Estruturas Algebricas I-1

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Estruturas
Algébricas I
São Cristóvão/SE
2009
Natanael Oliveira Dantas
Capa
Hermeson Alves de Menezes
Elaboração de Conteúdo
Natanael Oliveira Dantas
D192e Dantas, Natanael Oliveira
 Estruturas Algébricas I/ Natanael Oliveira Dantas -- São
 Cristóvão: Universidade Federal de Sergipe, CESAD, 2009.
 1. Matemática. 2. Álgebra. I. Título.
 
 CDU 517.986
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Estruturas Algébricas I
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AULA 1
A estrutura de domínio ordenado dos números inteiros ..................... 01
AULA 2
Algorítmo da divisão e Máximo Divisor Comum................................. 07
AULA 3
Fatoração única e congruências ....................................................... 14
AULA 4
O conceito de grupo.......................................................................... 21
AULA 5
Grupos quocientes ............................................................................ 28
AULA 6
Homomorfimos de grupos ................................................................. 35
AULA 7
Mais sobre o grupo simétrico ............................................................ 42
AULA 8
P-Grupos e o Teorema de Cauchy .....................................................49
AULA 9
Os teoremas de Sylow...................................................................... 55
AULA 10
O conceito de anel..........................................................................61
Sumário
Aula 01
META
Discutir as principais propriedades da estrutura de domínio bem ordenado dos nú-
meros inteiros.
OBJETIVOS
Ao final desta aula, o aluno deverá:
Aplicar as propriedades da estrutura de domínio dos inteiros na demonstração de 
outras proposições decorrente destas.
Aplicar o princípio de indução na resolução de problemas referentes a números 
naturais.
PRÉ-REQUISITOS
O pré-requisito para esta aula é o curso de Fundamentos de Matemática. Portan-
to, disponibilize as aulas impressas desta disciplina e as consulte sempre que 
você necessite.
1
A ESTRUTURA DE DOMÍNIO ORDENADO DOS NÚ-
MEROS INTEIROS 
INTRODUÇÃO
Seja bem-vindo, prezado aluno! Esta aula é o início da nossa jornada rumo ao universo 
das estruturas algébricas.Tradicionalmente, a matemática divide-se em três grandes áreas: a Ál-
gebra, a Análise e a Geometria/Topologia. Entretanto, tal tricotomia está cada vez mais se 
descaracterizando tanto pelo aparecimento de outros segmentos que não se encaixam unica-
mente em uma destas quanto pela necessidade de novas técnicas. Outro fator é a interface en-
tre áreas dando origem a novas teorias. Por exemplo, topologia algébrica é a interface entre ál-
gebra e topologia. É importante que você, futuro professor, tenha uma boa preparação em 
cada uma destas áreas e, este é o primeiro dos dois cursos de Álgebra dos currículos dos cur-
sos de Matemática da UFS.
A palavra Álgebra vem de um manuscrito árabe de cerca de 800 a.C., que estabelece leis 
para a resolução de equações e, até a segunda metade do século XIX, a Álgebra era vista ape-
nas como uma teoria de equações. Atualmente, a álgebra é mais do que isto; trata-se da área da 
Matemática que lida com conjuntos munidos de operações e relações formais chamados estru-
turas algébricas. É uma coleção de modelos abstratos provindos até mesmo de outras áreas da 
Matemática e ciências afins.
Os objetos da Álgebra são classificados de acordo com os tipos de operações que neles 
podem ser efetuadas e pelas propriedades das quais gozam tais operações. Grupos, anéis, ide-
ais, espaços vetoriais, módulos e corpos são exemplos de como um conjunto pode ser estrutu-
rado algebricamente.
Em regra, um primeiro curso de Álgebra trata das estruturas de grupos e anéis. Deste 
modo, são estes os conteúdos presentes neste curso. Nas três primeiras aulas apresentaremos 
informalmente os números inteiros e discutiremos suas primeiras propriedades. Tal aborda-
gem servirá de modelo no estudo de grupos e anéis.
A ESTRUTURA DE DOMÍNIO DOS INTEIROS
No conjunto dos inteiros estão definidas a adição e a multiplicação. Tais operações sa-
tisfazem as seguintes propriedades:
i) Associativa da adição. , .
ii) Comutativa da adição. , .
iii) Existência do elemento neutro para a adição. Existe em , o zero, tal que , 
para todo 
iv) Existência do oposto. Para cada existe tal que .
2
v) Distributiva da multiplicação em relação à adição. , e 
.
vi) Associativa da multiplicação. .
vii)Comutativa da multiplicação. .
viii) Existência do elemento neutro para a multiplicação. Existe em , o um, , tal que, 
, para todo .
ix) Integridade. Se e então ou .
Futuramente, na aula 10, estudaremos os anéis que são estruturas algébricas das quais o 
conjunto dos números inteiros munido das operações adição e multiplicação verificando às 
cinco primeiras propriedades aqui exibidas, é um exemplo. Os inteiros munidos destas opera-
ções verificando às oito primeiras propriedades é chamado um anel comutativo com identida-
de e como verifica também a nona è chamado um domínio de integridade.
Definição 1. Nos inteiros, definimos a diferença entre dois elementos , (nesta ordem), 
como sendo o inteiro . 
Decorrem da estrutura de domínio de integridade dos inteiros as propriedades contidas na 
Proposição 1. 
i) Os elementos neutros 0 e 1 são únicos.
ii) Cada inteiro tem um único oposto.
iii) .
iv) .
Demonstração. i) Se existissem tais que para cada então, 
em particular, teríamos
 e e da comutatividade da adição, . Portanto, o elemento neutro 
da adição é único.
A demonstração da unicidade doelemento neutro da multiplicação é análoga à, feita aci-
ma e deixaremos como atividade.
ii) Dado , suponhamos que existam tais que . Podemos es-
crever: donde segue a 
unicidade.
3
iii) Dado notemos que . segue que e 
têm o mesmo oposto logo, donde temos 
que .
iv) Vamos provar que . Com efeito, notemos que 
. Segue que é um oposto de . Da uni-
cidade do oposto, temos que .
O caso é semelhante e deixaremos como atividade.
A BOA ORDENAÇÃO DE .
Em existem a relação de ordem total e o conceito de valor absoluto , que admiti-
remos com suas propriedades básicas visando estabelecer resultados futuros. Neste sentido va-
mos assumir inicialmente o principio da boa ordem. 
Principio da boa ordem: Todo subconjunto não vazio de de elementos não negativos 
 possui elemento mínimo.
Exemplo 1. Para , .
Proposição 2. Não existe inteiro tal que .
Demonstração: Suponhamos que exista um inteiro tal que . Então o conjunto 
 é não vazio e do princípio da boa ordem existe . 
Como segue que donde temos que , contradizendo a 
minimalidade de .
Proposição 3. (Indução – 1ª forma) Seja uma sentença aberta sobre para a qual valem:
i) é verdadeira;
ii) Se é verdadeira então é verdadeira.
Portanto, é verdadeira para todo pertencente a .
Demonstração: Seja o conjunto dos inteiros não negativos para os quais seja falsa, e 
suponhamos que . Do princípio da boa ordem existe . Segue de i) que 
, isto implica que donde segue que é verdadeira. Finalmente 
por ii) temos que o que é uma contradição. Portanto e a de-
monstração está concluída.
4
Proposição 4. (Princípio de indução – 2ª forma). Seja uma sentença aberta para a qual va-
lem:
i) é verdadeira;
ii) Para cada é verdadeira para implica verdadeira.
Então é verdadeira para todo .
Demonstração: Se esta proposição não fosse verdadeira, então existiriam uma sentença aberta 
 sobre , verificando i) e ii) e um para a qual seria falsa. Supondo o menor na-
tural com tal propriedade, então e com , seria verdadeira. Por 
“ii)”, seria verdadeira, uma contradição.
Observação: Não é difícil perceber que nas proposições 6 e 7, o domínio da sentença abertas 
 pode ser um conjunto do tipo onde é um inteiro pré-fixado.
Definição 2. Dados a potência de base e expoente , pondo
Exemplo 2. 
 
 
Exemplo 3. Para cada , vamos usar o princípio de indução para provar que 
. Notemos que para , temos e, a expressão é 
verdadeira. Admitamos agora, por hipótese, que para a expressão acima é verdadeira e, 
vamos provar que isto implica na veracidade da expressão para . Com efeito, 
. Portanto, a expressão acima é verdadeira .
5
Exemplo 4. Usando indução, vamos provar que . 
Para tal, caro aluno, vamos escolher um entre e , para usar indução, digamos e fixar a e 
 (embora arbitrários). Com efeito, para , temos e . 
Logo , ok! Suponhamos agora, por hipótese que e vamos 
olhar para . Ora, por definição, , logo, 
Resumindo: para e arbitrários, a propriedade é válida para e ser válida 
para implica ser válida para . Logo do princípio de indução é válida . Sendo 
e arbitrários, podemos concluir que a mesma é verdadeira.
Definição 3. O domínio , numido da relação de ordem total para a qual vale o princi-
pio da boa ordem dá a uma estrutura algébrica chamada, domínio bem ordenado.
RESUMO
Nesta primeira aula, aprendemos as primeiras propriedades dos números inteiros onde 
discutimos sua estrutura de domínio ordenado onde apresentamos os princípios da boa ordem 
e de indução que serão pré-requisitos fundamentais das próximas aulas. 
ATIVIDADES
1. Provar que a única solução em da equação, , na variável é .
2. Provar que, em , as únicas soluções da equação são .
3. Provar que 
4. Usando o princípio de indução, provar que:
a) .
b) .
COMENTÁRIOS DAS ATIVIDADES
6
Caro aluno, se você aprendeu as propriedades da estrutura de domínio dos inteiros em 
especial a existência e unicidade do oposto de cada inteiro e integridade então você resolveu 
corretamente as primeira e segunda atividades. 
Na terceira atividade você deve ter usado o item iv) da proposição 1. 
Na quarta atividade, para resolvê-la, você deve ter aplicado indiretamente algumas das 
nove propriedades da estrutura de domínio e ter aprendido que na aplicação do princípio de 
indução, testa-se a veracidade da sentença aberta no primeiro elemento do conjunto, assume 
que a mesma é verdadeira para um elemento genérico do conjunto e com esta hipótese justifi-
ca que a mesma é verdadeira também para o sucessor deste elemento, concluindo finalmente 
que a sentença é verdadeira para todos os elementos do conjunto em apreço.
REFERÊNCIAS
GONÇALVES, Adilson. Introdução à álgebra. 5. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2007. 194 p. 
(Projeto Euclides) ISBN.
HUNGERFORD, Thomas W. Abstract algebra: an introduction. 2nd. ed. Austrália: Thomson 
Learning, ©1997.
HEFEZ, Abrumo. “Curso de Álgebra, Vol. I” Coleção matemática Universitária.
GARCIA, Arnaldo; LEQUAIN, Yves. Elementos de álgebra. 3. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 
2005. 326 p. (Série: Projeto Euclides). 
7
Aula 02
ALGORITMO DA DIVISÃO E MÁXIMO DIVISOR CO-
MUM
META
Apresentar o algoritmo da divisão e estabelecer o conceito de máximo divisor co-
mum.
OBJETIVOS
Definir a relação de divisibilidade em .
Aplicar as propriedades da relação de divisibilidade.
Efetuar divisões com resto pequeno em .
Resolver problemas que envolvam o conceito de máximo divisor comum de inteiros.
Calcular o máximo divisor comum de dois inteiros usando o algoritmo de Euclides.
PRÉ-REQUISITOS
O curso de Fundamentos de Matemática e a primeira aula.
7
INTRODUÇÃO
Olá! Que bom encontramos novamente! Espero que você tenha gostado e entendido a nos-
sa primeira aula. Nela estudamos a estrutura de domínio ordenado dos inteiros onde discutimos 
várias das suas propriedades.
Nesta aula, daremos continuidade ao estudo destes números onde o resultado central é o al-
goritmo da divisão. Estabelecemos também o conceito de máximo divisor comum de inteiros 
cuja existência é uma conseqüência imediata do algoritmo da divisão.
A RELAÇÃO DE DIVISIBILIDADE E O ALGORITMO DA DIVISÃO
Definição 1. Dados , dizemos que divide se existe um inteiro tal que . Di-
zemos também que é um divisor de e ainda, que é um múltiplo de .
Escrevemos: .
Assim, tal que 
Indicamos a negação de que divide escrevendo .
Exemplo 1. , pois existe tal que .
Proposição 1. São verdadeiras:
i) .
ii) Se e então .
iii) Se e então .
iv) Se então .
v) Se então .
vi) Se e então .
Demonstração: Os itens i,ii e iii fazer como atividade.
iv) Existem tal que , logo, 
. 
Como é um inteiro segue que .
v) tal que tal que . Assim, 
. Temos então ou . No 
primeiro caso, e no segundo, .
8
vi) Como temos que e existe positivo, tal que 
, logo .
Proposição 2. (Algoritmo da divisão). Sejam sendo . Existem únicos 
tais que e .
Demonstração: Vamos supor inicialmente que . Para isto, consideremos o conjunto de nú-
meros inteiros . Então, é não vazio ( e do princí-
pio da boa ordem existem e tais que . Ou melhor, existem 
tais que e . Além disto, , pois se assim não fosse, teríamos 
 e , contrariando a minimalidade de . 
Quanto às unicidades de e ; suponhamos que existam tais que 
 e . Então e .
Se , temos donde segue que . Analoga-
mente, se , e como segue que . Portanto e 
conseqüentemente, .
Finalmente, se , temos e da primeira parte existem únicos tal 
que e . Tomando e , temos a demonstração, concluí-
da.
Exemplo 2. Para e , o único par de inteiros que verifica o algoritmo da divisão 
é e .
Os inteiros , referidos no algoritmo da divisão são chamados, respectivamente, divi-
dendo, divisor, quociente e resto. A operação que associa a cada par o par é chama-
da divisão e, quando dizemos que a divisão é exata.
O MÁXIMO DIVISOR COMUM
Apesar de nem sempreser possível dividir um inteiro por outro, de modo exato, o algorit-
mo da divisão nos garante em , uma divisão. Esta propriedade implica em resultados algébricos 
notáveis e, o primeiro deles é a existência do máximo divisor comum que discutiremos agora.
Definição 2. Seja um subconjunto não-vazio de . Dizemos que é um ideal se cumpre às se-
guintes condições:
i)
ii) .
Notamos que .
9
Se , por ii, e, por i, .
Os conjuntos e são evidentemente ideais.Estes ,são chamados os ideais triviais de 
.
Exemplo 3. Seja e seja o conjunto de todos os múltiplos de 
. Este conjunto é um ideal de , chamado ideal principal gerado por . Com efeito, é fácil 
ver que a diferença entre dois múltiplos de é o produto de um inteiro por um múltiplo de , 
são múltiplos de .
Observação: É comum usar as notações para indicar o ideal .
Exemplo 2.2.4: Sejam . O conjunto
 é um ideal, chamado ideal gerado por 
.
Sejam , então, existem tais que 
, logo, 
 e como cada para 
 é inteiro, segue que .
Se e então 
 e como cada para é inteiro segue 
que .
A proposição a seguir estabelece que todo ideal de é, na verdade, o conjunto de múltiplos 
de algum inteiro.
Proposição 3. Todo ideal de é principal.
Demonstração: Seja um ideal não nulo. Evidentemente e do principio da boa 
ordem existe .
Afirmamos: . Com efeito, pois . Seja a um elemento arbitrário 
em , do algoritmo da divisão existem tais que e .
Sendo , temos . Como segue 
que e, .
Portanto, , como queríamos demonstrar.
Definição 3. Dados , não todos nulos, o máximo divisor comum de 
 é, por definição, o maior dos divisores comuns de .
10
Denotamos: .
Proposição 4. Sejam não todos nulos. Então o é o gera-
dor positivo do ideal .
Demonstração: Seja tal que . Como, para cada , 
, segue que e conseqüentemente é um divisor 
comum de .
Seja um outro divisor comum de . Como, existem 
 tais que (esta relação é conhecida como for-
ma linear do máximo divisor comum). Desta relação segue que e . Logo, 
.
Observação: A proposição acima garante que dados quaisquer não todos nulas 
existe sempre o e, na sua demonstração vimos também que a equação dio-
fantina (equação algébrica que tem como universo de soluções números inteiros) 
, tem solução.
Definição 4. Se não são todos nulos e , dizemos que 
 são relativamente primos, primos entre si ou ainda, coprimos.
Exemplo 5. Se são inteiros para os quais existem tais que 
 então esses inteiros são relativamente primos. Com efeito, notemos pri-
meiro que não podem serem todos nulos, portanto, existe tal que 
. Mas, da definição , logo, 
, isto é, donde concluímos que .
Exemplo 6. Se , desde que existam, . Escrevendo 
 e , vamos provar que e que e, como estamos tratando 
de números positivos concluiremos que ! Como temos que ou seja . 
Logo, . Analogamente, . Isto implica que e isto implica, ainda, que . 
Como temos que .
Proposição 2.2.5. (Algoritmo de Euclides para o cálculo do mdc). Sejam com . 
Sejam sucessivas divi-
sões tais que . Então .
Demonstração: Segue do exemplo anterior que 
11
RESUMO
Nesta aula, estabelecemos o algoritmo da divisão, definimos o máximo divisor de dois ou 
mais inteiros e demonstramos a existência do máximo divisor comum como conseqüência do al-
goritmo da divisão. 
ATIVIDADES
1. Sejam tais que é par. Provar que também é par.
2. Ache tais que , e .
3. Se são tais que é um múltiplo de , prove que também o é.
4. Prove que para todo inteiro positivo : 
a) .
b) .
5. Determine tais que e .
6. Dados , , prove que existem únicos tais que e 
.
7. Sejam . Prove que .
8. Sejam e suponha que existem tais que . Provar que 
.
9. Se são tais que e , prove que e têm 
paridades diferentes e que é impar.
10. Sejam . Defina como sendo o menor múltiplo comum 
positivo de e . Se , prove que .
11. Use o algoritmo de Euclides para calcular .
COMENTÁRIOS DAS ATIVIDADES
12
Caro aluno, se você fez a primeira e segunda atividade, então entendeu a relação de divisibi-
lidade. Quanto à terceira atividade, conseguiu? Então, além de entender a relação de divisibilidade 
você foi capaz de escrever como sendo o produto e usando a 
hipótese de que , concluir que .
Se você fez a quarta atividade, então você ou usou o principio de indução em ou usou 
mais uma vez uma fatoração de tipo 
. 
Quanto as quinta e sexta atividades, você deve ter usado fortemente, o algoritmo da divisão. 
Se você resolveu as sétima e oitava atividades então, usou a definição de máximo divisor co-
mum e deve ter usado o fato de que se então .
Na nona atividade, você deve ter notado que quadrado preserva a paridade e que soma de 
inteiros de mesma paridade é par.
Na décima atividade se você conseguiu fazê-la, deve ter usado preliminarmente que 
 e depois que divide todos os múltiplos comuns de e .
Finalmente, a décima primeira atividade é uma aplicação direta do algoritmo da divisão e 
você não deve ter tido nenhuma dificuldade nesta atividade.
Se você não conseguiu resolver alguma destas atividades, reveja os conteúdos discutidos na 
aula e lembre-se que os tutores estão disponíveis para ajudar a tirar suas dúvidas. 
REFERÊNCIAS
GONÇALVES, Adilson. Introdução à álgebra. 5. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2007. 194 p. (Projeto 
Euclides) ISBN.
HUNGERFORD, Thomas W. Abstract algebra: an introduction. 2nd. ed. Austrália: Thomson 
Learning, ©1997.
HEFEZ, Abrumo. “Curso de Álgebra, Vol. I” Coleção matemática Universitária.
GARCIA, Arnaldo; LEQUAIN, Yves. Elementos de álgebra. 3. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2005. 
326 p. (Série: Projeto Euclides). 
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Aula 03
FATORAÇÃO ÚNICA E CONGRUÊNCIAS
META
Apresentar a estrutura de domínio fatorial e estabelecer o conceito de congruência 
em .
OBJETIVOS
Definir número inteiro primo bem como reconhecer suas propriedades básicas.
Aplicar o teorema fundamental da Aritmética na demonstração de propriedades rela-
tivas à fatoração em .
Definir congruência e aplicar, mas propriedades na resolução de problemas de Arit-
mética.
PRÉ-REQUISITOS
O curso de Fundamento de Matemática e os conteúdos discutidos nas duas primei-
ras aulas.
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INTRODUÇÃO
Olá, caro aluno! Estamos aqui, mais uma vez. Espero que você tenha compreendido todos 
os conteúdos discutidos nas aulas anteriores, pois a compreensão desta aula e de diversos tópicos 
das aulas futuras depende do conhecimento desses conteúdos. 
Dividimos esta aula em duas partes onde, na primeira discutiremos a estrutura de domínio 
fatorial dos inteiros, definindo número primo e estabelecendo suas primeiras propriedades. Na 
segunda parte, estabeleceremos a relação da congruência em , apresentando as propriedades da 
divisibilidade de um modo bastante simples. Finalizaremos a aula, aproveitando o fato da relação 
de congruência ser uma relação de equivalência em e apresentando a estrutura de anel comuta-
tivo das classes residuais.
FATORAÇÃO ÚNICA
Definição 1. Dizemos que um inteiro é primo se e toda vez que divide um 
produto ele divide um dos fatores.
Exemplo 1. O inteiro não é primo. Notemos que embora , divide , 
não divide 3 e nem divide . O número é primo, pois e sempre que com 
e inteiros, ou é múltiplo de .
Proposição 1. Seja -1,0,1}. Uma condição necessária e suficiente para que seja primo é 
que seu conjunto de divisores seja .
Demonstração: (Suficiência). Sejam com primo e . Segue que , logo, 
. Se , existe tal que e neste caso temos que implica 
 e conseqüentemente e . Se, , analogamente existe tal que 
 e donde temos e . Portanto, o conjunto dos divisores de é 
. 
(Necessidade). Suponhamos que o conjunto dos divisores de seja e que 
onde . Vamos provar que . Com efeito, se , do fato de que os únicos 
divisores de são e p e que , temos que . Logo existem 
 tais que e por conseguinte, .como e segue 
que.
Observação: Notemos que todo admite como divisores. Estes são os chama-
dos divisores triviais de . Se e não é primo além dos divisores triviais, tem outros 
divisores, chamados divisores próprios.
Exemplo 2. Os divisores de são e . Os números e são os 
divisores próprios de .
Um inteiro não nulo que tem divisores próprios é comumente chamado composto.
Proposição 2. (Teorema fundamental da Aritmética). Todo inteiro Pode ser escrito na 
forma
 
onde e são inteiros primos positivos não necessariamente distintos. Além 
disto, a expressão , a menos da ordem dos fatores é única. 
Demonstração: Vamos inicialmente provar a existência da expressão , usando indução em .
Para ; temos e ou seja ok!
Seja e suponhamos que , , passar ser escrito como um 
produto de primos e, usando este fato, vamos provar que o mesmo acontece com . Se é pri-
mo ok! ( e, se não é primo, existem , com e 
15
. Como por hipótese de indução podem ser escrito na forma , segue que 
 também pode. Portanto, todo inteiro maior do que pode ser escrito na forma .
Quanto à unicidade, dado , suponhamos que
 
Onde e são inteiros primos positivos, não necessariamente distintos. 
Vamos provar que e que após uma reordenação (se necessário), . Com 
efeito, como é primo e segue que tal que (como ativida-
de, usando a definição de primo e indução, prove isto). Após uma reordenação (se necessária), 
podemos supor que e da expressão temos que
 
Sendo primo e como , segue que para algum .
Como antes, podemos assumir e a expressão nos leva a
 
Prosseguindo de modo análogo e supondo, que ,chegaremos à expressão
 
que é, um absurdo, pois nenhum primo divide . Portanto, .
Também, se fosse , de , chegaríamos a uma expressão do tipo
o que seria absurdo.
Portanto, e, menos da ordem dos fatores, , como queríamos 
demonstrar.
Observação: É fácil ver que no teorema fundamental da Aritmética, poderíamos ter tomado 
 e escrito 
onde são primos positivos ou negativos, não necessariamente distintos.
Para , a expressão
 
Onde são primos positivos tais que e são intei-
ros positivos, é chamada fatoração canônica em primos positivos do inteiro .
Vimos aqui que do ponto de vista da divisibilidade, os números primos são bastante simples, 
têm apenas quatro divisores e o teorema fundamental da Aritmética afirma que a menos de multi-
plicação por e ordem dos fatores, todo inteiro pode ser escrito como um produto de 
números primos. Uma pergunta que você, caro aluno, pode fazer é a seguinte; para gerar todos os 
inteiros , através de produtos precisamos de quantos números primos? Esta resposta 
é dada pela seguinte
Proposição 3. O conjunto dos números primos é infinito.
Demonstração: Vamos, por absurdo, supor que o conjunto dos números primos positivos seja fi-
nito. Digamos 
 e construamos o inteiro . Do teorema fun-
damental da Aritmética existe um tal que e como segue que (pois 
). Temos então um absurdo. Portanto existem infinitos primos positivos e 
conseqüentemente, infinitos inteiros primos.
Observação. Os números primos é até hoje um conteúdo bastante estudado pelos matemáticos, 
por exemplo, a distribuição dos primos é tão irregular que você pode encontrar dois primos ím-
pares consecutivos e dado um natural , qualquer, a seqüência de inteiros consecutivos 
 é fornada apenas por inteiros compostos.
Dado um inteiro cujo numeral indo-arábico tem muitos algarismos, decidir se o inteiro é pri-
mo ou não é até hoje uma tarefa bastante difícil.
16
CONGRUÊNCIAS 
Definição 1. Seja . Dizemos que os inteiros e são congruentes módulo se é 
um múltiplo de e escrevemos 
Exemplo 1. , , .
Notemos que .
Negamos escrevendo (neste caso, ).
Proposição 1. Dados e , são equivalentes:
i)
ii) Os inteiros e quando divididos por deixam o mesmo resto.
Demonstração: i⟹ii. Existem tais que e 
. Segue que 
.
Como temos que . Do fato de que , segue que 
e como conseqüência temos ou .
ii⟹i. Existem com tais que e . Então 
, ou seja, .
Exemplo 2. Como seguem que e quando divididos por deixam 
o mesmo resto: e .
 
Proposição 2. Sejam sendo . Valem:
i) . 
ii) 
iii) 
iv) 
v) 
vi) 
Demonstração:
i) 
ii) 
iii) .
iv) Como temos que ou seja, .
v) Novamente, , logo existe tais que 
 tal que 
, ou seja .
17
vi) Notemos que como segue que 
, ou seja, . 
Exemplo 3. Vamos determinar o resto da divisão de por . Notemos que 
. Isto implica que ou seja, que 
. Como segue que . Assim, 
quando divididos por deixam o mesmo resto que evidentemente, é . Este exemplo mostra 
que a relação de congruência torna as propriedades da divisibilidade facilmente manipuláveis tor-
nando menos trabalhoso este tipo de cálculo.
Notemos que os itens i), ii) e iii) da proposição anterior mostraram que a relação de con-
gruência módulo um inteiro positivo é uma relação de equivalência no conjunto dos números 
inteiros.
Dados e , a classe de módulo esta relação de congruência, é cha-
mada classe residual de módulo e indicamos por . Indicamos o conjunto quociente (des-
tas classes) por .
Proposição 3. Para cada , onde a cardinalidade de é .
Demonstração: Dado , do algoritmo da divisão existem tais que e 
. Segue daqui que , ou seja, que . Isto mostra que 
.
Agora, sejam . Se então de modo que 
 e lembrando que , segue que . Portanto tem exata-
mente classes residuais.
Vamos definir em , duas operações uma adição e uma multiplicação pondo:
.
Proposição 4. As operações de em de adição e multiplicação estabelecidas acima es-
tão bem definidas. Ou seja, não dependem dos representantes das classes.
Demonstração: sejam e . Então e b . Então 
 donde temos que .
Proposição 5. As operações de adição e de multiplicação acima definidas no conjunto verifi-
cam às seguintes propriedades:
i) 
ii) 
iii) tal que 
iv) tal que 
v)
vi) 
vii) 
viii) tal que 
Demonstração: (será deixada como atividade)
Comentário munido das oito propriedades acima é um dos primeiros exemplos 
dos anéis comutativos finitos que estudaremos futuramente.
18
RESUMO
Caro aluno, nesta terceira aula discutimos inicialmente o conceito de número primo onde 
demonstramos o teorema fundamental da Aritmética e como primeira conseqüência deste teore-
ma concluímos que existem infinitos números primos. Por fim, estabelecemos o conceito de con-
gruência que é uma forma simples de apresentar propriedades da divisibilidade. Usando a relação 
de congruência em exibimos os anéis conhecidos também como os anéis das classes de res-
tos, construindo com isto um dos primeiros exemplos de anéis finitos, terminando com esta aula 
o estudo dos números inteiros necessário na composição dos pré-requisitos para as aulas futuras. 
ATIVIDADES
1. Sejam e b onde são primos posi-
tivos distintos e . Se e 
prove que e 
2. Seja , um número ímpar. Prove que ou .
3. Sejam onde Prove que se então 
.
4. Sejam tais que ou é não nulo. Prove que a equação diofantina 
tem solução se, e somente se, . Se é uma solução, prove que todas as outras 
podem ser postas na forma , onde .
5. Encontre todos os tais que.
a) .
b) .
6. Seja um primo e um inteiro. Prove que é um múltiplo de .
7. Prove que, se é primo então , .
8. Prove que o conjunto ; é primo e é infinito. Sugestão: negue 
esta afirmação exibindo e o número . Observe que, pro-
duto de números do tipo também é deste tipo.
COMENTÁRIOS DAS ATIVIDADES
Na primeira atividade, você, caro aluno, deve ter notado que se um primo divide 
, então, por transitividade o mesmo deve dividir também e . Além disto, sen-
do se é outro divisor comum de e então . Segue que a ordem (expo-
ente) de em deve ser a mínima entre as ordens de em e em . Quanto ao mínimo múlti-
plo comum, cada primo divisor deste, deve ser um divisor de ou de . Além disto, você deve 
ter lembrado que qualquer outro múltiplo comum de e é tambémmúltiplo do 
ogo todo primo divisor do deve ter ordem igual à maior das ordens de em e em 
19
Na segunda atividade, você deve ter notado que o resto da divisão de por deve ser ou 
 e que .
Na terceira atividade, você deve ter observado que e como o 
, o resultado é imediato.
Na quarta atividade, se é uma solução então você deve ter percebido facilmente que 
mdc .. Reciprocamente, se divide c,então existe 
 tal que donde temos que e 
 é uma solução da equação
Por outro lado, supondo que é uma solução, substituindo diretamente na equação 
 por e por para cada você deve ter visto claramente que se trata de 
uma solução. Finalmente, usando o fato de que e são duas soluções da equação 
foi fácil obter um tal que 
Na quinta atividade item , você não deve ter tido dificuldades se notou que esta congruên-
cia é equivalente à equação no anel onde temos que 
ou seja . No item , temos ou equivalentemente, 
.
Na sexta atividade, você, caro aluno, deve ter notado que para , os fatores de e 
de são menores do que . 
Na sétima atividade, você deve ter usado o desenvolvimento do binômio de Newton e apli-
cado a sétima atividade.
Na oitava atividade nós já sugerimos uma opção para a solução e esperamos que você tenha 
desenvolvido com êxito.
Lembramos sempre que os tutores estão disponíveis.
 
REFERÊNCIAS
GONÇALVES, Adilson. Introdução à álgebra. 5. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2007. 194 p. (Projeto 
Euclides) ISBN.
HUNGERFORD, Thomas W. Abstract algebra: an introduction. 2nd. ed. Austrália: Thomson 
Learning, ©1997.
HEFEZ, A. “Curso de Álgebra, Vol. I”, Coleção Matemática Universitária.
GARCIA, Arnaldo; LEQUAIN, Yves. Elementos de álgebra. 3. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2005. 
326 p. (Série: Projeto Euclides). 
20
Aula 04
O CONCEITO DE GRUPO
META
Apresentar o conceito de grupo, as primeiras definições e diversos exemplos.
OBJETIVOS
Definir e exemplificar grupos e subgrupos. 
Aplicar as propriedades dos grupos na resolução de problemas.
Reconhecer grupo cíclico.
Reconhecer o grupo de permutações e seus subgrupos.
PRÉ-REQUISITO
O curso de Fundamentos de Matemática e as propriedades dos números inteiros es-
tudados nas aulas anteriores.
21
Estamos de volta para mais uma aula. Esperamos que você tenha gostado do conteúdo estu-
dado nas três aulas anteriores. Nesta aula, vamos começar de fato o que é conhecido como Álge-
bra abstrata.
A teoria dos grupos embora tenha sido inicialmente estudada por matemáticos, no inicio do 
século XX os físicos usando argumentos desta teoria fizeram descobertas importantes sobre a es-
trutura dos átomos e das moléculas em Mecânica Quântica.
Hoje a teoria dos grupos é aplicável em outras áreas tanto das ciências afins quanto em ou-
tras da Matemática.
Dentro das estruturas algébricas, os grupos têm uma das estruturas mais simples e, portanto, 
mais geral. Vamos em frente!
CONCEITO DE GRUPO
Definição 1. Definimos grupo como sendo todo par onde é um conjunto não vazio e é 
uma operação binária em verificando às seguintes propriedades.
i)Associativa, .
ii) Existência do elemento identidade. Existe tal que .
iii) existência do inverso. Para cada , existe tal que .
Em geral, com o intuito de simplificar notação escrevemos apenas em vez de .
Se e são elementos identidades de um grupo, então donde podemos 
concluir que o elemento identidade é único.
Para cada elemento a, num grupo , se existem e no grupo inversos de , então 
.
Donde temos também que o inverso de cada elemento é único. Denotamos o inverso 
de por .
22
Quando num grupo além das três propriedades exibidas na definição se unifica a proprie-
dade:
iv) , dizemos que é abcliano (ou comutativo).
Quando a operação for uma adição (simbolizada por +) dizemos que é um grupo 
aditivo. Neste caso indicamos a identidade por e o inverso de cada por . Os grupos 
aditivos são sempre abelianos.
Quando o conjunto é finito, dizemos que é um grupo finito, no caso contrário dize-
mos que é um grupo infinito.
Definição 4.2.2. Definimos a ordem de um grupo como sendo a cardinalidade do conjunto 
. Indicamos: .
Obviamente, temos grupos finitos (nestes a ordem é um inteiro positivo) e grupos infinitos.
Exemplo 1. é um grupo aditivo infinito
Exemplo 2. , é um grupo abeliano infinito
Exemplo 3. Seja onde e . En-
tão é um grupo abcliano finito com apenas dois elementos, .
Exemplo 4. O subconjuntos dos números complexos onde é a unidade ima-
ginária, cuja operação é a restrição da multiplicação de a este conjunto é um grupo finito com 
quatro elementos, ou seja, 
Exemplo 5. Seja o conjunto das matrizes quadradas de ordem com entradas em . Então 
 é um grupo abeliano.
23
Exemplo 6. Seja o conjunto das matrizes quadradas de ordem não-singulares de 
entradas reais. Este conjunto munido da restrição do produto usual de matrizes é um exemplo de 
grupo não abeliano infinito.
Exemplo 7. Sejam e . Então munido da restrição de pro-
duto de números complexos é um grupo abeliano finito contido elementos.
Exemplo 8. Sejam um conjunto não vazio e o conjunto de todas as funções bijetivas 
. Então munido da composição de funções é um grupo, chamado grupo das permu-
tações de . Em particular, quando , é chamado o grupo das permutações de 
nível tem ordem e o indicamos por . Este grupo desempenha um papel importante na te-
oria dos grupos finitos, como veremos futuramente.
Proposição 1. (Propriedades imediatas de um grupo)
i) A identidade é única.
ii) O inverso de cada elemento é único.
iii) Se e então .
iv) Se então 
v) A equação tem como solução única .
Demonstração: i) Seja um grupo e suponhamos que existam tais que 
e . Em particular .
ii) Seja a um elemento de e suponhamos que existam tais que 
. Então, .
iii) Como , da unicidade do inverso, temos que 
.
24
iv) .
v) . (A 
unicidade do inverso garante a unicidade da solução).
Definição 3. Dados um grupo e , definimos o produto destes elementos nes-
ta ordem, indutivamente, como segue: .
Se , pode-se provar que .
Definição 4. Dados grupo, e , definimos a potência de base e expoente como 
sendo
 
Usando indução, podemos provar que e , valem
i)
ii) .
Definição 5. Sejam um grupo e um subconjunto não vazio de . Dizemos que é um sub-
grupo de se munido da restrição si da operação de é também um grupo.
Da unicidade do elemento identidade e da necessidade da existência deste elemento num 
grupo segue que a identidade de pertence a .
Uma condição necessária e suficiente para que um subconjunto de seja um grupo é que 
i) e ii) se tenha .
25
Notemos que as duas condições acima são verificadas por todo grupo e, se e veri-
fica i e ii, então, dado , e, dados , 
. A associatividade da restrição da 
operação de a em é óbvia.
Quando é subgrupo de indicamos por .
Exemplo 10. Seja . então é um subgrupo de . .
Exemplo 11. e . Então .
Exemplo 12. Seja um grupo e . Então, . Notamos que 
, pois em , comuta com todos os elementos de . Segue que e . Sejam 
. Então 
.
Para cada , o subconjunto formado pelos elementos que comutam com todos os elemen-
tos de é chamado o centro de e o indicamos por .
Observemos que quando é abeliano .
Exemplo 13. Sejam um grupo e . Seja . Então 
, ou seja, e . Se então 
 . Portanto, 
 e . Este sub-
grupo de é chamado o centralizador de em e o indicamos por . Notamos que 
.
26
Exemplo 14. e então . 
Definição 6. Seja um grupo. Dizemos que é cíclico se existe um elemento tal que 
. Dizemos também que é gerado por e indicamos .
Exemplo 15. Seja .
Então é cíclico finito de ordem 3. Notemos que dado 
, do algoritmo da divisão, existem tais que e . Logo 
.
Exemplo 16. Dados grupo e , o conjunto é um grupo cíclico 
de . Notemos que . Se então .
Observação. Quando um grupo é aditivo, a potência de base e expoenteé denotada por .
Exemplo 17. O grupo é cíclico infinito gerado por 1.
. O conjunto 
 é o subgrupo cíclico de gerado pelo elemento 2. 
Então podem escrever: e .
Observação. Notemos que se é cíclico gerado pelo elemento e então 
, portanto é abeliano.
Proposição 2. Todo subgrupo de um grupo cíclico é cíclico.
Demonstração: Sejam cíclico e . Se ok! Pois . Se , 
então, o conjunto é não vazio. Sejam e .
27
Afirmamos: . De fato, pois se então, do algoritmo da divisão existem 
 tais que e . Segue que . Mas, da minimalidade 
de segue que . Como 
 e .
RESUMO
Caro aluno, nesta aula, nós estabelecemos o conceito de grupo, onde definimos grupos e 
subgrupos apresentamos diversos exemplos, apresentamos os subgrupos especiais centro e cen-
tralizador de um elemento num grupo e grupos cíclicos.
ATIVIDADES
1. Seja um grupo abeliano. Prove que se e , então .
2. Seja um grupo e suponha que . Prove que é abeliano.
3. Seja um grupo e . Prove que .
4. Seja um primo, prove que é um grupo abeliano com elementos.
5. Se é um grupo finito de ordem par. Prove que existe tal que 
6. Sejam e o subconjunto de formado pelas matrizes anti-simétricas. Prove que 
.
7. Sejam grupos e seja . Defina uma operação em do seguinte modo:
. Prove que é um grupo. Este 
grupo é chamado produto direto de e . Se , prove que .
28
8. Prove que todo grupo tem um subgrupo cíclico .
9. Seja . Indicando cada elemento do seguinte modo,
Escreva explicitamente o grupo . Calcule e conclua que não é abeliano.
10. Prove que o subconjunto de dos elementos tais que é um subgrupo de .
11. Se e são subgrupo de um grupo , prove que é um subgrupo de e que , em geral
 não é subgrupo de .
COMENTÁRIO DAS ATIVIDADES
Caro aluno, se você fez as cinco primeiras atividades então entendeu as propriedades dos 
grupos. 
Na segunda atividade você deve ter notado que e usado o fato de que 
.
Na terceira, você deve ter multiplicado por pela esquerda e pela direita e usado 
o fato de que o inverso de um elemento num grupo é único.
Na quinta atividade, você deve ter notado que todo elemento tem um único inverso e que a 
identidade tem como inverso ela própria.
Nas sete ultimas atividades exploramos a definição de subgrupo. Se você compreendeu esta 
definição não deve ter tido dificuldades, hesitou possivelmente na última questão onde você deve 
ter notado que é subgrupo se, e somente se, ou . Lembre-se de que o objeti-
vo das atividades é fixar os conteúdos desenvolvidos na aula. Portanto você deve ler estes con-
teúdos com carinho quantas vezes sejam necessárias. Lembre-se também que a ajuda dos tutores 
é importante.
29
REFERÊNCIAS
GONÇALVES, Adilson. Introdução à álgebra. 5. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2007. 194 p. (Projeto 
Euclides) ISBN.
HUNGERFORD, Thomas W. Abstract algebra: an introduction. 2nd. ed. Austrália: Thomson 
Learning, ©1997.
GARCIA, Arnaldo; LEQUAIN, Yves. Elementos de algebra. 3. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2005. 
326 p. (Série: Projeto Euclides). 
30
Aula 05
GRUPOS QUOCIENTES 
METAS
Estabelecer o conceito de grupo quociente.
OBJETIVOS
Definir classes laterais e estabelecer o teorema de Lagrange.
Aplicar o teorema de Lagrange na resolução de problemas.
Reconhecer subgrupos normais e aplicar suas propriedades.
Reconhecer e exemplificar grupo quociente.
PRÉ-REQUISITOS
O curso de Fundamentos de Matemática e os conteúdos estudados nas aulas anteri-
ores.
28
INTRODUÇÃO
Ola! Estamos em mais uma das nossas aulas. Na aula passada tivemos o nosso primeiro con-
tato com a teoria dos grupos estudando as primeiras definições e contemplando vários exemplos. 
Nesta aula continuaremos a estudar os grupos onde estabeleceremos os conceitos de classes late-
rais, subgrupos normais e o conceito de grupo quociente que é uma das noções básicas mais im-
portantes da álgebra abstrata.
CLASSES LATERAIS E O TEOREMA DE LAGRANGE
Sejam um grupo, um subgrupo e . Os subconjuntos de , e 
 são chamados classe lateral à esquerda e classe lateral à direita de , respecti-
vamente.
Exemplo 1. Vamos considerar onde
 
 
que tem a seguinte tabela de operação, na qual o produto tem como 1º fator o elemento da colu-
na.
 
 
 
 
 
 
 
Para , 
e .
Observação. Neste nosso exemplo, ocorreu que . Em geral 
Vamos agora estabelecer uma relação de equivalência num grupo , na presença de um sub-
grupo , onde o conjunto quociente módulo esta relação é exatamente o conjunto das classes la-
terais à direita, de .
29
Definição 1. Seja grupo . Para cada par de elementos de , dizemos que é con-
gruente a módulo , e escrevemos se . 
Ou melhor: .
Proposição 1. A relação binária definida no grupo acima é de equivalência.
Demonstração: Como , seque que esta relação é reflexiva. Se 
 estão e como é um grupo, donde temos 
 e, a relação é simétrica.
Finalmente, se são tais que e , então 
. Novamente, do fato de que é grupo temos , isto é, 
, ou seja, e, portanto, a relação é transitiva.
Como sabemos a classe de equivalência do elemento é por definição.
 . 
Notemos que tal que 
. Logo, . Se então tal que e 
neste caso implicando que , ou melhor, que . Portanto 
.
Denotamos o conjunto quociente módulo esta relação por e, escrevemos
Observação. Quando é um grupo finito obviamente o conjunto é finito e tem cardinalidade 
menor ou igual à ordem de . Quando é infinito, podemos ter finito ou infinito. 
Exemplo 2. Se nunido da adição os subgrupos de são os conjunto do tipo 
.
Notemos que dados , então e que . Segue que 
 para . Se , temos e 
. Logo, para é finito e tem elementos, enquanto que, para 
 tem infinitos elementos.
30
Definição 2. Dados e , definimos o índice de como sendo a cardinalidade do 
conjunto quociente e indicamos por .
Proposição 2. (Teorema de Lagrange). Se é um grupo finito e é um subgrupo de então, a 
ordem de divide a ordem de . 
Demonstração: Para cada , a aplicação definida por é bijetiva. 
De fato, se e temos . Se então 
existe tal que e 
Escrevendo onde , como e 
, temos que . Portanto | ,como queríamos demonstrar. 
Exemplo 3. Como conseqüência imediata do teorema de Lagrange, todos os grupos finitos cuja 
ordem é um número primo são cíclicos (⟹ abelianos). Com efeito, se e , 
então | e .
SUBGRUPOS NORMAIS E GRUPOS QUOCIENTES
Definição 1. Sejam um grupo e subgrupo de . Dizemos que é um subgrupo normal de 
se, para todo H e todo temos . Indicamos .
Exemplo 1. Quando é abeliano, todo subgrupo de é normal. Com efeito, para e 
, temos . Para todo , é normal. Se e , 
.
Proposição 1. Sejam grupo e . As seguintes afirmações são equivalentes:
i) .
ii) .
iii) .
iv) . 
31
v)Se então .
Demonstração. i⇒ii). Da definição de subgrupo normal, e 
. Como é arbitrário no grupo , trocando por , 
vale . Observemos também que 
. Portanto, vale a igualdade 
, para cada .
ii⇒iii). Como , é imediato que , donde temos 
.
iii⇒iv). .
iv⇒v). Como temos que . Logo, 
 e daqui, . Ou seja, tal que 
. Portanto, .
v⇒i). Sendo e , vamos provar que . Para isto, seja , donde 
. Como , temos 
, conseqüentemente, .
32
Considerando o conteúdo da proposição acima, podemos, bem definir, a seguinte operação 
em :
 onde . 
Proposição 2. munido da operação, acima definida, tem estrutura de grupo.
Dados 
.Ou seja, esta operação é associativa.
Para cada classe lateral , existe tal que
 e . ( é o elemento identidade).
Finalmente, para cada , existe tal que ou seja 
. (existência do oposto).
Definição 2. O grupo é chamado o grupo quociente módulo .
Lembremos que, para a operação em que associa ao par a classe ser bem 
definida é necessário que . Portanto só podemos falar no grupo quociente de G por H se 
H for um subgrupo normal.
Proposição 3. Sejam um grupo e . 
i) Se é abeliano então é abeliano.
ii)Se é cíclico então é cíclico.
Demonstração. i) , então .
ii) Seja .
Exemplo 2. Sejam e . Note que . Pois, a tabela 
∙ 
33
 
 
 
Deixa claro que e se então .
Como e segue que .
Notemos que onde .
Exemplo 3. Sejam e onde ,
Fazendo as contas, podemos verificar que , portanto e é o 
grupo quociente com tabela de operações. 
∙ 
 
 
RESUMO
Nesta aula, estudamos o conceito de classe lateral onde estabelecemos o teorema de Lagran-
ge. Estudamos os conceitos de subgrupos normais e grupos quocientes e, suas propriedades. 
ATIVIDADES
1. Se é um grupo finito com 12 elementos, um subgrupo de pode ter 9 elementos? Justifi-
que sua resposta.
2. Sejam um grupo e . Definimos a ordem do elemento , e indicamos por , a or-
dem do subgrupo cíclico de gerado por . Prove que:
i) Se então .
ii) Se então .
3. Dizemos que um grupo é simples se os únicos subgrupos normais de são e . 
Dê exemplo de grupo simples.
34
4. Sejam um grupo e . Para cada , defina . Pro-
ve que:
a) b) Se é finito, c) . (o subgrupo é 
chamado um conjugado de em ).
5. Seja e . Determine .
COMENTÁRIO DAS ATIVIDADES
Caro aluno, você deve ter notado que a resposta da pergunta da atividade 1 é justificada fa-
cilmente pelo teorema de Lagrange.
Na segunda, escrevendo a potência de base e expoente igual à ordem de explicita-
mente, você deve ter notado a conclusão da atividade.
Na terceira atividade, você num primeiro momento, deve ter pensado em grupos cuja ordem 
é um número primo.
No item a) da quarta atividade, você deve ter notado que e que dados 
.
No item b), você deve ter notado que á correspondência é uma bijeção de 
em .
No item c), olhe para a correspondência do item anterior e lembre que ela vale .
Para a quinta atividade, você deve ter imitado algum dos exemplos do texto. 
Mais uma vez, lembre-se de ler o conteúdo da aula com cuidado e sempre que precisar pro-
cure os tutores. 
REFERÊNCIAS
GONÇALVES, Adilson. Introdução à álgebra. 5. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2007. 194 p. (Projeto 
Euclides) ISBN.
HUNGERFORD, Thomas W. Abstract algebra: an introduction. 2nd. ed. Austrália: Thomson 
Learning, ©1997.
GARCIA, Arnaldo; LEQUAIN, Yves. Elementos de algebra. 3. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2005. 
326 p. (Série: Projeto Euclides).
35
Aula 06
HOMOMORFISMOS DE GRUPOS
META
Apresentar o conceito de homomorfismo de grupos
OBJETIVOS
Reconhecer e classificar os homomorfismos.
Aplicar as propriedades imediatas dos homomorfismos de grupos.
Calcular os núcleo e imagem de um homomorfismo.
Aplicar os teoremas dos homomorfismos na relação de problemas.
PRÉ-REQUISITOS
Todas as aulas anteriores principalmente as aulas 4 e 5.
35
INTRODUÇÃO
Caminhando dentro da teoria dos grupos, vamos a mais uma aula. Mais uma vez, necessita-
mos que você, caro aluno, tenha aprendido os conteúdos das aulas anteriores, principalmente, os 
das aulas 4 e 5 que tratam dos grupos.
Em estruturas algébricas os homomorfismos são aplicações que têm como domínio e con-
tradomínio estruturas algébricas de mesma natureza (mesma definição abstrata) e servem em ge-
ral para comparar tais estruturas. No nosso caso, é claro, trataremos dos homomorfismos de gru-
pos.
O CONCEITO DE HOMOMORFISMO
Definição 1. Sejam e grupos e uma aplicação de em . Dizemos que é um homo-
morfismo se .
Exemplo 1. Se é um grupo e , para , a aplicação definida por 
 é um homomorfismo de grupos, pois 
. Este homomorfismo é comumente cha-
mado projeção canônica.
Exemplo 2. Dado um grupo , a função identidade de é evidentemente um homomorfismo de 
 em . Notemos que .
A um homomorfismo de um grupo nele próprio, chamamos endomorfismo de . 
A um homomorfismo injetivo, chamamos um monomorfismo de em .
A um homomorfismo sobrejetivo,chamamos um epimorfismo de em .
A um homomorfismo bijetivo, chamamos um isomorfismo de em . Neste 
caso dizemos também que e são grupos isomorfos.
A um isomorfismo de um grupo nele próprio, chamamos um automorfismo de .
Proposição 1. Seja um homomorfismo. Então, , onde e são, respecti-
vamente, as identidades de e .
Demonstração: 
.
Proposição 2. Seja um homomorfismo. Então, , .
36
Demonstração .
Proposição 3. Se é um homomorfismo e então é um subgrupo de ?
Demonstração: e . Sejam . Existem 
tais que e . Logo, 
e, como segue que . Portanto, . Neste caso 
.
Proposição 4. Se e são homomorfismos então tam-
bém é homomorfismo.
Demonstração: 
Dados , 
.
Definição 2. Seja um homomorfismos chamamos núcleo de e denotamos por 
 o subconjunto de : 
 .
Exemplo 3. Dados um grupo e , notemos que é o núcleo da projeção canônica 
, pois, , ou seja, 
. 
Proposição 5. Para todo homomorfismo , .
Demonstração: Como . Se então 
. Logo . Agora, seja 
 e . Temos 
. Portanto .
Proposição 6. Seja . é monomorfismo se, e somente se, .
Demonstração: Trivial, pois e é injetiva .
37
 Se e então 
, ou seja, é injetiva.
OS TEOREMAS FUNDAMENTAIS DOS HOMOMORFISMOS
Proposição 1. Se é um homomorfismo de grupos com núcleo então existe um 
homomorfismo injetivo tal que .
Demonstração: Inicialmente, notemos que se são tais que então 
 e donde temos que . Isto significa que para , 
 ou seja que está, bem definida, ou seja a imagem de 
não depende do seu representante. Dados , temos 
 logo, é um homomorfis-
mo de grupos. Agora, 
 ou seja é in-
jetiva.
Corolário (1º teorema do isomorfismo). Se é um epimorfismo e então
 e são isomorfos. Ou melhor, existe um isomorfismo tal que 
.
Demonstração: é o monomorfismo de em definida na proposição e como 
, segue que é um isomorfismo .
Se é a projeção canônica, este teorema pode ser expresso pela comutativi-
dade do seguinte diagrama;
 
 �� G’
38
��
 
Exemplo 1. Sejam (grupo aditivo) e o grupo multiplicativo formado 
pelos números complexos e e a aplicação dada por . É fácil ver 
que (faça isto como atividade). Agora,
.
Como é sobrejetiva, do 1º teorema dos homomorfismos, temos que 
.
Quando é um grupo, e então e .
Com efeito, e se então 
. Sendo , . 
Logo, donde temos que .
Sendo , segue que pois, , em particular, 
. Também, . Aqui, dados 
. Como segue que . 
Logo, . Analogamente . Portanto 
.
Proposição 2. (2º teorema dos homomorfismos). Se e então .
Demonstração: Seja definida por . Então, 
, é homomorfismo de grupos (notemos que aqui 
 pois ). Para qualquer classe , temos donde com 
 e . Isto implica que logo, ψ é so-
39
brejetivo. Além disto, . Ou seja, . Como con-
seqüência do primeiro teorema segue que , como queríamos demonstrar.
Observação. Se , segue deste teorema que .
No estudo de grupos quocientes formados a partir de grupos quocientes, é útil a seguinte
Proposição 3. (3º Teorema dos homomorfismos). Se e então 
 e vale:
Demonstração: É claro que . Agora, notemos que se temos e como 
 segue que e . Portanto, podemos definir a aplicação
, pondo .
Notemos ainda que , 
. Além disto, para cada , existe tal que , ou seja, é um ho-
momorfismo sobrejetivo de em .
Finalmente, .
Segue do 1º teorema dos homomorfismos que . 
Observação. Este teorema deixa claro que quocientes de quocientes de são na realidade iso-
morfos a quocientes de . Vamos terminar esta aula estabelecendo o teorema da correspondên-
cia no qual veremos que um epimorfismo de grupos preserva propriedades como ser subgrupos 
ou ser subgrupo normal tanto diretamente quanto inversamente. Mais precisamente, vale a
Proposição 4. (Teorema da correspondência). Sejam e grupos e um epimorfis-
mo onde . Então:
a)Para cada . Se então .
b)Para cada , o único subgrupo de contendo tal que é . 
Se então .
40
Demonstração: a) Já sabemos que ; sejam e 
 portanto, .
b) Como , claramente . Se então 
. Isto implica que 
. Logo, .Para cada temos:
. Portanto,
. Donde segue que .
Finalmente, seja tal que e . Assim, 
. Se então 
. 
Logo, e conseqüentemente . 
RESUMO
Nesta aula estabelecemos o conceito de homomorfismo de grupo onde inicialmente defini-
mos, exemplificamos e apresentamos as propriedades imediatas. Terminamos a aula enunciando 
e demonstrando os 1º, 2º e 3º teoremas dos isomorfismos e o teorema da correspondência que 
são teoremas importantes na construção dos pré-requisitos de conteúdos futuros.
ATIVIDADES
1. Verifique em cada caso, se é um homomorfismo de grupos.
a) dada por onde aqui é o grupo aditivo.
b) dada por onde é o grupo multiplicativo dos reais não nulos.
c) dada por , onde é aditivo e , multiplicativo.
d) dada por onde é um elemento de pré-fixado.
2. Seja um grupo abeliano finito de ordem e seja tal que . Prove que 
a aplicação dada por é um automorfismo de .
41
3. Se é um isomorfismo, provar que também o é.
4. Se é um homomorfismo onde é finito, prove que divide .
5. Se é cíclico de ordem provar que .
6. Sejam um grupo e tais que . Prove que e 
.
7. Se , e , prove que .
COMENTÁRIO DAS ATIVIDADES
Na primeira atividade, se você entendeu a definição de homomorfismo, não deve ter tido 
problemas.
Na segunda, você deve ter notado que . Como 
segue que ou seja e . Portanto, é injetiva.
Na terceira atividade, você deve ter usado a definição de isomorfismo e concluído com faci-
lidade.
Na quarta atividade, você deve ter usado o primeiro teorema do isomorfismo.
Na quinta atividade, para , a aplicação dada por 
 deve ser um isomorfismo de grupos!
A sexta atividade, caro aluno, é um exercício que auxilia no desenvolvimento da sétima ativi-
dade. Para e , você deve ter notado que 
 pois e são subgrupos normais.
Na sétima atividade, se você conseguiu resolvê-la, deve ter percebido que a aplicação 
 onde é um isomorfismo de grupos. 
 
REFERÊNCIAS
GONÇALVES, Adilson. Introdução à álgebra. 5. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2007. 194 p. (Projeto 
Euclides) ISBN.
42
HUNGERFORD, Thomas W. Abstract algebra: an introduction. 2nd. ed. Austrália: Thomson 
Learning, ©1997.
GARCIA, Arnaldo; LEQUAIN, Yves. Elementos de algebra. 3. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2005. 
326 p. (Série: Projeto Euclides).
43
Aula 07
MAIS SOBRE O GRUPO SIMÉTRICO
META
Conhecer um pouco mais de perto as propriedades do grupo das permutações de 
nível .
OBJETIVOS
Reconhecer elementos de 
Reconhecer os subgrupos e de 
Aplicar propriedades decorrentes do teorema da representação no estado de grupos 
finitos.
PRÉ-REQUISITOS
As aulas 4,5 e 6. 
42
INTRODUÇÃO
Nesta aula, caro aluno, estudaremos um pouco mais os grupos de permutação , onde 
apresentaremos os subgrupos das permutações pares e das simetrias de um polígono co-
nhecido também como o subgrupo diedral . Mostraremos também nesta aula que todo gru-
po finito pode ser visto como um grupo de permutações, que é o conteúdo dos teoremas da cor-
respondência e de Cayley. 
SINAL DE UMA PERMUTAÇÃO E O GRUPO ALTERNADO .
Definição 1. Seja . Dizemos que é uma transposição se existem , com 
 tais que e .
Por simplicidade de notação, costumamos escrever 
Exemplo 1. Em é uma transposição que transforma em , em e 
fixa os demais.
Indicamos: .
Notemos que toda transformação é igual à sua inversa. ou .
Proposição 1. Toda permutação de para , pode ser escrita como um produto de trans-
posições..
Demonstração: Vamos usar indução sobre . Se , ok! Supo-
nhamos que , e . Então , ou seja, fixa . 
Logo, podemos olhar para como uma permutação de e, por hipótese de indução existem 
transposições de que fixam tais que . Portanto, .
Exemplo 2. Em , seja .
Notemos que:
 e também 
Este exemplo mostra que não é única a forma de expressar uma permutação como um pro-
duto de transposições, inclusive o número de transposições.
Na realidade pode-se provar que duas fatorações de uma permutação como produtos de 
transposições têm em comum a paridade do número de fatores. No exemplo acima as fatorações 
têm e fatores (ambos ímpares).
43
Definição 2. Seja . Dizemos que é uma permutação par se é par o número de 
fatores de uma (e, portanto de todas) fatoração como produto de transposições. Quando não é 
par, dizemos que é impar.
Segue da definição acima que o produto de duas permutações de mesmo paridade é par e 
que o produto de duas permutações com paridades distintas é impar. É fácil ver também que e 
 têm a mesma paridade e que a identidade é par (
.
Podemos, dos comentários acima, concluir que é válida a 
Proposição 2. O conjunto de todas as permutações pares de nível é um subgrupo de . 
(Este subgrupo é também conhecido como o grupo alternado de ).
Seja o grupo multiplicativo de ordem , e seja
 
 se é par e se é impar. Então, é um homomorfismo sobrejetivo com 
núcleo .
Do 1º teorema dos homomorfismos segue que e .
Portanto, .
Um artifício para testar a paridade de um é o seguinte: sejam variá-
veis e seja polinômio nestas variá-
veis. Para cada , definamos
. Logo, .
Se então é par e se , é impar.
Exemplo 3. Seja . 
Então 
Logo, é par.
Exemplo 4. Verificando diretamente, 
44
O SUBGRUPO DIEDRAL DE 
Seja . Vamos identificar os elementos de como os vértices de um 
polígono regular de lados de centro , como na figura:
Olhando para como o grupo de todas as permutações do conjunto de vértices , vamos 
agora estabelecer um subgrupo de contendo exatamente elementos.
Indiquemos por a permutação de obtida quando giramos o polígono de no sentido 
trigonométrico, ou seja:
indiquemos por a permutação de obtida quando fazemos a reflexão do polígono em torno 
do eixo , ou seja:
 se é par ou se é impar.
Definição 3. Chamamos subgrupo diedral de ao conjunto de todas as permutação que 
podem ser escritas como uma expressão do tipo
 onde e 
Indicamos 
45
Através de uma observação cuidadosa dos efeitos de composições evolvendo , na figu-
ra, podemos concluir que:
 e .
Usando estas leis, podemos concluir ainda que 
 onde dados 
sempre. Ou seja é um subgrupo de contendo exatamente elementos. é o subgrupo 
menos amplo de que contém .
Exemplo 5. Para , pois 
.
 e como ,segue que 
OS TEOREMAS DA REPRESENTAÇÃO E DE CAYLEY
Proposição 3.(Teorema da representação).Sejam um grupo e tal que . En-
tão existe um subgrupo normal de tal que e, a menos de isomorfismo, . Além 
disto, se e então . 
46
Demonstração: sejam o conjunto quociente de módulo e o 
grupo simétrico (das permutações) de . Consideremos agora a aplicação onde, 
para cada , é dada por .
Notemos que 
, ou seja, 
para cada , é injetiva de em que é finito, logo, e conseqüentemente esta 
bem definida.
Dados é tal que 
 
para cada . Logo ou seja é um homomorfismo de 
grupos.
Por outro lado, notemos que , 
.
Lembrando que , podemos escrever: 
Tomando , temos do 1º teorema do homomorfismo que 
Finalmente, se e então, 
.
Corolário (Teorema de Cayley). Se é um grupo finito de ordem então é isomorfo a algum 
subgrupo de .
Demonstração: Sendo , tomando no teorema da correspondência , 
segue que , donde temos e portanto, é isomorfo a um subgrupo de .
Exemplo 6. Quando é finito é é tal que onde é o menor primo positivo 
divisor da ordem , temos . Com efeito, do teorema da correspondência, existe 
47
 tal que . Sendo o menor divisor primo de , do teorema de La-
grange, é o menor divisor primo positivo de . Segue então que e con-
seqüentemente .
Em particular, se é par e tal que , então . Ainda, como já sabía-
mos, para .
ATIVIDADES
1. Quantas transposições tem ? 
2. Qual a paridade da permutação 
3. Resolva em , a equação .
4. Calcule e .
5. Se é um grupo tal que onde é um primo, e onde 
, prove que .
6. Seja um grupo e suponha que é infinito e simples. Se é um subgrupo própriode 
, prove que é infinito.
COMENTÁRIO DAS ATIVIDADES
Na primeira atividade, você deve ter usado algum conhecimento adquirido no ensino médio 
quando estudou análise combinatória!
Na segunda atividade, como , você deve ter resolvido facilmente, substituindo dire-
tamente na equação , todos os elementos de .
Na quarta, você deve também ter escrito os grupos explicitamente e procurado diretamente 
os seus centros, lembrando sempre do teorema de Lagrange.
A quinta atividade, se você conseguiu desenvolvê-la, usou o fato de que que é o 
menor fator primo da ordem de 
Na sexta, se, por absurdo, fosse finito, do teorema da correspondência existiria 
um subgrupo normal de tal que onde seria um subgrupo de . Sendo simples, 
 seria necessariamente {e} mas, isto implicaria, que é finito.
48
Caro aluno, reler o texto é sempre necessário e procure os tutores sempre que necessite.
REFERÊNCIAS
GONÇALVES, Adilson. Introdução à álgebra. 5. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2007. 194 p. (Projeto 
Euclides) ISBN.
HUNGERFORD, Thomas W. Abstract algebra: an introduction. 2nd. ed. Austrália: Thomson 
Learning, ©1997.
GARCIA, Arnaldo; LEQUAIN, Yves. Elementos de algebra. 3. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2005. 
326 p. (Série: Projeto Euclides). 
 
49
Aula 08
P-GRUPOS E O TEOREMA DE CAUCHY 
META
Conceituar p-grupos e estabelecer o Teorema de Cauchy
OBJETIVOS
Definir p-grupos e aplicar suas propriedades na resolução de problemas.
Reconhecer o teorema de Cauchy sobre ordens de grupos finitos e aplicá-lo na reso-
lução de problemas.
PRÉ-REQUISITO
As aulas 4,5,6 e 7.
49
INTRODUÇÃO
Olá caro aluno, vamos a mais uma aula sobre a teoria dos grupos. Espero que você esteja 
gostando e aprendendo, pois precisamos dos conteúdos das anteriores para compreender os con-
teúdos da presente aula.
Como sabemos, quando um grupo é finito e é um subgrupo de , o teorema de La-
grange afirma que . O recíproco do Teorema de Lagrange não é em geral verdadeiro. 
Nesta aula estudaremos os primeiros resultados que estabelecem hipóteses segundo as quais, para 
um divisor positivo da ordem de um grupo finito , existe um subgrupo de cuja ordem é 
.
CLASSES DE CONJUGAÇÃO E P-GRUPOS
Seja um grupo. Vamos definir em uma relação binária do seguinte modo: dados 
, é conjugado de e indicamos se existe um tal que 
Notemos que: . Se então existe tal que 
.
Se e então existem tais que e . Logo 
.
Provamos que a relação binária é uma relação de equivalência em .
Definição 1. Dado , chamamos classe de conjugação de elemento em , e indica-
mos por à classe de equivalência de , módulo a relação de equivalência acima definida.
Assim, e 
Notemos que se, e somente se, , ou seja, 
. Segue daqui, que 
Esta é a chamada equação das classes e a usaremos a seguir em alguns teoremas. 
Proposição 1. Seja um grupo finito, e (o centralizador de em ).
Então e conseqüentemente .
 Demonstração: Vamos considerar a aplicação de em dada por .
50
Notemos que se então ou seja que 
 ou melhor , portanto está 
bem definida.
Se então 
 ou 
seja donde segue que é injetiva.
Como dado , ; temos que ou seja é sobrejetiva.
Sendo uma bijeção de em para cada , temos que , com que-
ríamos demonstrar.
Definição 2. Dizemos que um grupo finito é um p-grupo se onde é um primo po-
sitivo e .
Exemplo. e têm ordens e respectivamente por-
tanto são p-grupos.
Proposição 2. Se é um p-grupo e então também é um p-grupo e | (G)|>1.ℤ
Demonstração: Seja . Como , do teorema de Lagrange, , 
logo, , tal que .
Para cada e da proposição anterior, logo, , é um 
múltiplo de .
Como temos que ou seja 
.
Exemplo 1. Se onde é um primo positivo, então é abeliano. Da proposição acima, 
 e divide , logo, e conseqüentemente (G) ou seja, é abeliano.
O TEOREMA DE CAUCHY
Proposição 3. Sejam um grupo finito e um primo. Se então existe um elemento 
 tal que , ou melhor, tem um subgrupo cíclico de ordem .
Demonstração: Vamos usar indução sobre . Se , como já sabemos, tal que 
 e o teorema é verdadeiro.
51
Vamos por hipótese de indução supor que o teorema é verdadeiro para todo grupo que te-
nha ordem e considerar os três casos:
1º Caso – é cíclico. Neste, tal que e seja um divi-
sor primo de . Escrevendo onde e , para , temos 
 e, além disto, pois . Portanto é um sub-
grupo cíclico de ordem , como queríamos.
2º Caso – não é cíclico, mas é abeliano. Sejam um divisor primo de e Se 
 então divide a ordem do subgrupo cíclico de e, pelo 1º caso existe um 
 tal que . Como e segue que .
Se , escrevendo e lembrando que , segue que 
. Como , por hipótese de indução, existe tal que .
Assim, e e Seja , estão 
 ou .
Se fosse, , teríamos uma contradição.
Logo, . Tomando , temos que e .
3º Caso – não é abeliano. Neste caso, consideremos a equação das classes 
 e seja um primo divisor de .
Consideremos as duas possibilidades:
1ª Possibilidade: . Neste caso, como é abeliano, pelas partes anteriores, existe 
 tal que .
52
2ª Possibilidade: ∤ . Agora, como , considerando a equação das classes, temos que 
existe pelo menos um tal que ∤ .
Como ] e segue que . Sendo 
 por hipótese de indução existe tal que concluindo com isto 
a nossa demonstração.
CLASSIFICAÇÃO DOS GRUPOS FINITOS DE ORDENS .
Já sabemos que os grupos de ordens e são todos cíclicos e conseqüentemente abelia-
nos.
Seja um grupo de ordem . pode ser cíclico, por exemplo, 
, munido da multiplicação dos números complexos é um grupo 
cíclico de ordem .
Se então, , logo ou seja, .
Neste caso se , , ou seja é abeliano. Notemos 
que estes grupos existem, veja o grupo .
Podemos então afirmar que todo grupo de ordem é abeliano. 
Agora, seja um grupo de ordem . Do teorema de Cauchy, existem tais que 
 e . Seja , como sabemos da aula anterior que 
. Logo, , . Assim, ou e neste 
caso .
No primeiro caso, se então e é cíclico.
53
No segundo caso, .
Uma das ocupações dos estudiosos da teoria dos grupos é estudar as possíveis naturezas dos 
grupos finitos de uma mesma ordem. É uma tarefa difícil e trabalhosa.
RESUMO
Nesta aula definimos os p-grupos e estabelecemos o teorema de Cauchy, onde começamos 
apresentando as classes de conjugação e sua equação que é um conteúdo fundamental na de-
monstração que fizemos do teorema, de Cauchy, acima referido.
ATIVIDADES
1. Calcule todas as classes de conjugação de e de .
2. Se é um -grupo tal que , prove que 
3. Se é um grupo finito que tem exatamente duas classes de conjugação, provar que é abelia-
no.
4. Se tem três classes de conjugação, calcule as possibilidades para a ordem de .
5. Sejam um homomorfismo injetivo de em e um primo tal que . 
Prove que existe tal que .
COMENTÁRIO DAS ATIVIDADES
Na primeira atividade, você deve ter começado olhando os elementos dos centros e depois 
tomado elementos fora do centro e obtendo distintamente seus conjugados.
Na segunda atividade, você deve ter percebido que para 
e usado este fato.
Na segunda e terceira atividades, você deve ter usado a equação das classes e que 
.
Na quinta atividade, você deve ter usado o teorema de Cauchy e o primeiro teorema dos iso-
morfismos (ou o da correspondência). 
REFERÊNCIAS
54
GONÇALVES, Adilson. Introdução à álgebra. 5. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2007. 194 p. (Projeto 
Euclides) ISBN.
HUNGERFORD, Thomas W. Abstract algebra: an introduction. 2nd. ed. Austrália: Thomson 
Learning, ©1997.
GARCIA, Arnaldo; LEQUAIN, Yves. Elementos de algebra. 3. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2005. 
326 p. (Série: Projeto Euclides).
55
Aula 09
OS TEOREMAS DE SYLOW
META
Estabelecer os teoremas de Sylow.
OBJETIVOS
Identificar .
Aplicar os teoremas de Sylow na resolução de problemas.
PRÉ-REQUISITOS
O curso de Fundamentos de Matemática e as aulas anteriores. 
55
INTRODUÇÃO
Esta é a últimaaula deste curso sobre a Teoria dos grupos. Vamos estabelecer os teoremas 
de Sylow que, após os teoremas de Lagrange e Cauchy, constituem os primeiros resultados im-
portantes decorrentes das propriedades aritméticas das ordens dos grupos finitos.
Nesta aula, iniciaremos estabelecendo o conceito de ação de grupos sobre conjuntos de 
modo sucinto, definindo e apresentando apenas os propriedades que utilizaremos nas demonstra-
ções dos três teoremas de Sylow que são os resultados importantes desta aula. 
AÇÃO DE GRUPOS EM CONJUNTOS
Definição 1. Sejam um grupo e um conjunto não vazio. Chamamos ação de em a qual-
quer aplicação de x , que escrevemos, x , satisfazendo às seguintes propri-
edades:
i) 
ii) 
Exemplo 1. Seja um grupo para , a aplicação de x dada por é uma 
ação de em si próprio.
Exemplo 2. Sejam e .
Então, a aplicação x dada por é uma ação no conjunto quociente 
.
Observação. Quando o grupo age no conjunto , para cada . Define-se uma transforma-
ção onde .
É fácil ver que cada é bijetiva onde é dada por .
A ação de um grupo nem conjunto , define uma relação de equivalência neste, assim de-
finida: tal que .
Notemos que , se em , então existe tal que don-
de temos que e, . Se tais que e então existem tais 
que e , donde temos que logo, .
Dados grupo e conjunto com agindo em , definimos a -órbita do elemento 
, como sendo a classe de equivalência de e a indicamos por 
56
Precisamente, . Indicamos o conjunto quociente (das órbitas) por 
.
Quando é finito, lembremos que existem tais que e 
.
Definição 2. Dados grupo, conjunto com agindo em e, , definimos o estabiliza-
dor (ou subgrupo de isotropia) de , como sendo o conjunto
.
Notemos que . Se então e 
 e . Portan-
to, para cada , o estabilizador de é um subgrupo de , como já informamos na definição, 
chamado também de subgrupo de isotropia do elemento de . 
Notemos também que se estão na mesma órbita, isto é, então, seus esta-
bilizadores são conjugados, pois se , para algum , temos:
. Portanto, e são conjugados.
Proposição 1. Sejam um grupo e um conjunto com agindo em então, para cada 
.
Demonstração. Consideramos para cada , a aplicação dada por 
. Então, para , 
. Logo, é 
injetiva. Como estamos lidando com conjuntos finitos, temos a bijetividade. Portanto, 
.(ou ).
Observação. Para , temos 
OS TEOREMAS DE SYLOW
Proposição 1. (1º teorema de Sylow). Sejam um grupo finito e um primo onde 
, onde . Então existe um subgrupo de de ordem .
57
Demonstração. Seja e o conjunto de todos os subconjuntos de com 
elementos.
Façamos agir em do seguinte modo: e , 
Notemos que .
 
Notemos que para e , . Logo, 
.
Seja a potência de de maior expoente na fatoração em primos de (ou de ). Como 
, e ∤ , existe pelo menos uma destas órbitas, digamos 
 tal que ∤ .
Seja um elemento desta órbita, então 
Como e temos que . Lembrando que 
.
Finalmente, como temos que , além disto, 
, logo .
As duas desigualdades acima implicam que e portanto, existe tal 
que .
Observação: O teorema de Cauchy é um caso especial deste teorema.
58
Sejam, um grupo finito, um primo e .
Definição 1. Dizemos que é um p-subgrupo de Sylow de se é a potência de , de maior 
expoente, que divide a ordem de .
Ou seja é um se com e .
Proposição 2. (2º teorema de Sylow). Sejam um grupo finito e um primo divisor da or-
dem de . Então, todos os são conjugados. Ou seja, se são p-subgrupos de Sy-
low, então existe tal que .
Demonstração. Seja um de . Então com e . 
Temos então que .
Seja e seja um outro de . Façamos agir em 
 pela regra . 
Como e , existe uma órbita com elementos tal que 
. Seja um elemento desta órbita. Então, o estabilizador deste elemento é 
.
Ou seja .
Como temos que . Como segue que 
 e . Conseqüentemente e portanto, e 
são conjugados.
Proposição 3. (3º teorema de Sylow). Sejam um grupo finito e um primo divisor da or-
dem de . Então, o número de de é um divisor do índice comum destes subgrupos e, é 
congruente a 1 módulo . 
Demonstração. Sejam com e . Seja o número de de . 
Devemos mostrar que e que . Com efeito, sejam um de , 
 e a ação de em definida por . Notemos que dados 
, existe tal que donde temos que , ou seja, 
para esta ação temos apenas uma órbita ( Todos os grupos de isotropia dos elementos de 
são conjugados ( têm a mesma ordem)).
59
Seja um elemento pré-fixado de . Então 
. Ou 
seja, o estabilizador de é o .
Sejam os elementos de que tem como estabilizador. Então, para 
.
Agora notemos que para cada , e para cada 
. Segue que os elementos 
 são estabilizados pelo .
Sejam os elementos de que são estabilizados por . Então, para cada 
 e cada , temos segue que 
 é estabilizado por . Temos então que e ou seja .
Logo, cada de estabiliza o mesmo número de elementos de .
Como temos que como queríamos.
Agora, façamos o de agir em pela ação (mes-
ma lei de definição de antes). Sabemos que para cada , donde segue que o nú-
mero de elementos de cada órbita é 1 ou uma potência de . Se então 
. Isto implica que 
existem órbitas, sob a ação de com um único elemento. Como as ordens não unitárias são 
múltiplos de , existe tal que ou seja, como, 
, temos e como ou seja 
e portanto . Como queríamos demonstrar.
Exemplo 1. Seja , um grupo de ordem 15. Vamos provar que tem um subgrupo normal. De 
fato, seja o número de subgrupos de de ordem . Pelo 3º teorema de Sylow, temos que 
 e . Segue que . Como existe um único 5-subgrupo de Sylow, pelo 2º 
teorema de Sylow este subgrupo é normal.
RESUMO
Estabelecemos inicialmente a ação de um grupo num conjunto, apresentado suas proprieda-
des onde preparamos os pré-requisitos para as demonstrações dos teoremas de Sylow. Apresenta-
60
mos os teoremas, definimos os , demonstramos os teoremas e terminamos com um exem-
plo no qual aplicamos o 3º e 2º teoremas de Sylow.
ATIVIDADES
1. Seja um grupo de ordem . Prove que tem um subgrupo tal que .
2. Seja um grupo de ordem onde e são primos positivos tais que . Prove que 
tem um subgrupo normal de ordem .
3. Se é simples e abeliano, prove que é um número primo. 
4. Suponhamos que é um grupo simples cuja ordem é onde e é 
primo e . Prove que tem no mínimo dois .
COMENTÁRIO DAS ATIVIDADES
Caro aluno, você deve ter notado que para fazer a primeira atividade basta aplicar diretamen-
te o primeiro teorema de Sylow.
Na segunda, você deve ter imitado o exemplo 3.
A terceira atividade, se você conseguiu fazê-la, você deve ter usado o fato de que todo sub-
grupo de um grupo abeliano é normal. 
Na quarta atividade, usando o 2º teorema de Sylow, se tivesse apenas um , este se-
ria normal.
REFERÊNCIAS
GONÇALVES, Adilson. Introdução à álgebra. 5. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2007. 194 p. (Projeto 
Euclides) ISBN.
HUNGERFORD, Thomas W. Abstract algebra: an introduction. 2nd. ed. Austrália: Thomson 
Learning, ©1997.
GARCIA, Arnaldo; LEQUAIN, Yves. Elementos de álgebra. 3. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2005. 
326 p. (Série: Projeto Euclides). 
 
61
Aula 10
O CONCEITO DE ANEL
META
Apresentar o conceito de anel, suas primeiras definições, diversos exemplos e resul-
tados.
OBJETIVOS
Definir, exemplificar e classificar anéis.
Aplicar as propriedades dos anéis na relação de problemas.
Reconhecer subanéis.
PRÉ-REQUISITOS
O curso de Fundamentos de Matemática e as aulas anteriores.
61
INTRODUÇÃO
Os números inteiros, racionais, reais e complexos podem ser somados e multiplicados entre 
si, e o resultado é ainda um número do mesmo conjunto. Analogamente, podemos somar e mul-
tiplicar matrizes de mesma ordem e outros tipos de objetos que são hoje bastante utilizados. Es-
tes são exemplos de estrutura algébricas menos gerais que