Cap 2 - Cinemática da partícula

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FUNDAÇÃO DE ENSINO E PESQUISA DE ITAJUBÁ 
 
 
 
 
 
 
 
FISICA 1 
 
 
 
 
CAPÍTULO 2 
 
 
 
 
 
 
C I N E M Á T I C A D A P A R T Í C U L A 
 
Professor: Mario Vitor Pinheiro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fevereiro de 2011 
 
 
 
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Cap 2 - CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
 
2.1. Introdução: 
A cinemática ocupa-se de uma parte limitada do movimento dos corpos, no referencial 
escolhido pelo observador. 
Movimento: Um corpo está em movimento em relação a um referencial se ele ocupa 
posições diferentes em instantes diferentes. 
Parâmetros: Na descrição de qualquer movimento são parâmetros fundamentais: 
• Posição: Grandeza vetorial com três componentes; 
• Tempo: Grandeza escalar; 
• Partícula: Corpos sólidos cujas dimensões não são consideradas na descrição do 
seu movimento. A partícula é um modelo físico útil para a descrição do movimento 
de translação dos corpos. Na cinemática a massa da partícula não é considerada. 
 
Objetivos da Cinemática: 
a) Descrição do movimento das partículas em termos de posições, velocidades e 
acelerações, todos como função do parâmetro tempo. 
b) Estabelecer relações funcionais entre as variáveis dependentes posição, velocidade, 
aceleração e a variável independente tempo, usando procedimentos matemáticos. 
 
2.2. Cinemática Escalar: 
A cinemática escalar descreve o movimento das partículas em uma trajetória 
unidimensional. 
O referencial adotado é um referencial fixo à terra ou referencial de laboratório. 
 
2.2.1. Velocidade escalar média (Vm ou V ) 
Seja o gráfico da figura 01 que descreve a variação da posição (x) de uma partícula 
em função do tempo (t), em um movimento unidimensional. 
 
Figura 01 – Gráfico de posição por tempo. 
 
 3 
No instante tA s posição da partícula é XA, e no instante tB = tA + t e sua posição é 
XB = XA + X. 
Nesse intervalo de tempo (t), a taxa média de variação temporal da posição da 
partícula é a sua velocidade escalar média (Vm ou V ), definida por: 
 t
x
 Vm


= , sendo sua unidade no SI m/s. 
Convém observar ainda que a velocidade esclar média é a medida da declividade da 
reta AB, ou seja: 
 t
x
 Vm


= = tg  
 
2.2.2. Velocidade escalar instantânea 
A medida da velocidade média escalar de uma partícula durante um intervalo de 
tempo infinitamente pequeno (t→ 0), conduz ao valor da velocidade em um instante 
(velocidade instantânea). Portanto: 
 td
 xd
 
 t
x
 
0 t
 limite Vm
0 t
 limite V =


→
=
→
= 
Observe que a velocidade instantânea ou simplesmente velocidade é uma função 
matemática que pode ser obtida a partir da derivada da posição em função do tempo. 
 
Exemplo: 
A posição de uma partícula, em movimento unidimensional é descrita em função do 
tempo pela seguinte lei ou equação: 
X = 2 t² + 5 t + 8 (SI) 
Pede-se determinar: 
a) A velocidade média da partícula entre t1 = 2 s e t2 = 5 s. 
Como 
 t
x
 Vm


= = 
2 5
X2 - X5
−
 
m 26 8 2 5 2² 2 x
m 83 8 5 5 5² 2 x
2
5
=++=
=++=
 
Portanto: 
m/s 19 
3
26 83
 Vm =
−
= 
b) A velocidade da partícula no instante t = 2 s e no instante t = 5 s. 
Para se obter a velocidade instantânea é necessário que se tenha a equação instantânea da 
velocidade, que será obtida a partir da derivada da posição com relação ao tempo. Assim 
temos: 
 4 
5 t 4 
dt
 8 t 5 t²(2 d
 
 td
 xd
 V +=
++
== . Então v(t) = 4 t + 5. 
Agora é só determinarmos a velocidade para os instantes pedidos. 
V5 = 4  5 +5 = 25 m/s 
V2 = 4  2 +5 = 13 m/s 
 
c) A média das velocidades nos instantes t = 2 s e t = 5 s. 
Portanto: V = (25 +13)/2 = 19 m/s. 
Observação: A velocidade escalar média resultou num valor igual a média das velocidades. 
Apenas valores iguais, uma vez que velocidade média não é média de velocidade. 
 
d) (proposto) Em que instante o movimento da partícula é invertido? 
Resp. Não há inversão do movimento. 
e) O instante em que a partícula passa pela posição x = 15 m. Resp. t = 1 s. 
f) Construir o gráfico de x(t), v(t) e a(t). 
 
2.2.3. Aceleração escalar média e Aceleração escalar instantânea. 
Consideraremos que a velocidade de uma partícula em movimento retilíneo varie com 
o tempo da maneira representada na figura 02. 
De maneira semelhante à velocidade escalar média a aceleração escalar média (am ou 
a ), durante um intervalo de tempo (t), é definida por: 
 t
v
 a m


= , sendo sua unidade no SI m/s². 
A aceleração escalar média (am ou a ) mede a declividade da corda AB, conforme 
figura 02. Assim: 
 t
v
 a m


= = tg  
 
 
Figura 02 – Gráfico de velocidade por tempo. 
 
 5 
A aceleração escalar instantânea é o limite da aceleração média, em um intervalo de 
tempo infinitamente pequeno: 
2
2
m
dt
xd
 
 td
 vd
 
 t
v
 
0 t
 limite a
0 t
 limite a ==


→
=
→
= 
Observe que a aceleração instantânea é a derivada primeira da velocidade e a 
derivada segunda da posição, conforme figura 03. 
Em resumo: 
x = x(t) → derivada → v = v(t) → derivada → a = a(t) 
ou 
 
Figura 03 – Esquema de relação entre X(t), v(t) e a(t). 
 
Exemplo: 
A posição de uma partícula em movimento unidimensional x = 3 t³ + 2 t² + 5 t + 10, 
unidades do SI. Pede-se: 
a) A posição, a velocidade e a aceleração da partícula no instante t = 2 s. 
x(2) = 3  2³ + 2  2² + 5  2 + 10 = 32 m 
v(t) = dx/dt = 9 t² + 4 t + 5 
v(2) = 9  2² + 4  2 + 5 = 39 m/s 
a(t) = dv/dt = 18 t + 4 
a(2) = 18  2 + 4 = 40 m/s² 
 
b) Em que instante a partícula inverte o sentido do movimento. 
Condição: v = 0 
V(t) = 9 t² + 4 t + 5 = 0 
Determinando suas raízes teremos: 
t’ = - 1 s e t’’ = 5/9 s. 
Portanto o movimento se inverte no instante t = 5/9 s 
 6 
 
c) Fazer o gráfico de v(t) e a(t) e classificar o movimento em acelerado, retardado e nulo. 
Classificar também se o movimento é progressivo ou retrogrado. 
 
2.2.4. Descrição de alguns movimentos 
Para facilitar a analise de movimentos mais gerais, relembramos: 
• Movimento retilíneo uniforme (MRU) 
Nesse movimento temos v = constante e sua posição é x = xo + vt. De acordo com 
essas equações temos a figura 04. 
 
Figura 04 – Gráficos do movimento uniforme (MRU). 
 
• Movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) 
Nesse movimento a aceleração é constante. Assim as equações e as funções horárias 
desse movimento são apresentadas na figura 05. 
 
Figura 05 - Gráficos do movimento uniformemente variado (MRUV). 
 
• Queda Livre 
O movimento de queda livre é o movimento de queda dos corpos nas proximidades da 
superfície da terra por ação exclusiva da gravidade. (As forças de resistência são 
desconsideradas nesse movimento). 
É um movimento unidimensional com aceleração constante ( g = 9,81 m/s²), portanto 
é um movimento retilíneo uniformemente variado. 
 7 
 
Exercícios: 
1) Um móvel realiza a viagem entre dois pontos A e B, ida e volta pelo mesmo caminho. 
Ele desenvolve a velocidade constante de 40 km/h na ida e na volta de 60 km/h. 
Considerando a ida e volta, como um percurso continuo, determine sua velocidade média 
no percurso total. 
 
2) A posição de uma partícula em movimento unidimensional é descrita por: 
x(t) = - t³ + 3 t² + 16 (SI). Pede-se: 
a) A posição, velocidade e aceleração da partícula para t = 3 s; 
b) O instante da inversão do movimento; 
c) construir o gráfico da velocidade da partícula em função do tempo, entre os instantes 0 
e 4 s e classificar o movimento durante esse tempo. 
 
2.3. Cinemática Vetorial 
A cinemática vetorial descreve os movimentos bidimensionais e tridimensionais. 
Ficaremos aqui restritos a movimentos bidimensionais ou movimentos planos. 
 
2.3.1. Posição, velocidade e aceleração. 
Seja o movimento de uma em movimento plano no eixo XOY. A trajetória da partícula 
esta representado no gráfico da figura 06. 
 
Figura 06 – Movimento plano de uma partícula 
 
O vetor r

 identifica o ponto P em relação a referencia num determinadoinstante. Ele é 
chamado de vetor posição, cujas componentes ortogonais são x e y, representados na 
figura. 
Portanto o vetor r

 pode ser escrito na forma: r

 = x i + y j, ou r

 = ŷy x̂x + , que no SI 
tem a unidade de metros. 
Seu módulo pode ser calculado por: 
2y 2x r += 
 8 
 
Já sua direção e sentido podem ser calculados da seguinte forma: 
x
y
 
adjacente cateto
oposto cateto
 tg == 
Portanto: 2y 2x r += 
 
Já a velocidade vetorial v

, sabemos que ela é a derivada da posição com relação ao 
tempo. Portanto, teremos: 
 ŷ 
dt
dy
 x̂ 
dt
dx
 
dt
r d
 Vou j 
dt
dy
 i 
dt
dx
 
dt
r d
 V +==+==

 
Então: ŷVy x̂Vx 
dt
r d
 Vou jVy iVx 
dt
r d
 V +==+==

 
 
Da mesma forma do vetor posição, a velocidade também é uma expressão vetorial, 
portanto pode ser expressa em módulo, direção e sentido. 
Assim, se a velocidade pode ser representada da seguinte forma: 
 
Já sua direção e sentido podem ser calculados da seguinte forma: 
Vx
Vy
 
adjacente cateto
oposto cateto
 tg == 
Portanto: 
2Vy 2Vx V += 
 
De modo semelhante, como já sabemos, à aceleração é calculado a partir da derivada da 
velocidade. Portanto: 
 
dt 
j)Vy i(Vx d
 
dt
vd
 a
+
==


= ax i + ay j 
 
O módulo, a direção e o sentido é determinado da mesma forma 
que os vetores anteriores: 
ax
ay
 
adjacente cateto
oposto cateto
 tg == 
Portanto: 
2ay 2ax a += 
 
Devemos lembrar, ainda, que vale a mesma relação da cinemática escalar, ou seja: 
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2.3.2. Movimento de um projétil 
Quando um corpo é lançado na atmosfera ele terá um movimento parabólico devido a 
aceleração da gravidade, cujo valor é aproximadamente 9,81 m/s² e que na maioria das 
vezes utilizamos 10 m/s² para facilitar as contas. Embora exista resistência do ar, as 
equações desenvolvidas aqui desprezam o atrito com o ar. Nesse movimento iremos 
trabalhar com as componentes retangulares dos vetores posição, velocidade e aceleração, 
pois no movimento horizontal, não havendo atrito, o movimento é uniforme e na vertical o 
movimento é uniformemente variado. Portanto: 
X = Xo + Voxt 
Y = Yo + Voyt + ½ at²