prática de vibrações

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Indaial – 2020
Práticas de Vibrações
Prof. Marcelo Henrique Soar
1a Edição
Copyright © UNIASSELVI 2020
Elaboração:
Prof. Marcelo Henrique Soar
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
Impresso por:
S676p
 Soar, Marcelo Henrique
 Práticas de vibrações. / Marcelo Henrique Soar. – Indaial: UNIASSELVI, 
2020.
 231 p.; il. 
 ISBN 978-65-5663-094-6
1. Vibração. – Brasil. Centro Universitário Leonardo Da Vinci.
CDD 620.3
III
aPresentação
Caro acadêmico, você está iniciando a disciplina de Práticas de Vi-
brações, na qual você aprenderá os principais conceitos necessários quanto à 
teoria de vibrações em estruturas e equipamentos mecânicos, assim como as 
aplicações práticas desses conceitos na engenharia. 
Este livro está dividido em vários tópicos que tratam de assuntos dis-
tintos na área de vibração. Cada tópico introduzirá a fundamentação teórica 
necessária e, para a maioria desses, serão propostas práticas e experimentos 
ao final que permitem que você verifique os conceitos aprendidos e obtenham 
experiência prática nesse assunto.
Na primeira unidade do livro, você estudará sobre sistemas com um 
único grau de liberdade, como sistemas massa-mola, pêndulos, entre outros. 
Nessa unidade também serão introduzidos vários dos conceitos fundamentais 
que serão utilizados no decorrer da disciplina, como os conceitos de frequên-
cia, amplitude, amortecimento e série de Fourier.
Na segunda unidade, você aprenderá sobre sistemas com múltiplos 
graus de liberdade que são, geralmente, sistemas que são combinações dos 
sistemas estudados na Unidade 1. A suspensão de um automóvel pode ser 
tratada como um sistema desses e será estudada nessa unidade. Os assuntos 
abordados incluem também frequências naturais de vibração e formas modais 
dos sistemas.
Na terceira unidade, que é a última do livro, você estudará sistemas 
contínuos, ou seja, estruturas sólidas, como pontes. Nessa unidade, também 
serão abordados os assuntos de métodos de medição de vibrações e de contro-
le de vibrações.
Este livro foi desenvolvido para você que use o método de estudo EAD 
(Ensino a Distância), encorajando não apenas o estudo, mas a prática, os exer-
cícios e a busca por materiais complementares. Faça proveito de todas estas 
oportunidades e enriqueça a sua experiência.
Bons estudos!
Prof. Marcelo Henrique Soar
IV
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há novi-
dades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova diagra-
mação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também contribui para 
diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para apre-
sentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto em 
questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas institu-
cionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa continuar 
seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de De-
sempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
NOTA
V
VI
Olá, acadêmico! Iniciamos agora mais uma disciplina e com ela um 
novo conhecimento. 
Com o objetivo de enriquecer seu conhecimento, construímos, além do livro 
que está em suas mãos, uma rica trilha de aprendizagem, por meio dela você 
terá contato com o vídeo da disciplina, o objeto de aprendizagem, materiais complemen-
tares, entre outros, todos pensados e construídos na intenção de auxiliar seu crescimento.
Acesse o QR Code, que levará ao AVA, e veja as novidades que preparamos para seu estudo.
Conte conosco, estaremos juntos nesta caminhada!
LEMBRETE
VII
UNIDADE 1 – SISTEMAS DE UM GRAU DE LIBERDADE ...........................................................1
TÓPICO 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM VIBRAÇÕES ...................................................3
1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................................................3
2 VIBRAÇÕES ............................................................................................................................................3
3 MOVIMENTO HARMÔNICO ............................................................................................................6
4 GRAUS DE LIBERDADE ......................................................................................................................9
5 INTERFERÊNCIA .................................................................................................................................12
6 ESPECTRO DE FREQUÊNCIA ..........................................................................................................14
RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................17
AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................18
TÓPICO 2 – VIBRAÇÃO LIVRE ..........................................................................................................19
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................19
2 SISTEMAS MASSA-MOLA ...............................................................................................................19
3 SISTEMAS DE PÊNDULO SIMPLES ..............................................................................................25
4 SISTEMAS COM TORQUE E TORÇÃO .........................................................................................27
5 BARRA SÓLIDA ...................................................................................................................................29
6 ENERGIA DO SISTEMA ....................................................................................................................30
7 ATIVIDADE PRÁTICA – PÊNDULO SIMPLES ............................................................................31
RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................33
AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................34
TÓPICO 3 – VIBRAÇÃO AMORTECIDA ..........................................................................................37
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................37
2 AMORTECEDORES VISCOSOS ......................................................................................................37
3 VIBRAÇÕES VISCOSAMENTE AMORTECIDAS .......................................................................38
4 ENERGIA DISSIPADA .......................................................................................................................44
5 AMORTECIMENTO DE COULOMB ...............................................................................................446 ATIVIDADE PRÁTICA – VIBRAÇÃO VISCOSAMENTE AMORTECIDA ............................47
RESUMO DO TÓPICO 3........................................................................................................................49
AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................50
TÓPICO 4 – VIBRAÇÃO FORÇADA HARMÔNICAMENTE ......................................................51
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................51
2 VIBRAÇÃO FORÇADA NÃO-AMORTECIDA .............................................................................51
3 RESSONÂNCIA ....................................................................................................................................54
4 BATIMENTOS .......................................................................................................................................55
5 VIBRAÇÃO FORÇADA AMORTECIDA ........................................................................................56
6 ATIVIDADE PRÁTICA - DIAPASÕES ............................................................................................60
7 ATIVIDADE PRÁTICA – VIBRAÇÕES EM MOTOR ELÉTRICO .............................................61
RESUMO DO TÓPICO 4........................................................................................................................63
AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................64
sumário
VIII
TÓPICO 5 – VIBRAÇÃO FORÇADA GERAL ...................................................................................65
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................65
2 SÉRIE DE FOURIER .............................................................................................................................65
3 VIBRAÇÃO COM EXCITAÇÃO PERIÓDICA QUALQUER ......................................................66
4 VIBRAÇÃO COM EXCITAÇÃO NÃO PERIÓDICA ....................................................................69
LEITURA COMPLEMENTAR ...............................................................................................................72
RESUMO DO TÓPICO 5........................................................................................................................74
AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................75
UNIDADE 2 – SISTEMAS DE MÚLTIPLOS GRAUS DE LIBERDADE ......................................77
TÓPICO 1 – SISTEMAS COM DOIS GRAUS DE LIBERDADE EM VIBRAÇÃO LIVRE ......79
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................79
2 SISTEMA DE EQUAÇÕES .................................................................................................................79
3 VIBRAÇÃO LIVRE E FREQUÊNCIAS NATURAIS......................................................................82
4 MODOS NORMAIS DE VIBRAÇÃO ..............................................................................................84
5 VIBRAÇÕES COM TORÇÃO E ROTAÇÃO ..................................................................................89
6 EXCITAÇÃO DAS FORMAS MODAIS...........................................................................................96
7 PÊNDULO DUPLO...............................................................................................................................98
8 ATIVIDADE PRÁTICA – PÊNDULO DUPLO ...............................................................................99
RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................101
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................102
TÓPICO 2 – SISTEMAS COM DOIS GRAUS DE LIBERDADE 
 EM VIBRAÇÃO FORÇADA ........................................................................................103
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................103
2 VIBRAÇÃO FORÇADA ...................................................................................................................103
3 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA ......................................................................................................107
4 EFEITOS DO AMORTECIMENTO ...............................................................................................110
5 EIXOS DESBALANCEADOS ...........................................................................................................113
6 ATIVIDADES PRÁTICA – EIXO DESBALANCEADO .............................................................115
RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................118
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................119
TÓPICO 3 – SISTEMAS COM TRÊS OU MAIS GRAUS DE LIBERDADE .............................121
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................121
2 EQUAÇÕES DO MOVIMENTO .....................................................................................................121
3 MATRIZ DE FLEXIBILIDADE .........................................................................................................124
4 PROBLEMA DE AUTOVALORES ..................................................................................................125
5 CÁLCULO DE AUTOVETORES .....................................................................................................128
6 AUTOVALORES REPETIDOS .........................................................................................................130
7 ANÁLISE MODAL: COORDENADAS GENERALIZADAS ....................................................132
8 ANÁLISE MODAL: RESPOSTA EM FREQUÊNCIA .................................................................135
9 ATIVIDADE PRÁTICA: MESA SOBRE MOLAS ........................................................................141
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................145
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................149
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................150
UNIDADE 3 – SISTEMAS CONTÍNUOS E CONTROLE DE VIBRAÇÕES ............................151
TÓPICO 1 – SISTEMAS CONTÍNUOS DE VIBRAÇÃO ..............................................................153
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................153
IX
2 EQUAÇÃO DA ONDA EM CORDAS ...........................................................................................153
3 CONDIÇÕES DE CONTORNO ......................................................................................................156
4 VIBRAÇÕES EM BARRAS ..............................................................................................................162
5 VIBRAÇÕES EM VIGAS ..................................................................................................................164
6 VIBRAÇÕES TORCIONAIS ............................................................................................................1697 VIBRAÇÕES EM MEMBRANAS ....................................................................................................170
8 MÉTODO DE RAYLEIGH ................................................................................................................174
9 ATIVIDADE PRÁTICA: CORDA VIBRANTE .............................................................................176
10 ATIVIDADE PRÁTICA: FIGURAS DE CHLADNI ...................................................................177
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................177
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................178
RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................179
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................180
TÓPICO 2 – CONTROLE DE VIBRAÇÕES .....................................................................................181
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................181
2 LIMITES ACEITÁVEIS DE VIBRAÇÃO .......................................................................................181
3 AMORTECEDOR DINÂMICO DE VIBRAÇÕES .......................................................................182
4 ISOLAMENTO DE VIBRAÇÕES ....................................................................................................189
5 BALANCEAMENTO DE MÁQUINAS ROTATIVAS .................................................................192
6 BALANCEAMENTO DE MOTORES .............................................................................................196
8 ATIVIDADE PRÁTICA: AMORTECEDOR DINÂMICO ..........................................................198
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................200
9 ATIVIDADE PRÁTICA: BALANCEAMENTO DE EIXOS ........................................................200
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................201
RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................202
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................204
TÓPICO 2 – MEDIÇÃO E ANÁLISE DE VIBRAÇÕES .................................................................205
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................205
2 EQUIPAMENTOS DE MEDIÇÃO DE VIBRAÇÃO ....................................................................205
3 SENSORES SÍSMICOS ....................................................................................................................208
4 ANÁLISE DE VIBRAÇÕES ..............................................................................................................211
5 ANÁLISE DE FALHAS DE MÁQUINAS ......................................................................................214
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................216
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................218
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................220
REFERÊNCIAS .......................................................................................................................................221
X
1
UNIDADE 1
SISTEMAS DE UM 
GRAU DE LIBERDADE
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• descrever os conceitos fundamentais de vibrações e movimento periódico;
• compreender os fenômenos básicos em vibrações;
• calcular a resposta de sistemas de um grau de liberdade sob várias condi-
ções de excitações;
• analisar o espectro de frequência de uma excitação ou resposta.
Esta unidade está dividida em cinco tópicos. No decorrer da unidade você 
encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado.
TÓPICO 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM VIBRAÇÕES
TÓPICO 2 – VIBRAÇÃO LIVRE
TÓPICO 3 – VIBRAÇÃO AMORTECIDA
TÓPICO 4 – VIBRAÇÃO FORÇADA HARMÔNICA
TÓPICO 5 – VIBRAÇÃO FORÇADA NÃO HARMÔNICA
 Preparado para ampliar seus conhecimentos? Respire e vamos em 
frente! Procure um ambiente que facilite a concentração, assim absorverá 
melhor as informações.
CHAMADA
2
3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM VIBRAÇÕES
1 INTRODUÇÃO
Caro acadêmico, você está prestes a começar um novo passo em seus es-
tudos e provavelmente está se perguntando: qual a importância de você aprender 
sobre práticas de vibrações? 
Existem várias situações de engenharia nas quais as vibrações influen-
ciam, como ondas sonoras, oscilações em vigas, pontes etc. Um exemplo comum 
são os automóveis. Você sabia que o sistema de suspensão dos automóveis existe 
para controlar essas vibrações?
Neste tópico, você aprenderá sobre alguns conceitos básicos de vibrações, 
como e onde as vibrações ocorrem, o movimento harmônico e a importância de 
estudar o assunto, assim como os fenômenos de interferência e ressonância, além 
do conceito de espectro.
 
2 VIBRAÇÕES
Quando se fala em vibrações, um exemplo clássico da importância é o caso 
da ponte Tacoma Narrows, que existia na cidade de Tacoma, no estado de Washin-
gton, nos Estados Unidos, conforme Figura 1. Essa ponte existia em uma região de 
alta ventosidade, e esses ventos sopravam sobre a ponte. 
Em uma situação normal, a força do vento não seria suficiente para causar 
vibração significante da ponte, no entanto, a forma que a força era aplicada ex-
citou uma forma de vibração crítica da ponte, causando uma vibração de torsão 
(BILLAH; SCANLAN, 1991). Hoje, as pontes devem ser construídas prevendo e 
controlando esses efeitos.
UNIDADE 1 | SISTEMAS DE UM GRAU DE LIBERDADE
4
FIGURA 1 – VIBRAÇÕES NA PONTE TACOMA NARROWS
FONTE: <http://bit.ly/33kfzHE>. Acesso em: 7 set. 2019.
Em automóveis, o sistema possui vibrações que são especialmente comuns. 
Essas vibrações podem ser perigosas para os passageiros e provocam um alto risco 
de quebra do automóvel se for excessiva, por isso, é utilizado um sistema que é utili-
zado para absorver choques, como você pode observar na Figura 2.
O sistema de absorção de choque dos automóveis é baseado no uso de molas 
e amortecedores viscosos. Esses amortecedores são essencialmente um pistão e êm-
bolo que deslizam em uma câmara preenchida com óleo. Quando o êmbolo é movi-
do, devido ao movimento entre o carro e a suspensão, o êmbolo desliza na câmara 
de óleo, gerando uma resistência viscosa a esse movimento por parte do óleo, o que 
dissipa a energia que foi recebida no choque (RAO, 2008).
TÓPICO 1 | CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM VIBRAÇÕES
5
FIGURA 2 – SISTEMA DE ABSORÇÃO DE CHOQUES NA SUSPENSÃO DE UM AUTOMÓVEL
FONTE: <http://bit.ly/33khnAl>. Acesso em: 13 set. 2019.
Muitos equipamentos industriais também utilizam sistemas de amorteci-
mento com mola, geralmente na fundação de equipamentos que apresentam alto 
nível de vibração. A Figura 3 é um exemplo disso, na qual você pode observar um 
sistema de mola e amortecimento na fundação de uma bomba industrial (SANTOS, 
2006).
FIGURA 3 – SISTEMA DE AMORTECIMENTO NA FUNDAÇÃO DE UMA BOMBA INDUSTRIAL
FONTE: <http://bit.ly/2qNIzdl>. Acesso em: 26 set. 2019.
UNIDADE 1 | SISTEMAS DE UM GRAU DE LIBERDADE
63 MOVIMENTO HARMÔNICO
Os conceitos relacionados às vibrações podem ser compreendidos ao ana-
lisar uma forma de movimento bastante comum, chamada de movimento circular, 
como no Gráfico 1, em que um objeto (ponto vermelho) percorre um trajeto sobre um 
círculo (azul), a velocidade constante. A posição vertical do objeto, se desenhado ao 
longo do tempo, forma a curva do lado direito da figura. Um exemplo desse movi-
mento pode ser uma massa que é segurada por uma pessoa no centro, e presa por 
uma corda. 
Um outro exemplo mais prático seria considerar o ponto da Gráfico 1 como 
sendo um ponto na superfície de um eixo ou outro equipamento em rotação, que 
percorre um trajeto como o indicado. Existem muitos equipamentos na engenharia 
que possuem rotação, como mancais, engrenagens, polias, entre outros, o que torna 
essa forma de movimento bastante comum.
GRÁFICO 1 – MOVIMENTO CIRCULAR
FONTE: O autor
A primeira observação que devemos fazer nesse gráfico é o conceito de 
período. O período é o tempo que o ponto leva para dar uma volta completa no 
círculo, ou seja, o tempo que leva para o movimento começar a se repetir. Este 
pode ser calculado como a distância entre duas cristas, ou dois vales, no gráfico do 
movimento. 
A segunda definição de interesse é a da amplitude, que é igual ao máximo 
movimento após a linha média que o objeto atinge. Em outras palavras, é a altura 
das cristas e dos vales a partir da linha média.
TÓPICO 1 | CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM VIBRAÇÕES
7
Na situação exemplo, em que o ponto do Gráfico 1 é um ponto na superfí-
cie de um eixo em rotação, o período seria o tempo que levaria para o eixo realizar 
uma volta completa em torno de si mesmo. A amplitude, por outro lado, seria 
igual ao raio do eixo, pois a máxima altura vertical que o ponto pode chegar a 
partir do centro é igual ao raio.
Em sistemas que possuem rotação muito alta, é inconveniente utilizar perí-
odo, pois resulta em números muito pequenos, e difíceis de visualizar. Nesse caso, 
vale a pena utilizar o conceito de frequência, desenvolvido na Equação 1, que é o 
inverso do período.
1f
T
=
( ) f Frequência Hz→
( ) T Período s→
(Eq. 1)
(Eq. 2)
(Eq. 3)
A frequência é essencialmente um número que representa quantas rotações 
podem ocorrer em um segundo (que nem sempre é um número inteiro, por exem-
plo, 1,5 rotações em um segundo). A unidade no sistema internacional da frequên-
cia é o Hertz (Hz), mas também é comum utilizar rotações por minuto (RPM).
Se você observar o ângulo θ, no Gráfico 1, você pode perceber que a altura 
do movimento pode ser escrita através da definição do seno, como cateto oposto 
sobre hipotenusa, conforme está na Equação 2.
( ).x A sen θ=
( ) x Posição m→
( ) A Amplitude m→
( ) Ângulo radθ →
Se o movimento possui velocidade constante, o ângulo θ é linearmente pro-
porcional ao tempo, portanto essa equação pode ser escrita conforme a Equação 3, 
onde ω é uma constante que depende da velocidade.
( ) t tempo s→
( ) t tempo s→
UNIDADE 1 | SISTEMAS DE UM GRAU DE LIBERDADE
8
A constante ω é chamada de frequência angular. Você pode perceber que ela 
representa o número de ciclos que ocorrem em 2π segundos, portanto, essa constante 
está relacionada com a frequência e o período através da Equação 4.
22 f
T
πω π= =
 radFrequência angular
s
ω  →  
 
(Eq. 4)
(Eq. 6)
(Eq. 5)
Esse movimento determinado por uma equação de seno, ou cosseno, é cha-
mado de movimento harmônico. Vale também destacar que a velocidade e acelera-
ção do movimento podem ser obtidas de forma relativamente fácil, diferenciando a 
Equação 3, conforme as Equações 5 e 6.
( ). . .dxv A cos t
dt
ω ω= =
( )
2
2
2 . . .
dv d xa A sen t
dt dt
ω ω= = = −
Existem também outras formas de movimento periódico. Alguns exemplos são 
as ondas quadradas, triangulares, e dente de serra, mostradas na Figura 4, que ocorrem 
especialmente na área de sinais em equipamentos elétricos. As definições de período, 
amplitude e frequência são também aplicáveis para essas outras formas de onda.
TÓPICO 1 | CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM VIBRAÇÕES
9
FIGURA 4 – FORMAS DE MOVIMENTO PERIÓDICO
FONTE: <http://bit.ly/2QUC6Ib>. Acesso em: 9 set. 2019.
Para melhor observar como o movimento circular traduz-se para um movi-
mento de seno e cosseno, observe o experimento no vídeo a seguir, que compara a proje-
ção da sombra de um movimento circular com o movimento de um pêndulo: https://www.
youtube.com/watch?v=0IaKcqRw_Ts.
DICAS
4 GRAUS DE LIBERDADE
Uma observação importante que deve ser feita antes de resolver qualquer 
problema de vibrações é quanto ao número de graus de liberdade de um sistema. 
Para entender o conceito de graus de liberdade, considere a situação da Figura 5 que 
apresenta três pêndulos de corda. O primeiro é um pêndulo simples, possuindo ape-
nas uma corda e uma massa atada ao fim. O segundo é um pêndulo duplo, que con-
siste em um pêndulo simples atado ao fim de outro pêndulo simples. O terceiro é um 
pêndulo triplo, construído de maneira similar.
UNIDADE 1 | SISTEMAS DE UM GRAU DE LIBERDADE
10
FIGURA 5 – PÊNDULOS COM UMA, DUAS E TRÊS MASSAS.
FONTE: O autor
Imagine que esses três pêndulos são soltos de uma certa posição. Para o pri-
meiro pêndulo devemos saber a posição x1, da massa m1, para descrever a posição do 
pêndulo. Já para o segundo, não basta saber a posição da massa 1 apenas, é preciso 
saber a posição de ambas as massas para descrever o sistema, pois essas posições 
não podem ser determinadas a partir da outra. Similarmente, para o pêndulo triplo, 
precisamos das três posições. Por causa disso, surge o conceito de graus de liberdade, 
que indica o número de variáveis necessárias para descrever o sistema (RAO, 2008). 
Para o sistema de pêndulo simples, temos um grau de liberdade (x1), para o pêndulo 
duplo temos dois (x1 e x2) e para o pêndulo triplo temos três (x1, x2 e x3).
Um exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade são os automó-
veis, que têm molas na suspensão próximo a cada uma das rodas. As rodas, por sua 
vez, possuem certa flexibilidade própria, podendo se tratar o sistema como um siste-
ma de 5 graus de liberdade: as quatro rodas e a parte superior do carro.
Outra situação de interesse que está relacionada com o conceito graus de li-
berdade é aquela em que uma onda se propaga em um meio físico. A Figura 6 é um 
exemplo desse fenômeno, que é o que acontece no mar ou lagos, onde você pode 
observar o movimento da superfície da água apresentando um perfil senoidal. 
TÓPICO 1 | CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM VIBRAÇÕES
11
FIGURA 6 – ONDA SE PROPAGANDO NO MEIO FÍSICO - ÁGUA
FONTE: <https://vimeo.com/287881246>. Acesso em: 10 set. 2019.
Se você deixar cair uma pedra em um lago, perceberá que a perturbação gera-
da por essa se espalhará em todas as direções. Essa perturbação terá uma forma que 
muito se assemelha às curvas do movimento harmônico.
O mesmo tipo de movimento pode ser observado no caso da ponte Tacoma 
Narrows, da Figura 1, que quebrou. Essa exibia um movimento ondulatório por todo o 
seu comprimento e até mesmo na direção da sua largura.
No entanto, você pode perceber que nessas situações não é possível contar o 
número de graus de liberdade do sistema. De fato, cada ponto da água, ou da ponte, 
pode se mover para cima ou para baixo, então o número de graus de liberdade seria es-
sencialmente infinito. Em uma situação dessa, diz-se que temos um sistema contínuo.
No sistema contínuo, aparecerá uma variável chamada de comprimento de 
onda, que é a distância entre duas cristas, ou dois vales, da onda que se propaga pelo 
meio. Essa onda também exibirá frequência e período, que estarão relacionados com o 
movimento da onda.
Não confundir o período do movimento em um movimento harmônico com 
o comprimento de onda em uma onda que se propaga em um objeto. O período possui 
unidade de tempo (segundo), enquanto o comprimento de onda possui unidade de compri-
mento (metro). O período no movimento de um sistema contínuo com onda se propagan-
do seriadeterminado olhando para um único ponto, ignorando a forma da onda e traçando 
o gráfico da posição desse ponto com o tempo.
IMPORTANT
E
UNIDADE 1 | SISTEMAS DE UM GRAU DE LIBERDADE
12
5 INTERFERÊNCIA
Muitas vezes podemos tratar de sistemas que possuem mais de uma fonte 
que gera ondas, o que pode causar um fenômeno conhecido como interferência.
A interferência é o que acontece quando duas ondas se encontram. O resul-
tado da amplitude de cada onda é somado, o que resulta no que você pode ver na 
Figura 7, que é chamado de interferência construtiva, onde duas ondas se propa-
gam em um meio em direções opostas, e se somam quando se encontram. 
FIGURA 7 – INTERFERÊNCIA CONSTRUTIVA.
FONTE: <http://bit.ly/33pPTcu>. Acesso em: 12 set. 2019.
No entanto, as amplitudes podem ser em direções opostas, isto é, uma onda 
está em uma crista quando a outra está em um vale. Nesse caso, a soma das amplitu-
des se cancelará, resultando na chamada interferência destrutiva, como na Figura 8, 
na qual, novamente, temos duas ondas se propagando em um meio, mas desta vez 
com amplitudes de sinais opostos.
TÓPICO 1 | CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM VIBRAÇÕES
13
FIGURA 8 – INTERFERÊNCIA DESTRUTIVA.
FONTE: <http://bit.ly/2QSundR>. Acesso em: 12 set. 2019.
Esse fenômeno de interferência não ocorre apenas em meios físicos; pode 
ocorrer também para o caso de oscilações em um único tempo. Por exemplo, se te-
mos um pêndulo que recebe uma força para um lado, que geraria uma oscilação, e 
uma segunda força para outro lado, que geraria uma oscilação com amplitude opos-
ta, as duas se cancelariam.
Perceba também que até aqui falamos de amplitudes iguais ou opostas, no 
entanto isso não é necessariamente sempre verdade. Podemos ter interferência de 
ondas mesmo com amplitudes e até frequências diferentes, como no caso da Figura 
9. Nesse caso, a onda resultante é a soma de todas as ondas.
UNIDADE 1 | SISTEMAS DE UM GRAU DE LIBERDADE
14
FIGURA 9 – INTERFERÊNCIA DE ONDAS DE DIFERENTES FREQUÊNCIAS.
FONTE: <http://bit.ly/2DlmHst>. Acesso em: 12 set. 2019.
6 ESPECTRO DE FREQUÊNCIA
Observando como várias ondas somadas interferem entre si na Figura 9, 
percebemos que a onda final é uma onda bem geral. Podemos nos perguntar en-
tão: será que qualquer onda é uma combinação de ondas mais simples?
Esse pensamento está baseado em razões físicas também. Imagine, por 
exemplo, as ondas sonoras produzidas por um piano. Cada tecla do piano pro-
duz uma frequência sonora específica, mas quando tocamos várias notas, temos 
um som mais complexo. Isso vale para as cordas vocais que utilizamos para falar.
Outros sistemas mecânicos de engenharia também seguem isso, existindo 
geralmente algumas frequências nas quais esses costumam vibrar. Até mesmo para 
as ondas de luz, a frequência dela é determinada pelos átomos que emitem essa luz.
No Gráfico 2, temos um exemplo no qual esse princípio é aplicado para des-
crever uma onda quadrada. Na parte superior você vê a onda como uma combinação 
de ondas mais simples. Na parte inferior você vê o que chamamos de espectro de fre-
quências, que nada mais é que uma indicação das frequências que foram utilizadas 
para compor essa onda. Perceba que nem todas as frequências têm necessariamente 
a mesma amplitude, muitas vezes para formar a onda desejada, devemos achar a 
amplitude certa para cada frequência.
TÓPICO 1 | CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM VIBRAÇÕES
15
GRÁFICO 2 – ESPECTRO DE FREQUÊNCIA
FONTE: <http://bit.ly/2OpeFW6>. Acesso em: 12 set. 2019.
Dessa forma, a onda de formato geral pode ser escrita como uma soma de 
ondas mais simples, através da Equação 7, que é conhecida como a série de Fourier, 
onde os coeficientes “an” e “bn” são as amplitudes de cada onda. 
( ) ( ) ( )( )0
1
cos
2 n nn
ax t a n t b sen n tω ω
∞
=
= + +∑
( ) ( ) x t Posição m→
( )0, , n na a b Amplitudes m→
 radFrequência ângular
s
ω  →  
 
( ) .n Númerointeiro adim→
(Eq. 7)
UNIDADE 1 | SISTEMAS DE UM GRAU DE LIBERDADE
16
( ) t Tempo s→
A série de Fourier será utilizada para o cálculo quando possuímos forças 
que tem um formato qualquer, isto é, forças periódicas que não são harmônicas, o 
que será estudado no Tópico 4 desta unidade.
17
Neste tópico, você aprendeu que:
• A vibração é um fenômeno que aparece em praticamente qualquer sistema de 
engenharia, sendo em alguns casos o motivo pela falha do sistema.
• O movimento circular é um exemplo de movimento no qual ocorrem oscilações, 
resultando no chamado movimento harmônico.
• O movimento harmônico é descrito por funções de seno e cosseno, e é caracte-
rizado por algumas variáveis, como amplitude, período e frequência, conceitos 
que existem também para outras formas de movimento periódico.
• A amplitude é o máximo deslocamento de uma oscilação a partir da linha média.
• O período é o tempo que leva para um movimento periódico começar a se repe-
tir. No movimento harmônico é igual à distância entre duas cristas ou dois vales.
• A frequência é o inverso do período, e representa quantos ciclos de oscilação 
ocorrem por segundo.
• Graus de liberdade é o número de variáveis necessárias para caracterizar a posi-
ção de um sistema.
• Comprimento de onda é a distância que uma onda se propagando em um meio 
físico possui antes de se repetir.
• Interferência é o efeito da soma de ondas, que pode ser construtiva e destrutiva.
• O espectro de frequência é a listagem e amplitudes das frequências que compõe 
uma onda qualquer, que pode ser mais complexa que uma oscilação harmônica.
RESUMO DO TÓPICO 1
18
1 Um movimento harmônico descreve o movimento de um ponto em vibra-
ção, que é determinado pela equação x(t)=20sen(4t). Classifique as afirma-
ções em V para as verdadeiras e F para as falsas.
( ) A frequência do movimento é 4 Hertz.
( ) O período do movimento é aproximadamente 1,57 segundos.
( ) A frequência angular do movimento é 8π.
( ) A velocidade máxima do movimento é 80 metros por segundo.
Assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) V – F – V – F. 
b) ( ) F – V – F – V.
c) ( ) V – V – F – F.
d) ( ) F – F – V – V. 
2 Os fenômenos de vibrações apresentam várias propriedades e efeitos, tanto 
por si só, assim como quando interagem entre múltiplas ondas. Com base 
nesses conceitos, assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) O fenômeno de interferência não é observado no encontro de ondas de fre-
quências diferentes. 
b) ( ) Sistemas com dois ou mais graus de liberdade apresentam comprimento de 
onda. 
c) ( ) O espectro de frequência de sen(20π.t) seria diferente de zero apenas em 
f=10 Hz.
d) ( ) O movimento é chamado de harmônico quando não ocorre fenômeno de 
interferência.
AUTOATIVIDADE
19
TÓPICO 2
VIBRAÇÃO LIVRE
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
A forma mais simples de vibração é aquela observada em um sistema 
massa-mola. Essa vibração é harmônica, devido à presença de uma força res-
tauradora, e ignora qualquer tipo de perda de energia que geralmente ocorre na 
realidade, assim como desprezando qualquer tipo de força externa.
Neste tópico, você aprenderá sobre o sistema massa-mola, as equações di-
ferenciais que levam a vibração desse sistema, a equação solução do movimento, 
assim como alguns exemplos de sistemas que apresentam um comportamento 
semelhante, como o pêndulo simples e sistemas com torção.
2 SISTEMAS MASSA-MOLA
Um exemplo clássico de sistema que apresenta vibração livre, e que é uma 
das formas mais simples desse tipo de fenômeno, é o chamado sistema massa-
-mola, que é mostrado na Figura 10.
FIGURA 10 – SISTEMA MASSA-MOLA
FONTE: <http://bit.ly/2XQaWns>. Acesso em: 16 set. 2019.
UNIDADE 1 | SISTEMAS DE UM 
20
O sistema massa-mola consiste basicamente em um objeto que possui uma 
massa m, conectado a uma superfície fixa através de uma mola, que possui constante 
de mola k. A força que a mola exercerá sobre esse objeto será uma força proporcional 
à constante de mola e irá ser sempre na direção contrária ao deslocamento do objeto 
quanto ao ponto no qual a mola não estava deformada, portanto será conformea 
Equação 8, que é a chamada lei de Hooke. 
.molaF k x= −
( ) molaF Força da mola N→
 Nk Constantedeamortecimento
m
 →  
 
( ) x Deslocamento m→
( ) ( )1000 . 0,05 50 molaF N= − = −
(Eq. 8)
Exemplo: uma mola de constante k=1000 N/m sofre um deslocamento x de 
0,05 m. Calcule a força exercida pela mola.
Solução:
Onde o sinal de menos ocorre, pois, a força é na direção oposta ao deslocamento.
IMPORTANT
E
A Figura 11 mostra esse comportamento, onde a deformação sofrida pela 
mola aumenta linearmente com a força do peso nessa. Você pode perceber que quan-
do uma massa é adicionada, a mola se deforma uma distância x, quando duas massas 
são adicionadas, a distância de deformação é 2x, e assim por diante.
TÓPICO 2 | VIBRAÇÃO LIVRE
21
FIGURA 11 – LEI DE HOOKE
FONTE: <http://bit.ly/2Dg3mZU>. Acesso em: 26 set. 2019.
O problema associado à vibração livre é o seguinte: se fornecermos a posição e 
velocidade inicial do objeto, x0 e v0, como será o movimento do objeto com o tempo? Para 
responder esse problema, devemos aplicar a segunda lei de Newton, que diz que a soma 
das forças no corpo é igual à sua massa vezes a sua aceleração, conforme a Equação 9.
.F m a∑ =
( ) F Força N→
(Eq. 9)
UNIDADE 1 | SISTEMAS DE UM 
22
2 
ma Aceleração
s
 →  
 
( ) m Massa kg→
No caso do sistema massa mola, a única força atuante é a força da mola 
sobre o objeto, portanto a equação se torna conforme a Equação 10.
.kx m a− =
Lembre-se que a aceleração é a segunda derivada da posição, portanto essa 
será uma equação diferencial ordinária. Costuma-se colocar todos os termos da 
equação que contém x em um lado, e todos que não contém do outro lado, portanto 
ficamos com a Equação 11.
2
2. . 0
d xm k x
dt
+ =
(Eq. 10)
(Eq. 11)
(Eq. 12)
(Eq. 14)
(Eq. 13)
O modo mais fácil de resolver essa equação é observar que ela essencialmente 
diz que a segunda derivada de x é igual a –x vezes uma constante. Conhecemos duas 
funções que satisfazem essa condição: seno e cosseno (compare as Equações 3 e 6 no 
tópico anterior). Portanto, podemos supor uma solução da forma da Equação 12.
( ) ( )x t sen tω=
Substituindo essa solução na Equação 11, obtemos o valor da constante ω, 
que é a frequência angular, conforme a Equação 13. Isolando ω, obtemos a fórmula 
para a frequência angular desse problema, que é a Equação 14. O mesmo desenvol-
vimento pode ser aplicado para a função cosseno, obtendo os mesmos resultados.
( )( ) ( )( )
2
2
2. . 0 . 0
d sen t
m k sen t m k
dt
ω
ω ω+ = →− + =
k
m
ω =
 radFrequência ângular
s
ω  →  
 
 Nk Constantedeamortecimento
m
 →  
 
( ) m Massa kg→
TÓPICO 2 | VIBRAÇÃO LIVRE
23
(Eq. 15)
Um ponto interessante de se notar é que a frequência de oscilação depende 
apenas das propriedades da massa e da mola. A amplitude aplicada a esse movimen-
to e a velocidade inicial não tem nenhuma influência sobre a frequência de vibração. 
Se você soltar a massa após uma deformação da mola de 10 cm, 5 cm ou 1 cm, o 
tempo que o sistema levará para passar por um ciclo e voltar ao ponto inicial será 
exatamente o mesmo, o que não é um resultado intuitivo.
Para finalizar a solução desse problema, devemos notar que a Equação 11 
é uma Equação diferencial ordinária que é linear e homogênea. Isso significa que 
duas soluções dessa equação, somadas, também serão solução, e que um múltiplo de 
uma solução é também solução. Assim a forma mais geral da solução fica conforme 
a Equação 15, onde ω é dado pela Equação 14.
( ) ( ) ( )1 2cosx t c sen t c tω ω= +
No caso da Equação 15, os valores c1 e c2 são constantes que dependerão das 
condições iniciais do problema, isto é, de x0 e v0.
A Figura 14 mostra um exemplo do movimento harmônico sofrido por um 
sistema massa mola com o passar do tempo. Cada posição seguinte na figura é um 
intervalo de tempo fixo após o anterior, resultando na curva senoidal traçada, que 
descreve o movimento ao longo do tempo.
FIGURA 12 – RESPOSTA DE UM SISTEMA MASSA-MOLA
FONTE: <http://bit.ly/34s9aeI>. Acesso em: 26 set. 2019.
UNIDADE 1 | SISTEMAS DE UM 
24
Exemplo: um sistema massa mola com k=100 N/m e m=1kg é deixado vibrar 
livremente após ser solto de uma posição x
0
=0,1 m, com velocidade v
0
=0. Calcule a equa-
ção do movimento.
Solução: primeiramente podemos calcular a frequência angular ω, através da Equação 14, 
o que resulta na Equação 16.
IMPORTANT
E
100 10 /
1
rad sω = =
( ) ( ) ( )0 1 20 0,1 10.0 cos 10.0x t x c sen c= = = = +
( ) ( ) ( )0 1 20 0 10. 10.0 10.sen 10.0v t v c cos c= = = = −
( ) ( )0,1cos 10x t t=
(Eq. 16)
(Eq. 17)
(Eq. 18)
(Eq. 19)
Para encontrar as constantes c1 e c2, devemos aplicar as condições iniciais à Equação 15, 
resultando nas Equações 17 e 18 (note que se tomou a derivada da Equação 15 para obter 
a equação da velocidade).
Perceba que na primeira equação, temos seno de zero, que é zero, e cosseno de 0, que 
é um, portanto resulta em c2=0,1. Já a segunda equação ocorre o contrário: o segundo 
termo se anula e o primeiro é o único que resta, mostrando que c1 é igual a zero. Assim a 
Equação final do movimento é a Equação 19.
A Equação 15 pode também ser reescrita em uma forma que fica mais conve-
niente em alguns casos. Percebemos que a soma de um seno e cosseno com a mesma 
frequência resulta em uma nova onda senoidal, que possui amplitude A um pouco 
diferente dos dois, e que não inicia em t=0 nem no ponto de zero (como o seno), nem 
no seu ponto máximo (como o cosseno), possuindo, portanto, fase ϕ. Essa onda pode 
ser escrita através da Equação 20.
Em que as constantes A e ϕ são dadas pelas Equações 21 e 22, nas quais c1 e c2 são as 
constantes da Equação 15.
( ) ( ).cosx t A tω φ= −
2 2
1 2A c c= +
(Eq. 20)
(Eq. 21)
TÓPICO 2 | VIBRAÇÃO LIVRE
25
1
2
arctan c
c
φ
 
=  
 
(Eq. 21)
As Equações 20 a 22 valem para qualquer soma de senos e cossenos de 
mesmas frequências, não apenas para o caso da Equação 15. Algo similar a Equação 15 
aparecerá em vários dos problemas estudados nesta unidade: amortecimento, vibração 
forçada, série de Fourier etc., portanto, vale lembrar que essa outra forma também pode 
ser utilizada.
IMPORTANT
E
3 SISTEMAS DE PÊNDULO SIMPLES 
Um outro sistema que exibe um comportamento semelhante, que foi des-
crito inclusive no tópico anterior, é o pêndulo. Considere um pêndulo simples, 
com um único grau de liberdade, conforme a Figura 13.
FIGURA 13 – PÊNDULO SIMPLES
FONTE: <http://bit.ly/33t9uZa>. Acesso em: 16 set. 2019.
Novamente, o problema pode ser resolvido aplicando a segunda lei de 
Newton. Nesse caso, existem duas forças presentes no sistema: a força peso da mas-
sa do pêndulo, e a força de tensão no cabo do pêndulo, que mantém a massa presa. 
UNIDADE 1 | SISTEMAS DE UM 
26
Essas forças possuem duas componentes, as forças na direção tangencial e 
radial. Usando um pouco de trigonometria, podemos escrever a força na direção 
tangencial de acordo com a Equação 23.
( ). .tF m g sen θ= −
( ) tantF Força gencial N→ ( ) tantF Força gencial N→
( ) m Massa doobjeto kg→
2 
mg Aceleraçãoda gravidade
s
 →  
 
( ) Ângulodacordacoma normal radθ →
(Eq. 23)
(Eq. 24)
(Eq. 25)
(Eq. 26)
Aplicando a segunda lei de Newton, temos a Equação 24. Perceba que desta 
vez a aceleração deve considerar o movimento não em linha reta, mas na circunfe-
rência sobre a qual a massa se move. A distância percorrida em uma circunferência 
é o raio multiplicado pelo ângulo em radianos, pela própria definição da unidade 
radianos.
( ) ( )
2 2
2 2
.
. . . . . .
d L dm g sen m a m m L
dt dt
θ θθ− = = =
Na Equação 21 podemos cancelar a massa em ambos os lados da equação e 
mover todos os termos para um único lado. Para simplificar o problema, podemos 
perceber que para ângulos pequenos, a função seno de θ é aproximadamente igual a 
θ (a expansão em série de Taylor tem o termo quadrado sendo nulo). Assim a equa-
ção diferencial ordinária para esse problema será a Equação 25.
2
2. . 0
dL g
dt
θ θ+ =
Comparando essaequação com a Equação 11, podemos notar que é essen-
cialmente o mesmo problema, apenas com outra variável e constantes diferentes. 
Através dessa comparação, fica evidente que a solução deverá ser a mesma, a Equa-
ção 15, em que a frequência angular agora será dada pela Equação 26. 
2
2. . 0
dL g
dt
θ θ+ =
g
L
ω =
TÓPICO 2 | VIBRAÇÃO LIVRE
27
( ) / Frequência natural do pêndulo rad sω →
( )2 /g Aceleraçãoda gravidade m s→
( ) L comprimentodacorda do pêndulo m→
Exemplo: considere um pêndulo com uma corda de 0,5 m e massa de 2 kg. 
Calcule o período desse pêndulo.
Solução: a frequência natural é calculada partir da Equação 26:
IMPORTANT
E
9,81 4,43 /
0,5
g rad s
L
ω = = =
2 2 1,41 
4,43
T sπ π
ω
= = =
O período é calculado a partir da frequência natural, usando a Equação 4:
Perceba que a massa não foi necessária, pois o período do pêndulo independe da massa.
Percebemos que no problema do pêndulo, a frequência do movimento de-
penderá apenas da gravidade (que geralmente é uma constante) e do comprimento 
do pêndulo. O peso da massa e a amplitude não possuem nenhum efeito sobre a 
frequência.
4 SISTEMAS COM TORQUE E TORÇÃO
Outro tipo de sistema que deve ser considerado são problemas envolvendo 
rotação, onde ao invés de balanço de forças utilizaremos um balanço de momentos 
para resolver o problema. Podemos lembrar que o balanço de momentos é dado con-
forme a Equação 27, onde α é a aceleração angular e J é o momento de inércia polar.
2
2.
dT J J
dt
θα∑ = = (Eq. 27)
UNIDADE 1 | SISTEMAS DE UM 
28
( )2 .J Momentodeinércia polar kg m→
( )2 /Aceleraçãoangular rad sα →
( ), .T Torque ou momento N m→
Outra forma de vibração distinta que pode ocorrer é a vibração por torção 
de um objeto sólido, geralmente um objeto longo, como no eixo da Figura 14, na 
qual você pode observar que os pontos do eixo foram deformados por um ângulo α 
em relação à sua posição original. Um exemplo de tal situação são os eixos de ven-
tiladores, turbinas, compressores e equipamentos similares, que sofrem um grande 
torque para gerar uma alta rotação (RAO, 2008). Outro exemplo pode ser máquinas 
de usinagem, na qual a peça ou a ferramenta costuma ser girada a altas velocidades.
FIGURA 14 – EIXO SOB TORÇÃO
FONTE: <http://bit.ly/2DqzMks>. Acesso em: 5 out. 2019.
Esses sistemas são similares aos sistemas com torque da seção anterior. Nesse 
caso, ao invés de uma mola, a força restauradora é proveniente da própria estrutura, 
que quando deformada quer retornar à posição de repouso. A equação para a cons-
tante de mola equivalente é a Equação 28 (RAO, 2008).
4
0
32
l
eq
M GI Gdk
l l
π
θ
= = = (Eq. 28)
Em que o momento aplicado é o k equivalente vezes o ângulo de torção. A 
equação do movimento é, portanto, encontrada aplicando a Equação 24, resultando 
na Equação 29, ou rearranjando da forma usual, temos a Equação 30.
TÓPICO 2 | VIBRAÇÃO LIVRE
29
(Eq. 29)
2
2.eq
dk J
dt
θθ− =
2
2. 0eq
dJ k
dt
θ θ+ = (Eq. 30)
5 BARRA SÓLIDA
Não apenas molas, mas também barras e vigas sólidas sofrem uma força 
restauradora quando deformadas, que é inclusive a fonte da constante de mola que 
aparece em tais sistemas. Essa força restauradora está ligada à tensão obtida em um 
ensaio de tração, que se baseia na Equação 31, onde σ é a tensão, ε é a deformação e 
E é o módulo de Young.
Eσ = ∈
( ) Tensão Paσ →
( ) E MódulodeYoung Pa→
( ) dim.Deformação a∈→
(Eq. 31)
(Eq. 32)
Lembrando as definições de tensão como força sobre área e deformação 
como deslocamento sobre comprimento, podemos escrever essa equação conforme 
a Equação 32.
Isolando a força, podemos obter a equação para esta. Lembrando que a for-
ça restauradora é com sinal negativo, obtemos a Equação 33. Percebemos que essa 
equação é essencialmente a Equação 8 que dá a força de uma mola, com a constante 
de mola equivalente para uma barra sólida sendo dada pelo módulo de Young, área 
da seção transversal e comprimento da barra.
.F xE
A L
=
. .E AF x
L
 = − 
 
( ) F Força sobreabarra N→
( ) E MóduledeYoung Pa→
(Eq. 33)
UNIDADE 1 | SISTEMAS DE UM 
30
( )2 A Área de seçãotransveral m→
( ) L Comprimento m→
( ) x deslocamento m→
Uma outra situação similar, também envolvendo barra sólidas, é de uma viga 
apoiada com uma força na ponta. Sabemos das disciplinas de mecânica dos sólidos e 
resistência dos materiais que a deflexão da viga nessas condições é dada pela Equa-
ção 34.
3
3
Fl
EI
δ = (Eq. 34)
(Eq. 35)
Novamente, podemos isolar essa equação de uma forma similar à equação 
da força de uma mola, obtendo a Equação 35, em que podemos visualizar qual 
deve ser a constante de mola equivalente desse sistema.
3
3EIF
l
δ =  
 
( ) F Força sobreabarra N→
( ) E MóduledeYoung Pa→
( )2 .I Momentodeinércia kg m→
( ) l Comprimento m→
( ) deslocamento mδ →
Esse mesmo desenvolvimento pode ser aplicado para qualquer situação de 
viga, basta encontrar a fórmula do deslocamento em função da força para as condi-
ções de apoio do caso desejado e isolar a equação da forma mostrada.
6 ENERGIA DO SISTEMA
O sistema massa-mola é um sistema onde não ocorre perda de energia para 
o meio, portanto, a energia do sistema mantém-se constante durante o movimento. 
As principais formas de energia envolvida nesse problema são a energia cinética e 
a energia potencial.
TÓPICO 2 | VIBRAÇÃO LIVRE
31
A energia cinética é a energia proveniente do movimento, ou seja, é a 
energia necessária para acelerar uma quantidade de matéria até uma certa veloci-
dade, é dada pela Equação 36.
21
2c
E mv=
( ) cE Energiacinética J→
( ) m Massa kg→
( ) /v Velocidadedocorpo m s→
(Eq. 36)
A equação para a energia potencial depende do sistema que é trabalhado, já 
que vimos várias formas neste tópico. Como regra geral, a energia potencial pode ser 
calculada a partir do seu trabalho realizado, que é a integral da força com o desloca-
mento. Para o caso do sistema mola comum, isso fica conforme a Equação 37.
21. .
2p
E F dx kx dx kx= ∫ = ∫ =
( ) pE Energia potencial da mola J→
( ) /k Constangtedemola N m→
( ) x Deslocamentoda mola m→
7 ATIVIDADE PRÁTICA – PÊNDULO SIMPLES
Nesta prática, você estudará uma das formas de movimento oscilatório mais 
simplificadas, que é a do pêndulo simples, na qual você observará os conceitos de 
amplitude, frequência, período e como as variáveis do sistema afetam o movimento.
OBJETIVO: acadêmico, você deverá observar nesse experimento como a fre-
quência de vibração desse sistema não varia com a variação da amplitude inicial da 
qual o pêndulo é solto, nem com a massa do pêndulo, mas sim com o comprimento 
da corda. A Equação 26 e a Equação 4 serão as principais equações utilizadas para os 
cálculos.
MATERIAL
• 2 cordas de comprimento em torno de 0,5 m e 1 m.
• 2 massas diferentes – 500 g, 1 kg.
• 1 suporte para prender a corda, criando um pêndulo.
• 1 cronômetro.
UNIDADE 1 | SISTEMAS DE UM 
32
PROCEDIMENTOS
• Atar uma das cordas ao suporte, prendendo uma das massas à outra ponta, criando 
um pêndulo, com na Figura 15.
• Soltar o pêndulo de uma posição a distância x do ponto vertical e medir o período 
da oscilação.
• Repetir a etapa 2 para uma distância 2x.
• Trocar a massa na corda e repetir as etapas 2 e 3.
• Trocar a corda e repetir as etapas 2 a 4.
FIGURA 15 – PÊNDULO DE CORDA EM SUPORTE.
FONTE: O autor
AUTOATIVIDADE
1 Como pode ser alterada a amplitude do movimento do pêndulo?
2 A amplitude diferente altera a frequência de vibração?
3 Se quisermos que o pêndulo oscile com uma frequência maior, como pode-
mos realizar isso? 
4 O pêndulo oscila indefinidamente? Por quê?
33
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu que:
• A vibração livre ocorre quando há a presença de uma força restauradora, sem per-
das de energia no sistema.
• Um sistema massa-mola é um exemplo de uma vibração livre.
• A frequência de vibração desse sistema depende apenas da constante de mola e da 
massa sendo deslocada, não dependendo da amplitude ou velocidade.• Um pêndulo simples é outro exemplo de vibração livre, no qual a força restaura-
dora é devido ao peso da massa, e onde a frequência depende apenas do compri-
mento e da gravidade.
• A vibração ocorre também em sistemas com torque ou torção de objetos sólidos. 
Nesse caso se utiliza o momento de inércia do objeto.
• A deflexão ou deformação de vigas sólidas também apresenta vibração, que pode 
ser calculada utilizando os conceitos de mecânica dos sólidos.
• A energia desses sistemas durante a vibração é uma combinação de energia cinéti-
ca e potencial.
• A energia potencial de um sistema vibratório pode ser calculada utilizando a defi-
nição de trabalho.
34
1 O sistema mais simples no estudo de vibrações mecânicas é a vibração livre, 
que ocorre sem força externa atuante e sem perda de energia do sistema duran-
te o tempo. Quanto a esse tipo de sistema, classifique as afirmações em V para 
as verdadeiras e F para as falsas:
( ) O sistema massa-mola possui um período de vibração que depende da 
posição inicial do qual a massa é liberada.
( ) No caso de um problema com torção, a força restauradora vem da própria 
torção do objeto.
( ) Em uma barra sólida sob tração, a frequência de vibração dependerá do 
momento de inércia da barra.
( ) O pêndulo simples apresenta maiores frequências de vibração quando a 
corda do pêndulo é mais curta.
Assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) V – V – F – F. 
b) ( ) F – F – V – V.
c) ( ) V – F – V – F.
d) ( ) F – V – F – V. 
2 Uma massa de 5 kg está presa a uma parede fixa através de uma mola de cons-
tante k=2000 N/m. Essa massa é deslocada da posição de repouso por 0,05 m 
e antes de ser solta e empurrada para a direção do repouso, levando-a a uma 
velocidade de 2 m/s. Calcule a equação do movimento com o tempo e assinale 
a alternativa CORRETA:
a) ( ) x(t)=0,05.cos(20t)-0,1.sen(20t). 
b) ( ) x(t)=0,1.cos(20t)+0,05.sen(20t)..
c) ( ) x(t)=-0,05.cos(5t)-0,05.sen(2000t).
d) ( ) x(t)=0,05.cos(10t)+0,1.sen(10t).
3 Vários sistemas de engenharia apresentam alguma forma de vibração, no en-
tanto, esses geralmente possuem condições mais complexas do que os casos 
estudados neste tópico, podendo apresentar múltiplas molas, forças adicio-
nais, ou geometria complexa. Calcule a constante de mola equivalente e a 
frequência de vibração para os sistemas da figura a seguir:
AUTOATIVIDADE
35
FONTE: O autor
FIGURA – A) MOLAS EM PARALELO. B) MOLAS OPOSTAS. C) MOLAS EM SÉRIE. D) MOLAS 
EM UM CONJUNTO DE BALANCIM.
36
37
TÓPICO 3
VIBRAÇÃO AMORTECIDA
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Até agora estudamos sistemas de vibração em que a energia total do sistema 
permanece constante com o tempo, ou seja, que não possuem perdas de energia. No 
entanto, essa não é uma situação próxima do real; na prática, todo sistema vibratório 
irá dissipar energia, seja intencionalmente ou não. Esses sistemas de vibração com 
dissipação de energia são chamados de amortecidos.
Neste tópico, você aprenderá sobre os sistemas de vibração amortecida, in-
cluindo as formas de amortecimento que existem, como é a equação do movimento 
para esses sistemas e algumas propriedades que podem ser observadas.
2 AMORTECEDORES VISCOSOS
Uma das formas mais comuns de amortecimento são os amortecedores vis-
cosos, que consistem basicamente em um êmbolo em uma câmara com óleo, con-
forme a Figura 16. Você pode observar nessa figura que, quando o êmbolo se move, 
ocorre o movimento relativo entre o êmbolo e a parede da câmera, resultando em 
um gradiente de velocidades no óleo. A partir de mecânica dos fluidos, sabemos 
que a tensão cisalhante devido a esse gradiente é igual à Equação 38, que µ é a vis-
cosidade do óleo.
FIGURA 16 – AMORTECEDOR VISCOSO.
FONTE: O autor
38
UNIDADE 1 | SISTEMAS DE UM 
. .du v
dy h
τ µ µ= = (Eq. 38)
(Eq. 39)
A força sobre o êmbolo é a tensão multiplicada pela área de superfície, sendo 
de acordo com a Equação 39.
.. .AF A v
h
µτ= =
Você pode perceber que, nessa equação, a viscosidade, a área de superfície e 
a altura do êmbolo à parede não se alteram durante a operação normal desse sistema, 
o único parâmetro que varia é a velocidade do movimento, portanto é interessante 
escrever a força de um amortecedor na forma simplificada da Equação 40, onde c é 
uma constante, que depende apenas das propriedades do amortecedor e o sinal de 
menos aparece pois a força é na direção contrária à velocidade.
( ) . /c Constantedeamortecimento N s m→
( ) /v Velocidade m s→
.F c v= −
( ) F Força deamortecimento N→
(Eq. 40)
A Equação 40 também pode ser utilizada para um objeto se movendo em um 
meio que possua resistência, como, por exemplo, o atrito com o ar, que é limitante em 
várias situações. No entanto, nesse caso haverá um segundo termo que dependerá da 
velocidade ao quadrado. Assim, a Equação 40 vale principalmente para velocidades 
relativamente baixas, e para velocidades de alguns metros por segundo até velocida-
des próximas a velocidade do som, a modelagem da resistência do ar proporcional 
ao quadrado da velocidade é mais preciso (FERREIRA, 2001).
3 VIBRAÇÕES VISCOSAMENTE AMORTECIDAS
 
As vibrações amortecidas ocorrem em um sistema que contém um amor-
tecedor viscoso e uma força restauradora. Um exemplo de tal sistema é o sistema 
massa-mola-amortecedor, que você pode observar na Figura 17.
TÓPICO 3 | VIBRAÇÃO AMORTECIDA
39
FIGURA 17 – SISTEMA MASSA-MOLA-AMORTECEDOR
FONTE: <http://bit.ly/34G8Xo8>. Acesso em: 12 set. 2019.
O sistema massa-mola-amortecedor é inicialmente analisado da mesma forma 
que o sistema massa-mola, realizando o balanço de forças no sistema através da segunda 
lei de Newton. Nesse caso temos não uma, mas duas forças: a força da mola, que já estu-
damos, e a força do amortecedor, dada pela Equação 40. Assim obtemos a Equação 41.
kx cv ma− − =
2
2. . . 0
d x dxm c k x
dt dt
+ + =
( ) stx t e=
(Eq. 41)
(Eq. 42)
(Eq. 43)
Movendo todos os termos para um único lado e observando a relação entre 
posição, velocidade e aceleração, temos a Equação 42. Essa equação, como a anterior, 
é uma equação diferencial ordinária homogênea e linear, mantendo as mesmas pro-
priedades que a equação para o sistema massa-mola.
Para resolver essa equação, buscamos uma solução que fará uso da função 
exponencial, que terá a forma conforme a Equação 43, em que s é uma constante que 
desejamos encontrar que irá satisfazer a equação.
Substituindo essa equação para x na Equação 42, vamos obter uma equação 
de segundo grau para a variável s, indicando que existem duas possíveis soluções. 
Assim podemos encontrar os valores de s, que serão conforme a Equação 44.
(Eq. 44)
2 4
2
c c mks
m
− ± −
=
Você pode perceber na Equação 44 que, dependendo dos valores de m, k e 
c, o valor dentro da raiz poderá ser negativo, e sabemos que a raiz de um número 
40
UNIDADE 1 | SISTEMAS DE UM 
negativo é um número imaginário. Igualando essa expressão dentro da raiz a zero, 
podemos encontrar que isso ocorre quando a constante de amortecimento é a chama-
da constante de amortecimento crítico, cc, dada pela Equação 45.
 2 2c
kc m m
m
ω= = (Eq. 45)
(Eq. 46)
(Eq. 47)
(Eq. 48)
( ) . /cc Constantedeamortecimentocrícito N s m→
( ) m Massa kg→
( ) /Frequência ângular rad sω →
Quando a constante de amortecimento for menor do que a constante de amor-
tecimento crítico, teremos um componente imaginário, e quando a constante de amor-
tecimento for maior, teremos um valor para s na Equação 44 que é um valor real.
Para melhor descrever esse sistema, convém definir o chamado fator de amor-
tecimento ζ, dado pela Equação 46, que é essencialmente a razão entre a constante de 
amortecimento do sistema sobre o amortecimento crítico.
c
c
c
ζ =
( ) .Fator deamortecimento adimζ →
( ) . /c Constantedeamortecimento N s m→
( ) . /cc Constantedeamortecimentocrícito N s m→
Assim podemos reescrever a Equação 44 em função do fator de amorteci-
mento, resultando na Equação 47.
( )2 1s ζ ζ ω= − ± −
Note que existem duas soluções para o problema.Como no caso da vibração 
não amortecida (que ocorreu na Equação 15) a solução geral do problema será a com-
binação linear das duas soluções, que é a Equação 48.
( ) ( ) ( )
2 2 1 1
1 2
t t
x t c e c e
ζ ζ ω ζ ζ ω− + − − − −
= +
TÓPICO 3 | VIBRAÇÃO AMORTECIDA
41
Perceba que os dois valores para s na Equação 47 são negativos, e que, por-
tanto, as exponenciais na solução são negativas, o que significa que com o aumento 
do tempo, a amplitude do movimento está diminuindo.
Para o caso em que o fator de amortecimento ζ é igual ou maior do que 1, a 
Equação 48 é suficiente, pois podemos inserir os dados do problema e obter o valor 
da resposta x(t) em qualquer tempo. No entanto, quando o fator de amortecimento 
ζ é menor do que 1, temos um valor imaginário, pois a raiz fica de um número ne-
gativo. Nessa situação, pode usar as propriedades de exponenciais para reescrever a 
Equação 48 conforme a Equação 49.
( ) ( )2 2 1 11 2. i t i ttx t e c e c eζ ω ζ ωζω − − −−= + (Eq. 49)
Essa equação pode ser reescrita utilizando a fórmula da Equação 50, que rela-
ciona a exponencial complexa às funções seno e cosseno, onde z é um número com-
plexo qualquer.
( ) ( )cosze z isen z= +
Aplicando essa equação à Equação 49, percebemos que teremos uma raiz 
multiplicando a frequência angular no seno e cosseno. Podemos, portanto, identificar 
a frequência angular amortecida, dada pela Equação 51.
(Eq. 50)
(Eq. 51)
(Eq. 52)
21 .dω ζ ω= −
( ) /d Frequência amortecida devibração rad sω →
( ) .Fator deamortecimento adimζ →
( ) /Frequência natural rad sω →
Substituindo a Equação 50 à Equação 49, e aplicando a frequência angular 
amortecida, temos a Equação 52, que é a solução do problema, onde A1 e A2 são cons-
tantes desconhecidas, similares ao que tínhamos com c1 e c2.
( ) ( ) ( )( )1 2. cos sent d dx t e A t A tζω ω ω−= +
Você pode perceber que a Equação 52 é muito similar à equação de solução 
do caso não amortecido, com apenas duas diferenças: primeiramente, a frequência an-
gular é menor (portanto o período é maior) do que no caso não-amortecido, estando 
multiplicada por um coeficiente que depende do fator de amortecimento, e, segundo, 
a amplitude do movimento está multiplicada por uma exponencial negativa no tempo, 
o que indica que a amplitude de vibração desse sistema está decaindo com o tempo.
42
UNIDADE 1 | SISTEMAS DE UM 
Você pode perceber também que quando a constante de amortecimento for 
zero, o fator de amortecimento será zero e a Equação 52 ficará igual à Equação 15, que 
era o caso da vibração não amortecida, que é conforme o esperado.
Em conclusão, os sistemas amortecidos podem ser classificados em três tipos, 
de acordo com o fator de amortecimento (RAO, 2008): 
• Sistema subamortecido (ζ<1): é quando o amortecimento é relativamente baixo. O 
sistema apresenta oscilação, mas esta decai com o tempo devido à perda de energia 
que ocorre no amortecedor. O perfil de decaimento da amplitude é exponencial.
• Sistema superamortecido (ζ>1): é quando o amortecimento é alto, fazendo com 
que não ocorra oscilação, pois produz uma força suficiente para que o sistema não 
passe da linha neutra da mola. Perceba que quanto maior for o amortecimento, 
maior será o tempo para que a resposta do sistema caia, pois, o amortecimento está 
atuando contra esse movimento da mola que busca voltar ao repouso.
• Sistema criticamente amortecido (ζ=1): é um caso especial do sistema superamor-
tecido no qual se tem o mínimo de amortecimento para que o sistema não ultra-
passe a linha neutra, o que resulta no menor tempo para que o sistema volte para 
o estado da linha neutra. 
No Gráfico 3, são exemplificados os três tipos de vibrações amortecidas, 
em que você pode perceber as curvas da resposta para três sistemas com as mes-
mas condições de massa e mola, soltados do mesmo ponto inicial, no qual apenas 
o fator de amortecimento foi alterado.
GRÁFICO 3 – RESPOSTA DO SISTEMA PARA OS DIFERENTES NÍVEIS DE AMORTECIMENTO 
VISCOSO
FONTE: O autor
TÓPICO 3 | VIBRAÇÃO AMORTECIDA
43
Exemplo: um sistema massa-mola-amortecedor possui m=10 kg, k=1000 
N/m e c=50 N.s/m. Determine a forma do movimento desse sistema.
Solução:
Como ζ<1, a vibração é subamortecida.
IMPORTANT
E
1000 10 /
10
k rad s
m
ω = = =
2 2.10.10 200 . /cc m N s mω= = =
50 0,25
200c
c
c
ζ = = =
Muitas aplicações buscam projetar o amortecimento de seus sistemas bus-
cando o amortecimento crítico, pois permite que o sistema volte à posição original no 
mínimo de tempo possível. Um exemplo disso são armas de fogo maiores, que bus-
cam minimizar o tempo entre os tiros para aumentar a taxa de disparos (RAO, 2008).
No site a seguir você encontra um simulador de sistema massa mola amor-
tecido. Na primeira aba, “sim”, você pode determinar a massa, amortecimento (damping) 
e rigidez da mola (spring stiffness). Na terceira aba, Time graph, você pode ver o gráfico 
no tempo da posição e velocidade (https://www.myphysicslab.com/springs/single-sprin-
g-en.html). 
Experimente com alguns valores e observe como o amortecimento afeta o movimento. 
Use o simulador para tentar achar o amortecimento crítico e veja se confere com as 
equações desenvolvidas. 
DICAS
https://www.myphysicslab.com/springs/single-spring-en.html
https://www.myphysicslab.com/springs/single-spring-en.html
44
UNIDADE 1 | SISTEMAS DE UM 
4 ENERGIA DISSIPADA
Como no amortecimento viscoso temos dissipação de energia no amorte-
cedor, é de interesse calcular qual a energia dissipada com o tempo no sistema. 
Em especial, é interessante calcular quanta energia é dissipada em cada ciclo do 
movimento. 
A energia dissipada por unidade de tempo é a potência, que pode ser cal-
culada através da Equação 53.
. . dxP F v F
dt
= = (Eq. 53)
A força do amortecedor é que é responsável por dissipar a energia, portanto 
podemos utilizar a Equação 40 para a força na potência dissipada. Vamos assumir 
que o movimento é harmônico, dado por uma função seno de amplitude X e frequ-
ência ωd. Nesse caso, a energia dissipada é a integral da potência no tempo, e pode 
ser calculada pela Equação 54, onde T é o período da vibração.
2
2 2 2 2. . . cos .
T T T
d d d
o o o
dxE P dt c dt cX t dt cX
dt
ω ω π ω ∆ = = = = 
 ∫ ∫ ∫ (Eq. 54)
Podemos perceber que a energia dissipada em um ciclo é proporcional à 
constante de amortecimento, à frequência natural de vibração e, especialmente, é 
proporcional ao quadrado da amplitude de vibração.
Note que assumimos, nesse caso, que o movimento era harmônico, sem de-
caimento da amplitude, portanto, a Equação 54 só é válida quando o decaimento 
for muito devagar, ou na situação que veremos no tópico seguinte, onde o sistema 
recebe uma força externa.
5 AMORTECIMENTO DE COULOMB
Outra forma de amortecimento bastante comum é o chamado amorteci-
mento de Coulomb, que é o amortecimento através da força de atrito. Essa forma de 
amortecimento ocorre sempre que houver contato seco entre peças em um sistema 
(RAO, 2008). A situação mais simples na qual isso ocorre é no caso da Figura 18, em 
que temos um sistema massa-mola, com a massa em contato com uma superfície.
TÓPICO 3 | VIBRAÇÃO AMORTECIDA
45
FIGURA 18 – SISTEMA MASSA-MOLA COM AMORTEICMENTO DE COULOMB
A força de atrito é dada pela Equação 55, em que N é a normal da superfície, 
que geralmente é igual ao peso do objeto, e µ é o coeficiente de atrito cinético da su-
perfície. Você deve notar que essa força é sempre na direção oposta ao movimento, 
portanto seu sinal se altera durante as oscilações do sistema.
FONTE: O autor
 . . .F N m gµ µ= ± =±
( ) F Força deatrito N→
( ) .Coeficientedeatrito adimµ →
( ) m Massa kg→
( )2 /g Aceleraçãoda gravidade m s→
(Eq. 55)
Para resolver esse problema, novamente utilizamos a segunda lei de New-
ton, obtendo a Equação 56. Você pode perceber que, diferente dos casos anteriores, 
essa equação não é mais homogênea, pois o lado direito não é igual a zero.
2
2. . . .
d x dxm c k x N
dt dt
µ+ + = ± (Eq. 56)
(Eq. 57)
A soluçãomais simples dessa equação é uma função constante, obtida iso-
lando o x na equação (as derivadas somem, pois é função constante), e obtendo a 
Equação 57, que é a solução do problema não-homogêneo, que chamamos de solução 
particular xp.
p
Nx
k
µ
= ±
Você pode perceber que essa solução é trivial, pois apenas indica o caso em 
que o sistema está em uma posição na qual a deformação da mola e a força de atrito 
estão em balanço, ou seja, a mola não está deformada o suficiente para gerar movi-
mento na massa.
46
UNIDADE 1 | SISTEMAS DE UM 
A solução geral do problema ocorre quando temos a solução particular, so-
mada à solução do problema homogêneo, que é a Equação 15. Assim, obtemos a 
solução geral, que é a Equação 58.
( ) ( )1 2cosp h
Nx x x c sen t c t
k
µ ω ω= + = ± + + (Eq. 57)
Perceba que a solução está com um termo que tem um sinal que se altera. 
Quando o movimento tem velocidade negativa, esse termo será positivo, e quando 
tem velocidade positiva, o termo será negativo. Isso gera uma função que se altera 
cada vez que ela chega a um pico ou vale, pois são os pontos quando o movimen-
to muda de direção. Entre picos e vales, o movimento é um movimento harmônico 
normal, mas somado uma constante para cima ou para baixo, portanto, teremos um 
movimento como o do Gráfico 4.
GRÁFICO 4 – RESPOSTA DE UM MOVIMENTO VIBRATÓRIO COM AMORTECIMENTO DE 
COULOMB
FONTE: O Autor
Você pode perceber que o movimento com amortecimento de Coulomb para 
completamente após um tempo, o que é diferente do amortecimento viscoso, que 
decai exponencialmente, nunca parando completamente.
Comparando os dois tipos de amortecimento, o amortecimento viscoso pos-
sui vantagem quando ocorrem altas velocidades, pois o amortecimento fornecido é 
proporcional à velocidade, enquanto, para velocidades pequenas, o viscoso fornece 
pouco amortecimento, e o amortecimento de Coulomb é mais eficaz, já que diminui 
a amplitude pela mesma quantidade em cada ciclo.
TÓPICO 3 | VIBRAÇÃO AMORTECIDA
47
Um exemplo de sistema na qual a força de amortecimento de Coulomb 
tem influência é nos pistões de máquinas hidráulicas, que estão sempre em con-
tato com a parede do cilindro (FERREIRA et al., 2004).
6 ATIVIDADE PRÁTICA – VIBRAÇÃO VISCOSAMENTE AMORTECIDA
Nesta prática, você observará o conceito de amortecimento viscoso, estudan-
do-o com ar, água e óleo, e como esse amortecimento afeta o movimento oscilatório 
para cada fluido de amortecimento diferente.
OBJETIVO: observar a influência da massa de um sistema massa-mola sobre 
a frequência natural do movimento e o efeito do amortecimento sobre a vibração do 
sistema, verificando as formas subamortecida, criticamente amortecida e superamorte-
cida. A vibração ao ar livre aproxima-se do caso não amortecido. A vibração em água 
pode aproximar o subamortecido e a vibração em óleo aproxima o criticamente e supe-
ramortecido. As Equações 4, 45, 46, 51 e 52 podem ser utilizadas para estimar o movi-
mento e propriedades do amortecimento com base nos resultados experimentais.
MATERIAL
• 1 suporte de altura de 1 m.
• 1 tubo de vidro cilíndrico graduado 250 ml ou maior.
• 1 mola para tração e compressão.
• 1 conjunto de massas com gancho, 100 g – 500 g.
• 1 cronômetro.
• 250 ml água.
• 250 ml óleo.
PROCEDIMENTOS
• A mola é acoplada verticalmente no suporte, com massa na sua ponta, e posi-
cionada dentro do tubo de vidro, como na Figura 23.
• Comprimir a mola e soltá-la, observando o movimento.
• Substituir a massa por outra e repetir a etapa 2.
• Preencher o tubo com água e repetir as etapas 2 e 3.
• Esvaziar o tubo de água e preenchê-lo com óleo, repetindo as etapas 2 e 3.
• Variar a massa, buscando chegar o mais próximo possível do caso criticamente 
amortecido.
48
UNIDADE 1 | SISTEMAS DE UM 
FIGURA 19 – ATIVIDADE PRÁTICA – VIBRAÇÃO VISCOSAMENTE AMORTECIDA
FONTE: O autor
AUTOATIVIDADE
1 Como varia a amplitude com o tempo?
2 Qual fluido reduz amplitude do movimento mais rapidamente? Por quê?
3 Como varia a frequência e período de vibração para cada fluido utilizado?
4 Como a massa utilizada afeta a o nível de amortecimento?
49
RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico, você aprendeu que:
• A vibração amortecida ocorre quando há a presença de uma força restauradora, 
assim como uma força que age contra o movimento, gerando perdas de energia no 
sistema.
• Nos sistemas com vibração amortecida, a resposta do sistema é um movimento 
harmônico na qual a amplitude diminui com o tempo.
• Um sistema massa-mola-amortecedor é um exemplo de uma vibração livre, sendo 
utilizado em automóveis, possuindo amortecimento viscoso.
• Os amortecedores viscosos fazem uso de um êmbolo em uma câmara com óleo.
• No amortecimento viscoso, a frequência de vibração é baixa do que na vibração 
livre.
• O amortecimento viscoso divide-se em três tipos: subamortecido, criticamente 
amortecido e superamortecido. Apenas o subamortecido apresenta oscilações, en-
quanto o criticamente amortecido é o que decai mais rapidamente para os que não 
oscilam.
• O amortecimento de Coulomb é o amortecimento devido a perdas por atrito ciné-
tico entre superfícies.
• No amortecimento de Coulomb o decaimento é linear e a amplitude eventualmen-
te cai para zero.
• O amortecimento viscoso costuma produzir maior amortecimento quando existem 
altas velocidades, enquanto o de Coulomb é mais eficaz para baixas velocidades.
50
1 O amortecimento viscoso é uma forma de amortecimento utilizada para im-
pedir vibrações excessivas em certos sistemas, como, por exemplo, na suspen-
são de automóveis. Quanto ao amortecimento viscoso, classifique as afirma-
ções em V para as verdadeiras e F para as falsas:
( ) Esses sistemas apenas apresentam movimento oscilatório quando o amorte-
cimento for relativamente baixo.
( ) Os sistemas superamortecidos são aqueles que retornam a resposta ao ponto 
neutro mais rapidamente .
( ) A energia dissipada no sistema é maior quando a amplitude e frequência são 
maiores.
( ) A frequência do movimento é maior do que a frequência do movimento não 
amortecido.
Assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) F – F – V – V. 
b) ( ) V – F – V – F.
c) ( ) F – V – F – V.
d) ( ) V – V – F – F. 
2 Um sistema vibratório teve sua amplitude medida em vários pontos, sempre 
medido em um pico da oscilação. As medições foram: 20 mm, 18 mm, 16 mm, 
14 mm, 12 mm, 10 mm. Qual a forma de amortecimento que está presente nesse 
sistema? Assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) Vibração sem amortecimento. 
b) ( ) Vibração com amortecimento viscoso, subamortecido. 
c) ( ) Vibração com amortecimento viscoso, superamortecido.
d) ( ) Vibração com amortecimento de Coulomb.
AUTOATIVIDADE
51
TÓPICO 4
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMÔNICAMENTE
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Muitos dos problemas mais importantes de vibração são aqueles nos quais 
o sistema é influenciado por uma força externa. É o caso da ponte Tacoma Narrows, 
a qual era excitada pelo vento que agia sobre essa. Também pode ser considerado o 
problema de um carro que sofre uma colisão, recebendo uma grande força em um 
curto momento.
Neste tópico, você aprenderá sobre o que acontece com sistemas vibratórios 
quando uma força externa atua sobre esses. Você estudará o caso não-amortecido e 
amortecido, assim como dos fenômenos de ressonância e batimento.
2 VIBRAÇÃO FORÇADA NÃO-AMORTECIDA
Um dos casos mais simples quando se trata de vibração forçada é o caso de 
um sistema massa-mola, sem amortecimento, sobre o qual age uma força harmô-
nica. Essa força depende apenas do tempo, não sendo influenciada pela posição e 
velocidade do sistema, o que é diferente das forças provenientes de molas e amor-
tecedores, que dependem da condição do sistema. Na Figura 20, é mostrado um 
sistema massa-mola recebendo sob aplicação de uma força F(t), mostra um exem-
plo de tal situação.
FIGURA 20 – SISTEMA MASSA-MOLA EM VIBRAÇÃO FORÇADA
FONTE: O autor
52
UNIDADE 1 | SISTEMAS DE UM 
Nesse caso, vamos considerar uma força F(t) harmônica, que é dada pela 
Equação 59, em que F0