 1, 1× 10
2��km
�h
· 0, 5�s
(
��103 m
���1 km
)(
��1 h
3, 6��103�s
)
≈ 15 m
3. ∆s = 1480 km; vm = 800 km/h; ∆t =?
vm =
∆s
∆t
⇒ ∆t = ∆s
vm
∆t = 1, 48× 10�
3��km
8, 0×��102��km ·��h−1
(6, 0× 10 min
��1 h
)
= 111 min
4. v = 1, 1× 102 km; t = 0, 5 s (0,5 h); ∆s =?
v = ∆s
∆t
⇒ ∆s = v ·∆t
∆s = 2, 7× 10
2��km
�h
· 10�s
(
��103 m
���1 km
)(
��1 h
3, 6��103�s
)
= 750 m
5. ∆s = 180 km; vmC = 10 km/h; ∆tdes = 6 h; ∆tsub =?
A velocidade de descida é igual à velocidade do barco (vmB ) mais
a velocidade da correnteza (vmC ).
vmB + vmC =
∆s
∆tdes
⇒ vmB =
∆s
∆tdes
− vmC
vmB =
180 km
6 h
−
10 km
h
= 20 km/h
A velocidade de subida é igual à velocidade do barco menos a
velocidade da correnteza. Nesse caso, não sabemos o tempo de
subida ∆tsub.
vmB − vmC =
∆s
∆tsub
⇒ ∆tsub =
∆s
vmB − vmC
∆tsub =
180��km
20��km · h−1 − 10��km · h−1
= 18 h
6.
8 m
6 m∆
s
∆t = 20 s; ∆s =?; vm =?.
Antes, precisamos definir o deslocamento.
∆s2 = 8 m2 + 6 m2 ⇒ ∆s = 10 m
vm =
∆s
∆t
= 10 m
20 s
= 0, 5 m/s
.
7. Espaço percorrido, uma vez que, para fins de cálculo do consumo,
deve-se levar em consideração todo(s) o(s) trajeto(s) executado(s).
8. `trem = 240 m; ∆t = 0, 5 min (ou 30 s); v = 20 m/s.
O comprimento do túnel `túnel corresponde à distância percorrida
em 30 s menos o comprimento do trem `trem.
v = ∆s
∆t⇒ ∆s = v ·∆t
`túnel = (v ·∆t)− `trem =
20 m
s
· 30 s− 240 m = 360 m
9. ∆s = 150 km; ∆t = 3 h; vm =?
vm =
∆s
∆t
= 150 km
3 h
= 50 km/h
74
75 CAPÍTULO 16. CALORIMETRIA
10. v = 300 m/s; ∆t = 0, 1 s; ∆s =?
v = ∆s
∆t
⇒ ∆s = v ·∆t
∆s = 300 m
s
· 0, 1 s = 30 m
30 m corresponde à distância percorrida pelo som em 0,1 s. Como
a distância de ida do som até o obstáculo é igual à distância de
retorno, devemos dividir o ∆s por 2.
∆s
2
= 30 m
2
= 15 m
11. ∆s = 24 m; ∆t = 40 min (ou 2400 s) s; vm =?
vm =
∆s
∆t
= 24 m
2400 s
= 10−2 m/s
12. Primeiro caso:
vm =
21 m− 6 m
4 s− 1 s
= 5 m/s
Segundo caso:
vm =
14 m− 21 m
6 s− 4 s
= −3, 5 m/s
13. Solução:
s(t) = 5 m + 3 m · s−1t
s1(2 s) = 5 m + 3 m ·��s−1 · 2�s = 11 m
s2(6 s) = 5 m + 3 m ·��s−1 · 6�s = 23 m
vm =
23 m− 11 m
6 s− 2 s
= 3 m/s
14. Solução:
am =
16 cm · s−1 − 6 cm · s−1
5 s− 2 s
= 9 cm · s
−1
3 s
= 3 cm/s2
Capítulo 3
1. Solução:
v = ∆s
∆t
= 30 m− 20 m
30 s− 10 s
= 0, 5 m/s
2. Solução:
v = ∆s
∆t
= 0− 20 m
5 s− 0
= −4 m/s
Como a velocidade é constante, ela é a mesma para qualquer in-
tervalo de tempo.
3. Solução:0 6 t < 2 s: função crescente (v > 0)⇒ movimento progressivo2 < t < 4 s: função decrescente (v < 0)⇒ movimento retrógrado
t > 4 s: função crescente (v > 0)⇒ movimento progressivo.
Em t = 2 s: ponto máximo (v = 0)
Em t = 4 s: ponto mínimo (v = 0)
4. Solução:
a = ∆v
∆t
= 0− 16 m · s
−1
4 s− 0
= −4 m/s2
Como a aceleração é constante, ela é a mesma para qualquer in-
tervalo de tempo.
5. Solução:
0 < t 6 t1
v > 0: movimento progressivofunção crescente: a > 0movimento acelerado: v e a com sinais iguais
t1 < t 6 t2
v > 0: movimento progressivofunção constante: a = 0movimento uniforme
t2 < t 6 t3
v > 0: movimento progressivofunção decrescente a < 0movimento retardado (v e a com sinais opostos)
t3 < t 6 t4
v < 0: movimento retrógradofunção decrescente a < 0movimento acelerado (v e a com sinais iguais)
6. Sabemos que a área é numericamente igual ao deslocamento. As-
sim:
A
N= ∆s = A1 +A2
A1 = b× h = 6 s×
(
20 m · s−1 + 10 m · s−1
2
)
= 90 m
A2 = b× h = (10 s− 6 s)×
(
20 m · s−1 + 0
2
)
= 40 m
Dessa forma
∆s N= A = A1 +A2 = 90 m + 40 m = 130 m
vm =
∆s
∆t
= 130 m
10 s
= 13 m/s
7. Sabemos que a área é numericamente igual ao deslocamento. As-
sim:
A
N= ∆s = A1 +A2
A1 = b× h =
(2 s + 4 s
2
)
× 20 m · s−1 = 60 m
A2 = b× h =
( (10− 4)s + 0
2
)
× (−10) m · s−1 = −30 m
Dessa forma
∆s]100
N= A = A1 +A2 = 60 m + (−30) m = 30 m
8. Sabemos que a área é numericamente igual à velocidade. Assim:
A
N= ∆v
A = b× h =
( (5− 3)s + 5 s
2
)
× 4 m · s−2 = 14 m · s−1
Como em t = 0 sua velocidade já era de 2 m/s, logo sua velocidade
em t = 5 será 16 m/s
9. Sabemos que a área é numericamente igual à velocidade. Assim:
A
N= ∆v
A = b× h =
( (4− 3)s + 4 s
2
)
× 4 m · s−2 = 10 m · s−1
Dessa forma
am =
∆s
∆t
= 10 m · s
−1
4 s
= 2, 5 m/s2
Capítulo 4
1. (a) s0 = 10 m e v = −2 m/s .
(b) Como o movimento é uniforme, sua velocidade não se altera.
Dessa forma vm = −2 m/s .
2. Como o gráfico do espaço em função do tempo é linear, o movi-
mento é uniforme. Assim: s = s0 + vt.
v = ∆s
∆t
= s− s0
t− t0
(40− 20)m
(5− 0)s
= 4 m/s
Função horária: s = 20 + 4t (SI).
75
76 CAPÍTULO 16. CALORIMETRIA
3. sA0 = 0 vA = 54 km/h (15 m/s) sA = 0 + 15t
sB0 = 700 m vB = −72 km/h (–20 m/s) sB = 700− 20t.
(a) No instante do encontro, os dois móveis terão a mesma posi-
ção, ou seja sA = sB :
sA = sB
0 + 15t = 700− 20t somando 20t
35t = 700 dividindo por 35
t = 20 t = 20 s
(b) Basta calcularmos a posição em t = 20 em qualquer uma das
funções horárias.
sA = 0 + 15t = 15 · 20 = 300 300 m
4. (a) Como s = s0 + v0t+
a
2
· t2, temos: s0 = −10 m; v0 = −3 m/s
e a = 2 m/s2.
(b) A origem dos espaços corresponde a s = 0, dessa forma:
0 = −10− 3t+ t2 rearranjando
t2 − 3t− 10 = 0 fatorando
Dois fatores de 10 (rs = 10) que somam –3 (r + s = −3)
(t+ r)(t+ s) = 0
(t− 5)(t+ 2) = 0 t′ = 5 e t′′ = −2
Como o tempo não pode ser negativo, t = 5 s quando s = 0.
(c) Primeiro, calculamos as posições nos instantes t1 = 1 s e
t2 = 4 s.
s1 = −10− 3 · 1 + 12 = −12 s1 = −12 m
s2 = −10− 3 · 4 + 42 = −6 s = −6 m
vm =
∆s
∆t
= s2 − s1
t2 − t1
= −6 m− (−12) m
4 s− 1 s
= 6 m
3 s
= 2 m/s
(c) Precisamo encontrar o instante t em que v = 0. Vamos utilizar
v = v0 + at para v = 0.
v = v0 + at subtraindo v e at
−at = v0 − v dividindo por − a
t = v0 − v
−a
= −3 m · s
−1 − 0
−(2 m · s−2)
⇒ t = 1, 5 s
(d) Como o movimento é uniformimente variado, a aceleração
é contante e precisamos apenas de dois pontos para construir o
gráfico da velocidade em função do tempo.
Já sabemos que para t = 0 s, v = −3 m/s, e t = 1, 5 s, v = 0.
0
–3
t(s)
v(m/s)
1,5
(d) A partir do gráfico do item anterior, resulta:
0 6 t < 1, 5 s
{
v < 0: movimento retrógrado.
v e a: sinais opostos, movimento retardado.
t > 1, 5 s
{
v > 0: movimento progressivo.
v e a: mesmo sinal, movimento acelerado.
5. Quando o móvel B inicia seu movimento, após 5 segundos, a po-
sição do móvel A será:
s = s0 + vt = 0 + 20 · 5 = 100 Para t = 5 s, s = 100 m
Como um dos móveis possui MUV, temos s = s0 + v0t+
a
2
· t2.
sA0 = 100 m; vA = 20 m/s; a = 0; sA = 100 + 20t+
0
2
· t2
sB0 = 0; vB = 0; a = 4 m/s2;sB = 0 + 0t+
4
2
· t2
(a) No instante do encontro, os dois móveis terão a mesma posi-
ção, ou seja sA = sB .
sA = sB
100 + 20t+ 0
2
· t2 = 0 + 0t+ 4
2
· t2
100 + 20t = 2t2 dividindo por 2
50 + 10t = t2 subtraindo t2
−t2 + 10t+ 50 = 0 multiplicando por –1
t2 − 10t− 50 = 0 obtendo as raízes
a = 1; b = −10; c = −50
∆ = b2 − 4ac = (−10)2 − 4 · 1 · −50 = 100 + 200 = 300
t = −b±
√
∆
2a
= 10±
√
300
2
⇒ t′ = 13, 6 s e t′′ = −3, 6 s
Como o tempo não pode ser negativo, t = 13, 6 s é o instante
do encontro.
(b) Basta calcularmos a posição em t = 13, 6 s em qualquer uma
das funções horárias.
sB = 0 + 0t+
4
2
· t2 = 4
2
· 13, 62 ≈ 370 370 m
6. v0 = 30 m/s; v = 0; ∆s = 100 m; a =?. Como o problema não
faz menção ao tempo, utilizaremos a equação de Torricelli. Para
v2 = 0, temos:
��v
2 = v20 + 2a∆s subtraindo 2a∆s
−2a∆s = v20 dividindo por − 2∆s
a =
v20
−2∆s
= (30 m·s
−1)2
−2 · 100 m
a = 9��00 m�
2 · s−2
−2��00��m
= −4, 5 m/s2 a = −4, 5 m/s2
7. v0 = 40 m/s; g = −10 m/s2. Como o movimento é retardado, v
e g possuem sinais opostos.
(a) Na altura máxima, temos uma velocidade final v = 0. Utili-
zando a equação de Torricelli, para v2 = 0, temos:
��v
2 = v20 + 2a∆s subtraindo 2a∆s
−2a∆s = v20 dividindo por − 2a
∆s =
v20
−2a
= (40 m·s
−1)2
−2(−10 m · s−2)
∆s = 160�0 m�
2 ·��s−2
2�0��m ·��s−2
= 80 m ∆s = 80 m
(b) Vamos utilizar a função horária da velocidade para v = 0:
�v = v0 + at subtraindo at
−at = v0 dividindo por a
t = v0
−a
= 40 m·s
−1
−(−10 m · s−2)
t = 4�0��m ·�
�s−1
1�0��m · s��−2
= 4 s t = 4 s
(c) Como o tempo de subida é igual ao tempo de descida, a du-
ração do movimento é de 8 s .
(d) Utilizaremos a função horária dos espaços para o MUV:
s =��s0 + v0t+
a
2
· t2
60 = 0 + 40t− 10
2
· t2 subtraindo 60
−5t2 + 40t− 60 = 0 dividindo por -5
t2 − 8t+ 12 = 0 fatorando
76
77 CAPÍTULO 16. CALORIMETRIA
Dois fatores de 12 (rs = 12) que somam –8 (r + s = −8):
(t+ r)(t+ s) = 0
(t− 2)(t− 6) = 0 t′ = 2 e t′′ = 6
O corpo estará a 60 m do solo em dois momentos: t = 2 s , na
subida, e t = 6 s , na descida.
(e) Como o corpo passa pelo ponto a 60 metros de altura nos
instantes t = 2 s e t = 6 s, utilizaremos a função horária da velo-
cidade para os dois momentos: v = v0 + at:
v1 = 40 m · s− 10 m · s−2 · 2 s = 40 m · s− 20 m · s = 20 m/s
v2 = 40 m · s− 10 m · s−2 · 6 s = 40 m · s− 60 m · s = −20 m/s
Observe que os módulos das velocidades para um determinado
ponto, na subida e descida, são as mesmas, diferindo apenas no
sentido.
(f) Como em qualquer ponto os módulos das velocidades, na su-
bida e descida, são iguais, a velocidade de chegada ao solo é a
mesma de saída do solo, mas com sentidos opostos: −40 m/s .
(g) O gráfico do s = f(t) no MUV é uma parábola. Para esboçá-
lo, em nosso caso, precisamos de 3 pontos: os instantes e posiçõesde saída (0; 0) e chegada ao solo (0; 8 s), e altura máxima (80 m;
4 s).
O gráfico do v = f(t) no MUV é linear. Para esboçá-lo, precisa-
mos de apenas 2 pontos, por exemplo, as velocidades nos instantes
inicial (0; 40 m/s) e final (0; -40 m/s) ou na altura máxima (4 s;
0).
2 4 6 8
20
40
60
80
t(s)
s(m)
2 4 6 8
−40
−20
20
40
t(s)
v(m/s)
Capítulo 5
1. No movimento circular temos at e acp. Como a velocidade é con-
tante, at = 0. Para acp, fazemos:
acp =
v2
R
= (20 m·s
−1)2
10 m
= 40�0 m�
2 · s−2
1�0��m
= 40 m/s2
Como at = 0, resulta que:
a = acp = 40 m/s2
2. Temos v0 = 10 m/s; a = 2 m/s2 e R = 20 m.
Segundo a Equação (8.1), precisamos do módulo de v.
v = v0 + at = 10 m·s−1 + 2 m·s−2 · 5 s = 20 m/s
acp =
v2
R
= (20 m·s
−1)2
20 m
= 40�0 m�
2 · s−2
2�0��m
= 20 m/s2
a)
O módulo da aceleração tangencial é igual ao valor da acele-
ração escalar:
at = a = 2 m/s2
b)
3. Segundo a figura:
Solução:
{
~v1: relativa (barco em relação ao rio)
~v2: arrastamento (correnteza)
~v2 = ~v1 + ~v2
{
~v1 = 8,0 m/s
~v2 = 6,0 m/s
O módulo de ~v pode ser obtitido por Pitágoras.
v2 = v21 + v22 = 82 + 62 = 100
v =
√
100⇒ v = 10 m/s
a)
Esquematicamente, temos:
Sem correnteza, o barco se desloca na direção AB, com velo-
cidade v1 = 8,0 m/s. Assim:
v = ∆s
∆t
⇒ v1 =
AB
∆t
⇒ ∆t = 80
8
⇒
∆t = 10 s
b)
O movimento do barco e o movimento das águas são indepen-
dentes. A única influência da correnteza sobre o movimento
do barco é seu desvio lateral, sem alterar a duração do movi-
mento. Então ∆t = 10 s .
c)
O barco se desloca na direção BC, com velocidade v2 = 6,0
m/s, em 10 s. Assim:
v = ∆s
∆t
⇒ v2 =
BC
∆t
⇒ BC = 6 · 10
⇒ BC = 60 m
d)
4. Esquematicamente, temos:
77
78 CAPÍTULO 16. CALORIMETRIA
Decompondo ~v0:
sen 30◦ =
v0y
v0
⇒ v0y = v0 · sen 30◦ ⇒
v0y = 80 ·
√
3
2
⇒ v0y = 40
√
3 m/s
cos 30◦ = v0x
v0
⇒ v0x = v0 · cos 30◦ ⇒
v0x = 80 ·
1
2
⇒ v0x = 40 m/s
O tempo de subida corresponde ao instante onde o compo-
nente vertical da velocidade vy se anula. Na vertical temos
um MUV.
vy = v0y − gt⇒ 0 = 40− 10t⇒
10t = 40⇒ tsubida = 4, 0 s
a)
Como ao tempo de subida é igual ao tempo de descida, a
duração total do moviemnto é de tT = 8, 0 s
b)
A altura máxima corresponde a posição y da pedra em t = 4
s. Na vertical temos um MUV.
y = y0 + v0y · t−
g
2
· t2 = 0 + 40 · 4− 10
2
· 42
y = 160− 80 = 80⇒ H = 80 m
c)
O alcance do laçamento corresponde ao valor máximo da abs-
cissa x no instante t = 8 s. Na horizontal temos MU.
x = x0 + v0x · t = 0 + 40
√
3 · 8 ∼= 554
D ∼= 554 m
d)
5. Esquematicamente, temos:

Posição inicial: y0 = 18000 m
Posição final: y = 0
Posição inicial: x0 = 0
Componente vertical: v0y = 0
Componente horizontal: v0x = 500 m/s
O tempo de queda corresponde ao instante t onde a posição
em relação ao eixo y é 0 (quando o motor atinge o solo). Na
vertical temos um MUV.
y = y0 + v0y · t−
g
2
· t2 ⇒
0 = 18000 + 0 · t− 10
2
· t2 ⇒
5t2 = 1800⇒ t2 = 18000
5
= 3600⇒
t =
√
3600⇒ tqueda = 60 s
a)
O alcance do movimento OB no instante t = 60 s será obtido
a partir do estudo desse movimento em relação ao eixo das
abscissas 0x. Na horizontal temos MU.
x = x0 + v0x · t = 0 + 500 · 60 = 30000
OB = 30000 m = 30 km
b)
Em qualquer intante, o motor estará em uma posição vertical
abaixo do avião. Assim, ao atingir o solo a distância entre
motor e avião será d = 18 km .
c)
Ao atingir o solo, o motor terá duas componentes, uma ver-
tical v0y e uma horizontal v0x conforme o esquematizado
abaixo:
A velocidade será dada pelo mpdulo de ~v. Para encontrar o
módulo de ~v, plicamos a relação de Pitágoras:
v2 = v20x + v2y
Precisamos encontrar o módulo vy . v = v0 + at⇒
vy = v0y − gt = 0− 10 · 60 = −600 m/s
Resolvendo:
v2 = v20x + v2y = 5002 + (−600)2 ⇒
v =
√
610000⇒ v ∼= 781 m/s
d)
6. Esquematicamente, temos:
~v
~vy
~v0x

h0 = 3000 m
h = 0
t = tsolo − 15 s
v0y = 0
v0x = 540 km/h = 150 m
Primeiro, precisamos saber o instante da explosão. Para isso, cal-
culamos o instante em que a bomba atingiria o solo e subtrímos
15 s desse tempo. Na vertical temos MUV.
h = h0 + v0y · tsolo −
g
2
· t2solo ⇒
0 = 3000 + 0tsolo − 5t2solo ⇒
5t2solo = 3000⇒ tsolo = 24,5 s
A bomba explode 15 s antes:
t = 24, 5− 15⇒ t = 9,5 s .
Calculando o componente vertical da velocidade vy em t = 9,5 s:
vy = v0y − gt = 0− 10 · 9, 5 = –95 m/s
Ao atingir o solo, a bomba terá duas componentes, uma vertical
v0y e uma horizontal v0x conforme o esquema acima:
v2 = v2y + v20x = (−95)2 + 1502 = 31525
v =
√
31525⇒ v ∼= 177, 6 m/s
78
79 CAPÍTULO 16. CALORIMETRIA
7. Primeiro, calculamos o instante em que a bomba atingirá o solo
após ser lançada:
h = h0 + v0y · t−
g
2
· t2 ⇒
3920 = 0 + 0t− 5t2 ⇒ 5t2 + 3920⇒
t = 28 s
Agora calculamos a posição da bomba, na componente horizontal
(MU), 28 s após ser lançada.
s = s0 + v0x · t = 0 + 400 · 28 = 11200 m
8. Primeiro calculamos a duração do movimento qunado a bola deixa
a mesa:
h = h0y + v0 · −
g
2
· t2 ⇒
0 = 1, 25 + 0t− 5t2 ⇒ 5t2 = 1, 25⇒
t = 0,5 s
Agora calculamos o módulo da componente horizontal da veloci-
dade (MU).
s = s0 + v0x · t⇒ 2, 5 = 0 + v0x · 0, 5⇒
v0x = 5 m/s
9. Esquematicamente, temos:
~v~v0y
~v0x
30°
Primeiro, calculamos os módulos das componetes vertical e hori-
zontal da velocidade (sen 30° = 0,5 e cos 30° = 0,87).
sen 30◦ =
v0y
v
⇒ v0y = v · sen 30◦ ⇒
v0y = 50 m/s
cos 30◦ = v0x
v
⇒ v0x = v · cos 30◦ ⇒
v0x = 87 m/s
Agora calculamos a duração do movimento. A velocidade do
projétil no ponto mais alto será vy = 0:
vy = v0y · t− gt⇒ 0 = 50− 10t⇒
10t = 50⇒ t = 10 s.
O tempo de subida é igual ao tempo de descida, logo t = 5 s
Por fim, calculamos a posição do projétil apśs 10 s.
s = s0 + v0x · t = 0 + 87 · 10⇒ s = 870 m
10. Solução
Primeiro caso:
Tempo de queda:
h = h0 + v0y · t−
g
2
· t2 ⇒
0 = 2000 + 0t− 10
2
· t2 ⇒ t = 20 s
Velocidade em t = 20 s (componete horizontal):
s = s0 + v0x · t⇒ 4000 = 0 + v0x · 20⇒
v0x = 200 m/s
Segundo caso:
Tempo de queda:
h = h0 + v0y · t−
g
2
· t2 ⇒
0 = 500 + 0t− 10
2
· t2 ⇒ t = 10 s
Como nos dois casos a componente horizontal da velocidade é a
mesma, fazemos v0x = 200 m/s em t = 10 s (MU).
s = s0 + v0x · t = 0 + 200 · 10 = 2000 m
11. Segundo o problema anterior (Primeiro caso), o tempo de queda
a 2000 m de altura é t = 20 s . Calculando a posição horizontal
do saco ao final do movimentoa, temos:
s = s0 + v0x · t = 0 + 100 · 20 = 2000 m
12. Solução:
Tempo do movimento (componente horizontal):
s = s0 + v0x · t⇒ 0, 8 = 0 + 2t⇒
t = 0, 4 s
Altura h0 da mesa (componente vertical)
h = h0 + v0y − ·t
g
2
· t2 ⇒
0 = h0 + 0 · 0, 4− 5 · 0, 42 ⇒ h0 = 0, 8 m
13. Solução:
Tempo de queda (componente vertical):
h = h0 + v0y · t−
g
2
· t2 ⇒
0 = 0, 8 + 0t− 5t2 ⇒ t = 0,4 s
Distância s (componente horizontal)
s = s0 + v0x · t = 0 + 20 · 0, 4⇒ s = 8 m
14. Esquematicamente, temos:
~v~v0y
~v0x
30°
Primeiro, calculamos o módulo da componete verticalda veloci-
dade (sen 30° = 0,5).{
sen 30◦ =
v0y
v
⇒ v0y = v · sen 30◦ ⇒
v0y = 250 m/s
Sabendo que no ponto mais alto vy = 0, podemos utilizar a equa-
ção de Torricelli para obter a altura máxima.
v2y = v0y − 2g ·∆s⇒ 02 = 2502 − 2 · 10∆s
⇒ ∆s = 250
2
20
= 3125 m
15. Esquematicamente, temos:
~v~v0y
~v0x
60°
E podemos encontrar o valor de v por meio das relações trigono-
métricas:
cos 60◦ = v0x
v
⇒ v = v0x
cos 60◦
= 200
0, 5
⇒
v = 400 m/s
16. A velocidade será mínima no ponto mais alto da trajatória. A
velocidade será máxima, em módulo, no instante de lançamento
e no instante final do movimento.
17. Não. Agindo assim, após o lançamento de projeto, começa a atuar
sobre ele a aceleração da gravidade originando um movimento pa-
rabólico e o projétil atingirá o anteparo em posição abaixo do alvo.
18. c)
19. Solução:
Em relação ao solo temos MU. A velocidade é v0x = 20 m/s
e a acelereção é a aceleração da gravidade, g = 10 m/s2
a)
Vimos na Questão 16 (segundo caso) que o tempo de queda
de um corpo a 0,8 m de altura é de 0,4 s. Como o tempo
de subida é igual ao tempo de descida, a bola permanecerá
t = 0, 8 s no ar.b)
20. Solução
~v~vy
~vx
30°
Podemos encontrar o valor de v0 por meio das relações trigo-
nométricas:
sen 30◦ = vy
v
⇒ vy = v · sen 30◦ ⇒
vy = 0, 8 · 0, 5⇒ vy = 0, 4 m/s
a)
79
80 CAPÍTULO 16. CALORIMETRIA
O movimento de subida é uniforme (MU):
h = h0 + vyt = 0 + 0, 4 · 30 = 12 m
b)
Capítulo 6
1. Não. Ação e reação atuam em corpos distintos.. A força com
que o burro puxa a carroça atua na carroça. A força com que a
carroça puxa o burro atua no burro. O burro também empurra
o chão para trás, e é a reação dessa força que faz com que ele se
mova, arrastando a carroça.
2. Não. O corpo pode estar em movimento retilíneo e uniforme, por
inércia.
3. Carregado, Para uma mesma força de resistência ao movimento,
quanto maior a massa, menor a (des)aceleração.
4. Qualquer força F > 0 é capaz de deslocá-lo, já que não há força
que se oponha à tendência de movimento.
5. c) Não há aceleração.
6. Pelo principio da ação e reação, o astronauta deve sofrer uma
ação igual e contrária à que exerceu sobre a ferramenta ao atirá-
la. Não havendo resistência ao seu movimento, ele sairá na mesma
direção, mas em sentido oposto ao da ferramenta, ou seja, “para
cima” na linguagem do texto.
7. Enquanto a força gravitacional exercida pela Terra sobre o pa-
raquedas for maior que a resistência do ar, o paraquedas desce
acelerado. A partir do momento em que estas duas forças se
igualam, o paraquedas adquire velocidade constante.
8. d)
Capítulo 7
1. Solução:

~NA: reação normal do plano em A
~PA: peso de A
~T : tração (fio em A)

~NB : reação normal do plano sobre B
~PB : peso de B
~T : tração (fio em B)
Em cada um dos corpos a reação normal ~N e o peso ~P se anulam.
Assim, aplicando-se o PFD a cada um deles, separadamente,
obtemos:
A: F − T = mA · a⇒ 20− T = 2a (I)
B: T = mB · a⇒ T = 3a (II)
Somando (I) e (II), membro a membro, temos: 20−�T = 2a�T = 3a20 = 5a
a = 20
5
⇒ a = 4, 0 m/s2
a)
Substituindo o valor de a em (I) ou (II), temos:
T = 3a = 3 · 4⇒ T = 12 N (II)
b)
2. Solução:

~T : tração no cabo
~P : peso do elevador
~R: força resultante
m = 20t = 2000 kg
a = 3, 0 m/s2
Na figura acima indicamos ~R (força resultante) apenas para lem-
brarmos que, se o movimento é retardado (“freando”), a força
resultante atua em sentido oposto ao movimento (no caso de su-
bida). Assim, a partir do PFD, podemos escrever:
P − T = m · a
(m · g)− T = m · a
(2000 · 10)− T = 2000 · 3
T = 14000 N
3. Na figura assinalamos as forças que atuam nos corpos A e B. Ob-
serve que ~NB e ~PB se eguilibram e que A e B se deslocarão com
a mesma aceleração em módulo.
O peso de A é dado por
PA = mA · g = 10 · 10⇒ PA = 100 N
A partir do PFD, escrevemos:
A: PA − T = mA · a⇒ 100− T = 10 · a (I)
B: T = mB · a⇒ T = 40 · a (II)
Somando (I) e (II), membro a membro, temos: 100−�T = 10a�T = 40a100 = 50a
a = 100
50
⇒ a = 2, 0 m/s2
a)
Substituindo o valor de a em (I) ou (II), temos:
T = 40a = 40 · 2⇒ T = 80 N (II)
b)
80
81 CAPÍTULO 16. CALORIMETRIA
4. Na figura acima já assinalamos as forças que atuam sobre cada
um dos corpos A e B, bem como o sentido das suas acelerações
(~a).
~T : tração no fio
~PA: peso de A
~PB : peso de B
O peso de A e B é dado por
PA = mA · g = 7 · 10⇒ PA = 70 N
PB = mB · g = 3 · 10⇒ PB = 30 N
A partir do PFD, escrevemos:
A: PA − T = mA · a⇒ 70− T = 7 · a (I)
B: T − PB = mB · a⇒ T − 30 = 3 · a (II)
Somando (I) e (II), membro a membro, temos: 70−�T = 7a�T − 30 = 3a40 = 10a
a = 40
10
⇒ a = 4, 0 m/s2
a)
Substituindo o valor de a em (I) ou (II), temos:
T − 30 = 3a
T = 3a+ 30
T = 3 · 4 + 30
T = 42 N
b)
Analisando a polia isolamente, temos:
Sendo o peso da polia desprezível e estando a polia em equi-
líbrio, escrevemos:
F = 2T ⇒ F = 2 · 42⇒ F = 84 N
A intensidade da força no fio que prende a polia ao teto é o
dobro da tensão no fio que passa através da polia.
c)
5. As forças que atuam sobre o corpo são:
~PA: peso do bloco
~N : reação normal do plano de apoio
sobre o bloco;
O peso decomposto:
•PT = P · sen θ = m · g · sen θ
•PN = P · cos θ = m · g · cos θ
Para PT , temos:
PT = m · a
�m · g · sen θ =�m · a
a = g · sen θ
a = 10 · sen 30◦ = 10 · 1
2
a = 5 m/s2
a)
Para PN , temos:
N = PN
N = m · g · cos θ
N = 10 · 10 · cos
√
3
2
N = 50
√
3 N
b)
A distância AB é dada por:
sen 30◦ = h
AB
⇒ AB = h
sen 30◦
AB = 20
1/2
⇒ AB = 40 m
O tempo pode ser encontrado pela função horária dos espaços
(MUV).
s =��s0 +��v0t+
a
2
· t2
40 = 5
2
· t2
t2 = 40 · 2
5
t = 4 s
c)
v =��v0 + at = 5 · 4⇒ v = 20 m/sd)
6. Solução:
81
82 CAPÍTULO 16. CALORIMETRIA
•P = m · g = 4 · 10⇒ P = 40 N
•N = P ⇒ N = 40 N
•fatMÁX = µ ·N = 0, 5 · 40⇒ fatMÁX = 20 N
Nesse caso, F < fatMÁX ⇒ repouso.
Mas, se o corpo permanece parado:
fat = F ⇒ fat = 10 N
Se permanece em repouso
a = 0
.
a)
Camo F > fatMÁX , o corpo se movimentará.
Lembre-se de que, quando houver movimento:
fat = fatMÁX = µ ·N ∴ fat = 20 N
A partir do PED, escrevemos:
F − fat = m · a
30− 20 = 4 · a
a = 30− 20
4
a = 2, 5 m/s2
b)
7. Solução:
Para A:
NA = PA = mA · g = 5 · 10 = 50 N
fat = µ ·NA = 0, 4 · 50 = 20 N
Para B:
PB = mB · g = 5 · 10 = 50 N
A partir de PFD, escrevemos:
A: T − fat = mA · a⇒ T − 20 = 5 · a (I)
B: PB − T = mB · a⇒ 50− T = 5 · a (II)
Somando (I) e (II), membro a membro, temos: �T − 20 = 5a50−�T = 5a30 = 10a
a = 30
10
⇒ a = 3, 0 m/s2
a)
Substituindo o valor de a em (I) ou (II), temos:
T − 20 = 5a
T = 5a+ 20
T = 5 · 3 + 20
T = 35 N
b)
8. Solução:
{
PT : componente tangencial do peso P.
PN : componente normal do peso P.
Nesse caso:
•PT = P · sen θ ⇒ PT = (m · g) · sen θ
•PN = P · cos θ ⇒ PN = (m · g) · cos θ
•N = PN ⇒ N = (m · g) · cos θ
O corpo se movimenta:
•fat = µ ·N ∴ fat = µ · (m · g · cos θ)
A partir do PFD:
PT − fat = m · a
(m · g · sen θ)− (µ ·m · g · cos θ) = m · a
�m · g( sen θ − µ · cos θ) =�m · a
a = g( sen θ − µ · cos θ)
Capítulo 8
1. Temos: s0 = −10 m; v0 = −2m/s; a = 1 m/s2 e R = 2, 0 m.
Grandeza angular é a razão entre grandeza linear e o raio.
s = −10 m− 2 m
s
· 10 s + 1 m
s2
· 102 s2
= −10 m− 20 m + 50 m = 20 m
Espaço angular:
ϕ = s
R
= 20 m
2, 0 m
= 10 radianos
a)
82
83 CAPÍTULO 16. CALORIMETRIA
•No instante t = 0
s0 = −10− 2 · 0 +
02
2
⇒ s0 = −10 m
ϕ0 =
s0
R
= −10
2
⇒ ϕ0 = −5 rad
•No instante t = 4, 0 s
s4 = −10− 2 · 4 +
42
2
⇒ s4 = −10 m
ϕ4 =
s4
R
= −10
2
⇒ ϕ4 = −5 rad
•Logo
ϕm =
∆ϕ
∆t
= ϕ4 − ϕ0
4
= −5− (−5)
4
ϕm = 0
b)
Sendo s = −10 − 2t + t
2
2
, para t3 = 0: v3 = v0 + at =
−2 + 1 · 3 = 1, 0 m/s
ϕ3 =
v3
R
= 1
5
⇒ ϕ3 = 0, 5 rad/s
c)
Como a = 1, 0 m/s2:
α = a
R
= 1
2
⇒ α = 0, 5 rad/s2
d)
2. Solução:
12�0 rotação
��min
·
(
���1 min
6�0 s
)
= 2 r.p.s= 2 Hz
f = 1
T
⇒ T = 1
f
= 1
2
⇒ T = 0, 5 s
3. Solução:
Para T = 2 s:
f = 1
T
= 1
2
⇒ f = 0, 5 Hz
a)
Relação fundamental: ω · T = 2π
ω · T = 2π ⇒ ω = 2π
T
= �2π
�2
ω = π rad/s
ω = v
R
⇒ v = ω ·R = 10π
v = 10π rad/s
b)
Relação fundamental:
acp = ω2 ·R = π2 · 10
acp = 10π2 m/s2
c)
4. Solução:
•ω = v
R
= 20π
5
⇒ 4π rad/s
•ω · T = 2π ⇒ T = 2π
ω
= 2π
4π
⇒ T = 0, 5 s
•f = 1
T
= 1
0, 5
⇒ f = 2, 0 Hz
5. A partir de PFD, temos:
T − P = m · acp
P = m · g = 2 · 10⇒ P = 20 N
acp =
v2
R
= 4
2
2
⇒ acp = 8 m/s2
Logo:
T − P = m · acp ⇒ T − 20 = 2 · 8⇒
T = 16 + 20⇒ T = 36 N
6. Solução:
A partir de PFD, temos:
N + P = m · acp ⇒ N + P = m ·
v2
R
Numa situação crítica, quando é mínima a velocidade da moto,
esta apresentará uma tendência de se destacar da superfície (ini-
ciar a queda).
Se a moto perde contato com a pista, impomos então que N = 0,
pois a força de reação normal, ~N , é uma força de contato, ou
seja, ela só existe quando houver contato entre um corpo e uma
superfície. Assim:
N + P = m · v
2
R
0 + P = m · v
2
R
(�m · g) =�m ·
v2
R
v2 = R · g
vmin =
√
R · g
7. Solução:
•fat = m · acp ⇒ fat = m ·
v2
R
(I) •N = P (equilíbrio na
vertical) (II)
Na velocidade máxima, a força de atrito fat deverá ser máxima,
ou seja:
fat = µ ·N
fat = µ · P
fat = µ · (m · g)
�m ·
v2
R
= µ · (�m · g)
v2 = µ · g ·R
vMÁX =
√
µ · g ·R
Capítulo9
1. Solução
83
84 CAPÍTULO 16. CALORIMETRIA
2. Solução
3. Solução
4. Solução
5. Solução
6. Solução
7. Solução
8. Solução
9. Solução
10. Solução
11. Solução
12. Solução
84
85 CAPÍTULO 16. CALORIMETRIA
13. Solução
14. Solução
15. Solução
Capítulo 10
1. Solução
2. Solução
3. Solução
4. Solução
5. Solução
85
86 CAPÍTULO 16. CALORIMETRIA
6. Solução
7. Solução
8. Solução
9. Solução
86
87 CAPÍTULO 16. CALORIMETRIA
10. Solução
11. Solução
12. Solução
13. Solução
Capítulo 11
87
88 CAPÍTULO 16. CALORIMETRIA
1. Solução
2. Solução
3. Solução
4. Solução
5. Solução
6. Solução
7. Solução
88
89 CAPÍTULO 16. CALORIMETRIA
8. Solução
9. Solução
Capítulo 14
1. c): 0 K = –459,7°F = –273°C
2. T − 273
373− 273
= 70− 0
100− 0
⇒ T = 343 K
3. θC − (−118)
78− (−118)
= 80− 0
100− 0
⇒ θC = 38, 8°C
4. ∆θF
212− 32
= 45
100− 0
⇒ ∆θF = 81°F
∆T
373− 273
= 45
100− 0
⇒ ∆T = 45 K
5. θC − 0
100− 0
= 122− 320
212− 32
⇒ θC = 50°C
6. θ = 2h− 5
7. θ = 65 graus.
8. θF = 77°F.
9. θC = 40°C; θF = 104°F.
10. θC = T − 273; θC = −273°C;
11. (a) ∆θF = 36°F; (b) ∆θC = ∆T ; ∆T = 20 K
12. Tb = 100°B
13. θR
4
= θC
5
14. (a) θE + 2
11
= θC
10
; (b) θC = 50°C; (c) θC = 20°C.
Capítulo 16
1. A dona de casa deve pegar um pouco de água e aquecê-la até que
ela ferva. A água (admitindo-a pura) entra em ebulição a 100°C.
Paralelamente, a dona de casa pega um pouco de gelo, deixando-o
fundir parcialmente. O fato de se ter uma mistura entre água no
estado sólido e água no estado líquido garante, neste caso, que a
temperatura do sistema é 0°C. A seguir, ela apanha uma xícara
de água fervente (100°C) e mistura com a mesma quantidade de
água em fusão (0ºC). Rapidamente as duas porções de água en-
tram em equilíbrio térmico e têm-se, então, duas xícaras de água
a 50°C.
2. Q1 = m · c ·∆θ (gelo entre –30° e 0°C)
Q2 = m · L (gelo durante fusão)
Q3 = m · c ·∆θ (gelo fundido)
Q4 = m · c ·∆θ (água)
Q1 = 100 · 0, 5 · (0− (−30)) = 1500
Q2 = 100 · 80 = 8000
Q3 = 100 · 1 · (θ − 0) = 100θ
Q4 = 400 · 1 · (θ − 25) = 400θ − 10.000
Q1 +Q2 +Q3 +Q4 = 0
1500 + 8000 + 100θ + 400θ − 10.000 = 0
θ = 1°C
3. Q = m · c ·∆θ
2000 = 500 · c · (30− 20)
c = 0,4 cal/g°C
4. Q1 = m · c ·∆θ (gelo entre –12° e 0°C)
Q2 = m · L (gelo durante fusão)
Q3 = m · c ·∆θ (gelo fundido)
Q1 = 30 · 0, 5 · (0− (−12)) = 180 cal
Q2 = 30 · 80 = 2400 cal
Q3 = 30 · 1 · (70− 0) = 2100 cal
Q = Q1 +Q2 +Q3 = 180 + 2400 + 2100
Q = 4680 cal
89
90 CAPÍTULO 16. CALORIMETRIA
5. QPb +QH2O = 0
4× 103 · 0, 0306 · (θ − 80) + 8× 103 · 1 · (θ − 30) = 0
θ = 30, 75°C
6. Q1 +Q2 = 0
200 · 1 · (θ − 20) + 100 · 1 · (θ − 80) = 0
θ = 40°C
7. e).
8. O mercúrio, pois sendo Q = m · c · ∆θ, temos ↓ ∆θ = Q
m · c ↑
.
Quanto maior o calor espécífico, menor a variação de tempera-
tura.
9. 200 cm3 = 200 g.
Q1 = m · c ·∆θ (gelo entre –4° e 0°C)
Q2 = m · L (gelo durante fusão)
Q3 = m · c ·∆θ (gelo fundido)
Q4 = m · c ·∆θ (refrigerante)
Q1 = 2× 15 · 0, 5 · (0− (−4)) = 60
Q2 = 2× 15 · 80 = 2400
Q3 = 2× 15 · 1 · (θ − 0) = 30θ
Q4 = 200 · 1 · (θ − 30) = 200θ − 6000
Q1 +Q2 +Q3 +Q4 = 0
60 + 2400 + 30θ + 200θ − 6000 = 0
θ = 15, 4°C
10. c).
11. Para que, através de correntes de convecção, o ar possa fluir e
a temperatura no ambiente se tornar uniforme. O ar frio, por
ser mais denso que o ar quente, tende a ficar na parte inferior
dos ambientes, próximo ao chão, e o ar quente, na parte superior.
Colando-se aquecedores na parte inferior, ele irá aquecer o ar frio
que, por ficar mais quente que o ar da parte superior, deve subir e
empurrar a massa de ar que lá está para baixo. Da mesma forma,
o ar-condicionado, colocado na parte superior, resfria o ar quente
que desce e, por sua vez, empurra o ar frio que está próximo ao
chão para a parte superior do ambiente.
12. Vá até o armário onde estão guardadas suas roupas de lã e/ou
cobertores e verifique se a prateleira está quente. Cobertor não
esquenta, propriamente. O calor que sentimos quando nos co-
brimos é o calor do nosso próprio corpo. Os cobertores são maus
condutores de calor — dificultam a perda de energia do corpo para
o ambiente. Se embrulharmos uma pedra de gelo em um cober-
tor, ela vai derreter mais devagar do que desembrulhada porque o
cobertor atuará de forma a evitar trocas de calor com o ambiente.
13. Os balcões frigoríficos podem ficar abertos porque, sendo o ar frio
mais denso do que o ar quente, não há correntes de convecção.
14. d).
15. e).
16. b).
17. a).
90
	I Cinemática
	Grandezas Físicas
	Unidades de medida
	Grandezas escalares e vetoriais
	Fator de conversão
	Exercício
	Introdução à cinemática
	Conceitos fundamentais
	Cinemática Escalar
	Grandezas fundamentais
	Velocidade e aceleração
	Exercício
	Gráficos e classificação dos movimentos
	Classificação dos movimentos
	Análise de gráficos
	Exercício
	Movimento uniforme e variado
	Movimento uniforme (M.U.)
	Movimento uniformemente variado
	Lancamento vertical e queda livre
	Exercício
	Cinemática Vetorial
	Velocidade e aceleração vetorial
	Composição de movimentos
	Lançamento de projéteis
	Exercício
	II Dinâmica
	Dinâmica: Leis de Newton
	1ª Lei de Newton
	2ª Lei de Newton
	3ª Lei de Newton
	Exercício
	Algumas forças particulares
	Reação normal e tensão 
	Máquina de Atwood
	Plano inclinado
	Força de atrito
	Exercício
	Movimento de trajetória curvilínea
	Movimento circular
	Movimento circular uniforme
	Movimento de trajetória curvilínea
	Exercício
	Trabalho, potência e energia mecânica
	Trabalho
	Energia cinética de um corpo (Ec)
	Potência
	Energia mecânica
	Conservação da energia mecânica
	Exercício
	Impulso e quantidade de movimento
	Impulso de uma força constante
	Quantidade de movimento
	Choque mecânico
	Exercício
	Gravitação
	Leis de Kepler
	Lei da gravitação universal
	Energia cinética e potencial
	Velocidade de escape
	Exercício
	Estática
	Equilíbrio do ponto material
	Equilíbrio de um corpo extenso
	Exercício
	Hidrostática
	Pressão e densidade
	Teorema de Stèvin
	Princípio de Pascal
	Experiência de Torricelli
	Princípio de Arquimedes
	Exercício
	III Termodinâmica
	Termometria
	Temperatura
	Escalas termométricas
	Exercício
	Dilatação térmica
	Dilatação dos sólidos
	Dilatação dos líquidos
	Dilatação anômala da água
	Exercício
	Calorimetria
	Calor
	Mudança de estados físicos
	Sistema termicamente isolado
	Propagação de calor
	Exercício
	Respostas