(Projeto Euclides) Arnaldo Garcia_ Yves Lequain - Elementos de Álgebra-IMPA (2002)

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arnaldo garcia 
yves lequain 
 PROJETO A EUCLIDES
Prefácio 
Este livro evoluiu de notas de aula utilizadas num curso ofere- 
cido anualmente no IMPA. Foi escrito com a preocupação de poder 
ser utilizado como livro de referência num curso básico de Álgebra 
das universidades brasileiras. Não se faz uso de resultados que não 
sejam estabelecidos no texto. 
O livro está dividido em três partes. Os capítulos I, IH, III e 
IV podem ser adotados como texto de um curso sobre a teoria dos 
anéis, com algumas aplicações à teoria dos números e à geometria 
algébrica. Os capítulos 1, V, VI, VII podem ser adotados como 
texto de um curso sobre a teoria dos grupos. Os capítulos I, II, 
VIII, IX podem ser adotados como texto de um curso sobre a teoria 
dos módulos finitamente gerados sobre domínios euclidianos, com 
aplicações à teoria dos operadores lineares em espaços vetoriais de 
dimensão finita. 
Os exercícios são parte importante do livro. Alguns deles são 
integrados ao corpo do livro; eles estendem, desenvolvem e clarifi- 
cam idéias abordadas no texto e devem ser encarados como parte 
integrante deste. Outros são colocados no final dos capítulos. 
Grande contribuição foi dada pelas várias turmas de alunos do 
IMPA, através de perguntas, dúvidas e observações, e somos gratos 
por isto. Gostaríamos também de agradecer aos nossos colegas 
Nicolau Corção Saldanha e Carlos Gustavo Tamm Moreira pela 
apresentação de sugestões matemáticas importantes, e a Rogério 
Dias Trindade pelo excelente trabalho de composição e editoração 
eletrônica do texto deste livro. 
ARNALDO GARCIA 
YvESs LEQUAIN 
Rio de Janeiro, dezembro de 2001
Conteúdo 
DIVISAO E FATORAÇÃO EM ANÉIS 
Introdução ........ccccce erre 3 
CAPÍTULO I Anéis e Domínios 7 
[1 Definições e Exemplos .......icciiiiciiiciiic ir 7 
[2 Anéis de Polinômios .........cccciciiciiiiiiccc o 2.15 
[3 Domínios Euclidianos ........icccciicicicc cr 19 
[4 Homomorfismos de Anéis ........icciciiiiiicciccrra 30 
5 Exercícios ......cccciccic 34 
CAPÍTULO II Fatoração Única 39 
I.1 Definições e Exemplos .........ccciiciiiiicciicicees 39 
I.2 Fatoração em Domínios Noetherianos ................. 45 
H.3 Fatoração Única em Anéis de Polinômios ............. 54 
I.4 Exercícios .....ccciccccc er 65 
CAPÍTULO III Polinômios 71 
WI.1 Raízes e Fatores de um Polinômio ..........ccccc.... 11 
HI.2 Critérios de Irredutibilidade .......cccccccccccc 76 
HI.3 Resultante de dois Polinômios ........ccccccccici 84 
1.4 Polinômios Simétricos .....cccciciiciiticciscre er 97 
WI.o Teorema da Base de Hilbert ........cccccicccc 104 
WI.6 Exercícios ......ccccciiciic eee 107 
CAPÍTULO IV Aplicações 113 
IV.1 Somas de dois Quadrados .........ccciciiccicccc 113 
IV.2 Soluções Inteiras de Xº+Y2=Zº 119 
IV.3 Teorema de Bezout ......cciciciciiiccc cr 121 
IV.4 Exercícios ..cccicccl 129
GRUPOS 
CAPÍTULO V Teoria Básica dos Grupos 135 
V.1 Exemplos de Grupos ......ccccciiiciiii 135 
V.2 Subgrupos .......cccccccce ne 142 
V.3 Classes Laterais e Teorema de Lagrange ............. 147 
V.4 Subgrupos Normais e Grupos Quocientes ............ 152 
V.5 Homomorfismos de Grupos .........ccciicccccc 159 
V.6 Grupos Cíclicos ......ciicicciciicis cc 172 
V.7 Grupos Finitos Gerados por dois Elementos ......... 182 
V.8 Produto Direto de Grupos ..........ccccciiiiccc 197 
V.9 Produto Semidireto de Grupos ........cccccccii 200 
V.10 Grupos de Permutações .........ccciicccccciccci 218 
V.ll Exercícios ......cccccciciics cics 239 
CAPÍTULO VI Estudo de um Grupo via Represen- 
tações por Permutações 249 
VI.1 Representação de um Grupo por Permutações ...... 250 
VI.2 Teoremas de Sylow ........ccccccciiiiiiis crer 258 
VI.3 p-Grupos Finitos ........cccciiicccccc ee 266 
VI.4 Classificação dos Grupos Simples de Ordem < 60 ... 268 
VI.5 Classificação dos Grupos de Ordem < 15 ........... 275 
VI.6 Propriedades de A, e Às ......cciiiiiiiiciccre 280 
VI.7 Exercícios ......ccccicicic cera 285 
CAPÍTULO VII Grupos Solúveis 293 
VII.1 Teorema de Jordan-Hólder ........ccccccccc 293 
VII.2 Grupos Solúveis .....ccccicccccccic sa 300 
VII.3 Exercícios ...ccccccc 3504
MÓDULOS SOBRE DOMÍNIOS EUCLIDIANOS 
CAPÍTULO VIII Matrizes e Módulos Finita- 
mente Gerados 309 
VIII.1 Diagonalização de Matrizes ..........cicciccco. 309 
VIII.2 Módulos e Homomorfismos ............ccicccc. 318 
VIII.3 Submódulos de um Módulo Livre ................ 327 
VIII.4 Estrutura dos Módulos Finitamente Gerados ...... 332 
VIII.5S Exercícios ......ccccccc rr 338 
CAPÍTULO IX Aplicações 341 
IX.1 Estrutura dos Grupos Abelianos Finitamente Gerados 341 
IX.2 Forma Canônica de Jordan .......ccccccccc cc 342 
IX.3 Exercícios ....ccccccccciic rr err 348 
ÍNDICE ......cc 353 
NOTAÇÕES ...... 361
Introdução 
A verificação das afirmações seguintes sobre os números inteiros 
primos é imediata: 
2=1241º é soma de dois quadrados, 
3 não é soma de dois quadrados, 
5=922 41º é soma de dois quadrados, 
7 não é soma de dois quadrados, 
11 não é soma de dois quadrados, 
13=32 +42? é soma de dois quadrados, 
17 =4241? é soma de dois quadrados. 
Agora, observamos que 5, 13, 17 são números primos do tipo 4k+1, 
enquanto 3, 7, 11 são números primos do tipo 4k+3; ainda mais, se- 
ria fácil verificar que se p é um número primo ímpar qualquer menor 
do que, digamos 1000, então o primo p é soma de dois quadrados 
se ele é do tipo 4k + 1, e não é soma de dois quadrados se ele é do 
tipo 4k + 8. E então natural propor a seguinte conjectura: 
3
4 INTRODUÇÃO 
Conjectura: Um número primo p é soma de dois quadrados se e 
somente sep— 2 oup é do tipo 4k+4 1. 
Fermat (1606-1665) considerou esta conjectura e demonstrou a 
sua validade. À seguir, damos uma idéia do método que usaremos 
para uma demonstração. 
Primeiro, lembramos que se R é o conjunto dos números reais e 
C = R + Ri é o conjunto dos números complexos, a função norma 
N:C-R+R SR 
a+bi> (a+bi)(a — bi) 
preserva a multiplicação. De fato, se para todo a = att EC 
denotamos seu conjugado a — bi por à, então é imediato verificar 
que temos a) =a5,Va,8€C,e portanto que 
N(af) = af 08 = aaBf = N(o)N(8). 
de p é um número primo que é soma de dois quadrados, então 
p=aqº+b = (a+ibl(a-— ib) com a,b E Z, isto é, o primo p se 
fatora num produto de dois elementos de Zfil:= (r+Hiy | x,y E Z), 
cada um desses fatores tendo norma 1 (pois a norma é igual a 
a2+bº + 1). Reciprocamente, se um número primo p se fatora num 
produto de dois elementos de Zf[i| de normas * 1, então 
pv” =N(p)=NIa+riblc+rid]=N(a+ridN(c+id), 
isto é, temos p? = (a? + b?)(c? + d?).
INTRODUÇÃO 5 
Agora, 
po = (a? + b2)(cº + dê) 
1 + a +b EN > Do 
Lo 7 CrRen (Ut =p 
p primo 
isto é, o primo p é soma de dois quadrados. 
Assim, para um número primo p, obtivemos que: 
p é soma de dois quadrados de inteiros 
y 
p se fatora num produto de dois elementos de Z[i| de normas + 1. 
Em outras palavras, o problema de caracterizar os inteiros primos 
que são somas de dois quadrados é equivalente a um certo problema 
de fatoração no anel Zfi]. 
É via este caminho de fatoração em Zi] que vamos querer provar 
a validade desta “conjectura”. Para isto, naturalmente, devemos es- 
tudar o problema da fatoração em Z/i] e, em particular, o problema 
da fatoração única. 
É usual provar que o domínio Z tem a propriedade de fatoração 
única como consequência do teorema seguinte: 
Teorema. (Algoritmo da divisão em Z, de Euclides). 
Sejama,be Z, b+0. Então existem t,r E Z tais que 
a=bt+r com lIr|<l|bl. 
Assim é natural se perguntar se existe no domínio Zfi| uma 
noção de divisão com resto pequeno similar à divisão euclidiana 
em Z (veremos que SIM), e se esta noção de divisão implica a 
propriedade de fatoração única (veremos que SIM).
6 INTRODUÇÃO 
Aplicaremos também a propriedade de fatoração única do do- 
mínio Z|:| para determinar o conjunto de todas as soluções inteiras 
da equação Xº + Yº = Zº2. 
Um outro problema, básico é o de procuraras soluções de um sis- 
tema de equações polinomiais. Consideraremos aqui o caso particu- 
lar seguinte: dados dois polinômios f(X),g(X) E Z[X|, determinar 
se o sistema de equações 
o =0 
g(X) =0 
tem alguma solução. Veremos que este problema está relacionado 
com o problema da fatoração única no anel de polinômios Z[X]. 
Nos perguntaremos então se em Z/X] existe uma noção de divisão 
com resto pequeno similar à divisão euclidiana em Z (veremos que 
NÃO), e se o domínio Z[X] tem a propriedade de fatoração única 
(veremos que SIM).
Capítulo 1 
Anéis e Dominios 
1.1 Definições e Exemplos 
Na expressão do algoritmo de Euclides para Z, usamos o fato de Z 
possuir duas operações: a adição e a multiplicação. Uma tentativa 
de generalizar um tal algorítmo vai exigir trabalhar num conjunto 
D munido de duas operações que satisfazem algumas condições na- 
turais, condições estas satisfeitas pelas operações de Z. Isso nos 
leva à definição seguinte: 
Definição 1.1.1. Um anel ou anel comutativo (A, +,-) é um con- 
junto 4 com pelo menos dois elementos, munido de uma operação 
denotada por + (chamada adição) e de uma operação denotada 
por - (chamada multiplicação) que satisfazem as condições se- 
guintes: 
À.1) À adição é associativa, isto é, 
Vr,y,ze4A, (x+y)tz=2+(y+2). 
A.2) Existe um elemento neutro com respeito à adição, isto é, 
30€ A talque, VIrEA, 0+7x=%x e z4+0=7.
8 [CAP. |: ANÉIS E DOMÍNIOS 
A.3) Todo elemento de À possui um inverso com respeito à adição, 
Isto é, 
VzxE A, dz€ A talque z+z=0 e z+zx=0. 
A.4) À adição é comutativa, isto é, 
Vive A, tty=ytaga. 
M.1) A multiplicação é associativa, isto é, 
Ve,yzeA, (rxy)-z=r-(y-2). 
M.2) Existe um elemento neutro com respeito à multiplicação, isto 
4 
e, 
391€ À tal que, Vr E A, lzx=r e zrl=gz. 
M.3) A multiplicação é comutativa, isto é, 
YVI,VEÁ, Ly=y't. 
AM) À adição é distributiva relativamente à multiplicação, isto é, 
VL,y,zes, v(ytzg)=ry+r-a. 
Se todas as condições são satisfeitas com exceção de M.3), então 
(A,+,-) é chamado de anel não-comutativo. 
Nota: Muitas vezes deixaremos de indicar as operações do anel, 
escrevendo A para denotar um anel (A, +,-). Também, quando não 
existir ambiguidade, escreveremos ab no lugar de a - b.
ISEC. 1.1: DEFINIÇÕES E EXEMPLOS 9 
Observação 1.1.2. a) À condição A.2) garante a existência de um 
elemento neutro para a adição; é imediato verificar que realmente 
esse elemento neutro é único. De fato, se O e 0º são dois elementos 
neutros para a adição, temos 
0=0+4+0 pois 0" é elemento neutro 
= (0 pois O é elemento neutro. 
Esse único elemento neutro para a adição será chamado zero e de- 
notado por 0. 
Similarmente, existe um único elemento neutro para a multi- 
plicação. Ele será chamado um e denotado por 1. 
b) Dado x € 4, a condição A.3) garante a existência de um inverso 
para x com respeito à adição; é fácil verificar que esse inverso é 
único. De fato, se y e y são dois inversos de z com respeito à 
adição, temos: 
y=y+0 por A.2) 
=y+(z+y) pois y é inverso de x 
=(ytar)+y porÃ1) 
=0+y pois y é inverso de 1 
=y por A.2). 
Esse único inverso de x com respeito à adição será denotado 
por —g. 
c) O elemento neutro da adição O tem a seguinte propriedade: 
O-.x=0, VZzxeA. 
De fato, basta observar que 0-x = (0+0)x=0-x+0-4. 
Definição 1.1.3. Um anel (D,+, - ) é chamado domínio ou domí- 
nio de integridade se ele satisfaz a seguinte condição: 
M.4) O produto de quaisquer dois elementos não-nulos de D é um 
elemento não-nulo, isto é, 
Verve DIO, ryAo0.
10 [CAP. |: ANÉIS E DOMÍNIOS 
Um anel (K, +, -) é chamado corpo se ele satisfaz a seguinte condição: 
M.4') Todo elemento diferente de zero de K possui um inverso com 
respeito à multiplicação, isto é, 
Vrxe K40), dyekKtalquezx-y=1. 
Observação 1.1.4. a) Se x 4 O é um elemento de um domínio D 
ey,2 € D, então 
ry=T:2 > y=az (verifique). 
b) Dado x E K, x £ 0, a condição M.4') garante a existência de 
um inverso com respeito à multiplicação; é fácil verificar que esse 
inverso é único. De fato, se y e y' são dois inversos de x com respeito 
à multiplicação, temos: y=yl=y(zx-y)=(yr)-y=ly=y. 
Denotaremos por x”! este inverso multiplicativo. 
c) O axioma M.4”) é mais forte que o axioma M.4) (Verifique). 
Logo, em particular, um corpo é um domínio. 
d) Todo domínio D com um número finito de elementos é um corpo. 
De fato, para x € D, x É 0, considere o conjunto (x” | n E NJ. 
Pela finitude de D existem dois inteiros n; < n tais que 7"! = q”; 
portanto x: 7"? "17! = 1 e o elemento x possui um inverso. 
Exemplo 1.1.5. Nos seis primeiros exemplos que seguem, + denota 
a adição usual em C e - denota a multiplicação usual em C. 
a) (Z,+,-) é um domínio. 
b) (Q,+,:), (R,+,:), (C, +,-) são corpos. 
c) Seja Zlil = fa+bi la, be Z+. Então (Zlil, +,-) é um domínio 
chamado anel dos inteiros de Gauss. 
d) Ia+by3]abe Z), +, )e(fa+biv3|a,be Z),+,-) são 
domínios. 
e) Mais geralmente, se n é um inteiro positivo, temos então que 
fa+by/nlabeZh+, )e(fa+biyn|a,be Z),+,:) são 
domínios.
ISEC. |.1: DEFINIÇÕES E EXEMPLOS 11 
f) fa+bi | a,b E Q) é um corpo; na procura de um inverso 
multiplicativo para a + bi, lembre-se que (a + bi)(a — bi) = 
a2 + b? E Q. Esse corpo será denotado por Q(i). 
g) Dados dois anéis (Ari, do) e (42, +55), podemos construir 
1 2 
um novo anel da maneira seguinte: definimos no conjunto 
Ay x Ay:= [(03,02); q E Aj,as E As) as operações: 
(01,02) + (04,05) := (ay + al, aa + db) 
(a1,42) , (01,45) = (a 01,0 > ay). 
É rotina verificar que (4; x A5,+,:) é um anel, chamado 
produto direto de À; com As, onde o elemento neutro com 
respeito à adição é (04,, 04,) e o elemento neutro com respeito 
à multiplicação é (1a,, 14). 
h) Mais geralmente, dados r anéis (A,, +, ), (A, +,:), de 
1 rr 
fina a noção de produto direto 4, x --- x À,. 
i) Se f:R >» Reg:R — R são duas funções de R em R, 
definimos: 
fog: R = R 
To fax)+g(x) 
fog: R => R 
To fa) g(g). 
Então ((funções de R em R+, &,0) é um anel comutativo com 
unidade, mas não é um domínio. 
j) Seja M,xn(R) o conjunto das matrizes n xn com entradas em 
R:; sejam + a adição usual de matrizes e - a multiplicação 
usual de matrizes. Então, (M,xn(IR), +,:) é um anel não- 
comutativo se n > 2. 
Exercício 1.1.6. Mostre que se no Exemplo e) acima substituimos 
o anel dos inteiros Z pelo corpo dos números racionais Q (i.e., se 
tomamos a,b € Q), então obtemos corpos.
12 [CAP. |: ANÉIS E DOMÍNIOS 
Exemplo 1.1.7. (Anel dos inteiros módulo n). 
Seja n um inteiro positivo. Sobre Z, definimos a relação = da 
8 
|| 
maneira seguinte: para a,b € Z, 
a=b > a-bé um múltiplo de n. 
n 
Em vez de escrever a = b, escreve-se também a = b(modn) e 
n 
diz-se que a é côngruo a b módulo n. 
E imediato verificar que = é uma relação de equivalência, isto é, 
a = 
n 
a=b>b=a 
nr n 
a=bb=c>aze. 
n n n 
Se a € Z, então, por definição, sua classe de equivalência módulo o 
inteiro n consiste no conjunto (b € Z; b = ab, i.e., no subconjunto 
n 
fa + kn;k € Z!. ela será denotada por à ou a + nZ. Denotaremos 
por Z/nZ o conjunto das classes de equivalência módulo n; é claro 
que Z/nZ = 10,1,...,n— 1h. 
Sobre Z/nZ, definimos duas operações: 
PD: Z/nZ x Z/nZ — ZjnZ 
(7,9) — T+y 
 
O: Z/nZ x ZnZ — ZlnZ 
n 
(7,9) > Ty. 
Note que Z representa uma classe de equivalência, classe esta 
que admite outras representações 7º (com x — xº = kn para algum 
k e Z). Similarmente, a classe de equivalência y tem várias repre- 
sentações. E necessário verificar que nossas definições das operações 
& e O são boas no sentido do resultado não depender da escolha 
n n 
das representações das classes de equivalências; de maneira precisa,
[SEC. 1.1: DEFINIÇÕES E EXEMPLOS 13 
é necessário verificar que 
 
 t=% 
vEy > r+ty=r+y e Ty=uy, 
s I
J 
s 
Il) 
isto é, deve-se verificar que 
x! z 
phstusa+r e Ty = ay. 
s
i
s
 
II 
Deixamos essa verificação ao leitor. 
Veremos agora que (Z/nZ, &, O) é um anel onde: 
n mn 
o elementoneutro para €& é a classe 0 
n 
o elemento neutro para O é a classe 1 
n 
o inverso de Z com respeito à operação & éaclasse —gz. 
n 
Verificamos que o axioma A.1) é satisfeito, isto é, 
vz,9,2€Z/nZ, (1O)Dz=7O(7O2). 
mn n n n 
Com efeito, temos: 
1OWBZ | 8]
 
+ S D W por definição de & 
=(rx+y)+z por definição de & 
n 
(y + 2) pois + é associativa em Z 
 
+ 2) por definição de & 
=TI0(yOZ) por definição de €. 
Deixamos como exercício a verificação dos outros axiomas. 
O anel (Z/nZ, 2,0) se chama o anel dos inteiros módulo n. 
n mn
14 [CAP. |: ANÉIS E DOMÍNIOS 
Definição 1.1.8. Seja (4,+,-) um anel e seja 1 um subconjunto 
não-vazio de 4. Dizemos que Í é um ideal de À se 
o cv+yETl, Va,yel 
e axel, Vrxel, Vac A. 
Exemplo 1.1.9. a) Seja n > 0 um inteiro. Claramente, o subcon- 
junto nZ := fzn | z € ZJ é um ideal do anel dos inteiros. 
b) Mais geralmente, seja (4,+,-) um anel e sejam q,..., 0 
elementos do anel 4. Então, claramente, o subconjunto 
Aa + ecc + Aa; — tao ++ aa; | 01,...,0 E Ab é um 
ideal de (A, +,:) que será denotado por (a4,..., ay). 
O conceito de ideal permite fazer uma construção totalmente 
análoga à construção do anel (Z/nZ, &, O) dos inteiros módulo n: 
nm 
Exemplo 1.1.10. (Anel quociente módulo um ideal). 
Sejam (A, +,-) um anel e 7 um ideal de A. Sobre 4, definimos 
a relação de congruência (mod 1): paraa,be À, 
a=b(mod!) & a-bel. 
É imediato verificar que esta relação é uma relação de equivalência. 
de a € À, então por definição, sua classe de equivalência módulo f 
consiste no subconjunto (b E A; b = a(mod 1)), isto é, no subcon- 
junto (a+c; c€ T); ela será denotada por à ou a+1. Denotaremos 
por A/I o conjunto das classes de equivalência módulo 1. Sobre este 
conjunto A/T, definimos duas operações o e O da maneira seguinte: 
para T,y E A/I, 
 
TOVI=THY e TOVI=T:). 
Deixamos ao leitor a tarefa de verificar que as operações € e O 
Io TI 
estão bem definidas e que (A/I, O, 2) é um anel, chamado de anel 
quociente de A módulo T.
[SEC. 1.2: ANÉIS DE POLINÔMIOS 15 
I.2 Anéis de Polinômios 
Seja (4, +, -) um anel. Um polinômio numa variável sobre A é uma 
sequência (ao, a1,...,Gn,..- ), onde a; E À para todo índice e onde 
a; + O somente para um número finito de índices. 
Seja 4 = (polinômios numa variável sobre A+. No conjunto A, 
definimos as operações seguintes: 
B: Ax A — A 
(a0,01,..-); (bo,br,...) H5> (ao + bo,a1 + br,...) 
C: Ax A — A 
(ao,01,...), (bo,br,...) + (Co, C1,--.) 
onde 
Co = G0b0 
Cy =— a001 + a1b 
Cn — agbr + Q10n-1 + 49bn-2 +: +an-by + Ando 
Deixamos ao leitor a verificação de que (4,6,0) é um 
anel onde: 
e o elemento neutro de & é o elemento (0,0,0,...) 
e o elemento neutro de O é o elemento (1,0,0,...) 
e o inverso de (a9,01,...,Gn,... ) com respeito à operação O é 
o elemento (—ao, —01,...,—Qn,...). 
Observe que a multiplicação de 4 é comutativa pois a multi- 
plicação de 4 é comutativa. 
Se (ao, 44, . .. ) é um elemento de 4, então o símbolo (ag, a1,...)” 
designará o elemento 
(a9,01,...)O (a9,01,... JO: O(a9,01,...). 
Num 
a A 
n vezes
16 [CAP. |: ANÉIS E DOMÍNIOS 
Usando as definições de & e O, é fácil ver que 
(0,...,0, 0n,0,0,0,...) = (0,,0,0,...)0(0,...,0,1,0,0,...) 
(e Ne (ee, 
lugar n+4 1 lugar n + 1 
e que 
(0,...,0,1,0,0,...) = (0,1,0,0,...)”. 
4 eee e, 
lugar n+ 1 
Portanto 
(00,01,...,0n,0,0,...)= (9,0,0,...) 
& [(01,0,0,...)0 (0,1,0,0,...)] 
& [(a5,0,0,...)0(0,1,0,0,...)7 
PD... 
& |(a,,0,0,...)0(0,1,0,0,...)"]. 
Por razões de ordem prática, vamos utilizar o símbolo X para 
designar o elemento (0,1,0,...). Também, no lugar de escrever 
(a;,0,0,...), vamos escrever a;; assim, o símbolo a; vai ser usado 
para designar duas coisas distintas: o elemento a; de 4 e o elemento 
(a;,0,0,...) de 4; no entanto, isto não vai criar confusão. Final- 
mente, no lugar de escrever & e O, vamos escrever + e -; assim, O 
símbolo + (respectivamente o símbolo -) será usado para designar 
duas coisas distintas: a adição de 4 e a adição de 4 (respectiva- 
mente a multiplicação de 4 e a multiplicação de 4); no entanto, isto 
também não vai criar confusão. Com essas convenções, o elemento 
(a0,01,...,0n,0,...) é igual à soma aq + a X +-:-+a,X”, onde 
a;X" designa a; - X'. Vai ser conveniente representar o elemento 
(09,01,..-,0n,0,...) pela expressão ag + a X +---+aX”; então 
n 
A = [Da nencacA! 
i=0 
c as operações deste anel são simplesmente as operações com as 
quais todo mundo está acostumado. Vamos denotar o anel (4, +,-) 
por A[X|, e chamá-lo de anel de polinômios numa variável sobre A.
[SEC. 1.2: ANÉIS DE POLINÔMIOS 17 
Definição 1.2.1. Seja A um aneleseja H(X):= ao +taX+---+ 
anX” E A[X| com a, £ 0. O inteiro n se chama o grau de f(X). 
O coeficiente a, se chama o coeficiente líder de f(X). Quando o 
coeficiente líder for igual a 1, o polinômio é dito mônico. 
Observe que não definimos a noção de grau para o polinômio 
nulo. 
Exercício 1.2.2. 1) Sejam 4 um anele f(X),g(X) E AX] 1 10h. 
a) Mostre que se À é um domínio, então 
grau(f(X) -g(X)) = grau f(X) + grau g(X). 
b) Mostre que A[X] é um domínio se e somente se 4 é um 
domínio. 
2) Dê um exemplo de um anel e de polinômios f(X) e g(X) que 
não satisfazem a igualdade acima. 
Por indução, podemos definir o anel de polinômios em k variá- 
veis sobre o anel A do modo seguinte: 
AX, X6] = (AX, 0 Xe DIXA. 
Olhamos mais de perto o caso k = 2. Por definição, A/X1, X5] = 
(A|X1|)[X5]: logo um elemento qualquer do anel A/X,, X5] é do tipo 
((a00, 401,-::50,...),. o, (0n0,0n1,.::40,...,),(0,0,...),...) 
com Ci E ÁÃ, V t, 9. 
Note que o elemento ((0,1,0,...),(0,0,...),...) é representado por 
X, eo elemento ((0,0,...),(1,0,...),(0,0,...),... ) é representado 
por X,. Não é mais um luxo utilizar esses símbolos X, e X5. Com 
eles, o elemento qualquer acima se escreve como 
ao(X1) + a (X1) . Xo +. + 
An(X1) . X>,
18 [CAP. |: ANÉIS E DOMÍNIOS 
onde 
ag(X1) = 00 + Goi X1 + ago Xf +... 
a(X1) = 0 + aà + ao X* +... 
An(X1) = no + Ani X1 + Ano X? +... 
Utilizando a comutatividade e a distributividade no anel 
A|[X1, X5], podemos escrever um mesmo elemento de diversas ma- 
neiras. Por exemplo: 
ArXD)+(3+42X, +2X5X + (Xi — 2X DX? 
= (1 43X) + (2X, + X9)X + (1— 2X9) X7 + (2X9)X; 
= (1) + (3X) + (X2 + 2X X9) + (Xi XP) + (QXÊX, — 2X2 XD). 
Observe que na primeira linha os termos estão arranjados de 
modo a ter potências de X, com coeficientes em A/X,]; na segunda 
linha, eles estão arranjados de modo a ter potências de X, com coe- 
ficientes em A/X,); na terceira linha, os termos de mesmo grau estão 
agrupados (o grau de um termo Xi X7 é definido como sendo i + 5). 
Dependendo do problema considerado, pode ser mais conveniente 
usar uma ou outra das representações. 
Observação 1.2.3. Dado f(X) = Si ouX' E A[X], podemos 
considerar a função polinomial associada f : AS A, definida por 
f (0) = 3 qua. É bom observar que um polinômio diferente de 
zero pode ter a função identicamente nula como função polinomial 
associada; esse é o caso com H(X):=1.X+1.X? e (Z/22)|X] 
pois 
a
l
 
O
l
 No
 
| 
p
a
 
O
I
 
+ . 
“co Vo 
+ 1. +1=0. 
No entanto, veremos mais tarde que isto não pode ocorrer se À é 
um domínio com um número infinito de elementos.
[SEC. 1.3: DOMÍNIOS EUCLIDIANOS 19 
I.3 Domínios Euclidianos 
Essencialmente o algorítmo de Euclides diz que em Z podemos fazer 
a divisão de um elemento a por um elemento b obtendo um “resto 
pequeno”, ou mais precisamente, um resto cujo valor absoluto é 
menor do que o valor absoluto de b. É essa idéia que queremos 
generalizar. Para isso, precisamos então de um conjunto com duas 
operações (adição e multiplicação) e uma maneira de “medir” se 
um elemento do conjunto é menor do que um outro. Um domínio 
euclidiano será um domínio no qual existe um algoritmo similar ao 
algorítmo de Euclides. 
Definição 1.3.1. Um domínio euclidiano (D, +,-,) é um domínio 
de integridade (D, +,:) com uma função 
p: DIO, >N=(0,1,2,...) 
que satisfaz as propriedadesseguintes: 
|) Va,be D,b%0, existem t,r € D tais que 
p(r) < p(b) 
a=bt+r com | 
our =0. 
2) pla) < (ab), Va,be DIO). 
Observação 1.3.2. a) Dados dois elementos « £ 0, 8 + O de um 
domínio euclidiano (D,+,-,y), nós os comparamos, via a função 
y, em N com a ordem usual. É claro que poderíamos fazer isso 
com uma função p: DA 410+ — S onde S seria um conjunto total- 
mente ordenado qualquer no lugar de N; assim, teríamos uma noção 
de divisão com resto nesses domínios também. Além disso, se su- 
pusermos a condição mais forte que S seja bem ordenado, isto é, que 
todo subconjunto não vazio de S tem um menor elemento (N com a 
ordem usual é bem ordenado), então todas as propriedades que va- 
mos provar para os domínios euclidianos seriam também satisfeitas.
20 [CAP. |: ANÉIS E DOMÍNIOS 
Por isso, vários autores dão uma definição de anel euclidiano usan- 
do uma função y: DA 404 — S com S conjunto bem ordenado 
qualquer no lugar de N com a ordem usual [vide P. Samuel, About 
Euclidean Rings, Journal of Algebra 19 (1971), 282-301). No en- 
tanto, não se sabe se, com essa definição mais geral, tem-se uma 
classe maior de domínios. 
b) Na definição de domínios euclidianos exigimos que a função y 
satisfizesse a condição pouco natural p(a) < (ab), Va,be DO). 
Essa exigência é puramente técnica; ela vai permitir simplificar as 
provas dos teoremas. É bom notar que essa exigência não restringe 
nossa definição de domínio euclidiano; de fato, é possível mostrar 
que se existe uma função y que satisfaz a condição 1), então existe 
também uma função 1 que satisfaz as duas condições 1) e 2) [vide 
P. Samuel, artigo acima citado, p. 284]. 
c) Nesse mesmo artigo, P. Samuel generaliza o conceito “euclidiano” 
para anéis que não são necessariamente domínios. 
Agora vamos provar alguns teoremas que fornecem exemplos im- 
portantes de domínios euclidianos. Em cada caso, consideraremos 
o problema do cálculo efetivo e da unicidade do quociente e do resto 
da divisão de um elemento por outro. 
Teorema 1.3.3. (Algoritmo de Euclides para Z). 
Sega | |: Z — Na função valor absoluto. Então: 
(1) (Z,+,:,| |) é um domínio euclidiano, isto é, 
o (Z,+,:) éum domínio, 
e Va,be Z, b+0, existemt,r E Z tais que 
ri <b) 
our =0 
9 
a=bt+4r com | 
e Va,be Z 110), lal< |abl.
[SEC. 1.3: DOMÍNIOS EUCLIDIANOS 21 
(ii) Tais elementos t er podem ser efetivamente calculados. 
(iii.1) Em geral, tais inteiros t er não são únicos. 
(11.2) E sempre possível escolher r > 0, e isso de maneira única. 
DEMONSTRAÇÃO. (i)e (ii): Que (Z, +, -) é um domínio, já foi visto. 
Se be Z 1 10), temos |b| > 1, e consequentemente 
al<lalbl=|abl, VaezZ. 
Agora, sejam a,b e Z, b + O. Procuramos elementos ter e Z 
tais que a = bt +r com r “pequeno” e positivo (afim de obter 
(111.2)), isto é, procuramos t € Z tal que a — bt seja “pequeno” e 
positivo. 
Vejamos a idéia da prova no caso b > 0 ea > 0. Neste caso, 
temos b > 1 e existe um único inteiro t tal que 
tb<a e (t+lb>a. 
 
tb (t+ Wo 
O ] D a 
*——— x 
Não-nulo 
Observe que este inteiro t é necessariamente tal que O < t < 
a, de modo que calculando 06, 1b,2b,...,ab, vamos efetivamente 
encontrá-lo. Tome r = a — tb (que pode ser efetivamente calculado 
pois a e b são dados e t foi calculado); temos a = bt+r com r > 0; 
além disto, de (t+ 1)b > a, obtemos |r|=r = a —tb<b= ||. 
Os outros casos podem ser tratados de maneira similar (veri- 
fique!). É possível formalizar uma prova que cobre todos os casos 
de uma vez; tente se quiser. 
Tratamos agora o problema da unicidade. Se existem elementos 
tiTrito,ro E Z tals que 
O<r;<|b 
a=bt,y+4r,=bto+ro com 1 1 2 2 Doro
22 [CAP. |: ANÉIS E DOMÍNIOS 
então temos |b||ti—ta| = |b(ti—to)| = |r2—ri| < |bl, logo |tiy—ta| = O 
e portanto, tt = toe 7; =r9. Falta agora verificar (iii.1). Podemos 
escrever 
3=2:141 (t=1,r=1) 
3=2.94(1D) (t=27r=01), 
isto é, temos duas possibilidades para a divisão de 3 por 2. [] 
Vamos aplicar o Teorema 1.3.3 no estudo dos ideais de (Z, +, -). 
DETERMINAÇÃO DE TODOS OS IDEAIS DE (Z, +, -). 
É imediato verificar que os subconjuntos de Z da forma nZ 
com n > 0 são ideais de (Z, +,-). Veremos agora que todo ideal 
de Z é dessa forma. Seja 1 um ideal qualquer de (Z,+,-). Se 
I = (0), então 1 = 0Z. Podemos então supor que 1 < (0). Seja 
n:= mintx € T; x > 0+. Claramente, 7 O nZ. Reciprocamente, 
seja h € TI; pelo algorítmo de Euclides, temos A = qn +r com 
O <7r <n; como he n pertencem ao ideal T, o inteiro r pertence a 
I também; pela minimalidade de n temos 
rel = r=0 
O<r<n o 
e portanto A — gn, ou seja À E nZ. Logo [ — nZ. 
Exercício 1.3.4. Sejam a,b e Ze do Maior Divisor Comum deles. 
Já que Za + Zb é um ideal de (Z,+,-), então, pelo visto acima, 
existe n > 0 tal que Za + Zb = Zn. Mostre que d = n e portanto 
que existem e, f € Z tais que ea + fb = d. 
Observação 1.3.5. Seja py um número primo. Já sabemos que 
(Z/pZ, &,O) é um anel. Mostraremos agora que, p sendo primo, 
pp 
(Z/pZ, OD, O) é um corpo, isto é, mostraremos que: 
p Pp 
[a Vac(Z/pZ)N140%, aIbeZ/pZtal qeaob-1-boa. 
Pp p
[SEC. 1.3: DOMÍNIOS EUCLIDIANOS 23 
Tome a € à. Como à % 0, o inteiro a não é um múltipo de p; então, 
já que p é primo, « e p são primos entre si, e consequentemente pelo 
exercício anterior 
db,ce Z taisque batcp=1. 
Considerando as classes de equivalência módulo p, obtemos: 
db,ceZ taisque ba+cp=1; 
logo, 
 
1 + boa=(boa)s0-bage=ba+cp 
p p p p 
Como a multiplicação é comutativa, temos também a O b = 1. 
p 
Observação 1.3.6. 4 função N:Z —> N, N(a) = q?, é tal que 
N(a) < N(ab), Va,be ZN 40]; além disso, N(r) = 7º < b” = N(b) 
se e só se |r| < |b|. Assim, no Teorema 1.3.3, poderíamos ter usado 
essa função N no lugar da função | |, e temos que (Z, +,:, N) é um 
domínio euclidiano. 
Essa função N é a restrição a Z da função norma 
N:C=R4AR > R 
a+bi — (a+bi)(a — bi). 
À função norma que, como vimos na Introdução preserva a mul- 
tiplicação, será usada de novo no teorema seguinte. 
Teorema 1.3.7. Seja Zlil = Z + Zi o anel dos inteiros de Gauss. 
Seja N: Z[i] >N, N(a+bi) = a? +b?, a função norma. Então: 
(1) (Zhi], +,:,N) é um domínio euclidiano, isto é, 
e (Zlil,+,:) é um domínio, 
e Vo,,€EZlil, 80, existemt,r € Zli] tais que 
Nr) < N(6) 
our =0 
a=bBt+r com |
24 [CAP. |: ANÉIS E DOMÍNIOS 
e Vo,BEZINIOS, N(o)< N(aB). 
(11) Tais elementos t er podem ser efetivamente calculados. 
(11) Em geral, tais elementos t er não são únicos. 
DEMONSTRAÇÃO. (1) e (ii). Já foi visto que (Zlil, +,-) é um domí- 
nio. 
SeB=c+di e Zlil, 8 0, temos N(8) = e + d? £0, logo 
N(8) >1 (já que N(5) é um inteiro positivo), e consequentemente 
N(c) < Nía) - N(8) = N(a(f). 
Agora vejamos a divisão: 
Sejam «,8 e Zh) CC, 6 + 0. Digamos que a =a+bie 
8 =c+di com a,b,c,d E Z. Procuramos dois elementos t,r € Zi] 
tais que a = 8t+r com N(r) < N(8), isto é, procuramos um 
elemento t E Zfi] tal que 
N(a— Bt) < N(B) 
isto é, procuramos t € Z[i] tal que N s — t) < 1. Como SEC = 
R + Ri, existem x,y E R tais que 3 — x + iy. Afirmamos que x e 
y podem ser efetivamente calculados, e pertencem a Q. De fato, 
1 1 c— di C do. 
— ]D—>————— |TDT———T+ |>——— í————1 
BB ctdi ecer+do cC4r+d ce+d?! 
logo, 
1 c é ac+bd be-—ad. 
orgao) (5 ” si) “ora tara! OO
[SEC. 1.3: DOMÍNIOS EUCLIDIANOS 209 
Agora, escolhemos 
eEZtalque|r-—el<s 
feZ tal que |y — f| < 1 3º 
É claro que, x e y sendo efetivamente calculáveis, tais elementos 
ee f podem ser efetivamente computados. Tomando t = e+ if, 
temos 
v(5-*) — N((x +iy) — (e +1f)) 
= N((r —e)+ily— 1) 
-(2-P+(y- 1) < (1) +(5) cio 
Logo o elemento t = e + 1f satisfaz a propriedade desejada. Além 
disso, o elemento t é efetivamente calculado. Naturalmente, o ele- 
mento r = a — Bt é efetivamente calculado também. 
(11) Tais t e 7 não são únicos em geral pois, de novo temos 
isto é, temos duas possibilidades para a divisão de 3 por 2. [] 
Finalmente, damos um exemplo de domínio euclidiano com anéis 
de polinômios. 
Teorema 1.3.8.Seja (K,+,-) um corpo e seja K|X|] o anel de 
polinômios numa variável sobre K. Seja grau: K|X|N (0 > N a 
função grau. Então: 
(1) (KI[X], grau) é um domínio euclidiano, isto é: 
e K|X| é um domínio.
26 [CAP. |: ANÉIS E DOMÍNIOS 
e VHX,g(X) e HIX,g(X) + O, existem polinômios 
UX), r(X) E KIX] tais que 
— r com (SEE (ÃO) < grau gt) FX) = 9(X) 4X) + r(X) us 
e VHX), 9(X) E KIX] NO), grau f(X) < grau(f(X)9(X)). 
(11) Tais polinômios t(X) er(X) podem ser efetivamente caleula- 
dos. 
(ii) Tais polinômios t(X) er(X) são unicamente determinados. 
Agora, observando que todo elemento não-nulo de um corpo 
é invertível, isto é, possui inverso com respeito à multiplicação, 
obtemos o Teorema 1.3.8 como consequência da seguinte proposição 
um pouco mais geral. 
Proposição 1.3.9. Sejam (R,+,:) um anel e R(X] o anel de poli- 
nômios numa variável sobre R. Seja H(X) E RIX| um polinômio e 
seja g(X) E R[X] um polinômio cujo coeficiente líder é invertível 
em R. Então, 
(1) Existem t(X),r(X) E R[X] tais que 
grau r(X) < grau g(X) 
TM) = 96X) -H(0) + r(Ã) com o r(X) = 0. 
(11) Tais polinômios t(X) er(X) podem ser efetivamente calcula- 
dos. 
(iii) Tais polinômios t(X) er(X) são unicamente determinados. 
À demonstração da Proposição 1.3.9 generaliza o processo usual 
da divisão de polinômios que exibimos no seguinte exemplo concreto
[SEC. 1.3: DOMÍNIOS EUCLIDIANOS 27 
 
 
 
 
em Z/X!: 
HX) =2Xº+3Xº4+0X2+2X +41 -Xº — 5 =9(X) 
—(2Xº +0Xº+10Xº 5) —-2Xº - 3X +10 =X) 
H(X) = 3Xº — 10X2 +2X 41 
—(38Xº +0X2 +15X ) 
f(X) = —-10Xº — 13X +1 
—(—10Xº + 0X — 50) 
r(X) = —13X +51 
Assim, obtemos que 
2X* +3Xº+2X4+1=(-Xº-5)(-2Xº -3X +10) +(-13X +51), 
onde 
grau(—-13X +51) =1<2=grau(>-Xº — 5). 
DEMONSTRAÇÃO DA PROPOSIÇÃO 1.3.9: (i) e (ii). Se f(X) = 
ou se grau f(X) < grau g(X), acabou: tome (X) = De r(X mo 
F(X). Se grau f(X) > grau g(X) = m, escreva f(X) = a, X” + 
-+acomn>2mea, £O0,e escreva (X) = baX” +... +bo. 
Fela hipótese, o coeticiente líder bm de g(X) é invertível em R, logo 
> € Re portanto ; EE An X"O " € R(X]; observe que ; On XT m é 
exatamente O volinôrmio pelo qual se precisa multiplicar o primeiro 
termo de g(X) para se obter o primeiro termo de f(X). Temos 
então 
FOO = ra X"M9(X) 
m 
nOm- - nb o - (ar 25 Dri esod (anom — x m 4 
chame isso de A(X)ER[X] 
 
e HX) — (X)panX"” + A(X). Observe que À Un € f(X) 
foram efetivamente calculados.
28 [CAP. |: ANÉIS E DOMÍNIOS 
de fi(X) = O ou se grau f(X) < grau g(X) = m, acabou: 
tome t(X) = An X"M er(X)= f(X). Sep=grau A(X)>m, 
repita o processo com fi(X) e g(X) no lugar de f(X) e g(X), isto 
é,escreva f(X)=cXº+--.+cocomn-1>p>mec&O,e 
tome fo(X) = f(X) — Cp XP g(X); temos então 
1 mod em 100 = 900) | an XT + ep XP] + fo(X), 
com Br Un, po Cp, fo(X) efetivamente calculáveis. 
Se f(X) = 0 ou se grau fo(X) < m, acabou: tome t(X) = 
5 An XT Aco XP er(X) = fo(X). Segrau fo(X) > m, repita 
o processo. Como grau f(X) > grau A(X) > grau f(X) > ..., 
obtemos depois de um número finito de passos um polinômio f;(X) 
nulo ou de grau menor que m. Tome r(X) = f(X). 
(111) Se existem polinômios t;(X),rm(X),to(X),ro(X) e R[X] tais 
que 
f — gt + Ty = g
to + ro com s
rau mM « grau g 
(ou "4 =— 0) 
grauro <graug (our, =0), 
então g(X) - [t(X) — ta(X)) = ra(X) — m(X). Suponha que o 
polinômio t;(X) — t5(X) seja não-nulo; temos então 
grau(ra(X) — m(X)) = grau(g(X) - [th (X) — to(X))) 
= graug(X) + grau(ti(X) — to(X)), 
onde a última igualdade acima decorre da hipótese que o coefi- 
ciente do termo de maior grau de g(X) é invertível em R; assim, 
grau(ro(X) — ri(X)) > graug(X), o que é absurdo pois temos 
grau(ro(X) — ri(X)) < maxtgrauri(X), grauro(X)+ < graug(X). 
[] 
Exercício 1.3.10. Seja (T,+,:) um anel. Seja R € T um sub- 
conjunto tal que (R,+,-) é um anel. Seja f(X) E R|X) e seja
ISEC. 1.3: DOMÍNIOS EUCLIDIANOS 29 
g(X) € R[X] um polinômio cujo coeficiente líder é invertível em R. 
Sejam t(X) er(X) E T|X! tais que 
graur(X) < graug(X) FX) = 90X) HM) + r(X) com [E 0-0 
Mostre que (X) er(X) E RX]. 
Observação 1.3.11. a) Se K é um corpo, vimos que (K[X], grau) é 
um domínio euclidiano; na prova dada, se usou de maneira essencial 
que b é invertível, Vb e K 1 (0+. O domínio Z não é um corpo; é 
natural perguntar se, usando uma prova diferente, seria possível 
mostrar que Z/X| é um domínio euclidiano com a função grau ou 
com alguma outra função. Veremos um pouco mais tarde que a 
resposta é NÃO; de fato, dado um domínio D, veremos que D[XT 
é euclidiano para alguma função y (se e) só se D é um corpo. 
b) Se K é um corpo, vimos que (K[X], grau) é um domínio euclidi- 
ano no qual a divisão é única; é fácil mostrar que (K, função identi- 
camente nula) é um domínio euclidiano com a mesma propriedade. 
É possível mostrar que esses são os únicos domínios euclidianos 
onde a divisão é única; uma prova pode ser encontrada em M.A. 
Jodeit, Uniqueness in the division algorithm, American Math. Soc. 
Monthly 74 (1967), p. 835-836 ou em Picavet, Caracterization de 
certains types d'anneauz euclidiens, Enseignement Mathématique 
18 (1972), p. 245-254. 
c) Não é difícil mostrar que (Z, | |) é um domínio euclidiano tal que, 
Va,be Z,b + O, a não-múltiplo de b, existem exatamente dois pares 
(t,r) distintos tais que a = bt +r (verifique!). É possível mostrar 
que (Z, | |) é o único domínio euclidiano com essa propriedade; uma 
prova pode ser encontrada em S. Galovich, A characterization of the 
integers among Euclidean domains, American Math. Soc. Monthly 
89 (1978), 9572-575.
30 [CAP. |: ANÉIS E DOMÍNIOS 
I.4 Homomorfismos de Anéis 
Definição 1.4.1. Sejam (4,+,-)e (B.6,0) dois anéis. Uma apli- 
cação f: A > B é um homomorfismo se ela é compatível com as 
estruturas de anéis, isto é, se 
Dfr+ry=foeofy), Vives. 
(1) Fr-m=H0)0 fly), Vive A. 
(ii) f(14) = lp. 
Exemplo 1.4.2. a) Id: (4,+,:) > (4,+,-), dado por Id(a) = a, 
Va€e À, é um homomorfismo chamado identidade. 
b) E:(4,+,:) > (B,8,0), definido por E(a) = Op, Va € À, é 
uma aplicação satisfazendo (1) e (ii) mas não (iii). 
c) Se 1 é um ideal do anel (A, +, -), então py: (A, +,:) — (A/I, O, O), 
definido por y(a) = a 4 I, Ya € 4, é um homomorfismo chamado 
homomorfismo canônico ou projeção canônica. 
d) Se (B,€,0) é um anel, então p: (Z,+,:) — (B,€,0) definido 
por 
p(n) =1,01,0---Ols Yn>o, ee eee” 
p(-n) =(-Io)6(-1Io)O: O (lg) Yn>0, 
É 
NA 
n vezes 
é um homomorfismo. Verifique que ele é o único homomorfismo de 
(Z, +, ) em (B, D, O). 
e) Se (41, +5:); s(A,,+,-) são anéis, ese (A, x... x A,,+,:) é 
1 Tr” 
o produto direto então, Vi = 1,...,7, 
po ÁjxocexAÃ, —S 4; 
(a1,...,0r) Tr qi 
é um homomorfismo chamado i-ésima projeção. 
É) Se f: (Ay, +) —" (Ao, +55) e g. (4a, 4,5) —— (43, 44) são 
homomorfismos, então go f: (A, +. ) — (As, +.:) é um homo- 
3 « 
morfismo.
[SEC. 1.4: HOMOMORFISMOS DE ANÉIS 31 
Propriedades elementares 
Seja f: (4, +,-) > (B,+, -) um homomorfismo de anéis. 
A A B B 
1) Sejaker f:= (face 4; f(a) =0/ €C 4. Então ker f é um ideal 
de (4, +14) (verifique) chamado núcleo de f. 
2) Seja Im f:=(f(a); ae AIC B. Então (Im D+) é um anel 
(verifique) chamado imagem de f. 
3) f é injetivo se e somente se ker f = (0) (verifique). 
Definição 1.4.3. Um homomorfismo de anéis f: 4 > B é um 
isomorfismo se ele é injetivo e sobrejetivo. 
Note que neste caso, a aplicação inversa f!: B — A também é 
um homomorfismo de anéis (verifique). Quando existe um isomor- 
fismo entre dois anéis 4 e B, dizemos que A e B são isomorfos. 
Teorema 1.4.4. (Teorema dos isomorfismos). 
Seja f: (A, +,:) > (B, 8,0) um homomorfismo de anéis. En- 
tão, a aplicação f abaixo é um isomorfismo de anéis: 
f(Afkerf, 0,0) > (imfo,0) 
ker f ker f 
a o fla). 
DEMONSTRAÇÃO. Primeiramente, devemos verificar que f é uma 
função bem definida, isto é, se a,,a, € A são tais que q, = q», então 
f(a1) = f(as). E de fato, se à, = à», então temos a; — ap E ker f, 
logo f(a; — ao) = 0; além do mais f(a, — ao) = f(a,) — f(as), pois 
f é um homomorfismo;portanto, f(a1) = f(as). 
Agora, f é claramente uma aplicação sobrejetiva e é um homo- 
morfismo pois, para elementos a,,a2 E 4, temos: 
 
o fla o, ão) = f(ay Tas) pela definição de O, 
— f(a tas) pela definição de f ( 
(an) Pf(ao) pois f é um homomorfismo 
(a) & f(ão) pela definição de f. 
(01) 0 f(a e f(a O o, ão) = o) (verifique).
32 [CAP. |: ANÉIS E DOMÍNIOS 
Finalmente, temos que ker f = fã E (A/ker f): f(a) = 0 
(ae (A/ker f); ae ker f) = (0); logo f é injetiva. L
J
 
Teorema 1.4.5. (Teorema chinês dos restos). Sejam mi,...,M, 
números inteiros positivos dois a dois primos entre si. Então, a 
aplicação diagonal 
A: Z — Z/mZ x---xZ/mZ 
2 5 (2c+mZ,...z+mZ) 
é sobrejetiva. 
Equivalentemente, Y 21,...,2Zr EL, Iz E Z tal que 
= 2 modm; | 
= 2 modmo R 
| 
2=2 modm,. 
DEMONSTRAÇÃO. Note primeiro que a aplicação À é um homo- 
morfismo entre os anéis 
(Z,+,) e (Z/mZ, B O)x---x(Z/m,Z, 6,0). 
ma, mi Tr 
O núcleo desse homomorfismo À é 
ker A:=[2€2Z;2=0,...,2= 0) 
— (2 € Z; z múltiplo de m;,...,z múltiplo de m, +. 
Sendo my, ma,...,m, dois a dois relativamente primos, temos 
ker A=(z€Z; z múltiplo dem,...mj=m...mZ. 
Pelo Teorema dos isomorfismos, À induz um isomorfismo 
A:Zim...mZ > ImA,
[SEC. 1.4: HOMOMORFISMOS DE ANÉIS So 
o que implica em particular que ambos os lados acima têm a mesma 
cardinalidade: 
|Z/m...mZ| = |[ImAÃl, 
Isto é, 
ImÃl=my...m. 
Por outro lado, temos também 
Imà CZ/mZx---xZ/mZ 
e 
Z/mZ xx Z/mZ| = |Z/mZ)...|Z/mZ =m...m. 
Portanto, concluímos que Imà = Z/m;Z x --: x Z/m,Z, isto é, 
que À é sobrejetiva. [) 
Observação 1.4.6. O teorema anterior estabelece um resultado 
que envolve os conjuntos Z e Z/miZ x --- x Z/m,Z, e a aplicação 
A entre estes conjuntos. No entanto, a prova que demos consistiu 
em observar que, na realidade, estes conjuntos tinham estruturas 
de anéis e a respeito das quais a aplicação À era um homomorfismo 
de anéis. Aí, ao confrontar propriedades desses dois anéis através 
desse homomorfismo, obtivemos o resultado desejado. Isto ilus- 
tra a importância do conceito de homomorfismo entre dois anéis: 
ele estabelece uma interdependência entre duas estruturas, inter- 
dependência que pode trazer à luz resultados e relações até então 
escondidos. 
Evidentemente, a prova que demos do Teorema 1.4.5 nos permite 
enunciar a seguinte versão um pouco mais “sofisticada”. 
Teorema 1.4.7. Sejam mi,...,m, inteiros positivos dois a dois 
primos entre si. Então, a aplicação 
A:Zlm.mi — ZlmZx-xZmZ 
z+tm..mi —S (2+mZ,...,z+mZ) 
é um isomorfismo de anéis.
34 [CAP. |: ANÉIS E DOMÍNIOS 
Definição 1.4.8. Seja 4 um anel e seja y: Z > A o (único) ho- 
momorfismo de Z em A (vide Exemplo 1.4.2d) acima). O núcleo 
ker y é um ideal de Z, logo existe um único inteiro c > O tal que 
ker y = cZ. Este inteiro c é chamado de característica do anel À. 
Exercício 1.4.9. Mostre que a característica de um domínio é igual 
a O ou igual a um número primo. 
Exercício 1.4.10. Sejam A um anel, 1 um ideal de 4 e 
p: AX] — (A4/DIX) 
> ax — > ax, 
a) Mostre que y é um homomorfismo de anéis. 
b) Mostre que T[X] := [5 2 quX'; a € T, n € NJ é um ideal 
L.5 
de A[X] e que os anéis A[X]/I[X] e (A/N[X] são isomorfos. 
Exercícios 
. Procure os elementos invertíveis para a multiplicação no anel 
2/1272 (Z/122, 8,0) 
. Mostre que o número de Fermat 2? + l, ie. 232 +1, não é 
primo. Para isto, observe que 641 sendo primo, Z/641Z é um 
corpo; observe também que 
641 = 22 + 5º 
641=2".5+41. 
Agora, da segunda igualdade, tire a expressão de 5(mod 641), 
substitua esta expressão na primeira igualdade e veja que 641 
divide 2% + 1.
[SEC. 1.5: EXERCÍCIOS So 
3. Seja n um inteiro positivo que não é primo. Mostre que o anel 
(Z/nZ, B,O) não é um domínio. 
n n 
4. Mostre que todo ideal não-nulo de Zfi] contém algum ele- 
mento positivo de Z. 
5. Seja (4, +,-) um anel comutativo com 1. Um ideal P de 4 é 
dito ideal primo se P ç Aese 
LyEA 
WEpl=ser ou ve P. 
(Ver, por exemplo, que o ideal 22 é um ideal primo de (Z, +, -), 
mas que o ideal 4Z não é um ideal primo de (Z,+,-)). Um 
ideal M de A é dito ideal máximo (ou ideal maximal) se 
M ç A e se não existe ideal propriamente contido entre M 
e 4, isto é, se não existe ideal J tal que M ç J ç A. (Por 
exemplo, ver que o ideal 2Z é um ideal máximo de Z). 
a) Mostre que um ideal 1 é primo se e somente se o anel 
quociente 4/1 é um domínio. 
Mostre que um ideal 1 é máximo se e somente se o anel 
quociente 4/1 é um corpo. 
Mostre que todo ideal máximo é um ideal primo. 
b) Seja B um anel e seja A = B/X] o anel de polinômios 
numa variável sobre B. Mostre que o ideal (X) de 4 é 
primo se e só se B é um domínio. 
6. Seja A = [f:R — Ri com as operações 
D definida por hef:R—s R 
dr f(x) + folx),
50 
10. 
[CAP. |: ANÉIS E DOMÍNIOS 
O definida por AhSf:R—s R 
ri fix) - fox). 
Seja r E R; mostre que M, := (fe A| f(r) = 0) é um ideal 
máximo de 4. Dê um exemplo de ideal 7, próprio e não-nulo, 
(Le, IG AeT+(0)) que não seja ideal máximo de 4. 
Exiba dois elementos a, 5 do anel Zfi), 8 £ 0, para os quais 
é possível fazer a divisão de a por $ de quatro maneiras dis- 
tintas. (Á prova do Teorema 1.3.7 sugere como fazer para 
encontrar tais elementos). 
Seja m € Z tal que |m| é um número primo. 
Seja Z[Vm] := fa+bym |a,be Z). Seja 
9: Zlv/m] SN 
a + by/m-— la? — mb”. 
a) Mostre que y preserva a multiplicação, isto é, que 
pla: B) = p(a) -p(B), Va,B e Zlym]. 
b) Param = 2,-2,3, mostre que (Z[/m], y) é um domínio 
euclidiano. 
Dica. Faça uma argumentação similar àquela feita para 
provar que (Zl[i|, Norma) é euclidiano. 
Nota. Como será visto mais tarde, existem primos m 
tais que os domínios Z|//m| não são euclidianos. 
Seja K um corpo e seja y: K — N a função identicamente 
nula. Mostre que (K,y) é um domínio euclidiano, e mostre 
que o quociente e o resto são unicamente determinados e efe- 
tivamente calculáveis (o resto é sempre igual a zero). 
Sejam y: À, — A, um homomorfismo de anéis e aq € As. 
Mostre que existe um único homomorfsmo de anéis 
p: AX] — 4 com d(a,) — pla), Va E As, tal que 
P(X) = ap.
ISEC. 1.5: EXERCÍCIOS 37 
11. 
12. 
13. 
a) Mostre que R[X]/(X* + 1) é um corpo isomorfo a C. 
b) Mostre que Z[X]/(X* + 1) é um domínio isomorfo a Zfi]. 
Seja py: A, — Às um homomorfismo de anéis. Seja 1 um ideal 
de A, contido em ker y. Mostre que a aplicação 
p: Ay/T ——— Às 
a (a) 
é um homomorfismo (bem definido) de anéis, chamado de 
homomorfismo induzido. 
Sejam m,n dois inteiros. Mostre que o Menor Múltiplo Co- 
mum entre m e n é a característica do anel Z/mZ x Z/nZ.
Capítulo II 
Fatoração Unica 
II.1 Definições e Exemplos 
Seja D um anel. Seja a € D; um elemento b € D é um divisor ou 
fator de a (em D) se existe c E D tal que a = bc; dizemos também 
que b divide a, ou que a é múltiplo de b, e denotamos bla. 
Um elemento a € D é invertível (em D) se existe b € D tal que 
ab = 1. Denotaremos por D* o conjunto dos elementos invertíveis. 
Dois elementos a,b € D são associados (em D) se existe u E D, 
u invertível em D, tal que a = ub. 
Um elemento não-invertível a € D (0) é irredutível (em D) se 
a possui apenas fatoração trivial em D, isto é, 
Vb,ce Dtais que a = bc, então b ou c é invertível em D. 
Observe que os únicos divisores de um elemento irredutível a 
são os elementos associados de a em D e os elementos invertíveis. 
Um elemento não-invertível p € D é primo se 
Vabe D, pla-b= pla ou po. 
Sejam a1,...,Gh E D; um elemento d € D é um Maior Divisor 
Comum (M.D.C.) de a,...,an se d divide a,,...,an e se todo 
elemento d' € D que divide a,,...,an, divide d também. Um tal 
Maior Divisor Comum de a;,...,an pode não existir. 
39
AQ [CAP. lt: FATORAÇÃO ÚNICA 
Exercício 11.1.1. Seja D um domínio e sejam a,,...,m € D. 
Mostre que dois M.D.C. para a4,...,a, São necessariamente asso- 
ciados em D. 
Por este exercício, num domínio temos a unicidade (a menos de 
multiplicação por elementos invertíveis) do M.D.C.; em um anel,não temos essa unicidade em geral. Por isso, consideraremos o 
M.D.C. somente em domínios, e logo poderemos falar do M.D.C. 
de a4,...,Ô,n que denotaremos por M.D.€. fa;,...,a,+. Os elemen- 
tos a),...,a, são ditos primos entre si ou relativamente primos se 
M.D.C. fa,...,ant = 1. 
Exemplo 11.1.2. 
1) Em Z: 
e (la cZ|aéinvertível) = (1,-1). 
e Dadoa ce Z, (bEZ|b é associado aa) = (a, -—a). 
e (ac Z|aéirredutível) = (tp | p primol. 
2) Em Zfi]: 
o lo e Zl] | aéinvertívell) = (a e Zhl | N(o) = 1) = 
(41,4). 
e Dado a € Zlfil, (8 € Zfil | 8 é associado a al = [+a, tia. 
e (fo Ee Zjil | a é irredutível; será determinado mais tarde 
(vide Corolário IV.1.3). Observamos que este conjunto de 
irredutíveis contém (fa € Zlil | N(a) é primo?. 
3) Em K|[X|, onde K é um corpo: 
o (H(X) E KIX| | f(X) é invertível) = KN (O). 
o Dado f(X) E KIX|, fg(X) E KIX] | g(X) é associado a 
HX) = EH) ke KAOS 
o (H(X)e KIX| | F(X) é irredutível) = ?.
[SEC. 1.1: DEFINIÇÕES E EXEMPLOS 41 
Observe que: a) (polinômios de grau 1) € ftirredutíveis de K|X!]). 
No caso de K — €, o Teorema Fundamental da Algebra garante que 
esses dois conjuntos são iguais. No caso de um corpo K qualquer, 
os dois conjuntos não são iguais em geral; procure um exemplo. 
b) Em Q/[X], é sempre possível determinar efetivamente se um 
polinômio dado é irredutível ou não (ver no livro de van der Waer- 
den, Modern Algebra, 825 p. 77). Para um corpo K qualquer, em 
geral não é possível. Em todo caso, mesmo em Q/X|, é um proble- 
ma difícil determinar quando um polinômio é irredutível ou não; 
o método mencionado acima (devido a Kronecker) pode exigir um 
número finito tão grande de operações que na prática não é muito 
útil. Desenvolveremos critérios práticos que nos permitirão resolver 
o problema de irredutibilidade em alguns casos particulares. 
4) Num domínio euclidiano (D,qy) 
e face D|aéinvertívell = fae D | v(a) = y(1)) (Note que 
para todo a + 0, temos p(a) = p(a- 1) > p(1)). 
e Dadoa e D, (be D|bé associado a af = (au [ue DI E 
be DI lb) = (a). 
e (ace D|airredutível) = ?. 
Estes fatos seguem diretamente da seguinte afirmação: 
Afirmação [I[.1.3. Sejam a e b elementos não-nulos de um domínio 
euclidiano (D,y). Então, 
p(b) = p(ba) sea é invertível, 
p(b) < p(ba) sea não é invertível. 
DEMONSTRAÇÃO. Seja a um elemento invertível do domínio D, 
isto é, a,1/a € D. Pela definição da função y, temos 
e(0) < ela) < o ( (ab) ) = e(6)
42 [CAP. Il: FATORAÇÃO ÚNICA 
Reciprocamente, suponha que y(b) = (ba). Sendo (D,y) um 
domínio euclidiano e como ab 0, podemos fazer a divisão de b 
por ab: existem elementos t,r € D tais que 
b = (ab)t + 7 com [ão < lab) = lb) 
our =. 
Afirmamos que r = 0; caso contrário, der = b— (ab)t = b(1 — at), 
obteríamos p(r) = y(b(1 — at)) > «(b), em contradição com a 
condição y(r) < y(b). Assim, temos r = 0, isto é, b(1 — at) = 0. 
Como D é um domínio e como b * 0, obtemos que 1 —- at = 0,e 
logo que a é invertível em D. [] 
Em geral o conjunto fa E D | a é irredutível: não é conhecido 
(vide o caso particular D = K[X], K um corpo). No entanto, temos 
Afirmação I[.1.4. Seja (D,9) um domínio euclidiano que não seja 
um corpo. Seja 
ô=minty(d) | de D, d não-invertível) 
= min(g(d) | d E D, p(d) > (1) 
Então, (ae D|y(a)=0hC (ae D |a é irredutível). 
DEMONSTRAÇÃO. Seja a € D tal que p(a) = d. Como 6 > y(1), 
então a não é um elemento invertível. Afirmamos que a não possui 
fatoração não-trivial em D. De fato, se a = bc com c não-invertível, 
então pela Afirmação 11.1.3, 
p(b) < p(bc) = pla) = à. 
Pela definição de 6, concluímos que y(b) = «(1) e portanto que o 
elemento b é invertível em D. [] 
Definição 11.1.5. Um domínio D é domínio de fatoração única ou 
domínio fatorial se todo elemento não-nulo e não-invertível de D se 
escreve de “maneira única” como produto de elementos irredutíveis 
de D, isto é, de maneira precisa:
ISEC. 1.1: DEFINIÇÕES E EXEMPLOS 43 
(1) Todo elemento não-nulo e não-invertível de D é produto finito 
de fatores irredutíveis. 
(1) Se (pih<i<s e (q;)1<;< são famílias finitas de elementos irre- 
dutíveis de D'tais que p;---ps = G*-- q, então 
o st. 
e a menos da ordenação, p; é associado a g;, Vi=1,...,s 
(i.e. existe uma bijeção o de (1,...,sf sobre (1,...,5) 
tal que p; é associado a g5(i;), Vi = 1,...,8). 
Exercício 11.1.6. Seja D um domínio fatorial. 
Sejam a,b E DN (0!. Mostre que M.D.C. (a, b) existe. 
Exercício I1.1.7. Seja D um domínio no qual vale a condição que 
todo irredutível é primo, isto é vale que: 
(1i) Yp € D irredutível, Va,be D, 
pjab => pla ou gb. 
1º ) Mostre que a seguinte condição vale: 
VYpeDirredutível, Yn>1,Va,,...,an e D, 
pjm...aa => dital que pla; 
2º ) Sejam p4,...,Ps,Q,...,G elementos irredutíveis de D tais 
que Di...Ps=>Q..-G. 
a) Mostre que p; é associado a q;, para algum 1. 
b) Se s = 1, mostre que t = 1 e que, consequentemente, os 
elementos p, e q; são associados. 
c) Se s > 1, mostre (por indução sobre s) que t = s e que, 
módulo a ordem, p; e q; são associados, Vi = 1,...,s. 
À proposição seguinte relaciona a Definição I[.1.5 com o Exer- 
cício 1[.1.7.
44 ICAP. Il: FATORAÇÃO ÚNICA 
Proposição [1.1.8. Seja D um domínio. Então são equivalentes: 
a) D satisfaz as condições (1) e (x) (isto é, D é fatorial). 
b) D safisfaz as condições (à) e (11). 
DEMONSTRAÇÃO. a) > b): Seja p € D elemento irredutível; sejam 
a,b E D tais que plab, 1.e., tais que ab = pc com c € D. Pela 
condição (i) existem fatorações de a, b, c em elementos irredutíveis. 
Colocando juntas as fatorações de a e b, obtemos uma fatoração 
do produto ab. Colocando a fatoração de c junto com o elemento 
irredutível p obtemos uma outra fatoração de ab. Pela condição 
(ii), obtemos então que p é necessariamente associado a algum dos 
fatores da primeira fatoração de ab, logo associado a algum dos 
fatores da fatoração de a ou da fatoração de b; logo, em particular, 
p divide a ou p divide b. 
b) > a): É uma consegiiência do exercício precedente. [] 
Na prática, as condições (i) e (ii) são em geral mais fáceis de 
manipular do que as condições (1) e (ii). 
O exercício seguinte apresenta uma situação onde existe uma 
relação íntima entre o maior divisor comum de elementos e o ideal 
gerado por esses elementos. Fazemos antes a seguinte definição: 
Definição 11.1.9. Seja R um anel. Um ideal 7 de R é dito ideal 
principal se existe «a € R tal que 7 = (a). Um domínio no qual 
todo ideal é principal é chamado domínio principal. Um ideal 1 é 
dito finitamente gerado se existem m E Ne a,...,am E R tais 
que 1 = (01,...,04m). Um anel no qual todo ideal é finitamente 
gerado é dito noetheriano. 
Exercício 11.1.10. Seja D um domínio. 
a) Sejam m,...,an E D tais que (a;,...,a,) seja um ideal prin- 
cipal, digamos (ay,...,an) = (d). Mostre que M.D.C. (m,...,an) 
existe, é igual a d, e portanto existem ÀA;,As,...,A, € D tais que 
M.D.C.fa,, ... Gn) — Aja + ecc + Ant. 
b) Sejam a,b,c e DN 10) tais que (a,c) = (1) e (b,c) = (1). 
Mostre que (ab, c) = (1).
[SEC. 11.2: FATORAÇÃO EM DOMÍNIOS NOETHERIANOS 45 
Exemplo 11.1.11. e (0; e R são ideais principais de um anel A. 
e (fH(X) E Z|X] | termo constante de f(X) é igual a zerok = 
[H(X) e ZIX] | f(0) = O) é um ideal principal de Z[X!|; verifique 
que ele é igual a (X). 
Exercício 11.1.12. Mostre que M.D.C. (2X) = 1 em Z|X] e 
que o elemento 1 não pode ser escrito como combinação linear dos 
elementos 2 e X com coeficientes em Z[X]. Conclua que Z[X] não 
é domínio principal. 
Exercício I[.1.13. Seja R um domínio que não seja um corpo. 
Mostre que R[X] não é um domínio principal. 
1.2 Fatoração em Domínios Noetheri- 
anos 
Uma cadeia ascendente de ideais de um anel 
hcChCcChCc---ChChnC.. 
é estacionária se existe n E N tal que Jk = 1, para k > n. 
Teorema 11.2.1. Seja R um anel. Então 
a) R é noetheriano se e somente se toda cadeia ascendente de 
ideais de R é estacionária. 
b) SeR é domínio noetheriano, então todo elemento não-invertível 
de RN 40kse escreve como produto finito de irredutíveis. 
c) R é domínio principal se e somente se R é um domínio fato- 
rial com a propriedade abaixo: 
Vabe RO! JefeR tais que MDC(a,b) = ea+ fb.
46 ICAP. |: FATORAÇÃO ÚNICA 
DEMONSTRAÇÃO. a) Suponha R noetheriano e seja h € b € 
1 CC... uma cadeia ascendente de ideais de R. Então a união 
[= JT, é um ideal de R e portanto 1 é finitamente gerado; 
n>l 
digamos 1 = (01,05,...,âam). Claramente temos que q, E L,, 
ao E lh»: Om E lh, é denotando n = maxfny,n9,..., Nm), 
temos 
[= (03,02,...,Qm) C In - l; € [ 
para cada k € N com k > n. Isto mostra que 1, = L, para k > n 
e, portanto, a cadeia ascendente é estacionária. Suponha agora 
que R não seja noetheriano e seja 1 um ideal de R que não é 
finitamente gerado. Vamos construir uma cadeia ascendente de 
ideais que não é estationária. Tome q; E T; tome a, € TN (ay); 
tome az € IN (a1,05) e assim sucessivamente. Note que existe 
sempre q, € IN (01,095,...,Qn-1) pois o ideal 1 não é finitamente 
gerado e, em particular, temos que 7 2 (01,02,...,Qn-1). Desta 
maneira obtemos a cadeia ascendente não-estacionária abaixo 
(01) G (01, 02) ç (01, O2, 03) ç o ç (01, 02,..., On) G teto 
b) Provamos inicialmente a seguinte afirmação: 
Afirmação: Seja a € R 4 f0) elemento não-invertível. Então existe 
elemento p € D irredutível com pja. 
Prova da Afirmação: Se o elemento a é irredutível, então podemos 
tomar p = a. Se o elemento a não é irredutível, então a = ab; 
com ambos a,,b; não-invertíveis. Se o elemento a, é irredutível, 
então podemos tomar p = a1. Se o elemento a; não é irredutível, 
então ay = q9b, com ambos as, db, não-invertíveis. Se o elemento as 
é irredutível, então podemos tomar p = a» pois temos 
Qd: b4 — a92b901, Isto é, aaja. 
O processo acima tem que acabar; isto é, para algum n € N temos 
An-1 = Gb, com o elemento a,, irredutível. De fato, caso contrário, 
obtemos a cadeia ascendente não-estacionária de ideais 
(a) G& (mn) G (02) G ---G (an) G (an) G....
[SEC. 1.2: FATORAÇÃO EM DOMÍNIOS NOETHERIANOS AT 
Provamos agora a existência da fatoração em irredutíveis. Seja 
então a € R1 (0) não-invertível. Pela afirmação temos a = p;-q1 
com p; irredutível. Se q, é invertível, então a é irredutível. Se q; não 
é invertível, pela afirmação, temos q; = p» : q2 com po irredutível. 
Se q2 é invertível, temos que a = p; - q, é uma fatoração irredutível 
para o elemento a. Se q, não é invertível, pela afirmação, temos 
q2 = p3 - q3 com ps irredutível. Se q3 é invertível, temos então que 
a = pj * p2'*q2 é uma fatoração irredutível para o elemento a. 
O processo acima tem que acabar; isto é, para algum n E N 
temos Qn-1 = Pr: GQ com p, irredutível e q, invertível, e então 
a=pi'Dpo...Da-1:ºQn- é uma fatoração irredutível. De fato, caso 
contrário, obtemos a cadeia ascendente não-estacionária de ideais 
(a) & (1) & (90) G -- G (qn-1) G (Gn) G . 
Note que a hipótese de R ser domínio foi usada acima para verificar 
a inclusão estrita dos ideais nas cadeias ascendentes (a,) e (gn). 
c) Seja agora R um domínio principal, em particular, R é noethe- 
riano e, portanto, temos a existência da fatoração em irredutíveis. 
Temos que verificar que elementos irredutíveis são primos. Seja 
então p € R irredutível e sejam a,b E R com pf aep1+b. 
Sendo R principal temos R = (a,p) = (b,p) e, então, existem 
a,09,b,,b9 €E R tais quel=aa+t+apel=bb+bop. 
Multiplicando as igualdades acima, existem c,,c) € R tais que 
I=ci(ab)+cop e,então, temos pftab. 
Concluimos que R é fatorial usando a Proposição 1[.1.8. À pro- 
priedade do item c) segue do Exercício 11.1.10. 
Finalmente, seja R um domínio fatorial com a propriedade 
do item c). Vamos mostrar que R é domínio principal. Sejam 
01,42,...,Qn elementos de R. Naturalmente, (1,02) € diR onde 
di := MDCt(asy,as); reciprocamente, por hipótese, existem elemen- 
tos e,,e3 € R tais que d; = e;ay + e2a2 E (1,42). Logo temos que 
(a1,02) = diR. Similarmente, temos (a1,02,03) = (di,as) = &R 
onde do := MDC(idr;,as+ = MDCfa,,as,a3+. Por indução, temos
48 [CAP. |]: FATORAÇÃO ÚNICA 
que (a,,...,an) = dR onde d := MDCa,,as,...,anj. Obte- 
mos portanto que todo ideal finitamente gerado de R é principal. 
Afim de poder concluir que R é um domínio principal, basta então 
mostrar que todo ideal de R é finitamente gerado. 
Suponha por absurdo que exista um ideal 1 de R que não 
seja finitamente gerado. Então, existe uma sequência infinita 
a1,.-.,Gn,--. de elementos de [ tal que 
(01) G (m,a2) SG: Glam. an) Ge 
Para cada n, o ideal (a1,...,an) é finitamente gerado, logo pelo 
visto anteriormente, (a1j,...,0n) é um ideal principal, digamos 
(a1,...,0n) = (bn). Seja n um inteiro positivo arbitrário. Para 
todo à < n, temos (b;-1) G& (bi), logo b;-; tem pelo menos um fator 
irredutível a mais do que b,. Evidentemente, b, tem pelo menos um 
fator irredutível, logo b,..; tem pelo menos dois fatores irredutíveis, 
logo b,-2 tem pelo menos três fatores irredutíveis e por indução, 
a1 = b; tem pelo menos n fatores irredutíveis. Assim, obtemos que 
a; tem um número de fatores irredutíveis arbitrariamente grande, 
pois n é arbitrário, o que é absurdo pois R é fatorial. [] 
Teorema 11.2.2. Seja (D,y) um domínio euclidiano. Então 
(1) D é um domínio principal. 
(1) Va,be D' 40>, pode-se calcular efetivamente ef E D tais 
que M.D.C. ta,bk = ea + fb, se a divisão em D for efetiva. 
DEMONSTRAÇÃO. (1) Seja 1 + (0) um ideal do domínio D. Quere- 
mos mostrar que o ideal 1 é principal. Considere o conjunto 
p(IN4OD) = (ola) [ae Ta + 0) CN. Como N é bem 
ordenado, (1 N 10) possui um menor elemento; seja a € I tal 
que y(a) seja o menor elemento de p(1 À (0)). Mostraremos que 
I = (a), isto é que VE E TI, temos é = at para algum elemento 
te D. Seja € E T; pela condição euclidiana, existem t,r € D tais 
que 
ێ=at+r com y(r)<y(a)our =0.
[SEC. 11.2: FATORAÇÃO EM DOMÍNIOS NOETHERIANOS 49 
Observe que 1 sendo um ideal, temos: 
acl>atel=>-atel > r=é-—atel, 
rea mm, 
pois é Ef 
logo p(r) < o(a) é impossível já que p(a) é o menor elemento de 
p(IN fO)); portanto 7 = 0, isto é £ = at como queríamos. 
(11) Sejam a,b E D 40). Utilizando somente que D é um 
domínio principal, obtivemos no Teorema 11.2.1 a existência de ele- 
mentos e, f € D tais que MDC (a,b! = ea + fb, sem poder no 
entanto calcular estes elementos e e f. 
Agora, vamos mostrar que se (D,) for um domínio euclidiano 
e se a divisão em D for efetiva, então os elementos e e f podem ser 
efetivamente calculados. 
Pela propriedade euclidiana, existem t,,74 € D tais que 
plri) < o(b) (+1) 
a=bt,i+4r, com 
our, 0. 
e Ser; = 0, acabou: M.D.C. (a,b) existe e é igual a b, que 
pode se escrever O-a+1-b. 
e Ser, £0: Sejaa € D. Então em virtude de (*1), o elemento 
a divide a e b se e somente se a divide b e r;; assim 
M.D.C.ta,b) existee é iguala d 
! 
M.D.C.(b,ri) existe e é igual a d. 
Agora consideramos b e 74; existem to,1r9 € D tais que 
9) < 
b = Tito + 75 com (ira Plrm) (2) 
ouro =0. 
e Se r3 = 0, acabou: M.D.C. (b,r;| existe e é igual a 7, que, 
em virtude de (*1). se escreve la + (—ty)b.
90 [CAP. Il: FATORAÇÃO ÚNICA 
e Ser, 0: Seja a € D. Então em virtude de (+2), o elemento 
a divide b e rj se e somente se a divide 7; e 75; assim 
M.D.C.(b,r1! existe e é igual a d 
y 
M.D.C.(r;, To) existe e é igual a d. 
Agora consideramos 7; e 19; existem ts,73 € D tais que 
(rs) < p(ra) (*3) r4 = Tots + 73 com 
ou 73 = 0. 
Se r3 = 0, acabou: M.D.C. (ri, ra existe e é igual a 7 que, 
em virtude de (*+2) e (x1), se escreve (—toJa + (tyto + 1)b. 
Se r3 * O, continuamos o processo. Observe que nesse pro- 
cesso, quando r; + 0, obtemos um r;,, tal que 
[ir < (ri) 
OU T;is1i — O. 
Já que a função y toma seus valores em N, não é possível ter 
uma sequência decrescente infinita, logo vai existir um inteiro 
n para o qual não será mais possível ter p(7n41) < (Tn), isto 
é, para o qual r,,; = 0. Ássim, obtemos um n tal que 
Ta = Tatasi E Tai = Tala. (en + 1) 
Istotermina a prova: M.D.C. (rn-1,7n) existe, é igual à 7, € 
M.D.C.ta,bk=...=MD.Clra ara) = Tn 
Em virtude de (+*n),...,(*1), o elemento r, se escreve como 
combinação linear de a e b com coeficientes em D. [| 
Corolário 11.2.3. Sejam K um corpo e fi(X), f(X) E K|X] dois 
polinômios primos entre si. Seja k(X) € KI|X]. Então:
[SEC. I1.2: FATORAÇÃO EM DOMÍNIOS NOETHERIANOS 91 
1) É possível calcular efetivamente gi(X),g(X) E KIX] tais 
que R(X) = (A) f(X) + go(X) fal). 
2) Se grauk(X) < grau fi(X) + grau fo(X), tais polinômios 
g(X) e g,(X) podem ser tomados satisfazendo 
e graugi(X)<grau fo(X) (oug(X)=0) 
e grauga(X) <grau fi(X) (ou g(X) =0). 
DEMONSTRAÇÃO. 1) Sabemos que a divisão em K[X] é efetiva. 
Como fi(X) e f(X) são primos entre si, podemos efetivamente 
encontrar (Teorema I[.2.2) dois polinômios y;(X),po(X) E K[X] 
tais que 1 = p(X)A(X) + pa(X) fo(X), logo também tais que 
k(X) = kd X)po(N)f(X) + k(X)po(X) fo(X). Portanto, basta 
tomarmos gi(X) = k(X )pi(X) e ga(X) = k(X )pa(X). 
2) Pelo Teorema 1.3.8, podemos efetivamente encontrar polinômios 
q(X),r(X) e K|X] tais que 
g(X) = f(X)a(X) + T(X) com oo < grau fal) 
our(X) = 0. 
Temos então k(X) = r(X)A(X) + [h(X)a(X) + ga(X) fX). 
Como grauk(X) < graufi(X) + grau fo(X) e também 
grau(r(X) f(X)) < grau fi(X) + grau fo(X) (ou r(X) = 0), então 
grau(lA(X)g(X) + g2(X)] fo(X)) < grau A(X) + grau fo(X) (ou 
AUX)a(X) + g2(X) = 0) e portanto, f(X)g(X) + ga(X) tem grau 
menor que o grau de fi(X) (ou é zero). Portanto os polinômios 
r(X) e A(X)g(X) + g5(X) têm as propriedades desejadas. N 
Exercício 11.2.4. Seja (X) =X" +a,aXT!I+-..+a e Z|X), 
n > 1, um polinômio mônico com coeficientes em Z. Seja a € Q. 
Mostre que se f(a) = 0, então a € Z. 
Exercício 11.2.5. a) Seja a um elemento irredutível de Z[i]. Mos- 
tre que existe um primo p de Z tal que, em Zfi], a é um fator de p.
92 [CAP. |): FATORAÇÃO ÚNICA 
Assim, tem-se 
(elementos irredutíveis de Z[il) = 
(fatores irredutíveis de p em Zfil: p número primo-+. 
b) Seja p um primo de Z tal que p = 3(mod4). Olhando módulo 
4, mostre que p não é soma de dois quadrados de inteiros e que p é 
um elemento irredutível de Zi]. 
c) Seja p um primo de Z tal que p= a? +b com a, be Z. Mostre 
que p = (a+ib)(a— àb) é a fatoração de p em elementos irredutíveis 
de Zlil. Mostre que, se p £ 2, então (a + ib) e (a — ib) não são 
associados em Zfil,esep=2= 1241, então (1 +i)e (1-1) são 
associados em Zi). 
Observação 11.2.6. Existem domínios principais não-euclidianos; 
y > [21,22 € Z, de mesma paridade | é um o domínio E + 29 
tal exemplo. Uma prova disso pode ser encontrada em J. Wilson, 
A principal ideal ring that is not a Euclidean ring, Mathematics 
Magazine 46 (1973), 34-38. (Apesar de sua aparência exótica, esse 
anel surge de maneira natural na teoria dos números; ele é o anel 
dos inteiros do corpo quadrático Q(v—19)). 
Vamos agora generalizar o Teorema 1.4.7 para qualquer domínio 
principal. 
Teorema 11.2.7. (Teorema chinês dos restos). Seja D um domínio 
principal e sejam di, do,...,d, elementos de D dois a dois primos 
entre si. Então a aplicação 
A: D/Md,...d) — (D/(dy)) x ---. x (D/(d,)) 
z+(d...d)r> (2 + (di),...,z + (d,)) 
é um isomorfismo de anéis. 
DEMONSTRAÇÃO. Primeiro observe que pelo Teorema I[.2.1, o do- 
mínio D é fatorial; como d,,...,d, são dois a dois relativamente 
primos, então os dois elementos d;...d,. 4 e d, são relativamente
[SEC. I.2: FATORAÇÃO EM DOMÍNIOS NOETHERIANOS So 
primos. E fácil ver que se provarmos o teorema no casor = 2,0 
caso geral seguirá por indução (verifique!). 
Considere a aplicação 
A:D — (D/(dy)) x (D/(do)) 
2 (2 + (dy), 2 + (do). 
É rotina verificar que A é um homomorfismo de anéis. 
E claro que (did,) € ker A. Reciprocamente, seja z € ker À, 
isto é, z € (di) N (ds). Sejam q,,a, E D tais que 
Z — dio — do 09. (1) 
Como d; e do são primos entre si, então pelo Teorema 11.2.1, existem 
€;,€69 € D tais que 
1 = edi + cado. (2) 
Temos 
2 — es 2 + esdoz por (2) 
= esxdidoao + esdodia, -— por (1) 
= (eja2 + exam did» E (dido). 
Logo ker A = (dido). 
Vejamos agora que À é sobrejetiva. Seja (ay + (di), as + (ds)) 
um elemento qualquer de (D/(d;)) x (D/(d,)). Este elemento é a 
imagem por À do elemento a := ase;di+aresds,. De fato, é claro que 
a = qesdo mod(d;); além disso, esd, = Imod(d,) pela igualdade 
(2); portanto a = ay mod(d,). Similarmente, a = a, mod(ds). Logo 
o homomorfismo À é sobrejetivo. 
Finalmente, pelo Teorema 1.4.4, temos que À é um isomorfismo. 
LU 
Exercício 11.2.8. Seja D um domínio principal e sejam ds, ds, ds 
elementos dois a dois relativamente primos de D. Exiba um e- 
lemento z € D tal que a imagem por À de z + (didsds) seja o 
elemento 
(21 + (dy), 292 + (do), 23 + (da)). 
Dica: Escreva 1 como combinação linear de d, e ds e também como 
combinação linear de (did») e ds.
o4 [CAP. |): FATORAÇÃO ÚNICA 
II.3 Fatoração Única em Anéis de Polinômios 
Sabemos que Q[X] é um domínio euclidiano. O que podemos dizer 
de Z|X|? Ele não é domínio euclidiano, pois vimos no Exercício 
[.1.12 que nem domínio principal ele é. No entanto, ainda podemos 
esperar que Z[X| seja um domínio fatorial. De fato, o teorema 
seguinte garante que este é o caso: 
Teorema 11.3.1. (Gauss). Seja D um domínio fatorial. Então 
DIX| é um domínio fatorial. 
Aplicações sucessivas do Teorema de Gauss nos dá o corolário 
seguinte: 
Corolário 1I.3.2. Seja D um domínio fatorial. Então 
D|X1,..., Xn| é um domínio fatorial. 
À prova do Teorema 11.3.1 vai exigir um trabalho de preparação. 
Para dar uma idéia da “dinâmica” da prova, suponha que D seja Z. 
Temos Z|X|] € Q/X] e sabemos que Q/X| é um domínio fatorial. 
Dado f(X) e Z|X| € QIX], então f(X) tem uma fatoração em 
elementos irredutíveis em Q/X]; digamos f(X) = pi(X)...p(X) 
com p;(X) E Q/X], irredutível em Q/X|. Agora, para um polinômio 
p(X) E QIX], escrevemos p(X) = (ag/bo) + (1/b)X + --- + 
(0m/bn)X” com a;,b; € Z; multiplicando pelo produto dos de- 
nominadores, obtemos um polinômio em Z[X!| que, caso p(X) seja 
irredutível em Q/X|, não pode admitir dois fatores de grau > 1 
em Z|X]. Assim, se c é o produto de todos os denominadores de 
todos os p;(X), então o polinômio cf(X) tem uma fatoração em 
Z|X] em elementos que não admitem dois fatores de grau > 1 em 
Z/X|. Assim, já vemos que f(X) está bem perto de ter uma fa- 
toração em elementos irredutíveis em Z|X]. Depois de estudar mais 
cuidadosamente o comportamento do conceito de irredutibilidade 
na passagem entre Q/X] e Z|X], obteremos que, de fato, f(X) tem 
uma fatoração única em elementos irredutíveis em Z[X|. 
Gostaríamos de poder utilizar a idéia acima mencionada (trans- 
portar o estudo da fatoração em Z[X] para Q[X]) para um domínio
[SEC. 11.3: FATORAÇÃO ÚNICA EM ANÉIS DE POLINÔMIOS SO 
fatorial qualquer D no lugar de Z. Para isto, precisamos de um 
corpo K que faça o papel de (QD, isto é, um corpo K tal que: 
a) K contém D. 
b) Vc K,existea E D,a 0 tal que aé € D. 
Observe que se existe tal corpo K, então: 
a) Todo elemento a £ O de D possui um inverso a”! em K 
(talvez não em D) pois K é um corpo que contém D. Se 
a,8€e D,a+o0,temos a! e K; tal elemento a !8 pode 
ser representado pela “fração” a Assim K terá que conter 
todas as “frações” É com «,3 € D, a + 0. 
b) Vê e K, existem a,8 E D, a 0, tais que aé = 5, isto é 
tais que É = + Assim, todo elemento de K terá que ser uma 
“fração”. 
Isso mostra que se um tal corpo K existe, ele consiste exata- 
mente de todas as “frações” de D. 
Vamos mostrar agora que, dado um domínio qualquer D (não 
necessariamente fatorial), sempre existe um tal “corpo de frações 
de D”. 
Quando dizemos que o domínio (D, +,-) está contido no corpo 
(K, 2,0) queremos dizer que D € K e que as operações de D são 
as restrições das operações de K, isto é, a inclusão de D) em K é 
um homomorfismo de anéis. 
Proposição 11.3.3. Seja (D,+,:) um domínio. Então 
1) Existe um corpo (K,6,0) tal que 
a) (D,+,-) (K, 9,0). 
b) VEcK,Ia,BED,az0,tais queé=BOa. 
2) Se (K,,91,01) e (K5,€05, 02) são corpos que satisfazem as 
condições a) e b), então eles são isomorfos.
56 ICAP. Il: FATORAÇÃO ÚNICA 
O item 2) da Proposição [1.3.3 diz que, a menos de isomorfismos, 
existe um único corpo K que satisfaz as condições a) e b). Tal corpo 
K se chama o corpo das frações de D. Observe que Q é o corpo 
das frações de Z. 
DEMONSTRAÇÃO DA PROPOSIÇÃO 11.3.3: 1) Antes de começar a 
construção de K, observamos que se um tal corpo K existe, e se 
a,becdeD,b+0,d 0, são tais que ad = be, então os símbolos 
> e q terão que representar o mesmo elemento de K pois: 
“-ioa= (0. )od = “ol )obe= ige- b bo lb d —— — 50) CL good 
pois ad = bc 
Faremos agora a construção de K': 
Seja 4=Dx(Di(0)=((a,b)jabe D, b+0L 
Pensamos nos elementos (a, b) como sendo as futuras frações 7; 
no entanto, já observamos que será necessário ter (4) — (S) quando 
ad = be, isto é, será necessário identificar o par (a,b) com o par 
(c,d) quando ad = bc; é o que faremos agora. 
Sobre 4, definimos a relação de equivalência seguinte: 
(a,b)- (cd) & ad=be. 
Verifique que — é realmente uma relação de equivalência, 
isto é que: 
(a,b) » (a, b). 
(a,b) — (c,d) > (c,d) — (a,b). 
(ab) (cd)e(cd)- (ef) > (a,b) - (e, f). 
Seja K4 o conjunto das classes de equivalência; o símbolo %, ou 
a/b, representará o elemento “classe de equivalência de (a,b)”, i.e., 
a/b=I(cd)e A|ad = be). 
Sobre K,, definimos as duas operações seguintes:
[SEC. |.3: FATORAÇÃO ÚNICA EM ANÉIS DE POLINÔMIOS 57 
Adição: 
a c ad + be 
bodo bd 
Note que a/b representa uma classe de equivalência, classe esta 
que admite outras representações a'/b' (com ab” = a'b); a mesma 
observação vale para c/d. É necessário verificar que nossa definição 
de & é boa no sentido de que a soma de dois elementos de K, 
não depende das escolhas das representações destes elementos; de 
maneira precisa, é necessário verificar que 
 
/ / 
(a, b) o (a, | > (ad + be, bd) » (ad + be',b'd), 
(c, d) (c,d”) 
isto é, que 
ab = ab > (ad + bob'd' = (a'd' + b'e')bd 
cd' = cd o ' 
Faça esta verificação. 
Multiplicação: 
ac ac 
bOa Td 
De novo, é necessário verificar que O é bem definida no sen- 
tido de que o produto de dois elementos de K; não depende das 
escolhas das representações destes elementos; de maneira precisa, é 
necessário verificar que 
(a,b) — (a',b) 
(cd) = (e,d') 
| > (ac, bd) — (a'c',b'd'). 
Faça esta verificação. 
Afirmamos que (K,,&,O) é um corpo onde: 
e o elemento neutro de & é a classe 0/1. 
e o elemento neutro de O é a classe 1/1.
58 [CAP. ll: FATORAÇÃO ÚNICA 
e o inverso de a/b com respeito a & é a classe (—a)/b. 
e sea 0, o inverso de a/b com respeito a O é a classe b/a. 
Verifique estas afirmações. 
Afirmamos ainda que 
Pp. (D,+,') — (K, 9,0) 
do dA 
é uma função injetiva tal que 
(di; + do) = (di) O p(do). 
p(dido) = p(dy) O p(do). 
Verifique esta afirmação. 
Então, temos que (P(D), EloD) OlotD)) E (K,D,0). As 
sim construímos um corpo (K,,2,O) que não contém realmente 
(D,+,-), mas contém (p(D), Blo(D), Olp(D)). Como y é injetiva e 
“preserva” a adição e a multiplicação, podemos “identificar” (D,+,-) 
com sua imagem isomorfa (P(D), Slap), Olv(D)). Querendo ter 
uma prova rigorosa (sem identificação), podemos fazer o seguinte: 
j SN 
A idéia é anexar K, NV y(D) ao conjunto D e transportar a es- 
trutura de K,. De maneira precisa: 
 
 
 
 
 
 
 
[SEC. |1.3: FATORAÇÃO ÚNICA EM ANÉIS DE POLINÔMIOS 59 
Seja K = DU(K, Ny(D)). 
Defina y: K — K, do seguinte modo: 
(ua = (d), para de D. 
Plax) =, para q € KiNy(D). 
É claro que y é uma bijeção; agora, transporte a estrutura de K; 
para K via esse 1), isto é, para cada x,y € K, defina: 
Tey=w" (bx) w(y)). 
Toy =w (bx) O v(y)). 
É fácil verificar que (K,€,0) é um corpo que tem todas as 
propriedades desejadas. 
2) Provamos agora a unicidade módulo isomorfismos. 
Sejam (K,,01,01) e (K,,€5, 02) dois corpos que satisfazem as 
condições desejadas. 
Se 0 86 € (D,+,-), vamos escrever (871), para designar o in- 
verso de 8 em (Ki, 1,01) e escrever (87!)o para designar o inverso 
de 8 em (K5,05,03). Se w,8 E (D,+,:), 8 £ 0, vamos escrever 
(5) para designar a O; (87!) e (5)> para designar a Os (8-")o. 
Defina 
p: (Ki, PD, 01) — (Ko, Do, 02) 
a a 
=)1 —S |(— >. ( 3) ( 3) 
Verifique que p é bem definida no sentido de que a imagem de 
um elemento x € K, não depende da representação deste elemento; 
verifique ainda que p é uma bijeção; verifique enfim que p “preserva” 
as operações. Isto acaba a prova da proposição. [] 
No que segue D vai designar um domínio fatorial e K vai ser 
seu corpo de frações. Queremos estudar o comportamento da noção 
de irredutibilidade na passagem entre D[X] e K|[X]. Note que se 
a+£0ae DC D|X], então a fica invertível em K[X]; assim,
60 [CAP. |l: FATORAÇÃO ÚNICA 
os fatores irredutíveis de grau zero em D[X] se perdem em K[X]. 
Vamos ver que, essencialmente, estes fatores irredutíveis de grau 
Zero São os únicos que se comportam mal. A fim de melhor os 
controlar, vamos fazer as definições seguintes: 
Definição 11.3.4. Seja D um domínio fatorial. Para um polinômio 
HO) =X" +--+aX + € D|X], o conteúdo de fF(X) é o 
M.D.C. (an,..., ao); ele será denotado por c(f(X)). Dizemos que 
f(X) é primitivo em D[X] se o conteúdo de f(X) é um elemento 
invertível de D, isto é, equivalentemente, se f(X) não tem fator 
não-trivial de grau zero. 
Observação 11[.3.5. Seja D um domínio fatorial e seja K o corpo 
de frações de D. 
1) Se H(X) E DI|XI, então 
HX) = (F(X)) - f(X), com A(X) primitivo em DIX]. 
2) Se f(X) € DIX]e de D, então 
e(d S(X)) = d-(f(0). 
3) Se f(X) E K|X], então existem a,b € D, b 0, tais que 
HX) = SC | 
O 
- A(X), com A(X) primitivo em D/X). 
É claro que se f(X) € D[X] é um polinômio irredutível de D[X] 
com grau > 1, então f(X) é primitivo em D|X]. Vejamos agora o 
comportamento do conceito de “irredutibilidade” e do conceito de 
“elementos associados”, na passagem entre D/X| e K[X|. 
Lema 11.3.6. (Gauss). Seja D um domínio fatorial e seja K seu 
corpo de frações. 
1) Se g(X) E D|[X] tem grau > 1, então g(X) é irredutível em 
D|X| see só se g(X) é primitivo em D|X! e irredutível em 
KIX).
[SEC. 11.3: FATORAÇÃO ÚNICA EM ANÉIS DE POLINÔMIOS 61 
2) Seg(X) eh(X) são primitivos em D[X], então g(X) e h(X) 
são associados em D|[X| seesóseg(X) eh(X) são associados 
em K|X). 
3) Se F(X), 9(X) E D[X], então 
(IX) -g(X)) = HX)) clg(X)). 
DEMONSTRAÇÃO. 3) Sejam d = c(f(X)) e d = c(g(X)). Temos 
HX)=d f(X) e g(X)=d-g(X), com A(X) e g(X) primitivos; 
logo, F(X) - g(X) = dd". A(X)gi(X) e, portanto, 
(HX) - (X)) = (dad AX) (X)) = dd - (H(X)n(X)). 
Então, para provar a afirmação, basta provar que c(f(X)gi(X)) é 
invertível em D (equivalentemente, que o produto de dois polinômios 
primitivos A(X),g(X) é um polinômio primitivo). 
Escreva 
FX) =a+ÓX+- tax”, 
gu(X) =b+bX
 + E BmX, 
AOOIgn(O =0+raX+ + cam" t”, onde c; — >. 0;bp.- 
j+le=i 
Seja p um elemento irredutível qualquer de D; queremos mostrar 
que dc; tal que pf c;. Sendo A(X) e g(X) primitivos, podemos 
considerar os primeiros coeficientes a, e b, tais que pf as e p4 br. 
Então o coeficiente c,,, não é divisível por p, pois temos: 
Cr+s — (Lo Dr+s + 1 brss-1 + ee + As Dry 1+ 
p divide p divide p divide 
+ ade + 
Naa 
p não divide 
+ Us+1 br-1 + + As bo 
De? a 
p divide p divide
62 [CAP. Il: FATORAÇÃO ÚNICA 
1) “<” claro. 
“=>” Suponha por absurdo que temos g(X) = h(X)!(X) com 
ambos h(X),(X) e K[X] de grau > 1. Podemos então escrever 
hnaX) = (a/b)h(X) e AX) = (a/b5)2(X) com a,b, d',b E D, 
b+Ob £0, hi(X), f(X) E D|X)] polinômios primitivos de 
grau > 1 e, portanto, temos g(X) = (aa'/bb)hi(X)t(X) ou equi- 
valentemente bb'g(X) = aa h,(X)t4(X). Vemos que 
bb'c(g(X)) = c(bb'g(X)) = claa'hy(X)t(X)) 
— aa c(hi(X)t4 (X)) = qq. 
Portanto (aa'/bb') = c(g(X)) E D. Assim, 
9X) = (aa! [ob (A(O) 
com (aa'/bb)hy(X) e D[X] de grau > 1 e com A(X) E D|X] de 
grau > 1, isto é,