Transformadores

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DESCRIÇÃO
Princípios de funcionamento dos transformadores. Descrição do funcionamento e
comportamento dos transformadores sob diferentes condições de operação.
PROPÓSITO
Compreender o princípio de funcionamento dos transformadores, o comportamento daqueles
monofásicos e trifásicos sob diferentes condições de operação e a determinação de seu
circuito equivalente, assim como os parâmetros do transformador a partir de seus ensaios.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha à mão uma calculadora científica, a calculadora
de seu smartphone ou computador ou um software matemático no qual você tenha mais
conhecimento.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Descrever o funcionamento do transformador monofásico sob diferentes condições de
operação
MÓDULO 2
Descrever o funcionamento do transformador trifásico sob diferentes condições de operação
MÓDULO 3
Identificar os conceitos dos transformadores especiais
INTRODUÇÃO
BEM-VINDO AO ESTUDO DOS
TRANSFORMA DORES
Neste vídeo, um especialista fará um breve resumo do que será estudado no tema,
especificando os principais tópicos de cada módulo.
MÓDULO 1
 Descrever o funcionamento do transformador monofásico sob diferentes condições
de operação
PRIMEIRAS PALAVRAS
O que são transformadores?
Transformadores são máquinas que operam segundo o princípio da indução eletromagnética.
Neste tipo de máquina, a energia elétrica em corrente alternada aplicada no primário do
transformador (com determinado nível de tensão) é transferida através de um circuito
magnético para o secundário da máquina.
O nível de tensão do secundário pode ser igual, maior ou menor que o de tensão do primário;
porém, a frequência da tensão é mantida constante. Atualmente, os transformadores são
empregados em diversos pontos de um sistema elétrico. Eles podem ser encontrados, entre
outras aplicações, em:
 
Fonte: emel82/Shutterstock.com
Usinas geradoras para elevar a tensão em nível de geração para níveis de transmissão.
Fonte da imagem: Shutterstock.com
 
Fonte: KPhrom/Shutterstock.com
Rede de distribuição urbana para alimentar consumidores residenciais.
Fonte da imagem: Shutterstock.com
Além das aplicações mostradas, os transformadores podem ser empregados para medições
em situações cuja tensão e/ou corrente envolvida não possa ser aplicada diretamente nos
equipamentos de medição. Neste caso, são usados respectivamente os transformadores de
potencial (TP) e/ou os de corrente (TC).
ASPECTOS CONSTRUTIVOS
O transformador é constituído basicamente por duas bobinas montadas sobre um núcleo
magnético. Esse núcleo é formado por chapas de material ferromagnético laminadas e
prensadas.
BOBINA PRIMÁRIA
É a que recebe energia.

BOBINA SECUNDÁRIA
É a que a entrega ao sistema conectado ao transformador.
Quanto ao tipo de construção das bobinas no núcleo, os transformadores são classificados em:
 
Fonte: Sergey Merkulov/Shutterstock.com
 Figura 1: Transformador tipo núcleo.
TIPO NÚCLEO
O núcleo é composto por chapas, enquanto os enrolamentos primário e secundário ficam em
cada um dos lados do transformador.
 
Fonte: Sergey Merkulov/Shutterstock.com
 Figura 2: Transformador tipo couraça.
TIPO COURAÇA
O núcleo é formado por chapas, mas os dois enrolamentos são instalados no ramo do centro.
Para evitar perdas por histerese, o núcleo do transformador é composto por placas justapostas
(núcleo laminado) de modo a reduzir as perdas por correntes parasitas. Mediante uma
inspeção visual dos enrolamentos de um transformador, é possível identificar os lados de alta e
de baixa tensão:
LADO DE ALTA TENSÃO (LADO DE AT):
Possui muitas espiras de condutores mais finos;

LADO DE BAIXA TENSÃO (LADO DE BT):
Tem poucas espiras de fio mais grosso.
Para podermos entender o funcionamento do transformador, iniciaremos o estudo do
transformador ideal na próxima seção.
TRANSFORMADOR IDEAL
O transformador ideal é obtido a partir das seguintes hipóteses simplificadoras:

Linearidade magnética do núcleo, ou seja, a permeabilidade magnética do material
ferromagnético que compõe o núcleo é constante;
Não há dispersão de fluxo nas bobinas nem no material ferromagnético, ou seja, o
acoplamento entre as bobinas primárias e secundárias é perfeito;


A resistência dos enrolamentos é nula, ou seja, o transformador não tem perdas por efeito joule
nos seus condutores;
As perdas do núcleo são desprezíveis, ou seja, o transformador não sofre perdas por histerese
nem por correntes parasitas;


A relutância do material ferromagnético é desprezível.
Partindo das hipóteses simplificadoras, observaremos agora um circuito magnético que
representa o transformador operando em vazio (ou seja, sem nenhuma carga conectada no
secundário):
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 3: Circuito magnético do transformador.
Suponhamos que seja aplicada uma tensão
v1(t)
variável no terminal primário do transformador. Uma corrente
i1(t)
variável começará a fluir pelo enrolamento primário que possui
N1
espiras. Pela regra da mão direita, essa corrente produzirá um fluxo de magnetização
ϕ(t)
variável no material ferromagnético, cujo sentido está indicado na figura.
Pela característica puramente indutiva do enrolamento primário, a corrente
i1(t)
é defasada em 90° em relação à tensão
v1(t)
. O fluxo magnético concatenará os enrolamentos primário e secundário do transformador e
induzirá neles as seguintes tensões:
E1(T) = − N1
DΦ
DT
E2(T) = − N2
DΦ
DT
Como o fluxo que concatena as duas bobinas é o mesmo, obtém-se a seguinte fórmula:
E1
E2
=
N1
N2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação do circuito magnético do transformador, por sua vez, é esta:
N1I1 − N2I2 = RΦ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nela,
R
representa a relutância do circuito magnético:
R =
1
Μ
L
S
 [
A
WB
]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
L
é o comprimento do circuito magnético 
μ
é a permeabilidade magnética do material 
S
é área da seção transversal.
A
Wb
, é a unidade de medição da Relutância, onde
A
é Ampère e
Wb
( )
é Weber. Como se fosse km/h. Me parece que ficaria mais bem representado para o aluno em
um texto na horizontal.
Aplicando a hipótese simplificadora, vemos que a relutância do material ferromagnético é zero;
então, podemos dizer que a força magnetomotriz do enrolamento primário é igual à do
secundário:
N1I1 = N2I2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Isso resultará em:
I1
I2
=
N2
N1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o transformador está operando em vazio, a corrente do secundário é zero.
Denominada corrente de magnetização (
im
), a corrente que circula no primário (
i1
) será suficiente para criar o fluxo de magnetização. Portanto, quando opera em vazio,
i1 = im ≈ 0
.
Imaginemos que a tensão aplicada aos terminais do enrolamento primário seja senoidal. Neste
caso, a equação da tensão induzida será dada por:
Sabendo-se que a equação do fluxo é dada por:
Φ(T) = −
1
N ∫EOSEN(ΩT)DT
Φ(T) = 
EO
NΩ
COS(ΩT)
ΦO = 
EO
NΩ
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Das equações que acabamos de ver, podemos verificar que as tensões induzidas estão
defasadas em 90° do fluxo que as formou.
Sabemos também que o fluxo é dado por:
ϕ = BA = 
Eo
Nω
Isso resultará em:
Eo = ωNBA
Sabendo que:
ω = 2πf
A amplitude da tensão induzida será dada por:
Eo = 2πfNBA
O valor eficaz será este:
Eeficaz =
Eo
√2
=
2πfNBA
√2
= 4, 44 fNBA
Portanto, a partir da equação do
Eeficaz
, conseguimos determinar as amplitudes das tensões induzidas no primário (
Eo1
) e no secundário (
Eo2
) do transformador:
EO1 = 2ΠFN1BA
EO2 = 2ΠFN2BA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para fins de simplificação:
{
EO1= E1
EO2 = E2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Finalmente chegamos a:
E1
E2
=
N1
N2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como, no caso de um transformador ideal, a resistência dos enrolamentos é desprezível,
podemos afirmar que:
V1 = E1
V2 = E2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
{
{ | | | || | | |
V1
V2
=
N1
N2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde:
V1
é a tensão de entrada (ou, tensão do primário) 
N1
é o número de espira do primário 
V2
é a tensão de saída (ou, do secundário) 
N2
é o número de espiras do secundário
COMO PODEMOS REPRESENTAR O DIAGRAMA
FASORIAL DO TRANSFORMADOR IDEAL OPERANDO
EM VAZIO?
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 4: Diagrama fasorial do transformador ideal operando em vazio.
Consideremos agora que uma carga indutiva seja conectada ao secundário do transformador:
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 5: Transformador ideal operando com carga indutiva no secundário.

A corrente
I2
estará defasada de um ângulo
θ2
da tensão terminal do secundário
V2
. A força magnetomotriz do secundário
N2I2
produzirá um fluxo magnético contrário ao fluxo de magnetização.
Essa redução do fluxo produzirá uma diminuição das tensões induzidas
E1
e
E2
e fará surgir no primário uma corrente, que será denominada
I ′1
, para suprir a carga do secundário.


Essa corrente aumentará o fluxo produzido pela corrente do primário, fazendo com que o fluxo
de magnetização volte ao seu valor original.
As forças magnetomotrizes do primário e do secundário do transformador serão iguais a:
N1I
′
1 = N2I2


E a corrente total do terminal do primário será igual à soma da corrente de magnetização
Im
e da corrente de carga
I ′1
.
COMO PODEMOS REPRESENTAR O DIAGRAMA
FASORIAL DO TRANSFORMADOR IDEAL OPERANDO
COM CARGA?
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 6: Diagrama fasorial do transformador ideal operando com carga.
VALORES REFLETIDOS NO
TRANSFORMADOR
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 7: Diagrama fasorial do transformador ideal operando com carga.
Consideremos o transformador mostrado na figura acima, em que:
Z1
É a impedância do transformador vista do primário;
javascript:void(0)
Z2
É a impedância do transformador vista do secundário.
A razão entre o número de espiras do primário e do secundário é denominada relação de
espiras, e é dada por:
N1
N2
= A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para os transformadores monofásicos, ficam valendo as seguintes relações:
E1
E2
=
V1
V2
=
I2
I1
=
N1
N2
= A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sabemos que:
V1 = V2
N1
N2
I1 = V2
N2
N1
Como:
{
javascript:void(0)
Z1 =
V1
I1
Z2 =
V2
I2
Podemos fazer então:
V1
I1
=
V2
I2
N1
N2
2
Chegamos a:
Z1 = Z2a
2
Verificamos que qualquer impedância
Z2
localizada no secundário do transformador será vista no primário através do seu valor no
secundário multiplicado pelo quadrado da relação de espiras.
TRANSFORMADOR MONOFÁSICO REAL DE
DOIS ENROLAMENTOS
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 8: Transformador monofásico real de dois enrolamentos.
No estudo do transformador real, usaremos o modelo da figura acima, em que:
{
( )
V1
R1
I1
ΦD1
N1
ΦM1
V2
R2
I2
ΦD2
N2
ΦM2
V1
Tensão terminal do primário do transformador.
R1
Resistência do enrolamento primário.
I1
Corrente terminal do primário do transformador.
ΦD1
Fluxo de dispersão do enrolamento primário.
N1
Número de espiras do enrolamento primário.
ΦM1
Fluxo de magnetização da bobina 1.
V2
Tensão terminal do secundário do transformador.
R2
Resistência do enrolamento secundário.
I2
Corrente terminal do secundário do transformador.
ΦD2
Fluxo de dispersão do enrolamento secundário.
N2
Número de espiras do enrolamento secundário.
ΦM2
Fluxo de magnetização da bobina 2.
Em nosso estudo, faremos as seguintes hipóteses:
1.
Linearidade magnética do núcleo, ou seja, a permeabilidade magnética do material
ferromagnético que compõe o núcleo é constante.
2.
Há dispersão de fluxo nas bobinas nem no material ferromagnético, ou seja, o acoplamento
entre as bobinas primárias e secundárias não é perfeito.
3.
A resistência dos enrolamentos não é nula, ou seja, o transformador possui perdas por efeito
joule nos seus condutores.
4.
As perdas do núcleo não são desprezíveis, ou seja, o transformador possui perdas por
histerese e por correntes parasitas.
5.
A relutância do material ferromagnético não é desprezível.
1
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 9: Transformador monofásico real sem as resistências dos enrolamentos.
Para resolver esse problema, primeiramente devemos desconsiderar as resistências dos
enrolamentos primário e secundário.
Aplicaremos agora o teorema da superposição, começando pela ação da tensão induzida no
enrolamento primário.
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 10: Transformador monofásico real sem as resistências dos enrolamentos.
2
3
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 11: Transformador monofásico real sem as resistências dos enrolamentos. Efeito da
tensão induzida no secundário.
Em seguida, consideraremos os efeitos da tensão induzida secundária.
Após uma análise dessas figuras, vemos que o fluxo total na bobina do primário é:
Φ1 = ΦD1 + ΦM
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MAS:
ϕm = ϕm1 − ϕm2
PORTANTO:
ϕ1 = ϕd1 + ϕm1 − ϕm2
PELAS HIPÓTESES SIMPLIFICADORAS DO
TRANSFORMADOR MONOFÁSICO REAL, QUAL SERÁ
O FLUXO NA BOBINA DO PRIMÁRIO?
ϕ1 =
L1i1
N1
+
Lm1i1
N1
−
Lm2i2
N2
Aplicando a Lei de Ampère ao circuito, encontramos o seguinte:
RMΦM1 = N1I1 → ΦM1 =
N1I1
RM
RMΦM2 = N2I2 → ΦM2 =
N2I2
RM
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
SABEMOS QUE:
{
ϕm1 =
Lm1i1
N1
 
ϕm2 =
Lm2i2
N2
 
→ Lm2 = Lm1
N2
N1
2
POR FIM:
ϕ1 =
L1i1
N1
+
Lm1i1
N1
− Lm1
N2
N1
2 i2
N2
Agora, multiplicando os dois membros da equação por
N1
, teremos:
N1Φ1 = L1I1 + LM1I1 − LM1
N2
N1
I2
N1Φ1 = L1I1 + LM1 I1 −
N2
N1
I2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Derivando a expressão anterior em função do tempo, temos:
N1
dϕ1
dt
= L1
di1
dt
+ Lm1
d
dt
i1 −
N2
N1
i2
{ ( )
( )
( )
( )
( )
Chegamos a:
e ′1 = L1
di1
dt
+ Lm1
d
dt
i1 −
N2
N1
i2
Do modelo do transformador, sabemos que:
v1 = r1i1 + e
′
1
Portanto:
v1 = r1i1 + L1
di1
dt
+ Lm1
d
dt
i1 −
N2
N1
i2
A corrente de magnetização
im
é a diferença entre a corrente que circula no terminal primário do transformador e a corrente do
terminal do secundário refletida para o primário.
Ou seja:
IM = I1 −
N2
N1
I2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
QUAL É O CIRCUITO ELÉTRICO QUE TRADUZ A
EQUAÇÃO 
 
( )
( )
V1 = R1I1 + L1
DI1
DT
+ LM1
D
DT
I1 −
N2
N1
I2
?
RESPOSTA
RESPOSTA
Em que:
Corrente do secundário refletida para o primário:
i ′2
;
Tensão induzida devido ao fluxo mútuo:
e1 = Lm1
d
dt
im1
.
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 12: Circuito equivalente do primário do transformador.
( )
Fazendo um procedimento análogo ao realizado no lado primário, chegamos ao circuito
equivalente do secundário do transformador.
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 13: Circuito equivalente do primário do transformador.
Para o transformador real, teremos o seguinte sistema de equações:
V1 = R1I1 + L1
D
DT I1 + E1 
V1 = E2 − L2
D
DT I2 − R2I2 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 14: Circuito equivalente do transformador real.
{
Tendo em mente o conceito de transformador ideal, o circuito equivalente do transformador real
é mostrado na figura acima.
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 15: Circuito equivalente completo do transformador real (com resistor que
representa as perdas no núcleo).
Podemos perceber, porém,que o modelo apresentado na figura 14 não contempla as perdas
no núcleo. Por conta disso, adicionamos a resistência fictícia
rf1
na Figura 15 acima.
Para que possamos resolver esse circuito em regime permanente, devemos passá-lo para o
domínio da frequência, conforme mostrado na Figura 16.
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 16: Circuito equivalente completo do transformador real no domínio da frequência.
Agora, podemos referir todas as grandezas do secundário para o primário, conforme mostrado
na Figura 17.
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 17: Circuito equivalente completo do transformador real no domínio da frequência
com as grandezas do secundário referidas para o primário.
Em que:
R ′2 = R2
N1
N2
2
X ′2 = X2
N1
N2
2
V ′2 = V2
N1
N2
I ′2 = I2
N2
N1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
{ ( )( )
As impedâncias dos transformadores são classificadas como longitudinal e transversal,
conforme destaca esta figura, em que
Z1
e
Z ′2
são as impedâncias longitudinais e
Zm1
, a impedância transversal.
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 18: Impedâncias longitudinais e transversal.
Como a corrente
Iv1 ≪ I1
, temos
I1 ≈ I
′
2
; portanto, em algumas aplicações, o ramo transversal pode ser desprezado. Observemos o
modelo simplificado do transformador na figura 19 a seguir.
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 19: Modelo simplificado do transformador com a impedância transversal.
No circuito equivalente acima, não é possível separar a impedância do primário da impedância
do secundário referida para o primário. Desse modo, podemos considerar o seguinte:
Z1 = Z
′
2 =
ZE1
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ENSAIOS DOS TRANSFORMA DORES
No estudo do comportamento do transformador, é necessário determinar os valores de suas
impedâncias. Para isso, são realizados os seguintes ensaios em:
VAZIO

CURTO-CIRCUITO
ENSAIO EM VAZIO
Para que é realizado o ensaio em vazio? E como ele é feito?
Esse ensaio é realizado com o objetivo de determinar a impedância transversal do
transformador. Para isso, alimenta-se um dos lados com a tensão nominal, deixando o outro
lado do transformador em aberto. São medidas a tensão terminal, a corrente e a potência
consumida no ensaio.
Normalmente, alimenta-se o lado de tensão inferior. E como o lado de tensão superior está em
aberto, deve-se ter muito cuidado para evitar acidentes.
O arranjo do transformado no ensaio em vazio é mostrado na Figura 20.
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 20: Montagem do transformador para o ensaio em vazio.
COM O ENSAIO EM VAZIO, CONSEGUIMOS
DETERMINAR:
As perdas no núcleo;
A impedância transversal;
A relação de transformação;
A corrente em vazio;
As perdas em vazio.
Com as medições de potência, corrente e tensão do ensaio em vazio, temos:
PO
Potência em vazio.
javascript:void(0)
VO
Tensão em vazio.
IO
Corrente em vazio.
De posse das medições, fazemos:
1
Rf1 =
V2o
Po
No entanto:
I2o = I
2
f + I
2
m
Im = I
2
o − I
2
f
2
3
Portanto:
Xm =
Vo
Im
√
javascript:void(0)
javascript:void(0)
A potência ativa consumida pelo transformador em vazio é:
Po = Vo Iocos θo
4
5
Logo:
cos θo =
Po
Vo Io
É o fator de potência do transformador em vazio.
ENSAIO EM CURTO-CIRCUITO
Para que é realizado o ensaio em curto-circuito? Como ele é feito?
Ensaio realizado para se determinar a impedância longitudinal do transformador. Para a
realização desse ensaio, é provocado um curto-circuito em um dos enrolamentos do
transformador. Em seguida, aplica-se no outro enrolamento uma tensão variável. Partindo do
zero, a tensão é ajustada até provocar a circulação da corrente nominal no enrolamento do
transformador.
Normalmente, o curto-circuito é realizado do lado de tensão de tensão inferior. Vejamos na
figura a seguir o arranjo do transformador no ensaio em vazio:
( )
( )
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 21: Montagem do transformador para o ensaio em vazio.
COM O ENSAIO EM CURTO-CIRCUITO, CONSEGUIMOS
DETERMINAR:
As perdas no cobre;
A impedância longitudinal;
A queda de tensão interna a plena carga;
Fator de potência em curto-circuito.
Com as medições de potência, corrente e tensão do ensaio em curto-circuito, temos:
PCC
Potência em curto-circuito.
VCC
Tensão em curto-circuito.
ICC
Corrente em curto-circuito.
De posse das medições, fazemos:
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
Ze1 =
Vcc
Icc
Re1 =
Pcc
I 2cc
Sabemos que:
Ze1 = Re1 + j Xe1
Logo:
Xe1 = Z
2
e1 − R
2
e1
R1 ≈ R
′
2 =
Re1
2
X1 ≈ X
′
2 =
Xe1
2
A potência ativa consumida pelo transformador em curto-circuito é:
PCC = VCCICCcos θCC
Desse modo:
cos θcc =
Pcc
VccIcc
TRANSFORMADOR COM CARGA VARIÁVEL
Estuda o diagrama fasorial do transformador sujeito a diferentes tipos de carga. Para tal,
consideraremos este circuito equivalente do transformador:
√
( )
( )
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 22: Transformador operando com carga variável.
Com o transformador operando a plena carga, a corrente do ramo transversal pode ser
desprezada, sendo possível considerar
I1 ≈ I
′
2
. Com isso, o circuito equivalente poderá ser reduzido para o que consta na figura ao lado.
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 23: Modelo reduzido do transformador operando a plena carga.
Partindo desse modelo, apresentaremos a seguir o diagrama fasorial do transformador para as
diferentes condições de carga:
A) CARGA INDUTIVA (
Θ2 < 0
< /SPAN>)
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 24: Transformador operando com carga indutiva.
B) CARGA RESISTIVA (
Θ2 = 0
)
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 25: Transformador operando com carga resistiva.
C) CARGA CAPACITIVA (
Θ2 > 0
)
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 26: transformador operando com carga capacitiva.
A partir desses diagramas fasoriais, podemos apresentar o conceito da regulação de tensão,
que nos diz quanto a tensão terminal de um transformador operando sob carga variará, caso a
carga seja retirada de seus terminais ou, em outras palavras, nos dá a variação relativa da
tensão secundário do transformador, entre sua operação em vazio e sua operação com carga.
A regulação de tensão do transformador é dada por:
REG% =
VEM VAZIO2 − V
EM CARGA
2
VEM CARGA2
100%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RENDIMENTO DO TRANSFORMADOR
O rendimento é definido como sendo a razão entre a potência de saída e a potência de entrada
de um equipamento. A Figura 28 mostra o fluxo de potência em um transformador.
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 27: Fluxo de potência em um transformador.
Considerando o circuito equivalente do transformador mostrado na figura 22, podemos
desprezar a queda de tensão sobre a impedância
R1 + jX1
e considerar que a tensão na impedância transversal é aproximadamente igual à terminal do
transformador. Conseguimos, portanto, verificar que as perdas no ferro podem ser aproximadas
por:
PFERRO =
V21
RF1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em função dessa aproximação, podemos considerar que:
As perdas do ferro são constantes para quaisquer condições de operação do transformador e
são iguais às perdas obtidas no ensaio em vazio.
Agora, considerando que a corrente do ramo transversal pode ser desprezada, temos que as
perdas do cobre para um fator de carga
k
, para
0 < k < 1
, é dada por:
Pcobre Re kInominal
2 k2ReInominal
2
Pcc
Analisando esta equação, podemos concluir que, conhecendo-se as perdas do transformador
para o ensaio em curto-circuito, as perdas do cobre para qualquer condição de operação
podem ser obtidas multiplicando as perdas no cobre do ensaio em curto-circuito pelo quadrado
do fator de carga.
Diante do exposto, temos que:
PARA QUALQUER CONDIÇÃO DE OPERAÇÃO, AS
PERDAS DO TRANSFORMADOR SERÃO IGUAIS A:
Pperdas = Po + k
2Pcc
O RENDIMENTO PODERÁ SER DADO POR:
η% =
P2
P2 + Po + k
2Pcc
100% =
V2I2cos (θ2)
V2I2cos (θ2) + Po + k
2Pcc
100%
POLARIDADE DE UM TRANSFORMADOR
POR QUE ÉIMPORTANTE CONHECER A
POLARIDADE DO TRANSFORMADOR?
RESPOSTA
javascript:void(0)
RESPOSTA
Conhecê-la é importante para:
Efetuar a ligação de transformadores em paralelo;
Para a ligação de bancos trifásicos;
Para a correta ligação de transformadores de corrente nos sistemas de proteção.
A polaridade instantânea das tensões envolvidas em um transformador depende,
fundamentalmente, dos sentidos dos enrolamentos das bobinas do transformador, que podem
ser concordantes ou discordantes.
A) CONCORDANTES:
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 28a: Tipo de enrolamentos concordantes.
B) DISCORDANTES:
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 28b: Tipo de enrolamentos discordantes.
A diferença entre eles é o sentido com que o enrolamento é feito no material ferromagnético.
Para identificarmos os terminais do transformador, usaremos como convenção esta nomeação
dos terminais:
TERMINAIS DE TENSÃO SUPERIOR POR:
H1
E
H2
TERMINAIS DE TENSÃO INFERIOR POR:
X1
E
X2
A polaridade mais positiva da tensão indica os terminais com índice 1 do lado de tensão
superior e inferior, ou seja, para
H1
e
X1
. Em função do tipo de enrolamento, temos a polaridade:
 
EnsineMe
 Figura 29a: Polaridade subtrativa.

 
EnsineMe
 Figura 29b: Polaridade aditiva.
Como podemos identificar se uma polaridade é aditiva ou subtrativa?
Para isso, devemos provocar um curto-circuito em um terminal do lado de tensão inferior com
outro do lado de tensão superior e, em seguida, medir a diferença de potencial entre os outros
dois terminais.
 EXEMPLO
Na figura 29a, fazendo a lei das malhas, a diferença de potencial entre os terminais
H1
e
X1
será esta:
VH1 − e1 + e2 − VX1 = 0
VH1 − VX1 = e1 − e2
Portanto, para esse transformador, a polaridade é subtrativa.
MÉTODOS PARA IDENTIFICAÇÃO DA
POLARIDADE
A identificação da polaridade de um transformador é importante para a definição dos terminais
que tenham a mesma polaridade instantânea. Conhecendo a polaridade dos diversos
enrolamentos do transformador, podemos ligá-lo de modo a obter várias relações de
transformação.
Os métodos para se determinar a polaridade do transformador são:
DO GOLPE INDUTIVO:
Nesse ensaio, alimenta-se o lado de tensão superior com uma fonte contínua de tensão e
coloca-se um voltímetro de zero central para medir a tensão entre os terminais do lado de
tensão inferior. Ao se fechar a chave
k
, se o ponteiro do voltímetro se deslocar para a direita (sentido positivo da tensão), a polaridade
do transformador será subtrativa, mas, se ele se deslocar para a esquerda, ela será aditiva.
 
EnsineMe
 Figura 30: Método do golpe indutivo.
DA CORRENTE DA ALTERNADA:
Neste ensaio, é criado um curto-circuito entre um terminal de tensão superior e um de tensão
inferior do transformador. Depois, colocam-se os voltímetros
V1
e
V2
para medir as diferenças de potencial entre os terminais de tensão superior e entre aqueles
indicados na figura. Em seguida, aplica-se uma tensão alternada entre os terminais de tensão
superior. Se
V2 < V1
, a polaridade do transformador será subtrativa; se
V2 > V1
, aditiva.
 
EnsineMe
 Figura 31: Método da corrente alternada.
DO TRANSFORMADOR PADRÃO:
Neste ensaio, coloca-se um transformador com a polaridade conhecida (transformador padrão)
em paralelo com outro cuja polaridade se queira determinar. Depois, é feito um curto-circuito
entre o terminal
X1
do transformador padrão e um dos terminais de baixa tensão do outro transformador. Em
seguida, coloca-se um voltímetro para, conforme mostra a figura, medir a diferença de
potencial entre os outros dois terminais de baixa tensão. Agora:
Se
V ≈ 0
, a polaridade do transformador é igual à do transformador;
Se
V ≠ 0
, ela é contrária à polaridade padrão.
 
EnsineMe
 Figura 32: Método do transformador padrão.
Para que os transformadores possam ser usados em paralelo, eles deverão ter a:
Mesma relação de transformação;
Mesma classe de tensão.
Conhecendo a polaridade dos transformadores, podemos fazer conexões entre diversos
transformadores a fim de ligá-los de acordo com os níveis de tensão do lado de tensão superior
e inferior.
Imaginemos dois transformadores monofásicos 115V / 10V.
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 33: Dois transformadores monofásicos 115V / 10V.
Qual é a forma correta de conectá-los para se obter uma transformação de 230V para 10V? A
resposta é:
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 34: Ligação dos transformadores de modo a obter-se uma transformação de 230V /
10V.
MÃO NA MASSA
1. UM TRANSFORMADOR MONOFÁSICO IDEAL DE 440V / 220V, POSSUI
DUAS MIL ESPIRAS NO LADO DE ALTA TENSÃO. O NÚMERO DE
ESPIRAS NO LADO DE BAIXA TENSÃO DO TRANSFORMADOR É:
A) 4.000
B) 2.000
C) 1.000
D) 500
E) 100
2. NO SECUNDÁRIO DE UM TRANSFORMADOR MONOFÁSICO IDEAL DE
1KV / 120V, ESTÁ CONECTADA UMA RESISTÊNCIA DE
10Ω
. SABENDO QUE A TENSÃO TERMINAL DO LADO DE AT É 1KV, A
CORRENTE NO LADO DE AT DESSE TRANSFORMADOR, EM A, É DE:
A) 24
B) 12
C) 6
D) 2,88
E) 1,44
3. CONSIDERE UM TRANSFORMADOR 1 KV / 220 V CUJA IMPEDÂNCIA
DO RAMO TRANSVERSAL, REFERIDA PARA O LADO DE AT É
5 + J20Ω
. NO SECUNDÁRIO DO TRANSFORMADOR ESTÁ CONECTADA UMA
CARGA ALIMENTADA EM 220 V, QUE DRENA DA REDE UMA CORRENTE
DE 50 A E FATOR DE POTÊNCIA 0,8 (INDUTIVO). DESPREZANDO A
IMPEDÂNCIA DO RAMO TRANSVERSAL, O MÓDULO DA TENSÃO
TERMINAL PRIMÁRIA DO TRANSFORMADOR, EM KV, É
APROXIMADAMENTE:
A) 0,98
B) 1,00
C) 1,05
D) 1,19
E) 1,23
4. CONSIDERANDO O TRANSFORMADOR E AS CONDIÇÕES DE
OPERAÇÃO DO PROBLEMA ANTERIOR, A REGULAÇÃO DO
TRANSFORMADOR, EM VALORES PERCENTUAIS, É
APROXIMADAMENTE:
A) 23
B) 19
C) 5
D) 0
E) -2
5. 
 
A CONEXÃO DE DOIS TRANSFORMADORES MONOFÁSICOS DE 1.000V /
100V É REALIZADA CONFORME MOSTRA A FIGURA ACIMA. SABENDO
QUE A TENSÃO TERMINAL DO LADO DA AT É DE 1.000V, A TENSÃO DO
LADO BT, EM VOLTS, SERÁ IGUAL A:
A) 0
B) 100
C) 200
D) 500
E) 1.000
6. OS ENSAIOS REALIZADOS EM UM TRANSFORMADOR DE 115KVA,
10KV / 200V APRESENTARAM OS SEGUINTES RESULTADOS:
PERDAS NO ENSAIO EM VAZIO: 2KW;
PERDAS NO ENSAIO EM CURTO-CIRCUITO: 10KW.
CONSIDERANDO QUE O TRANSFORMADOR ATENDA COM TENSÃO
TERMINAL NOMINAL DO LADO DE BT A UMA CARGA QUE DEMANDE
80% DA CORRENTE NOMINAL E TENHA FATOR DE POTÊNCIA 0,92
(INDUTIVO), O RENDIMENTO PERCENTUAL DO TRANSFORMADOR SERÁ
APROXIMADAMENTE O SEGUINTE:
A) 97
B) 91
C) 88
D) 85
E) 80
GABARITO
1. Um transformador monofásico ideal de 440V / 220V, possui duas mil espiras no lado
de alta tensão. O número de espiras no lado de baixa tensão do transformador é:
A alternativa "C " está correta.
Em um transformador ideal, temos:
VAT
NAT
=
VBT
NBT
440
2.000
=
220
NBT
Portanto:
NBT = 1.000
2. No secundário de um transformador monofásico ideal de 1kV / 120V, está conectada
uma resistência de
10Ω
. Sabendo que a tensão terminal do lado de AT é 1kV, a corrente no lado de AT desse
transformador, em A, é de:
A alternativa "E " está correta.
A relação de espiras desse transformador é:
a =
VAT
VBT
=
1.000
120
= 8, 33
Agora, referindo para o lado de AT a resistência conectada ao lado de BT, temos:
RAT = RBTa
2 = 10 × (8, 33)2 = 694, 44
E, finalmente, a corrente do lado de AT será:
IAT =
VAT
RAT
=
1.000
694, 44
= 1, 44
3. Considere um transformador 1 kV / 220 V cuja impedância do ramo transversal,
referida para o lado de AT é
5 + j20Ω
. No secundário do transformador está conectada uma carga alimentada em 220 V, que
drena da rede uma corrente de 50 A e fator de potência 0,8 (indutivo). Desprezando a
impedância do ramo transversal, o módulo da tensão terminal primária do
transformador, em kV, é aproximadamente:
A alternativa "D " está correta.
Veja a resolução da questão no vídeo a seguir:
HTTP Error 404.0 - Not Found
The resource you are looking for
has been removed, had its name
changed, or is temporarily
unavailable.
4. Considerando o transformador e as condições de operação do problema anterior, a
regulação do transformador, em valores percentuais, é aproximadamente:
A alternativa "B " está correta.A regulação de tensão do transformador será:
Reg% =
Vem vazio2 − V
em carga
2
Vem carga2
100% =
1, 19 − 1, 00
1, 00 100% = 19%
5. 
 
A conexão de dois transformadores monofásicos de 1.000V / 100V é realizada conforme
mostra a figura acima. Sabendo que a tensão terminal do lado da AT é de 1.000V, a
tensão do lado BT, em volts, será igual a:
A alternativa "A " está correta.
Como as polaridades dos transformadores do lado de BT estão discordantes, a tensão terminal
do lado de BT é igual a 0 (zero).
6. Os ensaios realizados em um transformador de 115kVA, 10kV / 200V apresentaram os
seguintes resultados:
Perdas no ensaio em vazio: 2kW;
Perdas no ensaio em curto-circuito: 10kW.
Considerando que o transformador atenda com tensão terminal nominal do lado de BT a
uma carga que demande 80% da corrente nominal e tenha fator de potência 0,92
(indutivo), o rendimento percentual do transformador será aproximadamente o seguinte:
A alternativa "B " está correta.
Veja a resolução da questão no vídeo a seguir:
Erro HTTP 404.0 - Not Found
O recurso que você está
procurando foi removido, teve o
seu nome alterado ou está
temporariamente indisponível.
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Ensaios em laboratório realizados em um transformador monofásico de 1.000VA, 230V / 115V
forneceram os resultados mostrados na tabela a seguir:
ENSAIO EM
VAZIO
ENSAIO DE CURTO-
CIRCUITO
Vo = 115V Vcc = 17, 1V
Io = 0, 11A Icc = 8, 7A
Po = 3, 9W Pcc = 38, 1W
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
Diante do exposto, determine as impedâncias do transformador referidas para o lado de AT.
RESOLUÇÃO
Veja a resolução da questão no vídeo a seguir:
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. UM TRANSFORMADOR MONOFÁSICO DE 45KVA E 12KV / 440V
ATENDE A UMA CARGA CONECTADA AO SEU LADO DE BT COM
TENSÃO E CORRENTE NOMINAIS. A IMPEDÂNCIA DO
TRANSFORMADOR REFERIDA PARA O LADO DE BT É 0,5 + J
Ω
. SABENDO QUE O FATOR DE POTÊNCIA DA CARGA É 0,75
(CAPACITIVO), A TENSÃO TERMINAL DO LADO DE AT, EM KV, É
APROXIMADAMENTE:
A) 15,9
B) 13,5
C) 13,1
D) 11,6
E) 10,9
2. PARA O TRANSFORMADOR DA ATIVIDADE ANTERIOR, A POTÊNCIA
APARENTE DE ENTRADA, EM KVA, É APROXIMADAMENTE:
A) 45,0
B) 43,5
C) 42,9
D) 41,8
E) 40,8
GABARITO
1. Um transformador monofásico de 45kVA e 12kV / 440V atende a uma carga conectada
ao seu lado de BT com tensão e corrente nominais. A impedância do transformador
referida para o lado de BT é 0,5 + j
Ω
. Sabendo que o fator de potência da carga é 0,75 (capacitivo), a tensão terminal do lado
de AT, em kV, é aproximadamente:
A alternativa "D " está correta.
 
A corrente do lado de BT é esta:
IBT =
Snom
VBT
=
45.000
440
= 102, 27∠41, 41
A relação de espiras é:
a =
VAT
VBT
=
12.000
440
= 27, 23
Referindo os valores da tensão e da corrente do lado de BT para o lado de AT, vemos que:
V ′AT = VBT + ZBTIBT = 440 + (0, 5 + j)( 102, 27∠41, 41) = 425, 32∠15, 062
VAT = V
′
AT a = 425, 32 × 27, 23 = 11, 6kV
2. Para o transformador da atividade anterior, a potência aparente de entrada, em kVA, é
aproximadamente:
A alternativa "B " está correta.
 
A potência aparente de entrada será dada por:
SAT = V
′
AT
¯
IBT = 425, 32∠15, 062 × 102, 27∠ − 41, 41 = 43, 5∠ − 26, 35kVA
SAT = 43, 5kVA
MÓDULO 2
 Descrever o funcionamento do transformador trifásico sob diferentes condições de
operação
| | | |
| |
TRANSFORMA DORES TRIFÁSICOS
Na atualidade, a maioria dos sistemas de potência emprega sistemas trifásicos para o
transporte de energia; por isso, o estudo deles é de extrema importância.
A transformação trifásica pode ser obtida de duas formas:
 
Fouad A. Saad/Shutterstock.com
 Transformador com seis enrolamentos em núcleo único.
Usando um núcleo comum de material ferromagnético com seis enrolamentos.
javascript:void(0)
 
Fouad A. Saad/Shutterstock.com
 Conjunto com três transformadores monofásicos formando um banco de transformadores.
Por meio de um conjunto de três transformadores monofásicos, formando um banco de
transformadores.
Conheceremos a seguir alguns destaques desses transformadores:
1º No que se refere ao transformador com seis enrolamentos em núcleo único, cabe destacar
que:
1
Os circuitos magnéticos são dependentes;
2
Há menos perdas no ferro, pois existe uma contribuição no fluxo de um dos enrolamentos nos
demais, uma vez que os circuitos magnéticos são acoplados.
javascript:void(0)
2º No que se refere ao conjunto com três transformadores monofásicos formando um banco de
transformadores, deve-se ressaltar que:
Neste tipo de configuração de transformação trifásica, os transformadores deverão ter:
Mesma potência nominal;
Mesma relação de transformação;
Polaridades conhecidas;
Impedâncias com valores próximos.
Cabe ainda destacar que os bancos de transformadores monofásicos:
Têm circuitos magnéticos independentes;
Apresentam maior perda no ferro quando comparados com os transformadores trifásicos
de núcleo comum;
São mais caros;
São mais práticos em relação à manutenção.
Como ocorre a transformação trifásica?
Suponhamos que o lado de alta tensão (lado de AT) esteja conectado a um barramento onde
temos uma tensão trifásica, sequência positiva, onde as tensões de linha sejam defasadas de
120°.
Levando em consideração que o primário esteja conectado em Y, as tensões de linha e as de
fase do lado de AT do transformador serão mostradas na figura 35. Já o diagrama fasorial será
representado na figura 36.
 
EnsineMe/Shutterstock.com
 Figura 35: Tensões de linha e tensões de fase no lado de AT do transformador.
 
EnsineMe/Shutterstock.com
 Figura 36: Diagrama fasorial do lado de BT.
Cada tensão de fase será aplicada em todos os enrolamentos primários do transformador.
Cada uma dessas tensões primárias induzirá uma tensão nos enrolamentos do secundário do
transformador. Trata-se das tensões de fase, que serão dadas a seguir:
VA =
VA
A
VB =
VB
A
VC =
VC
A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Supondo agora que o lado de baixa tensão do transformador (lado de BT) seja ligado em Y,
veremos na figura 37 as tensões de fase e de linha do lado de BT. Já o diagrama fasorial
correspondente será mostrado na figura 38.
 
EnsineMe
 Figura 37: Tensões de linha e tensões de fase no lado de BT do transformador.
{
 
EnsineMe
 Figura 38: Diagrama fasorial do lado de BT.
Agora veremos que, em uma única figura, há os diagramas fasoriais das tensões dos lados de
AT e BT do transformador. Nela, você pode observar que não há defasagem angular entre as
tensões de linha dos lados de AT e BT:
 
Fonte: EnsineMe/Shutterstock.com
 Figura 39: Diagrama fasorial dos lados de AT e BT.
RELAÇÃO DE TRANSFORMAÇÃO
Faremos considerações sobre alguns aspectos da relação de transformação:
ASPECTO 01
ASPECTO 02
ASPECTO 03
ASPECTO 04
ASPECTO 01
Relação de espiras de um transformador é a razão entre a quantidade de espiras do primário e
a quantidade do secundário:
NAT
NBT
= a
ASPECTO 02
Já a relação de transformação é a razão entra a tensão terminal do lado de AT e a do lado de
BT:
VAT
VBT
= r
ASPECTO 03
Nos transformadores monofásicos, a relação de espiras (
a
) se confunde com a de transformação (
r
), pois temos:
VAT
VBT
=
NAT
NBT
= a = r
ASPECTO 04
Nos transformadores trifásicos, contudo, a relação de transformação depende da forma como
os enrolamentos dos lados de AT e de BT do transformador estão ligados.
Destacaremos agora um exemplo do que que acontece nos transformadores trifásicos. Para
isso, levemos em consideração este transformador
Y–△
:
 
Fonte: EnsineMe/Shutterstock.com
 Figura 40: transformador
Y–△
.
Considerando que os módulos das tensões de linha do primário e do secundário sejam
respectivamente
V1
e
V2
e que o número de espiras das bobinas dos enrolamentos primário e do secundário sejam
respectivamente
N1
e
N2
da análise das tensões do transformador, obteremos a seguinte fórmula:
V1
√3
N1 =
V2
N2
→
R
⏞V1
V2
= √3
A
⏞
N1
N2
→ R = √3A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a relação de transformação de um transformador 
Y△
é
r = √3a.
Já sabemos que a força magnetomotriz da bobina do lado de AT é igual à do lado de BT.
Considerando
I1
e
I2
respectivamente as correntes de linha do lado de AT e BT, passemos à análise das relações de
corrente do transformador:
I1N1 =
I2
√3
N2 ⟶ I2 = √3
N1
N2
I1 ⟶ I2 = √3AI1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
1
Agora sabemos que:
V2 =
V1
√3a
E que:
I2 = √3aI1
2
3
A razão:
V2
I2
=
1
3a2
V1
I1
⟶ Z2 =
Z1
3a2
Ou seja, caso tenhamos uma impedância no primário do transformador
Y–△
e queiramos referi-la para o secundário do transformador, basta multiplicarmos a do primário
por
1
3a2
.
DESLOCAMENTO ANGULAR
O que é o deslocamento angular?
Trata-se do nome dado à defasagem angular entre a tensão de linha primária e a de linha
secundária. Para compreendermos esse conceito, veremos a seguir o diagrama fasorial do
transformador
Y–△
e observaremos que a tensão de linha do lado de BT está atrasada 30° em relação à de AT.
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 41: Diagrama fasorial das tensões do transformador
Y– δ
.
Conhecer o defasamento angular de um transformador é importante, pois, para que
transformadores possam ser ligados em paralelo, eles devem pertencer ao mesmo grupo de
defasamento angular.
MODELOS DE TRANSFORMA DORES
Os modelos equivalentes dos circuitos dos transformadores trifásicos dependerão, como
mostram as figuras a seguir, da forma como eles estão ligados.
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 42: Circuito equivalente do transformador
Y − Y
.
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 43: Circuito equivalente do transformador
△ − △
.
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 44: Circuito equivalente do transformador
△ − Y
.
MÃO NA MASSA
1. UM TRANSFORMADOR TRIFÁSICO COM LIGAÇÃO
Y–△
É FORMADO POR UM BANCO DE TRANSFORMADORES MONOFÁSICOS
QUE POSSUI, EM SEUS ENROLAMENTOS DE AT E BT, 10000 E 2000
ESPIRAS, RESPECTIVAMENTE. APLICANDO UMA TENSÃO DE 13,8KV NO
LADO DE AT, A TENSÃO TERMINAL NO LADO DE BT, EM KV, SERÁ
APROXIMADAMENTE:
A) 4,8
B) 2,8
C) 1,6
D) 1,3
E) 1,1
2. O DEFASAMENTO ANGULAR DE UM TRANSFORMADOR TRIFÁSICO
COM A LIGAÇÃO
△– Y
, EM GRAUS, É IGUAL A:
A) -60
B) -30
C) 0
D) 30
E) 60
3. OS TERMINAIS DE ALTA TENSÃO DE UM TRANSFORMADOR
Y– Y
COM 13,8KV / 220V ESTÃO CONECTADOS À ENTRADA DA
CONCESSIONÁRIA POR MEIO DE UM CABO COM IMPEDÂNCIA DE
30 + J40Ω
. A IMPEDÂNCIA DESSE CABO REFERIDA PARA O PRIMÁRIO, EM
MΩ
, É DE:
A) 478 – j637
B) 478 + j637
C) 7,64 – j10,16
D) 7,64 + j10,16
E) 2,51 + j3,39
4. UM TRANSFORMADOR TRIFÁSICO
Y–△
É CONSTRUÍDO A PARTIR DE UM BANCO DE TRANSFORMADORES
MONOFÁSICOS DE 7,6KV / 440V, CUJA IMPEDÂNCIA DO RAMO
LONGITUDINAL, REFLETIDA PARA O LADO DE AT, É DE
6 + J8Ω
. SABENDO QUE A CARGA CONECTADA AO TERMINAL DE BT DO
TRANSFORMADOR DRENA DA REDE UMA CORRENTE DE 400A COM
FATOR DE POTÊNCIA 0,92 (INDUTIVO), A TENSÃO TERMINAL DO LADO
DE AT, EM KV, É APROXIMADAMENTE:
A) 7,60
B) 7,78
C) 7,80
D) 13,16
E) 13,36
5. PARA O TRANSFORMADOR TRIFÁSICO DO PROBLEMA ANTERIOR, A
POTÊNCIA APARENTE DE ENTRADA, EM KVA, É APROXIMADAMENTE:
A) 103
B) 158
C) 179
D) 312
E) 309
6. O RENDIMENTO PERCENTUAL DO TRANSFORMADOR PARA AS
CONDIÇÕES DE FUNCIONAMENTO DO ITEM 4 É:
A) 99,8
B) 98,8
C) 97,8
D) 96,8
E) 95,8
GABARITO
1. Um transformador trifásico com ligação
Y–△
é formado por um banco de transformadores monofásicos que possui, em seus
enrolamentos de AT e BT, 10000 e 2000 espiras, respectivamente. Aplicando uma tensão
de 13,8kV no lado de AT, a tensão terminal no lado de BT, em kV, será aproximadamente:
A alternativa "C " está correta.
Em um transformador ideal, temos:
VfaseAT
NAT
=
VfaseBT
NBT
=
13.800
√3
10.000
=
VfaseBT
2.000
→ VfaseBT = 1.593V
Como o lado de BT está ligado em
△
, a tensão de linha é igual à de fase e vale 1,59kV.
2. O defasamento angular de um transformador trifásico com a ligação
△– Y
, em graus, é igual a:
A alternativa "D " está correta.
Veja a resolução da questão no vídeo a seguir:
HTTP Error 404.0 - Not Found
The resource you are looking for
has been removed, had its name
changed, or is temporarily
unavailable.
3. Os terminais de alta tensão de um transformador
Y– Y
com 13,8kV / 220V estão conectados à entrada da concessionária por meio de um cabo
com impedância de
30 + j40Ω
. A impedância desse cabo referida para o primário, em
mΩ
, é de:
A alternativa "D " está correta.
Veja a resolução da questão no vídeo a seguir:
Erro HTTP 404.0 - Not Found
O recurso que você está
procurando foi removido, teve o
seu nome alterado ou está
temporariamente indisponível.
4. Um transformador trifásico
Y–△
é construído a partir de um banco de transformadores monofásicos de 7,6kV / 440V, cuja
impedância do ramo longitudinal, refletida para o lado de AT, é de
6 + j8Ω
. Sabendo que a carga conectada ao terminal de BT do transformador drena da rede uma
corrente de 400A com fator de potência 0,92 (indutivo), a tensão terminal do lado de AT,
em kV, é aproximadamente:
A alternativa "E " está correta.
Referindo a corrente do lado de BT para o de AT, temos o seguinte:
a =
7.600
440
= 17, 27
IfaseBT =
IlinhaBT
√3
=
400
√3
= 230, 97
IfaseAT =
IfaseBT
a
=
230, 94
17, 27
= 13, 37
VfaseAT = 7600 + (6 + j8)(13, 37∠ − 23, 074) = 7716∠0, 497
VlinhaAT = √3 VfaseAT = √3 7.717 = 13, 36
5. Para o transformador trifásico do problema anterior, a potência aparente de entrada,
em kVA, é aproximadamente:
A alternativa "E " está correta.
A potência aparente será:
SAT = √3 VlinhaAT IlinhaAT = 13, 36 × 13, 37 = 309kVA
6. O rendimento percentual do transformador para as condições de funcionamento do
item 4 é:
A alternativa "B " está correta.
Psaida = √3VlinhaIlinhacos(ϕ) = √3 × 440 × 400 × 0, 92 = 280, 05kW
η% =
Psaida
Psaida + Pcobre
100% =
280, 05
280, 05 + 3 × 6 × 13, 372
100% = 98, 8%
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Você está fazendo a obra de ampliação da rede elétrica de uma empresa hipotética.
Atualmente, a subestação dessa empresa possui um transformador
| | | |
△ − Y
de 112,5kV, 13,8kV / 220V. Em seu projeto, você solicitou um segundo transformador com a
mesma potência e com tensões primárias e secundárias iguais às do transformador que já
existe na subestação.
No dia do recebimento da solicitação, você verifica que o novo transformador possui a potência
e as tensões solicitadas, porém o seu tipo de ligação é
△ − △
. Com relação ao deslocamento angular, explique o motivo pelo qual você não pode aceitar o
novo item.
RESOLUÇÃO
Veja a resolução da questão no vídeo a seguir:
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. UM TRANSFORMADOR TRIFÁSICO COM 112,5KVA, 13,8KV / 220V E
CONEXÃO
△
- Y É CONECTADO À REDE DE MÉDIA TENSÃO DA CONCESSIONÁRIA
ATRAVÉS DE UM CABO DE IMPEDÂNCIA DE 3 + J4
Ω
. O TRANSFORMADOR, POR SUA VEZ, ESTÁ CONECTADO AO QUADRO
GERAL DE BAIXA TENSÃO POR MEIO DE UM ALIMENTADOR DE
IMPEDÂNCIA 0,003 + J0,004
Ω
. SABENDO QUE UMA CARGA CONECTADA NO LADO BT É ALIMENTADA
COM TENSÃO E CORRENTE NOMINAIS, COM FATOR DE POTÊNCIA 0,85
EM ATRASO, A TENSÃO TERMINAL NO PONTO DE LIGAÇÃO À REDE DA
CONCESSIONÁRIA, EM KV, É APROXIMADAMENTE:
A) 10
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
2. DESPREZANDO AS PERDAS NO FERRO, AS PERDAS DO
TRANSFORMADOR DO PROBLEMA ANTERIOR, EM KW, SÃO
APROXIMADAMENTE DE:
A) 0,98
B) 0,75
C) 0,65
D) 0,33
E) 0,15
GABARITO
1. Um transformador trifásico com 112,5kVA, 13,8kV / 220V e conexão
△
- Y é conectado à rede de média tensão da concessionária através de um cabo de
impedância de 3 + j4
Ω
. O transformador, por sua vez, está conectado ao quadro geral de baixa tensão por meio
de um alimentador de impedância 0,003 + j0,004
Ω
. Sabendo que uma carga conectada no lado BT é alimentada com tensão e corrente
nominais, com fator de potência 0,85 em atraso, a tensão terminal no ponto de ligação à
rede da concessionária,em kV, é aproximadamente:
A alternativa "C " está correta.
 
A corrente nominal do secundário é esta:
IBT =
112.500
√3 × 220
= 295, 236
IBT = 295, 236∠ − 31, 78
A relação de espiras do transformador é:
VAT
NAT
=
VBT
√3
NBT
→
NAT
NBT
= a = √3
VAT
VBT
A impedância do primário de um transformador
△ − Y
referida para o primário é:
Z2 =
3
a2
Z1 =
3
√3
VAT
VBT
2
Z1 =
VBT
VAT
2
Z1
Logo, a impedância do cabo que liga a rede da concessionária ao primário do transformador,
referida para o secundário, é esta:
ZcaboBT =
220
13.800
2
(3 + j4) = 0, 00076 + j0, 001
( )
( )
( )
A tensão de fase do lado de BT é a seguinte:
VfaseBT =
220
√3
+ (0, 00076 + j0, 001 + 0, 003 + j0, 004)(295, 236∠ − 31, 78) = 128, 74∠0, 3
Logo, a tensão de linha do primário é:
VAT = 128, 74 × √3
13800
220 = 13, 99kV
2. Desprezando as perdas no ferro, as perdas do transformador do problema anterior, em
kW, são aproximadamente de:
A alternativa "A " está correta.
 
Elas serão as perdas joules nas resistências do alimentador e do cabo:
Pcobre = 3 × RcaboBT + RalimentadorBT I
2
BT
Pcobre = 3 × (0, 003768)(295, 23)
2 = 0, 98kW
MÓDULO 3
 Identificar os conceitos dos transformadores especiais
( )
TRANSFORMADOR ZIG-ZAG
Neste módulo, apresentaremos alguns tipos de transformadores especiais. Começaremos pelo
denominado zig-zag. Neste tipo de transformador, cada fase compõe-se de duas metades de
bobina dispostas sobre duas diferentes colunas do núcleo do transformador. Elas ficam
agrupadas em série entre si, estando, conforme indica a imagem a seguir, enroladas em
sentido contrário uma em relação à outra.
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 45: Transformador Zig-zag.
QUAL É A APLICAÇÃO MAIS IMPORTANTE DA
LIGAÇÃO ZIG-ZAG?
Sua aplicação mais importante se faz nos transformadores com agrupamento estrela zig-zag.
Esse agrupamento proporciona a eliminação da 3a harmônica da tensão secundária estrelada.
Ligando-se em série duas bobinas de fases diferentes, uma com sentido contrário em relação à
outra, as 3as harmônicas das tensões nas referidas se anularão reciprocamente.
A subdivisão de cada fase secundária sobre duas colunas tem também a finalidade de
compensar os desiquilíbrios de tensões devido à assimetria da carga nas três fases.
Observemos agora o diagrama fasorial das tensões nos enrolamentos do secundário do
transformador:
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 46: Tensões nos enrolamentos do secundário.
Aplicando a lei das malhas para cada um dos terminais do transformador, conseguimos
determinar as tensões de fase – mostradas na figura ao lado – do secundário do transformador.
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 47: Transformador tipo núcleo.
Assumindo que o módulo da tensão em cada enrolamento do secundário do transformador seja
V
, o da tensão de fase será:
VF = 2VCOS(300)
VF =
VL
√3
⟹
VL
√3
= 2V
√3
2 ⟹ V =
VL
3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Veremos abaixo a relação de transformação de um transformador
△
– zig-zag:
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 48: Transformador
△
– zig-zag.
As relações matemáticas que correlacionam a tensão e o número de espiras neste tipo de
circuito são:
{
V1
N1
=
V2
3
N2
2
∴
V1
V2
=
2
3
N1
N2
∴ R =
2
3A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
COMO:
I2 =
2a
3
I1
A IMPEDÂNCIA DO PRIMÁRIO REFLETIDA PARA O
SECUNDÁRIO SERÁ A SEGUINTE:
Z2 =
9
2a
2
Z1
TRANSFORMA DORES DE DOIS
ENROLAMENTOS
Existem transformadores capazes de realizar a transformação trifásica de tensão com apenas
dois enrolamentos. Os modelos mais comuns são:
1. LIGAÇÃO
( )
△
ABERTO (OU
VV
)
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 49: Transformador
△
aberto.
1
A tensão secundária
Vca
no lado do secundário do transformador é dada por:
Vc′ + Vb + Va = Va′
Vca′ = − Va − Vb
Considerando:
Va = V∠0
0
Vb = V∠ − 120
0
2
3
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 50: Diagrama fasorial
△
aberto.
Obtemos este diagrama fasorial, no qual se verifica que a tensão terminal
Vca′
é igual a
Vca′ = V∠120
0
.
Pode-se notar que foi obtida uma tensão trifásica equilibrada no secundário sem a existência
do transformador na fase C.
2. A LIGAÇÃO T TRIFÁSICA
Configuração na qual dois transformadores são usados para obter uma transformação trifásica.
Analisemos a figura a seguir.
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 51: Transformação T trifásica.
Observemos que, neste tipo de transformação, são empregados dois transformadores
especiais. O (B,b), chamado de transformador de equilíbrio, possui tensões nominais primária e
secundária de 86,6% da tensão primária do principal (A,a).
Como podemos obter o diagrama fasorial do primário?
Como demonstraremos a seguir, ele pode ser obtido decompondo-se as tensões de linha em
suas componentes de fase:
VAB = VTB + VAT
VBC = VTC + VBT
VCA = VCT + VTA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os diagramas fasoriais do primário e do secundário estão representados nesta figura:
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 52: Diagrama fasorial
△
aberto.
É possível comprovar então que, a partir de dois transformadores especiais, pode haver uma
transformação trifásica de tensão.
O AUTOTRANS FORMADOR
O que é um autotransformador?
Por definição, ele é um transformador com um único enrolamento. Contudo, um de
enrolamentos múltiplos poderá ser ligado como autotransformador se todos os enrolamentos
forem ligados em série.
Olhemos, na figura a seguir, um autotransformador na configuração abaixador:
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 53: Autotransformador abaixador.
V1
I1
NSE
NC
VSE
VC
IC
I2
V2
V1
Tensão terminal do lado primário.
I1
Corrente terminal do lado primário.
NSE
Número de espiras do ramo série.
NC
Número de espiras do ramo comum.
VSE
Tensão do ramo série.
VC
Tensão do ramo comum.
IC
Corrente do ramo comum.
I2
Corrente terminal do lado secundário.
V2
Tensão terminal do lado secundário.
O estudo dos autotransformadores parte dos seguintes princípios básicos no estudo dos
transformadores:
A
A relação volts por espira dos enrolamentos é igual a:
VC
NC
=
VSE
NSE
B
A força magnetomotriz do enrolamento série é igual à força magnetomotriz do enrolamento
comum:
NCIC = NSEISE
Analisando o autotransformador da figura 53 neste momento, podemos verificar as seguintes
relações de tensões no autotransformador:
1
V2 = VC
V1 = VC + VSE
Como:
VC
NC
=
VSE
NSE
2
3
Temos:
V1 = VC +
NSE
NC
VC
Mas como:
V2 = VC
4
5
Finalmente chegamos a:
V1 = V2 +
NSE
NC
V2 →
V1
NC + SSE
=
V2
NC
De maneira análoga, podemos observar as seguintes relações de corrente:
1
I2 = ISE + IC
2
Como:
NCIC = NSEISE
3
Temos:
I2 = ISE +
NSE
NC
ISE
4
Mas como:
I1 = ISE
5
Finalmente chegamos a:
I2 = I1 +
NSE
NC
I1 → I2 =
NC + NSE
NC
I1
Um transformador convencional, conforme mostra a figura 54, pode ser ligado como
autotransformador elevador ou abaixador mediante a correta conexão de seus enrolamentos.
As duas possibilidades estão demonstradas respectivamente nas figuras 55 e 56.
( )
 
EnsineMe
 Figura 54: Transformador de dois enrolamentos.
 
EnsineMe
 Figura 55: Transformador ligado como autotransformador elevador.
 
EnsineMe
 Figura 56: Transformador ligado como autotransformador abaixador.
TRANSFORMADOR CONVENCIONAL DE DOIS
ROLAMENTOS
A potência elétrica é transferida entre os enrolamentos primário e secundário apenas pelo
circuito magnético.

AUTOTRANSFORMADOR
A potência elétrica é transferida pelos circuitos magnético e elétrico. Em função disso, ocorre
um aumento da potência aparente neste tipo de conexão.
Entenderemos agora como é possível encontrar as seguintes potências:
POTÊNCIA APARENTE TRANSFERIDA
A potência aparente transferida (
Ptransferida
) pelo circuito magnético pode ser encontrada por meio do produto entre a tensão induzida no
ramo série ou comum e a respectiva corrente que passa por esse ramo:
Ptransferida = VCIC = VSEISE
POTÊNCIA CONDUZIDA
Apotência conduzida (
Pconduzida
) pode ser facilmente obtida pela diferença entre a potência aparente de entrada ou de saída e
a transferida:
Pconduzida = V1I1 − Ptransferida
Pconduzida = V2I2 − Ptransferida
MÃO NA MASSA
1. UM TRANSFORMADOR
△–
ZIG-ZAG TEM SEU PRIMÁRIO CONECTADO AO PONTO DE ENTREGA DA
CONCESSIONÁRIA ATRAVÉS DE UM CABO CUJA IMPEDÂNCIA É DE
3 + J4Ω
. ESSE TRANSFORMADOR TEM
N1 = 4500
ESPIRAS NO PRIMÁRIO E
N2
2 = 100
ESPIRAS NO SECUNDÁRIO. O VALOR DA IMPEDÂNCIA DO CABO
REFERIDO PARA O SECUNDÁRIO, EM
Ω
, É:
A) 0,3 + j0,4
B) 0,013 X j0,018
C) 0,003 + j0,004
D) 30 + j40
E) 3 + j4
2. CONSIDEREMOS O TRANSFORMADOR
△–
ZIG-ZAG DO PROBLEMA ANTERIOR. PARA UMA TENSÃO TERMINAL DE
10KV NOS TERMINAIS DO PRIMÁRIO, A TENSÃO DO SECUNDÁRIO, EM
V, SERÁ APROXIMADAMENTE DE:
A) 167
B) 267
C) 333
D) 467
E) 666
3. UM TRANSFORMADOR
△
ABERTO É FEITO A PARTIR DE DOIS TRANSFORMADORES
MONOFÁSICOS DE 75KV, 13,8KV / 22 V. SABENDO QUE A CORRENTE
NOMINAL NAS FASES DESSE TRANSFORMADOR NÃO PODERÁ SER
EXCEDIDA, A MÁXIMA POTÊNCIA APARENTE, EM KVA, DESSE
TRANSFORMADOR É:
A) 225
B) 175
C) 150
D) 129
E) 75
4. EM UM TRANSFORMADOR COM A LIGAÇÃO T TRIFÁSICA, A TENSÃO
TERMINAL DO LADO DE ALTA TENSÃO É DE 1,5KV, ENQUANTO O
TRANSFORMADOR COM TAP CENTRAL POSSUI 2.000 ESPIRAS. O
NÚMERO DE ESPIRAS DO TRANSFORMADOR EQUILIBRADOR É
APROXIMADAMENTE:
A) 2.300
B) 1.730
C) 1.680
D) 1.530
E) 1.480
5. 
 
UM AUTOTRANSFORMADOR É MONTADO A PARTIR DE DOIS
TRANSFORMADORES MONOFÁSICOS DE 200V / 15V, CONFORME
DESTACA A FIGURA ACIMA. SABENDO QUE A TENSÃO
V1
É DE 200V, A TENSÃO
V2
, EM VOLTS, É:
A) 215
B) 200
C) 185
D) 150
E) 15
6. 
 
A FIGURA ACIMA MOSTRA UM AUTOTRANSFORMADOR DE 15KVA, 150V
/ 200V. SABENDO QUE O LADO DE BAIXA TENSÃO É ALIMENTADO COM
TENSÃO TERMINAL E QUE
I1 = 80A
, A CORRENTE
IC
, EM A, É:
A) 80
B) 60
C) 40
D) 20
E) 10
GABARITO
1. Um transformador
△–
zig-zag tem seu primário conectado ao ponto de entrega da concessionária através de
um cabo cuja impedância é de
3 + j4Ω
. Esse transformador tem
N1 = 4500
espiras no primário e
N2
2 = 100
espiras no secundário. O valor da impedância do cabo referido para o secundário, em
Ω
, é:
A alternativa "B " está correta.
A impedância do primário referida para o primário é de:
Z2 =
3
2a
2
Z1 =
3
2 ×
4.500
200
2
× (3 + j4) = 0, 013Xj0, 018
2. Consideremos o transformador
△–
zig-zag do problema anterior. Para uma tensão terminal de 10kV nos terminais do
primário, a tensão do secundário, em V, será aproximadamente de:
A alternativa "E " está correta.
( ) ( )
A tensão do secundário é dada por:
V2 =
3
2a
V1 =
3
2 ×
4.500
200
× 10.000 = 666
3. Um transformador
△
aberto é feito a partir de dois transformadores monofásicos de 75kV, 13,8kV / 22 V.
Sabendo que a corrente nominal nas fases desse transformador não poderá ser
excedida, a máxima potência aparente, em kVA, desse transformador é:
A alternativa "D " está correta.
Veja a resolução da questão no vídeo a seguir:
HTTP Error 404.0 - Not Found
The resource you are looking for
has been removed, had its name
changed, or is temporarily
unavailable.
4. Em um transformador com a ligação T trifásica, a tensão terminal do lado de alta
tensão é de 1,5kV, enquanto o transformador com tap central possui 2.000 espiras. O
número de espiras do transformador equilibrador é aproximadamente:
A alternativa "B " está correta.
O número de espiras do transformador equilibrador deve ser tal que a tensão em sua bobina
seja 0,866 da tensão de linha.
Logo:
1.500
2.000
=
0, 866 × 1.500
Nequilibrador
→ Nequilabrador = 1732
5. 
 
Um autotransformador é montado a partir de dois transformadores monofásicos de 200V
/ 15V, conforme destaca a figura acima. Sabendo que a tensão
V1
é de 200V, a tensão
V2
, em volts, é:
A alternativa "C " está correta.
Fazendo a lei das malhas, teremos:
V2 − 200 + 15 = 0 → V2 = 185
6. 
 
A figura acima mostra um autotransformador de 15kVA, 150V / 200V. Sabendo que o lado
de baixa tensão é alimentado com tensão terminal e que
I1 = 80A
, a corrente
IC
, em A, é:
A alternativa "D " está correta.
Veja a resolução da questão no vídeo a seguir:
Erro HTTP 404.0 - Not Found
O recurso que você está
procurando foi removido, teve o
seu nome alterado ou está
temporariamente indisponível.
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Você pretende usar um autotransformador de 45kVA, 250V / 120V para alimentar uma pequena
instalação. Considerando que ele esteja operando nas condições nominais, determine as
parcelas de potência aparente transferidas pelo circuito magnético e por condução.
RESOLUÇÃO
Veja a resolução da questão no vídeo a seguir:
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. 
 
UM TRANSFORMADOR
△ −
ZIG-ZAG POSSUI TENSÃO DE LINHA NO LADO DE BAIXA TENSÃO IGUAL
A 450V. O MÓDULO DA TENSÃO
V
, EM VOLTS, É:
A) 450
B) 225
C)
450
√3
D) 150
E) 120
2. UM AUTOTRANSFORMADOR ELEVADOR COM 150V / 200V É
CONSTRUÍDO A PARTIR DE UM TRANSFORMADOR MONOFÁSICO DE
25KVA, 150V / 50V. SEM EXCEDER A CORRENTE NOMINAL DOS
ENROLAMENTOS DO TRANSFORMADOR ORIGINAL, A POTÊNCIA DO
AUTOTRANSFORMADOR, EM KVA, É:
A) 25
B) 50
C) 75
D) 100
E) 125
GABARITO
1. 
 
Um transformador
△ −
zig-zag possui tensão de linha no lado de baixa tensão igual a 450V. O módulo da tensão
V
, em volts, é:
A alternativa "D " está correta.
 
O módulo da tensão V é dada por:
V =
Vlinha
3
=
450
3
= 150
2. Um autotransformador elevador com 150V / 200V é construído a partir de um
transformador monofásico de 25kVA, 150V / 50V. Sem exceder a corrente nominal dos
enrolamentos do transformador original, a potência do autotransformador, em kVA, é:
A alternativa "D " está correta.
 
A corrente nominal do enrolamento de 50V é esta:
I50V =
25.000
50
= 500
A nova potência aparente será igual a:
Snovo = 200 × 500 = 100kVA
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ao longo dos módulos deste tema, estudamos os transformadores. Começamos pelos
princípios de funcionamento que os envolvem, partindo do transformador ideal e, em seguida,
usando o modelo real do transformador. Observamos ainda o comportamento dele sob
diferentes condições de carga, assim como sua polaridade e seu rendimento.
Na sequência, apresentamos os transformadores trifásicos, destacando, nesse contexto, suas
relações de transformação, o deslocamento angular deles e suas condições de funcionamento
sob diferentes tipos de trabalho. Fechamos nosso estudo com a análise dos transformadores
especiais, apresentando, para isso, seus diagramas fasoriais e suas relações de
transformação.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
CHAPMAN, S. J. Fundamentos de máquinas elétricas. 5. ed. Porto Alegre: Bookman, 2013.
UMANS, S. D. Máquinas elétricas. 7. ed. Porto Alegre: AMGH, 2014.
EXPLORE+
Para aprofundar-se mais no assunto, resolva os exercícios referentes aos tópicos abordados
neste tema nos livros indicados na bibliografia.
CONTEUDISTA
Sandro Santos de Lima
 CURRÍCULO LATTES
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