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Blog do Prof. Gilberto PROF. GILBERTO SANTOS JR FUNÇÃO E FUNÇÃO DO 1º GRAU *** RECURSO PEDAGÓGICO DE DISTRIBUIÇÃO GRATUITA *** SUMÁRIO 1. PRODUTO CARTESIANO ........................................ 1 2. RELAÇÃO ............................................................. 1 2.1 Representações gráficas de relação ...................... 2 2.1.1 Por diagramas ................................................. 2 2.1.2 No plano cartesiano ......................................... 2 3. NOÇÃO INTUITIVA DE FUNÇÃO .............................. 3 4. DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO ........................................ 4 5. DOMÍNIO, IMAGEM E CONTRADOMÍNIO DE FUNÇÃO 5 6. ESTUDO DO DOMÍNIO .......................................... 6 7. FUNÇÃO BIJETORA ............................................... 6 7.1 Função sobrejetora ............................................. 6 7.2 Função injetora .................................................. 6 7.3 Função bijetora .................................................. 6 8. GRÁFICO DE FUNÇÃO NO PLANO CARTESIANO ........ 7 9. FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU ........................ 7 9.1 O gráfico ........................................................... 7 9.2 Parte variável e parte fixa.................................... 8 9.3 Problemas que envolvem função do 1º grau .......... 9 9.4 Raiz ou zero da função do 1º grau ...................... 10 9.5 Crescimento/decrescimento e o coeficiente angular/coeficiente linear ........................................ 11 9.6 Função Linear .................................................. 12 9.7 Função identidade ............................................ 12 9.8 Função constante ............................................. 12 9.9 Coeficiente linear .............................................. 15 10. FUNÇÃO INVERSA............................................. 21 10.1 Em diagramas ................................................ 21 10.2 Processo para determinar a função inversa ........ 21 10.3 O gráfico da função inversa .............................. 22 Recursos Pedagógicos ............................................. 24 Referências ........................................................... 24 1. PRODUTO CARTESIANO Dados dois conjuntos não vazios A e B, denomina-se produto cartesiano de A por B o conjunto formado pelos pares ordenados nos quais o 1º elemento pertence ao conjunto A e o 2º ele- mento pertence ao conjunto B. Simbolicamente, A B = {(x, y)/ x ∈ A e y ∈ B} Observação: A B lê-se: “A cartesiano B”. Exemplos: Sejam A = {0, 1, 2} e B = {2, 4}. Deter- mine a) A B. b) B A. Resoluções: a) A B = {(0,2), (0,4), (1,2), (1,4), (2,2), (2,4)}. b) B A = {(2,0), (2,1), (2,2), (4,0), (4,1), (4,2)}. Sugestão suplementar de estudos: Para auxiliar nos conteúdos dos Tópicos 1 e 2, assistir as resoluções dos exemplos dos referidos tópicos e auxílio nas reso- luções dos exercícios 1, 2 e 3 assista a videoaula Produto cartesiano e Relação – Função e Função do 1º Grau do Prof. Gilberto Santos, em: https://professorgilbertosantosjr.blogspot.com/2020/ 10/aula-01-produto-cartesiano-e-relacao.html EXERCÍCIO PROPOSTO 1) Sejam A = {0, 1} e B = {1, 3, 5}. Determine o produto cartesiano: a) A B = b) B A = c) 𝐀𝟐 = d) 𝐁𝟐 = Observações: 𝐀𝟐 = A A e 𝐁𝟐 = B B 2. RELAÇÃO É um subconjunto de um produto cartesia- no, determinado por uma sentença matemática. Exemplo: Sejam A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3, 4} e A B = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)}. a) O conjunto R de A B, tais que x = y: b) O conjunto R de A B, tais que y é o dobro de x: c) O conjunto R de A B, tais que x é o dobro de y: Resoluções: a) R = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)}. b) R = {(1,2), (2,4)}. c) R = {(2,1), (4,2)}. EXERCÍCIO PROPOSTO 2) Sejam A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 6}. Determi- ne: a) A B = b) a relação R tal que y = x. c) a relação R tal que y é o dobro de x. d) a relação R tal que x é o dobro de y. e) a relação R tal que x é a metade de y. f) a relação R tal que y = x + 1. EXERCÍCIO CONTEXTUALIZADO 3) Ao lançarmos dois dados, um preto e um ver- melho. Determine: a) A quantidade de pares orde- nados possíveis; b) Mostre quais são as possibili- https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ https://professorgilbertosantosjr.blogspot.com/2020/10/aula-01-produto-cartesiano-e-relacao.html https://professorgilbertosantosjr.blogspot.com/2020/10/aula-01-produto-cartesiano-e-relacao.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ 2 Blog do Prof. Gilberto dades de resultados numa tabela. c) o conjunto dos pares ordenados cuja soma dos resultados seja igual a 7; d) o conjunto dos pares ordenados (x,y), tais que x = y; e) o conjunto dos pares ordenados (x,y), tais que y é a metade de x. 2.1 Representações gráficas de relação Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, a relação R tal que y = x + 1, seguem as representações gráficas. 2.1.1 Por diagramas R = {(0,1), (1,2), (2,3), (3,4)} D = {0, 1, 2, 3} Im = {1, 2, 3, 4} CD = {0, 1, 2, 3, 4, 5} 2.1.2 No plano cartesiano EXERCÍCIOS PROPOSTOS 4) Sejam A = {2, 3, 4} e B = {1, 2, 3, 4}. Determine: a) a relação R tal que y = x ‒ 1. b) represente a relação em diagramas. c) represente a relação no plano cartesiano. d) o domínio D. e) a imagem Im. f) o contradomínio CD. 5) Sejam A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}. Deter- mine: a) a relação R tal que y = 2x. b) represente a relação em diagramas. c) represente a relação no plano cartesiano. d) o domínio D. e) a imagem Im. f) o contradomínio CD. 6) Sejam A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}. Deter- mine: a) a relação R tal que y = 2x + 1. b) represente a relação em diagramas. c) represente a relação no plano cartesiano. d) o domínio D. e) a imagem Im. f) o contradomínio CD. 7) Localize no plano cartesiano os pontos: A(1,2), B(1,‒2), C(2,3), D(‒2,2), E(3,‒3), F(5,‒1), G(0,0), H(4,3), I(1,0) e J(0,1). EXERCÍCIO CONTEXTUALIZADO 8) Uma companhia telefônica tem um plano para seus clientes, a tabela abaixo mostra o valor a ser pago pelos seus clientes em função do tempo de ligação: Tempo de ligação (min) Valores em reais 0 30,00 10 32,50 20 35,00 30 37,50 40 40,00 Faça o que se pede: a) Represente a tabela em diagramas; b) Represente a tabela em plano cartesiano. EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 9)(Enem-2018) De acordo com a Lei Universal da Gravitação, proposta por Isaac Newton, a in- tensidade da força gravitacional F que a Terra exerce sobre um satélite em órbita circular é pro- porcional à massa m do satélite e inversamente proporcional ao quadrado do raio r da órbita, ou seja, 𝐹 = 𝑘𝑚 𝑟2 No plano cartesiano, três satélites, A, B e C, estão representados, cada um, por um ponto (m; r) cujas coordenadas são, respectivamente, a massa do satélite e o raio da sua órbita em torno da terra; Com base nas posições relativas dos pontos no gráfico, deseja-se comparar as intensidades FA, FB e FC da força gravitacional que a Terra exerce sobre os satélites A, B e C, respectivamente. As intensidades FA, FB e FC expressas no gráfico satisfazem a relação (a) FC = FA < FB (d) FA < FC < FB (b) FA = FB < FC (e) FC < FA < FB (c) FA < FB < FC R: (e) https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ 3 Blog do Prof. Gilberto 10)(Enem-2015) Devido o aumento do fluxo de passageiros, uma empresa de transporte coletivo urbano está fazendo estudos para a implantação de um novo ponto de parada em uma determinada rota. A figura mostra o percurso, indicado pelassetas, realizado por um ônibus nessa rota e a loca- lização de dois de seus atuais pontos de parada, representados por P e Q. Os estudos indicam que o novo ponto T de- verá ser instalado, nesse percurso, entre as para- das já existentes P e Q, de modo que as distâncias percorridas pelo ônibus entre os pontos P e T e entre os pontos T e Q sejam iguais. De acordo com os dados, as coordenadas do novo ponto de parada são (a) (290;20) (c) (410;20) (e) (440;20) (b) (410;0) (d) (440;0) R: (e) 11)(UEPA-2013, modificada) No Brasil, uma empresa de comércio para internet multiplicou suas vendas nos últimos anos, conforme ilustrado no gráfico abaixo. Em relação às vendas afirma-se que: (a) tiveram um crescimento de 2 milhões de reais de 2008 para 2009. (b) em 2009 cresceram quatro vezes em relação a 2008. (c) triplicaram de 2009 para 2010. (d) em 2010 cresceram 2,4 milhões de reais em relação a 2009. (e) tiveram um crescimento de 4,8 milhões de reais de 2009 para 2011. R: (d) 3. NOÇÃO INTUITIVA DE FUNÇÃO Observe a tabela abaixo que relaciona o número de litros de gasolina e o preço a pagar. Nº de litros Preço (R$) 1 2,10 2 4,20 3 6,30 4 8,40 5 10,50 ⋮ ⋮ x 2,10 ∙ x Observe: • As grandezas “nº de litros” e “preço” são variáveis; • Para cada quantidade em litros de gasolina co- locada há um único preço; • O preço a ser pago depende do número de litros de gasolina a ser colocado, isto é, o preço está em função do número de litros colocados; • Para x litros de gasolina comprada, o preço a ser pago será 2,10 vezes x, isto é P = 2,10 ∙ x P – preço a ser pago é a variável dependente; x - número de litros de gasolina é a variável in- dependente. Exemplos: • A população de um determinado país está em função do tempo; • A área de um quadrado está em função de seu lado. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 12) Na tabela abaixo temos a quantidade de ovos (em dúzias) e o seu respectivo preço. Quantidade (em dúzia) Preço (em R$) 1 1,20 2 2,40 3 3,60 4 4,80 ⋮ ⋮ x 1,20 ∙ x Responda o que se pede: a) O preço a ser pago está em função da quanti- dade de ovos comprados? b) O que depende do quê? c) Qual é a variável dependente? d) Qual é a variável independente? e) Qual é a regra (fórmula) que associa a quanti- dade de dúzias com o preço a pagar? f) Qual é o preço de 9 dúzias de ovos? https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ 4 Blog do Prof. Gilberto 13) Uma panificadora vende o pão francês de 50 gramas, mais conhecido como “pão careca”, ao preço de R$ 0,25 cada. Para não ter que fazer con- ta a toda hora, os funcionários da panificadora montaram a seguinte tabela: Quantidade de pães Preço (R$) 1 0,25 2 0,50 3 0,75 4 1,00 5 1,25 6 1,50 7 1,75 8 2,00 9 2,25 10 2,50 Responda o que se pede: a) O preço a ser pago está em função da quanti- dade de pães comprados? b) O que depende do quê? c) Qual é a variável dependente? d) Qual é a variável independente? e) Qual é a regra (fórmula) que associa a quanti- dade de pães e o preço a pagar? f) Qual é preço de 6 pães? g) Qual é preço de 12 pães? h) Se tenho R$ 4,00. Qual é a quantidade de pães que dá para eu comprar? 4. DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO Dados os conjuntos A e B, não vazios, e uma relação R de A em B, quando para todo ele- mento x ∈ A, existe um único f(x) ∈ B, dizemos que R é uma função f de A em B. Notação: f: A → B. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 14) Quais das seguintes relações são funções? a) c) b) 15) Marque os diagramas representam função: (a)( ) (b)( ) (c)( ) (d)( ) (e)( ) (f)( ) (g)( ) (h)( ) 16) Verifique se é função ou apenas relação: a) Dado A = {0, 5, 15} e B = {0, 5, 10, 15, 20, 25}, seja a relação de A em B expressa pela lei y = x + 5, com x ∈ A e y ∈ B. b) Dado A = {‒2, 0, 2, 5} e B = {0, 2, 5, 10, 20}, seja a relação de A em B expressa pela lei y = x, com x ∈ A e y ∈ B. c) Dado A = {‒3, ‒1, 1, 3} e B = {1, 3, 6, 9}, seja a relação de A em B expressa pela lei y = x2, com x ∈ A e y ∈ B. EXERCÍCIO CONTEXTUALIZADO 17) Uma companhia telefônica tem um plano pa- ra seus clientes, a tabela abaixo mostra o valor a ser pago pelos seus clientes em função do tempo de ligação: Tempo de ligação (min) Valores em reais 0 30,00 10 32,50 20 35,00 30 37,50 40 40,00 Faça o que se pede: a) Represente a tabela em diagramas; b) Sendo o conjunto A, a variável “Tempo de liga- ções”; e o conjunto B, a variável “Valor em reais”, a tabela representa uma função de A em B? https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ 5 Blog do Prof. Gilberto EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 18)(UF-MG) Das figuras abaixo, a única que re- presenta o gráfico de uma função real y = f(x), x ∈ [a,b], é: (a) (d) (b) (e) (c) R: (c) 19)(UEPA-2003) Dentre os romeiros, há aqueles que acompanham o círio carregando miniaturas de casa, barcos, parte do corpo humano em cera, velas, etc. Por considerarem atendidas por nossa senhora de Nazaré as suas súplicas. Estes objetos são tantos que existem carros especiais para reco- lhê-los. Considerando a existência de um conjun- to A, formado pelos romeiros do círio, e um conjunto B formado pelos objetos oferta- dos/recolhidos durante a procissão, é correto afirmar que: (a) Todos os elementos de A estão associados a elementos de B, o que caracteriza uma função de A em B. (b) Alguns elementos de A estão associados a elementos de B, que caracteriza uma relação de A em B. (c) Nenhum elemento de A está associado a ele- mentos de B. (d) Existem elementos de B que não estão associ- ados a elementos de A. (e) Todas as alternativas acima estão corretas. R: (b) 20)(UFF-RJ) Em certo dia, três mães deram à luz em uma maternidade. A primeira teve gê- meos, a segunda, trigêmeos e a terceira, um úni- co filho. Considere, para aquele dia, o conjunto das 3 mães, o conjunto das 6 crianças e as se- guintes relações: I. A que associa cada mãe ao seu filho. II. A que associa cada filho à sua mãe. III. A que associa cada criança ao seu irmão. São funções: (a) somente a I (d) todas (b) somente a II (e) nenhuma (c) somente a III R: (b) 5. DOMÍNIO, IMAGEM E CONTRADOMÍ- NIO DE FUNÇÃO O conjunto A chama-se Domínio da função (Df), o conjunto B contra- domínio da função (CDf) e o elemento f(x) ∈ B chama-se imagem de x pela função. O conjunto imagem da função é Imf = {f(x) ∈ B/ x ∈ A}. Os diagramas ao lado serão simbolizados, a partir de agora, simplesmente, assim f: A → B. Exemplo: Sejam A = {0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, f: A → B, definida por f(x) = x + 1. Determinar: a) O esboço em diagramas; b) O domínio da função; c) a imagem da função; d) o contra domínio da função. Resoluções: a) b) Df = {0, 1, 2} c) Imf = {1, 2, 3} d) CDf = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Observações: • O domínio 0 tem imagem 1, simbolicamente f(0) = 1; • O domínio 1 tem imagem 2, simbolicamente f(1) = 2; https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ 6 Blog do Prof. Gilberto O domínio 2 tem imagem 3, simbolicamente f(2) = 3. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 21) Dados A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e a relação R tal que y = 2x + 1: a) Construa a relação R em diagramas; b) Verifique se essa relação é uma função. Em caso afirmativo determine o Df, Imf e CDf. 22) O diagrama de flechas re- presenta uma função f de A em B. Determine: a) Df = R: {2,3,5} b) Imf = R: {4,6,10} c) CDf = R: {0,2,4,6,8,10} d) f(3) = R: 6 e) f(5) =R: 10 f) x tal que f(x) = 4 R: 2 6. ESTUDO DO DOMÍNIO É o conjunto com todos os possíveis valores de x. Exemplos: Calcular o domínio da função: a) f(x) = 2x ‒ 5 Resolução: fica implícito que x pode ser qualquer número real, logo, Df = ℝ. b) 𝑓(x) = 2x − 3 x − 2 Resolução: x pode ser qualquer número real, com exceção do 2, pois se x = 2, o denominador será 0 (zero) e não existe fração com denominador zero. Logo o Df = ℝ ‒ {2}. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 23) Determine o domínio da função 𝑓(x) = 5x + 3 x − 16 . S = {x ∈ ℝ/ x ≠ 16} 24) Determine o domínio da função 𝑓(x) = √5 − 3x. S = {x ∈ ℝ / x ≤ 5/3} 25) Determine o domínio da função 𝑓(x) = √x − 4 + 1 √x − 2 . S = {x ∈ ℝ / x ≥ 4} 7. FUNÇÃO BIJETORA 7.1 Função sobrejetora Quando uma função f tem a sua imagem igual a seu contradomínio, isto é, Imf = CDf. 7.2 Função injetora Quando f: A → B transforma elementos dife- rentes de A em elementos diferentes de B, isto é, x1 ≠ x2 em A ⟹ f(x1) ≠ f(x2) em B. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 26) Seja A = {‒2, ‒1, 0, 1}, B = {0, 1, 4}, f: A → B, definida f(x) = 𝐱𝟐. Verifique se f é sobrejetora. R: f é sobrejetora 27) Seja A = {‒3, ‒2, 0, 1}, B = {2, 3, 5, 6}, f: A → B, tal que f(x) = x + 5. Verifique se f é sobrejetora ou não. R: f é sobrejetora 28) Verifique se f é injetora: a) A = {0, 1, 2, 3} B = {1, 3, 5, 7} f:A → B, f(x) = 2x + 1 R: f é injetora b) A = {2, 5, 10} B = {10, 23} f: A → B, definida por x é divisor de y. R: f não é injetora 7.3 Função bijetora Uma função f é dita bijetora quando é so- brejetora e injetora. EXERCÍCIO PROPOSTO 29) Verifique se f é bijetora: A = {0, 2, 3} B = {1, 5, 7} f: A → B, f(x) = 2x + 1 R: f é bijetora EXERCÍCIOS CONTEXTUALIZADOS 30) Os alunos Bruno, Jéssica e Paulo, do 1° ano, estavam estudando matemática e perceberam a formação de dois conjuntos. O conjunto A formado pelas disciplinas estudadas por eles e um conjunto B formado pelos professores dessas disciplinas. É correto afirmar que a relação de A em B: (a) Não representa uma função. (b) representa uma função somente injetora. (c) representa uma função somente sobrejetora. (d) representa uma função bijetora. (e) representa uma função não injetora e nem sobrejetora. R: (d) 31) Estudando a teoria das funções alguns alunos propuseram a seguinte questão: De todas as mu- lheres, algumas são mães, porém, todo filho obri- gatoriamente apresenta uma mãe e uma mulher é mãe se apresenta pelo menos um filho. Chamando o conjunto das mulheres de A e o conjunto dos filhos de B. É correto afirmar que a relação de B em A: (a) Não representa uma função. (b) representa uma função somente injetora. (c) representa uma função somente sobrejetora. (d) representa uma função bijetora. (e) representa uma função não injetora e nem sobrejetora. R: (e) EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 32)(UEPA-2005) Patrícia está paquerando três colegas: Ricardo, Paulo e Maurício. Para conhecer um pouco sobre suas personalidades recorreu ao zodíaco. Ficou sabendo que Ricardo é do signo de Áries, Paulo é de Leão e Maurício, de Virgem. Con- siderando A o conjunto formado por esses colegas de Patrícia e B o conjunto dos 12 signos do zodía- co, é correto afirmar que a relação de A em B: (a) não representa uma função. (b) representa uma função somente injetora. https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ 7 Blog do Prof. Gilberto (c) representa uma função somente sobrejetora. (d) representa uma função bijetora. (e) representa uma função não injetora e nem sobrejetora. R: (b) 33)(UFF-RJ) Sendo ℝ o conjunto dos números reais e a aplicação f: ℝ → ℝ definida por f(x) = x2, podemos afirmar que f: (a) é sobrejetora e não injetora (b) é bijetora (c) é sobrejetora (d) é injetora (e) não é sobrejetora nem injetora R: (e) 8. GRÁFICO DE FUNÇÃO NO PLANO CAR- TESIANO • Construir uma tabela com os valores de x esco- lhidos convenientemente e calcular os respecti- vos valores de f(x); • A cada par ordenado (x, f(x)) associar um pon- to no plano cartesiano; • Marcar o número suficiente de pontos, até que seja possível esboçar o gráfico. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 34) Construa o gráfico da função f(x) = 2x + 1, sendo o domínio D = {0, 1, 2, 3}. 35) Construa o gráfico da função f(x) = 2x + 1, sendo o domínio D = {x ∈ ℝ/ 0 < x < 3}. 36) Construa o gráfico da função f: ℝ → ℝ dada por f(x) = 2x + 1. 9. FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU Chama-se função polinomial do 1º grau, a qualquer função f: ℝ → ℝ dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais fixos, com a ≠ 0; x e f(x) são chamados variáveis. Os números a e b são chamados de coeficientes. Exemplos: a)f(x) = 5x ‒ 3, no qual a = 5 e b = ‒ 3; b)f(x) = ‒ 2x + 7, no qual a = ‒ 2 e b = 7; c)f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0. Observações: • f: ℝ → ℝ significa que a função é definida do domínio números reais ao contra domínio nú- meros reais; • Alguns editais de processos seletivos e concur- sos públicos e até alguns livros didáticos, no Brasil, chamam função polinomial do 1º grau de função afim. 9.1 O gráfico O gráfico da função polino- mial do 1º grau é uma reta. Exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = 2x ‒ 1, definidas de ℝ em ℝ. • Para x = 1, f(x) = 2 ∙ 1 – 1 = 1; portanto (1,1) é ponto do gráfico; • Para x = 2, f(x) = 2 ∙ 2 ‒ 1 = 3; portanto (2,3) é outro ponto do gráfico; • Marcamos os pontos (1,1) e (2,3) no plano car- tesiano e traçamos a reta passando pelos pon- tos. x f(x) 1 1 2 3 Observação: Em função polinomial do 1º grau o domínio são os números reais, simbolicamente x ∈ ℝ, portanto x é infinito, porém sabemos que para construir uma reta são necessários, pelo menos, dois pontos, com isso apenas dois valores de x são suficientes para construir o gráfico da função do 1º grau. EXERCÍCIO PROPOSTO 37) Construa, no plano cartesiano, o gráfico das seguintes funções, definidas de ℝ em ℝ: a) f(x) = x + 1 d) f(x) = 2x + 1 b) f(x) = x + 2 e) f(x) = ‒ 2x + 6 c) f(x) = x + 4 EXERCÍCIOS INTERDISCIPLINARES 38) Um corpo se movimenta em velocidade cons- tante de acordo com a fórmula matemática s = 2t ‒ 3, em que s indica a posição do corpo (em metros) no instante t (em segundos). Construa o gráfico de s em função de t. 39) Um móvel em movimento retilíneo uniforme obedece à função s = 5t + 15, em que s é o espaço percorrido pelo móvel (em metros) e t é o tempo gasto em percorrê-lo (em segundos). Determine: a) construa o gráfico s(t) da função. b) a posição do móvel no instante t = 0 s; R: 15 m https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ 8 Blog do Prof. Gilberto c) a posição do móvel no instante t = 5 s; R: 40 m d) a posição do móvel no instante t = 10 s; R: 65 m e) o instante em que o móvel se encontra a 35 m da origem. R: 4 s EXERCÍCIO CONTEXTUALIZADO 40) Uma máquina, ao sair da fábrica, sofre uma desvalorização constante pelo seu uso, represen- tada pela função P(t) = 50 ‒ 5t, em que P é o preço da máquina (em reais) e t é o tempo de uso (em anos). Determine: a) o gráfico dessa função; b) o custo da máquina ao sair da fábrica; R: R$ 50, 00 c) o custo da máquina após 5 anos de uso; R: R$ 25, 00 d) o tempo para que a máquina se desvalorize totalmente. R: 10 anos 9.2 Parte variável e parte fixa A função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b tem uma parte variável (ax) e uma parte fixa (b). f(x) = parte variável + parte fixa f(x) = ax + b Observação: Lucro = venda ‒ custo Exemplo: Uma revendedorade cosméticos vende um perfume por R$ 100,00, que custou R$ 70,00. Qual é o lucro da vendedora? Resolução: L = 100 ‒ 70 L = 30 Resposta: O lucro da vendedora é de R$ 30,00. EXERCÍCIOS CONTEXTUALIZADOS 41) Um motorista de táxi cobra, para cada corri- da, uma taxa fixa de R$ 5,00 e mais R$ 2,00 por quilômetro rodado. O valor total arrecadado (R) num dia é função da quantidade total (x) de qui- lômetros percorridos e calculado por meio da fun- ção R(x) = ax + b, em que a é o preço cobrado por cada quilômetro e b, o valor da taxa fixa. Respon- da: a) Um passageiro fez uma corrida de 20 km, quan- to ele pagará pela corrida? R: R$ 45, 00 b) Após um dia inteiro de trabalho o taxista teve a receita de R$ 805,00. Quantos quilômetros ele ro- dou nesse dia? R: 400 quilômetros 42) Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 8,00 mais um custo variável de R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo x o número de unidades produzidas: a) Escreva a lei da função que fornece o custo total de x peças; R: C(x) = 0,50x + 8,00 b) Calcule o preço de 100 peças. R: R$ 58, 00 43) Observando o anúncio de uma locadora de automóveis, assinale a equação que representa o valor a ser pago y em função do número de qui- lômetros rodados x em uma diária do anúncio. (a) y = 37,90.x (b) y = 0,40.x (c) y = 37,90.x + 0,40 (d) y = 0,40.x + 37,90 (e) y = 37,90 44) Um comerciante comprou uma caixa de um determinado produto, teve um custo fixo com transporte de R$ 230,00. Venderá cada unidade por R$ 5,00, o lucro final será dado em função das x unidades vendidas. Sabendo que Lucro = venda ‒ custo Responda: a) Qual é a lei dessa função f? b) Se o comerciante vender 1 unidade desse pro- duto terá lucro ou prejuízo? c) Se o comerciante vender 10 unidades desse produto terá lucro ou prejuízo? d) Se o comerciante vender 40 unidades desse produto terá lucro ou prejuízo? e) Se o comerciante vender 50 unidades desse produto terá lucro ou prejuízo? 45) Um comerciante teve uma despesa de R$ 230,00 na compra de certa mercadoria. Como vai vender cada unidade por R$ 5,00, o lucro final será dado em função das x unidades vendidas. Responda: a) Qual é a lei dessa função f? R: L(x) = 5x ‒ 230 b) Para que valores de x temos f(x) = 0? Como pode ser interpretado esse caso? R: x = 46 unidades c) Para que o valor de x haverá lucro de R$ 315,00? R: x = 109 unidades d) Para que valores de x o lucro será maior que R$ 218,00? R: x maior que 102 e) Para que valores de x o lucro estará entre R$ 100,00 e R$ 180,00? R: x maior que 66 e menor que 82 46) Um fabricante vende um produto por R$ 0,80 a unidade. O custo total do produto consiste numa taxa fixa de R$ 40,00 mais o custo de produção de R$ 0,30 por unidade. a) Qual o número de unidades que o fabricante deve vender para não ter lucro nem prejuízo? R: 80 unidades b) Se vender 200 unidades desse produto, o co- merciante terá lucro ou prejuízo? R: lucro (lucro de R$ 60,00) https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ 9 Blog do Prof. Gilberto 47) Uma companhia telefônica tem um plano pa- ra seus clientes, a tabela abaixo mostra o valor a ser pago pelos seus clientes em função do tempo de ligação: Tempo de ligação (min) Valores em reais 0 30,00 10 32,50 20 35,00 30 37,50 40 40,00 Considere x ∈ ℝ, y ∈ ℝ. Construa o gráfico da fun- ção. EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 48)(Unicamp-SP, modificada) O preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa, denominada bandeirada, e uma parcela que depende da distância percorrida. Se a bandei- rada custa R$ 3,50 e cada quilômetro rodado custa R$ 1,20. a) Escreva a lei da função que fornece o preço a ser pago pela corrida em função da distância x percorrida; R: P(x) = 1,20x + 3,5 b) o preço de uma corrida de 10 km; R: R$ 15,50 c) a distância percorrida por um passageiro que pagou R$ 27,50 pela corrida. R: 20 km 49)(UEPA-2002) Um pequeno comerciante in- vestiu R$ 300, 00 na produção de bandeiras do seu time favorito, para venda em um estádio de fute- bol. Foram vendidas x bandeiras ao preço de R$ 8, 00 cada uma. Então o lucro L(x) obtido na venda de x bandeiras é dado por: (a) L(x) = 300 ‒ 8x (d) L(x) = 8x (b) L(x) = 8x + 300 (e) L(x) = ‒ 8x ‒ 300 (c) L(x) = 8x ‒ 300 R: (c) 50)(UEPA-2006, modificada) [...] Em relação a pesca artesanal, estima-se que existam hoje 200 mil pescadores artesanais no Estado do Pará, que sustentam as suas famílias com essa atividade. O volume médio mensal de produção por cada pes- cador é aproximadamente igual a 120 quilos de peixe. A função que representa o lucro de um pescador durante um mês, sabendo que x repre- senta o preço de um quilo de peixe e c representa o custo fixo mensal existente na produção, é: (a) L(x) = 120x + c (d) L(x) = 120c + x (b) L(x) = 120x ‒ c (e) L(x) = 120x (c) L(x) = 120c ‒ x R: (b) 51)(UEPA-2005) Para produzir colares feitos com sementes de açaí, uma artesã teve uma des- pesa de R$ 24,00 na aquisição de matéria prima. Sabendo que o preço de custo por unidade produ- zida é de R$ 2,00 e que a artesã pretende vender cada colar por R$ 5,00, analise as afirmativas abai- xo: I. A lei matemática que permite calcular a receita bruta R, a ser obtida com a venda desses colares, em função da quantidade x de unidades vendidas, é R(x) = 5,00x. II. A lei matemática que permite calcular o custo total C decorrente dessa produção, em função da quantidade x de colares produzidos é C(x) = 24,00 + 2,00x. III. A venda desses produtos só dará lucro se a quantidade de colares vendidos for superior a 8. É correto afirmar que: (a) todas as afirmativas são verdadeiras (b) todas as afirmativas são falsas (c) somente as afirmativas II e III são falsas (d) somente as afirmativas I e II são verdadei- ras (e) somente as afirmativas I e III são verdadei- ras R: (a) 52)(UEL-PR) O custo C, em reais, da produção de x exemplares de um livro é dado por C(x) = 2000 + 3,5x. Se cada exemplar é vendido por 8 reais, quantos exemplares, no mínimo, de- vem ser vendidos para que a editora não tenha prejuízo? (a) 438 (b) 442 (c) R$ 27,50 (d) 445 (e) 450 R: (d) 53)(UEPA-2003) Durante as festividades do Círio, são vendidos tradicionalmente os brinquedos de miriti vindos, em sua maioria, do município de Abaetetuba. Um produtor destes brinquedos fabri- ca canoas ao custo de R$ 2,00 a unidade, venden- do por R$ 5,00 cada uma. Sabendo que ele gasta com transporte R$ 20,00, quantas canoas terão que vender para lucrar R$ 100,00? (a) 40 (b) 50 (c) 60 (d) 70 (e) 80 R: (a) 9.3 Problemas que envolvem função do 1º grau Vários problemas envolvem função do 1º grau e recaem em sistemas lineares. Exemplo: Um botânico mede o crescimento de uma planta, em centímetros, todos os dias. Ligan- do-se os pontos colocados por ele num gráfico, resulta a figura seguinte. Se for mantida sempre esta relação entre tempo e altura, determine a altura que a planta terá no 30º dia. https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ 10 Blog do Prof. Gilberto Resolução: Os pares ordenados do gráfico são (5,1) e (10,2); substituindo os pares ordenados na forma genérica da função do 1º grau y = ax + b, segue, (5,1) → 1 = a ∙ 5 + b (10,2) → 2 = a ∙ 10 + b ⟹ { 5a + b = 1 (−1) 10a + b = 2 ⟹ { −5a − b = −1 10a + b = 2 5a = 1 ⟹ a = 1 5 Substituindo o valor de a = 1 5 em 5a + b = 1, segue, 5 ∙ 1 5 + b = 1 ⟹ 1 + b = 1 ⟹ b = 0 Substituindo os valores de a e b emy = ax + b, a função do gráfico acima é y = 𝟏 𝟓 x sendo x = tempo em dias y = altura em cm No 30º dia implica x = 30 substituindo em y = 1 5 x, segue, y = 1 5 ∙ 30 ⟹ y = 6 cm No 30º dia a planta terá a altura 6 cm. EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 54)(Unama-2009) O gráfico abaixo representa o custo (C), em reais, na fabricação de x unidades de um produto. Nessas condições, para se produ- zir 25 unidades desse produto serão gastos: (a) R$ 60,00 (b) R$ 72,00 (c) R$ 75,00 (d) R$ 80,00 R: (d) 55)(Unificado-RJ) Uma barra de ferro com tem- peratura inicial de 10 °C foi aquecida até 30 °C. O gráfico representa a variação da temperatura da barra em função do tempo gasto nessa experiên- cia. Calcule em quanto tempo, após o início da experiência, a temperatura da barra atingiu 0 °C. (a) 1 min (c) 1 min 10 s (e) 1 min 20 s (b) 1 min 5 s (d) 1 min 15 s R: (d) 56)(UFRA-2004) Uma função de custo linear é da forma C(x) = Ax + B, onde B representa a parte fixa desse custo total. Suponha que uma indústria ao produzir 150 unidades de um produto, gasta R$ 525,00 e quando produz 400 unidades seus gas- tos são de R$ 700,00, então podemos afirmar que os custos fixos dessa indústria são, em reais, (a) 175 (b) 225 (c) 375 (d) 420 (e) 475 R: (d) 57)(CESGRANRIO) O valor de um carro novo é de R$ 9 000,00 e, com 4 anos de uso, é de R$ 4 000,00. Supondo que o preço caia com o tempo, segundo uma linha reta, o valor de um carro com 1 ano de uso é: (a) R$ 8 250,00 (d) R$ 7 500,00 (b) R$ 8 000,00 (e) R$ 7 000,00 (c) R$ 7 750,00 R: (c) 58)(UFRA-2003) Numa feira livre, o dono de uma barraca de verduras verificou que, quando o preço da couve é R$ 1,00 o maço, são vendidos 20 maços, porém, quando o preço cai R$ 0,50 são vendidos 20 maços. Considerando essa demanda linear e supondo serem vendidos x maços a um preço y, a função que melhor descreve essa situa- ção é: (a) y = ‒ 20x + 40 (d) y = ‒ 20x (b) y = ‒ 0,05x + 2 (e) y = ‒ 2x + 4 (c) y = 0,05x R: (b) 9.4 Raiz ou zero da função do 1º grau É o valor de x para f(x) = 0. https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ 11 Blog do Prof. Gilberto Exemplo: Obter o zero da função de f(x) = 2x ‒ 6: Resolução: f(x) = 0 ⟹ 2x ‒ 6 = 0 ⟹ x = 6 2 ⟹ x = 3 Observação: No plano cartesiano o zero ou raiz da função é a abscissa do ponto onde o gráfico corta o eixo x. EXERCÍCIO PROPOSTO 59) Calcule a raiz da função: a) f(x) = 3x ‒ 6 R: 2 c) h(x) = ‒ 2x + 10 R: 5 b) g(x) = 2x + 10 R: -5 d) g(x) = x + 1 R: -1 9.5 Crescimento/decrescimento e o coe- ficiente angular/coeficiente linear Consideremos a função f(x) = 3x ‒ 1, x aumenta x ‒ 1 0 1 2 3 4 5 f(x) ‒ 4 ‒ 1 2 5 8 11 14 f(x) aumenta Quando aumentamos os valores de x, os correspondentes valores de f(x) também aumen- tam. Dizemos que a função f(x) = 3x ‒ 1 é crescen- te, o coeficiente a = 3. Observemos o seu gráfico: Agora, consideremos f(x) = ‒ 3x ‒ 1, x aumenta x ‒ 2 ‒ 1 0 1 2 3 4 f(x) 5 2 ‒ 1 ‒ 4 ‒ 7 ‒ 10 ‒ 13 f(x) diminui Quando aumentamos os valores de x, os correspondentes valores de f(x) diminuem. Dize- mos que a função f(x) = ‒ 3x ‒ 1 é decrescente, o coeficiente a = ‒ 3. Observemos o seu gráfico: De um modo geral, dada a função do 1º grau f(x) = ax + b quando • a > 0 → a função é crescente; • a < 0 → a função é decrescente. O coeficiente a é chamado de coeficiente angular. O coeficiente b, de coeficiente linear (estudaremos o coeficiente linear no Tópico 9.9). EXERCÍCIOS INTERDISCIPLINARES Texto para as questões 60 e 61 Em física, quando as posições de um móvel crescem algebricamente no decorrer do tempo o movimento do mesmo é denominado progressivo O gráfico s(t) gerado por esse movimento será crescente. Quando as posições do móvel decrescem algebricamente no decorrer do tempo, o movi- mento é dito retrógrado O gráfico s(t) gerado por esse movimento será decrescente. https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ 12 Blog do Prof. Gilberto 60) Um ponto material, movimentando-se em relação a um determinado referencial e sobre uma trajetória retilínea, tem posições em função do tempo indicadas na tabela. t(s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 s(m) 5 8 11 14 17 20 23 26 29 Classifique o movimento como progressivo ou retrógrado. 61) Um ponto material em movimento retilíneo em relação a um determinado referencial em sua posição em função do tempo indicada pela tabela. t(s) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 s(m) ‒ 2 7 16 25 34 43 34 25 16 7 ‒ 2 a) Classifique o movimento como progressivo ou retrógrado no intervalo 0 s a 10 s. b) Classifique o movimento como progressivo ou retrógrado no intervalo de 10 s a 20 s. 9.6 Função Linear Dada à função polinomial do 1° grau f(x) = ax + b quando b = 0 a função é chamada função linear. Geometricamente, f(x) = 2x f(x) = ‒ 2x Observações: • O gráfico da função linear passa sempre pela origem (0,0). • Se a função não for linear é chamada função afim. Existe uma função linear especial, chamada função identidade. Veremos no próximo tópico. 9.7 Função identidade Dada à função polinomial do 1° grau f(x) = ax + b quando b = 0 e a = 1 a função é chamada função identidade. Geometricamente, f(x) = x ou y = x Observe que pela definição, função identi- dade é um caso particular de função linear. 9.8 Função constante A partir da função f(x) = ax + b, quando a = 0 a função é chamada função constante. Observe, pela definição, que a função constante não é função polinomial do 1º grau. Geometrica- mente, f(x) = 2 f(x) = ‒ 2 O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo de x. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 62) Construa o gráfico de cada uma das seguin- tes funções e diga se é função é crescente, de- crescente ou constante; linear ou afim: a) f(x) = 2x c) f(x) = ‒ 3x e) h(x) = 3 b) f(x) = 3x – 1 d) y = x f) f(x) = ‒ 2 63) Construa o gráfico de cada uma das seguin- tes funções e diga se é função é crescente, de- crescente ou constante; linear ou afim: a) f(x) = x + 6 d) g(x) = 5 g) f(x) = x R: crescentes e afim R: constante R: crescente e linear (essa chamada identidade) b) f(x) = 5x e) h(x) = ‒ 5x h) f(x) = ‒ 3 R: crescente e linear R: decrescente e linear R: constante c) y = 5x + 1 f) f(x) = ‒ 5 R: crescente e afim R: constante EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 64) Observe o gráfico abaixo: Responda: a) De que trata o gráfico? Identifique as variáveis envolvidas. R: menor crescimento da população e tempo (em anos) b) Qual o período em que a taxa de fecundidade se manteve praticamente constante? R: 1940 a 1960 c) A partir de que data a função é decrescente? R: 1960 d) Entre que período a taxa de fecundidade redu- ziu em 50%? R: 1960 a 1991 https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ 13 Blog do Prof. Gilberto EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 65)(Enem-2017) Os congestionamentos de trânsito constituem um problema que aflige, todos os dias, milhares de motoristas brasileiros. O grá- fico ilustra a situação, representando, ao longo de um intervalo definido de tempo, a variação da ve- locidade de um veículo durante um congestiona- mento. Quantos minutos o veículo permaneceu imóvel ao longo do intervalo total analisado? (a) 4 (b) 3 (c) 2 (d) 1 (e) 0 R: (c) 66)(Enem-2016) Um reservatório com água por uma torneira e um ralo faz a drenagem da água desse reservatório. Os gráficos representam as vazões Q, em litros por minuto, do volume de água que entra no reservatório pela torneira e do volume que sai pelo ralo, em função do tempo t, em minutos. Em qual intervalo de tempo,em minuto, o reservatório tem vazão constante de enchimento? (a) De 0 a 10. (c) De 5 a 15. (e) De 0 a 25. (b) De 5 a 10. (d) De 15 a 25. R: (b) 67)(Enem-2012) O dono de uma farmácia resolveu colocar à vista do público o gráfico mostrado a seguir, que apresenta a evolução do total de vendas (em Reais) de certo medicamento ao longo do ano de 2011. De acordo com o gráfico, os meses em que ocorreram, respectivamente, a maior e a menor venda absolutas em 2011 foram (a) março e abril (d) junho e setembro (b) março e agosto (e) junho e agosto (c) agosto e setembro R: (e) 68)(Enem-2012) O gráfico mostra a variação da extensão média de gelo marítimo, em milhões de quilômetros quadrados, comparando dados dos anos 1995, 1998, 2000, 2005 e 2007. Os dados correspondem aos meses de junho a setembro. O Ártico começa a recobrar o gelo quando termina o verão, em meados de setembro. O gelo do mar atua como o sistema de resfriamento da Terra, refletindo quase toda a luz solar de volta ao espaço. Águas de oceanos escuros, por sua vez, absorvem a luz solar e reforçam o aquecimento do Ártico, ocasionando derretimento crescente do gelo. Com base no gráfico e nas informações do texto, é possível inferir que houve maior aqueci- mento global em (a) 1995 (b) 1998 (c) 2000 (d) 2005 (e) 2007 R: (e) 69)(Enem-MEC) Um estudo sobre o problema do desemprego na Grande São Paulo, no período 1985-1996, realizado pelo SEADE-DIEESE, apresen- tou o seguinte gráfico sobre taxa de desemprego. Pela análise do gráfico, é correto afirmar que, no período considerado, (a) a maior taxa de desemprego foi de 14%. (b) a taxa de desemprego no ano de 1995 foi a menor do período. (c) a partir de 1992, a taxa de desemprego foi decrescente. (d) no período 1985-1996, a taxa de desemprego esteve entre 8% e 16%. (e) a taxa de desemprego foi crescente no período compreendido entre 1988 e 1991. R: (d) https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ 14 Blog do Prof. Gilberto 70)(Enem-MEC) Para convencer a população local da ineficiência da Companhia Telefônica Vila- tel na expansão da oferta de linhas, um político publicou no jornal local o gráfico I, representado a seguir. A Companhia Vilatel respondeu publicando dias depois o gráfico II, através do qual pretende justificar um grande aumento na oferta de linhas. O fato é que, no período considerado, foram insta- ladas, efetivamente, 200 novas linhas telefônicas. Analisando os gráficos, pode-se concluir que: R: (d) (a) o gráfico II representa um crescimento real maior do que o do gráfico I. (b) o gráfico I apresenta o crescimento real, sen- do o II Incorreto. (c) o gráfico II apresenta o crescimento real, sendo o I incorreto. (d) a aparente diferença de crescimento nos dois gráficos decorre da escolha das diferentes escalas. (e) os dois gráficos são incomparáveis, pois usam escalas diferentes. 71)(Enem-2016) O cultivo de uma planta rara só é viável se do mês do plantio para o mês sub- sequente o clima da região possuir as seguintes peculiaridades: • A variação do nível de chuva (pluviosidade), nesses meses não for superior a 50 mm; • A temperatura mínima, nesses meses, for su- perior a 15 °C; • Ocorrer, nesse período, um leve aumento não superior a 5 °C na temperatura máxima. Um floricultor, pretendendo investir no plantio dessa flor em sua região, fez uma consulta a um meteorologista que lhe apresentou o gráfico com as condições previstas para os 12 meses seguintes nessa região. Com base nas informações dos gráficos, o floricultor verificou que poderia plantar essa planta rara. O mês escolhido para o plantio foi (a) janeiro (c) agosto (e) dezembro (b) fevereiro (d) novembro R: (a) 72)(UEPA-2010) O gráfico abaixo representa o número de notificações relacionadas a fraudes, invasões e tentativas de invasão sofridas por usuários de computador. Analisando o gráfico, observa-se que: (a) as notificações foram decrescentes entre 2006 e 2008. (b) em 2006 aconteceu o maior número de notificações. (c) a razão de notificações entre 2004 e 2005 é 37863/34000. (d) em 2008 houve o maior número de notificações. (e) em 2006 as notificações duplicaram em relação às notificações de 2005. R: (d) 73)(UEPA-2009) O gráfico abaixo mostra a va- riação do consumo de gasolina em função da cilin- drada do motor. Fonte: Veja, 20/08/08 https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ 15 Blog do Prof. Gilberto Sobre o gráfico acima, é correto afirmar que: (a) é gráfico de uma função linear crescente. (b) é gráfico de uma função linear decrescente. (c) quanto maior a cilindrada maior o consumo de gasolina. (d) é gráfico de uma função quadrática com con- cavidade voltada para cima. (e) quanto maior a cilindrada menor o consumo de gasolina. R: (e) 74)(UFPA–2007) Em um jornal de circulação nacional foi publicada uma pesquisa, realizada no Brasil, com os percentuais, em função do ano, de famílias compostas por pai, mãe e filhos, chama- das famílias nucleares, e de famílias resultantes de processos de separação ou divórcio, chamadas novas famílias. Sabendo-se que os gráficos abaixo representam, a partir de 1987, a variação percen- tual desses dois tipos de família, com suas respec- tivas projeções para anos futuros, é correto afirmar: (a) No ano 2030, o número de novas famílias será igual ao de famílias nucleares. (b) No ano 2030, o número de novas famílias será menor do que o de famílias nucleares. (c) No ano 2030, o número de novas famílias será maior do que o de famílias nucleares. (d) No ano 2015, o número de novas famílias será igual ao de famílias nucleares. (e) No ano 2012, o número de famílias nucleares será menor do que a de novas famílias. R: (c) 75)(UFPA–2010) O gráfico abaixo apresenta a incidência de tuberculose, de 1990 a 2006, em quatro países lusófonos, Angola, Brasil, Moçambique e Portugal, segundo dados da Organização Mundial de Saúde. Com base neste gráfico, é INCORRETO afirmar: (a) Brasil e Portugal apresentaram comportamentos parecidos, com queda aproximadamente linear em seus índices. (b) No período de 1990 a 2006, dos quatro países, Moçambique foi o que apresentou maior crescimento de incidência relativa de tuberculose. (c) Nos últimos três anos do levantamento, de 2004 a 2006, Brasil e Portugal apresentaram diminuição da incidência relativa de casos de tuberculose, enquanto Angola e Moçambique apresentaram crescimento do índice. (d) No início do período estudado, dos quatro países, Angola era o país que apresentava maior índice de incidência, mas foi largamente ultrapassado por Moçambique, cujo índice aproximadamente dobrou na década de 90. (e) Em 2006, o índice de incidência de tuberculose em Angola era superior ao quíntuplo do índice brasileiro, enquanto o índice de Moçambique era superior a oito vezes o índice do Brasil. 9.9 Coeficiente linear Dada à função polinomial do 1° grau f(x) = ax + b, o coeficiente b da função é chamado coeficiente linear. Quando x = 0 ⟹ (0,b), isto é no plano cartesiano o coeficiente linear é a orde- nada do ponto onde o gráfico corta o eixo y. Geo- metricamente, Exemplos: a) Marcar o ponto no plano cartesiano do coefici- ente linear da função f(x) = 2x + 3. Resolução: b) Marcar o ponto no plano cartesiano do coefici- ente linear da função f(x) = 2x ‒ 3. Resolução: https://professorgilbertosantos.blogspot.com/16 Blog do Prof. Gilberto EXERCÍCIO PROPOSTO 76) Dada a função f(x) = 2x ‒ 6. Determine: a) a função é crescente ou decrescente? b) a raiz da função; c) o coeficiente linear; d) A partir da representação da raiz e o coeficien- te linear no plano cartesiano, construa o gráfico da função. EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 77)(Enem-2017) Em um mês, uma loja de ele- trônicos começa a obter lucro já na primeira se- mana. O gráfico representa o lucro (L) dessa loja desde o início do mês até o dia 20. Mas esse com- portamento se estende até o último dia, o dia 30. A representação algébrica do lucro (L) em função do tempo (t) é (a) L(t)=20t + 3000 (b) L(t)=20t + 4000 (c) L(t)=200t (d) L(t)=200t − 1000 (e) L(t)=200t + 3000 78)(Enem-2009) Uma empresa produz jogos pedagógicos para computadores, com custo fixo de R$ 1.000,00 e custos variáveis de R$ 100,00 por unidade de jogo produzida. Desse modo, o custo total x jogos produzidos é dado por C(x) = 1 + 0,1x (em R$ 1.000,00). A gerência da empresa determi- na que o preço de venda do produto seja de R$ 700,00. Com isso a receita bruta para x jogos é dada por R(x) = 0,7x (em R$ 1.000,00). O lucro lí- quido, obtido pela venda de x unidades de jogos, é calculado pela diferença entre a receita bruta e os custos totais. O gráfico que modela corretamente o lucro líquido dessa empresa, quando são produ- zidos x jogos, é (a) (d) (b) (e) (c) 79)(UEPA-2011) Uma fábrica apresenta um gasto fixo de R$ 11 000 na produção de papel reci- clado e R$ 0,06 na produção de cada folha. O gráfi- co que representa o custo total que a fábrica tem por mês na produção de folha de papel reciclado será: (a) Uma curva que passa pela origem do sistema de coordenadas. (b) Uma reta de origem no ponto (0, 11 000). (c) Uma reta de origem no ponto (6 600, 11 000). (d) Uma reta de origem no ponto (11 000, 327). (e) Uma reta de origem no ponto (6, 11 000). R: (b) 80)(UFPA–2008) Um fornecedor A oferece a um supermercado, um certo produto com os seguintes custos: R$ 210,00 de frete mais R$ 2,90 por cada kilograma. Um fornecedor B oferece o mesmo produto, cobrando R$ 200,00 de frete mais R$ 3,00 por cada kilograma. O gráfico que representa os custos do supermercado com os fornecedores, em função da quantidade de kilogramas é: (a) (d) https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ 17 Blog do Prof. Gilberto (b) (e) (c) R: (a) 81)(UFPA-00) Uma loja no centro de Belém alu- ga microcomputadores para usuários que desejam navegar pela Internet. Para utilizar esse serviço, o usuário paga uma taxa de R$ 2,00 acrescida de R$ 3,00 por hora de utilização da máquina. O gráfi- co que melhor representa o preço desse serviço é: (a) (d) (b) (e) (c) R: (c) 82)(UEPA-2012) O treinamento físico, na dependência da qualidade e da quantidade de esforço realizado, provoca, ao longo do tempo, aumento do peso do fígado e do volume do coração. De acordo com especialistas, o fígado de uma pessoa treinada tem maior capacidade de armazenar glicogênio, substância utilizada no metabolismo energético durante esforços de longa duração. De acordo com dados experimentais realizados por Thörner e Dümmler (1996), existe uma relação linear entre a massa hepática e o volume cardíaco de um indivíduo fisicamente treinado. Nesse sentido, essa relação linear pode ser expressa por y = ax + b, onde “y” representa o volume cardíaco em mililitros (ml) e “x” representa a massa do fígado em gramas (g). A partir da leitura do gráfico abaixo, afirma-se que a lei de formação linear que descreve a relação entre o volume cardíaco e a massa do fígado de uma pessoa treinada é: (fonte: Cálculo Ciências Médicas e Biológicas, Editora Harbra Ltda, São Paulo,1988 – Texto Adaptado) (a) y = 0,91∙x – 585 (d) y = ‒ 0,94∙x + 585 (b) y = 0,92∙x + 585 (e) y = 0,95∙x – 585 (c) y = ‒ 0,93∙x – 585 R: (e) 83)(UEPA-2011) O Produto Interno Bruto (PIB) representa a soma de todas as riquezas produzidas em um país. O crescimento do PIB é uma forma de garantir a melhoria da qualidade de vida da população. O gráfico acima mostra a variação anual do PIB no Brasil. O crescimento do PIB de 2005 para 2007, em porcentagem foi de: (a) 15,5 (b) 20,8 (c) 47,6 (d) 65,4 (e) 87,5 R: (e) https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ 18 Blog do Prof. Gilberto 84)(UEPA-2010) No processo de geração de um sinal de vídeo por meio dos sensores CCD/CMOS, quanto maior a quantidade de luz recebida por um determinado pixel, mais intensa a corrente elétrica gerada (efeito fotoelétrico na superfície foto- sensível do pixel) e, portanto, maior a carga con- centrada nos acumuladores individuais associados a cada pixel. Em outras palavras, quanto maior a luminosidade maior será a corrente gerada. Essa relação no sensor é sempre diretamente proporci- onal. O gráfico abaixo que melhor representa a relação da luminosidade com a voltagem é: Fonte: Texto adaptado de www.fazendovideo.com.br/vtsin3.asp (a) (d) (b) (e) (c) R: (c) 85)(UEPA-2009) O gráfico abaixo ilustra a área desmatada na Amazônia, mês a mês, conforme dados do Instituto Nacional de Pesquisas Espaci- ais: Sobre o gráfico acima, é correto afirmar que: (a) o período de agosto a novembro de 2007 re- presenta uma função sempre crescente. (b) no período de abril a julho de 2008 houve ape- nas tendência de queda na área desmatada. (c) no período de março a abril de 2008 houve uma tendência de crescimento de 67,45 %. (d) no segundo semestre de 2007 houve apenas tendência de queda na área desmatada. (e) o período de janeiro a março de 2008 repre- senta uma função sempre decrescente. R: (b) 86)(UEPA-2006) A aquicultura e a pesca artesanal Em 2001, a aquicultura (criação de animais e plantas aquáticas) nacional produziu, aproxima- damente, 210.000 toneladas/ano, incluindo peixes, moluscos e crustáceos, valor extremamente baixo quando comparado ao real potencial do setor. De acordo com as previsões feitas em 2001 pelo De- partamento de Pesca e Aquicultura – DPA do Mi- nistério da Agricultura, Pecuária e Abastecimento, caso sejam mantidas as taxas atuais de cresci- mento da aquicultura de 15% ao ano, é possível que o Brasil, em poucos anos, alcance uma boa produção. Dessa produção, os peixes de água do- ce – concentrados em carpas, tilápias e bagres – contribuem com aproximadamente 85% do total cultivado. Os restantes correspondem basicamente a camarões marinhos e mexilhões. Contudo, há uma tendência de aumento do consumo, princi- palmente, através de produtos beneficia- dos/industrializados, tais como filés e empanados. De todos os setores de produção animal, a aquicultura é a atividade que cresce mais rapida- mente. Desde 1970 a aquicultura cresceu a taxas médias de 9,2% ao ano. Em relação à pesca arte- sanal, estima-se que existam hoje 200 mil pesca- dores artesanais no Estado do Pará, que susten- tam as suas famílias com essa atividade. O volume médio mensal de produção por cada pescador é aproximadamente igual a 120 quilos de peixe. O Estado do Pará possui 100 embarcações para a captura de camarão, 48 barcos para a pesca da piramutaba e para o pargo. Supondo que as embarcações de camarão capturam x toneladas de camarão ao ano, as de piramutaba pescam y toneladas de piramutaba ao ano e as de pargo z toneladas de pargo ao ano, sendo x > y > z > 0. O gráfico que melhor represen- ta o número de embarcações (linhas de 34 a 36), em função das toneladas/ano, é: (a) (d) https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ 19 Blog do Prof. Gilberto (b) (e) (c) 87)(UEPA-2005, modificada)AÇAÍ (...) Hoje já existem projetos que pagam aos ribei- rinhos R$ 10,00 a lata rasa de 14 kg, para uma produção de até 20 latas diárias. Para produção acima de 20 latas se paga 10% a mais por lata. A expressão matemática que representa a receita R do ribeirinho, em reais, em função do número x de latas vendidas diariamente, é: (a) R(x) = { 10x ; 0 ≤ x ≤ 20 10x + 1; 20 < x (b) R(x) = { 14x ; 0 ≤ x ≤ 20 14x + 1; 20 < x (c) R(x) = { 10x ; 0 ≤ x ≤ 20 11x ; 20 < x (d) R(x) = { 14x ; 0 ≤ x ≤ 20 15,4x ; 20 < x (e) R(x) = { 10x ; 0 ≤ x ≤ 20 10x + 10; 20 < x R: (c) 88)(UEPA-2004) Nas feiras de artesanato de Belém do Pará, é comum, no período natalino, a venda de árvores de Natal feitas com raiz de patchouli. Um artesão paraense resolve incremen- tar sua produção, investindo R$ 300,00 na compra de matéria prima para confeccioná-las ao preço de custo de R$ 10,00 a unidade. Com a intenção de vender cada árvore ao preço de R$ 25,00, quantas deverá vender para obter lucro? (a) mais de 8 e menos de 12 árvores. (b) mais de 12 e menos de 15 árvores. (c) mais de 15 e menos de 18 árvores. (d) mais de 18 e menos de 20 árvores. (e) mais de 20 árvores. R: (e) 89)(UFPA–2010) Em uma viagem terrestre, um motorista verifica que, ao passar pelo quilômetro 300 da rodovia, o tanque de seu carro contém 45 litros de combustível e que, ao passar pelo quilômetro 396, o marcador de combustível assinala 37 litros. Como o motorista realiza o trajeto em velocidade aproximadamente constante, o nível de combustível varia linearmente em função da sua localização na rodovia, podendo portanto ser modelado por uma função do tipo C(x) = ax + b, sendo C(x) o nível de combustível quando o automóvel se encontra no quilômetro x da rodovia. Baseado nessas informações, é correto afirmar que, com o combustível que possui, o automóvel chegará, no máximo, até o quilômetro: (a) 800 (b) 840 (c) 890 (d) 950 (e) 990 R: (b) 90)(UFPA-2009) Na semana de 15 a 21 de se- tembro de 2008 o governo dos Estados Unidos da América divulgou um plano de socorro às institui- ções financeiras em crise. O Índice da Bolsa de Valores de São Paulo (IBOVESPA) teve forte varia- ção e obteve, no fechamento de cada dia da se- mana, os seguintes valores: Dia 15 16 17 18 19 Índice 48909 48989 47348 48484 52718 O gráfico que representa essa variação é: (a) (d) (b) (e) (c) R: (c) 91)(UFPA-2006) Uma locadora de veículos apresenta, para aluguel de certo tipo de carro, a seguinte tabela: Em uma diária, com percurso não superior a 100 km, para que a 2ª opção seja menor em reais, é necessário que o número de quilômetros percorridos pelo locatário pertença ao intervalo (a) [60,100] (c) ]60,100] (e) [0,60[ (b) ]60,100[ (d) [0,60] R: (e) https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ 20 Blog do Prof. Gilberto 92)(UFPA–2004) Texto para questões 92 e 93 Um professor estava assistindo ao progra- ma Zorra Total e ao ouvir a frase “VOU BEIJAR MUUUUIIITO”, no quadro da Tália, teve a ideia de fazer uma pesquisa nas escolas onde leciona, rela- cionando idade dos alunos com média de bei- jos/dia. O professor apresentou aos seus alunos os dados obtidos na pesquisa, na forma do gráfico abaixo, Analizando o gráfico, a alternativa que co- rresponde, respectivamente, ao intervalo da idade utilizada na pesquisa e ao da média de beijos/dia encontrados é a: (a) [0, 12]; [0, 4] (d) [0, 18]; [0, 16] (b) [12, 18]; [4, 16] (e) [4, 18]; [12, 16] (c) [4, 12]; [16, 18] R: (b) 93) O resultado da pesquisa pode ser representa- do por uma função matemática. Essa função e a média de beijos/dia dos alunos de 15 anos são, respectivamente, (a) y = 2 3 x + 2 e 12 (d) y = 2x ‒ 20 e 10 (b) y = x2 ‒ 16x + 23 e 8 (e) y = x ‒ 5 e 10 (c) y = 2x−12 e 8 R: (d) 94)(UFPA) Mensalmente, pago pela prestação de minha casa 1/5 do meu salário; metade do resta gasto em alimentação e 1/3 do que sobra coloco na poupança, restando-me ainda R$ 800,00 para gastos diversos. O valor colocado na poupança é de: (a) R$ 800,00 (c) R$ 400,00 (e) R$ 100,00 (b) R$ 650,00 (d) R$ 250,00 R: (c) 95)(CEFET–2008) Segundo fonte da Embrapa Amazônia Oriental, a produção de frutos do açai- zeiro no Estado do Pará cresceu de cerca de 90 mil toneladas, em 1994, para cerca de 150 mil em 2000. Se essa tendência de crescimento, mostra- da no gráfico, se manteve até 2004, a produção nesse ano teve um aumento, em relação a 1994, de aproximadamente: (a) 100% (b) 200% (c) 111% (d) 211% (e) 98% R: (c) 96)(UFPE) Um provedor de acesso à internet oferece dois planos para seus assinantes: plano A – Assinatura mensal de R$ 8,00 mais R$ 0,03 por cada minuto de conexão durante o mês. Plano B – Assinatura mensal de R$ 10,00 mais R$ 0,02 por cada minuto de conexão durante o mês. Acima de quantos minutos de conexão por mês é mais eco- nômico optar pelo plano B? (a) 160 (b) 180 (c) 200 (d) 220 (e) 240 R: (c) 97)(Furb-SC) O gráfico abaixo é formado por segmentos de reta e relaciona o valor de uma con- ta de água e o correspondente volume consumido. O valor da conta, quando o consumo for de 40 m3 será de: (a) R$ 50,00 (c) R$ 27,50 (e) R$ 26,50 (b) R$ 28,00 (d) R$ 26,00 R: (c) 98)(FETEC) Na figura a seguir tem se o gráfico da função f, onde f(x) representa o preço pago em reais por x cópias de um mesmo original, na Copi- adora Reprodux. De acordo com o gráfico, é ver- dade que o preço pago nessa copiadora por: (a) 228 cópias de um mesmo original é R$ 22,50. (b) 193 cópias de um mesmo original é R$ 9,65. (c) 120 cópias de um mesmo original é R$ 7,50. (d) 100 cópias de um mesmo original é R$ 5,00. (e) 75 cópias de um mesmo original é R$ 8,00. R: (b) Valor da Conta (R$) 40 15 30 50 volume consumido(m 3 ) https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ 21 Blog do Prof. Gilberto 10. FUNÇÃO INVERSA Dada uma função f: A → B, bijetora, denomina- se função inversa de f a função g: B → A tal que a ∈ A e ∀ b ∈ B, se f(a) = b, então g(b) = a. 10.1 Em diagramas Exemplo 1: f: A → B g: B → A f é função inversa de g, pois f(1) = 6 e g(6) = 1 f(3) = 8 e g(8) = 3 f(4) = 9 e g(9) = 4 Observação: f e g são bijetoras. Exemplo 2: Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 7} e B = {4, 8, 12, 28}, f: A → B, g: B → A, definidas por f(x) = 4x e g(x) = 𝐱 𝟒 . f: A → B g: B → A f(x) = 4x g(x) = x 4 Df = {1, 2, 3, 7} Dg = {4, 8, 12, 28} Imf = {4, 8, 12, 28} Img = {1, 2, 3, 7} f é função inversa de g. Observação: f e g são bijetoras. 10.2 Processo para determinar a função inversa Na situação que acabamos de ver (Exemplo 2 do Tópico 10.1), dada a função bijetora cuja lei é f(x) = 4x, a função 𝒇−𝟏 inversa de f, tem como lei 𝒇−𝟏 = 𝐱 𝟒 . Vejamos como a partir de f chegar a 𝑓−1: • Escrevemos a f(x) = 4x na forma y = 4x; • Em y = 4x trocamos y por x e x por y, obtendo x = 4y; • Em x = 4y, isolamos y, obtendo y = x 4 ; • Escrevemos y = x 4 na forma 𝑓(x)−1 = x 4 , que é a função inversa de f. Veja o esquema abaixo: y = 4x ↓ ↓ x = 4y ⇕ y = x 4 , que escrevemos na forma 𝑓(x)−1 = x 4 Observação: Uma função f é invertível se, e somente se, f é bijetora. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 99) Determine a função inversa das seguintes funções bijetoras de ℝem ℝ: a) f(x) = x ‒ 6 c) f(x) = 3x + 4 b) f(x) = 1 ‒ 2x d) f(x) = 3x 100) Determine a função inversa de cada função: a) y = x ‒ 3 R: y = x + 3 b) y = x + 2 4 R: y = 4x ‒ 2 c) y = 3x − 2 4x − 3 , (x ≠ 3 4 ) R: y = 3x−2 4x−3 (x ≠ 3 4 ) d) y = x + 5 2x − 3 , cujo domínio é D = ℝ ‒ { 3 2 }. R: y = 3x+5 2x−1 (x ≠ 1 2 ) 101) Sejam os conjuntos A = {‒ 2, ‒ 1, 1, 2, 3} e B = {2, 5, 10} e a função f: A → B tal que f(x) = x2 + 1. a) Construa o diagrama de flechas representando a função f. b) Construa o diagrama de flechas representando a função 𝑓−1. c) A relação 𝑓−1 é função? d) A função f é invertível? 102) Sejam os conjuntos A = {9, 4, 1, 0} e B = {3, 2, 1, 0} e a função f: A → B tal que f(x) = √x. a) Construa o diagrama de flechas representando a função f. b) Construa o diagrama de flechas representando a função 𝑓−1. c) A relação 𝑓−1 é função? d) A função f é invertível? Por quê? 103) Seja a função invertível f: ℝ → ℝ dada por f(x) = x3. Determine 𝑓−1(x). R: y = √x3 EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 104)(UFPA-2008) O custo C de produção de uma peça em função do número n de produtos é dado pela fórmula C(n) = 1 1+n2 . A função inversa desta fórmula é (a) n = 1/√1 + C2 (d) n = 1/√(1 + C)/C (b) n = 1/(1 − C2) (e) n = 1/√(1 + C2)/C https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ 22 Blog do Prof. Gilberto (c) n = 1/√(1 − C)/C R: (c) 105)(Mackenzie-SP) Dada à função f: ℝ → ℝ, definida por f(x) = x3 + 1, sua inversa 𝑓−1: ℝ → ℝ é definida por: (a) 𝑓−1(x) = √x3 + 1 3 (d) 𝑓 −1(x) = 1 √x3+1 3 (b) 𝑓−1(x) = 1 x3+1 (e) n.d.a. (c) 𝑓−1(x) = √x − 1 3 R: (c) 10.3 O gráfico da função inversa Vamos observar, através de exemplos, co- mo ficam dispostos os gráficos de uma função f e da sua inversa 𝒇−𝟏 em um mesmo sistema de ei- xos. a) Seja a função f dada por f(x) = x + 2 e a sua inversa dada por 𝒇−𝟏(x) = x ‒ 2. b) Seja a função bijetora f: ℝ+ → ℝ+ dada por f(x) = x2 e a sua função inversa 𝒇−𝟏: ℝ+ → ℝ+, dada por 𝒇−𝟏(x) = √𝐱. Os exemplos dados mostram que o gráfico de uma função f e o gráfico da sua função inversa 𝒇−𝟏 são simétricos em relação à reta y = x que re- presenta a bissetriz do 1º e 3º quadrantes. Isso ocorre em todos os casos de função inversa. Veja que a função exponencial é a função inversa da função logarítmica na Apostila de Fun- ção Logarítmica. EXERCÍCIO PROPOSTO 106) Seja f:ℝ → ℝ a função definida por f(x) = ‒ 6x + 2. a) Determine 𝒇−𝟏(x). b) Construa os gráficos de f e 𝒇−𝟏 no mesmo sis- tema de eixos. EXERCÍCIOS ANALÍTICOS-DISCURSIVOS DE VESTIBULARES 107)(UEPA-2004) Foi criado pelo Estado o tri- buto Pessoa Natural para facilitar a legalização de algumas empresas, desde que seu faturamento anual esteja dentro de determinada faixa. Com esse imposto, o beneficiado passa a usar notas fiscais padronizadas pela Secretaria de Fazenda, sem a necessidade do Cadastro Nacional da Pes- soa Jurídica (CNPJ), tendo apenas que recolher mensalmente a importância de R$ 10,00 aos cofres públicos. O proprietário de uma fabrica de vassou- ras de piaçava, incluído no programa Pessoa Natu- ral, gasta R$ 0,60 por vassoura produzida. Pede– se: (a) A expressão que fornece o custo mensal C, tomando como dados, o imposto e o custo por x vassouras produzidas. R: C = 0,60x + 10,00 (b) O número de vassouras produzidas no mês em que o custo mensal foi de R$ 1 090,00. R: 1 800 vassouras 108)(UEPA-2001) Para produzir um determina- do artigo, uma indústria tem dois tipos de despe- sas: uma fixa e uma variável. A despesa fixa foi estima em R$ 90,00 (noventa reais), e a variável deverá corresponder a 30% do total das vendas. Se, para o mês de março de 2001, pretende-se que o lucro em relação ao produto represente 20% do total das vendas, qual deve ser, em reais, o volume de vendas e de quanto será o lucro? R: venda R$ 180,00; lucro R$ 16,00 109) (UEPA-00) O empregado de uma empresa ganha mensalmente x reais. Sabe-se que ele paga de aluguel R$ 120,00 e gasta 3/4 de seu salário em sua manutenção, poupando o restante. Então: a) Encontre uma expressão matemática que defi- na a poupança p em função do salário x. b) Para poupar R$ 240,00, qual deverá ser o seu salário mensal? R: a) x 4 ‒ 120; b) R$ 1 440,00 110)(UEPA-98) Um marreteiro compra diaria- mente objetos por R$ 3,00 e os revende por R$ 5,00, gastando R$ 100,00 com transporte. Se x é a quantidade vendida e y o lucro diário do mar- reteiro, então escreva a lei que determina este lucro. R: L = 2,00x ‒ 100 https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-funcao-logaritmica-6.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-funcao-logaritmica-6.html 23 Blog do Prof. Gilberto EXERCÍCIOS EXTRAS 111) Os gráficos abaixo mostram como tem au- mentado a expectativa de vida do brasileiro, desde a década de 50, e como tem caído a taxa de mor- talidade infantil. a) De 1950 a 1980, qual foi o período em que hou- ve um aumento maior na expectativa de vida do brasileiro? b) Qual é o aumento percentual esperado, na ex- pectativa de vida, de 1998 para 2020? c) Qual o período em que a mortalidade infantil teve uma diminuição maior: de 1950 a 1970 ou de 1970 a 1991? d) Pense e discuta com os colegas na classe se há alguma relação entre aumento da expectativa de vida e queda da mortalidade infantil. 112) Uma barra de ferro aquecida até uma tem- peratura de 30°C e a seguir resfriada até uma temperatura de 6°C no intervalo de tempo de 0 a 6 min. a) Esboce o gráfico da temperatura em função do tempo. b) Em que intervalo de tempo a temperatura es- teve negativa? 113) O gráfico mostra a temperatura de uma região do Rio Grande do Sul desde 5 h até 11 h. a) Em que horário desse período a temperatura atingiu 0°C? R: 6h b) Entre que horas desse período a temperatura esteve negativa? R: [5 h, 6 h) c) Entre que horas desse período a temperatura esteve positiva? R: (6 h, 11 h] 114) O valor de um determinado carro decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ele vale dez mil dólares e, daqui a cinco anos, quatro mil dólares, qual será o seu valor daqui a três anos? R: R$ 6 400,00 115) Seu Joaquim comprou, em 1988, uma casa no valor de R$ 2 000,00. Após dois anos, um corre- tor avaliou a casa em R$ 24 000,00. Supondo que o valor da casa em função do tempo seja descrito por uma função do 1º grau e que o tempo 0 seja o ano de compra da casa: a) Determine a expressão do valor da casa em função do tempo; b) Determine o valor mínimo da venda da casa; c) Cite o ano de construção da casa, sabendo que o terreno onde ela foi construída tem o valor fixo de R$ 8 000,00. 116) O salário fixo mensal de um segurança é de R$ 560,00. Para aumentar sua receita, ele faz plan- tões noturnos em boate, onde recebe R$ 60,00 por noite de trabalho. a) Se em um mês o segurança fizer 3 plantões, que salário receberá? b) Qual é o salário final y quando ele realiza x plantões? c) Qual é o número mínimo de plantões necessá- rios para gerar uma receita superior a R$ 850,00? 117) Um vendedor recebe mensalmente um salá- rio composto de duas partes: uma parte fixa, no valor de R$ 900,00, e uma variável, que corres- ponde a uma comissão de 8% do total de vendas que ele fez durante o mês. a) Expresse a lei da função que representa seu salário mensal. b) Calcule o salário do vendedor sabendo que du- rante um mês ele vendeu R$ 50 000,00 em produ- tos. 118) Uma companhia de telefones celulares ofe- rece a seus clientes duas opções: na 1ª opção, cobra R$ 38,00 pela assinatura mensal e mais R$ 0,60 por minuto de conversação; na 2ª opção não há taxa de assinatura,mais o minuto de conversa- ção custa R$ 1,10. a) Qual é a opção mais vantajosa para 1 hora de conversação mensal? b) A partir de quanto tempo deve-se optar pela 1ª opção? https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ 24 Blog do Prof. Gilberto Recursos Pedagógicos (Ensino Híbrido) • Slides das aulas de Função e Função do 1º Grau • Apostila de Função e Função do 1º Grau (9 pá- ginas, 35 questões) • Apostila de Função do 2º Grau (7 páginas, 39 questões) • Apostila de Função do 2º Grau (9 páginas, 56 questões) com gabarito • Apostila de Função Exponencial (8 páginas, 38 questões) com gabarito • Apostila de Função Logarítmica (6 páginas, 43 questões) • Apostila de Função Modular (6 páginas, 32 questões) • Laboratório de Função do 1º Grau com Geoge- bra (4 páginas, 10 exercícios) • Laboratório de Função do 2º Grau com Geoge- bra (3 páginas) • Laboratório de Funções com planilhas eletrôni- cas (7 páginas, 10 exercícios) • Apostila de Matemática Financeira (9 páginas, 62 questões) • Apostila de Matemática Financeira (20 páginas, 140 questões) com gabarito • Todas as apostilas de Matemática de Ensino Médio do Prof. Gilberto • Videoaulas de Matemática de Ensino Médio do Prof. Gilberto Referências DANTE, L.R. Matemática: Contexto & Aplicações. 2. Ed. São Paulo: Ática, 2000, v.1. GIOVANNI, J.R.; BONJORNO, J.R. Matemática 1: Uma nova abordagem. São Paulo: FTD, 2000, v.1. Lima, E.L. Curso de Análise. 11. Ed. Rio de Janeiro: Associa- ção Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2004, v.1. (Projeto Euclides). PAIVA, M. Matemática. 1. Ed. São Paulo: Moderna, 1999, v.único. (Coleção base). “Você constrói a sua vitória.” “A perseverança alimenta a esperança.” Nunca deixe que lhe digam: Que não vale a pena Acreditar no sonho que se tem Ou que seus planos Nunca vão dar certo Ou que você nunca Vai ser alguém... Renato Russo Atualizada em 29/12/2020 Gostou da apostila? Você encontra várias apostilas como essa no blog do Professor Gilberto Santos, no endereço https://professorgilbertosantos.blogspot.co m/ https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/slides-das-aulas-de-funcao-e-funcao-do.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/slides-das-aulas-de-funcao-e-funcao-do.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/slides-das-aulas-de-funcao-e-funcao-do.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-funcao-e-funcao-do-1-grau-8.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-funcao-e-funcao-do-1-grau-8.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-funcao-e-funcao-do-1-grau-8.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/apostila-de-funcao-do-2-grau-7-paginas.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/apostila-de-funcao-do-2-grau-7-paginas.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/apostila-de-funcao-do-2-grau-9-paginas.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/apostila-de-funcao-do-2-grau-9-paginas.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/apostila-de-funcao-exponencial-8.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/apostila-de-funcao-exponencial-8.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-funcao-logaritmica-6.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-funcao-logaritmica-6.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/apostila-de-funcao-modular-6-paginas-32.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/apostila-de-funcao-modular-6-paginas-32.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/laboratorio-de-funcao-do-1-grau-com.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/laboratorio-de-funcao-do-1-grau-com.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/laboratorio-de-funcao-do-2-grau-com-o.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/laboratorio-de-funcao-do-2-grau-com-o.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/laboratorio-de-funcoes-com-planilhas.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/laboratorio-de-funcoes-com-planilhas.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-matematica-financeira-8.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-matematica-financeira-8.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-matematica-financeira-19.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-matematica-financeira-19.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/p/blog-page.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/p/blog-page.html https://professorgilbertosantosjr.blogspot.com/p/videos.html https://professorgilbertosantosjr.blogspot.com/p/videos.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ https://professorgilbertosantos.blogspot.com/
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