av 1 CÁLCULO VETORIAL nota 10

Prévia do material em texto

Conteúdo do exercício
Ocultar opções de resposta 
Pergunta 1 0,1 / 0,1
No estudo de funções reais, sejam elas de uma ou várias variáveis, é necessário analisar atentamente os valores de entrada 
(domínio) das funções. Esses valores sofrem restrições devido a operacionalidade de algumas funções, tais como funções que 
tenham raízes pares, logaritmos e afins.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre determinação do domínio de funções reais de duas variáveis, 
ordene as etapas a seguir de acordo com a sequência que devem ser efetuadas para a determinação desse domínio:
( ) Identificar as restrições devidas de cada função e operação.
( ) Escrever o domínio (D) levando em conta essas relações emergentes.
( ) Identificar o tipo de função e os tipos de operações.
( ) Observar as relações entre x e y emergentes dessa imposição das restrições.
( ) Aplicar essas restrições às variáveis x e y.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
3, 4, 2, 1, 5.
Resposta correta2, 5, 1, 4, 3.
2, 4, 1, 5, 3.
1, 2, 3, 4, 5.
1, 5, 3, 4, 2.
Pergunta 2 0,1 / 0,1
Para fazer o esboço de uma função, um dos primeiros passos é entender onde a função cruza os eixos das coordenadas 
cartesianas. Para se determinar isso, basta zerar as outras variáveis referentes aos outros eixos. Por exemplo, 
ℱ ( )x ,y = x + y 2 − 3 , fazendo y = 0 temos ℱ ( )x , 0 = x − 3 . Fazendo ℱ ( )x , 0 = 0 , temos que a função cruza o eixo x 
em x=3.
Ocultar opções de resposta 
Ocultar opções de resposta 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre funções, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) 
verdadeira(s) e F para(s) falsa(s). 
I. ( ) A função ℱ ( )x ,y = 1 não cruza os eixos x e y.
II. ( ) A função ℱ ( )x ,y = 1 − x − y cruza os eixos x e y respectivamente em x = 1 e y = 1.
III. ( ) A função ℱ ( )x ,y = x 2+ y 2 cruza o eixo y em y = 1.
IV. ( ) A função ℱ ( )x ,y = 16+ x 2+ y 2 cruza o eixo z em ℱ ( )0, 0 = 4 .
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
F, V, F, V
V, V, F, F
Resposta corretaV, V, F, V
V, V, V, F
V, F, V, F
Pergunta 3 0,1 / 0,1
Em limite de funções de uma variável, há apenas duas formas de se aproximar do ponto do qual se quer calcular o limite. Pode-se 
aproximar pela esquerda lim
x → a −
ℱ ( )x = L 1 ou pela direita lim
x →a +
ℱ ( )x = L 2 Neste contexto, diz-se que o limite de f(x) existe 
quando L1=L2, isto é, se os limites laterais convergem para o mesmo número. Em duas variáveis, não há apenas dois sentidos para 
se aproximar do ponto (a,b), há infinitas direções e caminhos.
Considerando essas informações e seus conhecimentos de limites, quando o limite em funções de duas variáveis 
lim
( )x ,y → ( )a ,b
ℱ ( )x ,y existe é porque:
a é igual a b .
existe pelo menos um caminho que se aproxima de ( )a ,b e converge para um número real L .
Resposta correta
o limite por todos os caminhos que se aproximam de ( )a , b convergem para a mesma constante 
L .
ℱ ( )x ,y está definido em ( )a ,b .
Ocultar opções de resposta 
os limites laterais por x e por y convergem para a mesma constante, isto é, 
lim
x → a −
ℱ ( )x ,y = lim
x → a +
ℱ ( )x ,y = lim
y → b −
ℱ ( )x ,y = lim
y → b +
ℱ ( )x ,y = L .
Pergunta 4 0,1 / 0,1
O contradomínio é o conjunto que representa os valores que uma função pode assumir, isto é, para todo elemento do domínio 
necessariamente existe um elemento no contradomínio. Em outras palavras, o contradomínio são os valores de ‘saída’ de uma 
função, enquanto os valores do domínio são referentes aos valores de ‘entrada’.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre contradomínio de funções de três variáveis, analise as afirmativas a 
seguir.
I. O contradomínio da função ℱ ( )x ,y = x 2+ y 2+ z 2 é = { }a a ≥ 0 .
II. O contradomínio da função ℱ ( )x ,y = x 2+ y 2+ z 2 é = R (o conjunto dos reais).
III. O contradomínio da função ℱ ( )x ,y = ln ( )xyz é = { }a a > 0 ,
IV. O contradomínio da função ℱ ( )x ,y = e x +y é = { }a a ≥ 0 .
Está correto apenas o que se afirma em:
I e III.
Resposta corretaI e II.
II e IV.
I, II e IV.
II, III e IV.
Pergunta 5 0,1 / 0,1
As funções definidas por partes trazem consigo naturalmente um complicador, pois, para cada região do domínio da função, há uma 
expressão analítica associada. Portanto, a continuidade e existência do limite estão condicionados às características dessa 
fronteira. Por exemplo, a função ℱ ( )x = x 2 se x ≥ 0 e ℱ ( )x = − x 2 se x < 0 é contínua e diferenciável. Mas a função 
ℱ ( )x = x 2 se x ≥ 0 e ℱ ( )x = x 2− 1 se x < 0 , não.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre diferenciabilidade, pode-se afirmar que:
Ocultar opções de resposta 
Ocultar opções de resposta 
o limite existe em um caminho ao longo da fronteira para funções por partes.
o contradomínio da função é igual ao domínio.
o domínio da função é o conjunto dos reais.
a função é diferenciável na fronteira.
Resposta correta
na fronteira entre as regiões, o limite não existe ou, quando existe, não converge para o valor da 
função.
Pergunta 6 0,1 / 0,1
Em funções de uma variável, uma função é contínua quando lim
x → a
ℱ ( )x = ℱ ( )a , para todo a pertencente ao domínio da 
função. Isto é, o limite da função no ponto existe, a função no ponto está definida e ambos são iguais para todo ponto do domínio.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre continuidade de funções de várias variáveis, analise as afirmativas a 
seguir.
I. Uma função ℱ ( )x ,y é contínua quando lim
( )x ,y → ( )a ,b
ℱ ( )x ,y = ℱ ( )a ,b para todo ( )a , b pertencente ao domínio.
II. A função ℱ ( )x ,y =
x 2− y 2
x 2+ y 2
 é contínua no domínio D = { }( )x ,y ( )x ,y ≠ ( )0,0 
III. A função definida por partes ℱ ( )x ,y =
3x 2y
x 2+ y 2
 , se ( )x ,y ≠ ( )0,0 e ℱ ( )x ,y = 0 , se ( )x ,y = ( )0,0 é descontínua.
IV. A função definida por partes ℱ ( )x ,y =
sen ( )x 2+ y 2
x 2+ y 2
 , se ( )x ,y ≠ ( )0,0 e ℱ ( )x ,y = 0 , se ( )x ,y = ( )0,0 é 
descontínua.
Está correto apenas o que se afirma em:
I, III e IV.
II e IV.
I e II.
Resposta corretaI, II e IV.
II, III e IV.
Ocultar opções de resposta 
Ocultar opções de resposta 
Pergunta 7 0,1 / 0,1
A interpretação geométrica da derivada de uma função de uma variável é a de que ela representa a inclinação da reta tangente ao 
ponto da função que se calcula a derivada. Sabendo disso, a derivada pode ser aplicada para determinar os pontos de máximo e 
mínimo da função. Basta derivar e igualar a zero. Uma vez achado estes pontos, para determinar se é um ponto de máximo ou de 
mínimo, faz-se o teste da segunda derivada (se a segunda derivada no ponto for positiva, é ponto de mínimo e se for negativa, de 
máximo). 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre derivadas parciais, analise as afirmativas a seguir.
I. A interpretação geométrica da derivada parcial é a inclinação da reta tangente à curva da direção que se calcula a derivada.
II. Para determinar os pontos de máximo e mínimo em funções de duas variáveis, basta igualar uma das derivadas a zero.
III. No teste da segunda derivada, os sinais das derivadas segundas em x e em y devem ser os mesmos para termos um ponto de 
máximo ou mínimo.
IV. O ponto destacado no gráfico tem as derivadas parciais em x e em y igual a zero.
Está correto apenas o que se afirma em:
I e II.
I, II e IV.
II e IV.
II, III e IV.
Resposta corretaI, III e IV.
Pergunta 8 0,1 / 0,1
Derivadas de maior ordem são execuções contínuas da derivada. Isto é, operações consecutivas. Em funções de uma variável, a 
primeira derivada dá a noção da inclinação da curva, enquanto a segunda derivada dava a noção de concavidade. Em mais 
variáveis, o raciocínio é análogo.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre derivadas parciais, analise as afirmativas a seguir e assinale V para 
a(s) verdadeira(s) e F para(s)falsa(s).
I. ( ) A segunda derivada em x da função ℱ ( )x ,y = x 3+ x 2y 3− 2y 2 é ℱ xx ( )x ,y = 6x + 2y
3 .
II. ( ) A segunda derivada em y da função ℱ ( )x ,y = e xy é ℱ yy ( )x ,y = x
2e xy .
III. ( ) A ordem das derivadas mista (primeiro x e depois y , e vice-versa) é relevante tal que ℱ
xy ( )x ,y ≠ ℱ yx ( )x ,y .
IV. ( ) A derivada mista, primeiro em x e depois em y de ℱ ( )x ,y = sen ( )xy é ℱ yx ( )x ,y = cos ( )xy − xy sen ( )xy 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Ocultar opções de resposta 
F, V, F, V.
V, V, V, F.
V, F, V, F.
Resposta corretaV, V, F, V.
V, V, F, F.
Pergunta 9 0,1 / 0,1
Quando se tem funções de mais de uma variável, naturalmente surge a indagação de “derivada em relação a qual variável?”. Este 
conceito trata-se da derivada parcial. Seguindo a mesma lógica de derivada de uma variável, o que não é a variável de derivação é 
constante. Portanto, se derivarmos ℱ ( )x ,y em relação a x , consideramos y como constante. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre derivadas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) 
verdadeira(s) e F para(s) falsa(s).
I. ( ) A derivada de ℱ ( )x ,y = x 2y + x 3y 2+ 4y + 1 em relação a x é ℱ x ( )x ,y = 2xy + 3x
2y .
II. ( ) A derivada de ℱ ( )x ,y = x 2y + x 3y 2+ 4y + 1 em relação a y é ℱ y ( )x ,y =x
2+ 2x 3y .
III. ( ) A derivada de ℱ ( )x ,y = sin xy em relação a x é ℱ x ( )x ,y = cos xy .
IV. ( ) A derivada de ℱ ( )x ,y = ( )x 2+ y 2 2 em relação a y é ℱ y ( )x ,y = 4y ( )x
2+ y 2 .
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
V, V, F, F.
V, F, V, F.
Resposta corretaV, F, F, V.
F, V, F, V.
V, V, V, F.
Pergunta 10 0,1 / 0,1
Ocultar opções de resposta 
Para verificar se o limite de uma função ℱ ( )x ,y não existe, basta mostrar que existe pelo menos dois caminhos com limites 
diferentes. Esses caminhos significam, em outras palavras, realizar aproximações com curvas distintas.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre limites, analise as afirmativas a seguir colocando V para a(s) 
verdadeiras e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) Dada a função ℱ ( )x ,y =
x 2− y 2
x 2+ y 2
 , o limite lim
( )x , y → ( )0,0
ℱ ( )x ,y = 1 .
II. ( ) Dada a função ℱ ( )x ,y =
xy
x 2+y 2
 , o limite lim
( )x ,y → ( )0,0
ℱ ( )x ,y existe.
III. ( ) Dada a função ℱ ( )x ,y =
e xy
x + 2
 , o limite lim
( )x ,y → ( )0,0
ℱ ( )x ,y =
1
2
 .
IV. ( ) Dada a função ℱ ( )x ,y = x 2y + xy 3 , o limite lim
( )x ,y → ( )1, − 2
ℱ ( )x ,y existe.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
F, V, F, V.
V, V, V, F.
Resposta corretaF, F, V, V.
V, V, F, F.
V, F, V, F.