METODOLOGIA-DO-ENSINO-DE-MATEMÁTICA-E-FÍSICA

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METODOLOGIA DO ENSINO DE MATEMÁTICA FÍSICA 
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Sumário 
 
NOSSA HISTÓRIA .......................................................................................... 2 
1 Metodologia do ensino de Física ............................................................... 3 
1.1 Introdução ........................................................................................... 3 
1.2 Uma proposta metodológica................................................................ 5 
1.3 Diretivas básicas ................................................................................. 6 
1.4 Análise ocupacional e quadros referenciais ........................................ 8 
1.5 Sequência processual ....................................................................... 11 
1.6 Orientações para a elaboração das folhas operacionais ................... 14 
1.7 Conclusão ......................................................................................... 16 
2 Metodologia do ensino Matemática ......................................................... 17 
2.1 Introdução ......................................................................................... 17 
2.2 Um ensino de matemática baseado na “crença” ou na “certeza”? .... 19 
Referencias ................................................................................................... 29 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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NOSSA HISTÓRIA 
 
 
A nossa história inicia com a realização do sonho de um grupo de empresários, 
em atender à crescente demanda de alunos para cursos de Graduação e Pós-
Graduação. Com isso foi criado a nossa instituição, como entidade oferecendo 
serviços educacionais em nível superior. 
A instituição tem por objetivo formar diplomados nas diferentes áreas de 
conhecimento, aptos para a inserção em setores profissionais e para a participação 
no desenvolvimento da sociedade brasileira, e colaborar na sua formação contínua. 
Além de promover a divulgação de conhecimentos culturais, científicos e técnicos que 
constituem patrimônio da humanidade e comunicar o saber através do ensino, de 
publicação ou outras normas de comunicação. 
A nossa missão é oferecer qualidade em conhecimento e cultura de forma 
confiável e eficiente para que o aluno tenha oportunidade de construir uma base 
profissional e ética. Dessa forma, conquistando o espaço de uma das instituições 
modelo no país na oferta de cursos, primando sempre pela inovação tecnológica, 
excelência no atendimento e valor do serviço oferecido. 
 
 
 
 
 
 
 
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1 Metodologia do ensino de Física 
 
1.1 Introdução 
 
Há mais de três décadas, um ditada argentino, Henrique Loedel, apresentava duas 
proposições sobre a aprendizagem escolar de Física: 
 
1) se o aluno conseguir refazer as experiências de sala de aula em casa, a 
assimilação cognitiva dos fenômenos físicos estudados terá sido efetiva; 
2) o aprendizado de uma ciência é similar ao de uma nova língua. 
 
 A primeira dessas duas é educacionalmente importante, pois a reprodução, em casa, 
das experiências de uma aula de Física: 
 
a) ajuda a formar o cientista desde a mais tenra idade, desmistificando a ideia de 
que se deva contar com um laboratório super equipado para desenvolver um 
ensino eficiente de Física; 
b) desperta o estudante para a observação criteriosa e possibilita-lhe 
extrapolações que poderão, se bem dirigidas, produzir frutos a médio e a longo 
prazo; 
c) cria no aluno o hábito da experimentação no desenvolvimento das suas 
atividades de aprendizagem; 
d) possibilita ao aluno a integração de conhecimentos afins e correlatos. 
 
Da segunda afirmação permite deduzir-se que, se o aprendizado de uma ciência é 
como o de uma nova língua, os conceitos e termos específicos da Física e da 
Matemática devem pouco a pouco entrar na vida diária do aluno e, por isso, não 
podem ser vulgarizados com o objetivo de uma mera memorização escolar. 
 
É interessante notar que as decorrências das proposições enfocadas, de mais de 
trinta anos atrás, são hoje referidas como novidade didática por exemplo, o uso de 
materiais de sucata nas aulas, o ensino de Física por meio de experiências etc. Nessa 
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linha de inovação do ensino escolar de Física, pode-se ter como um pressuposto 
operacional a utilização de material de fácil obtenção para as experiências de 
aprendizagem. São encontrados atualmente trabalhos notáveis nesse sentido: 
Santos Diez Arribas com sua mala ; professores do Departamento de Física da USP 
e seus canudinhos de refresco, fios de nylon etc. Estes e outros têm o mérito da 
iniciativa e da pesquisa, além de fundamentados na História e Filosofia da Ciência, 
na Metodologia e Prática de Ensino, mas fazem pressupor, por parte dos professores 
que deles se poderão servir, qualidades e condições nem sempre comuns. 
 
Com a implantação do Laboratório de Ensino e Aprendizagem de Matemática e 
Ciências Físicas e Biológicas, no Setor de Educação da UFPR, foi possível identificar 
entre os professores contatados uma tradição de um ensino metodologicamente 
fechado e, mesmo com materiais suficientes, preparo e treinamento de desempenhos 
diferenciados, permanece a tendência de um ensino puramente expositivo. Deve-se, 
no entanto, reconhecer a importância dos materiais, com sua força incentivadora e a 
riqueza de possibilidades didáticas que oferecem. Assim, o exemplo do pêndulo duplo 
(dois corpos) é valioso no estudo da lei de Coulomb, da decomposição de força, em 
trigonometria etc. Mas tudo isso pode ser perdido por ações mal conduzidas pelo do 
professor. 
 
Do exposto nos dois últimos parágrafos segue-se a necessidade de diretrizes 
metodológicas que mudem a atitude e a ação do aluno diante dos materiais de 
aprendizagem, de modo que ele possa decidir-se inteligentemente e deixe de seguir 
simples receitas. Esses materiais devem, basicamente, assegurar ao aprendiz 
momentos de reflexão para tomada de decisões. Deste modo, o aluno saberá quando 
pode ou deve generalizar uma conclusão, ou não. Em outras palavras, o importante 
é que os materiais utilizados dêem ao aluno segurança na condução experimental 
das tarefas de aprendizagem. 
 
 
 
 
 
 
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1.2 Uma proposta metodológica 
 
A objeção de que a criatividade do professor e do aluno ficaria limitada por uma 
metodologia de organização da situação de ensino decorre, seja permitido dizê-lo, do 
desconhecimento das vantagens de uma condução ordenada das atividades de 
aprendizagem; com efeito, a previsão detalhada das experiências a serem 
desenvolvidas permite ao professor atender melhor às características individuais de 
cada estudante, ajudando-o a explorar suas próprias potencialidades. Não tem 
consistência, igualmente, a afirmação de que o trabalho do professor aumentará se 
ele favorecer a diferenciação dos níveis de desempenho dos alunos de uma mesma 
turma, pois: 
 
a. como é difícil e artificial a formação de turmas homogêneas de alunos, 
seria apenas mais fácil ou educacionalmente recomendável nivelá-los 
por baixo ?; e 
b. aceitando a realidade das turmas e adotando uma estratégia de trabalho 
operacionalmente programado, o professor possibilitará aos alunos 
mais dotados um progresso mais rápido e aprofundamento de 
conhecimentos, sem prejudicar aqueles de ritmo mais lento na 
aprendizagem. 
 
A questão de uma metodologia ser válida ou não, portanto, não se põe em termos de 
preferências ou posições descompromissadas, mas a partir da avaliação dos 
resultados de aprendizagem por parte dos alunos de diferentes níveis iniciais e 
condições individuais de progresso. Daí que, em sua implementação concreta, a 
validade de uma metodologia de ensino deriva-se da ação do professor, sob as 
dimensões de planejamento prévio, execução efetiva do plano adotado e avaliação 
dos processos (incluindo materiais e recursos)e dos resultados de aprendizagem 
alcançados pelos grupos de alunos. As ciências naturais, a Física principalmente, têm 
suas estruturas construídas sobre bases sólidas recobertas por uma malha teórica 
que liga todos os elementos ao complexo total. E uma ciência empírica que, 
naturalmente se apoia nos dados da observação e constrói sua estrutura teórica por 
meio do método indutivo. 
 
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1.3 Diretivas básicas 
 
Pode-se presumir que, em suas origens, o ato de ensinar envolvia alguém que sabia 
uma arte ou um ofício e procurava transmitir esse conhecimento a outro, sendo válido 
supor-se que: 
 
1) o aprendiz teria um motivo para aprender o que lhe era ensinado; 
2) o aprendiz já havia observado o artesão executando a tarefa ou o serviço em 
ritmo normal, com habilidade modelar; e 
3) o material necessário para a execução da tarefa de aprendizagem seria o 
mesmo utilizado no trabalho rotineiro do artesão. 
 
A partir dessa visão, originária dos atos de ensinar e aprender, pode-se levantar 
algumas normas orientadoras que poderão ser tomadas como pressupostos de uma 
metodologia inovadora para o ensino e aprendizagem escolares de Física. 
 
1. Clareza de orientação: É fundamental que o aluno, antes de iniciar uma atividade 
ou tarefa, tenha uma compreensão sobre: 
 
a) o que deverá fazer; 
b) como poderá fazê-lo; 
c) quando fazê-lo; 
d) com que fazê-lo (desde os conhecimentos teóricos correlatos até os 
materiais ou recursos envolvidos). 
 
2. Adequação de materiais e recursos, isto é: 
 
a) que sejam simples e apropriados aos fins a que se destinam; 
b) que sejam variados, para que não ocorra vinculação na percepção do 
estudante entre conceitos e algum material típico; 
c) que façam parte, na medida do possível, da realidade cotidiana do 
aluno; por exemplo, um interruptor elétrico deve ser aquele já conhecido 
pelo estudante em sua casa, no automóvel etc., e assim com os demais 
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componentes eletro-eletrônicos que estejam em utilização numa dada 
experiência de aprendizagem; 
d) que possibilitem operações que desenvolvam habilidades de aplicação 
habitual, comum deixando-se de lado qualquer artificialismo técnico até 
que o aprendiz tenha dominado as técnicas simples e básicas de uma 
dada área de atividade; por exemplo, numa experiência com fiação 
elétrica, o aluno deverá inicialmente saber descascar um condutor 
elétrico, emendá-lo e isolá-lo novamente, antes de passar a manipular 
conectores de pronto uso. 
 
3. Seleção e organização dos conteúdos de aprendizagem: O professor deverá 
selecionar previamente os conhecimentos imediatos e mediatos a serem 
desenvolvidos pelo aluno, organizando-os numa cadeia sequencial de pré-requisitos, 
de modo que lhe seja possível acompanhar os passos ou etapas da aprendizagem 
prevista e identificar os conhecimentos que possam ser exigidos paralela ou 
complementarmente pela utilização de algum material no decorrer de uma 
experiência. 
 
4. Contextualização integrativa: O estudo dos fenômenos físicos envolvidos numa 
experiência de aprendizagem deve abranger uma suficiente referência ao contexto 
histórico da exploração científica e técnica desses fenômenos, bem como 
desenvolver os conceitos pertinentes e propiciar as possíveis aplicações práticas 
facilitando ao aluno a experiência de uma compreensão integrada das informações 
históricas, dos conceitos específicos e das atividades de aplicação; quando do uso 
de modelos, nas experiências, sua utilização como estratégia de aprendizagem deve 
ficar clara ao aluno, para evitar-se que eles fechem a possibilidade de se buscar 
outras alternativas na solução dos problemas. 
 
 
 
 
 
 
 
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1.4 Análise ocupacional e quadros referenciais 
 
Um dos pontos-chave desta metodologia está em que ela é iniciada com uma 
pesquisa de mercado. Não tem sentido, com efeito, formar alguém para uma 
ocupação que não exista numa dada sociedade. Assim, com base nos dados 
levantados, são propostas tarefas ou atividades típicas de uma ocupação profissional, 
ou seja, a estrutura do curso decorre da realidade observada e avaliada em termos 
de demandas específicas do consumo de bens e serviços. 
 
O rol das atividades típicas deve ser organizado em ordem crescente de dificuldade, 
obedecendo a uma cadeia de pré- requisitos. Deve-se, também, analisar 
cuidadosamente as atividades, verificando se cabe em algum caso uni-las ou 
desmembrá-las. Como um referencial desejável, cada série metódica ou unidade de 
trabalho deveria conter de dez a doze atividades. Cada uma delas, por sua vez, 
subdivide-se em operações. Uma operação é um conjunto de procedimentos 
elementares e que, reunidos, formam uma ação. Por exemplo, num estudo de 
eletrostática, pode-se, entre outras, prever as seguintes atividades: 
 
1) montar o pêndulo eletrostático; 
2) construir um eletroscópio; 
3) eletrizar um corpo por atrito. 
 
A atividade nº 1, por exemplo, compõe-se de operações como: 
 
a) construir uma base estável; 
b) construir o suporte; 
c) montar a haste no suporte. 
 
Na previsão das atividades deve-se considerar, na linha das diretivas já 
apresentadas, duas orientações básicas: 
1) propiciar ao aluno condições de trabalho manual; 
2) possibilitar-lhe iniciar o processo de aprendizagem com 
uma atividade simples, que exija como um referencial o máximo 
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de cinco operações novas; esse critério poderá ser seguido no 
restante da série de atividades. 
 
 
Para que o professor tenha condições de prever e desenvolver com maior eficácia os 
exercícios de aprendizagem dos alunos, é conveniente que ele elabore dois quadros 
referenciais: 
 
1) um analítico: que possibilita a análise dos conteúdos de 
conhecimentos técnicos, imediatos e mediatos; 
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2) outro de programa: que relaciona as atividades e as 
operações, formando a cadeia dos pré-requisitos. 
 
Na prática, esses quadros, o analítico e o de programa podem evoluir e passar por 
modificações durante as suas aplicações. 
 
Organização operacional______ 
 
Uma unidade de trabalho compõe-se de adversas atividades de operações. Tem-se 
de levar em conta os conteúdos correlatos (imediatos e mediatos) e também a 
avaliação. Para tanto, organiza-se o trabalho em: 
 
1) folhas de atividades: pelas quais o aluno deverá 
conscientizar-se do que fazer, com que fazê-lo e porque fazê-lo; 
2) folhas de operações: destinadas a informar ao aluno como 
e quando fazer algo; 
3) folhas de informações: Estas darão ao estudante os 
conteúdos e as técnicas necessárias para o conhecimento dos 
materiais que vai empregar, assim como a(s) teoria(s) 
envolvida(s) no trabalho; 
4) questionários: Têm o objetivo de avaliar o conhecimento 
técnico e teórico assimilado pelo aluno. As folhas e os 
questionários são planejados e elaborados pelo professor. 
 
Ao aluno cabe fazer o roteiro de atividades, compreendendo: 
 
1) sucessão de operações; 
2) diagramas e/ou gráficos que expliquem o desenvolvimento de 
atividades; 
3) seleção e organização de recursos e/ou materiais; 
4) respostas aos questionários. 
 
Terminada a confecção do roteiro, professor e alunos o examinam e verificam se há 
condições de execução da tarefa seguindo esses passos. Os problemas normalmente 
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detectados são de ordenação lógica das operações e esquecimento de materiais ou 
instrumentos. 
 
1.5 Sequência processual 
 
Para realizar a atividade são cumpridas as seguintes etapas: 
 
a) entrega do material escrito: Folhas de atividades, de operações, de 
informações; formulários para o questionário e plano de atividades; 
b) leitura silenciosa do material pelo aluno (pode ser realizada com os 
alunos em grupos); 
c) comentário sobre a atividade como um todo - quando o professor deverá 
demonstrar todas as operações novas; 
d) releitura feita pelo aluno do material e a montagem deseu plano; 
e) análise dos planos (individuais ou grupais); 
f) execução da tarefa; 
g) avaliação (hétero e auto-avaliação). 
 
Ao longo do desenvolvimento de uma unidade de trabalho, o professor conduz uma 
análise e uma avaliação imediatas desta. 
 
A seguir são explicitadas as fases processuais da metodologia proposta. 
 
Primeira fase: leitura do material 
 
O professor organiza seus alunos da maneira mais conveniente, em grupos ou 
individualmente. Segundo as características do material, o aluno deverá de imediato 
saber o que, como, quando e com que realizar a(s) atividade(s) prevista(s). 
 
Um aspecto extremamente importante nesse processo é a localização da atividade 
pelo aluno, a qual ele executará no contexto da disciplina (no caso, a Física), para 
que a relacione com sua vida diária (verificando as implicações tecnológicas do 
conhecimento, como originou-se e a que levará tal conhecimento). 
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Segunda fase: demonstração 
 
Em vista do que tiver sido feito na fase anterior, o professor deve dialogar com os 
alunos, procurando sondar o grau de seus conhecimentos e ampliá-los 
criteriosamente. A demonstração, nesse sentido, é fato didático-pedagógico 
importante e não deve ser dispensada, compreendendo as seguintes etapas: 
 
1) desenvolvimento da operação em situação normal, exatamente como seria feita 
pelo maior entendido no assunto. Tal atitude é necessária para dar ao aluno uma 
noção precisa do tempo de execução da operação. Por exemplo, se esta for a 
eletrização de um corpo por contato, o professor atrita o bastão, aproxima-o do corpo 
de prova e produz o efeito visado; 
2) repetição da operação em ritmo lento, pausado, com análise e explicação de cada 
passo; o professor repete ainda algum passo, conforme julgar necessário, e comenta 
os resultados; 
3) análise, feita pelo professor, do desempenho dos alunos e correção dos seus 
eventuais erros; 
4) se houver necessidade, o professor refaz a operação toda. 
 
A esta altura, pode-se prever uma nova objeção à metodologia em foco, no sentido 
de que o estudante estará recebendo tudo de mão beijada. 
 
No entanto, considere-se que: 
 
a) cada operação faz parte de uma atividade e, por meio de uma operação, o aluno 
aprende o suficiente para realizar a experiência prevista; se esta for, por exemplo, 
demonstrar a lei de Coulomb, o estudante aprende apenas a carregar eletricamente 
um corpo; 
b) tal metodologia libera o professor para utilizar um plano de experiência, que poderá 
ser de um dos seguintes tipos: 
1) comprovação simples; 
2) redescoberta; 
3) comprovação induzida; 
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4) um outro método heurístico à escolha do professor; 
c) o aluno tem participação ativa em qualquer fase do processo, vivenciando 
momentos de tomada de decisões, de indução de resultados,etc. 
 
Assim, pois, não se evidencia na metodologia proposta nenhuma característica 
tolhedora do raciocínio do aluno ou que limite seu envolvimento ativo nas experiências 
de aprendizagem. 
 
Terceira fase: execução da tarefa 
 
O aluno tem seu plano, conhecimento do que vai fazer e de como fazê-lo. O professor 
deve tão somente, nesta fase, observar e orientar o desenvolvimento do trabalho. 
 
Quarta fase: avaliação 
 
O professor deverá possibilitar aos alunos um exercício de auto-avaliação, além de 
considerar ele próprio as atitudes de cada aluno e formar um julgamento sobre o 
conhecimento demonstrado. Com base nos resultados de aprendizagem alcançados 
pelos aprendizes, o professor avalia seu plano de trabalho e os materiais utilizados. 
 
Os alunos que completarem a atividade planejada mais cedo que os outros poderão 
receber as folhas de conhecimentos mediatos ou serem orientados a uma bibliografia 
de apoio ou, ainda, auxiliar os colegas com mais dificuldades de aprendizagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.6 Orientações para a elaboração das folhas operacionais 
 
Folha de atividades 
 
O objetivo desta folha é indicar ao aluno a sequência do trabalho a executar. Ela deve 
conter: 
 
a) título: em linguagem simples, permitindo ao aluno compreender de 
imediato o que fazer; 
b) ilustração: que represente uma vista global ou de conjunto das tarefas. 
Deve, na medida do possível, configurar a fase sincrética das 
atividades; 
c) ordem de execução: no imperativo, retrata a parte analítica das 
atividades. Deve dar a sequência lógica da execução e mencionar a 
cada etapa, se necessário, as folhas de operações e de informações, 
para o aluno consultá-las na realização das tarefas; 
d) material e equipamento: São indicados todos os materiais (ferramentas, 
utensílios, aparelhos etc.) que serão utilizados na realização das 
tarefas; 
e) rotulação da folha: Título, a ocupação, tempo de execução, referência 
da folha, número de ordem, sigla, nome ou logotipo da instituição. 
 
Folha de operações 
 
Seu objetivo é dar o processo correto de execução da operação, decompondo-a em 
passos e sub-passos, se for o caso. Compõem-se de: 
 
a) título: Nome completo da operação, usando-se um verbo de ação como 
termo básico; 
b) introdução: que esclarece o título de modo sucinto, apresentando os 
objetivos da operação e, fundamentalmente, as aplicações práticas; 
deve conter uma ilustração dinâmica que expresse uma ideia sincrética 
da operação; 
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c) processo de execução: que detalha analiticamente os passos de 
execução da operação, contendo ilustrações para facilitar ao aluno a 
compreensão do texto escrito. Recomenda-se destacar em cada passo 
qualquer observação (destaque ou ponto-chave) que, se não 
considerada, poderá prejudicar todo o andamento da operação; 
igualmente, valorize-se uma atitude de precaução, para que sejam 
evitados quaisquer acidentes possíveis; 
d) notas: Esta parte pode conter observações de caráter geral; 
e) questionário: Visa comprovar se o aluno executou corretamente a 
ordem de execução da operação. A critério do elaborador, pode ser 
suprimido da folha de operações. 
 
Folha de informações 
 
Esta folha deve ser planejada cuidadosamente, em vista dos conhecimentos a serem 
relacionados; para tanto, será útil discutir uma versão prévia desta com outros colegas 
ou pessoas capacitadas. 
 
1. Redação: - itens bem coordenados; - apresentação dos 
conteúdos em uma sequência de níveis de dificuldade; - 
assuntos compreensíveis ao aluno e com explicações claras; - 
linguagem simples, clara e concisa; - exemplos suficientes para 
o esclarecimento do tema; - estilo e arranjo textual de modo a 
despertar o leitor (aluno) para uma leitura total da folha. 
2. Ilustrações: - somente aquelas que representam uma ajuda à 
compreensão do texto; - para indicar os elementos na 
ilustração, se estes forem poucos, os nomes devem ser 
colocados na própria figura; se forem muitos, sejam utilizados 
números ou letras sobre eles; devem aparecer com uma chave 
de nomenclatura abaixo da ilustração, ao final da folha ou, se 
necessário, em folha à parte. 
3. Estrutura: Deve atender a três aspectos de ordem didático-
pedagógica: - síncrese: percepção mais ou menos confusa do 
todo - análise: etapa de decomposição do todo em partes 
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(processo de assimilação); - síntese: etapa de recomposição do 
todo (processo de acomodação). 
 
1.7 Conclusão 
 
Fazer uma proposta metodológica para o ensino de Física implica na necessidade de 
se atender às tendências da educação científica no Brasil. Nessa apostila fez-se uma 
retomada da metodologia adotada no ensino profissionalizante. As duas situações de 
ensino, o profissionalizante e o ordinário regular ou supletivo são completamente 
diferentes. A aplicabilidade da proposta desenvolvida prende-se a dois aspectos: 
 
a) à necessidade de uma organização da situação de ensino; e 
b) à interdisciplinaridade e a não-linearidade dos programas curriculares. 
 
Organizar o ensino nãoacarreta necessariamente dar receitas, mas, sim, prever por 
planejamento as atividades dos alunos, do professor, os recursos e, o mais 
importante, fazer com que o estudante elabore seu plano de experiências e relatório 
-vivenciando a observação, formulação e seleção de hipóteses, o experimento, a 
indução, a dedução e conclusão. 
 
A proposta de não-linearidade dos programas curriculares está vinculada à 
dificuldade da integração das matérias de ensino, em sua constituição formal na 
escola tradicional. Particularmente, os professores de Matemática e de Física 
ministram os mesmos conteúdos ao mesmo tempo, mas com métodos e enfoques 
diferentes - e não são todos os alunos que conseguem aperceber-se dos fatos. 
Qualquer tentativa de se resolver essas questões demanda uma reformulação de 
programas curriculares; entretanto, nem na Matemática nem na Física alguém está 
disposto a ceder algo da prática estabelecida. Via de regra, as dificuldades de 
aprendizado de Física decorrem da falta de conhecimentos matemáticos correlatos. 
Daí, cada unidade de trabalho na Física deveria incorporar a previsão dos 
conhecimentos matemáticos necessários, em nível imediato ou mediato, figurando 
como pré-requisitos na programação interna da unidade. Por outro lado, a 
17 
 
 
interdisciplinaridade e a transdisciplinaridade são também quase que consequências 
desta metodologia em consideração. 
 
Em suma, a intenção subjacente foi a de apontar uma metodologia de ensino da 
Física que exige muita organização e coerência interna, demandando do professor 
que ele desenvolva um conjunto de hábitos e atitudes conducentes ao planejamento, 
à execução, à avaliação e ao registro de todas as atividades operacionais. Nesta linha 
de proposta metodológica, professores e alunos poderão encontrar caminhos de 
interesse e criatividade que venham a contribuir significativamente para a inovação 
da educação científica escolar, senão para o avanço da própria Ciência. 
 
2 Metodologia do ensino Matemática 
 
 
 
 
2.1 Introdução 
 
Novas metodologias estimulam as crianças. Para que o ensino-aprendizagem da 
Matemática se torne dinâmico e interessante ao aluno, despertando um interesse pelo 
estudo, proporcionando uma interação com o professor e seus colegas na busca do 
melhor entendimento e compreensão dos princípios matemáticos, o professor deve 
adotar novas metodologias. 
 
O estudante precisa de estímulo, situações que envolvam aplicações matemáticas no 
cotidiano devem ser introduzidas no planejamento do professor, pois irão mostrar ao 
aluno que os conteúdos estudados em sala possuem importância para as várias 
classes da sociedade. 
 
Por exemplo, ao ensinar Matemática Financeira aos alunos do 7º ano, não se restrinja 
aos cálculos sobre regra de sociedade, porcentagem, juros simples e juros 
compostos. Forneça ao aluno uma visão sobre a importância do sistema financeiro, 
: 
 Conhecer os aspectos teóricos que envolvem os estudos sobre as 
metodologias do ensino da Matemática 
 Discutir a natureza de um problema em Matemática. 
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como o dinheiro circula entre as pessoas, comente o principal objetivo das bolsas de 
valores, sua importância nacional e mundial, fale sobre as instituições bancárias, 
explique o significado de siglas como: FMI (Fundo Monetário Internacional), CDB 
(Certificado de Depósito Bancário), Leasing (modalidade de crédito), Letras de 
Câmbio (ordem de pagamento à vista ou a prazo), DOC (documento utilizado para 
transações financeiras até R$ 4.999,99), TED (Documento utilizado para transações 
financeiras on-line para valores iguais ou superiores à R$ 5.000,00) entre outras 
ligadas ao sistema financeiro, comente sobre o que é a Inflação, aprofunde um pouco 
mais nos assuntos, com certeza o estudante desenvolverá uma atitude madura 
perante a tais situações. 
 
O jovem se destaca pela sua curiosidade, pela vontade em aprender, de ser 
importante, busque sempre incentivá-lo com palavras de caráter educativo, como: 
“muito bem”, “está ótimo”, “espero muito de você”, não o repreenda na frente da turma, 
ninguém gosta de ser exposto a situações constrangedoras. 
Utilizando novas metodologias e novas formas de buscar o ensino-aprendizagem, os 
resultados serão alcançados, tendo como principal alvo a formação de cidadãos 
competentes e capazes de integrar e contribuir para um novo modelo de sociedade. 
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Metodologias que podem ser usadas na busca de um melhor modelo de ensino-
aprendizagem da Matemática: 
 
 Aulas expositivas e demonstrativas, buscando sempre relacionar a 
Matemática ao cotidiano. 
 Prepare aulas no data-show, utilize os recursos da informática. 
 Utilize materiais que auxiliem no ensino da Matemática: réguas, jogo de 
esquadros, transferidor, compasso, metro, trena, termômetro, relógio, 
ampulheta, teodolito, espelho, bússola, calculadora. 
 Trabalhe com vídeos matemáticos: filmes, desenhos (como Donald no 
país da matemágica, Walt Disney Productions), documentários, 
entrevistas. 
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 Utilize o computador: programas de construção de gráficos, construção 
de figuras Geométricas. 
 A Internet é um canal muito importante, pois através de pesquisas 
acompanhadas pelo professor o aluno pode saber mais sobre a história 
da Matemática e dos números, curiosidades, jogos, desafios e etc. 
 Trabalhar com jogos que despertem o raciocínio lógico, tais como 
sudoku e quebra-cabeças. 
 Realizar olimpíadas internas de matemática. 
 Introduzir os temas transversais: ética, orientação sexual, saúde, meio 
ambiente, pluralidade cultural, excesso de consumo. 
 
2.2 Um ensino de matemática baseado na “crença” ou na “certeza”? 
________OBJETIVO__________ 
Descrever alguns elementos que podem ser explorados em uma 
abordagem metodológica de ensino. 
Os aspectos filosóficos do conhecimento matemático devem ser explorados na 
disciplina de Filosofia da Matemática. Para tanto, cabem aqui alguns pontos de vista 
do filósofo da Matemática Paul Ernest quando observa que: 
 
A visão absolutista da Matemática consiste em uma base de 
verdades imutáveis. De acordo com esta perspectiva, o 
conhecimento matemático é constituído a partir de verdades 
absolutas, e isto representa o seu único objetivo, a partir de 
declarações lógicas verdadeiras em virtude do significado 
dos seus termos. [...] O método dedutivo fornece a garantia 
de certeza das afirmações sobre o conhecimento matemático 
(ERNEST, 1991, p. 8). 
 
A respeito do que afirma Paul Ernest, quando consideramos um contexto de 
ensino/aprendizagem, devemos fazer as seguintes indagações: uma vez 
estabelecidos os resultados pelo professor, podemos de fato acreditar em tudo que 
foi explicado? Todas aquelas formulações constituem uma verdade para os alunos e 
para o professor? 
20 
 
 
 
A realidade de ensino é cruel, uma vez que o professor, em geral, dispõe de pouco 
tempo para lecionar todo o seu conteúdo, assim é bem mais fácil estabelecer tudo 
como verdadeiro, descrever o modo de operar com aqueles conceitos e obter 
respostas das questões. Dessa forma, seu trabalho pode ser simplificado de modo 
mágico. 
 
O título do tópico dessa aula instiga uma discussão acerca da ação do professor. Sua 
condução mediadora pode ser assentada na crença ou na certeza matemática. Tal 
afirmação merece maiores explicações. De fato, todo o campo de crenças e o modo 
de agir e professar o saber matemático depende, em última instância, da visão que o 
docente possui acerca do saber matemático. 
 
Se o docente possui a convicção a respeito da verdade matemática daquele 
conhecimento, de que não existe contradição no que ele afirmou, automaticamente 
ele deve transmitir esse sentimento ao estudante, o qual não possui o mesmo 
amadurecimento teórico e, principalmente, o mesmo treinamento que o professor já 
teve. 
 
Observamos então dois pontosde reflexão para o estudante: 
 
 O primeiro diz respeito à ação de aceitar tudo aquilo que é comunicado pelo 
professor , pensando-se na prova final. 
 O segundo é observar de modo cauteloso o que está sendo trabalhado em sala 
e não aceitar tudo que é declarado como uma verdade matemática inquestionável. 
 
O segundo ponto de análise é hegemônico em nosso ensino, pois basta observar a 
sua forma de manifestação mais radicalizada no ambiente acadêmico. Esta categoria 
de ensino que caracterizamos como um ensino baseado na certeza é, na maioria dos 
casos, fortalecido por um instrumento imprescindível na atividade matemática. Tal 
instrumento é chamado de ‘prova’ ou ‘demonstração’, que já mencionamos nas aulas 
anteriores. Vamos observar agora a perspectiva de outro pesquisador francês. No 
início do seu artigo, Duval (1991, p.233) realça que: 
 
21 
 
 
As dificuldades apontam que a maior parte dos estudantes 
experimentam que compreender uma demonstração constitui 
um dos obstáculos mais resistentes ao qual se rende o ensino 
de Matemática. Ou quando observam que a atividade 
demonstrativa nos problemas de Geometria constitui uma 
tarefa decisiva. 
 
Neste artigo, Raymond Duval investiga algumas dificuldades na aprendizagem da 
noção de demonstração em Geometria Plana, para crianças em uma faixa etária de 
13-14 anos, segundo o sistema de ensino francês. Uma questão discutida por ele diz 
respeito às diferenças entre a atividade argumentativa e uma atividade demonstrativa. 
As consequências são imediatas para o professor de Matemática que, não 
diferenciando uma argumentação de uma demonstração, não logrará êxito na criação 
de um terreno fértil para aprendizagens diferenciadas. 
 
Vejamos algumas questões iniciais colocadas pelo didata francês. Logo no início, 
Duval adverte que, no funcionamento do raciocínio, é importante distinguir dois tipos 
de passagem: um corresponde a um passo de raciocínio, e outra consiste na 
transição de um passo de raciocínio para outro. O primeiro tipo constitui uma 
inferência, o segundo um ‘encadeamento’ (1991, p. 235). 
 
O primeiro tipo de passagem ao qual Duval faz referência é conhecido como 
‘inferência’. Por exemplo, quando temos um triângulo retângulo ∆ABC , de catetos 
𝐴𝐵 = 𝑏 , 𝐴𝐶 = 𝑐 e hipotenusa 𝐵𝐶 = 𝑐 , então, por meio de uma ‘inferência’, 
concluímos que c2 = a2 + b2 De modo semelhante, se sabemos que, em um triângulo 
qualquer ∆ABC , temos a seguinte relação entre os catetos e a hipotenusa, c2 = a2 + 
b2, então, necessariamente, o mesmo deve ser retângulo com relação a algum dos 
seus vértices. 
 
22 
 
 
 
 
Note-se que acabamos de descrever o teorema de Pitágoras e sua pouco divulgada 
e/ou conhecida recíproca. Duval explica que este tipo de ‘inferência’ ou passagem se 
faz por meio de uma regra explícita, relevante a uma teoria, assim o passo de 
raciocínio possui uma organização ternária (1991, p. 235). Tal observação introduzida 
por Duval proporciona uma primeira distinção entre o raciocínio dedutivo e o raciocínio 
argumentativo. Além da dependência das representações dos interlocutores, é 
justamente o recurso e emprego de “regras” nem sempre explícitas que revelam a 
própria estrutura da língua, um caráter marcante do raciocínio argumentativo. 
 
Por outro lado, notamos que, no caso particular do teorema de Pitágoras, apenas o 
estatuto operatório é levado em consideração, ou seja, a possibilidade concreta de 
verificar a tese, referendando-se nas premissas mencionadas há pouco. Em relação 
a este fato, Duval esclarece: 
 
Dizendo de outro modo, em um passo de dedução, as 
proposições não são relacionadas em função de suas 
relações semânticas entre seus conteúdos respectivos 
(oposição, sinonímia, particularização, etc.), mas unicamente 
em virtude de seu estatuto previamente fixado (hipóteses de 
partida ou conclusões já obtidas e regras de inferência) 
(1991, p. 236, tradução nossa) 
 
As palavras de Raymond Duval são esclarecedoras e nos conduzem a conceber a 
seguinte caracterização: o ensino baseado na certeza se fundamenta no valor lógico 
23 
 
 
das proposições e obedece às regras de inferência, independentemente do conteúdo 
semântico. 
 
Na perspectiva de Duval, encontramos a caracterização do que ele chama de 
“atitudes proposicionais”. Tal noção é caracterizada como as expressões chamadas 
‘atitudes proposicionais’ que podem igualmente preencher um papel: “sabemos que... 
(proposição de entrada), estou certo de que...(conclusão), graças ao teorema...”. 
 
Mais adiante, Duval (1991) acrescenta: 
 
Nos prendemos a uma proposição, em geral, ao seu valor 
lógico: ela é verdadeira ou falsa. Mas independentemente de 
seu valor, ou em relação a tal, uma proposição pode possuir 
outros valores: ela pode parecer evidente e incontestável, 
incerta, conjeturável, absurda, indecidível, possível, etc. [...] 
O valor epistêmico é grau de certeza ou de convicção 
atribuída a uma proposição. Toda proposição, assim, possui 
um valor epistêmico pelo simples fato que seu conteúdo é 
considerado como relevante ou de uma opinião, ou de uma 
crença, de uma suposição, ou de uma evidência comum, ou 
de um fato estabelecido, ou de uma convenção, etc. (p. 254-
255, tradução nossa) 
 
O longo excerto de Duval merece vários comentários e esclarecimentos. Salientamos 
o primeiro aspecto mencionado que se refere ao ‘valor lógico’ de uma proposição, 
transforma-se em uma exigência constante no ensino/aprendizagem de Matemática. 
Tão intensa é tal exigência que, praticamente, todo o ensino gira em torno disto. 
 
Vale recordar que, quando um professor contempla e busca verificar determinada 
inferência, ela, para o experiente, já possui um valor lógico verdadeiro, uma vez que 
ele conhece, detém aquele conhecimento que diz respeito à determinada propriedade 
formal enunciada. Porém para o aluno, toda a sua idiossincrasia repousa no campo 
da ‘crença’, na compreensão de um conteúdo; uma vez que, na maioria das ocasiões, 
o aluno não sabe com exatidão aonde o professor tenciona chegar. 
 
Para exemplificar o que foi dito, podemos observar as questões proposta em uma 
prova em que o seu enunciado já denuncia a existência apenas de uma proposição 
verdadeira quando destaca ‘assinale a opção correta’ e, consequentemente, todos os 
24 
 
 
outros itens devem ser falsos. Aqui, o objetivo é avaliar o valor lógico das proposições, 
com referência ao enunciado. Depreende-se também que o enunciado do problema 
tem solução e é única. 
 
A respeito da força e condicionamento exercido pelo modelo de ‘prova’ em 
Matemática, Brousseau & Gibel (2005) alertam: 
 
Em Matemática, o ensino do raciocínio era usado para 
conceber um modelo de apresentação de provas, o qual deve 
ser fielmente reproduzido pelo estudante. Porém, os 
professores atualmente, assim como psicologistas, tomam o 
raciocínio como uma atividade mental e não uma simples 
recitação de uma prova memorizada. Desde que é 
necessária a ideia de confrontar o estudante com 
‘problemas’, onde seria natural para eles engajá-los num 
raciocínio. Porém, sempre existe o risco de reduzir a solução 
de problemas a uma aplicação de receitas e algoritmos, o que 
elimina a possibilidade de um raciocínio verdadeiro (p. 14, 
tradução nossa.) 
 
Observamos que Brousseau & Gibel chamam a atenção para o tipo de ensino que 
privilegia o raciocínio algorítmico. Esta forma de raciocínio, apesar de cômodo para o 
professor, não proporciona a evolução de uma compreensão individual do estudante, 
e sim, como já mencionamos, a simples reprodução dos modelos de provas e 
demonstrações estabelecidos pelo professor, reforçando, assim, um ensino baseado 
na certeza matemática. 
 
Neste sentido, Brousseau & Gibel mencionam um exemplo relativo ao modelo ‘Se A... 
então B’, como no caso do teorema de Talles. Tal teorema é estabelecido e escrito 
no quadro. O professor aceita o raciocínio estabelecidopelo estudante do tipo ‘Se A... 
então B’, sem nenhuma justificativa maior. Por exemplo, estudante nenhum desconfia 
da validade da afirmação (a + b )2 = a2 + 2ab + b2 . 
 
25 
 
 
 
 
Nos problemas anteriores, apesar de envolverem o mesmo objetivo, suas formas de 
instigar e conduzir a atividade dos estudantes são distintas. No primeiro problema, de 
antemão, o aluno já sabe que existe uma única resposta, todavia os valores devem 
ser extraídos a partir de uma análise do gráfico. Já no segundo problema, não 
fornecemos a certeza de que é possível encontrar uma resposta. No último caso, já 
é fornecido os itens e valores possíveis para b = ? . Neste último caso, os alunos já 
possuem os valores iniciais que pode tentar encontrar. 
 
Observamos que o segundo problema é baseado em um ensino que tomo como 
parâmetro a certeza matemática. Ele condiciona a ação do sujeito. Sua influência é 
suavizada, pelo menos em parte, por intermédio do uso do gráfico no plano ℝ2 , de 
uma função polinomial. Vejamos outros exemplos: 
 
26 
 
 
 
 
Observamos no problema 4 a imposição de uma condição A x B = B x A e a 
antecipação de que existem soluções para o problema. Já no problema 5, apesar de 
existirem várias soluções, não se afirma de modo contundente a condição de que 
existe de fato alguma solução. Já no último problema, proporcionamos, antes de 
qualquer atividade ou emprego de fórmulas, a inspeção da figura. Por fim, 
apresentamos mais um problema. 
 
 
27 
 
 
Decididamente, esta situação-problema não é típica de ocorrer nos livros didáticos, 
entretanto o conhecimento do professor deve ultrapassar aquele conhecimento 
exibido nestes, a ponto de criticá-lo, identificar falhas, inconsistências e, 
principalmente, limitações. Além disso, após toda esta discussão, aconselhamos ao 
futuro professor desenvolver um ensino baseado na crença e não na certeza. Mas, 
na prática, como isso pode funcionar? 
 
O docente pode evitar utilizar em seu discurso, sobretudo em sala de aula, 
expressões do tipo neste exercício, basta fazer isto....; é só empregar esta fórmula 
que está concluído....; aplicando este resultado, de imediato, obtemos que....; desde 
que tal propriedade é sempre verdadeira....teremos que..... 
 
Estas são expressões que reforçam/ratificam o caráter universal e inquestionável do 
conhecimento matemático. Todavia, para efetivar uma ação didático-metodológica 
baseada na crença, o professor nunca pode, de modo precipitado, fornecer todas as 
condições ‘suficientes’ aos alunos, apenas explorar argumentações ‘necessárias’. 
Atitudes proposicionais do tipo: por este caminho aqui, possivelmente obteremos 
que...; aparentemente a resposta pode ser esta....; talvez empregando este 
argumento consigamos algum resultado....; tenho a impressão de que este modo 
pode auxiliar na tarefa...; possivelmente isto pode ser usado para uma conclusão...; 
acredito que sim...; 
 
Tais colocações podem suavizar o caráter absolutista do conhecimento matemático 
evidenciando que um conhecimento, mesmo aquele que possui paradigmas tão 
rígidos e formais como os da Matemática, produzido por um ser mundano, passível 
de limitações e contradições, não pode ser imune a elas. 
 
Neste sentido, após realizar um estudo com professores de Matemática que atuam 
no ensino publico em São Paulo, Silva (2009, p. 155) destaca: 
 
A nosso ver, esse objetivo primeiro traçado pelos 
professores, parece reproduzir a ideia de que a Matemática 
é uma ciência imutável e firmada na lógica aristotélica, na 
qual toda pergunta poderia ser respondida por apenas de 
duas formas: sim ou não. Como vimos, essa meta parece 
transparecer uma característica formalista marcante, que 
28 
 
 
pode ser interpretada pelos alunos como verdades que caem 
do céu e na qual as justificativas ou provas devem ser aceitas 
ou são muito difíceis de serem compreendidas pela maioria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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