Exercícios resolvidos de provas com comentários sobre distribuição binomial (1)

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CÁLCULO SOCIOLOGIA ESTATÍSTICA & PROBABILIDADE 
Exercícios resolvidos de provas com comentários sobre
distribuição binomial
"E m nossas loucas tentativas, renunciamos ao que somos pelo que esperamos ser".WilliamShakespeare 
Antes de entrar no assunto principal vamos entender o que é fatorial de um número que tem como
simbolo o n! 
Na matemática, o fatorial de um número natural n, representado por n!, é o produto de todos os
inteiros positivos menores ou iguais a n. A notação n! foi introduzida por Christian Kramp em 1808. 
Exemplo: Calcule o fatorial dos números 0,1,2,3,4 e 5 . 
Solução 
0! = 1 
1! = 1 
2! = 2.1 = 2 
3! = 3.2.1 = 6 
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120. 
Observação: O zero não entra nesta de�nição, pois se multiplicarmos todo o produto de n até 1 por
zero teremos zero como resultado. 
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O que é uma distribuição binomial? 
Em estatística, a distribuição binomial é a distribuição de probabilidade do número de sucessos numa
sequência de n tentativas. 
O que devemos saber sobre essa distribuição? 
Vamos entender as caraterísticas de um experimento binomial 
Um experimento binomial é um ensaio estatístico que tem as seguintes propriedades:
O experimento consiste em n ensaios repetidos.
Cada ensaio pode resultar em apenas dois resultados possíveis. Chamamos um desses resultados um
sucesso e outro, um fracasso.
A probabilidade de sucesso, que denotaremos por p é a mesma para cada ensaio. A probabilidade de
falha será denotada por q=1-p.
Os ensaios são independentes; isto é, o resultado de um ensaio não afeta o resultado em outros
ensaios.
Mas o que é um ensaio independente? 
Um ensaio em um experimento é independente se a probabilidade de cada resultado possível não
muda de ensaio para ensaio. Por exemplo, se você lança uma moeda para o alto cinquenta vezes, cada
lançamento é um ensaio independente, porque o resultado de um lançamento (cara ou coroa) não
afeta a probabilidade de se obter cara ou coroa no próximo lançamento.
Matematicamente 
Onde : 
n = número de experimentos executados; 
p = é o valor da probabilidade do que se quer que aconteça, ou seja, é a probabilidade de sucesso. 
k = é o numero de vezes que a pergunta do exercício pede que ocorra.
Exemplo:calcule a probabilidade de sair duas caras no lançamento de 3 moeda...o número de vezes que
o exercício pede para que ocorra cara é o nosso k então : k=2 
q = probabilidade de fracasso. 
Exercício 1
Suponha que numa linha de produção, a probabilidade de se obter uma peça defeituosa é igual a 0,1.
Toma-se uma amostra de 10 peças para serem inspecionadas . Qual é a probabilidade de se obter : 
1.1 uma peça defeituosa ? 
1.2 nenhuma peça defeituosa ? 
1.3 duas peças defeituosas ? 
1.4 no mínimo duas peças defeituosas? 
1.5 no máximo duas peças defeituosas ? 
Solução 
A 1ª coisa a fazer é saber o número de n tentativas,a probabilidade de sucesso(p) e posteriormente o
fracasso(q=1-p),ou seja n =10, p= 0,1 e q = 1-0,1 = 0,9. 
1.1-para calcular a probabilidade de uma peça defeituosa,a gente tem que saber que o nosso k(número
de sucessos nos n experimentos)vai ser igual a 1 porque a gente quer saber somente a probabilidade de
sair uma peça e só, então : como k=1,p=0,1 e n= 10 teremos:
Substituindo na Fórmula , vem :
Continuando...
1.2- Já que vamos calcular a probabilidade para nenhuma peça defeituosa,o nosso k vai ser igual a
0(nenhuma peça=nada)então : n=10,k=0,p=0,1 e q= 1-0,1=0,9
  
1.3- o nosso objetivo é calcular a probabilidade para duas peças defeituosas,isso signi�ca que o nosso
número de sucesso (o que a gente deseja calcular) é igual a k=2, então : como n=10,p=0,1 e q=0,9
teremos: 
1.4- Sabendo que vamos calcular a probabilidade de ter no mínimo 2 peças defeituosas , quer dizer que
a gente não quer saber a probabilidade para nenhuma ou uma peça defeituosa.tendo em conta que a
gente quer no mínimo 2 peças, podemos concluir que a probabilidade de sucesso será a probabilidade
para k=2+k=3+k=3+k=4+k=5+k=6+k=7+k=8+k=9 + k=10. 
A gente pode notar que calculando a probabilidade desses 8 ks vai dar muito trabalho então , a gente
pode calcular o que não quer que é o k=0 e k=1,porque o somatório do que a gente quer e o que a gente
não quer tem que ser igual a 1 (100%). Quero + não Quero=1 ou seja: 1-não Quero=Quero. 
Mas a probabilidade para k=0 e k=1 a gente já calculou nos exercícios anteriores ou seja�0,3486 e 0,3874
respectivamente. Então:
Ou seja :
1.5- Finalmente a gente quer saber a probabilidade de no máximo ter 2 peças defeituosas . isso quer
dizer que o nosso interesse está em k=0 + K=1 + K=2. Sempre que você ver na prova dizendo no máximo
x, quer dizer que é do x para zero.
 A probabilidade para x=0,x=1 e x=2 a gente já fez anteriormente ,um Ctrl c+ Ctrl v basta. então:
OBS: Para você fazer fácil na calculadora siga a fórmula : 
Digite o valor de n, clique em nCr, digite o valor de k. depois de obter o valor, multiplique com o p
elevado a k e o 1-p elevado a n-k . 
Exercício 2 
Considere que a probabilidade de nascimento de homens e mulheres é igual. 
Determine a probabilidade de um casal com 6 �lhos ter 4 homens e 2 mulheres. 
Solução 
A 1ª coisa a fazer é saber o número total do experimento(n) que neste caso será o número total de
�lhos,a probabilidade de sucesso(p) e posteriormente o fracasso(q=1-p),ou seja n= 6 �lhos. 
Mas o exercício não deu a probabilidade de sucesso(P)nem a probabilidade de fracasso (q), mas passou
pra gente algo extremamente interessante, que a probabilidade de nascimento de homens e mulheres
é igual.Se é igual então temos 50% de sucesso(50% de acontecer) e 50% de fracasso(50% de não
acontecer)..nesse caso é como se fosse em uma moeda,sempre teremos 50% de sair cara ou coroa. 
Resumindo: n=6,p=0,5 e q=0,5 
Depois de encontrarmos os valores de n,p e q podemos prosseguir : 
A probabilidade para o casal ter 4 homens e 2 mulheres será : 
Substituindo na fórmula, teremos :
A probabilidade para o casal ter 4 homens e duas mulheres é de 23,44%.
Se você quiser calcular a média,variância e desvio padrão utilize as fórmulas :
Média(x)=n.p ; var(x)=n.p.q ; Dp= raiz da variância. 
Exercício 3
Uma moeda é lançada 20 vezes. Qual é a probabilidade de saírem 8 caras. 
Solução 
Antes de tudo, devemos saber o número de n tentativas,a probabilidade de sucesso(p) e
posteriormente o fracasso(q=1-p). 
Temos que n=20 (número total de lançamentos) mas tá faltando a probabilidade de sucesso(p) e a
probabilidade fracasso(q=1-p). 
E agora ? não estressa , sempre que a gente fala de uma moeda, a probabilidade de acontecer(sucesso)
e de não acontecer(fracasso) é 0,5 ou 50%.E do mesmo jeito acontece com um dado que sempre será
p=1/6 desde que não fale no exercício que ele é um dado viciado. 
Resumindo: n=20,k=8,p=0,5 e q=0,5
A probabilidade de saírem 8 caras será : 
 
Substituindo os valores teremos :
Fazendo pela calculadora : 
Digite o valor de n=20, clique em nCr, digite o valor de k=8. depois de obter o valor, multiplique com o
p=0,5 elevado a k=8 e o q elevado a 12. 
Exercício 4 
Uma prova tipo teste tem 50 questões independentes. cada questão tem 5 alternativas. Apenas uma
das alternativas é a correta. Se um aluno resolve a prova respondendo a esmo as questões, qual é a
probabilidade de tirar nota 5 ?
Solução
Essa questão é um grande quebra cabeça das galaxias,mas vamos lá: 
A primeira coisa a fazer é saber o número total do experimento(n) que neste caso vai ser o número
total de questões n=50.
http://4.bp.blogspot.com/-RQkJzNI211M/VmCGHRbCKTI/AAAAAAAAG3o/TerHxIPnXO8/s1600/_20151203_160926%2B%25281%2529.JPG
A Segunda coisa a saber é aprobabilidade de sucesso(p)que neste caso vai ser p=1/5, sabe porquê?
supondo que a galera do bonde da stella vai fazer uma prova. Só terá sucesso(acerto)em uma das 5
alternativas existentes...do mesmo jeito ,se fosse 2 alternativas corretas a probabilidade seria de p=2/5.
Já que p=1/5 o q=1-1/5=4/5. 
O nosso número de sucessos(k)vai ser k=25, porque se a gente fosse calcular a probabilidade para tirar
nota 10 séria k=50(acertando todas as questões), mas como o nosso objetivo é calcular nota 5(metade
das questões)o nosso k vai ser igual a 25. 
Resumindo:n=50, k=25, p=1/5 e q=4/5
Substituindo, vem :
 
Exercício 5
Suponha que a probabilidade de um casal ter um �lho com cabelos loiros seja 1/4.Se houverem 6
crianças na família , qual é a probabilidade de que metade delas tenham cabelos loiros.
Solução
Cara, para resolver esse trem, a gente precisa entender o seguinte :
-A probabilidade de sucesso é p=1/4 então , q=1-p=3/4;
-o número de vezes que a pergunta pede quer que ocorra o sucesso k,ou seja,o que a gente quer saber
é a metade das 6 crianças então,k=6/2=3.
Resumindo:n=6,p=1/4,q=3/4 e k=3
Substituindo na fórmula , teremos:
Continuando...
Exercício 6 
Um engenheiro de inspeção extrai uma amostra de 15 itens aleatoriamente de um processo de
fabricação sabendo que produz 85% de itens aceitáveis. 
Qual é a probabilidade de que 10 dos itens extraídos sejam aceitáveis ? 
Solução
Vamos entender o seguinte :
-A probabilidade de sucesso é p=0,85 então , q=1-p=0,15; 
-o número de vezes que a pergunta pede quer que ocorra o sucesso k,ou seja,o que a gente quer saber
é a probabilidade dos 10 itens serem aceitáveis então: k=10. 
Resumindo:p=0,85,q=0,15 ,k=10 e n=15.
 
Substituindo na fórmula , teremos:
Exercício 7
A probabilidade de que um carro , indo de São Paulo a Lins tenha, no decorrer da viagem , um pneu
furado é 0,05. Achar a probabilidade de que entre 10 carros ,indo todos de São Paulo a Lins exatamente
um carro tenha um pneu furado .
Solução
Para qualquer tipo de exercício que fala de distribuição binomial ,a primeira coisa a fazer é achar o
número total(n) da situação que a gente tá resolvendo que neste caso vai ser n=10 carros.
-Se a nossa probabilidade de um pneu furar é p=0,05 então q=1-p=0,95.
-agora vamos responder uma pergunta, o que a gente deseja calcular ? a gente deseja calcular a
probabilidade de que exatamente um carro tenha um pneu furado então : k=1.
Resumindo : n=10,p=0,05,q=0,95 e k=1.
Fórmula
Substituindo 
Exercício 8 
Registros hospitalares mostram que dos doentes que sofrem de uma determinada doença, 7 5%
morrem da doença. Qual é a probabilidade de que 6 pacientes selecionados aleatoriamente,4 consigam
se  recuperar?
Solução
Este é um binômio distribuição, pois há apenas dois resultados (o paciente morre, ou não). 
Deixe X = número que recuperar. 
Aqui, n = 6 , x =4 , p = 0. 2 5 (sucesso, ou seja, eles vivem), q = 0. 7 5 (falha, ou seja, eles morrem). 
A probabilidade de que 4 consigam se recuperar: 
Resumindo : n = 6 ,k=4 ,p=0,25 e q = 0,75
Substituindo os valores , vem :
Continuando ...
Exercício 9
Uma fabricante de pistões de metal que se encontra em São Paulo-BR ,tem em média 12% de seus
pistões  rejeitados porque são ou acima ou abaixo. Qual é a probabilidade de que em um lote de 10
pistões contenha  não mais do que 2 rejeições?  
Solução 
Seja n=10 ( total de pistões ) , q=0,88, p=0,12 teremos :
 Como as rejeições não podem passar de duas ,signi�ca que vamos calcular a probabilidade para
nenhuma rejeição, uma rejeição e duas rejeições e posteriormente fazer o somatório.
Cálculo da probabilidade para nenhuma rejeição
Substituindo
Cálculo da probabilidade para uma rejeição
Cálculo da probabilidade para duas rejeições
Então ,a probabilidade de conseguir não mais do que 2 rejeições será :
 
Substituindo os valores , vem que :
Assim, a probabilidade para obter não mais do que duas rejeições é de 0,89131 ou 89,31%
Exercício 10
Num teste tipo certo/errado, com 50 questões, qual é a probabilidade de que um aluno acerte 80%
das questões, supondo que ele as responda ao acaso  ? 
Solução
Cada resposta tem probabilidade de sucesso 0,50, porque estamos perante um exercício certo/errado.
Desse modo, o número de respostas corretas(x), tem distribuição binomial com n = 50 e p = 0,50. 
Acertar 80% das questões signi�ca: 0,8*50 = 40 questões  que vai ser o nosso k .
Resumindo : n=50, k=40,p=0,5, q=0,5
Também pode resolver pela calculadora 
FAÇA A PROVA OU  SIMULADO  
Questão 1 
Uma moeda não viciada é lançada 6 vezes . Determine : 
a) A probabilidade de exatamente duas caras ocorrerem 
SOLUÇÃO
b) A probabilidade de ocorrerem pelo menos 4 caras 
SOLUÇÃO
Questão 2
Um time D tem 2/3 de probabilidade de vitória sempre que joga . Se esse time disputar 4 partidas
,encontre a probabilidade desse time vencer : 
https://3.bp.blogspot.com/-Hyo2l4dlC9k/VrIES9LET3I/AAAAAAAAJTA/jaFEEwgbLI4/s1600/factosfera1.png
https://4.bp.blogspot.com/-W5Psu0OILbY/VrIFDxw0VqI/AAAAAAAAJTI/G_iJCyYYIxk/s1600/factosfera.jpg
Comentários
MARCADORES: ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE 
a) pelo menos uma partida . 
SOLUÇÃO
b) mais que a metade das partidas 
SOLUÇÃO 
 
Sê forte e corajoso 
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WoolArt · 09/04/2016 17:04
Obrigado!
RESPONDER
Unknown · 13/04/2016 01:47
Muito bom
RESPONDER
Unknown · 11/06/2016 22:43
Conteúdo perfeito.
RESPONDER
Anônimo · 15/06/2016 07:45
Primeiro que tudo obrigado! 
Segundo, tenho duvidas em relação ao exercício nº 9, pelas minhas contas a
probabilidade de (x<=2)= 0,1087, ou seja, 10,87%
Unknown · 15/06/2016 13:35
No lado esquerdo da publicação tem o nosso e-mail do google ....envia
uma foto das contas que você fez para colocarmos em análise ..Obrigado
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Heitor Lima · 02/07/2017 13:11
Pela resposta do Anônimo, ele deve ter trocado os valores de p e q. Veja
que o valor apresentado é o complementar da resposta correta.
Anônimo · 13/07/2016 16:21
Boa tarde, alguém sabe calcular o seguinte: Cerca de 4,4% dos acidentes fatais
com automóveis são causados por pneus defeituoso. Se um estudo de segurança
em uma rodovia começa com a escolha aleatória de 750 casos de acidentes fatais
com veículos motorizados, estime a probabilidade de exatamente 35 deles terem
sido causados por pneus defeituosos.
RESPONDER
Unknown · 05/09/2016 07:34
A Oms Prevê que em determinadas operações cirúrgicas a probabilidade de
fracasso seja de 0, 9. Se num hospital se realizarem diariamente 10 operações
deste tipo, determine: 
A) os parâmetros q 
B) as funções de probabilidade e de distribuição 
C) a probabilidade de que em cada dia só sejam as 4 as operações fracassadas.
RESPONDER
Unknown · 12/12/2016 00:54
Boa noite! Alguém pode me ajudar nessa questão?Suponhamos que 80% dos indivíduos de uma população sejam imunes a certa
doença infecciosa. Se sorteamos 5 individuo desta população (amostra) qual é a
probabilidade de que exatamente 5 individuo sejam imunes?
RESPONDER
Unknown · 31/05/2017 20:32
Não entendi por que nessa questão 1 ( Uma moeda lançada 6 vezes. Letra B - a
probabilidade de cair pelo menos 4 vezes 4 caras ) por que �zeram esse calculo
22/64. Alguém consegue explicar? 
RESPONDER
marcoka · 11/10/2017 14:08
Será que poderias me ajudar com essa questão aqui? 
01) Um dado é lançado 5 vezes consecutivas. Qual a probabilidade de que: 
a. Saia um número par em todos os lançamentos? 
b. Não saia o número 2 em nenhum dos lançamentos? 
RESPONDER
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Unknown · 21/10/2018 08:11
Alguem poderia me ajudar com essa questão? 
Em uma avaliação psicológica para seleção de pessoas (RH), um candidato decide
responder ao acaso as questões por reconhecer que não está preparado. Sabe-se
que a probabilidade de se acertar cada questão é de 25% e que a prova possui 12
questões. Se o candidato decidir responder todas as questões, de forma
independente, qual a probabilidade de acertar 6 questões? (Aplique a distribuição
Binomial.)
RESPONDER
Unknown · 12/11/2018 11:42
Probabilidade = 40,149%
Guilherme · 10/10/2019 18:24
P(x=6) = (12 6) * (0,25^6)*(0,75^6) = 0,040149*100 = 4,0149% 
Unknown · 08/05/2019 17:22
₩*Maravilhoso isso
RESPONDER
Unknown · 19/06/2021 22:26
em certo município do interior de santa catarina, veri�cou-se que probabilidade
de que em cada gravidez a mulher tenha um bebê menino é duas vezes maior do
que a probabilidade do bebê ser menina. para este munícipio, sabendo que
existem 600 famílias com 5 crianças cada uma, quantas se esperaria que tivessem:
a. 3 meninos. b. no mínimo duas meninas. 
alguem sabe essa? 
RESPONDER
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Tudo sobre integrais de�nidas e exercícios resolvidos
com comentários
 
De�nição A Integral de�nida é um tipo de integral que tem um valor inicial que denominamos de limite
inferior e um valor �nal que chamamos de limite superior . Resumidamente a integral de�nida entre a
e b é a integral inde�nida em b menos a integral inde�nida em a . Teorema fundamental do cálculo
Muitas vezes , a gente ouve falar do teorema fundamental do cálculo e tem di�culdade de entender, …
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Exercícios resolvidos de provas sobre derivadas
aplicando as regras de diferenciação
Para calcular a derivada de uma função que seja derivável, em determinado ponto do seu domínio,
podemos sempre usar a de�nição. Mas, dependendo da função, isto pode signi�car bastante trabalho e
pode ser evitado usando regras de diferenciação, evitando assim complicados cálculos de limites. Em
que consistem as regras de derivação ? Resumidamente podemos a�rmar que se o cálculo de derivadas…
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Exercícios resolvidos sobre cálculode área em integrais
De�nidas
 
O teorema de integral de�nida para o cálculo de área , diz que : Se  f e g são funções de�nidas e
contínuas em [a, b] e tais que  f (x) ≥ g(x),  . Então a área da região A limitada pelos grá�cos de f(x) e g(x)
e pelas retas x = a e x = b é dada por: Gra�camente  Seção de exercícios  Determine a área limitada
pelas curvas  Exercício 1 Solução Primeiro ,vamos calcular as raízes (pontos de interseção) igualando as…
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