Apostila IQA363 2020-2 (remoto)

Prévia do material em texto

ANÁLISE ESTATÍSTICA 
DE DADOS – IQA363 
 PAULA FERNANDES DE AGUIAR
 Profa. Departamento de Química Analítica
 Instituto de Química da UFRJ
 e-mail: paulafda@iq.ufrj.br /paula.fdeaguiar@gmail.com
 Tel: (21) 3938-7877
 Sala: 517 
PROGRAMA
1. CONCEITO ESTATÍSTICA
2. FERRAMENTAS NECESSÁRIAS AO CÁLCULO 
ESTATÍSTICO
2.1. ARREDONDAMENTO
2.2. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
3. ERROS (TIPOS DE ERROS EXPERIMENTAIS)
3.1. ERROS GROSSEIROS
3.2. ERROS SISTEMÁTICOS OU DETERMINADOS
3.3. ERROS ALEATÓRIOS OU INDETERMINADOS
2
7. A DISTRIBUIÇÃO NORMAL
5. MEDIDAS DE DISPERSÃO
6. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
4. MEDIDAS DE POSIÇÃO OU TENDÊNCIA 
CENTRAL
7.1. TESTE DE NORMALIDADE: SHAPIRO-WILK
PROGRAMA
8. GRAU DE CONFIANÇA DE STUDENT (t) – TESTE 
t-STUDENT
9. TESTE F-SNEDECOR
3
10. TESTES DE HIPÓTESES 
PROGRAMA
10.1. CASO 1. COMPARAÇÃO DE UM VALOR MEDIDO COM
UM VALOR “CONHECIDO”
10.2. CASO 2. COMPARAÇÃO DE DOIS VALORES MEDIDOS –
COMPARAÇÃO ENTRE MEDIDAS REPETIDAS
10.3. CASO 3. COMPARAÇÃO DE MÉDIAS DE DADOS EM
PARES
4
11. ANÁLISE DE VARIÂNCIA (ANOVA)
11.1. ANÁLISE DE VARIÂNCIA COM UM FATOR
11.2. ANÁLISE DE VARIÂNCIA COM DOIS FATORES
PROGRAMA
14. AVALIAÇÃO DA HOMOGENEIDADE DAS
VARIÂNCIAS (HOMOCEDASTICIDADE)
13. A REGRESSÃO LINEAR
13.1. A ESTIMATIVA DOS PARÂMETROS DE REGRESSÃO
13.2. A VALIDAÇÃO DO MODELO
13.2.1 A ANÁLISE DE RESÍDUOS
16. BOX PLOT
5
12. TESTE DE VALORES 
DISCREPANTES/ABERRANTES (OUTLIERS)
12.1. TESTE DE DIXON
12.2. TESTE DE GRUBB’S 
13.2.2 A ANÁLISE DE VARIÂNCIA
15. COMPARAÇÃO DA INCLINAÇÃO DE DUAS RETAS
1. Conceito Estatística 
6
Estatística - Conceito
7
“É um conjunto de técnicas que
permite, de forma sistemática,
organizar, descrever, analisar e
interpretar dados oriundos de
estudos ou experimentos, realizados
em qualquer área do conhecimento”
Estatística - Conceito
“É a ciência que coleta, classifica e
avalia numericamente dados que
servirão de base para inferências”
8
9
Inferência Estatística
É o estudo de técnicas que
possibilitam a extrapolação, a um
grande conjunto de dados, das
informações e conclusões obtidas a
partir da amostra.
10
“Dizemos que uma inferência estatística é
feita quando se estabelecem conclusões para
a população com base nos dados de uma
amostra e no resultado de um teste
estatístico”
O uso da ESTATÍSTICA na análise
dos DADOS EXPERIMENTAIS é de
extrema importância para que um
resultado analítico possua uma
CONFIABILIDADE ACEITÁVEL.
11
A CONFIABILIDADE necessária para um
resultado, justifica o esforço extra
requerido para que análises em
replicatas sejam realizadas.
Os resultados individuais de um
conjunto de medidas raramente são
iguais.
12
2. Ferramentas necessárias 
ao cálculo Estatístico 
13
2.1. Arredondamento
14
Arredondamento
Aplica-se quando há a intenção de que
um número limitado de dígitos em um
valor deva ser considerado significativo
para fins de determinação da
conformidade com as especificações.
15
1. Um valor observado ou calculado deve
ser arredondado para o valor mais próximo.
Procedimento
Arredondamento
OBSERVAÇÃO:
ARREDONDAR PARA A UNIDADE – 0 CASA DEPOIS DA VÍRGULA
ARREDONDAR PARA O DÉCIMO – 1 CASA DEPOIS DA VÍRGULA
ARREDONDAR PARA O CENTÉSIMO – 2 CASAS DEPOIS DA VÍRGULA
ARREDONDAR PARA O MILÉSIMO- 3 CASAS DEPOIS DA VÍRGULA
16
Ex: 121,7948 para o centésimo – 121,79
Não se faz primeiro o arredondamento 121,795 e
depois 121,80.
2. O valor arredondado deve ser obtido em
uma só etapa, por arredondamento direto do
valor disponível mais preciso, e não em dois
ou mais arredondamentos sucessivos.
Arredondamento
Procedimento
17
3. Se o número a ser removido for menor
que cinco, o subsequente à esquerda
mantém o seu valor.
Procedimento
Ex: 5,1234 para o milésimo – 5,123
5,1234 para o centésimo – 5,12
5,1234 para o décimo – 5,1
Arredondamento
18
4. Se o número a ser removido é maior que
cinco, o subsequente à esquerda aumenta o
seu valor de uma unidade.
Ex: 6,1878 para o milésimo – 6,188
6,1878 para o centésimo – 6,19
6,1987 para o décimo – 6,2
6,1878 para o décimo – 6,2
3,965001 para o décimo – 4,0
Arredondamento
Procedimento
19
Arredondamento
Procedimento
5. Quando o número a ser removido for
exatamente igual à 5, e não houver outros
dígitos além deste, ou houver somente zeros,
o anterior aumenta se ele for ímpar e
permanece inalterado se for par.
Ex: 1,375 para o centésimo – 1,38
1,385 para o centésimo – 1,38
45,8775 para o milésimo - 45,878
45,8765 para o milésimo - 45,87620
6. Quando o número a ser removido for
exatamente igual à 5, e houver outros
dígitos diferentes de zero além deste, o
subsequente à esquerda aumenta o seu
valor de uma unidade.
Ex: 3,8655001 para o milésimo - 3,866
3,865001para o centésimo - 3,87
364,5001 para a unidade - 365
Arredondamento
Procedimento
21
22
ARREDONDAR OS NÚMEROS A SEGUIR 
CONFORME A PRECISÃO INDICADA
NÚMERO PRECISÃO RESULTADO
48,6 UNIDADE
136,5 UNIDADE
2,484 CENTÉSIMO
0,0435 MILÉSIMO
5,40001 UNIDADE
143,95 DÉCIMO
24448 MILHAR
5,56500 CENTÉSIMO
5,56501 CENTÉSIMO
Exercício 1
Arredondamento
23
ARREDONDAR OS NÚMEROS A SEGUIR 
CONFORME A PRECISÃO INDICADA
NÚMERO PRECISÃO RESULTADO
48,6 UNIDADE 49
136,5 UNIDADE 136
2,484 CENTÉSIMO 2,48
0,0435 MILÉSIMO 0,044
5,40001 UNIDADE 5
143,95 DÉCIMO 144,0
24448 MILHAR 24000
5,56500 CENTÉSIMO 5,56
5,56501 CENTÉSIMO 5,57
Exercício 1
Arredondamento
24
25
ARRED(núm;núm_dígitos)
A função estatística ARRED arredonda um número até a
quantidade especificada de dígitos.
Como fazer isto 
no EXCEL???
26
Exemplo
ARRED(núm;núm_dígitos)
27
VAMOS FAZER NO EXCEL?
2.2. Algarismos Significativos 
(AS)
28
O número de algarismos significativos
é o número mínimo de algarismos
necessários para escrever um
determinado valor em notação científica
sem a perda de exatidão.
HARRIS, Daniel C. Análise Química Quantitativa, 8ª edição. LTC Editora
Capítulo 3 (3-1 Algarismos Significativos)
Algarismos Significativos
29
O número de dígitos informado em uma
medida reflete a exatidão da medida e a
precisão do aparelho de medição.
Todos os algarismos conhecidos com
certeza mais um algarismo extra são
chamados de algarismos significativos.
Algarismos Significativos
30
Considera-se que na expressão
numérica de uma medida, o último
algarismo apresenta uma incerteza de
+/- o valor da precisão do instrumento
utilizado na medida, quando esta é
conhecida. Caso contrário, utiliza-se a
precisão avaliada, como sendo o décimo
da menor medida da escala.
Algarismos Significativos
31
Algarismos Significativos
Procedimento
1. Números diferentes de zero são sempre
significativos.
Ex: 2,345  4 algarismos significativos 
2. Zeros entre números diferentes de zero são
sempre significativos.
algarismos significativos Ex: 10,305  5 algarismos significativos 
32
O dígito zero pode ter um valor específico ou 
apenas indicar uma ordem de grandeza. 
3. Quando os zeros à frente do primeiro dígito
não nulo de um número indicam apenas a
ordem de grandeza, estes não são considerados
dígitos significativos e devem ser expressos em
notação científica.
Ex: 0,0034  2 algarismos significativos  3,4 x 10-3
Procedimento
Algarismos Significativos
Ex: 0,0003  1 algarismo significativo  3 x 10-4
33
Algarismos Significativos
Procedimento
4. Os zeros no final do número, depois de uma
casa decimal, são significativos.
Ex: 32,00  4 algarismos significativos 
0,200  3 algarismos significativos
34
Algarismos Significativos
Procedimento
5. Os zeros no final de um número, antes de
uma casa decimal, são ambíguos (podem ou
não ser significativos).
algarismos significativos Ex: 140 000  2 a 6 algarismos significativos 
10.300  3 a 5 algarismos significativos
35
Amostra pesada em 
vários tipos de balanças
Balança Precisão 
(g) 
Medida 
(g) 
Resultado 
(g) 
1 0,0001 6,1540 6,1540 
2 0,001 6,1540 6,154 
3 0,01 6,1540 6,15 
4 0,1 6,1540 6,2 
5 1 6,1540 65 
 36
 Quantos algarismos significativos
possuem os números abaixo:
A) 142,7
B) 1,427 × 102 
C) 1,4270 × 102 
D) 1,9030 
E) 0,03910
F) 1,40 × 104 
G) 6,302 × 10−6 
H) 0,000006302
Exemplo 1
Algarismos Significativos (AS)
37
38
Exemplo 1
Algarismos Significativos (AS)
 Quantos algarismos significativos
possuem os números abaixo:
A) 142,7 4AS
B) 1,427 × 102 4AS
C) 1,4270 × 102 5AS
D) 1,9030 5AS
E) 0,03910 4AS
F) 1,40 × 104 3AS
G) 6,302 × 10−6 4AS
H) 0,000006302 4AS
39
1. ARREDONDE OS NÚMEROS PARA QUE TENHAM 
SOMENTE 1 ALGARISMO SIGNIFICATIVO
NÚMERO
0,00025000
0,00025001
0,00025127
0,00035000
Exercício 1
Arredondamento e Algarismos 
Significativos
40
NÚMERO
NOTAÇÃO 
CIENTÍFICA
REGRA 
ARREDONDA
MENTO
RESULTADO
0,00025000 2,5000 x 10-4 5 2 x 10-4
0,00025001 2,5001 x 10-4 6 3 x 10-4
0,00025127 2,5127 x 10-4 6 3 x 10-4
0,00035000 3,5000 x 10-4 5 4 x 10-4
1. ARREDONDE OS NÚMEROS PARA QUE TENHAM 
SOMENTE 1 ALGARISMO SIGNIFICATIVO
Exercício 1
41
2. QUANTOS ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS HÁ 
EM CADA UM DOS SEGUINTES NÚMEROS ?
NÚMERO
NO. ALGARISMOS 
SIGNIFICATIVOS
45,8 cm
45,80 cm
1,40 m
3,50 x 10-3 mm
1,00560 cm
9 g
3,0 x 106 libras
7,54400 x 10-5 Kg
Exercício 2
42
NÚMERO
NO. ALGARISMOS 
SIGNIFICATIVOS
45,8 cm 3
45,80 cm 4
1,40 m 3
3,50 x 10-3 mm 3
1,00560 cm 6
9 g 1
3,0 x 106 libras 2
7,54400 x 10-5 Kg 6
2. QUANTOS ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS HÁ 
EM CADA UM DOS SEGUINTES NÚMEROS ?
Exercício 2
43
3. ARREDONDE OS NÚMEROS PARA QUE 
TENHAM OS NÚMEROS DE ALGARISMOS 
SIGNIFICATIVOS INDICADOS
Exercício 3
NÚMERO
NÚMERO DE 
ALGARISMOS 
SIGNIFICATIVOS
REGRA 
ARREDONDA
MENTO
RESULTADO
7,243 g 2 3
4,736 g 3 4
43,5500 g 3 5
43,8500 g 3 5
43,8501 g 3 6
44
3. ARREDONDE OS NÚMEROS PARA QUE 
TENHAM OS NÚMEROS DE ALGARISMOS 
SIGNIFICATIVOS INDICADOS
Exercício 3
NÚMERO
NÚMERO DE 
ALGARISMOS 
SIGNIFICATIVOS
REGRA 
ARREDONDA
MENTO
RESULTADO
7,243 g 2 3 7,2 g
4,736 g 3 4 4,74 g
43,5500 g 3 5 43,6 g
43,8500 g 3 5 43,8 g
43,8501 g 3 6 43,9 g
45
HARRIS, Daniel C. Análise Química Quantitativa, 8ª edição. LTC Editora
Capítulo 3 (3-1 Algarismos Significativos)
Exercício 4
4. QUANTOS ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 
POSSUI O NÚMERO ABAIXO ?
92 500
46
Resposta: O número 92 500 é ambíguo em relação 
ao número de algarismos significativos. Ele pode ser 
representado por uma das seguintes formas:
 
9,25 x 104
9,250 x 104
9,2500 x 104
3 AS 
4 AS 
5 AS 
HARRIS, Daniel C. Análise Química Quantitativa, 8ª edição. LTC Editora
Capítulo 3 (3-1 Algarismos Significativos)
Exercício 4
4. QUANTOS ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 
POSSUEM O NÚMERO ABAIXO:
92 500
47
Algarismos Significativos 
na Aritmética
O arredondamento deve ser feito somente na
resposta final (não nos resultados parciais), a
fim de se evitar a acumulação de erros de
arredondamento.
HARRIS, Daniel C. Análise Química Quantitativa, 8ª edição. LTC Editora
Capítulo 3 (3-2 Algarismos Significativos na Aritmética)
Veremos quantos algarismos devem existir em 
uma resposta após serem executadas 
operações aritme ́ticas com seus dados. 
48
49
1,9834 + 2,4404 + 0,9184 = ?
1,9834 + 2,4404 + 0,9184 = 5,5422
N° casas 
decimais
conta Final obtido Final esperado
0 casa 2 + 2 +1 5 6
1 casa 2,0 + 2,4 + 0,9 5,3 5,5
2 casas 1,98 + 2,44 + 0,92 5,34 5,54
3 casas 1,983 + 2,440 + 0,918 5,341 5,542
Adição e Subtração: Se os números a serem
somados ou subtraídos tiverem o mesmo
número de algarismos, a resposta deve ter o
mesmo número de casas decimais que os
números envolvidos na operação.
HARRIS, Daniel C. Análise Química Quantitativa, 8ª edição. LTC Editora
Capítulo 3 (3-2 Algarismos Significativos na Aritmética)
Algarismos Significativos 
na Aritmética
 1,362 x 10-4
+ 3,111 x 10-4
 ___________________
 4,473 x 10-4
3 casas decimais / 4 AS
3 casas decimais / 4 AS
______________________________________
3 casas decimais / 4 AS
50
Algarismos Significativos 
na Aritmética
Adição e Subtração: o número de algarismos
significativos na resposta pode ser maior ou
menor do que o existente nos dados.
HARRIS, Daniel C. Análise Química Quantitativa, 8ª edição. LTC Editora
Capítulo 3 (3-2 Algarismos Significativos na Aritmética)
5,345
+ 6,728
__________
12,073
4 AS
4 AS
________
5 AS
3 casas decimais
7,26 x 10-14
- 6,69 x 10-14
___________________
0,57 x 10-14
3 AS
3 AS
________
2 AS
2 casas decimais
51
Adição e Subtração: se os números a serem
somados ou subtraídos não possuírem o mesmo
número de algarismos significativos, a resposta
estará limitada pelo número que tem o menor
número de casas decimais.
18,998 403 2
+ 18,998 403 2
83,798
___________________
121,794 806 4 Resultado: 121,795
9 AS
9 AS
5 AS
7 casas decimais
7 casas decimais
3 casas decimais
Algarismos Significativos 
na Aritmética
52
20,4
+ 1,322
83
___________________
104,722 Resultado:105
3 AS
4 AS
2 AS
1 casa decimal
3 casas decimais
0 casa decimal
Algarismos Significativos 
na Aritmética
53
Adição e Subtração: em adições ou subtrações 
de números expressos em notação científica, 
todos os nu ́meros devem, primeiro, ser 
convertidos ao mesmo expoente.
1,632 x 105
+ 4,107 x 103
+ 0,984 x 106
___________________
1,632 x 105
+ 0,041 07 x 105
+ 9,84 x 105
___________________
11,513 07 x 105 R:11,51 x 105
3 casas decimais
5 casas decimais
2 casas decimais
Algarismos Significativos 
na Aritmética
54
Multiplicação e Divisão: o número de
algarismos significativos contido no número
com menos algarismos significativos limita
a resposta.
 3,26 x 10-5
x 1,78
__________
 5,80 x 10-5 
3 AS
3 AS
________
3 AS
4,3179 x 1012
x 3,6 x 10-19
_____________________
1,6 x 10-6
5 AS
2 AS
________
2 AS
HARRIS, Daniel C. Análise Química Quantitativa, 8ª edição. LTC Editora
Capítulo 3 (3-2 Algarismos Significativos na Aritmética)
Algarismos Significativos 
na Aritmética
55
Algarismos Significativos 
na Aritmética
 45,78 
x 1,2
 ________________
 54,936 
Resultado:55 
4 AS
2 AS
________
5 AS
2 AS
56
Em qualquer cálculo, os resultados são 
informados com o menor número de 
algarismos significativos (para 
multiplicação e divisão) ou com o 
menor número de casas decimais
(adição e subtração).
57
Resumindo:
58
Exercício 1
Algarismos Significativos 
na Aritmética
 Expresse o resultado da operação com o
número de algarismos significativos
adequado.
45,78 
+ 328,908 
56,2 
59
Exercício 1
Algarismos Significativos 
na Aritmética
 Expresse o resultado da operação com o 
número de algarismos significativos 
adequado.
45,78 
+ 328,908 
56,2 
430,888  430,9
2 casas decimais
3 casas decimais
1 casa decimal
1 casa decimal
60
Exercício 2
Algarismos Significativos 
na Aritmética
HARRIS, Daniel C. Análise Química Quantitativa, 8ª edição. LTC Editora
Capítulo 3 (3-2 Algarismos Significativos na Aritmética)
 Expresse o resultado da operação com o
número de algarismos significativos
adequado.
 34,60
÷ 2,462 87
 _______________
5,2 cm
x 6,221 cm
________________
61
34,60
÷ 2,462 87
_______________
14,05
4 AS
6 AS
________
4 AS
5,2 cm
x 6,221 cm
_______________
32,3492 cm2
2 AS
4 AS
________
6 AS
Resultado:32 cm2 2 AS
Exercício 2
Algarismos Significativos 
na Aritmética
 Expresse o resultado da operação com o
número de algarismos significativos
adequado.
62
Exercício 3
 Expresse o resultado da operação com o
número de algarismos significativos
adequado.
89,1
59,076,1 
Algarismos Significativos 
na Aritmética
63
Exercício 3
Algarismos Significativos na Aritmética
 Expresse o resultado da operação com o
número de algarismos significativos
adequado.
89,1
59,076,1
a) faz-se primeiramente a subtração (1,76-0,59
= 1,17000) mantendo-se todas as casas.
b) faz-se a divisão (1,17000/1,89 = 0,619048)
mantendo-se o menor número de algarismos
significativo (três), e fazendo-se o
arredondamento. Resultado = 0,619 64
Exercício 4
Algarismos Significativos 
na Aritmética
 Expresse o resultado da operação com o
número de algarismos significativos
adequado.
59,0
89,176,1 
65
Exercício 4
Algarismos Significativos na Aritmética
 Expresse o resultado da operação com o
número de algarismos significativos
adequado.
59,0
89,176,1 
a) faz-se, primeiramente, a multiplicação
(1,76x1,89 = 3,32640) de mantém-se todas as
casas.
b) faz-se a divisão (3,32640/0,59 = 5,637966) e
mantem-se o menor número de algarismos
significativo (dois), fazendo-se o
arredondamento. Resultado = 5,6
66
67
3. Erros (Tipos de Erros 
Experimentais)
68
ERRAR É INEVITÁVEL
Todas as medidas experimentais estão 
sujeitas a erros!!
Erro ou incerteza?
 Erro de medição (EXATIDÃO):
É o número que resulta da diferença entre
a indicação de um sistema de medição
(valor medido) e o valor verdadeiro do
mensurando.
 Incerteza de medição (PRECISÃO):
É o parâmetro, associado ao resultado de
uma medição, que caracteriza a faixa dos
valores que podem ser atribuídos ao
mensurando. 69
O que se deseja é obter um resultado
tão próximo quanto possível do valor
verdadeiro mediante a aplicação
correta do procedimento de medida.
70
Erro de Medição
É de senso comum que qualquer experimento
ao ser realizado deva ter suas medidas
realizadas mais de uma vez.
Devemos realizar as medições em duplicata,
triplicata ou até mais vezes.
Simplificando, é comum usar o termo
replicata (uma tradução do inglês replicate)
para qualquer número de medições. 71
Erro Absoluto
valor real = valor verdadeiro ou mais 
provável
Erro Absoluto = (valor medido – valor real)
Erro Relativo
Erro relativo (%) = (valor medido – valor real) x 100
valor real
72
Tipos de Erros 
Experimentais
1) Erros Grosseiros (evitáveis)
2) Erros Sistemáticos (ou determinados)
3) Erros Aleatórios (ou indeterminados)
Os resultados experimentais estão
sujeitos a vários tipos de ERROS, que
podem ser designados de:
73
3.1. Erros Grosseiros
74
1) Erros Grosseiros
É um erro ocasional e pode ser evitado.
Normalmente, é responsável por
resultados absurdos ou discrepantes
em relação ao valor central ou valor
verdadeiro.
75
1) Erros Grosseiros
Exemplos:
1. Enganos na leitura de uma escala;
2. Erro de cálculo nas operações;
3. Emprego de teorias inadequadas;
4. Esquecer de colocar um indicador em uma
solução;
5. Falha de energia;
6. Pane em equipamentos;
7. Percepção do uso de reagentes trocados;
8. Uso de reagentes com alto grau de impureza,
etc.
76
3.2. Erros Sistemáticos ou 
Determinados
77
São aqueles que têm causas assinaláveis
e valores definidos que, em princípio,
podem ser medidos e seu efeito corrigido
nos resultados.
2) Erros Sistemáticos ou 
Determinados 
78
São erros unidirecionais, e que levam a
um conjunto de resultados que
apresente valores tendenciosos e que se
distanciam do valor verdadeiro sempre
no mesmo sentido (para mais ou para
menos).
2) Erros Sistemáticos ou 
Determinados 
79
É independente do número de medições
feitas e não pode ser reduzido pelo
aumento do número de análises sob
condições constantes de medida.
2) Erros Sistemáticos ou 
Determinados 
80
Exemplos:
1. Balança não tarada ou calibrada;
2. Pipeta não aferida;
2) Erros Sistemáticos ou 
Determinados 
81
3.3. Erros Aleatórios ou 
Indeterminados
82
As vezes ocorrem em um sentido,
outras vezes em outro, em relação ao
valor verdadeiro.
Os resultados das medições flutuam
de um modo aleatório.
3) Erros Aleatórios ou 
Indeterminados 
83
A origem dessas flutuações não é
assinalável pois estas representam a
soma de um conjunto de incertezas
muito pequenas que não podem ser
identificadas em sua origem.
3) Erros Aleatórios ou 
Indeterminados 
São flutuações devidas aos
instrumentos, métodos de análises,
condições ambientais e devidas ao
próprio operador – não podem ser
determinados. 84
O erro aleatório de um resultado 
analítico não pode ser compensado por 
correção, mas é reduzido pelo aumento 
do número de observações, embora esta 
não deva ser a primeira ação para a 
redução do valor do erro aleatório.
3) Erros Aleatórios ou 
Indeterminados 
85
3) Erros Aleatórios ou 
Indeterminados 
São erros devidos a variações ao acaso,
de causas não conhecidas exatamente,
em geral irregulares e pequenas, e de
difícil controle do operador.
Exemplos: umidade, temperatura, 
iluminação, pureza dos reagentes etc.
86
4. Medidas de Posição ou 
Tendência Central
87
Média (Estatística paramétrica)
Mediana (Estatística não paramétrica)
Medidas de Posição ou 
Tendência Central
88
Média 
A média aritmética, usualmente
abreviada para média, , é definida
como a soma de todos os valores
medidos, dividido pelo número, n, das
medidas.
x
)( x
n
x
n
i
ix
 1
n = número de análises
= valor da análise
ix
89
90
Média )( x
Nas operações que podem ser feitas
com as médias aritméticas, estas
somam-se e subtraem-se.
Exemplo
Se a média do conjunto A é igual a 17
e a média do conjunto B é igual a 15,
determine a média de (A+B).
Resposta: média (A+B) = 32
Essa propriedade é útil para verificar ou
confirmar o resultado do cálculo da média
de uma amostra ou variável, como também
no desenvolvimento de provas matemáticas
que apresentam a soma de desvios com
relação à média. 91
Propriedades da Média 
Primeira propriedade
A soma dos desvios de uma amostra ou
variável é sempre igual a zero.
92
Propriedades da Média 
Segunda propriedade
A soma dos quadrados dos desvios com
relação à própria média de uma variável ou
amostra é sempre um valor mínimo.
mínimo
93
Como fazer isto 
no EXCEL???
Funções estatísticas do Excel
SOMA(núm 1; núm 2;...;núm 30)
A função estatística SOMA retorna a soma dos valores numéricos
núm1; núm2;...;núm30. Cada um desses núm pode ser um intervalo
de células de uma planilha contendo valores numéricos ou
assemelhados.
94
Exemplo
SOMA(núm 1; núm 2;...;núm 30)
95
VAMOS FAZER NO EXCEL?
96
Funções estatísticas do Excel
MÉDIA(núm 1; núm 2;...;núm 30)
A função estatística MÉDIA retorna a média aritmética dos valores
numéricos núm1; núm2;...;núm30. Cada um desses núm pode ser
um intervalo de células de uma planilha contendo valores
numéricos ou assemelhados.
97
Exemplo
MÉDIA(núm 1; núm 2;...;núm 30)
98
VAMOS FAZER NO EXCEL?
Mediana (Med) 
É o valor que divide uma série
ordenada de valores, de tal forma que
50% dos itens estão abaixo e, a outra
metade, acima dela.
Para um número ímpar de observações
será o valor central da série ordenada.
99
Mediana (Med) 
Para um número par de observações
será a média aritmética dos valores
centrais da série ordenada.
É utilizada quando os valores extremos
são de pouca importância.
100
Posição da Mediana
2/)1(  nMed
Procedimento
Colocar os resultados em ordem 
crescente
Determinar a posição da mediana
Verificar que valor corresponde à 
posição da mediana
1
2
3
101
VALORES
3,1
2,9
2,7
3,0
3,2
3,5
2,8
VALORES
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,5
Med = 
(7+1)/2 = 4
1
2
3
Exemplo 1
Posição da Mediana (Med) 
102
VALORES
3,1
2,9
2,7
3,0
3,2
3,5
VALORES
2,7
2,9
3,0
3,1
3,2
3,5
Med = 
(6+1)/2 = 3,5
1
2
3
Mediana é o valor 
que se encontra 
entre aqueles das 
posições 3 e 4 = 
3,05 
Exemplo 2
Posição da Mediana (Med) 
103
104
Funções estatísticas do Excel
MED(núm 1; núm 2;...;núm 30)
A função estatística MED retorna a mediana dos valores numéricos
núm1; núm2;...;núm30. Cada um desses núm pode ser um intervalo
de células de uma planilha contendo valores numéricos ou
assemelhados.
Como fazer isto 
no EXCEL???
105
Exemplo
SOMA(núm 1; núm 2;...;núm 30)
MED(núm 1; núm 2;...;núm 30)
106
VAMOS FAZER NO EXCEL?
107
MAS TAMBÉM EXISTEOUTRA FORMA DE 
OBTER ESTES 
RESULTADOS NO EXCEL
OUTRA 
FORMA DE 
FAZER NO 
EXCEL
Dados 
Análise de dados 
Ferramentas de análise
Estatística descritiva
Medidas de Posição ou 
Tendência Central
108
Média
Erro padrão
Mediana
Moda
Desvio padrão
Variância da amostra
Curtose
Assimetria
Intervalo
Mínimo
Máximo
Soma
Contagem
Nível de confiança(95,0%)
Estatística Descritiva
109
OUTRA 
FORMA DE 
FAZER NO 
EXCEL
EXCEL
110
VALORES
3,10
2,90
2,70
3,00
3,20
3,50
2,80
1. CALCULE A MÉDIA E A MEDIANA, USANDO O 
EXCEL, DO CONJUNTO DE DADOS A SEGUIR:
EXCEL
USAR AS FUNÇÕES MÉDIA, MED E A 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
111
Exercício 1
1. CALCULE A MÉDIA E A MEDIANA, USANDO O 
EXCEL, DO CONJUNTO DE DADOS A SEGUIR:
EXCEL
Exercício 2
VALORES
3,10
2,90
2,70
3,00
3,20
3,50
112
USAR AS FUNÇÕES MÉDIA, MED E A 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
5. Medidas de Dispersão
113
Consideremos os seguintes conjuntos de
observações, referentes a três laboratórios A, B
e C, que foram convidados a realizar análises
de uma mesma amostra, usando a mesma
técnica analítica.
LABORATÓRIO A LABORATÓRIO B LABORATÓRIO C
4 1 2
5 1 2
5 1 5
5 9 8
6 9 8
9
 Medidas de Dispersão
114
LABORATÓRIO A LABORATÓRIO B LABORATÓRIO C
4 1 2
5 1 2
5 1 5
5 9 8
6 9 8
9
Média 5 5 5
A média dos 3 laboratórios é a mesma!!!
O desempenho dos 3 laboratórios é 
igual ?
Medidas de Dispersão
115
LAB A LAB B LAB C
4 1 2
5 1 2
5 1 5
5 9 8
6 9 8
9
Média 5 5 5
No primeiro conjunto 
(LAB A) todos os dados 
estão próximos da média, 
no segundo (LAB B) estão 
bem afastados do valor 
central, e no terceiro 
(LAB C), há valores 
próximos e valores 
afastados
Dizemos que o conjunto A é o menos disperso.
Mas como quantificar essa dispersão?
Através das estatísticas de dispersão em 
relação à média aritmética
116
Estas estatísticas são expressões que 
permitem quantificar essa dispersão, 
ou seja, o grau de afastamento dos 
valores das observações no que diz 
respeito à média da distribuição. 
Desvio padrão
Absolutas
Variância
Relativa Coeficiente de variação
117
Desvio Padrão
Variância
Medidas de Dispersão
Coeficiente de Variação ou 
Desvio Padrão Relativo
118
Desvio Padrão (s)
Cada conjunto de resultados analíticos
precisa estar acompanhado de uma
indicação da precisão da análise.
O conceito envolvido no cálculo do
desvio padrão determina a amplitude,
dentro da qual variam as medições,
xi.
119
1
)(
1
2





n
xx
s
n
i
i
n-1 = número de graus de liberdade, isto é, a
quantidade de comparações independentes que
podem ser feitas entre as n unidades da amostra
)( 
Desvio Padrão (s)
O desvio padrão de um conjunto de
dados experimentais é dado por:
120
Número de graus de liberdade
É o número de desvios independentes
)(

)( ix )( xxi Exemplo: Leituras Desvios
4,2
3,8
4,1
4,0
3,9
0,2
-0,2
0,1
0
-0,1
0
x
20,0
4,0 121
122
A comparação de dois conjuntos de
dados por meio do desvio-padrão
somente é possível se as médias
forem iguais.
O conjunto de maior variabilidade é
aquele com maior desvio-padrão.
Desvio-padrão (s)
123
Exemplo
Qual conjunto apresenta maior variabilidade?
Conjunto A: Média = 15,5 e s = 3,389
Conjunto B: Média = 15,5 e s = 0,9258
Resposta: Quando as médias são iguais, o
conjunto de maior variabilidade é conjunto
que apresenta maior desvio-padrão, logo é o
conjunto A.
Desvio-padrão (s)
124
Nas operações que podem ser feitas
com desvios-padrão, diferentemente
da média aritmética, estes NÃO se
somam nem se subtraem. Apenas se
SOMAM VARIÂNCIAS. Ou seja,
primeiro é necessário determinar as
variâncias, somá-las para, então,
extrair-se a raiz quadrada para
retornar ao desvio-padrão resultante.
Desvio-padrão (s)
125
Desvio-padrão (s)
Exemplo
PARA (n) IGUAIS !
126
Funções estatísticas do Excel
DESVPAD.A(núm 1; núm 2;...;núm 30)
A função estatística DESVPAD retorna o desvio padrão da amostra
dos valores numéricos núm1; núm2;...;núm30. Cada um desses
núm pode ser um intervalo de células de uma planilha contendo
valores numéricos ou assemelhados.
Como fazer isto 
no EXCEL???
127
Exemplo
DESVPAD.A(núm 1; núm 2;...;núm 30)
128
VAMOS FAZER NO EXCEL?
1
)(
1
2
2





n
xx
s
n
i
i
Variância (s2)
A variância de um conjunto de dados
experimentais é dado por:
n-1 = número de graus de liberdade
)( 
129
130
Funções estatísticas do Excel
VAR(núm 1; núm 2;...;núm 30)
A função estatística VAR retorna a variância da amostra dos valores
numéricos núm1; núm2;...;núm30. Cada um desses núm pode ser
um intervalo de células de uma planilha contendo valores
numéricos ou assemelhados.
Como fazer isto 
no EXCEL???
131
Exemplo
VAR(núm 1; núm 2;...;núm 30)
132
VAMOS FAZER NO EXCEL?
É definido como o quociente entre o
desvio padrão e a média.
Sua vantagem é caracterizar a dispersão
dos dados em termos relativos a seu
valor médio.
%100(%)
x
s
CV 
Coeficiente de Variação ou 
Desvio Padrão Relativo (CV)
133
134
Exemplo
Qual conjunto apresenta maior variabilidade?
Conjunto A: Média = 34,75 e s= 5,98
Conjunto B: Média = 15,76 e s= 6,04
Resposta: Quando as médias são diferentes, o
conjunto de maior variabilidade é conjunto
que apresenta maior CV ou DPR, logo é o
conjunto B.
Conjunto A _CV= 17,2% e Conjunto B_CV= 38,3%
Coeficiente de Variação ou 
Desvio Padrão Relativo (CV)
135
Exemplo
136
VAMOS FAZER NO EXCEL?
137
MAS TAMBÉM EXISTE 
OUTRA FORMA DE 
OBTER ESTES 
RESULTADOS NO EXCEL
Média
Erro padrão
Mediana
Moda
Desvio padrão
Variância da amostra
Curtose
Assimetria
Intervalo
Mínimo
Máximo
Soma
Contagem
Nível de confiança (95,0%)
EXCEL
Estatística Descritiva
138
Exemplo Excel
EXCEL
Calcular o desvio padrão, a variância e o
coeficiente de variação do conjunto de dados
(15, 12, 10, 17, 16).
139
EXCEL
140
3. Os seguintes resultados foram obtidos na
análise de replicatas de uma amostra de
sangue, para determinação do teor de
chumbo presente: 0,752 – 0,756 – 0,752 –
0,751 e 0,760 µg/L de Pb. Calcule o desvio
padrão desse conjunto de dados.
EXCEL
Exercício 3
141
USAR A FUNÇÃO DESVPAD.A
E A ESTATÍSTICA 
DESCRITIVA
AMOSTRA No. DETERMINAÇÔES TEORES EM µg/L
1 3 1,80-1,58-1,64 
2 4 0,96-0,98-1,02-1,10
3 2 3,13-3,35
4 6 2,06-1,93-2,12-2,16-1,89-1,95
5 4 0,57-0,58-0,64-0,49
6 5 2,35-2,44-2,70-2,48-2,44
7 4 1,11-1,15-1,22-1,04
28
4. O teor de mercúrio em amostras de sete peixes
de uma Baía foi determinado por um método
baseado na absorção da radiação emitida pelo
elemento mercúrio no estado gasoso. Calcular
uma estimativa global do desvio padrão do
método.
Exercício 4
142
Determinar:
•As médias por amostra e a média global
•Os desvios por amostra e o desvio global
•As variâncias por amostra e a
variância global EXCEL
Exercício 4
143
USAR AS FUNÇÕES MÉDIA, 
DESVPAD.A, VAR.A E A ESTATÍSTICA 
DESCRITIVA
144
LISTA DE 
EXERCÍCIOS 1
6. Distribuição de 
Frequência
145
Representação do conjunto 
de dados
 Distribuições de freqüência
- Freqüência relativa
- Freqüência acumulada
 Representação gráfica
- Histogramas
146
Representação gráfica de 
dados
HISTOGRAMA
CLASSE
F
R
E
Q
Ü
Ê
N
C
IA
147
Histograma
É um gráfico composto por retângulos
justapostos em que a base de cada um deles
corresponde ao intervalo de classe e a sua
altura à respectiva freqüência.
CLASSE
F
R
E
Q
Ü
Ê
N
C
IA
O que é:
148
Para resumir e visualizar a forma da
distribuição dos dados, a localização do valor
central e a dispersão em torno desse valor.
Histograma
Para que serve:
Usado para verificar a normalidade da 
distribuição de uma série de dados
149
Histograma
Caracterização de uma distribuição: 
localização e dispersão 
Localização: Medida de tendência central 
(média / mediana / moda) 150
Histograma
 Da amostra A para B muda a tendência central, mas a
variabilidade é constante;
 Da amostra A para C muda a variabilidade, mas a
tendência central é constante;
 Da amostra B para C muda a tendência central e a
variabilidade.151
Histograma
Ao observar um histograma, note:
1) A forma, que deve ser simétrica
2) A dispersão, que deve ser pequena
3) A centralização, que deve estar na média
152
Histograma
Tipos
a) Histograma simétrico ou em forma de sino, tipo
distribuição Normal
0
20
40
60
80
100
CLASSE
F
R
E
Q
Ü
Ê
N
C
IA
Característica: a freqüência é mais alta no centro e
decresce gradualmente para as caudas de maneira
simétrica (forma de sino).
153
Histograma
Tipos
b) Histograma assimétrico e com apenas um pico
0
20
40
60
80
100
CLASSE
F
R
E
Q
Ü
Ê
N
C
IA
Características: a frequência decresce bruscamente em
um dos lados e de forma gradual no outro, produzindo
uma cauda mais longa em um dos lados.
154
Histograma
b) Histograma assimétrico e com apenas um pico
Frequência maior para
os menores valores e
cauda maior à direita.
 Dados positivamente
assimétricos (assimetria
para a direita)
–Média e mediana à direita
da moda
–Em geral, média à direita da
mediana
155
Frequência maior para
os maiores valores e
cauda maior à
esquerda.
 Dados negativamente
assimétricos (assimetria
para a esquerda)
–Média e mediana à esquerda
da moda
–Em geral, média à esquerda
da mediana
Histograma
b) Histograma assimétrico e com apenas um pico
156
Histograma
Tipos
c) Histograma tipo “despenhadeiro”
0
20
40
60
80
100
CLASSE
F
R
E
Q
Ü
Ê
N
C
IA
Característica: o histograma termina abruptamente
de um ou dos dois lados, dando a impressão de faltar
um pedaço na figura. 157
Histograma
Tipos
d) Histograma com dois picos
0
20
40
60
80
100
F
R
E
Q
Ü
Ê
N
C
IA
CLASSE
Característica: ocorrem dois picos e a freqüência é
baixa entre eles.
.
158
Histograma
Tipos
e) Histograma do tipo “platô”
0
10
20
30
40
50
60
70
80
F
R
E
Q
Ü
Ê
N
C
IA
CLASSE
Característica: classes centrais possuem
aproximadamente a mesma frequência.
F
R
E
Q
Ü
Ê
N
C
IA
CLASSE
159
Histograma
Tipos
f) Histograma com uma pequena “ilha” isolada
0
20
40
60
80
100
F
R
E
Q
Ü
Ê
N
C
IA
CLASSE
Característica: algumas faixas de valores ficam
isoladas da grande maioria dos dados, gerando barras
ou pequenos agrupamentos separados. 160
Histograma
Como fazer:
1) Organizar a tabela de distribuição de frequências
2) Contar a quantidade de valores coletados (n)
3) Determinar a amplitude R:
R = Maior valor - Menor valor 
4) Determinar o número de classes (k)
5) Determinar o intervalo de classe (H), dividindo o
valor da amplitude R em um certo número de classes
K
H = R / K (arredondar o resultado) 161
Objetivo
Destacar informações relevantes, mediante o
resumo dos valores coletados em classes,
categorias ou intervalos convenientes.
Distribuição de Frequência
Histograma
Uma distribuição de frequência agrupa os
dados por classes de ocorrência, resumindo
a análise de conjunto de dados grandes. 162
1. Definir intervalos, classes ou categorias 
de agrupamento que sejam mutuamente 
excludentes e coletivamente exaustivas 
(para que os pontos do conjunto de dados 
tenham um, e só um, endereço possível; 
não pode haver pontos em comum nem 
vazios entre os espaços da distribuição);
Construção
Histograma
163
2. Traçar um quadro tabular no qual,
mediante sinais convenientes, marcam-se os
itens enquadráveis em cada classe – tais
marcas servem para posterior contagem e
cálculo da participação percentual das
partes em relação ao total de dados
3. Resumir os resultados em uma tabela de
freqüências e/ou gráfico.
Histograma
Construção
164
k = 1 + [3,222 x log(n)]
k = número de classes
O número de classes a ser utilizado 
será um número inteiro, próximo a k.
Histograma
Determinação do número de classes (k)
 Regra de Sturges (Regra do logaritmo)
165
EXISTEM OUTRAS FORMAS DE 
SE ESTIMAR k
)ln(21 nk 
Determinação do número de classes
 Regra da raiz quadrada
nk 
 Regra da Potência de 2
k = menor valor 
inteiro tal que 2k ≥ n
166
 Geralmente, o limite inferior do primeiro
intervalo corresponde ao menor valor dos
dados, e o superior, a esse valor acrescido do
intervalo de classes (H) ou amplitude das
classes.
O limite inferior da próxima classe é o
superior da anterior; o superior é esse valor
acrescido da amplitude da classe. Repete-se o
processo até atingir o teto dos dados.
Intervalo e limites de classe ( a | b )
Histograma
167
 A notação a | b indica o intervalo de
valores da classe considerada, onde a é o
limite inferior e b, o superior.
 A existência da barra lateral indica a
inclusão do limite no intervalo; sua
inexistência aponta a exclusão do referido
valor.
Histograma
Intervalo e limites de classe ( a | b )
168
Razão entre a frequência absoluta simples da
classe (Fi) e o número total de observações.
Frequência absoluta simples (Fi)
Número de observações em cada classe.
Frequência relativa simples (fir)
Histograma
169
Corresponde a soma das frequências relativas
simples (fir) de determinada classe com todas
as anteriores.
Frequência absoluta acumulada (Fa)
Corresponde a soma das frequências de
determinada classe com todas as anteriores.
Frequência relativa acumulada (fa)
Histograma
170
Tabela de pesos de recém nascidos 
vivos
2,522 2,150 2,500 1,900 3,000 2,450 3,300 2,900 2,450 2,400
2,720 3,300 3,550 3,600 3,750 3,400 3,200 2,920 3,400 3,450
3,125 3,250 3,000 3,200 3,150 2,400 3,200 2,720 3,400 3,120
2,250 3,200 4,100 3,300 3,200 3,120 2,800 2,900 1,570 2,120
3,220 3,720 3,200 2,900 2,500 3,400 4,600 2,000 3,800 2,450
3,000 2,800 3,450 2,500 2,900 3,200 1,720 2,720 2,700 2,700
3,725 2,900 3,100 3,600 3,200 2,700 2,750 2,480 2,900 3,100
2,890 2,950 3,150 2,500 4,100 3,150 4,200 3,900 3,700 3,200
3,110 2,480 2,800 2,300 2,400 2,800 2,100 2,500 2,120 2,780
3,520 3,800 2,900 2,950 2,700 2,700 4,450 2,480 3,150 3,155
Exemplo
171
Exemplo
1) Tamanho da amostra: n=100
2) Determinação da amplitude (R):
R = Maior valor - Menor valor 
R = 4,600 - 1,570 = 3,030
3) Determinação do número de classes (k)
k = 1 + [3,222 x log(n)]
K= 7,444 ≈ 7
4) Determinação do intervalo de classe (H)
H = R / K (arredondar o resultado)
H = 3,030 / 7 ≈ 0,4 172
173
Como fazer isto 
no EXCEL???
174
Exemplo da apostila
175
VAMOS FAZER NO EXCEL?
Classe Frequência
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
3
16
31
34
11
4
1
Histograma
Tabela de distribuição de 
frequências simples
176
Intervalo de 0,5 g
manualmente
CLASSE
FREQUÊNCIAS SIMPLES FREQUÊNCIAS ACUMULADAS
SIMPLES 
(Fi)
RELATIVA (%) (fir)
ABSOLUTA 
(Fa)
RELATIVA (%) (fa)
1,5 2,0 3 (3/100)x100 = 3 3 (3/100)x100 = 3
2,0 2,5 16 (16/100)x100 = 16 (3+16) = 19 (19/100)x100 = 19
2,5 3,0 31 (31/100)x100 = 31 (19 + 31) = 50 (50/100)x100 = 50
3,0 3,5 34 (34/100)x100 = 34 (50 + 34) = 84 (84/100)x100 = 84
3,5 4,0 11 (11/100)x100 = 11 (84 + 11) = 95 (95/100)x100 = 95
4,0 4,5 4 (4/100)x100 = 4 (95 + 4) = 99 (99/100)x100 = 99
4,5 5,0 1 (1/100)x100 = 1 (99 + 1) = 100 (100/100)x100 = 100
TOTAL 100 100% 100 100%

Tabela de distribuição de 
frequências
177






 Histograma
A PARTIR DA TABELA É POSSÍVEL FAZER
 Gráfico de frequências acumuladas
178
0
5
10
15
20
25
30
35
1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
Classe
F
re
q
u
ên
ci
a
Histograma
179
180
ALGUÉM PODE ME DAR UM 
EXEMPLO DE HISTOGRAMA?
https://covid.saude.gov.br/
3
19
50
84
95 99 100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Classes
fa
Gráfico de frequências acumuladas
181
182
E DE FREQÜÊNCIA ACUMULADA ?
https://covid.saude.gov.br/
183
Funções estatísticas do Excel
MAIOR (matriz; k-ésimo)
A função estatística MAIOR retorna o k-ésimo maior valor da
matriz ordenada de forma crescente. Para uma mesma matriz, o
resultado dessa função dependerá do valor do argumento k-ésimo:
 Se k-ésimo-1, então o maior valor da matriz será o último valor
da matriz ordenada de forma crescente.
 Se k-ésimo-2, então o maior valor da matriz será o penúltimo
valorda matriz e assim sucessivamente, até o primeiro valor da
matriz.
184
Funções estatísticas do Excel
MENOR (matriz; k-ésimo)
A função estatística MENOR retorna o k-ésimo menor valor da
matriz ordenada de forma crescente. Para uma mesma matriz, o
resultado dessa função dependerá do valor do argumento k-ésimo:
 Se k-ésimo-1, então o menor valor da matriz será o primeiro
valor da matriz ordenada de forma crescente.
 Se k-ésimo-2, então o menor valor da matriz será o segundo
valor da matriz ordenada e assim sucessivamente, até o último
valor da matriz.
185
Exemplo
186
VAMOS FAZER NO EXCEL?
187
MAS TAMBÉM EXISTE 
OUTRA FORMA DE 
OBTER ESTES 
RESULTADOS NO EXCEL
EXCEL
Dados 
Análise de dados 
Ferramentas de análise
Histograma
Histograma
188
EXCEL
189
Refazer o exemplo do peso dos recém 
nascidos vivos usando o Excel
EXCEL
Exercício 5
190
191
LISTA DE 
EXERCÍCIOS 2
192
7. A Distribuição Normal
A Curva Normal
A distribuição normal, ou distribuição de
Gauss, ou curva normal, é um dos mais
importantes exemplos de uma distribuição
contínua de probabilidades.
m
f(x)
x 193
  221 
2
1
)(




 
 
m

x
exf
Existe uma função matemática que a
descreve:
A Curva Normal
Onde:
σ é o desvio padrão
µ é o valor médio (na ausência de erros
sistemáticos é o valor verdadeiro)
 
2
1

é o fator de normalização; padroniza a
área sob a curva, de modo que seja
sempre igual a 1, figura a seguir. 194
m3 2  32
68%
95,5%
99,7%
Representação
Equação
),(: 2mNx
2
2
2
2
1 
m

)( 

x
eY
Distribuição normal típica, 
obtida pela equação anterior
195
Propriedades da distribuição 
normal de probabilidades
f(x) 0 quando x 
a curva em forma de sino, é simétrica ao
redor da media (m.
a área sob a curva vale 1 (probabilidade de
x assumer qualquer valor real)
existe um máximo em x = µ
os valores menor e maior que µ ocorrem
com igual probabilidade
a configuração da curva é dada por 2
parâmetros µ e σ
196
197
7.1. Teste de Normalidade: 
Shapiro-Wilk
Muitos testes são baseados na hipótese de
que os dados obtidos seguem uma
distribuição normal. Nem sempre isso
acontece.
Alguns conjuntos de dados podem não seguir
uma distribuição normal, sendo necessários
testes para verificar este desvio de
normalidade.
Testes de Normalidade
198
Os testes de normalidade são utilizados para
verificar se a distribuição de probabilidade
associada a um conjunto de dados pode ser
aproximada pela distribuição normal.
Os principais testes de normalidade são:
• Teste de Kolmogorov-Smirnov
• Teste de Anderson-Darling
• Teste de Shapiro-Wilk
• Teste de Ryan-Joiner
Testes de Normalidade
199
Teste bastante utilizado
Limitação: 3 < n < 50
Teste de Shapiro-Wilk
200
Teste de Shapiro-Wilk
O teste de Shapiro-Wilk, proposto em 1965, é
baseado na estatística W dada por:
Onde:
- Xi são os valores da amostra ordenados (X1 é o menor).
- ai são constantes geradas pelas médias, variâncias e
covariâncias das estatísticas de ordem de uma amostra de
tamanho n de uma distribuição normal.
SQT
SW
W
2

 20  XXSQT i   21 xsn ou 
     iin XXaiSw 1
201
202
203
Teste de Shapiro-Wilk
Para realizar o teste de Shapiro-Wilk, devemos:
1. Formular as Hipóteses:
H0: A amostra provém de uma população Normal
H1: A amostra não provém de uma população
Normal
2. Estabelecer o nível de significância do teste
(a), normalmente 0,05;
204
Teste de Shapiro-Wilk
Para realizar o teste de Shapiro-Wilk, devemos:
3. Calcular a estatística de teste:
• Ordenar as n observações da amostra: X1, X2,
X3,...,Xn (Arranjar os valores em ordem
crescente);
• Formar as subtrações:   iin XX 1
O índice i varia de 1 a ou de 1 a 
2
n
2
1n conforme n seja par ou ímpar
205
Teste de Shapiro-Wilk
Para realizar o teste de Shapiro-Wilk, devemos:
• Formar os produtos:
• Calcular a soma SW:
• Calcular SQT:
• Calcular W:
3. Calcular a estatística de teste:
  iin XXai 1
     iin XXaiSw 1
 20  XXSQT i ou   21 xsn 
SQT
SW
W
2

206
Para realizar o teste de Shapiro-Wilk, devemos:
4. Tomar a decisão: Rejeitar H0 ao nível de
significância a, se W calculado < W tabelado.
Teste de Shapiro-Wilk
Compara-se o valor de W calculado com o W 
tabelado.
Se W calculado > W tabelado aceita-se que 
os valores estão distribuídos de acordo com 
uma certa função de distribuição normal .
207
Teste de Shapiro-Wilk: Valores 
críticos de W
208
20 – 556 – 426 – 169 – 56 – 574 – 61 – 463 – 404 -192 – 116 – 452 –
135 – 422 – 186 – 400 – 351 – 207 – 379 – 389 – 204 – 211 – 362 –
213 – 373 – 214 – 286 – 277 – 219 – 334 – 227 – 337 – 294 – 245 –
235 – 326 – 321 – 244 – 322 – 240 – 276 – 286 – 250 – 291
22
2
44
i
1,285
n
X
X i
 
1,121
1
2



 
n
XX
S i
44n
Teste de Shapiro-Wilk
209
i Xi X45-i X45-i - Xi ai ai(X45-i - Xi)
1 20 574 554 0,3872 214,5088
2 56 556 500 0,2667 133,3500
3 61 463 402 0,2323 93,3846
4 116 452 336 0,2072 69,6192
5 135 426 291 0,1868 54,3588
6 169 422 253 0,1695 42,8835
7 186 404 218 0,1542 33,6156
8 192 400 208 0,1405 29,2240
9 204 389 185 0,1278 23,6430
10 207 379 172 0,1160 19,9520
11 211 373 162 0,1049 16,9938
Teste de Shapiro-Wilk
210
i Xi X45-i X45-i - Xi ai ai(X45-i - Xi)
1 20 574 554 0,3872 214,5088
2 56 556 500 0,2667 133,3500
3 61 463 402 0,2323 93,3846
4 116 452 336 0,2072 69,6192
5 135 426 291 0,1868 54,3588
6 169 422 253 0,1695 42,8835
7 186 404 218 0,1542 33,6156
8 192 400 208 0,1405 29,2240
9 204 389 185 0,1278 23,6430
10 207 379 172 0,116 19,9520
11 211 373 162 0,1049 16,9938
Teste de Shapiro-Wilk
12 213 362 149 0,0943 14,0507
13 214 351 137 0,0842 11,5354
14 219 337 118 0,0745 8,7910
15 227 334 107 0,0651 6,9657
16 235 326 91 0,056 5,0960
17 240 322 82 0,0471 3,8622
18 244 321 77 0,0383 2,9491
19 245 294 49 0,0296 1,4504
20 250 291 41 0,0211 0,8651
21 276 286 10 0,0126 0,1260
22 277 286 9 0,0042 0,0378
SOMA = 787,2627 211
Teste de Shapiro-Wilk: Coeficiente an (W) para 
cálculo de W
212
     6308721,1211441 22  snSQT
263,787SW
 
982,0
630872
263,787 2
calculadoW
Conclusão: 
Na tabela de valores críticos de W, com 95% de confiança , temos Wtabelado = 
0,944.
Como então, não rejeitamos a hipótese de normalidade.tabeladocalculado WW 
Teste de Shapiro-Wilk
SQT
SW
W
2

213
Teste de Shapiro-Wilk: Valores 
críticos de W
214
215
Teste de Ryan-Joiner
• (https://www.youtube.com/watch?v=Uoctpjx2kZ8)
Teste de Kolmogorov-Smirnof
Teste de Anderson Darling
• (https://www.youtube.com/watch?v=eNjre6tx
7eU)
• (https://www.youtube.com/watch?v=nGqhsxZrGlM)
Para ver em casa
EXCEL
Vamos usar o EXCEL?
216
EXCEL
217
Refazer o exemplo do teste de Shapiro-Wilk 
usando o Excel
EXCEL
Exercício 6
218
8. Grau de Confiança de 
Student (t) –
Teste t-Student
219
Grau de Confiança de Student (t) 
A distribuição usada para amostras
pequenas, em geral menor que 30 elementos,
é conhecida como distribuição de Student
ou grau de confiança de Student.
220
Através dos valores tabelados de t pode-se
conhecer em que intervalo de confiança (IC)
encontra-se a média da população.
Grau de Confiança de Student (t) 
intervalo de confiança (IC) 221
n
ts
x
n
ts
x  m
Onde:
Grau de Confiança de Student (t) 
intervalo de confiança (IC)
x
222
n
ts
x m
µ = média verdadeira (intervalo da média da população);
= média aritmética (média da população);
n = número de elementos;
s = desvio-padrão;
t = função distribuição t de Student;
ν = grau de liberdade (n-1).
Representação: ICx 
Intervalo de confiança )(IC
n
ts
IC 
t = t-Student (tabelado)
223
Grau de Confiança de Student (t) 
O t tabelado é determinado através do
conhecimento do tamanho da amostra (n) e do
nível de confiança com que se deseja determinar
o intervalo em que está a média da população
(µ).
O nível mais usado é o de 95% de confiança.
A partir do tamanho da amostra(n) obtém-se o
grau de liberdade (ν). Para uma amostra com n
elementos o grau de liberdade é igual a n-1 (ν =
n-1). 224
Dez amostras são retiradas de um lote de um
mineral e analisadas. O teor de óxido de cálcio
apresentou uma média de 4,30% e um desvio-
padrão estimado de 0,30%.
Qual é o intervalo de confiança, no nível de
95%, da média do lote?
Exemplo
Grau de Confiança de Student (t) 
225
Resposta do Exemplo
x
ν = n -1 = 10 -1 = 9
Para 95% de confiança ( = 0,05) 
t = 2,262 (tabela) BILATERAL
= 4,30%
s = 0,30%
n = 10 
226
n
ts
x m
10
30,0262,2
30,4
x
m
%21,0%30,4 m
a
227
BILATERAL
228
Como fazer isto 
no EXCEL???
229
Funções estatísticas do Excel
INVT (probabilidade; graus_liberdade)
A função estatística INVT retorna o t crítico da distribuição t
referente aos argumentos probabilidade e graus_liberdade,
considerando que a probabilidade se refere às duas caudas da
distribuição.
No caso de realizar cálculos com a função INVT em uma cauda
da distribuição, o valor do argumento probabilidade deverá ser
informado como o dobro do valor do problema, pois o
procedimento de cálculo da função INVT divide a probabilidade
informada por dois.
230
Exemplo
INVT (probabilidade; graus_liberdade)
231
Exemplo
232
VAMOS FAZER NO EXCEL?
EXCEL
233
Dez amostras são retiradas de um lote de aço
e analisadas. O teor de carbono apresentou
uma média de 6,30% e um desvio-padrão
estimado de 0,030%.
Qual é o intervalo de confiança, no nível de
95%, da média do lote?
Grau de Confiança de Student (t) 
Exercício 7
234
Resposta do Exercício 7
x
ν = n -1 = 10 -1 = 9
Para 95% de confiança ( = 0,05) 
t = 2,262 (tabela)
= 6,30%
s = 0,030%
n = 10 
235
a
n
ts
x m
10
030,0262,2
30,6
x
m
%021,0%30,6 m
236
9. Teste F-Snedecor
Teste F-Snedecor
 Aplicado para determinar se uma população
apresenta maior variabilidade que outra.
 Usado para comparar duas variâncias,
determinar se dois métodos, dois analistas
ou instrumentos de laboratório diferem em
precisão.
237
Através da distribuição F, de Snedecor, é
possível verificar se as variâncias das
populações a que pertencem as amostras
podem ser consideradas iguais, com o nível
de confiança desejado.
Teste F-Snedecor
238
Teste de comparação de 
variâncias F-Snedecor
1. Calcular valor de F (Fcalc)
2. Comparar com valor 
de F tabelado (Ftab ) 
ETAPAS:
239
Hipóteses para o teste de 
F-Snedecor
Hipótese nula Hipótese alternativa
2
2
2
10
: ssH 
0: 2
2
2
10
 ssH
2
2
2
11 : ssH 
0: 22
2
11  ssH
240
2
2
m
M
calc s
s
F 
Condição: F tem que ser sempre ≥ 1
Se Fcalc > Ftab, H0 é rejeitada. Não se aceita a
igualdade das variâncias.
2
M
s = maior variância
2
m
s = menor variância
Teste de comparação de 
variâncias F-Snedecor
Se Fcalc < Ftab, H0 é aceita. Aceita-se a
igualdade das variâncias. 241
Exemplo
Teste F-Snedecor 
O desvio-padrão de um conjunto de 11
determinações é sA = 0,210 e o desvio-padrão
de outras 13 determinações é sB = 0,641.
Existe alguma diferença significativa entre as
precisões destes dois conjuntos de resultados?
242
Resposta do Exemplo
F tabelado = 2,91
Logo, os desvios-padrão são significativamente
diferentes no nível de confiança de 95%.
Assim, a diferença entre os dois conjuntos de
dados é altamente significativa.
Se Fcalc > Ftab, H0 é rejeitada. Não se aceita a
igualdade das variâncias.
243
2
2
210,0
641,0
calcF 0441,0
410881,0
calcF 32,9calcF
244
245
Como fazer isto 
no EXCEL???
246
Funções estatísticas do Excel
INVF (probabilidade; gl_numerador; 
gl_denominador)
A função estatística INVF retorna o F crítico da distribuição F
para uma dada probabilidade na cauda superior da distribuição
F, e os graus de liberdade do numerador e do denominador,
respectivamente, os argumentos gl_numerador e gl_denominador.
No caso de realizar cálculos com a função INVF em duas caudas
da distribuição, o valor do argumento probabilidade deverá ser
informado como a metade do valor do problema, pois o
procedimento de cálculo da função INVF multiplica a
probabilidade informada por dois.
247
Exemplo
INVF (probabilidade; gl_numerador; gl_denominador)
248
VAMOS FAZER NO EXCEL?
249
Vamos usar o EXCEL?
Exemplo anterior
250
MAS TAMBÉM EXISTE 
OUTRA FORMA DE 
OBTER ESTES 
RESULTADOS NO EXCEL
EXCEL
Dados 
Análise de dados 
Ferramentas de análise
Teste F: duas amostras 
para variâncias
Teste F-Snedecor
251
252
Exemplo anterior
253
Usando a função do EXCEL
254
Usando a função do EXCEL 
corretamente
255
VAMOS FAZER NO EXCEL?
EXCEL
256
Determinação da concentração de tiol em
sangue de voluntários saudáveis e de
voluntários com artrite reumatóide.
Concentração de tiol
SAUDÁVEL ARTRITE
1,84
1,92
1,94
1,92
1,85
1,91
2,07
2,81
4,06
3,62
3,27
3,27
3,76
Exercício 8
Existe alguma diferença
significativa entre as
variâncias destes dois
conjuntos de resultados?
257
Teste F-Snedecor
379,33
0058,0
1936,0

calc
F
Ftab = 5,988 (bilateral)
Fcalc > Ftab, então H0 é rejeitada; as variâncias 
são diferentes.
Ftab = 4,39 (unilateral)
Resposta do Exercício 8
258
259
10. Testes de Hipóteses 
260
10. Testes de Hipóteses 
No teste de hipóteses são utilizadas duas
hipóteses:
 A hipótese nula H0 é a hipótese sobre a
qual devem ser obtidas evidências para
rejeitá-la.
 A hipótese alternativa H1 é a hipótese
sobre a qual devem ser obtidas evidências
para aceitá-la.
261
10. Testes de Hipóteses 
A hipótese nula e a hipótese alternativa
descrevem dois possíveis estados
mutuamente excludentes, pois as duas
hipóteses não podem ser aceitas ou
rejeitadas ao mesmo tempo.
262
Testes de hipóteses em uma cauda
(unicaudal) e nas duas caudas (bicaudal)
10. Testes de Hipóteses 
 Um teste de hipótese em uma cauda da
distribuição (unicaudal) é um teste no qual
a hipótese alternativa H1 define a mudança
em alguma direção da hipótese nula H0,
incluindo na especificação um dos
símbolos “≤” ou “≥”.
263
Testes de hipóteses em uma cauda
(unicaudal) e nas duas caudas (bicaudal)
10. Testes de Hipóteses 
 Um teste de hipótese em duas caudas da
distribuição (bicaudal) é um teste no qual a
hipótese alternativa H1 define uma mudança
da hipótese nula H0 sem especificar nenhuma
direção, incluindo na especificação o
símbolo “≠”.
Caso 1. Comparação de um valor medido com
um valor “conhecido”
Caso 2. Comparação de dois valores medidos
e - Comparação entre medidas repetidas
Caso 3. Teste t emparelhado para comparação
de diferenças individuais – Comparação de
médias de dados em pares
HARRIS, Daniel C. Análise Química Quantitativa, 8ª edição. LTC Editora
Capítulo 4 (4-3 Comparação entre Médias Utilizando o Teste t de Student)
)( 1x )( 2x
264
Testes de Hipóteses (3 Casos)
265
10.1. Caso 1 – Comparação 
de um valor medido com 
um valor “conhecido”
Caso 1. Comparação de um 
valor medido com um valor:
tabelado
conhecido
de referência
aceito como verdadeiro
266
Medimos uma grandeza várias vezes, obtendo um
valor médio e um desvio-padrão. Precisamos
agora comparar o nosso resultado com um
determinado valor que é conhecido e aceito.
A média que obtivemos não concorda exatamente
com o valor que é aceito. Será que esta diferença
é aceitável levando-se em conta o “erro
experimental”?
Caso 1. Comparação de um valor 
medido com um valor “conhecido”
HARRIS, Daniel C. Análise Química Quantitativa, 8ª edição. LTC Editora
Capítulo 4 (4-3 Comparação entre Médias Utilizando o Teste t de Student)
267
Valor médio encontrado = 5,0%
4,7%
A concentração do conteúdo do 
frasco corresponde àquela do rótulo ?
NaCl
5% p/v
Aplicação
268
HARRIS, Daniel C. Análise Química Quantitativa, 8ª edição. LTC Editora
Capítulo 4 (4-3 Comparação entre Médias Utilizando o Teste t de Student)
Caso 1. Comparação de um valor 
medido 
com um valor “conhecido”
Intervalo de confiança (IC)
Teste de hipótese
)(x
m
269
Nestecaso, calcula-se o intervalo de confiança
de 95% para a resposta obtida e verificamos se
esta faixa inclui a resposta verdadeira.
Se a resposta verdadeira não estiver dentro do
intervalo de confiança de 95%, os dois
resultados são considerados estatisticamente
diferentes.
HARRIS, Daniel C. Análise Química Quantitativa, 8ª edição. LTC Editora
Capítulo 4 (4-3 Comparação entre Médias Utilizando o Teste t de Student)
Caso 1. Comparação de um valor 
medido com um valor “conhecido”
Intervalo de confiança (IC)
270
Hipóteses
mxHo :
Hipótese nula Hipótese alternativa
0:
1
 mxH0:  mxH o
mxH :
1
Caso 1. Comparação de um valor 
medido com um valor “conhecido”
Teste de hipótese
271
1. Calcular valor de t (tcalc)
2. Comparar com valor de t tabelado (ttab )
ETAPAS
Se tcalc > ttab, então Ho é rejeitada e H1
deverá ser aceita.
Caso 1. Comparação de um valor 
medido com um valor “conhecido”
Teste de hipótese
272
s
nx
tcalc
)( 

m
Exemplo 1
Uma amostra de carvão foi adquirida como um
Material de Referência Padrão, certificado pelo
Instituto Nacional de Padrões e Tecnologia (NIST)
dos EUA, contendo 3,19% m/m de enxofre. Você
está testando um novo método analítico para
verificar se o valor conhecido pode ser
reproduzido. Os valores medidos são 3,29, 3,22,
3,30 e 3,23% m/m de enxofre, dando uma média
de 3,26 e um desvio-padrão de 0,041. Sua
resposta concorda com o valor conhecido?
HARRIS, Daniel C. Análise Química Quantitativa, 8ª edição. LTC Editora
Capítulo 4 (4-3 Comparação entre Médias Utilizando o Teste t de Student)
Intervalo de confiança (IC)
Caso 1. 
273
Resposta do Exemplo 1 (IC)
= 3,26 e s = 0,041
n= 4 n-1 (graus de liberdade) = 3 t = 3,182
(95% confiança, tabela)
O valor verdadeiro (3,19 % m/m) está fora do intervalo
conhecido de 95% (3,20 até 3,32 % m/m)
Portanto, o valor medido é considerado 
significativamente diferente do valor conhecido.
x
274
06,026,3 m
4
041,0182,3
26,3
x
m
n
ts
x m
m3 2  32
68%
95,5%
99,7%
3,26 = 3,19 ?
Há evidências de erro sistemático ?
Não há evidência de erro sistemático
Exemplo 1
O erro sistemático
faz com que a média
de um conjunto de
dados se afaste do
valor verdadeiro
(aceito). Afeta a
EXATIDÃO.
275
276
Como fazer isto 
no EXCEL???
277
Exemplo (IC)
278
VAMOS FAZER NO EXCEL?
Resposta do Exemplo 1 (H0)
= 3,26 e s = 0,041
n= 4 n-1 (graus de liberdade) = 3 t = 3,182
(95% confiança, tabela)
O valor verdadeiro (3,19 % m/m) está fora do intervalo
conhecido de 95% (3,20 até 3,32 % m/m)
Portanto, o valor medido é considerado 
significativamente diferente do valor conhecido.
x
279
06,026,3 m
4
041,0182,3
26,3
x
m
n
ts
x m
280
Como fazer isto 
no EXCEL???
281
Exemplo H0
282
VAMOS FAZER NO EXCEL?
Determinação de Ag por AAS em um 
material que contém 18,3% Ag
Análises )( ix
17,9
18,3
18,1
2)( xxi 
0,04
0,04
0
Desvios )( xxi 
-0,2
0,2
0
Caso 1. Exemplo 2
283
1,18x
2,0s
3,4)2;05,0( t
21n
3
2,03,4 x
IC
Teor (%) = 5,01,18 
Resposta 1 do Exemplo 2 (IC)
O valor verdadeiro (18,3 % Ag) está dentro do intervalo
conhecido de 95% (17,6 até 18,6 % Ag)
Portanto, o valor medido não é considerado 
significativamente diferente do valor conhecido.
18,1 = 18,3 ?
284
n
ts
x m
m3 2  32
68%
95,5%
99,7%
18,1 = 18,3 ?
Há evidências de erro sistemático ?
Não há evidência de erro sistemático
Exemplo 2
O erro sistemático
faz com que a média
de um conjunto de
dados se afaste do
valor verdadeiro
(aceito). Afeta a
EXATIDÃO.
285
286
Como fazer isto 
no EXCEL???
287
Exemplo 2 usando IC
288
VAMOS FAZER NO EXCEL?
Aplicando-se a equação abaixo:
289
041,0
4)26,319,3( 
calct
s
nx
tcalc
)( 

m
415,3414634146,3 calct
Resposta 2 do Exemplo 2 (H0)
ttabelado= 3,182 
Como tcalculado (3,415) ≥ ttabelado (3,182),
podemos afirmar que os resultados não são
os mesmos no nível de confiança de 95%.
Portanto, o valor medido é considerado
significativamente diferente do valor
verdadeiro no nível de confiança de 95%.
Resposta 2 do Exemplo 2
Se tcalc > ttab, então Ho é rejeitada e H1 deverá 
ser aceita.
290
Determinação de Ag por AAS num 
material que contém 18,3% Ag
1,18x
2,0s
n = 3
a = 0,05
7,1
2,0
3)1,183,18(


calct
17,9
18,3
18,1
Análises
ttab = 4,303
tcalc < ttab, então Ho pode ser aceita
Resposta 2 do Exemplo 2
Portanto, o valor medido não é 
considerado significativamente diferente
do valor conhecido.
291
292
Exemplo 2 usando H0
293
VAMOS FAZER NO EXCEL?
294
Comparação de duas médias
Caso 2. Comparação de médias de duas
amostras independentes
Caso 3. Comparação de médias de duas
amostras pareadas
295
10.2. Caso 2 – Comparação 
de dois valores medidos
e
Comparação entre medidas 
repetidas
)( 1x )( 2x
296
10.2. Caso 2 – Comparação 
de médias de duas amostras 
independentes
Medimos uma grandeza diversas vezes
utilizando dois métodos distintos, que
fornecem duas respostas diferentes, cada
uma com seu desvio-padrão.
Os dois resultados concordam entre si
“dentro do erro experimental”?
HARRIS, Daniel C. Análise Química Quantitativa, 8ª edição. LTC Editora
Capítulo 4 (4-3 Comparação entre Médias Utilizando o Teste t de Student)
Caso 2. Comparação entre medidas
repetidas
297
Amostras 
independentes
B
1
...
m
B
x
A
1
...
n
A
x
Quando os dados são
coletados de tal maneira
que as observações não
são relacionadas umas às
outras.
298
Hipótese nula Hipótese alternativa
210
: xxH 
0:
210
 xxH 0: 211  xxH
211
: xxH 
Hipóteses
Caso 2. Comparação entre medidas
repetidas
299
210
: xxH 
Calcular t
Comparar com 
t tabelado
300
210
: xxH 
Calcular t 
maneira 1
Comparar com t tabelado
Calcular t 
maneira 2
2
2
2
1
ss  2221 ss 
301
Teste F-Snedecor
Qual teste usaremos para descobrir
se existe ou não existe diferença
significativa para a variância (s2)
nos 2 conjuntos de dados?
302
210
: xxH 
Calcular t 
maneira 1
Comparar com t tabelado
2
2
2
1
ss 
303
Cálculo de t e de  quando as 
variâncias forem iguais
2
1
1
1
)21(
nnag
s
xx
calct



)2(
21
 nn
sag = desvio padrão agrupado
)2(
])1()1[(
21
2
22
2
11



nn
snsn
s
ag
304
Determinação de boro em plantas
MÉTODO 1: espectrofotométrico (M1)
MÉTODO 2: fluorimétrico (M2)
M1 M2
28,0
0,3
10
9
26,3
0,2
10
9
n
s
x
Exemplo
305
Comparação das médias
210
: xxH 
3,260,28:
0
H
0
210
 xxH
Comparação das variâncias
0: 2
2
2
10
 ssH
004,009,0:
0
H
03,260,28:
0
H
2
2
2
10
: ssH 
04,009,0:
0
H
306
Teste de comparação de 
variâncias F-Snedecor
a = 0,05
25,2
04,0
09,0

calc
F )(03,4 bilateralFtab 
Fcalc < Ftab, então as 
variâncias são iguais
)(18,3 unilateralFtab 
307
Cálculo do t-Student
21
21
11
)(
nns
xx
t
calc


 9,14
10
1
10
125,0
)3,260,28(



calct
25,0
ag
s
)(101,2 bilateralttab 
tcalc > ttab, então H0 é rejeitada; 
as médias são diferentes.
18)21010()2( 21  nn
308
)21010(
]04,0)110(09,0)110[(


ags
309
Como fazer isto 
no EXCEL???
310
Exemplo
Determinação de boro em plantas
311
Exemplo
Determinação de boro em plantas
312
VAMOS FAZER NO EXCEL?
313
MAS TAMBÉM EXISTE 
OUTRA FORMA DE 
OBTER ESTES 
RESULTADOS NO EXCEL
EXCEL
Dados 
Análise de dados 
Ferramentas de análise
Teste t: duas amostras 
presumindo variâncias 
equivalentes
Caso 2. Comparação entre
medidas repetidas
2
2
2
1
ss 
314
315
Como fazer isto 
no EXCEL???
316
Este exemplo não dá para fazer com a função 
do EXCEL porque não temos os dados brutos
317
VAMOS FAZER NO EXCEL?
EXCEL
318
Refazer o exemplo da determinação de boro 
em plantas usando o Excel
EXCEL
Exercício 9
Teste t: duas amostras 
presumindo variâncias 
equivalentes
319
210
: xxH 
Calcular t 
maneira 2
Comparar com t tabelado
2
2
2
1 ss 
320
Cálculo de t e de  quando as 
variâncias forem diferentes
2
2
2
1
2
1
21 )(
n
s
n
sxx
tcalc



2
)1()1(
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
2
2
2
1
2
1


































 

n
n
s
n
n
s
n
s
n
s
 OBS.: O valor de 
calculado deve ser 
arredondado para o 
inteiro mais próximo
321
Determinação da concentração de tiol em 
sangue de voluntários saudáveis e de 
voluntários com artrite reumatóide
Concentração de tiol
SAUDÁVEL ARTRITE
1,84
1,92
1,94
1,92
1,85
1,91
2,07
2,81
4,06
3,62
3,27
3,27
3,76
Existe alguma diferença
significativa entre as
médias destes dois
conjuntos de resultados?
Exemplo
322
Comparação das médias
as
xxH :
0
0:
0

as
xxH
0921,1465,3:
0
H
SAUDÁVEIS ARTRITE
ns = 7 na = 6
92,1
s
x 47,3
a
x
076,0
s
s 440,0
a
s
6
s
 5
a

323
Comparação das variâncias
22
0
:
as
ssH  0: 22
0

as
ssH
0)440,0()076,0(: 22
0
H
Teste F-Snedecor
379,33
0058,0
1936,0

calc
F
Ftab = 5,988 (bilateral)
Fcalc > Ftab, então H0 é rejeitada; as 
variâncias são diferentes.
Ftab = 4,39 (unilateral)
324
Cálculo do t-Student





 











6
1936,0
7
0058,0
921,1465,3)(
22
a
a
s
s
as
calc
n
s
n
s
xx
t
487,8
0323,00008,0
544,1







calct
Stat t (Excel) 325
Cálculo do número de 
graus de liberdade
2
)1()1(
2222
222







































 

a
a
a
s
s
s
a
a
s
s
n
n
s
n
n
s
n
s
n
s

2
1048,1105,8
1091,10
48
4







 

xx
x
5237,7  326
)(571,2
05,0
bilateralttab a
tcalc > ttab, então H0 deve ser 
rejeitada; as médias são 
diferentes
327
328
Como fazer isto 
no EXCEL???
329
Exemplo
330
VAMOS FAZER NO EXCEL?
331
MAS TAMBÉM EXISTE 
OUTRA FORMA DE 
OBTER ESTES 
RESULTADOS NO EXCEL
EXCEL
Dados 
Análise de dados 
Ferramentas de análise
Teste t: duas amostras 
presumindo variâncias 
diferentes
Caso 2. Comparação entre
medidas repetidas
2
2
2
1 ss 
332
333
Exemplo
334
VAMOS FAZER NO EXCEL?
EXCEL
335
Refazer o exemplo da determinação da 
concentração de tiol de sangue usando o 
Excel
EXCEL
Exercício 10
Teste t: duas amostras 
presumindo variâncias 
diferentes
336
337
10.3. Caso 3 – Teste t 
emparelhado para 
comparação de diferenças 
individuais 
Comparação de médias de 
dados em pares
338
10.3. Caso 3 – Comparação 
de médias de duas amostras 
pareadas
A amostra A é medida uma vez pelo método 1 e uma
vez pelo método 2, que não fornecem exatamente o
mesmo resultado.
A seguir, uma amostra diferente, denominada B, é
também medida uma vez pelo método 1 e uma vez
pelo método 2. Novamente, os resultados não são
exatamente iguais entre si.
O procedimento é repetido para n amostras
diferentes. Os dois métodos concordam entre si
“dentro do erro experimental”?
HARRIS, Daniel C. Análise Química Quantitativa, 8ª edição. LTC Editora
Capítulo 4 (4-3 Comparação entre Médias Utilizando o Teste t de Student)
Caso 3. Comparação de Médias de 
Dados em Pares
339
Neste caso, usamos dois métodos diferentes
para fazer medidas individuais em várias
amostras diferentes. Nenhuma medida foi
duplicada.
Os dois métodos fornecem a mesma resposta
“dentro do erro experimental”?
HARRIS, Daniel C. Análise Química Quantitativa, 8ª edição. LTC Editora
Capítulo 4 (4-3 Comparação entre Médias Utilizando o Teste t de Student)
Caso 3. Comparação de Médias de 
Dados em Pares
340
Caso 3. Comparação de Médias de 
Dados em Pares
Quando duas distribuições são dependentes
e, a cada valor de uma delas corresponde
apenas um valor na outra, e vice-versa, tem-se
o que é chamado de dados em pares.
Então, cria-se uma nova distribuição na qual
cada elemento é a diferença entre os dois
elementos de cada par das distribuições
anteriores.
341
Amostras dependentes 
(em pares ou pareadas)
n amostras
Método A Método B
1
...
m
B
x
1
...
n
A
x
Quando uma mesma
amostra é analisada
por dois métodos
diferentes.
342
Amostras 
independentes
Amostras 
em pares
B
1
...
m
B
x
A
1
...
n
A
x
n amostras
Método A Método B
1
...
m
B
x
1
...
n
A
x
343
Amostras independentes- Faz-se, 
primeiramente o teste F-Snedecor para verificar 
se as variâncias das amostras podem ser 
consideradas iguais. 
Amostras dependentes- A aplicação do teste 
F-Snedecor não é necessária. 
Aplicação do teste 
t-Student 344
Caso 3. Comparação de Médias de 
Dados em Pares
Exemplo 1:
Se oito amostras semelhantes são analisadas
por dois métodos, para comparação dos
métodos, tem-se oito pares de dados.
Exemplo 2:
Se cinco analistas usarem uma mesma
amostra com dois equipamentos diferentes,
para comparação de equipamentos, tem-se
cinco pares de dados.
345
Caso 3. Comparação de Médias de 
Dados em Pares
Para comparação de médias de dados em 
pares, é calculada a média e a variância da 
nova distribuição, constituída pelas 
diferenças entre os resultados de cada par.
Testa-se, então, a média das diferenças, , 
com auxílio da distribuição t. O teste consiste 
na comparação de t tabelado com t 
calculado.
dx
346
Caso 3. Comparação de Médias de 
Dados em Pares
O valor de t calculado é obtido através da
seguinte expressão:
d
dcalc s
nxt 0
A média das diferenças ( ) tem a seguinte
expressão:
dx



n
i
d
d n
x
x i
1
n = número de pares
347
Caso 3. Comparação de Médias de 
Dados em Pares
Se tcalc < ttab ou (ttab > tcalc), não há diferença 
entre os objetivos testados
Se tcalc > ttab ou (ttab < tcalc), há diferença 
entre os objetivos testados
Se tcalc > ttab, H0 é rejeitada
Se tcalc < ttab, H0 é aceita
348
Hipóteses
Hipótese nula Hipótese alternativa
Caso 3. Comparação de Médias de 
Dados em Pares
0 diferença:
0

d
xH 0:
1

d
xH
Média das diferenças ( )dx
349
Caso 3. Exemplo
Na determinação do teor de ThO2 em minério
de nióbio, columbita, oito amostras foram
analisadas para testar dois métodos ligeiramente
diferentes, com os resultados em %. Determinar se
os métodos são iguais no nível de confiança a 
0,05%.
AMOSTRA MÉTODO 1 MÉTODO 2 d
1 0,20 0,18 0,02
2 0,14 0,15 -0,01
3 0,23 0,25 -0,02
4 0,12 0,10 0,02
5 0,21 0,20 0,01
6 0,15 0,13 0,02
7 0,27 0,23 0,04
8 0,20 0,21 -0,01
350
0:
0

d
xH 0:
1

d
xH
01,0
d
x
02,0
d
s
718 
%5a
365,2tabt
22,1
02,0
8001,0


calct
Como tcalc < ttab, H0 é aceita
Determinação do teor de ThO2
usando o Excel
351
352
Como fazer isto 
no EXCEL???
353
Exemplo
354
VAMOS FAZER NO EXCEL?
355
MAS TAMBÉM EXISTE 
OUTRA FORMA DE 
OBTER ESTES 
RESULTADOS NO EXCEL
EXCEL
Dados 
Análise de dados 
Ferramentas de análise
Teste t: duas amostras em 
par para médias
Caso 3. Comparação de Médias de 
Dados em Pares
356
357
Exemplo
358
VAMOS FAZER NO EXCEL?
EXCEL
359
Refazer o exemplo da determinação do teor 
de ThO2 usando o Excel
EXCEL
Exercício 11
Teste t: duas amostras 
em par para médias
360
361
11. Análise de Variância 
(ANOVA)
362
O nome Análise de Variância é 
comumente chamado de ANOVA do 
inglês – ANalysis Of VAriance
363
Uma análise de variância permite que 
vários grupos sejam comparados a um 
só tempo, utilizando variáveis 
contínuas. 
O teste é paramétrico (a variável de 
interesse deve ter distribuição normal) e 
os grupos têm que ser independentes.
364
Análise de Variância 
(ANOVA)
 Análise de variância com um fator -
one-way ANOVA.
 Análise de variância com dois fatores
- two-way ANOVA.
 Análise de variância com mais de dois
fatores - multi-way ANOVA
(MANOVA – Análise de Variância
Multivariada). 365
11.1. Análise de variância 
com um fator - one-way
ANOVA. 
366
Análise de variância com 
um fator – one-way ANOVA
É avaliado apenas um fator (a) de 
interesse ou que influi na variável 
dependente.
367
Análise de Variância
Medida: ijij ex  m
Quando existe efeito de um fator a
ijjij eax  m
Variância total:
ART SSSSSS 
368SSA= soma dos quadradosdos desvios graças ao fator a
SSR= soma dos quadrados dos resíduos
ANOVA divide, basicamente, a variabilidade
em variabilidade Entre Grupos e
variabilidade Dentro dos Grupos, e compara
as duas.
Quanto maior for a primeira comparada à
segunda, maior será a evidência de que
existe variabilidade entre grupo.
Como funciona a ANOVA? 
369
Tabela da ANOVA com 1 fator
A variabilidade presente em um ensaio é
analisada com o auxílio de um quadro
padrão denominado Tabela da Análise de
Variância.
370
Fonte de 
variação
Graus de 
liberdade
Soma dos 
quadrados 
(SQ) – Sum of 
Squares (SS)
Quadrados 
médios (QM) 
– Mean 
Square (MS)
F
entre colunas (A)
nas colunas 
(resíduos)
total
k-1
n-k
n-1
SSA
SSR
SST
SSA/(k-1)
SSR/(n-k)
MSA/MSR
Fa;k-1;n-k
Os quadrados médios (MS) são obtidos dividindo as 
somas de quadrados (SS) pelos respectivos graus de 
liberdade.
Tabela da ANOVA com 1 fator
371
k = número de colunas; n = (no linhas x no colunas)
A = fator; R = resíduos; T = total
Coluna 1 (Fontes de Variação)
Nesta coluna são descritas as causas de
variabilidade dos dados do experimento.
O interesse do pesquisador está em conhecer
a variabilidade entre os TRATAMENTOS.
As outras fontes de variabilidade são
agrupadas em RESÍDUO (correspondente à
variabilidade existente Dentro dos
Tratamentos).
Tabela da ANOVA com 1 fator
372
Variabilidade Entre Tratamentos (entre
colunas) – provocada pelos tratamentos e
por outras fontes de variabilidade.
Variabilidade Dentro de Tratamentos
(nas colunas) – provocada por várias fontes
de variabilidade exceto tratamentos.
Coluna 1 (Fontes de Variação)
Tabela da ANOVA com 1 fator
373
Coluna 2 (Graus de Liberdade)
A cada fonte de variação está associado um
número de graus de liberdade.
Graus de Liberdade do tratamento (entre
colunas):
Graus de Liberdade do resíduo (nas colunas):
)1( k
)( kn
Tabela da ANOVA com 1 fator
374
Coluna 3 (Soma dos Quadrados - SS)
São as somas dos quadrados dos
desvios calculadas para cada
fonte de variação.
Tabela da ANOVA com 1 fator
375
Variância Total 
(expressa somente pelos desvios)

 

k
j
n
i
ijT XxSS
1 1
2)(
  
  

k
j
n
i
k
j
jjjijT XxnxxSS
1 1 1
22 )()(
SSR SSA
SSR= soma dos quadrados dos resíduos
SSA= soma dos quadrados dos desvios graças ao fator a
X média global
376
SST= soma dos quadrados totais
A soma dos quadrados dos desvios
graças ao fator a (entre colunas):
A soma dos quadrados dos resíduos
(nas colunas):
ATR SSSSSS 
RTA SSSSSS 
377
A soma dos quadrados totais:
ART SSSSSS 
Coluna 4 (Quadrados Médios – MS)
São obtidos pela razão entre as Somas dos
Quadrados (SS) e os seus respectivos graus
de liberdade.
Pode-se demonstrar que são estimativas de
variâncias porque divide-se a soma dos
quadrados pelo número de graus de
liberdade.
Tabela da ANOVA com 1 fator
378
O quadrado médio do tratamento 
(entre colunas):
)1( 

k
SS
MS AA
O quadrado médio do resíduo 
(nas colunas):
)( kn
SS
MS RR 

Note que os quadrados médios (MS) são
obtidos dividindo as somas dos quadrados (SS)
pelos respectivos graus de liberdade. 379
SSA= soma dos quadrados dos 
desvios graças ao fator a
SSR= soma dos quadrados dos resíduos
É o valor obtido para a estatística do teste F,
dado pela razão entre o quadrado médio do
Tratamentos (MSA) e o quadrado médio do
Resíduo (MSR).
Coluna 5 (Valor da estatística F – Fcal)
Tabela da ANOVA com 1 fator
380
R
A
calc MS
MS
F 
)1( 

k
SS
MS AA )( kn
SS
MS RR 

Coluna 5 (Valor da estatística F – Fcal)
381
SSA= soma dos quadrados dos desvios graças ao fator a
SSR= soma dos quadrados dos resíduos
MSA= quadrado médio de 
tratamento (entre colunas)
MSR= quadrado médio 
de resíduo (nas colunas)
Para testar as hipóteses é utilizada a
estatística F de Snedecor, com (k – 1) graus
de liberdade no numerador e (n – k) graus de
liberdade no denominador.
Se Fcalc > Fa;k-1;n-k rejeita-se H0 e conclui-se
que existe pelo menos uma média que
difere de outra.
Tabela da ANOVA com 1 fator
382
Se Fcalc > Ftab, rejeitar H0. Neste caso,
dizemos que existem diferenças
estatisticamente significativas entre as
médias.
Se Fcalc < Ftab, não rejeitar H0. Neste caso,
dizemos que não existem evidências
estatísticas de que as médias sejam
diferentes.
383
384
SUPOSIÇÕES:
* Populações normalmente distribuídas
* Populações tem mesma variância (ou 
mesmo desvio padrão)
* Amostras são aleatórias e mutuamente 
independentes 
* As diferentes amostras são obtidas de 
populações classificadas em apenas uma 
categoria
385
O estatístico George E. P. Box
mostrou que os resultados são
confiáveis desde que o tamanho das
Se as distribuições são fortemente não
normais devemos utilizar outros
métodos, por exemplo, o teste de
Kruskal-Wallis.
amostras seja igual (ou quase igual); a
diferença entre as variâncias pode ser de
tal ordem que a maior seja nove vezes a
menor.
386
HIPÓTESE ALTERNATIVA: nem todas a médias 
populacionais são iguais, ou seja: Pelo menos uma 
média é diferente, isto é, existe efeito do 
tratamento. Não quer dizer que todas as médias 
sejam diferentes (alguns pares podem ser iguais) 
H0: m1 = m2 = m3 = ... mk
H1: Nem todas as médias populacionais 
são iguais
Hipóteses do ANOVA de um critério 
HIPÓTESE NULA: a média de todas as
populações é igual, ou seja, o tratamento
(fator) não tem efeito (nenhuma variação em
média entre os grupos).
387
https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/3260534/mod_resource
/content/1/T%C3%B3pico_13.pdf
388
https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/3260534/mod_resource
/content/1/T%C3%B3pico_13.pdf
389
https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/3260534/mod_resource
/content/1/T%C3%B3pico_13.pdf
Exemplo:
Determinação dos teores de ferro, em 
mg/100g, em uma formulação para 
vitaminas e sais minerais.
Os valores foram determinados por absorção 
atômica (AAS).
Cada conjunto de dados foi obtido por um 
método diferente de preparo das amostras.
Existe efeito significativo, no nível 
de confiança 0,05, em algum dos 
métodos empregados? 390
Exemplo
Dry Micro ZZC SZC LTA ZZF SZF
j 1 2 3 4 5 6 7
1 5,59 5,67 5,75 4,74 5,52 5,52 5,43
2 5,59 5,67 5,47 4,45 5,47 5,62 5,52
3 5,37 5,55 5,43 4,65 5,66 5,47 5,43
4 5,54 5,57 5,45 4,94 5,52 5,18 5,43
5 5,37 5,43 5,24 4,95 5,62 5,43 5,52
6 5,42 5,57 5,47 5,06 5,76 5,33 5,52
média 5,48 5,58 5,47 4,80 5,59 5,43 5,48
desvio 0,11 0,089 0,16 0,23 0,11 0,15 0,05
391
Determinação dos teores de ferro, em 
mg/100g, em uma formulação para vitaminas 
e sais minerais, determinada por AAS.
Concentração de ferro em uma 
formulação, determinada por AAS
4
4,2
4,4
4,6
4,8
5
5,2
5,4
5,6
5,8
6
0 1 2 3 4 5 6 7 8
C
o
n
ce
n
tr
aç
ã
o
 d
e 
F
er
ro
 
(n
g
/1
0
0g
)
Métodos
392
DRY
MICRO
ZZC
SZC
LTA
ZZF
SZF
Fonte de 
variação
Graus de 
liberdade F
entre colunas
nas colunas
total
k-1=7-1= 6
n-k=42 – 7 = 35
n-1=42-1 = 41
SSA= 2,68342
SSR= 0,67608
SST= 3,35951
F0,05; 6; 35= 2,372 F0,001; 6; 35= 4,894
Tabela da ANOVA com 1 fator
393
Soma dos 
quadrados 
(SQ) – Sum of 
Squares (SS)
Quadrados 
médios (QM) 
– Mean 
Square (MS)
k = número de colunas; n = (no linhas x no colunas)
SSA/(k-1)= 
0,44724
SSR/(n-k)= 
0,01932
MSA/MSR=
23,153
SSA= soma dos quadrados dos desvios graças ao fator a
SSR= soma dos quadrados dos resíduos
MSA= quadrado médio dos tratamentos (entre colunas)
MSR= quadrado médio dos resíduos (nas colunas)
394
Resposta do Exemplo
35951,3)40,552,5()40,552,5()40,543,5(...
...)40,537,5()40,559,5()40,559,5(
222
222



 

k
j
n
i
ijT XxSS
1 1
2)( 40,5X
SST= soma dos quadrados totais
395
  
  

k
j
n
i
k
j
jjjijT XxnxxSS
1 1 1
22 )()(
SSR SSA
67608,0)48,552,5()48,552,5()48,543,5(...
...)43,547,5()43,562,5()43,552,5(...
...)59,566,5()59,547,5()59,552,5(...
...)80,465,4()80,445,4()80,474,4(...
...)47,543,5()47,547,5()47,575,5(...
...)58,555,5()58,567,5()58,567,5(...