Resolucoes Livro Hibbeler 7 ED (CAP 9 E 10) _ Passei Direto

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510 
 
Capítulo 9 
 
 
 
 
Transformação da tensão 
 
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 Transformação da Tensão 
511 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.1 - PROBLEMAS 
9.1. Prove que a soma das tensões normais σx + σy = σ + σx’ y’ é constante. Veja figuras 9.2a e 9.2b. 
 
 
 +!F"# = 0 ; $ %Acos ' cos ' %Asen ' sen ' ' sen '"#%A & $" ( ) ( ) & $* ( ) ( ) = 0 , $"# = $"cos -( ) + $* -( ) 
. + !F*# = 0 ; $*#%A & $"%Asen ' sen ' %Acos ' cos( ) ( ) & $* ( ) (') = 0 , $ sen*# = $" -(' ') + $*cos -( ) 
$"# + $*# = /$ cosx 2(') + $ysen2(')1 + /$xsen2(') + $ycos2(')1 = $x[sen2(') + cos2 2( )' ] + $y[sen (') + cos2( )' ] 
34# + 35# = 34 + 35 
9.2. O estado de tensão em um ponto em um elemento estrutural é mostrado no elemento. Determine as 
componentes de tensão que agem no plano inclinado . Resolva o problema usando o método do AB
equilíbrio descrito na Seção 9.1. 
 
 
 Figura 9.2 
 +!F"# = 0; $"#%A + 8%Asen( (40°) cos 40°) & 5%Asen(40°)sen 40° 40° sen 40° cos 40°( ) + 8%Acos( ) (40°) & 3%Acos( ) ( ) = 0 
'*# = &,- ./12679 
: + !F;# = 0 
 <"#>#%A + 5%Asen( (40°) cos 40°) + 8%Asen(40°)sen 40° 40° cos 40° 40° sen 40°( ) & 8%Acos ( ) ( ) & 3%Acos( ) ( ) = 0 
?*#@# = .- ,.,2679 
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 Transformação da Tensão 
512 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.3. O estado de tensão em um ponto em um elemento estrutural é mostrado no elemento. Determine as 
componentes da tensão que agem no plano inclinado . Resolva o problema usando o método de AB
equilíbrio descrito na Seção 9.1. 
 
 Figura 9.3 
 
 +!F"# = 0 ; $"#%A & 350%Asen( (50°) sen 50°) + 200%Acos(50° cos) (50°) = 0 
 $"# = 122,75'kPa = *, -./'468 
9 + !F:# = 0'''' ; ;"#<#%A & 350%Asen(50°) cos 50° 50° sen 50°( ) & 200%Acos( ) ( ) = 0 
 ;"#<# = 270,>'kPa = *, .?-'468 
*9.4. O estado de tensão em um ponto em um elemento estrutural é mostrado no elemento. Determine as 
componentes da tensão que agem no plano inclinado . Resolva o problema usando o método de AB
equilíbrio descrito na Seção 9.1. 
 
 Figura 9.4 
9 + !F"# = 0 ; $"#%A + @50%A sen( (@0°) cos 30°) & B00%Acos( (@0°)cos @0°) = 0 
 $"# = &3>7,5'kPa = &*, /C?'468 
 +!F:# = 0 ; ;"#<#%A & @50%Asen(@0°) sen 30° @0° sen( ) & B00%Acos( ) (@0°) = 0 
 ;"#<# = B5B ,@@ 'kPa = *, DEE'468
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 Transformação da Tensão 
513 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.5. O estado de tensão em um ponto em um elemento estrutural é mostrado no elemento. Determine as 
componentes da tensão que agem no plano inclinado . Resolva o problema usando o método de AB
equilíbrio descrito na Seção 9.1. 
 
Figura 9.5 
 +!F"# = 0 
$"#%A + 60%Acos(30°) cos cos 50%Asen cos 30° cos(30°) & 28%Acos(30°) (60°) + (30°) (60°) & 28%Asen( ) (30°) = 0 
'*# = &,,- ,./14 
7 + !F9# = 0 
:"#;#%A & 285%Acos(30°) sen(60°) & 60%Acos(30°)sen(30°) + 50%Asen + 28%Asen(30°)sen(60°) (30°)sen 30°( ) = 0 
<*#># = ?@- ,./14 
9.6. O estado de tensão em ponto em um elemento estrutural é mostrado no elemento. Determine as 
componentes da tensão que agem no plano inclinado . Resolva o problema usando o método de AB
equilíbrio descrito na Seção 9.1. 
 
 Figura 9.6 
7 + !F"# = 0 
 $"#%A & B0%Asen(60°) sen(60°) + 35%Acos(60°)sen(60°) + 35%Asen(60°)sen(30°) & 50%Acos(60°)sen(30°) = 0 
'*# = CD- E./14 
 +!F9# = 0 
;:"#;#%A + B0%Asen(60°) cos cos cos 30° 60° cos 30°(60°) & 35%Acos(60°) (60°) + 35%Asen(60°) ( ) & 50%Acos( ) ( ) = 0 
<*#># = &,C- @./14 
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 Transformação da Tensão 
514 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.7. Resolva o Problema 9.2 usando as equações de transformação de tensão desenvolvidas na Seção 
9.2. 
 
 Figura 9.7 
 = 5!MPa!!; !!! "# = 3!MPa!!; !!! $ # = 8!MPa 
" % =
&'!(!&)
*
+
&'!,!&)
*
cos 2.- / + $ #sen 2.- / =
0!(!1
*
+
0!,!1
*
cos 42!x!56° 42!x!56° !- / + 8sen- / = - 4,05 MPa
$ %7% = 4 
&'!,!&)
*
sen 2.- / + $ #cos 2.- / = 4 
0!,!1
*
sen 42!x!56° 42!x!56°- / + 8cos- / = - 0,404 MPa
*9.8. Resolva o Problema 9.4 usando as equações de transformação de tensão desenvolvidas na Seção 
9.2. 
 
Figura 9.8 
 
" = 4956!kPa!!; !!! "# = :66!kPa!!; !!! $ # = 6!kPa 
"
 
% =
&'!(!&)
*
+
&'!,!&)
*
cos 2.- / + $ #sen 2.- / =
,!<0>!(!?>>
*
+
,!<0>!,!?>>
*
cos 2!x!36° !- / = - 387,5 kPa = - 0,387 MPa
$
 
%
7
% = 4 
&'!,!&)
*
sen 2.- / + $ #cos 2.- / = 4 
,!<0>!,!?>>
*
sen 2!x!36°- / = 454,66 kPa = 0,455 MPa
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 Transformação da Tensão 
515 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.9. Resolva o Problema 9.6 usando as equações de transformação de tensão desenvolvidas na Seção 
9.2. Mostre o resultado em um desenho. 
 
 Figura 9.9 
 = 90"MPa""; """ ! # = 50"MPa""; """ $!# = %35"MPa 
 !& =
'(")"'*
+
,
'("-"'*
+
cos 2/. 1 , $!# sen 2/. 1 =
46")"76
+
,
46"-"76
+
cos. . 12"x"30°1 % 35sen 2"x"30° "= 49,7 MPa
$!&8& = % 
'("-"'*
+
sen 2/. 1 , $!# cos 2/. 1 = % 
46"-"76
+
sen. .2"x"30°1 % 35cos 2"x"30°1 = - 34,8 MPa
9.10. Determine o estado de tensão equivalente em um elemento, se ele estiver orientado a 30º em 
sentido anti-horário em relação ao elemento mostrado. Use as equações de transformação de tensão. 
 
 
 Figura 9.10 
 
 = 0"kPa""; """ ! # = $300"kPa""; """ %!# = 950"kPa 
 !& =
'(")"'*
+
,
'("-"'*
+
cos 2/. 1 , %!# sen 2/. 1 =
4"-"644
+
,
4")"644
+
cos 2"x"30° 2"x"30° ". 1 , 950sen. 1 
 !& = 787:72"kPa ="0,748 MPa 
 #& =
'(")"'*
+
,
'("-"'*
+
cos. .2/1 , %!# sen 2/1 =
4"-"644
+
,
4")"644
+
cos. . 1$2"x"<0°1 , 950sen $2"x"<0° " 
 #& = $>?087:72"kPa ="- 1,048 MPa 
%!&@& = $ 
'("-"'*
+
sen 2/. 1 , %!# cos 2/. 1 = $ 
4")"644
+
sen 2"x"30° 2"x"30°. 1 , 950cos. 1 = 345,096 kPa = 0,345 MPa
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 Transformação da Tensão 
516 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.11. Determine o estado de tensão equivalente em um elemento, se ele estiver orientado a 60º em 
sentido horário em relação ao elemento mostrado. 
 
 Figura 9.11 
 
 = 300"kPa""; """ ! # = 0"kPa"";""" $!# = 120"kPa 
 !% =
&'" "( &)
*
+
&'","&)
*
cos 2.- / + $!# sen-2./ =
455(5
*
+
455,5
*
cos- -62"x"70°/ + 120sen 62"x"70° "/ 
 !% = 6289:2"kPa ="- 0,0289 MPa 
 #% =
&'"("&)
*
+
&'","&)
*
cos- -2./ + $!# sen 2./ =
455"("5
*
+
455","5
*
cos- -2"x"30°/ + 120sen 2"x"30° "/ 
 #% = 3289:2"kPa ="0,329 MPa 
$!%<% = 6 
&'","&)
*
sen 2.- / + $!# cos 2.- / = 6 
455,"5
*
sen- - /62"x"70°/ + 120cos 62"x"70° = 69,90 kPa = 0,0699 MPa
*9.12. Resolva o Problema 9.6 usando as equações de transformação de tensão. 
 
 
Figura 9.12 
 
 = >0"MPa""; """ ! # = :0"MPa""; """ $!# = 3>"MPa""" ; . = 120° 
 !% =
&'"("&)
*
+
&'","&)
*
cos 2.- / + $!# sen 2.- / =
?5"("@5
*
+
?5","@5
*
cos- - /2"x"120°/ + 3>sen 2"x"120° " 
 !% ="49,7 MPa 
$!%<% = 6 
&'","&)
*
sen 2.- / + $!# cos 2.- / = 6 
?5","@5
*
sen- - /2"x"120°/ + 3>cos 2"x"120° = - 34,8 MPa
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 Transformação da Tensão 
517 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.13. O estado de tensão em um ponto é mostrado no elemento. Determine (a) as tensões principais e (b) 
a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto. Especifique a orientação 
do elemento em cada caso. 
 
Figura 9.13 
 
(a) As tensões principais: 
 "MPa""; """ ! = 45 # = $60"MPa""; """ %!# = 30"MPa""" 
 &,' =
()" *"(+
'
±-.()"/"(+' 1
'
2 %!# ' =
78"/"9:
'
±-.78"/"[/9:]' 1
'
2 30' = - 7,5 MPa 60,467 MPa ±
<> = ?@"ABC ; <D = $EF"ABC 
tang HIG JK =
L)+
N( /"()" +O 'Q
= R:N78"/ /9:[ ]O 'Q = 0,5ST43 U ; VW> = >X, Y° IJ' = T4,Z° $ Z0° = $\?, >° 
 !^ =
 ! "2" #
H
2
 ! "$" #
H
cos HI sen HIN O 2 %!# N O =
45 2 [ ]$60
H
2
45 $ [ ]$60
H
cos H"x"T4,5° H"x"T4,5° "N O 2 30senN O 
<_^ ="53 MPa 
(b) A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto: 
%`á!"bd"Jfhbd = -.
()"/"(+
'
1
'
2 %!# ' = -.
78"/ /9:[ ]
'
1
'
2 30' = 60,5 MPa 
 `éi =
()"*"(+
'
= 78"/"9:
'
 = - 7,50 MPa 
 tang HIN jO = $ 
()"/"(+
'L)+ 
= $ 78"/"[/9:]'"!"R: = $T,S5 U ; Vk> = $"@l, >° Ij' = Z0° $ 30,T° = ?Y, Y° 
%!^m^ = $ 
()"/"(+
'
sen HIN O 2 %!# cos HIN O = $ 
78"/ /9:[ ]
'
sen $H"x30,T° $H"x30,T°N O 2 30cosN O = 60,5 MPa
 
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 Transformação da Tensão 
518 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.14. O estado de tensão em um ponto é mostrado no elemento. Determine (a) as tensões principais e (b) 
a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto. Especifique a orientação 
do elemento em cada caso. 
 
 
Figura 9.14 
 
(a) As tensões principais: 
 = 180!MPa!!; !!! "# = 0!MPa!!; !!! $ # = %150!MPa!!! 
"&,' =
( ()!*! +
'
±-.()!/!(+' 2
'
3 $ #' =
&46*!6
'
±-.&46/!6' 2
'
3 7%1509' = 90 MPa 174,928 MPa ±
:< = >?@!ABC ; :> = %DE, F!ABC 
tangGHIJK =
L)+
7( /!()! +9 'N
= /&O67&46!/!69 'N = %1,QQR S ; TU< = %>F, @° IJ' = V0° % HV,5° = ?W, @° 
" X =
" ! 3 ! "#
H 3
" ! % ! "#
H cos HI sen HI
7 9 3 $ # 7 9 =
180 3 0
H 3
180 % 0
H cos %H!x!HV,5° %H!x!HV,5° !
7 9 % 150sen7 9 
:YX =!265 MPa 
(b) A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto: 
$Zá ![\!J]^[\ = -.
()!/!(+
'
2
'
3 $ #' = -.
&46!/6
'
2
'
3 7%1509' = 175 MPa 
 "Zé_ =
()!*!(+
'
= &46!*!6
'
 = 90 MPa 
 tang HI7 `9 = % 
()!/!(+
'L)+ 
= % &46/!6'7/&O69 = 0,Q S Tb< = <@, @° ; I`' = 15,5° % V0° = %!dE, @°
$ XfX = % 
()!/!(+
'
sen HI7 9 3 $ #cos HI7 9 = % 
&46!/!6
'
sen H!x!15,5° H!x!15,5°7 9 % 150cos7 9 = - 175 MPa
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 Transformação da Tensão 
519 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.15. O estado de tensão em um ponto é mostrado no elemento. Determine (a) as tensões principais e (b) 
a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto. Especifique a orientação 
do elemento em cada caso. 
 
 
Figura 9.15 
 
 
 
(a) As tensões principais: 
 ! = "30#MPa##; ### $ = 0#MPa##; ### %!$ = "12#MPa### 
 &,' =
( *#()# +
'
±-. "#" ! $
%
&
%
+ '() 
% =
#*,-",
%
±./
#*,#",
%
&
%
+ 01234% = -15 MPa 19,21 MPa ±
5 56 = 78 96":;< ; 9 = 1>78 96":;< 
tang?3@AB =
C!$
0 #" !" $4 %D
=
#E%
0#*,"#",4 %D
= F8G H ; IJ6 = 6K8 >>° @A% = 2L8MM° 1 LF° = 1NO8 PN° 
Q(R =
Q( " + "Q)
3
+
Q( " 1 " Q)
3
cos 3@ sen 3@0 4 + '() 0 4 =
1MF + F
3
+
1MF 1 F
3
cos 3"x"2L8MM° 3"x"2L8MM° "0 4 1 23sen0 4 
5SR ="- 34,21 MPa 
(b) A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto: 
'Tá("UV"AWXUV = ./
 !"#" $
%
&
%
+ '() 
% = ./
#*,"#,
%
&
%
+ 01234% = 19,21 MPa 
 QTéY =
 !"-" $
%
=
#*,"-",
%
 = - 15 MPa 
 tang 3@0 Z4 = 1 
 !"#" $
%C!$ 
= 1 
#*,#",
%0#E%4
= 1283[ H ; I\6 = 19]8 PN° @Z% = LF° 1 3[8^_° = "P78 >>° 
'(R`R = 1 
 !"#" $
%
sen 3@0 4 + '() cos 3@0 4 = 1 
#*,"#",
%
sen 13"x"3[8^_° 13"x"3[8^_°0 4 1 23cos0 4 = - 19,21 MPa