Questão 1 matematica

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Questão 1
Questão 2 
Leia o excerto a seguir. 
"A história começa com os chineses, que misturavam neve com frutas fazendo uma espécie de sorvete. Esta técnica foi passada aos árabes, que logo começaram a fazer caldas geladas chamadas de sharbet, e que mais tarde se transformaram nos famosos sorvetes franceses sem leite, os sorbets. 
[...] 
Os sorvetes se espalharam por toda a Europa e logo chegaram também aos Estados Unidos. A primeira produção de sorvete em escala industrial ocorreu nos Estados Unidos, há 40 anos. Hoje, no mundo todo, quem mais fabrica sorvete são os norte-americanos". 
  
ABIS. Associação Brasileira das Indústrias e do Setor de Sorvetes. História do sorvete: você sabia que esta delícia existe há mais de 3000 anos?. São Paulo, [s. d.]. Online. Disponível em: http://m.abis.com.br/institucional_historia.html#:~:text=O%20que%20a%20ABIS%20faz%20!&text=Voc%C3%AA%20sabia%20que%20esta%20del%C3%ADcia,fazendo%20uma%20esp%C3%A9cie%20de%20sorvete.&text=O%20Imperador%20mandava%20seus%20escravos,polpa%20ou%20suco%20de%20frutas. Acesso em: 22 jul. 2020. 
  
NUNES, A. S.; NASCIMENTO, W. J.; PALHARINI, B. N. P. A. S. O uso de uma atividade de modelagem matemática na licenciatura em Matemática para o estudo de funções de segundo grau. In: VIII ENCONTRO PARANAENSE DE MODELAGEM NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 2018, Cascavel. Anais [...]. Cascavel: EPMEM, 2018. 
  
Imagine, então, que uma sorveteria resolveu fazer uma promoção: na compra de dois ou mais potes de sorvetes de dois litros, será aplicado um desconto de 5% por cada pote adquirido. O valor unitário do pote de sorvete é de R$ 14,50. Assim, determine a função que representa essa situação e, utilizando a derivada, encontre o maior faturamento possível para esse fornecedor. 
Resposta: 
Segue abaixo a solução para a promoção deste cliente que precisa obter um ponto de equilibrio para as vendas ultilizando esta promoção.
F(x)=ax2+bx+c
pegando o ponto 1,4 e 7
a12+b1+c=14,50                        a1+ba+c
a42+b4+c=49,30      =>            a16+b4+v
a72+b7+c=71,05                        a49+b7 +c
F(x)= -0,72.5x2+15,09x+0
O fornecedor precisa estabelecer um limite de vendas, durante o período de descontos, pois se ele não colocar a partir de 21 potes o desconto será de 100%, o produto acabaria saindo de graça, se passar de 10 potes ele já estará perdendo, mãos o seu máximo de venda será 20 potes para que não perca nada.
f(p)=p.14,5-(p.14,5(p.1).0,05)
f(2)=2.14,5-(2.14,5(2.1).0,05)
f(2)=27,55
f(p)=p.14,5-(p.14,5(p.1).0,05)
f(10)=10.14,5-(10.14,5(10.1).0,05)
f(10)=79,75
Seu maior lucro e vendendo ate 10 potes de sorvete.
O Axioma de Dedekind auxilia no entendimento sobre a completude do conjunto dos números reais. Isso porque, conforme Madureira (2017, p. 38), “[…] na Geometria, garante algumas intersecções de retas e arcos de circunferência. Resumidamente, o axioma diz o seguinte: se dividirmos a reta em duas semirretas disjuntas, então uma dessas semirretas possui um ponto inicial. Com isso, é impossível outra reta ou curva passar ‘no meio’ das duas semirretas sem intersectar a reta”.
MADUREIRA, A. L. Introdução à análise real. Laboratório Nacional de Computação Científica, Fundação Getúlio Vargas, 2017. Online. Disponível em: https://www.lncc.br/~alm/cursos/analiseI20/analiseI.pdf. Acesso em: 6 jul. 2020.
Sendo assim, tem-se: seja  um corpo ordenado. Dizemos que um par ordenado  é um corte em  se vale as cinco propriedades pertinentes ao Axioma de Dedekind.
Nesse sentido, a respeito das propriedades que pertence ao Axioma de Dedekind, analise as afirmativas a seguir e marque V para as verdadeiras e F para as falsas.
I. (   ) .
II. (   )  e  são vazios.
III. (   ) .
IV. (   )  e .
V. (   ) Se  e , então .
Agora, assinale a alternativa com a sequência correta.
( ) F, F, V, F, F.
( ) V, V, F, F, F.
( ) V, F, V, F, F.
( ) V, V, V, F, V
2 - Conforme Lima (2006), uma sequência em que se tem um número  pertencente ao conjunto dos números reais, sendo limite de uma sequência  quando, para todo número real , dado arbitrariamente, pode-se obter , tal que todos os termos  com índice  cumprem a condição . Escreve-se, então, . Desse modo, é possível definir a noção de limites de números reais.
LIMA, E. L. Análise real: funções de uma variável. 8. ed. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), 2006. v. 1.
Nesse sentido, a respeito de quando uma sequência possui limite, assinale a alternativa correta a seguir.
A)Uma sequência numérica pode convergir ou divergir, dependendo da sua lei de formação.
B)Uma sequência pode ser escrita utilizando a relação existente entre seus elementos, de modo a sempre formar uma relação do tipo .
C)Toda sequência possui um limite real, independentemente do intervalo que esteja contido.
D) Dizemos que esse limite é o termo inferior da sequência.
E) Dizemos que uma sequencia é convergente quanto é possível determinar o seu determinar o seu limite .
3- De acordo com Ferreira et al. (2009), a respeito da notação de limites envolvendo sequência numéricas, podemos apresentar teoremas que são fundamentais na formação da convergência ou não de tais sequências. Como exemplo, destacamos a definição de margem de erro: em uma margem de erro , existe um índice  tal que todos os termos  dá sequência com índice  são valores aproximados de , com erro menor que . De forma simbólica, tem-se .
FERREIRA, F. N. et al. Análise real. Minas Gerais: UFSJ, 2009.
Assim, tome para análise a sequência  e identifique nas afirmativas a seguir quais teoremas estão relacionados ao limite de uma sequência de números reais.
I. Se a sequência converge para 1,
então as subsequências também convergem para 1.
II. Unicidade dos limites, que, no caso da sequência em análise, é 1.
III. Se essa sequência converge para 1, então ela não é limitada.
IV. Trata-se do Teorema do Limite Duplo.
Está correto o que se afirma em:
A) II e III.
B) I e III.
C) I e II.
D) I e IV.
E) II e IV.
Dizemos que um intervalo é aberto quando temos um ponto  que está no intervalo , interior do intervalo . Nesse caso,  e  são extremos do intervalo fechado, e não interiores. Sabendo disso, podemos analisar os conjuntos numéricos com relação ao seu intervalo e classificá-los como aberto ou fechado.
No caso dos conjuntos racionais , podemos dizer que:
a) para que  tenha um  interior no intervalo , é necessário que  e  sejam interiores.
b) todo conjunto vazio possui intervalos fechados.
c) todo intervalo aberto é um conjunto fechado.
d) não possui pontos interiores.
e) possui um interior não vazio
Imagine que temos um
conjunto  fechado. Portanto, temos que existe um elemento , pois sabemos que um ponto  só pode ser aderente a  se toda sua vizinhança conter algum ponto de . Dessa forma, se  e este não contém pontos em , temos que . Assim, todos os pontos de , interior de .
Este fato, pode justificar qual dos teoremas a seguir?
A) Os únicos subconjuntos de  que são simultaneamente fechados e abertos são  e .
B) Se  e  são fechados, então  é fechado.
C) Um ponto  é aderente ao conjunto  se, e somente se, toda a vizinhança de  contiver algum ponto de .
D) Um conjunto  é fechado se, e somente se, seu complementar  for aberto.
E) Se  é uma família qualquer de conjuntos fechados, então a intersecção  é um conjunto fechado.
 
Gonçalves e Gonçalves (2012) nos trazem que, consideremos a definição de supremo: seja  um conjunto diferente do vazio e limitado superiormente. Se esse conjunto é limitado superiormente, então temos um número , que é denominado “supremo” do conjunto .
GONÇALVES, M. B.; GONÇALVES, D. Elementos de análise. Florianópolis: [s. e.], 2012.
Dessa forma, podemos destacar duas condições que o elemento  precisa atender para ser o supremo de :
•     para todo , tem-se ;
•     se  é tal que  para todo , então .
A definição de ínfimo, por sua vez, é análoga à de supremo, com diferença apenas quanto aos lugares em que o supremo é maior, com ínfimo menor.
Sendo assim, com base em nossos estudos sobre as condições para um elemento ser ínfimo, analise as afirmativasa seguir e marque V para as verdadeiras e F para as falsas.
I. (   ) Para todo  temos .
II. (   ) Se  para todo , então .
III. (   ) Para todo  temos .
IV. (   ) Se  para todo , então .
Agora, assinale a alternativa com a sequência correta.
a) V, F, F, F.
b) V, V, F, F.
c) V, F, F, V.
d) F, V, V, F.
e) F, F, V, V.
Ferreira et al. (2009) mencionam que, uma série é definida pela somatória dos elementos de uma sequência numérica . Desse modo, quando a somatória dessa sequência tende a um limite  em , denominamos de série convergente. Já quando a somatória não tende a um limite  em , dizemos que se trata de uma série divergente.
FERREIRA, F. N. et al. Análise real. Minas Gerais: UFSJ, 2009.
Assim sendo, considere a série definida por . Agora, analise as alternativas a seguir e assinale a que está correta. 
A) É uma série convergente, pois, quando , seu limite tende a 1.
B) É uma série convergente com limite 2 quando .
C) É uma série convergente, pois, em , seu limite tende a .
D) É uma série divergente, pois não há como calcular seu limite.
E) É uma série divergente, pois não apresenta um limite quando .
Os conjuntos numéricos podem ser limitados superior ou inferiormente quando observamos o Axioma do Supremo. Isto é, quando um conjunto  não vazio está contido em um intervalo , dizemos que esse conjunto é limitado superior ou inferiormente se obedecer a duas propriedades.
Com base nisso, considerando a condição para determinar se  é , analise as afirmativas a seguir.
I. Se , tem-se que
II. Se , então  e .
III. Para todo elemento  que pertence a , temos que .
IV. Se  pertence aos reais, então .
Está correto o que se afirma em:
a) II e IV.
b) II e III.
c) III e IV.
d) I e II.
e) I e III
Lima (2013) nos explica que um  é denso em  quando existe , sendo . Nessas condições, dizemos que existe um elemento  tal que . Desse modo, podemos escrever que existe um  tal que . Assim sendo, temos que .
LIMA, P. C. D. Elementos de análise I. Minas Gerais: CAED, 2013.
Agora, tome um elemento , assumindo que . Juntando os intervalos, temos que . Assim, .
Considerando a definição apresentada, analise as afirmativas a seguir.
I. Um conjunto  é dito denso quando existe um intervalo real , sendo que, dentro desse intervalo, existe um elemento de .
II. Um conjunto  é dito denso quando o intervalo  possui um elemento  e .
III. O conjunto dos números  e o conjunto  são densos em .
IV. Um conjunto  é dito denso quando satisfaz o Axioma de Dedekind.
Está correto o que se afirma em:
a) I e IV.
b) II e IV.
c) I, II e III.
d) I e III.
e) II e III
 Podemos operacionalizar as integrais de várias formas. Para isso, algumas propriedades operacionais são utilizadas. Com relação a essas propriedades, podemos perceber que as manipulações matemáticas são facilitadas com o intuito de resolver questões mais complexas ligadas às integrais.Diante disso, considere as propriedades da integral da multiplicação por uma constante e da soma. Seja, ainda, a constante  e as funções ,  e . Agora, analise as afirmativas a seguir.
I. 
II. 
III. 
IV. 
V. 
Está correto o que se afirma em:
A) I, II, IV e V.
B) III, IV, e V.
C) II, III, IV e V.
D) II, III e IV.
E) I, II e III
A integração por mudança de variável ou substituição, como também é amplamente conhecida, é definida da seguinte forma: seja  contínua e  derivável, com  integrável e . Então, temos que . Ainda, se chamarmos  e , temos a seguinte expressão para a mudança de variável:.
Dessa forma, considere a função  dx, que deverá ser resolvida a partir da integral  por mudança de variável, fazendo com que  e .
Sobre a resolução, temos os seguintes passos:
1. .
2..
3. .
4..
5., em que  e. Como  e , obtemos .
Agora, assinale a alternativa com a sequência correta.
A) 4, 2, 5, 1, 3.
B) 1, 5, 4, 2, 3.
C) 3, 1, 5, 4, 2.
D) 5, 1, 4, 2, 3.
E) 2,4,5,3,1.
Conforme nos explica Corrêa (2014), diz-se que uma função limitada  é Riemann-integrável ou simplesmente integrável se . Isto é, uma função é integrável se a sua integral inferior e a sua integral superior forem iguais. 
CORR& Ecirc;A, F. J. S. de A. Introdução à Análise Real. Pará: Universidade Federal do Pará, 2014. E-book. Disponível em: https://www.mat.unb.br/furtado/homepage/verao/livro_de_analise-novo.pdf. Acesso em: 26 maio 2020.
Assim sendo, considerando nossos estudos a respeito da temática e a definição apresentada anteriormente, analise as afirmativas a seguir e marque V para as verdadeiras e F para as falsas.
I. (   )  .
II. (   ) Denominamos as funções integráveis por Integral de Riemann sem exceção.
III. (   ) Denominamos as funções integráveis por Integral de Riemann ou apenas integral.
IV. (   ) Uma função é integrável se existir  e se for o conjunto das partições, tais que 
V. (   ) 
Agora, assinale a alternativa com a sequência correta.
A) F, V, F, V, V.
B) V, F, V, V, F.
C) V, V, F, V, F.
D)F, F, V, F, V.
E) v, f, v, f,f.
Para operações com manipulações matemáticas de forma mais simplificadas, algumas mudanças devem ocorrer nas variáveis, a fim de facilitar o raciocínio e a manipulação do cálculo. Esse processo é chamado de “regra da cadeia” ou “mudança de variáveis”. No caso, uma troca de variáveis por u e du facilitam muito o cálculo.Assim, vamos considerar a função) e resolver a integral  por mudança de variável, fazendo com que 1 e .
Sobre a resolução, temos os seguintes passos:
1. 
2. .
3. (.
4. .
5. .
Agora, assinale a alternativa com a sequência correta.
a) 1, 3, 5, 4, 2.
b) 1, 2, 3, 4, 5.
c) 5, 4, 3, 2, 1.
d) 2, 4, 1, 5, 3.
e) 5,3,2, 1,4.
De acordo com Corrêa (2014), define-se a soma inferior de Riemann da função , com relação à partição , por . Essa soma inferior é uma aproximação por falta da área sob o gráfico de . Por outro lado, define-se a soma superior de Riemann da função , com relação à partição , por . Tal soma superior é uma aproximação por excesso da área sob o gráfico de .
CORR& Ecirc;A, F. J. S. de A. Introdução à Análise Real. Pará: Universidade Federal do Pará, 2014. E-book. Disponível em: https://www.mat.unb.br/furtado/homepage/verao/livro_de_analise-novo.pdf. Acesso em: 26 maio 2020.
Sendo assim considere os gráficos da figura a seguir.
Fonte: Elaborada pelos autores, 2020.
Com base os gráficos, podemos afirmar que:
A) eles apresentam a soma de Riemann por falta.
B) eles não representam as somas de Riemann.
C) eles apresentam a soma de Riemann por excesso.
D) o primeiro apresenta a soma de Riemann por falta, enquanto o segundo traz a soma de Riemann por excesso.
E) o primeiro apresenta a soma de Riemann por excesso, enquanto o segundo traz a soma de Riemann por falta.
Vamos considerar o Teorema de Darboux conforme Lima (2006): seja derivável. Se   então existe,  tal que  . Isto é, existem duas derividas em um intervalo, mas também existe um  pertencente ao invertavalo aberto de modo que a sua derivada esteja entre as duas derividas.
LIMA, E. L. Análise real: funções de uma variável. 8. ed. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), 2006. v. 1. 
Sendo assim, seja a função  que é definida por   se  e  se  Logo, o que podemos afirmar sobre a função 
I. Não goza da propriedade do valor intermediário.
II. Assume apenas os valores -1 e 1 no intervalo 
III. Possui valores intermediários entre -1 e 1.
IV. Assume os valores -2 e 2 no intervalo 
V. Assume os valores 
Está correto o que se afirma em:
A) II e IV.
B) II, III e V.
C) III e V.
D) I e IV.
E) I e II.
 
De acordo com as explicações de Corrêa (2014), o Teorema Fundamental do Cálculo nos traz que, seja  uma função contínua. No caso, se  for uma primitiva qualquer de em , então . Isto é, uma integral definida de  a  da função , é igual à primitiva de , menos a primitiva de . 
CORR& Ecirc;A, F. J. S. de A. Introdução à Análise Real. Pará: Universidade Federal do Pará, 2014. E-book. Disponível em: https://www.mat.unb.br/furtado/homepage/verao/livro_de_analise-novo.pdf. Acesso em: 26 maio 2020.
Ainda podemos organizar o teorema de modo que tenhamos , em que esta é uma forma de simplificar a notação da definição. Agora,vamos considerar a seguinte integral e sua resolução, por meio do Teorema Fundamental do Cálculo: 
Analise as afirmativas a seguir e marque V para as verdadeiras e F para as falsas.
I. (   ) A função  é uma das primitivas, pois  também é primitiva da função .
II. (   ) , ou seja, .
III. (   ) , ou seja,.
IV. (   ) , ou seja, .
V. (   ) , ou seja, .
Agora, assinale a alternativa com a sequência correta.
I. (   ) A função 1/3 x^3 é uma das primitivas, pois 1/3 x^3+c,∀ c∈R também é primitiva da função x^2.
a) F, F, F, V, V.
b) V, F, V, V, F.
c) V, V, V, F, F.
d) F, V, F, F, V.
e) V, V, F, F, V.
 Com relação ao Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada e a integral — que são conceitos importantíssimos na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral — estão relacionadas de forma complementar. A derivada representa a inclinação de uma reta tangente a um ponto da função, enquanto a integral representa a área abaixo de uma função. Sendo assim, temos conceitos que são globais, no sentido de o resultado apresentar uma função; ao passo que outros são locais, no sentido de apresentarem resultados pontuais. 
Sobre isso, o que podemos afirmar em relação à derivada e integral?
A) A derivada é uma estimativa local, e a integral é uma estimativa global.
B) São estimativas locais.
C) A derivada é uma estimativa global, e a integral é uma estimativa local.
D) A derivada e a integral não são estimativas globais, nem locais.
E) São estimativas globais.
Para que seja possível calcular integrais de funções compostas, há a necessidade de utilização de um recurso muito conhecido na linguagem matemática: a troca de variáveis com o objetivo de facilitar as manipulações matemáticas.Desse modo, considere a função . Teremos que resolver a integral  por mudança de variável, fazendo com que  e.
Sobre a resolução, temos os seguintes passos:
1. .
2. e .
3. .
4. .
Agora, assinale a alternativa com a sequência correta.
A) 3, 2, 4, 1.
B) 2, 1, 3, 4.
C) 4, 2, 3, 1.
D) 4, 1, 2, 3.
E) 1, 2, 3, 4.
Conforme nos explica Lima (2006), o Teorema do Valor Médio de Lagrange possui como enunciado o seguinte: seja  contínua. Se  é derivável em , existe  tal que . Observe que ele explica que é possível encontrar um ponto  localizado entre os extremos do intervalo compreendido entre  e . Além disso, é possível determinar a derivada desse ponto .
LIMA, E. L. Análise real: funções de uma variável. 8. ed. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), 2006. v. 1.Nesse sentido, com base em nossos estudos e levando em consideração o Teorema do Valor Médio de Lagrange, assinale a alternativa correta.
A) A função  é contínua e diferenciável em todo o seu domínio. No ponto extremo, a derivada é exatamente esse ponto, ou seja, o quociente entre a diferença entre os pontos extremos e a diferença entre os valores extremos.
B) Uma função , podendo ser ou não contínua, faz com que exista uma função inserida no ponto médio, entre seus extremos, de modo que seu valor, nesse ponto, é o quociente entre a diferença dos extremos.
C) Seja  uma função, então existe um ponto médio entre seus extremos tal que a derivada desse ponto seja o quociente entre a diferença dos valores da função nos extremos sobre a diferença dos extremos.
D) Uma função  é contínua e derivável, então existe uma função no intervalo do seu ponto médio que também é derivável. Assim, utilizamos a razão entre a diferença da função em seus extremos e a diferença de seus pontos extremos.
E) Seja uma função  contínua em todo o seu domínio. Então, pode existir um ponto médio em que seus extremos seja o quociente entre a diferença dos valores no extremo e entre seus extremos.