ELE_BAS_Aula_20_-_Indutncia_reatncia_indutiva_e_circuitos_indutivos

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Eletricidade Básicaengbrennoazevedo 1
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Eng. Brenno Azevedo
ELETRICIDADE BÁSICA
Indutância, reatância indutiva e circuitos indutivos
Indutância e reatância indutiva
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Objetivos da aula
• Aprender o conceito de indutância e reatância indutiva;
• Comportamento de indutores em série e em paralelo;
• Funcionamento de circuitos indutivos;
• Calcular potência em circuitos indutivos de CA e verificar diferença em
relação a circuitos CC.
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Indutância
• Capacidade que um indutor possui de induzir tensão em si mesmo quando
a corrente varia;
• O símbolo da indutância é o L e sua unidade é o henry (H);
• Um henry é a quantidade de indutância que permite uma indução de um
volt quando a corrente varia na razão de um ampère por segundo.
L = indutância (H);
vL = tensão induzida através da bobina (V);
∆𝑖/∆t = taxa de variação da corrente (A/s)
𝐿 =
𝑣𝐿
∆𝑖/∆𝑡
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• Exemplo 1: qual a indutância de uma bobina que induz 20 V quando a
corrente que passa pela bobina varia de 12 para 20 A em 2s?
𝐿 =
𝑣𝐿
∆𝑖/∆𝑡
=
20
8/2
=
20
4
= 5 𝐻
𝑣𝐿 = 20 𝑉 ∆𝑖 = 20 − 12 = 8 𝐴 ∆𝑡 = 2 𝑠
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• Exemplo 2: uma bobina tem uma indutância de 50 mH. Qual a tensão
induzida na bobina quando a taxa de variação da corrente for de 10.000
A/s?
𝐿 =
𝑣𝐿
∆𝑖/∆𝑡
𝐿 = 50 ∗ 10−6 = 0,000050 𝐻 ∆𝑖/∆𝑡 = 10.000 𝐴/𝑠
𝑣𝐿 = 𝐿 ∗
∆𝑖
∆𝑡
= 0,000050 ∗ 10000 = 0,5 𝑉
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Indutância
• Quando uma corrente em um condutor ou em uma bobina varia, esse fluxo
pode interceptar qualquer outro condutor ou bobina nas vizinhanças,
induzindo tensão em ambos;
• Um corrente variável em L1 induz tensão em L1 e L2;
• Quando a tensão induzida VL2 produz corrente em L2, o seu campo
magnético variável induz tensão em L1;
• As duas bobinas L1 e L2 possuem indutância mútua, pois a variação de
corrente em uma bobina induz tensão na outra.
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A indutância de uma bobina é de 1 H quando a variação de 1 A/s induz 1 V 
(GUSSOW, 2009)
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Indutância mútua entre L1 e L2
(GUSSOW, 2009)
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Reatância indutiva
• A reatância indutiva XL é a oposição à CA devida a indutância do circuito;
• A unidade da reatância indutiva é o ohm.
XL = reatância indutiva (ohm);
f = frequência (Hz);
L = indutância (H).
𝑋𝐿 = 2𝜋𝑓𝐿
2𝜋 = 2 ∗ 3,14 = 6,28
𝑋𝐿 = 6,28𝑓𝐿
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Reatância indutiva
• Em um circuito formado apenas por indutância, pode-se aplicar a lei de
Ohm para calcular a corrente e a tensão, bastando substituir XL por R.
IL = corrente através da indutância (A);
VL = tensão através da indutância (V);
XL = reatância indutiva (ohm).
𝐼𝐿 = 𝑉𝐿/𝑋𝐿
𝑋𝐿 = 𝑉𝐿/𝐼𝐿
𝑉𝐿 = 𝐼𝐿 ∗ 𝑋𝐿
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Circuito com apenas XL
(GUSSOW, 2009)
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Eletricidade Básica
• Exemplo 3: um circuito é formado por uma bobina de 20 mH que funciona
a uma frequência de 950 kHz. Qual a reatância indutiva da bobina?
𝑋𝐿 = 6,28𝑓𝐿
𝑋𝐿 = 6,28 ∗ 950.000 ∗ 0,020 = 119.320 𝑜ℎ𝑚
𝑓 = 950 ∗ 103 = 950.000 𝐻𝑧 𝐿 = 20 ∗ 10−3 = 0,02 𝐻
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• Exemplo 4: qual deve ser a indutância de uma bobina a fim de que ela
tenha uma reatância de 942 ohms a uma frequência de 60 kHz?
𝑋𝐿 = 6,28𝑓𝐿
𝐿 =
𝑋𝐿
6,28 ∗ 𝑓
=
942
6,28 ∗ 60.000
=
942
376.8000
= 0,0025 𝐻 = 2,5 𝑚𝐻
𝑓 = 60 ∗ 103 = 60.000 𝐻𝑧 𝑋𝐿 = 942 𝑜ℎ𝑚𝑠
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• Exemplo 5: a bobina de um radiotransmissor tem uma indutância de 300
mH. Para que a frequência ela terá uma reatância indutiva de 3.768 ohms?
𝑋𝐿 = 6,28𝑓𝐿
𝑓 =
𝑋𝐿
6,28 ∗ 𝐿
=
3.768
6,28 ∗ 0,0003
=
3.768
0,001884
= 2.000.000 𝐻𝑧 = 2 𝑀𝐻𝑧
𝐿 = 300 ∗ 10−6 = 0,0003 𝐻 𝑋𝐿 = 3.768 𝑜ℎ𝑚𝑠
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Indutores em série e em paralelo
• Se os indutores forem dispostos suficientemente afastados um do outro de
modo que não interajam eletromagneticamente entre si, os seus valores
podem ser associados exatamente como se associam os resistores;
• Se um certo número de indutores for ligado em série a indutância total LT
será a soma das indutâncias individuais:
• Se um certo número de indutores for ligado em paralelo, a sua indutância
total LT será:
𝐿𝑇 = 𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿𝑛…
1/𝐿𝑇 = 1/𝐿1 + 1/𝐿2 + 1/𝐿𝑛…
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Indutância em série e em paralelo sem acoplamento mútuo
(GUSSOW, 2009)
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Eletricidade Básica
• Exemplo 6: qual a indutância total dos indutores instalados em série com
valores 5, 8, 10, 12 e 15 H?
𝐿𝑇 = 𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿3 + 𝐿4 + 𝐿5
𝐿𝑇 = 5 + 8 + 10 + 12 + 15 = 50 𝐻
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Eletricidade Básica
• Exemplo 7: qual a indutância total dos indutores instalados em paralelo
com valores 5, 8, 10, 12 e 15 H?
1/𝐿𝑇 = 1/𝐿1 + 1/𝐿2 + 1/𝐿3 + 1/𝐿4 + 1/𝐿5
1/𝐿𝑇 = 1/5 + 1/8 + 1/10 + 1/12 + 1/15
1/𝐿𝑇 = 0,575
𝐿𝑇 = 1,74 𝐻
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Circuitos indutivos (somente indutância)
• Se em uma tensão CA, (v) for aplicado a um circuito que tenha somente
indutância, a corrente CA que passa pela indutância (iL), estará atrasada
com relação a tensão da indutância (vL) de 90°;
• As tensões (v) e (vL) são iguais porque a tensão total aplicada sofre uma
queda somente através da indutância;
• Tanto (iL) quanto (vL) são senoides de mesma frequência;
• Os valores instantâneos são representados por letras minúsculas como (i) e
(v);
• As letras maiúsculas como (I) e (V) indicam valores de rms CA
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Circuitos apenas com indutância
(GUSSOW, 2009)
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Eletricidade Básica
Porque a corrente que passa em um indutor é atrasada?
• No indutor a reatância XL surge devido à auto-indução, que se opõe as
variações da corrente. Como consequência, a reatância indutiva atrasa a
corrente em relação a tensão;
• Quanto mais brusca for a variação da corrente, maior será a reatância XL;
• A tensão se propaga instantaneamente, mas a corrente se atrasa.
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Circuitos indutivos (RL em série)
• Quando uma bobina (indutância) tem uma resistência em série, a corrente
rms (I) é limitada tanto por (XL) quanto por (R);
• O valor de (I) é o mesmo em (XL) e em (R), uma vez que estão em série;
• A queda de tensão em (R) é VR = IR, e a queda de tensão em (XL) é VL = IXL;
• A corrente (I) através de (XL) deve estar 90° atrasada em relação a VL, pois
este é o ângulode fase entre a corrente através da indutância e a sua
tensão auto-induzida;
• A corrente (I) através de (R) e a sua queda de tensão (IR) estão em fase,
portanto o ângulo é 0°.
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R e XL em série
(GUSSOW, 2009)
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Eletricidade Básica
Circuitos indutivos (RL em série)
• Para associar duas formas de onda fora de fase, somamos seus fasores
equivalentes;
• O método consiste em acrescentar a extremidade de um fasor a ponta da
seta do outro, utilizando o ângulo para indicar a sua fase relativa;
• A soma dos fasores produz um fasor resultante que parte da base de um
fasor e vai até a extremidade da seta do outro;
• Como os fasores (VR) e (VL) formam um ângulo reto, o fasor resultante é a
hipotenusa de um triângulo retângulo;
• O teorema de Pitágoras afirma que a hipotenusa é igual a raiz quadrada da
soma dos quadrados dos catetos, assim obtém-se a (VT).
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Triângulo de fasores de tensão
𝑉𝑇 = 𝑉𝑅
2 + 𝑉𝐿
2
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑉𝐿
𝑉𝑅
(GUSSOW, 2009)
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Eletricidade Básica
• Exemplo 8: um circuito RL em série tem uma corrente de 1 A de pico com R
= 50 ohm e XL = 50 ohm. Calcule VR, VL, VT e 𝜃.
𝑉𝑅 = 𝐼𝑅 = 1 ∗ 50 = 50 𝑉 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑐𝑜
𝑉𝐿 = 𝐼𝑋𝐿 = 1 ∗ 50 = 50 𝑉 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑐𝑜
𝑉𝑇 = 𝑉𝑅
2 + 𝑉𝐿
2 = 502 + 502 = 5000 = 70,7 𝑉 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑐𝑜
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑉𝐿
𝑉𝑅
= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
50
50
= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔1 = 45°
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Diagramas de tempo do circuito RL do exemplo 8
(GUSSOW, 2009)
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Impedância RL em série
• A resultante da adição dos fasores (R) e (XL) é chamada impedância;
• Representado pelo símbolo (Z);
• É a reação total ao fluxo da corrente, expressa em ohms
Indutância e reatância indutiva
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Eletricidade Básica
Soma dos fasores R e XL para determinar Z
𝑍 = 𝑅2 + 𝑋𝐿
2
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑋𝐿
𝑅
(GUSSOW, 2009)
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Eletricidade Básica
• Exemplo 9: se um R de 50 ohm e um XL de 70 ohm estiverem em série ao
se aplicar 120 V ao seus terminais, quais serão os valores de Z, 𝜃 , I, VR e
VL?
(GUSSOW, 2009)
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Eletricidade Básica
• Exemplo 9: se um R de 50 ohm e um XL de 70 ohm estiverem em série ao
se aplicar 120 V ao seus terminais, quais serão os valores de Z, 𝜃 , I, VR e
VL?
𝑍 = 𝑅2 + 𝑋𝐿
2 = 502 + 702 = 2500 + 4900 = 7400 = 86 𝑜ℎ𝑚
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑋𝐿
𝑅
= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
70
50
= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔1,4 = 54,5°
𝑉𝑇𝑒𝑠𝑡á 𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐼 𝑒𝑚 54,5°
Indutância e reatância indutiva
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Eletricidade Básica
• Exemplo 9: se um R de 50 ohm e um XL de 70 ohm estiverem em série ao
se aplicar 120 V ao seus terminais, quais serão os valores de Z, 𝜃 , I, VR e
VL?
𝐼 =
𝑉𝑇
𝑍
=
120
86
= 1,4 𝐴
𝑉𝑅 = 𝐼𝑅 = 1,4 ∗ 50 = 70 𝑉
𝑉𝐿 = 𝐼𝑋𝐿 = 1,4 ∗ 70 = 98 𝑉
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Circuitos indutivos (RL em paralelo)
• Para circuitos paralelos contendo (R) e (XL), a mesma tensão aplicada (VT)
passa através de (R) e de (XL), pois estão em paralelo com (VT);
• Não há diferença de fase entre estas tensões, portanto (VT) será usado
como referência;
• A corrente no ramo resistivo (IR = VT/R) está em fase com (VT);
• A corrente no ramo indutivo (IL = VT/XL) está atrasada em relação a (VT) de
90°, porque a corrente na indutância esta atrasada em relação a tensão
através dela de 90°;
• O fasor soma de (IR) e (IL) é igual a corrente total da linha (IT).
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R e XL em paralelo
𝐼𝑇 = 𝐼𝑅
2 + 𝐼𝐿
2 𝜃 = arctg(−
𝐼𝐿
𝐼𝑅
)
(GUSSOW, 2009)
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Eletricidade Básica
• Exemplo 10: um circuito CA com RL paralelo tem uma tensão de pico de
100 V aplicada através de R = 20 ohms e XL = 20 ohms. Calcule IR, IL, IT e 𝜃.
(GUSSOW, 2009)
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Eletricidade Básica
• Exemplo 10: um circuito CA com RL paralelo tem uma tensão de pico de
100 V aplicada através de R = 20 ohms e XL = 20 ohms. Calcule IR, IL, IT e 𝜃.
𝐼𝑅 =
𝑉𝑇
𝑅
=
100
20
= 5 𝐴 𝐼𝐿 =
𝑉𝑇
𝑋𝐿
=
100
20
= 5 𝐴
𝐼𝑇 = 𝐼𝑅
2 + 𝐼𝐿
2 = 52 + 52 = 25 + 25 = 50 = 7,07 𝐴 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑐𝑜
𝜃 = arctg −
𝐼𝐿
𝐼𝑅
= arctg −
5
5
= arctg −1 = −45°
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Eletricidade Básica
Diagramas de tempo do circuito RL do exemplo 10
(GUSSOW, 2009)
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Eletricidade Básica
Impedância RL em paralelo
• Para o caso geral do cálculo da impedância total (ZT) de (R) e (XL) em
paralelo, suponha um número qualquer para a tensão aplicada (VT), pois no
cálculo de (ZT) em função das correntes de ramo, o valor (VT) se cancela;
• Um valor conveniente para (VT) é o valor ou de (R) ou de (XL),
independentemente de qual seja o número mais alto.
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Eletricidade Básica
• Exemplo 11: qual a impedância de ZT de um R de 200 ohms em paralelo
com XL de 400 ohms? Suponha que a tensão aplicada VT seja de 400 V.
𝐼𝑅 =
𝑉𝑇
𝑅
=
400
200
= 2 𝐴 𝐼𝐿 =
𝑉𝑇
𝑋𝐿
=
400
400
= 1 𝐴
𝐼𝑇 = 𝐼𝑅
2 + 𝐼𝐿
2 = 22 + 12 = 4 + 1 = 5 = 2,24 𝐴
𝑍𝑇 =
𝑉𝑇
𝐼𝑇
=
400
2,24
= 178,6 𝑜ℎ𝑚𝑠
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Eletricidade Básica
Impedância RL em paralelo
• A impedância da associação de R de 200 ohms em paralelo com XL de 400
ohms é igual a 178,6 ohms, independentemente do valor da tensão
aplicada;
• A impedância da associação deve ser menor do que o menor número de
ohms dos ramos em paralelo.
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Eletricidade Básica
• Exemplo 12: qual a impedância de ZT de um R de 200 ohms em paralelo
com XL de 400 ohms? Suponha que a tensão aplicada VT seja de 600 V.
𝐼𝑅 =
𝑉𝑇
𝑅
=
600
200
= 3 𝐴 𝐼𝐿 =
𝑉𝑇
𝑋𝐿
=
600
400
= 1,5 𝐴
𝐼𝑇 = 𝐼𝑅
2 + 𝐼𝐿
2 = 32 + 1,52 = 9 + 2,25 = 11,25 = 3,354 𝐴
𝑍𝑇 =
𝑉𝑇
𝐼𝑇
=
600
3,354
= 178,89 𝑜ℎ𝑚𝑠
Indutância e reatância indutiva
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Eletricidade Básica
Potência em circuitos RL
• Em um circuito CA com reatância indutiva, a corrente de linha (I) segue
atras da tensão aplicada (V);
• A potência real (P) é igual a tensão multiplicada somente por aquela parte
da corrente da linha que está em fase com a tensão, dada em watts (W).
Onde 𝜃 é o ângulo de fase entre V e I;
Cos𝜃 é o fator de potência (FP) do circuito.
𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑃 = 𝑉𝐼 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑃 = 𝐼2𝑅 = 𝑉²/𝑅
Potência real é a potência dissipada na 
resistência
Indutância e reatância indutiva
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Eletricidade Básica
Potência em circuitos RL
• A potência reativa (Q) em volte-ampere reativos (VAr):
• A potência aparente S é o produto de V * I, sua unidade é volte-ampere
(VA):
𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑄 = 𝑉𝐼𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑆 = 𝑉𝐼
Indutância e reatância indutiva
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Potências
• Potência ativa: é a potência que realiza trabalho útil na carga (W);
• Potência reativa: representa parte da potência que é empregada nas cargas
indutivas e capacitivas dos circuitos sem realizar trabalho efetivo (VAr);
• Potência aparente: potência total entregue pela fonte (VA).
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Eletricidade Básica
Potência em circuitos RL
• Em todas as fórmulas de potência, (V) e (I) são dados em valores rms;
• A indutância, não consome potência. A única parte do circuito que
consome potência é a resistência;
• As relações de potência real, reativa e aparente são ilustradas no diagrama:
(GUSSOW, 2009)
Indutância e reatância indutiva
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Eletricidade Básica
• Exemplo 13: o circuito CA abaixo tem 2 A através de um R de 173 ohms em
série com um XL de 100 ohms. Calcule o fator de potência, a tensão
aplicada (V), a potência real (P), a potência reativa (Q) e a potência
aparente (S).
(GUSSOW, 2009)
Indutância e reatância indutiva
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Eletricidade Básica
• Exemplo 13:
𝜃 = arctg
𝑋𝐿
𝑅
= arctg
100
173
= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔0,578 = 30°
𝐹𝑃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑐𝑜𝑠30° = 0,866
𝑍 =
𝑅
𝑐𝑜𝑠𝜃
=
173
𝑐𝑜𝑠30
= 200 𝑜ℎ𝑚𝑠
𝑍 = 𝑅2 + 𝑋𝐿
2 = 1732 + 1002 = 29.929 + 10.000 = 199,82 𝑜ℎ𝑚𝑠
Indutância e reatância indutiva
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Eletricidade Básica
• Exemplo 13:
𝑉 = 𝐼𝑍 = 2 ∗ 200 = 400 𝑉
𝑃 = 𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠𝜃 = 400 ∗ 2 ∗ (𝑐𝑜𝑠30°) = 692𝑊
𝑃 = 𝐼2𝑅 = 22 ∗ 173 = 692𝑊
𝑄 = 𝑉𝐼𝑠𝑒𝑛𝜃 = 400 ∗ 2 ∗ 𝑠𝑒𝑛30° = 400 𝑉𝐴𝑅
𝑆 = 𝑉𝐼 = 400 ∗ 2 = 800 𝑉𝐴
Em um circuito indutivo a potência reativa, 
esta atrasada porque I segue atras de V
Capacitância e reatância capacitiva
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Eletricidade Básica
Tabela resumo para RL
(GUSSOW, 2009)
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Dúvidas?