Aula 10 Taxa de Retorno Valor Presente Líquido

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Matemática Financeira
Aula 10: Taxa de Retorno – Valor Presente
Líquido
INTRODUÇÃO
Nesta aula, você irá aprender os princípios de avaliação de investimentos - conceitos e instrumentais. Teremos ainda a
oportunidade de aprender os critérios de avaliação do investimento: taxa de retorno contábil, payback simples, payback
descontado, valor presente líquido e taxa interna de retorno. 
Bons estudos!
OBJETIVOS
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Identi�car os princípios de avaliação de investimentos - conceitos e instrumentais.
Compreender critérios de avaliação do investimento: taxa de retorno contábil, payback simples, payback descontado,
valor presente líquido e taxa interna de retorno.
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Payback
Ao emprestar um bem, o proprietário estará se privando dele durante o tempo que durar o empréstimo. 
Retomar a posse do bem signi�ca tê-lo de novo, nas mesmas condições que o bem apresentava antes do empréstimo.
O bem retornará à posse de seu proprietário após decorrido determinado prazo, o qual, preferencialmente, será
acertado entre as partes (emprestador e tomador do empréstimo).
O acordo entre as partes (emprestador e tomador do
empréstimo)
Seja pela privação da posse, seja pelo risco que o emprestador corre de perder em de�nitivo a posse do bem, é usual
que se devolva o que foi emprestado mais um valor denominado juro, que seria como um “aluguel” daquele capital. O
emprestador estará repondo seu capital em determinado prazo.
Fonte:
Esse prazo ou período é referido como tempo em que o projeto de investimento se paga, ou em inglês, payback period,
ou simplesmente payback.
Payback simples (série uniforme)
Também referido como “tempo de recuperação do investimento”, o payback pode ser calculado de forma simples, pela
razão entre investimentos e receitas. 
Vejamos algumas situações que demonstram a aplicação desse conceito.
Situação 1
Considerando um investimento IA de R$20 milhões que gere retornos líquidos anuais de R$5
milhões, a partir do �nal do primeiro ano, durante 10 anos. Vamos elaborar o diagrama de �uxo de
caixa dessa alternativa de investimento.
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
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SOLUÇÃO
O diagrama de �uxo de caixa dessa alternativa de investimento é:
O período de repagamento (payback) será calculado pela razão entre investimento e receitas
anuais: 
Payback = 20 milhões / 5 milhões = 4 anos. 
Portanto, o payback será de 4 anos.
Situação 2
Um investimento de 18 milhões que gere resultados líquidos de R$6 milhões por ano, durante 4
anos. Vamos elaborar diagrama de �uxo de caixa.
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
SOLUÇÃO
O diagrama de �uxo de caixa seria:
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Payback = 18 milhões / 6 milhões = 3 anos.
Conforme vimos no exemplo, se dependesse apenas do payback, o investimento B seria o melhor, pois o seu prazo
para retorno do investimento é menor:
PaybackB → 3 anos < 4 anos → PaybackA 
Prefere-se IB em detrimento de IA
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Como se pode constatar, independentemente de taxa de juros, a alternativa A possui as seguintes características:
IA = R$20 milhões 
RJ = R$5 milhões 
Rtotal = R$5 milhões/ano x 10 anos = R$50 milhões
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Uma vez o investimento sendo reposto, o que acontece no �nal do quarto ano, o Excedente Líquido Gerado (ELG),
também chamado de juros ou remuneração do capital investido, é de:
ELG = R$50 milhões - R$20 milhões = R$30 milhões
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
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Vejamos, agora, como esse processo acontece em casos de investimentos IA, IB e em um comparativo entre A e B.
O INVESTIMENTO IA
Dividindo-se o ELG pelo investimento IA, temos: 
ELG/ = R$30 milhões / R$20 milhões = 1,5 = 150% (é a taxa de juros simples total do
prazo, de 10 anos, sobre o investimento). 
Dividindo-se a taxa de juros total do prazo pelo número de períodos (n = 10 anos), tem-se: 
 = taxa de juros simples = 150% / 10 anos = 15% a.a. 
Fazendo-se o mesmo raciocínio com o investimento B, temos: 
 = R$18 milhões 
 = R$6 milhões 
 = R$6 milhões/ano x 4 anos = R$24 milhões 
O payback dá-se no terceiro ano, mas os resultados líquidos positivos só se mantêm por
mais um ano (até o quarto ano).
INVESTIMENTO IB
Dividindo-se o ELG pelo investimento IB, temos: 
ELG/ = R$6 milhões / R$18 milhões = 0,33 = 33% (é a taxa de juros simples total do prazo,
de 4 anos, sobre o investimento). 
Dividindo-se a taxa de juros total do prazo pelo número de períodos (n = 4 anos), tem-se: 
 = taxa de juros simples = 33% / 4 anos = 7,75% a.a. (juros simples) 
Parece que rende mais que , pois IA = 15% a.a. > 7,75% a.a. = IB!!!! 
Prefere-se em detrimento de (contradizendo a decisão pelo payback).
COMPARATIVO ENTRE OS INVESTIMENTO A E B
Logicamente, há um complicador adicional: os prazos de aplicação são diferentes (IA tem
um prazo de 10 anos, IB, de 4 anos). Deve ser encontrado um horizonte comum de
planejamento, um mínimo múltiplo comum para os prazos de investimento que, no caso, é
de 20 anos (2 x 10 anos; 5 x 4 anos). Ou, então, simplesmente, considerar que as
alternativas de investimento A e B podem ser repetidas inde�nidamente. De qualquer modo,
esse simples exemplo, que considera juros simples, ilustra a mecânica de seleção entre
alternativas de investimentos. 
IA
IA
IB
RJ
Rtotal
IB
IB
IA IB
IA IB
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Decisão: 
Critério de payback: Seleciona-se . 
Critério de Rentabilidade (juros simples): Seleciona-se .
Payback e taxa de retorno
Fonte:
Note-se que, no caso de um �uxo de caixa regular, se é o número de anos até o investimento ser recuperado, então
1/ é o inverso do payback period, que nos dá uma indicação da rentabilidade do investimento.
Exemplo
Por exemplo, para = 4 anos, RP = 1 / = 1 / 4 = 25% por ano. Então, RP é a medida de rentabilidade do payback ou a taxa de
retorno do payback.
Vejamos uma aplicação desse conceito.
Vamos analisar o �uxo de caixa e calcular o payback
(considerando que não há incidência de juros).
Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5
-250.000 62.500 62.500 62.500 62.500 62.500
Valores em reais
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Solução
Payback = 250000 / 62500 = 4 anos
Exercício! 
Imagine que uma empresa opta por realizar um investimento de R$290.000,00 com receitas anuais de R$58.000,00
durante 7 anos, sem incidência e juros. 
IB
IA
np
np
np np
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a) Calcule o payback; 
b) Calcule o excedente líquido gerado.
Resposta Correta
Payback Descontado
No payback do �uxo de caixa descontado, o período de tempo necessário ao repagamento do investimento vai
depender da taxa de desconto considerada.
Fonte:
A diferençaentre o valor de mercado de um investimento e seu custo é denominada VPL (Valor Presente Líquido) do
investimento. O VPL representa quanto de valor foi adicionado, realizando-se determinado investimento.
Vejamos uma aplicação desse conceito.
Michele pretende abrir uma Softwarehouse para desenvolver e vender um novo software. Para isso, ela deve: 
• Inicialmente, estimar os �uxos de caixa futuros que se esperam do empreendimento. Em seguida, aplicar o
procedimento de �uxo de caixa descontado para se estimar o valor presente desses �uxos de caixa. 
• Após esse processo, será possível calcular o VPL como diferença entre o valor presente dos �uxos de caixa futuros e
o custo do investimento inicial. 
A princípio, estima-se que o recebimento gerado pelo empreendimento seria de R$20.000 por ano, os custos
envolvidos, incluindo imposto, serão de R$14.000 por ano. 
Encerrando-se o negócio após 8 anos, entende-se que a Softwarehouse, as instalações e os equipamentos valerão
R$2.000. O projeto inicial custa R$30.000, usando-se uma taxa de desconto de 15%.
ABRIR UMA SOFTWAREHOUSE SERIA UM BOM INVESTIMENTO?
Fluxos de Caixa projetados em R$Mil
Tempo
(anos)
0 1 2 3 4 5
Custo
inicial
R$30
Entradas R$20 R$20 R$20 R$20 R$20
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Saídas R$14 R$14 R$14 R$14 R$14
Entrada
líquida
R$6 R$6 R$6 R$6 R$6
Valor
residual
Fuxo
líquido
R$30 R$6 R$6 R$6 R$6 R$6
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Calcula-se o valor presente dos �uxos de caixa futuros a uma taxa de 15%. Temos uma
anuidade de: R$20.000 - R$14.000 = R$6.000 por oito anos, somando-se a isso o valor de
R$2.000 daqui a oito anos. Assim, o valor presente total é de: 
Onde: 
FC → �uxo de caixa em cada período 
i → taxa 
T0 = - 30.000 / (1,15) = -30000 
T1 = (20.000 - 14.000) / (1,15) = 6000 / 1,15 = 5.217 
T2 = (20.000 - 14.000) / (1,15) = 6000 / 1,3225 = 4.537 
T3 = (20.000 - 14.000) / (1,15) = 6000 / 1,5209 = 3.945 
T4 = (20.000 - 14.000) / (1,15) = 6000 / 1,7490 = 3.430 
T5 = (20.000 - 14.000) / (1,15) = 6000 / 2,0114 = 2.980 
T6 = (20.000 - 14.000) / (1,15) = 6000 / 2,3131 = 2.594 
T7 = (20.000 - 14.000) / (1,15) = 6000 / 2,6600 = 2.256 
T8 = (20.000 - $14.000 + 2.000) / (1,15) = 8000 / 3,0590 = 2.615 
Logo, teremos: 
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1
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VPL = -30000 + 5217 + 4537 + 3945 + 3430 + 2980 + 2594 + 2256 + 2615 
VPL = -30.000 + 27.574 
Valor Presente Líquido VPL = - R$2.426 
Conclusão: 
Obteve-se um VPL negativo, portanto esse não seria um bom investimento, pois UM
INVESTIMENTO DEVE SER ACEITO SE O VPL FOR POSITIVO, E REJEITADO, SE NEGATIVO. 
O Payback Descontado existe quando o VPL é zero. → O VPL é uma ferramenta bastante
usada pelas empresas.
Atividade 
1 - Calcule o VPL - Valor Presente Líquido na compra de um determinado equipamento para uma empresa, cujo valor de
aquisição é de R$10.000,00 e seu valor no �nal de um período de 5 anos é de R$7.000,00. Considere ainda as seguintes
informações: 
• Estimativa de recursos gerados por ano: R$8.000,00 
• Estimativa de Custos anuais totais: R$6.000,00 - Taxa de desconto: 12% a.a.
Fluxo de Caixa projetado em R$ Mil
Tempo
(anos)
0 1 2 3 4 5
Custo
inicial
R$10
Entradas R$8 R$8 R$8 R$8 R$8
Saídas R$(6) R$(6) R$(6) R$(6) R$(6)
Entrada
líquida
R$2 R$2 R$2 R$2 R$2
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Valor
residual
R$7
Fuxo
líquido
R$(10) R$2 R$2 R$2 R$2 R$2
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Resposta Correta
2 - Para um investimento de R$ 36 milhões, que gere resultados líquidos de R$12 milhões por ano, durante 4 anos, qual
será o payback?
5 anos.
3 anos.
4 anos.
2 anos.
6 anos.
Justi�cativa
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Glossário