FIANI, Ronaldo Teoria dos Jogos - exercícios resolvidos - Cap 1

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CAPÍTULO 1 
Por Que Estudar Teoria dos Jogos? 
 
1.1. Discuta se a relação binária ≥ ("maior ou igual a") poderia expressar 
preferências racionais. (p. 25) 
 Sim, pois é capaz de expressar relações obedecendo aos dois princípios das 
preferências racionais: completude e transitividade. Relações de maioridade, igualdade e 
menoridade são expressas pelo símbolo, donde se conclui que as relações são completas. 
A transitividade também é capaz de ser expressa pela relação binária “maior ou igual” na 
medida em que, se a ≥ b e b ≥ c, então a ≥ c. 
 
1.2. Quais são as propriedades da relação de preferência estrita >? (p. 24) 
 A preferência estrita é definida como: 
𝑥 > 𝑦 ↔ 𝑥 ≥ 𝑦 𝑚𝑎𝑠 𝑛ã𝑜 𝑦 ≥ 𝑥 
Ou seja, x é estritamente preferível a y se, e somente se, x for pelo menos tão bom quanto 
y mas a condição de que y é pelo menos tão bom quanto x não for verdadeira. 
 A relação de preferência estrita não é completa, pois, caso x ~ y, não se verifica x 
> y e nem x < y. No entanto, ela é transitiva, pois, se x > y e y > z, então x > z. 
 
1.3. Quais são as propriedades da relação de indiferença ~? 
 A relação de indiferença pode ser definida como segue: 
𝑥 ~ 𝑦 ↔ 𝑥 ≥ 𝑦 𝑒 𝑦 ≥ 𝑥 
Há indiferença entre x e y se, e somente se, x for pelo menos tão bom quanto y e y for 
pelo menos tão bom quanto x. Não significa que x e y sejam iguais. Podem ser elementos 
completamente distintos. Significa que não há preferência entre ambos. 
 A relação de indiferença não é completa, pois não é capaz de expressar relação de 
preferência estrita ou mesmo fraca, tais como a ≥ b e a > b. No entanto, é transitiva, na 
medida em que, se a ~ b e b ~ c, então a ~ c. 
 
1.4. Um filho único de uma mãe viúva se preocupa tanto com a sua renda quanto 
com a renda de sua mãe, embora não more mais com ela. Como ela já é idosa e não 
tem boa saúde, ele atribui uma satisfação duas vezes maior à renda que sua mãe 
obtém em comparação com a renda que ele mesmo consegue obter. Pede-se: 
a. Determinar em que ordem o filho ordena as seguintes recompensas (o primeiro 
valor é a sua própria renda, o segundo é a renda de sua mãe): (3,2), (4,0) e (1,5). 
 Colocando a satisfação do filho em termos de utilidade, ter-se-ia: U (3, 2) = 7; U 
(4, 0) = 4; e U (1, 5) = 11. Dessa forma, tem se que (1, 5) > (3, 2) > (4, 0). 
 
b. Determinar uma função a ser aplicada às suas recompensas e às de sua mãe, que 
seja consistente com o ordenamento de suas preferências. 
𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 2𝑦 
 
1.5. Seja o conjunto Y de sobremesas à disposição de um indivíduo, onde Y= 
{abacaxi, banana, sorvete, doce de leite}. Suponha que o indivíduo expresse a 
seguinte relação de preferências ≥ entre as sobremesas: abacaxi ≥ banana, banana 
≥ sorvete, sorvete ≥ doce de leite, abacaxi ≥ sorvete, abacaxi ≥ doce de leite, banana 
≥ doce de leite. Você diria que as preferências que ele expressou são racionais? 
 Formalizando as preferências, tem-se o que segue: A ≥ B; B ≥ S; S ≥ D; A ≥ S; A 
≥ D; B ≥ D. Para que as preferências sejam racionais, têm de ser completas e transitivas. 
Vejamos. 
 Para um conjunto de 4 sobremesas, só há 6 relações possíveis. Quer dizer, para 
um total de 4 elementos, só há 6 combinações. O enunciado do exercício indica 6 relações. 
Como não há repetição do tipo A ≥ B e B ≤ A, pode-se concluir que as preferências são 
completas. 
 As preferências são expressas em ordem tal que fica explícita a transitividade. 
Porém, analisemos mais de perto. Para haver transitividade, deve-se verificar as seguintes 
condições: a) se A ≥ B e B ≥ S, A ≥ S (condição verificada); b) se A ≥ S e S ≥ D, A ≥ D 
(condição verificada); c) se B ≥ S e S ≥ D, B ≥ D (condição também verificada). Desta 
forma, obedece-se ao princípio da transitividade para todas as preferências do indivíduo. 
Conclui-se que suas preferências são racionais.