Apostila IQA363 2020-2 (remoto)

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ANÁLISE ESTATÍSTICA 
DE DADOS – IQA363 
 PAULA FERNANDES DE AGUIAR
 Profa. Departamento de Química Analítica
 Instituto de Química da UFRJ
 e-mail: paulafda@iq.ufrj.br /paula.fdeaguiar@gmail.com
 Tel: (21) 3938-7877
 Sala: 517 
PROGRAMA
1. CONCEITO ESTATÍSTICA
2. FERRAMENTAS NECESSÁRIAS AO CÁLCULO 
ESTATÍSTICO
2.1. ARREDONDAMENTO
2.2. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
3. ERROS (TIPOS DE ERROS EXPERIMENTAIS)
3.1. ERROS GROSSEIROS
3.2. ERROS SISTEMÁTICOS OU DETERMINADOS
3.3. ERROS ALEATÓRIOS OU INDETERMINADOS
2
7. A DISTRIBUIÇÃO NORMAL
5. MEDIDAS DE DISPERSÃO
6. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
4. MEDIDAS DE POSIÇÃO OU TENDÊNCIA 
CENTRAL
7.1. TESTE DE NORMALIDADE: SHAPIRO-WILK
PROGRAMA
8. GRAU DE CONFIANÇA DE STUDENT (t) – TESTE 
t-STUDENT
9. TESTE F-SNEDECOR
3
10. TESTES DE HIPÓTESES 
PROGRAMA
10.1. CASO 1. COMPARAÇÃO DE UM VALOR MEDIDO COM
UM VALOR “CONHECIDO”
10.2. CASO 2. COMPARAÇÃO DE DOIS VALORES MEDIDOS –
COMPARAÇÃO ENTRE MEDIDAS REPETIDAS
10.3. CASO 3. COMPARAÇÃO DE MÉDIAS DE DADOS EM
PARES
4
11. ANÁLISE DE VARIÂNCIA (ANOVA)
11.1. ANÁLISE DE VARIÂNCIA COM UM FATOR
11.2. ANÁLISE DE VARIÂNCIA COM DOIS FATORES
PROGRAMA
14. AVALIAÇÃO DA HOMOGENEIDADE DAS
VARIÂNCIAS (HOMOCEDASTICIDADE)
13. A REGRESSÃO LINEAR
13.1. A ESTIMATIVA DOS PARÂMETROS DE REGRESSÃO
13.2. A VALIDAÇÃO DO MODELO
13.2.1 A ANÁLISE DE RESÍDUOS
16. BOX PLOT
5
12. TESTE DE VALORES 
DISCREPANTES/ABERRANTES (OUTLIERS)
12.1. TESTE DE DIXON
12.2. TESTE DE GRUBB’S 
13.2.2 A ANÁLISE DE VARIÂNCIA
15. COMPARAÇÃO DA INCLINAÇÃO DE DUAS RETAS
1. Conceito Estatística 
6
Estatística - Conceito
7
“É um conjunto de técnicas que
permite, de forma sistemática,
organizar, descrever, analisar e
interpretar dados oriundos de
estudos ou experimentos, realizados
em qualquer área do conhecimento”
Estatística - Conceito
“É a ciência que coleta, classifica e
avalia numericamente dados que
servirão de base para inferências”
8
9
Inferência Estatística
É o estudo de técnicas que
possibilitam a extrapolação, a um
grande conjunto de dados, das
informações e conclusões obtidas a
partir da amostra.
10
“Dizemos que uma inferência estatística é
feita quando se estabelecem conclusões para
a população com base nos dados de uma
amostra e no resultado de um teste
estatístico”
O uso da ESTATÍSTICA na análise
dos DADOS EXPERIMENTAIS é de
extrema importância para que um
resultado analítico possua uma
CONFIABILIDADE ACEITÁVEL.
11
A CONFIABILIDADE necessária para um
resultado, justifica o esforço extra
requerido para que análises em
replicatas sejam realizadas.
Os resultados individuais de um
conjunto de medidas raramente são
iguais.
12
2. Ferramentas necessárias 
ao cálculo Estatístico 
13
2.1. Arredondamento
14
Arredondamento
Aplica-se quando há a intenção de que
um número limitado de dígitos em um
valor deva ser considerado significativo
para fins de determinação da
conformidade com as especificações.
15
1. Um valor observado ou calculado deve
ser arredondado para o valor mais próximo.
Procedimento
Arredondamento
OBSERVAÇÃO:
ARREDONDAR PARA A UNIDADE – 0 CASA DEPOIS DA VÍRGULA
ARREDONDAR PARA O DÉCIMO – 1 CASA DEPOIS DA VÍRGULA
ARREDONDAR PARA O CENTÉSIMO – 2 CASAS DEPOIS DA VÍRGULA
ARREDONDAR PARA O MILÉSIMO- 3 CASAS DEPOIS DA VÍRGULA
16
Ex: 121,7948 para o centésimo – 121,79
Não se faz primeiro o arredondamento 121,795 e
depois 121,80.
2. O valor arredondado deve ser obtido em
uma só etapa, por arredondamento direto do
valor disponível mais preciso, e não em dois
ou mais arredondamentos sucessivos.
Arredondamento
Procedimento
17
3. Se o número a ser removido for menor
que cinco, o subsequente à esquerda
mantém o seu valor.
Procedimento
Ex: 5,1234 para o milésimo – 5,123
5,1234 para o centésimo – 5,12
5,1234 para o décimo – 5,1
Arredondamento
18
4. Se o número a ser removido é maior que
cinco, o subsequente à esquerda aumenta o
seu valor de uma unidade.
Ex: 6,1878 para o milésimo – 6,188
6,1878 para o centésimo – 6,19
6,1987 para o décimo – 6,2
6,1878 para o décimo – 6,2
3,965001 para o décimo – 4,0
Arredondamento
Procedimento
19
Arredondamento
Procedimento
5. Quando o número a ser removido for
exatamente igual à 5, e não houver outros
dígitos além deste, ou houver somente zeros,
o anterior aumenta se ele for ímpar e
permanece inalterado se for par.
Ex: 1,375 para o centésimo – 1,38
1,385 para o centésimo – 1,38
45,8775 para o milésimo - 45,878
45,8765 para o milésimo - 45,87620
6. Quando o número a ser removido for
exatamente igual à 5, e houver outros
dígitos diferentes de zero além deste, o
subsequente à esquerda aumenta o seu
valor de uma unidade.
Ex: 3,8655001 para o milésimo - 3,866
3,865001para o centésimo - 3,87
364,5001 para a unidade - 365
Arredondamento
Procedimento
21
22
ARREDONDAR OS NÚMEROS A SEGUIR 
CONFORME A PRECISÃO INDICADA
NÚMERO PRECISÃO RESULTADO
48,6 UNIDADE
136,5 UNIDADE
2,484 CENTÉSIMO
0,0435 MILÉSIMO
5,40001 UNIDADE
143,95 DÉCIMO
24448 MILHAR
5,56500 CENTÉSIMO
5,56501 CENTÉSIMO
Exercício 1
Arredondamento
23
ARREDONDAR OS NÚMEROS A SEGUIR 
CONFORME A PRECISÃO INDICADA
NÚMERO PRECISÃO RESULTADO
48,6 UNIDADE 49
136,5 UNIDADE 136
2,484 CENTÉSIMO 2,48
0,0435 MILÉSIMO 0,044
5,40001 UNIDADE 5
143,95 DÉCIMO 144,0
24448 MILHAR 24000
5,56500 CENTÉSIMO 5,56
5,56501 CENTÉSIMO 5,57
Exercício 1
Arredondamento
24
25
ARRED(núm;núm_dígitos)
A função estatística ARRED arredonda um número até a
quantidade especificada de dígitos.
Como fazer isto 
no EXCEL???
26
Exemplo
ARRED(núm;núm_dígitos)
27
VAMOS FAZER NO EXCEL?
2.2. Algarismos Significativos 
(AS)
28
O número de algarismos significativos
é o número mínimo de algarismos
necessários para escrever um
determinado valor em notação científica
sem a perda de exatidão.
HARRIS, Daniel C. Análise Química Quantitativa, 8ª edição. LTC Editora
Capítulo 3 (3-1 Algarismos Significativos)
Algarismos Significativos
29
O número de dígitos informado em uma
medida reflete a exatidão da medida e a
precisão do aparelho de medição.
Todos os algarismos conhecidos com
certeza mais um algarismo extra são
chamados de algarismos significativos.
Algarismos Significativos
30
Considera-se que na expressão
numérica de uma medida, o último
algarismo apresenta uma incerteza de
+/- o valor da precisão do instrumento
utilizado na medida, quando esta é
conhecida. Caso contrário, utiliza-se a
precisão avaliada, como sendo o décimo
da menor medida da escala.
Algarismos Significativos
31
Algarismos Significativos
Procedimento
1. Números diferentes de zero são sempre
significativos.
Ex: 2,345  4 algarismos significativos 
2. Zeros entre números diferentes de zero são
sempre significativos.
algarismos significativos Ex: 10,305  5 algarismos significativos 
32
O dígito zero pode ter um valor específico ou 
apenas indicar uma ordem de grandeza. 
3. Quando os zeros à frente do primeiro dígito
não nulo de um número indicam apenas a
ordem de grandeza, estes não são considerados
dígitos significativos e devem ser expressos em
notação científica.
Ex: 0,0034  2 algarismos significativos  3,4 x 10-3
Procedimento
Algarismos Significativos
Ex: 0,0003  1 algarismo significativo  3 x 10-4
33
Algarismos Significativos
Procedimento
4. Os zeros no final do número, depois de uma
casa decimal, são significativos.
Ex: 32,00  4 algarismos significativos 
0,200  3 algarismos significativos
34
Algarismos Significativos
Procedimento
5. Os zeros no final de um número, antes de
uma casa decimal, são ambíguos (podem ou
não ser significativos).
algarismos significativos Ex: 140 000  2 a 6 algarismos significativos 
10.300  3 a 5 algarismos significativos
35
Amostra pesada em 
vários tipos de balanças
Balança Precisão 
(g) 
Medida 
(g) 
Resultado 
(g) 
1 0,0001 6,1540 6,1540 
2 0,001 6,1540 6,154 
3 0,01 6,1540 6,15 
4 0,1 6,1540 6,2 
5 1 6,1540 65 
 36
 Quantos algarismos significativos
possuem os números abaixo:
A) 142,7
B) 1,427 × 102 
C) 1,4270 × 102 
D) 1,9030 
E) 0,03910
F) 1,40 × 104 
G) 6,302 × 10−6 
H) 0,000006302
Exemplo 1
Algarismos Significativos (AS)
37
38
Exemplo 1
Algarismos Significativos (AS)
 Quantos algarismos significativos
possuem os números abaixo:
A) 142,7 4AS
B) 1,427 × 102 4AS
C) 1,4270 × 102 5AS
D) 1,9030 5AS
E) 0,03910 4AS
F) 1,40 × 104 3AS
G) 6,302 × 10−6 4AS
H) 0,000006302 4AS
39
1. ARREDONDE OS NÚMEROS PARA QUE TENHAM 
SOMENTE 1 ALGARISMO SIGNIFICATIVO
NÚMERO
0,00025000
0,00025001
0,00025127
0,00035000
Exercício 1
Arredondamento e Algarismos 
Significativos
40
NÚMERO
NOTAÇÃO 
CIENTÍFICA
REGRA 
ARREDONDA
MENTO
RESULTADO
0,00025000 2,5000 x 10-4 5 2 x 10-4
0,00025001 2,5001 x 10-4 6 3 x 10-4
0,00025127 2,5127 x 10-4 6 3 x 10-4
0,00035000 3,5000 x 10-4 5 4 x 10-4
1. ARREDONDE OS NÚMEROS PARA QUE TENHAM 
SOMENTE 1 ALGARISMO SIGNIFICATIVO
Exercício 1
41
2. QUANTOS ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS HÁ 
EM CADA UM DOS SEGUINTES NÚMEROS ?
NÚMERO
NO. ALGARISMOS 
SIGNIFICATIVOS
45,8 cm
45,80 cm
1,40 m
3,50 x 10-3 mm
1,00560 cm
9 g
3,0 x 106 libras
7,54400 x 10-5 Kg
Exercício 2
42
NÚMERO
NO. ALGARISMOS 
SIGNIFICATIVOS
45,8 cm 3
45,80 cm 4
1,40 m 3
3,50 x 10-3 mm 3
1,00560 cm 6
9 g 1
3,0 x 106 libras 2
7,54400 x 10-5 Kg 6
2. QUANTOS ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS HÁ 
EM CADA UM DOS SEGUINTES NÚMEROS ?
Exercício 2
43
3. ARREDONDE OS NÚMEROS PARA QUE 
TENHAM OS NÚMEROS DE ALGARISMOS 
SIGNIFICATIVOS INDICADOS
Exercício 3
NÚMERO
NÚMERO DE 
ALGARISMOS 
SIGNIFICATIVOS
REGRA 
ARREDONDA
MENTO
RESULTADO
7,243 g 2 3
4,736 g 3 4
43,5500 g 3 5
43,8500 g 3 5
43,8501 g 3 6
44
3. ARREDONDE OS NÚMEROS PARA QUE 
TENHAM OS NÚMEROS DE ALGARISMOS 
SIGNIFICATIVOS INDICADOS
Exercício 3
NÚMERO
NÚMERO DE 
ALGARISMOS 
SIGNIFICATIVOS
REGRA 
ARREDONDA
MENTO
RESULTADO
7,243 g 2 3 7,2 g
4,736 g 3 4 4,74 g
43,5500 g 3 5 43,6 g
43,8500 g 3 5 43,8 g
43,8501 g 3 6 43,9 g
45
HARRIS, Daniel C. Análise Química Quantitativa, 8ª edição. LTC Editora
Capítulo 3 (3-1 Algarismos Significativos)
Exercício 4
4. QUANTOS ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 
POSSUI O NÚMERO ABAIXO ?
92 500
46
Resposta: O número 92 500 é ambíguo em relação 
ao número de algarismos significativos. Ele pode ser 
representado por uma das seguintes formas:
 
9,25 x 104
9,250 x 104
9,2500 x 104
3 AS 
4 AS 
5 AS 
HARRIS, Daniel C. Análise Química Quantitativa, 8ª edição. LTC Editora
Capítulo 3 (3-1 Algarismos Significativos)
Exercício 4
4. QUANTOS ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 
POSSUEM O NÚMERO ABAIXO:
92 500
47
Algarismos Significativos 
na Aritmética
O arredondamento deve ser feito somente na
resposta final (não nos resultados parciais), a
fim de se evitar a acumulação de erros de
arredondamento.
HARRIS, Daniel C. Análise Química Quantitativa, 8ª edição. LTC Editora
Capítulo 3 (3-2 Algarismos Significativos na Aritmética)
Veremos quantos algarismos devem existir em 
uma resposta após serem executadas 
operações aritme ́ticas com seus dados. 
48
49
1,9834 + 2,4404 + 0,9184 = ?
1,9834 + 2,4404 + 0,9184 = 5,5422
N° casas 
decimais
conta Final obtido Final esperado
0 casa 2 + 2 +1 5 6
1 casa 2,0 + 2,4 + 0,9 5,3 5,5
2 casas 1,98 + 2,44 + 0,92 5,34 5,54
3 casas 1,983 + 2,440 + 0,918 5,341 5,542
Adição e Subtração: Se os números a serem
somados ou subtraídos tiverem o mesmo
número de algarismos, a resposta deve ter o
mesmo número de casas decimais que os
números envolvidos na operação.
HARRIS, Daniel C. Análise Química Quantitativa, 8ª edição. LTC Editora
Capítulo 3 (3-2 Algarismos Significativos na Aritmética)
Algarismos Significativos 
na Aritmética
 1,362 x 10-4
+ 3,111 x 10-4
 ___________________
 4,473 x 10-4
3 casas decimais / 4 AS
3 casas decimais / 4 AS
______________________________________
3 casas decimais / 4 AS
50
Algarismos Significativos 
na Aritmética
Adição e Subtração: o número de algarismos
significativos na resposta pode ser maior ou
menor do que o existente nos dados.
HARRIS, Daniel C. Análise Química Quantitativa, 8ª edição. LTC Editora
Capítulo 3 (3-2 Algarismos Significativos na Aritmética)
5,345
+ 6,728
__________
12,073
4 AS
4 AS
________
5 AS
3 casas decimais
7,26 x 10-14
- 6,69 x 10-14
___________________
0,57 x 10-14
3 AS
3 AS
________
2 AS
2 casas decimais
51
Adição e Subtração: se os números a serem
somados ou subtraídos não possuírem o mesmo
número de algarismos significativos, a resposta
estará limitada pelo número que tem o menor
número de casas decimais.
18,998 403 2
+ 18,998 403 2
83,798
___________________
121,794 806 4 Resultado: 121,795
9 AS
9 AS
5 AS
7 casas decimais
7 casas decimais
3 casas decimais
Algarismos Significativos 
na Aritmética
52
20,4
+ 1,322
83
___________________
104,722 Resultado:105
3 AS
4 AS
2 AS
1 casa decimal
3 casas decimais
0 casa decimal
Algarismos Significativos 
na Aritmética
53
Adição e Subtração: em adições ou subtrações 
de números expressos em notação científica, 
todos os nu ́meros devem, primeiro, ser 
convertidos ao mesmo expoente.
1,632 x 105
+ 4,107 x 103
+ 0,984 x 106
___________________
1,632 x 105
+ 0,041 07 x 105
+ 9,84 x 105
___________________
11,513 07 x 105 R:11,51 x 105
3 casas decimais
5 casas decimais
2 casas decimais
Algarismos Significativos 
na Aritmética
54
Multiplicação e Divisão: o número de
algarismos significativos contido no número
com menos algarismos significativos limita
a resposta.
 3,26 x 10-5
x 1,78
__________
 5,80 x 10-5 
3 AS
3 AS
________
3 AS
4,3179 x 1012
x 3,6 x 10-19
_____________________
1,6 x 10-6
5 AS
2 AS
________
2 AS
HARRIS, Daniel C. Análise Química Quantitativa, 8ª edição. LTC Editora
Capítulo 3 (3-2 Algarismos Significativos na Aritmética)
Algarismos Significativos 
na Aritmética
55
Algarismos Significativos 
na Aritmética
 45,78 
x 1,2
 ________________
 54,936 
Resultado:55 
4 AS
2 AS
________
5 AS
2 AS
56
Em qualquer cálculo, os resultados são 
informados com o menor número de 
algarismos significativos (para 
multiplicação e divisão) ou com o 
menor número de casas decimais
(adição e subtração).
57
Resumindo:
58
Exercício 1
Algarismos Significativos 
na Aritmética
 Expresse o resultado da operação com o
número de algarismos significativos
adequado.
45,78 
+ 328,908 
56,2 
59
Exercício 1
Algarismos Significativos 
na Aritmética
 Expresse o resultado da operação com o 
número de algarismos significativos 
adequado.
45,78 
+ 328,908 
56,2 
430,888  430,9
2 casas decimais
3 casas decimais
1 casa decimal
1 casa decimal
60
Exercício 2
Algarismos Significativos 
na Aritmética
HARRIS, Daniel C. Análise Química Quantitativa, 8ª edição. LTC Editora
Capítulo 3 (3-2 Algarismos Significativos na Aritmética)
 Expresse o resultado da operação com o
número de algarismos significativos
adequado.
 34,60
÷ 2,462 87
 _______________
5,2 cm
x 6,221 cm
________________
61
34,60
÷ 2,462 87
_______________
14,05
4 AS
6 AS
________
4 AS
5,2 cm
x 6,221 cm
_______________
32,3492 cm2
2 AS
4 AS
________
6 AS
Resultado:32 cm2 2 AS
Exercício 2
Algarismos Significativos 
na Aritmética
 Expresse o resultado da operação com o
número de algarismos significativos
adequado.
62
Exercício 3
 Expresse o resultado da operação com o
número de algarismos significativos
adequado.
89,1
59,076,1 
Algarismos Significativos 
na Aritmética
63
Exercício 3
Algarismos Significativos na Aritmética
 Expresse o resultado da operação com o
número de algarismos significativos
adequado.
89,1
59,076,1
a) faz-se primeiramente a subtração (1,76-0,59
= 1,17000) mantendo-se todas as casas.
b) faz-se a divisão (1,17000/1,89 = 0,619048)
mantendo-se o menor número de algarismos
significativo (três), e fazendo-se o
arredondamento. Resultado = 0,619 64
Exercício 4
Algarismos Significativos 
na Aritmética
 Expresse o resultado da operação com o
número de algarismos significativos
adequado.
59,0
89,176,1 
65
Exercício 4
Algarismos Significativos na Aritmética
 Expresse o resultado da operação com o
número de algarismos significativos
adequado.
59,0
89,176,1 
a) faz-se, primeiramente, a multiplicação
(1,76x1,89 = 3,32640) de mantém-se todas as
casas.
b) faz-se a divisão (3,32640/0,59 = 5,637966) e
mantem-se o menor número de algarismos
significativo (dois), fazendo-se o
arredondamento. Resultado = 5,6
66
67
3. Erros (Tipos de Erros 
Experimentais)
68
ERRAR É INEVITÁVEL
Todas as medidas experimentais estão 
sujeitas a erros!!
Erro ou incerteza?
 Erro de medição (EXATIDÃO):
É o número que resulta da diferença entre
a indicação de um sistema de medição
(valor medido) e o valor verdadeiro do
mensurando.
 Incerteza de medição (PRECISÃO):
É o parâmetro, associado ao resultado de
uma medição, que caracteriza a faixa dos
valores que podem ser atribuídos ao
mensurando. 69
O que se deseja é obter um resultado
tão próximo quanto possível do valor
verdadeiro mediante a aplicação
correta do procedimento de medida.
70
Erro de Medição
É de senso comum que qualquer experimento
ao ser realizado deva ter suas medidas
realizadas mais de uma vez.
Devemos realizar as medições em duplicata,
triplicata ou até mais vezes.
Simplificando, é comum usar o termo
replicata (uma tradução do inglês replicate)
para qualquer número de medições. 71
Erro Absoluto
valor real = valor verdadeiro ou mais 
provável
Erro Absoluto = (valor medido – valor real)
Erro Relativo
Erro relativo (%) = (valor medido – valor real) x 100
valor real
72
Tipos de Erros 
Experimentais
1) Erros Grosseiros (evitáveis)
2) Erros Sistemáticos (ou determinados)
3) Erros Aleatórios (ou indeterminados)
Os resultados experimentais estão
sujeitos a vários tipos de ERROS, que
podem ser designados de:
73
3.1. Erros Grosseiros
74
1) Erros Grosseiros
É um erro ocasional e pode ser evitado.
Normalmente, é responsável por
resultados absurdos ou discrepantes
em relação ao valor central ou valor
verdadeiro.
75
1) Erros Grosseiros
Exemplos:
1. Enganos na leitura de uma escala;
2. Erro de cálculo nas operações;
3. Emprego de teorias inadequadas;
4. Esquecer de colocar um indicador em uma
solução;
5. Falha de energia;
6. Pane em equipamentos;
7. Percepção do uso de reagentes trocados;
8. Uso de reagentes com alto grau de impureza,
etc.
76
3.2. Erros Sistemáticos ou 
Determinados
77
São aqueles que têm causas assinaláveis
e valores definidos que, em princípio,
podem ser medidos e seu efeito corrigido
nos resultados.
2) Erros Sistemáticos ou 
Determinados 
78
São erros unidirecionais, e que levam a
um conjunto de resultados que
apresente valores tendenciosos e que se
distanciam do valor verdadeiro sempre
no mesmo sentido (para mais ou para
menos).
2) Erros Sistemáticos ou 
Determinados 
79
É independente do número de medições
feitas e não pode ser reduzido pelo
aumento do número de análises sob
condições constantes de medida.
2) Erros Sistemáticos ou 
Determinados 
80
Exemplos:
1. Balança não tarada ou calibrada;
2. Pipeta não aferida;
2) Erros Sistemáticos ou 
Determinados 
81
3.3. Erros Aleatórios ou 
Indeterminados
82
As vezes ocorrem em um sentido,
outras vezes em outro, em relação ao
valor verdadeiro.
Os resultados das medições flutuam
de um modo aleatório.
3) Erros Aleatórios ou 
Indeterminados 
83
A origem dessas flutuações não é
assinalável pois estas representam a
soma de um conjunto de incertezas
muito pequenas que não podem ser
identificadas em sua origem.
3) Erros Aleatórios ou 
Indeterminados 
São flutuações devidas aos
instrumentos, métodos de análises,
condições ambientais e devidas ao
próprio operador – não podem ser
determinados. 84
O erro aleatório de um resultado 
analítico não pode ser compensado por 
correção, mas é reduzido pelo aumento 
do número de observações, embora esta 
não deva ser a primeira ação para a 
redução do valor do erro aleatório.
3) Erros Aleatórios ou 
Indeterminados 
85
3) Erros Aleatórios ou 
Indeterminados 
São erros devidos a variações ao acaso,
de causas não conhecidas exatamente,
em geral irregulares e pequenas, e de
difícil controle do operador.
Exemplos: umidade, temperatura, 
iluminação, pureza dos reagentes etc.
86
4. Medidas de Posição ou 
Tendência Central
87
Média (Estatística paramétrica)
Mediana (Estatística não paramétrica)
Medidas de Posição ou 
Tendência Central
88
Média 
A média aritmética, usualmente
abreviada para média, , é definida
como a soma de todos os valores
medidos, dividido pelo número, n, das
medidas.
x
)( x
n
x
n
i
ix
 1
n = número de análises
= valor da análise
ix
89
90
Média )( x
Nas operações que podem ser feitas
com as médias aritméticas, estas
somam-se e subtraem-se.
Exemplo
Se a média do conjunto A é igual a 17
e a média do conjunto B é igual a 15,
determine a média de (A+B).
Resposta: média (A+B) = 32
Essa propriedade é útil para verificar ou
confirmar o resultado do cálculo da média
de uma amostra ou variável, como também
no desenvolvimento de provas matemáticas
que apresentam a soma de desvios com
relação à média. 91
Propriedades da Média 
Primeira propriedade
A soma dos desvios de uma amostra ou
variável é sempre igual a zero.
92
Propriedades da Média 
Segunda propriedade
A soma dos quadrados dos desvios com
relação à própria média de uma variável ou
amostra é sempre um valor mínimo.
mínimo
93
Como fazer isto 
no EXCEL???
Funções estatísticas do Excel
SOMA(núm 1; núm 2;...;núm 30)
A função estatística SOMA retorna a soma dos valores numéricos
núm1; núm2;...;núm30. Cada um desses núm pode ser um intervalo
de células de uma planilha contendo valores numéricos ou
assemelhados.
94
Exemplo
SOMA(núm 1; núm 2;...;núm 30)
95
VAMOS FAZER NO EXCEL?
96
Funções estatísticas do Excel
MÉDIA(núm 1; núm 2;...;núm 30)
A função estatística MÉDIA retorna a média aritmética dos valores
numéricos núm1; núm2;...;núm30. Cada um desses núm pode ser
um intervalo de células de uma planilha contendo valores
numéricos ou assemelhados.
97
Exemplo
MÉDIA(núm 1; núm 2;...;núm 30)
98
VAMOS FAZER NO EXCEL?
Mediana (Med) 
É o valor que divide uma série
ordenada de valores, de tal forma que
50% dos itens estão abaixo e, a outra
metade, acima dela.
Para um número ímpar de observações
será o valor central da série ordenada.
99
Mediana (Med) 
Para um número par de observações
será a média aritmética dos valores
centrais da série ordenada.
É utilizada quando os valores extremos
são de pouca importância.
100
Posição da Mediana
2/)1(  nMed
Procedimento
Colocar os resultados em ordem 
crescente
Determinar a posição da mediana
Verificar que valor corresponde à 
posição da mediana
1
2
3
101
VALORES
3,1
2,9
2,7
3,0
3,2
3,5
2,8
VALORES
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,5
Med = 
(7+1)/2 = 4
1
2
3
Exemplo 1
Posição da Mediana (Med) 
102
VALORES
3,1
2,9
2,7
3,0
3,2
3,5
VALORES
2,7
2,9
3,0
3,1
3,2
3,5
Med = 
(6+1)/2 = 3,5
1
2
3
Mediana é o valor 
que se encontra 
entre aqueles das 
posições 3 e 4 = 
3,05 
Exemplo 2
Posição da Mediana (Med) 
103
104
Funções estatísticas do Excel
MED(núm 1; núm 2;...;núm 30)
A função estatística MED retorna a mediana dos valores numéricos
núm1; núm2;...;núm30. Cada um desses núm pode ser um intervalo
de células de uma planilha contendo valores numéricos ou
assemelhados.
Como fazer isto 
no EXCEL???
105
Exemplo
SOMA(núm 1; núm 2;...;núm 30)
MED(núm 1; núm 2;...;núm 30)
106
VAMOS FAZER NO EXCEL?
107
MAS TAMBÉM EXISTEOUTRA FORMA DE 
OBTER ESTES 
RESULTADOS NO EXCEL
OUTRA 
FORMA DE 
FAZER NO 
EXCEL
Dados 
Análise de dados 
Ferramentas de análise
Estatística descritiva
Medidas de Posição ou 
Tendência Central
108
Média
Erro padrão
Mediana
Moda
Desvio padrão
Variância da amostra
Curtose
Assimetria
Intervalo
Mínimo
Máximo
Soma
Contagem
Nível de confiança(95,0%)
Estatística Descritiva
109
OUTRA 
FORMA DE 
FAZER NO 
EXCEL
EXCEL
110
VALORES
3,10
2,90
2,70
3,00
3,20
3,50
2,80
1. CALCULE A MÉDIA E A MEDIANA, USANDO O 
EXCEL, DO CONJUNTO DE DADOS A SEGUIR:
EXCEL
USAR AS FUNÇÕES MÉDIA, MED E A 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
111
Exercício 1
1. CALCULE A MÉDIA E A MEDIANA, USANDO O 
EXCEL, DO CONJUNTO DE DADOS A SEGUIR:
EXCEL
Exercício 2
VALORES
3,10
2,90
2,70
3,00
3,20
3,50
112
USAR AS FUNÇÕES MÉDIA, MED E A 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
5. Medidas de Dispersão
113
Consideremos os seguintes conjuntos de
observações, referentes a três laboratórios A, B
e C, que foram convidados a realizar análises
de uma mesma amostra, usando a mesma
técnica analítica.
LABORATÓRIO A LABORATÓRIO B LABORATÓRIO C
4 1 2
5 1 2
5 1 5
5 9 8
6 9 8
9
 Medidas de Dispersão
114
LABORATÓRIO A LABORATÓRIO B LABORATÓRIO C
4 1 2
5 1 2
5 1 5
5 9 8
6 9 8
9
Média 5 5 5
A média dos 3 laboratórios é a mesma!!!
O desempenho dos 3 laboratórios é 
igual ?
Medidas de Dispersão
115
LAB A LAB B LAB C
4 1 2
5 1 2
5 1 5
5 9 8
6 9 8
9
Média 5 5 5
No primeiro conjunto 
(LAB A) todos os dados 
estão próximos da média, 
no segundo (LAB B) estão 
bem afastados do valor 
central, e no terceiro 
(LAB C), há valores 
próximos e valores 
afastados
Dizemos que o conjunto A é o menos disperso.
Mas como quantificar essa dispersão?
Através das estatísticas de dispersão em 
relação à média aritmética
116
Estas estatísticas são expressões que 
permitem quantificar essa dispersão, 
ou seja, o grau de afastamento dos 
valores das observações no que diz 
respeito à média da distribuição. 
Desvio padrão
Absolutas
Variância
Relativa Coeficiente de variação
117
Desvio Padrão
Variância
Medidas de Dispersão
Coeficiente de Variação ou 
Desvio Padrão Relativo
118
Desvio Padrão (s)
Cada conjunto de resultados analíticos
precisa estar acompanhado de uma
indicação da precisão da análise.
O conceito envolvido no cálculo do
desvio padrão determina a amplitude,
dentro da qual variam as medições,
xi.
119
1
)(
1
2





n
xx
s
n
i
i
n-1 = número de graus de liberdade, isto é, a
quantidade de comparações independentes que
podem ser feitas entre as n unidades da amostra
)( 
Desvio Padrão (s)
O desvio padrão de um conjunto de
dados experimentais é dado por:
120
Número de graus de liberdade
É o número de desvios independentes
)(

)( ix )( xxi Exemplo: Leituras Desvios
4,2
3,8
4,1
4,0
3,9
0,2
-0,2
0,1
0
-0,1
0
x
20,0
4,0 121
122
A comparação de dois conjuntos de
dados por meio do desvio-padrão
somente é possível se as médias
forem iguais.
O conjunto de maior variabilidade é
aquele com maior desvio-padrão.
Desvio-padrão (s)
123
Exemplo
Qual conjunto apresenta maior variabilidade?
Conjunto A: Média = 15,5 e s = 3,389
Conjunto B: Média = 15,5 e s = 0,9258
Resposta: Quando as médias são iguais, o
conjunto de maior variabilidade é conjunto
que apresenta maior desvio-padrão, logo é o
conjunto A.
Desvio-padrão (s)
124
Nas operações que podem ser feitas
com desvios-padrão, diferentemente
da média aritmética, estes NÃO se
somam nem se subtraem. Apenas se
SOMAM VARIÂNCIAS. Ou seja,
primeiro é necessário determinar as
variâncias, somá-las para, então,
extrair-se a raiz quadrada para
retornar ao desvio-padrão resultante.
Desvio-padrão (s)
125
Desvio-padrão (s)
Exemplo
PARA (n) IGUAIS !
126
Funções estatísticas do Excel
DESVPAD.A(núm 1; núm 2;...;núm 30)
A função estatística DESVPAD retorna o desvio padrão da amostra
dos valores numéricos núm1; núm2;...;núm30. Cada um desses
núm pode ser um intervalo de células de uma planilha contendo
valores numéricos ou assemelhados.
Como fazer isto 
no EXCEL???
127
Exemplo
DESVPAD.A(núm 1; núm 2;...;núm 30)
128
VAMOS FAZER NO EXCEL?
1
)(
1
2
2





n
xx
s
n
i
i
Variância (s2)
A variância de um conjunto de dados
experimentais é dado por:
n-1 = número de graus de liberdade
)( 
129
130
Funções estatísticas do Excel
VAR(núm 1; núm 2;...;núm 30)
A função estatística VAR retorna a variância da amostra dos valores
numéricos núm1; núm2;...;núm30. Cada um desses núm pode ser
um intervalo de células de uma planilha contendo valores
numéricos ou assemelhados.
Como fazer isto 
no EXCEL???
131
Exemplo
VAR(núm 1; núm 2;...;núm 30)
132
VAMOS FAZER NO EXCEL?
É definido como o quociente entre o
desvio padrão e a média.
Sua vantagem é caracterizar a dispersão
dos dados em termos relativos a seu
valor médio.
%100(%)
x
s
CV 
Coeficiente de Variação ou 
Desvio Padrão Relativo (CV)
133
134
Exemplo
Qual conjunto apresenta maior variabilidade?
Conjunto A: Média = 34,75 e s= 5,98
Conjunto B: Média = 15,76 e s= 6,04
Resposta: Quando as médias são diferentes, o
conjunto de maior variabilidade é conjunto
que apresenta maior CV ou DPR, logo é o
conjunto B.
Conjunto A _CV= 17,2% e Conjunto B_CV= 38,3%
Coeficiente de Variação ou 
Desvio Padrão Relativo (CV)
135
Exemplo
136
VAMOS FAZER NO EXCEL?
137
MAS TAMBÉM EXISTE 
OUTRA FORMA DE 
OBTER ESTES 
RESULTADOS NO EXCEL
Média
Erro padrão
Mediana
Moda
Desvio padrão
Variância da amostra
Curtose
Assimetria
Intervalo
Mínimo
Máximo
Soma
Contagem
Nível de confiança (95,0%)
EXCEL
Estatística Descritiva
138
Exemplo Excel
EXCEL
Calcular o desvio padrão, a variância e o
coeficiente de variação do conjunto de dados
(15, 12, 10, 17, 16).
139
EXCEL
140
3. Os seguintes resultados foram obtidos na
análise de replicatas de uma amostra de
sangue, para determinação do teor de
chumbo presente: 0,752 – 0,756 – 0,752 –
0,751 e 0,760 µg/L de Pb. Calcule o desvio
padrão desse conjunto de dados.
EXCEL
Exercício 3
141
USAR A FUNÇÃO DESVPAD.A
E A ESTATÍSTICA 
DESCRITIVA
AMOSTRA No. DETERMINAÇÔES TEORES EM µg/L
1 3 1,80-1,58-1,64 
2 4 0,96-0,98-1,02-1,10
3 2 3,13-3,35
4 6 2,06-1,93-2,12-2,16-1,89-1,95
5 4 0,57-0,58-0,64-0,49
6 5 2,35-2,44-2,70-2,48-2,44
7 4 1,11-1,15-1,22-1,04
28
4. O teor de mercúrio em amostras de sete peixes
de uma Baía foi determinado por um método
baseado na absorção da radiação emitida pelo
elemento mercúrio no estado gasoso. Calcular
uma estimativa global do desvio padrão do
método.
Exercício 4
142
Determinar:
•As médias por amostra e a média global
•Os desvios por amostra e o desvio global
•As variâncias por amostra e a
variância global EXCEL
Exercício 4
143
USAR AS FUNÇÕES MÉDIA, 
DESVPAD.A, VAR.A E A ESTATÍSTICA 
DESCRITIVA
144
LISTA DE 
EXERCÍCIOS 1
6. Distribuição de 
Frequência
145
Representação do conjunto 
de dados
 Distribuições de freqüência
- Freqüência relativa
- Freqüência acumulada
 Representação gráfica
- Histogramas
146
Representação gráfica de 
dados
HISTOGRAMA
CLASSE
F
R
E
Q
Ü
Ê
N
C
IA
147
Histograma
É um gráfico composto por retângulos
justapostos em que a base de cada um deles
corresponde ao intervalo de classe e a sua
altura à respectiva freqüência.
CLASSE
F
R
E
Q
Ü
Ê
N
C
IA
O que é:
148
Para resumir e visualizar a forma da
distribuição dos dados, a localização do valor
central e a dispersão em torno desse valor.
Histograma
Para que serve:
Usado para verificar a normalidade da 
distribuição de uma série de dados
149
Histograma
Caracterização de uma distribuição: 
localização e dispersão 
Localização: Medida de tendência central 
(média / mediana / moda) 150
Histograma
 Da amostra A para B muda a tendência central, mas a
variabilidade é constante;
 Da amostra A para C muda a variabilidade, mas a
tendência central é constante;
 Da amostra B para C muda a tendência central e a
variabilidade.151
Histograma
Ao observar um histograma, note:
1) A forma, que deve ser simétrica
2) A dispersão, que deve ser pequena
3) A centralização, que deve estar na média
152
Histograma
Tipos
a) Histograma simétrico ou em forma de sino, tipo
distribuição Normal
0
20
40
60
80
100
CLASSE
F
R
E
Q
Ü
Ê
N
C
IA
Característica: a freqüência é mais alta no centro e
decresce gradualmente para as caudas de maneira
simétrica (forma de sino).
153
Histograma
Tipos
b) Histograma assimétrico e com apenas um pico
0
20
40
60
80
100
CLASSE
F
R
E
Q
Ü
Ê
N
C
IA
Características: a frequência decresce bruscamente em
um dos lados e de forma gradual no outro, produzindo
uma cauda mais longa em um dos lados.
154
Histograma
b) Histograma assimétrico e com apenas um pico
Frequência maior para
os menores valores e
cauda maior à direita.
 Dados positivamente
assimétricos (assimetria
para a direita)
–Média e mediana à direita
da moda
–Em geral, média à direita da
mediana
155
Frequência maior para
os maiores valores e
cauda maior à
esquerda.
 Dados negativamente
assimétricos (assimetria
para a esquerda)
–Média e mediana à esquerda
da moda
–Em geral, média à esquerda
da mediana
Histograma
b) Histograma assimétrico e com apenas um pico
156
Histograma
Tipos
c) Histograma tipo “despenhadeiro”
0
20
40
60
80
100
CLASSE
F
R
E
Q
Ü
Ê
N
C
IA
Característica: o histograma termina abruptamente
de um ou dos dois lados, dando a impressão de faltar
um pedaço na figura. 157
Histograma
Tipos
d) Histograma com dois picos
0
20
40
60
80
100
F
R
E
Q
Ü
Ê
N
C
IA
CLASSE
Característica: ocorrem dois picos e a freqüência é
baixa entre eles.
.
158
Histograma
Tipos
e) Histograma do tipo “platô”
0
10
20
30
40
50
60
70
80
F
R
E
Q
Ü
Ê
N
C
IA
CLASSE
Característica: classes centrais possuem
aproximadamente a mesma frequência.
F
R
E
Q
Ü
Ê
N
C
IA
CLASSE
159
Histograma
Tipos
f) Histograma com uma pequena “ilha” isolada
0
20
40
60
80
100
F
R
E
Q
Ü
Ê
N
C
IA
CLASSE
Característica: algumas faixas de valores ficam
isoladas da grande maioria dos dados, gerando barras
ou pequenos agrupamentos separados. 160
Histograma
Como fazer:
1) Organizar a tabela de distribuição de frequências
2) Contar a quantidade de valores coletados (n)
3) Determinar a amplitude R:
R = Maior valor - Menor valor 
4) Determinar o número de classes (k)
5) Determinar o intervalo de classe (H), dividindo o
valor da amplitude R em um certo número de classes
K
H = R / K (arredondar o resultado) 161
Objetivo
Destacar informações relevantes, mediante o
resumo dos valores coletados em classes,
categorias ou intervalos convenientes.
Distribuição de Frequência
Histograma
Uma distribuição de frequência agrupa os
dados por classes de ocorrência, resumindo
a análise de conjunto de dados grandes. 162
1. Definir intervalos, classes ou categorias 
de agrupamento que sejam mutuamente 
excludentes e coletivamente exaustivas 
(para que os pontos do conjunto de dados 
tenham um, e só um, endereço possível; 
não pode haver pontos em comum nem 
vazios entre os espaços da distribuição);
Construção
Histograma
163
2. Traçar um quadro tabular no qual,
mediante sinais convenientes, marcam-se os
itens enquadráveis em cada classe – tais
marcas servem para posterior contagem e
cálculo da participação percentual das
partes em relação ao total de dados
3. Resumir os resultados em uma tabela de
freqüências e/ou gráfico.
Histograma
Construção
164
k = 1 + [3,222 x log(n)]
k = número de classes
O número de classes a ser utilizado 
será um número inteiro, próximo a k.
Histograma
Determinação do número de classes (k)
 Regra de Sturges (Regra do logaritmo)
165
EXISTEM OUTRAS FORMAS DE 
SE ESTIMAR k
)ln(21 nk 
Determinação do número de classes
 Regra da raiz quadrada
nk 
 Regra da Potência de 2
k = menor valor 
inteiro tal que 2k ≥ n
166
 Geralmente, o limite inferior do primeiro
intervalo corresponde ao menor valor dos
dados, e o superior, a esse valor acrescido do
intervalo de classes (H) ou amplitude das
classes.
O limite inferior da próxima classe é o
superior da anterior; o superior é esse valor
acrescido da amplitude da classe. Repete-se o
processo até atingir o teto dos dados.
Intervalo e limites de classe ( a | b )
Histograma
167
 A notação a | b indica o intervalo de
valores da classe considerada, onde a é o
limite inferior e b, o superior.
 A existência da barra lateral indica a
inclusão do limite no intervalo; sua
inexistência aponta a exclusão do referido
valor.
Histograma
Intervalo e limites de classe ( a | b )
168
Razão entre a frequência absoluta simples da
classe (Fi) e o número total de observações.
Frequência absoluta simples (Fi)
Número de observações em cada classe.
Frequência relativa simples (fir)
Histograma
169
Corresponde a soma das frequências relativas
simples (fir) de determinada classe com todas
as anteriores.
Frequência absoluta acumulada (Fa)
Corresponde a soma das frequências de
determinada classe com todas as anteriores.
Frequência relativa acumulada (fa)
Histograma
170
Tabela de pesos de recém nascidos 
vivos
2,522 2,150 2,500 1,900 3,000 2,450 3,300 2,900 2,450 2,400
2,720 3,300 3,550 3,600 3,750 3,400 3,200 2,920 3,400 3,450
3,125 3,250 3,000 3,200 3,150 2,400 3,200 2,720 3,400 3,120
2,250 3,200 4,100 3,300 3,200 3,120 2,800 2,900 1,570 2,120
3,220 3,720 3,200 2,900 2,500 3,400 4,600 2,000 3,800 2,450
3,000 2,800 3,450 2,500 2,900 3,200 1,720 2,720 2,700 2,700
3,725 2,900 3,100 3,600 3,200 2,700 2,750 2,480 2,900 3,100
2,890 2,950 3,150 2,500 4,100 3,150 4,200 3,900 3,700 3,200
3,110 2,480 2,800 2,300 2,400 2,800 2,100 2,500 2,120 2,780
3,520 3,800 2,900 2,950 2,700 2,700 4,450 2,480 3,150 3,155
Exemplo
171
Exemplo
1) Tamanho da amostra: n=100
2) Determinação da amplitude (R):
R = Maior valor - Menor valor 
R = 4,600 - 1,570 = 3,030
3) Determinação do número de classes (k)
k = 1 + [3,222 x log(n)]
K= 7,444 ≈ 7
4) Determinação do intervalo de classe (H)
H = R / K (arredondar o resultado)
H = 3,030 / 7 ≈ 0,4 172
173
Como fazer isto 
no EXCEL???
174
Exemplo da apostila
175
VAMOS FAZER NO EXCEL?
Classe Frequência
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
3
16
31
34
11
4
1
Histograma
Tabela de distribuição de 
frequências simples
176
Intervalo de 0,5 g
manualmente
CLASSE
FREQUÊNCIAS SIMPLES FREQUÊNCIAS ACUMULADAS
SIMPLES 
(Fi)
RELATIVA (%) (fir)
ABSOLUTA 
(Fa)
RELATIVA (%) (fa)
1,5 2,0 3 (3/100)x100 = 3 3 (3/100)x100 = 3
2,0 2,5 16 (16/100)x100 = 16 (3+16) = 19 (19/100)x100 = 19
2,5 3,0 31 (31/100)x100 = 31 (19 + 31) = 50 (50/100)x100 = 50
3,0 3,5 34 (34/100)x100 = 34 (50 + 34) = 84 (84/100)x100 = 84
3,5 4,0 11 (11/100)x100 = 11 (84 + 11) = 95 (95/100)x100 = 95
4,0 4,5 4 (4/100)x100 = 4 (95 + 4) = 99 (99/100)x100 = 99
4,5 5,0 1 (1/100)x100 = 1 (99 + 1) = 100 (100/100)x100 = 100
TOTAL 100 100% 100 100%

Tabela de distribuição de 
frequências
177






 Histograma
A PARTIR DA TABELA É POSSÍVEL FAZER
 Gráfico de frequências acumuladas
178
0
5
10
15
20
25
30
35
1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
Classe
F
re
q
u
ên
ci
a
Histograma
179
180
ALGUÉM PODE ME DAR UM 
EXEMPLO DE HISTOGRAMA?
https://covid.saude.gov.br/
3
19
50
84
95 99 100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Classes
fa
Gráfico de frequências acumuladas
181
182
E DE FREQÜÊNCIA ACUMULADA ?
https://covid.saude.gov.br/
183
Funções estatísticas do Excel
MAIOR (matriz; k-ésimo)
A função estatística MAIOR retorna o k-ésimo maior valor da
matriz ordenada de forma crescente. Para uma mesma matriz, o
resultado dessa função dependerá do valor do argumento k-ésimo:
 Se k-ésimo-1, então o maior valor da matriz será o último valor
da matriz ordenada de forma crescente.
 Se k-ésimo-2, então o maior valor da matriz será o penúltimo
valorda matriz e assim sucessivamente, até o primeiro valor da
matriz.
184
Funções estatísticas do Excel
MENOR (matriz; k-ésimo)
A função estatística MENOR retorna o k-ésimo menor valor da
matriz ordenada de forma crescente. Para uma mesma matriz, o
resultado dessa função dependerá do valor do argumento k-ésimo:
 Se k-ésimo-1, então o menor valor da matriz será o primeiro
valor da matriz ordenada de forma crescente.
 Se k-ésimo-2, então o menor valor da matriz será o segundo
valor da matriz ordenada e assim sucessivamente, até o último
valor da matriz.
185
Exemplo
186
VAMOS FAZER NO EXCEL?
187
MAS TAMBÉM EXISTE 
OUTRA FORMA DE 
OBTER ESTES 
RESULTADOS NO EXCEL
EXCEL
Dados 
Análise de dados 
Ferramentas de análise
Histograma
Histograma
188
EXCEL
189
Refazer o exemplo do peso dos recém 
nascidos vivos usando o Excel
EXCEL
Exercício 5
190
191
LISTA DE 
EXERCÍCIOS 2
192
7. A Distribuição Normal
A Curva Normal
A distribuição normal, ou distribuição de
Gauss, ou curva normal, é um dos mais
importantes exemplos de uma distribuição
contínua de probabilidades.
m
f(x)
x 193
  221 
2
1
)(




 
 
m

x
exf
Existe uma função matemática que a
descreve:
A Curva Normal
Onde:
σ é o desvio padrão
µ é o valor médio (na ausência de erros
sistemáticos é o valor verdadeiro)
 
2
1

é o fator de normalização; padroniza a
área sob a curva, de modo que seja
sempre igual a 1, figura a seguir. 194
m3 2  32
68%
95,5%
99,7%
Representação
Equação
),(: 2mNx
2
2
2
2
1 
m

)( 

x
eY
Distribuição normal típica, 
obtida pela equação anterior
195
Propriedades da distribuição 
normal de probabilidades
f(x) 0 quando x 
a curva em forma de sino, é simétrica ao
redor da media (m.
a área sob a curva vale 1 (probabilidade de
x assumer qualquer valor real)
existe um máximo em x = µ
os valores menor e maior que µ ocorrem
com igual probabilidade
a configuração da curva é dada por 2
parâmetros µ e σ
196
197
7.1. Teste de Normalidade: 
Shapiro-Wilk
Muitos testes são baseados na hipótese de
que os dados obtidos seguem uma
distribuição normal. Nem sempre isso
acontece.
Alguns conjuntos de dados podem não seguir
uma distribuição normal, sendo necessários
testes para verificar este desvio de
normalidade.
Testes de Normalidade
198
Os testes de normalidade são utilizados para
verificar se a distribuição de probabilidade
associada a um conjunto de dados pode ser
aproximada pela distribuição normal.
Os principais testes de normalidade são:
• Teste de Kolmogorov-Smirnov
• Teste de Anderson-Darling
• Teste de Shapiro-Wilk
• Teste de Ryan-Joiner
Testes de Normalidade
199
Teste bastante utilizado
Limitação: 3 < n < 50
Teste de Shapiro-Wilk
200
Teste de Shapiro-Wilk
O teste de Shapiro-Wilk, proposto em 1965, é
baseado na estatística W dada por:
Onde:
- Xi são os valores da amostra ordenados (X1 é o menor).
- ai são constantes geradas pelas médias, variâncias e
covariâncias das estatísticas de ordem de uma amostra de
tamanho n de uma distribuição normal.
SQT
SW
W
2

 20  XXSQT i   21 xsn ou 
     iin XXaiSw 1
201
202
203
Teste de Shapiro-Wilk
Para realizar o teste de Shapiro-Wilk, devemos:
1. Formular as Hipóteses:
H0: A amostra provém de uma população Normal
H1: A amostra não provém de uma população
Normal
2. Estabelecer o nível de significância do teste
(a), normalmente 0,05;
204
Teste de Shapiro-Wilk
Para realizar o teste de Shapiro-Wilk, devemos:
3. Calcular a estatística de teste:
• Ordenar as n observações da amostra: X1, X2,
X3,...,Xn (Arranjar os valores em ordem
crescente);
• Formar as subtrações:   iin XX 1
O índice i varia de 1 a ou de 1 a 
2
n
2
1n conforme n seja par ou ímpar
205
Teste de Shapiro-Wilk
Para realizar o teste de Shapiro-Wilk, devemos:
• Formar os produtos:
• Calcular a soma SW:
• Calcular SQT:
• Calcular W:
3. Calcular a estatística de teste:
  iin XXai 1
     iin XXaiSw 1
 20  XXSQT i ou   21 xsn 
SQT
SW
W
2

206
Para realizar o teste de Shapiro-Wilk, devemos:
4. Tomar a decisão: Rejeitar H0 ao nível de
significância a, se W calculado < W tabelado.
Teste de Shapiro-Wilk
Compara-se o valor de W calculado com o W 
tabelado.
Se W calculado > W tabelado aceita-se que 
os valores estão distribuídos de acordo com 
uma certa função de distribuição normal .
207
Teste de Shapiro-Wilk: Valores 
críticos de W
208
20 – 556 – 426 – 169 – 56 – 574 – 61 – 463 – 404 -192 – 116 – 452 –
135 – 422 – 186 – 400 – 351 – 207 – 379 – 389 – 204 – 211 – 362 –
213 – 373 – 214 – 286 – 277 – 219 – 334 – 227 – 337 – 294 – 245 –
235 – 326 – 321 – 244 – 322 – 240 – 276 – 286 – 250 – 291
22
2
44
i
1,285
n
X
X i
 
1,121
1
2



 
n
XX
S i
44n
Teste de Shapiro-Wilk
209
i Xi X45-i X45-i - Xi ai ai(X45-i - Xi)
1 20 574 554 0,3872 214,5088
2 56 556 500 0,2667 133,3500
3 61 463 402 0,2323 93,3846
4 116 452 336 0,2072 69,6192
5 135 426 291 0,1868 54,3588
6 169 422 253 0,1695 42,8835
7 186 404 218 0,1542 33,6156
8 192 400 208 0,1405 29,2240
9 204 389 185 0,1278 23,6430
10 207 379 172 0,1160 19,9520
11 211 373 162 0,1049 16,9938
Teste de Shapiro-Wilk
210
i Xi X45-i X45-i - Xi ai ai(X45-i - Xi)
1 20 574 554 0,3872 214,5088
2 56 556 500 0,2667 133,3500
3 61 463 402 0,2323 93,3846
4 116 452 336 0,2072 69,6192
5 135 426 291 0,1868 54,3588
6 169 422 253 0,1695 42,8835
7 186 404 218 0,1542 33,6156
8 192 400 208 0,1405 29,2240
9 204 389 185 0,1278 23,6430
10 207 379 172 0,116 19,9520
11 211 373 162 0,1049 16,9938
Teste de Shapiro-Wilk
12 213 362 149 0,0943 14,0507
13 214 351 137 0,0842 11,5354
14 219 337 118 0,0745 8,7910
15 227 334 107 0,0651 6,9657
16 235 326 91 0,056 5,0960
17 240 322 82 0,0471 3,8622
18 244 321 77 0,0383 2,9491
19 245 294 49 0,0296 1,4504
20 250 291 41 0,0211 0,8651
21 276 286 10 0,0126 0,1260
22 277 286 9 0,0042 0,0378
SOMA = 787,2627 211
Teste de Shapiro-Wilk: Coeficiente an (W) para 
cálculo de W
212
     6308721,1211441 22  snSQT
263,787SW
 
982,0
630872
263,787 2
calculadoW
Conclusão: 
Na tabela de valores críticos de W, com 95% de confiança , temos Wtabelado = 
0,944.
Como então, não rejeitamos a hipótese de normalidade.tabeladocalculado WW 
Teste de Shapiro-Wilk
SQT
SW
W
2

213
Teste de Shapiro-Wilk: Valores 
críticos de W
214
215
Teste de Ryan-Joiner
• (https://www.youtube.com/watch?v=Uoctpjx2kZ8)
Teste de Kolmogorov-Smirnof
Teste de Anderson Darling
• (https://www.youtube.com/watch?v=eNjre6tx
7eU)
• (https://www.youtube.com/watch?v=nGqhsxZrGlM)
Para ver em casa
EXCEL
Vamos usar o EXCEL?
216
EXCEL
217
Refazer o exemplo do teste de Shapiro-Wilk 
usando o Excel
EXCEL
Exercício 6
218
8. Grau de Confiança de 
Student (t) –
Teste t-Student
219
Grau de Confiança de Student (t) 
A distribuição usada para amostras
pequenas, em geral menor que 30 elementos,
é conhecida como distribuição de Student
ou grau de confiança de Student.
220
Através dos valores tabelados de t pode-se
conhecer em que intervalo de confiança (IC)
encontra-se a média da população.
Grau de Confiança de Student (t) 
intervalo de confiança (IC) 221
n
ts
x
n
ts
x  m
Onde:
Grau de Confiança de Student (t) 
intervalo de confiança (IC)
x
222
n
ts
x m
µ = média verdadeira (intervalo da média da população);
= média aritmética (média da população);
n = número de elementos;
s = desvio-padrão;
t = função distribuição t de Student;
ν = grau de liberdade (n-1).
Representação: ICx 
Intervalo de confiança )(IC
n
ts
IC 
t = t-Student (tabelado)
223
Grau de Confiança de Student (t) 
O t tabelado é determinado através do
conhecimento do tamanho da amostra (n) e do
nível de confiança com que se deseja determinar
o intervalo em que está a média da população
(µ).
O nível mais usado é o de 95% de confiança.
A partir do tamanho da amostra(n) obtém-se o
grau de liberdade (ν). Para uma amostra com n
elementos o grau de liberdade é igual a n-1 (ν =
n-1). 224
Dez amostras são retiradas de um lote de um
mineral e analisadas. O teor de óxido de cálcio
apresentou uma média de 4,30% e um desvio-
padrão estimado de 0,30%.
Qual é o intervalo de confiança, no nível de
95%, da média do lote?
Exemplo
Grau de Confiança de Student (t) 
225
Resposta do Exemplo
x
ν = n -1 = 10 -1 = 9
Para 95% de confiança ( = 0,05) 
t = 2,262 (tabela) BILATERAL
= 4,30%
s = 0,30%
n = 10 
226
n
ts
x m
10
30,0262,2
30,4
x
m
%21,0%30,4 m
a
227
BILATERAL
228
Como fazer isto 
no EXCEL???
229
Funções estatísticas do Excel
INVT (probabilidade; graus_liberdade)
A função estatística INVT retorna o t crítico da distribuição t
referente aos argumentos probabilidade e graus_liberdade,
considerando que a probabilidade se refere às duas caudas da
distribuição.
No caso de realizar cálculos com a função INVT em uma cauda
da distribuição, o valor do argumento probabilidade deverá ser
informado como o dobro do valor do problema, pois o
procedimento de cálculo da função INVT divide a probabilidade
informada por dois.
230
Exemplo
INVT (probabilidade; graus_liberdade)
231
Exemplo
232
VAMOS FAZER NO EXCEL?
EXCEL
233
Dez amostras são retiradas de um lote de aço
e analisadas. O teor de carbono apresentou
uma média de 6,30% e um desvio-padrão
estimado de 0,030%.
Qual é o intervalo de confiança, no nível de
95%, da média do lote?
Grau de Confiança de Student (t) 
Exercício 7
234
Resposta do Exercício 7
x
ν = n -1 = 10 -1 = 9
Para 95% de confiança ( = 0,05) 
t = 2,262 (tabela)
= 6,30%
s = 0,030%
n = 10 
235
a
n
ts
x m
10
030,0262,2
30,6
x
m
%021,0%30,6 m
236
9. Teste F-Snedecor
Teste F-Snedecor
 Aplicado para determinar se uma população
apresenta maior variabilidade que outra.
 Usado para comparar duas variâncias,
determinar se dois métodos, dois analistas
ou instrumentos de laboratório diferem em
precisão.
237
Através da distribuição F, de Snedecor, é
possível verificar se as variâncias das
populações a que pertencem as amostras
podem ser consideradas iguais, com o nível
de confiança desejado.
Teste F-Snedecor
238
Teste de comparação de 
variâncias F-Snedecor
1. Calcular valor de F (Fcalc)
2. Comparar com valor 
de F tabelado (Ftab ) 
ETAPAS:
239
Hipóteses para o teste de 
F-Snedecor
Hipótese nula Hipótese alternativa
2
2
2
10
: ssH 
0: 2
2
2
10
 ssH
2
2
2
11 : ssH 
0: 22
2
11  ssH
240
2
2
m
M
calc s
s
F 
Condição: F tem que ser sempre ≥ 1
Se Fcalc > Ftab, H0 é rejeitada. Não se aceita a
igualdade das variâncias.
2
M
s = maior variância
2
m
s = menor variância
Teste de comparação de 
variâncias F-Snedecor
Se Fcalc < Ftab, H0 é aceita. Aceita-se a
igualdade das variâncias. 241
Exemplo
Teste F-Snedecor 
O desvio-padrão de um conjunto de 11
determinações é sA = 0,210 e o desvio-padrão
de outras 13 determinações é sB = 0,641.
Existe alguma diferença significativa entre as
precisões destes dois conjuntos de resultados?
242
Resposta do Exemplo
F tabelado = 2,91
Logo, os desvios-padrão são significativamente
diferentes no nível de confiança de 95%.
Assim, a diferença entre os dois conjuntos de
dados é altamente significativa.
Se Fcalc > Ftab, H0 é rejeitada. Não se aceita a
igualdade das variâncias.
243
2
2
210,0
641,0
calcF 0441,0
410881,0
calcF 32,9calcF
244
245
Como fazer isto 
no EXCEL???
246
Funções estatísticas do Excel
INVF (probabilidade; gl_numerador; 
gl_denominador)
A função estatística INVF retorna o F crítico da distribuição F
para uma dada probabilidade na cauda superior da distribuição
F, e os graus de liberdade do numerador e do denominador,
respectivamente, os argumentos gl_numerador e gl_denominador.
No caso de realizar cálculos com a função INVF em duas caudas
da distribuição, o valor do argumento probabilidade deverá ser
informado como a metade do valor do problema, pois o
procedimento de cálculo da função INVF multiplica a
probabilidade informada por dois.
247
Exemplo
INVF (probabilidade; gl_numerador; gl_denominador)
248
VAMOS FAZER NO EXCEL?
249
Vamos usar o EXCEL?
Exemplo anterior
250
MAS TAMBÉM EXISTE 
OUTRA FORMA DE 
OBTER ESTES 
RESULTADOS NO EXCEL
EXCEL
Dados 
Análise de dados 
Ferramentas de análise
Teste F: duas amostras 
para variâncias
Teste F-Snedecor
251
252
Exemplo anterior
253
Usando a função do EXCEL
254
Usando a função do EXCEL 
corretamente
255
VAMOS FAZER NO EXCEL?
EXCEL
256
Determinação da concentração de tiol em
sangue de voluntários saudáveis e de
voluntários com artrite reumatóide.
Concentração de tiol
SAUDÁVEL ARTRITE
1,84
1,92
1,94
1,92
1,85
1,91
2,07
2,81
4,06
3,62
3,27
3,27
3,76
Exercício 8
Existe alguma diferença
significativa entre as
variâncias destes dois
conjuntos de resultados?
257
Teste F-Snedecor
379,33
0058,0
1936,0

calc
F
Ftab = 5,988 (bilateral)
Fcalc > Ftab, então H0 é rejeitada; as variâncias 
são diferentes.
Ftab = 4,39 (unilateral)
Resposta do Exercício 8
258
259
10. Testes de Hipóteses 
260
10. Testes de Hipóteses 
No teste de hipóteses são utilizadas duas
hipóteses:
 A hipótese nula H0 é a hipótese sobre a
qual devem ser obtidas evidências para
rejeitá-la.
 A hipótese alternativa H1 é a hipótese
sobre a qual devem ser obtidas evidências
para aceitá-la.
261
10. Testes de Hipóteses 
A hipótese nula e a hipótese alternativa
descrevem dois possíveis estados
mutuamente excludentes, pois as duas
hipóteses não podem ser aceitas ou
rejeitadas ao mesmo tempo.
262
Testes de hipóteses em uma cauda
(unicaudal) e nas duas caudas (bicaudal)
10. Testes de Hipóteses 
 Um teste de hipótese em uma cauda da
distribuição (unicaudal) é um teste no qual
a hipótese alternativa H1 define a mudança
em alguma direção da hipótese nula H0,
incluindo na especificação um dos
símbolos “≤” ou “≥”.
263
Testes de hipóteses em uma cauda
(unicaudal) e nas duas caudas (bicaudal)
10. Testes de Hipóteses 
 Um teste de hipótese em duas caudas da
distribuição (bicaudal) é um teste no qual a
hipótese alternativa H1 define uma mudança
da hipótese nula H0 sem especificar nenhuma
direção, incluindo na especificação o
símbolo “≠”.
Caso 1. Comparação de um valor medido com
um valor “conhecido”
Caso 2. Comparação de dois valores medidos
e - Comparação entre medidas repetidas
Caso 3. Teste t emparelhado para comparação
de diferenças individuais – Comparação de
médias de dados em pares
HARRIS, Daniel C. Análise Química Quantitativa, 8ª edição. LTC Editora
Capítulo 4 (4-3 Comparação entre Médias Utilizando o Teste t de Student)
)( 1x )( 2x
264
Testes de Hipóteses (3 Casos)
265
10.1. Caso 1 – Comparação 
de um valor medido com 
um valor “conhecido”
Caso 1. Comparação de um 
valor medido com um valor:
tabelado
conhecido
de referência
aceito como verdadeiro
266
Medimos uma grandeza várias vezes, obtendo um
valor médio e um desvio-padrão. Precisamos
agora comparar o nosso resultado com um
determinado valor que é conhecido e aceito.
A média que obtivemos não concorda exatamente
com o valor que é aceito. Será que esta diferença
é aceitável levando-se em conta o “erro
experimental”?
Caso 1. Comparação de um valor 
medido com um valor “conhecido”
HARRIS, Daniel C. Análise Química Quantitativa, 8ª edição. LTC Editora
Capítulo 4 (4-3 Comparação entre Médias Utilizando o Teste t de Student)
267
Valor médio encontrado = 5,0%
4,7%
A concentração do conteúdo do 
frasco corresponde àquela do rótulo ?
NaCl
5% p/v
Aplicação
268
HARRIS, Daniel C. Análise Química Quantitativa, 8ª edição. LTC Editora
Capítulo 4 (4-3 Comparação entre Médias Utilizando o Teste t de Student)
Caso 1. Comparação de um valor 
medido 
com um valor “conhecido”
Intervalo de confiança (IC)
Teste de hipótese
)(x
m
269
Nestecaso, calcula-se o intervalo de confiança
de 95% para a resposta obtida e verificamos se
esta faixa inclui a resposta verdadeira.
Se a resposta verdadeira não estiver dentro do
intervalo de confiança de 95%, os dois
resultados são considerados estatisticamente
diferentes.
HARRIS, Daniel C. Análise Química Quantitativa, 8ª edição. LTC Editora
Capítulo 4 (4-3 Comparação entre Médias Utilizando o Teste t de Student)
Caso 1. Comparação de um valor 
medido com um valor “conhecido”
Intervalo de confiança (IC)
270
Hipóteses
mxHo :
Hipótese nula Hipótese alternativa
0:
1
 mxH0:  mxH o
mxH :
1
Caso 1. Comparação de um valor 
medido com um valor “conhecido”
Teste de hipótese
271
1. Calcular valor de t (tcalc)
2. Comparar com valor de t tabelado (ttab )
ETAPAS
Se tcalc > ttab, então Ho é rejeitada e H1
deverá ser aceita.
Caso 1. Comparação de um valor 
medido com um valor “conhecido”
Teste de hipótese
272
s
nx
tcalc
)( 

m
Exemplo 1
Uma amostra de carvão foi adquirida como um
Material de Referência Padrão, certificado pelo
Instituto Nacional de Padrões e Tecnologia (NIST)
dos EUA, contendo 3,19% m/m de enxofre. Você
está testando um novo método analítico para
verificar se o valor conhecido pode ser
reproduzido. Os valores medidos são 3,29, 3,22,
3,30 e 3,23% m/m de enxofre, dando uma média
de 3,26 e um desvio-padrão de 0,041. Sua
resposta concorda com o valor conhecido?
HARRIS, Daniel C. Análise Química Quantitativa, 8ª edição. LTC Editora
Capítulo 4 (4-3 Comparação entre Médias Utilizando o Teste t de Student)
Intervalo de confiança (IC)
Caso 1. 
273
Resposta do Exemplo 1 (IC)
= 3,26 e s = 0,041
n= 4 n-1 (graus de liberdade) = 3 t = 3,182
(95% confiança, tabela)
O valor verdadeiro (3,19 % m/m) está fora do intervalo
conhecido de 95% (3,20 até 3,32 % m/m)
Portanto, o valor medido é considerado 
significativamente diferente do valor conhecido.
x
274
06,026,3 m
4
041,0182,3
26,3
x
m
n
ts
x m
m3 2  32
68%
95,5%
99,7%
3,26 = 3,19 ?
Há evidências de erro sistemático ?
Não há evidência de erro sistemático
Exemplo 1
O erro sistemático
faz com que a média
de um conjunto de
dados se afaste do
valor verdadeiro
(aceito). Afeta a
EXATIDÃO.
275
276
Como fazer isto 
no EXCEL???
277
Exemplo (IC)
278
VAMOS FAZER NO EXCEL?
Resposta do Exemplo 1 (H0)
= 3,26 e s = 0,041
n= 4 n-1 (graus de liberdade) = 3 t = 3,182
(95% confiança, tabela)
O valor verdadeiro (3,19 % m/m) está fora do intervalo
conhecido de 95% (3,20 até 3,32 % m/m)
Portanto, o valor medido é considerado 
significativamente diferente do valor conhecido.
x
279
06,026,3 m
4
041,0182,3
26,3
x
m
n
ts
x m
280
Como fazer isto 
no EXCEL???
281
Exemplo H0
282
VAMOS FAZER NO EXCEL?
Determinação de Ag por AAS em um 
material que contém 18,3% Ag
Análises )( ix
17,9
18,3
18,1
2)( xxi 
0,04
0,04
0
Desvios )( xxi 
-0,2
0,2
0
Caso 1. Exemplo 2
283
1,18x
2,0s
3,4)2;05,0( t
21n
3
2,03,4 x
IC
Teor (%) = 5,01,18 
Resposta 1 do Exemplo 2 (IC)
O valor verdadeiro (18,3 % Ag) está dentro do intervalo
conhecido de 95% (17,6 até 18,6 % Ag)
Portanto, o valor medido não é considerado 
significativamente diferente do valor conhecido.
18,1 = 18,3 ?
284
n
ts
x m
m3 2  32
68%
95,5%
99,7%
18,1 = 18,3 ?
Há evidências de erro sistemático ?
Não há evidência de erro sistemático
Exemplo 2
O erro sistemático
faz com que a média
de um conjunto de
dados se afaste do
valor verdadeiro
(aceito). Afeta a
EXATIDÃO.
285
286
Como fazer isto 
no EXCEL???
287
Exemplo 2 usando IC
288
VAMOS FAZER NO EXCEL?
Aplicando-se a equação abaixo:
289
041,0
4)26,319,3( 
calct
s
nx
tcalc
)( 

m
415,3414634146,3 calct
Resposta 2 do Exemplo 2 (H0)
ttabelado= 3,182 
Como tcalculado (3,415) ≥ ttabelado (3,182),
podemos afirmar que os resultados não são
os mesmos no nível de confiança de 95%.
Portanto, o valor medido é considerado
significativamente diferente do valor
verdadeiro no nível de confiança de 95%.
Resposta 2 do Exemplo 2
Se tcalc > ttab, então Ho é rejeitada e H1 deverá 
ser aceita.
290
Determinação de Ag por AAS num 
material que contém 18,3% Ag
1,18x
2,0s
n = 3
a = 0,05
7,1
2,0
3)1,183,18(


calct
17,9
18,3
18,1
Análises
ttab = 4,303
tcalc < ttab, então Ho pode ser aceita
Resposta 2 do Exemplo 2
Portanto, o valor medido não é 
considerado significativamente diferente
do valor conhecido.
291
292
Exemplo 2 usando H0
293
VAMOS FAZER NO EXCEL?
294
Comparação de duas médias
Caso 2. Comparação de médias de duas
amostras independentes
Caso 3. Comparação de médias de duas
amostras pareadas
295
10.2. Caso 2 – Comparação 
de dois valores medidos
e
Comparação entre medidas 
repetidas
)( 1x )( 2x
296
10.2. Caso 2 – Comparação 
de médias de duas amostras 
independentes
Medimos uma grandeza diversas vezes
utilizando dois métodos distintos, que
fornecem duas respostas diferentes, cada
uma com seu desvio-padrão.
Os dois resultados concordam entre si
“dentro do erro experimental”?
HARRIS, Daniel C. Análise Química Quantitativa, 8ª edição. LTC Editora
Capítulo 4 (4-3 Comparação entre Médias Utilizando o Teste t de Student)
Caso 2. Comparação entre medidas
repetidas
297
Amostras 
independentes
B
1
...
m
B
x
A
1
...
n
A
x
Quando os dados são
coletados de tal maneira
que as observações não
são relacionadas umas às
outras.
298
Hipótese nula Hipótese alternativa
210
: xxH 
0:
210
 xxH 0: 211  xxH
211
: xxH 
Hipóteses
Caso 2. Comparação entre medidas
repetidas
299
210
: xxH 
Calcular t
Comparar com 
t tabelado
300
210
: xxH 
Calcular t 
maneira 1
Comparar com t tabelado
Calcular t 
maneira 2
2
2
2
1
ss  2221 ss 
301
Teste F-Snedecor
Qual teste usaremos para descobrir
se existe ou não existe diferença
significativa para a variância (s2)
nos 2 conjuntos de dados?
302
210
: xxH 
Calcular t 
maneira 1
Comparar com t tabelado
2
2
2
1
ss 
303
Cálculo de t e de  quando as 
variâncias forem iguais
2
1
1
1
)21(
nnag
s
xx
calct



)2(
21
 nn
sag = desvio padrão agrupado
)2(
])1()1[(
21
2
22
2
11



nn
snsn
s
ag
304
Determinação de boro em plantas
MÉTODO 1: espectrofotométrico (M1)
MÉTODO 2: fluorimétrico (M2)
M1 M2
28,0
0,3
10
9
26,3
0,2
10
9
n
s
x
Exemplo
305
Comparação das médias
210
: xxH 
3,260,28:
0
H
0
210
 xxH
Comparação das variâncias
0: 2
2
2
10
 ssH
004,009,0:
0
H
03,260,28:
0
H
2
2
2
10
: ssH 
04,009,0:
0
H
306
Teste de comparação de 
variâncias F-Snedecor
a = 0,05
25,2
04,0
09,0

calc
F )(03,4 bilateralFtab 
Fcalc < Ftab, então as 
variâncias são iguais
)(18,3 unilateralFtab 
307
Cálculo do t-Student
21
21
11
)(
nns
xx
t
calc


 9,14
10
1
10
125,0
)3,260,28(



calct
25,0
ag
s
)(101,2 bilateralttab 
tcalc > ttab, então H0 é rejeitada; 
as médias são diferentes.
18)21010()2( 21  nn
308
)21010(
]04,0)110(09,0)110[(


ags
309
Como fazer isto 
no EXCEL???
310
Exemplo
Determinação de boro em plantas
311
Exemplo
Determinação de boro em plantas
312
VAMOS FAZER NO EXCEL?
313
MAS TAMBÉM EXISTE 
OUTRA FORMA DE 
OBTER ESTES 
RESULTADOS NO EXCEL
EXCEL
Dados 
Análise de dados 
Ferramentas de análise
Teste t: duas amostras 
presumindo variâncias 
equivalentes
Caso 2. Comparação entre
medidas repetidas
2
2
2
1
ss 
314
315
Como fazer isto 
no EXCEL???
316
Este exemplo não dá para fazer com a função 
do EXCEL porque não temos os dados brutos
317
VAMOS FAZER NO EXCEL?
EXCEL
318
Refazer o exemplo da determinação de boro 
em plantas usando o Excel
EXCEL
Exercício 9
Teste t: duas amostras 
presumindo variâncias 
equivalentes
319
210
: xxH 
Calcular t 
maneira 2
Comparar com t tabelado
2
2
2
1 ss 
320
Cálculo de t e de  quando as 
variâncias forem diferentes
2
2
2
1
2
1
21 )(
n
s
n
sxx
tcalc



2
)1()1(
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
2
2
2
1
2
1


































 

n
n
s
n
n
s
n
s
n
s
 OBS.: O valor de 
calculado deve ser 
arredondado para o 
inteiro mais próximo
321
Determinação da concentração de tiol em 
sangue de voluntários saudáveis e de 
voluntários com artrite reumatóide
Concentração de tiol
SAUDÁVEL ARTRITE
1,84
1,92
1,94
1,92
1,85
1,91
2,07
2,81
4,06
3,62
3,27
3,27
3,76
Existe alguma diferença
significativa entre as
médias destes dois
conjuntos de resultados?
Exemplo
322
Comparação das médias
as
xxH :
0
0:
0

as
xxH
0921,1465,3:
0
H
SAUDÁVEIS ARTRITE
ns = 7 na = 6
92,1
s
x 47,3
a
x
076,0
s
s 440,0
a
s
6
s
 5
a

323
Comparação das variâncias
22
0
:
as
ssH  0: 22
0

as
ssH
0)440,0()076,0(: 22
0
H
Teste F-Snedecor
379,33
0058,0
1936,0

calc
F
Ftab = 5,988 (bilateral)
Fcalc > Ftab, então H0 é rejeitada; as 
variâncias são diferentes.
Ftab = 4,39 (unilateral)
324
Cálculo do t-Student





 











6
1936,0
7
0058,0
921,1465,3)(
22
a
a
s
s
as
calc
n
s
n
s
xx
t
487,8
0323,00008,0
544,1







calct
Stat t (Excel) 325
Cálculo do número de 
graus de liberdade
2
)1()1(
2222
222







































 

a
a
a
s
s
s
a
a
s
s
n
n
s
n
n
s
n
s
n
s

2
1048,1105,8
1091,10
48
4







 

xx
x
5237,7  326
)(571,2
05,0
bilateralttab a
tcalc > ttab, então H0 deve ser 
rejeitada; as médias são 
diferentes
327
328
Como fazer isto 
no EXCEL???
329
Exemplo
330
VAMOS FAZER NO EXCEL?
331
MAS TAMBÉM EXISTE 
OUTRA FORMA DE 
OBTER ESTES 
RESULTADOS NO EXCEL
EXCEL
Dados 
Análise de dados 
Ferramentas de análise
Teste t: duas amostras 
presumindo variâncias 
diferentes
Caso 2. Comparação entre
medidas repetidas
2
2
2
1 ss 
332
333
Exemplo
334
VAMOS FAZER NO EXCEL?
EXCEL
335
Refazer o exemplo da determinação da 
concentração de tiol de sangue usando o 
Excel
EXCEL
Exercício 10
Teste t: duas amostras 
presumindo variâncias 
diferentes
336
337
10.3. Caso 3 – Teste t 
emparelhado para 
comparação de diferenças 
individuais 
Comparação de médias de 
dados em pares
338
10.3. Caso 3 – Comparação 
de médias de duas amostras 
pareadas
A amostra A é medida uma vez pelo método 1 e uma
vez pelo método 2, que não fornecem exatamente o
mesmo resultado.
A seguir, uma amostra diferente, denominada B, é
também medida uma vez pelo método 1 e uma vez
pelo método 2. Novamente, os resultados não são
exatamente iguais entre si.
O procedimento é repetido para n amostras
diferentes. Os dois métodos concordam entre si
“dentro do erro experimental”?
HARRIS, Daniel C. Análise Química Quantitativa, 8ª edição. LTC Editora
Capítulo 4 (4-3 Comparação entre Médias Utilizando o Teste t de Student)
Caso 3. Comparação de Médias de 
Dados em Pares
339
Neste caso, usamos dois métodos diferentes
para fazer medidas individuais em várias
amostras diferentes. Nenhuma medida foi
duplicada.
Os dois métodos fornecem a mesma resposta
“dentro do erro experimental”?
HARRIS, Daniel C. Análise Química Quantitativa, 8ª edição. LTC Editora
Capítulo 4 (4-3 Comparação entre Médias Utilizando o Teste t de Student)
Caso 3. Comparação de Médias de 
Dados em Pares
340
Caso 3. Comparação de Médias de 
Dados em Pares
Quando duas distribuições são dependentes
e, a cada valor de uma delas corresponde
apenas um valor na outra, e vice-versa, tem-se
o que é chamado de dados em pares.
Então, cria-se uma nova distribuição na qual
cada elemento é a diferença entre os dois
elementos de cada par das distribuições
anteriores.
341
Amostras dependentes 
(em pares ou pareadas)
n amostras
Método A Método B
1
...
m
B
x
1
...
n
A
x
Quando uma mesma
amostra é analisada
por dois métodos
diferentes.
342
Amostras 
independentes
Amostras 
em pares
B
1
...
m
B
x
A
1
...
n
A
x
n amostras
Método A Método B
1
...
m
B
x
1
...
n
A
x
343
Amostras independentes- Faz-se, 
primeiramente o teste F-Snedecor para verificar 
se as variâncias das amostras podem ser 
consideradas iguais. 
Amostras dependentes- A aplicação do teste 
F-Snedecor não é necessária. 
Aplicação do teste 
t-Student 344
Caso 3. Comparação de Médias de 
Dados em Pares
Exemplo 1:
Se oito amostras semelhantes são analisadas
por dois métodos, para comparação dos
métodos, tem-se oito pares de dados.
Exemplo 2:
Se cinco analistas usarem uma mesma
amostra com dois equipamentos diferentes,
para comparação de equipamentos, tem-se
cinco pares de dados.
345
Caso 3. Comparação de Médias de 
Dados em Pares
Para comparação de médias de dados em 
pares, é calculada a média e a variância da 
nova distribuição, constituída pelas 
diferenças entre os resultados de cada par.
Testa-se, então, a média das diferenças, , 
com auxílio da distribuição t. O teste consiste 
na comparação de t tabelado com t 
calculado.
dx
346
Caso 3. Comparação de Médias de 
Dados em Pares
O valor de t calculado é obtido através da
seguinte expressão:
d
dcalc s
nxt 0
A média das diferenças ( ) tem a seguinte
expressão:
dx



n
i
d
d n
x
x i
1
n = número de pares
347
Caso 3. Comparação de Médias de 
Dados em Pares
Se tcalc < ttab ou (ttab > tcalc), não há diferença 
entre os objetivos testados
Se tcalc > ttab ou (ttab < tcalc), há diferença 
entre os objetivos testados
Se tcalc > ttab, H0 é rejeitada
Se tcalc < ttab, H0 é aceita
348
Hipóteses
Hipótese nula Hipótese alternativa
Caso 3. Comparação de Médias de 
Dados em Pares
0 diferença:
0

d
xH 0:
1

d
xH
Média das diferenças ( )dx
349
Caso 3. Exemplo
Na determinação do teor de ThO2 em minério
de nióbio, columbita, oito amostras foram
analisadas para testar dois métodos ligeiramente
diferentes, com os resultados em %. Determinar se
os métodos são iguais no nível de confiança a 
0,05%.
AMOSTRA MÉTODO 1 MÉTODO 2 d
1 0,20 0,18 0,02
2 0,14 0,15 -0,01
3 0,23 0,25 -0,02
4 0,12 0,10 0,02
5 0,21 0,20 0,01
6 0,15 0,13 0,02
7 0,27 0,23 0,04
8 0,20 0,21 -0,01
350
0:
0

d
xH 0:
1

d
xH
01,0
d
x
02,0
d
s
718 
%5a
365,2tabt
22,1
02,0
8001,0


calct
Como tcalc < ttab, H0 é aceita
Determinação do teor de ThO2
usando o Excel
351
352
Como fazer isto 
no EXCEL???
353
Exemplo
354
VAMOS FAZER NO EXCEL?
355
MAS TAMBÉM EXISTE 
OUTRA FORMA DE 
OBTER ESTES 
RESULTADOS NO EXCEL
EXCEL
Dados 
Análise de dados 
Ferramentas de análise
Teste t: duas amostras em 
par para médias
Caso 3. Comparação de Médias de 
Dados em Pares
356
357
Exemplo
358
VAMOS FAZER NO EXCEL?
EXCEL
359
Refazer o exemplo da determinação do teor 
de ThO2 usando o Excel
EXCEL
Exercício 11
Teste t: duas amostras 
em par para médias
360
361
11. Análise de Variância 
(ANOVA)
362
O nome Análise de Variância é 
comumente chamado de ANOVA do 
inglês – ANalysis Of VAriance
363
Uma análise de variância permite que 
vários grupos sejam comparados a um 
só tempo, utilizando variáveis 
contínuas. 
O teste é paramétrico (a variável de 
interesse deve ter distribuição normal) e 
os grupos têm que ser independentes.
364
Análise de Variância 
(ANOVA)
 Análise de variância com um fator -
one-way ANOVA.
 Análise de variância com dois fatores
- two-way ANOVA.
 Análise de variância com mais de dois
fatores - multi-way ANOVA
(MANOVA – Análise de Variância
Multivariada). 365
11.1. Análise de variância 
com um fator - one-way
ANOVA. 
366
Análise de variância com 
um fator – one-way ANOVA
É avaliado apenas um fator (a) de 
interesse ou que influi na variável 
dependente.
367
Análise de Variância
Medida: ijij ex  m
Quando existe efeito de um fator a
ijjij eax  m
Variância total:
ART SSSSSS 
368SSA= soma dos quadradosdos desvios graças ao fator a
SSR= soma dos quadrados dos resíduos
ANOVA divide, basicamente, a variabilidade
em variabilidade Entre Grupos e
variabilidade Dentro dos Grupos, e compara
as duas.
Quanto maior for a primeira comparada à
segunda, maior será a evidência de que
existe variabilidade entre grupo.
Como funciona a ANOVA? 
369
Tabela da ANOVA com 1 fator
A variabilidade presente em um ensaio é
analisada com o auxílio de um quadro
padrão denominado Tabela da Análise de
Variância.
370
Fonte de 
variação
Graus de 
liberdade
Soma dos 
quadrados 
(SQ) – Sum of 
Squares (SS)
Quadrados 
médios (QM) 
– Mean 
Square (MS)
F
entre colunas (A)
nas colunas 
(resíduos)
total
k-1
n-k
n-1
SSA
SSR
SST
SSA/(k-1)
SSR/(n-k)
MSA/MSR
Fa;k-1;n-k
Os quadrados médios (MS) são obtidos dividindo as 
somas de quadrados (SS) pelos respectivos graus de 
liberdade.
Tabela da ANOVA com 1 fator
371
k = número de colunas; n = (no linhas x no colunas)
A = fator; R = resíduos; T = total
Coluna 1 (Fontes de Variação)
Nesta coluna são descritas as causas de
variabilidade dos dados do experimento.
O interesse do pesquisador está em conhecer
a variabilidade entre os TRATAMENTOS.
As outras fontes de variabilidade são
agrupadas em RESÍDUO (correspondente à
variabilidade existente Dentro dos
Tratamentos).
Tabela da ANOVA com 1 fator
372
Variabilidade Entre Tratamentos (entre
colunas) – provocada pelos tratamentos e
por outras fontes de variabilidade.
Variabilidade Dentro de Tratamentos
(nas colunas) – provocada por várias fontes
de variabilidade exceto tratamentos.
Coluna 1 (Fontes de Variação)
Tabela da ANOVA com 1 fator
373
Coluna 2 (Graus de Liberdade)
A cada fonte de variação está associado um
número de graus de liberdade.
Graus de Liberdade do tratamento (entre
colunas):
Graus de Liberdade do resíduo (nas colunas):
)1( k
)( kn
Tabela da ANOVA com 1 fator
374
Coluna 3 (Soma dos Quadrados - SS)
São as somas dos quadrados dos
desvios calculadas para cada
fonte de variação.
Tabela da ANOVA com 1 fator
375
Variância Total 
(expressa somente pelos desvios)

 

k
j
n
i
ijT XxSS
1 1
2)(
  
  

k
j
n
i
k
j
jjjijT XxnxxSS
1 1 1
22 )()(
SSR SSA
SSR= soma dos quadrados dos resíduos
SSA= soma dos quadrados dos desvios graças ao fator a
X média global
376
SST= soma dos quadrados totais
A soma dos quadrados dos desvios
graças ao fator a (entre colunas):
A soma dos quadrados dos resíduos
(nas colunas):
ATR SSSSSS 
RTA SSSSSS 
377
A soma dos quadrados totais:
ART SSSSSS 
Coluna 4 (Quadrados Médios – MS)
São obtidos pela razão entre as Somas dos
Quadrados (SS) e os seus respectivos graus
de liberdade.
Pode-se demonstrar que são estimativas de
variâncias porque divide-se a soma dos
quadrados pelo número de graus de
liberdade.
Tabela da ANOVA com 1 fator
378
O quadrado médio do tratamento 
(entre colunas):
)1( 

k
SS
MS AA
O quadrado médio do resíduo 
(nas colunas):
)( kn
SS
MS RR 

Note que os quadrados médios (MS) são
obtidos dividindo as somas dos quadrados (SS)
pelos respectivos graus de liberdade. 379
SSA= soma dos quadrados dos 
desvios graças ao fator a
SSR= soma dos quadrados dos resíduos
É o valor obtido para a estatística do teste F,
dado pela razão entre o quadrado médio do
Tratamentos (MSA) e o quadrado médio do
Resíduo (MSR).
Coluna 5 (Valor da estatística F – Fcal)
Tabela da ANOVA com 1 fator
380
R
A
calc MS
MS
F 
)1( 

k
SS
MS AA )( kn
SS
MS RR 

Coluna 5 (Valor da estatística F – Fcal)
381
SSA= soma dos quadrados dos desvios graças ao fator a
SSR= soma dos quadrados dos resíduos
MSA= quadrado médio de 
tratamento (entre colunas)
MSR= quadrado médio 
de resíduo (nas colunas)
Para testar as hipóteses é utilizada a
estatística F de Snedecor, com (k – 1) graus
de liberdade no numerador e (n – k) graus de
liberdade no denominador.
Se Fcalc > Fa;k-1;n-k rejeita-se H0 e conclui-se
que existe pelo menos uma média que
difere de outra.
Tabela da ANOVA com 1 fator
382
Se Fcalc > Ftab, rejeitar H0. Neste caso,
dizemos que existem diferenças
estatisticamente significativas entre as
médias.
Se Fcalc < Ftab, não rejeitar H0. Neste caso,
dizemos que não existem evidências
estatísticas de que as médias sejam
diferentes.
383
384
SUPOSIÇÕES:
* Populações normalmente distribuídas
* Populações tem mesma variância (ou 
mesmo desvio padrão)
* Amostras são aleatórias e mutuamente 
independentes 
* As diferentes amostras são obtidas de 
populações classificadas em apenas uma 
categoria
385
O estatístico George E. P. Box
mostrou que os resultados são
confiáveis desde que o tamanho das
Se as distribuições são fortemente não
normais devemos utilizar outros
métodos, por exemplo, o teste de
Kruskal-Wallis.
amostras seja igual (ou quase igual); a
diferença entre as variâncias pode ser de
tal ordem que a maior seja nove vezes a
menor.
386
HIPÓTESE ALTERNATIVA: nem todas a médias 
populacionais são iguais, ou seja: Pelo menos uma 
média é diferente, isto é, existe efeito do 
tratamento. Não quer dizer que todas as médias 
sejam diferentes (alguns pares podem ser iguais) 
H0: m1 = m2 = m3 = ... mk
H1: Nem todas as médias populacionais 
são iguais
Hipóteses do ANOVA de um critério 
HIPÓTESE NULA: a média de todas as
populações é igual, ou seja, o tratamento
(fator) não tem efeito (nenhuma variação em
média entre os grupos).
387
https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/3260534/mod_resource
/content/1/T%C3%B3pico_13.pdf
388
https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/3260534/mod_resource
/content/1/T%C3%B3pico_13.pdf
389
https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/3260534/mod_resource
/content/1/T%C3%B3pico_13.pdf
Exemplo:
Determinação dos teores de ferro, em 
mg/100g, em uma formulação para 
vitaminas e sais minerais.
Os valores foram determinados por absorção 
atômica (AAS).
Cada conjunto de dados foi obtido por um 
método diferente de preparo das amostras.
Existe efeito significativo, no nível 
de confiança 0,05, em algum dos 
métodos empregados? 390
Exemplo
Dry Micro ZZC SZC LTA ZZF SZF
j 1 2 3 4 5 6 7
1 5,59 5,67 5,75 4,74 5,52 5,52 5,43
2 5,59 5,67 5,47 4,45 5,47 5,62 5,52
3 5,37 5,55 5,43 4,65 5,66 5,47 5,43
4 5,54 5,57 5,45 4,94 5,52 5,18 5,43
5 5,37 5,43 5,24 4,95 5,62 5,43 5,52
6 5,42 5,57 5,47 5,06 5,76 5,33 5,52
média 5,48 5,58 5,47 4,80 5,59 5,43 5,48
desvio 0,11 0,089 0,16 0,23 0,11 0,15 0,05
391
Determinação dos teores de ferro, em 
mg/100g, em uma formulação para vitaminas 
e sais minerais, determinada por AAS.
Concentração de ferro em uma 
formulação, determinada por AAS
4
4,2
4,4
4,6
4,8
5
5,2
5,4
5,6
5,8
6
0 1 2 3 4 5 6 7 8
C
o
n
ce
n
tr
aç
ã
o
 d
e 
F
er
ro
 
(n
g
/1
0
0g
)
Métodos
392
DRY
MICRO
ZZC
SZC
LTA
ZZF
SZF
Fonte de 
variação
Graus de 
liberdade F
entre colunas
nas colunas
total
k-1=7-1= 6
n-k=42 – 7 = 35
n-1=42-1 = 41
SSA= 2,68342
SSR= 0,67608
SST= 3,35951
F0,05; 6; 35= 2,372 F0,001; 6; 35= 4,894
Tabela da ANOVA com 1 fator
393
Soma dos 
quadrados 
(SQ) – Sum of 
Squares (SS)
Quadrados 
médios (QM) 
– Mean 
Square (MS)
k = número de colunas; n = (no linhas x no colunas)
SSA/(k-1)= 
0,44724
SSR/(n-k)= 
0,01932
MSA/MSR=
23,153
SSA= soma dos quadrados dos desvios graças ao fator a
SSR= soma dos quadrados dos resíduos
MSA= quadrado médio dos tratamentos (entre colunas)
MSR= quadrado médio dos resíduos (nas colunas)
394
Resposta do Exemplo
35951,3)40,552,5()40,552,5()40,543,5(...
...)40,537,5()40,559,5()40,559,5(
222
222



 

k
j
n
i
ijT XxSS
1 1
2)( 40,5X
SST= soma dos quadrados totais
395
  
  

k
j
n
i
k
j
jjjijT XxnxxSS
1 1 1
22 )()(
SSR SSA
67608,0)48,552,5()48,552,5()48,543,5(...
...)43,547,5()43,562,5()43,552,5(...
...)59,566,5()59,547,5()59,552,5(...
...)80,465,4()80,445,4()80,474,4(...
...)47,543,5()47,547,5()47,575,5(...
...)58,555,5()58,567,5()58,567,5(......)48,537,5()48,559,5()48,559,5(
222
222
222
222
222
222
222






RSS
Resposta do Exemplo
396
68342,2)40,548,5(6
)40,543,5(6)40,559,5(6)40,580,4(6
)40,547,5(6)40,558,5(6)40,548,5(6
2
222
222


ASS
  
  

k
j
n
i
k
j
jjjijT XxnxxSS
1 1 1
22 )()(
SSR SSA
SSA= soma dos quadrados dos desvios graças ao fator a
SSR= soma dos quadrados dos resíduos
SST= soma dos quadrados totais
Resposta do Exemplo
397
44724,0
)17(
68342,2


AMS
7k
)1( 

k
SS
MS AA
SSA= soma dos quadrados dos desvios graças ao fator a
MSA= quadrado médio dos tratamento (entre colunas)
Resposta do Exemplo
398
01932,0
)742(
67608,0


RMS
42n
)( kn
SS
MS RR 

7k
SSR= soma dos quadrados dos resíduos
MSR= quadrado médio dos resíduos (nas colunas)
Resposta do Exemplo
399
153,23
01932,0
44724,0
calcF
372,235,6;05,0 F
R
A
calc MS
MS
F 
Resposta do Exemplo
Como Fcalc > Ftab, rejeitamos a hipótese 
nula (H0). 
Logo existem diferenças estatisticamente 
significativas entre as médias.
Existe um efeito significativo em um dos 
métodos. E a suspeita recai sobre o 
método 4.
400
401
Como fazer isto 
no EXCEL???
402
Resposta do Exemplo
403
Resposta do Exemplo
404
VAMOS FAZER NO EXCEL?
405
MAS TAMBÉM EXISTE 
OUTRA FORMA DE 
OBTER ESTES 
RESULTADOS NO EXCEL
EXCEL
Análise de Variância 
(ANOVA)
 Análise de variância com um fator -
one-way ANOVA.
Dados 
Análise de dados 
Ferramentas de análise
Anova: fator único
406
407
Resposta do Exemplo
408
VAMOS FAZER NO EXCEL?
EXCEL
409
EXCEL
Exercício 12:
Refazer o exemplo da concentração de 
ferro em uma formulação, determinada 
por AAS, usando o Excel
Anova: fator único
410
11.2 Análise de variância 
com dois fatores - two-way
ANOVA. 
411
Serão avaliados dois fatores de interesse que
influnciam numa variável dependente, seja de
forma isolada ou simultaneamente;
Na análise da variância com dois fatores, os
fatores A e B podem influenciar na variável
dependente de forma isolada, denominados
efeitos principais, e de forma combinada, efeito
de uma combinação específica dos fatores A e B.
Análise de variância com 
dois fatores – two-way
ANOVA
412
O teste de hipóteses para dois fatores A e B
tem três hipóteses nulas:
H0: Não há efeito principal do fator A
H0: Não há efeito principal do fator B.
H0: Não há combinação de efeitos.
H1: Há efeito em cada um dos três casos.
Análise de variância com 
dois fatores – two-way
ANOVA
413
ANOVA com 2 fatores
Medida: ijij ex  m
Quando existem efeitos de 2 fatores a e b
ijljij ebax  m
Variância total:
BART SSSSSSSS 
414
415
Variância Total
(expressa somente pelos desvios)
Tabela de ANOVA 
com 2 fatores
Fonte de 
variação
Graus de 
liberdade
F
Interação
Fator b
Total
(l-1) (k-1)
l-1
l k (n-1)
SSI
SSR
SST
MSB=SSB/(l-1)
MSR=SSR/l k (n-1)
MSB/MSR
Fa;k-1;n-k
Fator a
Resíduos
k-1
l k - 1
SSB
SSA MSA=SSA/(k-1) MSA/MSR
416
Soma dos 
quadrados 
(SQ) – Sum of 
Squares (SS)
Quadrados 
médios (QM) –
Mean Square 
(MS)
k = no de níveis do fator a; l = no de níveis do fator b; n = no de replicatas
MSI=SSI/(l-1) (k-1) MSI/MSR
Exemplo:
Análise de variância com 
dois fatores – two-way
ANOVA
A empresa de porte médio que manufatura
autopeças para o mercado de reposição está
tentando reduzir o tempo de produção de cada
peça. O gerente de pesquisas testou dois
processos diferentes e três dosagens de um
novo aditivo químico para acelerar a
secagem. Os tempos obtidos estão
apresentados na tabela seguinte. Realizar uma
análise da variância considerando o nível de
significância de 5%. 417
Aditivo Processo 1 Processo 2
Dosagem 1
2,5 2,9
2,8 2,6
2,9 2,8
2,7 2,3
2,7 2,9
Dosagem 2
2,9 2,8
2,7 2,9
2,8 2,8
2,6 2,9
3,0 2,6
Dosagem 3
2,6 2,4
2,7 2,7
2,8 2,7
2,5 2,1
2,9 2,5
Exemplo: ANOVA com 2 fatores
418
Cada fator (fator A e fator B) tem um número
de níveis:
O fator A (processo), possui dois tipos
diferentes de processos (processo 1 e processo
2).
O fator B (aditivo), possui três dosagens
diferentes de um determinado aditivo para
acelerar a secagem (dosagem 1, dosagem 2 e
dosagem 3).
419
Resposta do Exemplo:
Esses dois fatores formam seis grupos de
resultados com cinco repetições cada um.
Neste tipo de análise da variância os grupos
devem ter o mesmo número de observações
ou repetições, neste caso cinco.
Resposta do Exemplo:
O teste de hipóteses para o fator Aditivo e o
fator Processo tem três hipóteses nulas:
H0: Não há efeito principal do fator Aditivo.
H0: Não há efeito principal do fator Processo.
H0: Não há combinação dos efeitos Aditivo e
Processo.
H1 : Há efeito em cada um dos três casos. 420
Resposta do Exemplo:
Fonte de 
variação
gl MS 
(QM)
Fcalculado
Amostra 
(Fator B)
Colunas 
(Fator A)
Total
l-l=1
0,222
0,856
1,2
Interações
Dentro
k-1=2
0,048
0,074
0,111
0,048
0,037
0,036
3,1122
1,3458
1,0378
SS 
(SQ) valor-p
0,06
0,26
0,36
Fcrítico
3,4028
4,2596
3,4028
421
Soma dos quadrados (SQ) – Sum of Squares (SS)
Quadrados médios (QM) – Mean Square (MS)
(l-1)(k-1)=2
l = no de níveis do fator a; k = no de níveis do fator b; n = no de replicatas
l k (n-1)=24
l k n – 1=29
Analisando os resultados da 
tabela ANOVA
Teste da combinação de fatores 
(LINHA INTERAÇÕES)
F calculado (1,037) < F crítico ou F tabelado
(3,403), com nível de significância de 5%, a
hipótese nula deve ser aceita.
Se Fcalc < Ftab, não rejeitar H0. Quando isso
ocorre, dizemos que não há interação dos efeitos
Aditivo e Processo. 422
A aceitação da hipótese nula indica que a
combinação dos fatores Aditivo e Processo não é
significativa.
Não há suficiente evidência de que a
combinação de efeitos provocada pelos dois
fatores influencie o tempo de produção.
Analisando os resultados da 
tabela ANOVA
Teste da combinação de fatores 
(LINHA INTERAÇÕES)
423
Resposta do Exemplo:
Fonte de 
variação
gl MS 
(QM)
Fcalculado
Amostra 
(Fator B)
Colunas 
(Fator A)
Total
l-l=1
0,222
0,856
1,2
Interações
Dentro
k-1=2
0,048
0,074
0,111
0,048
0,037
0,036
3,1122
1,3458
1,0378
SS 
(SQ) valor-p
0,06
0,26
0,36
Fcrítico
3,4028
4,2596
3,4028
424
Soma dos quadrados (SQ) – Sum of Squares (SS)
Quadrados médios (QM) – Mean Square (MS)
(l-1)(k-1)=2
l = no de níveis do fator a; k = no de níveis do fator b; n = no de replicatas
l k (n-1)=24
l k n – 1=29
Analisando os resultados da 
tabela ANOVA
Teste do fator Aditivo 
(LINHA AMOSTRA)
F calculado (3,11) < F crítico ou F tabelado
(3,40), com nível de significância de 5%, a hipótese
nula deve ser aceita.
A aceitação da hipótese nula indica que o fator
Aditivo não influencia o tempo de produção das
autopeças.
Não há suficiente evidência de que o fator Aditivo
influencie o tempo de produção da autopeça. 425
Resposta do Exemplo:
Fonte de 
variação
gl MS 
(QM)
Fcalculado
Amostra 
(Fator B)
Colunas 
(Fator A)
Total
l-l=1
0,222
0,856
1,2
Interações
Dentro
k-1=2
0,048
0,074
0,111
0,048
0,037
0,036
3,1122
1,3458
1,0378
SS 
(SQ) valor-p
0,06
0,26
0,36
Fcrítico
3,4028
4,2596
3,4028
426
Soma dos quadrados (SQ) – Sum of Squares (SS)
Quadrados médios (QM) – Mean Square (MS)
(l-1)(k-1)=2
l = no de níveis do fator a; k = no de níveis do fator b; n = no de replicatas
l k (n-1)=24
l k n – 1=29
Analisando os resultados da 
tabela ANOVA
Teste do fator Processo 
(LINHA COLUNAS)
F calculado (1,34) < F crítico ou F tabelado
(4,26), com nível de significância de 5%, a
hipótese nula deve ser aceita.
 A aceitação da hipótese nula indica que o fator
Processo não influencia o tempo de produção das
autopeças.
Não há suficiente evidência de que o fator Processo
influencie o tempo de produção da autopeça. 427
428
Como fazer isto 
no EXCEL???
429
Podemos construir a 
função no EXCEL como 
temos feito até o 
momento.
Para este exemplo em 
particular, vai dar mais 
trabalho e vocêspodem 
fazer em casa
430
MAS TAMBÉM EXISTE 
OUTRA FORMA DE 
OBTER ESTES 
RESULTADOS NO EXCEL
Dados 
Análise de dados 
Ferramentas de análise
Anova: fator duplo com repetição
EXCEL
Análise de Variância 
(ANOVA)
 Análise de variância com dois
fatores - two-way ANOVA.
431
432
Resposta do exemplo
Processo 1 Processo 2
D
o
sa
g
e
m
 1
2,5 2,9
2,8 2,6
2,9 2,8
2,7 2,3
2,7 2,9
D
o
sa
g
e
m
 2
2,9 2,8
2,7 2,9
2,8 2,8
2,6 2,9
3,0 2,6
D
o
sa
g
e
m
 3
2,6 2,4
2,7 2,7
2,8 2,7
2,5 2,1
2,9 2,5
Anova: fator duplo com repetição
RESUMO Processo 1 Processo 2 Total
Dosagem 1
Contagem 5 5 10
Soma 13,6 13,5 27,1
Média 2,72 2,7 2,71
Variância 0,022 0,065 0,039
Dosagem 2
Contagem 5 5 10
Soma 14 14 28
Média 2,8 2,8 2,8
Variância 0,025 0,015 0,018
Dosagem 3
Contagem 5 5 10
Soma 13,5 12,4 25,9
Média 2,7 2,48 2,59
Variância 0,025 0,062 0,052
433
Resposta do exemplo
Total
Contagem 15 15
Soma 41,1 39,9
Média 2,74 2,66
Variância 0,023 0,060
ANOVA
Fonte da 
variação
SQ u MQ F valor-P F crítico
Amostra 0,222 2 0,111 3,112 0,0628 3,4028
Colunas 0,048 1 0,048 1,346 0,2574 4,2597
Interações 0,074 2 0,037 1,037 0,3697 3,4028
Dentro 0,856 24 0,036
Total 1,2 29
434
VAMOS FAZER NO EXCEL?
435
ANOVA de fator duplo
EXCEL
436
EXCEL
Exercício 13:
Refazer o exemplo da empresa de porte 
médio que manufatura autopeças para o 
mercado de reposição, usando o Excel
Anova: fator duplo com 
repetição
437
438
LISTA DE 
EXERCÍCIOS 4
12. Teste de Valores 
Discrepantes 
(Aberrantes/Outliers) 
439
Aberrantes/Outliers são definidos como
membros de uma série de valores que são
inconsistentes com os outros membros da
série.
Teste de Valores Discrepantes 
(Aberrantes/Outliers) 
Estes valores são aqueles resultados que
diferem de uma série de medidas.
440
Em um conjunto de dados que se supõe seguir
uma distribuição normal, um valor aberrante
pode ser descoberto, e eliminado, com uso
de testes.
Existem vários testes de rejeição de dados e,
dependendo do teste, em um mesmo conjunto
podem ser detectados um ou mais de um
resultado(s) suspeito(s). 441
Teste de Valores Discrepantes 
(Aberrantes/Outliers) 
Testes estatísticos para detectar
valores aberrantes/outliers:
- Teste de Dixon
- Teste de Grubb’s
442
Teste de Valores Discrepantes 
(Aberrantes/Outliers) 
12.1. Teste de Dixon 
443
Teste de Dixon
Está atualmente abolido. 
Não é mais recomendado por organismos 
mundiais, como a IUPAC (União Internacional 
de Química Pura e Aplicada). 
444
12.2. Teste de Grubb’s 
445
Teste de Grubb’s
É recomendado pela EPA (Agência de 
Proteção Ambiental)
O teste de Grubb’s detecta valores
aberrantes, contudo é recomendado
não ser utilizado em uma distribuição
com n ≤ 6.
446
Teste de Grubb’s
- Teste de Grubb’s para 1 valor aberrante
- Teste de Grubb’s para 2 valores
aberrantes
447
Teste de Grubb’s
O teste de Grubb’s é primeiramente realizado
verificando a existência de um valor aberrante
em cada extremidade do conjunto.
Se nesta primeira análise, um dos dois valores
for considerado aberrante, ele é rejeitado,
retirado do conjunto e novo teste, verificando a
existência de um valor aberrante em cada
extremidade do conjunto, é realizado e assim
sucessivamente. 448
Caso contrário, se nesta primeira análise,
ambos os valores forem aceitos como não
aberrantes, o teste é então realizado
verificando-se a existência de dois valores
aberrantes em cada extremidade do
conjunto.
Teste de Grubb’s
449
Se nesta segunda análise os dois resultados
de uma das extremidades forem considerados
como aberrantes, eles devem ser rejeitados,
retirados do conjunto e novo teste
verificando a existência de dois valores
aberrantes em cada extremidade do
conjunto é realizado e assim sucessivamente.
Teste de Grubb’s
450
Valores Aberrantes
Teste de Grubb’s para 1 valor suspeito
(pode ser o menor ou o maior)
1. Calcular valor de G (Gcalc)
2. Comparar com valor de G tabelado (Gtab )
ETAPAS
s
xx
G icalc
)( 

Se Gcalc > Gtab, o valor suspeito é aberrante.
xi = valor suspeito 
de ser aberrante
451
452
Determinação de cloreto 
em água de rejeito
21,0
22,0
23,0
24,0
25,0
26,0
27,0
0 2 4 6 8 10
Análises
C
o
n
c
e
n
tr
a
ç
ã
o
 d
e
 c
lo
re
to
Exemplo 1:
LEITURAS 
(mg/L)
22,1
22,4
22,9
23,0
23,5
23,7
23,9
26,5
453
206,2
36,1
)5,235,26(


calcG
126,2tabG
Gcalc > Gtab, o valor suspeito é aberrante
5,26ix
53,23x
36,1s
05,0a
Dados
n = 8
Exemplo 1: Determinação de cloreto 
em água de rejeito
454
s
xx
G icalc
)( 

Vamos supor que as 
leituras sejam
LEITURAS 
(mg/L)
22,1
22,4
22,9
23,0
23,5
23,7
23,9
26,5
26,0
683,1
68,1
)8,235,26(


calcG
126,2tabG
Gcalc < Gtab, o valor suspeito NÃO é 
aberrante
5,26ix
8,23x
68,1s
05,0a
8n
Dados
Exemplo 2:
455
456
Como fazer isto 
no EXCEL???
457
Resposta do exemplo
458
VAMOS FAZER NO EXCEL?
EXCEL
459
EXCEL
Exercício 14:
Refazer os exemplos 1 e 2 da 
determinação de cloreto em água de 
rejeito, usando o Excel
Teste de Grubb’s para 1 
valor suspeito
460
Valores Aberrantes
Teste de Grubb’s para 2 valores suspeitos 
(podem ser os 2 menores ou os 2 maiores)
1. Calcular valor de G (Gcalc)
2. Comparar com valor de G tabelado (Gtab )
E
T
A
P
A
S
0
,1
SS
SS
G nncalc

Se Gcalc < Gtab, o valor PAR suspeito é aberrante.
SSn-1,n e SS1,2 = soma dos 
quadrados dos desvios depois 
da remoção do par suspeito 
  20 )( xxSS i
ATENÇÃO !!
461
Determinação de cloreto 
em água de rejeito
LEITURAS
(mg/L)
22,1
22,4
22,9
23,0
23,5
23,7
26,0
26,5
21,0
22,0
23,0
24,0
25,0
26,0
27,0
0 2 4 6 8 10
Análises
C
o
n
c
e
n
tr
a
ç
ã
o
 d
e
 c
lo
re
to
Exemplo:
462
LEITURAS 
(mg/L)
22,1
22,4
22,9
23,0
23,5
23,7
26,0
26,5
Cálculo de SS0
8,23x
8n
52,180 SS
1022,0
52,18
89,1
calcG 1101,0tabG
Gcalc < Gtab, o par é aberrante
Cálculo de SS7,8
9,22x
8n
89,18,7 SS
463
464
Como fazer isto 
no EXCEL???
465
Resposta do exemplo
466
VAMOS FAZER NO EXCEL?
EXCEL
467
EXCEL
Exercício 15:
Refazer o exemplo da determinação de 
cloreto em água de rejeito, usando o 
Excel
Teste de Grubb’s para 2 
valores suspeitos
468
13. A Regressão Linear
469
A Regressão Linear
É utilizada quando se deseja tirar 
informações de relações entre duas ou 
mais variáveis
Relação: y = f(x)
y = variável aleatória ou dependente (resposta)
x = variável controlada ou independente 
(variável)
Suposição: a variável independente 
não está sujeita a erros
470
471
A Regressão
O procedimento de regressão envolve várias etapas:
1) Seleção de um modelo;
2) Estabelecimento do planejamento experimental,
que significa a escolha do domínio experimental;
3) Estimativa dos parâmetros do modelo;
4) Validação do modelo e
5) Cálculo dos intervalos de confiança.
13.1. A estimativa dos 
parâmetros de regressão
472
A estimativa dos 
parâmetros de regressão
A utilização de uma curva analítica para
determinar a concentração de um analito
em uma amostra é uma aplicação
importante da regressão linear.
A variável y representa a resposta da medida
A variável x representa a concentração das 
soluções padrão. 473
Os erros inerentes ao preparo dos padrões
são desprezíveis em comparação com os
erros associados ao processo de medição.
Portanto, presumir que a variável x seja
exatamente conhecida, e não tenha erros, é
perfeitamente plausível no processo de
calibração.
474
A estimativa dos 
parâmetros de regressão
A variável x é a variável independente
A variável y é a variável dependente
475
A estimativa dos 
parâmetros de regressão
A calibração pode ser obtida por ajuste de 
um modelo matemático adequado através 
dos dados experimentais.
A reta ajustada pelos mínimos quadrados minimiza
a soma dos quadrados dos resíduos.
Onde:
O resíduo di é o desvio associado à medida yi em
relação ao valor previsto pela reta de regressão ŷi.
476
A estimativa dosparâmetros de regressão
A reta estimada, que é uma estimativa da verdadeira
mas desconhecida reta, é também chamada de reta
dos mínimos quadrados, quando a estimativa é
realizada pelo método dos mínimos quadrados.
iii yyd ˆ
iŷ
y
x
di
xi
iy
iii yyd ˆ
xbby 10ˆ 
Desvio do valor previsto pela reta de regressão
Deseja-se minimizar di
477
A estimativa dos 
parâmetros de regressão
Método dos Mínimos 
Quadrados
O método dos mínimos quadrados é um
critério para ajustar a reta da regressão, no
objetivo de encontrar b0 e b1.
  
  

n
i
n
i
n
i
iiiii xbbyyydD
1 1 1
2
10
22 )()ˆ(
Deseja-se minimizar D, a soma dos quadrados 
dos resíduos 478
Método dos Mínimos 
Quadrados
Ao ser estabelecida a condição de que a
soma dos quadrados dos desvios seja um
valor mínimo, exige-se que sejam aplicados
conceitos de cálculo diferencial e derivadas
parciais, por serem duas as variáveis.
Aplicando-se essa condição na equação
anterior, chega-se aos coeficientes do
modelo (b0 e b1). 479
Método dos Mínimos 
Quadrados
xby
n
xby
b ii 1
1
0 

 





21 )(
))((
xx
yyxx
b
i
ii
n
x
x
n
i
i
 1
n
y
y
n
i
i
 1
480
Variância Residual
Um outro parâmetro estatístico importante na
análise de regressão é a variância residual, isto
é, variância da amostra, s2e.
2
)ˆ(
2
22
2
.
2




 
n
yy
n
d
ss iiixye
O denominador (n-2) resulta do fato da reta
ajustada necessitar estimar dois parâmetros, b0 e b1.
481
A variância residual é uma medida da
dispersão dos resultados em torno da reta de
regressão. Consequentemente, representa a
variância na resposta, que não pode ser
contabilizada, ou não explicada, para a reta de
regressão.
Se o modelo estiver correto, s2e é uma
estimativa da variância das medições,
também chamado puro erro experimental. 482
Variância Residual
483
 
  




2
2
22
)(
))((
)()ˆ(
xx
yyxx
yyyy
i
ii
iii
Variância Residual
Para cálculos manuais, a soma dos
quadrados dos resíduos, , na
equação anterior pode ser obtida a partir de:
  2)ˆ( ii yy
484
Dados de calibração da quininaExemplo:
i 1 2 3 4 5 6
xi 
(ng/mL)
0,1 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0
y1 (I) 4,1 20,7 44,4 62,1 77,7 105,4
y2 (I) 3,6 21,6 44,8 61,6 78,2 104,9
y3 (I) 4,3 21,3 44,6 61,7 78,1 105,3
Usando os dados acima:
a) calcule os coeficientes da reta y = b0+ b1x
b) construa o gráfico com a curva analítica
c) calcule a variância residual
A resposta yi representa a intensidade de 
fluorescência (I) em unidades arbitrárias.
485
a) calcule os coeficientes da reta y = b0+ b1x
6n
Resposta do Exemplo:
486
a) calcule os coeficientes da reta y = b0+ b1x
Resposta do Exemplo:
487
Portanto:
a) calcule os coeficientes da reta y = b0+ b1x
Resposta do Exemplo:
488
b) construa o gráfico com a curva analítica
Curva analítica para a determinação fluorimétrica da 
quinona.
Resposta do Exemplo:
y = 1,9846x + 2,8184
R² = 0,9948
0
20
40
60
80
100
120
0 10 20 30 40 50 60
mg/mL
489
c) calcule a variância residual (s2e)
A partir desta reta ajustada, a variância
residual (s2e) pode ser calculada como se
segue:
0 4,0 3,0 1,0 1,0
10 21,2 22,7 -1,5 2,1
20 44,6 42,5 2,1 4,4
30 61,8 62,4 -0,6 0,3
40 78,0 82,2 -4,2 17,7
50 105,2 102,0 3,2 9,9
ix iy iŷ )ˆ( iii yyd 
2
id
  0id
Resposta do Exemplo:
490
c) calcule a variância residual (s2e)
6n
Resposta do Exemplo:
491
Como fazer isto 
no EXCEL???
492
Resposta do Exemplo
493
Resposta do Exemplo
494
Resposta do Exemplo
495
VAMOS FAZER NO EXCEL?
O coeficiente de correlação é uma medida
adimensional, isto é, ele é independente das
unidades de medida das variáveis x e y.
Coeficiente de Correlação
 




22 )()(
))((
yyxx
yyxx
r
ii
ii
Com o objetivo de verificar se os pontos
experimentais se ajustam a uma reta,
calcula-se o coeficiente de correlação r,
dado por:
496
Correlação negativa: quando r < 0, e nesse caso à
medida que x cresce, decresce y (em média).
497
Correlação positiva: quando r > 0, e nesse caso à
medida que x cresce, também cresce y (em média).
r pode variar de (-1) a (+1)
Coeficiente de Correlação
498
Quanto maior o valor de r (positivo ou negativo),
mais forte a associação entre as variáveis x e y.
 Quanto mais próximo de +1 for r, maior o grau
de relacionamento linear positivo entre as
variáveis x e y.
 Quanto mais próximo de -1 for r, maior o grau
de relacionamento linear negativo entre as
variáveis x e y.
 Quanto mais próximo de zero for r, menor será
o relacionamento linear entre as variáveis x e y.
Coeficiente de Correlação
Não se verificar correlação linear, não significa que
não se verifique outro tipo de correlação, por
exemplo, exponencial. 499
Um valor de r igual a zero, indicará 
ausência apenas de relacionamento linear.
Coeficiente de Correlação
500
As interpretações dependem de cada 
contexto em particular
Coeficiente de Correlação
501
Coeficiente de Correlação
r = 0,75 r = -0,32
r = -0,95 r = 0
r = 0
r = 1
502
Como fazer isto 
no EXCEL???
503
Resposta do Exemplo
504
VAMOS FAZER NO EXCEL?
505
MAS TAMBÉM EXISTE 
OUTRA FORMA DE 
OBTER TODOS ESTES 
RESULTADOS NO EXCEL
Dados 
Análise de dados 
Ferramentas de análise
Regressão 
EXCEL
Coeficiente de Correlação
506
507
508
Estatística de Regressão
R múltiplo – É o coeficiente de correlação (r).
R-quadrado – É o coeficiente de determinação (r2) da
regressão.
R-quadrado ajustado – Idem ao R-quadrado, porém
ajustado levando em conta o número de variáveis
independentes.
Erro padrão – É o erro padrão da estimativa (Se). É o
desvio padrão do modelo, dado pela raiz quadrada da
variância residual.
Observações – É o número de valores das amostras
que devem ter o mesmo tamanho.
509
R-quadrado ajustado – É o coeficiente de
determinação ajustado (r2 ajustado), medida utilizada
em regressão linear múltipla.
Partindo da regressão linear simples, com uma única
variável independente, o significado do coeficiente de
determinação é a porcentagem de explicação dessa
regressão.
Ao adicionar uma ou mais variáveis independentes,
demonstra-se que o r2 não deverá diminuir, devendo
aumentar em alguns casos.
O r2 ajustado tenta compensar o aumento natural de
explicação provocado pelo aumento do número de
variáveis independentes e o tamanho da amostra.
510
Estatística de Regressão
511
Estatística de Regressão
Onde:
n é o número de valores das amostras
k é o número de variáveis independentes
À medida que n aumenta, r2 ajustado se aproxima de r2.
Esse ajuste pode ser útil para comparar projeções de
uma mesma variável dependente realizada com número
diferente de variáveis independentes.
512
Estatística de Regressão
Erro padrão da estimativa – Ao ajustar uma reta,
espera-se que ela explique o grupo de valores
amostrados. Embora a reta de regressão tenha sido
obtida minimizando a soma dos quadrados dos desvios,
sempre haverá uma variabilidade dos dados ao redor da
reta, exceto se os dados fizerem parte da própria reta de
regressão.
O desvio padrão dos dados ao redor da reta de
regressão é denominado erro padrão da estimativa
Se, cuja medida é obtida da variância com (n-2) graus de
liberdade.
513
Como fazer isto 
no EXCEL???
514
Funções estatísticas do Excel
EPADYX (val_conhecidos_y; val_conhecidos_x)
A função estatística EPADYX retorna o erro padrão da estimativa
Se da reta de regressão , considerando os valores das
amostras informadas nos argumentos val_conhecidos_y e
val_conhecidos_x.
xbby 10ˆ 
515
VAMOS FAZER NO EXCEL?
516
Erro padrão da reta
EXCEL
Exercício 16:
Usando os dados a seguir:
a) calcule os coeficientes da reta y = b0+ b1x
b) construa o gráfico com a curva analítica
c) calcule o coeficiente de determinação (r2)
Regressão
X = variável controlada ou 
independente (variável)
Y = variável aleatória ou 
dependente (resposta)
2 2
3 5
4 7
5 10
6 11
517
EXCEL
518
Efeito de valores aberrantes 
na regressão linear
-2
02
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5 6
x
y
-2
0
2
4
6
8
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
y
519
-2
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5 6
x
y
-2
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5 6
x
y
Efeito de valores aberrantes 
na regressão linear
520
13.2. A Validação do Modelo
521
522
A Validação do Modelo
É importante para verificar:
1) se o modelo selecionado está correto (por
exemplo, o modelo é realmente uma linha
reta ou os dados são melhor descritos por
uma curva) e
2) as suposições de normalidade e variância
constante dos resíduos.
ANÁLISE DE RESÍDUOS ANÁLISE DE VARIÂNCIA 
(ANOVA)
13.2.1 A Análise de Resíduos
523
Análise de Resíduos
Para a validação de um modelo é necessário
verificar a sua adequação ao descrever a
relação entre as duas variáveis x e y, e
também analisar a suposição de
normalidade e variância constante dos
resíduos.
524
Análise de Resíduos
Quando o modelo proposto é linear, a
aplicação da regressão linear assume que:
- para cada xi, os resíduos (di) fazem parte de
uma população distribuída com média zero;
- os resíduos (di) são independentes e
- os resíduos (di) possuem a mesma variância.
525
Análise de Resíduos
O resíduo (di) é a diferença entre o valor
medido (y) e a previsão da reta (ŷ), e pode ser
descrito segundo a equação:
526
iii yyd ˆ
Análise de Resíduos
 Uma boa modelagem não estaria completa
sem uma investigação da exatidão das
mesmas.
 A existência e consequente transgressão de
algumas das suposições permitem evitar o
emprego de modelos que acarretem baixa
confiabilidade nos resultados.
Uma das maneiras de investigar o problema é
estudando as discrepâncias entre os valores
observados e os ajustados, ou seja, a ANÁLISE DE
RESÍDUOS. 527
Análise de Resíduos
Através da análise de resíduos é possível
avaliar se o modelo empregado está
correto, e ainda, fazer previsões a respeito
de seu comportamento, ou seja, verificar
sua HOMO ou HETEROCEDASTICIDADE.
528
Resíduos
ANÁLISE RESÍDUO
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-2,5
-6,5
7,5
1,5
-5,0
1,0
7,0
-2,0
8,5
-1,5
ANÁLISE
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1,5
-7,5
0
-7,0
6,0
-4,0
-4,5
-5,5
9,5
-0,6
RESÍDUO
Análise de Resíduos
529
-10
-5
0
5
10
15
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Análise
R
e
s
íd
u
o
Gráfico de Resíduos
530
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0 2 4 6 8 10 12 14
análise
re
s
íd
u
o
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 2 4 6 8 10 12 14
análise
re
s
íd
u
o
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0 1 2 3 4 5 6 7
análise
re
s
íd
u
o
Gráfico de Resíduos
531
532
Curva analítica de Ca, obtida 
a partir da espectrometria de 
absorção atômica de chama
Gráfico de resíduos 
correspondentes
Exemplo:
533
 Observa-se um padrão incomum
de resíduos positivos e negativos.
 Os 19 resíduos são organizados
em 5 grupos de respectivamente,
6 resíduos negativos, 9 resíduos
positivos, 1 resíduos negativo, 1
resíduo positivo e 2 resíduos
negativos (em sequência).
 A probabilidade de que a disposição dos 19 resíduos, em 5
grupos de resíduos positivos e negativos, seja aleatória é
inferior a 5%. Portanto, uma disposição não aleatória foi
detectada e pode ser atribuída a um (pequeno) desvio da
linearidade da curva analítica do Ca em baixa faixa de
concentração.
Resposta do Exemplo:
534
Como fazer isto 
no EXCEL???
535
CURVA ANALÍTICA
536
GRÁFICO DE RESÍDUOS
537
VAMOS FAZER NO EXCEL?
538
MAS TAMBÉM EXISTE 
OUTRA FORMA DE 
OBTER ESTES 
RESULTADOS NO EXCEL
Dados 
Análise de dados 
Ferramentas de análise
Regressão – Resíduos – Plotar
resíduos
EXCEL
Análise de Resíduos
539
540
Análise de Resíduos
541
VAMOS FAZER NO EXCEL?
EXCEL
542
EXCEL
Exercício 17:
d) Construa o gráfico de resíduos a partir dos 
dados a seguir:
Regressão
X = variável controlada ou 
independente (variável)
Y = variável aleatória ou 
dependente (resposta)
2 2
3 5
4 7
5 10
6 11
543
13.2.2 A Análise de Variância
544
545
Análise de Variância
A análise de variância (ANOVA) pode ser 
usada para detectar a falta de ajuste na 
regressão, a fim de verificar se o modelo 
escolhido é o correto. Portanto, as 
replicatas das medições são necessárias.
546
Análise de Variância

 

k
i
n
j
ijT yySS
1 1
2)(
A variação total dos valores de y sobre o valor
médio, , como descrito pela soma dos quadrados
totais, SST, é dada por:
y
ijy , uma das ni medições repetidas em xi
in , o número de medições repetidas feitas em xi
nn
k
i
i 
1
, o número total de observações, incluindo todas 
as medições repetidas
k, o número de níveis, isto é, diferentes valores de x
y, a média de todas as observações (grande média)
547
Análise de Variância

 

k
i
n
j
ijT yySS
1 1
2)(
2
1
2
11 1
2 )ˆ()ˆ()( yynyynyy
k
i
k
i
k
i
n
j
ij iiiiii 
 

SSR SSREG
SSEP SSFDA
SSR= soma dos quadrados dos resíduos
SSREG= soma dos quadrados da regressão linear
SST= soma dos quadrados totais
FDAEPR SSSSSS 
REGRT SSSSSS 
548
Análise de Variância na curva 
analítica
SST= soma dos quadrados totais
SSR= soma dos quadrados dos resíduos
SSREG= soma dos quadrados da regressão linear
SSEP= soma dos quadrados do erro puro
SSFDA= soma dos quadrados da falta de ajuste
Fonte de 
variação
Graus de 
liberdade
Soma dos 
quadrados 
(SQ) – Sum of 
Squares (SS)
Quadrados 
médios (QM) 
– Mean 
Square (MS)
F
Regressão
Resíduo
Total
l
n-2
n-k
SSREG
SSR
SSEP
SSREG/l
SSR/(n-2)
MSREG/MSR
Fa;k-2;n-k
Tabela da ANOVA do modelo de regressão 
com observações repetidas
549
k = número de níveis, isto é, diferentes valores de x
n = número total de observações, incluindo todas as medições
repetidas
Falta de ajuste
Erro puro
k-2 SSFDA SSFDA/(k-2) MSFDA/MSEP
n-l SST
SSEP/(n-k)
Coluna 1 (Fontes de Variação)
Tabela da ANOVA
550
Nesta coluna são descritas as causas de
variabilidade dos dados do experimento.
551
Tabela da ANOVA
Coluna 2 (Graus de Liberdade)
A cada fonte de variação está associado um
número de graus de liberdade.
Graus de Liberdade do Resíduo:
)2( n
Graus de Liberdade da Falta de Ajuste:
)2( k
Graus de Liberdade do Erro Puro:
)( kn
Coluna 3 (Soma dos Quadrados - SS)
São as somas dos quadrados dos
desvios calculadas para cada
fonte de variação.
552
Tabela da ANOVA
Coluna 4 (Quadrados Médios – MS)
São obtidos pela razão entre as Somas dos
Quadrados (SS) e os seus respectivos graus
de liberdade.
Pode-se demonstrar que são estimativas de
variâncias porque divide-se a soma dos
quadrados pelo número de graus de
liberdade. 553
Tabela da ANOVA
O quadrado médio do resíduo
)2( 

n
SS
MS RR
O quadrado médio da falta de ajuste:
)2( 

k
SS
MS FDAFDA
554
SSR= soma dos quadrados dos resíduos
SSFDA= soma dos quadrados da falta 
de ajuste
O quadrado médio do erro puro:
)( kn
SS
MS EPEP 
 SSEP= soma dos quadrados do erro puro
É o valor obtido para a estatística do teste F,
dado pela razão entre o quadrado médio da
falta de ajuste (MSFDA) e o quadrado médio
do erro puro (MSEP).
Coluna 5 (Valor da estatística F – Fcal)
555
Tabela da ANOVA
EP
FDA
calc MS
MS
F 
Coluna 5 (Valor da estatística F – Fcal)
556
MSFDA= quadrado médio da 
falta de ajuste
MSEP= quadrado médio 
do erro puro
)2( 

k
SS
MS FDAFDA )( kn
SS
MS EPEP 

SSFDA= soma dos quadrados da falta de ajuste
SSEP= soma dos quadrados do erro puro
Para testar as hipóteses é utilizada a
estatística F de Snedecor, com (k – 2) graus
de liberdade no numerador e (n – k) graus de
liberdade no denominador.
Se Fcalc > Fa;k-2;n-k rejeita-se H0 e conclui-se que
o termo da falta de ajuste é altamente
significativa e, consequentemente, o modelo
linear não é adequado para descrever a
relação entre y e x. Logo, o modelo escolhido
não é o correto. 557
Tabela da ANOVA
Se Fcalc > Ftab, rejeitar H0. Neste caso,
dizemos que o modelo linear não é
adequado para descrever a relação entre y
e x. Logo, o modelo escolhido não é o
correto.
Se Fcalc < Ftab, não rejeitar H0. Neste caso,
dizemos que omodelo linear é adequado
para descrever a relação entre y e x. Logo,
o modelo escolhido é o correto.
558
559
Exemplo
Verifique a falta de ajuste do modelo por 
meio da ANOVA
Dados de calibração 
Xi = variável 
controlada ou 
independente 
(variável)
0,5 0,50 0,48 0,46 1,44 0,48 0,775
1 1,20 1,25 1,22 3,67 1,22 1,204
2 2,10 2,20 2,16 6,46 2,15 2,060
3 3,45 3,49 3,39 10,33 3,44 2,917
4 3,71 3,92 3,88 11,51 3,84 3,774
5 4,32 4,27 4,25 12,84 4,28 4,631
Yij = variável aleatória ou 
dependente (resposta)
 ijy iy iŷ
560
Informações:
Equação do modelo
k = número de níveis,
isto é, diferentes valores
de x
6k
n = número total de observações,
incluindo todas as medições
repetidas
, a média de todas as 
observações (grande 
média)
Fonte de 
variação
Graus de 
liberdade
Soma dos 
quadrados 
(SQ) – Sum of 
Squares (SS)
Quadrados 
médios (QM) 
– Mean 
Square (MS)
F
Regressão
Resíduo
Total
l
n-2=18-2=16
n-k=18-6=12
SSREG=33,50
SSR= 1,484
SSEP=0,040
MSREG=33,50
MSR=0,092
364,13
Fa;k-2;n-k
Tabela da ANOVA do modelo de regressão 
com observações repetidas
561
k = número de níveis, isto é, diferentes valores de x
n = número total de observações, incluindo todas as medições
repetidas
Falta de ajuste
Erro puro
k-2=6-2=4 SSFDA= 1,444MSFDA=0,3611
109,23
n-l=18-1=17 SST=34,98
MSEP=0,0033
F0,05;4;5
562
Resposta do exemplo

 

k
i
n
j
ijT yySS
1 1
2)(
ଶ ଶ ଶ ଶ
ଶ ଶ ଶ ଶ
ଶ ଶ ଶ ଶ
563
Resposta do exemplo
REGRT SSSSSS 
REGFDAEPT SSSSSSSS 
REGEPTFDA SSSSSSSS 
1,444
564
Resposta do exemplo
)2( 

k
SS
MS FDAFDA
MSFDA= quadrado médio da falta de ajuste
SSFDA= soma dos quadrados da falta de ajuste
6k
565
Resposta do exemplo
)( kn
SS
MS EPEP 

MSEP= quadrado médio do erro puro
SSEP= soma dos quadrados do erro puro
Como Fcalc > Ftab, rejeitar H0. Neste caso,
dizemos que o modelo linear não é adequado
para descrever a relação entre y e x. Logo, o
modelo escolhido não é o correto. 566
Resposta do exemplo
EP
FDA
calc MS
MS
F 
567
Como fazer isto 
no EXCEL???
EXCEL
568
EXCEL
Exercício 18
Refazer o exemplo da falta de ajuste do 
modelo, usando o Excel 
569
14. Avaliação da 
homogeneidade das 
variâncias 
(homocedasticidade)
570
Qualquer método quantitativo que siga um 
modelo de regressão linear deve apresentar uma 
curva analítica onde as variâncias, obtidas para 
cada concentração distinta da reta, apresentem 
valores significativamente constantes 
(homogeneidade das variâncias).
Isto é o que denominamos 
HOMOCEDASTICIDADE
571
O método dos mínimos quadrados 
supõe que os resíduos têm a 
mesma variância*
Então, para cada xi as respostas yi
têm distribuição normal
* Na calibração isto significa que a precisão das
medições é independente do valor da
concentração. Esta condição de variância
uniforme é chamada HOMOCEDASTICIDADE
572
Quando as variâncias aumentam conforme o 
aumento da concentração da espécie analisada, 
a condição de homocedasticidade é violada
Isto é o que denominamos 
HETEROCEDASTICIDADE
573
Quando a condição de homocedasticidade é 
violada (heterocedasticidade), é preciso 
realizar uma transformação ponderada da reta, 
transformado a heterocedasticidade em 
homocedasticidade, para sua utilização. 
Para avaliar a homo ou 
heterocedasticidade de um método, 
podemos utilizar o teste de Cochran 574
Teste de Cochran 
575
Teste de Cochran
Este teste avalia o desvio bilateral das
variâncias a um nível de significância de 5%.
A única limitação para sua utilização é que o
número de replicatas (n) deve ser igual para
todas as séries de medições.
Comparação de Variâncias
576
1. Calcular valor de C (Ccalc)
2. Comparar com valor de C tabelado (Ctab)
ETAPAS


 n
i
i
Max
calc
s
s
C
1
2
2 s2Max = maior valor de variância 
(variância máxima)
Comparação de Variâncias
Teste de Cochran
Ss2 = somatório de todas as
variâncias
577
578
Comparação de Variâncias
Teste de Cochran
Ao aplicar este teste, temos:
1º) Se Ccal < Ctab
Neste caso, as variâncias são significativamente 
iguais, sendo possível agrupá-las. 
(COMPORTAMENTO HOMOCEDÁSTICO).
2º) Se Ccal > Ctab
Neste caso, as variâncias não são iguais. Então 
temos um COMPORTAMENTO 
HETEROCEDÁSTICO, necessitando sua 
transformação em HOMOCEDÁSTICO.
579
k = 7 (número de concentrações)
n = 6 (número de replicatas)
s2Max = 0,052
Ss2 = 0,135
Ccalc = 0,052/0,135 =0,382
Ctab = 0,397
Ccalc < Ctab – COMPORTAMENTO HOMOCEDÁSTICO
s12 =0,011
s22 =0,008
s32 =0,027
s42 =0,052
s52 =0,012
s62 =0,024
s72 =0,002
580
Exemplo
581
Como fazer isto 
no EXCEL???
582
583
VAMOS FAZER NO EXCEL?
EXCEL
584
EXCEL
Exercício 19
Refazer o exemplo da concentração de 
ferro em uma formulação, determinada 
por AAS, usando o Excel
585
Definido o COMPORTAMENTO 
HETEROCEDÁSTICO da curva analítica, 
devemos transformar a 
HETEROCEDASTICIDADE em 
HOMOCEDASTICIDADE
Para isto, emprega-se a TÉCNICA DA 
TRANSFORMAÇÃO DE DADOS
586
 Se a condição de homocedasticidade é
violada, o simples procedimento de mínimos
quadrados não pode ser utilizado sem
reduzir a confiabilidade das estimativas.
 O problemas da variância não-constante
(heterocedasticidade) pode ser resolvido
por uma transformação de variáveis ou
utilizando um procedimento de mínimos
quadrados ponderados. 587
Heterocedasticidade
Os dados podem ser transformados de
modo que passem a ter distribuição
aproximadamente normal e as médias e
variâncias se tornem independentes,
resultando também em variâncias
homogêneas.
588
Heterocedasticidade
Transformação de Dados
589
Heterocedasticidade
1. Transformação da Raiz quadrada;
2. Transformação Logarítmica e
3. Mínimos quadrados ponderados
A escolha adequada depende, em parte, 
da experiência do usuário.
Transformação de Dados
590
A transformação a ser utilizada depende da
função da variância, isto é, o modo como a
variância dos valores de y, s2y, muda como
uma função da resposta.
Heterocedasticidade
Transformação de Dados
591
Heterocedasticidade
1. Transformação da Raiz quadrada
 Se a variância for proporcional a y, uma
transformação raiz quadrada deve ser aplicada
e dará uma variância constante.
xbby 10 
As médias obtidas com os dados transformados
são convertidas para a escala original através da
operação inversa, ou seja, sendo elevadas ao
quadrado.
Heterocedasticidade
 Se a variância for proporcional a y2, o que
significa que sy é proporcional a y, isto é, o
desvio padrão relativo (DPR) é constante, uma
transformação logarítmica deve ser aplicada.
)log()log( 10 xbby 
592
2. Transformação Logarítmica
As médias obtidas na escala logarítmica são
convertidas para a escala original através da
operação inversa, ou seja, utilizando-se
antilogarítmos dos valores obtidos para essas
médias.
Exemplo:
593
Resultados 
Calibração Pb-ICP. 
Heterocedasticidade 
com desvio padrão 
relativo constante 
(relative standard 
deviation, RSD)
Transformação Logarítmica
x (µg.mL-1) y y sy RSD (%)
1,5 1,02
1,06 0,04 3,771,5 1,10
1,5 1,06
2,0 5,59
5,49 0,146 2,662,0 5,32
2,0 5,55
2,5 10,24
10,24 0,355 3,472,5 9,88
2,5 10,59
3,0 15,39
15,39 0,715 4,653,0 14,67
3,0 16,10
3,5 22,74
22,74 1,135 4,993,5 23,87
3,5 21,60
594
595
596
 Ambas as variáveis y e x são transformadas para
evitar gráficos em linhas retas, tornando-se
curvado após a transformação raiz quadrada ou a
transformação logarítmica.
 Deve-se entender que a transformação é realizada
para estabilizar a variância e não necessariamente
para preservar a relação linear.
 A transformação logarítmica leva a uma linha reta
apenas quando o intercepto é zero ou perto de
zero, o que geralmente é verdadeiro em calibração.
Resposta do exemplo
597
 O que se pode observar desta tabela ?
Resposta do exemplo
x y sy RSD(%) slog(y) RSDlog(y)(%) sln(y) RSDln(y)(%)
1,5 1,1 0,04 3,77 0,016 0,15 0,038 0,34
2,0 5,5 0,15 2,66 0,012 0,11 0,027 0,24
2,5 10,2 0,36 3,47 0,015 0,14 0,035 0,323,0 15,4 0,72 4,65 0,020 0,18 0,047 0,42
3,5 22,7 1,14 4,99 0,022 0,20 0,050 0,46
Dados originais
598
Resposta do exemplo
 Quando os dados têm uma distribuição
heterocedástica, o RSD(%) para cada nível de
concentração permanece razoavelmente constante.
Porém, o desvio padrão aumenta muito.
 A transformação log ou ln conseguem reduzir
muito o desvio padrão de cada nível de
concentração. O RSD(%) dos dados transformados
permanecem razoavelmente constantes.
 Numa distribuição homocedástica tanto o RSD(%)
quanto o desvio padrão para os níveis de
concentração são razoavelmente constantes.
599
 Na regressão pelos mínimos quadrados
ponderados, o problema da heterocedasticidade
é superado pela introdução de fatores de
ponderação inversamente proporcionais à
variância.
Heterocedasticidade
3. Mínimos quadrados ponderados
2
1
iy
i s
w  iw = peso
2
iy
s = variância de Yi
 Dá-se peso inversamente proporcional as
variâncias.
600
 Desta forma, a maior importância é dada
para as observações mais precisas. Isso
significa que precisamos calcular a reta que
passa mais perto destes pontos do que dos
pontos menos precisos.
 A inclinação e o intercepto são, então, dados
por:
Heterocedasticidade





21 )(
))((
wii
wiwii
xxw
yyxxw
b
ww xbyb 10 
3. Mínimos quadrados ponderados


i
ii
w w
xw
x


i
ii
w w
yw
y
wx = média dos valores corrigidos de Xi
wy = média dos valores corrigidos de Yi
Xi = valor da variável controlada ou 
variável independente
Yi = valor da variável resposta ou 
variável dependente 
Heterocedasticidade
601
iw = peso
3. Mínimos quadrados ponderados
Após a aplicação destas equações,
originamos uma nova reta ( ),
a qual deverá ser utilizada para fins de
quantificação.
ww xbby 10 
Heterocedasticidade
602
3. Mínimos quadrados ponderados
603
 O uso dos mínimos quadrados ponderados
requer informações sobre os erros (variações)
que ocorrem nos diferentes níveis de
concentração.
 Esta informação deve ser obtida
experimentalmente a partir um grande número
de medições repetidas ou pode ser obtida a
partir da função variância relativa a variância
das medições, , para y.
Heterocedasticidade
2
iy
s
3. Mínimos quadrados ponderados
604
 Se variância das medições, , para y é
conhecida, a variação pode ser estimada a
partir desta relação funcional.
 O procedimento de mínimos quadrados
ponderados não deve ser usado para corrigir
dados ruins.
Heterocedasticidade
2
iy
s
3. Mínimos quadrados ponderados
605
Exemplo:
10 22 20 21 22 21 21,2 0,84 0,70
20 44 46 45 44 44 44,6 0,89 0,80
30 60 63 60 63 63 61,8 1,64 2,69
40 75 81 79 78 77 78,0 2,24 5,02
50 104 109 107 101 105 105,2 3,03 9,18
ix iy iy is
2
i
s
Comparação de Variâncias
Teste de Cochran
Dados de calibração da quinina. A resposta yi
representa a intensidade de fluorescência (I)
em unidades arbitrárias.
Mínimos quadrados ponderados
k = 6 (número de concentrações)
n = 5 (número de replicatas)
s2Max = 9,18
Ss2 = 18,89
Ccalc = 9,18/18,89=0,486
Ctab = 0,480
Ccalc > Ctab – COMPORTAMENTO HETEROCEDÁSTICO
s12 =0,50
s22 =0,70
s32 =0,80
s42 =2,69
s52 =5,02
s62 =9,18
606
Teste de Cochran
Resposta do Exemplo:
Definido o COMPORTAMENTO 
HETEROCEDÁSTICO da curva analítica, 
devemos transformar a 
HETEROCEDASTICIDADE em 
HOMOCEDASTICIDADE
Para isto, empregaremos os MÍNIMOS 
QUADRADOS PONDERADOS
607
Resposta do Exemplo:
608
609
10 21,2 0,84 1,43 -9 -36 116 467
20 44,6 0,89 1,25 1 -32 1 -39
30 61,8 1,64 0,37 11 -28 45 -114
40 78,0 2,24 0,20 21 -25 88 -104
50 105,2 3,03 0,11 31 -19 104 -66
ix iy is 21
iy
i s
w  )( wi xx  )( wi yy 
2)( wii xxw  ))(( wiwii yyxxw 
Cálculos para a reta de regressão ponderada.
Resposta do Exemplo:
354
143
610


i
ii
w w
xw
x


i
ii
w w
yw
y





21 )(
))((
wii
wiwii
xxw
yyxxw
b
Resposta do Exemplo:
=(63,83/3,36)= 19,01
=(135,94/27,19)= 40,49
=(714,88/354,44)= 2,017
=(40,49 –(2,017*19,01)) = 2,142ww xbyb 10 
611
A equação de regressão ponderada é:
Esta equação é muito semelhante à equação
de regressão não ponderada:
Ambas as retas irão produzir resultados
semelhantes quando usados para prever uma
concentração. Contudo, as diferenças se
tornam evidentes nos erros de previsão.
Resposta do Exemplo:
ŷ = 2,142 + 2,017x
ŷ = 1,740 + 2,104x
612
Como fazer isto 
no EXCEL???
613
614
VAMOS FAZER NO EXCEL?
EXCEL
615
EXCEL
Exercício 20
Refazer o exemplo dos mínimos 
quadrados ponderados, usando o Excel 
616
617
15. Comparação da 
Inclinação de Duas Retas
618
Comparação da Inclinação de 
Duas Retas
A comparação entre as inclinações 
de duas retas é uma ferramenta útil 
na validação de métodos analíticos.
619
Comparação da Inclinação de 
Duas Retas
A comparação entre as inclinações de duas retas
(representadas como b11 e b12, respectivamente)
pode ser realizada por meio do teste t:
1211
22
1211
bb ss
bb
t



b11= coeficiente angular da reta 1
b12= coeficiente angular da reta 2
620
Comparação da Inclinação de 
Duas Retas




1
11
1
2
11
1
2
2
)(
n
i
i
e
b
xx
s
s




2
12
1
2
22
2
2
2
)(
n
i
i
e
b
xx
s
s
n1 = número de concentrações da reta 1
n2 = número de concentrações da reta 2
s2e1 = variância residual da reta 1
s2e2 = variância residual da reta 2
xi = valores de concentração
621
2
)ˆ(
2
22
2




 
n
yy
n
d
s iiie
Cálculo das variâncias residuais 
das retas 1 ( ) e 2 ( )
2
1es
2
2es
O denominador (n-2) resulta do fato da reta
ajustada necessitar estimar dois parâmetros, b0 e b1.
Onde:
di= resíduo
n = número de concentrações da reta
12110 : bbH 
Calcular t
Comparar com 
t tabelado
622
Calcular t 
maneira 1
Comparar com t tabelado
Calcular t 
maneira 2
2
2
2
1 ee ss 
623
12110 : bbH 
2
2
2
1 ee ss 
Teste F-Snedecor
Qual teste usaremos para descobrir
se existe ou não existe diferença
significativa entre as variâncias
residuais das retas 1 ( ) e 2 ( )?
624
2
2es
2
1es
Calcular t 
maneira 1
Comparar com t tabelado
625
12110 : bbH 
2
2
2
1 ee ss 
Cálculo da variância agrupada (s2ag) 
e de t quando as variâncias residuais 
das retas 1 e 2 forem iguais
)4( 21  nn)4(
)2()2(
21
2
22
2
112



nn
snsn
s eeag
626



















11
1
2
22
1
2
11
2
1211
)(
1
)(
1
n
i
i
n
i
i
ag
xxxx
s
bb
t
627
Se tcalc > ttab, então H0 deve ser 
rejeitada; as inclinações das 
retas 1 e 2 são diferentes
Se tcalc < ttab, então H0 deve ser 
aceita; as inclinações das retas 1 
e 2 são iguais
Comparação tcalculado com ttabelado
628
Exemplo:
ANÁLISE DE Al NO SORO POR MEIO DA 
ESPECTROMETRIA DE ABSORÇÃO ATÔMICA 
EM FORNO DE GRAFITE.
PARA VALIDAR UM NOVO MÉTODO, UM CURVA 
ANALÍTICA AQUOSA E UMA CURVA DE ADIÇÃO 
PADRÃO, A PARTIR DE UMA AMOSTRA DE 
SORO FORAM COMPARADAS.
A AVALIAÇÃO DO SINAL FOI FEITA POR MEIO 
DAS ABSORVÂNCIAS INTEGRADAS (A.s)
629
Exemplo:
CURVA ANALÍTICA (1)
Xi1 (µg/L) Yi1 (A.s)
50 0,32
100 0,64
150 1,32
200 1,80
250 2,20
300 2,90
OS RESULTADOS A SEGUIR FORAM OBTIDOS:
ADIÇÃO PADRÃO (2)
Xi2 (µg/L adicionado) Yi2 (A.s)
49,9 0,29
99,8 0,62
148,9 1,29
199,7 1,78
225,6 1,99
251,3 2,20
302,1 3,01
61 n
72 n
630
Cálculo das variâncias residuais 
das retas 1 ( ) e 2 ( )21es
2
2es
Comparação das variâncias
2
2
2
10 : ee ssH  0:
2
2
2
10  ee ssH
Teste F-Snedecor
Ftab 0,05;4;5 = 5,19 (unilateral)
Fcalc < Ftab, então H0 é aceita; as variâncias 
residuais das retas 1 e 2 são iguais.
631
Cálculo da variância agrupada (s2ag) 
quando as variâncias residuais das 
retas 1 e 2 são iguais
9)476()4( 21  nn
632
)4(
)2()2(
21
2
22
2
112



nn
snsn
s eeag
633



















11
1
2
22
1
2
11
2
1211
)(
1
)(
1
n
i
i
n
i
i
ag
xxxx
s
bb
t
Cálculo de t quando as variâncias 
residuais das retas 1 e 2 são iguais
634
Comparação tcalculadocom ttabelado
ttab 0,05;9 = 2,26 
Como tcalc < ttab, então H0 deve ser aceita; as 
inclinações das retas 1 e 2 são iguais e isto 
indica que não há efeito de matriz
635
Como fazer isto 
no EXCEL???
636
VAMOS FAZER NO EXCEL?
EXCEL
637
EXCEL
Exercício 21
Refazer o exemplo da comparação entre 
as inclinações das duas retas, usando o 
Excel 
Comparação entre as 
inclinações das retas, quando 
as variâncias residuais das 
retas são iguais 638
Calcular t 
maneira 2
Comparar com t tabelado
639
12110 : bbH 
2
2
2
1 ee ss 
640
Cálculo de t’ quando as variâncias 
residuais das retas 1 ( ) e 2 ( ) 
forem diferentes
1211
1211
22
2
2
2
1'
bb
bb
ss
stst
t



t1= t tabelado para (n1 – 2) graus de liberdade
t2= t tabelado para (n2 – 2) graus de liberdade




1
11
1
2
11
1
2
2
)(
n
i
i
e
b
xx
s
s




2
12
1
2
22
2
2
2
)(
n
i
i
e
b
xx
s
s
2
1es
2
2es
641
Comparação do valor de t’ com o 
valor de t
1211
1211
22
2
2
2
1'
bb
bb
ss
stst
t



1211
22
1211
bb ss
bb
t



Se t’ < t, então H0 deve ser aceita; as 
inclinações das retas 1 e 2 são iguais
Se t’ > t, então H0 deve ser rejeitada; 
as inclinações das retas 1 e 2 são 
diferentes
642
Não é necessário calcular t’, se ambas as 
retas de regressão são baseadas no mesmo 
número de concentrações (n1 = n2). 
Então, t’ = t1 = t2.
643
Exemplo:
ANÁLISE DE Cu NO SORO DE LEITE POR MEIO 
DA ESPECTROMETRIA DE ABSORÇÃO 
ATÔMICA EM FORNO DE GRAFITE.
PARA VALIDAR UM NOVO MÉTODO, UM CURVA 
ANALÍTICA AQUOSA E UMA CURVA DE ADIÇÃO 
PADRÃO, A PARTIR DE UMA AMOSTRA DE 
SORO FORAM COMPARADAS.
A AVALIAÇÃO DO SINAL FOI FEITA POR MEIO 
DAS ABSORVÂNCIAS INTEGRADAS (A.s)
644
Exemplo:
CURVA ANALÍTICA (1)
Xi1 (µg/L) Yi1 (A.s)
50 0,32
100 0,64
150 1,32
200 1,80
250 2,20
300 2,90
OS RESULTADOS A SEGUIR FORAM OBTIDOS:
ADIÇÃO PADRÃO (2)
Xi2 (µg/L adicionado) Yi2 (A.s)
49,9 0,03
99,8 0,08
148,9 0,16
199,7 0,23
225,6 0,27
251,3 0,30
302,1 0,46
61 n
72 n
Comparação das variâncias
Teste F-Snedecor
Ftab 0,05;4;5 = 5,19 (bilateral)
645
2
2
2
1 ee ss  12110 : bbH 
646




1
11
1
2
11
1
2
2
)(
n
i
i
e
b
xx
s
s
Comparação do valor de t’ com o 
valor de t
647
Comparação do valor de t’ com o 
valor de t




2
12
1
2
22
2
2
2
)(
n
i
i
e
b
xx
s
s
648
Comparação do valor de t’ com o 
valor de t
1211
1211
22
2
2
2
1'
bb
bb
ss
stst
t



649
Comparação do valor de t’ com o 
valor de t
1211
22
1211
bb ss
bb
t



650
Como t’ < t, então H0 deve ser aceita; 
as inclinações das retas 1 e 2 são 
iguais.
Comparação do valor de t’ com o 
valor de t
16. Box Plot
651
 Representa os dados através de um retângulo
construído com os quartis.
 Fornece informações sobre a variabilidade dos dados e
valores atípicos que podem influenciar o cálculo de
medidas como a média aritmética, por exemplo.
 Utiliza cinco medidas estatísticas: mínimo, máximo,
mediana, primeiro quartil, terceiro quartil.
 O conjunto destas medidas fornece evidência sobre a
posição, dispersão, assimetria e valores extremos
(atípicos).
Box Plot
652
Box Plot
1 2 LABORATÓRIOS
RESPOSTAS
MEDIANA
50%
(DQ)
25%
QUARTIL 
INFERIOR (QI)
QUARTIL 
SUPERIOR (QS)
DQ = DISTÂNCIA ENTRE QUARTIS OU INTERVALO INTERQUARTÍLICO
LIMITE SUPERIOR (LS)
LIMITE INFERIOR (LI)
653
654
Box Plot
655
Box Plot
SOBREPOSIÇÃO GRÁFICA DE UMA CURVA NORMAL E UM BOX 
PLOT HORIZONTAL
656
Box Plot
ESTRUTURA BÁSICA DO BOXPLOT EM ORIENTAÇÃO VERTICAL (A) E 
HORIZONTAL (B)
ETAPAS DA CONSTRUÇÃO DE UM BOX 
PLOT
MEDIANA
QI – QUARTIL INFERIOR (QUARTIL 1)
QS – QUARTIL SUPERIOR (QUARTIL 3)
DQ – DISTÂNCIA ENTRE QUARTIS
LS – LIMITE SUPERIOR
LI – LIMITE INFERIOR
COLOCAR OS DADOS EM ORDEM CRESCENTE
DETERMINAR
CONSTRUIR O GRÁFICO
657
ATRAVÉS DO BOX PLOT 
VERIFICAMOS
PRESENÇA DE VALORES ABERRANTES (“OUTLIERS”)
COMPORTAMENTO DE DIVERSOS LABORATÓRIOS, 
MÉTODOS, ANALISTAS, EQUIPAMENTOS, ETC
NORMALIDADE DA DISTRIBUIÇÃO DOS DADOS
VERIFICAR VISUALMENTE REPETITIVIDADE E EXATIDÃO
658
DETERMINAÇÃO DE Cd EM SUCOS DE FRUTA
LABORATÓRIO
1,6 4,6 1,2 1,5 6,0 6,2 3,3 
2,0 2,9 1,1 3,5 5,5 4,5 2,8 
2,9 4,5 3,4 1,8 3,8 5,3 3,1 
2,7 4,0 2,9 4,3 5,5 1,9 2,2 
3,0 4,9 5,8 4,2 3,8 3,4 3,9 
Exemplo:
659
1. RESULTADOS EM ORDEM CRESCENTE
1,1 1,2 1,5 1,6 1,8 1,9 2,0 
2,2 2,7 2,8 2,9 2,9 2,9 3,0 
3,1 3,3 3,4 3,4 3,5 3,8 3,8 
3,9 4,0 4,2 4,3 4,5 4,5 4,6 
4,9 5,3 5,5 5,5 5,8 6,0 6,2 
2. CÁLCULOS DOS PARÂMETROS
3. CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO
4. ANÁLISE DO GRÁFICO
660
1. MEDIANA (MED) 
MED = (N+1) / 2 
MED = (35 +1) / 2 = 18 = 3,4
2. QI (QUARTIL 1)
QI = (Ni+1) / 2 
MED(QI) = (18 +1) / 2 = 9,5 = 2,75
3. QS (QUARTIL 3) 
QS = (Ns+1) / 2 
MED(QS) = (18 +1) / 2 = 9,5 = 4,5 
4. DISTÂNCIA ENTRE QUARTIS OU 
INTERVALO INTERQUARTÍLICO (DQ) 
DQ = (QS - QI)
DQ = (4,5 - 2,75) = 1,75
5. LIMITE INFERIOR (LI) 
LI = QI - (1,5 * DQ) 
LI = 2,75 - (1,5 * 1,75) = 0,13
6. LIMITE SUPERIOR (LS) 
LS = QS + (1,5 * DQ) 
LS = 4,5 + (1,5 * 1,75) = 7,13
Ni E Ns= NÚMERO DE DADOS DE 
CADA LADO DA MEDIANA
2. CÁLCULOS DOS PARÂMETROS
661
VANTAGENS
LIMITAÇÃO
 ROBUSTO
 SIMPLES DE SER CONSTRUÍDO
 FACILMENTE COMPREENDIDO
 CAPAZ DE DAR UMA IDÉIA DO 
COMPORTAMENTO DE DIVERSOS 
PARÂMETROS AO MESMO TEMPO
 NECESSITA DE UM NÚMERO RELATIVAMENTE 
GRANDE DE DADOS
662
663
Exemplo
DETERMINAÇÃO DE AFLATOXINA M EM 7 
LABORATÓRIOS
Laboratórios
a b c d e f g
1,6 4,6 1,2 1,5 6,0 6,2 3,3
2,9 2,8 1,9 2,7 3,9 3,8 3,8
3,5 3,0 2,9 3,4 4,3 5,5 5,5
1,8 4,5 1,1 2,0 5,8 4,2 4,9
2,2 3,1 2,9 3,4 4,0 5,3 4,5
MÉDIA 2,4 3,6 2,0 2,6 4,8 5,0 4,4
MEDIANA 2,2 3,1 1,9 2,7 4,3 5,3 4,5
DESVIO PADRAO 0,79 0,87 0,88 0,85 1,02 0,98 0,87
VARIÂNCIA 0,63 0,77 0,77 0,72 1,04 0,96 0,76
COEF. VARIAÇÃO 33 24 44 33 21 20 20
664
 BOX PLOT USADOS NA COMPARAÇÃO DE DIFERENTES
GRUPOS DE RESULTADOS
Exemplo:
LAB. C MUITO DIFERENTE DO LAB. F
A dispersão em cada um dos grupos
é similar, o que significa que a
precisão dentro de cada laboratório é
mais ou menos a mesma.
665
Como fazer isto 
no EXCEL???
666
VAMOS FAZER NO EXCEL?
EXCEL
667
Calcular os parâmetros (mediana, QI, QS, 
DQ, LS e LI), construir e analisar o gráfico 
Boxplot, usando o Excel, para cada um dos 
conjuntos de dados.
Exercício 22
DADOS 1 DADOS 2 DADOS 3
708,913 693,040 715,751
708,181 699,390 715,751
707,692 697,436 715,507
707,204 689,866 714,286
708,913 686,203 715,018
710,623 689,866 716,239
719,902 677,900 717,705
709,158 758,974 713,797
720,147 757,509 716,239
729,182 720,391 715,751
EXCEL
668
DADOS 1 DADOS 2 DADOS 3
MENOR VALOR NÃO OUTLIERS 707,204 677,900 713,797
QUARTIL 1 708,364 689,866 715,140
MEDIANA 709,036 695,238 715,751
QUARTIL 3 717,582 715,141 716,117
MAIOR VALOR NÃO OUTLIERS 729,182 720,391 716,239
LIMITE INFERIOR DA DEFINIÇÃO DE OUTLIERS 694,537 651,954 713,675
INTERVALO INTERQUARTÍLICO - DQ 9,218 25,275 0,977
LIMITE SUPERIOR DA DEFINIÇÃO DE OUTLIERS 731,410 753,053 717,582
MÍNIMO (QUARTIL 1 - MENOR VALOR NÃO OUTLIERS) 1,160 11,966 1,343
QUARTIL 1 708,364 689,866 715,14
MEDIANA (MEDIANA – QUARTIL 1) 0,671 5,372 0,611
QUARTIL 3 (QUARTIL 3 – MEDIANA) 8,547 19,903 0,366
MÁXIMO (MAIOR VALOR NÃO OUTLIERS – QUARTIL 3) 11,600 5,250 0,122
Box Plot
669
Box Plot
670
680
690
700
710
720
730
740
750
760
1 2 3
Box Plot
QUARTIL 3
MEDIANA
QUARTIL 1
Série4
Série5
menor dispersão 
(repetibilidade 
melhor)
maior dispersão 
(repetibilidade pior)
670