EQUAÇÃO DO 2 GRAU

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@profthiago.math 
O que são equações do 2ª grau? Também conhecidas por equações quadráticas 
Uma equação diz-se Equação do 2ª Grau, em 𝒙, se puder ser escrita na forma: 
𝒂𝑥2 + 𝒃𝑥 + 𝒄 = 0 
onde 𝒂, 𝒃 e 𝒄 chamados de coeficientes, são números reais, isto é, 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℝ e 𝒂 ≠ 𝟎. 
A equação do segundo grau recebe esse nome porque é uma equação polinomial cujo termo de maior grau 
está elevado ao quadrado. 
 
Obs: O coeficiente 𝒂 numa equação do 2º grau deve ser diferente de zero, pois, do contrário obteremos uma equação 
do 1º grau. 
𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 
Exemplos: 
• 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟐 = 𝟎 é uma equação do 2º grau 
• 𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟐𝟐 = 𝟎 é uma equação do 2º grau 
• 
𝒙𝟐
𝟐
− √𝟖𝒙 = 𝟎 é uma equação do 2º grau 
• 𝒙𝟐 − 𝝅 = 𝟎 é uma equação do 2º grau 
ANALISANDO UMA EQUAÇÃO DO 2ª GRAU 
Em uma equação do 2º grau, é extremamente importante identificar cada termo, principalmente seus coeficientes, 
para que possamos usá-los futuramente na resolução de uma equação desse tipo. Vejamos: 
 
𝒂𝑥2 + 𝒃𝑥 + 𝒄 = 0 
em que: 
𝒙 é a incógnita; 
𝒂𝑥2 é o termo do 2ª grau, cujo coeficiente é 𝒂. 
𝒃𝑥 é o termo do 1ª grau, cujo coeficiente é 𝒃; 
𝒄 é o termo independente. 
EXEMPLO 1 EXEMPLO 2 
𝒙𝟐 + 𝟑𝟎𝒙 − 𝟐𝟖𝟎𝟎 = 𝟎 −𝟒𝒕𝟐 + 𝟐𝟒𝒕 = 𝟎 
Onde Onde 
____ é o termo do 2ª grau, cujo coeficiente é _____; ____ é o termo do 2ª grau, cujo coeficiente é _____; 
____ é o termo do 1ª grau, cujo coeficiente é _____; ____ é o termo do 1ª grau, cujo coeficiente é _____; 
____ é o termo independente. ____ é o termo independente. 
Assim: Assim: 
𝑎 = ________ 𝑎 = ________ 
𝑏 = ________ 𝑏 = ________ 
𝑐 = ________ 𝑐 = ________ 
 
 
 
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Exercícios – Parte 1 
1. Assinale com ( 𝑿 ), somente as alternativas que contém equações que são do 2ª grau com uma incógnita. 
a) ( ) 2𝑥 + 3𝑦 = 9 
b) ( ) 9𝑥2 = −3𝑥 + 5 
c) ( ) 3𝑥(𝑥 + 1) = 9 
d) ( ) 𝑥3 + 𝑥2 − 3𝑥 = 1 
e) ( ) 13𝑥2 = −5𝑥2 − 10 
f) ( ) (𝑥 + 4)2 = 0 
 
2. Desenvolva o produto, determine a equação (3𝑥 − 1)(𝑥 + 1) = 4 e indique os valores de 𝑎, 𝑏 e 𝑐. 
 
 
RAIZES DE UMA EQUAÇÃO DO 2ª GRAU 
Os valores reais de 𝒙 que satisfazem a equação são chamados de raízes, ao passo que o conjunto formado pelas raízes 
é o conjunto solução da equação. 
 
 
EQUAÇÕES DO 2ª GRAU COMPLETAS E INCOMPLETAS 
As equações do 2ª grau podem ser COMPLETAS ou INCOMPLETAS. 
Completa 
Uma equação do 2ª grau é completa, se os coeficientes 𝒃 e 𝒄 são diferentes de zero. 
Exemplos: 
𝑥2 + 7𝑥 + 5 = 0 
𝒂 𝒃 𝒄 
 
 
 
 
3𝑥2 + 𝑥 + 2 = 0 
𝒂 𝒃 𝒄 
 
 
 
Incompleta 
Uma equação do 2ª grau é incompleta se os coeficientes 𝒃 ou 𝒄 são nulos, juntos ou separadamente. 
Exemplos: 
𝟒𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 = 𝟎 
𝒂 𝒃 𝒄 
 
 
 
 
𝟑𝒙𝟐 + 𝟗 = 𝟎 
𝒂 𝒃 𝒄 
 
 
 
 
𝒙𝟐
𝟓
= 𝟎 
𝒂 𝒃 𝒄 
 
 
 
 
 
 
 
@profthiago.math 
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2ª GRAU 
1ª CASO: Equações do tipo 𝒂𝑥2 = 0 
Basta dividir toda a equação por 𝒂 para obter: 
𝑥2 = 0 ⇒ 𝑥 = √0 ⇒ 𝑥 = 0 
significando que a equação possui duas raízes iguais a zero. 
Exemplo 1.1: 
Calcule as raízes da equação −𝟏𝟎𝒙𝟐 = 𝟎. (Faça os exercícios no caderno) 
 
2ª CASO: Equações do tipo 𝒂𝑥2 + 𝒄 = 0 
Novamente dividimos toda a equação por 𝒂 e passamos o termo constante para o segundo membro para 
obter: 
𝑥2 = −
𝒄
𝒂
 
• Se –
𝒄
𝒂
 for negativo, não existe solução no conjunto dos números reais. 
• Se –
𝒄
𝒂
 for positivo, a equação terá duas raízes com o mesmo valor absoluto (módulo) mas de sinais 
contrários. 
𝑥 = ±√−
𝒄
𝒂
 
Exemplo 2.1: 
Calcule as raízes da equação 𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟖 = 𝟎. (Faça os exercícios no caderno) 
Exemplo 2.2: 
Calcule as raízes da equação 𝟕𝒙𝟐 + 𝟓𝟔 = 𝟎. (Faça os exercícios no caderno 
 
3ª CASO: Equações do tipo 𝒂𝑥2 + 𝒃𝑥 = 0 
Neste caso, fatoramos a equação para obter: 
𝑥 (𝒂𝑥 + 𝒃) = 0 
e a equação terá duas raízes: 
𝒙′ = 0 ou 𝒙" = −
𝒃
𝒂
 
 
Exemplo 3.1: 
Calcule as raízes da equação 𝟔𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 = 𝟎. (Faça os exercícios no caderno 
 
Exercícios – Parte 2 
 
1. Classifique cada equação em completa ou incompleta. (Faça os exercícios no caderno) 
a) 2𝑥2 = 𝑥2 − 3𝑥 + 1 b) (𝑥 + 2)2 = (2𝑥 − 2)2 
 
c) 
1
2
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) = −
1
2
 c) 5(𝑥2 − 1) = −5𝑥 + 3 
 
2. Resolva as equações do 2ª grau, abaixo: (Faça os exercícios no caderno) 
a) 4𝑥2 + 6𝑥 = 0 e) 11𝑥2 = 0 
b) 9𝑥2 − 25 = 0 f) 4√7𝑥2 + 8𝑥 = 0 
c) 4𝑥2 = 0 g) −3𝑥2 − 27 = 0 
d) 16𝑥2 − 9𝑥 = 0 h) −5𝑥2 = −10 
 
 
@profthiago.math 
 
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2ª GRAU 
Um processo utilizado para a resolução de equações completas do 2ª grau, é através de uma fórmula 
muito conhecida como FÓRMULA DE BHASKARA. 
Tal fórmula foi desenvolvida por um matemático Indu chamado Sridhara, no Século X d.C. Contudo, ela 
foi publicada apenas no Século XII, por Bhaskara, um matemático também Indu. Por isso, ela acabou 
ficando conhecida popularmente como “fórmula de Bhaskara” 
 
 
A FÓRMULA DE BHASKARA 
Se ∆≥ 0, as soluções da equação 𝐚𝐱𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜 = 𝟎, onde a ≠ 0, podem ser obtidas pela fórmula: 
 
x =
−b ± √∆
2a
 
 
onde, ∆= b2 − 4ac é chamado de DISCRIMINANTE. 
 
✓ ESTUDO DO DISCRIMINANTE Δ 
Em uma equação do 2ª grau, se: 
• ∆= 0 a equação possui duas raízes reais e iguais; 
• ∆> 0 a equação possui duas raízes reais e diferentes; 
• ∆< 0 a equação não possui raízes reais. 
 
Exercícios – Parte 3 
 
1. Encontre as raízes de cada uma das equações a seguir, se existir: (Faça os exercícios no caderno) 
a) x2 − 7x + 6 = 0 f) 25x2 = 20x − 4 
b) 2x2 + x = 10 g) x2 + 9 = 4x 
c) x2 + 2x + 3 = 0 h) – 𝑥2 + 𝑥 + 12 = 0 
d) x +
1
x
=
10
3
 i) 2𝑥 = 15 − 𝑥
2 
e) (x + 3)2 = 1 j) (𝑥 − 9)2 = 0 
 
 
2. Em cada item, calcule o valor de 𝒎 de maneira que −4 seja uma raiz da equação. 
a) 𝑚𝑥2 + (𝑚 − 2)𝑥 − 20 = 0 
 
b) (𝑚 + 1)𝑥2 − 𝑚𝑥 + 14 = 0 
 
 
PROBLEMAS DE EQUAÇÕES DO 2ª GRAU 
 
3. A soma de um número com o seu quadrado é 90. Calcule esse número. 
 
4. A soma do quadrado de um número com o próprio número é 12. Calcule esse número 
 
5. O quadrado menos o dobro de um número é igual a -1. Calcule esse número. 
 
6. A diferença entre o quadrado e o dobro de um mesmo número é 80. Calcule esse número. 
 
7. O quadrado de um número aumentado de 25 é igual a dez vezes esse número. Calcule esse número. 
 
8. O produto de um número natural com o seu antecessor é 132. Que número é esse? 
 
9. Qual é o número, cujo quadrado mais seu triplo é igual a 40?