Indução Matemática - Exercícios Resolvidos

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As atividades que apresentamos a seguir trazem problemas que podem ser resolvidos por 
Indução. 
A Indução é um modo de pensamento matemático usado para solucionar problemas que não 
podem ser resolvidos diretamente, então, estudamos os casos iniciais para descobrirmos um 
padrão que será usado na solução do caso proposto. 
EXERCÍCIOS: 
1. Determinar a soma dos algarismos de: 
( )
2
101 algarismos
333...334P =
 
SOLUÇÃO: 
CASO 1: 
( )
2
1 134 1156 13P S= =  = 
CASO 2: 
( )
2
2 2
3 1 2 5 6
334 111556 19P S
 +  +
= =  = 
CASO 3: 
( )
3
2
3
( 13 ) 1 5
3
6
3334 11115556 25P S
+  +  +
= =  =
 
CASO 101: 
( )
2
100
101 algarismos
100
100
333...334
101 1 100 5 6
101 500 6 607
P
S
S
=
=  +  +
= + + =
 
 
 
2 
 
2. Determine a quantidade de palitos que formam a torre: 
 
SOLUÇÃO: 
CASO 1: 
 
Palitos 3 1 3=  
CASO 2: 
 
Palitos 8 2 4=  
CASO 3: 
 
Palitos 15 3 5=  
CASO 30: 
 
Palitos 29 31 899 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
3. Determinar a soma dos elementos desta matriz: 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
 
SOLUÇÃO: 
CASO 1: 
1 1S = 
CASO 2: 
3
1
2 3
2
28S = = 
CASO 3: 
3
1
5
32
2 4 27
4
3 3
3
S = =
 
CASO 10: 
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 3 4 5 6 7 8 9 11
3 4 5 6 7 8 9 11 12
4 5 6 7 8 9 11 12 13
5 6 7 8 9 11 12 13 14
1
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
9 11 12 13 14 15 16 17
0
1
18
11 1
0
2 13
1
14
0
150 1
1
6
1
11 7
1
1
0
10
8 19
0
 
3 0010 10S = = 
 
 
 
 
 
 
4 
 
4. Determinar a soma dos algarismos de: 
( )
2
200 algarismos
333...333E =
 
SOLUÇÃO: 
CASO 1: 
( )
2
1 13 9 9E S= =  = 
CASO 2: 
( ) 2
2
2 33 1089 18 92E S= =  = =  
CASO 3: 
( )
3
2
3 333 110889
27 93
E
S
= =
= = 
 
CASO 200: 
( )
2
200
200 
2
algarismo
00
s
333...333
9 1800200
E
S
=
=  =
 
5. Determinar a soma dos algarismos de: 
50 algarismos 50 algarismos
777...777 999...999E
   
=    
   
   
 
SOLUÇÃO: 
CASO 1: 
( ) ( )1 17 9 63 9E S=  =  = 
CASO 2: 
( ) ( )
2
2 77 99 7623
18 92
E
S
=  =
= = 
 
CASO 3: 
( ) ( )
3
3 777 999 776223
27 93
E
S
=  =
= = 
 
CASO 50: 
50
50 algarismos 50 l
50
a garismos
777...777 999...999 9 45050E S
   
=   =  =   
   
   
 
 
 
 
 
 
5 
 
6. Considere a sequência geométrica: 
 
Quantas bolinhas teremos em 12S ? 
SOLUÇÃO: 
CASO 1: 
1 1S = 
CASO 2: 
2
2 3 2 1S = = − 
CASO 3: 
3
3 7 2 1S = = − 
CASO 12: 
12
12 2 1 4096 1 4095S = − = − = 
7. Sabendo que: 
1
2
3
1 100 50
2 99 49
3 98 48
A
A
A
=  +
=  +
=  +
 
Determine 20A . 
SOLUÇÃO: 
CASO 1: 
soma 101 50 0
1 1 100 50A
−
=  + 
CASO 2: 
soma 101 50 1
2 99 492A
−
=  + 
CASO 3: 
soma 101 50 2
3 98 483A
−
=  + 
CASO 20: 
soma 101 50 19
2
20
0
81 31
1620 31 1651
20A
A
−
=  +
= + =
 
8. Determinar o valor da expressão: 
1 3 5 7 ... 97 99E = + + + + + + 
 
 
 
6 
 
SOLUÇÃO: 
CASO 1: 
1 1 1E = = 
CASO 2: 
2
2 1 3 4 2 2E = + = = = 
CASO 3: 
3
3
2
1 3 5 9
3 3
E
E
= + + =
= =
 
CASO 50: 
5
50
0
2
1 3 5 7 ... 97 99
050 5
E
E
= + + + + + +
= =
 
9. Considere a sequência geométrica: 
 
Determine o número de triângulos em 20F . 
SOLUÇÃO: 
CASO 1: 
1 5 triângulosF = 
CASO 2: 
2 9 triângulos 4 12F = =  + 
CASO 2: 
3 13 triângulos 4 13F = =  + 
CASO 20: 
20 81 triângulos 4 120F = =  + 
 
10. Determine a soma dos algarismos de: 
2
20 algarismos
666...666
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO: 
CASO 1: 
( )
2
1 6 36P = = 
CASO 2: 
( )2 2
2
66 4356 18 92P S= =  = =  
7 
 
CASO 3: 
( )3
3
2
666 443556
27 93
P
S
= =
= = 
 
CASO 3: 
( )3
3
2
666 443556
27 93
P
S
= =
= = 
 
CASO 20: 
2
20
20 algaris s
2
o
0
m
666...666
9 1820 0
P
S
 
=  
 
 
=  =
 
11. Determine o valor do produto: 
100 algarismos 100 algarismos
555...555 999...999
   
   
   
   
 
SOLUÇÃO: 
CASO 1: 
1 5 9 45P =  = 
CASO 2: 
1 55 99 5445P =  = 
CASO 3: 
3 1
3
3
555 999 554445P
−
=  =
 
CASO 100: 
100
100 9 1001 9
555 999 555...5444...45P
− =
=  =