(TEMA 2) Leis de Kirchhoff

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DESCRIÇÃO
Introdução ao estudo em eletricidade aplicada para análise de circuitos elétricos em corrente contínua
(CC) com base na Lei de Kirchhoff das correntes (LKC) e Lei de Kirchhoff das tensões (LKT).
PROPÓSITO
Compreender os conceitos fundamentais de grandezas elétricas em CC e das leis básicas de Kirchhoff,
assim como a aplicação dessas leis na solução de problemas com circuitos elétricos.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar este conteúdo, tenha em mãos papel, caneta para anotações e, se possível, uma
calculadora científica para facilitar seus cálculos na solução das equações de circuitos elétricos.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Analisar circuitos elétricos por meio da Lei de Kirchhoff das correntes
MÓDULO 2
Analisar circuitos elétricos por meio da Lei de Kirchhoff das tensões
INTRODUÇÃO
NOÇÕES DE ELETRICIDADE BÁSICA – LEIS DE
KIRCHHOFF
AVISO: orientações sobre unidades de medida.
AVISO
Em nosso material, unidades de medida e números são escritos juntos (ex.: 25km) por questões de
tecnologia e didáticas. No entanto, o Inmetro estabelece que deve existir um espaço entre o número e a
unidade (ex.: 25 km). Logo, os relatórios técnicos e demais materiais escritos por você devem seguir o
padrão internacional de separação dos números e das unidades.
MÓDULO 1
 Analisar circuitos elétricos por meio da Lei de Kirchhoff das correntes
javascript:void(0)
LEI DE KIRCHHOFF DAS CORRENTES
PRIMEIRAS PALAVRAS
Os conceitos básicos envolvidos na teoria de circuitos elétricos são essenciais em cursos de
Engenharia. Dificilmente alguma área técnica não abordará grandezas e leis que regem os princípios da
eletricidade básica, já que os circuitos elétricos também são de utilidade para a modelagem de sistemas
diversos de energia em virtude das técnicas matemáticas aplicadas e de suas configurações físicas
envolvidas.
A partir da modelagem dos componentes, como resistores, indutores e capacitores, bem como do
conhecimento das principais grandezas envolvidas em circuitos elétricos (tensão, corrente e potência
elétrica), é possível analisar o comportamento desses elementos tendo como suporte as leis básicas
que regem o funcionamento dos circuitos elétricos.
A primeira lei estudada em eletricidade básica é a de Ohm, que permite relacionar a tensão e a corrente
elétrica em um elemento do circuito; ainda por meio dessa lei, é possível derivar outras relações
essenciais, como as de potência elétrica dissipada pelos elementos.
No entanto, nem sempre a Lei de Ohm é suficiente para solucionar completamente as grandezas de um
circuito elétrico – principalmente no caso de circuitos que contêm diversos componentes interligados.
O comportamento dos elementos de um circuito elétrico é regido por duas relações algébricas muito
importantes entre as grandezas tensão e corrente (conhecidas na teoria de circuitos como Leis de
Kirchhoff).
A LKT (LEI DE KIRCHHOFF DAS TENSÕES) E A
LKC (LEI DE KIRCHHOFF DAS CORRENTES) ,
ENUNCIADAS POR GUSTAV KIRCHHOFF EM 1848,
SÃO NADA MAIS QUE A APLICAÇÃO DO PRINCÍPIO
DE CONSERVAÇÃO DA ENERGIA PRESENTE EM UM
CIRCUITO ELÉTRICO, COMO SERÁ DEMONSTRADO
AO LONGO DESTE MATERIAL.
Para compreender as Leis de Kirchhoff e suas aplicações na solução de circuitos, é necessário
entender alguns conceitos básicos relacionados à topologia de redes elétricas, ou seja, a forma como
os elementos são conectados entre si. Dessa forma, é fundamental que sejam definidos os seguintes
conceitos:
RAMO
Representação de um elemento único conectado entre dois nós. Um exemplo de ramo pode ser um
resistor, um indutor ou uma fonte de tensão a ser conectada entre dois nós.

NÓ
É o ponto de conexão entre ramos, ou seja, a junção de dois ou mais ramos (elementos) do circuito. Se
um fio (condutor) ideal conecta dois nós, esses nós constituem um único nó (curto-circuito).

LAÇO
É o caminho fechado em um circuito (circuito fechado). Um laço inicia-se em um nó, percorre uma série
de outros nós e retorna ao nó de partida sem passar por qualquer outro mais de uma vez. O laço
também é conhecido por malha de um circuito.
A quantidade de nós e laços (malhas) de um circuito depende de sua topologia, de modo que é possível
estabelecer uma relação entre tais quantidades e o número de ramos presentes. Essa relação é o
teorema fundamental da topologia de rede descrito pela equação 1:
(1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação 1 relaciona a quantidade de b ramos, n nós e l laços independentes que devem satisfazer
ao teorema da topologia de rede.
A partir da topologia de rede, pode-se dizer que:
Dois ou mais componentes da rede são ligados em série se eles compartilham exclusivamente um
único nó e, portanto, estão submetidos à mesma corrente elétrica.
Dois ou mais componentes da rede são ligados em paralelo se eles estão conectados aos mesmos dois
nós e, desse modo, estão submetidos à mesma tensão elétrica entre eles.
EXEMPLO 1
b = l + n − 1
O circuito da figura 1 demonstra visualmente a presença de três laços (malhas). Com base na equação
do teorema fundamental da topologia de rede, encontre o número de laços a partir da identificação dos
ramos e dos nós presentes nesse circuito.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
 Figura 1. Ilustração de um circuito elétrico com três malhas.
Pela topologia do circuito, é possível observar que estão presentes 6 ramos (5 resistores e 1 fonte de
tensão) e 4 nós. A partir da equação 1, tem-se o seguinte:
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, conforme observado, o circuito contém três laços (ou malhas).
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
LEI DE KIRCHHOFF DAS CORRENTES (LKC)
A primeira Lei de Kirchhoff, direcionada à relação de correntes no circuito (LKC), também conhecida
como Lei dos Nós, diz que a soma algébrica das correntes que entram em um nó deve ser zero, ou
seja, a soma daquelas que entram em um nó deve ser igual à das correntes que saem dele, conforme
l  =  6 –  4  +  1
l  =  3
ilustra a figura 2. Normalmente, consideram-se as correntes que chegam a um nó como positivas e as
que saem dele como negativas.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
 Figura 2. Lei de Kirchhoff das correntes.
Matematicamente, a LKC pode ser descrita pela equação 2:
(2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que N é o número de ramos conectados ao nó e é a enésima corrente que entra (ou sai) desse
nó. Na figura 2, a corrente está entrando no nó (sinal positivo), enquanto as correntes e estão
saindo dele (sinal negativo).
Portanto:
 
 
∑
N
n=1 in = 0  →  ∑ ientrada = ∑ isaída
In
I1 I2 I3
I1 –  I2 –  I3  =  0
(3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É importante destacar que a Lei de Kirchhoff das correntes também pode ser aplicada a um segmento
fechado de circuito, conforme ilustra a figura 3, pois um nó genericamente é uma superfície fechada
reduzida a um ponto. Dessa forma, de acordo com a equação 2, a corrente total que entra pela
superfície fechada é igual à total que sai dessa superfície.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
 Figura 3. Correntes em uma superfície fechada.
DIVISOR DE CORRENTE
Sabe-se que a corrente elétrica sempre buscará o caminho de menor resistência para percorrer. No
entanto, quando o circuito apresenta vários caminhos com resistência, essa corrente se divide entre
esses ramos. Evidentemente, pela Lei de Ohm, os caminhos com menor resistência apresentarão as
maiores parcelas da corrente dividida. Pelo mesmo raciocínio, se os ramos apresentarem resistências
iguais, a corrente elétrica se dividirá igualmente entre os elementos.
I1  =  I2  +  I3
 RESUMINDO
Pode-se dizer, portanto, que a razão entre os valores das correntes em dois ramos será inversamente
proporcional àquela entre suas resistências.
Considere o circuito ilustrado na figura 4 composto por uma fontede tensão e dois resistores ligados em
paralelo: e . Por estarem ligados em paralelo, os resistores estão submetidos à mesma tensão.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
 Figura 4. Circuito divisor de corrente.
 
 
(4)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a LKC no nó a, obtém-se a corrente total que vem da fonte:
R1 R2
v = i1R1 = i2R2
i1 =  i2 =
v
R1
v
R2
(5)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Substituindo a equação 4 na 5, tem-se:
(6)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Em que é denominada resistência equivalente dos resistores ligados em paralelo.
(7)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
i = i1 + i2
i = + = v( + )=v
R1
v
R2
1
R1
1
R2
v
Req
Req
= +   →   =1
Req
1
R1
1
R2
1
Req
R1+R2
R1R2

A resistência equivalente de dois resistores ligados em paralelo é dada pelo produto dessas
resistências dividido pela sua soma.
(8)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Geralmente, é mais conveniente utilizar a condutância do elemento em vez da resistência para se lidar
com componentes ligados em paralelo a fim de evitar operações matemáticas com frações. A partir da
equação 7, a condutância equivalente para um circuito com N resistores ligados em paralelo é dada por:
 
 
EM QUE 
 
(9)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A condutância equivalente de resistores ligados em paralelo é dada pela soma de suas
condutâncias individuais.
Dessa forma, a condutância equivalente dos resistores ligados em paralelo pode ser encontrada da
mesma forma que a resistência equivalente para aqueles ligados em série. Analogamente, a
condutância equivalente para os ligados em série pode ser encontrada da mesma forma que a
resistência equivalente para os ligados em paralelo.
Req =
R1R2
R1+R2
Geq = G1 + G1 + G2 + … + GN
Geq = 1 / Req, G1 = 1 / R1, G2 = 1 / R2,
G3 = 1/R1 GN = 1 / RN .
Uma forma genérica de encontrar a condutância equivalente é dada pela equação 10:
(10)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir da corrente total que entra no nó , é possível obter as correntes e .
(11)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ao combinar as equações 4 e 8, vê-se que:
(12)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Percebe-se, portanto, que a corrente total é compartilhada pelos resistores de forma inversamente
proporcional às resistências. Esse comportamento ilustra o princípio denominado divisão de corrente. O
circuito da figura 4 é conhecido por circuito divisor de corrente.
= + + + … +1
Geq
1
G1
1
G2
1
G31
1
GN
i a i1 i2
v = iReq =
iR1R2
R1+R2
i1 =  ,  i2 =
R2i
R1+R2
R1i
R1+R2
EXEMPLO 2
Considere o circuito ilustrado na figura 5 composto por uma fonte de corrente e dois resistores ligados
em paralelo. Determine o valor da corrente elétrica que circula pelos resistores R1 e R2.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
 Figura 5. Circuito do exemplo 2.
Inicialmente, esse problema pode ser entendido sem a necessidade das equações do princípio de
divisão de corrente. Basta lembrar que a corrente será dividida entre os resistores do circuito de forma
inversamente proporcional à sua respectiva resistência ao longo de todo o circuito paralelo.
Como o valor da resistência de R2 é duas vezes maior que a de R1, sabe-se que a corrente que circula
por é duas vezes menor (metade) do que a que circula por R1.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Utilizando agora o princípio de divisão de corrente, obtém-se:
Para o resistor R1
R2
I2 = 0,5I1
I1 = 6 = 2 A
4
8+4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o resistor R2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A soma das duas correntes deve ser igual à corrente da fonte para estar de acordo com a Lei de
Kirchhoff das correntes:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÉTODO DOS NÓS PARA CIRCUITOS COM
FONTE DE CORRENTE
A partir dos conceitos fundamentais sobre o comportamento de circuitos elétricos com base na Lei de
Kirchhoff das correntes (LKC) e da Lei de Ohm, apresentaremos nesta seção uma importante técnica
para a resolução de circuitos elétricos.
O MÉTODO DOS NÓS, TAMBÉM CONHECIDO POR
LEI DOS NÓS OU ANÁLISE NODAL, BASEIA-SE NA
LKC PARA FORMULAR O PROBLEMA A SER
RESOLVIDO MATEMATICAMENTE, O QUE PERMITE
INCLUSIVE SUA SOLUÇÃO POR PROGRAMAS
COMPUTACIONAIS DE SIMULAÇÃO.
I2 = 6 = 4 A
8
8+4
IT = 6 = I1 + I2
É importante destacar que são duas as Leis de Kirchhoff: de correntes (LKC) e tensões (LKT). No
entanto, o objetivo deste módulo concentra-se nos estudos da primeira lei, a LKC, de modo que as
análises referentes à segunda lei (LKT) serão feitas no módulo 2 deste material.
A aplicação do Método dos Nós permite a solução de qualquer circuito linear a partir da resolução
simultânea de um conjunto de equações lineares. Tendo em vista o princípio de conservação de energia
regido pela Lei de Kirchhoff das correntes e das relações da Lei de Ohm, esse método utiliza as tensões
nodais como variáveis do problema e determina as equações para a solução dos circuitos.
 DICA
A utilização de tensões nodais é conveniente, pois reduz o número de equações que devem ser
resolvidas.
Para iniciar o Método dos Nós, é necessário adotar um nó de referência no circuito. Apesar de não ser
uma regra, normalmente adota-se o nó de terra (GND) como referência, que é designado com potencial
zero.
A figura 6 ilustra as simbologias tradicionalmente utilizadas para indicar um nó de referência:
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
 Figura 6. Simbologia comum para nó de referência.
Quando o potencial da terra é usado como referência, utiliza-se a simbologia de (a) e (b). Se o potencial
de referência for a carcaça de um equipamento, por exemplo, será utilizada a simbologia de (c).
Dessa forma, em um circuito contendo N nós, ao definir um como referência, tem-se N -1 nós cujas
tensões são variáveis do problema a serem determinadas, ou seja, N -1 equações devem ser escritas
para a solução do circuito.
Os passos para aplicação do Método dos Nós são:
Determinar um nó como referência e atribuir a variável de tensão (v1,v2,...,vn-1) para os N -1 nós
restantes.

Aplicar a Lei de Kirchhoff das correntes em cada um dos N -1 nós, exceto o de referência. Utilize a Lei
de Ohm para expressar as correntes nos ramos em termos de tensões nodais.

Resolver as equações simultâneas para obter as tensões nodais.
O exemplo a seguir ilustra a aplicação do Método dos Nós em um circuito elétrico:
EXEMPLO 3
Considere o circuito da figura 7. Utilizando o Método dos Nós, encontre as equações necessárias para
determinar as tensões nodais no circuito.
 
Imagem: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 72.
 Figura 7. Circuito para o exemplo 3.
Após a definição do nó de referência (nó 0, em que v = 0), é necessário atribuir as tensões nodais nos N
-1 nós restantes. O circuito possui outros dois nós, de modo que são atribuídas respectivamente as
tensões e 
ESSAS TENSÕES SÃO DADAS EM RELAÇÃO AO NÓ
DE REFERÊNCIA, OU SEJA, CADA TENSÃO NODAL
É A ELEVAÇÃO DELA A PARTIR DA TENSÃO DO NÓ
DE REFERÊNCIA.
A partir da aplicação da LKC nos nós 1 e 2, é possível expressar a relação entre as correntes das
fontes ( e ) e as que circulam pelos resistores , e . Essas correntes são facilmente
encontradas na figura 8.
 
Imagem: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 72.
 Figura 8. Correntes no circuito do exemplo 3.
LKC do nó 1:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
LKC do nó 2:
v1 v2
I1 I2R1 R2 R3
I1 = I2 + i1 + i2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por fim, basta aplicar a Lei de Ohm para representar essas correntes em termos de tensões nodais. É
importante lembrar que, em elementos passivos como resistores, a corrente flui do maior para o menor
potencial, o que pode ser feito por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As correntes que circulam pelos resistores , e são dadas por:
 
 
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo as expressões de corrente, vê-se que:
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para finalizar a análise do circuito, basta resolver as equações lineares encontradas simultaneamente
por meio da utilização de qualquer método matemático padrão de solução de sistemas lineares. Um
I2 + i2 = i3
i =
v+−v−
R
R1 R2 R3
i1 =
v1−0
R1
i2 =
v1−v2
R2
i3 =
v2−0
R3
I1 = I2 + +
v1
R1
v1−v2
R2
I2 + =
v1−v2
R2
v2
R3
método muito utilizado é o de Cramer, que utiliza uma formulação matricial para representar as
equações.
A solução para esse circuito também pode ser encontrada em termos das condutâncias dos elementos.
Dessa maneira, as expressões são representadas por:
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A representação matricial do sistema de equações obtidas é dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A solução fornecerá as tensões e dos nós do circuito.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÉTODO DOS NÓS PARA CIRCUITOS COM
FONTES DE TENSÃO
Em circuitos elétricos contendo fontes de tensão, a aplicação do Método dos Nós requer uma atenção
especial. Das duas possibilidades que podem ocorrer, uma delas pode facilitar a análise.
São elas:
POSSIBILIDADE 1
Circuitos em que a fonte de tensão está conectada entre o nó de referência e outro nó qualquer (que
não seja de referência).
Na figura 9, por exemplo:
I1 = I2 + G1v1 + G2(v1 − v2)
I2 + G2(v1 − v2)= G3v2
[
G1 + G2 −G2
−G2 G2 + G3
][
v1
v2
]=[
I1 − I2
I2
]
v1 v2
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
 
Imagem: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 78.
 Figura 9. Circuito com superno.
Percebe-se, portanto, que, nesse caso, a tensão do nó 1 já é automaticamente conhecida. Isso facilita a
análise e reduz o número de equações a serem solucionadas.
POSSIBILIDADE 2
Circuitos em que a fonte de tensão está conectada entre dois nós que não são de referência. Nesses
casos, em que se denomina a existência de um supernó, também é necessária a aplicação da Lei de
Kirchhoff das tensões (LKT), a qual, como frisamos, será detalhada no módulo 2. É importante
retornar a esta seção ao final dos estudos das duas Leis de Kirchhoff para um melhor
entendimento.
UM SUPERNÓ OCORRE QUANDO UMA FONTE DE
TENSÃO É CONECTADA ENTRE DOIS NÓS QUE NÃO
v1 = 10 V                     (13)
SÃO NÓS DE REFERÊNCIA E QUAISQUER
ELEMENTOS LIGADOS EM PARALELO COM ELE.
Na figura 9, os nós 2 e 3 formam um supernó. Com base nos mesmos passos demonstrados para o
Método dos Nós para circuitos com fontes de corrente, é possível solucionar o circuito.
Deve-se observar que, para aplicar a Lei de Kirchhoff das correntes, é necessário conhecer as
correntes em cada elemento do circuito; no entanto não é possível, a princípio, conhecer a corrente que
circula por uma tensão nodal.
Assim, a partir do conceito de supernó, tem-se o seguinte:
 
 
(14)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com auxílio da Lei de Kirchhoff das tensões para o supernó, o circuito da Figura 9 pode ser
redesenhado conforme a Figura 10.
i1 + i4 = i2 + i3
+ = +
v1−v2
2
v1−v3
4
v2−0
8
v3−0
6
 
Imagem: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 78.
 Figura 10. Aplicação da LKT em um superno.
(15)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a partir das equações 13, 14 e 15, é possível obter as tensões nodais.
 ATENÇÃO
Em um supernó, a fonte de tensão fornece uma equação de restrição necessária para encontrar as
tensões nodais.
Um supernó não possui tensão própria.
Na análise de circuitos com supernó, deve-se aplicar tanto a LKC como a LKT.
MÃO NA MASSA
−v2 + 5 + v3 = 0 → v2 − v3 = 5
1. A FIGURA 11 ILUSTRA PARTE DE UM CIRCUITO ELÉTRICO EM QUE
DIVERSAS CORRENTES CIRCULAM PELOS RAMOS. CONSIDERANDO OS
CONCEITOS RELACIONADOS À PRIMEIRA LEI DE KIRCHHOFF (LKC), AS
CORRENTES E VALEM RESPECTIVAMENTE: 
 FIGURA 11. MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 1.
A) 3A e 5A
B) 6A e 2A
C) 7A e 8A
D) 5A e 7A
E) 4A e 8A
2. PARA O CIRCUITO DA FIGURA 12, QUE CONTÉM UMA FONTE DE TENSÃO E
TRÊS ELEMENTOS RESISTIVOS LIGADOS EM PARALELO, É POSSÍVEL
ENCONTRAR AS CORRENTES NOS RAMOS A PARTIR DA LEI DE KIRCHHOFF
DAS CORRENTES. COM BASE NOS CONCEITOS DESSA LEI E NOS VALORES
DE CORRENTE APRESENTADOS NA FIGURA, A RESISTÊNCIA DE É DE: 
I3 I4
R3
 FIGURA 12. MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 2.
A) 27kΩ
B) 28kΩ
C) 26kΩ
D) 24kΩ
E) 25kΩ
3. A PARTIR DA PRIMEIRA LEI DE KIRCHHOFF E DO CIRCUITO DIVISOR DE
CORRENTE, O VALOR DA CORRENTE QUE CIRCULA PELO RESISTOR ,
ILUSTRADO NA FIGURA 13, É DE: 
 
R1
 FIGURA 13. MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 3.
A) 3,48mA
B) 5,24mA
C) 6,38mA
D) 4,84mA
E) 7,36mA
4. COM BASE NAS REGRAS DO CIRCUITO DIVISOR DE CORRENTE, O VALOR
DA POTÊNCIA ELÉTRICA DISSIPADA PELO RESISTOR DE 2Ω DA FIGURA 14 É
DE: 
 
 FIGURA 14. MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 4.
A) 1,84 watts
B) 2,56 watts
C) 3,45 watts
D) 2,35 watts
E) 3,86 watts
5. UTILIZANDO A ANÁLISE NODAL E A LEI DE KIRCHHOFF DAS CORRENTES,
AS TENSÕES NOS NÓS 1 E 2 ILUSTRADOS NA FIGURA 15 VALEM
RESPECTIVAMENTE: 
 
 FIGURA 15. MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 5.
A) 1,5V e 4,0V
B) 2,0V e 3,5V
C) 3,0V e 4,0V
D) 3,5V e 4,5V
E) 2,5V e 5,0V
6. O CIRCUITO DA FIGURA 16 APRESENTA UM SUPERNÓ. COM BASE NA LEI
DE KIRCHHOFF DAS CORRENTES E UTILIZANDO O MÉTODO DOS NÓS, AS
TENSÕES E VALEM RESPECTIVAMENTE:v1 v2
 FIGURA 16. MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 6.
A) -4,5V e -5,0V
B) 4,5V e -5,0V
C) -4,5V e 5,0V
D) 7,3V e 5,3V
E) -7,3V e -5,3V
GABARITO
1. A Figura 11 ilustra parte de um circuito elétrico em que diversas correntes circulam pelos
ramos. Considerando os conceitos relacionados à primeira Lei de Kirchhoff (LKC), as correntes 
 e valem respectivamente: I3 I4
 Figura 11. Mão na massa - exercício 1.
A alternativa "C " está correta.
O segmento de circuito ilustrado possui duas junções representadas pelos nós a e b. É possível
encontrar as correntes incógnitas com apenas uma equação por nó aplicando a Lei de Kirchhoff das
correntes:
Para o nó a:
 
 
 
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o nó b:
∑ Ientrada = ∑ Isaída
I1 + I2 = I3
3 A + 4 A =  I3
I3 = 7 A
 
 
 
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Para o circuito da Figura 12, que contém uma fonte de tensão e três elementos resistivos
ligados em paralelo, é possível encontrar as correntes nos ramos a partir da Lei de Kirchhoff das
correntes. Com base nos conceitos dessa lei e nos valores de corrente apresentados na figura, a
resistência de é de: 
 Figura 12. Mão na massa - exercício 2.
A alternativa "A " está correta.
3. A partir da primeira Lei de Kirchhoff e do circuito divisor de corrente, o valor da corrente que
circula pelo resistor , ilustrado na figura 13, é de: 
∑ Ientrada = ∑ Isaída
I3 + I5 = I4
7 A + 1 A =  I3
I3 = 8 A
R3
R1
 
 Figura 13. Mão na massa - exercício 3.
A alternativa "D " está correta.
A resistência equivalente do circuito é dada por:
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a regra do divisor de corrente no resistor R1, sabe-se que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Com base nasregras do circuito divisor de corrente, o valor da potência elétrica dissipada
pelo resistor de 2Ω da Figura 14 é de: 
 
Req =
1
+ +1R1
1
R2
1
R3
Req = = 967,7 Ω
1
+ +1
2kΩ
1
3kΩ
1
5kΩ
I1 = IT = 10 mA = 0,484 × 10 mA = 4,84  mA
Req
R1
967,7 Ω
2 kΩ
 Figura 14. Mão na massa - exercício 4.
A alternativa "A " está correta.
Os resistores de 3Ω e 2Ω estão em paralelo. Sua resistência equivalente é de:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É possível obter a tensão no resistor de 2Ω aplicando a Lei de Ohm:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Utilizando o circuito divisor de corrente, é possível encontrar a corrente no resistor de 2Ω:
3Ω∣∣∣∣2Ω = = 1,2Ω
3×2
3+2
i = = 1,6A105+1,2
v = 1,2 × i = 1,2 × 1,6 = 1,92 V
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a potência dissipada pelo resistor de 2Ω será de:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Utilizando a Análise Nodal e a Lei de Kirchhoff das correntes, as tensões nos nós 1 e 2
ilustrados na Figura 15 valem respectivamente: 
 
 Figura 15. Mão na massa - exercício 5.
A alternativa "D " está correta.
Para o nó 1, a aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes e da Lei de Ohm, tem-se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Manipulando a expressão acima, é possível encontrar a primeira equação do problema:
i = i = 1,6 = 0,96A32+3
3
5
p = v × i = 1,92 × 0,96 = 1,84W
i1 = i2 + i3  →  3 = +
v1−v2
2
v1−0
1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o nó 2, a aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes e da Lei de Ohm, sabe-se que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Manipulando a expressão acima, é possível encontrar a segunda equação do problema:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando uma técnica matemática para a solução de sistemas lineares (exemplo: eliminação, regra de
Cramer), as tensões v1 e v2 são respectivamente:
6 = v1 − v2 + 2v1
3v1 − v2 = 6
i2 + i4 = i1 + i5   →   + 5 = 3 +
v1−v2
2
v2−0
3
3v1 − 3v2 + 30 = 18 + 2v2
3v1 − 5v2 = −12
v1 = 3,5 V v2 = 4,5 V
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. O circuito da Figura 16 apresenta um supernó. Com base na Lei de Kirchhoff das correntes e
utilizando o Método dos Nós, as tensões e valem respectivamente:
 Figura 16. Mão na massa - exercício 6.
A alternativa "E " está correta.
O supernó contém a fonte de tensão de 2V e o resistor de 10Ω. Aplicando a Lei de Kirchhoff das
correntes no supernó, tem-se:
 
 
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Utilizemos a Lei de Kirchhoff das tensões, que é necessária para estabelecer a relação entre e :
 
 
 
v1 v2
2 = i1 + i2 + 7
2 = + + 7  →  8 = 2v1 + v2 + 28
v1−0
2
v2−0
4
v2 = −2v1 − 20
v1 v2
−v1 − 2 + v2 = 0  →  v2 = v1 + 2
v2 = v1 + 2 = −2v1 − 20
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Considere o circuito da Figura 17, que contém três fontes de corrente ligadas em direções distintas
entre si. Com base na Lei de Kirchhoff das correntes, a expressão que melhor representa o valor da
corrente elétrica resultante total a circular pelos nós ab será de:
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
 Figura 17. Circuito elétrico para a teoria na prática.
RESOLUÇÃO
Uma interessante aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes em circuitos práticos é a possibilidade
de associação de diversas fontes de corrente em paralelo, de modo que a corrente resultante na
carga será dada pela soma algébrica das correntes individuais fornecidas pelas respectivas fontes.
v1 = −7,3 V v2 = −5,3 V
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma, a corrente total que circula pelos nós ab é de :
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É importante observar que, em um circuito série, jamais haverá duas correntes diferentes, a menos
que ambas sejam iguais ( ). Correntes diferentes em um circuito série violam o princípio
fundamental da primeira Lei de Kirchhoff, a LKC.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. A FIGURA 18 ILUSTRA UM CIRCUITO INTEGRADO (CI) COM OITO TERMINAIS
E SUAS RESPECTIVAS CORRENTES ELÉTRICAS. COM BASE NA LEI DE
KIRCHHOFF DAS CORRENTES, É POSSÍVEL AFIRMAR QUE A CORRENTE 
TEM MÓDULO: 
 
IT + I2 + I3 = I1
IT = I1 − I2 − I3
I1  =  I2
I1
 FIGURA 18. ATIVIDADE - EXERCÍCIO 1.
 
A) 20mA saindo do CI.
B) 15mA entrando no CI.
C) 20mA entrando no CI.
D) 15mA saindo do CI.
E) 10mA saindo do CI.
2. PARA O CIRCUITO DA FIGURA 19, O VALOR DA TENSÃO É: 
SUGESTÃO: UTILIZE O MÉTODO DOS NÓS PARA SOLUCIONAR O PROBLEMA. 
 
v1
 FIGURA 19. ATIVIDADE - EXERCÍCIO 2.
 
A) 5V
B) 25V
C) 20V
D) 15V
E) 10V
GABARITO
1. A Figura 18 ilustra um circuito integrado (CI) com oito terminais e suas respectivas correntes
elétricas. Com base na Lei de Kirchhoff das correntes, é possível afirmar que a corrente tem
módulo: 
 
I1
 Figura 18. Atividade - exercício 1.
 
A alternativa "D " está correta.
 
A Lei de Kirchhoff das correntes diz que:
 
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Isso significa que a corrente tem módulo 15mA saindo do CI.
2. Para o circuito da Figura 19, o valor da tensão é: 
Sugestão: Utilize o Método dos Nós para solucionar o problema. 
 
∑ Ientrada = ∑ Isaída
I1 + 4 mA + 6 mA + 10 mA + 7 mA = 4 mA + 3 mA + 5 mA
I1 + 27 mA = 12 mA
I1 = −15 mA
I1
v1
 Figura 19. Atividade - exercício 2.
 
A alternativa "C " está correta.
 
O circuito possui apenas dois nós: o nó e o referência. Pela Lei de Ohm, sabe-se que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pela Lei de Kirchhoff das correntes, vemos que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo I = 1 A, a tensão será:
v1
I2 =  ,  I1 =
V1
R2
V1−24
R1
I = +
V1−24
6
V1
12
v1
V1 = 20V
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 2
 Analisar circuitos elétricos por meio da Lei de Kirchhoff das tensões
LEI DE KIRCHHOFF DAS TENSÕES
PRIMEIRAS PALAVRAS
Conforme destacamos no módulo 1, as Leis de Kirchhoff são essenciais para representar o
comportamento de circuitos elétricos e estabelecer relações entre correntes e tensões nos diversos
elementos de rede, como, por exemplo, resistores, capacitores, indutores e até mesmo fontes de
alimentação, como as fontes de tensão e as de corrente.
Inicialmente, apresentamos a primeira Lei de Kirchhoff conhecida como Lei de Kirchhoff das correntes
(LKC). Neste módulo, falaremos sobre a segunda lei: a Lei de Kirchhoff das tensões (LKT).
 ATENÇÃO
Os conceitos de ramo, nó e laço (malha) são igualmente importantes e necessários para o
entendimento da segunda Lei de Kirchhoff.
LEI DE KIRCHHOFF DAS TENSÕES (LKT)
A partir do conceito de laço ou malha, a segunda Lei de Kirchhoff permite avaliar as variáveis de um
circuito a partir de caminhos fechados, ou seja, a análise começa em determinado ponto, desloca-se
pelos elementos presentes na malha e retorna ao ponto de partida original.
Por exemplo, na Figura 20, um caminho fechado será observado se a corrente elétrica deixar o ponto d
até o ponto a percorrendo a fonte de tensão e, em seguida, seguindo de b até c através do resistor até
retornar ao ponto d. Percebe-se que a soma resultante de elevações e quedas de tensão será igual a
zero.
 
Imagem:Isabela Oliveira Guimarães.
 Figura 20. Lei de Kirchhoff das tensões.
Considerando que as elevações de tensão sejam representadas por um sinal positivo e as quedas de
tensão, por um negativo, a sequência da Figura 20 resulta matematicamente na equação 16:
(16)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação 16 deixa evidente que a tensão aplicada em um circuito de CC em série é igual à soma das
quedas de tensão nos elementos conectados ao longo do circuito. A Lei de Kirchhoff das tensões (LKT)
expressa que a soma algébrica das tensões ao longo de um caminho fechado, ou malha, é zero.
Matematicamente, a LKT pode ser representada pela equação 17:
 
 
EM QUE M É O NÚMERO DE TENSÕES NA MALHA E VM, A
M-ÉSIMA TENSÃO.
+E − v1 − v2 = 0
∑Velevações = ∑Vquedas  →  ∑
M
n=1 Vm = 0
(17)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 1
Considere o circuito da figura 21. Os sinais nas tensões de cada elemento dizem respeito à polaridade
do terminal encontrado quando a corrente elétrica percorre a malha independentemente de tal
circulação se dar no sentido horário ou no anti-horário.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
 Figura 21. Circuito de um laço ilustrando a LKT.
No sentido anti-horário, as tensões seriam, na ordem, . Dessa
forma, a Lei de Kirchhoff das tensões (LKT) para esse circuito é representada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Reorganizando os termos, verifica-se que:
− v1,   +  v2,   +  v3,   −  v4 e  +  v5
−v1 + v2 + v3 − v4 + v5 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Este exemplo ilustra de forma clara que a soma das quedas de tensão é igual, conforme descrevemos
anteriormente, à soma das elevações de tensão.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quando um circuito contiver fontes de tensão conectadas em série, a Lei de Kirchhoff das tensões
poderá ser utilizada para encontrar a tensão total equivalente mediante a soma algébrica de cada
tensão individual. No circuito da Figura 22, por exemplo, as três fontes podem ser
substituídas por uma fonte equivalente Vab após a aplicação da LKT no trecho ab.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
 Figura 22. Fontes de tensão em série e circuito equivalente.
DIVISOR DE TENSÃO
A Lei de Kirchhoff das tensões demonstra que a soma das tensões por meio dos elementos do circuito
será sempre igual à das tensões aplicadas, ou seja, das fontes de alimentação. Além disso, essa
tensão será dividida entre os resistores do circuito de forma proporcional à sua respectiva resistência ao
longo de todo o circuito em série. Desse modo, quanto maior for a resistência do elemento, maior será a
tensão à qual estará submetido.
v2 + v3 + v5 = v1 + v4
V1,  V2 e V3 
O circuito ilustrado na Figura 24 representa um circuito com uma fonte de tensão e dois resistores
ligados em série, de modo que apenas a corrente i circula por ambos (uma única corrente de malha).
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
 Figura 24. Circuito de uma malha com dois resistores em série.
Ao aplicar a Lei de Ohm para cada um dos resistores, obtém-se o seguinte:
(18)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Aplicando a Lei de Kirchhoff das tensões à malha e arbitrando que a corrente circule no sentido horário,
vê-se que:
v1 = iR1 ,  v2 = iR2
−v + v1 + v2 = 0
(19)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Relacionando as equações 18 e 19:
 
(20)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

A equação 20 pode ser modificada, pois os dois resistores podem ser substituídos por um resistor
equivalente:
(21)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
v = v1 + v2 = i(R1 + R2)
i = v
R1+R2
v = iReq
(21)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

A resistência equivalente em um circuito com N resistores ligados em série é a soma algébrica
das resistências individuais desses elementos.
Para N resistores:
(22)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

As tensões individuais em cada resistor podem ser encontradas substituindo a equação 18 na 20:
(23)
Req = R1 + R2
Req = R1 + R2 + … + RN = ∑
N
n=1 Rn
v1 = v ,  v2 = v
R1
R1+R2
R2
R1+R2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É importante observar que a tensão da fonte v foi dividida entre as resistências de forma proporcional à
sua resistência conforme demonstramos anteriormente. Esse equacionamento é conhecido como
divisão de tensão, de modo que o circuito da figura 24 é conhecido como circuito divisor de tensão.
Se o circuito tiver N resistores ligados em série, a tensão sob o n-ésimo resistor será dada
genericamente por:
(24)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 2
Considere o circuito ilustrado na Figura 25 composto por uma fonte de tensão e dois resistores ligados
em série. Determine o valor da queda de tensão nos resistores e .
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
 Figura 25. Circuito em série do exemplo 2.
vn = v
Rn
R1+R2+…+RN
R1 R2
Inicialmente, esse problema pode ser entendido sem a necessidade das equações do princípio de
divisão de tensão. Basta lembrar que a tensão será dividida entre os resistores do circuito de forma
proporcional à sua respectiva resistência ao longo de todo o circuito em série.
Como o valor da resistência de é três vezes maior que a resistência de , verifica-se que a tensão
em será três vezes maior que a encontrada em :
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Utilizando agora o princípio de divisão de tensão, tem-se:
Para o resistor 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o resistor 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A soma das duas tensões deve ser igual à tensão da fonte para se estar de acordo com a Lei de
Kirchhoff das tensões:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
R2 R1
R2 R1
v2 = 3v1
R1
v1 = 64 V = 16 V
20
20+60
R2
v2 = 64 V = 48 V
60
20+60
E = v1 + v2 = 16 + 48 = 64 V
MÉTODO DAS MALHAS PARA CIRCUITOS COM
FONTES DE TENSÃO
De modo semelhante ao Método dos Nós demonstrado no módulo 1, o Método das Malhas é outra
maneira de solucionar circuitos elétricos a partir da segunda Lei de Kirchhoff. No Método das Malhas,
utilizam-se as correntes circulantes como variáveis do problema.
Como as variáveis são as correntes de malha, e não as correntes dos elementos, o número de
equações a ser resolvido torna-se substancialmente menor, facilitando a análise do circuito elétrico.
MÉTODO DOS NÓS
Utiliza-se a Lei de Kirchhoff das correntes para encontrar as varáveis de tensão nodal.
MÉTODO DAS MALHAS
Emprega-se a Lei de Kirchhoff das tensões para determinar as variáveis de correntes de malha.
É importante destacar que, para que o método agora apresentado possa ser efetivamente aplicado, o
circuito elétrico não deverá ter cruzamento de ramos entre si, configurando-se como um circuito
denominado planar. A Figura 26 ilustra dois circuitos, sendo que o primeiro é caracterizado como
planar e o segundo, por sua vez, como não planar.
 
Imagem: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 82.
 Figura 26. Circuito planar e não planar.
No segundo circuito, percebe-se que não existe uma maneira de redesenhá-lo sem que haja um
cruzamento de ramos, o que faz com que ele seja configurado como não planar. Apesar de não ser
possível utilizar o Método de Malhas, os circuitos não planares podem ser solucionados normalmente
mediante o emprego do Método dos Nós.
No Método das Malhas,o interesse está em aplicar a Lei de Kirchhoff das tensões em circuitos planares
sem a presença de fontes de corrente. Casos especiais em que o circuito pode conter essas fontes
serão tratados mais adiante.
Para um circuito contendo N malhas, são necessários os seguintes passos:
Atribuir as correntes de malha ....in para todas as n malhas do circuito.

Aplicar a Lei de Kirchhoff das tensões (LKT) para cada malha n.

Utilizar a Lei de Ohm para expressar as tensões nos elementos em termos da corrente de malha.

Resolver as n equações simultâneas para obter as correntes de malha.
i1,  i2,  i3,
Para entender o método das malhas, considere o exemplo a seguir:
EXEMPLO 3
O circuito da figura 27 contém duas fontes de tensão ( e e ) e três resistores ( , ) alocados
em duas malhas. Aplique o método das malhas para encontrar as correntes de malha e .
 
Imagem: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 82.
 Figura 27. Circuito do exemplo 3.
Seguindo os passos a serem aplicados no Método das Malhas, primeiramente deve-se atribuir as
correntes elétricas às duas malhas do circuito: e . De forma arbitrária, essas correntes circulam no
sentido horário (importante: pode-se arbitrar que as correntes circulem no sentido anti-horário desde
que todas as correntes do circuito sejam invertidas na análise).
No segundo passo, aplica-se a Lei de Kirchhoff das tensões (LKT) em cada malha:
Malha 1
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Malha 2
V1 V2 R3 R1 R2
i1 i2
i1 i2
−V1 + R1i1 + R3(i1 − i2)= 0
(R1 + R3)i1 − R3i2 = V1
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Rearranjando os termos nas expressões descritas para reduzir as equações de malha, é possível
escrevê-las na forma matricial:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O último passo é a solução das equações simultâneas utilizando qualquer método matemático padrão
de solução de sistemas lineares. Um método muito usado é o de Cramer, que emprega uma formulação
matricial para representar as equações.
Se um circuito possui n nós, b ramos e l malhas independentes, então tem-se o seguinte:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma, são necessárias l equações simultâneas para solucionar o circuito a partir do Método das
Malhas.
 ATENÇÃO
As correntes nos ramos serão diferentes das correntes de malha – exceto se a malha for isolada.
Considerando i como corrente de malha e I como corrente de ramo para a figura 27, verifica-se que:
 
R2i2 + V2 + R3(i2 − i1)= 0
−R3i1 +(R2 + R3)i2 = −V2
[
R1 + R3 −R3
−R3 R2 + R3
][
i1
i2
]=[
V1
−V2
]
l = b − n + 1
I1 = i1 ,  I2 = i2 ,  I3 = i1 − i2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÉTODO DAS MALHAS PARA CIRCUITOS COM
FONTES DE CORRENTE
Apesar de, a princípio, parecer uma análise mais difícil, aplicar o Método das Malhas a circuitos
contendo fontes de corrente poderá ser mais fácil que na forma anteriormente demonstrada.
A análise contendo esse tipo de fonte pode ser feita para duas situações distintas:
SITUAÇÃO 1
Circuitos em que existe fonte de corrente em apenas uma malha.
 
Imagem: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 85.
 Figura 28. Circuito com fonte de corrente.
Ao atribuir as correntes de malha, percebe-se que diretamente tem-se a corrente . As
equações das malhas são facilmente obtidas. Por substituição, a corrente pode ser encontrada.
 
i2 = −5A
i1
−10 + 4i1 + 6(i1−i2) = 0 → i1 = −2A
(25)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
SITUAÇÃO 2
Circuitos em que a fonte de corrente está presente em duas malhas. Nesse caso, tem-se a chamada
supermalha.
Uma supermalha ocorre quando duas malhas possuem uma fonte de corrente em comum.
 
Imagem: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 86.
 Figura 29. Circuito com: (a) duas malhas e fonte de corrente comum; (b) supermalha.
A supermalha ocorre a partir do compartilhamento do ramo que contém a fonte de corrente das malhas
1 e 2. A análise de malhas requer o conhecimento da tensão em cada ramo; no entanto, não é possível,
a princípio, conhecer a tensão em uma fonte de corrente.
Desse modo, aplicando a Lei de Kirchhoff das tensões (LKT) na supermalha, sabe-se que:
 
−20 + 6i1 + 10i2 + 4i2 = 0
 
 
(26)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com o auxílio da Lei de Kirchhoff das correntes (LKC) aplicada ao nó de interseção das malhas, tem-se:
 
 
 
(27)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Resolvendo as equações 26 e 27, obtém-se o seguinte resultado:
 
6i1 + 14i2 = 20
−20 + 6i1 + 10i2 + 4i2 = 0
i2 = i1 + 6
i1 = −3, 2 A , i2 = 2, 8 A
(28)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Em uma supermalha, a fonte de corrente fornece uma equação de restrição necessária para encontrar
as correntes de malha.
Uma supermalha não possui corrente própria.
Na análise de circuitos com supermalha, deve-se aplicar tanto a LKT como a LKC.
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERE O CIRCUITO DA FIGURA 30. COM BASE NA LEI DE KIRCHHOFF
DAS TENSÕES (LKT), OS VALORES DAS QUEDAS DE TENSÃO NOS
RESISTORES E SÃO RESPECTIVAMENTE DE:
 FIGURA 30. MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 1.
R1 R2
A) -8V e -12V
B) 8V e 12V
C) -8V e 12V
D) -12V e 8V
E) 8V e -12V
2. PARA O CIRCUITO DA FIGURA 31, A TENSÃO À QUAL O RESISTOR ESTÁ
SUBMETIDO É DE: 
 
 FIGURA 31. MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 2.
A) 8V
B) 10V
C) 12V
D) 15V
E) 6V
3. COM BASE NA LEI DE KIRCHHOFF DAS TENSÕES E NO PRINCÍPIO DE
DIVISÃO DE TENSÃO, AS TENSÕES NOS RESISTORES E DA FIGURA 32
R2
R1 R3
SÃO RESPECTIVAMENTE DE: 
 
 FIGURA 32. MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 3.
A) 5V e 12V
B) 8V e 16V
C) 10V e 6V
D) 4V e 8V
E) 15V e 9V
4. A FIGURA 33 ILUSTRA SIMPLIFICADAMENTE UM CIRCUITO COM UMA FONTE
DE TENSÃO DE 12 VOLTS E DOIS RESISTORES (DE 2Ω E 1Ω) LIGADOS EM
SÉRIE. A PARTIR DA REGRA DE DIVISÃO DE TENSÃO, O VALOR DA TENSÃO 
 EM RELAÇÃO À REFERÊNCIA É DE: 
 
Vx
 FIGURA 33. MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 4
A) 4 volts
B) 6 volts
C) 8 volts
D) 5 volts
E) 3 volts
5. O MÉTODO DAS MALHAS, QUE É UM DOS MÉTODOS MAIS UTILIZADOS
PARA A SOLUÇÃO DE VARIÁVEIS EM CIRCUITOS ELÉTRICOS, DISPÕE QUE O
SOMATÓRIO DAS TENSÕES EM UM CAMINHO FECHADO DEVE SER NULO.
COM BASE NOS CONCEITOS DO MÉTODO DESCRITO, AS CORRENTES E 
A CIRCULAR NAS MALHAS 1 E 2 DO CIRCUITO DA FIGURA 34 SÃO
RESPECTIVAMENTE DE: 
 
I1 I2
 FIGURA 34. MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 5.
A) 4A e 1A
B) 3A e 2A
C) 1A e 2A
D) 2A e 3A
E) 3A e 1A
6. A PARTIR DA APLICAÇÃO DO MÉTODO DAS MALHAS E DA LEI DE
KIRCHHOFF DAS TENSÕES PARA A SOLUÇÃO DE CIRCUITOS, AS CORRENTES
, E DO CIRCUITO ILUSTRADO NA FIGURA 35 VALEM
RESPECTIVAMENTE: 
 
I1 I2 I3
 FIGURA 35. MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 6.
A) 3A, 2A e 1A.
B) 2A, 1A e 1A.
C) 0A, 1A e 2A.
D) 1A, 1A e 0A.
E) 2A, 0A e 3A.
GABARITO
1. Considere o circuito da Figura 30. Com base na Lei de Kirchhoff das tensões (LKT), os valores
das quedas de tensão nos resistores e são respectivamente de:R1 R2
 Figura 30. Mão na massa - exercício 1.
A alternativa "E " está correta.
Para encontrar as tensões em e , basta aplicar a Lei de Ohm nos resistores e a LKT na malha do
circuito. Considerando que a corrente I flua pela malha no sentido horário, tem-se:
Pela Lei de Ohm
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pela LKT
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo nas expressões de tensão, encontra-se o seguinte:
R1 R2
V1 = 4I ,  V2 = −6I
−20 + V1 − V2 = 0
−20 + 4I + 6I = 0  →  10I = 20  → I = 2A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Para o circuito da Figura 31, a tensão à qual o resistor está submetido é de: 
 
 Figura 31. Mão na massa- exercício 2.
A alternativa "C " está correta.
O circuito contém uma fonte de tensão em série com os resistores , e . Dessa forma, trata-se
de um circuito com apenas uma malha, o que permite encontrar a tensão em apenas aplicando a Lei
de Kirchhoff das tensões:
Considerando o sentido horário para a corrente de malha:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Isolando a tensão :
 
V1 = 8V ,  V2 = −12V
R2
R1 R2 R3
R2
Vs + V1 + V2 + V3 = 0
V2
V2 = Vs − V1 − V3 = 30 − 8 − 10
V2 = 12 V
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Perceba que o valor da resistência de R2 não foi importante no cálculo da tensão pela LKT, já que as
outras tensões eram conhecidas.
3. Com base na Lei de Kirchhoff das tensões e no princípio de divisão de tensão, as tensões nos
resistores e da figura 32 são respectivamente de: 
 
 Figura 32. Mão na massa - exercício 3.
A alternativa "B " está correta.
Primeiramente, deve-se encontrar a resistência total do circuito série:
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com base no circuito divisor de tensão, as tensões e são:
R1 R3
RT = R1 + R2 + R3
RT = 2 kΩ + 3 KΩ + 4 KΩ = 9kΩ
V1 V3
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. A Figura 33 ilustra simplificadamente um circuito com uma fonte de tensão de 12 volts e dois
resistores (de 2Ω e 1Ω) ligados em série. A partir da regra de divisão de tensão, o valor da tensão
 em relação à referência é de: 
 
 Figura 33. Mão na massa - exercício 4
A alternativa "A " está correta.
Caso seja necessário, a figura 33 pode ser redesenhada no formato de uma malha fechada utilizando o
símbolo de uma fonte de tensão. Ao aplicar o princípio de divisão de tensão, vê-se que a tensão é a
tensão sob o resistor :
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. O Método das Malhas, que é um dos métodos mais utilizados para a solução de variáveis em
circuitos elétricos, dispõe que o somatório das tensões em um caminho fechado deve ser nulo.
V1 = Vs = 36 V = 8 V
R1
RT
2 kΩ
9 kΩ
V3 = Vs = 36 V = 16 V
R3
RT
4 kΩ
9 kΩ
Vx
Vx
R2
Vx = Vs = 12  →  Vx = 4 V
R2
R1+R2
1
2+1
Com base nos conceitos do método descrito, as correntes e a circular nas malhas 1 e 2 do
circuito da Figura 34 são respectivamente de: 
 
 Figura 34. Mão na massa - exercício 5.
A alternativa "C " está correta.
6. A partir da aplicação do Método das Malhas e da Lei de Kirchhoff das tensões para a solução
de circuitos, as correntes , e do circuito ilustrado na Figura 35 valem respectivamente: 
 
I1 I2
I1 I2 I3
 Figura 35. Mão na massa - exercício 6.
A alternativa "D " está correta.
Para a solução, as correntes de malha serão adotas como e .
Aplicando-se inicialmente a LKT na malha 1:
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando-se agora a LKT na malha 2:
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando, por fim, o método da substituição para a solução de sistemas lineares, tem-se que:
i1 i2
−15 + 5i1 + 10(i1 − i2)+10 = 0
3i1 − 2i2 = 1
6i2 + 4i2 + 10(i2 − i1)−10 = 0
i1 = 2i2 − 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Consequentemente:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Considere o circuito da Figura 35. Com o auxílio da Lei de Kirchhoff das tensões, o valor da tensão no
resistor é de:
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
 Figura 36. Circuito elétrico para a teoria na prática.
RESOLUÇÃO
A Lei de Kirchhoff das tensões é um conceito muito importante na solução de problemas com circuitos
elétricos. Com base no princípio de conservação de energia e conhecimento das tensões ao longo de
uma malha, é possível encontrar grandezas nos elementos do circuito.
i2 = 1 A
I1 = i1 = 1 A,  I2 = i2 = 1 A,  I3 = i1 − i2 = 0
R1
Para o circuito da Figura 23, a tensão desconhecida referente ao resistor pode ser obtida
simplesmente aplicando o conceito elementar da Lei de Kirchhoff das tensões em torno de um
caminho fechado, o que inclui as duas fontes de tensão:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando o sentido horário para corrente de malha, verifica-se que:
 
 
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É possível observar que, utilizando a LKT, não é necessário conhecer o valor dos resistores ou da
corrente que circula para determinar uma tensão se os valores das outras quedas de tensão estão
disponíveis.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
R1
∑Velevações = ∑Vquedas  →  ∑
M
n=1 Vm = 0
Vs1 − VR1 − VR2 − Vs2 = 0
VR1 = Vs1 − VR2 − Vs2
VR1 = 15 − 3,2 − 10 = 1,8 V
1. CONSIDERE O CIRCUITO DA FIGURA 37. COM BASE NA LEI DE KIRCHHOFF
DAS TENSÕES (LKT), O VALOR DA TENSÃO VX É DE: 
 FIGURA 37: ATIVIDADE - EXERCÍCIO 1.
A) 20V
B) 15V
C) 12V
D) 18V
E) 24V
2. O CIRCUITO DA FIGURA 38 PODE SER SOLUCIONADO POR MEIO DO
MÉTODO DAS MALHAS. AS CORRENTES E , REFERENTES ÀS
CORRENTES DE MALHA, SÃO: 
I1 I2
 FIGURA 38: ATIVIDADE - EXERCÍCIO 2.
A) 2,25A e 0,41A
B) 3,33A e -0,67A
C) -3,45A e 1,28A
D) 1,85A e -0,67A
E) -3,33A e 2,45A
GABARITO
1. Considere o circuito da Figura 37. Com base na Lei de Kirchhoff das tensões (LKT), o valor da
tensão Vx é de: 
 Figura 37: Atividade - exercício 1.
A alternativa "A " está correta.
 
A tensão Vx no circuito não é de apenas um elemento resistivo, e sim entre dois pontos distintos. Basta
aplicar a Lei de Kirchhoff das tensões na malha:
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. O circuito da Figura 38 pode ser solucionado por meio do Método das Malhas. As correntes 
e , referentes às correntes de malha, são: 
 Figura 38: Atividade - exercício 2.
A alternativa "B " está correta.
 
Inicialmente, deve-se arbitrar o sentido das correntes de malha, como, por exemplo, o sentido horário. É
possível perceber que a fonte de corrente no meio do circuito fornece uma supermalha.
Aplicando a Lei de Kirchhoff das tensões, tem-se:
Vs − V1 − Vx = 0
Vx = Vs − V1 = 32 − 12 = 20 V
I1
I2
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Relacionando as correntes de malha e a fonte de corrente, verifica-se que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por fim, aplicando o método da substituição para resolver o sistema com as duas equações
encontradas, obtém-se isto:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A solução de circuitos elétricos é essencial para o entendimento de diversas disciplinas de Engenharia.
A aplicação da eletricidade básica em circuitos parte essencialmente das leis básicas de circuito, como
a Lei de Ohm e as Leis de Kirchhoff.
Tendo isso em vista, apresentamos neste conteúdo os conceitos básicos relacionados à Lei de Kirchhoff
das correntes (LKC) e à de Kirchhoff das tensões (LKT). A partir do conhecimento dessas leis
elementares, salientamos que é possível equacionar os circuitos elétricos para o cálculo de grandezas
de interesse, como tensão, corrente elétrica e potência elétrica nos elementos.
20 − 6I1 − 4I1 − 2I2 + 12 = 0
10I1 + 2I2 = 32
I1 = Is + I2
I1 = 3,33 A ,  I2 = −0,67 A
Demonstramos ainda a aplicação das Leis de Kirchhoff na solução de circuitos por meio dos métodos
de análise que se baseiam nas correntes dos nós e tensões de malhas. A análise nodal tem como
princípio básico a Lei de Kirchhoff das correntes e dispõe que o somatório das correntes em um nó de
circuito deve ser zero. De forma semelhante, a de malhas tem como princípio a Lei de Kirchhoff das
tensões e estabelece que o somatório das tensões em uma malha precisa ser zero.
Por fim, observamos que, combase no princípio de conservação de energia e desses métodos de
análise, formulam-se as equações lineares dos circuitos que podem ser matematicamente solucionadas
para a obtenção das variáveis do circuito.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. Fundamentos de circuitos elétricos. AMGH Editora, 2013.
BOYLESTAD, R. L.; NASCIMENTO, J. L. do. Introdução à análise de circuitos. Pearson Education,
2004.
IRWIN, J. D. Análise de circuitos em engenharia. Pearson Education do Brasil, 2010.
JOHNSON, D. E.; HILBURN, J. L.; JOHNSON, J. R. . Fundamentos de análise de circuitos elétricos.
Livros Técnicos e Científicos, 1994.
NILSSON, J. W., RIEDEL, S. A. Circuitos elétricos. 8. ed. Pearson, 2008.
EXPLORE+
Para se aprofundar no assunto aqui abordado, leia a obra Eletricidade básica – circuitos em
corrente contínua (2014), de Eduardo C. A. Cruz.
CONTEUDISTA
Isabela Oliveira Guimarães