Provas antigas - P2

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UFV - Universidade Federal de Viçosa
CCE - Departamento de Matemática
2a Prova de MAT 140 - Cálculo I - 23/02/2022
Nome: Matŕıcula:
1a Questão (30 pontos) Calcule as derivadas das funções abaixo:
a) f(x) = esen(x
3+1)
b) g(x) = x arcsenx +
√
1− x2
2a Questão (20 pontos) Mostre que o ponto (4, 1) está na curva x +
√
xy = 6. Em seguida,
supondo que a igualdade anterior define implicitamente uma função y = f(x), determine a reta
tangente à curva nesse ponto.
3a Questão (20 pontos) Metalúrgicos foram contratados por uma fábrica de papel para projetar e
construir um tanque retangular de aço, com base quadrada, sem tampa e com 500 l de capacidade.
O tanque será constrúıdo soldando-se chapas de aço umas às outras ao longo das bordas. Como
engenheiro de produção, sua tarefa é determinar as dimensões da base e a altura que farão o tanque
pesar o mı́nimo posśıvel.
4a Questão (40 pontos) Esboce o gráfico da função f abaixo e encontre os objetos mencionados
nos itens:
f(x) =
x√
x2 + 1
e f ′′(x) = −3x (x2 + 1)−5/2.
i) o domı́nio de f(x);
ii) os pontos cŕıticos de f (se existirem);
iii) os intervalos de crescimento e decrescimento de f ;
iv) os máximos e mı́nimos locais de f (se existirem);
v) a concavidade e os pontos de inflexão do gráfico de f (se existirem);
vi) as asśıntotas horizontais e verticais (se existirem).
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UFV - Universidade Federal de Viçosa
CCE - Departamento de Matemática
2a Prova de MAT 140 - Cálculo I - 23/02/2022
Nome: Matŕıcula:
1a Questão (30 pontos) Calcule as derivadas das funções abaixo:
a) f(x) = cos
(
e2x
)
b) g(x) = x arctg
(√
x
)
2a Questão (20 pontos) Mostre que o ponto (0, 1) está na curva x3 + cos(xy) = y2. Em seguida,
supondo que a igualdade anterior define implicitamente uma função y = f(x), determine a reta
tangente à curva nesse ponto.
3a Questão (20 pontos) Uma área retangular com 216 m2 será cercada e dividida em duas partes
iguais por outra cerca paralela a um dos lados. Quais as dimensões do retângulo externo que
exigirão a menor quantidade total de cerca? Quantos metros de cerca serão necessários?
4a Questão (40 pontos) Esboce o gráfico da função f abaixo e encontre os objetos mencionados
nos itens:
f(x) =
x
x2 + 1
e f ′′(x) =
2x3 − 6x
(x2 + 1)3
.
i) o domı́nio de f(x);
ii) os pontos cŕıticos de f ;
iii) os intervalos de crescimento e decrescimento de f ;
iv) os máximos e mı́nimos locais de f (se existirem);
v) a concavidade e os pontos de inflexão do gráfico de f (se existirem);
vi) as asśıntotas horizontais e verticais (se existirem).
1
UFV - Universidade Federal de Viçosa
CCE - Departamento de Matemática
2a Prova de MAT 140 - Cálculo I - 2021I
Nome: Matŕıcula:
1a Questão (30 pontos) Calcule as derivadas das funções abaixo, nos pontos especificados:
a) f(x) = x ln(x2 + 1), x = 1
b) g(x) = arctg
(
e2x
)
, x = 1/2
1
2a Questão (15 pontos) Assumindo que a equação abaixo define implicitamente uma função
y = f(x), determine a reta tangente à curva definida pela equação, no ponto (1, 1).
x + xy = y3 + 1
3a Questão (15 pontos) Uma folha retangular com peŕımetro (ou seja, a soma dos comprimentos
dos 4 lados) de 36 cent́ımetros e dimensões x · y cent́ımetros quadrados será enrolada para formar
um cilindro, colando os lados opostos que medem x. Que valores de x e y fornecem o maior
volume?
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4a Questão (40 pontos) Esboce o gráfico da função f abaixo e encontre os objetos mencionados
nos itens:
f(x) =
x2 − 1
x2 + 1
e f ′′(x) =
4(1 − 3x2)
(x2 + 1)3
.
i) o domı́nio de f(x);
ii) os pontos cŕıticos de f ;
iii) os intervalos de crescimento e decrescimento de f ;
iv) os máximos e mı́nimos locais de f (se existirem);
v) a concavidade e os pontos de inflexão do gráfico de f (se existirem);
vi) as asśıntotas horizontais e verticais (se existirem).
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Questão Extra (10 pontos) Num tanque ciĺındrico vertical com 3 metros de raio na base bom-
beamos o ĺıquido para fora a uma taxa de 3000 litros por minuto. A que taxa o ńıvel de ĺıquido
diminui?
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UFV - Universidade Federal de Viçosa
CCE - Departamento de Matemática
2a Prova de MAT 140 - Cálculo I - 2021I
Nome: Matŕıcula:
1a Questão (30 pontos) Calcule as derivadas das funções abaixo, nos pontos especificados:
a) f(x) = arcsen
(√
1 + 2x
)
, x =
−1
4
b) g(x) = ln
(
e3xx2
)
, x = 2
1
2a Questão (15 pontos) Admitindo que a relação
ex + ey − 2xy = 10
defina y = f(x) implicitamente, calcule y′ = f ′(x).
3a Questão (15 pontos) Um terreno retangular com uma área de 2.700 metros quadrados deve
ser limitado por uma cerca, e uma outra cerca adicional deve ser usada para dividi-lo ao meio. O
custo da cerca do meio é R$12 por metro, e o da que percorre os lados é de R$18 por metro. Ache
as dimensões do terreno de modo que o custo das cercas seja mı́nimo.
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4a Questão (40 pontos) Seja f(x) =
x2
x− 1
. Sabendo que
f ′(x) =
x2 − 2x
(x− 1)2
e f ′′(x) =
2
(x− 1)3
,
verifique a fórmula de f ′ e faça o que se pede:
a) Descubra o domı́nio de f(x);
b) Encontre os pontos cŕıticos de f ;
c) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f ;
d) Encontre os máximos e mı́nimos locais de f (se existirem);
e) Estude a concavidade e descubra os pontos de inflexão do gráfico de f (se existirem);
f) Encontre as asśıntotas horizontais e verticais (se existirem);
g) Esboce o gráfico de f .
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Questão Extra (10 pontos) Uma pedra cai num lago. Ondas circulares se espalham e o raio
da região afetada aumenta a uma taxa de 16cm/s. Qual a taxa segundo a qual a região está
aumentado quando o raio for de 4cm?
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