Produto Vetorial: Definição e Propriedades

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Geometria Analítica 
Módulo 6 
Produto Vetorial: Definição. 
 Propriedades do produto vetorial. 
 Aplicação do produto vetorial 
1. Definição 
Dados os vetores v = (x1, y1, z1) e u

 = (x2, y2, z2), definimos o produto vetorial 
(produto exterior) entre v e w, denotado por uv

 ou uv

 como o vetor obtido 
pelo objeto matemático que não é um determinante mas que pode ser calculado 
como se fosse um determinante. 
uv

 = 
222
111
zyx
zyx
kji

 
Interpretação geométrica do módulo do produto vetorial entre os vetores v e u 
é: 
senuvuv .||.||

 sendo  o ângulo entre os dois vetores. 
 
2. Propriedades do produto vetorial. 
 O produto vetorial não é definido para o R². 
 O vetor obtido pelo produto vetorial é perpendicular aos dois vetores 
 
 O produto vetorial de 2 vetores paralelos é nulo. 
 
3. Aplicação do produto vetorial 
Geometricamente, o módulo do produto vetorial dos vetores u e v mede a área 
do paralelogramo ABCD determinado pelos vetores u = AB e v = AC 
 
Área ABCD = | u |.h mas h = | v |.sen  então Área ABCD = | u |.|v |.sen  o que 
é justamente definição do produto vetorial em módulo. 
Conclusão: |u x v | = área ABCD 
 
Por analogia a área de um triângulo é metade do produto vetorial de e vetores 
que partem de um mesmo vértices. 
 Área ABC = ||
2
1 ACAB  
Exercício Resolvido - 1 
Calcule o produto vetorial dos vetores U = (1,2,3) e V = (-1,1,2) 
Solução: 
k3j5i1
211
321
kji
vu





 
 
Exercício Resolvido - 2 
Determine a área de um triângulo cujo lados que partem de um mesmo vértices 
é definido pelos vetores U = (1,2,3) e V = (-1,1,2) 
Solução: 
k3j5i1
211
321
kji
vu





 
  35351vxu  ²²² 
ua
2
35vxu
2
1A 

. (ua = unidade de área) 
 
Exercícios propostos 
1. Dados os vetores u = kji

321  , v = kji

312  , w = kji

123  
a) Calcular o produto vetorial u ^ v 
b) Sendo vup

 , determine o produto escalar p . w 
 
2. Calcular a área do paralelogramo que têm um vértice no ponto A(3,2,1) e 
uma diagonal de extremidades B(1,1, -1) e C(0, 1,2). 
 
3. Determinar o valor de t para os seguintes vetores a = (2, -1, t); b = (1, 0, 2); 
c = (t, 3 , t) sejam coplanares. 
 
4. Um topógrafo demarca em terreno inclinado 3 pontos: A(0, 0, 0), B(20, 10, 
15) e C (30, 40 , 5). Determine a área demarcada pelos pontos sabendo 
que a unidade de suas coordenadas está em metros. 
 
Referência bibliográfica: Bibliografia básica e complementar da disciplina