Slides de aula - Unidade I (6)

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Profa. Ma. Marcia Vieira
UNIDADE I
Equações Diferenciais
Definição:
 Uma equação diferencial é uma equação que contém a derivada de uma
função desconhecida; 
 Aplicações: crescimento de uma cultura de bactérias, decaimento de substâncias radioativas, 
circuitos elétricos etc.
Equações diferenciais
Uma equação diferencial pode usar diferentes notações para as derivadas:
Notação
Classificação:
Ordinária ou parcial (d ou ∂):
Ordem (primeira, segunda etc.):
Homogêneas ou não homogêneas:
Equações diferenciais (EDs)
Classificar as seguintes equações diferenciais:
a) Equação diferencial ordinária de primeira ordem e não homogênea;
b) Equação diferencial parcial de segunda ordem e homogênea.
Equações diferenciais: exemplos
 Cálculo diferencial e integral.
 Derivadas (direta, regra do produto, regra do quociente, regra da cadeia, derivadas parciais).
 Integral (direta, integral por substituição, integração por partes).
Requisitos
Regras de derivação – Tabela das principais derivadas diretas:
Derivadas – Lembretes
Tabela das principais integrais imediatas – Primitivas:
Integrais – Lembretes
 Exemplo 1: mostre que y = x3 + 2 é solução da equação diferencial:
I. Derivando a função:
II. Substituindo na ED: 
 Logo, a função y = x3 + 2 é solução da ED.
Solução de uma equação diferencial – Exemplos:
 Exemplo 2: Mostre que y(x) = 4.e3x é solução da equação diferencial:
I. Derivando a função:
Lembrete: (eu)׳ = u׳ . eu
II. Substituindo na ED: 
 Logo, a função y(x) = 4.e3x é solução da equação diferencial.
Solução de uma equação diferencial – Exemplos:
Classificar a seguinte equação diferencial:
Interatividade
Classificar a seguinte equação diferencial: 
 A equação diferencial é ordinária de 2ª ordem e homogênea.
Resposta
Uma equação diferencial de variáveis separáveis pode ser escrita na forma a seguir:
Observação:
 Na expressão, g(x) é uma função que depende, apenas, de x e h(y) é uma função que 
depende, apenas, de y.
Equações diferenciais de variáveis separáveis
A ED a seguir é uma ED de variáveis separáveis:
A ED a seguir não é de variáveis separáveis:
Verificar se a ED é de variáveis separáveis
I. Escrever a ED na forma:
II. Realizar a integração nos dois lados da igualdade:
Resolução de ED de variáveis separáveis 
1. Resolva a ED de variáveis separáveis:
I. Isolar x e y:
II. Realizar a integração:
Resp.: y = x4 + k
Exemplos
2. Resolva a ED de variáveis separáveis:
I. Isolar x e y:
II. Realizar a integração:
Lembrete:
Resp.: y = C . ex
2
Exemplos
3. Resolva a ED de variáveis separáveis:
I. Isolar x e y:
II. Realizar a integração:
Lembrete:
Resp.: y = In(x + k)
Exemplos
Encontre a solução da equação diferencial:
Interatividade
Encontre a solução da equação diferencial: 
Separando as variáveis, teremos: dy = 3.x2 dx
Integrando ambos os lados da equação e resolvendo, temos:
Resposta
 Uma das aplicações de equações diferenciais em Física é a solução de problemas de 
Dinâmica. O movimento resultante da aplicação da força F sobre um corpo de massa m é 
dado pela Segunda Lei de Newton: F = ma.
Se escrevermos a velocidade v como a primeira derivada da aceleração, temos uma equação 
diferencial de primeira ordem:
Aplicações – Dinâmica de uma partícula
Exemplo: considere uma partícula de massa m = 1 kg deslocando-se sob influência de uma 
força dependente do tempo da forma F = 1 + 2t, com a força F em Newton e o tempo t em 
segundos. Escreva a equação diferencial que rege a velocidade da partícula. Resolva a 
equação diferencial sabendo que a velocidade inicial da partícula é nula:
Aplicações – Dinâmica de uma partícula
 Na expressão, k é uma constante a ser determinada pela condição inicial de que a partícula 
tem velocidade inicial nula, ou seja, v(t = 0) = 0. 
Substituindo essa condição na equação, ficamos com:
 Logo, a solução da equação diferencial é: v(t) = t + t2.
Aplicações – Dinâmica de uma partícula
O modelo mais simples de crescimento populacional de uma população P, em função do 
tempo t, assume que a taxa de variação da população é proporcional à população, ou seja:
 Na expressão, a depende do modelo adotado e é uma composição das taxas de natalidade, 
de mortalidade e de migração.
Aplicações – Populações
Exemplo: a taxa de variação de dada população P de bactérias é linear em função do tempo, 
em horas. Sabendo que a população inicial era de 1000 bactérias, determine a população para 
t = 2 horas:
 Resolução: nesse caso, a frase “a taxa de variação de dada população P de bactérias é 
linear em função do tempo” pode ser traduzida na expressão: .
Vamos separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação:
dP = tdt
 Logo,
Aplicações – Populações
Substituindo a condição inicial P(0) = 1000, determinamos a constante k:
 Logo, a população de bactérias em função do tempo é:
Na expressão, o tempo t é dado em horas. Para t = 2 horas, a população de bactérias é:
Resp.: 1002.
Aplicações – Populações
Dada população está crescendo a uma taxa igual ao dobro da população P. Qual é a equação 
diferencial que descreve o crescimento dessa população em função do tempo?
Interatividade
Dada população está crescendo a uma taxa igual ao dobro da população P. Qual é a equação 
diferencial que descreve o crescimento dessa população em função do tempo?
Resposta
Considerando a ED: 
 Onde P(x,y) e Q(x,y) são funções de x, y.
Essa ED é chamada de ED exata se:
Equações diferenciais exatas
1. Verifique se a seguinte ED é exata: (x + y) dx + x dy = 0.
Resolução:
Devemos verificar a seguinte condição:
Temos: P(x,y) = x + y e Q(x,y) = x
Calculando as derivadas parciais:
Logo, a ED é exata!
Exemplo
2. Verifique se a seguinte ED é exata: 3xy dx + (x3 + 1) dy = 0.
Resolução:
Devemos verificar a seguinte condição:
Temos: P(x,y) = 3xy e Q(x,y) = x3 + 1
Calculando as derivadas parciais:
Logo, a ED não é exata!
Exemplo
Teorema: considere a seguinte ED:
Se a ED for exata, então, existe uma função F(x,y), tal que:
 Onde: F = F(x,y).
A solução da ED exata é dada por:
Resolução de uma ED exata
Encontre a solução geral para a ED: (x + y)dx + xdy = 0
Se a ED é exata, então, existe uma função F(x,y), tal que:
Exemplo
Vamos integrar a função P(x,y) em relação à variável “x”:
 Onde g(y) é uma função arbitrária. 
Temos, também, que:
Exemplo
Para determinar g(y) devemos, então, derivar a função F(x,y) em relação à variável “y”:
Comparando, agora, g(y) com Q(x,y), temos que:
Portanto, a solução geral é:
Resp.:
Exemplo
Prezado(a) aluno(a):
 Convido você, agora, a participar de uma atividade no chat, sobre as equações
diferenciais exatas.
Lembre-se: uma equação diferencial é exata se: 
 Então, para cada uma das equações da atividade, obtenha as 
suas derivadas parciais e verifique se as equações diferenciais 
são, ou não, exatas.
Orientações para a atividade do chat
ATÉ A PRÓXIMA!