Aula 2-MATEMATICAFINANCEIRA-VER-2017-SEGUNDO

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MATEMÁTICA	FINANCEIRA:	CAPITALIZAÇÃO	
SIMPLES	E	COMPOSTA
Professor		Dr.	Romano	Timofeiczyk Junior
Curitiba,	2017
MATEMÁTICA FINANCEIRA
As pessoas tem preferência pela liquidez, em razão de :
• Risco de não receber a quantia no futuro
• Menor poder aquisitivo da quantia no futuro (inflação)
• Custo de oportunidade, que permite transformar $100 hoje em 
mais que $100 no futuro
A preferência pela liquidez é, normalmente, representada
pela taxa de juros ou custo do dinheiro
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Introdução:
Evolução do dinheiro Longo do tempo Taxa de juros
• Compra e venda a vista e a prazo
• Financiamento: veículos, eletroeletrônicos, etc.
• Descontos de duplicatas
• Empréstimos
• Prestação da casa própria
“Não se soma ou subtrai quantias em dinheiro 
que não estejam na mesma data”
Terminologia
• Capital ou Valor presente (P):
Valor envolvido numa transação, referenciada na data focal zero.
Quando se compara o preço à vista e a prazo, o preço à vista
representa o capital ou valor presente.
• Juros (j):
• Taxa de Juro (i): 
Remuneração exigida na utilização de capital de terceiros. Os
juros recebidos representam um rendimento e os juros pagos
representam um custo.
Coeficiente obtido pela relação estabelecida entre valor do juro
de um período e o capital emprestado, podendo ser expressa
sob a forma percentual ou unitária.
• Diagrama de uma pessoa que empresta R$ 680.000 à 
taxa de juros simples de 11% ao ano.
Terminologia
0 (anos)
1
680.000
754.800
• Diagrama de uma pessoa pega emprestado R$ 680.000 à 
taxa de juros simples de 11% ao ano.
Terminologia
0 (anos)1
680.000
754.800
Exemplo: O empréstimo de R$ 2.000 deverá ser pago em 48 
dias, com valor de R$ 2.250. Calcular juro, a taxa unitária de 
juros e a taxa percentual de juros desta operação.
Terminologia
• Juro da operação: J = 2.250 – 2.000 = R$ 250
• Taxa unitária de juros: i = J = 250 = 0,1250 aos 48 dias
P 2.000
• Taxa percentual de juros: i = 0,1250 x 100 = 12,50 aos 48 dias
Terminologia
• Prazo ou Número de Períodos (n):
Uma operação financeira pode ser visualizada como se
envolvesse um único período de tempo (denominado período da
operação) ou envolvendo múltiplos períodos.
• Período de capitalização:
Período que uma quantia rende uma taxa de juros i, após o qual, 
os valores resultantes dos juros são somados à quantia 
acumulada. No período seguinte, tal soma renderá novamente a 
taxa de juros i, repetindo-se o mesmo processo até o final dos 
períodos.
Terminologia
R$120.000 é aplicado por 1 ano a 14% a.a. Sendo o período 
de capitalização de 1 ano, qual o valor que se terá?
120.000 + 14% = 136.800
Considerar o mesmo exemplo, porém com período semestral.
120.000 + 7% = R$ 128.400
Como a taxa de juros é anual e o período de capitalização também é 
anual, diz-se que a taxa nominal coincide com a taxa efetiva. 
128.400 + 7% = R$137.388
A taxa nominal de juros é 14% e a efetiva é de 14,49% a.a. 
Terminologia
• Série uniforme (A):
Valor de cada contribuição considerada em uma série uniforme
de dispêndios ou recebimentos que ocorrem nos períodos 1, 2
,3,......, n chamados períodos de capitalização.
• Montante ou Valor Futuro (VF):
Quantidade monetária resultante de uma transação financeira, 
sendo, portanto, referenciada em uma data futura. Portanto, o 
montante ou valor futuro é o capital mais o valor do juro.
Juros Simples
• Apenas o principal ou capital inicial rende juros
• Características:
• Os juros não são capitalizados
• Exemplo:
• Capital inicial (P) = US$ 885.000
• Taxa de juros (i) = 2% ao mês
• Períodos (n) = 5 meses
J1 = 885.000 x 0,020 x 1 = US$ 17.700
J2 = 885.000 x 0,020 x 1 = US$ 17.700
J5 = 885.000 x 0,020 x 1 = US$ 17.700
J = J1 + J2 + J3 + J4 + J5 = US$ 88.500
• O juro produzido em cada período é constante
Juros Simples
• Fórmula do juros: J = 885.000 x 0,020 x 5 = US$ 88.500
J = P x i x n
Exemplo 1: Qual o período de capitalização considerando:
P = US$ 7.650.000
i = 11% ao ano
j = 4.207.500
Exemplo 2: Qual o capital gerado a partir das seguintes informações:
i = 11,5% ao ano
j = 420.470,00
n = 11 anos
n = 4.207.500 = 5 anos 
7.650.000 x 0,11
P = 420.470 = 332.387,35 
0,115 x 11
Juros Simples
• Para operações com prazo em dias e o período da taxa de juro com
período anual, o prazo da operação em dias é convertido numa fração
de um ano
• Por exemplo, para um ano de 360 dias e uma operação com prazo de
n dias, a fração que ajusta a taxa anual de juro ao prazo de operação é
n/360
• No cálculo do juro, o período da taxa de juro é ajustado ao prazo da
operação utilizando taxas proporcionais.
J = P x i x . n .
360
Juros Simples
Exemplo 3: O empréstimo de R$ 15.000 pelo prazo de 45 dias foi acertado
com taxa de 18% a.a. Qual o juro considerando o ano com 360 dias
J = 15.000 x 0,18 x . 45 . = $ 337,50
360
Exemplo 4: Você emprestou R$ 32.000 pelo prazo de 120 dias, com taxa
de 13,5% ao ano. Qual o montante a ser devolvido?
J = 32.000 x 0,135 x . 120 . = $ 1.440,00
360
F = 32.000 + 1.440 = R$ 33.440,00
Juros Simples
• Montante: Soma do juro mais o capital inicial 
F = P + J F = P + Pin
F = P (1 + in) 
Exemplo 5: Quanto deve aplicar para resgatar US$ 432.000 em18 meses
com taxa de 1,1%
P = F = 432.000 = US$ 360.601,00
(1 + i n) (1 + 0,011 x 18)
Exemplo 6: Qual o resgate de US$ 7.000,00 aplicado por 10 meses com 
taxas de 1,40% a.m
F = 7.000 (1 + 0,014 x 10) = 7.000 x 1,14 = F = US$ 7.980
Juros Simples
Exemplo 7: O capital inicial e final de uma operação financeira com prazo 
de 8 meses são R$ 2.500 e R$ 4.350, respectivamente. Qual a taxa de juros 
mensal desta operação financeira?
i = (4.350 / 2.500) – 1 = 9,25%
8 
Exemplo 8: O banco financiou R$ 28.000 pelo prazo de 180 dias com taxa
de 17% a.a. Quanto será devolvido ao banco?
F = 28000 x (1 + 0,17 x . 180 )= $ 30.380,00
360
Juros Compostos
• Características:
• Grande importância financeira por retratar melhor a realidade
• Juro gerado na aplicação financeira é somado ao capital e
participa da geração de juros no período seguinte
• Diferenças de regimes:
• Calcular o montante com juros simples e compostos:
Capital inicial = US$ 800.000
Taxa de juros = 1,0% ao mês
Tempo total = 10 meses
N Juros simples
Juro por ano Montante
1 800.000 x 0,010 = 8.000 808.000
2 800.000 x 0,010 = 8.000 816.000
3 800.000 x 0,010 = 8.000 824.000
4 800.000 x 0,010 = 8.000 832.000
5 800.000 x 0,010 = 8.000 840.000
6 800.000 x 0,010 = 8.000 848.000
7 800.000 x 0,010 = 8.000 856.000
8 800.000 x 0,010 = 8.000 864.000
9 800.000 x 0,010 = 8.000 872.000
10 800.000 x 0,010 = 8.000 880.000
Juros compostos
Juro por ano Montante
800.000,00 x 0,010 = 8.000,00 808.000,00
808.000,00 x 0,010 = 8.800,00 816.080,00
816.080,00 x 0,010 = 8.160,80 824.240,80
824.240,80 x 0,010 = 8.242,41 832.483,21
832.483,21 x 0,010 = 8.324,83 840.808,04
840.808,04 x 0,010 = 8.408,08 849.216,12
849.216,12 x 0,010 = 8.492,16 857.708,28
857.708,28 x 0,010 = 8.577,08 866.285,36
866.285,36x 0,010 = 8.662,85 874.948,21
874.948,21x 0,010 = 8.749,48 883.697,69
Juros Compostos
US$
Tempo
Simples
Composto
• Representação da capitalização simples e composta
Juros Compostos
• F1 = Fo (1 + i) = 800.000,00 (1,01) = 808.000,00 ∴ F0 = PO
• F2 = F1 (1 + i) = 808.000,00 (1,01) = 816.080,00 ∴ F1 = P1
• Montante: Soma do juro mais o capital inicial 
• F10 = F9 (1 + i) = 874.948,22 (1,01) = 883.697,69 ∴ F9 = P9
F1 = F0 (1 + i )
F2 = F1 (1 + i ) F2 = F0 ( 1 + i ) (1 + i )
F3 = F2 ( 1 + i ) F3 = F0 ( 1 + i )2 (1 + i ) F3 = F0 ( 1 + i )3
Fn = P0 (1 + i )n
Juros Compostos
Exemplo 9: Com as seguintes informações, calcular o valor futuro
P = 242.853,00
i = 1,2% a.m.
n = 21 meses
F = 242.853,00 (1 + 0,012)21 F = R$ 311.985,37
Exemplo 10: Com as seguintes informações, calcular o valor presente
F = 86.500,00
i = 1,3% a.m.
n = 18 meses
P = 86.500,00 
(1 + 0,013)18
P = R$ 68.556,10
Juros Compostos
Juros CompostosExemplo 11: Com as informações abaixo, calcule a taxa de juros mensal
P = 2.500,00
F = 4.350,00
n = 8 meses
4.350 = 2.500 (1 + i)8 I = 4.350 1/8
2.500
I = 7,169% 
Exemplo 12: Foram aplicados R$ 1.000,00 e resgatados R$ 2.025,82 
com taxa de 4%. Qual o prazo da operação?
F = (1 + i)n
P 
2.025,82 = (1 + 0,04)n
1.000 
n = log (2.025,82/1.000)
log (1 + 0,04)
n = 18 meses
Juros Compostos
Exemplo 13: O investimento de R$ 650.000 será remunerado com taxa 
de 1,35% a.m durante os 4 primeiros meses, e com taxa de 1,24% ao 
mês durante os 8 meses restantes da operação. Qual o resgate?
F1 = 650.000 ( 1 + 0,0135 )4 F1 = R$ 685.817,19
F2 = 685.817,19 ( 1 + 0,0124 )8 F2 = R$ 756.877,26
Exemplo 14: Considerando o problema anterior, qual a taxa de juro
constante com período mensal que ,aplicada durante um ano consiga o
mesmo valor no final de um ano?
i = 756.877,26 12 - 1 i = 1,2767% a.m.
650.000,00
F = 650.000 (1 + 0,0135 )4 x (1 + 0,0124 )8 F = R$ 756.877,26
• Fórmula do juros: 
J1 = F1 – P0 ∴ J1 = 808.000 – 800.000 = 8.000
J2 = F2 – P0 ∴ J1 = 816.080 – 800.000 = 16.080
J10 = F10 – P0 ∴ J10 = 883.697 – 800.000 = 83.697
Fn = P0 ( 1 + i )n – P0 Jn	=	P0 ((1	+	i	)n – 1)
Exemplo 15: Foi emprestado US$ 82.000 por 15 meses a 1,85% a.m. Qual o valor
do juro?
J = 82.000 ((1 + 0,0185)15 – 1) J = US$ 29.953
Juros Compostos