Aula 04 - Analise de Posições

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Análise de Posições
Engenharia Mecânica
Projeto de Mecanismo
Prof. MSc. José Fábio Abreu de Andrade
jose.andrade@unifacs.br
2Projeto de Mecanismo
Cinemática e Dinâmica dos
Mecanismos, 2011.
Robert L. Norton
Bibl iograf ia
3Projeto de Mecanismo
Introdução: 
Anál ise de Pos ições
➢ O principal objetivo de uma análise cinemática é determinar as
acelerações de todas as partes móveis do conjunto;
➢ Para calcular as acelerações devemos, primeiro, encontrar a
posição de todos os elos ou elementos no mecanismo para cada
movimento de entrada;
➢ Depois, derivar as equações de posição em relação ao tempo a fim
de encontrarmos as velocidades;
➢ E, em seguida, derivar novamente e obter as equações para a
aceleração;
➢ Para determinar a posição iremos usar análise gráfica de posição.
4Projeto de Mecanismo
Sistemas de Coordenadas: 
Anál ise de Pos ições
➢ Os sistemas de coordenadas e de referência existem por conveniência do
engenheiro que os define;
➢ Iremos definir um deles como um sistema de coordenadas global ou
absoluto, e os outros serão os sistemas de coordenadas local ligados ao
sistema global;
➢ O termo sistema de referência inercial é usado para denotar um sistema que
não tem aceleração;
➢ Todos os ângulos serão medidos de acordo com a regra da mão direita. Ou
seja, ângulos anti-horários são positivos para velocidade e aceleração
angular;
➢ Sistemas de coordenadas locais são normalmente anexados a um elo ou a
algum ponto de interesse, que deve ser uma junta pinada, o centro de
gravidade ou as linhas de centro de um elo.
5Projeto de Mecanismo
Posição e Deslocamento: 
Anál ise de Pos ições
➢ A posição de um ponto no plano pode ser definida por meio de um
vetor de posição;
➢ A escolha dos eixos de referência é arbitrária, selecionada para
satisfazer o observador;
➢ Um vetor de duas dimensões tem dois atributos, que podem
ser expressos tanto na forma polar quanto em coordenadas
cartesianas;
➢ A forma polar fornece o módulo e o ângulo do vetor;
➢ A forma cartesiana fornece os componentes X e Y do vetor.
6Projeto de Mecanismo
Posição e Deslocamento: 
➢ Análise de Posições:
Um vetor de posição no plano, expresso em ambos os sistemas global e local.
𝑻𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝑷𝒊𝒕á𝒈𝒐𝒓𝒂𝒔 → 𝑹𝑨 = 𝑹𝑿
𝟐 +𝑹𝒀
𝟐 ; 𝒆 𝒏𝒂 𝑻𝒓𝒊𝒈𝒐𝒏𝒐𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒂 → 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏
𝑹𝒀
𝑹𝑿
Anál ise de Pos ições
7Projeto de Mecanismo
Transformações de Coordenadas : 
➢ Muitas vezes, é necessário transformar as coordenadas de um
ponto definido em um sistema para coordenadas em outro ponto;
➢ Se os sistemas tiverem origem coincidentes, como mostrado na
figura anterior (b), e a transformação desejada for uma rotação,
isso pode ser expresso pela coordenada original e o ângulo com
sinal entre os sistemas coordenados;
➢ Se a posição do ponto A figura anterior (b) for expressa no sistema
local como Rx, Ry, e deseja-se transformar as coordenadas para RX,
RY no sistema global XY, as equações serão:
𝑹𝑿 = 𝑹𝒙. 𝒄𝒐𝒔 𝜹 − 𝑹𝒚. 𝒔𝒆𝒏 𝜹
Anál ise de Pos ições
𝑹𝒀 = 𝑹𝒙. 𝒔𝒆𝒏 𝜹 − 𝑹𝒚. 𝒄𝒐𝒔 𝜹
8Projeto de Mecanismo
Deslocamentos: 
➢ Deslocamento de um ponto é a mudança da sua posição e pode
ser definido como a distância em linha reta entre a posição inicial e
a final do ponto que se moveu no sistema de referência;
➢ O deslocamento não é necessariamente o mesmo comprimento do
caminho que o ponto pode ter percorrido para sair da posição inicial
até a posição final;
Anál ise de Pos ições
9Projeto de Mecanismo
Deslocamentos: 
Diferença de posição e posição relativa.
Anál ise de Pos ições
➢A figura (a) mostra o ponto nas duas
posições, A e B;
➢A linha curva descreve a trajetória
que o ponto percorreu;
➢O vetor de posição RBA define o
deslocamento do ponto B relativo ao
ponto A;
➢A figura (b) define a situação mais
rigorosamente e a relaciona com os
eixos de referência XY;
➢A notação R será́ usada para denotar
o vetor de posição.
10Projeto de Mecanismo
Deslocamentos:
➢ Os vetores RA e RB definem, respectivamente, a posição absoluta
dos pontos A e B no sistema global de referência XY. O vetor RBA
descreve a diferença na posição, ou no deslocamento, entre A e B.
Ele pode ser expresso como equação de diferença de posição:
➢ Essa expressão é lida: a posição de B em consideração a A é igual a
posição (absoluta) de B menos a posição (absoluta) de A, em que
absoluta significa a relação com a origem do sistema de referência
global. Com o segundo O subscrito denotando a origem do sistema
de referência XY, essa expressão poderia também ser escrita como:
𝑹𝑩𝑨 = 𝑹𝑩 − 𝑹𝑨
Anál ise de Pos ições
𝑹𝑩𝑨 = 𝑹𝑩𝑶 − 𝑹𝑨𝑶
11Projeto de Mecanismo
Deslocamentos:
➢ Quando o vetor de posição estiver ligado à origem do sistema de
referência, costuma-se omitir o segundo subscrito. Fica
subentendido, em caso de sua ausência, como sendo a origem.
➢ Também, um vetor referido a origem, como RA, é frequentemente
chamado de vetor absoluto. Isso significa que será considerado
como um sistema de referência assumido como estacionário, por
exemplo, a Terra. De qualquer modo, é importante perceber que a
Terra está geralmente em movimento em relação a algum outro
sistema de referência maior. A figura (c) mostra a solução gráfica
para a equação:
Anál ise de Pos ições
𝑹𝑩𝑨 = 𝑹𝑩 + −𝑹𝑨 = 𝑹𝑩 − 𝑹𝑨
12Projeto de Mecanismo
➢ No exemplo anterior, tacitamente assumimos, até este ponto, como o A em
sua primeira posição e depois se deslocando até B, é, de fato, a mesma partícula
movimentando-se no sistema de referência. Isso poderia ser, por exemplo, um
automóvel percorrendo uma estrada de A até B. Com essa hipótese, é
convencional se referir ao vetor RBA como diferença de posição;
• Caso 1: Um corpo em duas posições sucessivas → diferença de posição
➢ Assuma agora que os pontos A e B na figura (b) não representam a mesma
partícula, mas duas partículas independentes que se movem no mesmo sistema
de referência, como talvez dois automóveis viajando pela mesma estrada. A
equação vetorial anterior e o diagrama da figura (b) ainda serão válidos, mas
nós agora nos referimos ao vetor RBA como posição relativa, ou posição
aparente;
• Caso 2: Dois corpos simultaneamente em posições separadas → posição relativa
Deslocamentos:
Anál ise de Pos ições
13Projeto de Mecanismo
Translação, Rotação e Movimento Complexo :
Anál ise de Pos ições
14Projeto de Mecanismo
Translação, Rotação e Movimento Complexo :
➢ Considerar agora o movimento de um corpo rígido, ou elo, que envolve
tanto a posição do ponto no mecanismo quanto a orientação de linha
no mecanismo, às vezes chamado de Posição do mecanismo. Na figura
(a) vemos o elo AB descrito pela posição do vetor de posição RBA. Um
sistema de eixos foi fixado à raiz do vetor, no ponto A, por conveniência;
➢ Translação: A figura (b) mostra o elo AB movido para uma nova posição
A’B’ por meio da translação e dos deslocamentos A’A e B’B que são
iguais, ou seja, RB’A = RB’B ;
• Uma definição de translação é: Todos os pontos do corpo têm o mesmo
deslocamento;
• Não existe a rotação do elo se os percursos forem paralelos. Se o percurso
for retilíneo, então teremos o caso especial da translação retilínea, e o
percurso terá o mesmo valor do deslocamento.
Anál ise de Pos ições
15Projeto de Mecanismo
Translação, Rotação e Movimento Complexo :
Anál ise de Pos ições
16Projeto de Mecanismo
Translação, Rotação e Movimento Complexo :
➢ Rotação: A figura (c) mostra o mesmo elo AB movido da origem de
sua posição original por um ângulo de rotação. O ponto A permanece
na origem, mas B move-se pelo vetor posição RB’B = RB’A – RBA ;
• Uma definição de rotação é: Diferentes pontos do corpo suportam
diferentes deslocamentos, portanto, há uma diferença de deslocamento
entre quaisquer dois pontos escolhidos;
• O elo agora mudou a orientação angular no sistema de referência, e todos
os pontos tiveram deslocamentos diferentes.
Anál ise de Pos ições
17Projeto de Mecanismo
Translação, Rotação e MovimentoComplexo :
➢ Movimento Complexo: O caso geral de movimento complexo é a
soma dos componentes da translação com os da rotação. A figura
(d) mostra o mesmo elo com movimentos tanto de translação
quanto de rotação;
• Note que a ordem em que os dois componentes são adicionados não
importa. O deslocamento complexo resultante será o mesmo se você̂
primeiro rotacionar e depois transladar ou vice-versa. Isso porque os dois
fatores são independentes. O deslocamento complexo total do ponto B é
definido pela seguinte expressão:
Deslocamento total = componente da translação + componente da rotação
• A nova posição absoluta do ponto B referida à origem em A é:
Anál ise de Pos ições
𝑹𝑩′′𝑩 = 𝑹𝑩′𝑩 + 𝑹𝑩′′𝑩′
𝑹𝑩′′𝑨 = 𝑹𝑨′𝑨 + 𝑹𝑩′′𝑨′
18Projeto de Mecanismo
Teoremas:
➢ Teorema de Euler: O deslocamento geral de um corpo rígido com
um ponto fixo é a rotação relacionada a algum eixo;
➢ Teorema de Chasles: Qualquer deslocamento de um corpo rígido é
equivalente à soma da translação de qualquer ponto naquele corpo
com rotação sobre um eixo por meio desse ponto.
Anál ise de Pos ições
19Projeto de Mecanismo
Análise Gráfica da Posição de Mecanismos :
Anál ise de Pos ições
Medidas dos ângulos no mecanismo de quatro barras.
20Projeto de Mecanismo
➢ Para qualquer mecanismo com um GDL (grau de liberdade), como um de
quatro barras, somente um parâmetro é necessário para definir a posição de
todos os elos. O parâmetro usualmente escolhido é o ângulo do elo de
entrada. Esse é mostrado como θ2 na figura anterior. Queremos encontrar θ3
e θ4. Os comprimentos dos elos são conhecidos. Iremos numerar o elo terra
como 1 e a manivela como 2 nesses exemplos;
➢ A análise gráfica desse problema é trivial e pode ser feita usando apenas a
trigonometria;
➢ Todos os ângulos dos elos são medidos do eixo X no sentido anti-horário. Na
figura, um sistema local de eixos xy, paralelo ao sistema global XY, deve ser
criado no ponto A para medir o θ3. Uma solução aproximada bem rápida pode
ser encontrada para qualquer posição.
Anál ise de Pos ições
Análise Gráfica da Posição de Mecanismos :
21Projeto de Mecanismo
Análise Gráfica da Posição de Mecanismos :
Anál ise de Pos ições
Solução gráfica da posição das configurações aberta e cruzada do mecanismo de quatro barras.
22Projeto de Mecanismo
Análise Gráfica da Posição de Mecanismos :
Anál ise de Pos ições
Exemplo da Análise Gráfica da Posição do Mecanismo de Quatro Barras - SolidWorks
a = 20
θ2 = 60°
b = 35
c = 30
d = 50
23Projeto de Mecanismo
Análise Gráfica da Posição de Mecanismos :
Anál ise de Pos ições
Exemplo da Análise Gráfica da Posição do Mecanismo de Quatro Barras - Sketchup
a = 20
θ2 = 60°
b = 35
c = 30
d = 50
24Projeto de Mecanismo
➢ A figura mostra a construção de uma solução gráfica da posição. Os quatro
elos com comprimentos a, b, c, d e o ângulo θ2 do elo de entrada são dados;
➢ Primeiro, o elo terra (1) e o elo de entrada (2) são desenhados em uma escala
conveniente, de forma que se cruzem na origem O2 do sistema de coordenada
global XY com o elo 2 estabelecido com o ângulo de entrada θ2. O elo 1 é
desenhado ao longo do eixo X por conveniência;
➢ Um compasso é ajustado em escala para o comprimento do elo 3, e se traça
um arco com esse raio do final do elo 2 (ponto A). Então, se ajusta o compasso
com a medida em escala do elo 4, e um segundo arco deve ser traçado do
final do elo 1 (ponto O4). Esse dois arcos terão dois pontos de interseção em B
e B’ que definem as duas soluções para a posição do mecanismo de quatro
barras que poderá ser montado nessas duas configurações, denominadas de
circuito aberto e cruzado na figura.
Anál ise de Pos ições
Análise Gráfica da Posição de Mecanismos :
25Projeto de Mecanismo
➢ Uma solução gráfica só será válida para um valor particular de
ângulo de entrada da manivela. Para cada análise de posição
adicional, devemos redesenhar todo o mecanismo;
➢ Isso pode se tornar incômodo se precisarmos de análises
completas a cada 1 ou 2 graus de incremento em θ2. Nesse caso,
ficará melhor derivar a solução analítica para θ3 e θ4, que podem
ser resolvidas por computador.
Anál ise de Pos ições
Análise Gráfica da Posição de Mecanismos :
26Projeto de Mecanismo
➢ O mesmo procedimento usado na figura anterior para resolver
geometricamente pelas interseções B e B’ e ângulos dos elos 3 e 4 pode ser
codificado para um algoritmo algébrico. As coordenadas do ponto A são
obtidas de:
𝑨𝒙 = 𝒂. 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟐) → 𝑨𝒚 = 𝒂. 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟐)
➢ As coordenadas do ponto B são obtidas usando as equações dos círculos
sobre A e O4:
𝒃𝟐 = (𝑩𝒙 − 𝑨𝒙)
𝟐+(𝑩𝒚 − 𝑨𝒚)
𝟐
𝒄𝟐 = (𝑩𝒙 − 𝒅)
𝟐+𝑩𝒚
𝟐
➢ Que fornecem um par de equações simultâneas em Bx e By.
Anál ise de Pos ições
Análise Algébrica da Posição de Mecanismos :
27Projeto de Mecanismo
➢ Resolvendo o sistema das equações dos círculos anteriores, subtraindo a segunda
da primeira e isolando Bx :
𝑩𝒙 =
𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝒅𝟐
𝟐. (𝑨𝒙 − 𝒅)
−
𝟐. 𝑨𝒚. 𝑩𝒚
𝟐. (𝑨𝒙 − 𝒅)
➢ Considerando:
𝑺 =
𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝒅𝟐
𝟐. (𝑨𝒙 − 𝒅)
→ 𝑩𝒙 = 𝑺 −
𝑨𝒚. 𝑩𝒚
(𝑨𝒙 − 𝒅)
➢ Substituindo Bx na segunda equação dos círculos, fica uma equação quadrática de
By, que tem duas soluções correspondentes:
𝑩𝒚
𝟐 + 𝑺 −
𝑨𝒚. 𝑩𝒚
𝑨𝒙 − 𝒅
− 𝒅
𝟐
− 𝒄𝟐 = 𝟎
Anál ise de Pos ições
Análise Algébrica da Posição de Mecanismos :
28Projeto de Mecanismo
➢ Sendo uma equação do segundo grau teremos para as raízes da equação
quadrática:
𝑩𝒚 =
−𝑸± 𝑸𝟐 − 𝟒.𝑷. 𝑹
𝟐. 𝑷
➢ em que:
𝑺 =
𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝒅𝟐
𝟐. (𝑨𝒙 − 𝒅)
→ 𝑸 =
𝟐. 𝑨𝒚. (𝒅 − 𝑺)
(𝑨𝒙 − 𝒅)
𝑷 =
𝑨𝒚
𝟐
𝑨𝒙 − 𝒅
𝟐
+ 𝟏 → 𝑹 = 𝒅 − 𝑺 𝟐 − 𝒄𝟐
Anál ise de Pos ições
Análise Algébrica da Posição de Mecanismos :
29Projeto de Mecanismo
➢ Note que as soluções para essa equação podem ser reais ou imaginárias. No
último caso, indicará que os elos não se conectam com o dado ângulo de
entrada ou com nenhum outro ângulo. Quando os dois valores de By forem
encontrados (se reais), eles podem ser substituídos na equação de Bx para
obter os seus valores. Os ângulos dos elos para essa posição podem então ser
obtidos de:
𝜽𝟑 = tan
−𝟏
𝑩𝒚 − 𝑨𝒚
𝑩𝒙 − 𝑨𝒙
𝜽𝟒 = tan
−𝟏
𝑩𝒚
𝑩𝒙 − 𝒅
Anál ise de Pos ições
Análise Algébrica da Posição de Mecanismos :
30Projeto de Mecanismo
➢ Uma função arco tangente com dois argumentos deve ser usada
para resolver as equações de θ3 e θ4, uma vez que os ângulos
podem estar em qualquer quadrante;
➢ Todas a equações analíticas podem ser transcritas para qualquer
linguagem de computador ou software que solucione equações, e
variando o valor de θ2, dentro do alcance do mecanismo,
encontram-se todos os valores correspondentes aos ângulos dos
outros dois elos.
Anál ise de Pos ições
Análise Algébrica da Posição de Mecanismos :
31Projeto de Mecanismo
Anál ise de Pos ições
Representação do Laço de Vetores nos Mecanismos:
Laço de vetores de posição para um mecanismo de quatro barras.
32Projeto de Mecanismo
➢ A alternativa de aproximar a analise de posição dos mecanismos,
criando um laço ou uma malha fechada (ou laços) de vetores ao
redor deles, foi primeiramente proposta por Raven;
➢ Os elos são representados por vetores de posição. A figura mostra
o mesmo mecanismo de quatro barras da figura do slide 19, mas os
elos agora foram redesenhados como vetores de posição formando
um laço de vetores;
Anál ise de Pos ições
Representação do Laço de Vetores nos Mecanismos:
33Projeto de Mecanismo
➢ Existem muitas formas de representar vetores. Eles podem ser definidos
por coordenadas polares, tendo seu módulo e ângulo, ou por
coordenadas cartesianas, com componentes x e y;
➢Essas formas são certamente conversíveis entre si usando as equações
do slide 06. Os vetores de posição da figura do slide 31 podem ser
representados por quaisquer dessas expressões:
𝑭𝒐𝒓𝒎𝒂 𝑷𝒐𝒍𝒂𝒓:
𝑹@∠𝜽 → 𝑵𝒐𝒕𝒂çã𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒆𝒓𝒔𝒐𝒓
𝒓. 𝒆𝒋.𝜽 → 𝑵𝒐𝒕𝒂çã𝒐 𝒅𝒆 𝒏ú𝒎. 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒙𝒐𝒔
𝑭𝒐𝒓𝒎𝒂𝑪𝒂𝒓𝒕𝒆𝒔𝒊𝒂𝒏𝒂:
𝒓. cos(𝜽) . Ƹ𝒊 + 𝒓. sen(𝜽) . Ƹ𝒋 → 𝑵𝒐𝒕𝒂çã𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒆𝒓𝒔𝒐𝒓
𝒓. cos 𝜽 + 𝒋. 𝒓. sen 𝜽 → 𝑵𝒐𝒕𝒂çã𝒐 𝒅𝒆 𝒏ú𝒎. 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒙𝒐𝒔
Anál ise de Pos ições
Vetores como Números Complexos:
34Projeto de Mecanismo
➢ Notação de versor para vetor de posição;
➢ A notação de números complexos, na qual a componente da direção X
é chamada de parte real e a componente da direção Y é chamada de
parte imaginária;
➢ O operador do número imaginário é a letra j que representa a raiz
quadrada de -1.
Anál ise de Pos ições
Vetores como Números Complexos:
35Projeto de Mecanismo
Anál ise de Pos ições
Representação dos vetores no plano em números complexos.
Vetores como Números Complexos:
36Projeto de Mecanismo
➢ Note na figura (b) que cada multiplicação do vetor RA pelo operador j
resulta em uma rotação anti-horária de 90 graus do vetor;
➢ O vetor RB = j.RA está direcionado para o imaginário positivo ou eixo j;
➢ O vetor RC = j
2.RA está direcionado para o eixo real negativo porque j
2 =
–1 e dessa forma RC = – RA;
➢ De modo similar, RD = j
3.RA = –j.RA e esse componente está direcionado
para o eixo j negativo;
➢ Uma vantagem de usar a notação dos números complexos para
representar vetores planos é obter a Identidade de Euler:
Anál ise de Pos ições
Vetores como Números Complexos:
𝒆±𝒋.𝜽 = 𝒄𝒐𝒔 𝜽 ± 𝒋. 𝒔𝒆𝒏 𝜽 →
𝒅𝒆𝒋.𝜽
𝒅𝜽
= 𝒋. 𝒆𝒋.𝜽
37Projeto de Mecanismo
➢ Usaremos essa notação de número complexo nos vetores para desenvolver e
derivar as equações para posição, velocidade e aceleração dos mecanismos;
➢ As direções dos vetores de posição na figura do slide 31 foram escolhidas
dessa forma para definir os ângulos que queremos medir;
➢ Por definição, o ângulo de um vetor é sempre medido de sua origem, e não
do seu vértice (seta);
➢ Desejamos medir o ângulo θ4 fixo em seu pivô O4, pois assim o vetor R4 fica
arranjado de forma que sua origem seja naquele ponto;
➢ Desejamos medir o ângulo θ3 da junção do elo 2 com o elo 3, porque o vetor
R3 estará originado ali;
Anál ise de Pos ições
E q u a ç ã o V e t o r i a l e m M a l h a F e c h a d a n o s M e c a n i s m o s d e Q u a t r o B a r r a s :
38Projeto de Mecanismo
➢Uma lógica similar dita o arranjo dos vetores R1 e R2. Note que o eixo X (real)
é construído por conveniência sobre o elo 1 e a origem do sistema de
coordenada global é tomada no ponto O2, a origem do vetor do elo de
entrada, R2;
➢ Essas escolhas de vetores direção e sentidos, como indicados por seus
vértices em flechas, levam a essa equação do laço de vetores:
➢ Uma notação alternativa para esses vetores de posição é a de usar o nome
dos pontos nos quais estão a extremidade do vetor e a sua origem (nessa
ordem) como subscritos. O segundo subscrito é convencionalmente omitido
se for a origem do sistema de coordenada global (ponto O2):
Anál ise de Pos ições
E q u a ç ã o V e t o r i a l e m M a l h a F e c h a d a n o s M e c a n i s m o s d e Q u a t r o B a r r a s :
𝑹𝟐 + 𝑹𝟑 − 𝑹𝟒 − 𝑹𝟏 = 𝟎
𝑹𝑨 + 𝑹𝑩𝑨 − 𝑹𝑩𝑶𝟒 − 𝑹𝑶𝟒 = 𝟎
39Projeto de Mecanismo
➢ Em seguida, substituímos a notação de número complexo para cada vetor de
posição. Para simplificar a notação e minimizar o uso de subscritos,
chamaremos os comprimentos escalares dos quatro elos de a, b, c e d. Eles
estão assim nomeados na figura do slide 31. Então, a equação torna-se:
➢ Essas são as três formas para a mesma equação dos vetores, e cada uma
pode ser resolvida para duas variáveis.
Anál ise de Pos ições
E q u a ç ã o V e t o r i a l e m M a l h a F e c h a d a n o s M e c a n i s m o s d e Q u a t r o B a r r a s :
𝒂. 𝒆𝒋.𝜽𝟐 + 𝒃. 𝒆𝒋.𝜽𝟑 − 𝒄. 𝒆𝒋.𝜽𝟒 − 𝒅. 𝒆𝒋.𝜽𝟏 = 𝟎
40Projeto de Mecanismo
➢ Existem quatro variáveis na equação; elas são os ângulos de cada um dos
quatro elos. Nesse mecanismo, particularmente, o comprimento dos elos são
constantes;
➢ Além disso, o valor do ângulo do elo 1 é fixado (em zero), já que esse é o elo
terra;
➢A variável independente é θ2 que controlamos com um motor ou outro
dispositivo;
➢Assim, restam os ângulos θ3 e θ4 para serem encontrados. Precisamos de
expressões algébricas que definam θ3 e θ4 como funções somente do
comprimento constante dos elos e de um ângulo de entrada, θ2. Essas
expressões terão as seguintes formas:
Anál ise de Pos ições
E q u a ç ã o V e t o r i a l e m M a l h a F e c h a d a n o s M e c a n i s m o s d e Q u a t r o B a r r a s :
𝜽𝟑 = 𝒇 𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅, 𝜽𝟐
𝜽𝟒 = 𝒈 𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅, 𝜽𝟐
41Projeto de Mecanismo
➢ Para resolver a forma polar, equação do slide 39 dos vetores, devemos
substituir as equivalências de Euler (slide 36) para os termos e j.θ, e então
separar o resultado da equação do vetor na forma cartesiana em duas
equações escalares que podem ser resolvidas simultaneamente para θ3 e θ4.
Substituindo a equação do slide 36 na equação do slide 39:
➢ Esta equação pode agora ser separada em partes real e imaginária e cada
uma igualada a zero. Parte real (componente x) e considerando que θ1 = 0;
➢ Parte imaginária (componente y) e considerando que θ1 = 0;
➢ Simplificando os operadores j:
Anál ise de Pos ições
E q u a ç ã o V e t o r i a l e m M a l h a F e c h a d a n o s M e c a n i s m o s d e Q u a t r o B a r r a s :
𝒂. (𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟐) + 𝒋. 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟐)) + 𝒃. (𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟑) + 𝒋. 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟑)) − 𝒄. (𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟒) + 𝒋. 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟒)) − 𝒅. (𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟏) + 𝒋. 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟏)) = 𝟎
𝒂. 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟐) + 𝒃. 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟑) − 𝒄. 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟒) − 𝒅 = 𝟎
𝒋. 𝒂. 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟐) + 𝒋. 𝒃. 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟑) − 𝒋. 𝒄. 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟒) = 𝟎
𝒂. 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟐) + 𝒃. 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟑) − 𝒄. 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟒) = 𝟎
42Projeto de Mecanismo
➢ As duas equações escalares das partes real e imaginária podem agora ser
resolvidas simultaneamente para θ3 e θ4. A solução para esse sistema de duas
equações trigonométricas simultâneas é direta, mas tediosa;
➢ Algumas substituições de identidades trigonométricas simplificarão as
expressões;
➢ O primeiro passo é reescrever as equações para assim isolar uma das duas
variáveis desconhecidas no lado esquerdo. Isolaremos θ3 e resolveremos θ4
nesse exemplo:
➢ Agora, eleve os dois lados das equações ao quadrado e some-os:
Anál ise de Pos ições
E q u a ç ã o V e t o r i a l e m M a l h a F e c h a d a n o s M e c a n i s m o s d e Q u a t r o B a r r a s :
𝒃. 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟑) = −𝒂. 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟐) + 𝒄. 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟒) + 𝒅
𝒃. 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟑) = −𝒂. 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟐) + 𝒄. 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟒)
𝒃𝟐. 𝒔𝒆𝒏𝟐(𝜽𝟑) + 𝒄𝒐𝒔
𝟐(𝜽𝟑) = (−𝒂. 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟐) + 𝒄. 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟒))
𝟐+(−𝒂. 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟐) + 𝒄. 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟒) + 𝒅)
𝟐
43Projeto de Mecanismo
➢ Note que o valor entre parênteses no lado esquerdo é igual a 1, eliminando
θ3 da equação, deixando somente θ4 que pode agora ser resolvido por:
➢ O lado direito dessa expressão deve agora expandir os termos coletados:
➢ Para futuramente simplificar essa expressão, as constantes K1, K2 e K3 foram
definidas em termos do comprimento constante dos elos na equação anterior:
Anál ise de Pos ições
E q u a ç ã o V e t o r i a l e m M a l h a F e c h a d a n o s M e c a n i s m o s d e Q u a t r o B a r r a s :
𝒃𝟐 = (−𝒂. 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟐) + 𝒄. 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟒))
𝟐+(−𝒂. 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟐) + 𝒄. 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟒) + 𝒅)
𝟐
𝒃𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒄𝟐 + 𝒅𝟐 − 𝟐.𝒂. 𝒅. 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟐) + 𝟐. 𝒄. 𝒅. 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟒) − 𝟐. 𝒂. 𝒄. (𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟐). 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟒) + 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟐). 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟒))
𝑲𝟏 =
𝒅
𝒂
→ 𝑲𝟐 =
𝒅
𝒄
→ 𝑲𝟑 =
𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 + 𝒅𝟐
𝟐. 𝒂. 𝒄
→
𝑲𝟏. 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟒) − 𝑲𝟐. 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟐) + 𝑲𝟑 = 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟐). 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟒) + 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟐). 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟒) →
𝑲𝟏. 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟒) − 𝑲𝟐. 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟐) + 𝑲𝟑 = 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟐−𝜽𝟒) →
44Projeto de Mecanismo
➢ Para reduzir a equação abaixo a uma solução de forma mais amigável, será
útil substituir a meia identidade dos ângulos que serão convertidos em
termos de senθ4 e cosθ4 para termos de tanθ4:
Anál ise de Pos ições
E q u a ç ã o V e t o r i a l e m M a l h a F e c h a d a n o s M e c a n i s m o sd e Q u a t r o B a r r a s :
𝒔𝒆𝒏(θ𝟒) =
𝟐. 𝒕𝒂𝒏
θ𝟒
𝟐
𝟏 + 𝒕𝒂𝒏𝟐
θ𝟒
𝟐
→ 𝒄𝒐𝒔(θ𝟒) =
𝟏 − 𝒕𝒂𝒏𝟐
θ𝟒
𝟐
𝟏 + 𝒕𝒂𝒏𝟐
θ𝟒
𝟐
𝑲𝟏. 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟒) − 𝑲𝟐. 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟐) + 𝑲𝟑 = 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟐). 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟒) + 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟐). 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟒) →
45Projeto de Mecanismo
➢ Isso resulta, na próxima forma simplificada, em que os comprimentos dos
elos e a entrada conhecida (θ2) foram agrupadas como as constantes A, B e C.
em que:
➢ Note que a equação anterior é quadrática, e a solução é:
Anál ise de Pos ições
E q u a ç ã o V e t o r i a l e m M a l h a F e c h a d a n o s M e c a n i s m o s d e Q u a t r o B a r r a s :
𝑨. 𝒕𝒂𝒏𝟐
θ𝟒
𝟐
+ 𝑩. 𝒕𝒂𝒏
θ𝟒
𝟐
+ 𝑪 = 𝟎 →
𝑨 = 𝒄𝒐𝒔 θ𝟐 −𝑲𝟏 −𝑲𝟐. 𝒄𝒐𝒔 θ𝟐 +𝑲𝟑
𝑩 = −𝟐. 𝒔𝒆𝒏(θ𝟐)
𝑪 = 𝑲𝟏 − 𝑲𝟐 + 𝟏 . 𝒄𝒐𝒔 θ𝟐 +𝑲𝟑
𝒕𝒂𝒏
θ𝟒
𝟐
=
−𝑩 ± 𝑩𝟐 − 𝟒.𝑨. 𝑪
𝟐. 𝑨
→ θ𝟒𝟏,𝟐 = 𝟐. 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏
−𝑩 ± 𝑩𝟐 − 𝟒.𝑨. 𝑪
𝟐. 𝑨
46Projeto de Mecanismo
➢ A equação anterior tem duas soluções, obtidas por meio das soluções
positiva e negativa da raiz quadrada. Essas duas soluções, assim como as
soluções de qualquer equação quadrática, podem ser de três tipos: reais e
iguais, reais e diferentes, complexas e conjugadas;
➢ Se o discriminante da equação (for negativo, então as soluções serão
números complexos conjugados, o que significa simplesmente que o
comprimento escolhido para os elos não possibilita uma conexão de forma a
respeitar o valor escolhido para o ângulo de entrada θ2;
➢ Isso pode acontecer quando os comprimentos dos elos são completamente
incapazes de se conectarem em qualquer posição ou, em um mecanismo não
Grashof, quando o ângulo de entrada está localizado abaixo da posição limite
das singularidades;
➢Não existe, portanto, nenhuma solução real para este valor de ângulo de
entrada θ2;
Anál ise de Pos ições
E q u a ç ã o V e t o r i a l e m M a l h a F e c h a d a n o s M e c a n i s m o s d e Q u a t r o B a r r a s :
47Projeto de Mecanismo
➢ Com exceção dessa situação, as soluções geralmente serão reais e diferentes,
o que significa que existem dois valores de θ4 correspondentes a cada valor de
θ2;
➢ Eles se referem às configurações cruzada e aberta do mecanismo e também
aos seus dois circuitos. No mecanismo de quatro barras, a solução negativa
fornece θ4 para a configuração aberta, enquanto a solução positiva fornece
θ4 para a configuração cruzada;
➢ A figura do slide 21 mostra ambas as soluções, cruzada e aberta, para um
mecanismo Grashof manivela seguidor. Os termos cruzado e aberto são
baseados na suposição de que o elo 2, para o qual θ2 é definido, está
localizado no primeiro quadrante (isto é, 0 < θ2 < π/2).
Anál ise de Pos ições
E q u a ç ã o V e t o r i a l e m M a l h a F e c h a d a n o s M e c a n i s m o s d e Q u a t r o B a r r a s :
48Projeto de Mecanismo
➢ Um mecanismo Grashof é então definido como cruzado se os dois elos
adjacentes ao menor elo cruzam um ao outro, e é definido como aberto se
eles não se cruzam nesta posição;
➢Note que a configuração do mecanismo, cruzado ou aberto, é unicamente
dependente do modo que os elos estão conectados. Não se pode predizer,
baseando-se apenas no comprimento dos elos, qual das soluções será a
desejada. Em outras palavras, pode-se obter outra solução, com um mesmo
mecanismo, simplesmente tirando a junta que conecta os elos 3 e 4 na figura
do slide 21, e movendo estes elos para as outras únicas posições nas quais a
junta irá conectá-los novamente. Dessa forma, você̂ terá mudado de uma
possível posição, ou circuito, para outra.
Anál ise de Pos ições
E q u a ç ã o V e t o r i a l e m M a l h a F e c h a d a n o s M e c a n i s m o s d e Q u a t r o B a r r a s :
49Projeto de Mecanismo
➢ A solução para o ângulo θ3 é essencialmente similar à solução para θ4.
Retornando às equações do slide 42, podemos rearranjá-las de forma a isolar
θ4 no lado direito;
➢ Elevando ao quadrado e somando essas equações, θ4 será eliminado. A
equação resultante pode ser resolvida para θ3, como foi feito anteriormente
para θ4, resultando nesta expressão:
Anál ise de Pos ições
E q u a ç ã o V e t o r i a l e m M a l h a F e c h a d a n o s M e c a n i s m o s d e Q u a t r o B a r r a s :
𝒄. 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟒) = 𝒂. 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟐) + 𝒃. 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟑) − 𝒅
𝒄. 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟒) = 𝒂. 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟐) + 𝒃. 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟑)
𝑲𝟏. 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟑) + 𝑲𝟒. 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝟐 +𝑲𝟓 = 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝟐 . 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟑) + 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐 . 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟑)
𝑲𝟏 =
𝒅
𝒂
→ 𝑲𝟒 =
𝒅
𝒃
→ 𝑲𝟓 =
𝒄𝟐 − 𝒅𝟐 − 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐
𝟐. 𝒂. 𝒃
→
50Projeto de Mecanismo
➢ Isso também reduz à forma quadrática:
em que:
➢ E a solução é:
Anál ise de Pos ições
E q u a ç ã o V e t o r i a l e m M a l h a F e c h a d a n o s M e c a n i s m o s d e Q u a t r o B a r r a s :
𝑫. 𝒕𝒂𝒏𝟐
θ𝟑
𝟐
+ 𝑬. 𝒕𝒂𝒏
θ𝟑
𝟐
+ 𝑭 = 𝟎 →
𝑫 = 𝒄𝒐𝒔 θ𝟐 −𝑲𝟏 +𝑲𝟒. 𝒄𝒐𝒔 θ𝟐 +𝑲𝟓
𝑬 = −𝟐. 𝒔𝒆𝒏(θ𝟐)
𝑭 = 𝑲𝟏 + 𝑲𝟒 − 𝟏 . 𝒄𝒐𝒔 θ𝟐 +𝑲𝟓
𝒕𝒂𝒏
θ𝟑
𝟐
=
−𝑬 ± 𝑬𝟐 − 𝟒.𝑫. 𝑭
𝟐.𝑫
→ θ𝟑𝟏,𝟐 = 𝟐. 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏
−𝑬 ± 𝑬𝟐 − 𝟒.𝑫. 𝑭
𝟐.𝑫
51Projeto de Mecanismo
Anál ise de Pos ições
Solução para Anál ise de Pos ições no Mecanismo Bie la Manivela :
Posição do vetor laço para um mecanismo biela-manivela de quatro barras.
θ𝟏 = 𝟎°
θ𝟒 = 𝟗𝟎°
52Projeto de Mecanismo
➢ Seguindo a mesma análise do mecanismo de quatro barras:
➢ A função arco seno possui duas soluções:
Anál ise de Pos ições
Solução para Anál ise de Pos ições no Mecanismo Bie la Manivela :
𝑹𝟐 − 𝑹𝟑 − 𝑹𝟒 − 𝑹𝟏 = 𝟎 → 𝒂. 𝒆
𝒋.𝜽𝟐 − 𝒃. 𝒆𝒋.𝜽𝟑 − 𝒄. 𝒆𝒋.𝜽𝟒 − 𝒅. 𝒆𝒋.𝜽𝟏 = 𝟎
𝒂. 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝟐 + 𝒋. 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐 − 𝒃. (𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟑) + 𝒋. 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟑)) − 𝒄. (𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟒) + 𝒋. 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟒)) − 𝒅. (𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟏) + 𝒋. 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟏)) = 𝟎
𝒂. 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟐) − 𝒃. 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟑) − 𝒄. 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟒) − 𝒅 = 𝟎 → 𝒂. 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐 − 𝒃. 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟑) − 𝒄. 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟒) = 𝟎
θ𝟑𝟏 = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏
𝒂. 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐 − 𝒄
𝒃
→ 𝒅 = 𝒂. 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝟐 − 𝒃. 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟑)
θ𝟑𝟐 = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 −
𝒂. 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐 − 𝒄
𝒃
+ 𝝅 → 𝒅 = 𝒂. 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝟐 − 𝒃. 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟑)
53Projeto de Mecanismo
Anál ise de Pos ições
S o l u ç ã o p a r a A n á l i s e d e P o s i ç õ e s n o M e c a n i s m o B i e l a M a n i v e l a I n v e r t i d o :
Inversão 3 do mecanismo biela-manivela de quatro barras.
𝑹𝑩 = 𝑹𝟐 − 𝑹𝟑
θ𝟏 = 𝟎°
θ𝟑 = θ𝟒 ± 𝜸
54Projeto de Mecanismo
➢ Seguindo a mesma análise do mecanismo de quatro barras:
➢ Após algumas multiplicações algébricas:
Anál ise de Pos ições
𝑹𝟐 − 𝑹𝟑 − 𝑹𝟒 − 𝑹𝟏 = 𝟎 → 𝒂. 𝒆
𝒋.𝜽𝟐 − 𝒃. 𝒆𝒋.𝜽𝟑 − 𝒄. 𝒆𝒋.𝜽𝟒 − 𝒅. 𝒆𝒋.𝜽𝟏 = 𝟎
𝒂. 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝟐 + 𝒋. 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐 − 𝒃. (𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟑) + 𝒋. 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟑)) − 𝒄. (𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟒) + 𝒋. 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟒)) − 𝒅. (𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟏) + 𝒋. 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟏)) = 𝟎
𝒂. 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟐) − 𝒃. 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟑) − 𝒄. 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟒) − 𝒅 = 𝟎 → 𝒂. 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐 − 𝒃. 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟑) − 𝒄. 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟒) = 𝟎
𝒃 =
𝒂. 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐 − 𝒄. 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟒)
𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟑)
→ 𝒂. 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟐) −
𝒂. 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐 − 𝒄. 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟒)
𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟑)
. 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟑) − 𝒄. 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟒) − 𝒅 = 𝟎
𝑷. 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟒 + 𝑸. 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝟒 + 𝑹 = 𝟎
S o l u ç ã o p a r a A n á l i s e d e P o s i ç õ e s n o M e c a n i s m o B i e l a M a n i v e l a I n v e r t i d o :
𝑷 = 𝒂. 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐 . 𝒔𝒆𝒏 𝜸 + 𝒂. 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝟐 − 𝒅 . 𝒄𝒐𝒔 𝜸
𝑸 = −𝒂. 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐 . 𝒄𝒐𝒔 𝜸 + 𝒂. 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝟐 − 𝒅 . 𝒔𝒆𝒏 𝜸
𝑹 = −𝒄. 𝒔𝒆𝒏 𝜸
55Projeto de Mecanismo
➢ Note que os fatores P, Q, R são constantes para qualquer valor de entrada θ2:
➢ Isso reduz a:
Anál ise de Pos ições
S o l u ç ã o p a r a A n á l i s e d e P o s i ç õ e s n o M e c a n i s m o B i e l a M a n i v e l a I n v e r t i d o :
𝑷.
𝟐. 𝒕𝒂𝒏
𝜽𝟒
𝟐
𝟏 + 𝒕𝒂𝒏𝟐
𝜽𝟒
𝟐
+ 𝑸.
𝟏 − 𝒕𝒂𝒏𝟐
𝜽𝟒
𝟐
𝟏 + 𝒕𝒂𝒏𝟐
𝜽𝟒
𝟐
+ 𝑹 = 𝟎
𝑹 − 𝑸 . 𝒕𝒂𝒏𝟐
𝜽𝟒
𝟐
+ 𝟐.𝑷. 𝒕𝒂𝒏
𝜽𝟒
𝟐
+ (𝑸 + 𝑹) = 𝟎
𝑺 = 𝑹 − 𝑸
𝑻 = 𝟐.𝑷 →
𝑼 = 𝑸 + 𝑹
𝑺. 𝒕𝒂𝒏𝟐
𝜽𝟒
𝟐
+ 𝑻. 𝒕𝒂𝒏
𝜽𝟒
𝟐
+𝑼 = 𝟎 → θ𝟒𝟏,𝟐 = 𝟐. 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏
−𝑻 ± 𝑻𝟐 −𝟒. 𝑺. 𝑼
𝟐. 𝑺
56Projeto de Mecanismo
Anál ise de Pos ições
S o l u ç ã o p a r a A n á l i s e d e P o s i ç õ e s n o M e c a n i s m o d e c i n c o b a r r a s e n g r e n a d o :
O mecanismo engrenado de cinco barras e sua representação vetorial em malha
fechada.
𝑹𝟐 + 𝑹𝟑 − 𝑹𝟒 − 𝑹𝟓 − 𝑹𝟏 = 𝟎
θ𝟏 = 𝟎°
θ𝟓 = λ. θ𝟐+ϕ
Solução ver Livro de Referência.
57Projeto de MecanismoMecanismo de seis barras de Watt e seu vetor laço.
Anál ise de Pos ições
S o l u ç ã o p a r a A n á l i s e d e P o s i ç õ e s n o M e c a n i s m o d e s e i s b a r r a s :
O mecanismo de seis barras de
Watt consiste essencialmente em
dois mecanismos de quatro barras
em série, como mostra a figura (a),
e pode ser analisado como tal.
Dois vetores laço são desenhados,
como mostra a figura (b). A
equação desses vetores laço pode
ser resolvida com base nos
resultados do primeiro laço, como
dados de entrada do segundo laço.
Note que existe uma relação
angular constante entre os vetores
R4 e R5 por causa do elo 4.
58Projeto de MecanismoMecanismo de Stephenson de seis barras e os vetores laço.
Anál ise de Pos ições
S o l u ç ã o p a r a A n á l i s e d e P o s i ç õ e s n o M e c a n i s m o d e s e i s b a r r a s :
O mecanismo de seis barras de
Stephenson é um mecanismo de
análise mais complexo. Podem
ser desenhados dois vetores
laço, porém, dependendo da
inversão analisada, um ou
ambos os laços terão cinco elos
e, por consequência, três
ângulos desconhecidos, como
mostra a figura (a) e (b).
Contudo, os laços terão pelo
menos um elo não aterrado em
comum e, portanto, pode-se
encontrar uma solução.
59Projeto de MecanismoPosição dos pontos nos elos.
Anál ise de Pos ições
Posição de Qualquer Ponto de um Mecanismo:
60Projeto de Mecanismo
➢ Uma vez encontrados os ângulos de todos os elos, a determinação e o cálculo
da posição de qualquer ponto, em qualquer elo, para qualquer posição de
entrada do mecanismo, são simples e diretos;
➢A figura mostra um mecanismo de quatro barras cujo acoplador, o elo 3, foi
ampliado de forma a conter o ponto P. A manivela e o seguidor também
foram alargados com o objetivo de mostrar os pontos S e U, os quais podem
representar o centro de gravidade desses elos. O intuito é desenvolver
expressões algébricas para a posição destes (ou de quaisquer) pontos
pertencentes aos elos;
➢Para achar a posição do ponto S, desenhe um vetor de posição do polo O2 ao
ponto S. Esse vetor RSO2 forma um ângulo δ2 com o vetor RAO2. Esse ângulo δ2
é definido pela geometria do elo 2 e é constante. O vetor de posição para o
ponto S é, então:
Anál ise de Pos ições
Posição de Qualquer Ponto de um Mecanismo:
𝑹𝑺𝑶𝟐 = 𝑹𝑺 = 𝒔. 𝒆
𝒋.(𝜽𝟐+𝜹𝟐) = 𝒔. 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝟐 + 𝜹𝟐 + 𝒋. 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟐 + 𝜹𝟐)
61Projeto de Mecanismo
➢ A posição do ponto U no elo 4 é encontrada da mesma forma, usando
o ângulo δ4 que possui uma distância angular constante dentro do elo. A
expressão é:
➢ A posição do ponto P no elo 3 pode ser encontrada por meio da soma de dois
vetores de posição: RA e RPA. O vetor RA foi anteriormente definido após
análise dos ângulos dos elos na equação do slide 38. RPA é a posição relativa
do ponto P em relação ao ponto A. O vetor RPA é definido do mesmo modo
que RS ou RU, utilizando o ângulo deslocado interno do elo δ3 e o ângulo
posição do elo 3, θ3:
Anál ise de Pos ições
Posição de Qualquer Ponto de um Mecanismo:
𝑹𝑼𝑶𝟒 = 𝑹𝑼 = 𝒖. 𝒆
𝒋.(𝜽𝟒+𝜹𝟒) = 𝒖. 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝟒 + 𝜹𝟒 + 𝒋. 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟒 + 𝜹𝟒)
𝑹𝑷𝑨 = 𝒑. 𝒆
𝒋.(𝜽𝟑+𝜹𝟑) = 𝒑. 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝟑 + 𝜹𝟑 + 𝒋. 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟑 + 𝜹𝟑)
𝑹𝑷 = 𝑹𝑨 + 𝑹𝑷𝑨
62Projeto de MecanismoÂngulo de transmissão no mecanismo de quatro barras.
Anál ise de Pos ições
Ângulos de Transmissão:
63Projeto de Mecanismo
➢ O ângulo de transmissão µ definido na figura (a) para um mecanismo de
quatro barras.
➢ É definido como o ângulo entre o elo de saída e o acoplador. É normalmente
tomado como o valor absoluto do ângulo agudo do par de ângulos na
interseção dos dois elos e varia continuamente de um mínimo a um máximo
valor, assim que o mecanismo alcança o extremo de seu movimento. É uma
medida de qualidade de força e velocidade de transmissão da conexão;
➢ Iremos expandir essa definição para representar o ângulo entre quaisquer
elos em um mecanismo, já que um mecanismo pode ter vários ângulos de
transmissão. O ângulo entre qualquer elo de saída e o acoplador que o
movimenta é um ângulo de transmissão.
Anál ise de Pos ições
Ângulos de Transmissão:
64Projeto de Mecanismo
➢ Agora que desenvolvemos as expressões analíticas para os ângulos de todos
os elos do mecanismo, fica fácil determinar algebricamente o ângulo de
transmissão;
➢ Ele é apenas a diferença entre os ângulos dos dois elos, unidos conforme
desejamos passar alguma força ou velocidade;
➢ Para o exemplo de mecanismo de quatro barras, ele será a diferença entre θ3
e θ4. Por convenção, tomamos o valor absoluto da diferença e o forçamos a
ser um ângulo agudo:
➢ Se 𝜽𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔 > Τ𝝅 𝟐 então 𝝁 = 𝝅 − 𝜽𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔 caso contrário 𝝁 = 𝜽𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔
➢ Esse cálculo pode ser feito para qualquer junta de um mecanismo, utilizando
os ângulos dos elos apropriados.
Anál ise de Pos ições
Ângulos de Transmissão:
𝜽𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔 = 𝜽𝟑 − 𝜽𝟒