Inequações: Conceitos e Exemplos

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Inequação 
 
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 Similar à equação, a inequação é uma desigualdade envolvendo pelo menos uma incógnita, ou 
variável, que se verifica apenas para um conjunto de valores pertencente ao domínio das expressões. A 
desigualdade pode ser representada pelos sinais: , , ,  e . 
 Um exemplo de inequação é a expressão . A solução desta inequação são todos 
os valores de . Para achar a solução de uma inequação, podemos tentar isolar a incógnita se possível, 
ou pelo estudo dos sinais. 
 Por exemplo, a inequação , podemos isolar a incógnita: , ou 
através do estudo dos sinais. Para isso devemos: (i) Igualar a expressão a zero; (ii) achar a raiz da 
equação e; (iii) localizar o sinal conforme o caso. 
(i) 
(ii) 
 
 
 
(iii) 
 
 
 
Exemplo1: Resolver a inequação 
Para resolver essa inequação devemos separa-la em duas inequações: 
i) 
ii) 
De i) temos 
 
 
 
 
 
De ii) temos 
 
 
 
 
 
Pelo estudo dos sinais temos 
 
Realizando a intersecção dos domínios temos que a solução é 
 
 
Inequação 
 
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Inequação-produto e Inequação-Quociente: 
Para se achar os valores da variável, no caso, onde a inequação pode ser escrita como o produto ou divisão de 
dois polinômios, deve-se estudar os sinais separadamente dos polinômios, como descrito na Exemplo 2. 
Exemplo 2: Resolver a inequação 
Resolução: 
1º passo: Estudar os sinais das funções separadamete 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º passo: Estudar a inequação pelo quadro sinais: 
 
 
Exemplo 3: Resolva a inequação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quadro de sinais: 
 
O conjunto solução é 
 
Inequação 
 
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Exemplo 4: Ache os valores de x nos quais a inequação 
 
 
 seja válida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quadro de sinais 
 
 
 
Exemplo 5: Se 
 
 
 , então x é: 
Para resolver esta inequação, teremos primeiro que fazer a seguinte manipulação algébrica, pois: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos agora analisar o polinômio do numerador e do denominador separadamente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Inequação 
 
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Inequações do 2º Grau 
Para resolver uma inequação do 2º grau, deve-se determinar os intervalos de valores reais de x que satisfaçam 
a inequação. 
Exemplo 6: O conjunto da solução da inequação é: 
1º passo: Achar as raízes da equação 
Aplicando a fórmula de Bhaskara, os valores das duas raízes são: 
 
 
 
 e 
 
 
 
2º passo: Estudo dos sinais 
 
Os valores da variável x para que a inequação seja maior que zero são ou , então 
 
 
Exemplo 7: Ache os valores de x que satisfazem a inequação . 
As raízes são 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
, ou seja, x1= x2 
 
Os valores da variável x para que a inequação seja menor que zero são 
 
 
 
 
Inequação 
 
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Exemplo 8: Resolva a inequação 
Pela fórmula de Bhaskara temos que , então a equação , não tem solução real. 
Além disso, pela análise de sinais, temos que para todos os valores de x, o polinômio 
assume valores positivos 
 
Dessa forma, o conjunto solução desta inequação é o conjunto vazio, . 
Exemplo 8: Determine os valores reias de x para que se tenha . 
Como no exemplo anterior, temos pela fórmula de Bhaskara temos que , então a equação 
 , não tem solução real. 
Pela análise de sinais, temos que para todos os valores de x o polinômio assume valores 
positivos. 
 
Então o conjunto solução é o conjunto dos números reias. 
Em alguns casos, precisamos resolver uma dupla desigualdade, como apresentado pela expressão. 
 
Inequações deste tipo são chamadas de inequações simultâneas que pode ser transformada num sistema de 
equações 
 
 
 
 
Pare resolver este sistema, primeiramente estuda-se as inequações (1) e (2) separadamente. 
(1) 
 
 
 
 
, os zeros da função são e (pela fórmula de Bhaskara) 
 
 
 
Inequação 
 
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Pelo quadro de sinais temos: 
 
(2) 
 
 
 
, os zeros da função são e (pela fórmula de Bhaskara) 
 
Pelo quadro de sinais temos: 
 
A solução do sistema de inequação será a intersecção das soluções de (1) e (2). Então, o quadro geral de 
solução do sistema é: 
 
 
 
 
Pelos métodos usados para resolver as inequações do 1º e 2º grau é possível resolver qualquer inequação, 
como por exemplo, a inequação . 
 
Na resolução desta inequação, usamos o método de inequação-produto, onde a inequação é escrita como o 
produto de duas inequações. 
 
 
 
 
 
e achamos o zero de cada uma das funções. 
 
Para f (x) temos , com raízes e 
 
 
 
 
 
 
 
Inequação 
 
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Para g (x) temos , com raízes e 
 
A solução da inequação são os valores de x que tornam positivo o produto. 
 
 
 
Então, a solução é 
 
 
Exemplo 9: Resolva a inequação 
 
 
 
 
Nesse exemplo usamos o método de inequação-quociente onde 
 
 
 e , pois o 
denominador não pode ser zero. 
Considere e 
 
A solução para é 
 
 
A solução para é 
 
 
Então a solução da inequação é o intervalo onde a razão entre f(x) e g(x) é positiva e g(x)  zero 
 
 
 
Referências: 
Matemática: 2º Grau; Giovanni, J. R.; Bonjorno, J. R; Giovanni Jr, J. R.; FTD (1998)