04 -Ordenação atômica nos sólidos - Tomo II Arranjos Atômicos - 2020 1e

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Universidade Federal de Campina Grande
Centro de Ciências e Tecnologia
Unidade Acadêmica de Engenharia Mecânica
ORDENAÇÃO ATÔMICA NOS SÓLIDOS 
Tomo II – Arranjos Atômicos
Prof. Ricardo Cabral de Vasconcelos
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◼ Estrutura dos materiais:
⚫ Estrutura cristalina;
⚫ Estrutura amorfa;
⚫ Estrutura molecular.
◼ Espaçamento interatômico:
◼ Estrutura cristalina;
⚫ Estrutura cúbica;
⚫ Estrutura hexagonal;
⚫ Compostos CFC.
◼ Alotropia.
◼ Cristalografia:
⚫ Posições atômicas;
⚫ Direções cristalinas;
⚫ Planos cristalinos;
⚫ Ângulo entre direções;
⚫ Densidade atômica linear;
⚫ Densidade atômica planar;
⚫ Espaçamento interplanar.
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ESTRUTURA DOS MATERIAIS
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Estrutura dos materiais
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CONTORNO DE GRÃO
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Estrutura dos materiais
◼ Muitos materiais - metais, algumas cerâmicas, alguns polímeros - ao se solidificarem, se 
organizam numa rede geométrica 3D - a rede cristalina.
◼ Estes materiais cristalinos, têm uma estrutura altamente organizada, em contraposição 
aos materiais amorfos, nos quais não há ordem de longo alcance.
Imagens obtidas com Microscópio Eletrônico de Transmissão (MET).
Fronteira
Cristal 1
Cristal 2
Fronteira entre dois cristais de TiO2. Note 
a organização geométrica dos átomos.
2nm
Carbono amorfo. Note a 
desorganização na posição dos 
átomos.
Fonte:Material de apresentação do Prof. Sidnei Paciornik, Departamento de Ciência dos Materiais e Metalurgia da PUC – Rio de Janeiro
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◼ As propriedades dos materiais dependem do arranjo de seus átomos.
◼ Classificação dos arranjos:
⚫ Estruturas (materiais) cristalinas;
⚫ Estruturas (materiais) amorfas;
⚫ Estruturas (materiais) moleculares.
◼ Materiais cristalinos: sólidos que apresentam ordem de longo alcance 
(periodicidade maior que comprimento de ligações) - arranjo repetitivo de 
átomos
⚫ Monocristalinos
⚫ Policristalinos (contornos de grãos)
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◼ Materiais amorfos, vítreos, não-cristalinos: sólidos que não 
apresentam ordem de longo alcance - estrutura sem 
nenhuma regularidade
◼ Molécula: número limitado de átomos possuindo: 
⚫ Ligações intramoleculares – muito fortes (ligações 
covalentes em sua maioria e ligações iônicas).
⚫ Ligações intermoleculares – fracas (forças de Van Der 
Waals). Ex.: H2O, CO2, O2, CCl4, N2 etc.
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◼ Moléculas Poliméricas – Um polímero (muitas unidades) é uma 
grande molécula constituída por pequenas unidades que se 
repetem, denominadas mero. 
◼ A maior parte dos materiais denominados plásticos, são 
constituídos por moléculas poliméricas. Deste modo, se 
conhecemos a estrutura dos meros que se repetem, estamos 
aptos a descrever a estrutura das moléculas muito grandes. 
◼ A maior parte dos polímeros se origina de uma combinação de 
monômeros (unidades simples).
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Esquema de policristal
Contornos
de grão
Grão
Grão A
Grão B
Orientação da célula 
unitária no grão A
Orientação da célula 
unitária no grão B
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Exemplo em polímeros
◼ Etileno e Polietileno
⚫ Na molécula de etileno 
(C2H4), os carbonos 
compartilham dois pares de 
elétrons.
⚫ A ligação covalente dupla 
pode se romper em duas 
simples permitindo a ligação 
com outros “meros” para 
formar uma longa molécula 
de polietileno.
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◼ Essas observações (ligações fortes e ligações fracas) são suportadas 
pelos seguintes fatos:
⚫ Os pontos de ebulição e de fusão são baixos, quando comparadas com 
outros materiais.
⚫ Os sólidos moleculares são moles, porque as moléculas podem 
escorregar umas em relação às outras com aplicações de pequenas 
tensões.
⚫ As moléculas permanecem intactas, quer na forma líquida, quer na 
forma gasosa.
◼ Os elementos mais encontrados nas moléculas são os não-metais e o 
hidrogênio. O carbono é elemento mais importante.
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ESPAÇAMENTO INTERATÔMICO
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Espaçamento Interatômico
Na distância de equilíbrio, a força de atração entre os íons é compensada pela 
força de repulsão entre as nuvens eletrônicas
Fonte: Material de apresentação do Prof. Sidnei Paciornik, Departamento de Ciência dos Materiais e Metalurgia da PUC – Rio de Janeiro
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◼ F = dE/da
◼ O ponto em que a força de ligação é zero 
corresponde ao ponto de mínima energia -
Configuração estável.
◼ Valores típicos para a0 são da ordem de 
0.3nm (0.3x10-9m)
◼ Valores típicos para a energia de ligação 
são entre 600 e 1500 kJ/mol
◼ A energia de ligação está diretamente 
relacionada com o ponto de fusão do 
material.
Fonte: Material de apresentação do Prof. Sidnei Paciornik, Departamento 
de Ciência dos Materiais e Metalurgia da PUC – Rio de Janeiro
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Comentários sobre forças e 
energia
◼ Força de repulsão possui origem quântica. Princípio de 
Exclusão de Pauli: duas partículas não podem ocupar o 
mesmo estado quântico.
◼ Força de atração possui origem eletrostática - interação 
Coulombiana, interações dipolares, interações entre 
elétrons na última camada.
◼ Energia de ligação é a energia associada com a formação da 
ligação partindo da condição inicial que os átomos (íons) 
estão inicialmente separados de uma distância infinita.
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◼ Sempre que uma ligação é formada, o sistema 
apresenta uma redução de energia.
◼ A energia é mínima na condição interatômica de 
equilíbrio (poço de potencial).
◼ Quanto mais fundo o poço, mais estável é a 
ligação, maior é o ponto de fusão/ebulição do 
material.
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◼ Os átomos estão constantemente 
vibrando ao redor da posição de 
equilíbrio.
◼ A distância interatômica de 
equilíbrio, ao, só é bem definida 
quando a temperatura é 0 K.
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◼ A expansão térmica se deve à curva do poço de 
energia potencial ser assimétrica, e não às maiores 
amplitudes vibracionais dos átomos em função da 
elevação da temperatura. Deste modo, a distância 
interatômica média aumenta gerando a EXPANSÃO 
TÉRMICA.
◼ Se a curva da energia potencial fosse simétrica não 
existiria qualquer variaçãoliquida ou global na 
separação interatômica e, conseqüentemente, não 
existiria qualquer expansão térmica.
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◼ Distâncias Interatômicas - As forças de atração entre os 
átomos mantêm os mesmos próximos entre si. Estes átomos 
não ficam mais próximos ainda devido a força de repulsão 
que ocorre com a aproximação dos elétrons. 
◼ Assim, os átomos se mantêm à uma distância de equilíbrio 
uns dos outros. Esta é a distância para qual ambas as forças, 
de repulsão e de atração, são iguais.
◼ Número de Coordenação - NC - representa o número de 
vizinhos mais próximos que um átomo tem.
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ESTRUTURA CRISTALINA
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ESTRUTURA CRISTALINA
◼ A maioria dos materiais de interesse para o 
engenheiro tem arranjo atômico, que são repetições, 
nas três dimensões, de uma unidade básica. Tais 
estruturas são denominadas cristais.
◼ A repetição tridimensional nos cristais é devida à 
coordenação atômica no interior do material; 
adicionalmente, esta repetição, algumas vezes, 
controla a forma externa do cristal.
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Os 7 Sistemas Cristalinos
Qualquer empacotamento atômico deverá se encaixar em um dos sete 
principais tipos de cristais. Estes estão intimamente associados com o 
modo pelo qual o espaço pode ser dividido em volumes iguais, pela 
interseção de superfícies planas.
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◼ O mais simples e mais regular deles envolve três conjuntos mutuamente 
perpendiculares de planos paralelos, igualmente espaçados entre si, de 
forma a dar uma série de cubos (Figura 3.11).
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◼ Esses sete sistemas incluem todas as possíveis geometrias de 
divisão do espaço por superfícies planas contínuas.
◼ Os sistemas cristalinos são apenas entidades geométricas. Quando 
posicionamos átomos dentro destes sistemas formamos redes (ou 
estruturas) cristalinas.
◼ Existem apenas 14 redes que permitem preencher o espaço 3D.
◼ Como a ligação metálica é não direcional não há grandes restrições 
quanto ao número e posição de átomos vizinhos. Assim, os metais 
terão NC alto e empilhamento compacto.
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Célula Unitária
Como a rede cristalina tem uma estrutura repetitiva, é possível 
descrevê-la a partir de uma estrutura básica, como um “tijolo”, que 
é repetida por todo o espaço.
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As 14 Redes de Bravais
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Estruturas Cristalinas dos Metais
◼ A maior parte dos metais se estrutura nas redes cfc, ccc e hc. 
Essas estruturas juntamente com a cs são mais simples e são as 
que estudaremos com mais detalhes. Assim, estudaremos as 
redes: 
⚫ cúbica simples - cs (sc - simple cubic);
⚫ cúbica de corpo centrado - ccc (bcc - body centered cubic);
⚫ cúbica de face centrada - cfc (fcc - face centered cubic);
⚫ hexagonal compacta - hc (hcp - hexagonal close packed).
◼ Daqui para frente representaremos os átomos como esferas 
rígidas que se tocam. As esferas estarão centradas nos pontos 
da rede cristalina.
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Cúbico Simples
◼ Figura 3.12 – Parâmetro do reticulado, a. A célula 
unitária descreve todo o cristal. 1/8 do átomo do 
vértice está dentro da célula.
Parâmetro de rede
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RELAÇÃO ENTRE O RAIO ATÔMICO (R) E 
O PARÂMETRO DE REDE (a) PARA O 
SITEMA CÚBICO SIMPLES
 No sistema cúbico
simples os átomos se 
tocam na face
 a= 2 R
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Cúbico Simples
◼ Figura 3.12
Parâmetro do 
reticulado, a. A 
célula unitária 
descreve todo o 
cristal. 1/8 do átomo 
do vértice está 
dentro da célula.
52,0
)2(
3/ 4
unitária célula da Volume
átomos dos Volume
 atômico ntoempacotame deFator 
3
3
===
=
r
r
CS  a = 2r
Parâmetro de rede
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Cúbico de Corpo Centrado
◼ A rede cúbica de corpo centrado é uma rede cúbica na qual 
existe um átomo em cada vértice e um átomo no centro do 
cubo. Os átomos se tocam ao longo da diagonal. 
◼ Cada átomo é cercado por oito átomos adjacentes, quer o 
átomo esteja localizado em um vértice, quer no centro da 
célula unitária. Portanto, todos os átomos são, 
geometricamente, equivalente. 
◼ Há dois átomos por células unitária em uma estrutura CCC.
⚫ Ex: Ferro à temperatura ambiente. Figuras 3.13 e 3.14.
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Cúbica de corpo centrado - CCC
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Cúbica de Corpo Centrado
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Cúbica de Corpo Centrado
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RELAÇÃO ENTRE O RAIO ATÔMICO (R) E O 
PARÂMETRO DE REDE (a) PARA O SITEMA CCC
 No sistema CCC os 
átomos se tocam ao 
longo da diagonal do 
cubo: (3) 1/2.a=4R
accc= 4R/ (3)
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aCCC =
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Cúbica de Face Centrada
◼ A rede cúbica de face centrada é uma rede 
cúbica na qual existe um átomo em cada vértice 
e um átomo no centro de cada face do cubo. Os 
átomos se tocam ao longo das diagonais das 
faces do cubo.
◼ Figuras 3.15 e 3.16. Esta estrutura é mais comum 
nos metais que a estrutura CCC. Ex: Al, Cu, Pb, 
Ag, Ni e Fe a temperaturas elevadas. Cada átomo 
possui 12 vizinhos.
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Cúbica de face centrada - CFC
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Cristais Hexagonais.
⚫ A rede hexagonal compacta pode ser representada por um prisma com 
base hexagonal, com átomos na base e topo e um plano de átomos no 
meio da altura.
a
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c/2
Número de átomos na célula unitária
Na= 12x1/6 + 2x(1/2) + 3 = 6
Relação entre a e r
2R = a 
FEA = 0.74 NC =12
A rede hc é tão compacta quanto 
a cfc
Fonte: Material de apresentação do Prof. Sidnei 
Paciornik, Departamento de Ciência dos 
Materiais e Metalurgia da PUC – Rio de Janeiro
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Hexagonal compacta - HC
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Cristais Hexagonais.
Fonte: Material de apresentação da Profa. Eleani M. da Costa - DEM/PUCRS.
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◼ Cristal hexagonal simples (HS) 
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◼ Figura 3.17, 3.18 e 3.19. A forma hexagonal compacta (HC) é 
bem mais densa. Há uma média de seis átomos por célula 
unitária na estrutura HC. 
◼ O fator de empacotamento atômico é idêntico ao da CFC, fato 
previsível devido ao valor 12 do número de coordenação.
Hc  a=2r , c=2a
_
2/3
__
c
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Cálculo do fator de empacotamento atômico.
◼ Cálculo da razão c/a
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78
Empilhamento ótimo
O fator de empilhamento de 0.74, obtido nas redes cfc e hc, é o 
maior possível para empilhar esferas em 3D.
A A A
A
A A A A
A A A A
AAA
A A A
A
cfc
hc
B B
B
B B B
B B B
B B
B
C C C
C
C C
C C
C C C
C
A A A
A
A A A A
A A A A
AAA
A A A
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Material de apresentação do Prof. Sidnei Paciornik, 
Departamento de Ciência dos Materiais e Metalurgia da 
PUC – Rio de Janeiro
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79
Compostos CFC
◼ Os compostos também podem ter reticulado 
cúbico de face centrada (Figura 3.10). O 
centro de cada face é equivalente, em todos 
os aspectos, ao vértice. No composto NaCl, 
onde diferentes átomos estão em contato, a 
dimensão da célula CFC e obtida da soma 
dos dois raios:
◼ Com o valor do parâmetro pode ser 
calculado o volume da célula. O número de 
átomos permite a determinação da massa. 
Ambos permitirão o cálculo da densidade.
)( 2)( −+ += ClNaNaClCFC
RRa
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ALOTROPIA
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◼ Alotropia (polimorfismo)
⚫ Ex: Ferro – CCC e CFC.
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◼ Alotropia (polimorfismo)
 Na temperatura ambiente, o Ferro 
têm estrutura ccc, número de 
coordenação 8, fator de 
empacotamento de 0,68 e um raio 
atômico de 1,241Å.
 A 910°C, o Ferro passa para 
estrutura cfc, número de 
coordenação 12, fator de 
empacotamento de 0,74 e um raio 
atômico de 1,292Å.
 A 1390°C o ferro passa novamente 
para ccc.
Figura adaptada do material de apresentação da Profa. Eleani M. da Costa - DEM/PUCRS.
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◼ Alotropia (polimorfismo)
-273
912
1394
1539
oC
Ferro  (alfa) - CCC
Ferro  (gama) - CFC
Ferro  (delta) - CCC
Ferro líquido
Fonte: Smith, 1998.
Figura adaptada do material de apresentação da Profa. Eleani M. da Costa - DEM/PUCRS.
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85
Cristalografia
◼ Para poder descrever a estrutura 
cristalina é necessário escolher 
uma notação para posições, 
direções e planos.
◼ Posições
⚫ São definidas dentro de um cubo 
com lado unitário.
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[0 1 1/2]=[0 2 1]
Direções cristalográficas 
⚫ As direções são definidas a partir da origem.
⚫ Suas coordenadas são dadas pelos pontos que cruzam o cubo unitário. 
Se estes pontos forem fraccionais multiplica-se para obter números 
inteiros.
[1 0 0]
[0 1 0]
[0 0 1]
[1 1 0]
[1 1 1]
[1 -1 1]
11 1 
[1/2 1 0]=[1 2 0]
Material de apresentação do Prof. 
Sidnei Paciornik, Departamento de 
Ciência dos Materiais e Metalurgia da 
PUC – Rio de Janeiro
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88
Direções cristalográficas
◼ As direções são definidas a partir da origem.
◼ Suas coordenadas são dadas pelos pontos que cruzam o cubo unitário. 
Se estes pontos forem fracionais multiplica-se para obter números 
inteiros.
Material de apresentação do Prof. 
Sidnei Paciornik, Departamento de 
Ciência dos Materiais e Metalurgia da 
PUC – Rio de Janeiro
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Identificação das coordenadas (nomenclatura)
Ponto de referência → origem das coordenadas
[ ] → representa direção
h, k e l são projeções reduzidas ao longo dos eixos x, y e z, respectivamente
a → h; b → k; c → l
Exemplo 1:
[1 1 1] → x = 1, y = 1 e z = 1
[1 0 1] → x = 1, y = 0 e z = 1
[1 1 1] → x = 1, y = -1 e z = 1
[1 1 0] → x = 1, y = 1 e z = 0
[1 1 2] → x = 1, y = 1 e z = 2
Exemplo 2:
Direções idênticas (usar combinação dos menores 
números inteiros)
[1 1 1] → [2 2 2] → [3 3 3]
-
z
y
x
[1 1 1]
[1 1 0]
[1 0 1]
a
b
c
[1 1 1]-
[1 1 2]
Direções cristalográficas
Fonte: Material de apresentação 
de Lucas Nao Horiuchi, 
Braskem, 2009
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][ 111 ][ 111 ][ 111 ][ 111 ][ 111 ][ 111][111 ][ 111
Direções Cristalinas em células cúbicas
◼ As direções cristalinas são indexadas simplesmente como um 
segmento que se estende da origem até as posições de menores 
índices inteiros (Figura 3.21). Assim sendo, a direção [111] vaidesde a 
origem 0, 0, 0, até a posição 1, 1, 1. 
◼ As direções são representadas dentro de colchetes, [u v w], usando as 
letras u, v, e w para notação dos mesmos índices nas direções x, y e z, 
respectivamente. Direções paralelas sempre terão os mesmos índices.
◼ Famílias de direções – No cristal cúbico, as direções que se seguem 
são idênticas:
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92
▪ Qualquer propriedade direcional [Ex: Módulo de Young, permeabilidade 
magnética e índice de refração, etc.] será idêntica nessas oitos direções. 
▪ Portanto, é conveniente identificar esta família de direções como <111> em 
lugar do uso dos índices das oitos direções individuais. Note que os símbolos que 
encerram os índices da família são < >.
◼ Famílias de direções
⚫ Formadas por direções semelhantes dentro da estrutura cristalina.
◼ <111> = ][ 111 ][ 111 ][ 111 ][ 111 ][ 111 ][ 111][111 ][ 111
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Índice de Miller
◼ Determina as coordenadas reduzidas para as 
direções;
◼ Determina as condições de identificação para os 
planos;
◼ Identificam as interseções de planos que cortam 
os reticulados;
◼ Devem ser reduzidos a um reticulado simples.
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DIREÇÕES CRISTALINAS
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DIREÇÕES CRISTALINAS
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101
Fonte: Ian Stuart Murray, 
Mount Allison University
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Direções Cristalinas em células 
hexagonais
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◼ Um cristal contém planos de átomos. Estes 
planos influenciam as propriedades e o 
comportamento de um material – sendo assim 
será vantajoso identificar vários planos no 
domínio dos cristais.
◼ Os planos são indicados por ( h k l ) e os 
números indicados pelas letras h, k e l são 
denominados Índices de Miller. Figuras 3.22, 
3.23, 3.24.
Planos Cristalinos
A
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A
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C
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S
◼ Para identificar os índices de Miller de 
um determinado plano inicialmente 
verificamos as interseções do plano 
nos eixos. A recíproca destas 
interações correspondem aos índices 
de Miller deste plano.
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◼ Todos os planos paralelos são identificados com os mesmos 
índices. A escolha da origem é arbitrária. 
◼ Os índices de Miller usados para identificar planos são os de 
mais baixos valores inteiros. No plano (h k l), os índices de 
Miller h, k e l são as recíprocas das interseções do plano com 
os eixos x, y e z respectivamente.
◼ Existem também planos com índices negativos. 
◼ A família de planos é representada por {h k l}. 
◼ Todos os planos paralelos são representados pelos mesmos 
índices.
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Planos cristalográficos
◼ A notação para os planos utiliza os índices de Miller, que 
são obtidos da seguinte maneira:
⚫ Obtém-se as intersecções do plano com os eixos.
⚫ Obtém-se o inverso das intersecções.
⚫ Multiplica-se para obter os menores números inteiros.
Intersecções: 1/2,  1
Inversos: 2, 0 ,1
Índices de Miller: (201)
Em sistemas cúbicos o plano (hkl)
é normal a direção [hkl]
1/2
1
Material de apresentação do Prof. Sidnei Paciornik, Departamento de 
Ciência dos Materiais e Metalurgia da PUC – Rio de Janeiro
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Planos cristalográficos - Índices de Miller
◼ A notação para os planos utiliza os 
índices de Miller, que são obtidos 
da seguinte maneira:
⚫ Obtém-se as intersecções do plano 
com os eixos, nas dimensões das 
células unitárias.
⚫ Obtém-se o inverso das intersecções 
(Determine os recíprocos).
⚫ Transforme as frações em inteiros 
(determinação do mínimo múltiplo 
comum).
⚫ Reduza aos menores inteiros 
possíveis.
Intersecções: 1/2, ,1
Inversos: 2, 0 ,1
Índices de Miller: (201)
Em sistemas cúbicos o plano (hkl)
é normal a direção [hkl]

Material de apresentação do Prof. Sidnei Paciornik, Departamento de 
Ciência dos Materiais e Metalurgia da PUC – Rio de Janeiro
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Planos cristalográficos (cont.)
• 1 1, 
• 1, 1, 0
• (110)
•  1/2, 
• 0, 2, 0
• (020)
• (010)
• 1, -1, 1
• 1, -1, 1
• (111)
• 1 1, 1
• 1, 1, 1
• (111)
• 1, -1, 
• 1, -1, 0
• (110)
Quando as intersecções com os eixos não são 
óbvias, deve-se deslocar o plano ou a origem 
até obter as intersecções corretas.
•  1, 
• 0, 1, 0
• (010)
Material de apresentação do Prof. Sidnei 
Paciornik, Departamento de Ciência dos 
Materiais e Metalurgia da PUC – Rio de 
Janeiro
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Material de apresentação do Prof. Sidnei Paciornik, Departamento de 
Ciência dos Materiais e Metalurgia da PUC – Rio de Janeiro
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112
Fonte: Ian Stuart Murray, Mount Allison University
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124
Fonte: Material de apresentação 
de Lucas Nao Horiuchi, 
Braskem, 2009
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UFCG/CCT/UAEM
125
Planos em Células Hexagonais
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UFCG/CCT/UAEM
129
◼ Ângulo entre direções no sistema cúbico
⚫ Dado pelo produto escalar entre as direções, tratadas como vetores.
Ex: [100] e [010]
cos = 1.0 + 0.1 + 0.0 = 0
1
 = 90°
Ex: [111] e [210]
cos = 1.2 + 1.1 + 1.0 = 3
3.5 5
 = 39.2°
222222 w'v'u'wvu
ww'vv'uu'
'DD
'DD
cosθ
cosθ'DD'DD
cw'bv'au''D
cwbvauD
++++
++
=
=

=
=
++=
++=





direções entre Ângulos
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130



esequivalent posições de
átomos de
Linear Densidade
Distância repetitiva – A deformação ocorre mais 
facilmente nas direções onde a densidade linear de 
posições equivalentes for maior. 
Densidade Atômica Linear
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Densidade Atômica Planar
◼ Análogo ao fator de empacotamento atômico, que corresponde à 
densidade volumétrica de átomos, podemos definir a densidade 
atômica planar
⚫ DAP = Área Total de Átomos/Área do Plano
◼ Exemplo
⚫ Calcule a DAP dos planos {100} na rede CFC
1/4 de átomo
1 átomo
Número total de átomos = 1 + 4*1/4 = 2
Área total de átomo = 2 x Área de 1 átomo = 2R2
Área do Plano = a2 e 4R = a2 => a = 2R2
DAP = 2R2/a2 = 2R2/8R2 = /4 = 0785
Material de apresentação do Prof. Sidnei 
Paciornik, Departamento de Ciência dos 
Materiais e Metalurgia da PUC – Rio de 
Janeiro
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Densidade Atômica Linear
◼ Análogo à DAP podemos definir a densidade atômica linear
⚫ DAL = Comprimento Total de Átomos/Comprimento de uma direção
◼ Exemplo
⚫ Calcule a DAL das direções <100> na rede CFC
1/2 átomo
Número total de átomos = 1 + 1 = 2
Comprimento total de átomo = 2 x Raio de 1 átomo = 2R
Comprimento da Direção = a e 4R = a2 => a = 2R2
DAL = 2R/a = 2R/ 2R2 = 1/2 = 0.707
Material de apresentação do Prof. Sidnei 
Paciornik, Departamento de Ciência dos 
Materiais e Metalurgia da PUC – Rio de 
Janeiro
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◼ Em cristais cúbicos tanto o plano quanto a direção normal 
ao plano têm os mesmos índices. 
◼ A densidade planar é a relação entre átomos no plano e a 
área do mesmo.
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◼ Espaçamento 
interplanar no cristal 
cúbico 
222 lkh
a
dhkl
++
=
a = parâmetro da célula e h, k e l
são os índices do plano. 
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◼ Ler: 1 – Análise por Raios X; 2 –
Cristais moleculares; 3 –
Estruturas não cristalinas.
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Bibliografia
1. CHIAVERINI, V. Tecnologia Mecânica vol. I, vol. II e vol. III. 2 ed. Ed. Makron Books do 
Brasil Ltda, 1986.
2. VAN VLACK, L H. Princípios de Ciência dos Materiais. 1970, 12a Reimpressão. Ed. 
Edgard Blucher Ltda, 1998.
3. CALLISTER Jr., WILLIAM D., Ciência e Engenharia de Materiais: Uma Introdução, LTC –
Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 2002.
4. SHACKELFORD, James F. Ciência dos Materiais. 6a Edição. São Paulo: Pearson 
Education do Brasil, 2008.
5. Material de apresentação do Prof. Sidnei Paciornik, Departamento de Ciência dos 
Materiais e Metalurgia da PUC – Rio de Janeiro
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Bibliografia
6. HIGGINS, R. A. Propriedades e Estruturas dos Materiais em Engenharia. 
São Paulo: Difusão Editorial S.A., 1982.
7. PADILHA, Ângelo F. Materiais de Engenharia. São Paulo: Editora Hemus, 
1997.
8. Material de apresentação da Profa. Eleani M. da Costa - DEM/PUCRS.
9. Material de apresentação de Lucas Nao Horiuchi, Braskem, 2009
10. Material de apresentação de Josiane Dantas, SENSI/CIMATEC
11. Ian Stuart Murray, Mount Allison University
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