Função do Segundo Grau

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Caro(a) aluno(a), já sabemos o que é uma função polinomial, agora iremos falar de um caso particular
dessas funções, aquele que o grau é 2, a função do segundo grau, conhecida também como função
quadrática.
Dizemos que uma função é do 2º grau ou quadrática se for definida pela lei de formação f(x) = ax² + bx +
c ou y = ax² + bx + c, com a, b e c números reais e ≠ 0. Além disso, uma função, para ser do 2º grau,
deve assumir uma característica: o seu domínio e seu contradomínio devem ser subconjuntos dos
números reais. Os números a, b e c são chamados coeficientes e, em particular, c é dito termo
independente de x. O adjetivo quadrática no nome da função vem da palavra latina quadratum, que
significa quadrado. Em álgebra, um termo como x2 é chamado de quadrado pelo fato de representar a
área de um quadrado de lado x.
Em uma função do segundo grau, os valores de b e c podem ser iguais a zero. Se isso ocorrer, dizemos
que a função é incompleta.
Exemplos:
Em f(x) = 2x² – 6x + 9 temos a = 2, b = – 6 e c = 9, logo, a função é chamada de completa. A função g(x)
= 4x² – 2x é chamada de incompleta, pois a = 4, b = – 2 e c = 0. Mesma coisa acontece com h(x) = – 3x²
que tem a = –3, b = 0 e c = 0, é incompleta.
Construção do Gráfico de uma
Função do 2º Grau
Você irá perceber, sem muitas dificuldades, quando temos um gráfico que representa uma função do
segundo grau. A representação no plano cartesiano do gráfico da função quadrática é uma parábola
que, conforme o sinal do valor do coeficiente a, possui concavidade voltada para cima ou para baixo.
Chamamos de concavidade a abertura da parábola. Por exemplo, em um jogo de basquete, alguns
arremessos fazem uma trajetória em formato de parábola.
Pelo fato de o gráfico de uma função polinomial do 2° grau ser uma parábola e não uma reta, como no
caso de uma função afim, estudada na unidade anterior, para montarmos o seu gráfico não nos basta
conhecer apenas dois pares ordenados pertencentes à curva da função. Nesse caso precisamos de
mais alguns pontos para termos uma boa ideia de como ficará a curva no gráfico.
Podemos construir esse gráfico através do que chamaremos de pontos notáveis da função quadrática,
que são o vértice, a intersecção com o eixo das ordenadas e das abscissas. Podemos também construir
uma tabela para percebermos o comportamento do gráfico dessa função.
Exemplo resolvido:
Construir o gráfico das funções reais:
a) f(x) = x² – 2x – 2
 b) g(x) = – x² + 1
Resolução:
Em ambos iremos construir uma tabela para obtermos alguns pontos para depois traçarmos o gráfico.
a) f(–2) = (–2)² – 2.( –2) – 2 = 6
f(–1) = (–1)² – 2.( –1) – 2 = 1
f(0) = 0² – 2.0 – 2 = – 2
f(1) = 1² – 2. 1 – 2 = – 3
f(2) = 2² – 2. 2 – 2 = – 2
Colocando no plano cartesiano os pontos indicados na tabela, temos uma ideia do comportamento
dessa função.
Figura 1 - Gráfico de f(x) = x² – 2x – 2
Fonte: o autor.
b) Fazemos um processo idêntico ao do item a.
g(–2)= – (–2)² + 1 = – 3
g(–1)= – (–1)² + 1 = 0
g(0) = 0² + 1 = 1
x y
– 2 6
– 1 1
0 – 2
1 – 3
2 – 2
g(1) = –1² + 1 = 0
g(2) = – 2² + 1 = – 3
Como fizemos no item a, colocamos no plano cartesiano os pontos indicados na tabela, assim temos
uma ideia de como é o gráfico dessa função.
Figura 2 - Gráfico de f(x) = – x² + 1
Fonte: o autor.
Observamos que no exemplo anterior construímos duas parábolas. Na primeira temos concavidade
voltada para cima e na segunda voltada para baixo. Isso ocorreu pelo fato de que o
coeficiente a controla a velocidade de aumento ou decréscimo da função quadrática a partir do ponto
onde ela muda o sentido de crescimento ou decrescimento. Podemos ter referência do sentido da
concavidade da seguinte forma:
1. Coeficiente a > 0, parábola tem a concavidade voltada para cima.
2. Coeficiente a < 0, parábola tem a concavidade voltada para baixo.
x y
– 2 – 3
– 1 0
0 1
1 0
2 – 3
Intersecção com o Eixo das Ordenadas
Você já viu como se calcula um valor numérico em uma função. Para obtermos a intersecção do gráfico
de uma função como o eixo y, basta notar que devemos ter x = 0. Assim, f(0) = a.0² + b.0 + c = c. Logo, o
ponto onde a função f(x) = ax² + bx + c estará interceptando o eixo y é P(0, c).
Exemplo resolvido:
Determine a intersecção do gráfico da função quadrática f(x) = x² – 3x + 8 com o eixo y.
Resolução:
Para obter essa intersecção basta substituir o x por 0 na sentença da função: f(0) = 0² – 3.0 + 8 = 8.
Assim, o ponto procurado é P(0, 8).
Intersecção com o Eixo das Abscissas
Podemos obter a intersecção do gráfico da função quadrática com o eixo x a igualando a zero. Com isso,
passamos a ter uma equação quadrática ou simplesmente equação do segundo grau. As soluções reais,
quando houver, dessa equação recebem o nome de raízes ou zeros da função. Como as raízes da
função quadrática são os valores de x, cuja imagem é 0, então os pontos de intersecção do gráfico da
função com o eixo x tem a forma P(x, 0).
O número de raízes da função depende do valor do discriminante, geralmente chamada de delta, que é
uma letra grega, definido por:
Dependendo dos valores de a, b e c, Δ pode assumir três possibilidades de resultados, condicionando,
assim, a quantidade de raízes:
Como , que é chamada fórmula de Fórmula de Bhaskara, então:
1. Se , então existem duas raízes reais distintas, pois representa um número real.
2. Se então as duas raízes são iguais, uma vez que é igual a zero.
3. Se então não existem raízes reais, pois não representa um número real.
Δ = b2 − 4ac
x = −b±√Δ2a
Δ > 0 √Δ
Δ = 0 √Δ
Δ < 0 √Δ
SAIBA MAIS
As referências mais antigas sobre a resolução de problemas envolvendo equações do
segundo grau foram encontradas em textos babilônicos, escritos há cerca de 4000 anos
atrás. Os babilônios trabalhavam com equações para resolver problemas práticos,
principalmente aqueles ligados à agricultura e divisão de terras.
Fonte: Baron (1985).
Exemplos resolvidos:
1) Seja a função f: R R definida por f(x) = x² – 10x + 16. Determine, se houver, as raízes de f.
Resolução:
Comparando a sentença da função com f(x) = ax² + bx + c temos a = 1, b = – 10 e c = 16. Para
obtermos, se houver, raízes, devemos resolver a equação x² – 10x + 16 = 0. Usando o processo de
Bháskara temos
Logo as raízes da equação são 2 e 8.
 
2) Determine m para que a função real f(x) = x² – 2x + m tenha uma única raiz.
Resolução:
Para que a função quadrática tenha uma única raiz real, devemos ter seu discriminante, delta, igual a
zero. Usando a = 1, b = –2 e c = m, temos
Δ = (–2)² – 4.1.m = 4 – 4m = 0, logo m = 1.
Vértice de uma Parábola
Observando que o gráfico da função quadrática é uma parábola com concavidade voltada para cima ou
para baixo, então temos um ponto máximo ou mínimo dependendo do sinal do coeficiente a. Esse ponto
é chamado de vértice da parábola y = ax² + bx + c. É no vértice que o gráfico muda de crescente para
decrescente ou vice-versa. O vértice da função é dado pelo ponto V(xV, yV), cujas coordenadas são:
O gráfico da função f: R R quadrática é simétrica em relação à reta R vertical que passa pela abscissa
do vértice.
→
Δ = (−10)2 − 4.1.16 = 100 − 64 = 36
x = =
−(−10) ± √36
2.1
10 ± 6
2
x = = 8 ou x = = 210 + 6
2
10 − 6
2
V (− ; − )b
2a
Δ
4a
→
Quando o valor do coeficiente a é maior que zero, a ordenada do vértice da parábola é também
chamado de valor mínimo. Se o valor do coeficiente a é menor que zero, então dizemos que a ordenado
do vértice é o valor máximo.
Exemplo resolvido:
Considere a função f: R R definida por f(x) = x2 – 5x + 6. Obter o vértice do gráfico de f.
Resolução:
Para obtermos o vértice dessa parábola iremos usar a fórmula . Então,
Logo temos .
Imagem da Função Polinomial do 2º
Grau
O conjunto imagem da função polinomial do 2º grau y = ax² + bx + c é construído por todos os valores
que y pode assumir. Quando a < 0, veja que para valores de x menores que a abscissa do vértice, o
valor de y vai aumentando até atingir um valor máximo que é a ordenada do vértice, que, como
sabemos, é f(xv), daí para frente o valor dey vai diminuindo. Com a > 0 ocorre o contrário, para valores
de x menores que a abscissa do vértice y decresce e para frente, cresce.
Observe os gráficos:
→
V(− ; − )b2a
Δ
4a
Δ = b2 − 4ac = (−5)2 − 4.1.6
Δ = 25 − 24 = 1
xV = − = − =
b
2a
(−5)
2.1
5
2
yV = − = − = −
Δ
4a
1
4.1
1
4
V ( , − )52
1
4
Então, vemos que existem duas possibilidades para obtenção da imagem dessa função:
1ª - quando a > 0,
 Im(f) = {x R / y ≥ yV}
2ª - quando a < 0,
 Im(f) = {x R / y ≤ yV}
Exemplo resolvido:
Determinar a imagem da função real y = x² – 2x – 3.
Resolução:
Temos a > 0, então o valor máximo é dado por , assim
Logo temos Im(f) = {x R/y ≥ –4}.
∈
∈
yV = −
Δ
4a
Δ = b2 − 4ac = (−2)2 − 4.1.(−3)
Δ = 4 + 12 = 16
yV = − = − = −4
Δ
4a
16
4.1
∈