Estatística Descritiva prova 4

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· Pergunta 1
1 em 1 pontos
	
	
	
	Entre as várias aplicações citadas por Castanheira (2013), a distribuição de Poisson é frequentemente usada em pesquisa operacional e na solução de problemas administrativos, sendo possível encontrá-la quando desejamos determinar o número de chamadas telefônicas para uma empresa por hora, o número de clientes em uma fila de um banco ou ainda o número de acidentes de tráfego no cruzamento de uma cidade por semana.
CASTANHEIRA, N. P. Estatística aplicada a todos os níveis. Curitiba: Intersaberes, 2013.
Considere que são vendidos, no verão, em média 54 sorvetes diariamente, de acordo com uma variável aleatória x, que segue a distribuição de Poisson. Qual a probabilidade aproximada de que, em certo dia, sejam vendidos exatamente 50 sorvetes?
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
5%.
	Resposta Correta:
	 
5%.
	Comentário da resposta:
	Resposta correta: de acordo com os cálculos da distribuição de Poisson, para que possamos determinar exatamente 50 sorvetes, temos a seguinte probabilidade:  .
	
	
	
· Pergunta 2
1 em 1 pontos
	
	
	
	A distribuição normal é fundamental para a maior parte das técnicas da estatística prática moderna, sendo a mais importante das distribuições contínuas. Uma característica importante da distribuição normal é que ela depende apenas de dois parâmetros que são a média  e o desvio-padrão . Assim, podemos dizer que há uma e somente uma distribuição normal com uma dada média  e um dado desvio-padrão .
 
  
Figura: Curva normal com média  e desvio-padrão .
Fonte: COSTA NETO, P. L. O.; CYMBALISTA, M. Probabilidades. São Paulo: Edgard Blucher, 2012.
 
Diante dessa definição, assinale V para as alternativas verdadeiras e F para as falsas.
I. Um ponto selecionado aleatoriamente entre a e b é igual à área sob a curva entre a e b, ou seja, abaixo do gráfico da função.
II. A área sob todo o gráfico é igual a 1.
III. A distribuição normal com valores de parâmetros  e  é denominada de distribuição normal padrão.
IV. Para  e  , temos  .
V.  Para  e  , temos  .
A sequência correta é:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
V, V, V, F, V.
	Resposta Correta:
	 
V, V, V, F, V.
	Comentário da resposta:
	Resposta correta: a distribuição normal com valores dos parâmetros  e   é denominada distribuição normal padrão. Assim, o escore z é igual a . Pela tabela, temos que o valor correspondente a z=1,25 é igual a 0,3944, porém esse valor se refere ao intervalo entre a média  e , assim,  e o restante da área sob a curva é igual a 
	
	
	
· Pergunta 3
1 em 1 pontos
	
	
	
	Conforme aponta Castanheira (2013), a distribuição normal de probabilidade é uma distribuição de probabilidade contínua, simétrica em relação à média e assintótica em relação ao eixo das abscissas, em ambas as direções. É também conhecida como distribuição gaussiana e modela o comportamento de diversas variáveis aleatórias que envolvem a análise de processos empresariais ou demais fenômenos naturais, além de poder ser usada com o intuito de aproximar distribuições discretas de probabilidade.
CASTANHEIRA, N. P. Estatística aplicada a todos os níveis. Curitiba: Intersaberes, 2013.
De acordo com as características atribuídas a uma distribuição normal, avalie as afirmativas a seguir.
 I. Uma vez que  e  geram uma distribuição normal, as tabelas de probabilidade normal são fundamentadas em uma distribuição normal de probabilidade, com  e .
 
II. Se uma população tem distribuição normal, conforme define o teorema central do limite, a distribuição das médias amostrais retiradas dessa população também terá distribuição normal.
 
III. Pode ser utilizada como aproximações de outras distribuições de probabilidade, como a distribuição de Poisson e a distribuição binomial.
É correto o que se afirma em:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
II e III, apenas.
	Resposta Correta:
	 
II e III, apenas.
	Comentário da resposta:
	Resposta correta: de acordo com o estudo da distribuição normal, as tabelas de probabilidade normal são fundamentadas em uma distribuição normal de probabilidade, com média e desvio-padrão , e não o contrário. Estudamos também o teorema central do limite em que a distribuição das médias amostrais tende a uma distribuição normal e a distribuição normal pode ser utilizada como aproximações de outras distribuições, como a binomial e a de Poisson.
	
	
	
· Pergunta 4
1 em 1 pontos
	
	
	
	Conforme expõe Triola (2017), na medida em que o tamanho da amostra aumenta, a distribuição das médias amostrais tende para uma distribuição normal com média  e desvio-padrão , sendo n o tamanho da amostra, e  a média e  o desvio-padrão da população.
TRIOLA, M. Introdução à Estatística. Rio de Janeiro: LTC, 2017
A respeito do teorema do limite central, analise as afirmativas a seguir.
I. Amostras de tamanho n são extraídas aleatoriamente de uma população.
II. Para amostras de tamanho n<30, a distribuição das médias amostrais pode ser aproximada por uma distribuição normal.
III. O teorema do limite central envolve duas distribuições diferentes: a distribuição da população original e a distribuição das médias amostrais.
IV. Os dados influenciados por muitos efeitos aleatórios pequenos e não relacionados têm distribuição aproximadamente normal.
V. O teorema central do limite tem importância fundamental na estatística, porém é aplicado apenas em populações infinitas.
Está correto o que se afirma em:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
apenas I, III e IV.
	Resposta Correta:
	 
apenas I, III e IV.
	Comentário da resposta:
	Resposta correta: quando o tamanho da amostra aumenta, independentemente da forma da distribuição da população, a distribuição amostral da média de   aproxima-se cada vez mais de uma distribuição normal. Esse resultado fundamental na teoria da Inferência Estatística é conhecido como teorema do limite central (TLC). O TLC afirma que a média de X aproxima-se de uma normal quando n tende para o infinito, sendo que a distribuição das médias amostrais é a mesma que a média da população, no entanto, o desvio-padrão da amostra é menor que o desvio-padrão da população, o que leva a uma menor dispersão em torno da média. Para amostras da ordem de 30 ou 50 elementos, a aproximação pode ser considerada boa.
	
	
	
· Pergunta 5
1 em 1 pontos
	
	
	
	A distribuição de Poisson é usada para determinar a probabilidade de um número de sucessos quando ocorrem muitos fenômenos observáveis e aplicáveis a sequências de eventos. Como exemplos, podemos citar os modelos matemáticos das chegadas das pessoas em uma fila, carros chegando ao posto de gasolina e usuários de computador ligados à Internet. Com base no estudo da distribuição de Poisson, apresentamos o problema a seguir: no setor de confecção de uma empresa fabril, as vendedoras realizam, uma vez por semana, ligações para a oferta de novos lançamentos para os maiores clientes. Nesta semana, dos cinco maiores clientes da empresa, apenas três adquiriram o produto X. A empresa lançará o produto Y na próxima semana e deseja calcular a probabilidade da compra desse produto pelos seus maiores clientes.
Considerando que , a probabilidade de a confecção vender o produto Y para os seus maiores clientes será de:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
14,58%.
	Resposta Correta:
	 
14,58%.
	Comentário da resposta:
	Resposta correta: a probabilidade de a confecção vender o produto Y para seus maiores clientes será de 14,58%. O cálculo é feito por meio da fórmula:
	
	
	
· Pergunta 6
1 em 1 pontos
	
	
	
	Se uma variável aleatória x é normalmente distribuída, você pode encontrar a probabilidade de x em determinado intervalo ao calcular a área sob a curva normal para um dado intervalo. Para encontrar a área sob qualquer curva normal, você pode, primeiramente, converter os limites inferiores e superiores do intervalo para z-escores e determinar a área sob a curva normal.
Diante desse contexto, é correto afirmar que, se a quantidade de radiação cósmica a que uma pessoa está exposta ao atravessar o território brasileiro em um avião a jato é uma variávelaleatória normal com  e , então, a probabilidade de uma pessoa em tal voo estar exposta a mais de 5,00 mrem de radiação cósmica é igual a:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
aproximadamente 0,14
	Resposta Correta:
	 
aproximadamente 0,14
	Comentário da resposta:
	Resposta correta: é necessário calcular a área sob a curva normal em que  e . Para tanto, vamos calcular o escore . A partir da tabela de escore z, encontramos que para  a área é equivalente a 0,3643, portanto, uma pessoa estar exposta a mais de 5,00 mrem de radiação cósmica é equivalente a , ou aproximadamente 0,14.
	
	
	
· Pergunta 7
1 em 1 pontos
	
	
	
	Uma variável aleatória X tem distribuição de Poisson com parâmetros  (  quando a distribuição de probabilidade for igual a  , com  , 𝜆 corresponde à média, e é número de Euler (constante), que tem valor aproximado a 2, 71828... Diante do conceito de distribuição de Poisson, é sabido que a probabilidade de um adolescente se tornar diabético em uma família de diabéticos é de 0,07. Assim, deseja-se calcular a probabilidade de crianças nascerem diabéticas, em uma amostra de 100 famílias. Considerando , a probabilidade de que 5 crianças se tornem diabéticas em 100 famílias diabéticas é igual a:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
12,75%.
	Resposta Correta:
	 
12,75%.
	Comentário da resposta:
	Resposta correta: a probabilidade de que 5 crianças se tornem diabéticas em 100 famílias será de 12,75%. Os cálculos são obtidos por meio da média esperada de crianças obesas e da distribuição de Poisson, ou seja:
	
	
	
· Pergunta 8
1 em 1 pontos
	
	
	
	Para Martins e Domingues (2017), uma função de distribuição acumulada (FDA) calcula a probabilidade acumulada para um determinado valor de x,
em que uma observação aleatória extraída da população é menor ou igual a um valor específico, maior do que um valor específico ou está entre dois valores específicos.
MARTINS, G. A.; DOMINGUES, O. estatística geral e aplicada. São Paulo: Atlas, 2017.
A partir do texto, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. Existem diferenças quanto ao uso da distribuição acumulada para variáveis contínuas ou discretas.
Porque,
II. Para distribuições contínuas, a função de distribuição acumulada indica a área sob a função densidade de probabilidade, até o valor de x
fixo; para distribuições discretas, a função de distribuição acumulada gera a probabilidade acumulada para os valores de x previamente estipulados.
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
As asserções I e II são proposições verdadeiras e a II é uma justificativa correta da I.
	Resposta Correta:
	 
As asserções I e II são proposições verdadeiras e a II é uma justificativa correta da I.
	Comentário da resposta:
	Resposta correta: existem diferenças quanto ao uso da distribuição acumulada para variáveis contínuas ou discretas. Dessa maneira, para distribuições contínuas, a função de distribuição acumulada indica a área sob a função densidade de probabilidade, até o valor de x
determinado; para distribuições discretas, a função de distribuição acumulada gera a probabilidade acumulada para os valores de x pré-definidos.
	
	
	
· Pergunta 9
1 em 1 pontos
	
	
	
	Uma equação que representa a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória contínua é denominada de função densidade de probabilidade e resulta em uma curva em forma de sino. Com base no estudo da distribuição normal, apontamos o seguinte problema: após um longo período de estudo, foi identificado que a vida útil de determinado componente eletrônico tem distribuição normal com média de 39 semanas e desvio-padrão de 2 semanas.
Diante essa definição, assinale V para as verdadeiras e F para as falsas, para a probabilidade de que a vida útil de um componente eletrônico seja maior que 35 semanas.
I. Devemos considerar área à direita de .
II. O valor do escore z é igual a 1,00.
III. Devemos considerar o valor do escore z positivo igual a 2,00.
IV. A área correspondente equivale a 0,4772.
V. A área correspondente equivale a 0,9772.
A sequência correta é:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
F, F, V, F, V.
	Resposta Correta:
	 
F, F, V, F, V.
	Comentário da resposta:
	Resposta correta: primeiramente, vamos realizar a conversão do valor da variável x para o escore z, logo: . Tendo esse valor, consulte a tabela e verifique qual o valor da área correspondente que é igual a 0,4772. No entanto, atente-se ao fato de que é necessário somar essa área a 0,5, por isso, a probabilidade solicitada equivale a 97,72%.
	
	
	
· Pergunta 10
1 em 1 pontos
	
	
	
	A família de distribuições exponenciais fornece modelos probabilísticos largamente usados na engenharia e em várias disciplinas de ciência, negócios e da natureza.
De acordo com Costa Neto e Cymbalista (2012), um fenômeno de Poisson de parâmetro  é aquele em que o número de sucessos em um intervalo de observação t segue uma distribuição de Poisson de média , e em que T é um intervalo decorrido entre dois sucessos consecutivos. Nessas condições, a distribuição da variável aleatória T recebe a denominação de distribuição exponencial.
COSTA NETO, P. L. O.; CYMBALISTA, M. Probabilidades. São Paulo: Edgard Blucher, 2012.
Diante dessa definição, assinale V para as alternativas verdadeiras e F para as falsas
I. De maneira que T seja maior que t genérico, é necessário que o próximo sucesso demore mais que t para ocorrer.
II. A expressão que rege a probabilidade de uma distribuição exponencial é dada por  
III. Tanto a média como o desvio-padrão da distribuição exponencial são iguais a .
IV. O parâmetro  é interpretado como o número médio de ocorrências por unidade de tempo, logo uma constante negativa.
V. A distribuição exponencial descreve o comportamento de uma variável aleatória x no espaço ou no tempo
A sequência correta é:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
V, F, V, F, V.
	Resposta Correta:
	 
V, F, V, F, V.
	Comentário da resposta:
	Resposta correta: um fenômeno de Poisson de parâmetros , segue a relação , em que . Também identificamos que uma variável aleatória contínua t que considere todos os valores não negativos terá uma distribuição exponencial e que a probabilidade é a área compreendida entre o eixo x e a curva do gráfico da função densidade de probabilidade. A distribuição exponencial descreve o comportamento de uma variável aleatória x no espaço ou no tempo, sendo muito usada em fenômenos que envolvem problemas de confiabilidade.