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MATEMÁTICA – EMM2 ET 13 
SIMPLIFICAÇÃO DA EQUAÇÃO GERAL DE UMA CURVA 
DO 2º GRAU 
 
1. Reconhecimento de Curvas do Segundo Grau 
 
Dada a equação geral do 2º grau, 
2 2Ax Bxy Cy Dx Ey F 0+ + + + + = 
As condições necessárias para que a mesma represente uma 
circunferência são: 
• A C 0= ≠ ; 
• B 0= ; 
Além disso temos o seguinte: 
O centro é 
D E
,
2A 2A
 
− 
 
; 
• O raio é dado por 
2 2D E 4AF
R
2A
+ −
= ; 
Desta forma, 
Se 2 2D E 4AF 0+ − > então a circunferência é real; 
Se 2 2D E 4AF 0+ − = então o raio é nulo e a circunferência 
reduz-se a um ponto; 
Se 2 2D E 4AF 0+ − < então a circunferência é imaginária. 
 
2. Cônicas 
 
Dada a equação geral do 2º grau, 
 2 2Ax Bxy Cy Dx Ey F 0+ + + + + = . 
Sejam, 
2
2
B 4AC , chamaremos de Invariante
2(BE 2CD)
E 4CF
2A B D
B 2C E , chamaremos de Discriminante
D E 2F
 − = α
 − = β 
 − = γ 
 
 
 ∆ =
 
 
 
 
Temos então os seguintes casos, 
0 Elipse
0 0 Ponto
0 Elipse imaginária
 ∆ < →
 α < 
 ∆ > → 
 
0 Hipérbole
0 0 Duas retas concorrentes
0 Hipérbole
 ∆ < →
 α > 
 ∆ > → 
 
0 e 0 Parábola
0 Duas retas paralelas disjuntas
0 0 e 0 0 Duas retas paralelas coincidentes 
0 Parábola imaginária
0 e 0 Parábola
 β > ∆ ≠ →
 
 γ > → 
 α = 
 γ < → 
 β < ∆ ≠ → 
 
 
 
 
3. Determinação do centro de uma cônica 
 
Se 2B 4AC 0− ≠ então o centro da cônica será o ponto (m,n) 
onde 2
2CD BE
m
B 4AC
−
=
−
 e 2
2AE BD
n
B 4AC
−
=
−
. 
 
4. Transformação de coordenadas 
 
Fazendo uma translação de eixos dada por x m x'= + e 
y n y'= + , a equação geral 2 2Ax Bxy Cy Dx Ey F 0+ + + + + = 
transforma-se em 
2 2
2 2
A(x') Bx'y' C(y') (2Am Bn D)x' (Bm 2Cn E)y'
(Am Bmn Cn Dm En F) 0
+ + + + + + + + +
+ + + + + =
 
Desta forma podemos fazer com que os termos do 1º grau 
desapareçam tomando os valores de m e n que satisfaçam, 
2Am Bn D 0
Bm 2Cn E 0
 + + =
 + + = 
 
 
5. Rotação de eixos 
 
Podemos fazer uma rotação dos eixos coordenados sem mudar 
a origem. As novas coordenadas serão dadas por, 
x' x . cos y . sen
y' x . sen y . cos
= θ + θ
= − θ + θ
 
onde, 
B
tg(2 )
A C
θ =
−
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. (ITA-95) Uma reta t do plano cartesiano xOy tem coeficiente 
angular 2a e tangencia a parábola y = x2 – 1 no ponto de 
coordenadas (a, b). Se (c, 0) e (0, d) são as coordenadas de dois 
pontos de t tais que c > 0 e c = –2d, então a/b é igual a 
a) –4/15 b) –5/16 c) –3/16 
d) –6/15 e) –7/15 
 
02. (ITA-99) Pelo ponto C: (4, – 4) são traçadas duas retas que 
tangenciam a parábola y = (x – 4)2 + 2 nos pontos A e B. 
A distância do ponto C à reta determinada por A e B é: 
a) 6 12 b) 12 c) 12 
d) 8 e) 6 
 
03. (UFF) Uma parábola que passa pelo ponto (–2,0) e cujo 
vértice é o ponto (1,3) tem equação: 
a) 
2y x 2x 8= − + + 
b) 
2y 3x 6x 24= − + + 
c ) 
23y x 2x 8= − + + 
d) 
23y x 2x 8= − − 
e ) 
2y x 2x 8= + + 
 
 
 
 
 
 
2 
MATEMÁTICA – EMM2 ET 13 
04. Determine a equação da parábola cujo vértice é o ponto 
(4,–3) tem eixo paralelo ao eixo x e passa pelo ponto (2,1). 
 
05. Determine a equação da parábola que tem vértice (–2,3), 
eixo dado por x 2 0+ = e que passa pelo ponto (2,0). 
 
06. Encontre a equação da parábola que passa pelo ponto 
P (0,10) e pelos focos da hipérbole de equação 9x² - 16y² = 144 
 
07. (AFA-89) Para que o valor mínimo da função y = x2 – 4x + k 
seja igual a -1, o valor de k é : 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 
 
08. (EN-94) A equação da parábola cujo foco é o ponto (1 , 4) e 
cuja diretriz é a reta y = 3 é: 
a) y = x2 – 2x + 4 
b) y = –x2 + x - 8 
c) y = 
2x
x 4
2
− +
 
d)
 
2x x
y 2
2 2
= − +
 
e) x = y2 – y + 4 
 
09. Determine a natureza do lugar geométrico representado 
pela curva 2 23x 2xy 3y 2x 10y 9 0− + − − + = . 
 
10. Determine a natureza do lugar geométrico 
2 2x 6xy 5y 4x 12y 4 0− + + − + = . 
 
11. Verifique a natureza da curva xy x 3y 3 0− − + = . 
 
12. Determine o centro, se houver, da cônica 
2 24x xy y x 2y 2 0− + − + − = . 
 
13. Determine a natureza da curva 
2 23x 8xy 4y x 4y 5 0− + − + + = . 
 
14. Determine a natureza da curva 
2 216x 24xy 9y 300x 400y 0− + − − = . 
 
SISTEMAS LINEARES 
 
1. Sistema Linear 
 
 Um sistema linear é um conjunto de equações lineares que 
devem ser satisfeitas simultaneamente. O sistema linear abaixo 
é um sistema de m equações e n incógnitas ( 1 2 nx ,x ,...x ). 
 
11 1 12 2 1n n 1
21 1 22 2 2n n 2
m1 1 m2 2 mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
 + + + =
 + + + = 
 
 
 + + + = 
…
…
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
…
 
 
 Além disso, todo sistema linear pode ser escrito na forma 
matricial que será dada por, 
11 12 1n 1 1
21 22 2n 2 2
m1 m 2 mn n m
a a a x b
a a a x b
a a a x b
 
 
 ⋅ =
 
 
 
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮
⋯
 
 A matriz dos coeficientes das equações é chamada matriz 
incompleta do sistema. 
 
A = 
11 12 1n
21 22 2n
m1 m 2 mn
a a a
a a a
a a a
 
 
 
 
 
 
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋯ ⋮
⋯
 
 
 A matriz completa é obtida justapondo a matriz dos 
coeficientes à matriz incompleta. 
 
11 12 1n 1
21 22 2n 2
m1 m 2 mn m
a a a b
a a a b
B
a a a b
 
 
 =
 
 
 
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮
⋯
 
 
2. Classificação de um sistema linear 
 
De acordo com as soluções encontradas no sistema linear 
podemos classificá-lo como: 
• Sistema Possível e Determinado (SPD): possui uma única 
solução; 
• Sistema Possível e Indeterminado (SPI): possui infinitas 
soluções; 
• Sistema Impossível (SI): não possui solução. 
 
3. Teorema de Cramer 
 
 O teorema de Cramer nos permite fazer algumas 
afirmações a respeito de sistemas quadrados (n equações e n 
incógnitas) SPD. 
Consideremos a forma matricial de um sistema, 
A . X C= 
 onde, A é uma matriz nxn, X é uma matriz nx1 e C também 
é nx1. 
 Uma condição necessária e suficiente para que exista uma 
única solução X para a equação matricial (e consequentemente 
para o sistema linear) é que a matriz A seja inversível pois 
dessa forma poderemos escrever, 
1X A C−= . 
 O teorema de Cramer nos diz então que se det(A) 0≠ (o 
que significa que A tem inversa) então o sistema é SPD e a 
solução será dada por, 
i
i
det A
x
det A
= , para i = 1,2,...,n 
onde iA é a matriz obtida de A, substituindo-se a i-ésima 
coluna pela coluna dos termos independentes. 
 
 
 
 
 
 
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MATEMÁTICA – EMM2 ET 13 
4. Sistema homogêneo 
 
 Um sistema homogêneo é todo sistema da forma, 
 
11 1 12 2 1n n
21 1 22 2 2n n
m1 1 m2 2 mn n
a x a x a x 0
a x a x a x 0
a x a x a x 0
 + + + =
 
+ + + = 
 
 
 + + + = 
…
…
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
…
 
 
 Um sistema homogêneo sempre tem a solução 
1 2 nx x ... x 0= = = = que é chamada de solução trivial. Portanto 
um sistema desse tipo nunca é impossível. Note também o 
seguinte: 
• Se um sistema homogêneo é de Cramer (det A ≠ 0), então a 
solução trivial é a única solução e o sistema é possível 
determinado. 
• Se um sistema homogêneo não é de Cramer ( det A 0= ), 
então ele é necessariamente possível e indeterminado, 
possuindo infinitas soluções inclusive a trivial. 
 
5. Escalonamento de sistemas lineares 
 5.1. Sistemas escalonados 
 
 Dizemos que o sistema está na forma escalonada se o 
número de coeficientes nulos, antes do primeiro não nulo, 
aumenta de equação para equação. 
 O principal método para a resolução de sistemas lineares é 
o método do escalonamento que consiste em transformar um 
sistema genérico em um sistema escalonado cuja resolução é 
bem mais simples. Basta resolvê-lo a partir da última equação 
até a primeira. 
 
 5.2. Resolução de sistemas escalonados 
 
 Quando o sistema escalonado é quadrado (mesmo número 
de equações e incógnitas) teremos, 
11 1 12 2 13 3 1n n 1
22 2 23 3 2n n 2
33 3 3n n 3
nn n n
a x a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x b
a x b
 + + + =
 
+ + =
 
 
+ + = 
 
 
= 
…
…
⋯
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
 
onde iia 0, i≠ ∀ . A resolução é feita a partir da última equação 
até a primeira.Desta forma teremos um sistema SPD. 
 Um outro caso possível é quando o número de equações 
(m) é menor que o número de incógnitas (n) e nem todos os 
termos, iia i = 1, 2, ..., n, são não nulos. 
Para resolver esse tipo de sistema devemos transformá-lo num 
sistema do tipo anterior como segue: 
 1º) as incógnitas que não aparecem no início de nenhuma 
equação, chamadas variáveis livres, devem ser 
transpostas para os 2os membros das equações. 
 2º) O novo sistema assim obtido deve ser considerado 
como um sistema contendo apenas as incógnitas que 
sobraram nos 1os membros das equações. 
 3º) O sistema resultante estará na forma escalonada e pode 
ser resolvido pelo método exposto no item anterior, 
onde as variáveis do 1º membro serão apresentadas em 
função das variáveis do 2º membro (variáveis livres). 
 Como para cada valor assumido pelas variáveis livres 
resulta uma solução diferente, o sistema possui infinitas 
soluções, ou seja, é possível e indeterminado. 
 O número de variáveis livres é obtido subtraindo do 
número total de variáveis o número de equações do sistema 
escalonado e é chamado grau de indeterminação do sistema. 
 Nos dois tipos de sistemas escalonados não foram 
apresentados sistemas impossíveis. Isto se deve ao fato de 
ser uma exigência para que o sistema seja considerado na 
 forma escalonada que todas as equações possuam pelo 
menos um coeficiente não nulo. Como veremos a seguir, essa 
condição não é satisfeita para os sistemas impossíveis. 
 O sistema escalonado pode apresentar uma das seguintes 
características: 
 
1º 
tipo 
nº de equações = nº 
incógnitas 
sistema 
possível 
determinado 
1 única 
solução 
2º 
tipo 
nº de equações < nº 
incógnitas 
sistema 
possível 
indeterminado 
infinitas 
soluções 
 
apresenta equação da 
forma 
1 2 n0x 0x 0x b+ + + =… 
com b ≠ 0, 
sistema 
impossível 
nenhuma 
solução 
 
6. Discussão de sistemas lineares 
 6.1. Teorema de Rouché-Capelli 
 
 Primeiramente vamos introduzir alguns conceitos: 
• Matriz escalonada: Uma matriz está na forma escalonada se o 
número de zeros que precedem o primeiro elemento não 
nulo de uma linha aumenta, linha por linha, até que restem 
eventualmente apenas linhas nulas; 
• Característica de uma matriz: É o número de linhas não nulas 
de uma matriz escalonadas. 
 
 Podemos escalonar uma matriz procedendo da mesma 
maneira que fizemos para escalonar um sistema linear. 
 
 Seja um sistema linear de m equações a n variáveis 
 
(S) 
11 1 12 2 1n n 1
21 1 22 2 2n n 2
m1 1 m2 2 mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
 + + + =
 
+ + + = 
 
 
 + + + = 
…
…
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
…
 
 
Sejam A e B, as matrizes incompleta e completa do sistema 
 
11 12 1n
21 22 2n
m1 m 2 mn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 =
 
 
 
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋯ ⋮
⋯
, 
11 12 1n 1
21 22 2n 2
m1 m 2 mn m
a a a b
a a a b
B
a a a b
 
 
 =
 
 
 
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮
⋯
 
 e suas características p(A) e p(B), respectivamente. 
 
Teremos então que o sistema (S) será: 
• Possível e Determinado se só se p(A) = p(B) = n; 
• Possível e Indeterminado se e só se p(A) = p(B) < n; 
• Impossível se e só se p(A) < p(B). 
 
 
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MATEMÁTICA – EMM2 ET 13 
EXERCÍCIOS 
 
01. Mostre que
n n
x a a ... a a
a x a ... a a
(x a) (x a)
a a x ... a a
2
... ... ... ... ... ...
a a a ... a x
−
+ + −
=− −
− − − −
. 
 
02. Prove que 
1 2 3 ... n
1 0 3 ... n
n!1 2 0 ... n
... ... ... ... ...
1 2 3 ... 0
−
=− −
− − −
. 
 
03. Prove que 
1 2 n 1 n
2 n 1 n
1 n 1 n
1 2 n
1 2 n
1 2 n 1
1 x x ... x x
1 x x ... x x
1 x x ... x x
(x x )(x x )...(x x )
... ... ... ... ... ...
1 x x ... x x
1 x x ... x x
−
−
−
−
= − − − . 
 
04. (ITA-82) Sendo A uma matriz real quadrada de ordem 3, 
cujo determinante é igual a 4, qual o valor de x na equação det 
( 2 AAt ) = 4x ? 
a) 4 b) 8 c) 16 
d) 32 e) 64 
 
05. (ITA-88) Seja A uma matriz quadrada inversível, de ordem 3. 
Seja B a matriz dos cofatores da matriz A. Sabendo-se que 
det A = –2, calcule det B. 
 
06. (ITA-90) Sejam A, B e C matrizes n x n tais que A e B são 
inversíveis e ABCA = At é a transposta da matriz A. 
Então, podemos afirmar que: 
a) C é inversível e det C = det (AB)– 1 
b) C não é inversível pois det C = 0 
c) C é inversível e det C = det B 
d) C é inversível e det C = (det A)2.det B 
e) C é inversível e det C = (det A)/(det B) 
 
07. (ITA-94) Sejam A e P matrizes reais quadradas de ordem n 
tais que A é simétrica (isto é A = At) e P é ortogonal (isto é, 
PPt = I = PtP), P diferente da matriz identidade. Se B = PtAP 
então: 
a) AB é simétrica 
b) BA é simétrica 
c) det A = det B 
d) BA = AB 
e) B é ortogonal 
 
 
 
 
 
 
08. (IME-91/92) Calcule o valor do determinante nxn abaixo: 
Dn = 
m x m m m ... m
m m x m m ... m
m m m x m ... m
... ... ... ... ... ...
m m m m ... m x
+
+
+
+
. 
 
09. (UNICAMP-95) Em um restaurante, todas as pessoas de um 
grupo pediram um mesmo prato principal e uma mesma 
sobremesa. Com o prato principal o grupo gastou R$56,00 
e com a sobremesa R$35,00; cada sobremesa custou R$3,00 
a menos do que o prato principal. 
a) Encontre o número de pessoas neste grupo. 
b) Qual o preço do prato principal? 
 
10. (UNITAU-95) O sistema 
x – 2y = 5
–3x + 6y = -15
 
 
 
 
a) é possível e determinado. 
b) é possível e indeterminado. 
c) é impossível. 
d) tem determinante principal diferente de zero. 
e) não admite nenhuma raiz real. 
 
11. (UNITAU-95) Calcule o valor de k para que o sistema a 
seguir tenha solução diferente da trivial. 
3x + y + z = 0
2x + (2 – k)y + 2z = 0
x + y + (1 – k)z = 0
 
 
 
 
 
 
 
12. (VUNESP-95) Seja (1, 1, 1) uma solução particular do 
sistema linear 
x+ay=2
2x+by-az=0
 
 
 
nas incógnitas x, y e z. Nessas 
condições, 
o conjunto solução do sistema é; 
a) {(x, –x + 2, 3x –2) | x ∈ IR}. 
b) {(1, 1, 1)}. 
c) {(x, x –2, 3x –2) | x ∈ IR}. 
d) {( –y + 2, y, 5y –4) | y ∈ IR}. 
e) {(z, z, z) | z ∈ IR}. 
13. (FEI-94) Se as retas de equações:
x + 2y – 2a = 0
ax – y – 3 = 0
2x – 2y – a = 0
 
 
 
 
 
são 
correntes em um mesmo ponto, então: 
a) a = 4 ou a = 2/3 
b) a = –3/2 ou a = 2/3 
c) a = 2 ou a = –3/2 
d) a = 1 ou a = 4 
e) a = 0 ou a = 5 
 
14. (FEI-95) Se o sistema linear a seguir, é 
impossível,
ax + y + z = 1
x – 2y + 3z = 0
2x + y – 3z = 2
 
 
 
 
 
então: 
a) a = 0 b) a = –14/3 c) a = 3/4 
d) a = 1 e) a = 28 
 
 
 
 
5 
MATEMÁTICA – EMM2 ET 13 
15. (ITA-95) Se S é o conjunto dos valores de a para os quais o 
sistema: 23
3
x + y + z = 0
x + (log a) y + z = 0
27
2x + 2y + (log )z 0
a
 
 
 
 
 
 =
 
é indeterminado, então: 
a) S ⊂ [–3, 3] 
b) S é vazio 
c) S ⊂ [2, 4] 
d) S ⊂ [1, 3] 
e) S ⊂ [0, 1] 
 
16. (VUNESP-89) Determine "p", "q", "r", "s" de modo que o 
sistema linear a seguir seja possível e indeterminado. Calcule a 
solução que satisfaz x = y2. 
2x + 6y = 8
x + py = r
5x + qy = s
 
 
 
 
 
 
 
PROBABILIDADE CONDICIONAL, TEOREMA DE BAYES 
E TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL 
 
1. Probabilidade Condicional 
 
 Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de A 
dado que ocorreu B é representada por P(A|B) e dada por, 
 
P(A B)
P(A|B)
P(B)
∩
= 
 
2. Regra do Produto de probabilidades 
 
 Dois eventos A e B são independentes quando a ocorrência 
de um deles não influi na probabilidade do outro, mais 
precisamente 
P(A|B) P(A)= 
ou ainda, 
P(A B) P(A).P(B)∩ = 
 
3. Proposição 
 
Sejam A, B e C eventos de algum espaço amostral Ω . Então, 
• P( |A) 0∅ = P( |A) 1Ω = 
• P((B C)|A) P(B|A) P(C|A)∪ = + , se A B∩ = ∅ 
 
4. Teorema de Bayes 
 
Sejam 1 2 pA ,A ,...,A eventos disjuntos e 
p
i
i 1
B A
=
⊂∪ , então 
p
i i
i 1
P(B) P(A ).P(B|A )
=
= 
e, k kk
1 1 p p
P(A ) . P(B|A )
P(A |B)
P(A ) . P(B|A ) ... P(A ) . P(B|A )
=
+ +
. 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. Um baralho de 12 cartas tem 4 ases. Retiram-se duas cartas 
uma após outra. Qual a probabilidade de que a segunda seja 
um ás sabendo que a primeiraé um ás? 
 
02. Dois jogadores A e B vão lançar um par de dados. 
Eles combinam que se a soma dos números dos dados for 5, 
A ganha e se a soma for 8, B é quem ganha. Os dados são 
lançados. Sabe-se que A não ganhou. Qual a probabilidade de B 
ter ganho? 
a) 10/36 
b) 5/32 
c) 5/36 
d) 5/35 
e) Não se pode calcular sem saber os números sorteados. 
 
03. Escolhem-se aleatoriamente três dos seis vértices de um 
hexágono regular. Qual a probabilidade de que os vértices 
escolhidos formem um triângulo equilátero? 
 
04. Em um campeonato de tiro ao alvo, dois finalistas atiram 
num alvo com probabilidade de 60% e 70%, respectivamente, 
de acertar. Nessas condições, a probabilidade de ambos errarem 
o alvo é: 
a) 30% b) 42% c) 50% 
d) 12% e) 25% 
 
05. Num grupo de 12 professores, somente 5 são de 
matemática. Escolhidos ao acaso 3 professores do grupo, a 
probabilidade de no máximo um deles ser de matemática é: 
a) 3/11 b) 5/11 c) 7/11 
d) 8/11 e) 9/11 
 
06. Dois dados não viciados são lançados. A probabilidade de 
obter-se a soma de seus pontos maior ou igual a 5 é: 
a) 5/6 b) 13/18 c) 2/3 
d) 5/12 e) 1/2 
 
07. Uma urna contém bolas numeradas de 1 a 5. Sorteia-se uma 
bola, verifica-se o seu número e ela é reposta na urna. 
Num segundo sorteio, procede-se da mesma forma que no 
primeiro sorteio. A probabilidade de que o número da segunda 
bola seja estritamente maior que o da primeira é 
a) 4/5 b) 2/5 c) 1/5 
d) 1/25 e) 15/25 
 
08. Numa urna são colocadas 60 bolas iguais, numeradas de 
1 a 60. A probabilidade de sortearmos, sucessivamente, com 
reposição, 3 bolas com números que são múltiplos de 5, é: 
a) 8% 
b) 0,8% 
c) 0,08% 
d) 0,008% 
e) 0,0008% 
 
 
 
 
 
6 
MATEMÁTICA – EMM2 ET 13 
09. (FUVEST) Considere o experimento que consiste no 
lançamento e um dado perfeito. Com relação a esse 
experimento considere: 
 
 I. O resultado do lançamento é par; 
 II. O resultado do lançamento é estritamente maior que 4; 
III. O resultado é múltiplo de 3. 
 
a) I e II são eventos independentes? 
b) II e III são eventos independentes? 
 
10. (FUVEST) São efetuados lançamentos sucessivos e 
independentes de uma moeda perfeita até que apareça cara 
pela segunda vez. Sabendo-se que a segunda cara apareceu no 
oitavo lançamento qual é a probabilidade de que a primeira 
cara tenha aparecido no terceiro? 
 
11. Sejam A e B dois eventos independentes tais que 
P(A) 1 / 4= e P(A B) 1 / 3∪ = . Calcule P(B). 
 
12. Uma moeda equilibrada é jogada duas vezes. A e B são os 
eventos: 
A: cara na primeira jogada; 
B: cara na segunda jogada; 
 
Verifique que A e B são independentes. 
 
13. (FMU) Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 4 pretas; dela 
são retiradas duas bolas, uma após a outra, sem reposição; 
a primeira bola retirada é de cor preta; Qual a probabilidade de 
que a segunda bola retirada seja vermelha? 
 
14. (FATEC-97) De um grupo de 8 homens e 12 mulheres, 
escolhemos, ao acaso, duas pessoas, uma após a outra. Se P1 é a 
probabilidade da primeira ser mulher e a segunda homem, e P2 
a probabilidade das duas serem homens, então é verdade que: 
a) P1 = P2 
b) P1 = 3/4 P2 
c) P1 = 12/7 P2 
d) P1 + P2 > 0,40 
e) P1 – P2 < 0,10 
 
15. (FEI-97) Para ter acesso a um determinado programa de 
computador o usuário deve digitar uma senha composta por 
4 letras distintas. Supondo que o usuário saiba quais são essas 
4 letras mas não saiba a ordem correta em que devem ser 
digitadas, qual a probabilidade desse usuário conseguir acesso 
ao programa numa única tentativa? 
a) 1/4 b) 1/12 c) 1/16 
d) 1/24 e) 1/256 
 
16. Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 7 bolas brancas. 
A e B sacam alternadamente, sem reposição, bolas dessa urna 
até que uma bola vermelha seja retirada. A saca a 1º bola. 
Qual a probabilidade de A sacar a bola vermelha? 
 
 
 
REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE 
 
1. Redução do 2º quadrante para o 1º quadrante 
 
Pela figura acima é fácil ver que: 
• sen(x) sen( x)= π − ; 
• cos(x) cos( x)= − π − 
 
2. Redução do 3º quadrante para o 1º quadrante 
 
Podemos ver que: 
• sen(x) sen(x )= − − π ; 
• cos(x) cos(x )= − − π . 
 
3. Redução do 4º quadrante para o 1º quadrante 
 
 
 
7 
MATEMÁTICA – EMM2 ET 13 
Podemos ver que: 
• sen(x) sen(2 x)= − π − ; 
• cos(x) cos(2 x)= π − . 
 
4. Redução de [ / 4, / 2]π π a [0, / 4]π 
 
 Um ângulo x qualquer com extremidade no intervalo 
[ / 4, / 2]π π possui simetria, em relação a bissetriz dos 
quadrantes ímpares, com o ângulo no intervalo [0, / 4]π . 
Portanto, teremos: 
• sen(x) cos( / 2 x)= π − ; 
• cos(x) sen( / 2 x)= π − . 
 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
1. Função Seno 
 
 A função seno é a correspondência entre um ângulo 
qualquer x e sua linha trigonométrica seno. Podemos concluir 
que essa função é periódica de período 2π , seu domínio são os 
reais e sua imagem é o intervalo [-1,1]. Além disso, a função 
seno é uma função ímpar ( f(x) f( x)= − − ) e seu gráfico é dado 
abaixo. 
 
 
2. Função Cosseno 
 
 A função cosseno é a correspondência entre um ângulo 
qualquer x e sua linha trigonométrica cosseno. Podemos 
concluir que essa função é periódica de período 2π , seu 
domínio são os reais e sua imagem é o intervalo [-1,1]. Além 
disso, a função cosseno é uma função par ( f(x) f( x)= − ) e seu 
gráfico é dado abaixo. 
 
 
 
 
 
3. Função Tangente 
 
 A função tangente é a correspondência entre um ângulo 
qualquer x e sua linha trigonométrica tangente (razão entre o 
seno e o cosseno). Podemos concluir que essa função é 
periódica de período π , seu domínio será { / 2 k }− π + πℝ e sua 
imagem são os reais. Além disso, a função tangente é uma 
função ímpar e seu gráfico é dado abaixo. 
 
 
 
4. Função Cotangente 
 
 A função cotangente é a correspondência entre um ângulo 
qualquer x e sua linha trigonométrica cotangente (inverso da 
tangente). Podemos concluir que essa função é periódica de 
período π , seu domínio será {k }− πℝ e sua imagem são os 
reais. Além disso, a função tangente é uma função ímpar e seu 
gráfico é dado abaixo. 
 
5. Função Cossecante 
 
 A função cossecante é a correspondência entre um ângulo 
qualquer x e sua linha trigonométrica cossecante (inverso do 
seno). Podemos concluir que essa função é periódica de período 
2π , seu domínio será {k }− πℝ e sua imagem será ( 1,1)− −ℝ . 
Além disso, a função tangente é uma função ímpar e seu gráfico 
é dado abaixo. 
 
 
 
8 
MATEMÁTICA – EMM2 ET 13 
6. Função Secante 
 
 A função secante é a correspondência entre um ângulo 
qualquer x e sua linha trigonométrica secante (inverso do 
cosseno). Podemos concluir que essa função é periódica de 
período 2π , seu domínio será { / 2 k }− π + πℝ e sua imagem 
será ( 1,1)− −ℝ . Além disso, a função tangente é uma função 
par e seu gráfico é dado abaixo. 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. (ESPCEX) Sendo m tg(x) sec(x)= + e n sec(x) tg(x)= − 
então o valor de m.n é: 
a) –1 b) 1 c) 2 
d) 4 e) 6 
 
02. (ESPCEX) A expressão 
3 3sen (x) cos (x)
sen(x) cos(x)
−
−
 é equivalente a: 
a) 1 
b) 2 
c) sen(x) cos(x)+ 
d) 1 sen(x).cos(x)+ 
e) 2 / sen(x) 
 
03. O período da função 5cos(4x) é: 
a) / 16π b) 5 / 16π c) / 4π 
d) / 2π e) π 
 
04. (UNITAU) Indique a função trigonométrica f(x) de domínio R; 
Im = [– 1, 1] e período π que é representada, aproximadamente, 
pelo gráfico a seguir: 
 
a) y = 1 + cos x. 
b) y = 1 – sen x. 
c) y = sen (– 2x). 
d) y = cos (– 2x). 
e) y = – cos x. 
05. O período da função y = sen( π 2 . x) é: 
a) 2 /2. b) π /2. c) π /2. 
d) 2 . e) 2 2 . 
 
06. (CESGRANRIO-95) Se senx – cosx = 1/2, o valor de 
senx.cosx é igual a: 
a) – 3/16 b) – 3/8 c) 3/8 
d) 3/4 e) 3/2 
 
07. A figura a seguir mostra parte do gráfico da função: 
 
a) sen x b) 2 sen (x/2) c) 2 sen x 
d) 2 sen 2x e) sen 2x 
 
08. (CESGRANRIO-94) Se x é ângulo agudo, tg (90°+x) é igual 
a: 
a) tg x b) cot x c) –tg x 
d) –cot x e) 1 + tg x 
 
09. O gráfico da função f(x)= cosx+ |cos x|, para x ∈ [0, 2 π ] é: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
9 
MATEMÁTICA – EMM2 ET 13 
 
10. Sabendo que tg(x) = 12/5 e que π < x < 3 π /2, podemos 
afirmar que: 
a) cotg(x) = – 5/12 
b) sec(x) = 13/5 
c) cos(x) = – 5/13 
d) sen(x) = 12/13 
e) nenhuma anterior é correta 
 
11. (PUCCAMP-95) Observe o gráfico a seguir. 
 
A função real de variável real que MELHOR corresponde a esse 
gráfico é: 
a) y = cos x 
b) y = sen x 
c) y = cos 2x 
d) y = sen 2x 
e) y = 2 sen x 
 
12. (PUCSP-96) O gráfico seguinte corresponde a uma das 
funções de IR em IR a seguir definidas. A qual delas? 
 
 
a) f(x) = sen 2x + 1 
b) f(x) = 2 sen x 
c) f(x) = cos x + 1 
d) f(x) = 2 sen 2x 
e) f(x) = 2 cos x + 1 
 
13. A expressão cos [(3 π /2) + x] é equivalente a 
a) –sen x 
b) –cos x 
c) sen x.cos x 
d) cos x 
e) sen x 
14. A função dada por f(x) = (tg x) . (cotg x) está definida se, e 
somente se, 
a) x é um número real qualquer. 
b) x ≠ 2k π , onde k ∈ Z 
c) x ≠ k π , onde k ∈ Z 
d) x ≠ k π /2, onde k ∈ Z 
e) x ≠ k π /4, onde k ∈ Z 
 
15. (CESGRANRIO-93) Entre as funções reais a seguir, aquela 
cujo gráfico é simétrico em relação à origem é: 
a) f (x) = x3+1 
b) f (x) = |x| 
c) f (x) = ex 
d) f (x) = sen x 
e) f (x) = cos x 
 
16. Sobre a função f(x) = |senx| é válido afirmar-se que: 
a) f (x) = f (2x) 
b) f (–x) = –f (x) 
c) f (x) = f (x + π ) 
d) f (x) = f (x + π /2) 
e) f (x) = f (x – π /2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
MATEMÁTICA – EMM2 ET 13 
GABARITO 
 
SIMPLIFICAÇÃO DA EQUAÇÃO GERAL DE UMA CURVA 
DO 2º GRAU 
 
01. A 
 
02. C 
 
03. C 
 
04. 2y 6y 8x 23 0+ + − = 
 
05. 23x 12x 16y 36 0+ + − = 
 
06. 25y 2x 50+ = 
 
07. D 
 
08. C 
 
09. Elipse real 
 
10. Duas retas concorrentes. 
 
11. Duas retas concorrentes. 
 
12. (0,-1), elipse real 
 
13. Hipérbole real 
 
14. Parábola real 
 
SISTEMAS LINEARES 
 
01. 
 
02. 
 
03. 
 
04. D 
 
05. 4 
 
06. A 
 
07. C 
 
08. n 1(n.m x).x −+ 
 
09. 
a) 7 pessoas 
b) R$ 8,00 
 
10. B 
 
11. k 1 2≠ ± 
 
12. A 
 
13. C 
 
14. B 
 
15. A 
 
16. p = 3 q = 15 r = 4 s = 20 V = { (1, 1) } 
 
PROBABILIDADE CONDICIONAL, TEOREMA DE BAYES 
E TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL 
 
01. 3/11 
 
02. B 
 
03. 1/10 
 
04. D 
 
05. C 
 
06. A 
 
07. B 
 
08. B 
 
09. 
a) sim; 
b) não 
 
10. 1/7 
 
11. 1/9 
 
12. 
 
13. 5/8 
 
14. C 
 
15. D 
 
16. 7/12 
 
REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE 
 
01. A 02. D 03. D 04. C 05. D 06. C 
07. B 08. D 09. A 10. C 11. D 12. A 
13. E 14. D 15. D 16. C