ATIVIDADE 2 - UNIDADE 2

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SINAIS E SISTEMAS 
Atividade 2 
Avelino Siqueira 
Engenharia de Controle e Automação 
Universidade Anhembi Morumbi 
 
Atividade 1 
Por vezes, o processo de convolução no tempo é complexo. Diante disso, uma 
forma de obter a convolução de maneira simplificada é por meio do 
procedimento gráfico, que analisa o gráfico de dois sinais e obtém a 
convolução final. Todavia, para conquistar a convolução de maneira gráfica, é 
necessário seguir alguns passos. 
 
A respeito dos passos da convolução gráfica de duas funções x(t) e h(t), 
analise as afirmativas a seguir: 
 
I. Manter a função x(t) fixa. 
II. Visualizar a função h(t) e espelhá-la no eixo vertical. Em t = 0, temos h ( - t). 
III. O resultado da integral da convolução será a área acima do produto de x(t) 
e de h(t). 
IV. Deslocar a figura em valores positivos e negativos no tempo t. 
Está correto o que se afirma em: 
 
JUSTIFICATIVA: Para fazermos a convolução pelo método gráfico, 
precisamos manter a primeira função fixa e espelhar a segunda. O resultado 
ponto a ponto será a área abaixo do produto das duas funções. Além disso, 
devemos movimentar a segunda função para obtermos todos os valores da 
convolução. 
Atividade 2 
Atualmente, os sistemas estão sendo discretizados para serem controlados por 
um microcontrolador digital, conhecido como Digital Signal Processor (DSP). 
Um sistema controlado pelo DSP é chamado de Sistema Embarcado e tem 
sido utilizado em eletrodomésticos, geradores de energia, automóveis e robôs, 
por exemplo. 
 
Considerando o conteúdo apresentado no enunciado, analise as asserções a 
seguir e a relação proposta entre elas. 
 
I. É possível eliminar ruídos por meio do processo de convolução de um sinal 
digital. 
Pois: 
II. A convolução de sinais digitais é um processo de filtragem. 
 
Assinale a alternativa correta. 
 
JUSTIFICATIVA: A alternativa está correta, pois a asserção I é verdadeira. A 
convolução de um sinal digital faz com que a função impulso utilize a 
quantização do sinal, com o objetivo de varrê-lo e amenizá-lo, ao eliminar os 
ruídos que possam ser provenientes do sinal. Já a asserção II é uma 
justificativa da I, visto que a convolução é uma espécie de filtro para o sinal 
 
Atividade 3 
A convolução é uma ferramenta matemática que pode ser utilizada em diversos 
tipos de sistemas, com o intuito de descobrir a sua saída a partir de um sinal de 
entrada. Sendo um sistema h(t) e uma entrada x(t) dados pelas 
funções e , obtenha a 
resposta da convolução da saída dada por e assinale a 
alternativa correta. 
 
JUSTIFICATIVA: A alternativa está correta, pois, para calcularmos a 
convolução, devemos substituir na definição: 
. 
 Usando a propriedade distributiva, temos: 
. 
Ao simplificarmos, obtemos: 
. 
A partir da convolução pela integral ou por meio de consulta em tabelas, temos: 
. 
Ao simplificarmos, obtemos: 
. 
Atividade 4 
Durante o processamento de sinais, uma das operações mais importantes é a 
convolução. A convolução tem diversas propriedades que podem ser utilizadas 
para a simplificação dos cálculos e são válidas para o tempo contínuo e para o 
tempo discreto. Observe a propriedade da convolução seguinte: 
. 
 
Assinale a alternativa que apresenta corretamente o nome da propriedade 
utilizada na simplificação dos cálculos de uma convolução.. 
 
JUSTIFICATIVA: A propriedade da convolução apresentada é a diferenciação. 
A diferenciação é uma das propriedades da convolução devido ao fato de a sua 
definição ser dada por uma integral e em consequência de a diferenciação ser 
a operação inversa da integral. Nesse sentido, em detrimento de a convolução 
de um sinal ser obtida a partir de uma integral, a diferenciação se torna uma 
propriedade verdadeira, o que pode ser visto mais facilmente ao aplicarmos a 
transformada de Laplace. O resultado é: 
Atividade 5 
Diante das propriedades da convolução, uma convolução entre duas funções 
no tempo é equivalente à multiplicação dessas funções na frequência, depois 
de ser realizada a transformada de Laplace individualmente. Em outras 
palavras, ou, de maneira 
inversa, . 
 
Com base nas transformações de Laplace, obtenha a convolução dos sinais f(t) 
e g(t). 
 
f(t) = 1 
g(t) = 3 
 
Assinale a alternativa que apresenta a convolução entre f(t) e g(t). 
 
JUSTIFICATIVA: Ao utilizarmos a transformada de Laplace, a fim de obtermos 
a convolução, devemos fazer a transformada de Laplace de cada função, o que 
apresenta como resultado: L{1} = 1/s e L{3} = 3/s. Ao multiplicarmos as duas 
funções na frequência, obtemos 3/(s^2). Depois, a partir da transformada 
inversa, temos: (f*g)(t) = 3t. 
Atividade 6 
As operações aritméticas básicas entre sinais, como soma, subtração, 
multiplicação, diferenciação e integração, devem ser realizadas com base nos 
valores das funções em instantes específicos. Isso é válido tanto para os sinais 
de tempo contínuo quanto de tempo discreto. 
 
Dados dois sinais: X1[n] = {-3, -2, -1, 0, -1, -2, -3} e X2[n] = {1, 3, 0, -1, -2, 0, -
1}, determine o sinal de soma entre os dois sinais e assinale a alternativa 
correta. 
 
JUSTIFICATIVA: A alternativa está correta, pois é necessário somar os termos 
de cada sinal, a fim de compor o sinal final. Ao somarmos item por item, 
obedecendo à posição de cada um, temos: X1[n] + X2[n] = {-3+1, -2+3, -1+0, 0-
1, -1-2, -2+0, -3-1} = {-2, 1, -1, -1, -3, -2, -4}. Para somarmos os sinais, eles 
devem ter o mesmo tamanho. 
Atividade 7 
Os sistemas controlados são modelados no domínio da frequência em malha 
fechada. Nele, um sensor faz a leitura da saída e a informa para um 
controlador, que atua na planta do sistema, a fim de trabalhar de acordo com o 
que foi definido no projeto. A simplificação em malha fechada é uma ferramenta 
muito útil no projeto de controladores para o sistema. Além disso, pode ser 
obtida por meio da seguinte equação: . 
 
Considere um sistema dado por e um sensor na realimentação 
dado por H(s) = 1. Assinale a alternativa que apresenta a função de 
transferência em malha fechada do sistema apresentado. 
 
JUSTIFICATIVA: A alternativa está correta, pois, ao substituirmos as funções 
de transferência G(s) e H(s) na equação de malha fechada, temos a função de 
transferência equivalente: MF(s) = 1 / s^2+4s+7. Essa simplificação é muito 
utilizada na análise do comportamento do sistema completo. 
Atividade 8 
Os Sistemas Lineares Invariantes no Tempo (SLITs) carregam as propriedades 
de linearidade e de invariância no tempo. Além disso, são muito utilizados em 
aplicações práticas. Por vezes, os sistemas não são lineares. Portanto, devem 
ser linearizados de acordo com algumas condições, a fim de que possam ser 
utilizados em processos de tratamento de sinais, como a convolução. 
 
De acordo com os seus conhecimentos sobre os SLITs, analise as afirmativas 
a seguir e assinale (V) para a(s) Verdadeira(s) e (F) para a(s) Falsa(s). 
 
I. ( ) Os SLITs são classificados como invariantes no tempo, visto que têm um 
comportamento fixo no tempo, ou seja, se a entrada for atrasada em t 
segundos, a saída também será atrasada em t segundos. 
II. ( ) Os SLITs são classificados como lineares, porque têm a propriedade de 
superposição por meio das propriedades de aditividade e de homogeneidade. 
III. ( ) Os SLITs são classificados como invariantes no tempo, porque têm um 
comportamento variável no tempo, ou seja, se a entrada for atrasada em t 
segundos, a saída não será atrasada em t segundos. 
IV. ( ) Os SLITs são classificados como lineares, porque têm uma dinâmica 
probabilística. Desse modo, não é possível conhecer o comportamento de 
acordo com uma entrada conhecida. 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
 
JUSTIFICATIVA: A sequência está correta, pois os SLITs têm um 
comportamento que não varia de acordo com o tempo, ou seja, o 
funcionamento não se altera ao longo do tempo. Por exemplo, ao comandar 
uma máquina no decorrer do tempo, ela realizará o trabalho assim como foiprogramado e o seu comportamento final é previsível, uma vez que não se 
altera mesmo depois de um tempo. Pelo fato de o SLIT ser linear, ele pode ser 
sobreposto por meio das propriedades de adição e de homogeneidade, ou 
seja, o resultado de uma soma entre dois sinais lineares será a soma termo a 
termo.. 
 
Atividade 9 
Os SLITs têm grande aplicabilidade prática na engenharia, especialmente 
durante o processamento de sinais de imagem e em sistemas controlados. 
Essa utilidade acontece devido às propriedades de linearidade e de invariância 
no tempo, nas quais é possível prever o comportamento a partir de uma 
entrada conhecida no sistema. 
 
Com base em seus conhecimentos voltados aos SLITs, analise as afirmativas a 
seguir e assinale (V) para a(s) Verdadeira(s) e (F) para a(s) Falsa(s). 
 
I. ( ) A saída de um SLIT pode ser calculada a partir da convolução entre a 
entrada e a resposta ao impulso unitário. 
II. ( ) Os SLITs são invariantes no espaço, porque são dotados de um 
comportamento fixo, ou seja, se a entrada for deslocada em x metros, a saída 
também será deslocada em x metros. 
III. ( ) Os SLITs são lineares, porque não têm a propriedade de superposição a 
partir das propriedades de aditividade, diferenciação, integração e 
homogeneidade. 
IV. ( ) A saída de um SLIT pode ser calculada por intermédio da convolução 
entre a sua entrada e a resposta ao degrau unitário. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
 
JUSTIFICATIVA: A sequência está correta, pois a primeira afirmativa é 
verdadeira. A saída de um SLIT pode ser obtida a partir da convolução. Por 
outro lado, a segunda afirmativa é falsa, visto que um sistema LIT não é 
baseado no espaço, mas no tempo. A terceira afirmativa também é falsa, tendo 
em vista que os SLITs são lineares por terem as propriedades matemáticas 
lineares. Por fim, a quarta afirmativa está incorreta, dado que a saída de um 
SLIT pode ser calculada por meio de uma convolução obtida a partir de uma 
função impulso, e não uma função degrau. 
Atividade 10 
Um sistema físico, geralmente, é composto de várias etapas. Podem existir, em 
um único sistema, uma etapa elétrica e uma etapa mecânica, por exemplo. 
Considere um sistema com diversos subsistemas, que foi modelado de acordo 
com uma função de transferência no domínio da frequência. A função de 
transferência desse sistema, na qual é relacionada a saída pela entrada, é 
dada pela seguinte equação: . 
 
Assinale a alternativa que apresenta corretamente a equação no tempo obtida 
pela transformada inversa de Laplace. 
 
JUSTIFICATIVA: A alternativa está correta, pois ao fazermos separadamente 
cada transformada inversa de Laplace, chegamos à soma das funções, que é 
dada por: g(t) = . Esse resultado pode ser obtido por meio da 
integral da definição da transformada de Laplace ou por intermédio da tabela 
da transformada de Laplace.