LivrodeCalculoDiferencialeIntegralI_CapitulosdeDerivadasedeDerivadasdefuncoescompostasealgumasaplicacoesdederivadas (1)

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2 
Derivadas 
 
Autor : Anderson Osvaldo Ribeiro 
Adaptado por Leandro Martins da Silva 
 
 
 
Introdução 
 
Em estudos anteriores, fizemos uma abordagem de conceitos de matemática 
fundamental e também sobre funções. Dando sequência à exploração das 
funções, estudamos a convergência ou a divergência das funções com o auxílio 
dos limites. 
 
Neste capítulo, estudaremos a derivação ou a diferenciação de funções e 
algumas aplicações do chamado cálculo diferencial. Elas são aplicadas em 
Física nas definições de diversos conceitos como velocidade, aceleração, 
corrente elétrica e momento linear, em que aparecem as taxas de variação, que 
são derivadas de funções em relação a uma determinada grandeza, e, em 
grande parte dos casos, a grandeza tempo. 
 
As derivadas, também, são amplamente utilizadas em economia, na otimização 
das funções de lucro, de receita e de custo, determinando os pontos de custo 
mínimo e/ou lucro máximo, em relação à quantidade produzida. Elas estão 
presentes, ainda, na modelagem de fenômenos como crescimento de bactérias 
em um meio de cultura ou ainda na velocidade de decomposição de uma 
determinada substância numa reação química. 
 
Abordaremos alguns conceitos gerais sobre derivadas e aprenderemos a 
determinar a expressão da derivada primeira de algumas funções. 
Posteriormente, em outros capítulos, faremos referência às aplicações das 
derivadas na resolução de problemas, simulando situações práticas que podem 
ser encontradas em sua futura atuação profissional. 
Bom estudo! 
 
 2
 
 
Objetivos 
 
Ao final dos estudos deste capítulo, esperamos que você seja capaz de: 
• determinar a expressão da derivada primeira de funções polinomiais; 
• interpretar geometricamente a derivada de uma função em um ponto; 
• determinar a equação de retas tangentes ao gráfico de uma função; 
• encontrar, para uma dada função, as derivadas de segunda ordem ou 
ordens superiores; 
• verificar as condições para que uma função seja derivável em um 
determinado ponto por meio de suas derivadas laterais; 
• identificar graficamente os pontos nos quais uma função não é derivável; 
• identificar aplicações da derivação de funções nas definições de conceitos 
físicos de velocidade e aceleração. 
 
 
Esquema 
 
2.1. A derivada de uma função 
2.2. A derivada em um ponto 
2.3. Derivadas laterais 
2.4. Derivadas de produto ou quociente de funções 
2.5. Retas tangentes e derivadas 
2.6. Derivadas sucessivas 
2.7. Derivadas de funções elementares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3
2.1 - A derivada de uma função 
 
A derivada de uma função ( )f x em relação à variável x é a função 'f definida 
por 
0
( ) ( )
'( ) lim
x
f x x f x
f x
x∆ →
+ ∆ −
=
∆
, ou de maneira análoga 
0
( ) ( )
'( ) lim
h
f x h f x
f x
h→
+ −
= , desde que o limite exista. 
 
A função 'f pode ser interpretada como uma função cujo valor em x é a 
inclinação da reta tangente ao gráfico )(xfy = , ou, alternativamente, como uma 
função cujo valor em x é a taxa instantânea da variação de y em relação a x . 
No decorrer deste capítulo, estudaremos ambas as interpretações e suas 
aplicações no cotidiano. 
 
Você sabia? 
O termo “derivada” é usado porque a função 'f deriva da função f por 
meio de um limite. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lembre-se das seguintes simbologias que representam a derivada 
primeira de uma função: 
 
• 'y : lê-se y linha, indicando a derivada primeira da função y ; 
 
• '( )f x : lê-se f linha; 
 
 
• )(xfDx : lê-se derivada de )(xf em relação a x; 
 
• yDx : lê-se derivada de y em relação a x; 
 
• 
dy
dx
: lê-se dydx ou derivada de y em relação a x; 
• [ ( )]
d
f x
dx
:lê-se derivada da função f em relação a x . 
 
 4
Em relação, ainda, à simbologia utilizada, Newton usava notações semelhantes 
a 'y e '( )f x e Leibniz notações do tipo 
d
dx
 que recebe o nome de operador 
de derivação. 
 
Vamos, agora, tomar alguns exemplos utilizando a definição. 
 
 Exemplo 1 
Considere a função 2( ) 3f x x= . 
Juntos, aplicaremos a definição da derivada 
0
( ) ( )
lim
x
f x x f x
x∆ →
+ ∆ −
∆
 e obteremos 
'( )f x . 
 
1º passo: Calcule ( )f x x+ ∆ 
Dica: 2( ) 3 ( )f x x x x+ ∆ = ⋅ + ∆ = ... 
 
2º passo: substitua ( )f x por 23x 
3º passo: substitua o resultado dos passos anteriores na definição. 
0
( ) ( )
'( ) lim
x
f x x f x
f x
x∆ →
+ ∆ −
= =
∆
 
 
Assim, obtemos que '( ) _______________f x = . 
 
Muito bem! Agora, acompanhe nossa resolução e compare os 
resultados. 
 
Pela definição, temos 
( )
2 2
0
3 3
( ) lim
x
'
x x x
f x
x∆ →
+ ∆ −
=
∆
. Esse limite não pode ser 
calculado de forma direta, uma vez que o numerador e o denominador da 
expressão convergem para zero. Devemos, então, proceder de forma 
semelhante àquela estudada no capítulo sobre limites, fatorando e simplificando 
a expressão antes de calcular o limite: 
 
 
 5
( ) ( )2 2 2 22 2 2 23 2 33 3 3 6 3 3x x x x xx x x x x x x x
x x x
+ ∆ + ∆ −+ ∆ − + ∆ + ∆ −
= =
∆ ∆ ∆
 
( )
( )
2 3 26 3
3 2 6 3
x x xx x x
x x ou x x
x x
∆ ⋅ + ∆∆ + ∆
= = ⋅ + ∆ + ∆
∆ ∆
 
 
Com a expressão fatorada, calcula-se o limite. Assim, temos: 
 
( )
0
'( ) lim 6 3 6
x
f x x x x
∆ →
= + ∆ = , ou seja a derivada de 2( ) 3f x x= é igual a 
'( ) 6f x x= 
 
Entendeu? Esperamos que sim! Agora, apresentaremos mais um 
exemplo de cálculo de derivadas utilizando a definição. 
 
Exemplo 2 
Considere a função 
3
( ) 4g x x
x
= − . 
Aplique a definição da derivada 
0
( ) ( )
lim
x
g x x g x
x∆ →
+ ∆ −
∆
 e obtenha '( )g x . 
1º passo: calculando ( )g x x+ ∆ = 
2º passo: sabemos que ( )g x = 
3º passo: substituindo o resultado dos passos anteriores na definição obtemos, 
0
( ) ( )
'( ) lim
x
g x x g x
g x
x∆ →
+ ∆ −
=
∆
 
 
Acompanhe, novamente, nossa resolução e compare os resultados. 
 
Pela definição, 
( )
( )
0
3 3
4 4
'( ) lim
x
x x x
x x x
g x
x∆ →
   
+ ∆ − − −   
+ ∆   
=
∆
. 
 
 
 
 
 6
Fatorando e simplificando a expressão: 
 
Agora, determinamos o limite da expressão simplificada anteriormente 
 
( )
2 2 2
2 2 2 20
4 4 3 4 3 4 3 3
'( ) lim '( ) 4
h
x xx x x
g x ou g x
x x x x x x x→
+ ∆ + +
= = = + = +
⋅ + ∆
. 
Assim, dizemos que a derivada primeira de 
3
( ) 4g x x
x
= − é igual a 
2
3
'( ) 4g x
x
= + . 
 
Como você pôde observar nos exemplos anteriores, utilizar a definição para o 
cálculo das derivadas é um processo trabalhoso. Mas fique tranquilo, porque a 
partir de agora, em nossos estudos, essa definição será utilizada em poucas 
oportunidades, pois nas aplicações do conceito de derivada, geralmente 
utilizamos tabelas com fórmulas gerais que permitem encontrar as derivadas das 
principais funções do cálculo diferencial. Mais adiante, apresentaremos uma 
dessas tabelas. 
 
 
Atenção! 
 
Apresentaremos uma regra geral para se encontrar as derivadas de 
polinômios e outras funções potência, que vão aparecer frequentemente 
nos conteúdos estudados. 
 
 
 
 
 
 7
 
 
Uma regra prática 
 
Para funções com expressão do tipo ( ) ny f x c x= = ⋅ , com ∈ ¡c e n∈¤ , a 
derivada primeira é dada por 1−= ⋅ ⋅ n
dy
c n x
dx
, ou seja, para encontrarmos a 
expressão da derivada, basta manter a constante que estava multiplicando a 
variável, “baixar” o expoente da variável, multiplicando-o pela constante e 
diminuir de uma unidade o expoente. 
 
Observe os exemplos seguintes: 
 
Exemplo 3 
 
Determine a derivada primeira das seguintes funções: 
a) 2( ) 3f x x= 
Utilizando a regra prática, tem-se: 2 1'( ) 3 2 '( ) 6f x x f x x−= ⋅ ⋅ → = 
b) 
45
8
=
x
y 
Utilizando a regra prática, tem-se: 
3
4 15 5' 4 '
8 2
−
= ⋅ ⋅ → =
x
y x y 
c) Utilize a regra prática, e obtenha a derivada primeira de 4=y x . 
Utilizando a regra prática tem-se: ' ______________________y = . 
 
 
Agora, compare o seu resultado com o nosso. 
 
 Utilizandoa regra prática, obtemos, 1 1 0' 4 1 ' 4 ' 4y x y x y−= ⋅ ⋅ → = → = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8
 
 Parada obrigatória 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
6
5
( )
3
g x
x
= . 
Reescrevendo a função temos 6
5
( )
3
g x x
−
= . Aplicando-se a regra geral, 
encontramos a derivada ( ) 6 1 7 7
5 10
6 10
3
dg dg dg
x x ou
dx dx dx x
− − − −
= ⋅ − ⋅ → = − = . 
Entendeu? Acreditamos que sim! Agora, faça o próximo. 
 
e) 
3
( )f x
x
−
= . 
 
1º Passo: reescreva a função ______________________________. 
 
2º Passo: derive a função _________________________________. 
 
Assim, obtemos '( ) _______________f x = . 
 
 
Agora, acompanhe nossa resolução. 
 
 
Temos que 1( ) 3f x x −= − ⋅ . Pela regra geral, ( ) 1 1'( ) 3 1f x x − −= − ⋅ − ⋅ resultando em 
2
2
3
'( ) 3 '( )f x x ou f x
x
−
= ⋅ = . Comparou os resultados? Você acertou? Temos 
certeza que sim. Vamos aos próximos exemplos: 
 
f) 
3 43
( )
2
z
f z = . 
Reescrevendo, temos 
4
33
( )
2
z
f z
⋅
= . Pela regra geral, 
4
1
3
3 4
'( )
2 3
f z z
−
= ⋅ ⋅ , 
resultando em 
1
33'( ) 2 '( ) 2f z z ou f z z= ⋅ = ⋅ . 
 
Nos itens seguintes, antes de aplicar a regra geral, é necessário 
reescrever a função, na forma = ⋅ ny c x . Para isso, vamos utilizar 
algumas propriedades da potenciação e da radiciação, que você já 
estudou em capítulos anteriores. Sugerimos que você retome, se 
necessário, esses conceitos antes de prosseguir a leitura. 
 
 9
 
g) 4 3( ) 7 2 5 9f x x x x= − + − 
 
 
 
 Atenção! 
 
 
Nessa função polinomial, deparamos com duas situações novas: a soma ou a 
subtração de diferentes termos e uma constante que aparece somada à função. 
Vamos, então, citar duas propriedades da derivação que serão demonstradas 
posteriormente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Assim, de acordo com tais propriedades, derivamos a função anterior e 
obtemos: 
4 1 3 1 0'( ) 7 4 2 3 5 1 0f x x x x− −= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − que pode ser reescrita como, 
3 2'( ) 28 6 5f x x x= − + 
 
Exemplo 4 
Para a função 
3 25
( ) 6 11
3 2
x x
f x x= − + − , determine os valores de x para os quais 
a derivada se anula. 
 
 
Para resolver este exercício siga os seguintes passos: 
 
1º passo: derivando ( )f x obtemos '( )f x = ____________________________ 
 
 
• A derivada de uma soma ou subtração de um número finito de funções é 
dada pela soma ou subtração das derivadas de cada uma das funções. 
 
 ( ) ( ) ' '( ) '( )y f x g x y f x g x= ±  = ± 
 
• A derivada de uma constante é nula. 
 
 ' 0y c y=  = 
 
 
 10
2º passo: a derivada se anula quando '( ) 0f x = . Substitua '( )f x no espaço a 
seguir, __________________________ 0= . Agora, resolva a equação. 
 
 
 
Acompanhe nossa resolução e compare os resultados. 
 
Aplicando-se a regra geral, obtemos: 2 5 6= − +
df
x x
dx
. A condição de derivada 
nula faz 2 5 6 0− + =x x , apresentando as soluções 1 2=x e 2 3=x . Assim, o 
conjunto solução para o problema é { }2,3=S . 
 
 
 
 
 
Atividade 1 
 
1.1 Determine a derivada primeira das seguintes funções: 
a) 4 10 3( )
12
6 8 6
5
= − + − +xf x x x 
b) 2( )
5
9 3
2
θ θ θ
θ
= + −g 
c) 2 3
4( )
6
3 4 10 5
−
= + − + −zh z z z
z
 
d) 2
3
5 8 6
13
3 7
−
= + − +
x
y x
x
 
 
1.2 Considere a função 
3 2
( )
5
13
6 2x
x x
f = − +
. Determine os valores de x para os 
quais se verifica a seguinte igualdade: ( )
4 0⋅ =x
'f
 
 
1.3 Fisicamente, é possível definir que a velocidade ( )tv de um corpo é dada pela 
taxa de variação da posição ( )ts desse corpo em relação ao tempo. 
Matematicamente, podemos escrever 
ds
v
dt
= . Considere uma partícula cuja 
posição s muda com o tempo de acordo com a função 2( )
48
3 5ts t
t
= + − , em 
que o tempo é medido em segundos e a posição em metros. Para esta 
partícula, determine: 
Agora é sua vez! Faça a atividade 1, a seguir. 
 
 
 11
 
a) o valor da velocidade, em m/s, no instante 4 segundos; 
b) o instante no qual a partícula está em repouso, ou seja, o valor do tempo 
quando a velocidade é nula. 
 
 
2.2 - A derivada em um ponto 
 
Ao realizar a atividade 1, no item “a” do exercício 1.3, você fez o cálculo do valor 
da função derivada em um ponto. Aliás, utilizando-se da regra prática para 
derivação de funções, esse cálculo é bastante simples, como mostraremos nos 
exemplos, a seguir: 
 
Exemplo 5 
Determine '(2)g para a função 2
4
( ) 5 8g x x
x
= + + . 
Resolução: 
Reescrevendo a função para encontrar a derivada, temos 1 2( ) 4 5 8g x x x−= ⋅ + + , 
e aplicando a regra geral: ( ) 2 1 2( ) ( )
4
' 4 1 5 2 0 ' 10x xg x x g x
x
− −
= ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ + → = + . 
Basta, agora, substituir 2x = na função derivada, fazendo 
2
4
'(2) 10 2 1 20 19
2
g
−
= + ⋅ = − + = . 
 
Exemplo 6 
Para a função ( ) 5 6f x x= + , encontre o valor numérico da derivada no ponto em 
que 3x = − . 
 
Resolução: 
De forma semelhante ao exemplo anterior, temos: '( ) 5f x = . Como a derivada é 
uma função constante, seu valor é sempre igual a 5, para qualquer x ∈ ¡ . 
 
 
 12
A definição de derivada apresentada anteriormente, 
0
( ) ( )
( ) lim
h
' f x h f xf x
h→
+ −
= ,resulta em uma função '( )f x que permite o 
cálculo da derivada em todos os pontos de seu domínio. Utilizando a definição 
para se calcular o valor da derivada em um ponto 0x x= seria possível escrever: 
 
 
 
 
 
Aproveitando o exemplo 6 da função ( ) 5 6f x x= + , mostraremos o cálculo do 
valor da derivada em um ponto por meio da definição anterior. Acompanhe! 
 
( ) ( )
0 0
5 3 6 5 3 6( 3 ) ( 3)
( 3) lim lim
h h
'
hf h f
f
h h→ →
⋅ − + + − ⋅ − + − + − −  
− = = 
 
0
15
( 3) lim
h
'f
→
−
− =
5 6h+ + 15+ 6−
0 0
5 5
lim lim 5
1h h
h
h h→ →
= = = 
 Assim, ( 3) 5'f − = . 
 
2.3 - Derivadas laterais 
 
Você lembra qual a condição para que exista o limite de uma função num 
determinado ponto? Não? Então, volte ao capítulo anterior e recorde! 
 
Você deve ter recordado que o valor do limite de uma função ( )f x , num ponto 
0x x= só existe se os limites laterais, à esquerda e à direita, de quando x 
converge para 0x ( 0x x→ ) existirem e forem iguais. Assim: 
Existe 
0
lim ( )
x x
f x L
→
= se 
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x f x L
− +
→ →
= = 
 
De maneira semelhante, uma função pode não ser derivável em um ponto, 
caso as derivadas laterais da função, nesse ponto em questão, sejam diferentes. 
 
0 0
0
0
( ) ( )
( ) lim
h
'
f x h f x
f x
h→
+ −
= . Caso esse limite exista, ele 
representa o valor da derivada da função ( )f x no ponto 0x x= . 
 
 13
 
 
Assim, existe 0( )
'f x , caso tenhamos _ 0 0( ) ( )
' 'f x f x
+
= , em que: 
 
0 0
_ 0
0
( ) ( )
( ) lim
h
'
f x h f x h
f x
h−→
+ − +
= derivada à esquerda do ponto 0x x= . 
 
0 0
0
0
( ) ( )
( ) lim
h
'
f x h f x
f x
h+
+
→
+ −
= derivada à direita do ponto 0x x= . 
 
Observe, atentamente, o exemplo, a seguir. 
 
 
Exemplo 7 
 
Responda se a função 
2
2 , 1
( )
5 6 , 1
x para x
f x
x x para x
≤
= 
− + >
 é derivável no ponto 1x = , 
justificando sua resposta. 
 
Resolução: 
Vamos determinar as derivadas à esquerda e à direita do ponto 1x = e verificar 
se essas derivadas são iguais. 
 
 Atente-se! 
Antes de encontrarmos as derivadas laterais, é importante observarmos que a 
função apresenta duas formas distintas ao redor, ou seja, à esquerda e à direita, 
do ponto 1x = . Assim: 
 
Derivando a função à esquerda do ponto 1x = , obtemos 
 
 14
( )
_
0 0
_
0 0 0
2 1 2 1(1 ) (1)
(1) lim lim
2 2 2 2 2
lim lim lim (1) 2
1
h h
h h h
'
'
hf h f
f
h h
h h
f
h h
− −
− − −
→ →
→ → →
⋅ + − ⋅+ −
= =
+ −
= = = =
 
 
Derivando a função à direita do ponto 1x = , obtemos 
( ) ( ) ( )
2 2
0 0
2 2
0 0 0
1 5 1 6 1 5 1 6(1 ) (1)
(1) lim lim
1 2 5 5 6 1 5 6 3
(1) lim lim lim
h h
h h h
'
'
h hf h f
f
h h
hh h h h h
f
h h
+ +
+ + +
+
→ →
+
→ → →
+ − ⋅ + + − − ⋅ ++ −
= =
+ + − − + − + − −
= = =
( )3h
h
⋅ −
0
(1) lim 3 3h
'f h
++
→
= − = −
 
Concluindo 
Veja que as derivadas laterais da função são diferentes, portanto a 
função não é derivável no ponto 1x = , conforme a definição. 
 
Aproveitaremos esse exemplo para destacar um aspecto importante. A 
continuidade de uma função, num determinado ponto, e o fato dessa função ser 
ou não derivável neste ponto são dois aspectos totalmente distintos. 
 
A seguir, mostraremos o gráfico da função do exemplo 7 (figura 1), que é contínua 
para todo em x ∈ ¡ . No entanto, não é derivável em 1x = . 
 
Figura 1: Gráfico do exemplo 7 
-1 1 2 3 4
-1
1
2
x
y
 
 15
 
Observe que o gráfico da função ( )y f x= apresenta um “bico” em 1x = que 
alguns autores denominam de ponto anguloso. Mais adiante, abordaremos 
esse assunto com mais detalhes. Mas, de um modo geral, os pontos nos quais 
uma função é descontínua, ou para funções contínuas, nos pontos em que o 
gráfico da função apresenta uma espécie de “bico”, a função não é derivável. 
 
Exemplo 8 
 
Agora, utilize a regra prática de derivação e resolva o exemplo 7. Compare com 
a resolução, a seguir: 
 
Derivando-se as diferentes expressões que a função apresenta à esquerda e à 
direita do ponto 1x = e fazendo: 
( ) 2 ( ) 2 1'f x x f x à esquerda de x= → = = , então _ (1) 2
'f = 
2( ) 5 6 ( ) 2 5 1'f x x x f x x à direita de x= − + → = − = , então (1) 2 1 5 3'f+ = ⋅ − = − 
Veja que as derivadas laterais são diferentes e dessa forma a função não é 
derivável no ponto 1x = . Acreditamos que você achou esta maneira mais fácil. 
Agora, para você aprofundar seus estudos, faremos algumas indicações. 
 
 
 
 
 
Atividade 2 
 
2.1 Utilizando-se da definição de derivada, determine a derivada primeira das 
seguintes funções: 
 
a) 3( ) 2xf x x= − 
b) ( ) 7
3
x
x
g = − 
c) ( ) 15xf = 
 
Agora é sua vez! Faça a atividade 2, a seguir. 
 
 
 16
2.2 Utilize a definição de derivada e as derivadas laterais para mostrar que a 
função ( ) 2 3 5xf x= ⋅ − + não é derivável no ponto 3x = . 
 
2.3 Faça um esboço do gráfico da função 
2( )
4 9 , 3
2 , 3
x
x para x
g
x x para x
− ≥
= 
− <
. Em seguida, 
calcule as derivadas laterais em 3x = e mostre que a função é derivável 
neste ponto. 
 
2.4 Seja a função 2( )
8 , 0
6 8 , 0 4
2 4 , 4
x
se x
h x x se x
x se x
− ≤

= − + − < ≤
− + >
. Verifique se ela é derivável nos 
seguintes pontos, justificando sua resposta: 
Em 0x = . 
Em 4x = . 
 
 
2.4 - Derivadas de produto ou quociente de funções 
 
Até este momento, você utilizou algumas propriedades da derivação, como a 
derivada de uma soma/subtração de funções e derivada de uma constante. Aliás, 
na atividade 2, no item c, você pode comprovar, por meio da definição, que a 
derivada de uma constante é nula. 
 
Estudaremos, agora, outras três propriedades da derivação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Derivada de um produto de funções 
 ( ) ( ) ' '( ) ( ) '( ) ( )y f x g x y f x g x g x f x= ⋅ → = ⋅ + ⋅ 
 
• Derivada de um quociente de funções 
 
[ ]
2
( ) '( ) ( ) '( ) ( )
'
( ) ( )
f x f x g x g x f x
y y
g x g x
⋅ − ⋅
= → = 
• Derivada de uma constante ( )c∈ ¡ vezes uma função: 
 ( ) ' '( )y c f x y c f x= ⋅ → = ⋅ 
 
 
 17
 
 
Exemplo 9 
 
Considere a função ( ) (2 3)h x x x= + ⋅ . Encontre '( )h x . 
 
Resolução: 
Temos um produto de funções. Assim, utilizando a propriedade, podemos dizer 
que 
'( ) (2 3) ' ( ) '(2 3) 2 1 (2 3) 2 2 3 4 3
'( ) 4 3
h x x x x x x x x x x
h x x
= + + + = ⋅ + ⋅ + = + + = +
= +
 
 
 Outra maneira de resolver este problema seria reescrever a função como 
2( ) 2 3h x x x= + , pois podemos utilizar a propriedade da distributiva. Agora, 
derivamos a função e obtemos '( ) 4 3h x x= + . 
 
 Importante! 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 10 
 
Considere a função 
3 1
( )
5 2
x
h x
x
+
=
−
. Encontre '( )h x . 
 
Resolução: 
 
Temos um quociente de funções. Assim, utilizando a propriedade podemos 
dizer que 
 
A maioria dos exemplos não é possível resolver dessa maneira. 
Assim, é extremamente importante reconhecer e saber aplicar a 
propriedade da derivada de um produto. 
 
 
 18
 
 
Exemplo 11 
 
Considere a função 
32
3
x
y = . Encontre sua derivada. 
 
Resolução: 
Observe que ao reescrever a função obtemos 3
2
3
y x= 
 
Aplicando a propriedade da derivada de uma constante vezes uma função 
encontramos ( )3
2 2
3 3
'' 'y x y= ⋅ → = 3⋅
2 2
2'x y x→ = . 
 
Pare e pense! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atividade 3 
 
3.1 Determine a derivada primeira das seguintes funções: 
a) 
3
( ) 4 10
2
x
x
f x
x
= + − 
b) ( )
6
2
( ) 5 3 11 4 3
2
g θ
θ
θ θ θ
 
= − ⋅ − + − 
 
 
c) ( )
2
3
3( )
6
4 3 5 13z
z z
h z z
z
−
= ⋅ − + − 
d) ( )( )
1 1
2 6p
p
f p
pp
+
= + − ⋅ 
 
 
 
Você percebeu que já utilizava a propriedade da derivada de uma constante 
vezes uma função, ainda que ela não tivesse sido apresentada de forma 
explícita? 
 
Agora é sua vez! Faça a atividade 3, a seguir. 
 
 
 19
3.2 Determine os valores de x, nos pontos onde a derivada da função 
2
( )
2
1
x
x
f
x
=
−
 
é nula. 
 
3.3 Seja a função 5( ) 4xh x= . Essa função pode ser vista como um produto de 
duas funções na forma ( ) ( ) ( )x x xh f g= ⋅ , em que 
3
( ) 4xf x= e 
2
( )xg x= . 
Determine a derivada 
dh
dx
 usando primeiramente a regra prática para 
derivação da função ( )xh . Em seguida, utilizando produto das duas funções, 
comprove a veracidade da regra do produto. 
 
 
2.5 - Retas tangentes e derivadas 
 
Antes de começarmos a relacionar retas tangentes e derivadas, faremos uma 
breve revisão sobre inclinação de uma reta e, ainda, sobre as diferentes formas 
de se encontrar a equação de uma reta. Ressaltamos que, no sistema cartesiano, 
uma função polinomial do primeiro grau do tipo y m x b= ⋅ + representa uma reta 
em que m ∈ ¡ e b ∈ ¡ . 
 
O termo m é chamado de coeficiente angular, declividade ou inclinação da reta. 
De acordo com o valor e o sinal desse termo, temos: 
 
0
0
0
m reta ascendente
m reta paralela ao eixo x
m reta descendente
> →
= →
< →
 
 
Para determinarmos a equação de uma reta, podemos prosseguir de diferentes 
maneiras, de acordo com as informações que se tem a respeito dessa reta: 
 
• Conhecendo-se dois pontos ( )0 0,x y e ( )1 1,x y que pertençam à reta 
1o modo: calcular o valor da inclinação da reta, fazendo 1 0
1 0
y yy
m
x x x
−∆
= =
∆ −
. 
 
 20
Em seguida, determinar a equação da reta por meio da expressão 
( )0 0y y m x x− = ⋅ − , em que ( )0 0,x y são as coordenadas de um ponto 
qualquer que pertença à reta. 
 
2o modo: substituir as coordenadas conhecidas na equação geral da reta 
y m x b= ⋅ + . Em seguida, com as duas equações obtidas, determinar os 
valores dos coeficientes m e b . 
 
Exemplo 10 
 
Determine a equação da reta que passa pelos pontos ( )1,3 e ( )4,15 . 
 
Resolução: 
Conforme vimos, temos dois modos de determinar a reta solicitada: 
1o modo: 
 Vamos calcular a inclinação da reta: 
1 0
1 0
15 3
4
4 1
y yy
m
x x x
−∆ −
= = = =
∆ − −
 
 Substituindo na equação: 
( ) ( )0 0 3 4 1
4 1
y y m x x y x
y x
− = ⋅ − → − = ⋅ −
= −
 
2o modo: 
Substituindo as coordenadas dos pontos na equação geral da reta, temos: 
 ( )1,3 3 1m b→ = ⋅ + (equação 1) 
 ( )4,15 15 4m b→ = ⋅ + (equação 2) 
Isolando uma das variáveis na equação 1, temos 3m b= − . Substituindo 
na segunda equação: 
 
( )15 4 3 15 12 4
3 3
1
b b b b
b
b
= ⋅ − + → = − +
= −
= −
 
3
3 ( 1)
4
b m
m
m
− =
− − =
=
 
Assim, a equação da reta é 4 1y x= − . 
 
 21
 
• Conhecendo-se a inclinação e um ponto que pertença à reta 
 
Basta substituir os valores da inclinação e as coordenadas do ponto, 
diretamente na equação ( )0 0y y m x x− = ⋅ − . 
 
Exemplo 11 
Determine a equação da reta que passa pelo ponto ( )2,5− com inclinação – 3. 
 
Resolução: 
Como são conhecidos a inclinação e um ponto da reta, temos: 
()
( )
0 0
5 3 2
3 1
y y m x x
y x
y x
− = ⋅ −
− = − ⋅ − −  
= − −
 
 
Essa forma de se encontrar a equação de uma reta, quando se conhecem a 
inclinação e um ponto por onde essa reta passa, é muito importante para a 
determinação das retas tangentes ao gráfico das funções. Você verá exemplos 
de aplicação da derivada da função para se encontrar a inclinação de uma reta 
tangente. Dessa forma, serão conhecidos o ponto de tangência e a inclinação 
da reta, permitindo determinar sua equação. 
 
Exemplo 12 
 
Encontre a inclinação da reta tangente à curva 2)( xxf = no ponto (2;4). 
 
Resolução: 
 
Recomendamos que você recorde o conceito de derivada e suas 
possíveis interpretações trabalhados no início do capítulo. 
 
 
 22
Veja que 'f pode ser interpretada como uma função cujo valor em x é a 
inclinação da reta tangente ao gráfico )(xfy = , certo? Então, utilizando a 
definição da derivada temos que 
h
xfhxf
xf
h
)()(
lim)('
0
−+
=
→
. Assim, 
2 2 2 2 2
0 0
2
0 0 0
( ) ( ) 2
'( ) lim lim
2 (2 )
lim lim lim(2 ) 2
h h
h h h
x h x x xh h x
f x
h h
xh h h x h
x h x
h h
→ →
→ → →
+ − + + −
= =
+ +
= = + =
 
 
Como queremos encontrar a inclinação da reta tangente a curva no ponto (2;4), 
faremos uma substituição para x=2. Veja: 
'( ) 2 '(2) 2 2 4
tg
f x x f m=  = ⋅ = = que é a inclinação da reta tangente à curva no 
ponto (2;4). 
 
Dica! 
Caso o exercício não peça para utilizar a definição da derivada, basta você 
aplicar a regra prática 2( ) '( ) 2f x x f x x=  = ; em seguida, substituímos o 
valor para 2x = na derivada da função e obtemos '(2) 2 2 4
tg
f m= ⋅ = = , 
que é a inclinação da reta tangente à curva no ponto (2;4). 
 
 
Atenção! 
 
Abordaremos, agora, um tópico muito importante – o significado geométrico da 
derivada de uma função em um ponto. O entendimento dessa interpretação 
geométrica facilitará muito o aprendizado de conceitos como 
crescimento/decrescimento de funções, máximos e mínimos relativos e 
absolutos, taxas de variação de funções, entre outros. 
 
Para conceituarmos reta tangente ao gráfico de uma função, observe a figura 2, 
a seguir, que representa uma curva qualquer ( )y f x= e dois pontos A e B 
pertencentes a ela. 
 
 
 23
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A reta r , que passa pelos pontos A e B, é secante ao gráfico da função. A 
inclinação dessa reta é dada por: 
B A
r
B A
y yy
m
x x x
−∆
= =
∆ −
. Conhecendo essa 
inclinação e as coordenadas de um ponto por onde passa a reta, por exemplo, 
os pontos A ou o ponto B, fica mais fácil determinar a equação da reta, de modo 
semelhante aos exemplos apresentados anteriormente. 
 
Suponha que o ponto A, da figura anterior, permanecesse fixo, enquanto o ponto 
B se deslocasse sobre a curva, aproximando-se de A. Teríamos, então, infinitos 
pontos B1 sobre a curva e outras infinitas retas 1r , secantes ao gráfico da função, 
passando pelos pontos A e B1. Note que as equações das retas r e 1r são 
diferentes, pois apesar de apresentarem o ponto A em comum, elas têm 
inclinações (ou taxas de crescimento) distintas. 
 
Considerando-se uma situação limite, em que o ponto B1 estivesse bem próximo 
ao ponto A, ou seja, quando 0x∆ → , a reta secante, que passa pelos pontos A 
 
A 
 
 
 
B 
 
 
 
 
Figura 2: Reta r secante ao gráfico de y 
 
 24
e B1, tenderia a uma reta t , tangente à curva no ponto A. Veja no gráfico (figura 
3), a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para determinarmos a inclinação da reta tangente t, vamos usar a definição da 
inclinação de uma reta qualquer que passe pelos pontos A e B1 e, em seguida, 
utilizar conceitos de limite para considerar que os pontos A e B1 estão se 
aproximando. Assim: 
Para uma reta qualquer: 
1
1
1
A
r
A
y y
m
x x
−
=
−
 
Para a reta tangente: 
1
1 1
0
1
lim lim
A
A A
t t
x x x
A
y y y y
m ou m
x x x→ ∆ →
− −
= =
− ∆
 
Como os pontos A e B1 pertencem à função ( )y f x= , podemos, então, 
reescrever a expressão da inclinação da reta tangente em uma notação que já 
utilizamos anteriormente, neste capítulo, e que vai ajudar na compreensão da 
relação entre derivadas e retas tangentes. 
 
 
 
 
A 
 
 
 
B1 
 
 
 
 
 
B 
 
Figura 3: Reta t tangenciando o gráfico de y 
 
 
 25
Temos: 
1
1 1
A
A A
x x x
x x x ou x x h
∆ = −
= + ∆ = +
 e 
1 1( ) ( )
( )
A
A A
y f x f x h
y f x
= = +
=
 
 
Assim, o coeficiente angular da reta tangente pode ser escrito como: 
1
0 0
( ) ( )
lim lim
A A A
t
h h
y y f x h f x
m
h h→ →
− + −
= = 
 
Essa nova forma de escrever o coeficiente angular da reta tangente é a definição 
da derivada da função ( )f x no ponto Ax x= . Essa é a interpretação geométrica 
da derivada de uma função num ponto. Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Atenção! 
 
Esse conceito é muito importante para estudos posteriores; por isso, tenha muita 
atenção, enquanto vamos aplicar essa definição para determinar equações de 
retas tangentes. Observe os exemplos, a seguir: 
 
Exemplo 13 
Determine as equações das retas que são tangentes ao gráfico da função 
2( )f x x= nos pontos em que 1x = e 2x = − . 
 
 
 
 
Quando se determina o valor da derivada de uma função em um ponto, 
esse valor indica o coeficiente angular da reta que é tangente à função 
naquele ponto, ou seja, para uma função ( )f x a reta t, tangente ao 
gráfico da função no ponto Ax x= tem inclinação ( )At x
'm f= . 
 
 26
Resolução: 
Com os valores de x dados, determinamos os pontos de tangência: 
 ( )2(1) 1 1 1,1f ponto= = → 
 ( ) ( )
2
( 2) 2 4 2 , 4f ponto− = − = → − 
 
Para determinarmos as inclinações das tangentes, vamos utilizar a definição 
anterior e chamar de reta t1 a tangente que passa no ponto ( )1,1 , e reta t2 a 
tangente que passa no ponto ( )2,4− . Assim, fazemos: 
 
Tangente t1: 
 
( )
( )
1
1
2 2 2
0 0 0
0 0
( ) ( ) 1 1 1 2 1
lim lim lim
2
lim lim 2 2
A A
t
h h h
t
h h
f x h f x h h h
m
h h h
h h
m h
h
→ → →
→ →
+ − + − + + −
= = =
⋅ +
= = + =
 
 
Tangente t2: 
( ) ( )
( )
2
2
2 2 2
0 0 0
0 0
( ) ( ) 2 2 4 4 4
lim lim lim
4
lim lim 4 4
A A
t
h h h
t
h h
f x h f x h h h
m
h h h
h h
m h
h
→ → →
→ →
+ − − + − − − + −
= = =
⋅ −
= = − = −
 
 
Semelhantemente ao que já foi feito em exemplos anteriores, conhecendo as 
inclinações das tangentes e um ponto pertencente a cada uma delas, 
substituímos na expressão ( )0 0y y m x x− = ⋅ − e encontramos as seguintes 
equações: 
 
Tangente t1: 2 2y x= + Tangente t2: 4 4y x= − − 
 
 
 
 
 
 
 27
 
 
Vale destacarmos alguns aspectos interessantes e que podem facilitar a 
resolução de problemas como esse. Veja-os! 
 
• Quando se conhece o comportamento gráfico da função, é possível se ter 
uma noção se as retas tangentes são ascendentes ou descendentes. No 
exemplo anterior, a função 2( )f x x= é uma parábola, com vértice na origem 
e concavidade voltada para cima. Observe o gráfico (figura 4), a seguir, no 
qual estão representadas as tangentes e a função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4: Gráfico do exemplo 13 
 
 28
 
Em todos os pontos da parábola à direita da origem, as tangentes são 
ascendentes, ou seja, têm inclinação com sinal positivo. De maneira análoga, 
para os pontos à esquerda da origem, as tangentes têm declividade com sinal 
negativo. 
 
• Como a inclinação das retas tangentes pode ser determinada pelo valor 
da derivada da função no ponto, temos ( ) 2'm f x x= = e podemos 
determinar as inclinações 
1
(1) 2t
'm f= = e 
2
( 2) 4t
'm f= − = − . 
• Para uma dada função, analisando-se a variação do sinal da derivada 
primeira, é possível estimar os intervalos nos quais as tangentes ao gráfico 
da função são ascendentes e em quais intervalos as tangentes são 
descendentes. Por exemplo, para a função 
3
22
( ) 5 9
3
x
g x x= − + , temos a 
derivada 2( ) 2 10'g x x x=− . Estudando o sinal da função derivada, temos: 
 2( ) 0 2 10 0'g x x x=  − = se 0 5x ou x= = 
 
2
( ) 0 2 10 0x
'g x x<  − < se 0 5x< < 
 
2
( ) 0 2 10 0x
'g x x>  − > se 0 5x ou x< > 
Dessa forma, ainda que não se conheça o gráfico da função ( )g x , podemos 
dizer que as retas tangentes ao gráfico dessa função são: horizontais, quando 
0 5x ou x= = ; ascendentes, no intervalo 0 5x ou x< > ; e descendentes para 
0 5x< < . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 29
 
 
 
Atividade 4 
4.1 Seja a função 
3
( )
2
x
x
f = . Determine a equação da reta que é tangente ao 
gráfico dessa função no ponto onde 2x = . 
 
4.2 Utilize-se de conceitos de derivação para mostrar que na parábola de 
equação 2 10 3y x x= − + , a reta tangente ao gráfico no vértice da função é 
paralela ao eixo x. 
4.3 Seja a função 
3 2
( )
5
14 3
3 2
x
x x
f x= − − + . Pela análise do sinal da derivada 
primeira, determine em qual intervalo de valores as tangentes ao gráfico da 
função são ascendentes e em quais intervalos são descendentes. 
 
 
2.6 - Derivadas sucessivas 
 
Para uma dada função ( )y f x= , denominamos de derivada primeira (ou 
derivada de primeira ordem) a função ( )' '
dy
y f x
dx
= = . Essa derivada primeira 
pode ser também uma função derivável. À função que se encontra ao derivarmos 
a expressão da derivada primeira, chamamos de derivada segunda (ou derivada 
de segunda ordem). 
 
Para simbolizarmos a derivada segunda da função ( )y f x= , podemos ter: 
 ''y : lê-se y duas linhas 
 ( )' 'f x : lê-se f duas linhas 
 
2
2
d dy d y
dx dx dx
 
= 
 
: lê-se d2y dx quadrado. 
Agora é sua vez! Faça a atividade 4, a seguir. 
 
 
 30
Nesta última notação, quando escrevemos 
d dy
dx dx
 
 
 
, indica-se a derivada em 
relação a x, da função 
dy
dx
, ou seja, a derivada da derivada primeira, que resulta 
na derivada segunda. 
 
Se a função derivada segunda for derivável, podemos ainda encontrar a derivada 
de terceira ordem '''y . 
 
Esse processo de derivação pode continuar enquanto as funções sejam 
deriváveis e, dessa forma, podemos encontrar a derivada enésima ( )
n
n
n
d y
y
dx
= 
da função ( )y f x= . 
 
 
Como saberei quando parar a derivação da função? 
 
Nos enunciados dos exercícios, você encontrará explicitamente qual é a ordem 
da derivada que se deseja obter. De um modo geral, são importantes para nossos 
estudos, na maioria das vezes, as derivadas de primeira e segunda ordem, na 
análise das variações de funções, construção de gráficos e em algumas 
definições em Economia e Física. 
Observe os exemplos seguintes: 
 
Exemplo 14 
Encontre a derivada de terceira ordem da função 5 22 3 5 17y x x x= − + − 
Resolução: 
Encontrando a derivada primeira: 410 6 5
dy
x x
dx
= − + 
Derivando-se a expressão da derivada primeira, temos: 
3
( ) 40 6x
'' d dyy x
dx dx
 
= = − 
 
. 
Finalmente, encontramos a derivada de terceira ordem: 
3
2
3
102
d y
x
dx
= . 
 
 31
 
Exemplo 15 
Encontre a derivada segunda da função 
2
( )
3 5
x
f x
x
=
−
. 
Resolução: 
Primeiramente, encontramos a derivada primeira da função: 
 
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2 2
2 2
(2 ) ' 3 5 (3 5) ' 2 2 3 5 3 2
( )
3 5 3 5
6 10 6 10
( )
3 5 3 5
'
'
x x x x x x
f x
x x
x x
f x
x x
⋅ − − − ⋅ ⋅ − − ⋅
= =
− −
− −
= =
− −
 
 
Agora, fazemos a derivação da derivada primeira. Assim: 
 
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
2
2 2( )
(10) ' 9 30 25 9 30 25 ' 10
( )
3 5
0 9 30 25 18 30 10 300 18
3 5 3 5
x
''
''
x x x x
f x
x
x x x x
f
x x
⋅ − + − − + ⋅
=
−
⋅ − + − − ⋅ −
= =
− −
 
 
 
 
 
Recapitulando... 
 
Caro(a) aluno(a), até este momento vimos algumas propriedades gerais sobre a 
derivação como: soma/subtração de funções, derivada de um produto ou 
quociente de funções, derivada de uma constante, produto de constante por uma 
função. Essas propriedades se aplicam a toda e qualquer derivação de funções. 
Devido à sua importância e para iniciarmos a construção de nossa tabela de 
derivadas, vamos reuni-las aqui para relembrar esses conceitos. 
 
 
 
 
 
 
 32
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Você percebeu que apenas a nomenclatura foi alterada? 
 
Se compararmos veremos que ( )u f x= e ( )v g x= . Essa observação é 
importante, pois você encontrará livros com nomenclaturas semelhantes. 
 
2.7 - Derivadas de funções elementares 
 
A seguir, vamos apresentar as derivadas de algumas funções trigonométricas, 
da função exponencial e da função logarítmica. Chamamos de elementares as 
funções seno e cosseno, exponenciais e logarítmicas, pois são as mais utilizadas 
em aplicações práticas. 
 
Vale salientar que todas essas derivadas foram encontradas a partir da definição 
da função derivada, 
0
( ) ( )
( ) lim
h
' f x h f xf x
h→
+ −
= . As demonstrações dessas 
derivadas não serão apresentadas neste capítulo. Porém, no livro de apoio, você 
poderá ver como elas foram encontradas. 
 
 
 
 
Considere que u e v sejam funções deriváveis de variável x e, ainda, que n∈ ¡ e 
c ∈ ¡ . 
 Derivada de uma constante: 0'y c y= → = 
 Derivada de uma soma/subtração: ' ' 'y u v y u v= ± → = ± 
 Derivada de um produto: ' ' 'y u v y u v v u= ⋅ → = ⋅ + ⋅ 
 Derivada de um quociente: 2
' '
'u u v v uy y
v v
⋅ − ⋅
= → = 
 Derivada do produto de constante por função: ' 'y c u y c u= ⋅ → = ⋅ 
 Regra geral para derivação: 1n n'y c x y c n x −= ⋅ → = ⋅ ⋅ 
 
 33
 Assim, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fique atento! 
As derivadas das funções exponencial e logarítmica possuem um caso 
particular, quando suas respectivas bases são o número de Euller 
( )2,718e ≅ . 
 
Vejamos os casos particulares, a seguir. 
 
A derivada da função exponencial cuja base é o número de Euller é: 
 ln 1
x x x x x' 'y e y e e e e y e= → = ⋅ = ⋅ = → = . 
 
Já a derivada da função logarítmica cuja base é o número de Euller é: 
 
1 1 1 1
log ln ln 1
e
' 'y x x y e y
x x x x
= = → = ⋅ = ⋅ = → = . 
 
Assim, podemos montar uma tabela com casos particulares. Observe: 
 
 
 
 
As demonstrações das derivadas que foram apresentadas não são feitas tão 
facilmente, quando comparadas à demonstração da regra geral para derivação 
de um polinômio. Para demonstrar essas fórmulas são utilizados conceitos de 
limites de funções, que talvez você precise relembrar. 
Derivada da função seno: ( ) ( )sen cosx x'y y=  = 
Derivada da função cosseno: ( ) ( )cos senx x'y y=  = − 
Derivada da função exponencial: ( 0 1) lnx x'y a a e a y a a= > ≠  = ⋅ . 
Derivada da função logarítmica: 
1
log ( 0 1) log
a a
'y x a e a y e
x
= > ≠  = ⋅ 
Derivada da função exponencial:
x x'y e y e=  = 
Derivada da função logarítmica: 
1
ln 'y x y
x
=  = 
 
 34
Nas leituras indicadas estão os conceitos de limites que foram usados e as 
seções onde eles se encontram. A seguir, você tem alguns exemplos que 
envolvem essas novas derivadas: 
 
Exemplo 16 
 
Determine a derivada primeira das seguintes funções: 
a) 3 2( ) 4 13 log
x
f x x e x= − + 
Aplicando as propriedades que vimos até agora, obtemos 
 2 2
1
( ) 12 13 log
x'f x x e e
x
= − + 
b) ( )
3
( ) 5sen
3
x
x
e
f x x= + − 
Aplicando as propriedades que vimos até agora, obtemos 
 ( )
2( ) 5 cos 3
3
x
x'
e
f x x= ⋅ + − 
 
Observe que no processo de derivação dessas funções estão presentes as 
propriedades da soma/subtração e do produto de uma constante por uma função. 
Por exemplo, na derivada dos termos ( )5 sen x⋅ e 
1
3
x
e , utiliza-se a ideia de 
constante vezes função ( )c u⋅ , mantendo-se a constante e fazendo-se a 
derivada da função ( 'c u⋅ ), temos: 
( )
( )[ ] ( )
5 sen 5
: 5
5 sen 5cos
x
x x
'
'
u
derivando u
⋅ = ⋅
⋅
⋅ =
 
1 1
3 3
1
:
3
1 1
3 3
x
x x
'
'
e u
derivando u
e e
= ⋅
⋅
 ⋅ = 
 
c) ( )4 3cos 13x xy = − + 
 
 
 
 35
 
Agora, é com você! 
1º passo: encontre ( )4 'x = ___________________2º passo: encontre ( )[ ]cos 'x =
_________________
 
3º passo: encontre ( )13 ' =
____________________
 
 
Uma vez que você encontrou a derivada de cada termo, substitua-as nos 
respectivos espaços, a seguir: 
 ' _______ 3 ______ _____y = − ⋅ + . Assim, podemos dizer que 'y = 
 
Muito bem! Agora, compare com nossos resultados. 
( )[ ]
( )
4 ln 4 3 sen 0
4 ln 4 3
x
x
x
x
'y
'y sen
= ⋅ − ⋅ − +
= ⋅ +
 
 
Fique atento(a) aos próximos itens porque neles aparecem as 
propriedades do produto ou quociente de funções. 
 
d) 
2sen 1
( )h
e
θ
θ
θ
+
= 
Aplicando a derivada do produto, obtemos, 
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2
2sen 1 ' ( ) ' 2sen 1 2cos 0 2sen 1
( )
2cos 2sen 1
( )
'
'
e e e e
h
e e
e e
h
e
θ θ θ θ
θ θ
θ θ
θ
θ θ θ θ
θ
θ θ
θ
+ ⋅ − ⋅ + + ⋅ − ⋅ +
= =
⋅ − ⋅ +
=
 
Fatorando a equação anterior, obtemos 
( )
( )
2
2cos 2sen 1 2cos 2sen 1
( ) ( )' '
e
h h
ee
θ
θθ
θ θ θ θ
θ θ
⋅ + + + +
=  = 
 
 
 
 36
 
e) ( ) ( )( ) sen cosp ph p ⋅= 
Aplicando a derivada de um produto, obtemos 
 
( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]
2 22 2
( ) ' cos cos ' sen
( ) cos cos sen sen
( ) cos sen ( ) cos sen
p p p p
p p p p
p p p p
'
'
' '
h p sen
h p
h p ou h p
⋅ ⋅
⋅ ⋅
= +
= + −
= − = −
 
 
 
 
 
Atividade 5 
 
5.1 Para cada uma das funções, a seguir, determine a derivada da ordem que se 
pede: 
a) ( )( ) 2 senx xf x= ⋅ , derivada segunda. 
b) 
3
2
( ) 15 3 7
4
x
x
h x x= − + − , derivada de terceira ordem. 
c) 
2
( )
2
3 5
x
x
h
x
=
−
, derivada de segunda ordem. 
 
5.2 Determine a derivada primeira das seguintes funções: 
a) 
( ) 2
( )
2cos
4 3log
3
x
x
f x x
−
= + − 
b) ( )( ) sen 2
3
x
x x
e
h x
x
= + ⋅ − 
c) ( )( )
5
9 7 cosh
α
α αα
α
= − ⋅ − 
 
 
 
 
 
Agora, é sua vez! Faça a atividade 5, a seguir. 
 
 
 37
5.3 Seja a função ( )
x
xf e x= − . Determine as coordenadas do ponto onde a reta 
tangente ao gráfico da função é horizontal. 
 
Esperamos que, ao final dos estudos propostos neste capítulo, você tenha 
compreendido os conteúdos aqui propostos. A seguir, indicamos os textos que 
podem proporcionar a você um aprofundamento desses conteúdos. 
 
Agora gostaríamos que você avaliasse seu conhecimento matemático em 
relação ao assunto apresentado neste capítulo, e para isso, verifique se você 
está apto para: 
• determinar a expressão da derivada primeira de funções polinomiais; 
• interpretar geometricamente a derivada de uma função em um ponto; 
• verificar as condições para que uma função seja derivável em um 
determinado ponto por meio de suas derivadas laterais; 
• identificar graficamente os pontos nos quais uma função não é derivável; 
• determinar a equação de retas tangentes ao gráfico de uma função; 
• encontrar, para uma dada função, as derivadas de segunda ordem ou 
ordens superiores; 
• utilizar as propriedades de derivação. 
 
Caso ainda se sinta inseguro em relação ao conteúdo visto até aqui, retome as 
páginas anteriores e reveja o conceito estudado em cada item, principalmente 
os que você teve mais dificuldade. Faça anotações, organize um modelo de 
revisão, refaça os exemplos e sempre que possível faça novos exercícios, e não 
desanime diante dos possíveis erros e dificuldades, pois é fazendo exercício que 
fica evidente quais os conteúdos que precisam ser revistos e o quanto você 
ampliou o seu conhecimento. 
 
 
 
 
 
 
 38
Resumo 
Neste capítulo vimos que: 
• a derivada de uma função ( )f x em relação à variável x é a função 'f 
definida por 
0
( ) ( )
'( ) lim
x
f x x f x
f x
x∆ →
+ ∆ −
=
∆
 ou de maneira análoga 
0
( ) ( )
'( ) lim
h
f x h f x
f x
h→
+ −
= , desde que o limite exista; 
• a função 'f pode ser interpretada ou como uma função cujo valor em x 
é a inclinação da reta tangente ao gráfico )(xfy = , ou, alternativamente, 
como uma função cujo valor em x é a taxa instantânea da variação de y 
em relação a x . 
• uma função pode não ser derivável em um ponto, caso as derivadas 
laterais da função, nesse ponto em questão, sejam diferentes; 
• o processo de derivação pode continuar enquanto as funções sejam 
deriváveis e, dessa forma, é possivel encontrar a derivada enésima 
( )
n
n
n
d y
y
dx
= da função ( )y f x= . 
• é necessário para calcular a derivada de uma função, o uso de 
propriedades operatórias como a: 
 derivada de uma soma/subtração: ' ' 'y u v y u v= ± → = ± 
 derivada de um produto: ' ' 'y u v y u v v u= ⋅ → = ⋅ + ⋅ 
 derivada de um quociente: 2
' '
'u u v v uy y
v v
⋅ − ⋅
= → = 
• é preciso reconhecer algumas funções elementares, e suas respectivas 
derivadas. 
 
Muito bem! Acreditamos que você está preparado para seguir em seus estudos. 
Temos certeza que o conceito de derivada será de extrema importância nas 
aplicações práticas que você encontrará adiante! Agora você estudará como 
derivar funções compostas e outras funções trigonométricas. Convidamos você 
a ir ao capítulo 3. Esperamos você lá! 
 
 
 39
Referências 
 
ANTON, H. Cálculo: um novo horizonte. 6. ed. São Paulo: Bookman, 2000. v.1. 
DANTE, L.R. Matemática: contexto & aplicações. Vol. 3. Ed. Ática: São Paulo, 
2002. 
IEZZI, G., MURAKAMI, C., MACHADO, N.J. Fundamentos da Matemática 
Elementar – limites, derivadas e noções de integral. Atual: São Paulo, 2002. 
v.8. 
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Limite e Continuidade. In: ______. 
Cálculo A: funções limite derivação integração. 6. ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2006. cap. 3. 
LEITHOLD, Louis. Cálculo com Geometria Analítica. 3. ed. São Paulo: 
Harbra, v. 1, 1994. 
STEWART, J., Limites e Derivadas. In: ______. Cálculo. 5. ed. São Paulo: 
Pioneira Thomson Learning, 2006. v. 1. 
WEIR, Maurice D.; HASS, Joel; GIORDANO, Frank R. Cálculo (George b. 
Thomas) .11 ed. Tradução Thelma Guimarães e Leila Maria Vasconcellos 
Figueiredo; revisão técnica Cláudio Hirofume Asano. São Paulo, Addison 
Wesley, 2009. v.1. 
 
 
 40
 
3 
Derivadas de funções compostas e algumas 
aplicações de derivadas 
 
Autor: Anderson Osvaldo Ribeiro 
Adaptado por: Leandro Martins da Silva 
 
Introdução 
 
 
No capítulo 2, realizamos uma introdução aos conceitos de derivação aplicados 
a quaisquer funções. Também iniciamos a construção de uma tabela de 
derivadas para as principais funções elementares. Neste capítulo, 
introduziremos um conceito importante ao nosso estudo, a derivada de uma 
função composta, também chamada de regra da cadeia. 
 
Utilizando-se da regra da cadeia, vamos rever as derivadas apresentadas 
anteriormente na tabela para reescrevê-las de uma forma mais geral, 
considerando a possibilidade destas funções serem resultado da composição de 
outras duas. 
 
Você estudará, também, uma aplicação bastante interessante da derivação de 
funções, a chamada regra de L’Hospital. Esta regra facilita muito o cálculo dos 
limites nas formas indeterminadas do tipo 
0
0
 ou 
±∞
±∞
. Estudaremos esta 
aplicação da derivação de funções, além daquela já vista no capítulo 2, sobre 
retas tangentes. 
 
Antes de realizar as aplicações das derivadas, independentemente do tipo de 
aplicação, é necessário que conheça e saiba aplicar o processo de derivação 
das funções sejam elas compostas ou não, ou ainda, resultado do produto ou 
divisão de outras funções. Assim, neste capítulo, propomos a realização de uma 
série de atividades que, além de abordar os novos conceitos apresentados, 
sempre irão fazer referência às propriedades da soma/subtração, produto e/ou 
 
 41
divisão de funções que foram trabalhadas no capítulo anterior, mas que se 
aplicam a qualquer derivação. 
 
Vamos começar os estudos, e descobrir, a partir dos conhecimentos já 
construídos, estes novos conceitos sobre derivadas. Desejamos que continue 
com dedicação. 
 
Bons estudos! 
 
 
Objetivos 
Ao final desse capítulo, espera-se que você seja capaz de:• determinar a derivada primeira das funções trigonométricas secante, 
cossecante, tangente e cotangente; 
• aplicar a regra da cadeia para determinar as derivadas de funções 
compostas; 
• utilizar a definição de L’Hospital e aplicar a derivação de funções para 
cálculo de limites na forma indeterminada 
0
0
 ou 
±∞
±∞
; 
• encontrar a derivada de uma função em que exista produto e/ou divisão 
de duas ou mais funções compostas. 
 
Esquema 
 
3.1 - Derivadas de algumas funções trigonométricas 
3.2 – Derivada de uma função composta 
3.3 – Generalizando a regra da cadeia 
3.4 - Derivadas das funções inversas e regras de L’Hospital 
 
3.1 - Derivadas de algumas funções trigonométricas 
 
No capítulo 2 você estudou as derivadas das funções seno e cosseno. Dando 
continuidade aos nossos estudos, enfocaremos neste, as derivadas de mais 
algumas funções trigonométricas. Inicialmente, aplicaremos as propriedades da 
divisão e do produto de funções para encontrar as derivadas das funções 
tangente, secante e, ainda, da função seno quadrado. 
 
 
 42
Cálculo da derivada da função tangente ( )( ) tan xf x = 
 
Para calcular a derivada da função tangente que é representada pela equação 
( ) tanf x x= ou ( )f x tg x= , devemos seguir os seguintes passos: 
 
• lembre-se que a tangente pode ser obtida pela divisão do seno pelo 
cosseno. Temos, então: 
( )
( )
sen
( )
cos
x
x
f x = . 
• Em seguida, encontre a derivada desta função, aplicando a propriedade 
da derivada do quociente de funções, relembrando: 
 2
' '
'u u v v uy y
v v
⋅ − ⋅
=  = 
 
Chame ( )sen= xu e ( )cos xv = . 
 
Derive as funções u e v : 
 ' _____________u = e ' ______________v = 
 
Substitua as funções u e v e suas respectivas derivadas na fórmula da 
derivada de um quociente de funções e obtenha, 
 
 ( )'f x = = 
 
• Da trigonometria temos que ( ) ( )2 2cos sen 1+ =x x , assim: 
[ ]
2
2
( )'f x
 
= = = =  
 
• Por fim, adicione à nossa tabela: 
 
 
 
 
Muito bem! Agora acompanhe nossa resolução e compare os resultados: 
 ( )( ) tan ( )x 'f x f x=  = 
 
 43
 
Chame ( )sen= xu e ( )cos xv = . 
 
Derive as funções u e v : ' cos( )u x= e ( )' xv sen= − 
 
Substituindo as funções u e v e suas respectivas derivadas na fórmula 
da derivada de um quociente de funções obtemos, 
 
( ) ( ) ( )[ ] ( )
( )[ ]
( ) ( )
( )
2 2
2 2
cos cos sen sen cos sen
( )
coscos
x x x x x x
xx
'f x
⋅ − − ⋅ +
= = 
 
• Da trigonometria, temos que ( ) ( )2 2cos sen 1+ =x x , assim: 
( ) ( )
( )[ ] ( )
2
2 2
2
1 1
( ) sec sec
cos cos
x x
x x
'f x
 
= = = = 
 
 
• Por fim, podemos adicionar à nossa tabela: 
 
 
 
Parada obrigatória 
É importante que entenda os procedimentos utilizados para prosseguir 
com os estudos. Assim, se tiver dúvidas, retome o exemplo e refaça-o. 
Agora calcularemos a derivada da função cossecante. 
 
Cálculo da derivada da função cossecante ( )( ) cossec xg x = 
 
Vejamos os passos que devemos seguir: 
• Relembrando que a cossecante de um arco pode ser escrita como o 
inverso do seno deste arco. Assim, temos ( )
( )
1
( ) cossec
sen
x
x
g x = = . 
• De forma semelhante ao que foi feito no exemplo anterior, aplique a regra 
do quociente: 
 
Considerando ____u = e ______v = obtenha ' ___u = e ' _______v = 
 ( ) ( )2( ) tan ( ) secx x'f x f x= → = 
 
 44
 Assim: 
( )'g x = = 
Esta função derivada pode ser reescrita como: 
( )'g x = = ⋅ = 
• Acrescente em nossa tabela: 
 
 
 
 
Acompanhe nossa resolução e compare os resultados: 
 
• Considerando 1u = e ( )sen xv = obtemos ' 0u = e ( )' cos xv = 
 Assim: 
 
( ) ( )
( )[ ]
( )
( )
2 2
0 sen cos 1 cos
( )
sensen
x x x
xx
'g x
⋅ − ⋅ −
= = 
Esta função derivada pode ser reescrita como: 
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
cos cos 1
( ) cot cossec
sen sen sen sen
x x
x x
x x x x
'g x
− −
= = ⋅ = − ⋅
⋅
 
• Acrescentaremos em nossa tabela: 
 
 
 
Parada obrigatória 
É importante que entenda os procedimentos utilizados para prosseguir 
com os estudos. Assim, se estiver com dúvidas retome o exemplo e 
refaça-o. Agora calcularemos a derivada da função seno quadrado. 
 
Cálculo da derivada da função seno quadrado ( )
2( ) sen xf x = 
 
 
( )( ) cossec '( )xg x g x=  = 
( ) ( ) ( )( ) cossec ( ) cot cos secx x x'g x g x=  = − ⋅ 
 
 45
Passos que devemos seguir: 
• Inicialmente, lembre-se que o quadrado de um termo pode ser reescrito 
como o produto de um termo por ele mesmo. Neste sentido, temos a 
função ( ) ( ) ( )2( ) sen ( ) sen senx x xf x f x=  = ⋅ . 
• Para encontrar a derivada desta função, aplique a propriedade do produto, 
ou seja, ' ' 'y u v y u v v u= ⋅  = ⋅ + ⋅ 
Considerando _________u = e ___________v = . 
Derive as funções e obtenha: ' ___________u = e ' ___________v = 
 
• Substitua as funções u e v e suas respectivas derivadas na fórmula da 
derivada de um produto de funções e obtenha, 
 
( ) ________________________ ________________________'f x = = . 
• Acrescente em nossa tabela: 
 
 
 
Novamente, acompanhe nossa resolução e compare os resultados: 
 
• Chamaremos e . 
• Derivando e u v , obtemos: e 
• Substituindo na derivada do produto, obtemos, 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) cos sen cos sen 2cos senx x x x x x'f x = ⋅ + ⋅ = ⋅ . 
 
• Assim, acrescentaremos em nossa tabela: 
 
 
 
As propriedades utilizadas nos exemplos anteriores são as mesmas utilizadas 
para derivar as funções secante e cotangente. 
( )
2( ) sen ( )x 'f x f x=  = 
( ) ( ) ( )
2( ) sen ( ) 2cos senx x x'f x f x=  = ⋅ 
( )u sen x= ( )v sen x=
' cos( )u x= ( )' cos xv =
 
 46
Nos exercícios da atividade 1, proposta a seguir, você vai desenvolver estas 
derivadas, aplicando estas propriedades. Por enquanto, vamos apenas 
apresentar as derivadas que poderão ser incluídas em nossa tabela: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atividade 1 
 
1.1 Encontre a derivada primeira da função ( )( ) sec xh x = . Para tanto, utilize a 
regra do quociente de funções. 
1.2 Encontre a derivada de segunda ordem da função ( )3 cossec= ⋅ xy . 
1.3 Utilizando-se da regra do quociente, determine a derivada primeira da função 
( )( ) cot xh x = . 
1.4 Conhecendo-se a identidade trigonométrica ( ) ( )2 2cos sen 1+ =x x , para a 
função ( ) ( )2 2( ) cos senx xf x = + , obteríamos a derivada ( ) 0'f x = por 
encontrarmos a derivada de uma constante. 
Reescreva a função ( ) ( )2 2( ) cos senx xf x = + , utilizando o produto de dois 
termos, e determine sua derivada, comprovando o que foi enunciado 
anteriormente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )
2
tan sec= → =x x'y y 
 ( ) ( ) ( )2sen ' 2cos senx x xy y=  = ⋅ 
 ( ) ( ) ( )cos sec cos sec cot= → = − ⋅x x x'y y 
Agora é sua vez! Faça a atividade 1, a seguir. 
 
 
 47
3.2- Outras derivadas envolvendo funções trigonométricas 
 
No capítulo anterior, vimos, após a apresentação das derivadas das funções 
seno e cosseno, alguns exemplos nos quais apareciam produto e/ou divisão 
destas funções trigonométricas. De maneira análoga, podemos ter o produto 
e/ou o quociente de funções envolvendo secantes, tangentes, cotangentes e 
cossecantes. É importante que saiba que, em alguns casos, é possível fazer a 
simplificação da expressão da derivada, uma vez que estas principais funções 
trigonométricas podem ser escritas em função dos valores de seno e cosseno. 
Nos exemplos seguintes, mostraremos alguns destes casos. 
 
Exemplo 1 
Determine a derivada segunda da função ( )( ) 2 sec xf x x= ⋅ . 
Passos que podemos seguir: 
• Primeiramente, vamos utilizar a propriedade do produto de funções, 
fazendo 2=u x e ( )sec= xv . Obtemos, ' 2u = e ' sec( ) tan( )v x x= ⋅ , em 
seguida substituímos os resultados na propriedade doproduto de funções 
e obtemos: 
( ) ( ) ( )'( ) 2 sec sec tan 2x x xf x x⋅= ⋅ + ⋅ 
 
• Agora, para encontrarmos a derivada segunda, é preciso atenção para 
derivar o segundo termo, ( ) ( )sec tan 2⋅ ⋅x x x , pois ao aplicarmos a 
propriedade do produto de funções existem três funções sendo 
multiplicadas. Para facilitar o seu entendimento, vamos indicar a derivação 
deste membro da função como um produto entre os termos ( )sec x e 
( )2 tan xx ⋅ . Observe o desenvolvimento do processo de derivação, a 
seguir: 
 
 
 
 
 48
 
 
Aplicando as regras da derivada da soma e do produto, obtemos, 
 
Antes de continuar, recorde como se deriva ( ) ( )sec tanx e x ! 
Prosseguindo, temos que: 
 Após o término das derivações, aplicamos as propriedades algébricas 
convenientes 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 3''( ) 2 sec tan 2 sec tan 2 sec tan 2 secx x x x x x xf x x x⋅= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ 
Obtemos a expressão, 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 3
''( ) 4 sec tan 2 sec tan 2 secx x x x xf x x x⋅= ⋅ + ⋅ + ⋅ 
 
 
 Atenção! 
Faça a fatoração da expressão, colocando os termos comuns em 
evidência: 
 
Agora reescreva a expressão colocando as tangentes e secantes em função dos 
valores de seno e cosseno, ou seja, substituindo sec( )x e tan( )x no quadro 
anterior por
1
cos( )x
 e 
( )
cos( )
sen x
x
 respectivamente. 
 
Muito bem! Acompanhe nossa resolução e compare os resultados. 
Fatorando a expressão ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3''( ) 4 sec tan 2 sec tan 2 secx x x x xf x x x⋅= ⋅ + ⋅ + ⋅ 
obtemos, 
2 2''( ) 2 sec( ) 2 tan( ) tan ( ) sec ( )f x x x x x x x = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅  
 
 49
Caso você deseje reescrever a expressão utilizando senos e cossenos, obterá: 
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2 3
2
2 3 3
2
3
1 1 1
''( ) 4 2 2
cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos( )
4 sen 2 sen 2
"( )
cos cos cos
4 sen cos 2 sen 2
''
cos
x x
x x
x x x
x x x
x
sen sen
f x x x
x x x x x
x x
f x
x x
f x
⋅
   
= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅   
   
⋅ ⋅
= + +
⋅ ⋅ + ⋅ +
=
 
 
Muito bem! Você conferiu seus resultados? Acertou? Temos certeza que sim! 
Veja que todos os resultados encontrados são derivadas segunda da 
( )( ) 2 sec xf x x= ⋅ , portanto tais respostas são equivalentes. 
 
Ainda é possível colocar algum fator comum em evidência e obter outras formas 
de escrever a expressão da derivada, no entanto, são apenas formas diferentes 
de escrever a expressão, mas, que são numericamente equivalentes. 
 
Parada obrigatória 
Para acompanhar o próximo exemplo você deve ficar atento ao produto 
entre as funções logaritmo neperiano e cossecante. Para derivar a 
função f , aplique a propriedade do produto de funções, usando 
também as tabelas de derivadas apresentadas neste capítulo e no 
capítulo 2. 
 
Exemplo 2 
Encontre a derivada primeira da função : 
 
 
 
 
 50
Dica! Lembre-se: 
 
 
 Assim, derivando a função ( )3( ) 5 ln( ) cossec xf x x x= + ⋅ e aplicando as regras da 
soma e produto, respectivamente, temos: 
( ) ( ) ( )[ ]2
1
( ) 15 cossec cossec cot ln( )x x x'f x x x
x
= + ⋅ + − ⋅ 
Fatorando ( )cos sec x , obtemos: 
 ( ) ( )2
1
( ) 15 cos sec cot ln( )x x'f x x x
x
 
= + ⋅ − ⋅  
 
 
Apresentaremos, agora, um exemplo interessante, envolvendo a identidade 
trigonométrica ( ) ( )2 2cossec 1 cot= +x x , que pode, também, ser reescrita na forma 
( ) ( )
2 2cossec cot 1− =x x . 
 
Exemplo 3 
 
A função ( ) ( )2 2( ) cossec cotx xf x = − , que também pode ser escrita como ( ) 1f x =
devido à identidade trigonométrica, representa uma função constante e sua 
derivada é zero, ( ) 0'f x = . 
• Utilize as derivadas das funções cossecante e cotangente e, ainda, a 
propriedade da derivada de um produto de dois termos, para mostrar que 
a derivada desta função realmente é nula. 
 
 
 
 
 51
 Passos que você pode seguir: 
( ) ( )
2 2( ) cossec cotx xf x = − pode ser reescrita como : 
 
 Derive ( )f x , aplicando a derivada do produto em ambas as parcelas. 
 
Logo, você chegou ao resultado da derivada da função que é: ( ) 0'f x = 
 
Muito bem! Agora acompanhe nossa resolução e compare os resultados. 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
( ) cossec cot cossec cossec cotx x x x x'f x ⋅  = − − − ⋅  
( ) ( ) ( ) ( )
2 2( ) cossec cot cossec cotx x x x'f x = − + 
 
 Logo, chegamos ao resultado da derivada da função que é: ( ) 0'f x = 
 
Nos exercícios da atividade 2, a seguir, você terá a oportunidade de exercitar o 
cálculo das derivadas das funções trigonométricas, e outras funções estudadas 
até aqui. 
 
 
 
 
Atividade 2 
 
Determine a derivada primeira das seguintes funções: 
a) ( )
( )
2
3
( )
3 tan
5 sec
4 3
= ⋅ + −x
x
x
x
f x 
b) 
( )( ) 6cos 3sen sec= + ⋅ −g θ θθ θ θ 
c) ( ) ( )
2( )
6
sec 15 5cos= ⋅ + − −pp p pf e
p
 
Agora é sua vez! Faça a atividade 2 a seguir. 
 
 
 52
02) Seja a função ( )( ) tan=x xf . Considerando-se o intervalo [ ]0, 2∈x π , 
2
≠x
π
 
e 
3
2
≠x
π
, para quais valores de x , a reta tangente ao gráfico da função tem 
inclinação igual a 1. 
 
03) Seja a função ( ) ( )2 2( ) sec tan= −x x xf . Reescreva esta função como um 
produto de termos e determine a derivada primeira desta função. Verifique se o 
resultado encontrado para a derivada está coerente com a identidade 
trigonométrica ( ) ( )2 2sec 1 tan= +x x . 
 
 
3.3 - Derivada de uma função composta 
 
Para o estudo da derivada de uma função composta é importante a identificação 
uma função como resultado da composição de outras duas funções. Para tanto, 
sugerimos que retome esse conteúdo nos livros de Pré Cálculo I e II. 
 
Mostraremos algumas composições de funções e, a seguir, estudaremos a regra 
geral para a derivação de toda e qualquer função composta, denominada Regra 
de cadeia. 
 
Exemplo 4 
a) A função 2
3
( ) sen xh x
π 
+ 
 
= pode ser entendida como uma função composta 
( ( ))( ) g xh x f= para as funções ( )( ) sen xf x = e 2( )
3
g x x
π
= + . Vale ressaltar 
que para se encontrar a derivada desta função ( )h x , não podemos usar a 
tabela apresentada anteriormente, ( ) ( )sen cos= = → =x x'y y , pois esta 
somente se aplica no caso de uma função elementar de variável x . 
b) Outro caso interessante é o da função ( )
2
2( ) 3g x x= − , que pode ser 
entendida como resultado da composição entre as funções 2( )f x x= e 
2( ) 3m x x= − com ( ( ))( ) m xg x f= . 
 
 53
 
Para você encontrar a derivada desta função, aplicando a regra geral de 
derivação de uma potência de x , primeiramente, desenvolva o produto notável 
( )
2
2 3−x 
Assim você obteve ( ) _______________g x = 
Agora derive a função! 
 
Muito bem! Agora, acompanhe nossa resolução e compare os resultados. 
Derivamos a função e encontramos: 
4 1 2 1
( ) 4 6 2 0'g x x x
− −
= − ⋅ + →
3
( ) 4 12'g x x x= − 
 
Importante! 
 
 
 
 
 
 
 
Você pode estar se perguntando, qual é a necessidade de se aprender a regra 
da cadeia para derivar funções como a do exemplo 5, uma vez que podemos 
desenvolver o produto notável antes de se realizar a derivação da função? 
 
Exemplo 5 
Veja bem, imagine-se desenvolvendo o produto notável da função 
( )
8
2 3( ) 3 5 6f x x x x= − + − , em que há quatro termos no interior dos parênteses. 
Neste caso, aplicando-se a regra da cadeia, a derivação da função torna-se 
relativamente rápida. A derivada encontrada pela regra da cadeia, a princípio, 
parece diferente daquela obtida quando o produto do termo entre parênteses é 
desenvolvido, no entanto as expressões são equivalentes e, numericamente, 
apresentam o mesmo resultado. 
Caso tivéssemos aplicado a regra da potência sem considerar que 
a função é resultante de uma composição, teríamos encontrado: 
( )
2 1
2 2
( ) 2 3 2 6
−
= − = −x
'g x x . Observe que o resultado correto da derivada 
é muito diferente daquele encontrado quando se aplica, diretamente, a 
regra da potência. 
 
 54
 
Para asfunções ( )u g x= e ( )y f u= , podemos considerar que y é uma função 
composta em x , uma vez que podemos escrever ( ( ))= g xy f . Se desejarmos 
encontrar a derivada da função y em relação a x, devemos fazer: 
 
 
 
 
A derivada da função composta torna-se, então, o resultado do produto de duas 
outras derivadas. 
 
 
Agora, que você já conhece a regra da cadeia, vamos utilizá-la para encontrar as 
derivadas dos exemplos 4 e 5 anteriores. 
 
Retornando ao item b) do exemplo 4 
b) Seja a função ( )
2
2 3= −y x
. 
Considere 2 3= −u x 
Substituindo na função, obtemos 2=y u , e função ( )y f x= pode ser reescrita 
como ( )y f u= . Assim, aplicando-se a regra da cadeia, fazemos: 
= ⋅
dy dy du
dx du dx
 
 Onde 2 3 2 0 2
du
u x x x
dx
= −  = − = , e 2 2
dy
y u u
du
=  = 
Costuma-se dizer que, para derivar uma função composta, 
primeiramente fazemos a derivada da função “externa” e, em seguida, 
multiplica-se pela derivada da função “interna”. Esta denominação, apesar 
de não ter significado matemático, facilita o entendimento do processo de 
derivação. 
= ⋅
dy dy du
dx du dx
 (regra da cadeia) ou ( )( ( ))= ⋅ xg x
' ' 'y f g 
 
 55
Assim, 2 2= ⋅
dy
u x
dx
, mas nos foi dado que 2 3= −u x , assim o resultado 
após a substituição de u é: ( )22 3 2
dy
x x
dx
= − ⋅ →
 
 34 12= −
dy
x x
dx
 
 
Retornando ao exemplo 5 
Para a função ( )
8
2 3( ) 3 5 6f x x x x= − + − , chamaremos 
2 3( ) 3 5 6u g x x x x= = − + − . Assim, temos: ( ( )) ( )( ) g x uf x f f= = , ou seja 
8
( )f u u= . Neste caso, a derivada da função ( )f x pode ser determinada por: 
= ⋅
df dg du
dx du dx
 
 
Como 2 3 2 1 3 1 23 5 6 2 3 3 5 0 2 3 15
du
u x x x x x x x
dx
− −
= − + −  = − + ⋅ − = − + 
e 8 7( ) 8
df
f u u u
du
=  = , 
assim, substituindo os resultados na equação = ⋅
df dg du
dx du dx
 obtemos 
( )7 28 2 15 3= ⋅ + −
df
u x x
dx
, substituindo 2 33 5 6= − + −u x x x , obtemos: 
( ) ( )
7
2 3 28 3 5 6 2 15 3
df
x x x x x
dx
= − + − ⋅ + − 
 
 
Você observou que, utilizando a regra da cadeia, não foi necessário 
desenvolver a potência do oitavo expoente? 
Dessa forma, conseguimos determinar a derivada primeira sem que o 
processo fosse trabalhoso. 
 
Utilizando-se da regra da cadeia, podemos fazer uma generalização para derivar 
potências de funções. 
 
 
 
Para funções ( ) =  
n
xy f em que n ∈ Q*, ou seja, o expoente n é 
um número racional não nulo, a derivada pode ser encontrada 
fazendo-se: [ ]
1
( ) ( )
n' 'y n f x f x
−
= ⋅ ⋅ ou [ ]
1
( )
ndy df
n f x
dx dx
−
= ⋅ ⋅ 
 
 56
 
Logo mais, apresentaremos a você uma expansão da tabela de derivadas do 
capítulo anterior, fazendo uma generalização para as funções compostas. 
Relembrando que na tabela anterior u e v representam funções deriváveis de 
variável x , a generalização da derivada da potência de uma função seria 
representada da seguinte forma: 
 
 
 
Parada obrigatória 
 
Salientamos que não estamos apresentando uma nova regra de derivação. 
Estamos, apenas, fazendo uma generalização da regra da cadeia, com o 
intuito de facilitar sua compreensão da derivação de funções. 
 
Mostraremos, agora, mais alguns exemplos de funções compostas com 
potências de expressões, e aplicaremos a forma generalizada anterior para 
derivar estas funções. 
 
Exemplo 6 
Determine a derivada primeira da função 2( ) 5 7 12f x x x= + − − . 
Passos que podemos seguir: 
• Primeiramente vamos reescrever a função para facilitar a visualização das 
propriedades aplicadas. Destacamos que a função ( )f x é resultado da 
soma de três termos. Dessa forma, utilizando-se da propriedade da 
derivada de uma soma/subtração, para encontrarmos ( )'f x devemos 
derivar cada um destes termos mantendo-se os sinais de soma ou 
subtração. Mas antes devemos reescrever a função ( )f x pois não temos 
uma derivada imediata para 27 x− , no entanto sabemos que toda raiz 
pode ser escrita na forma de potência. Assim, temos que: 
( )
1
2 2( ) 5 7 12f x x x= + − − . 
 
 
 57
• Derivando-se a função, temos: 
 
Utilizando as propriedades de potência podemos reescrever a equação 
acima. Assim, obtemos 
( )
1
2 2
( ) 5
7
' xf x
x
= − →
−
2
( ) 5
7
= −
−
x
' xf
x
 
 
Exemplo 7 
Para a função 
( )
4
5
3
2
( ) 3 6
2 5
g
θ
θ
θ
 
= + + − 
  −
, determine a expressão da derivada 
primeira. 
 
 
Passos que podemos seguir: 
• Neste exemplo, para derivarmos o termo 
( )
5
3
2
5 −θ
 vamos, 
primeiramente, reescrevê-lo na forma ( )
5
32 5
−
⋅ −θ . 
• Em seguida, aplicamos a regra geral para potências de funções. 
Outra opção para se fazer a derivada deste termo é aplicar a propriedade 
do quociente de duas funções. 
 
Dica! 
Escolhemos o caminho de reescrever a função por ser mais rápido neste 
caso, mas recomendamos que faça este procedimento somente quando 
houver uma constante no numerador e variáveis somente no 
denominador. 
Mas e nos outros casos? Como devemos proceder? 
 
 
 58
No caso de existirem variáveis no numerador e no denominador do termo, 
é melhor utilizar diretamente a propriedade do quociente, uma vez que ao 
tentarmos reescrever os termos, seremos obrigados a utilizar a 
propriedade do produto de funções. Assim: 
( )
4
5
3( ) 3 2 5 6
2
g
θ
θ θ
− 
= + + ⋅ − − 
 
. 
• Derivando a função, temos: 
 
 ( )
3
6
2 3( ) 2 3 30 5
2
'g
θ
θ θ θ
− 
= ⋅ + + − → 
  ( )
3 2
6
3
30
( ) 2 3
2 5
'g
θ θ
θ
θ
 
= ⋅ + + 
  −
 
 
 
Exemplo 8 
 Encontre a derivada primeira de ( )
3
2 45 2 3 12 13= ⋅ − + −y x x x x x . 
Passos que podemos seguir: 
• Neste exemplo, vamos aplicar a propriedade do produto para derivar o 
primeiro termo da função e, ainda, a propriedade da soma/subtração 
de funções. Neste caso, temos: 
 
• Podemos realizar os produtos entre os termos que não estão elevados 
às potências e, ainda, colocar os fatores comuns em evidência. 
Fazemos, então: 
 ( ) ( )( )
3 2
2 2 2 35 2 3 60 45 2 3 48 13= ⋅ − + + − + −'y x x x x x x x 
 ( ) ( ) ( )
2
2 2 2 35 2 3 2 3 12 9 48 13 = ⋅ − ⋅ − + + + − 
'y x x x x x x x 
 ( ) ( )
2
2 2 35 2 3 14 6 48 13= ⋅ − ⋅ + + −'y x x x x x 
 
 59
 
Exemplo 9 
 Determine a derivada da função 
( )
( )
7
4
2
( )
11 3
p
f p
p
+
=
−
. 
Passos que podemos seguir: 
• Vamos utilizar a propriedade do quociente de funções. Devemos ficar 
atentos a este quociente pela presença de funções compostas. 
 
Sugestão: Se preferir, resolva a derivava de cada função composta 
separadamente chamando de ( )
7
2u p= + e ( )
4
11 3v p= − . Assim 
derivando u e v, obtemos ( ) ( )
6
' 7 2 1u p= + e ( ) ( )
3
' 4 11 3 3v p= − − . 
 
Agora você substitui os valores de u, v, u’ e v’ na regra da derivada de 
um quociente e obterá a seguinte equação 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
6 4 3 7
2
4
7 2 1 11 3 4 11 3 3 2
( )
11 3
'
p p p p
f p
p
+ ⋅ − − − − ⋅ +
=
 −
 
 
• De modo semelhante ao que foi feito no exemplo anterior, podemos 
multiplicar os termos e colocar os fatores comuns em evidência. 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
6 4 3 7
8
7 2 11 3 12 11 3 2
( )
11 3
'
p p p p
f p
p
+ − + − +
=
−
 
 Neste caso, o fator comum é ( ) ( )
6 3
2 11 3p p+ − 
 
( ) ( )
6 3
2 11 3
( )'
p p
f p
+ −
=
( ) ( )
( )
8
7 11 3 12 2
11 3
p p
p
⋅ − + +  
−
 
 
( ) [ ]
( )
6
5
2 77 21 24 12
( )
11 3
'
p p p
f p
p
+ ⋅ − + +
=
−
 
( ) ( )
( )
6
5
2 96 9
( )
11 3
'
p p
f p
p
+ ⋅ −
=
−
 
 
 
 60
 
 
 
Atividade 3 
3.1 Determine a derivada primeira para cada função descrita nos itens, a seguir: 
a) 
( )
4
2
( )
1 3
3 13
2
−
= + +x
x
f x 
b) ( ) ( )
2
6 4
2 2
( )
5
5 3 2
2
= − ⋅ + −
x
g θ θ θ θ 
c) ( )
4
23
3( )
9
6 30
5
3
= − + +
 
+ 
 
zh z z
z
 
d) ( )
9 3
( )
7
2 6
2 5
= − ⋅ +
+
pf p p
p
 
 
3.2 Considere a função 
23
8
1
= +
−x
y
x
, com ( )= tx f . Determine, utilizando a regra 
da cadeia, a expressão da derivada 
dy
dt
, considerando que C. 
 
3.3 Para a função 
2
( )
12
3 8= + +wf w
w , determine o valor de 
df
dt , quando 2=w , 
sabendo que 
4= −
dw
dt . 
3.4 Utilizando-se da regra da cadeia, determine a derivada primeira 
dg
dt
 para a 
função ( )
3
2 3
( )
1
2 3 5
2
= − +xg x x , sabendo que ( )= tx f . 
 
3.4 - Generalizando a regra da cadeia 
 
Até agora, utilizamos a regra da cadeia para derivar funções com expressões 
polinomiais e/ou racionais, ou ainda, envolvendo produto ou quociente entre 
estes tipos de funções. De agora em diante, vamos generalizar a aplicação da 
regra da cadeia para as funções elementares estudadas nos capítulos anteriores, 
a partir das regras de derivação apresentadas. 
 
Agora é sua vez! Faça a atividade 3, a seguir. 
 
 
 61
Já estudamos as derivadas das funções seno, cosseno, exponenciais e 
logarítmicas, entre outras. As regras de derivação apresentadas se aplicavam às 
funções como, por exemplo, ( )sen= xy , = xy e e ln=y x . No entanto, estas 
regras não poderiam ser aplicadas às funções do tipo ( )2sen += x xy π , 
ln 5
3
 
= + 
 
x
y ou 
22 3−
=
x x
y e , que são funções compostas. 
 
Mostraremos, agora, nossa tabela de derivadas de funções elementares, que 
será apresentada na forma geral, abrangendo as funções compostas e também 
as funções de simples variável x . 
 
 
Você deve tomar esta tabela como objeto de consulta durante a 
resolução dos exercícios propostos neste capítulo. 
 
 
Tabela de derivadas de funções elementares 
Nas tabelas de derivadas, a seguir, considere que u e v são funções deriváveis 
de variável x e, ainda, que , ,c C K e a são constantes. 
 
• Derivada de uma função composta (Regra da cadeia) 
Para uma função y f (g(x))= : 
( )( ( ))= ⋅ = ⋅xg x
' ' ' dy df dgy f g ou
dx dg dx
` 
 
• Propriedades da derivação: 
Função Constante: ' 0= → =y c y 
Constante vezes função: ' '= ⋅ → = ⋅y c u y c u 
Soma/subtração de funções: ' ' '= ± → = ±y u v y u v 
Produto de funções: ' ' '= ⋅ → = ⋅ + ⋅y u v y u v v u 
Quociente de funções: 
2
' '
'
⋅ − ⋅
= → =
u u v v u
y y
v v
 
 
 
 
 62
 
 
Tabela geral de derivadas 
 
1. ( ) 1, 0 '−= ≠ → = ⋅ ⋅K K'y u K y K u u 
2. ( ), 0, 1 ln '= > ≠ → = ⋅ ⋅u u'y a a a y a a u 
3. '= → = ⋅u u'y e y e u 
4. 
'
log log= → = ⋅a a
' uy u y e
u
 
5. 
'
ln= → ='
u
y u y
u
 
6. ( ) 1, 0 ' ln '−= > → = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅v v v'y u u y v u u u u v 
7. sen cos '= → = ⋅'y u y u u 
8. cos sen '= → = − ⋅'y u y u u 
9. 2tan sec '= → = ⋅'y u y u u 
10. 2cot cossec '= → = − ⋅'y u y u u 
11. sec sec tan '= → = ⋅ ⋅'y u y u u u 
12. cossec cossec cot '= → = − ⋅ ⋅'y u y u u u 
 
 
A seguir, veja alguns exemplos de derivadas destas funções compostas. 
 
Exemplo 10 
Determine a derivada da função ( ) 24
5
( ) cos 6 11
2
x
xf x e= − + . 
Resolução: 
. 
 Assim, o resultado é: ( ) 24( ) 10sen 3
x
x'f x e= − − 
 
 
 63
Exemplo 11 
Encontre a derivada da função ( )[ ] ( )
3
( ) 2 sen ln 2 9 5xg x x x= + + − . 
Resolução: 
Derivando a função, encontramos: 
 
 
Como resultado, temos: ( ) ( )2
2
( ) 6cos sen
2 9
x x'g x
x
= +
+
 
Uma dúvida comum neste tipo de derivada é a utilização da regra de número 
1 para derivar o termo ( )[ ]
3
2 sen x , uma vez que aparece a função seno, o que 
induz ao uso da tabela de número 7. No entanto, temos ( )[ ]
3 32 sen 2=x u , cuja 
derivada é 22 3⋅ ⋅ 'u u em que ( )sen= xu e ( )cos= x'u . 
 
Em uma das atividades anteriores foi apresentada uma função do tipo 
2 2( ) sen cosf θ θ θ= + . A atividade, então, pedia que se fizesse a derivada desta 
função, considerando-se os termos quadráticos como um produto do termo por 
ele mesmo. O intuito da atividade era mostrar que a derivada seria nula, uma vez 
que 2 2sen cos 1+ =θ θ . Agora, vejamos a desenvolvimento do cálculo da derivada 
de 2 2( ) sen cosf θ θ θ= + , utilizando-se da tabela anterior. 
Primeiro vamos reescrever a função 2 2( ) sen cosf θ θ θ= + como 
[ ] [ ]
2 2
( ) sen cosf θ θ θ= + utilizando as regras 7 e 8 da tabela obtemos: 
[ ]( ) 2sen cos 2cos sen 2sen cos 2sen cos'f θ θ θ θ θ θ θ θ θ= ⋅ + ⋅ − → − 
Logo, o resultado é: ( ) 0'f θ = 
 
 
 
 
 
 
 64
 
 
 
 
 
Atividade 4 
Determine a derivada primeira de cada uma das seguintes funções: 
 
a) ( ) 5 3( ) ln 4 5 2 2
−
= + + +
z
zh z e z 
b) ( ) ( )2 22( ) 2sen 7 6 cos= + − ⋅f
θ
θ θ θθ 
c) ( ) 3 3( ) 2 32
cossec 2 tan
 
− 
 
= − ⋅ +
x
x x xf e x
π 
d) 2( ) 2
log 3 5sec 9
 
 
 
= + +p
x
g x 
e) 
( ) 2 3
2( )
3
2
3
sen
5cot−
−
 
− 
 
= + +
x
xx
x
xf x
e
π 
 
3.5 - Derivadas das funções inversas e regras de L’Hospital 
 
As funções inversas não aparecem com tanta frequência nas aplicações de 
derivadas que nos interessam, entretanto devemos saber relacionar a derivada 
de uma função com a derivada de sua inversa. Você poderia questionar sua 
importância e onde utilizá-las. Para nós, elas são importantes, principalmente, 
nas derivadas das funções trigonométricas inversas. 
 
Vejamos com detalhes... 
De um modo geral, para uma função ( )y f x= que admita uma inversa ( )x g y= 
onde 1−=g f , se esta inversa é contínua temos que: 
( ( ))
1 1
( )
( ) g y
'
' '
g y
f x f
= = 
 
Aplicando-se esta definição para se determinar as derivadas das funções 
trigonométricas inversas, temos: 
 
 
Agora é sua vez! Faça a atividade 4, a seguir. 
 
 
 65
1. 
2
'
arcsen
1
= → =
−
' uy u y
u
 
2. 
2
'
arccos
1
−
= → =
−
' uy u y
u
 
3. 
2
'
arctan
1
= → =
+
' uy u y
u
 
4. 
2
'
cot
1
−
= → =
+
' uy arc u y
u
 
 
 
Para ilustrar estas derivadas de funções inversas, apresentaremos alguns 
exemplos: 
 
Exemplo 12 
Encontre a derivada primeira da função ( )2arcos 3=y x . 
 
 
Resolução: 
 
1º passo: Observe o quadro das funções trigonométricas inversas. Você 
percebeu que arccosy u= é semelhante a função que queremos derivar? 
 
2º passo: Considere 23u x= . Derivando u obtemos ' 6u x= . 
 
3º passo: substitua os resultados do passo 2 na expressão 
2
'
1
' uy
u
−
=
−
 
 
Assim, você obterá 
4
6
1 9
−
=
−
' xy
x
 
 
Exemplo 13 
Encontre a derivada primeira da função ( )( ) arc cot 2 1f w w= + . 
Resolução: 
 
( )
2 2
2 2
( )
1 4 4 11 2 1
'f w
w ww
− −
= =
+ + ++ +
 
 
 66
 
2
2
( )
2 4 4
'f w
w w
−
= →
+ + 2
1
( )
1 2 2
'f w
w w
−
=
+ +
 
 
Agora, mostraremos uma importante aplicação da derivação de funções, 
denominada definição de L’Hospital. 
 
A definição de L’Hospital nos fará voltar a um tema que já foi estudado por você 
no capítulo 1, os limites de funções. No cálculo de limites, em muitos casos, 
nos deparávamo-nos com convergências para indeterminações, por exemplo, do 
tipo 
0
0
 ou 
±∞
±∞
. 
 
Naquela oportunidade, para se determinar o limite da função, caso ele existisse, 
era necessário se fazer a fatoração e simplificação da função, para, em seguida, 
calcular-se o limite. Por muitas vezes, o processo foi trabalhoso, consumindo um 
tempo considerável na resolução do exercício e exigindo uma série de operações 
algébricas para simplificação da expressão. 
 
Agora, com a regra de L’Hospital, resolver limites com indeterminações do tipo 
0
0
 ou 
∞
∞
será relativamente mais fácil. Acompanhe! 
 
Vamos compreender a regra de L’Hospital! 
Tal regra diz que, para funções ( )f x e ( )g x , tais que 
( )
( )
0
0
lim
x a
f x
g x→
= ou 
( )
( )
lim
x a
f x
g x→
∞
=
∞
 e considerando-se ( ) 0'g x ≠ para todo x a≠ , o limite pode ser 
calculado utilizando-se as derivadas das funções, ou seja, se 
( )
( )
lim
x a
'
'
f x
L
g x→
= , 
então: 
 
 
 
 
( ) ( )
( ) ( )
lim lim
x a x a
'
'
f x f x
L
g x g x→ →
= = 
 
 67
Se, após derivarmos as funções uma vez,