EMA006 Folhetos Cap 3G - Vibracao Forcada

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Curso de Vibrações Mecânicas (EMA006) 07/08/2018
Profa. Maria Lúcia Machado Duarte 1
CAP. 3
Vibrações Forçadas2oSem2018
Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG) 1
Equação de Movimento
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
2
 A solução desta equação possui duas partes:
� A solução homogênea (ou complementar);
� A solução particular
( )mx cx kx F t&& &+ + = (3.1)
Excitação Harmônica
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
3
 Quando um sistema é sujeito a uma excitação 
harmônica:
� Ele é forçado a vibrar na mesma frequência que aquela da 
excitação.
 Fontes comuns de excitação harmônica:
� Desbalanceamento de máquinas rotativas;
� Forças produzidas por máquinas alternativas
 Ou seja, máquinas que transformam energia linear em rotativa
 Ex: Compressores
� Próprio movimento das máquinas. 
Excitação harmônica (cont.)
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4
 Estas excitações podem ser indesejáveis:
� Para equipamentos cuja operação possa ser perturbada 
por esta;
� Para a segurança da estrutura:
 Se grandes amplitudes de vibrações ocorrerem.
 Ressonância:
� Deve ser evitada na maioria dos casos;
� Para prevenir que grandes amplitudes ocorram:
 Geralmente são utilizados:
 Amortecedores 
 Absorvedores
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Resposta a Excitação Harmônica
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
5
 Força de excitação será considerada:
 A solução particular neste caso é:
 uma oscilação de estado-estável:
 Com a mesma frequência ω da excitação. 
 Assumindo:
)(sen0 tFF ω=
( )φω −= tXx sen
Onde: X = amplitude de oscilação
φ = fase do deslocamento em relação a força de excitação
(3.2)
Valores de Amplitude e Fase
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6
 Substituindo (3.2) e F em (3.1), fornece:
( ) ( )
X
F
k m c
=
− +
0
2 2 2ω ω
φ
ω
ω
=
−
−tan 1 2
c
k m
(3.4)
(3.3)
( )mx cx kx F t&& &+ + = (3.1)
( )φω −= tXx sen (3.2) )(sen0 tFF ω=
Relação Vetorial: Vibração Forçada c/ 
Amortecimento Viscoso
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 No movimento harmônico:
� A fase da velocidade está adiantada do deslocamento de 
900;
� E a fase da aceleração de 1800
Referência
cωX
mω2X
kX
F
0
X
φ
ω t
Relação da Amplitude em função da 
Frequência
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8
( ) ( )
X
F
k m c
=
− +
0
2 2 2ω ω
ω
ω
>> → ≈1 0
2
X
F
m
ω << → ≈1 0X
F
k
ω ω
ω
= = → =n
n
k
m
X
F
c
0
(3.3)
(3.5)
(3.6)
(3.7)
Alta frequência → Massa controla 
amplitude 
Baixa frequência → Rigidez controla 
amplitude 
Na frequência natural → 
amortecimento controla 
amplitude 
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Variação Amplit. e Fase com freq.
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9
0
30
60
90
120
150
180
Frequencia [rad/s]
F
a
se
 [
g
ra
u
s]
180
90
ω n
(a)
Frequencia [rad/s]
A
m
p
li
tu
d
e 
(X
) 
[m
]
ω n
F 0
ω n c
.
F 0
k
(b) F 0
ω
2
m.
Parâmetros dinâmicos a usar
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10
� δst é denominado como:
 deflexão estática 
 porque F0 é uma força (estática) constante. 
� Na realidade:
 F0 é a amplitude da força excitadora F.
ωn
k
m
= ζ
ω ω
ζ
ω
ω
= ∴ = =
c
c
c
k
c
c
c
kc c
c
n
2
δst
F
k
= 0
r
n
=
ω
ω
)(sen0 tFF ω=
Transformando a amplitude de 
parâmetros físicos para dinâmicos
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 Dividindo numerador 
e denominador do 
lado esquerdo por k
e simplificando. 
( ) ( )
X
F
k m c
=
− +
0
2 2 2ω ω
(3.3)
2
2
2
21
1






+














−
==
nn
st
X
M
ω
ω
ζ
ω
ω
δ
( ) ( )222 21
1
rr
X
M
st ζδ +−
==
 Chega-se a razão 
de amplitudes
(adimensional). 
(3.8.a)
(3.8.b)
Transformando a fase de parâmetros 
físicos para dinâmicos
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φ
ζ
ω
ω
ω
ω
ζ
=
−






=
−
− −tan tan1 2
1
2
2
1
2
1
n
n
r
r
φ
ω
ω
=
−
−tan 1 2
c
k m
(3.4)
(3.9)
 Dividindo numerador 
e denominador do 
lado esquerdo por k
e simplificando. 
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Resposta dinâmica devido à uma 
excitação harmônica
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 A solução completa da EM quando o sistema está 
submetido a excitação harmônica será:
( ) ( ) ( )x t x t x th p= +
( ) ( ) ( )φωφωζω −++= − tXsentseneXtx dtn 00
 Onde:
 X0 e φ0 → condições iniciais
 X e φ → eqs. (3.8) e (3.9)
(3.10)
(3.11)
Razão de amplitude s/ amortecimento
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14
 Para ζ = 0:
�
� M → ∞ quando r → 1; 
( ) ( )222 21
1
rr
X
M
st ζδ +−
== (3.8)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
ξ=0,01
ξ=0,2
ξ=0,3
ξ=0,5
ξ=1,0
ξ=3,0
Frequência relativa r = ω
ω
n
X δ s
t
( )221
1
r
M
−
=
Razão de Amplitude x Razão de Frequência 
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 Para ζ > 0:
� M < para qq ω (ou r)
 Para qq valor de r:
� ζ maior → M menor; 
 Para força constante:
� i.e., para r = 0 → M = 1
 Redução de M na 
presença de ζ:
� Maior para r = 1
� ou próximo desta;
 M → 0 para r → ∞; 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
ξ=0,01
ξ=0,2
ξ=0,3
ξ=0,5
ξ=1,0
ξ=3,0
Frequência relativa r = ω
ω
n
X δ s
t
Razão de frequência para máxima 
razão de amplitude
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16
 Para 0 < ζ < 1/√2, o valor de frequência onde 
ocorre a máxima razão de amplitude será:
( ) ( )222 21
1
rr
X
M
st ζδ +−
== (3.8)
 Logo, pode-se dizer que:
(3.12)
2
max
2
max 21ou21 ξωωξ
δδ
−=−=
















n
st
X
st
X
r
nd
st
X
ωωω
δ
<<








max
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Razão de amplitude em função do 
amortecimento
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17
2
max
max
12
1
:
2
1
0Para 
ζζδ
ζ
−
=





=
<<•
st
X
M (3.13)
00
:
2
1
 Para 
=→=
=•
r
dr
dM
ζ
><
>•
 para 
gráfico no pico existe Não
:0,707) seja, ou(
2
1
 Para 
rM
ζ
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
ξ=0,01
ξ=0,2
ξ=0,3
ξ=0,5
ξ=1,0
ξ=3,0
Frequência relativa r = ω
ω
n
X δ s
t
Razão de amplitude na ressonância
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 Pode-se usar a eq. (3.14) para a determinação experimental do ζ:
� Se em um teste dinâmico o valor máximo da amplitude (Xmax) é medido:
 ζ pode ser encontrada utilizando-se a equação (3.14)
� da mesma forma, se ζ é conhecida: 
 pode-se estimar o valor máximo da amplitude de vibração.
ζδ
ωω
2
1
=





= nst
X
(3.8)
(3.14)
( ) ( )222 21
1
rr
X
M
st ζδ +−
==
Ângulo de Fase x Razão de Frequência 
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 φ depende dos:
� parâmetros do sistema (m, c e k) e
� da frequência de excitação ω, 
� mas não depende da amplitude da 
força de excitação F0
2
1
1
2
tan
r
r
−
= −
ζ
φ
φ
ω
ω
=
−
−tan 1 2
c
k m
(3.4)
(3.9)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Frequência relativa r = ω
ω
n
A
n
g
u
lo
 d
e
 F
a
s
e
 
φ
ξ=0,01
ξ=0,2
ξ=0,3
ξ=0,5
ξ=1,0
ξ=3,0
ξ=1,0
ξ=0,5
ξ=0,3
ξ=0,2
ξ=0,01
Frequência relativa r = ω
ω
n
ξ=0,01
ξ=0,2
ξ=0,3
ξ=0,5
ξ=1,0
ξ=3,0
ξ=1,0
ξ=0,5
ξ=0,3
ξ=0,2
ξ=0,01
Frequência relativa r = ω
ω
n
ξ=0,01
ξ=0,2
ξ=0,3
ξ=0,5
ξ=1,0
ξ=3,0
ξ=1,0
ξ=0,5
ξ=0,3
ξ=0,2
ξ=0,01
Ângulo de Fase x Razão de Frequência 
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20
 Para ζ = 0:
� φ = 00 para 0 < r <1 
 Excitação e resposta→ em fase
� φ = 1800 para r >1. Excitação e resposta → fora de fase
 Para ζ >0 :
� 0 < r < 1 → 00 <φ < 900
 Resposta atrasada da excitação;
� r > 1 → 900 <φ < 1800
 Resposta adiantada da excitação;
� r = 1 → φ = 900
� r >> 1 → φ ≈ 1800
 Excitação e resposta → fora de fase
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Frequência relativa r = ω
ω
n
A
n
g
u
lo
 d
e
 F
a
s
e
 
φ
ξ=0,01
ξ=0,2
ξ=0,3
ξ=0,5
ξ=1,0
ξ=3,0
ξ=1,0
ξ=0,5
ξ=0,3
ξ=0,2
ξ=0,01
Frequência relativa r = ω
ω
n
ξ=0,01
ξ=0,2
ξ=0,3
ξ=0,5
ξ=1,0
ξ=3,0
ξ=1,0
ξ=0,5
ξ=0,3
ξ=0,2
ξ=0,01
Frequência relativa r = ω
ω
n
ξ=0,01
ξ=0,2
ξ=0,3
ξ=0,5
ξ=1,0
ξ=3,0
ξ=1,0
ξ=0,5
ξ=0,3
ξ=0,2
ξ=0,01
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Desbalanceamento Rotativo
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21
 Desbalanceamento:
� Fonte comum de excitação. 
 É representado por:
� Uma massa excêntrica m;
� Com excentricidade e;
� Girando a uma velocidade 
angular ω
ωtm
M
k/2 k/2c
e
x
EM devido a um desbalanceamento
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22
 Considerando:
� x = deslocamento da massa não rotativa a partir da 
sua posição de equilíbrio
� (M-m) = massa não rotativa
 O deslocamento de m será:
tex ωsen+
ωtm
M
k/2 k/2c
e
x
 A EM será:
(3.15)
( ) ( ) xckxtex
dt
d
mxmM &&& −−=++− ωsen
2
2
( ) tmekxxcxM ωω sen2=++ &&&
(3.16)
(3.17)
Amplitude e fase devido a um 
desbalanceamento
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23
 Se para F(t):
( ) ( )222
2
ωω
ω
cMk
me
X
+−
=
2
1tan
ω
ω
φ
Mk
c
−
= −
( ) tmekxxcxM ωω sen2=++ &&&
(3.17)
( )mx cx kx F t&& &+ + = (3.1)
( ) ( )
X
F
k m c
=
− +
0
2 2 2ω ω
φ
ω
ω
=
−
−tan 1 2
c
k m
(3.4)
(3.3)
 Para o desbalanceamento:
(3.18)
(3.19)
Forma Adimensional (Desbalanceamento)
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24
 A forma adimensional da eq. (3.18) será:
( ) ( )222
2
ωω
ω
cMk
me
X
+−
= (3.18)
( ) ( )222
2
2
2
2
2
21
21
rr
r
e
X
m
M
nn
n
ζ
ω
ω
ζ
ω
ω
ω
ω
+−
=






+














−






=
 Dividindo numerador e 
denominador do lado 
esquerdo por k, 
multiplicando ambos os lados 
por M e simplificando. 
(3.20)
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Representação gráfica (desbalanceamento)
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25
 Deve-se observar que para o desbalanceamento: 
� gráfico de amplitude possui formato oposto ao gráfico X/δst
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Frequência relativa r = ω
ω
n
 M
 X
 m
 e
ξ=0,01
ξ=0,2
ξ=0,3
ξ=0,5
ξ=1,0
ξ=3,0
Frequência relativa r = ω
ω
n
 M
 X
 m
 e
ξ=0,01
ξ=0,2
ξ=0,3
ξ=0,5
ξ=1,0
ξ=3,0
Frequência relativa r = ω
ω
n
 M
 X
 m
 e
ξ=0,01
ξ=0,2
ξ=0,3
ξ=0,5
ξ=1,0
ξ=3,0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
ξ=0,01
ξ=0,2
ξ=0,3
ξ=0,5
ξ=1,0
ξ=3,0
Frequência relativa r = ω
ω
n
X δ s
t
Desbalanceamento Excitação Harmônica
Representação gráfica (desbalanceamento)
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
26
 Deve-se observar que para o desbalanceamento: 
� gráfico de fase possui o mesmo formato do gráfico X/δst
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Frequência relativa r = 
ω
ω
n
A
n
g
u
lo
 d
e
 F
a
s
e
 
φ
ξ=0,01
ξ=0,2
ξ=0,3
ξ=0,5
ξ=1,0
ξ=3,0
ξ=1,0
ξ=0,5
ξ=0,3
ξ=0,2
ξ=0,01
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Frequência relativa r = ω
ω
n
A
n
g
u
lo
 d
e
 F
a
s
e
 
φ
ξ=0,01
ξ=0,2
ξ=0,3
ξ=0,5
ξ=1,0
ξ=3,0
ξ=1,0
ξ=0,5
ξ=0,3
ξ=0,2
ξ=0,01
Frequência relativa r = ω
ω
n
ξ=0,01
ξ=0,2
ξ=0,3
ξ=0,5
ξ=1,0
ξ=3,0
ξ=1,0
ξ=0,5
ξ=0,3
ξ=0,2
ξ=0,01
Frequência relativa r = ω
ω
n
ξ=0,01
ξ=0,2
ξ=0,3
ξ=0,5
ξ=1,0
ξ=3,0
ξ=1,0
ξ=0,5
ξ=0,3
ξ=0,2
ξ=0,01
Desbalanceamento Excitação Harmônica
Interpretação gráfica (desbalanceamento)
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27
 Para ζ = 0:
�
� (MX/me) → ∞ quando r → 1;
 Independente ζ
� (MX/me) → 1 quando r → ∞;
� (MX/me) = 0 quando r = 0
( ) ( )222
2
21 rr
r
e
X
m
M
ζ+−
=
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Frequência relativa r = ω
ω
n
 M
 X
 m
 e
ξ=0,01
ξ=0,2
ξ=0,3
ξ=0,5
ξ=1,0
ξ=3,0
Frequência relativa r = ω
ω
n
 M
 X
 m
 e
ξ=0,01
ξ=0,2
ξ=0,3
ξ=0,5
ξ=1,0
ξ=3,0
Frequência relativa r = ω
ω
n
 M
 X
 m
 e
ξ=0,01
ξ=0,2
ξ=0,3
ξ=0,5
ξ=1,0
ξ=3,0
( )
M
me
X
me
MX
n
n
≈∴≈





>>
>>
ωω
ωω
1
(3.20)
( )22
2
1 r
r
me
MX
−
=
Frequência para máxima amplitude
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28
 Para ζ > 1/√2:
� Não existe pico
 Para 0 < ζ < 1/√2, o valor de 
frequência onde ocorre a máxima 
amplitude será:
( ) ( )222
2
21 rr
r
e
X
m
M
ζ+−
=
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Frequência relativa r = ω
ω
n
 M
 X
 m
 e
ξ=0,01
ξ=0,2
ξ=0,3
ξ=0,5
ξ=1,0
ξ=3,0
Frequência relativa r = ω
ω
n
 M
 X
 m
 e
ξ=0,01
ξ=0,2
ξ=0,3
ξ=0,5
ξ=1,0
ξ=3,0
Frequência relativa r = ω
ω
n
 M
 X
 m
 e
ξ=0,01
ξ=0,2
ξ=0,3
ξ=0,5
ξ=1,0
ξ=3,0
2
max
2
max
21
ou
21
1
ξ
ω
ω
ξ −
=
−
= n
desbdesb
r
(3.20)
Curso de Vibrações Mecânicas (EMA006) 07/08/2018
Profa. Maria Lúcia Machado Duarte 8
Relação entre frequências e pico máximo 
(desbalanceamento)
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
29
 O valor do pico máximo no desbalanceamento 
ocorre:
� para r > 1, 
 em contraste ao r <1 para o gráfico X/δst
� Quanto maior ζ:
 mais o pico máximo se desloca para a direita 
 distanciando-se do r = 1.
desbnd max
ωωω <<
 Agora, a relação entre frequências será:
Valores de amplitude máxima e na 
ressonância (desbalanceamento)
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
30
 Os valores de amplitude para [MX/(me)]max e na 
ressonância ocorrem: 
� Para os mesmos valores dados para [X/δst]max e na 
ressonância. 
 mais uma vez que as equações tornam-se apenas rebatidas:
 porém com mesmos valores de amplitude. 
 Portanto:
2
max 12
1
ξξ −
=





me
MX
ξωω 2
1
=





= n
me
MX
Desbalanceamento de rotores
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
31
 No desenvolvimento anterior, a força centrífuga 
meω2 que produziu o desbalanceamento:
� Estava agindo em um plano único. 
 Entretanto, é mais comum:
� que o desbalanceamento esteja distribuído em vários 
planos do sistema. 
� O número de planos de desbalanceamento:
 é o que difere desbalanceamento estático e dinâmico, 
Desbalanceamento Estático
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
32
 Quando todas as massas desbalanceadoras estão:
� em um mesmo plano (como no caso de um rotor fino): 
 o desbalanceamento resultante é:
 uma única força radial.
� Portanto, este tipo de desbalanceamento pode ser detectado:
 sem que seja necessário que o rotor esteja em rotação, 
 Daí ser denominado de desbalanceamento estático. 
 Para que um rotor seja considerado fino:
� a sua relação diâmetro/espessura deve ser grande.
 Como só se tem uma força radial:
� se este rotor estiver livre para girar;
� qualquer alteração da sua posição de equilíbrio 
 faz com que o sistema sempre volte à sua posição original. 
 Esta posição se caracteriza pelo ponto mais pesado ficar sempre para baixo. 
Curso de Vibrações Mecânicas (EMA006) 07/08/2018
Profa. Maria Lúcia Machado Duarte 9
Representação do desbalanceamento 
estático
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
33
 Atuação:
� Em um único plano
 Resultante:
� Uma única força radial
 Detecção:
� pode-se constatar este tipo de 
desbalanceamento através de 
ensaios estáticos
� Qualquer distúrbio da posição de 
equilíbrio faz com que:
 O ponto maispesado fique sempre 
para baixo do eixo. 
Desbalanceamento Dinâmico
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
34
 Quando as massas desbalanceadoras:
� aparecem em mais do que um plano, 
� a resultante:
 não é mais apenas uma força radial. 
 Existe um momento de rotação associado. 
 Portanto, existe a presença de um binário.
 O desbalanceamento só pode ser detectado:
� se o rotor estiver em rotação, 
� daí ser denominado de desbalanceamento dinâmico.
 Agora, mesmo que o sistema esteja balanceado 
estaticamente 
� ele pode não estar balanceado dinamicamente
 devido ao momento resultante.
Representação do desbalanceamento 
dinâmico
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
35
 Atuação:
� Em mais de único plano
 Resultante:
� Uma força radial
� Um momento
 Detecção:
� deve-se constatar este tipo de 
desbalanceamento através de ensaios 
dinâmicos
� Mesmo que balanceado estaticamente;
 O momento pode não estar
 O que só fica visível com a rotação da peça. 
ω
Formas de balanceamento dinâmico
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
36
 Em geral:
� rotores longos podem ser considerados como:
 uma série de discos finos,
 cada qual contendo o seu próprio desbalanceamento.
 Entretanto, 
� apenas dois planos de balanceamento:
 são suficientes para tornar o rotor balanceado novamente 
� uma vez que a correção consiste em se eliminar:
 a força e o momento resultantes.
 Portanto, devido ao momento: 
� é necessário que se faça rodar este rotor. 
Curso de Vibrações Mecânicas (EMA006) 07/08/2018
Profa. Maria Lúcia Machado Duarte 10
Máquinas de balanceamento dinâmico
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
37
 As máquinas de balanceamento dinâmico:
� consistem de mancais de suporte
� apoiados sobre molas. 
 Conhecendo-se:
� a amplitude em cada um dos mancais
� e sua fase relativa,
 é possível se determinar o desbalanceamento presente no sistema 
 A correção, portanto, seria: 
� da translação e rotação do sistema, 
 podendo ser considerado como um problema de 2-GDL. 
Whirling (introdução)
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
38
 No desbalanceamento analisado anteriormente:
� o rotor foi considerado como apoiado em um eixo rígido. 
 Entretanto:
� existem várias situações práticas onde isto não é verdade. 
 Exemplo: 
� quando um rotor pesado é montado em um eixo flexível 
suportado por mancais. 
Definição de Whirling
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
39
 Eixos rotativos:
� apresentam a tendência de se curvarem;
� quando atingem determinadas velocidades 
� e girarem de uma maneira complexa. 
 “Whirling” é definido como:
� a rotação do plano formado:
 pelo eixo curvado 
 e a linha de centro dos mancais, 
 Portanto, é um fenômeno que ocorre quando:
� o centro de massa do rotor apoiado em um eixo rotativo:
 não está alinhado com o eixo do mancal. 
� O movimento do eixo e a excentricidade do rotor causam forças de 
inércia desbalanceadoras, 
 puxando o eixo para fora do seu centro e tornando-o curvado. 
Causas do Whirling e tipos de movimento
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
40
 Causas:
� desequilíbrio de massa, 
� atrito fluido nos mancais, 
� amortecimento histerético no eixo, 
� rigidez do eixo, 
� efeitos giroscópicos, etc.
 O “whirling” pode ocorrer:
� na mesma direção ou oposta, da rotação do eixo; 
� sua velocidade pode ou não ser igual a velocidade de 
rotação. 
Curso de Vibrações Mecânicas (EMA006) 07/08/2018
Profa. Maria Lúcia Machado Duarte 11
Classificação do Whirling
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
41
 O movimento “whirling” de eixos rotativos:
� classificado normalmente como sendo auto excitado, 
 no qual as forças excitadoras que o induzem 
 são controladas por ele próprio. 
 Uma visão mais detalhada deste tipo de movimento 
está além do interesse do curso
Controle de Vibrações
2oSem2018
42
Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
Justificativa para Isolamento/Controle 
de Vibrações
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
43
 Vibrações nem sempre são positivas. 
 Consequentemente, neste caso, deve-se tentar fazer: 
� o seu controle 
� ou seu isolamento. 
 Os efeitos de vibrações excessivas têm consequência 
direta no:
� Desconforto humano;
� Interferência em equipamentos;
� Geração de ruído;
� Danos estruturais em equipamento, dentre outros. 
Razões para Controle/Isolamento de 
Vibrações
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
44
 Os objetivos para se fazer o controle ou isolamento da 
vibração são:
� Prevenir/evitar que vibrações excessivas sejam transmitidas 
dos arredores para uma máquina ou objeto;
� Prevenir/evitar que forças vibratórias geradas por 
máquinas sejam transmitidas para seus arredores. 
NOTA: o problema é o mesmo para estes dois objetivo, i.e. 
reduzir as forças transmitidas.
� A diferença entre os dois casos é quem é a fonte geradora 
e quem é o receptor da vibração. 
Curso de Vibrações Mecânicas (EMA006) 07/08/2018
Profa. Maria Lúcia Machado Duarte 12
Métodos para Controle de Vibrações
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
45
 Alteração das frequências (natural ou excitação) do sistema:
� de forma a se evitar condições de ressonância sob excitações 
externas;
 Introdução de amortecimento ou mecanismos de dissipação 
de energia: 
� de forma a se prevenir respostas excessivas do sistema, mesmo 
sob ressonância;
 Adição de massas neutralizadoras ou absorvedores de 
vibrações:
� de forma a se reduzir a resposta do sistema. 
 Uso de isoladores de vibrações: 
� de forma a se reduzir a transmissão das forças de excitação de 
uma parte da estrutura a outra;
Alteração das Frequências
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
46
 Quando uma das frequências naturais do sistema coincide 
com a frequência de excitação do sistema:
� ocorre o fenômeno de ressonância. 
 Caracterizado por grandes amplitudes 
 associadas a grandes tensões e deformações 
 que podem por sua vez causar falhas no sistema se este não for projetado 
para suportar tais tensões. 
 Existem 2 possibilidades para se evitar a condição de 
ressonância: 
� Ou se altera a frequência de excitação do sistema; 
� Ou se altera a frequência natural do sistema. 
 O objetivo nos 2 casos deve ser o mesmo, ou seja, aumentar 
o valor de r
 de modo a atingir a região de isolamento (ou seja, r > √2),
 como será visto no gráfico de transmissibilidade mais adiante. 
Alteração das Frequências (cont.)
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
47
 A alteração da frequência de excitação do sistema muitas 
vezes não é possível:
� visto que é uma condição de operação da máquina ou sistema. 
� Além disto, para que a velocidade de operação da máquina 
nunca coincida com a frequência natural do sistema:
 é preciso que ω < ωn. 
 Porém, menores velocidades → menor produtividade, 
 o que normalmente não é desejado. 
 Adicionalmente, não existe garantia que a amplitude de vibração diminuirá:
 O que estaria diretamente ligado a quantidade de amortecimento 
presente no sistema. 
� O ideal é que ω > √2ωn
 Neste caso, a amplitude de vibração de um sistema para outro 
também é reduzida. 
Alteração das Frequências (cont.)
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
48
 A frequência natural do sistema pode ser mudada: 
� variando-se a massa do sistema (m) 
� Variando-se a sua rigidez (k). 
 Entretanto, o último parâmetro que é normalmente utilizado.
 Uma vez que a massa também é uma condição de projeto.
 Além disto, é possível se alterar a rigidez, sem se alterar a massa, 
porém, o inverso não é verdadeiro. 
 Deve-se diminuir k → aumentar r:
 Porém, deve-se observar para que a deflexão estática máxima não 
seja atingida. 
 Se k for aumentado,:
 Existirá maior possibilidadede ocorrer ressonância. 
Curso de Vibrações Mecânicas (EMA006) 07/08/2018
Profa. Maria Lúcia Machado Duarte 13
Adição de Amortecimento
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
49
 A resposta/amplitude de um sistema em vibração forçada: 
� torna-se bastante grande próximo a ressonância:
 Principalmente na ausência de amortecimento. 
 O amortecimento tende a limitar esta amplitude. 
 Quando o sistema (ou máquina) necessita ser operado sob 
um intervalo de velocidades:
� pode não ser possível se evitar a condição de ressonância em 
todas as condições operacionais.
� Neste caso, para controlar a sua resposta, pode-se introduzir 
amortecimento no sistema:
 Através de materiais tendo grande amortecimento interno 
 tais como ferro fundido ou laminado ou materiais sanduíches
 Em algumas aplicações, através de juntas. 
Tipos de juntas (adição amort.)
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
50
 Podem ser utilizadas juntas:
 parafusadas ou 
 rebitadas. 
� Estas permitem escorregamento das superfícies
 e consequentemente uma maior dissipação de energia 
 do que juntas soldadas. 
 Entretanto, tais tipos de juntas:
 reduzem a rigidez do sistema, 
 produzem rebarbas devido ao escorregamento 
 e podem causar maior corrosão. 
 Contudo, tais juntas não devem ser descartadas:
 se for necessário introduzir uma grande quantidade de 
amortecimento. 
Absorvedor de Vibração
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
51
 As grandes amplitudes de vibração que ocorrerem próximo à 
ressonância de um sistema:
� podem ser controladas também através do uso de absorvedores de 
vibrações. 
� Trata-se da alteração da configuração do sistema original: 
 através da adição neste de um sistema auxiliar “massa-mola” com 1-GDL 
(absorvedor). 
 Portanto, o sistema final terá 1-GDL a mais. 
 Este novo sistema deve estar sintonizado com a frequência da força 
excitadora de modo a reduzir o movimento do sistema principal nesta 
frequência à zero (conforme será visto no Cap. 6). 
 Porém, neste caso, na região onde existia uma única frequência, agora 
existirão 2 frequências:
 A frequência natural mais baixa do novo sistema em torno da frequência de 
sintonia será < frequência natural do sistema original, 
 enquanto a frequência natural mais alta em torno da frequência de sintonia será > 
frequência natural do sistema original.
Absorvedores amort. x não amort.
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
52
 Os absorvedores de vibração podem ser:
� amortecidos ou não. 
 A adição de amortecimento é vantajosa: 
� pois sem ele vibrações transientes de grande amplitude 
podem ocorrer ao se ligar os equipamentos: 
 uma vez que a frequência natural mais baixa em torno da 
frequência de sintonia para o novo sistema é menor do que a 
frequência para a qual o absorvedor é sintonizado. 
 Além disto, a amplitude da massa primária torna-se grande para 
velocidades ligeiramente diferentes da velocidade de sintonia. 
� Portanto, a adição de amortecimento permite que a 
máquina opere em velocidades variáveis. 
Curso de Vibrações Mecânicas (EMA006) 07/08/2018
Profa. Maria Lúcia Machado Duarte 14
Isolamento de Vibrações
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
53
 Procedimento pelo qual os efeitos indesejáveis de 
vibrações são reduzidos. 
 Envolve a introdução de um membro isolador:
� entre a massa vibrante (ou equipamento) e a fonte de 
vibração, 
 de tal forma que a resposta dinâmica é reduzida sob 
condições específicas de excitação. 
 A efetividade do isolador é representado em 
termos da transmissibilidade. 
Isolamento ativo x passivo
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
54
 O isolamento é dito ativo ou passivo:
� dependendo se força externa é necessária ou não 
para o isolador produzir sua função. 
� O isolador passivo: 
 consiste de um membro resiliente (rigidez) e um dissipador 
de energia (amortecedor). 
 Exemplos incluem molas metálicas, pneumáticas ou de borracha, 
rolhas, etc.
� O isolador ativo: 
 consiste de um mecanismo servidor com um sensor, um 
processador de sinais e um atuador. 
Classificação errônea
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
55
 Existe uma tendência no mercado de se classificar 
isolamento ativo ou passivo: 
� em relação a qual é a fonte de vibração 
 se é o equipamento:
 é classificado como ativo e 
 se é sua fundação (base):
 é classificado como passivo. 
 Entretanto, esta classificação não pode ser 
considerada válida do ponto de vista formal:
� visto que nos dois casos, quando se faz a introdução de um 
membro resiliente: 
 entre a fonte de excitação e a fonte receptora:
 estará se fazendo um isolamento passivo. 
Transmissibilidade (Tr)
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
56
 Transmissibilidade de vibração é definida como:
� a razão entre o que sai e o que entra de vibração em 
um sistema. 
� Esta razão, denominada (Tr), pode ser mostrada de 
forma genérica pela equação abaixo
entrada
saída
=rT
Curso de Vibrações Mecânicas (EMA006) 07/08/2018
Profa. Maria Lúcia Machado Duarte 15
Transmissibilidade 
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
57
 Transmissibilidade está diretamente relacionada:
� à quantidade de vibração que se pretende isolar em um 
sistema. 
� É a partir da quantidade de vibração que está sendo passada 
de um sistema a outro:
 que pode se pensar em seu isolamento. 
 Conforme já mencionado tanto faz: 
� se a fonte excitadora é o suporte que gera a vibração e esta 
vibração não deve ser transmitida a máquina (ou equipamento), 
� quanto se a máquina (ou equipamento) que não deve transmitir 
vibração aos seus arredores. 
 Nestes dois casos, o mesmo problema deve ser resolvido, i.e., cortar o 
caminho de vibração entre a fonte excitadora e a receptora. 
Movimento de Suporte
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
58
 Na posição deslocada:
� as forças desbalanceadoras são devidas:
 ao amortecedor
 e às molas
� A EM neste caso será:
m
k/2 k/2
c
x
y
m
c(x-y) k(x-y)
. .
Sempre, considerar:
• x = movimento do 
equipamento (i.e., máquina)
• y = movimento do suporte (i.e., 
base)
• z = movimento relativo (entre 
equipamento e suporte). Logo:
z x y= −
( ) ( )yxcyxkxm &&&& −−−−=
(3.24)
(3.23)
EM devido a Movimento do Suporte
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
59
 Reescrevendo, usando z:
 Fornece:
 (3.25) = (3.17) onde z substitui x e mω2Y substitui 
meω2. Logo:
z x y= −
( ) ( )yxcyxkxm &&&& −−−−=
(3.24)
(3.23)
( )mz cz kz my m Y t&& & && sin+ + = − = ω ω2 (3.25)
( ) ( )222
2
ωω
ω
cmk
Ym
Z
+−
= 2
1tan
ω
ω
φ
mk
c
−
= −
(3.26) (3.27)
Formas exponenciais do movimento 
harmônico
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
60
 Substituindo:
 Em:
 Fornece:
ti
Yey
ω=
( ) ( ) tiiti eZeZez ωφφω −− ==
( ) ( ) tiiti eXeXex ωψψω −− ==
(3.28.a)
(3.28.b)
(3.28.c)
( )mz cz kz my m Y t&& & && sin+ + = − = ω ω2 (3.25)
cimk
Ym
Ze
i
ωω
ωφ
+−
=−
2
2
(3.26)
Curso de Vibrações Mecânicas (EMA006) 07/08/2018
Profa. Maria Lúcia Machado Duarte 16
Movimento absoluto da massa x
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
61
 Porém, o que se deseja é o movimento absoluto da 
massa x e não o movimento relativo z. Portanto:
 Portanto, de:
 Chega-se a:
yzx +=
cimk
Ym
Ze
i
ωω
ωφ
+−
=−
2
2
(3.29)
( ) ( ) titiitii Ye
cimk
cik
eYZeeXex
ωωφωψ
ωω
ω






+−
+
=+== −−
2
(3.30)
Amplitude para Movimento do Suporte
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
62
 Portanto, a amplitude para o movimento de suporte 
será: 
( )
( ) ( )222
22
ωω
ω
cmk
ck
Y
X
Td
+−
+
==
( )
( ) ( )222
2
2
2
2
2
21
21
21
21
rr
r
Y
X
T
nn
n
d
ζ
ζ
ω
ω
ζ
ω
ω
ω
ω
ζ
+−
+
=






+














−





+
==
(3.31.a)
(3.31.b)
Fase para Movimento do Suporte
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
63
 Portanto, a fase para o movimento de suporte será: 
( ) ( )22
3
tan
cmkk
mc
ωω
ω
ψ
+−
=
( )
( )22
3
22
3
21
2
21
2
tan
rr
r
nn
n
ζ
ζ
ω
ω
ζ
ω
ω
ω
ω
ζ
ψ
+−
=






+





−






=
(3.32.b)
(3.32.a)
Noções de número complexo
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
64
 Se:
iba
z
+
=
1
z
a b
=
+
1
2 2
∠ = −z
b
a
tan 1
z
z z i z z
=
∠ + ∠
1
cos( ) sin( )
Re( )z
a
a b
=
+2 2
Im( )z
b
a b
=
−
+2 2
z z z= +Re( ) Im( )2 2
∠ = −z
z
z
tan
Im( )
Re( )
1
z z z i z z= ∠ + ∠cos( ) sin( )
Curso de Vibrações Mecânicas (EMA006) 07/08/2018
Profa. Maria Lúcia Machado Duarte 17
Transmissibilidade de Deslocamento
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
65
 Para movimento de suporte: 
� a transmissibilidade de deslocamento (Td) pode ser 
definida como:
 razão entre a amplitude do sistema e amplitude do suporte. 
 Fazendo-se uma correlação entre esta definição e 
a sua formulação geral: 
� pode-se ver que:
 entrada = o suporte (Y); 
 saída = máquina (ou sistema) (X). 
Gráfico de Td x r
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
66
 Para qq ζ:
� Td = 1 para r = 0
� Td = 1 para r = √2
� Td ≈ 1 para r << 1
� Td > 1 para r < √2
� Td < 1 para r > √2
 Para ζ = 0:
� Td → ∞ para r = 1
 Para r < √2:
� Se ζ >> → Td <<
 Para r > √2
� Se ζ >> → Td >>
0 0.5 1 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
√2
√2
Frequência relativa r = ω
ω
n
X Y
ξ= 0.0100
ξ=0.2000 
ξ=0.5000 
ξ=0.7140 
ξ=1.0000 
ξ=3.0000 
( )
( ) ( )222
2
21
21
rr
r
Y
X
Td
ζ
ζ
+−
+
==
Td máximo
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
67
 Td atinge o seu valor máximo para um valor de 
rmax<1 dado por:
2
max
2
max 811
2
ou811
2
1
ξ
ξ
ω
ωξ
ξ
++−=++−= n
dTdT
r
 O valor máximo de Td neste caso será:
( ) 242
4
max 81184
8
max
ξξξ
ξ
++−+−
==
Y
X
Td
Gráfico ψ x r para Td
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
68
 Para qq ζ: 
� ψ = 900 para r = 1. 
 Para ζ = 0:
� ψ = 00 ou 1800. 
 Para ζ <<:
� É possível se ter um 
mesmo ângulo de fase 
para dois valores 
diferentes de r
quando r > 1; 
 Por exemplo: 
 para ζ = 0,2. 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
Frequência relativa r = 
ω
ω
n
A
n
g
u
lo
 d
e
 F
a
s
e
 
Ψ
ξ= 0.0100
ξ=0.2000 
ξ=0.5000 
ξ=0.7140 
ξ=1.0000 
ξ=3.0000 
( )
( )22
3
21
2
tan
rr
r
ζ
ζ
ψ
+−
=
Curso de Vibrações Mecânicas (EMA006) 07/08/2018
Profa. Maria Lúcia Machado Duarte 18
Força transmitida para uma fundação rígida
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69
 Na grande maioria das vezes, é a própria máquina 
que é a fonte de excitação. 
 Neste caso, sua vibração deve ser isolada para os 
seus arredores, 
� de modo a minimizar os efeitos e incômodos 
provocados por esta. 
 Este isolamento é feito:
� através do uso de um isolador. 
Redução da força transmitida para 
uma fundação rígida
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
70
 Um membro elástico (ou resiliente) é colocado entre a 
máquina e a fundação rígida.
 Este membro é assumido ter elasticidade e 
amortecimento. 
Máquina (m)
Membro
resiliente
F(t)=F
0
cos (ω t)
x(t)
Máquina (m)
F(t)=F
0
cos (ωt)
x(t)
Membro
resilienteck
EM a ser resolvida
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71
 Portanto, a mesma solução apresentada anteriormente é 
obtida. 
( ) ( )
X
F
k m c
=
− +
0
2 2 2ω ω
φ
ω
ω
=
−
−tan 1 2
c
k m
(3.41)(3.40)
( )tFkxxcxm ωcos0=++ &&& (3.38)
( )φω −= tXx cos
 Como a solução transiente morre após um tempo, 
apenas a solução permanente precisa ser considerada. 
(3.39)
Redução da força transmitida para 
uma fundação rígida
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
72
 A força, Ft(t), transmitida a fundação através da 
mola e do amortecedor é dada por:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )φωωφω −−−=+= tXctkXtxctkxtFt sencos&
( ) ( )22 xckxFF tT &+==
( )22 ckXFT ω+=
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Profa. Maria Lúcia Machado Duarte 19
Transmissibilidade do Isolador
2oSem2018Profa. Maria Lúcia Machado Duarte (Eng. Mec./UFMG)
73
 A transmissibilidade (ou razão de transmissão) do 
isolador (Tr) pode ser definida como:
� a razão entre a força transmitida (saída) sobre a força de 
excitação (entrada)
( )
( ) ( )222
22
0 ωω
ω
cmk
ck
F
F
T Tr
+−
+
==
( )
( ) ( )222
2
2
2
2
2
0 21
21
21
21
rr
r
F
F
T
nn
nT
r
ξ
ξ
ω
ω
ζ
ω
ω
ω
ω
ζ
+−
+
=






+














−






+
==
Equivalência da transmissibilidade
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74
 Deve-se observar que:
0entrada
saída
F
F
Y
X
T Tr ===
 Em outras palavras: 
 o isolamento de uma massa do movimento de 
apoio 
 é idêntico ao do isolamento das forças 
perturbadoras.
Gráfico de Tr x r
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75
 Isolamento ocorre 
quandoTr<1, logo:
� FT < F0;
� r > √2 ou ω > √2ωn
 A amplitude FT pode 
ser reduzida:
� reduzindo-se a 
frequência natural do 
sistema (ωn) ou
� aumentando-se a 
frequência de 
excitação (ω); 
Gráfico de Tr x r
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76
 Para ζ>>:
� FT (ou X) <<:
 para r < √2 (amplificação)
� FT (ou X) >>:
 para r > √2 (isolamento)
 FT << para ζ << na região de 
isolamento. 
� Entretanto, como a máquina 
passa pela ressonância ao ser 
ligada/desligada:
 Amortecimento é essencial para 
evitar amplitudes infinitas
� Se a velocidade da máquina 
varia (ω):
 ζ deve ser suficiente:
 para limitar X ou FT quando 
passando por r = 1; 
 Mas não muito grande de forma 
a aumentar desnecessariamente 
X ou FT na velocidade de 
operação. 
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Profa. Maria Lúcia Machado Duarte 20
Tr para amortecimento desprezível
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77
 É muito comum se considerar amortecimento 
desprezível. Logo: 
� onde é assumido que (ω/ωn) > √2. 
 Substituindo-se ωn por ∆/g: 
� onde g é a aceleração da gravidade 
� ∆ é a deflexão estática
1
1
1
1
22 −
=
−





=
r
T
n
r
ω
ω
( ) 12
1
2 −
∆
=
g
f
Tr
π
Valor de excitação para Tr
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78
 Resolvendo para f em ciclos/min., quando:
� ∆ em polegadas
� g = 386pol/s2 
( ) 12
1
2 −
∆
=
g
f
Tr
π






−
−
∆
=





+
∆
=
R
R
f
T
f
r 1
21
188ou1
11
188
""
 Resolvendo para f em ciclos/min., quando :
� ∆ em metros
� g = 9,81m/s2 





−
−
∆
=





+
∆
=
R
R
f
T
f
r 1
21
30ou1
11
30
""
Redução da amplitude
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79
 Para se reduzir a amplitude X:
� da massa isolada m:
� sem mudar Tr, 
 a massa m é normalmente montada em uma massa grande 
M. 
 A rigidez k deve ser portanto aumentada para se manter 
constante a razão k/(m+M). 
m
M
k
Considerações Finais (Isolamento)
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80
 No problema geral:
� a massa m a ser isolada possui 6 GDLs
 3 translações
 3 rotações, 
 Portanto, o projetista do sistema de isolamento 
deve: 
� usar sua intuição e sua engenhosidade para que: 
� Os resultados da análise para 1 GDL: 
 Sirva como uma referência.