Eletromagnetismo

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PROFESSOR
Me. Italo Leonardo de Alencar Marton
Eletromagnetismo
FICHA CATALOGRÁFICA
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. 
Núcleo de Educação a Distância. MARTON, Italo Leonardo de 
Alencar.
Eletromagnetismo. 
Italo Leonardo de Alencar Marton.
Maringá - PR: Unicesumar, 2021. Reimpresso em 2022.
176 p.
“Graduação - EaD”. 
1. Eletromagnetismo 2. Engenharia 3. EaD. I. Título. 
CDD - 22 ed. 537 
CIP - NBR 12899 - AACR/2
ISBN 978-65-5615-362-9
Impresso por: 
Bibliotecário: João Vivaldo de Souza CRB- 9-1679
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BOAS-VINDAS
Tudo isso para honrarmos a 
nossa missão, que é promover 
a educação de qualidade nas 
diferentes áreas do conhecimento, 
formando profissionais 
cidadãos que contribuam para o 
desenvolvimento de uma sociedade 
justa e solidária.
Reitor 
Wilson de Matos Silva
A UniCesumar celebra os seus 30 anos de 
história avançando a cada dia. Agora, enquanto 
Universidade, ampliamos a nossa autonomia 
e trabalhamos diariamente para que nossa 
educação à distância continue como uma das 
melhores do Brasil. Atuamos sobre quatro 
pilares que consolidam a visão abrangente do 
que é o conhecimento para nós: o intelectual, o 
profissional, o emocional e o espiritual.
A nossa missão é a de “Promover a educação de 
qualidade nas diferentes áreas do conhecimento, 
formando profissionais cidadãos que contribuam 
para o desenvolvimento de uma sociedade 
justa e solidária”. Neste sentido, a UniCesumar 
tem um gênio importante para o cumprimento 
integral desta missão: o coletivo. São os nossos 
professores e equipe que produzem a cada dia 
uma inovação, uma transformação na forma 
de pensar e de aprender. É assim que fazemos 
juntos um novo conhecimento diariamente.
São mais de 800 títulos de livros didáticos 
como este produzidos anualmente, com a 
distribuição de mais de 2 milhões de exemplares 
gratuitamente para nossos acadêmicos. Estamos 
presentes em mais de 700 polos EAD e cinco 
campi: Maringá, Curitiba, Londrina, Ponta Grossa 
e Corumbá), o que nos posiciona entre os 10 
maiores grupos educacionais do país.
Aprendemos e escrevemos juntos esta belíssima 
história da jornada do conhecimento. Mário 
Quintana diz que “Livros não mudam o mundo, 
quem muda o mundo são as pessoas. Os 
livros só mudam as pessoas”. Seja bem-vindo à 
oportunidade de fazer a sua mudança! 
Aqui você pode 
conhecer um 
pouco mais sobre 
mim, além das 
informações do 
meu currículo.
Aqui você pode 
conhecer um 
pouco mais sobre 
mim, além das 
informações do 
meu currículo.
MEU CURRÍCULO
MINHA HISTÓRIA
Olá, eu sou o Me. Italo Leonardo de Alencar Marton , me 
formei no curso de engenharia elétrica na UNIOESTE, 
no ano de 2012, e comecei minha carreira de professor 
no terceiro ano da faculdade, quando meu professor 
de circuito elétricos recomendou que eu desse aula no 
cursinho da UNIOESTE para que eu melhorasse minhas 
habilidades de comunicação. Eu segui seu conselho e no 
mesmo ano estava dando aulas de Física. Dizem que dar 
aula é um vírus que quando pega nunca mais se cura, 
assim eu comecei a pegar aulas no sistema de ensino 
estadual do Paraná como PSS, nas disciplinas de física, 
matemática e química. Continuei com as aulas por 3 
anos até minha formatura na graduação, quando passei 
a trabalhar no SENAI como técnico de ensino, nos cursos 
técnicos de eletrotécnica e eletrônica, onde aprendi mui-
to com os alunos, devido às experiências, problemas e 
dúvidas que me traziam. Permaneci por dois anos com 
ensino técnico até finalizar meu mestrado profissional 
em ensino de física na UEM, onde aperfeiçoei minhas 
técnicas de ensino e educação, de crianças, jovens e 
adultos. Antes de finalizar o mestrado, já comecei a le-
cionar para cursos de graduação, no quais pude pôr em 
prática várias técnicas de ensino e testar os modelos que 
são mais efetivos para o aprendizado, tanto dos alunos 
como o meu.
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/8407
IMERSÃO
RECURSOS DE
Quando identificar o ícone de QR-CODE, utilize o aplicativo Unicesumar 
Experience para ter acesso aos conteúdos on-line. O download do aplicativo 
está disponível nas plataformas: Google Play App Store
Ao longo do livro, você será convidado(a) a refletir, questionar e transformar. Aproveite 
este momento.
PENSANDO JUNTOS
EU INDICO
Enquanto estuda, você pode acessar conteúdos online que ampliaram a discussão sobre 
os assuntos de maneira interativa usando a tecnologia a seu favor.
Sempre que encontrar esse ícone, esteja conectado à internet e inicie o aplicativo 
Unicesumar Experience. Aproxime seu dispositivo móvel da página indicada e veja os 
recursos em Realidade Aumentada. Explore as ferramentas do App para saber das 
possibilidades de interação de cada objeto.
REALIDADE AUMENTADA
Uma dose extra de conhecimento é sempre bem-vinda. Posicionando seu leitor de QRCode 
sobre o código, você terá acesso aos vídeos que complementam o assunto discutido
PÍLULA DE APRENDIZAGEM
Professores especialistas e convidados, ampliando as discussões sobre os temas.
RODA DE CONVERSA
EXPLORANDO IDEIAS
Com este elemento, você terá a oportunidade de explorar termos e palavras-chave do 
assunto discutido, de forma mais objetiva.
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/3881
INICIAIS
PROVOCAÇÕES
ELETROMAGNETISMO
Nós operamos equipamentos elétricos a todo momento, celulares, computadores, im-
pressoras, televisores, micro-ondas, lâmpadas, brinquedos, motores e muitos outros. 
Esses componentes podem ser alimentados através de uma tomada ou por baterias. 
Mas como esses equipamentos funcionam? Quais os princípios de funcionamento 
desses equipamentos tão necessários em nosso cotidiano? Nesta disciplina, iremos 
aprender toda a física que move esses equipamentos e trazem a qualidade de vida 
que tanto gostamos.
Na indústria, cerca de 90% dos processos são realizados por motores elétricos. Em 
brinquedos, são muito utilizados para gerar movimento, você já deve ter brincado e 
desmontado algum que tinha um motor elétrico dentro dele. Assim, você já se pergun-
tou alguma vez como ele funciona?
O princípio de funcionamento de um motor elétrico é praticamente o mesmo utilizado 
em um gerador elétrico e em transformadores de potência, onde campos elétricos e 
magnéticos realizam as transformações de energia. Estes são os principais componentes 
que possibilitam que a energia chegue até sua residência para ser utilizada. Por isso, 
compreender seu funcionamento é de fundamentalimportância, devido a que tudo 
que utiliza eletricidade funciona sobre os mesmos conceitos e leis.
Você agora deve estar utilizando um computador, notebook ou mesmo o celular 
para ler este material, todos estes componentes são ligados à rede de energia elétri-
ca, à tomada, possuindo uma fonte para adequar os níveis de tensão e corrente que 
o equipamento demanda. Você já reparou nestas fontes e as informações gravadas 
nelas? Se não, veja agora e perceba as características e diferenças entre as fontes que 
você tem próximas. Note as tensões de entrada e saída, as frequências de trabalho, as 
correntes elétricas de entrada e saída, além da potência deste periférico.
Você sabe como uma fonte desses aparelhos funciona? Já chegou a abrir uma fonte 
dessas, para olhar o que tem dentro? Assim, se possuir um carregador de celular an-
tigo, uma lâmpada de LED queimada, um reator de lâmpadas fluorescentes ou uma 
outra fonte qualquer, abra-a e tente identificar seus componentes e como estão dis-
postos. Existirá um transformador pequeno que baixará a tensão da rede de 127/220 
V para níveis aproximados entre 5 e 24 V. Na saída desses componentes, irá conter 
vários diodos, formando uma ponte retificadora, que transforma a tensão alternada 
em tensão contínua. Existirá um capacitor ou mais deles, para alisar a tensão de saída, 
são estes que costumam estourar e liberar fumaça e cheiro ruim quando queimam. 
Os capacitores nestes casos costumam ser construídos de papel e embebidos em óleo. 
Daí vem o mau cheiro e o barulho de algo estourando. Conseguindo identificar esses 
componentes, você poderá reparar que estes estão presente em quase todas as fontes, 
com alterações somente de capacidade e empacotamento. 
O eletromagnetismo é a interação entre campos elétricos e campos magnéticos, ele 
está presente na luz que enxergamos e em todos os componentes elétricos que utiliza-
mos no nosso cotidiano. O eletromagnetismo pode ser observado na natureza como 
relâmpagos, auroras boreais, arco-íris etc. O magnetismo surge com o movimento de 
elétrons; a corrente elétrica e a variação de fluxo elétrico geram um campo elétrico, 
assim, o magnetismo e eletricidade estão associados de forma a não poderem ser dis-
sociados, por isso este ramo da física é conhecido como eletromagnetismo.
Os fenômenos magnéticos foram registrados desde a Grécia antiga, porém começa-
ram a ser compreendidos e modelados somente a partir do século XVII, por cientistas 
como Benjamin Franklin, que tem seus experimentos bastante conhecidos e utilizados 
em filmes e histórias. Inicialmente os dois fenômenos eram estudados separadamen-
te, até que James Clerk Maxwell unificou as duas áreas com seus trabalhos em 1861, 
conhecido como as equações de Maxwell. Veja como a história do eletromagnetismo 
é recente e como ela evolui rapidamente. Dez anos atrás possuíamos computadores 
que hoje nossos celulares possuem a mesma capacidade. A tecnologia evolui muito 
rápido, principalmente com a utilização de novos materiais de melhor eficiência e menor 
tamanho, sendo todos os avanços regidos pelas leis do eletromagnetismo.
Toda a parte de geração de energia elétrica, transmissão, distribuição, comunica-
ção e consumo dessa energia, é de competência do engenheiro eletricista, assim, o 
engenheiro pode trabalhar com tudo relacionado à eletricidade, nas modalidades de 
projeto, execução, alteração, operação e manutenção, sendo áreas bem distintas e 
que serão seguidas de acordo com as suas afinidades. Todo engenheiro precisa ter 
um coeficiente de “sevirismo” alto, o que significa que não é necessário deter todo o 
conhecimento sobre tudo, mas é de extrema importância saber onde e como buscar 
conhecimento quando necessário. 
Com a ideia de tudo que um engenheiro eletricista pode trabalhar e aplicar seus 
conhecimentos, você está apto para aprender mais e aplicar esse conhecimento na 
sua vida e das demais pessoas. Está consciente que aprenderá a aprender e deverá 
estar sempre aberto a novos conhecimentos e atualizações? Se sim, seja bem-vindo ao 
mundo mágico (não é mágica, é física) e invisível do eletromagnetismo.
APRENDIZAGEM
CAMINHOS DE
1 2
43
5
11
51
31
63
ANÁLISE VETORIAL, 
FORÇAS E LEI DE 
COULOMB
6 95
MATERIAIS 
DIELÉTRICOS. 
CAPACITÂNCIA. 
EQUAÇÃO DE 
LAPLACE. LEI DE 
AMPÈRE. CAMPO 
MAGNÉTICO
DIVERGÊNCIA, 
TEOREMA DA 
DIVERGÊNCIA
CAMPO ELÉTRICO, 
LEI DE GAUSS E 
FLUXO ELÉTRICO
ENERGIA 
POTENCIAL 
ELÉTRICA DE 
CONJUNTO DE 
CARGAS
CORRENTE, 
DENSIDADE DE 
CORRENTE E 
CONDUTORES
81
7 113 8 125
CIRCUITOS 
MAGNÉTICOS E 
CORRENTE DE 
DESLOCAMENTO
FORÇA E TORQUE 
EM CAMPOS 
MAGNÉTICOS
9 139
FORÇA ELETROMOTRIZ 
INDUZIDA, EQUAÇÕES 
DE MAXWELL, 
CONDIÇÕES DE 
CONTORNO, ONDAS 
ELETROMAGNÉTICAS 
E GUIAS DE ONDA
1
O eletromagnetismo é abordado, em sua maioria, de forma vetorial, 
assim, para compreendermos melhor os fenômenos e quantizá-los, 
este ciclo de estudos irá se iniciar com uma revisão das análises 
vetoriais que serão utilizadas ao longo da disciplina e apresentando 
com a abordagem de forças e a Lei de Coulomb.
Análise vetorial, 
forças e lei de 
Coulomb
Me. Italo Leonardo de Alencar Marton
12
UNICESUMAR
Estamos acostumados a modelar e resolver problemas escalares, não é mesmo, como 
em circuitos elétricos em que a corrente somente possui um caminho para seguir, 
mas não nos preocupamos com a direção que ela está seguindo, pois está presa ao 
condutor. No entanto, como tratamos nos casos em que os fenômenos que estão sendo 
observados podem se propagar pelo espaço sem limitantes? Alguns não precisam 
nem de meio para se propagarem?
Nestes casos, as direções, intensidades e fontes são relevantes. Assim, através da 
álgebra vetorial conseguimos modelar esses sistemas matematicamente e tirar con-
clusões sobre os fenômenos observados. Quando crianças gostamos de brincar e 
nos dispor a tudo que era novidade. Sensações novas sempre foram interessantes, 
não é mesmo? Quem nunca soltou pipa ou viu elas no céu, foi a um rio ou cachoeira 
e sentiu a correnteza puxar seu corpo, sentiu o corpo balançar em uma rajada de 
vento ou colocou a mão para fora da janela de um carro ou ônibus em movimento, 
no formato de uma asa. Todas essas sensações e efeitos podem ser modeladas de 
forma vetorial, assim podem ser dimensionadas, reproduzidas e previstas. Imagine 
como você poderia modelar, sem quantizar, alguma dessas sensações que você teve 
quando criança.
Agora vamos relembrar aqueles conceitos que foram vistos lá no ensino médio nas 
aulas de física e que agora serão extremamente necessários. Não torça o nariz, será algo 
bem prático e fácil de fazer. Pegue duas folhas de papel, podem ser dois rascunhos, 
e um lixo, baldinho de pipoca ou bacia qualquer. Agora utilize uma das folhas para 
fazer uma bolinha amassando da forma mais compacta que conseguir. Coloque o 
balde a uns três metros de onde você está e realize o lançamento desta bolinha no 
balde. Se não acertar não tem problema, o importante será a física do movimento. 
Agora com a outra folha você irá desenhar o movimento da bolinha, saindo de sua 
mão, realizando o trajeto até sua colisão e estado de repouso. Inclua todas as forças 
que atuaram nesse sistema. Uma dica é detalhar com todas as forças que você se re-
corde, todas que realizaram as alterações de trajeto, início de movimento e pararam 
o movimento, não economize nesta hora, reflita bem e seja criativo.
13
UNIDADE 1
E aí, como foi? Conseguiu acertar o balde ou ainda precisa calibrar sua mira? O acerto não é impor-
tante neste exercício, mas sim a modelagem do sistema. Você conseguiu identificar todas as forças 
com direções do sistema? Então vamos ver se coincidem com as que eu identifiquei. A primeira força 
é que gera o movimento de lançamento, então temos a força aplicada sobre a bolinha até sair de suas 
mãos; assim que ela sai de suas mãos, as forças aplicadas sobre ela são a gravidade e de atrito com o ar. 
Quando ela cai dentro do balde ou colide com algum objeto, temos o par de açãoe reação. Assim, a 
bolinha sofre uma força do objeto em que ela colide que a faz alterar o trajeto e desacelerar. Assim que 
ela bate no chão e para, temos a força normal que o solo aplica sobre ela e temos a força de atrito que 
desacelera a bolinha caso ela tenha quicado algumas vezes. Sendo assim, está pronto nosso modelo, 
veja como muitas coisas aconteceram com essa bolinha em um simples “jogar a bolinha no lixo”.
DIÁRIO DE BORDO
Durante toda nossa vida, temos que nos deslocar para vários lugares, esse deslocamento pode ser reali-
zado por vários meios, como avião, carro, ônibus, bicicleta etc. Um meio de transporte bastante comum 
é a motocicleta, que pode ser vista em praticamente todas as vias urbanas. Eu particularmente adoro 
andar de moto e a vejo como um laboratório de física, em que vários conceitos físicos estão presentes, 
como as leis do movimento, as leis da termodinâmica, circuitos elétricos e eletromagnetismo, podendo 
sentir várias delas em nosso próprio corpo, quando pilotamos. 
Fr
r
F
R
Q
Q
21
12
2
12
2
1
Origem
Sendo:
Q1, carga elétrica 1;
Q2, carga elétrica 2;
F e F , forças coulombianas;
r1 e r2, vetores posição;
R , vetor distância;
12 12
12
Descrição da Imagem: a Figura 1 mostra a sombra de uma moto, como se 
estivesse subindo uma ladeira. Neste sentido, possui uma inclinação com 
relação ao horizonte. Com isso, temos várias forças atuando nesta moto: 
a força peso no seu centro de massa, as forças normais que o solo exerce 
sobre as rodas, as forças de atrito nas rodas e a força de atrito devido ao ar.
Figura 1 - Forças existentes no movimento e frenagem de uma moto
Fonte: Magnani e Cunha (2017, p. 3).
O mundo à nossa volta é influenciado por forças, não é mesmo? 
Fazemos força para nos levantar, nos mover, sentimos a força 
de algo pesado que carregamos etc. Essas são as principais 
causadoras de mudanças em determinados estados. Assim, vamos 
relembrar e conhecer um pouquinho mais sobre elas?
14
UNICESUMAR
Forças aplicadas :
F = força de atrito com ar;
F = força da gr
A
G aavidade;
F = força da gravidade na direçao x;
CG = centro 
Gx
dde gravidade;
N = força normal dianteira;
N = força normal tr
D
T aaseira;
F = força de atrito dianteira;
F = força de
roda,D
roda,T atrito traseira;
F = força de resistência dianteira;
F
R,D
R,T == força de resistência traseira;
Sendo assim, tente imaginar uma moto e representar as principais forças que atuam sobre ela. Se 
possível, desenhe ela, indicando onde essas forças são aplicadas e qual a orientação destas. Se pensar-
mos em todas as forças que são aplicadas, não conseguimos nos organizar, então vamos por partes.
Comece indicando as forças 
de atrito de ação e reação dos 
pneus, depois indique a força 
peso, em seu centro de massa e 
as forças normais sobre os pon-
tos de contato das rodas com o 
chão. Desta forma ficou mais 
fácil, certo? Então seguiremos 
para resolver os problemas, se-
parando um problema grande 
em vários pequenos e solu-
cionando-os parte por parte 
até solucionarmos o problema 
grande. A Figura 1 mostra to-
das essas forças que foram re-
lacionadas, tente compreendê-
-las em suas orientações. Você 
conseguiu identificar todas as 
forças da Figura 1? Esse exer-
cício o ajudará a compreender 
as forças que acontecem dentro 
de motores elétricos e como o 
eletromagnetismo as geram.
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/8408
15
UNIDADE 1
Os conceitos do eletromagnetismo possuem módulo, direção e sentido, assim, a álgebra vetorial me-
lhor representa estes fenômenos. Desta forma, é necessário relembrar alguns conceitos de álgebra para 
poder compreender melhor os conceitos do eletromagnetismo. As grandezas podem ser representadas 
com um escalar ou um vetor: 
• O escalar é uma grandeza que só possui magnitude;
• O vetor é uma grandeza que possui magnitude e orientação.
Grandezas escalares não possuem orientação, como a massa, tempo, população etc., enquanto as gran-
dezas vetoriais são a velocidade, deslocamento, aceleração. A representação da grandeza escalar se dá 
por uma letra maiúscula como A e B. Já a representação de um vetor pode ser por uma letra maiúscu-
la em negrito, tais como A e B ou com uma flecha sobreposta, como A→ e B→ . 
• Um campo é dado por uma função de alguma grandeza em algum ponto de uma região.
O campo pode ser tanto escalar quanto vetorial, como exemplo de campos escalares 
temos a distribuição de temperatura e a intensidade de som, e do campo vetorial 
podem ser a velocidade sobre um corpo, a força gravitacional.
Vetor unitário é um vetor com módulo 1, que indica a direção e sentido e um vetor:
aA
A
A
=
Assim, podemos escrever o vetor A, como sendo:

A A A= a
Desta forma, o vetor 

A fica especificado em sua magnitude A e sua orientação aA .
Um vetor 

A pode ser representado em coordenadas cartesianas ou retangulares 
como:
� �A A Ax y z+ + ou A A Ax x y y z za a a+ +
sendo �� ,A A eAx y z denominadas as componentes de 

A , nas direções x, y e z. E 
a a e ax y za a a, sendo os vetores unitários nas direções x, y e z.
A magnitude do vetor 

A é calculada por:
A A A Ax y z� � �( )
2 2 2
E o vetor unitário de A é calculado por:
aA
x x y y z z
x y z
A a A a A a
A A A
� � �
� �( )2 2 2
16
UNICESUMAR
A Figura 2 mostra a decomposição vetorial de vetor nos eixos cartesianos.
(a) (b)
z
A
yy
x
z
x
A
A
A
x x
y y
z z
x y
zα
α α
α
α
α
Descrição da Imagem: em um plano cartesiano, com direções x, y e z, existe um vetor A, como módulo, direção e 
sentido, que pode ser decomposto vetorialmente, sendo uma componente na direção X, outra componente na direção 
Y e outra componente na direção Z.
Figura 2 (a) - Vetores unitários a a ax y z+ + ; Figura 2 (b) - componentes de A ao longo de A A Ax x y y z za a a+ + .
Fonte: Sadiku (2012, p. 21).
Sejam dois vetores 

A e 

B , estes podem ser somados para formar o vetor 

C da seguinte forma:
C A B
�� � ��
� �
A soma vetorial é feita componente com componente.
C BA A A B Bx x y y z z x x y y z z
��
� �� � � �( ( ))a a a a a a
C BA A B A Bx x x y y y z z z
��
� � � � � �( ) ( ) ( )a a a
A subtração é realizada da mesma forma, porém muda-se o operador:
D BA A B A Bx x x y y y z z z
��
� � � � � �( ) ( ) ( )a a a
Existem duas regras práticas de se realizarem somas e subtrações de vetores, a pri-
meira delas é a regra do paralelogramo, Figura 3 (a), onde unem-se os inícios de cada 
vetor e sombreia-se o outro vetor nas pontas, formando um paralelogramo. O Vetor 
resultante se inicia nos inícios dos outros dois vetores e termina onde finalizam as 
sombras dos vetores. A outra regra é a do início de um-final do outro, onde coloca-
mos o início de um vetor no final do outro e o vetor resultante se inicia no início de 
um dos vetores e finaliza no término do outro vetor. A Figura 3 (b) demonstra os 
métodos de realização de soma vetorial.
17
UNIDADE 1
A subtração é realizada exatamente da mesma forma, porém temos um vetor que terá o sinal negativo, 
assim este tem seu sentido invertido, como na Figura 4.
(a) (b)
A
B
C A C
B
Descrição da Imagem: sejam dois vetores A e B, (a) a soma vetorial destes será dada pela regra do paralelogramo, 
onde forma-se um para paralelogramo duplicando os vetores para formar as 4 faces e juntando-os sem alterar o 
módulo, direção e sentido deles. Assim, o vetor resultando será dado pela diagonal principal, que começa onde os 
dois vetores iniciais iniciam e termina onde os dois vetores duplicados se encontram; (b) a soma também pode ser 
realizada realocando os vetores de forma que o final de um é o início do outro. Assim, o vetor resultante se inicia no 
início do primeiro vetor A e termina do final do outro vetor B, formando um triângulo.
Figura 3 - Soma de vetores C = A + B: (a) regra do paralelogramo; (b) regra do “início de um-final de outro” / Fonte: o autor. 
Descrição da Imagem: na Figura 4 (a), temos os vetores A e B a serem subtraídos, sendo que o vetor resultado D, é 
resultadoda soma do vetor A mais o vetor menos B, pela regra do paralelogramo. Na Figura 4 (b), o mesmo processo 
de soma do vetor A mais o vetor menos B ocorre pelo processo de deslocar o vetor B até o vetor A, colocando-o de 
forma que o fim do vetor A esteja no início do vetor B e o vetor resultante se iniciará no início do vetor A, terminando 
no final do vetor menos B.
Figura 4 - Subtração de vetores D = A - B: (a) regra do paralelogramo; (b) regra do “início de um-final de outro” 
Fonte: Sadiku (2012, p. 22). 
(a) (b)
A
B
DA
B
D
-B
Obs.:
A = Vetor a ser somado;
B = Vetor a ser subtraído;
-B = Vetor negativo de B;
D = Vetor soma de A+(-B).
18
UNICESUMAR
Os vetores posição e distância são utilizados em determinados cálculos, sendo necessário estarem 
bem esclarecidos em nossas mentes. Assim, segue a definição de cada um:
• O vetor posição rp ou raio vetor é um vetor que se inicia na origem O do sistema de coorde-
nadas e termina no ponto P:
r OP x y zp x y z� � � �a a a
y
x
z
P (3, 4, 5)
z = 5
x = 3
y = 4
rp
Sendo:
r , vetor posição;
P, posição;
x = 3, posição do ponto P em relação ao eixo x;
y = 4, posição do ponto P em relação ao eixo y;
z = 5, posição do ponto P em relação ao eixo z.
p
Descrição da Imagem: seja um plano cartesiano, com as direções x, y e z, do qual um vetor posição rp está direcio-
nado da origem do plano cartesiano ao ponto P (3, 4, 5), onde suas componentes na direção x é igual a 3, na direção 
y igual a 4 e na direção z igual a 5.
Figura 5 - Representação do vetor posição rp x y z� � �3 4 5a a a / Fonte: Sadiku (2012, p. 23).
Descrição da Imagem: sejam os pontos P e Q no plano cartesiano, onde os vetores posição saem da origem e vão 
de encontro às posições de ambos. O vetor distância rPQ entre eles é dado pelo vetor posição de Q menos o vetor 
posição de P.
Figura 6 - Vetor distância rPQ / Fonte: Sadiku (2012, p. 23).
• O vetor distância é do deslocamento entre dois pontos:
r r rPQ Q P� �
r x x y y z zPQ Q P x Q P y Q P z� � � � � �( ) ( ) ( )a a a
Sendo:
r , vetor posição;
r , vetor distância;
r , vetor posição;
O , ponto O de origem do plano cartesiano;
P , ponto P;
Q , ponto Q.
r
P
Q
O
Q
r PQ
Pr
P
 PQ
Q
19
UNIDADE 1
Exemplo: Sendo o vetor  x y z
��
� � �10 4 6a a a e o vetor B x y
��
� �2a a , determine:
(a) a componente de A ao longo de ay ; 
(b) a magnitude de 3A - B;
(c) um vetor unitário ao longo de C = 3A - B.
Solução: 
(a) a componente de A ao longo de ay é Ay � �4 ;
(b) 3A - B = 3(10,-4,6) - (2, 1, 0)
 = (30,-12,18) - (2, 1, 0)
 = (28, -13, 18)
assim: | | ( ( ) ) ,3 28 13 18 1277 35 742 2 2A B� � � � � � �
(c) a
C
C
a a ac x y z� �
�
� � �
( , )
,
, , ,
28 13 18
35 74
0 7834 0 3637 0 5036
Agora que já verificou os conceitos básicos de análise vetorial, você pode modelar sistemas como o de 
um barco que desce um rio, na direção sudeste a 10 km/h. Existe um homem no convés a caminhar 
com velocidade de 2 km/h, indo do lado esquerdo para o lado direito do barco. Qual a velocidade do 
homem, sendo o referencial a terra? 
Solução: Considere a Figura 1 para modelar o sistema. Primeiramente, para compreendermos o 
que está ocorrendo, devemos identificar os objetos envolvidos na situação. Assim, temos a terra que 
será nossa referência, desta forma, está parada, temos o barco e uma pessoa. Agora vamos identificar 
a direção e sentido dos vetores de velocidade que cada um possui. Após essa identificação, podemos 
imaginar de que forma um observador na terra enxergaria este movimento. Como os vetores de velo-
cidade se relacionam? Sendo assim, a velocidade do barco é de:
V cos a sen ab
o
x
o
y� �10 45 45( )
� �7 071 7 071, ,a a km hx y
A velocidade do homem em relação ao barco é de:
V cos a sen am
o
x
o
y� � �2 45 45( )
� � �1 414 1 414, ,a a km hx y
20
UNICESUMAR
Desta forma, a velocidade do homem em relação ao solo é a soma da velocidade do barco, mais a dele 
andando dentro do barco.
V V V a aT b m x y� � � �� � �( , , ) ( , , )7 071 1 414 7 071 1 414
 � �5 657 8 485, ,a a km hx y
V km hT � ��10 2 56 3
0, ,
Matematicamente, o produto vetorial é realizado entre vetores em um espaço vetorial tridimensio-
nal, resultando em um vetor perpendicular a ambos os vetores, sendo a normal entre o plano formado 
pelos dois vetores que estão sendo multiplicados.
A multiplicação vetorial pode ser realizada de duas formas distintas:
• O produto escalar: A B
�� ��
⋅
• O produto vetorial: A B
�� ��
×
O produto escalar é definido como a multiplicação das magnitudes e do cosseno do ângulo formado 
entre eles.
A B AB AB
�� ��
� � cos q
também pode ser escrito como:
A B A B A B A Bx x y y z z
�� ��
� � � � �
Propriedades:
• Propriedade comutativa: A B B A
�� �� �� ��
� � � ;
• Propriedade distributiva: A B C A B A C
�� �� �� �� �� �� ��
� � � � � �( ) ; 
A A A
�� ��
� � 2 ;
Ao iniciar esta disciplina, você já deve ter passado pelas disciplinas básicas de cálculo, 
física e álgebra, assim, um detalhe importantíssimo deve ser resgatado e estar bem 
claro em nossas mentes, isso será relevante na hora de compreender e solucionar pro-
blemas. O produto escalar depende do cosseno do ângulo como vimos anteriormente 
A��B. � � �= ABcos ABq . O que acontece se o ângulo entre eles for de 90
o ? Cosseno de 
90o é igual a zero e cosseno de 0o é igual a 1, assim, lembre-se sempre que
a a a a a a
a a a a a a
x y y z z x
x x y y z z
� � � � � �
� � � � � �
0
1
21
UNIDADE 1
O produto vetorial A B
�� ��
× é dado pela regra da mão direita, onde o dedo indicador re-
presenta o vetor A, o dedo médio o vetor B e o dedão dá a direção do produto vetorial. 
Sendo:
a, vetor;
b, vetor;
a x b, produto vetorial.
a
b
a x b
Desta forma: 
A B AB AB n
�� ��
� � sina a
também podendo ser escrita por: 
A B A A A
B B B
x y z
x y z
x y z
�� ��
� �
�
�
�
�
��
�
�
�
�
��
a a a
O produto cruzado da matriz ou o determinante resulta em:
A B A B A B A B A B A B A By z z y x z x x z y x y y x z
�� ��
� � � � � � �( ) ( ) ( )a a a 
Propriedades:
• Não é comutativa: A B B A
�� �� �� ��
� � � ;
• É anticomutativa: A B B A
�� �� �� ��
� � � � ;
• Não é associativo: A B C A B C
�� �� �� �� �� ��
� � � � �( ) ( ) ;
• É distributivo: A B C A B A C
�� �� �� �� �� �� ��
� � � � � �( ) ;
A A
�� ��
� � 0 ;
Descrição da Imagem: a figura apresenta a imagem de uma mão demostrando a regra da mão 
direita.
Figura 7 - Regra da mão direita para produto vetorial / Fonte: PNG Egg ([2021, on-line)1.
22
UNICESUMAR
Podemos observar que a multiplicação dos vetores unitários forma uma configuração 
cíclica, como o da Figura 8.
a a a
a a a
a a a
x y z
y z x
z x y
� �
� �
� �
(a) (b)
a
a
a
a
a
ay
z
x
z
y
x
a
a
a
a
a
ay
z
x
z
y
x
Figura 8 - Produto cruzado utilizando permutação cíclica: (a) sentido horário; (b) sentido anti-horário
Fonte: Sadiku (2012, p. 29).
Produto escalar triplo é fruto da permutação cíclica, que resulta em:
A B C B C A C A B
�� �� �� �� �� �� �� �� ��
� � � � � � � �( ) ( ) ( ) ; 
Produto vetorial triplo resulta em:
A B C B C A C A B
�� �� �� �� �� �� �� �� ��
� � � � � � � �( ) ( ) ( ) ; 
Obs: ( ) ( )A B C A B C
�� � �� �� �� �� ��
� � � � � 
( ) ( )A B C C A B
�� � �� �� �� �� ��
� � � � � 
Com isso, finalizamos a parte revisional sobre os vetores e as operações utilizando 
vetores. Caso tenha dificuldades, procure revisar este conteúdo antes de dar sequência 
à disciplina, pois todos os cálculos aplicados serão de classe vetorial e sua compreensão 
é importante para entender os fenômenos físicos associados ao eletromagnetismo.
Exemplo: Sejam os vetores  x y z
��
� � �3 4a a a e B y z
��
� �2 5a a , determine o 
ângulo entre A
��
 e B
��
.
 Solução: o ângulo pode ser determinado utilizando ou o produto escalar ou o 
produto vetorial.
23
UNIDADE 1
A B
�� ��
� � � � � � � �( , , ) ( , , )3 4 1 0 2 5 0 8 5 3
| | ( )
| | ( ( ) )
cos
A
B
A B
A BAB
� � � �
� � � � �
�
�
�
�
�
�
3 4 1 26
0 2 5 29
3
26 29
2 2 2
2 2 2
q 00 1092
0 109283 731 0
,
cos cos , ,qAB � �
�
A lei de Coulomb é formulada em 1785 de forma experimental pelo coronel francês Charles Augustin 
de Coulomb, a qual trata da força que uma carga pontual exerce sobre outra carga pontual. Pontual 
entende-se por cargas concentradas em uma pequena área, ou cargas suficientemente distantes a ponto 
de dizer que a distribuição da carga sobre a superfície do material equivale a uma carga pontual.
A lei de Coulomb diz que a força entre duas cargas pontuais Q1 e Q2 � é:
• diretamente proporcional ao produto das cargas;
• inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas;
• está ao longo da linha que une as cargas.
A equação fica no seguinte formato:
F kQ Q
R
= 1 22
 
onde k é a constante de proporcionalidade que depende da permissividade do 
meio e0 :
k m F� � �1
4
9 10
0
9
πξ
/
ξ
π0
12
9
8 854 10 10
36
� � ��
�
, /F m
Sendo assim, podemos escrever a equação em função da permissividade do meio e 
dos vetores posição das cargas:
F Q Q
R R12
1 2
0
24 12
=
πξ
α
onde lembramos que:
R r r
R R
R
RR
12 2 1
12
12
12
� �
�
�a
24
UNICESUMAR
A equação da força coulombiana também pode ser escrita na forma expandida como:
F Q Q
R
R12 1 2
0
1234
=
πξ
F Q Q r r
r r
12
1 2
0
3
2 1
2 14
�
�
�
( )
πξ
A força que a carga Q1 causa em Q2 possui exatamente a mesma intensidade que a 
força produzida por Q2 na carga Q1 , porém com sentidos opostos.
F F21 12� �
F F FR R21 12 1221 12� � �a a( )
Condições de contorno para utilização dessas equações:
• As cargas de sinais iguais se repelem e as de sinais opostos se atraem;
• A distância entre as cargas deve ser maior que as dimensões dos corpos das 
cargas;
• As cargas devem estar em repouso;
• As polaridades das cargas são consideradas nos cálculos. 
No caso de uma carga pontual estar interagindo com várias cargas, utilizaremos o 
princípio da superposição, onde a força resultante sobre esta carga será igual ao so-
matório de todas as forças atuantes sobre a carga. Resultando na equação:
F Q Q r r
r r
k k
kk
n
�
�
��
�4 40 0 31πξ πξ
( )
Fr
r
F
R
Q
Q
21
12
2
12
2
1
Origem
Sendo:
Q1, carga elétrica 1;
Q2, carga elétrica 2;
F e F , forças coulombianas;
r1 e r2, vetores posição;
R , vetor distância;
12 12
12
Figura 9 - Vetor força coulombiana sobre as cargas pontuais / Fonte: Sadiku (2012, p. 109).
25
UNIDADE 1
Agora que você tem mais prática em utilizar as análises vetoriais, faremos um exercício mental. Pense 
em algo que esteja em sua casa que possa ser modelado utilizando a álgebra vetorial e faça a modelagem 
mentalmente ou em um papel. Os módulos não importam, mas sim os vetores, direções e ângulos. Vale 
tudo, pode ser a treliça de madeira do telhado, ou um vaso pendurado. Não se esqueça de detalhar o 
máximo possível!
Eu indico fortemente a vocês assistirem este filme, o qual conta a 
história da disputa entre os tipos de distribuição de energia, contando 
as vantagens de cada uma e o jogo sujo por trás dos interesses capitais, 
onde um jovem chamado Nikola Tesla brilha, com suas demonstrações 
de eletromagnetismo e comprovando qual é o melhor sistema de 
potência. E o resultado dessa disputa podemos ver até hoje em nossas 
casas e sistemas de potência. 
A Batalha das Correntes
Ano: 2019
Sinopse: no final do século 19, Thomas Edison e George Westinghouse travam uma disputa sobre 
como deveria ser feita a distribuição da eletricidade. Edison faz uma campanha pela utilização da 
corrente contínua; Westinghouse defende a corrente alternada.
Cálculo vetorial é amplamente utilizado na área de eletromagnetismo, devido às grandezas físicas 
estarem imersas no espaço tridimensional. Esse fato torna relevante as posições, as direções e sentidos 
dos elementos, pois só assim pode-se determinar as reações de características vetoriais, que são aprovei-
tadas para a construção de máquinas elétricas. Reações mecânicas como: força, torque, momento etc.
26
M
A
P
A
 M
EN
TA
L
Nesta unidade, vimos as ferramentas que iremos utilizar na disciplina. Iniciaremos na próxima uni-
dade os conceitos do eletromagnetismo e antes de iniciarmos vamos saber como estes conceitos 
e ideias estão montados em sua cabeça. Para isso, monte um mapa mental, com a palavra-chave 
eletromagnetismo e escreva dez coisas quem vêm à sua mente relacionadas a esta palavra. Para 
cada palavra escrita relacionada ao eletromagnetismo, pense como ela está relacionada e, caso 
não consiga explicar, realize uma pesquisa sobre como essa palavra, situação ou pessoa estão 
ligados ao eletromagnetismo. 
Veja o exemplo abaixo para servir de inspiração para fazer o seu:
Eletromagnetismo
Baterias
Transformadores Motores Elétricos
Nikola Tesla
Agora os seus 10:
27
M
A
P
A
 M
EN
TA
L
28
A
G
O
R
A
 É
 C
O
M
 V
O
C
Ê
1. Sejam duas cargas elétricas pontuais no espaço, Q1 = 1 nC e Q2 = 2 nC estando distantes 
uma da outra. Qual afirmação abaixo está incorreta?
a) A força que atua sobre Q1 é repulsiva.
b) A força que atua sobre Q2 possui a mesma magnitude da força que atua sobre Q1.
c) Se a distância entre as cargas diminui, a força que atua sobre Q1 aumenta de forma 
linear.
d) A força que atua sobre Q2 está na mesma linha entre as duas cargas.
e) Se uma carga pontual Q3 = -3 nC for adicionada no ponto médio entre Q1 e Q2, esta 
experimentará uma força resultante nula.
2. Sejam duas cargas pontuaisQ C1 5= µ e Q C2 4� � µ localizadas no plano cartesiano 
nos pontos (3, 2, 1) e (-4, 0, 6). Desta forma, calcule a força sobre Q1.
3. No espaço cartesiano, existem duas cargas +Q e +3Q estando separadas por uma 
distância de 2 m. Uma outra carga é adicionada em uma posição que deixe o sistema 
eletrostático em equilíbrio. Calcule a distância e carga em função de Q, para que o 
equilíbrio seja atingido.
29
M
EU
 E
SP
A
Ç
O
30
M
EU
 E
SP
A
Ç
O
2
Nesta unidade, iremos avançar um pouco mais sobre o eletromag-
netismo, aprendendo sobre o campo elétrico, a Lei de Gauss e Fluxo 
elétrico, ou seja, iremos ver como o campo elétrico se comporta no 
espaço, qual a sua influência sobre outras cargas e outros campos elé-
tricos no espaço e como podemos tirar conclusões na presença deste.
Campo Elétrico, Lei de 
Gauss e Fluxo Elétrico
Me. Italo Leonardo de Alencar Marton
32
UNICESUMAR
No decorrer do curso, estudamos vários componentes que são utilizados em circuitos elétricos. Um 
em especial é o capacitor, que você já deve ter estudado como este componente se comporta com ali-
mentação em corrente contínua e em corrente alternada. O capacitor é um componente que armazena 
energia na forma de campos elétricos. E como isso ocorre? Esta unidade irá apresentar os conceitos 
físicos a respeito do campo elétrico e como eles são empregados no componente capacitor.
Nós percebemos tudo o que ocorre ao nosso redor por meio dos sete sentidos, estes nada mais são 
que transdutores que captam algum sinal físico externo e transformam esse sinal em pulsos elétricos 
que são enviados ao nosso sistema nervoso para processamento. Os instrumentos musicais não são 
diferentes, alguns realizam a amplificação sonora diretamente por ressonância, como o violão, já outros 
necessitam de amplificadores elétricos externos, para receberem os sinais elétricos vindos do instru-
mento e direcioná-lo aos alto-falantes para que possamos ouvir. Desta forma, os instrumentos como 
guitarra necessitam de sensores para transformar o som proveniente das cordas em sinais elétricos. 
No caso da guitarra, existem os sensores indutivos e os capacitivos. Os sensores indutivos funcio-
nam através de um indutor com um núcleo de imã, que se localizam próximos às cordas da guitarra, 
assim, quando tocadas, o imã magnetiza a corda, sendo que, com o movimento, esta induz corrente 
elétrica no indutor com a frequência do movimento da corda. Já no transdutor capacitivo, ele possui 
uma membrana que se movimenta com a vibração sonora das cordas, alterando a sua capacitância, que 
produz o sinal elétrico com mesmafrequência do movimento das cordas. Funcionam praticamente 
da mesma forma que os sensores de microfones.
Os sensores indutivos e capacitivos conseguem reproduzir uma faixa de frequência, chamada de 
banda de frequência. Estas bandas devem estar dentro da faixa de frequência audível por nós, que vai 
de 20 Hz a 20 kHz. Conforme vamos envelhecendo, as células sensoriais nos ouvidos vão morrendo 
e estas não se regeneram, por isso é necessário cuidar de nossos ouvidos, não escutando som muito 
alto e evitando fones de ouvido. Agora iremos testar nossa audição, o vídeo abaixo varre as faixas de 
frequência desde os 20 Hz até os 20 kHz. Identifique em qual frequência você começa a escutar e em 
qual para de escutar.
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/8266
33
UNIDADE 2
Você deve ter anotado as frequências em que começa a escutar e a frequência em que deixa de escutar, 
não é mesmo? As frequências baixas de som são chamadas de graves e as altas frequências de som são 
camadas de agudos. Com o passar dos anos, perdemos a capacidade de escutar as frequências mais 
altas e as mais baixas. A qualidade de som é medida justamente pela capacidade dos aparelhos sono-
ros em emitir todas as frequências audíveis pelo ser humano. Os alto-falantes pequenos conseguem 
emitir somente frequências altas, assim emitem os sons agudos, os alto-falantes grandes emitem as 
frequências baixas, logo os graves e os de tamanho médio, as faixas médias. Com isso, um bom som 
precisa ser composto por pelo menos três tamanhos de alto-falantes. Veja se o som que você utilizou 
para escutar a faixa de frequência audível possui estes três alto-falantes. 
DIÁRIO DE BORDO
34
UNICESUMAR
O vetor de intensidade de campo elétrico E é produzido pela força por unidade de 
carga imersa neste campo Elétrico.
E F
Q
=
Desta forma, expandindo a equação da força, chegamos em:
E Q
R
Q r r
r r
R� �
�
�4 40
2
2
0 2
3πξ
α
πξ
( )'
'
A intensidade de campo elétrico pode ser expressa em Newtons/Coulomb ou por 
Volts/metro, estando na mesma direção da força F .
Para N cargas pontuais, o campo elétrico resultante em um ponto é dado pelo 
somatório vetorial de todos os campos elétricos unitários provenientes de cada N 
cargas, distribuídas no espaço.
E Q r r
r r
k k
kk
n
�
�
��
�14 0 31πξ
( )
Exemplo: Sejam duas cargas pontuais de 1 mC e -2 mC localizadas nos pontos (3, 
2, -1) e (-1, -1, 4). Encontre a força elétrica sobre uma carga de 10 nC, localizada no 
ponto (0, 3, 1) e a intensidade do campo elétrico neste ponto. 
Resposta: F
Q Q r r
r r
k k
kk
n
�
�
��
�4 0 31πξ
( )
F Q� � �
� �
�
�� �� �
4
10 0 3 1 3 2 1
0 3 1 3 2 1
2 10
0
3
3
3
πξ
[( , , ) ( , , )]
| ( , , ) ( , , ) |
[(( , , ) ( , , )]
| ( , , ) ( , , ) |
0 3 1 1 1 4
0 3 1 1 1 4 3
� � �
� � �
�
�
�
��
�
�
�
��
F � � �
� �
�
� �
�
�� �
�
10 10 10
4 10
36
3 1 2
9 1 4
2 2 8 6
1 16
3 9
9 3 2
p
p
[
( , , )
( )
( , , )
(/ �� 9 3 2)
]
/
F � � � � �� �9 10 3 1 2
14 14
2 2 8 6
26 26
2[
( , , ) ( , , )
]
F mNx y z� � � �6 507 3 817 7 506, , ,a a a
E F
Q
Nx y z� � � � � �
�
�
�( , , , )6 507 3 817 7 506
10
10 10
3
9a a a
E kV mx y z� � � �650 7 381 7 750 6, , , ) /a a a
35
UNIDADE 2
Distribuições contínuas de carga 
Em todo o estudo de eletromagnetismo realizado até agora, as cargas elétricas foram consideradas 
pontuais, porém elas podem estar distribuídas ao longo de uma reta, uma superfície ou um volume. 
Nestes casos, nós iremos considerar a densidade em cada um desses casos: na reta rL em [C/m], na 
superfície rS em [C/ m
2 ] e no volume rV � em [C/ m
3 ]. A densidade é válida, pois as cargas se distri-
buem de modo uniforme sobre as superfícies e volumes. 
Sendo:
Q1, carga pontual;
ρ , densidade de carga linear;;
ρ , densidade de carga super�cial;
ρ , densidade de carga volumétrica.
+
+
+
+
+
++
++ +
+ +
+
+
+
+
+ +
+
++ +
+ +
+
+
Q
Carga
Pontual
Linha de
Cargas
Superfície
de cargas
Volume de
Cargas
L
Sρ υρ
V
S
L
Desta forma, a quantidade de carga presente em um determinado corpo pode ser calculado por:
Descrição da Imagem: a figura mostra os tipos de distribuição homogênea de cargas, que pode ser pontual, toda a 
carga estar concentrada em um ponto, pode ter distribuição linear, onde as cargas se distribuem igualmente ao longo 
de uma linha. Pode ter distribuição superficial de cargas, onde as cargas se espalham igualmente por uma superfície, 
e a distribuição volumétrica, onde as cargas se distribuem igualmente por um volume qualquer.
Figura 1 - Várias distribuições de carga / Fonte: Sadiku (2012, p. 114).
dQ dl Q dlL L
L
� � � �r r para linha de carga;
dQ dS Q dSS S
S
� � � �r r para superfície de carga;
dQ dV Q dVV V
V
� � � �r r para um volume de carga.
36
UNICESUMAR
O que nos leva às equações para campos elétricos:
E
R
dlL
R
L
� �
ρ
πξ
α
4 0
2 para linha de carga;
E
R
dSS
R
S
� �
ρ
πξ
α
4 0
2 para superfície de carga;
E
R
dVV
R
V
� �
ρ
πξ
α
4 0
2 para volume de carga.
A distribuição de carga em linha ocorre quando temos um condutor cujo com-
primento é muito maior que as dimensões transversais que podem possuir formatos 
esféricos, retangulares, quadrados, em L etc., assim como uma de ferro. Neste, a carga 
se distribui uniformemente. 
Seja uma linha de carga com uma densidade de carga uniforme, indo do ponto A ao 
B sobre o eixo de coordenadas z. O elemento de carga dQ é dado por:
dQ dzL= r 
Assim Q é calculado por:
Q dzL
za
zb
� � r
37
UNIDADE 2
Sendo:
A, ponto inicial da barra;
B, ponto �nal da barra;
ρ , densidade de carga;
dE, componente in�nitezimal de campo elétrico;
dE , componente in�nitezimal de campo na direção z;
dE , componente in�nitezimal de campo na direção P;
R, distância do elemento dl do ponto P;
ρ
z
x
y
B
A
R
0
dE
dE
dE
(x, y, z)
(0, 0, z) T’
(0, 0, z’)
dl
α
α
α
α
z
ρ
1
2
z
L
p
Descrição da Imagem: seja uma linha de carga na direção do eixo z do plano cartesiano, que se inicia no ponto A e 
termina no ponto B, o campo elétrico em um ponto qualquer P (x, y, z) é dado pelo somatório de cada contribuição 
infinitesimal de carga da linha de carga. Assim, um infinitesimal de carga dl, gera um infinitesimal de campo elétrico 
dE, a uma distância R, e ângulo alfa com relação à distância mínima entre o ponto P e o eixo z.
Figura 2 - Cálculo de campo elétrico E produzido por uma linha de carga / Fonte: Sadiku (2012, p. 115).
Considere um campo elétrico em um ponto qualquer P (x, y, z) e o ponto de origem do campo por (x’, 
y’, z’). Desta maneira, o campo elétrico em um ponto P será calculado por:
E L= ρ
πξ ρ
αρ2 0
Na distribuição superficial de cargas , temos um material condutor, onde as dimensões superficiais 
são muito maiores que a espessura, assim podemos desconsiderar a espessura e tratar como uma su-
perfície condutora, onde as cargas se distribuem uniformemente.
38
UNICESUMAR
Seja uma lâmina infinita de carga sobre o plano xy, com densidade de carga uniforme 
rS . A carga associada a uma área infinitesimal é dada por:
dQ dSS= r
Sendo a carga total dada por:
Q dSS
S
� �r 
O campo elétrico produzido em um ponto P (0, 0, h), será calculado por:
E S n=
ρ
ξ
α
2 0
Descrição da Imagem: seja uma superfície distribuída ao longo dos eixos x e y e um ponto P a uma altura h dessa 
superfície. Dois pedaços infinitesimais de área, simétricos ao ponto P, a uma distância R do ponto P. Cada pedaço 
infinitesimal de área gera um campo elétrico em P, na direção do eixo z, devido à anulação da componente de campo 
horizontal, pela simetria.
Figura 3 - Lâmina infinita de carga / Fonte: Sadiku (2012, p. 117).
y
x
z
Sendo:
P - ponto externo a superfície;
R - distância entre os pontos simétricos 1 e 2 até o ponto P;
 - densidade de carga;
h - altura do ponto P com relação superfície.
P (0, 0, h)
h R
ρ
ф ρ
S
1
2
ρ
S
39
UNIDADE 2
Na distribuição volumétrica, as dimensões são de mesmas grandezas, assim, nenhuma pode ser 
desconsiderada.E a distribuição de cargas ocorre em todo volume do condutor.
Considere uma distribuição de carga volumétrica com densidade de carga uniforme rv , onde a 
carga associada a cada unidade infinitesimal de volume é:
dQ dVV= r 
Descrição da Imagem: seja uma esfera centrada no eixo das coordenadas cartesianas, onde um pedaço infinitesimal 
de volume dv, cria um campo infinitesimal dE no ponto P (0,0,z) externo à esfera, sendo R a distância do dv ao ponto 
P, com um ângulo alfa com relação ao eixo z.
Figura 4 - Campo Elétrico produzido por um volume de carga / Fonte: Sadiku (2012, p. 118).
y
x
z
P (0, 0, z)
ρ
Sendo:
P, ponto externo a superfície;
R, distância entre o elemento in�nitesimal de carga e o ponto P;
ρ , densidade de carga volumétrica;
dE, elemento in�ninetesimal de campo;
dE , elemento in�netesimal de campo na direção z.
R
dE dE
r’
θ’
ф’
α
z
v
z
dv em (r’, θ’, )ф’
z
v
Sendo a carga total dado por:
Q dVV
V
� � r 
Desta forma, o campo elétrico produzido em um ponto P pode ser calculado por:
E
R
Q
r= 4 0
2πξ
α
 
40
UNICESUMAR
Densidade de Fluxo Elétrico 
O campo elétrico é dependente do meio em que está imerso, este pode ser: papel, óleo, vácuo etc. Para 
compreender os conceitos, inicialmente iremos considerar o meio sendo o vácuo e um campo vetorial 
D, definido por:
D E= x0
Com isso, conseguimos definir o fluxo elétrico y em termos de D, como sendo:
y � ��D dS 
O fluxo elétrico é dado na unidade de Coulombs e a densidade de fluxo elétrico é medido em Cou-
lombs por metro quadrado. Assim, o fluxo elétrico é emanado por uma carga, iniciando-se em uma 
carga + 1 C e terminando em uma carga de - 1 C, sendo a densidade de fluxo, definida como o fluxo 
por unidade de área.
Podemos imaginar esta situação fazendo uma analogia com os campos magnéticos de um ímã, 
em que as linhas de campo podem ser visualizadas por limalha de ferro em volta do imã. Para o fluxo 
elétrico, funciona da mesma forma, porém em vez de campo magnético, teremos campo elétrico.
Para calcularmos o fluxo elétrico, precisaremos encontrar antes a densidade de campo elétrico que 
pode ser encontrada através das equações vistas anteriormente de cálculo de campo elétrico E.
Lei de Gauss 
Esta lei determina que o fluxo elétrico total y que atravessa uma superfície fechada é equivalente à 
carga total enlaçada por essa superfície. Assim, a carga sobre um objeto pode ser calculada por meio 
do fluxo emanado por ela. 
y =Qenc
Assim:
y y� � ��� d D dS
S

 
Podemos escrever a carga como sendo:
Q D dS dV
S
V
V
� � �� � r
41
UNIDADE 2
Aplicado o teorema da divergência de superfície, podemos escrever as equações como:
D dS D dV
S V
� � � �� �
Comparando as duas equações para volume, obtemos: 
� � � �
� � �
� �D dV dV
D
V
V
V
V
r
r
Esta equação é a primeira das quatro equações de Maxwell que determina que a densidade volumé-
trica de carga é igual à divergência de um vetor densidade de fluxo. Como a densidade volumétrica de 
carga é simplesmente a carga dividida pelo volume, acaba facilitando na hora de se calcular o campo 
elétrico em um determinado ponto.
A lei de Gauss é uma forma alternativa da lei de Coulomb, onde aplicando-se o teorema da diver-
gência à lei de Coulomb, chega-se na lei de Gauss. Desta forma, a lei de Gauss é uma forma mais fácil 
de se calcular E ou D para distribuições de cargas simétricas, mas para o caso de cargas não simétricas, 
a lei de Coulomb se mostra mais eficiente para o cálculo de E e D.
Obs:
V1 - laço 1;
V2 - laço 2;
10 nC, -5 nC, 20 nC, 15 nC - cargas pontuais.
V1 V2
15 nC
20 nC
10 nC
-5 nC
Descrição da Imagem: a figura mostra dois laços onde o primeiro laço V1 contém duas cargas, sendo uma de -5 nC e 
outra de 10 nC. O segundo laço V2 não contém nenhuma carga e externo aos dois laços existem duas cargas pontuais 
de 20 nC e de 15 nC.
Figura 5 - O fluxo saindo de V1 é igual a 5 nC e o fluxo saindo de V2 é igual a zero / Fonte: Sadiku (2012, p. 128).
Repare que, na Figura 5, através da lei de Gauss é possível determinar a carga dentro do laço, sem a 
influência de outras cargas na periferia. 
42
UNICESUMAR
Utilizações da lei de Gauss 
A lei de Gauss pode ser utilizada para calcular o campo elétrico iniciando pela verificação da simetria, 
se existe ou não. Caso a distribuição seja simétrica de cargas, poderemos construir uma superfície fe-
chada, a conhecida superfície gaussiana, sendo o vetor D normal ou tangencial à superfície gaussiana. 
Caso D seja normal à superfície gaussiana, D dS D dS. � .= e caso seja tangente à superfície gaussiana, 
D dS. � �=0 . Desta forma, podemos escolher a superfície gaussiana mais adequada à simetria da distri-
buição de carga. 
A. Carga pontual
Para uma carga pontual Q posicionada na origem do plano cartesiano, é fácil concluir que a superfície 
gaussiana esférica, centrada na origem, é a que melhor envolve a carga, atendendo o critério de sime-
tria. Desta forma, D estará normal em qualquer parte da superfície gaussiana, D Dr r
��
= a , e podemos 
aplicar a lei de Gauss (y =Qencerrada ) obtendo:
Q D dS D dS D rr r� � � ��� 4 2p
 
Desta forma:
D
r
Q
r= 4 2π
α
Superfície gaussiana
y
x
z
D
P
r
Q
Obs:
Q - carga elétrica;
r - raio;
P - ponto de localização da densidade de �uxo;
D - densidade de �uxo no ponto P.
Descrição da Imagem: uma superfície gaussiana no formato de esfera com raio r, em torno de uma carga pontual Q, 
na origem do plano cartesiano, onde uma densidade de fluxo D sai do ponto P qualquer da superfície.
Figura 6 - Superfície gaussiana em torno de uma carga pontual / Fonte: Sadiku (2012, p. 128).
43
UNIDADE 2
B. Linha de carga infinita 
Descrição da Imagem: seja uma linha de carga infinita, centrada no eixo z do plano cartesiano, onde uma superfície 
gaussiana em forma de cilindro envolve a linha de carga. Em um determinado ponto P sobre a superfície gaussiana, 
temos a densidade de fluxo elétrico D.
Figura 7 - Superfície gaussiana em torno de uma linha de carga / Fonte: Sadiku (2012, p. 129).
Superfície gaussiana
y
x
z
D
P
ρ
Lρ
l - comprimento da superfície gaussiana;
P - ponto de localização da densidade de �uxo;
D - densidade de �uxo no ponto P.
- densidade de carga;
linha de cargas C/m2Lρ
l
Obs:
Seja uma linha de carga infinita como da Figura 7 com uma densidade de carga rL , ao longo do eixo z. 
Neste caso, a superfície cilíndrica é mais apropriada para a determinação de D em um ponto P. Assim, 
D é constante e normal à superfície cilíndrica. Com isso D = D ar r e a aplicando a lei de Gauss teremos:
Q l D dS D dS D lL� � � � ���ρ πρρ ρ2
 
Desta forma:
D L= ρ
πρ
αρ2
44
UNICESUMAR
C. Lâmina de carga de infinita 
Seja uma lâmina infinita com uma distribuição de carga uniforme rS no plano z =0. Neste caso, a 
figura gaussiana que melhor se enquadra é uma caixa retangular cortada simetricamente pela lâmina 
de carga e com as faces paralelas à lâmina. Assim, D é normal à lâmina D Dz z
��
= a e, aplicando a lei 
de Gauss, obtemos: 
Q dS D dS D dS dSS z
erior erior
� � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�� � � �r 
sup inf
 
Desta forma:
D S z=
ρ
α
2
Superfície gaussiana
Área A
y
x
z
D
D
Lâmina in�nita de carga
P
C/m2sρ
sρ
P - ponto de localização da densidade de �uxo;
D - densidade de �uxo no ponto P.
- densidade de carga;
Obs:
Descrição da Imagem: seja uma lâmina infinita nas direções dos eixos x e y do plano cartesiano, a superfície gaussiana 
é um paralelepípedo cortado ao meio pela lâmina infinita. Na face superior do paralelepípedo, encontra-se o ponto P 
de onde emerge a densidade de fluxo D.
Figura 8 - Superfície gaussiana para uma lâmina de carga / Fonte: Sadiku (2012, p. 130).
45
UNIDADE 2
D. Esfera carregada uniformemente 
Seja uma esfera de raio a com distribuição de carga uniformerv . Neste caso, iremos considerar duas si-
tuações distintas, uma onde a superfície gaussiana se encontra internamente à esfera r a≤ r aer a� ��� 
para superfície gaussiana externa à esfera. 
Descriçãoda Imagem: seja uma esfera com densidade de carga e raio a, a superfície gaussiana é uma esfera de raio 
r, que pode ser menor ou maior que o raio da esfera de carga.
Figura 9 - Superfície gaussiana para uma esfera uniformemente carregada quando: (a) r a≤ e (b) r a≥
Fonte: Sadiku (2012, p. 131).
α
r
α
r
Superfície gaussiana
(a) (b)
Obs:
r - raio da superfície;
a - raio da esfera uniformemente carregada.
Para r a≤ , a carga total encerrada pela superfície esférica de raio r é calculada por: 
Q dV rV
V
V� �� ρ ρ π
4
3
3
 
Desta forma:
ψ π� � �� D dS D rr 4 2
Como y = Q :
D r rr V4
4
3
2 3π ρ π=
D r ar V r= 3
r para 0 ≤ ≤r a ;
46
UNICESUMAR
Para r a≥ , a carga total encerrada pela superfície esférica de raio r é calculada por: 
Q dV aV
V
V� �� ρ ρ π
4
3
3
 Desta forma:
ψ π� � �� D dS D rr 4 2
Comoy = Q :
D r ar V4
4
3
2 3π ρ π=
D a
r
aV r=
3
23
r para r a≥ ;
Note o comportamento de D em função de r para uma esfera uniformemente carregada. D cresce li-
nearmente para 0 ≤ ≤r a e decresce exponencialmente para r a≥ . 
Obs:
r - raio da superfície gaussiana;
a - raio da esfera uniformemente carregada;
 - densidade de carga;
D - densidade de �uxo.
ρ
ρ
oρ
ρ
r
a
o
0
3
D
o
3
3
a
a
2
3
o
Descrição da Imagem: a figura mostra um gráfico de densidade de fluxo em função do raio da superfície gaussiana. 
O gráfico cresce linearmente conforme o raio da superfície aumenta de zero para a, e decresce exponencialmente 
conforme o raio da superfície aumenta a partir de a.
Figura 10 - Gráfico de D em função de r para uma esfera uniformemente carregada / Fonte: Sadiku (2012, p. 131).
Fluxo elétrico, densidade de fluxo, campo elétrico e carga elétrica estão todos correlacionados. 
Note que em determinadas situações é mais conveniente utilizar o fluxo elétrico e em outras 
a densidade de fluxo para encontrar a carga elétrica ou vice-versa. Sendo assim, retome o 
conteúdo caso isso não esteja claro em sua mente.
47
UNIDADE 2
Vimos os principais conceitos relacionados à carga elétrica e o campo elétrico gerada por ela. Os con-
ceitos de densidade de fluxo e fluxo elétrico serão amplamente utilizados em máquinas elétricas, pois 
representam o princípio de funcionamento dessas máquinas. As interações devidas a estes campos 
regem todo o funcionamento de equipamentos elétricos, então fique ligado.
Vimos até agora como cargas elétricas se comportam no espaço, influenciando umas às outras 
e como elas são definidas isoladas no espaço. Esses conceitos são importantes, pois resultam 
em forças entre as cargas, que podem gerar movimento. Esses fundamentos são o princípio 
para toda a utilização de eletricidade, onde gera o fluxo de elétrons em circuitos elétricos, força 
e torque em máquinas elétricas.
Nesta unidade, tivemos a oportunidade de compreender vários 
conceitos novos, com relação à carga, campo elétrico, densidade de 
fluxo e fluxo elétrico. Todos estes estão interligados, assim, vamos 
relembrar o que são cada um e como estão relacionados? Esse pro-
cesso é interessante para memorização e compreensão do que cada 
conceito representa fisicamente.
O filme “A Teoria de Tudo” (2014) é baseado na história de Stephen Hawking, 
que expõe como o astrofísico realizou descobertas importantes para a co-
munidade científica, inclusive relacionada ao tempo. É muito interessante 
como Stephen relaciona tudo e, com um olhar mais profundo, você verá 
que o eletromagnetismo está em tudo também. Recomendo que leiam 
algum livro deste autor, pois traz ideias novas e áreas a serem exploradas. 
É bem interessante a forma como, no filme, relaciona vibrações e ondas 
(ondas eletromagnéticas) para explicar as interações do universo.
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/8409
48
M
A
P
A
 M
EN
TA
L
Agora vamos testar o seu conhecimento adquirido neste módulo, montando um mapa de diagra-
ma de blocos, no qual você irá realizar todas as correlações entre: carga elétrica, campo elétrico, 
fluxo elétrico e densidade de fluxo. Essa correlação pode ser através das equações entre elas, 
para que esse mapa o auxilie na resolução dos exercícios propostos e ajude-o a memorizar os 
conceitos expostos.
Carga
Elétrica
Densidade
Ca
m
po
Fluxo
49
A
G
O
R
A
 É
 C
O
M
 V
O
C
Ê
1. Uma partícula está imersa em um campo elétrico, assim, uma força irá surgir sobre 
essa partícula. A força eletrostática possui qual direção e sentido com relação ao campo 
elétrico?
2. Sejam duas superfícies esféricas que não são condutoras, de raios R1 e R2, sendo R2 
< R1 e uniformemente carregadas com mesma densidade superficial de carga σs . A 
distância entre os centros das duas esferas é d, sendo d > R1 + R2.
R1 R2 Obs:
R1 - raio da esfera 1;
R2 - raio da esfera 2;
D - distância entre as esferas.D
Fonte: o autor.
a) Calcule o campo elétrico resultante em cada centro geométrico das superfícies esféricas.
b) Calcule o campo elétrico resultante no meio da distância entre os centros geométricos 
das duas superfícies.
3. Um dos primeiros modelos do átomo considerava o átomo como uma carga puntifor-
me e positiva de valor igual a Ze, localizada no centro de uma distribuição uniforme de 
carga negativa de formato esférico e simétrica de raio R, com carga igual a −Ze. Z é o 
número atômico e e é a carga fundamental do elétron. 
a) Calcule o campo elétrico E
��
 no interior do átomo, no ponto P. 
b) Calcule o fluxo do campo elétrico que atravessa uma superfície esférica de raio r > R 
onde o centro é o mesmo do centro do átomo.
c) Fora do átomo, quanto vale o campo elétrico? Justifique sua resposta de forma cui-
dadosa. 
50
M
EU
 E
SP
A
Ç
O
3
Em nossos estudos sobre cargas elétricas, vimos que elas emitem linhas 
de campos elétricos: se uma carga elétrica for pontual, essas linhas 
de campo sairão deste ponto dispersando-se pelo espaço ou, caso a 
carga seja negativa, as linhas de campo irão se concentrar na carga 
pontual. Assim, nesta unidade, iremos aprender mais uma ferramenta 
matemática a ser utilizada sobre os campos elétricos e magnéticos. A 
divergência nos ajudará a quantificar a dispersão ou concentração dos 
campos, uma importante ferramenta para este curso.
Divergência, teorema 
da divergência
Me. Italo Leonardo de Alencar Marton
52
UNICESUMAR
Você já ouviu falar sobre divergência e teorema da divergência? 
Este assunto geralmente é trabalhado na disciplina de cálculo, po-
rém vamos retomá-lo para relembrar ou aprender essa importante 
ferramenta.
Segundo Sadiku (2012), a divergência de um vetor A em um 
dado ponto P é o fluxo que sai, por unidade de volume, à medida 
que o volume se reduz a zero em torno de P. Ficou complexo, não é 
mesmo? Assim, vamos tentar deixar mais claro. A divergência de um 
vetor A é definida como o fluxo líquido que flui para fora de uma 
superfície incremental fechada, por unidade de volume encerrado 
pela superfície. Ainda assim ficou complicado, não é mesmo? Por 
isso vamos analisar a figura abaixo que nos trará clareza e com-
preensão das definições acima. 
P
PP
Obs:
P - ponto no espaço.
(a) (b) (c)
Descrição da Imagem: a figura é composta por três desenhos, sendo que no desenho (a) existe um ponto central P e 
várias setas como se estivessem saindo do ponto, no desenho (b) existe um ponto central P e várias setas em direção 
ao ponto e no desenho (c) existe um ponto P em meio a várias setas na mesma direção e sentido, paralelas entre si.
Figura 1 - Ilustração da divergência de um campo vetorial P: (a) divergência positiva, (b) divergência negativa, (c) divergência 
zero / Fonte: Sadiku (2012, p. 77).
53
UNIDADE 3
Observando a Figura 1, podemos compreender qual é o significado 
da divergência, o que ela representa, assim, tenha sempre em mente 
esse conceito. 
Desta forma, a divergência pode ser expressa por:
�� �
�
�
�
A
A dS
vv
Slim
D D0

ondeΔ v é o volume encerrado pela superfície fechada S na qual P está localizado. 
Fisicamente falando, podemos dizer que a divergência é o quanto o campo se contraiou expande em um determinado ponto. 
Em coordenadas cartesianas, suponha que se queira calcular a divergência de 
um campo vetorial no ponto P = (x , y , z )0 0 0 , e que este ponto esteja encerrado em 
uma superfície fechada com um volume diferencial, como representado na Figura 2. 
DIÁRIO DE BORDO
54
UNICESUMAR
A integral de superfície é obtida por:
A dS
S
frente trás esquerda direita erior erio
� � � � � � �� � � � � � sup inf rr A dS�� � �
Uma expansão de Ax em série de Taylor, em três dimensões ao redor do ponto P é:
A A A
x
y A
y
z A
zx x
x x x(x, y, z) (x , y , z ) (x x ) (y ) (z )� � �
�
�
� �
�
�
� �
�
�0 0 0 0 0 0
�� termos de ordem superior
Na face anterior, x
dx
� �x0 2
 e dS dydzax= , logo:
A dS dydz A dx A
xx
x
frente
� � �
�
�
�
��
�
��
�� (x , y , z )0 0 0 2 termos de ordemm superior
Na face posterior, x
dx
� �x0 2
 e dS dydz ax� �( ) , logo:
A dS dydz A dx A
xx
x
frente
� � � �
�
�
�
��
�
��
�� (x , y , z )0 0 0 2 termos de ordeem superior
Logo, obtemos:
A dS A dS dxdydz A
xfrente trás
x� � � �
�
�
�� � termos de ordem superior
Obs:
P - ponto no espaço;
dx - comprimento in�netesimal na direção x;
dy - comprimento in�netesimal na direção y;
dz - comprimento in�netesimal na direção z.
Pface da
frente
face da direita
face superior
dz
dy
dx
z
y
x
Descrição da Imagem: no eixo cartesiano, existe um ponto P com um paralelepípedo centrado em P, com as dimen-
sões dx na direção x, dy na direção y e dz na direção z.
Figura 2 - Cálculo de · A no ponto P=(x0, y0, z0) / Fonte: Sadiku (2012, p. 78).
55
UNIDADE 3
Realizando o mesmo processo para as outras faces, obtemos:
A dS A dS dxdydz A
yesquerda direita
x� � � �
�
�
�� � termos de ordem supeerior
A dS A dS dxdydz A
zerior erior
x� � � �
�
�
�� �sup inf termos de ordem supperior
Substituindo as equações parciais na equação do gradiente e observando que Dv dxdydz= , obtemos:
lim
D Dv
S x y z
A dS
v
A
x
A
y
A
z�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0

Os termos de ordem superior desaparecem à medida que o volume tende a zero, logo, a divergência 
no ponto P para coordenadas cartesianas, é calculado por:
�� �
�
�
�
�
�
�
�
�
A A
x
A
y
A
z
x y z
Expressões equivalentes ocorrem em outros sistemas de coordenadas, como em coordenadas cilíndricas:
�� �
�
�
�
�
�
�
�
�
A
z
Az
1 1
ρ ρ
ρ
ρ φρ φ
( A ) (A )
e em coordenadas esféricas:
�� �
�
�
�
�
�
�
�
�
A
r r
r
r rr
1 1 1
2
2( A )
sin
(A sin )
sin
A
q q
q
q q
q q
A divergência de um campo vetorial apresenta as seguintes propriedades: devido a ser um produto 
vetorial, resulta em um campo escalar; a divergência de um escalar, não faz o menor sentido;
�� � � � � �� �
� � � � � � � �
( )
(V )
A B A B
A V A A V
Desta forma, o teorema da divergência, conhecido como teorema de Gauss-Ostrogradsky, estabelece 
que o fluxo total de um campo vetorial A que sai de uma superfície fechada S é igual à integral de 
volume da divergência de A (SADIKU, 2012). 
A dS Adv
S v
� � � �� �
Os cálculos de integrais de volume são mais fáceis que as integrais de superfície, assim, para determinar o 
fluxo do vetor A em uma superfície fechada, podemos calcular através do lado direito da equação acima.
Agora que já vimos o que é o teorema da divergência, podemos dar uma olhada como eles podem 
56
UNICESUMAR
ser aplicados matematicamente nos problemas abaixo:
1. Seja um campo vetorial P x yza xzax z� �
2 , determine a divergência deste campo vetorial.
2. Seja o campo vetorial 

G r e z z( ) ( a a )� �
�10 2 r r , determine o fluxo de 

G r e z z( ) ( a a )� �
�10 2 r r através de toda su-
perfície de um cilindro com dimensões r � � �1 0 1, z . Compare o resultado utilizando o 
teorema da divergência.
No primeiro problema, podemos notar que o vetor está em coordenadas cartesianas, logo podemos 
aplicar o teorema do gradiente diretamente:
�� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � �
P P
x
P
y
P
z
P
x
x yz
y z
xz
P xyz
x y z
( ) ( ) ( )2 0
2 xx
No segundo problema, o fluxo através do cilindro sairá pelas superfícies das tampas superior, inferior 
e lateral do cilindro.
y y y y� � � �� G dS S i l.
Para a tampa superior ψ ρ ρ φS zz l dS d d a, .= = , desta forma:
ψ ρ ρ φ π
ρ
φ
π
ρ
S G dS e d d e� � �
�
� �� �
��
�. ( ) ,

10 10 2
2
2
0
2
0
1
2
2
indo de 0 a1
110 2πe�
Para a tampa inferior ψ ρ ρ φS zz dS d d a, . ( )� � �0 , desta forma:
ψ ρ ρ φ π
ρ
π
φ
π
ρ
i G dS e d d� � �
� �
� ��
��
. ( ) ,

10 10 2
2
10
0
0
2
0
1 2
indo de 0 a1
Para a superfície lateral ψ ρ ρ φ ρS dS dzd a, , ( )= =1 , desta forma:
ψ ρ φ π
φ
π
l
z
z
z
G dS e dzd e� � �
�� ��
�
��
�
. ( )( ) ,

10 10 1 2
2
2 2
0
2
0
1
2
2
indo de 0 a1
� � � �10 1 2π( e )
Logo:
57
UNIDADE 3
ψ ψ ψ ψ π π π� � � � � � � �� �S i l e10 10 10 1 0
2 2( e )
Como a superfície é fechada, podemos utilizar o teorema da divergência.
yS
v
G dS Gdv� � ��� �.
Aplicando o gradiente sobre o vetor G, temos:
�� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �� �
G G
z
Gz
z z
1 1
1 10 20 02 2 2
ρ ρ
ρ
ρ φ
ρ ρ
ρ
ρ φ( ) (G )
( e ) e
Como o gradiente é zero, isso significa que o campo vetorial G não possui fonte interna ao cilindro.
y � �� �� Gdv
v
0
Você reparou que o gradiente e o teorema da divergência podem ser utilizados para demons-
trar a existência de uma carga no interior da superfície? A divergência só ocorre na presença 
de uma carga. Se não reparou, analise com maior atenção a Figura 1 e chegue à alguma con-
clusão, justificando-se.
Note que as ferramentas analisadas nesta unidade de aprendizagem nos ajudam a caracte-
rizar uma carga no espaço e o fluxo de campo gerado através desta carga, permitindo-nos 
determinar características de um ou de outro. Essas informações são úteis, pois muitas vezes 
teremos disponíveis poucas informações, por medições ou constatações, que nos levarão à 
determinação de outros parâmetros de interesse.
58
UNICESUMAR
Fluxo de campos vetoriais são a base para o funcionamento de motores e máquinas elétricas, assim 
o fluxo elétrico e magnético são de extrema importância, pois graças a esses o torque interno dos 
motores são produzidos. Assim, a compreensão dos conceitos que envolvem o fluxo é necessária para 
compreender o funcionamento das máquinas elétricas. Os teoremas estudados nesta unidade irão 
ajudar na compreensão de como são irradiados os campos elétricos e magnéticos.
A divergência e teorema da divergência são teorias importantes, 
pois através delas podemos chegar em algumas conclusões a 
respeito do espaço analisado. Podemos concluir através deles a 
existência de cargas elétricas, melhor dizendo. Vamos conversar 
um pouquinho mais sobre isso? 
O filme O Aprendiz de Feiticeiro, 2010, dirigido por Jon Turteltaub e pro-
duzido por Jerry Bruckheimer, traz uma aventura repleta de magia, porém 
em vários trechos não é mágica e sim física. Desta forma, identifique esses 
trechos e, caso queira se aprofundar, pesquise sobre a bobina de Nikola 
Tesla e a gaiola de Faraday, que estão bem presentes neste filme. A gaiola 
de Faraday que aparece no filme demonstra a repulsão de cargas e iso-
lação eletromagnética no interior da casca, como estudamos neste e nas 
unidades anteriores.
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/8410
59
M
A
P
A
 M
EN
TA
L
Agora que finalizamos a unidade, você irá montar um mapa de aprendizado, em diagrama de blo-
cos, relacionando se você conseguiu ou não compreender bem os conceitos apresentados nesta 
unidade. Caso algum conteúdo lhe gerou dúvida ou insegurança, você deve retomá-lo através das 
referências que eu separei para você. Não carregue dúvidas para frente, pois essas serão cobradas 
mais a frente e, caso não tenha aprendido agora, terá que aprender depois. Então, vamos seguir 
a “Lei do menor esforço” e aprender no momento proposto. Eu vou ajudá-lo começando o mapa 
e você irá completá-lo de acordo com seus conhecimentos adquiridos.
Divergência
Equacionamento
da Divergência
Sistemas de
coordenadas
Assuntoscompreendidos Conceitos mal compreendidos
Descrição da Imagem: o mapa mental traz duas colunas de questionamento, onde temos a primeira que diz: 
“assuntos compreendidos” e a segunda que diz: “assuntos não compreendidos”, desta forma, temos três temas 
tratados nesta unidade, que devemos indicá-los em qual coluna pertence, além de que você poderá adicionar 
outros temas caso ache necessário. Os temas são: Divergência, Equacionamento da divergência e Sistemas de 
coordenadas.
60
UNICESUMAR
1. Utilize o teorema da divergência para encontrar o fluxo exterior de F (x, y, z) = (6x2+2xy, 2y+x2z, 
4x2y3) através da fronteira da região D, onde D é a região cortada do primeiro octante pelo cilin-
dro x2+y2=4 e o plano z=3.
Obs:
Primeiro octante do cilindro centrado no eixo cartesiano x, y, z. 
2. Utilizando o teorema da divergência, encontre o fluxo exterior de F x y z(x,y,z) (x,y,z)� � �2 2 2 , que 
atravessa a região de fronteira D, onde D é a esfera expressa por 1 22 2 2 2 2 2� � � � � �x y z x y z e . 
Obs:
Esfera centra no eixo cartesiano x, y, z. 
3. Encontre o fluxo elétrico que atravessa uma superfície fechada S, que contém uma distribuição 
de cargas sob a forma de um disco de raio = 16m, com densidade ρ
φ
S r
C
m
�
� �� � �
�
�
�
�
�
sin2
24
.
61
M
EU
 E
SP
A
Ç
O
62
M
EU
 E
SP
A
Ç
O
4
A energia potencial é a forma de energia que está armazenada ou 
contida, que está disponível para, a qualquer momento, transfor-
mar-se em outra forma de energia, geralmente mecânica. Desta 
forma, a energia potencial está associada a um sistema de inte-
rações de diferentes corpos. Nesta unidade, iremos analisar um 
sistema formado por cargas elétricas e a energia potencial que esse 
sistema pode gerar.
Energia potencial 
elétrica de conjunto 
de cargas
Me. Italo Leonardo de Alencar Marton
64
UNICESUMAR
Como já é sabido, qualquer objeto que esteja a uma altura h do solo possui uma energia potencial gra-
vitacional. Esta energia pode facilmente ser transformada em energia cinética devido à força de atração 
entre o objeto e o planeta. De forma análoga ocorre com as cargas elétricas que se encontram próximas 
umas às outras. Por estarem em posições diferentes, elas armazenam a energia que é denominada energia 
potencial elétrica. Esta energia elétrica gera força que pode ser tanto de atração quanto de repulsão. Isto 
te faz lembrar de algum choque elétrico levado em tomadas residenciais? 
Se uma pessoa encostar em um fio desencapado, somente não levará um choque caso não esteja encos-
tando em mais nada, como é o caso dos pássaros que pousam nos fios elétricos. Observe que, caso a pessoa 
tenha contato com a terra enquanto encosta no fio, ela será o caminho de descarga da energia elétrica 
armazenada neste fio que tende ao equilíbrio, ou seja, espontaneamente as cargas elétricas movem-se em 
direção ao menor potencial existente no caminho. 
Proponho a você, aluno(a), a construir uma gaiola. Contudo, não é uma gaiola comum e sim a GAIOLA 
DE FARADAY. Trata-se de um experimento construído por Michael Faraday, em que um corpo con-
dutor é colocado em isolamento no interior da gaiola (este isolamento pode ser conseguido colocando 
o corpo sobre uma cadeira de madeira) e ela é submetida à eletrização. Observe o comportamento do 
corpo isolado no interior da gaiola, ao eletrizar a superfície da gaiola. Responda as seguintes perguntas: 
1) O corpo no interior da gaiola levará choque? 2) Há diferença de potencial entre as cargas existentes 
em toda a gaiola? 3) Como este experimento pode ser trazido para a nossa vida cotidiana? 4) Como este 
conhecimento pode salvar vidas? 
O experimento da gaiola de Faraday lhe proporcionará a resposta de que não, o corpo no interior da 
gaiola não levará choque. Trata-se de um experimento simples de fazer e podemos tirar várias conclusões 
sobre ele. O tamanho do experimento não importa, mas a conclusão de que o objeto em seu interior não 
sofre interação com o exterior é a principal conclusão. Com isso, o sistema interno a uma gaiola de Faraday 
está isolado dos campos externos, isso é visto em nosso cotidiano em cabos de comunicação, como o da 
TV, o qual possui uma gaiola de Faraday para blindar o cabo de interferências externas. Também pode 
ser visto em sistemas de proteção contra descargas atmosféricas, o nosso conhecido para-raios, que isola 
a construção de elevação de tensão causada pelo raio, protegendo as pessoas e os equipamentos. 
DIÁRIO DE BORDO
65
UNIDADE 4
Diante dos aprendizados adquiridos anteriormente, concluímos que, a partir da lei de Coulomb, é 
possível quantificar a intensidade de campo elétrico E presente em uma distribuição de carga; em 
casos de distribuição simétrica, o campo elétrico é obtido a partir da lei de Gauss. Nesta unidade, será 
demonstrada uma forma menos trabalhosa e mais fácil de quantificar o campo elétrico, a partir do 
Potencial Elétrico Escalar V que será definido adiante.
Ao movimentar uma carga pontual Q de um ponto A até um ponto B, que esteja inserida em um 
campo elétrico E, conforme mostra a Figura 1 a seguir, determinamos que a Força que incide sobre 
Q é dada pela Lei de Coulomb F=Q.E bem como o trabalho realizado para que um deslocamento 
diferencial dl da carga aconteça é dado por:
dW F dl QE dl� � � � � � 
Assim, o trabalho total realizado ou a energia potencial necessária para realizar este movimento que 
é feito por um agente externo, o que motiva o sinal negativo na formula, é dado por:
W Q E dl
A
B
� � �  
A Energia Potencial por unidade de carga é quantificada pela divisão entre o Trabalho (W) realizado 
para movimentar esta carga de um ponto a outro pela Quantidade de Carga existente (Q). Essa energia 
também é denotada por Vab e denominada por diferença de potencial entre os pontos A e B. Assim:
V W
Q
E dlAB A
B
� � �� 
onde:
Vab = Diferença de Potencial Elétrico ou Energia Potencial Joules por Coulomb ou em Volts (V);
W = Trabalho realizado para movimentar uma carga de um ponto A para B em Joules (J);
Q = Quantidade da Carga Elétrica em Coulombs (C);
E = Campo Elétrico em Newton por Coulomb (N/C) ou Volt por Metro (V/m);
l = distância percorrida pela carga em metros (m).
Observações Importantes: 
• Ao calcular Vab, assumimos que A é o ponto de origem e B é o ponto de destino do percurso 
da carga;
• Se Vab resultar em um valor negativo, significa que houve uma perda de energia potencial ao 
realizar este movimento;
• Vab é a diferença de potencial entre os pontos A e B e independe do percurso realizado pela 
carga para ir de A até B
66
UNICESUMAR
E
Origem
B
A
rB
rA
r
dl
Descrição da Imagem: seja um campo elétrico qualquer no espaço, uma carga é deslocada transversalmente ao 
sentido das linhas de campo, indo do ponto A, até o ponto B, com relação a uma referência que é o ponto de origem.
Figura 1 - Comportamento ao deslocar uma carga pontual Q que está imersa em um Campo Eletrostático. Sendo: E = linhas 
que indicam o campo eletrostático; A e B são pontos referenciais de análise; rA é a distância da localização de origem da carga 
até o ponto A; rB é a distância de localização de origem da carga até o ponto B; dl é o elemento infinitezimal de distância da 
trajetória de A até B; r é a distância entre o ponto de origem da carga Q e qualquer ponto da trajetoria entre A e B / Fonte: 
Sadiku (2012, p. 134).
De forma equivalente, concluímos que, se o campo elétrico de uma carga pontual 
pode ser quantificado por meio da equação
E Q
r
ar= 4 2πξ

então o potencial elétrico por ser também quantificado pelas equações conforme 
abaixo:
V Q
r
a dra Q
r r
V V V
V Q
AB rr
r
r
B A
Q L
A
B� � � �
�
�
�
�
�
�
� �
�
� 4 4
1 1
4
2πξ πξ
πξ
� �
�
i 
V V VAB B A� � 
É fácil concluir que, para o caso de considerar o potencial elétrico na origem igual a 
0 (Va=0), o potencial em qualquer ponto devido a uma carga pontual Q é dado por: 
V Q
r
=
4πξ

67
UNIDADE 4
O comportamento das cargas elétricas é tão veloz que são invisíveisaos olhos, porém seus 
efeitos podem ser sentidos com bastante intensidade. Devido à impossibilidade de visualiza-
ção a olho nu do comportamento é que se torna um assunto de não tão fácil assimilação de 
conhecimento. Profissionais do setor elétrico, mesmo com todo o conhecimento e experiência, 
por vezes cometem erros de procedimento invisíveis aos olhos, mas que podem acarretar 
em acidentes gravíssimos. Por isso é fundamental conhecer o comportamento dos elétrons e 
lembrar-se sempre de que todo cuidado com a eletricidade é pouco.
O Potencial em qualquer ponto é a diferença de potencial entre esse ponto e um ponto escolhido no 
qual o potencial é arbitrado como zero. 
Analisando de outra forma, se considerarmos potencial zero no infinito, o potencial a uma distância 
r da carga será igual ao trabalho realizado, por unidade de carga, por um agente externo ao movimentar 
uma carga pontual do infinito até o ponto localizado a esta distância r, assim:
V E dl
r
� �
��  
Caso a carga pontual não esteja localizada na origem, mas em um ponto r que possua 
coordenadas em R(x,y,z), será considerado o potencial V (r) igual a: 
V Q
r r
� �
�4πξ

' 
Agora trataremos do Princípio da Superposição. Até agora as análises sobre o potencial elétrico refe-
riam-se a uma carga pontual, porém as mesmas considerações aplicam-se no caso de mais de uma carga 
(n cargas). O mesmo princípio da superposição aplicado a campos elétricos para n cargas é também 
aplicado no caso do potencial elétrico para n cargas localizadas em pontos com vetor posição r’(x,y,z), 
assim, temos equacionado o potencial elétrico conforme a seguir: 
V r Q
r r
k
kk
n
( ) �
��
�14 1πξ
 ponto de cargas
Diante do equacionamento do potencial elétrico de uma carga pontual, temos também o equaciona-
mento de diferentes distribuições contínuas de carga que pode ser: linha de carga, superfície de carga 
ou volume de carga que respectivamente se quantificam de acordo com as equações a seguir:
68
UNICESUMAR
V r r dl
r r
L
L
( )
( ') '
'
�
��
1
4πξ
ρ

 linha de carga
V r r dS
r r
S
S
( )
( ') '
'
�
��
1
4πξ
ρ

 superfície de carga
V r r dv
r r
V
v
( )
( ') '
'
�
��
1
4πξ
ρ

 volume de carga
Caso o problema não escolha arbitrariamente o ponto de potencial zero (referência) no infinito e sim 
qualquer outro ponto for escolhido como referência, a equação V Q
r r
� �
�4πξ

'
, torna-se:
V Q
r
C� � �
4πξ

Finalmente, entendemos que, genericamente, pode-se calcular o potencial elétrico Vab a partir das 
equivalências abaixo:
V V V E dl W
QAB B A A
B
� � � � ��  
Vamos desenvolver alguns exemplos para ficar mais claro. 
01. EXEMPLO Duas cargas pontuais -4µC e 5µC estão localizadas em (2,-1,3) e em (0,4,-2), respec-
tivamente. Determine o potencial em (1,0,1) considerando zero no infinito.
Solução:
Sejam: Q1 = -4µC e Q2 = 5µC
V r Q
r r
Q
r r
C( ) �
�
�
�
�1
1
2
2
04 4πξ πξ
 
V V V Q
r r
V
BC C B
L O
B C B
C
� � � � � �
�
�
�
�
�
�
� � � �
ρ
πε
ρ
ρ πξ2 4
1 1
100 36 20
1
 
ln
ln 445 1
11
1
21
50 175
49 825 100
50 175
��
��
�
��
� �
� � � �
� �
,
,
,
V
V V V
V
BC C B
69
UNIDADE 4
Se V(∞) = 0, C0 = 0,
r r� � � � � � � �1 1 0 1 2 1 3 1 1 2 6( , , ) ( , , ) ( , , )
r r� � � � � � �2 1 0 1 0 4 2 1 4 3 26( , , ) ( , , ) ( , , )
onde,
V ( , , )1 0 1 10
4 10
36
4
6
5
26
6
9�
�
�
��
��
�
��
�
�
p
p
� � � �9 10 1 633 0 98063( , , )
� �5 872, kV
02. EXEMPLO Uma carga pontual de 5 µC está localizada em (-3,4,0), enquanto que uma linha em 
y=1 e z=1 está carregada uniformemente com 2ŋC/m. 
(a) Se V=0 V em O (0,0,0), determine V em A (5,0,1). 
(b) Se V=100 V em B (1,2,1), determine V em C (-2,5,3). 
(c) Se V=-5V em O, determine VBC.
Solução:
Seja o potencial em um ponto qualquer dado por
 V V VQ L� �
onde VQ e VL são as contribuições ao V , nesse ponto, devido à carga pontual e 
à linha de cargas, respectivamente. 
Para a carga pontual:
 
V E dl Q
r
a draQ r r� � � �� �i i
�4πξ �
= 
r
r
B
B
C
r
� � �
� � � �
� � � �
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
( , , ) ( ,
1 2 1 1 1 1 1
1 2 1 3 4 0 21
2 5 3 2 11 1 20
2 5 3 3 4 0 11
, )
( , , ) ( , , )
�
� � � � �rC
70
UNICESUMAR
Para a linha infinita de cargas: 
 
V E dl d d aL L� � � �� �i i
�
ρ
πξ ρ
ρρ ρ2
 V
Q CL� � �ρ
πε
ρ
πξ2 4
 
ln
Portanto,
 
V Q CL� � �ρ
πε
ρ
πξ2 4
 
ln
a) Sendo ρ a distância perpendicular do ponto (x,y,z) à linha y=1 e z=1, paralela ao eixo x. Por-
tanto, ρ é a distância entre (x,y,z) e (x,1,1), porque o vetor distância entre esses dois pontos é 
perpendicular a ar. Assim:
r � � � � � �( , , ) ( , , ) ( )² ( )²x y z x y z1 1 1 1
Aplicando essa equação para ρ e para r, nos pontos O e A, obtemos:
 r0 0 0 0 0 1 1 2� � �( , , ) ( , , )
 r0 0 0 0 3 4 0 5� � � �( , , ) ( , , )
 rA � � �( , , ) ( , , )5 0 1 5 1 1 1
 rA � � � �( , , ) ( , , )5 0 1 3 4 0 9
 V V
Q
r rO A
L O
A O A
� � � � �
�
�
�
�
�
�
ρ
πε
ρ
ρ πξ2 4
1 1
 
ln
 
�
� �
�
�
��
��
�
��
�
�
�
�
2 10
2 10
36
2
1
5 10
4 10
36
1
5
1
9
9
9
9
9
p
p
p
p
ln
 0 36 2 45
1
5
1
9
� � � � ��
�
�
�
�
�VA ln
 V VA � � �36 2 4 8 477ln ,
71
UNIDADE 4
b) Se V=100V em R (1,2,1) e V em C (-2,5,3) deve ser determinado, fazemos:
 
r
r
B
B
C
r
� � �
� � � �
� � � �
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
( , , ) ( ,
1 2 1 1 1 1 1
1 2 1 3 4 0 21
2 5 3 2 11 1 20
2 5 3 3 4 0 11
, )
( , , ) ( , , )
�
� � � � �rC
 
V V Q
r r
V
C B
L O
B C B
C
� � � � �
�
�
�
�
�
�
� � � �
ρ
πε
ρ
ρ πξ2 4
1 1
100 36 20
1
45 1
1
 
ln
ln
11
1
21
50 175
��
��
�
��
� � , V
Ou V VC = 49 825,
c) Para determinar a diferença de potencial entre dois pontos, basta fazer o potencial de um menos 
o potencial do outro como segue:
 
V V V
V
BC C B� � � �
� �
49 825 100
50 175
,
,
Agora trataremos da Relação entre Potencial Elétrico e Campo Elétrico – Equação 
de Maxwell, na qual, conforme estudamos agora mesmo, independente da trajetória 
percorrida pela carga, a diferença de potencial entre dois pontos é dada pela equação 
 VBA= -VAB, assim, VBA+VAB = E dl� �� 0 
72
UNICESUMAR
A Figura 2 apresentada nos mostra que a integral de linha de um campo eletrostático ao longo de uma 
trajetória fechada deve ser zero. Conceitualmente concluímos que não existe trabalho ao se movimen-
tar uma carga interiormente a uma trajetória fechada. Seguindo o teorema de Stokes, teremos então:
E dl E dS� � �� � ��� ( ) 0 ou �� �E 0 
Os campos vetoriais obedecem às equações acima e podem ser considerados conservativos ou irrota-
cional, conforme já estudado anteriormente. Estas duas equações descrevem a característica conserva-
tiva do campo elétrico, sendo que a primeira trata da forma integral e a segunda da forma diferencial.
Partindo também da definição de potencial, V E dl� � �� , temos que:
E
B
A
Descrição da Imagem: a figura mostra um campo eletrostático qualquer, onde temos dois pontos distintos A e B, em 
que ocorre o deslocamento do ponto A indo ao ponto B por um caminho e retornando por outro caminho diferente 
de maior comprimento.
Figura 2 – Figura mostrando a característica conservativa do campo eletrostático. Sendo: A e B pontos referenciais da trajetória 
conservativa, e indica as linhas de campo eletrostático / Fonte: Sadiku (2012, p. 140).
dV E dl E dx E dy E dzx y z� � � � � � �
Bem como, 
dV V
x
dx V
y
dy V
z
dz� �
�
�
�
�
�
�
�
Por comparação temos:
E V
xx
� �
�
�
, E
V
yy
� �
�
�
, E
V
zz
� �
�
�
 
Logo: 
E V� ��
73
UNIDADE 4
Diante do explanado, podemos observar que o campo elétrico E é o gradiente de V. O sinal negativo 
mostra a direção oposta de E em relação a que V aumenta. A Equação E V� �� é outra forma de 
obter o campo elétrico E que não depende do uso da Lei de Gauss e tão pouco a Lei de Coulomb. Isso 
significa que, se conhecemos o potencial elétrico V, então o campo Elétrico E pode ser encontrado 
através desta equação: 
03. EXEMPLO Dado o potencial V
r
sen= 102 θ φcos ,
a) Determinea densidade de fluxo elétrico D em ( , , )2
2
0p
 D E= e0
Mas, E V
V
r
a
r
V a
rsen
V ar� �� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 1
θ θ φθ φ
 � � �
20 10 10
3 3 3r
sen a
r
a
r
sen arθ φ θ φ φθ φcos cos cos
Em ( , , )2
2
0p , teremos:
 D E= e0 (r=2, θ= π/2, φ=0) � � �
�
�
�
�
�
�ε θ φ0
20
8
0 0a a ar
 = 2 5 0, e ar C/m² = = 22 1, ar pC/m²
b) Calcule o trabalho realizado ao se movimentar uma carga de 10µC do ponto A (1, 30°, 120°) 
até o ponto B (4, 90°, 60°)
O trabalho realizado pela carga pode ser encontrado utilizando-se E ou V. Opção 1 utili-
zando a equação já aprendida, uma maneira mais trabalhosa de resolver a questão, e a opção 
2 utilizando este método recém-aprendido e muito mais fácil conforme segue:
 W Q E dl QVABA
B
� � � � ��
 =Q V VB A( )−
 � � �� � ��
�
�
�
�
� �
�10 10
16
90 60 10
1
30 120 10 6sen sencos cos
 � �
��
�
�
�
�
� �
�10 10
32
5
2
10 6
 =28,125μJ
Agora trataremos do assunto: Densidade de Energia em Campos Eletrostáticos, em que, para 
determinar a energia armazenada em um conjunto de cargas conforme a figura a seguir, 
precisamos primeiramente determinar o Trabalho necessário para aproximar cada carga, 
escolhendo uma como referência, de acordo com a posição de cada uma, e, então, após somar 
os Trabalhos calculados individualmente.
74
UNICESUMAR
Equacionando: 
 W W W W Q V Q V VE � � � � � � �1 2 3 2 21 3 31 320 ( ) 
Se as cargas estivessem em posição reversa, teríamos:
 W W W W Q V Q V VE � � � � � � �3 2 1 2 23 1 12 130 ( ) 
onde V23 é o potencial em P2 devido a Q3, e V12 e V13 são, respectivamente, os po-
tenciais em P1 devido a Q2 e a Q3. Somando as equações, resulta em:
 
W QV Q V Q VE � � �� �
1
2 1 1 2 2 3 3
 
Em geral, teremos:
 W Q VE k k
k
n
�
�
�12 1
 [J] 
Para distribuição contínua de carga, o somatório torna-se a integral conforme segue:
 W VdlE L� �
1
2
r (linha de carga) 
 W VdSE s� �
1
2
r (superfície de carga) 
 W VdvE V� �
1
2
r (volume de carga) 
Em resumo temos:
 W D Edv E dvE � � �� �
1
2
1
2 0
e � 
P3
P2
P1
Q1
Q2
Q3
∞
Descrição da Imagem: temos um plano que contém os pontos P1, P2 e P3, sendo que cargas vindas do infinito vão 
em direção a estes pontos, onde carga Q1 vai em direção ao ponto P1, a carga Q2 vai em direção ao ponto P2 e a carga 
Q3 vai em direção ao ponto P3.
Figura 3 - Conjunto de cargas. Sendo: Q1, Q2 e Q3 cargas elétricas. P1, P2 e P3 são pontos referenciais / Fonte: Sadiku (2012, p. 146).
75
UNIDADE 4
04. EXEMPLO (SADIKU, 2012): Três cargas pontuais -1nC, 4nC e 3nC estão localizadas em (0,0,0), 
(0,0,1) e (1,0,0), respectivamente. Determine a energia interna do sistema.
Solução: W W W W Q V Q V VE � � � � � � �1 2 3 2 21 3 31 320 ( )
 � �
�
�
�
�
Q Q Q Q Q2
0
1 3
0
1 2
4 0 0 1 0 0 0 4 1 0 0 0 0 0 1 0 0πε πε( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )) ( , , )�
�
�
�
�
�
�0 0 1
 � � �
�
�
�
�
�
�
1
4 20
1 2 1 3
1 2
πε
Q Q Q Q Q Q
 � � � �
�
�
�
�
�
� ��
�1
4 10
36
4 3 12
2
109
18
p
p
 � �
�
�
�
�
�
� �9
12
2
7 13 37nJ J,
Na área de eletricidade, existem termos bastante difundidos na 
área de segurança, são a tensão de toque e a tensão de passo. 
Você já ouviu falar de alguma delas? Essas tensões são o limite 
suportado pelo corpo para não tomarmos um choque que pode 
ser fatal. Assim, clique no podcast e vamos aprender um pouco 
mais sobre segurança em eletricidade.
O filme “O grande truque” mostra Robert em uma busca que o leva aos 
Estados Unidos, onde procura o cientista Nikola Tesla (figura real inter-
pretada por um surpreendente David Bowie), que conseguia feitos com 
a eletricidade que podiam passar por mágica. Há uma bela cena noturna 
em que Hugh Jackman está com Andy Sekis (sim, o ator do Gollun de "O 
Senhor dos Anéis" e do César de "Planeta dos Macacos") em um campo 
e Tesla acende centenas de lâmpadas espalhadas pela paisagem. Robert 
quer que Tesla lhe construa uma máquina que o faria o melhor mágico 
do mundo. Tesla lhe pergunta se ele estaria disposto a pagar o preço. "Dinheiro não é problema", 
responde Robert. "Mas você está disposto a pagar o custo?", pergunta Tesla.
Este filme traz a oportunidade de você ter contato de forma visual com o experimento de Nikola 
Tesla que deu nome à unidade de fluxo magnético, um dos grandes feitos realizado por Nikola 
Tesla e assunto estudado por nós nesta unidade.
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/8412
76
UNICESUMAR
Se você domina algumas ferramentas da matemática, então você está preparado para estudar o ele-
tromagnetismo com facilidade. A eletrostática é um assunto incrível e é desenvolvido em várias áreas 
como aparelhos de raio X, sistemas de proteção contra descargas atmosféricas (SPDA), transmissão 
de energia entre outros. É necessário ter o entendimento dos comportamentos dos campos elétricos 
para ser capaz de projetar equipamentos adequados para estes usos. Além dos exemplos já citados, não 
podemos deixar de destacar a aplicação deste conhecimento na medicina com os aparelhos de eletro-
cardiograma, eletroencefalograma, além de aparelhos que registram a atividade de órgãos incluindo 
olhos, ouvidos e estômago. É usado, ainda, na indústria, como em pinturas eletrostáticas, usinagem 
eletromecânica e em processos de separação de partículas. Na agricultura, é utilizado na seleção de 
grãos, pulverização da plantação, na fiação do algodão, defumação de carne, medição da umidade da 
produção. É utilizado também para aumentar a velocidade dos processos de cozimento do pão. 
Nesta unidade, aprofundamos no assunto de potencial elétrico; como visto este é medido em Volts, 
os mesmos volts das pilhas que utilizamos em nosso cotidiano, dos carregadores de celular, das fontes 
de computadores e a das tomadas elétricas que estão presentes ao nosso redor. Veja como o assunto 
desta unidade é relevante em nossa vida e agora você compreende como ele “transporta” energia para 
os eletroeletrônicos.
No caso do sistema de proteção contra descargas atmosféricos – SPDA, o nosso conhecido para-
-raios, o qual faz o papel de uma gaiola de Faraday, como aquela que você construiu, protegendo tudo 
que está em seu interior de interferências eletromagnéticas, como o surto atmosférico, que costuma 
causar grandes prejuízos materiais e colocar em risco a vida das pessoas.
77
M
A
P
A
 M
EN
TA
L
Agora chegamos na hora de verificar seus conhecimentos. Você compreendeu todos os conceitos 
que foram apresentados nesta unidade, sem deixar passar nada pela tangente? Sempre algo 
passa meio obscuro ou sem ser bem interpretado. Desta forma, seu trabalho agora será dar con-
tinuidade à organização que produzi com os assuntos compreendidos nesta unidade, vamos lá? 
78
A
G
O
R
A
 É
 C
O
M
 V
O
C
Ê
1. Em uma determinada região do espaço, o potencial elétrico é dado pela expressão 
V y xy xz� � �2 43²z . Sabendo-se que 

i , 

j e 

k são vetores unitários nas direções 
dos eixos x, y e z, o campo elétrico, em V/m no ponto A (3,2,1) é:
a) 6 11 36
 

i j k− −
b) � � �6 11 36
 

i j k
c) 6 11 36
 

i j k� �
d) � � �6 11 36
 

i j k
e) − − −6 11 36
 

i j k
2. Duas superfícies cilíndricas, coaxiais, condutoras e infinitamente longas tem raios a(m) 
e b(m), conforme mostra a figura a seguir. A região entre os cilindros é preenchida 
por um dielétrico homogêneo, sem perda, com permissividade constante , e as 
superfícies condutoras dos cilindros têm espessuras desprezíveis. Considere que a 
superfície interna está no potencial elétrico de +60 V e a externa no potencial de 0 V. 
Com base nos dados fornecidos, qual a expressão do raio r de uma superfície equipo-
tencial, cilíndrica, no interior do dielétrico, que está com potencial de +15 V?
r a
b
Superfície
Cilíndrica
Equipotencial
a) a 4 
b) b
4
c) b a−
4e
d) b
b
a
4
e) b
b
a
5
79
A
G
O
R
A
 É
 C
O
M
 V
O
C
Ê
3. Por que a blindagem de um equipamento deve ser aterrada? Para que, do ponto de 
vista do ambiente externo ao equipamento, qualquer corpoque encostar na carcaça 
do equipamento, esteja ao mesmo _____________ em que se encontram.
a) potencial elétrico. 
b) campo magnético. 
c) campo elétrico. 
d) nível de corrente.
e) potencial magnético.
80
M
EU
 E
SP
A
Ç
O
5
Nesta unidade, iremos compreender como ocorrem o processo 
de formação de corrente elétrica, que forças são geradas, como é 
mantido um fluxo contínuo de corrente e como tudo isso ocorre 
internamente a um material condutor de eletricidade. Esta unidade 
é importante para o entendimento das propriedades intrínsecas 
dos condutores, semicondutores e isolantes elétricos.
Corrente, Densidade 
de Corrente e 
Condutores
Me. Italo Leonardo de Alencar Marton
82
UNICESUMAR
A essa altura todos já vimos como circuitos elétricos se comportam, como se calcula a resistência em 
condutores, porém você já se questionou o que acontece no interior dos condutores ou o que faz criar 
um fluxo de elétrons ou como esses elétrons fluem através dos condutores, por qual motivo os elétrons 
não saem dos condutores? Nesta unidade, iremos explorar o que acontece no interior dos condutores 
para que um fluxo ordenado de elétrons seja forçado.
Todos os equipamentos elétricos que operamos no nosso dia a dia funcionam através de condu-
tores, fontes e correntes elétricas. Desta forma, nesta unidade iremos compreender melhor como é o 
funcionamento interno destes equipamentos, suas características e propriedades.
Hoje em dia praticamente todos possuem um celular na mão e/ou tem acesso a computadores 
ou equipamentos microcontrolados. Nestes equipamentos, existe o microprocessador que costuma 
ser o componente interno mais caro do equipamento todo. Sendo assim, você sabe o motivo destes 
componentes possuírem alto valor agregado em comparação aos outros? Se não sabe a resposta, tente 
ler ou assistir algo que explique esses motivos ou te leve a essa conclusão através das características 
dos equipamentos.
Como foi em suas pesquisas? Obteve uma resposta satisfatória ou conseguiu chegar em alguma 
conclusão por você mesmo? Bom, a saída para estes questionamentos está nos materiais condutores 
empregados nestes componentes e na tecnologia embarcada. Esses componentes são da ordem de 
nanômetros e, assim, só podem ser produzidos com equipamentos próprios para isso de alto valor 
agregado, além dos materiais que são construídos. Os processadores e microprocessadores precisam ser 
construídos com emprego de ouro e prata, o que encarece bastante os componentes. Você conseguiu 
encontrar algo sobre o motivo destes metais serem empregados nestes componentes? Se sim, excelente, 
se não, você precisará desenvolver melhor seus métodos de pesquisa. 
A resposta não é tão óbvia, pela condutividade, mas sim pela frequência. Semicondutores não pos-
suem boa resposta em alta frequência, assim, o emprego de metais nobres é necessário para isso. Agora 
você sabe em que empresas de reciclagem estão interessadas no lixo eletrônico, é isso mesmo, ouro, 
prata e cobre. Olhem com mais carinho para o lixo eletrônico de vocês e deem um destino correto a 
esses componentes, principalmente os que possuem baterias, que são altamente poluentes. 
DIÁRIO DE BORDO
83
UNIDADE 5
A corrente elétrica, assim como a diferença de potencial, é um parâmetro fundamental 
na engenharia elétrica. Desta forma, iremos explorar melhor e definir esse efeito físico.
A corrente elétrica é definida por Sadiku (2012) como a corrente em que uma 
quantidade de carga passa através de uma área na unidade de tempo.
Ou seja:
I dQ
dt
=
Desta forma, para uma corrente de um ampere, a carga está sendo transferida a uma 
taxa de um coulomb por segundo.
Também temos o conceito de densidade de corrente , definida como a corrente 
 que atravessa uma superfície .
J I
Sn
=
D
D
 ou D DI J Sn� �
considerado que a densidade de corrente esteja perpendicular à superfície. Caso a 
densidade não seja normal à superfície temos:
D DI J S� �

 ou 
I J S
S
� ��

D
Existem três diferentes tipos de densidade de corrente, dependendo de como elas são 
geradas: a densidade de corrente de convecção, a densidade de corrente de condução 
e a densidade de corrente de deslocamento. Iremos trabalhar somente com as den-
sidades de convecção e de condução. Caso se interesse, a corrente de deslocamento 
fica como uma dica de leitura.
A corrente de convecção é aquela que envolve condutores e consequentemente 
não segue a Lei de Ohm. É definida como um fluxo de cargas através de um meio 
que seja isolante, como líquido, gás, vácuo etc. 
Considere um filamento condutor, onde um fluxo de cargas de densidade pv , flui 
a uma velocidade u = ayay . Assim, a corrente através do filamento é calculada por:
D
D
D
D
D
D
DI Q
t
S l
t
SuS S y= = =r r
Agora podemos compreender melhor o conceito de densidade de corrente, que é 
definida como a corrente que passa através de uma unidade de área normal a um 
dado ponto.
A componente em y da densidade de corrente J y é calculada por:
J I
S
uy V y= =
D
D
r
Sendo: 

J uV= r
84
UNICESUMAR
I é a corrente de convecção e J é a densidade de corrente de convecção em Amperes/
metro quadrado (A/m)2.
A corrente de condução ocorre em condutores que são caracterizados por gran-
de quantidade de elétrons livres, que promovem a corrente impulsionados por um 
campo elétrico. A força sobre um elétron livre com carga, impulsionado por um 
campo elétrico, é:
 
F eE� �
O elétron não está em um espaço livre e com a aceleração sofrerá inúmeras colisões 
com a rede cristalina e derivará de um átomo para outro do condutor. Se um elétron 
com massa m está se movimentando em um campo E com velocidade média de 
deriva u, a variação média do momento do elétrico deve ser igual à força aplicada, 
de acordo com a lei de Newton. Desta forma:
mu eE


t
� � ou 


u e
m
E� � t
sendo o intervalo de tempo médio entre as colisões. Isso significa que a velocidade 
de deriva do elétron é diretamente proporcional ao campo aplicado.
Se existirem n elétrons por unidade de volume, a densidade de carga eletrônica 
é calculada por:
rv ne� �
e a densidade de condução por:


 
J u ne
m
E EV= = =ρ
τ
σ
2
 ou 
 
J E= s
Sendo σ
τ
=
ne
m
2
, a condutividade do condutor.
Um condutor é caracterizado pela abundância de cargas elétricas livres. Seja um 
condutor isolado como o da Figura 1(a), quando um campo elétrico externo Ee é 
aplicado, as cargas livres sofrem uma força e são empurradas para as extremidades 
na direção do campo elétrico, acumulando-se na superfície do condutor. No primeiro 
momento, as cargas formam a superfície de cargas induzidas, rapidamente e em um 
segundo momento essas cargas estabelecem um campo elétrico interno induzido Ei , 
o qual anula o campo elétrico externo Ee , no interior do condutor, como é mostrado 
na Figura 1(b). 
Essa é uma propriedade dos condutores, em que um condutor perfeito não pode 
conter um campo eletrostático em seu interior (SADIKU, 2012).
85
UNIDADE 5
O condutor é equipotencial, o que significa que o potencial é o mesmo em qualquer 
ponto no condutor. Sob condições estáticas:

E
V
v
ab
=
=
=
0
0
0
r No interior do condutor.
E quando as condições não são estáticas, onde é mantido uma diferença de potencial V, 
nos terminais do condutor, como mostra a Figura 2. Nesta situação, temos uma fonte 
eletromotriz que força as cargas livres a se movimentarem, evitando que o equilíbrio 
eletrostático aconteça. Assim, existe um campo elétrico no interior do condutor para 
manter o fluxo de corrente e, à medida que os elétrons se movimentam, encontram 
forças amortecedoras denominadas resistência.
Descrição da Imagem: um paralelepípedo de material condutor está imerso em um campo elétrico constante, na 
direção positiva de x no eixo cartesiano. O campo elétrico atrai as cargas negativas para a borda lateral esquerda do 
condutor, sendo concentradas cargas positivas na borda direita do condutor. Essa distribuiçãointerna no condutor 
gera um campo elétrico no sentido contrário ao campo elétrico externo. Desta forma, o campo elétrico no interior de 
um condutor imerso em um campo elétrico é nulo.
Figura 1 (a) - Um condutor isolado sob a influência de um campo elétrico; Figura 1 (b) - Um condutor tem um campo elétrico nulo 
sob condições estáticas / Fonte: Sadiku (2012, p. 163).
Obs:
E - campo elétrico externo;
E - campo elétrico interno;
E - campo elétrico resultante;
ρ - densidade de cargas.
E
+-
E
i
i
+-
+-
+-
+-
+-
Ee
Ee
Ee
(a) (b)
+-
E = 0
+-
+-
+-
+-
Ee
Ee
Ee
= 0ρv 
v 
e
i
86
UNICESUMAR
Supondo que o condutor tenha uma seção reta uniforme S, um comprimento , ex-
posto a um campo elétrico E, produzindo uma corrente elétrica I, de acordo com a 
Lei de Ohm teremos:
E V
l
= e J
I
S
=
Como 
 
J E= s , temos:
I
S
E V
l
= =s
s
Portanto,
R V
I
l
S
= =
s
 ou R
l
S
e=
r
Sendo ρ
σe
=
1
 , a resistividade do material.
Obs:
E - campo elétrico externo;
I - corrente elétrica;
l - comprimento do condutor;
V - diferença de potencial.
E
I
V+ -
l
Descrição da Imagem: a figura mostra uma fonte de tensão ligada por fios a um condutor como se estivesse sido 
ampliado. Dentro do condutor, os elétrons se movimentam no sentido contrário ao campo elétrico gerado pela fonte 
de tensão. Assim, a fonte de tensão V cria uma corrente elétrica devido ao campo elétrico interno ao condutor.
Figura 2 - Um condutor de seção reta uniforme sob um campo aplicado E / Fonte: Sadiku (2012, p. 164).
O nosso corpo é constituído de vários tipos de materiais, temos as 
cerâmicas dos ossos, os polímeros da pele e músculos etc. Assim 
como muitos materiais, também temos condutores de eletricidade 
e isolantes. Você sabe como a corrente elétrica é conduzida por 
nosso corpo e quanto equivale a resistência das várias partes do 
nosso corpo? Se ficou curioso para saber, clique no podcast e 
vamos aprender um pouco mais sobre nosso corpo e como ele se 
comporta quando sujeito à eletricidade.
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/8414
87
UNIDADE 5
As equações apresentadas anteriormente se aplicam somente a condutores de seção 
reta uniforme, caso não sejam, podem ser calculados através da Lei de Ohm:
R V
I
E dl
E dS
� �
�
�
�
�s
A potência P (em Watts) é definida como a taxa de variação da energia W (em Joules) 
ou, mecanicamente, força vezes a velocidade. Assim:
r rv vdvE u E udv� �� � �




Ou
P E Jdv� ��
 
que é conhecida como a Lei de Joule. A densidade de potência wp em (watts/m
3) 
é calculada pela integral da equação abaixo:
w dP
dv
E J Ep � � � �
  
s
2
Para um condutor com seção reta dv dSdl= , desta forma:
P Edl JdS VI
L S
� �� �
Ou
P I R= 2
do qual é a forma mais comum de cálculo de potência em circuitos elétricos.
Agora que vimos várias características necessárias para que ocorra a condução elétrica, pense 
em quais características seriam necessárias para ocorrer uma supercondução, ou seja, resistên-
cia muito próxima de zero ou até mesmo negativa. Como isso seria possível de ser alcançado?
88
UNICESUMAR
Nesta unidade, você estudou e compreendeu como ocorre a formação de correntes elétricas 
em um condutor e por quais motivos físicos as características de condução existem. Esse é 
um importante passo, pois todo avanço tecnológico hoje está ligado a materiais com melhores 
propriedades elétricas. A tecnologia em si é a mesma há décadas, porém materiais de maior 
eficiência e menor tamanho proporcionaram a diminuição dos tamanhos dos componentes 
e aumento de suas capacidades, tanto de armazenamento, quanto de processamento. Afinal, 
hoje um celular tem a mesma capacidade de processamento e de memória RAM que um 
computador de 10 anos atrás. 
Agora que sabemos sobre as características dos condutores e o que 
ocorre no momento da condução, faça uma pesquisa sobre o que 
são supercondutores e onde são empregados. Você verá que em um 
futuro bem próximo eles estarão fazendo parte de nossas rotinas, 
proporcionando melhorias relevantes em nossa qualidade de vida e 
redução de custos. Podemos começar com esse artigo do grupo de 
materiais e sensores da UFSCar, o qual traz excelentes informações 
sobre o que são, quais as características e aspectos construtivos para 
obter a supercondução. 
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/8753
89
UNIDADE 5
Projetos fazem parte do cotidiano dos engenheiros, assim, em pro-
jetos elétricos estão diretamente ligados a condutores. Nós vimos 
nesta unidade que existem materiais com diferentes resistividades 
e custo. Sendo assim, vocês como engenheiros terão que, na hora 
de projetar, levar em consideração sempre o melhor custo bene-
fício e decidir, de acordo com as especificações demandadas, se 
utilizarão condutores de cobre, alumínio, ouro ou prata. Tenha em 
mente sempre o que aprendeu nesta unidade, sobre as característi-
cas destes condutores e seu valor na hora de realizarem projetos e 
execuções de projetos. As máquinas estão cada vez mais mudando 
para fontes de energia elétrica, passamos pela geração de máquinas 
a vapor e estamos entrando na geração elétrica, note a quantidade 
de equipamentos elétricos que você possui hoje na residência e tente 
se lembrar ou pergunte para seus pais como era a 15 anos atrás. 
Estamos presenciando hoje a entrada de veículos elétricos, carros, 
motos, patinetes, bicicletas e trens elétricos. Os trens necessitam 
de alta corrente para poderem levitar nos trilhos graças a levitação 
magnética e com isso se deslocarem em altas velocidades, os co-
nhecidos trens-bala. Para isso, os supercondutores são essenciais 
para compensar a utilização deste sistema. 
90
M
A
P
A
 M
EN
TA
L
A essa altura você já deve ter percebido que eletromagnetismo é uma disciplina considerada 
pesada, isso ocorre pelos conceitos serem atípicos, não sensoriais e terem cálculos complexos. 
Desta forma, não deixe passar nada em branco e resgate qualquer assunto, ferramenta, ou mé-
todo que não tenha compreendido claramente. Para te ajudar faça um mapa novamente, listando 
os melhores e piores momentos desta unidade, onde os melhores você compreendeu bem e os 
piores foram aqueles que não ficaram tão claros ou estão obscuros ainda em sua mente. Seu 
trabalho será clarear todas essas informações em sua mente. Um excelente trabalho a você.
v 
Corrente
Resistividade
Co
nd
ut
iv
id
ad
e
Melhores Momentos Piores Momentos
Super
condução
Materiais
condutores
Densidade
de corrente
91
A
G
O
R
A
 É
 C
O
M
 V
O
C
Ê
1. Se J r
a ar� � � � � �� �1 23 cos sinq q
 
� A m/ 2 , calcule a corrente que passa através de uma 
casca hemisférica de raio 20 cm.
2. O gerador de Van de Graaff, o qual transporta cargas através de uma correia que se 
movimenta da base até a calota esférica, como mostra a figura a seguir, possui uma 
densidade superficial de cargas de 10-7 C/m2, sendo transportada a uma velocidade 
de 2 m/s. Calcule a carga coletada em 5 s. Considere a largura da correia de 10 cm.
Descrição da Imagem: a figura mostra um gerador de Van de Graff, o qual é formado por um motor na 
base, ligado a uma correia que está ligado a uma polia, internamente a uma casca esférica de material 
condutor. Esta polia possui uma escova que atrita com a superfície interna da casca condutora e, na polia 
ligada ao motor, a correia está aterrada. Assim, com a rotação do motor, cargas elétricas são retiradas da 
casca e direcionadas ao solo, carregando eletricamente a casca que está isolada. Esse gerador é bastante 
utilizado para trabalhos com cargas elétricas e eletrizações.
Fonte: Sadiku (2012, p. 166).
motor
base
condutora
carregamento de cargas
suporte isolante
calota esférica
condutora
remoção
de cargas
92
A
G
O
R
A
 É
 C
O
M
 V
O
C
Ê
3. Um fio de 1 mm de diâmetro e de condutividade 5x107 S/m tem 1029 elétrons livres 
por metro cúbico quando um campo elétrico de 10 mV/m é aplicado. Determine:
a) adensidade de carga dos elétrons livres;
b) a densidade de corrente;
c) a corrente no fio;
d) a velocidade de deriva dos elétrons.
93
M
EU
 E
SP
A
Ç
O
94
M
EU
 E
SP
A
Ç
O
6
Nesta unidade, iremos aprender o que são materiais dielétricos, 
como a estrutura molecular destes materiais se comportam dian-
te da aplicação de um campo elétrico externo e como podemos 
utilizar essas características dielétricas em capacitores. Veremos 
também as leis que podemos utilizar sobre os capacitores para 
realizar determinados cálculos e iniciaremos os estudos sobre os 
campos magnéticos.
Materiais Dielétricos. 
Capacitância. Equação de 
Laplace. Lei de Ampère. 
Campo Magnético
Me. Italo Leonardo de Alencar Marton
96
UNICESUMAR
Até agora os campos eletrostáticos estudados estavam no espaço livre ou na ausência 
de meios materiais, o que chamamos de vácuo. Contudo, assim como o campo elé-
trico pode existir no vácuo, ele existe também em meio material. As perguntas que 
ficam são: os materiais se comportam da mesma maneira quando são submetidos a 
um campo elétrico? As equações aprendidas até agora continuam servindo? Nesta 
unidade, iremos abordar de forma breve a classificação dos materiais segundo suas 
propriedades elétricas, como por exemplo, suscetibilidade, permissividade, lineari-
dade, isotropia, homogeneidade, rigidez dielétrica e tempo de relaxação. As fórmulas 
aprendidas nas unidades anteriores continuarão servindo com algumas adaptações. 
Os materiais de forma ampla classificam-se em condutores e não-condutores. Os 
últimos são também chamados de materiais isolantes ou dielétricos. A condutividade 
σ de um material medida em ohms por metro (Ω/m) ou em Siemens por metro (S/m) 
é o que vai dizer se o material é condutor ou não-condutor. A condutividade de um 
material pode variar dependendo da temperatura e da frequência. Um exemplo de 
material condutor é o metal que pode ter seu coeficiente de condutibilidade σ>>1 
ele é considerado um bom condutor. Caso o seu σ<<1 é considerado um isolante. 
A discussão sobre as propriedades elétricas dos materiais apesar de parecer fora de 
contexto será um assunto que agregará o nosso conhecimento e permitirá responder 
às seguintes questões: por que os elétrons não escapam através de um condutor? Por 
que os fios condutores percorridos por uma corrente elétrica permanecem descar-
regados eletricamente? Por que os materiais se comportam de maneira diferente na 
presença de um campo elétrico? Por que as ondas eletromagnéticas se propagam com 
velocidade menor em meios condutores do que nos meios isolantes ou dielétricos? 
Levando em consideração essas questões indicadas, tenho uma proposta para te 
fazer: utilize de pesquisas via web com a intenção de encontrar respostas e possíveis 
caminhos para o seu melhor entendimento, vamos lá? 
Uma discussão mais aprofundada e extensa é encontrada em escritas de engenharia 
elétrica sobre eletrônica ou física. Para nós nesta unidade, esta breve discussão será 
suficiente para nos fazer compreender a forma como os materiais alteram o campo 
elétrico. Essa característica é interessante, pois devido a ela certos materiais serão 
empregados em componentes elétricos justamente por essa alteração que realizam 
no campo elétrico. Logo, você conseguiu chegar a uma resposta dos questionamen-
tos feitos? Notou que os elétrons não escapam dos condutores, pois possuem uma 
ligação fraca na camada de valência das moléculas dos materiais condutores e os fios 
permanecem descarregados na presença de corrente elétrica devido ao balanço de 
quantidade de cargas permanecer igual mesmo com a condução, ou seja, para um 
elétron que entra no condutor, outro imediatamente está saindo. 
97
UNIDADE 6
Dielétricos são materiais elétricos que possuem propriedades isolantes, que dificul-
tam a formação de correntes elétricas, através da polarização. Os dielétricos sofrem 
polarização quando submetidos a um campo elétrico externo e são utilizados nas 
áreas de eletrônica, potência, óptica, biofísica e muitas outras.
A polarização ocorre devido ao material ser exposto a um campo elétrico externo, 
que faz a nuvem de elétrons se deslocarem com relação ao centro das moléculas, 
formando dielétricos que geram campos elétricos contrários ao campo elétrico ex-
terno, anulando-o. Por ser um isolante, o campo elétrico não gera força suficiente 
para movimentar os elétrons da camada de valência. A Figura 1 demonstra como 
essa polarização ocorre. Repare no campo elétrico externo em vermelho e no campo 
elétrico interno em azul. 
DIÁRIO DE BORDO
98
UNICESUMAR
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
- E int
E ex
---------------------------------------- --------------
+++ +++ +++ +++ +++ +++ ++++ +++ +++ +++ +++ +++ ++++ +++ +++ +++ +++ +++ +++ +
Descrição da Imagem: a figura mostra um material dielétrico, submetido a um campo elétrico externo criado por 
linhas de cargas positivas e negativas, formando um capacitor e as moléculas internas do dielétrico se rearranjando 
de acordo com as linhas de campo, onde a linha positiva atrai a parte negativa da molécula e a linha negativa atrai 
a parte positiva da molécula. Com essa orientação, as moléculas criam um campo elétrico no sentido contrário ao 
campo elétrico externo.
Figura 1 - Polarização do meio dielétrico sob a ação de um campo elétrico externo / Fonte: o autor.
Rigidez dielétrica é o máximo que o material suporta de intensidade de campo elétrico, sem se tornar 
condutor. Assim, na sua ruptura, o material passa a ser condutor, e o campo elétrico consegue forçar 
condução por esse material. Esse processo costuma ser violento, gerar grande quantidade de calor e 
danificar o material. Alguns exemplos de materiais isolantes ou dielétricos são: ar, mica, cerâmica, vidro, 
plástico, papel, porcelana, água destilada, borracha, óleos, óxidos etc.
Vários equipamentos são construídos com materiais dielétricos, como capacitores, transformadores, 
sensores diversos e telas touchscreen como as dos smartphones, estas formam uma espécie de capacitor 
detectando pequenas variações de cargas na tela indicando a ocorrência do toque. Uma curiosidade desse 
tipo de tela é que funcionam somente com materiais condutores, isolantes não sensibilizam o sistema.
A constante dielétrica dos materiais retrata a influência de cada um no acúmulo de carga de um 
capacitor. A constante dielétrica tem a definição de ser um múltiplo da constante dielétrica do vácuo, 
que tem o valor de e0 =8,85418782 · 10-12 C2N-1m-2.
99
UNIDADE 6
Qualquer material tem a sua constante dielétrica definida com a referência da constante do vácuo, 
de acordo com a equação abaixo:
k = e
e0
Onde:
k = constante dielétrica relativa;
e = constante dielétrica do meio;
e0 = constante dielétrica do vácuo.
A seguir, indico uma tabela com os valores da constante dielétrica relativa de alguns materiais :
Material k
Vácuo 1
Ar 1,00059
Papel 4 a 6
Óleo 4,6
Mica 5,4 a 8,7
Porcelana 6
Alumínio 8,1 a 9,5
Tabela 1 – Constante dielétrica de materiais / Fonte: o autor.
Um belo exemplo de ruptura da rigidez dielétrica são os raios, onde a rigidez dielétrica do ar da 
ordem de 3 · 106 V/M é excedido e uma condução é realizada, gerando uma quantidade enorme 
de calor que chega a emitir luz e realizar um estrondo, o trovão, pela expansão térmica do ar.
Um capacitor, basicamente, é formado por dois condutores carregados com cargas iguais de sinais 
contrários, onde as linhas de fluxo que saem de um condutor devem terminar na superfície do ou-
tro condutor. Assim, essas placas condutoras podem estar separadas por um espaço livre ou por um 
dielétrico. Seja a Figura 2 a seguir, onde as placas condutoras estão sob uma diferença de potencial V:
 
V V V Edl� � � ��1 2
2
1

100
UNICESUMAR
Sendo 

E o campo elétrico entre os condutores.
Obs:
V - força eletromotriz;
-Q - carga negativa;
+Q - carga positiva;
E - campo elétrico.
E
V
12
+-
Q
Q
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
A capacitância é definida como a razão entre o valorda carga em uma das placas e a diferença de 
potencial entre elas. Ou seja:
 C
Q
V
E dS
E dl
� �
�
�
�
�
e
�
�
�
A capacitância C é medida em farads (F).
Agora iremos ver como a capacitância pode ser calculada nos formatos mais comuns de capacitores:
Descrição da Imagem: a figura mostra duas peças condutoras de eletricidade com formatos diferentes conectadas 
aos polos de uma fonte de tensão. A parte condutora ligada ao polo negativo tem um acúmulo de cargas negativas 
-Q e a parte condutora ligada ao polo positivo acumula cargas positivas +Q. Entre elas formam-se linhas de campos 
elétricos saindo da extremidade com carga +Q para a extremidade de carga -Q.
Figura 2 - Capacitor de dois condutores / Fonte: Sadiku (2012, p. 213).
c) Capacitores de placas paralelas 
Seja o capacitor da Figura 3 a seguir, onde as placas possuem uma área S e estão 
separadas por uma distância d. As placas 1 e 2 estão carregadas com cargas +Q e -Q 
de forma uniforme sobre a superfície, com uma densidade de carga igual a:
rS
Q
S
=
Um capacitor com as placas paralelas muito próximas ou com um dielétrico de per-
missividade entre as placas pode ser considerado como ideal, pois a dispersão de 
campo elétrico nas bordas é insignificante. Desta forma, podemos escrever o campo 
elétrico como sendo:
101
UNIDADE 6
 

 E a Q
S
aS= =ρ
ε ε
E a capacitância como:
V E dl Q
S
a dxa Qd
Sx
d
x� � � � � �
�
��
�
��
�� �

 
2
1
0 e e
Portanto C:
C Q
V
S
d
= =
e
Dielétrico Área da Placa S
d
0
1
2
+++++++++++++++++++++++++++
----------------------------------------
E
Descrição da Imagem: em um material dielétrico com formato retangular, em sua superfície superior temos cargas 
positivas e na superfície inferior cargas negativas, assim um campo elétrico interno é formado, saindo da região positiva 
e indo em direção à região negativa.
Figura 3 - Capacitor de placas paralelas / Fonte: o autor.
102
UNICESUMAR
d) Capacitores coaxial 
O capacitor coaxial consiste em dois condutores coaxiais, um interno com raio a e 
outro externo com raio b (a < b), como mostra a Figura 4. O espaço entre os condutores 
é preenchido por um dielétrico com permissividade . Sendo assim, os condutores 
estão carregados com cargas +Q e -Q, distribuídos uniformemente. Aplicando a lei 
de Gauss em uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r r( )a b< < , temos:
Q E dS E l� � ��ε ε πρρ
�
� 2
Logo:

E Q
L
a=
2πρ ρ
Descrição da Imagem: a figura mostra um cilindro interno de raio a, com cargas negativas, envolto por outro cilindro 
condutor de raio b, onde b é maior que a, carregado com cargas negativas e de comprimento l.
Figura 4 - Capacitor coaxial / Fonte: Sadiku (2012, p. 216).
L
a
b
+ +
++
+
+ +
1
2
Diaelétrico ε
Obs:
1 - cilindro condutor interno;
2 - cilindro condutor externo;
a - raio do cilindro condutor interno;
b - raio do cilindro condutor externo;
L - comprimento.
Desprezando o vazamento de fluxo nas extremidades, temos:
V E dl Q
L
a d a Q
L
b
ab
a
� � � � �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�� �

 
2
1
2 2περ
ρ
περ ρ
ln
Portanto, a capacitância é calculada por:
C Q
V
L
b
a
� �
�
�
�
�
�
�
2πε
ln
103
UNIDADE 6
e) Capacitores esféricos 
Este capacitor é formado por duas esferas concêntricas, sendo a interna de raio a 
e a externa de raio b, onde a < b, separadas por um dielétrico de permissividade , 
como mostra a Figura 5. Sendo assim, as esferas estão carregadas com cargas +Q e 
-Q, distribuídas uniformemente. Aplicando a lei de Gauss em uma superfície gaus-
siana esférica de raio r a r b( )< < , temos:
Q E dS E rr� � ��ε ε π
�
� 4 2

E Q
r
ar= 4 2πε
+
Obs:
1 - esfera condutor interno;
2 - esfera condutor externo;
a - raio da esfera condutora interna;
b - raio da esfera condutora externa;
 - cargas elétricas.
+
+
+
+
+
a
b
Dielétrico
2
1
+-
Descrição da Imagem: a figura mostra um capacitor esférico, onde existe uma esfera interna, de raio a, carregada de 
cargas positivas, envolto por uma casca esférica, de raio b, carregada com cargas negativas.
Figura 5 - Capacitor esférico / Fonte: Sadiku (2012, p. 216).
A diferença de potencial entre as esferas é:
V E dl Q
r
a dra Q
a brb
a
r� � � � �
�
��
�
��
� ��
��
�
��� �

 
2
1
24 4
1 1
πε πε
104
UNICESUMAR
Portanto, a capacitância é calculada por:
C Q
V
a b
� �
��
��
�
��
4
1 1
πε
A associação de capacitores funciona exatamente ao contrário da associação de resis-
tores, assim, capacitores em paralelo irão acumular mais cargas, logo deve-se somar 
as capacitâncias, e capacitores em série irão dividir a tensão sobre eles, acumulando 
menos carga cada um e o inverso do equivalente é a soma dos inversos das capaci-
tâncias. A Figura 6 exemplifica as associações.
Associação em paralelo: C C C Cn� � � �1 2 ...
Associação em série: 
1 1 1 1
1 2C C C Cn
� � � ...
Descrição da Imagem: a figura (a) mostra dois capacitores conectados em série =, ou seja, são percorridos pela mesma 
corrente e a figura (b) mostra dois capacitores conectados em paralelo, ou seja, estão sob a mesma tensão.
Figura 6 (a) - Associação de capacitores em série; Figura 6 (b) - Associação de capacitores em paralelo / Fonte: Sadiku (2012, p. 217).
C1 C2
C1
C2
(a) (b)
Obs:
C1 - capacitador 1;
C2 - capacitador 2;
105
UNIDADE 6
Vimos até agora como determinar o campo elétrico E através da lei de Coulomb 
ou da lei de Gauss, porém para esses a distribuição de cargas ou o potencial devem 
ser conhecidos. Em problemas práticos usualmente não são conhecidos o potencial 
e nem a distribuição de carga em todos os pontos, assim a equação de Poisson ou 
equação de Laplace podem ser utilizadas nesses casos.
As equações de Laplace e de Poisson são obtidas a partir da lei de Gauss para um 
meio linear.
�� � � � �
 
D E vε ρ
Sendo:

E V� ��
E substituindo E na equação superior, temos:
�� � � �( )ε ρV v
Para um meio não homogêneo e a equação para um meio homogêneo torna-se:
� � �2V vρ
ε
 conhecido como equação Poisson.
Um caso especial ocorre quando rv = 0 , tornando a equação:
� �2 0V 
que é conhecida como equação de Laplace.
A lei de Ampère diz que a integral de linha da componente tangencial da intensidade 
de campo magnético H em torno de um caminho fechado é igual à corrente líquida 
I envolvida pelo caminho. Logo a circulação de H é igual à corrente envolvida:
�
�H dl Ienv� ��
sendo de fácil aplicação, quando a distribuição de corrente é simétrica. 
Campos magnéticos são similares aos campos elétricos, com algumas particulari-
dades. A densidade de fluxo magnético B pode ser comparada à densidade de fluxo 
elétrico 
 
D E= e0 no espaço livre, sendo que a densidade do fluxo magnético está 
relacionada à intensidade do campo magnético H , como mostra a equação abaixo:
106
UNICESUMAR
 
B H=µ0
Onde:
µ0 = permeabilidade do espaço livre, dado em henrys/m;
µ π0
74 10� � � �� H m/
O fluxo magnético através de uma superfície é calculado por:
y � ��

B dS
S
O fluxo é dado em webers (Wb) e a densidade de fluxo magnético em webers por 
metro quadrado (Wb/m2) ou Tesla (T).
As linhas de fluxo magnético são o caminho na região do campo magnético, ao 
qual B é tangente a este ponto. A Figura 7 demonstra essas linhas, onde elas sempre se 
fecham sobre si mesmas, assim não é possível existir polos magnéticos separados. Caso 
um par de polos seja separado, estes irão formar novos pares de polos magnéticos.
Obs:
N - polo norte;
S - polo sul;
I - corrente elétrica. 
S
N
S
N
I
linhas de �uxo
magnético
Descrição da Imagem: a figura mostra um condutor, percorrido por corrente elétrica contínua, onde linhas de campo 
magnético se formam ao redor deste condutor, seguindo a regra da mão direita.
Figura 7 - Linhas de fluxo magnético tangente a pontos ao redor de um condutor percorrido por corrente
Fonte: Sadiku (2012, p. 260).
107
UNIDADE 6
Logo, o fluxo total através de uma superfície fechada em um campo magnético deve 
ser nulo:
 
�
� B dS� �� 0
Esta equação é conhecidacomo lei da conservação do fluxo magnético, ou lei de 
Gauss para campos magnetostáticos. Assim, o campo magnetostático não é conser-
vativo, porém o fluxo magnético é.
Aplicando o teorema da divergência, temos:
� �
� B dS B dv
v
� � � � � ��� 0
Ou
�� �

B 0
Você já deve ter sentido em algum momento a presença de campo magnético, em algum equi-
pamento elétrico, imãs de geladeira, imãs de motores elétricos, alto-falantes ou até mesmo de 
hard disk. Deve ter notado que as linhas de campos hora se atraem e hora se repelem. Desta 
forma, vamos visualizar essas linhas de campo, pegando um ímã e uma esponja de palha de 
aço, ou limalha de ferro, caso você possua. Aperte a esponja com a mão de forma que ela 
libere um pó e pequenos pedaços de ferro. Quando tiver uma certa quantidade desse pó, 
jogue-o em volta do ímã e mexa o ímã vagarosamente. Você irá notar que a limalha de ferro se 
orienta conforme as linhas de campo magnético geradas pelo ímã. Essa é uma das formas de 
enxergarmos os campos magnéticos; outra seria através de ferrofluido, bastante interessante. 
Pesquise sobre o material ferrofluido, veja seu comportamento em meio a um campo magnético 
e responda o motivo dele se comportar dessa forma. Uma dica é que ocorre o mesmo quando 
imãs se prendem em ligas de ferro.
A levitação é algo bastante admirado pelas pessoas em shows de 
mágicas, as crianças ficam boquiabertas, você já deve ter assistido em 
algum lugar esse tipo de mágica, se não, essa é a hora de assistir algum 
pelo youtube ou outras plataformas. Realmente é algo incrível, mas 
não é somente um truque de mágica, a levitação magnética existe. 
Você sabe onde ela é utilizada? Então vamos conversar um pouquinho 
sobre a levitação magnética e saber mais sobre esse efeito mágico.
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108
UNICESUMAR
O campo magnético terrestre serve para muitas coisas, como navegação, proteção, espetáculos como 
as auroras boreais etc. O campo também serve para nos trazer muita comodidade e experiências 
tecnológicas, sendo aplicadas em motores elétricos, motores lineares, trens-bala etc. Também para a 
diversão inspirada no filme do “De volta para o futuro 2”, onde Marty Mcfly utiliza um skateboard 
que flutua sobre o solo. Esse skate já existe e logo deve estar disponível para meros mortais como nós 
termos experiencias incríveis. Procure saber mais sobre este floating skateboard, que ainda quero ter 
a oportunidade de experimentar. As empresas Hendo e Lexus já possuem seus protótipos e você pode 
assistir vídeos sobre eles no YouTube. 
Um grande para não dizer gigantesco exemplo de um campo magnéti-
co é o campo magnético da Terra, que faz papel de protetor da Terra. 
Sabia que nós o utilizamos para várias aplicações, como orientação 
geográfica, nossa e de muitos animais como os pássaros em suas 
migrações? Assim, eu recomendo que escute esse podcast para saber 
mais sobre o campo magnético da Terra e muitas curiosidades. Tenha 
um excelente estudo, olhos para ver, inteligência para compreender 
e alma para admirar (Johannes Kepler).
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
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109
M
A
P
A
 M
EN
TA
L
Sua tarefa agora será montar uma tabela de analogia entre campos elétricos e campos magnéticos 
para que fixe bem os conceitos e consiga realizar a ponte e separação dos dois campos. Desta 
forma, preencha a tabela, onde deverá constar as colunas: conceitos, elétrico, magnético; e linhas 
de conceitos: leis básicas, lei das forças, intensidade de campo, densidade de fluxo, relação entre 
campos e fluxo.
Conceito elétrico magnético
Leis básicas
Leis da força
Intensidade de campo
Densidade de fluxo
Relações entre Campo
Fluxo
110
A
G
O
R
A
 É
 C
O
M
 V
O
C
Ê
1. Qual a densidade de fluxo magnético em Gauss de um material ferromagnético com 
área da secção transversal de 1 cm2 no qual é atravessado um fluxo magnético per-
pendicular de 20 mWb.
a) 2 x 103
b) 5 x 10-3
c) 4 x 105
d) 5 x 104
e) 2 x 106
2. Pelas características magnéticas, os materiais podem ser classificados com relação à 
sua permeabilidade magnética, podendo ser paramagnéticos, diamagnéticos e ferro-
magnéticos. Um material que apresenta características diamagnético é:
a) O alumínio.
b) O cromo.
c) A platina.
d) A prata.
e) O sódio
3. A Lei de Ampère é uma importante lei que relaciona a corrente elétrica I, com o campo 
magnético H e o elemento infinitesimal de comprimento dl, por:
a) I Hdl� �
b) I H dl� � 1 2/
c) I H dl� � 2
d) I H dl� �2
e) I H dl� �
1
2 
111
A
G
O
R
A
 É
 C
O
M
 V
O
C
Ê
4. Todo material dielétrico possui um limite suportável de campo elétrico em que ele 
mantém suas características. Quando esse limite é extrapolado, ocorre a ruptura dielé-
trica do material, que geralmente o danifica. Esse limite de ruptura é conhecido como:
a) Magnetização do material.
b) Suscetibilidade elétrica do material.
c) Permissividade do dielétrico.
d) Rigidez dielétrica do material dielétrico.
e) Momento de dipolo magnético.
112
M
EU
 E
SP
A
Ç
O
7
Chegamos à unidade que irá falar sobre força e torque em campos 
magnéticos, ou seja, iremos estudar agora os princípios utilizados 
para construção de máquinas elétricas. As máquinas elétricas vêm 
ganhando cada vez mais espaço em nossa rotina, na indústria e 
agropecuária, podemos enxergar isso pela quantidade de automó-
veis elétricos que são lançados no mundo, estes que no futuro irão 
substituir os combustíveis fósseis. Sendo assim, tenha um excelente 
proveito desta unidade.
Força e Torque em 
Campos Magnéticos
Me. Italo Leonardo de Alencar Marton
114
UNICESUMAR
Os imãs são bastante comuns em vários tipos de equipamentos e foram brinquedos comuns na mi-
nha infância. Acredito que na infância e adolescência de vocês também gostavam de desmontar os 
brinquedos eletrônicos quebrados para ver o que tinha dentro ou mesmo tentar consertá-los. Sempre 
sobravam os parafusos que vinham de reserva, não é mesmo? Eu sempre acostumei a abrir motores 
elétricos e pegar os imãs que haviam dentro dos equipamentos, principalmente os de som. Até hoje 
possuo uma caixa com vários imãs guardados em que os imãs de neodímio de Hard Disk são os meus 
preferidos. Também comprei para minha filha aqueles palitos de imã, com bolinhas de aço para poder 
construir as mais variadas formas geométricas. Você provavelmente já deve ter manuseado imãs em 
algum momento da sua vida e ter percebido que hora eles se atraem e hora se repelem. Você já mexeu 
em algum eletroímã alguma vez? Tipo os que encontramos em alto-falantes de aparelhos de som? 
Os eletroímãs são encontrados em várias aplicações, entre eles, portões eletrônicos, motores de passo, 
motores de corrente contínua, motores de rotor bobinados, alto-falantes etc. Assim, é um equipamento 
que utilizamos em muitos componentes sem nem mesmo saber. Seu celular possui um motor dentro 
que o faz vibrar quando recebe chamadas, por exemplo. Conforme você avança em seus estudos, 
maior será sua capacidade de compreender como os equipamentos elétricos a sua volta funcionam. 
Tenha sempre a curiosidade de ler manuais, ler especificações técnicas para ter ideia de como cada 
equipamento funciona, assim sempre saberá distinguir os produtos de qualidade e escolher os de 
melhor custo benefício. 
Existem relatos, apresentações e vídeos de muitos experimentos magnéticos realizados pelas mais 
diversas pessoas. Hoje uma das grandes vantagens de nossa geração está no acesso a informações e 
distribuição delas. Canais no YouTube, por exemplo, estão repletos de conteúdo, aulas, informações úteis 
e inúteis, tudo depende do que você busca. Uma situação inusitada ocorre no vídeo intitulado “Motor 
de levitação de alta velocidade” do canal no YouTube Magnetic Games, em que é produzido um efeito 
de motor elétrico, consequentemente torque, através de levitação magnética. Desta 
forma, assista o vídeo com muita atenção e explique: o que está acontecendo? 
Como ocorrea levitação e como ocorre o torque que faz o motor girar?
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/8253
115
UNIDADE 7
Interessante o vídeo, não é mesmo? Muitas conclusões podem ser tiradas dele e muito legal a forma em 
que ele foi realizado, então vamos às nossas conclusões. A levitação magnética neste caso ocorre pela 
repulsão dos polos magnéticos, porém não uma repulsão direta dos polos, mas a jogada foi realizar 
uma repulsão paralela para permitir o giro do rotor. Seria o mesmo que colocar dois imãs paralelos, 
próximos, em que os polos nortes se repelem ao mesmo tempo em que os polos sul também se repelem.
E como aparece o torque que faz o rotor girar? Você assistiu no vídeo como o rotor flutuante foi 
montado e deve ter reparado que existe uma pilha centralizada no rotor. Assim, quando é encostado o 
fio nas duas extremidades da pilha, iremos ter a circulação de corrente elétrica, pelo fio. Essa corrente 
gera um campo magnético girante em torno do fio. E esse campo magnético transversal ao campo 
magnético dos imãs do rotor faz com que um torque apareça e inicia o movimento de rotação, em que 
ocorre facilmente devido a praticamente não existir atrito no movimento.
Existem três maneiras de as forças provocadas por campos magnéticos se manifestarem. A força pode 
ocorrer devido ao movimento de partículas carregadas em um campo magnético, devido à presença 
de um elemento de corrente em campo magnético externo e com a interação entre dois elementos de 
corrente. Em sequência, será apresentado cada forma de ocorrência.
DIÁRIO DE BORDO
116
UNICESUMAR
A força sobre uma partícula carregada ocorre quando um campo magnético somente 
pode exercer uma força sobre uma carga que esteja em movimento. De forma expe-
rimental, verificou-se que a força magnética Fm experimentada por uma carga Q em 
movimento com uma velocidade u imersa em um campo magnético B é dada por:



F Qu Bm � �
Obs.: Repare que existe um produto vetorial, assim F é perpendicular a u e a B.
A força quando é aplicada em um elemento de corrente percorre um condutor 
, assim iremos utilizar a corrente de convecção para chegar nas conclusões.

J uv= r
Assim, podemos estabelecer as relações entre os elementos de corrente, como:
Idl KdS Jdv= =
 
Combinando as equações anteriores, teremos:
Idl udv dQuv= =r
 
alternativamente:
Idl dQ
dt
dl dQ dl
dt
dQu= = = 
consequentemente:
Idl dQu= 
Isso demonstra que uma carga dQ, com uma velocidade u, é equivalente a um ele-
mento de corrente de condução I dl em um campo magnético B, sendo determinado 
simplesmente pela substituição de Q u por I dl na equação abaixo.



F Qu Bm � �
resultando em:
dF Idl Bm
 
� �
117
UNIDADE 7
Se a corrente I percorre um caminho fechado em L ou um circuito, a força é 
calculada por:
 
� �
�F Idl Bm
L
� ��
Complementarmente ao elemento de corrente em linha I dl, se tivermos elemen-
tos de corrente em uma superfície K ds e elemento de corrente em um volume J dv, 
teremos:
  
F KdS B
S
� �� e 
  
F Jdv B
v
� ��
Logo, o campo magnético B é definido como a força por elemento de corrente 
unitária.
f) Força entre dois elementos de corrente 
Agora iremos ver dois elementos de corrente I1 dl1 e I2 dl2, onde ambos elementos 
geram campos magnéticos. Desta forma, a força d(dF1) sobre o elemento I1 dl1 devido 
ao campo magnético dB2, gerado pelo elemento de corrente I2 dl2, como mostra a 
Figura 1, resulta em:
d dF I dl dB( )
 
1 1 1 2� �
1
2
R21
d (dF )
I dl
I
I
I dl
1 1
1
2 2
1
2
Descrição da Imagem: a figura mostra dois circuitos percorridos por corrente, próximos um do outro, onde ocorre 
uma força de atração entre eles.
Figura 1 - Força entre duas espiras de corrente / Fonte: Sadiku (2012, p. 282).
118
UNICESUMAR
O campo magnético é dado por:
dB
I dI a
R
R

2
0 2 2
21
2
21
4
�
�µ
π
assim,
dB
I dl I dl a
R
R

2
0 1 1 2 2
21
2
21
4
�
� �µ
π
( )
Esta equação é análoga à lei de Coulomb de força entre duas cargas estáticas. E a 
força total F1 sobre a espira 1 devido à espira 2 é calculada por:
� �
��F
I l dl dl a
R
R
LL
1
0 1 2 1 2
21
24
21
21
�
� �
��
µ
π
( )
Esta equação é exatamente a mesma para o cálculo da força sobre a espira 2 devido à 
espira 1, trocando os elementos que são 1 por 2, chegando à conclusão que 
 
F F2 1� � .
g) Torque e momento magnético 
O torque ou momento sobre uma espira é o produto vetorial entre a força e o 
braço de alavanca, ou seja:



T r F� �
A unidade de medida do torque é o Newtons-metro (Nm) e este é muito importante 
na compreensão de como motores e geradores elétricos funcionam.
Seja a Figura 2, onde iremos aplicar a relação acima a uma espira retangular, de 
comprimento l e largura w, imersa em um campo magnético uniforme B. Observe 
que dl está paralelo a B ao longo dos lados AB e CD da espira, sendo que nenhuma 
força é exercida sobre estes lados. Logo:
119
UNIDADE 7
A força ao longo dos lados BC e DA pode ser calculada através de 

F IBl0 = devido 
ao campo magnético ser uniforme. Assim, as forças são contrárias, que resultam em 
nenhuma força externa sendo aplicada à espira, porém criam um torque sobre a es-
pira. Desta forma, se a espira estiver inclinada como na Figura 2 (b), o torque pode 
ser calculado por:
 
T F w= 0 sin( )a ou T BIlw= sin( )a
porém lw=S, a área da espira, logo:
T BIS= sin( )a
Momento de dipolo magnético é o produto entre a corrente elétrica e a área da espira, 
na direção perpendicular à espira, sendo expresso em (A/m2).
 m ISan=
Com o momento dipolo definido, podemos escrever o torque como sendo:



T m B� �
Essa equação pode ser utilizada para qualquer formato de espira, onde a única res-
trição é que o campo magnético seja uniforme.
Obs:
F - força da espira;
B - campo magnético;
l - comprimento da espira;
I - corrente elétrica;
A - aresta da espira;
B - aresta da espira;
C - aresta da espira;
D - aresta da espira;
a - eixo normal da espira;
α - ângulo.
 
DC
B
F
F I
B A
F
F
B
a
w
l
z
o
o
eixo de rotação
(a) (b)
o
o
w
n
α
o
n
Descrição da Imagem: Ed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem accusantium doloremque laudan-
tium, totam rem aperiam, eaque ipsa quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae dicta sunt explicabo.
Figura 2 (a) - Espira retangular plana em um campo magnético; Figura 2 (b) - Vista em corte transversal da parte (a)
Fonte: Sadiku (2012, p. 290).
120
UNICESUMAR
Nesta unidade, vimos como é importante a direção e sentido dos vetores, pois o posicionamento 
irá determinar a direção e sentido da força resultante ou se terá ou não força resultante. Lem-
bram da regra da mão direita para produto vetorial? Se não se recordam, é hora de relembrar 
este conceito, pois será necessário para avançarmos nos estudos.
Você já deve ter ouvido falar ou visto alguma foto sobre a aurora bo-
real, sendo um fenômeno óptico composto de um brilho observado 
nos céus noturnos em regiões polares, em decorrência do impacto 
de partículas de vento solar com a alta atmosfera da Terra, canaliza-
das pelo campo magnético da Terra. O nome aurora boreal veio do 
batismo realizado por Galileu Galilei em 1619, em referência à deusa 
romana Aurora e Bóreas, deus grego representante dos ventos nor-
tes. O vídeo irá mostrar como ocorre a formação da aurora boreal de 
forma mais aprofundada, desde as ocorrências no Sol que resultam 
neste efeito na Terra. Faça um excelente proveito deste material.
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
Nesta unidade, estudamos como o torque magnético ocorre e 
quais características são necessárias para sua ocorrência, assim 
podemos compreender como o torque ocorre em vários tipos de 
motores elétricos. Vamos conversar um pouco mais sobre esses 
funcionamentos? Neste podcast, explicarei para vocês como o 
torque é gerado em vários tipos de motores, nos falamos lá.
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/8416
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/8254121
UNIDADE 7
Nesta unidade, vimos como são gerados força e torque em cargas 
em movimento, imersas em um campo magnético. Essas forças 
são as que geram torque nas espiras percorridas por corrente e que 
são utilizadas para fazerem motores elétricos girarem e realizarem 
trabalho. Todos os motores elétricos funcionam a partir desse prin-
cípio, porém várias formas de se utilizar esse princípio são construí-
das buscando determinadas vantagens e particularidades. Alguns 
motores elétricos são do tipo de corrente alternada, corrente con-
tínua, motores de indução, motores síncronos, motores brushless, 
motores de passo etc. Vimos até um motor de levitação magnética, 
não é mesmo? Logo, muitas formas criativas de aproveitar os efei-
tos magnéticos podem ser criadas a partir dos princípios básicos 
que estudamos nesta unidade. Caso tenha curiosidade, pesquise 
sobre os tipos de motores relatados e entenda seus princípios de 
funcionamento. 
122
M
A
P
A
 M
EN
TA
L
Esta é uma unidade importante, devido a conter os princípios básicos empregados em máquinas 
elétricas. Você conseguiu compreender bem os conceitos e as ferramentas matemáticas utilizadas? 
Lembre-se que várias leis vistas nas unidades iniciais foram utilizadas nesta unidade. Identifique 
quais conceitos não foram bem assimilados, os conceitos anteriores que tiveram uma vaga lem-
brança e os complemente por meio das referências ou pesquisas bibliográficas, além de muito 
material disponível nas plataformas digitais. 
Campo Magnético
Lei da mão direito
Lei da mão esquerda
Torque
Assuntos
Compreendidos
Assuntos não
Compreendidos
Descrição da Imagem: o mapa mental está separado em três espaços paralelos, onde o central contém os as-
suntos tratados nesta unidade, e você deverá completá-los e classificá-los entre assuntos compreendidos do lado 
esquerdo e assuntos não compreendidos do lado direito. Os assuntos são: Campo magnético; Lei da mão direita; 
Lei da mão esquerda; Torque; outros assuntos que você tenha identificado.
123
A
G
O
R
A
 É
 C
O
M
 V
O
C
Ê
1. Seja um fio percorrido por corrente I com diâmetro A. Perpendicularmente a este existe 
um campo magnético B. A força F gerada está representada em:
a) 
F
B
I
F
B
I
F
B
I
F
B
I
F
B
I
b) 
F
B
I
F
B
I
F
B
I
F
B
I
F
B
I
c) 
F
B
I
F
B
I
F
B
I
F
B
I
F
B
I
d) 
F
B
I
F
B
I
F
B
I
F
B
I
F
B
I
e) 
F
B
I
F
B
I
F
B
I
F
B
I
F
B
I
2. Seja um condutor retilíneo de comprimento 3 m, por onde uma corrente de 50 A está 
passando, estando submetido a um campo magnético uniforme com intensidade de 
30T. O campo magnético encontra-se longitudinalmente formando um ângulo de 0 
graus com o condutor. A força magnética sobre este condutor é de:
a) 200 N
b) 150 N;
c) 180 N;
d) 22,5 kN;
e) zero.
3. Uma linha de transmissão no sentido sudoeste-norte, com 100 m de comprimento, é 
percorrida uma corrente de 2 kA. Considerando o sen 45 graus = 0,7, em qual alterna-
tiva as informações estão corretas sobre a força magnética que a Terra exerce sobre 
a linha de transmissão?
a) A força magnética estará no sentido sudeste-norte.
b) O módulo da força magnética é igual a 0,5 N.
c) A força magnética estará na direção perpendicular à superfície e apontando para cima.
d) A força magnética estará na direção leste-oeste.
e) O módulo da força magnética é igual a 0,8 N.
124
M
EU
 E
SP
A
Ç
O
8
Vimos até agora como os campos elétricos e magnéticos se com-
portam e quais ações perante cargas e outros campos nas proximi-
dades. Nesta unidade, iremos realizar uma analogia dos circuitos 
elétricos, que trabalham em função de campos elétricos, com os 
circuitos magnéticos, que trabalham em função de campos magné-
ticos. Veremos as semelhanças e particularidades desses circuitos.
Circuitos Magnéticos 
e Corrente de 
Deslocamento
Me. Italo Leonardo de Alencar Marton
126
UNICESUMAR
Os transformadores são máquinas elétricas que realizam acoplamentos magnéticos entre circuitos 
diferentes, transportando potência entre eles. Assim, temos os circuitos de alta e o circuito de baixa, e 
ambos não estão conectados entre si por condutores, porém a potência de um circuito é transportada 
até o outro. Como esse transporte de energia pode ser realizado sem condutores? Nesta unidade, iremos 
compreender como isso é possível.  
Na Unidade 1, foi recomendado que você assistisse o filme A batalha das correntes, pois este 
conta a história da disputa científica para comprovar se o sistema de potência, geração, transmissão 
e distribuição deveria ser em corrente contínua ou corrente alternada. Neste contexto, aparece uma 
figura importantíssima, Nikola Tesla, que praticamente desenvolveu todo o sistema de potência em 
corrente alternada e conseguiu comprovar que esse sistema era o mais apropriado para o GTD. Esse 
feito foi atingido graças ao transformador, que, com seu uso em linhas de transmissão e distribuição, 
diminui imensamente os custos e robustez do sistema. Sendo assim, os circuitos magnéticos são os 
responsáveis por você receber energia em sua casa com essas especificações.
O transformador tem um papel especial neste contexto, pois através deste pode-se obter uma eco-
nomia enorme em sistemas de transmissão de energia, tornando-os viável. Ele trabalha realizando o 
acoplamento magnético de dois circuitos separados, transportando potência entre eles, assim, circuitos 
com tensões e corrente diferentes podem estar acoplados.
Quase todos os componentes eletrônicos possuem uma fonte de alimentação e alguns uma bate-
ria. Essas fontes possuem transformadores internos e retificadores, para diminuir a tensão da rede e 
transformá-la em corrente contínua. Alguma vez você já abriu um carregador de celular, uma fonte 
de computador ou de telefones antigos? Faça uma pesquisa na web, onde você deverá encontrar os 
circuitos destes componentes a mostra, onde você possa olhar e reconhecer os componentes internos 
a estes. Existe algum padrão entre eles? Você verá que todas as fontes são bem parecidas construtiva-
mente. Pesquise caso não esteja reconhecendo os componentes internos desta fonte. 
Os componentes eletrônicos não costumam ter alimentação elétrica superior a 24V, assim, os 
transformadores das fontes e carregadores são essenciais. Esses transformadores iriam funcionar caso 
o sistema de potência nosso fosse em corrente contínua?
As fonte e carregadores de componentes eletrônicos são muito parecidos construtivamente, sendo 
que praticamente todos terão em suas placas algum transformador e capacitor. O transformador é 
um item indispensável, pois a tensão da rede da concessionária de energia (127V / 220V) é superior à 
tensão de trabalho dos equipamentos eletrônicos (5V, 9V, 12V, 24V, 48V etc.), sendo este o componente 
responsável por diminuir a tensão. O capacitor também é um componente muito comum neste tipo de 
equipamento, pois este trabalha realizando o alisamento da tensão de saída. Como a tensão de entrada 
é em corrente alternada, ora ela está positiva, ora está negativa, e para evitar ou diminuir este efeito na 
saída da fonte, o capacitor é empregado. 
Você já deve ter percebido que os transformadores só funcionam em corrente alternada, a tensão só 
pode ser induzida no outro enrolamento caso haja a variação de campo magnético e este só é possível 
através de corrente alternada, logo, o transformador não funciona em corrente contínua e graças a ele 
que nosso sistema inteiro de potência é em corrente alternada. 
127
UNIDADE 8
A abordagem para circuitos magnéticos é praticamente análoga à abordagem 
em circuitos elétricos, desta forma vamos definir alguns conceitos para podermos 
equacionar e solucionar problemas envolvendo toroidal, transformadores, geradores 
e motores.
A força magnetomotriz (fmm) ℑ (ampère-espiras) é dada por:
 � � � ��NI H dl
Seja a Figura 1 a seguir, a fonte de força magnetomotriz é usualmente uma bobina 
percorrida por corrente, como mostra a Figura 1(b). A relutância é calculada por:
� �
µS
 (em ampère-espira/weber)
Sendo:
 = comprimento médio do núcleo magnético;
S = área da seção reta do núcleo magnético;
Figura 1 - Analogia entre circuito (a) elétrico e (b) magnético / Fonte: Sadiku (2012, p. 316).
(a) (b)
V R
N
I
espiras
+
-
Ψ
O inverso da relutância é chamado de permeância . Desta forma, a fmm pode ser 
escrita analogicamente à lei de Ohm, como:
� � �y
Os circuitos magnéticos se comportam, com relação às ligações em série e paralelo, 
exatamente como os circuitos elétricos, desta forma podemos montar uma tabela de 
analogia entre circuitos magnéticos e elétricos:
128
UNICESUMAR
Circuitos Elétricos Circuitos Magnéticos
Condutividade s Permeabilidade µ
Intensidade de campo E Intensidade de campo H
Corrente I J dS� �� Fluxo magnético y � �� B dS
Densidade de corrente J
I
S
E= = s Densidade de fluxo B
S
H= =ψ µ
Força eletromotriz (fem) V Força magnetomotriz (fmm) ℑ
Resistência R Relutância ℜ
Condutância G
R
=
1
Permeância R �
�
1
Lei de Ohm R
V
I S
= =

s
Lei de Ohm � �
�
�
ψ µ

S
ou V E IR= = ou � � � � �H NI y 
Lei de Kirchhoff: 
I
V RI
�
� �
�
� �
0
0
Lei de Kirchhoff: 
y
y
�
�� � �
�
� �
0
0
Tabela 1 - Analogia entre circuitos elétricos e magnéticos / Fonte: o autor.
�� �H J
E a divergência rotacional de qualquer campo vetorial é igual a zero, assim:
 
� �� � � ��( )H J0
Contudo, para variação temporal, a continuidade da corrente é expressa por:
 �� � �
�
�
�J
t
Vr 0
Desta forma, ambas as equações anteriores são incompatíveis para a situação com 
variação temporal, mas a equação �� � �H J Jd pode ser modificada para compatibi-
lizá-la com relação a essa variação, para isso um termo será adicionado à equação:
Em campos magnéticos estáticos, temos que:
129
UNIDADE 8
�� � �H J Jd
onde �� � �H J Jd deve ser determinado e definido. Logo, novamente a divergência do rota-
cional de qualquer vetor é zero. Portanto:
 � �� � � �� �� �( )H J Jd0
Para realizar a compatibilização entre as equações, temos:
�� � �� � �
�
�
�
� � �
�
� � �
�
�
J J
t
D
t
D
td
Vr ( )
Ou
J D
td
�
�
�
Definido Jd , temos que:
 �� � �
�
�
H J D
t
A equação acima é uma das equações de Maxwell para campos variáveis no tempo. 
O termo �� � �H J Jd é a densidade de corrente de deslocamento e J é a densidade de corrente 
de condução. A inclusão deste termo foi uma das maiores contribuições de Maxwell, 
sendo que a propagação de ondas eletromagnéticas (rádio, tv etc.) não poderia ser 
prevista sem esse termo, e Maxwell o fez. Em baixas frequências, a densidade de cor-
rente de deslocamento pode ser considerada desprezível, porém em altas frequências 
se torna da mesma grandeza da densidade de condução. Na época de Maxwell, não 
existiam fontes de alta frequência para realizar a verificação de sua previsão, que foi 
realizada por Hertz, anos mais tarde, confirmando o feito.
Com base na densidade de corrente de deslocamento, podemos definir a corrente 
de deslocamento como sendo:
I J dS D
t
dSd d� � �
�
�
�� �
A corrente de deslocamento é resultado de um campo elétrico variável no tempo, 
como ocorre em um capacitor quando uma fonte de tensão alternada é aplicada 
em seus terminais e gera corrente. A Figura 2 mostra a necessidade da corrente de 
deslocamento, onde aplicando a forma não modificada da lei circuital de Ampère ao 
caminho fechado L da Figura 2 (a), temos:
H dl J dS I Ienv
SL
� � � � ���
1

130
UNICESUMAR
em que I é a corrente através do condutor e S1 é a superfície plana limitada por L. Se 
utilizarmos a superfície em forma de balão S2 como mostra a Figura 2 (b), teremos:
H dl J dS Ienv
SL
� � � � ��� 0
1

isso devido à nenhuma corrente de condução (J=0) fluir através de S2 . Veja como 
uma situação é contrária da outra, desta forma, para resolver o conflito, precisamos 
incluir a corrente de deslocamento na lei circuital de Ampère. Desta forma, temos: 
H dl J dS d
dt
D dS dQ
dt
Id
SSL
� � � � � � ����
22

Descrição da Imagem: a figura (a) mostra um capacitor por onde uma corrente está fluindo, sendo que a superfície 
fechada S1 está ao redor do condutor por onde percorre a corrente. Já na figura (b) temos a mesma situação, porém 
a superfície fechada S2 está exatamente sob a região central do capacitor, onde não existe corrente elétrica.
Figura 2 - Duas superfícies de integração mostrando a necessidade de Jd , na lei circuital de Ampère / Fonte: Sadiku (2012, p. 346).
L
I
I
S
I
L
S
I
1
2
(a) (b)
Obs:
- superfície 1;
- superfície 2;
- comprimento perimetral;
- corrente elétrica.
S1
S2
L
I
Você deve ter notado que a densidade de corrente de deslocamento não é utilizada em todas 
as situações, ela possui algumas vantagens em determinadas situações. Quando que a densi-
dade de deslocamento precisa ser incluída nas equações?
131
UNIDADE 8
Falamos bastante sobre circuitos magnéticos nesta unidade, 
onde várias características e comportamentos foram estudados. 
Também citamos em várias ocasiões sobre o acoplamento 
magnético e sua extrema importância em nosso sistema elétrico, 
que devido a ele podemos realizar acoplamentos de circuitos 
separados e com características diferentes. Sendo assim, vamos 
conversar um pouco mais sobre os acoplamentos magnéticos, 
como eles podem ser construídos nos transformadores elétricos e 
suas curiosidades. Clique no podcast e vamos explorar este efeito.
James Clerk Maxwell foi um físico, matemático britânico e fez o gran-
de feito de unir campos considerados separados da física, unindo 
a eletricidade, com o magnetismo e ótica. Este feito foi de extrema 
importância, pois com seus experimentos e conclusões, conseguiu 
alterar e complementar teorias bem consolidadas. Desta forma, va-
mos escutar o podcast a seguir que fala um pouco sobre a vida de 
Maxwell e algumas curiosidades sobre seus feitos.
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
Nesta unidade, pudemos ver a caracterização de campos magnéticos, como esses campos se comportam 
no espaço e sua relação com a densidade de corrente elétrica. Desta forma, pudemos perceber que cam-
po magnético está ligado à corrente elétrica, sendo criados um em função do outro. Esse é o princípio 
básico que tornou possível a construção de motores e transformadores elétricos. Os transformadores 
são amplamente utilizados em componentes eletrônicos, pois estes trabalham em tensões bem baixas 
se comparadas à tensão de alimentação da concessionária de energia. Desta forma, o transformador 
é um item essencial utilizado nas fontes de energia, carregadores, televisores, computadores, drivers 
de energia e eletroeletrônicos em geral. Para quem for trabalhar nesta área de eletrônica, estes serão 
ferramentas de trabalho do dia a dia.
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/8411
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/8790
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Nesta unidade, exploramos os conceitos sobre campos magnéticos, onde a imaginação nossa foi 
excitada para poder compreender os conceitos aplicados. Talvez algum destes tenha passado 
e ficado no limbo, sem compreensão. Por isso, recomendo que escreva todos os conceitos es-
tudados nesta unidade, separe os que estão mal compreendidos e preencha as lacunas de seu 
conhecimento, através de bibliografias distintas dessa, para que visões diferentes lhe facilitem o 
aprendizado; na web existe bastante material interessante.
Descrição da Imagem: o mapa mental traz uma figura abstrata de fundo, porém com os conceitos estudados 
nesta unidade, onde seu trabalho é identificar mais conceitos além dos identificados na figura, que são: circuitos 
magnéticos; acoplamento magnético, transformadores, variação de campo, corrente de deslocamento.
CIRCUITO MAGNÉTICOS
ACOPLAMENTO MAGNÉTIC0
TRANSFORMADORES VARIAÇÃO DE CAMPO
CORRENTE DE DESLOCAMENTO
___________________________
___________________________
___________________________
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 C
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M
 V
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C
Ê
1. Os materiais elétricos, quando submetidos a um campo magnético, podem apresentar 
comportamentosdistintos dependendo da configuração molecular dele. Assim, podem 
oferecer resistência a um fluxo magnético, onde essa resistência é conhecida como: 
a) Remanência.
b) Relutância.
c) Permeabilidade.
d) Coercividade.
e) Histerese.
2. A lei de Lenz diz que a força eletromotriz induzida pela variação de fluxo magnético 
em uma espira tem a polaridade de forma a se opor ao fluxo que a produziu. Este 
fenômeno é representado na equação:
a) e B dS� � f.
b) e dt� ��f.
c) e
B H
t
� �
.
D
d) e L
dV
dt
=
e) e
d
dt
� �
f
 
134
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 C
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M
 V
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C
Ê
3. As alternativas abaixo são relacionadas ao eletromagnetismo:
1. Todo condutor elétrico quando percorrido por corrente I gera um campo magnético 
perpendicular à sua direção.
2. Um condutor elétrico percorrido por corrente I, imerso em um campo magnético, 
está submetido à ação de uma força eletromagnética.
3. Movimentando-se um imã permanente nas proximidades de um condutor elétrico, 
é induzida uma corrente elétrica neste condutor apenas no movimentar do imã.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
b) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
d) Somente a afirmativa 1 é verdadeira.
e) Todas as afirmativas são verdadeiras.
4. Qual das alternativas associa corretamente as linhas e colunas de acordo com as gran-
dezas utilizadas no eletromagnetismo?
Grandeza Símbolo Unidade no S.I.
1. Fluxo magnético 1. µ 1. Ae/m
2. Relutância 2. H 2. T
3. Campo magnético 3. Φ 3. Wb
4. Permeabilidade 4. B 4. A/Wb
5. Densidade de fluxo 5. Rm 5. T. m/A
a) (1 – 1 - 5); (2 – 4 - 1); (3 – 2 - 2); (4 – 5 - 3); (5 – 3 – 4).
b) (1 – 2 - 3); (2 – 4 - 4); (3 – 1 - 1); (4 – 5 - 5); (5 – 3 – 2).
c) (1 – 3 - 3); (2 – 5 - 4); (3 – 2 - 1); (4 – 1 - 5); (5 – 4 – 2).
d) (1 – 4 - 1); (2 – 3 - 5); (3 – 5 - 4); (4 – 1 - 2); (5 – 2 – 3).
e) (1 – 4 - 4); (2 – 1 - 1); (3 – 3 - 2); (4 – 2 - 5); (5 – 5 – 3).
135
A
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A
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 C
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C
Ê
5. Com relação aos campos magnetostáticos, a equação a seguir refere-se à lei:
 H dl J dS I
SL
� � � ���
a) De Coulomb das correntes.
b) De Maxwell-Faraday.
c) Da superposição de campos magnetostáticos.
d) Das correntes de Biot-Savart-Ampère, de 1831.
e) Circuital de Ampère. 
136
M
EU
 E
SP
A
Ç
O
137
M
EU
 E
SP
A
Ç
O
138
M
EU
 E
SP
A
Ç
O
9
Querido(a) aluno(a)! Chegamos a um marco nos estudos do eletro-
magnetismo, uma vez que, até aqui, considerávamos os campos 
eletromagnéticos estáticos ou invariáveis no tempo. Nesta unidade, 
avançaremos no conhecimento dos campos eletromagnéticos, des-
cobrindo seu comportamento quando não se encontram estáticos 
ou invariáveis no tempo.
Força eletromotriz Induzida, 
Equações de Maxwell, 
Condições de contorno, 
Ondas eletromagnéticas e 
Guias de Onda
Me. Italo Leonardo de Alencar Marton
140
UNICESUMAR
O que muda quando os campos eletromagnéticos são dinâmicos ou variáveis no tempo? Em primei-
ro lugar, devemos observar que, em situações de campos EM dinâmicos, estes dois tipos de campos 
(elétricos e magnéticos) são interdependentes, ou seja, um campo elétrico variável no tempo implica 
em um correspondente campo magnético variável no tempo. Em segundo lugar, outra observação 
importante é que estes tipos de campos (variáveis no tempo) têm maior importância na prática do que 
os estáticos, porém ao compreender os campos estáticos você será capaz de estar fundamentado para 
compreender os campos dinâmicos. Em terceiro lugar, porém não menos importante é relembrar que 
campos eletrostáticos são gerados por cargas elétricas estáticas, enquanto que campos magnetostáticos 
se dão devido aos movimentos de cargas elétricas uniformes (corrente contínua) ou devido a cargas 
magnéticas estáticas mais conhecidas como polos magnéticos. De forma resumida e explicativa, temos 
a seguinte situação:
Cargas estacionárias → Campos eletrostáticos
Correntes contínuas → Campos magnetostáticos
Correntes variáveis no tempo → campos eletromagnéticos (ou ondas)
Nosso objetivo agora é criar uma base sólida e bem fundamentada de compreensão dos próximos 
estudos, por isso, daremos uma maior ênfase em dois conceitos já abordados anteriormente. Trata-se 
da força eletromotriz baseada nos experimentos de Faraday e da corrente de deslocamento resultante 
da hipótese de Maxwell. As Equações de Maxwell resumem as leis de eletromagnetismo, por isso são 
consideradas a essência deste estudo. 
Nesta unidade, iremos falar bastante de ondas, ondas eletromagnéticas especificamente, porém o 
que vem à sua mente quando falamos sobre ondas? Vem algo sobre ondas do mar, ondas nos rios, on-
das em uma piscina quando uma criança brinca? Tudo isso são ondas e agora iremos observar alguns 
efeitos interessante sobre elas. Pegue uma bacia redonda e uma retangular, ou qualquer recipiente 
que possamos colocar uma certa quantidade de água. Encha-os até obter uma lâmina de água com 
profundidade de dois ou três dedos. Deixe descansar até que a água esteja em repouso e possamos 
dar início ao nosso experimento. Com uma vareta, palito de churrasco ou algo do gênero, faça uma 
bolinha de macinha, durepox, silicone ou o próprio durex na ponta de forma a obter uma esfera de 1 
cm de diâmetro. De posse dessa vareta, você irá pulsa-la com a bolinha sobre a água na região central 
dos recipientes, com uma determinada frequência. Note as características das ondas e o que acontece 
nas bordas do recipiente e qual formato elas formam. Desenhe os padrões em uma folha separada e 
descreva o que acorre. Durante o movimento, coloque algum material pequeno flutuante, como um 
pedaço de isopor e veja como ele se comporta na presença das ondas.
141
UNIDADE 9
A experiência que acabaram de realizar possibilita a observa-
ção de várias características das ondas e deve ser observada com 
bastante atenção para reconhecer os detalhes. Várias características 
devem ser observadas, veja se conseguiu reparar em todas que eu 
descreverei: amplitude das ondas (decrescem conforme se distan-
ciam da fonte); frequência (quanto mais rápida a frequência de seu 
movimento, mais ondas são criadas e mais energia é transportada); 
as ondas são refletidas nas bordas do recipiente e interagem com as 
ondas diretas vindas da fonte (interação construtiva e destrutiva); 
com o isopor, podemos reparar que a onda transporta energia, mas 
não matéria. 
A observação prática do comportamento e dos elementos da 
onda que serão estudados nesta unidade possibilitarão a você maior 
assimilação do conteúdo. 
DIÁRIO DE BORDO
142
UNICESUMAR
Falando agora sobre a Força Eletromotriz Induzida, temos que diante de um 
experimento de Oersted, que descobriu que um campo magnético é criado a partir 
de uma corrente contínua, tornou-se óbvio investigar a hipótese de produção de 
eletricidade a partir de um campo magnético. Contudo, apenas 11 anos após esta 
experiência é que Faraday e Henry finalmente descobriram a produção de corrente 
elétrica a partir de um campo magnético variável no tempo. 
Faraday constatou que não há produção de fluxo de corrente em um campo mag-
nético estático, mas quando se tem um campo magnético variável no tempo, tem-se 
uma tensão induzida, que chamamos de força eletromotriz ou, de forma mais simples, 
a “fem” em um circuito fechado.
Faraday equacionou seu experimento quando concluiu que, em qualquer circui-
to fechado, a fem induzida é igual à taxa de variação no tempo do fluxo magnético 
envolvido pelo circuito. 
Podemos, então, formular a lei de Faraday da seguinte forma:
V d
dt
N d
dtfem
� � � �
λ ψ V d
dt
N d
dtfem
� � � �
λ ψ
Onde:
N: número de espiras do circuito; 
ψ: é o fluxo em cada espira. 
O sinal negativo indica que a fem induzida é contrária ao fluxo que a produziu (Lei 
de Lenz). 
Até agora consideramos que uma região onde as cargas elétricas sofrem a ação 
de uma força é chamada de campo elétrico, no entanto, há outros tipos de campos 
elétricos que não são diretamente causadospor cargas elétricas. Estes outros são 
produzidos pelas fem’s, sendo que exemplos de fontes de fem são: os geradores elé-
tricos, baterias, termopares, células de carga e células fotovoltaicas. Todas estas fontes 
transformam em energia elétrica as energias inicialmente não elétricas. Na Figura 
1 a seguir, vemos uma representação do circuito e as direções das fem’s produzidas 
pelos campos magnéticos e elétricos. 
143
UNIDADE 9
Levando em consideração o circuito da Figura 1, podemos perceber que Ef é o campo 
produzido pela bateria e Ee é o campo eletrostático existente nos terminais da bate-
ria devido ao acumulo de cargas (Ee= -∇V), sendo então o campo elétrico total em 
qualquer ponto do circuito calculado por: 
E E Ef e� �
Observações Importantes:
• Um campo eletrostático não é suficiente para manter a circulação de corrente 
contínua em um circuito fechado, uma vez que:
E dl IRe
L
� � � �0
• O campo Ef produzido pela fem da bateria é NÃO conservativo. 
• A tensão e a ddp (diferença de potencial) são diferentes usualmente, porém 
na eletrostática são iguais. 
Descrição da Imagem: a figura traz um circuito elétrico, contendo uma fonte de tensão e um resistor. Com isso uma 
corrente I circula pelo circuito saindo do polo positivo da fonte e indo em direção ao polo negativo, sendo uma fem 
induzida no sentido do polo positivo para o negativo e um campo eletrostático no sentido negativo para o positivo.
Figura 1 - Circuito representativo de fluxos da fem induzida (Ef) e do campo eletrostático (Ee) produzidos por uma bateria. Sendo: 
I, corrente elétrica; R, resistência elétrica / Fonte: Sadiku (2012, p. 336).
I
REe
+
-
Ef
144
UNICESUMAR
01. EXEMPLO O circuito magnético da figura a seguir tem uma seção reta uniforme de 10-3m2. 
Se o circuito é energizado por uma corrente it(t) = 3 sen 100πt a um enrolamento 
com N1=200 espiras, determine a fem induzida no enrolamento de N2=100 espiras. 
Assuma que μ=500μ0. 
Descrição da Imagem: a Figura 2 mostra um circuito magnético em forma de anel, com raio de 10 cm, que possui 
duas espiras enroladas, sendo a do lado esquerdo o primário e a do lado direito o secundário. No primário, temos uma 
tensão V1, corrente I1 e número de espiras N1, já na espira do secundário temos a tensão V2, corrente I2 e número 
de espiras N2.
Figura 2 - Circuito magnético para resolução do exemplo 1, sendo: i1, a corrente que circula no enrolamento primário; N1, o número 
de espiras do enrolamento primário; V1, a tensão aplicada nos terminais do enrolamento primário; y , o fluxo; N2, o número de 
espiras do enrolamento secundário; V2, a tensão obtida nos terminais do enrolamento secundário / Fonte: Sadiku (2012, p. 344).
Solução: 
O fluxo no circuito é: ψ
µ
µ
πρ
= = =
F
R
N i
lI S
N i S1 1 1 1
02
ψ
µ
µ
πρ
= = =
F
R
N i
lI S
N i S1 1 1 1
02
De acordo com a lei de Faraday, a fem induzida no enrolamento secundário é:
V N d
dt
N N S di
dt2 2
1 2
0
1
7
2
100 200 500 4 10 10
� � � �
� �
� � � � ��
ψ µ
πρ
π( ) ( ) ( ) ( ��
�
�
� �
� �
3
2
300 100
2 10 10
6 100
) cos
( )
cos
π π
π
π πtV
N2
Ψ
+
-
+
-
V2N1V1
i1(t)
=10cm0ρ
V1
i1
N1
V2
N2
ρ
Ψ
0
- tensão no primário;
- corrente elétrica no primário;
 - número de espiras no primário;
 - tensão no secundário;
 - número de espiras no secundário;
- raio do núcleo magnético;
- �uxo magnético.
Obs:
145
UNIDADE 9
02. EXEMPLO Um núcleo magnético de seção reta uniforme de 4 cm2 é conectado a um gerador 
de 120V, 60Hz, como mostrado na Figura 3 a seguir. Calcule a fem induzida V2 no 
enrolamento secundário. 
Descrição da Imagem: a figura mostra o circuito de um transformador com circuito magnético em forma de retângulo, 
sendo o enrolamento do primário alimentado por uma fonte de tensão que gera uma corrente e o enrolamento do 
secundário em circuito aberto. O primário possui 500 espiras e o secundário 300.
Figura 3 - Referência para o exemplo prático 1, sendo: V1, o valor da tensão da fonte conectada aos terminais do primário; I1, 
a corrente que percorre o enrolamento primário; N1, o número de espiras do enrolamento primário; N2, o número de espiras 
do enrolamento secundário; V2, a tensão obtida nos terminais do enrolamento secundário; a, b, c e d, pontos referenciais no 
percurso do circuito / Fonte: Sadiku (2012, p. 344).
N1 = 500
+
-
N2 = 500
b
a
d c
V1
I1
Resposta: 72V
Ainda falando sobre as Equações de Maxwell, James Clerk Maxwell (1831–1879) é considerado o 
fundador da Teoria Eletromagnética atualmente, pois seu trabalho levou à descoberta das ondas ele-
tromagnéticas. Maxwell publicou a teoria que compreendeu todos os resultados já conhecidos sobre 
eletricidade e magnetismo, adicionalmente deu introdução ao conceito de corrente de deslocamento 
e previu a existência de ondas eletromagnéticas. As quatro equações compiladas por Maxwell são para 
condições com variação temporal e estão apresentadas na Tabela 1 a seguir. 
Para que um campo seja considerado eletromagnético, ele deve satisfazer todas as quatro equações 
de Maxwell.
146
UNICESUMAR
Outra equação que será utilizada juntamente com as equações de Maxwell é a 
equação de Lorentz:
F Q E u B� � �( )
 
Forma Diferencial Forma Integral Comentários
�� �D vr D dS dV
S vV
� �� � r Lei de Gauss
�� �B 0 B dS
S
� �� 0
Demonstração de não exis-
tência da carga magnética 
isolada
�� � �
�
�
E B
t
E dl
t
B dS
L S
� � �
�
�
�� � Lei de Faraday
�� � �
�
�
H J D
t
H dl J D
t
dS
L s
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�� � Lei circuital de Ampère
Tabela 1 - Forma geral das Equações de Maxwell / Fonte: Sadiku (2012).
Os experimentos de Maxwell concluíram que os campos elétricos e magnéticos variando com 
o tempo podem gerar um ao outro. Maxwell é um divisor de águas na área da física ou melhor 
um “unidor” de águas, sendo seu grande feito comprovar que eletricidade e magnetismo esta-
vam acoplados e demonstrou como esse acoplamento é realizado. Logo, Maxwell conseguiu 
unir duas áreas que eram consideradas independentes em uma só totalmente acoplada. O 
interessante é que toda a imensa teoria existente de eletromagnetismo pode se resumir em 
quatro equações que são relativamente simples.
Tratando de Condições de contorno, podemos dizer que, até agora, consideramos a existência de campo 
elétrico em meios homogêneos. No entanto, caso existam campos elétricos em meios diferentes, as 
condições que o campo deve satisfazer nas intersecções se chamam condições de fronteira ou condições 
de contorno. Obviamente, quem dita estas condições é o meio em que o campo está inserido.
Faremos considerações em relação às fronteiras entre:
• Dielétrico – Dielétrico - meios dielétricos diferentes (€r1 ≠ €r2);
• Condutor - Dielétricos;
• Condutor - Espaço livre.
147
UNIDADE 9
h) Dielétrico – Dielétrico
Para esta condição, teremos as seguintes considerações: 
E Et t1 2=
D Dn n S1 2� � r
tg
tg
t
t
θ
θ
ε
ε
1
2
1
2
=
(a) (b)
Obs:
E1- vetor campo elétrico; 
E1n - componente normal de E1;
E1t - componente tangencial de E1;
E2 - vetor campo elétrico no meio 2;
E2n - componente normal de E2;
E2t - componente tangencial de E2;
ε1 - meio dielétrico 1;
ε2 - meio dielétrico 2;
D1 - vetor campo elétrico;
D2 - vetor campo elétrico;
∆h - altura;
∆S - área.
a
b
∆h
∆w
d
c
∆h
∆S
D1
D2t
D2D2n
D1t
D1nE1
E2t
E1t
E1n
E1n
E2
1
2
1
2
ε1
ε2
ε1
ε2
Descrição da Imagem: a figura mostra a região de fronteira entre dois materiais dielétricos sendo na figura (a) a 
superfície gaussiana no formato retangular entre as duas fronteiras e na figura (b) a superfície gaussiana em formato 
de cilindro entre a fronteira dos materiais.
Figura 4 - Fronteira Dielétrico - Dielétrico. Sendo na figura (a): a superfície gaussiana em forma retangular, entre os dois meios, 
e na figura (b) com a configuração gaussiana cilíndrica / Fonte: Sadiku (2012, p. 178).
148
UNICESUMAR
i) Condutor – Dielétrico
Para esta condição, teremos as seguintes considerações:
ρ
ε ε
ε ε ρ
v
t o r t
n o r n s
E
D E
D E
=
=
= =
==
0
0
0
D
Dt
Dn
Dielétrico
condutor (E = 0)condutor (E = 0)
Dielétrico
En
E
Et
d
c
b
a
(a) (b)
∆h
∆h
∆S
∆w
(ε = ε0ε )
(ε = ε0ε )
Obs:
E - vetor campo elétrico; 
En - componente normal de E;
Et - componente tangencial de E;
ε - meio dielétrico;
D - vetor campo elétrico;
Dn - componente normal de E;
Dt - componente tangencial de E;
∆h - altura;
∆S - área.
Descrição da Imagem: a figura (a) mostra a região de fronteira de um condutor com um dielétrico, onde existe um 
campo elétrico saindo do condutor com um ângulo com relação à superfície do condutor, sendo decomposto em uma 
componente normal e uma tangencial. Ao lado, temos uma superfície gaussiana de formato retangular na região de 
fronteira. Na figura (b), temos exatamente a mesma situação, porém a superfície gaussiana tem formato cilíndrico.
Figura 5 - Fronteira Condutor – Dielétrico / Fonte: Sadiku (2012, p. 180).
j) Condutor – Espaço Livre
Para esta condição, teremos as seguintes considerações: 
D E
D E
t o t
n o n s
= =
= =
ε
ε ρ
0
149
UNIDADE 9
03. EXEMPLO A região y ≤ 0 consiste de um condutor perfeito, enquanto a região y ≥ 0 é um meio 
dielétrico (e1 2r = ), como na Figura 7 a seguir. Se existe uma carga superficial de 2 
nC/m² no condutor, determine E e D em: 
a) A (3,-2,2);
b) B (-4,1,5).
Descrição da Imagem: a figura mostra a região de fronteira de um condutor com o espaço livre, onde o campo elétrico 
saindo do condutor com uma angulação com relação à superfície do condutor é decomposto em uma componente 
normal e uma tangencial ao ponto de escape.
Figura 6 - Fronteira Condutor - Espaço livre / Fonte: Sadiku (2012, p. 181).
Descrição da Imagem: a figura apresenta dois materiais dielétricos contrapostos, onde um campo elétrico atravessa 
ambos com um determinado ângulo, ocorrendo o efeito de difração do campo.
Figura 7 - Referência para o exemplo 2 / Fonte: Sadiku (2012, p. 182).
condutor (E = 0)
Obs:
E - vetor campo elétrico; 
En - componente normal de E;
Et - componente tangencial de E;
ε - meio dielétrico;
D - vetor campo elétrico;
Dn - componente normal de E;
Dt - componente tangencial de E.
Espaço livre
D
Dt
Dn
En
Et
E
(ε = ε0ε )
Obs:
E1- vetor campo elétrico; 
E1n - componente normal de E1;
E1t - componente tangencial de E1;
E2 - vetor campo elétrico no meio 2;
E2n - componente normal de E2;
E2t - componente tangencial de E2;
ε1 - meio dielétrico 1;
ε2 - meio dielétrico 2;
α1 - o ângulo entre E1 e o eixo positivo de x;
α2 - o ângulo entre E2 e o eixo negativo de x;
θ1 - o ângulo entre E1 e o positivo do eixo y;
θ2 - o ângulo entre E2 e o negativo do eixo y;
1
2
E1 =
E1
E1n
E1t
E2 E2n
E2t
5ax - 2ay + 2az
α2
θ2
θ1
α1
150
UNICESUMAR
Solução: 
a) O ponto A (3,-2,2) está localizado no condutor, já que y=-2<0 em A. Portanto, 
E=0=D
b) O ponto B (-4,1,5) está localizado no meio dielétrico, já que y=1>0 em B. 
D nC mn s= =r 2 / ²
z
y
B
A
Dielétrico
Condutor
Descrição da Imagem: a figura mostra um plano cartesiano onde no eixo negativo de y temos o condutor e no eixo 
positivo de y temos o dielétrico. O ponto A está no condutor, com eixo negativo de y e positivo de z. Já o ponto B está 
no eixo positivo de y e negativo de z.
Figura 8 - Plano Cartesiano mostrando os meios Condutor - Dielétrico e os pontos A e B para a solução do exemplo 2
Fonte: Sadiku (2012, p. 184).
Portanto, D a nC my= 2 / ²
e
E D a a
a V m
o r
y y
y
� � � � � �
�
�
ε ε
π
π2 10 36
2
10 36
113 1
9 9
, /
04. EXEMPLO O campo elétrico em um ponto particular na interface entre o ar e a superfície de 
um condutor é de E a a a mV mx y z� � �60 20 30 / . Determine D e rs nesse ponto. 
Resposta: 0 531 0 177 0 265 0 619, , , / ²; , / ²a a a pC m pC mx y z� �
Seguindo agora com a primeira aplicação das equações de Maxwell, temos as ondas 
eletromagnéticas que foram também investigadas por Heinrich Hertz, que deu nome 
às chamadas ondas hertzianas, em sua homenagem. 
151
UNIDADE 9
Em geral, temos:
Ondas são um meio de transportar energia ou informação.
Uma onda é uma função do espaço e do tempo.
Alguns exemplos de ondas eletromagnéticas são as ondas de rádio, os sinais de 
TV, os feixes de radar e os raios luminosos. 
Todas as ondas eletromagnéticas apresentam três características principais, que são: 
• Viajam em alta velocidade;
• Apresentam propriedade ondulatória na propagação; e
• São irradiadas a partir de uma fonte e não necessitam de um meio físico de 
propagação.
Para este assunto, algumas equações vistas ainda no ensino médio irão nos ajudar a 
compreender. Relembrando:
u f= l ; l = uT ; ω π= 2 f ; β
ω
=
u
 ; T
f
= =
1 2π
ω
Onde: u = velocidade da onda (m/s); 
l = comprimento de onda (m); 
w = é a frequência angular (rad/s); 
b = é a constante da fase ou número de onda (rad/m); 
T = período (s); 
f = frequência (número de ciclos por segundo) da onda (Hz).
Trazendo este conhecimento para a engenharia, temos a equação de onda que segue:
E Ae Bej t z j t z� �� �( ) ( )ω β ω β
sendo E= o campo elétrico; 
A e B constantes reais. 
Para este momento, vamos considerar apenas a parte imaginária da equação acima:
E Asen t z� �( )ω β
A equação escrita por último representa uma onda senoidal, escolhida por sua simpli-
cidade. Caso tivéssemos considerado a parte real da equação de E anterior, obteríamos 
uma onda cossenoidal. As características da onda representada por esta equação são:
152
UNICESUMAR
• Harmônica no tempo, pois assumimos dependência temporal quando consi-
deramos apenas a parte imaginária da equação acima.
• A é a amplitude da onda e tem a mesma unidade de E. 
• ( )ω βt z− é a fase (em radianos) da onda que depende do tempo t e da variável 
espacial z.
• w é a frequência angular (em radianos/segundo) e b = é a constante de fase 
ou número de onda (em radianos/metro). 
t
E
A
-A
T
2TT 3T
2
T’
2
0-T’
2
(b)
(a)
z
E
A
-A
2λ3λ
22
0-
2
λλλ
λ
Descrição da Imagem: a figura mostra duas ondas senoidais, onde uma está em função do comprimento de onda e 
a outra em função do tempo. Sendo na primeira os pontos de intersecção, múltiplos do comprimento de onda, e na 
segunda os pontos de intersecção múltiplos do período da onda.
Figura 9 - Representação da equação 9.5; sendo: l = comprimento de onda, T= período da onda, A= amplitude da onda; (a) 
t constante; (b) z constante / Fonte: Sadiku (2012, p. 373).
Uma estação de rádio é encontrada conhecendo sua frequência dentro da faixa 
devido à relação fixa entre comprimento de onda e frequência, dentre as fórmulas 
apresentadas acima, temos preferência pela frequência:
β
π
λ
=
2
153
UNIDADE 9
Pudemos perceber que o desenvolvimento das equações de Maxwell, bem como as relações 
dos circuitos, requerem tanto um raciocínio físico quanto indutivo. Os estudos das ondas ele-
tromagnéticas não se restringem apenas à área de Física, mas também é desta mesma forma 
e este mesmo conteúdo estudado por geólogos para a compreensão dos diversos efeitos de 
espalhamento das OEM em meios geológicos. Observamos que os estudos não se iniciam na 
faculdade, mas desde a idade mínima escolar, onde por muitas vezes compreenderemos o 
comportamento do mundo através dos estudos da física.
05. EXEMPLO O campo elétrico no espaço livre é dado por:
E t x a V my� �50 10
8cos( ) /b
A) Encontre a orientação de propagação da onda.
B) Calcule b e o tempo que a onda leva para se propagar por uma distância de 
l
2C) Esboce a onda a t = 0 , T / 4 , T/ 2 .
Solução: 
A) Devido ao sinal positivo em ( )ω βt x+ , inferimos a onda se propagando ao 
longo de −ax . Isto será confirmado na parte (c) deste exemplo.
B) No espaço livre, u c= .
β
ω
� �
�
�
c
10
3 10
1
3
8
8 
Ou
b = 0 3333, /rad m
Se T é o período da onda, isto significa que a onda leva T segundos para se deslocar 
por uma distância l à velocidade c. Portanto, para se deslocar por uma distância 
l
2 levará:
f T ns1 82
1
2
2
10
31 42= = = =π
ω
π ,
(a) Em t = 0 ,
E xy = 50cosb
154
UNICESUMAR
Em t T= / 4 ,
E x xy � �
�
�
�
��
� � �50
2
4
50 2cos , cos( / )ω π
ω
β β π
Em t T= / 2
E x xy � �
�
�
�
�
�
� � � � �50
2
2
50 50cos , cos( ) cos xω π
ω
β β π β
Assim, o gráfico de Ey é representado na Figura 10 a seguir. Observe que o ponto P 
(selecionado arbitrariamente) da onda se move ao longo de −ax , conforme t aumenta 
com o tempo. Isso mostra que a onda se desloca ao longo de −ax .
(b)
(a)
(c)
x
y
0
2
50 50 cos
t = 0
2
- λ - λ - λ λ
P βx
x
y
0
2
50
-50 sen
50
2
- λ
- λ
λ λ
P
βx
t = T/4
x
y
0
2
50
-50 cos
50
2
- λ - λ λ λ
P
βx
t = T/2
u
50
Descrição da Imagem: a figura mostra três situações onde o P se desloca na direção do eixo cartesiano -x, demons-
trando que a onda está andando na direção positiva de x.
Figura 10 - Representação da onda calculada no item (C) do Exemplo 3, onde mostra a onda se propagando ao longo de -ax. 
Sendo: P, o ponto mais alto da onda que se move ao longo de -ax / Fonte: Sadiku (2012, p. 377).
155
UNIDADE 9
06. EXEMPLO No espaço livre, H t kx a A my� � �0 1 2 10
8, cos( ) / . Calcule:
(a) k, ,T :l
(b) O tempo t1 que a onda leva para se propagar por l / 8 ;
(c) Esboce a onda no tempo t1.
Resposta: (a) 0,667 rad/m; 9,425m; 31,42ns; (b)3,927ns; (c)
Tratando agora de Guias de Ondas. Em nossa profissão, teremos muito contato com linhas de trans-
missão, que é usada para transportar energia de um ponto (gerador) a outro (carga). Um guia de onda 
é outro meio de atingir este objetivo de transportar energia. Contudo, qual é a diferença de uma linha 
de transmissão e um guia de onda? Em primeiro lugar, uma linha de transmissão só suporta uma onda 
transversal eletromagnética (TEM), enquanto que um guia suporta muitas configurações de campo 
diferentes. Por segundo, temos diferenças nas frequências de micro-ondas, o que torna as linhas de 
transmissão menos eficientes devido às perdas nos dielétricos. Os guias de onda utilizam uma faixa 
ampla de frequência (3 – 300 Ghz), obtendo assim uma maior largura de banda e menor atenuação do 
sinal. Ainda em relação à frequência, as linhas de transmissão operam sem frequência ( f = 0 , caso da 
corrente contínua) até frequências muito altas, mas os guias de onda só operam acima da frequência 
de corte, atuando assim como filtros passa-alta não podendo, assim, transmitir a corrente contínua. 
Os guias de onda mais comumente utilizados são os retangulares e os circulares apesar de os guias 
possuírem uma seção transversal uniforme e que podem ser de qualquer forma. Na Figura 12 a seguir, 
estão expostos alguns exemplos típicos de guia de onda. O guia de onda circular é um tanto mais tra-
balhoso para analisar e também requer uma habilidade com as funções de Bessel, que não trataremos 
nesta disciplina. 
0,1
-0,1
3
4
x
Hy(A/m)
/
π
π
Descrição da Imagem: onda referente ao exemplo três, deslocando-se no sentido positivo de x, com uma defasagem 
de π/4 e 3 π de período.
Figura 11 - Onda referente ao exemplo 3 / Fonte: Sadiku (2012, p. 377).
156
UNICESUMAR
No guia de onda retangular, assumindo-o sem perdas podemos aplicar as equações de Maxwell com 
as condições de contorno apropriadas para obter os diferentes modos de propagação de onda e os 
campos E e H correspondentes. 
07. EXEMPLO Julgue a afirmação a seguir, relativa ao modo de propagação de ondas eletromagné-
ticas e sua velocidade.
Ondas transversoeletromagnéticas (TEM) não se propagam em guias de ondas 
retangulares.
Solução: 
 Certo Errado
Circular Retangular
Torcido Joelho a 90°
Descrição da Imagem: a figura mostra um guia de onda circular, sendo praticamente o mesmo formato de um cano 
de pvc, também mostra um guia retangular, onde o formato do guia é retangular, como uma longarina de aço, que 
pode ser torcida em 90 graus ou formar um joelho de 90 graus.
Figura 12 - Guias de onda típicos / Fonte: Sadiku (2012, p. 488).
157
UNIDADE 9
O conteúdo desta unidade, como você já deve ter notado, está pre-
sente até onde não nos damos conta, como por exemplo ao usar 
o celular, até a construção de barragens como as de Minas Gerais. 
O estudo das ondas eletromagnéticas está diretamente ligado à 
prevenção de acidentes e mudanças nas construções das barragens 
pelo método de alteamento a montante nestes tipos de usinas. A 
maior parte dos tipos de comunicação que é realizada sem fio é 
feita através de ondas eletromagnéticas, sendo a comunicação por 
celular e televisão a mais comum em nossas vidas. Logo, perceba 
a importância deste tema e sua ampla utilização por praticamente 
todas as pessoas.
Vimos muitas características das ondas e comportamentos nesta 
unidade, sendo tratado ondas elétricas, ondas magnéticas e ambas 
se propagando juntas como ondas eletromagnéticas. O que acha 
de relembrarmos algumas características particulares de cada tipo 
de onda e o que ocorre quando as duas se propagam juntas?
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158
M
A
P
A
 M
EN
TA
L
Com base em tudo que você aprendeu nesta unidade, veja esse mapa mental que eu preparei 
para você. Existem várias lácunas que devem ser preenchidas para completar o mapa de forma a 
fazer sentido com as conexões existentes. Seu trabalho será preencher as lacunas com os temas 
que retratam as ligações feitas abaixo. Tente preencher sem consultar o material, completando 
o máximo de informações que conseguir ou com o que você desconfie que seja nas que ficar 
em dúvida. Confira o preenchido por você com as informações fornecidas nesta unidade para 
confirmar seus conhecimentos adquiridos.
Fluxo Magnético
Campo
Eletromagnético
Lei de
MagnetismoEletricidade Corrente Elétrica
Indução
Magnética
Maxwell
Lei de
Lei de
Eletricidade
Construção
Cientí�ca
Eletroímã
Campo
magnético
159
A
G
O
R
A
 É
 C
O
M
 V
O
C
Ê
1. Que nome se dá à pequena fração do fluxo que escapa do núcleo indo para o ar cir-
cundante, cuja permeabilidade é baixa em relação à permeabilidade de um núcleo 
ferromagnético. 
a) Magnetomotriz.
b) De dispersão.
c) De magnetização.
d) Residual.
e) Nenhuma das anteriores.
2. O enunciado da Lei de Faraday diz que a força eletromotriz induzida em um circuito 
fechado é igual ao negativo da variação do fluxo magnético com o tempo em uma área 
delimitada pelo circuito.
 Certo Errado
3. A figura a seguir ilustra um núcleo ferromagnético. Uma corrente é aplicada à bobina 
da figura, produzindo uma densidade de fluxo de 0,5T na coluna do núcleo à sua es-
querda. A relutância total vista pelo fluxo produzido pela corrente na bobina é 
.
600
espiras
Profundidade 15 cm
20 cm
40 cm
20 cm
20 cm40 cm 25 cm20 cm 40 cm
O valor da corrente na bobina é:
a) ( / )16 p A
b) ( , / )22 5 p A
c) ( , / )17 5 p A
d) ( , / )12 5 p A
e) ( / )24 p A
160
A
G
O
R
A
 É
 C
O
M
 V
O
C
Ê
4. De acordo com as leis aprendidas nesta unidade, quanto maior for a tensão de trans-
missão, maior será o campo magnético induzido, assim, é necessária uma linha de 
transmissão monofásica a dois fios mais alta para evitar danos ambientais, uma vez 
que esta linha produz um campo magnético ao seu redor
 Certo Errado
5. A impedância intrínseca de uma onda eletromagnética no vácuo é quantificada pela 
unidade ohm e é determinada pela razão entre as intensidades dos campos elétrico e 
magnético. De acordo com o assunto de ondas eletromagnéticas visto nesta unidade, 
diga se a sentença acima procede. 
 Certo Errado
161
M
EU
 E
SP
A
Ç
O
162
R
EF
ER
ÊN
C
IA
S
UNIDADE 1
EDMINISTER, J. A. Teoria e problemas de eletromagnetismo. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2006. 
MAGNANI, F. S.; CUNHA, S. dos S. Rev. Bras. Ensino Física, São Paulo, v. 39, n. 2, e2311, 2017. 
Disponível em: https://www.scielo.br/pdf/rbef/v39n2/1806-1117-rbef-39-02-e2311.pdf. Acesso em: 
15 abr. 2021.
MARIANO, W. Eletromagnetismo: fundamentos e aplicações. São Paulo: Érica, 2003.
SADIKU, M. N. O. Elementos de eletromagnetismo. 5. ed. Tradução de Jorge Amoretti Lisboa e 
Liane Ludwig Loder. Porto Alegre: Bookman, 2012.
Referência on-line
1Em:https://www.pngegg.com/pt/png-oaxfs. Acesso em: 15 abr. 2021.
UNIDADE 2
MARIANO, W. Eletromagnetismo: fundamentos e aplicações. São Paulo: Érica, 2003. 
SADIKU, M. N. O. Elementos de eletromagnetismo. 5. ed. Tradução de Jorge Amoretti Lisboa e 
Liane Ludwig Loder. Porto Alegre: Bookman, 2012. 
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros. 7. ed. Rio de Janeiro: Editora 
LTC, 2017. v. 2.
UNIDADE 3
SADIKU, M. N. O. Elementos de eletromagnetismo. 5. ed. Tradução de Jorge Amoretti Lisboa e 
Liane Ludwig Loder. Porto Alegre: Bookman, 2012.
UNIDADE 4
SADIKU, M. N. O. Elementos de eletromagnetismo. 5. ed. Tradução de Jorge Amoretti Lisboa e 
Liane Ludwig Loder. Porto Alegre: Bookman, 2012. 
UNIDADE 5
SADIKU, M. N. O. Elementos de eletromagnetismo. 5. ed. Tradução de Jorge Amoretti Lisboa e 
Liane Ludwig Loder. Porto Alegre: Bookman, 2012.
163
R
EF
ER
ÊN
C
IA
S
UNIDADE 6
HAYT, W. H.; BUCK, J. A. Eletromagnetismo. Tradução de Antônio Romeiro Sapienza. 6. ed. Rio 
de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2003. 
MARIANO, W. Eletromagnetismo: fundamentos e aplicações. São Paulo: Érica, 2003.
SADIKU, M. N. O. Elementos de eletromagnetismo. 5. ed. Tradução de Jorge Amoretti Lisboa e 
Liane Ludwig Loder. Porto Alegre: Bookman, 2012.
THOMAS, G. B.; WEIR, M. D.; HASS, J. Cálculo. 11. ed. São Paulo: Pearson Universidades, 2009.
UNIDADE 7
SADIKU, M. N. O. Elementos de eletromagnetismo. 5. ed. Tradução de Jorge Amoretti Lisboa e 
Liane Ludwig Loder. Porto Alegre: Bookman, 2012.
UNIDADE 8
HAYT, W. H.; BUCK, J. A. Eletromagnetismo. Tradução de Antônio Romeiro Sapienza. 6. ed. Rio 
de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2003. 
MARIANO, W. Eletromagnetismo: fundamentos e aplicações. São Paulo: Érica, 2003.
SADIKU, M. N. O. Elementos de eletromagnetismo. 5. ed. Tradução de Jorge Amoretti Lisboa e 
Liane Ludwig Loder. Porto Alegre: Bookman, 2012.
THOMAS, G. B.; WEIR, M. D.; HASS, J. Cálculo. 11. ed. São Paulo: Pearson Universidades, 2009.
UNIDADE 9
SADIKU, M. N. O. Elementos de eletromagnetismo. 5. ed. Tradução de Jorge Amoretti Lisboa e 
Liane Ludwig Loder. Porto Alegre: Bookman, 2012.
164
C
O
N
FI
R
A
 S
U
A
S 
R
ES
P
O
ST
A
S
UNIDADE 1
1. C. A força não aumenta linearmente e sim exponencialmente.
2. Solução: Aplicação direta da lei de Coulomb para duas cargas:
F Q Q r r
r r
Q1
1 2
0
3
12
2 1
2 14
20 10 3 2 1 4 0 6
4
� �
� � � ��
�
�( ) ( )[( , , ) ( , , )])
πξ πξξ
α
0
3
1
3 2 1 4 0 6
0 5655 7 2 5
688 88
5 746 1
| ( , , ) ( , , ) |
. ( , , )
.
,
� �
�
� �
� � �FQ x ,, , ��642 4 104α αy z�
3. Solução:
F F
F kQ Q
R
kQq k Qq
d x x
d x x
d x x d
12 23
2
1 2
2
2 2
2 2
2 2
3
1 3
3 3
�
�
�
� � � �
�
�
�
( )
( )
( ) 66 3
3 6 2 0
6 36 24
4
6 12
4
3 3
1 268
2 2
2 2
2 2
dx x x
d dx x
x d d d d d
x
� �
� �
� � �
�
�
� � �
� , mm
UNIDADE 2
1. Devido à carga elétrica ser positiva, a força que surge nessa carga terá mesmo sentido e mesma 
direção do campo elétrico, pois se o campo elétrico tiver sentido positivo, a força será de repul-
são com relação à carga que gera o campo elétrico e, se o campo for negativo, a força será de 
atração à carga que gera o campo elétrico. 
2. 
a) Como as esferas não são condutoras, as cargas não irão se rearranjar devido à indução. 
No centro da esfera 1, o campo elétrico é dado por:
E q
D
ê R
D
ê R
D
êr r r1 2
0
2
2
2
0
2
2
2
0
24
4
4
� � � � � �
πξ
σ π
πξ
σ
ξ
No centro da segunda esfera, o campo é determinado por:
E q
D
ê R
D
ê R
D
êr r r2 1
0
2
1
2
0
2
1
2
0
24
4
4
= = =
πξ
σ π
πξ
σ
ξ
165
C
O
N
FI
R
A
 S
U
A
S 
R
ES
P
O
ST
A
S
b) O campo resultante será a soma dos campos naquele ponto, devido ao princípio da 
superposição.
E E E
R R
D
êr� � �
�� �
1 2
1
2
2
2
0
2
σ
ξ
3. 
a) O campo elétrico resultante é igual ao campo de uma carga puntiforme mais o campo 
de uma distribuição contínua:
E Z
r
ê Ee r d1
0
24
� � �
πξ
Por conta da simetria esférica, o campo Ed pode ser facilmente calculado com a lei de Gauss:
E Z r
R
r R
d
e� �
� �
4
0
0
3πξ
,
 
Assim, a expressão resulta em:
E Z
r
r
R
ê
r R
e
r� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
4
1
0
0
2 3πξ
,
b) Como o átomo é neutro, q oatomo = , assim, pela lei de Gauss, o fluxo do campo elé-
trico é zero.
y y� �� d 0
c) Fluxo zero não implica necessariamente em campo zero! Contudo, no caso, como o 
átomo está isolado, não há outras fontes para o campo a não ser o próprio; por outro 
lado, temos a simetria esférica. Combinando tudo isso, temos:
E r4 02p =
Como a superfície gaussiana é hipotética, segue E = 0 para r > R.
UNIDADE 3
1. Pelo teorema da divergência, o fluxo exterior através da fronteira da região D é calculado pela 
integral tripla:
y � ����� Fdxdydz
D
166
C
O
N
FI
R
A
 S
U
A
S 
R
ES
P
O
ST
A
S
Assim, antes é necessário calcular o divergente de F
�� �
� �
�
�
� �
�
�
�
�
� � �F x xy
x
x z y
y
x y
z
x y( ) ( ) ( )6 2 2 4 12 2 2
2 2 2 3
Agora basta calcular a integral tripla utilizando coordenadas cilíndricas para obter o fluxo.
ψ
ψ θ θ θ
� � �
� � �
���
��
( )
( rcos( ) sin( ) ) rdzdrd
12 2 2
12 2 2
0
3
0
2
x y dxdydz
D
00
1
2
0
2
0
1
2 3 12 2 2
96 12
π
π
ψ θ θ θ
ψ θ
�
��� � �
� �
( rcos( ) sin( ) ) rdrd
( rcos( ) 22 2
108 6
0
1
2 sin( ) )dθ θ
ψ π
π
�
� �
�
2. Pelo teorema da divergência, o fluxo exterior através da fronteira da região D é calculado pela 
integral tripla:
y � ����� Fdxdydz
D
Assim, antes é necessário calcular o divergente de F.
�� �
� � �
�
�
� � �
�
�
� � �
�
�
F
x y z
x
x y z
y
x y z
z
x
x
(( ) x) (( ) y) (( ) z)2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
22 2 2
2 2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
2 2 2
3
4
� �
� � � �
� �
�
� �
� � �
y z
x y z y
x y z
z
x y z
x y z
( )
Utilizando coordenadas esféricas e lembrando que o jacobiano nessas coordenadas é , 
 o fluxo é calculado por:
ψ
ρ φ ρ φ θ
π
� �� � � �
�
��� ���
��
Fdxdydz x y z dxdydz
D D
4
4
2 2 2
3
1
2
0
0
sin( )d d d
22
0
0
2
0
2
3
6
12
π
π
π
π
φ φ θ
θ
π
�
��
�
�
�
�
sin( )d d
d
167
C
O
N
FI
R
A
 S
U
A
S 
R
ES
P
O
ST
A
S
3. O fluxo é igual à carga presente no espaço. Assim:
ψ ρ
φ
φ θ
φ φ
π
π
π
� �
�
�
�
�
��
�
Q dS
r
S
sin ( )
rd d
sin ( )d
2
0
16
0
2
2
0
2
4
4
4
UNIDADE 4
1. E. É de conhecimento que as linhas de campo elétrico partem das cargas positivas e se encerram 
nas cargas negativas e, deste modo, uma carga submetida a este campo é movida dos maiores 
potenciais para os menores potenciais. Do cálculo vetorial, sabemos que o campo gradiente 
aponta na direção da maior variação do campo derivado, deste modo, o campo elétrico é o ne-
gativo do gradiente do potencial elétrico, pois, assim, ele sempre aponta no sentido de minorar 
o potencial, desta forma:
E V V
x
i V
y
j V
z
k� �� � � �
�
�
�
�
�
�
�
 

Calculando a derivada parcial do potencial elétrico em relação à variável x:
�
�
� �
V
x
y z4 
Calculando a derivada parcial do potencial elétrico em relação à variável y:
�
�
� �
V
y
yz x4 3
Calculando a derivada parcial do potencial elétrico em relação à variável z: 
 �
�
� �
V
z
y z x6 42 2
E V V
x
i V
y
j V
k
z
V
x
xy z
V
y
x z
V
k
x yz
� �� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
� �
�
�
� �
�
 

4
2 2 1
��2
168
C
O
N
FI
R
A
 S
U
A
S 
R
ES
P
O
ST
A
S
Agora, devemos avaliar em x= 3, y= 2 e z= 1 as derivadas parciais e substituirmos na expressão 
1 do gradiente:
�
�
�
V
x
6
�
�
�
V
y
11 
�
�
�
V
z
36
 
Substituindo os resultados parciais acima temos:
E V� ��
E i j k� � � �( ) ( ) ( )6 11 36
 

E i j k� � � �6 11 36
 

2. D. Em um capacitor coaxial (caso da questão), o potencial é dado pela seguinte expressão:
V Q
l
b
aab
=
2πε
ln (1)
sendo ‘a’ a superfície interna e ‘b’ a externa. A expressão (1) pode ser escrita como:
V k b
aab
= ln (2)
Em que ‘K’ é uma constante qualquer.
Sabendo que Vab=60 V, temos que:
k b
a
=
60
ln
Sabendo que Vr-Vb=15 V:
1560� �
ln
lnb
a
b
r
Manipulando a expressão acima, teremos o resultado final:
r=
b
b
a
4
 
169
C
O
N
FI
R
A
 S
U
A
S 
R
ES
P
O
ST
A
S
3. A. Para evitar descargas elétricas, os objetos que entram em contato devem estar no mesmo 
potencial elétrico. 
UNIDADE 5
1. A corrente é calculada por 
I J S
S
� ��

D onde dS r d d ar�
2 sin( )� �f 
Neste caso, basta realizar a integral.
I
r
r d d�
��
��
1 23
0
2
0
2
2cos( ) sin( )
/
φ
ππ
φ
�
� � � para r=0,2
� � �
�
2 2
0
2
r
dp
p
�
�
/
sin( ) (sin( )) para r=0,2
�
4
0 2 2
2p
,
sin ( )�
 indo de o a p / 2
� � �10p A
2. Se rS = densidade superficial de cargas, u = velocidade da correia e w = largura da correia, a 
corrente na calota esférica será de:
I uwS= r
A carga total coletada será de:
Q It uwt nCS� � � � � � �
�r 10 2 0 1 5 1007 ,
3. Aplicação direta das fórmulas.
( ) , , /
( )
a ne kA C m
b J E
vρ
σ
� � �� � � � � ��
�
�
� � �
�10 1 6 10 1 6 10
5 10
29 19 10 3
  77 3 2
5
2
6
10 10 500
5 10
4
5
4
10
� � � ��
�
�
� � �
�
�
��
�
�
�� � � �
�
�
k A m
c I JS d
/
( )
π π 110 0 3935 � , A
(d) como J uv= r , então u
J m s
v
� �
�
�
� � � ��
r
5 10
1 6 10
3 125 10
5
10
5
,
, /
170
C
O
N
FI
R
A
 S
U
A
S 
R
ES
P
O
ST
A
S
UNIDADE 6
1. E. A densidade de fluxo é calculada por:
B
S
Wb
cm
Wb cm� � � � �
�y 20 10
1
2 10
3
2
2 2/
B Wb cm Gauss
Wb cm
Gauss� � � � ��2 10
1
10
2 102 2 8 2
6/
( )
( / )
Transformação de unidades:
1 10
1 10
2 8
8 2
Gauss cm weber
Gauss weber cm
� �
�
�
� /
O mais complicado é fazer a transformação de unidades. Obs: Eu pensei o mesmo que vocês 
nesta questão, porém coloquei para vocês lembrarem dessa transformação.
2. D. A prata é um dos metais diamagnéticos, que significa que ele sofre repulsão diante de um 
campo magnético.
Principais materiais diamagnéticos: Supercondutor, grafite, pirolítico, bismuto, mercúrio, prata, 
diamante, chumbo, grafite, cobre, água.
3. A. A lei de ampère diz que a corrente é igual à integral fechada do campo H multiplicado pelo 
elemento de comprimento infinitesimal dl.
4. D. Rigidez dielétrica é o nome dado ao limiar de ruptura de condução do material dielétrico.
UNIDADE 7
1. B. Pela regra da mão esquerda, temos que a resposta certa é a alternativa b.
Força
Campo
Corrente
i
B
Fm
171
C
O
N
FI
R
A
 S
U
A
S 
R
ES
P
O
ST
A
S
2. E. Isso devido ao seno de zero ser zero, o que resulta na equação inteira ser igual a zero.

F IBl0 = sin( )a
3. C. Porque a força resultante da multiplicação do campo magnético (sul-norte), pela corrente (su-
doeste-nordeste), resultará em uma força apontando para o céu (para cima), de acordo com a regra 
da mão esquerda.
UNIDADE 8
1. B. A resistência à passagem de fluxo magnético é conhecida como relutância.
2. E. A lei de Lenz indica o sentido da corrente induzida, contudo, para determinar a intensidade 
da fem induzida em um condutor quando o fluxo magnético está variando, usamos a lei de 
Faraday. Ela pode ser representada matematicamente pela seguinte fórmula:
ε
φ
� �
D
Dt
Sendo,
e : força eletromotriz induzida (V)
Df : variação do fluxo magnético (Wb)
Dt : intervalo de tempo (s)
O sinal negativo da fórmula se deve exatamente à Lei de Lenz, pois representa que o sentido 
da fem induzida é em oposição à variação do fluxo magnético.
3. C. A afirmativa 1 está errada, pois não é perpendicular e sim tangencial.
4. C. A sequência correta é (1 - 3 - 3); (2 - 5 - 4); (3 - 2 - 1); (4 - 1 - 5); (5 - 4 - 2).
5. E. A equação se trata da lei circuital de Ampère.
UNIDADE 9
1. C.
2. Certo.
3. É dado que o fluxo no braço esquerdo é 0,5 T. Como a peça é simétrica, o fluxo na coluna central 
é B=1,0 T. Também é dado o valor da relutância total vista pela bobina.
Sabemos que Fmm= N*i = H*l -> i = H*l/N. (i) ; O campo H , por sua vez, é H = B/ u (ii) , onde u 
é a permeabilidade do material, que não foi dada, mas pode ser obtida através da fórmula da 
relutância R = l/ (u*A) -> u= l/(R*A) (iii). Substituindo (iii) em (ii) e, em seguida, (ii) em (i) temos:
i= B*R*A/ N = [1,0 * 0,2 * 10^6 * (0,0375)]/(pi * 600) = 12,5/pi A
A área perpendicular ao fluxo é A = 0,25 * 0,15 = 0,0375 m2 (largura e profundidade do braço 
central).
172
C
O
N
FI
R
A
 S
U
A
S 
R
ES
P
O
ST
A
S
4. Errado. 
A intensidade do campo magnético é dada por:
B = μi / 2πR
Logo, o campo é proporcional à corrente e não à tensão.
5. Certo. Em uma onda eletromagnética no espaço livre, os campos elétricos e magnéticos va-
riam em pontos múltiplos de 2pi, sendo assim, não se pode esperar que os campos elétricos e 
magnéticos tenham pontos máximos em todos os lugares e em todo o instante de tempo, ou 
seja, sejam constantes. No entanto, a razão entre as duas grandezas é constante e esta razão 
é conhecida como impedância intrínseca.
173
M
EU
 E
SP
A
Ç
O
174
M
EU
 E
SP
A
Ç
O
175
M
EU
 E
SP
A
Ç
O
176
M
EU
 E
SP
A
Ç
O
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