aula05

Prévia do material em texto

5ºAula
Regras de derivação
Objetivos de aprendizagem
Ao término desta aula, vocês serão capazes de: 
• compreender, a partir da definição de limites, a definição formal de derivadas em funções polinomiais e exponenciais;
• entender a demonstração da regra do produto;
• entender a conceituação da regra da cadeia e aplicá-la na resolução de problemas;
• compreender a partir da definição e aplicação em exemplos, as regras do produto e do quociente;
• utilizar as técnicas de derivação aprendidas para resolução de problemas diversos de derivadas.
A partir da definição de derivada oriunda da definição 
de limites vista na aula anterior, desenvolveremos, nesta aula, 
técnicas que permitam obter a diferenciação para situações 
distintas de funções. Veremos que, conforme a situação – 
expoente, multiplicação, divisão – observada nas equações, 
poderá ser aplicado formas distintas de diferenciar tais funções.
Bons estudos!
255
Cálculo Diferencial e Integral I 30
Seções de estudo
1 – Derivadas de funções polinomiais e exponenciais
2 – Regra da cadeia
3 – Regra do produto
4 – Regra do quociente
1 - Derivadas de funções polinomiais 
e exponenciais
Vamos iniciar com a função mais simples, a função 
constante f (x) = c. O gráfico dessa função é a reta horizontal 
y = c, cuja inclinação é 0; logo, devemos ter f ’ (x) = 0 (veja 
a Figura 1). Uma demonstração formal, a partir da definição 
de uma derivada, é simples:
Figura 1
(STEWART, 2014)
Essa regra, na notação de Leibniz, é escrita da seguinte 
forma:
1.1 – Funções Potências
 Vamos olhar as funções f (x) = xn, onde n é um 
inteiro positivo. Se n = 1, o gráfico de f (x) = x é a reta y = 
x, cuja inclinação é 1 (Figura 2). Então:
 A equação acima pode ser verificada a partir da 
definição de derivada. Os casos n = 2 e n = 3 levam a:
Para n = 4 achamos a derivada de f (x) = x4 a seguir:
Logo,
Comparando as equações anteriores, vemos um 
modelo emergir. Parece ser uma conjectura plausível que, 
quando n é um inteiro positivo, (d/dx)(xn) = nxn-1. Resulta 
que isto é, de fato, verdade.
Temos, então, a regra da potência se n for um inteiro 
positivo:
Primeira Demonstração: A fórmula
pode ser verificada simplesmente multiplicando-se o 
lado direito (ou somando-se o segundo fator como uma 
série geométrica). Se f (x) = xn, podemos fazer f ’ (a) e a 
equação anterior para escrever:
Segunda Demonstração:
Para acharmos a derivada de x4, temos que desenvolver 
(x + h)4. Aqui, precisamos desenvolver (x + h)n, e usamos o 
Teorema Binomial:
256
31
Porque cada termo, exceto o primeiro, tem fator h e, 
logo, tende a 0.
Exemplos: 
Exemplo 1: Derive
Solução:
Exemplo 2: 
Solução:
Exemplo 3:
Encontre as equações da reta tangente e da reta normal 
à curva y = x x no ponto (1, 1). Ilustre fazendo o gráfico da 
curva e destas retas.
Solução:
 A derivada de é
 Logo, a inclinação da reta tangente em (1, 1) é f ’ (1) 
= 3/2. Portanto, uma equação da reta tangente é
 A reta normal é perpendicular à reta tangente, de 
modo que sua inclinação é o inverso negativo de 3/2, ou 
seja, -2/3. Logo, uma equação de uma reta normal é
Traçamos o gráfico da curva, sua reta tangente e sua 
reta normal na Figura:
(STEWART, 2014).
2 - Regra da cadeia
Consideremos duas funções deriváveis f e g onde y = g 
(y) e u = f (x).
Para todo x tal que f (x) está no domínio de g, podemos 
escrever y = g (u) = g [ f (x) ], isto é, podemos considerar a 
função composta ( g0 f ) ( x ).
Por exemplo, uma função tal como 
pode ser vista como a composta das funções 
e .
 A seguir, apresentamos a regra da cadeia, que 
nos dá a derivada da função composta g0 f em termos das 
derivadas de f e g.
Regra da cadeia: Se y = g (u) e u = f (x) e as derivadas 
dy/du e du/dx existem, então, a função composta y = g[f(x)] 
tem derivada que é dada por:
Vamos fazer a demonstração supondo que existe um 
intervalo aberto I contendo x, tal que:
 sempre que 
 .
Isso se verifica para um grande número de funções, 
porém, não para todas. Por exemplo, se f for uma função 
constante a condição apresentada não é satisfeita. Porém, 
neste caso, podemos provar a fórmula facilmente. De fato, 
se f (x) = c então f ’ (x) = 0 e y = g [ f (x) ] = g (c) é constante. 
Assim, y ’ (x) = 0 = g ’ (u) f ’ (x).
Então, provemos que y ’ (x) = g ’ (u) f ’ (x)
Como y = g [ f (x) ], se este limite existir, temos:
Vamos considerar primeiro o quociente
Seja . Então depende 
de e quando . Temos:
Para a condição em um intervalo aberto 
contendo x. Assim, podemos dividir e multiplicar o 
quociente mostrado por . Temos, então:
257
Cálculo Diferencial e Integral I 32
Aplicando o limite, temos:
Exemplos: 
 Exemplo 4: Dada a função y = ( x² = 5x +2 )7
 Solução:
 Exemplo 5: Dada a função , 
encontra y’ .
Solução:
Podemos escrever y = u5, onde . Aplicando 
a regra da cadeia, temos:
3 - Regra do Produto
Conforme Stewart (2014), por analogia com a regra da 
cadeia, alguém poderia tentar conjecturar, como Leibniz o 
fez três séculos atrás, que a derivada de um produto é o 
produto da derivada. Contudo, podemos ver que esta 
conjectura está errada examinando um exemplo particular. 
Sejam e . Então, a Regra da Potência 
fornece e . Mas , 
logo, . Assim, a fórmula correta foi 
descoberta por Leibniz (logo depois de tentar a fórmula 
falsa) e é chamada Regra do Produto.
Antes de enunciar a Regra do Produto, vamos ver 
como poderíamos descobri-la. Começamos assumindo que 
e são funções positivas deriváveis. 
Então, podemos interpretar o produto como a área 
de um retângulo. Se x variar por uma quantidade , as 
variações correspondentes, então, em u e v são
E o novo valor do produto, , 
pode ser interpretado como a área do retângulo maior da 
Figura (desde que e sejam postivos).
Figura 3 - Geometria da Regra do Produto
(STEWART, 2014).
A variação na área do retângulo é:
 Se dividirmos por , obtemos
 
 Se fizermos , obtemos a derivada de uv:
Observe que quando , uma vez que 
f é derivável e, portanto, contínua.
Embora tenhamos inicialmente suposto (para a 
258
33
interpretação geométrica) que todas as quantidades são 
positivas, vemos que a Equação 1 é sempre verdadeira. 
(A álgebra é válida se u, v, e e forem positivos ou 
negativos.) Logo, demonstramos a Equação conhecida 
como a Regra do Produto, para todas as funções deriváveis 
u e v.
 Se f e g são deriváveis, então:
Em outras palavras, a Regra do Produto diz que a 
derivada de um produto de duas funções é a primeira função vezes a 
derivada da segunda função mais a segunda função vezes a derivada 
da primeira função.
Exemplos: 
 Exemplo 6: Se encontre .
 Solução:
 Pela Regra do Produto, temos:
 Exemplo 7: Derive a função 
 Solução:
 Usando a Regra do Produto, temos:
 Exemplo 8: Se , onde e 
 , encontre . 
 Solução:
 Aplicando a Regra do Produto, obtemos:
 Logo,
4 - Regra do Quociente
Vamos determinar uma fórmula para derivar o 
quociente de duas funções diferenciáveis e 
 do mesmo modo que obtivemos a Regra do 
Produto. Se x, u, e v variam em quantidades , temos , 
e , então, a correspondente variação no quociente será:
 Quando , também, pois 
 é derivável e, portanto, contínua. Logo, usando 
as Propriedades dos Limites, obtemos
Pela Regra do Quociente, se f e g são deriváveis, 
então:
Em outros termos, a Regra do Quociente diz que 
a derivada de um quociente é o denominador vezes a derivada do 
numerador menos o numerador vezes a derivada do denominador, 
todos divididos pelo quadrado do denominador.
A Regra do Quociente e as outras fórmulas de 
derivação nos permitem calcular a derivada de qualquer 
função racional, como ilustrado no exemplo a seguir.
Exemplos: 
 Exemplo 9: Seja 
 Solução:
 Pela Regra do Produto, temos:
259
Cálculo Diferencial e Integral I 34
 Exemplo 10: Encontre uma equação da reta 
tangente à curva no ponto .
 Solução:
 Segundo a Regra do Quociente, temos:
Logo, a inclinação da reta tangente em é:
Isso significa que a reta tangente em é 
horizontal, e sua equaçãoé . Observe que a função 
está crescendo e cruza sua tangente em .
(STEWART, 2014).
Observação: 
Não use a Regra do Quociente toda vez que você 
vir um quociente. Algumas vezes é mais fácil reescrever 
um quociente primeiro, colocando-o em uma forma que 
seja mais simples para derivar. Por exemplo, embora seja 
possível derivar a função
Usando a Regra do Quociente, antes de derivar, é 
muito mais fácil efetuar primeiro a divisão e escrever a 
função como:
A seguir vejamos um resumo das regras de derivação 
que aprendemos nesta aula:
Retomando a aula
estudamos?
1– Derivadas de funções polinomiais e 
exponenciais
1.1– Funções de potências
Você aprendeu que para funções em que a variável 
está elevada a determinada potência, como polinômios, 
podemos escrever uma regra geral de derivação 
. 
2- Regra da cadeia
Vimos que a regra da cadeia é aplicada quando temos 
funções de duas variáveis, ou variáveis implícitas, ou funções 
compostas. Sejam duas funções deriváveis f e g onde y = g 
(y) e u = f (x). Para todo x tal que f (x) está no domínio 
de g, podemos escrever y = g (u) = g [ f (x) ]. A derivada 
em x da função y é obtida pela regra da cadeia como 
.
3 – Regra do produto
Sejam e funções positivas 
deriváveis, você aprendeu que a derivada do produto 
pode ser escrita como 
ou de maneira mais sintética .
4 – Regra do quociente
Você aprendeu que a derivada do quociente de 
260
35
duas funções pode ser dada pela regra do quociente. 
Considerando e funções 
positivas deriváveis, a derivada de é dada por 
.
FLEMMING, Diva Marília; GONÇALVES, Miriam 
Buss. Cálculo A : funções, limite, derivação e integração. 6. 
ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall; São Paulo: Makron 
Books do Brasil, 2012.
STEWART, James. Cálculo. 7. ed. São Paulo: Cengage 
Learning, 2014.
SWOKOWSKI, Ealr W.; FARIA, Alfredo Alves de. 
Cálculo com geometria analítica. 2. ed. São Paulo: Makron 
Books do Brasil; São Paulo: McGraw-Hill, 1995.
pena ler
Vale a pena
Minhas anotações
261