Livro- Texto - Unidade II (1)

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Unidade II
Unidade II
5 GEOMETRIA ANALÍTICA: UMA ABORDAGEM VETORIAL
5.1 Vetores – tratamento geométrico
O estudo da geometria analítica está alicerçado na ideia de representar os pontos da reta por 
números reais, os pontos do plano por pares ordenados de números reais e os pontos do espaço por 
ternas ordenadas de números reais.
Faremos, inicialmente, um estudo intuitivo da noção de vetores, buscando apresentar, sempre que 
possível, uma linguagem informal.
Você poderá fazer um estudo mais formal e rigoroso a partir das referências bibliográficas.
Destacaremos um tratamento geométrico dos vetores, evidenciando algumas noções elementares 
relacionadas a eles.
Na visão geométrica de vetores, não precisamos diferenciar vetores no plano e no espaço. Assim, 
nessa primeira abordagem, vamos simplesmente falar em vetores.
Os vetores servem, principalmente, para deslocar pontos ou, mais precisamente, efetuar translações. 
Ao deslocar cada um dos pontos de uma figura, o vetor efetua uma translação dessa figura.
Podemos classificar as grandezas em dois tipos: escalares e vetoriais.
As grandezas escalares podem ser caracterizadas por um número real (e sua unidade de medida 
correspondente). Como exemplos, temos: área, volume, massa, temperatura, entre outras.
As grandezas vetoriais necessitam mais do que um número para serem caracterizadas, ou seja, não 
ficam completamente definidas apenas pelo número com sua unidade correspondente. Para defini‑las 
completamente, é necessário conhecer seu módulo (ou comprimento ou intensidade, que também é 
conhecido como a norma de um vetor), sua direção e seu sentido. Vejamos exemplos: força, velocidade 
e aceleração.
Para o nosso estudo, alguns conceitos serão considerados básicos, isto é, não necessitam de definição. 
Por exemplo: ponto, reta, segmento de reta, plano.
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
5.1.1 O conceito de vetor
Para chegarmos à definição de vetores, vamos considerar dois pontos distintos, A e B, e o segmento 
de reta AB .
A todo segmento de reta podemos associar uma direção e um comprimento. A direção será dada 
pela reta que contém os pontos e o seu comprimento pela medida entre A e B.
Se considerarmos a ordem de escolha dos pontos A e B, teremos uma origem e uma extremidade para 
o nosso segmento e, assim, um segmento orientado, isto é, um segmento que tem origem e extremidade. 
Desse modo, estabelecemos um sentido para o segmento, por exemplo, de A para B.
Vamos utilizar notações diferentes para indicar um segmento de reta e um segmento orientado. 
Representaremos o segmento orientado com origem em A e extremidade em B por AB.
Você terá, então, a notação AB para indicar o segmento de reta formado pelos pontos A e B, e as 
notações AB ou (AB) ou (A,B) para indicar o segmento orientado.
 Observação
Note que AB e BA representam o mesmo segmento de reta. Já os segmentos 
orientados AB e BA destacam segmentos diversos, com sentidos diferentes.
Para um segmento orientado AB, podemos definir:
• direção: dada pela reta que contém os pontos A e B;
• sentido: dado pela ordem de escolha dos pontos A e B;
• norma (comprimento): dada pela medida do segmento.
Os segmentos orientados da forma AA são chamados de segmentos nulos, isto é, começam e acabam 
no mesmo ponto.
Considere os segmentos orientados elencados a seguir. O que você pode dizer sobre a direção, o 
sentido e o comprimento deles?
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Figura 1 
Você deve ter notado que os segmentos orientados AB, DC e EF estão em retas paralelas, portanto, 
possuem a mesma direção. Os segmentos AB e EF têm o mesmo sentido, já DC tem sentido oposto ao de 
AB e de EF. Quanto ao comprimento, notamos que AB e DC têm comprimento igual.
Definimos vetor AB como o conjunto de todos os segmentos orientados que têm direção e sentido 
iguais e a norma do segmento orientado AB. Usaremos a notação AB

 para indicar esse vetor.
Qualquer um dos segmentos desse conjunto pode ser seu representante, isto é, se os segmentos AB, 
CD, EF têm direção, sentido e norma iguais, podemos escrever: AB CD EF= =
  
.
Também podemos indicar o vetor por uma letra minúscula com uma flecha em cima, por exemplo, 

v .
Cada ponto do espaço pode ser considerado como origem de um segmento orientado, que é 
representante do vetor 

v .
A figura a seguir nos indica o que define a direção de um vetor. Considerando a reta que passa pelos 
pontos A e B, podemos afirmar que o deslocamento de um objeto nessa mesma direção pode ser feito 
de duas maneiras: no sentido de A para B, ou no sentido contrário, de B para A.
Assim, a cada direção, podemos associar dois sentidos:
 A B A B A B
Figura 2 
 Observação
É importante observar que somente podemos falar em mesmo sentido 
ou em sentido contrário quando os vetores têm a mesma direção.
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
O módulo (norma ou comprimento) de um vetor 

v é indicado pelas notações v 

 ou v

 . Você pode 
trabalhar com qualquer uma das notações, sendo a notação com as barras duplas a mais conveniente. 
A outra notação pode ser confundida com a notação para módulo de um número.
Mais adiante, veremos como fazer o cálculo do módulo de um vetor.
5.1.2 Casos particulares de vetores
a) Os vetores u e v
 
 são paralelos e são indicados por u // v
 
 se têm representantes com mesma 
direção, isto é, em retas paralelas.
 

u

v w
��
Figura 3 
Nesse caso, temos u / / v
 
, mas w

 não é paralelo aos outros dois vetores, isto é:
w

 // 

u e w

 // 

v
b) Dois vetores u e v
 
 são iguais e, caso tenham direção, sentido e módulo iguais, indicado por 
u v=
  .

u v
 

u = 

v
Figura 4 
c) Vetor nulo ou zero pode ser representado por qualquer ponto do espaço e será indicado por 0

 
ou AA

 (a origem coincide com a extremidade). Esse vetor não possui direção e sentido definidos, e 
tem norma igual a zero, isto é, u 0=
 .
0

 = AA

d) Vetor oposto: ‑v

 é o oposto de v

 e tem mesmo módulo e mesma direção de v

, porém, de 
sentido contrário.
‑

v

v
Figura 5 
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Unidade II
e) Vetor 

u é unitário é um vetor com comprimento 1, isto é, |

u | = 1.
f) Vetores ortogonais: 

u e 

v são ortogonais, e indica‑se por u v⊥
  , se algum representante de u 
formar ângulo reto com algum representante de 

v . Considera‑se o vetor nulo ortogonal a qualquer vetor.

u

v
Figura 6 
g) Dois ou mais vetores são coplanares, se existir algum plano onde esses vetores estão representados. 
É importante observar que dois vetores 

u e 

v são sempre coplanares. Três vetores poderão ser 
coplanares ou não.
5.1.3 Operações com vetores
Um aspecto importante dos vetores é que podemos efetuar operações entre eles, tema que 
estudaremos agora.
5.1.3.1 Adição de vetores
Consideremos os vetores 

u e 

v , o vetor soma 
 
u+ v (que representará um outro vetor) .

u

v
Figura 7 
Como encontrar esse vetor soma?
Vamos tomar um ponto A qualquer e, com origem nele, traçar um segmento orientado AB 
representante do vetor 

u :
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A
B

u
Figura 8 
A partir da extremidade B, vamos traçar o segmento orientado BC representante de 

v :
A
B C

vu
Figura 9 
O vetor representado pelo segmento orientado de origem A e extremidade C é, por definição, o vetor 
soma de 

u e
v , isto é:
A
B
ou
C
� � � ��
u v AC� � AB BC AC
� �� ��� � ��
� �
Figura 10 
Sendo 

u // 

v , a maneira de se obter o vetor 

u + 

v é a mesma e está ilustrada nas figuras a seguir. 
Note que quando os vetores são paralelos, podemos encontrar duas situações: quando possuem mesmo 
sentido e quando possuem sentidos contrários:

u

u

u

u
+ +

v

v

v

v
Figura 11 
Quando os vetores 

u e 

v não são paralelos, podemos utilizar outra forma para encontrar o vetor 
soma 

u + 

v .
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Unidade II
Regra do paralelogramo
Consideremos os vetores 

u e 

v não paralelos:

u

v
Figura 12 
Vamos representar os vetores por segmentos orientados com origem em A, u AB=
 
 e v AD=
 
.

u
A
B
D

v
Figura 13 
Completa‑se o paralelogramo ABCD e o segmento orientado de origem A, que corresponde à 
diagonal do paralelogramo, é o vetor 

u + 

v , isto é, u v AC+ =
  
 ou:

u
A
B
D
+
C

v
Figura 14 
Para determinar a soma de três vetores ou mais, o procedimento é análogo, ou seja, você deve 
pegar representantes dos vetores, de forma a colocar a extremidade de um na origem do próximo, e o 
resultado obtido com a adição desses vetores será dado pela primeira origem e última extremidade.
 Lembrete
Quando a extremidade do representante do último vetor coincidir com 
a origem do representante do primeiro, a soma deles será o vetor nulo 
( )u v w t 0+ + + =    .
Toda vez que definimos uma operação, precisamos saber quais são as propriedades que ela satisfaz.
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A adição de vetores satisfaz as seguintes propriedades: associativa, existência do elemento neutro, 
existência do simétrico e propriedade comutativa. Um conjunto, munido da operação de adição, que 
satisfaz essas propriedades é definido como grupo comutativo (abeliano).
Vejamos, então, quais são essas propriedades, para quaisquer vetores u, v e w
   :
(I) associativa: ( ) ( )u v w u v w+ + = + +     
(II) elemento neutro: u 0 u+ =
  
(III) elemento oposto: ( )u ‑u 0+ =
  
(IV) comutativa: u v u v+ = +
   
 Observação
A diferença entre os vetores 

u e 

v será interpretada por 

u + (–

v ), e 
escreveremos 

u – 

v para representar essa diferença.
É importante ressaltar e observar que, no paralelogramo determinado pelos vetores 

u e 

v , verifica‑se 
a soma 

u + 

v representada por uma das diagonais, enquanto a diferença 

u – 

v pela outra diagonal:

u
A
B
D
‑
C

v
Figura 15 
Exemplos:
1) Nas figuras a seguir, determine a soma dos vetores indicados.
a) (quadrado)
A
D
B
C
Figura 16 
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Unidade II
Queremos saber a soma dos vetores AB e AD
 
 . Como os vetores têm a mesma origem, podemos 
utilizar a regra do paralelogramo para determinar a resultante.
Assim, pela regra do paralelogramo, o vetor resultante será a diagonal AC. Podemos escrever 
AB AD AC+ =
  
.
b) (hexágono regular)
E D
F
B
C
A
G
Figura 17 
No hexágono regular, temos vetores em três direções diferentes, todos com mesmo módulo.
Queremos saber a soma dos vetores AB , DC e FE
  
 . Dessa vez, como os vetores não têm a mesma 
origem, não podemos utilizar a regra do paralelogramo.
Você precisa escolher outros representantes dos vetores que estejam em posição conveniente para 
que possam ser somados, isto é, a extremidade de um emendando na origem do próximo.
Há várias possibilidades, basta escolher uma delas. Você pode refazer o exemplo utilizando outro caminho.
Vamos substituir o vetor AB

. Observando a definição de vetor, temos que AB ED FG GC= = =
   
. 
Podemos substituir AB

 por ED

.
Agora os vetores estão emendados, fim de um na origem do seguinte, observe a figura a seguir:
E D
F
B
C
A
G
Figura 18 
Pela definição de adição, temos que o vetor resultante é FC

.
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 Lembrete
Note que, se você escolher outro caminho, deve encontrar sempre o 
mesmo resultado, ou um outro representante desse vetor.
c) (cubo)
A
E
B
F
G
C
H
D
Figura 19 
Queremos a soma dos vetores AE ,HG , FB e BC
   
 . Como a figura é um cubo, temos vetores em três 
direções diferentes.
Inicialmente, notamos que os vetores AE e FB
 
 têm direção e norma iguais, mas com sentidos opostos, 
isto é, são vetores opostos. Assim, a soma desses dois vetores será nula.
A soma a ser feita passa a ser:
AE HG FB BC HG BC+ + + = +
     
Observando a figura, notamos que podemos substituir BC por EH
 
 . Então, a soma passa a ser:
HG BC HG EH+ = +
   
Invertendo a ordem dos vetores, temos a extremidade do primeiro na origem do seguinte. Desse modo, 
a soma passa a ser primeira origem (E) e última extremidade (G), isto é, o vetor resultante será EG

:
HG EH EH HG EG+ = + =
    
Note que, se você fizer a soma substituindo o vetor HG

 pelo vetor AB

 encontrará como resposta 
o vetor AC

. Os vetores encontrados são iguais, ou seja, você pode ter mais de uma resposta correta, 
representantes diferentes do mesmo vetor.
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Em física, temos várias grandezas vetoriais, por exemplo, a posição, o deslocamento, a velocidade.
Vejamos uma aplicação para o vetor deslocamento e a adição de vetores.
2) Uma pessoa encontra‑se no ponto A e vai encontrar com um colega que está a 100 m, em um 
ponto B. A seguir andam até outro colega que está em um ponto C, na mesma direção, a 400 m.
Represente o seu deslocamento e determine o módulo do vetor deslocamento total.
Resolução:
Conforme o enunciado, temos:
A B 400m100m
d 1
���
d 2
� ��
Figura 20 
Notamos que os dois vetores a serem somados têm direção e sentido iguais, logo, a resultante dessa 
soma será o vetor com origem em A e extremidade em C.
Assim, o módulo do vetor deslocamento será 100 m + 400 m = 500 m.
Representando o resultado, temos:
CA B 400m100m
d 1
���
d 2
� ��
d

Figura 21 
Encontramos também a adição de vetores no estudo de campos elétricos.
Vejamos agora uma aplicação na determinação do vetor campo elétrico gerado por duas 
partículas eletrizadas.
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3) Dadas duas partículas eletrizadas com cargas positivas Q1 e Q2, colocadas nos pontos A e B, 
conforme figura a seguir, represente o vetor campo elétrico resultante.
+
+
B
A
P
E2
���
E1
��
Figura 22 
Resolução:
Observe que o ponto P sofre influência dos dois campos gerados, simultaneamente. Os vetores 
E e E1 2
 
 representam o vetor campo elétrico de cada carga.
O vetor resultante será determinado pela soma dos vetores e, nesse caso, vamos utilizar a regra do paralelogramo.
Assim:
+
+
B
A
P
E2
���
E1
��
ER
���
Figura 23 
O vetor resultante RE

 indica o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico resultante.
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5.1.3.2 Multiplicação por escalar (ou número real)
Dado um vetor v 0≠
 
 e um número real 0a ≠ , chama‑se produto do número real a pelo vetor 

v , 
o vetor .va

, tal que:
• Módulo: .v . va = a
 
, isto é, o comprimento de .va

 é igual ao comprimento de 

v multiplicado 
por | |a
• Direção: .va

 é paralelo a 

v , ambos têm a mesma direção.
• Sentido: 
.v e v têm o mesmo sentido se 0
.v e vtêm sentido contrário se 0
a a >

a a <
 
 
 
 
Se 0a = ou v 0=
 
, então .v 0a =
 
.
Vamos ver geometricamente o que significa o produto por escalar.
Exemplos:
Dado o vetor 

u , vamos representar os vetores 
1 2
u ; 3u ; u ; u
2 3
− −
    

u
Figura 24 
Resolução:
Para representar os vetores, devemos lembrar que todos serão paralelos ao vetor dado, ou seja, 
estarão em retas paralelas à direção de 

u .
• Vetor –

u : mesma direção e norma de 

u e sentido contrário:
‑ u
Figura 25 
• Vetor 3

u : mesma direção e sentido contrário de 

u e norma igual a 3.u 3 . u=
 
, isto é, norma 
igual a três vezes a norma do vetor 

u .
3

u

u
Figura 26 
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• Vetor 
1
u
2

: mesma direção e sentido de 

u e norma igual a 
1 1 1
u . u . u
2 2 2
= =
  
, isto é, norma 
é igual à metade da norma do vetor:
1
2
u


u
Figura 27 
• Vetor 2 u
3
−
 : mesma direção de 

u , sentido contrário ao de u , e norma igual a 
 2 2 2
‑ u ‑ . u . u
3 3 3
= =
  
, isto é, norma igual a 2/3 da norma do vetor original.
−
2
3
u


u
Figura 28 
Propriedades
Novamente, se definimos uma operação, precisamos saber quais são as propriedades que ela satisfaz.
A multiplicação por escalar satisfaz as propriedades a seguir, para quaisquer vetores 

u e 

v e para 
quaisquer números reais ea β :
(I) ( ). u v .u .va + = a + a   
(II) ( ) .u .u .ua + β = a + β  
(III) ( ). .u .( .u)a β = a β 
(IV) 1.u u=
 
Note que, para essas propriedades, não demos nomes, e isso acontece porque estamos trabalhando 
com elementos de conjuntos diferentes.
Com essas propriedades, podemos definir o versor de um vetor.
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Versor de 

u : é um vetor unitário que tem mesma direção e sentido de u , e é dado por:
1
v u
 u 
=
 

Com as propriedades de adição e de multiplicação por escalar, podemos resolver equações vetoriais, 
isto é, equação em que as variáveis são vetores e sistemas de equações vetoriais.
Exemplos:
1) Resolva a equação vetorial na variável x

 e a seguir represente geometricamente a solução 
conforme os vetores 

u e 

v :
3x 2u 3u 2v x+ = + +
    

u

v
Figura 29 
Resolução:
Para resolver a equação, você deve utilizar as propriedades da adição e da multiplicação por escalar.
Devemos isolar a variável do lado esquerdo da equação:
3x 2u 3u 2v x+ = + +
    
3x ‑ x 3u 2v ‑2u= +
    
2x u 2v= +
  
1
x u v
2
= +
  
Logo, a solução da equação é: 
1
x u v
2
= +
  
Para fazer a representação geométrica da solução, você deve representar os dois vetores e depois a 
soma deles:
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

u

v
1
2
u

Figura 30 
Como os vetores que formam a solução da equação estão representados com mesma origem, você 
pode utilizar a regra do paralelogramo. Assim, temos:

u

v
1
2
u

  
x u 1
2
 v
Figura 31 
2) Resolva o sistema de equações vetoriais, nas variáveis 

x e 

y , e a seguir represente geometricamente 
a solução conforme os vetores 

u e 

v :

u

v
   
   
x y u
x y u
� � �
� � �
�
�
�
2 2 v
 2v
Figura 32 
Resolução:
Para resolver o sistema de equações vetoriais, você pode utilizar qualquer um dos métodos já conhecidos.
116
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 V
ito
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 D
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ão
: M
ár
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Unidade II
Vamos resolver esse sistema por adição:
x 2y 2u v
x y u 2v
+ = +
− = +



   
   
 
 
Vamos eliminar a variável x

. Para isso, vamos multiplicar a 2ª equação por (‑1): 
x 2y 2u v
x y u 2v (multiplicando por ( 1))
 + = +

− = + −
   
   
 
x 2y 2u v (somando as equações)
x y u 2v
3y u v
 + = +

− + = − −
= −
   
   
  
 
 
 
Então, temos: 
1 1
y u v
3 3
= −
  
Agora vamos eliminar a variável 

y . Devemos multiplicar a 2ª equação por 2:
x 2y 2u v
x y u 2v (multiplicando por 2)
 + = +

− = +
   
   
 
x 2y 2u v (somando as equações)
2x ‑2y 2u 4 v
3x 4u 5v
 + = +

= +
= +
   
   
  
 
 
 
Daí, temos: 
4 5
x u v
3 3
= +
  
Logo, a solução do sistema é: 
4 5
x u v
3 3
= +
  
 e 
1 1
y u v
3 3
= −
  
Primeiramente, vamos representar o vetor 
4 5
x u v
3 3
= +
  
:
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

u

v
4
3

u
  
x u v� �
4
3
5
3
5
3

v
Figura 33 
Então, representamos o vetor 
1 1
y u v
3 3
= −
   :

u

v
  
y u v 1
3
1
3
− 1
3

v
− 1
3

v
Figura 34 
5.2 Espaço vetorial real
Um conjunto V com as operações de adição e produto por número real, que satisfaça as propriedades 
que vimos anteriormente, é chamado de espaço vetorial. Os elementos do espaço vetorial V são 
denominados vetores, e os números reais da multiplicação são chamados de escalares. É por isso que, 
em alguns textos, a multiplicação por número real é indicada como multiplicação por escalar.
Resumindo, um conjunto é um espaço vetorial que tem duas operações, adição e multiplicação por 
número real, que satisfazem as seguintes propriedades:
I) Em relação à operação de adição:
A1: u v v u+ = + (propriedade comutativa)
A2: u (v w) (u v) w+ + = + + (propriedade associativa)
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Unidade II
A3: u 0 0 u u+ = + = (elemento neutro)
A4: u ( u) ( u) u 0+ − = − + = (oposto aditivo)
A propriedade A3 indica que existe um vetor em V, chamado vetor nulo, o qual será simbolizado 
genericamente por 0, tal que u 0 u+ = , para qualquer vetor u V∈ .
A propriedade A4 indica que, para cada vetor u V∈ , existe um vetor em V, denotado por – u, e 
chamado de oposto de u.
Observe que A1, A2, A3 e A4 formam uma estrutura algébrica que chamamos de grupo comutativo 
(ou abeliano), ou seja, um espaço vetorial é um grupo comutativo com a operação adição.
II) Em relação à operação de multiplicação por escalar:
M1: ( u) ( )ua β = aβ
M2: ( )u u ua + β = a + β
M3: (u v) u va + = a + a
M4: 1u = u
É importante observarmos que podemos tratar a definição de espaço vetorial de forma genérica, 
ou seja, para um espaço vetorial V qualquer. Assim, ela serve para conjuntos diversos, tais como 
o IR2 e IR3, o conjunto das matrizes Mmxn, entre outros. Dessa forma, os vetores terão a natureza 
dos elementos desse espaço, e os conjuntos correspondentes terão a mesma estrutura quanto às 
operações de adição e multiplicação por escalar.
5.3 Vetores – tratamento algébrico
Para localizarmos elementos de um plano, utilizamos o sistema cartesiano, isso possibilita o estudo 
algébrico de vetores a partir das coordenadas dos pontos.
Deixaremos de trabalhar exclusivamente com a parte geométrica e passaremos a usar coordenadas 
para representar os nossos vetores. Tudo o que foi estudado sobre vetores até agora deve ser refeito 
utilizando‑se as coordenadas.
Mas, afinal, o que são coordenadas de um vetor? O que muda na teoria que você estudou até agora?
Para respondermos essas questões, lembraremos o que é um plano cartesiano.
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
5.3.1 Plano cartesiano
O termo cartesiano é devido ao filósofo e matemático francês René Descartes, cujo nome em latim 
era Renatus Cartesius, criador da geometria analítica.
Indicaremos por IR o conjunto dos números reais, e por IR2 ou IRxIR (leia‑se IR cartesiano IR) o 
conjunto formado pelospares ordenados (x, y ), em que x e y são números reais. Em geral, usamos a 
notação IR2 para representar o plano.
Chamamos o número x de primeira coordenada e o número y de segunda coordenada.
Dados (x, y) e (x’, y’) em IR2, temos que (x, y) = (x’, y’) se, e somente se,
x = x’ e y = y’
Vejamos um sistema de coordenadas cartesianas:
0 x
y
Figura 35 
Um sistema de coordenadas cartesianas em um plano a é determinado por um par de eixos 
perpendiculares OX e OY contidos nesse plano, com a mesma origem O. Chamamos o eixo OX de eixo 
das abscissas (ou simplesmente eixo X), e o eixo OY de eixo das ordenadas (ou eixo Y). Indicamos esse 
sistema com a notação XOY.
Um sistema de coordenadas no plano a nos permite estabelecer uma correspondência biunívoca 
(um a um) 2IRa → , de forma que cada ponto Q do plano a corresponde a um único par ordenado 
2(x,y) IR∈ . Os números x e y são as coordenadas do ponto Q relativamente ao sistema XOY, onde x é 
a abscissa e y é a ordenada de Q.
As coordenadas (x, y) do ponto Q podem ser definidas do seguinte modo:
• Se Q estiver sobre o eixo OX, o par ordenado que lhe corresponde é (x, 0), em que x é a coordenada 
de Q no eixo OX.
• Se Q estiver sobre o eixo OY, a ele corresponde o par (0, y), em que y é a coordenada de Q nesse eixo.
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Unidade II
• Se Q não está em qualquer um dos eixos, traçamos por Q uma paralela ao eixo OY, a qual 
corta OX no ponto de coordenada x e uma paralela ao eixo OX, a qual corta OY no ponto de 
coordenada y. Então, x será a abscissa e y a ordenada do ponto Q. Dessa forma, temos que 
2(x,y) IR∈ é o par ordenado de números reais que corresponde ao ponto Q.
Observe a seguir a representação de alguns pontos. Vamos localizar, no sistema, os pontos:
A (1, 0), B (0, 2), C (1,1), D (‑2, ‑1)
0
D
A
1
B
C
‑2 X
Y
2
1
‑1
Figura 36 
O ponto 0, origem do sistema de coordenadas, tem abscissa e ordenada iguais a zero, ou seja, ele 
corresponde ao par ordenado 2(0,0) IR∈ .
5.3.2 Vetores no plano
Dado um ponto P do plano, podemos associar a ele um vetor u

 (vetor posição do ponto) que tem 
origem em O (origem do sistema cartesiano) e extremidade em P. Assim, podemos escrever u OP=
 
.
Consideremos, nos eixos coordenados x e y, vetores unitários com origem em O. Esses vetores 
ortogonais e unitários são os versores dos eixos OX e OY.
Você encontrará várias notações para esses versores. Neste livro‑texto, usaremos a mais comum, 
i e j
 
, para indicar os versores dos eixos OX e OY, respectivamente.
Observe a figura a seguir:
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0 1
A
X
Y
1
i

j


v
Figura 37 
O ponto A indicado na figura anterior tem coordenadas (1,1). Assim, o vetor v OA=
 
 pode ser 
escrito segundo os versores i e j
 
 . Temos, então, pela regra do paralelogramo: v i j= +
 
 .
Do mesmo modo, se escolhemos um ponto qualquer P(x,y), podemos escrever o vetor v OP=
 
 com 
base nos versores i e j
 
 . Observe a figura a seguir:
0 1
Py
y
Xx
x
Y
1
i

i

j

j


v
Figura 38 
Você pode escrever o vetor v OP=
 
 pautando‑se nos versores i e j
 
 . Utilizando a regra do 
paralelogramo, temos v xi y j= +
  
.
De forma geral, considerando os versores i e j
 
 , qualquer vetor do plano pode ser escrito de 
forma única.
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Unidade II
 Observação
Na figura anterior, note que o ponto P está no 1º quadrante. Logo, x >0 
e y>0. Contudo, essa conclusão vale para o ponto P em qualquer quadrante.
Vamos agora representar dois pontos, A(a,b) e B(c,d), no plano e o vetor AB

 no plano Oxy. Para 
compreender melhor, vamos adotar pontos no 1º quadrante. Você pode utilizar o mesmo procedimento 
para os pontos em qualquer um dos outros quadrantes.
0
B
A
d
b
Xac
Y
i

j

Figura 39 
Podemos escrever o vetor AB

 considerando os vetores OA e OB
 
 . Observe a figura a seguir:
0
B
A
d
b
Xac
Y
i

j

Figura 40 
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Escrevendo o vetor AB

 com base em OA e OB
 
 , temos AB AO OB= +
  
, e a partir disso obtém‑se 
AB ‑OA OB= +
  
.
5.3.3 Combinação linear
Quando escrevemos um vetor 

v em função outros, dizemos que 

v é combinação linear desses vetores.
Assim, se o vetor 

v é combinação linear dos vetores v, então existem escalares 1 2 n, , ..., a a a , tais 
que podemos escrever:
� � � � �v u u un n� � � �� � �1 1 2 2. . .
Exemplos:
1) Dadas as figuras, escreva o vetor 

v como combinação linear dos vetores a e b
 
 , isto é, escreva o 
vetor 

v com base em a e b
 
 .
a) M é o ponto médio do lado CD de um paralelogramo:

v
A
D
B
CM
b

a

Figura 41 
Resolução:
Como estamos trabalhando com um paralelogramo, temos:
a AB DC= =
  
b AD BC= =
  
O ponto M divide o lado DC ao meio. Assim, temos:
1 1
DM DC a
2 2
= =
  
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Unidade II
Para escrever o vetor v AM=
 
 em função de a AB e b AD= =
   
 , você deve começar a escrever o 
vetor pelo vértice que dá a sua origem (nesse caso, A) e continuar caminhando de vértice em vértice até 
chegar no ponto que dá a extremidade, ao vértice M.
Assim, temos: v AM AD DM= = +
   
.
Está quase terminado. Falta ainda deixar só em função dos vetores a AB e b AD= =
   
 . Vamos substituir 
DM

 por 
1
a
2

e assim encontramos a combinação linear pedida, isto é:
1
v AM b a
2
= = +
   
b) R e S são pontos da trissecção do lado DC, isto é, dividem o lado DC de um paralelogramo em 
três partes iguais:

v
A
D
B
CR S
a

b

Figura 42 
Resolução:
Novamente, estamos trabalhando com um paralelogramo. Então, temos:
a AB DC= =
  
b AD BC= =
  
Os pontos R e S dividem o lado DC em três partes iguais:
1 1
DR RS SC DC a
3 3
= = = =
   

Para escrever o vetor v AS=
 
 em função de a AB e b AD= =
   
 , você deve começar a escrever o vetor 
pelo vértice que dá a sua origem (nesse caso, A) e continuar caminhando de vértice em vértice até 
chegar no ponto que dá a extremidade, ao vértice S.
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Assim, temos: v AS AD DR RS= = + +
    
, ou podemos também escrever v AS AD DS= = +
   
. Nas duas 
formas, chegaremos à mesma resposta. Você pode escolher a maneira que achar mais prática.
Falta ainda deixar o vetor só em função dos vetores a AB e b AD= =
   
 . Utilizando a segunda forma, 
vamos substituir DS

 por 
2
a
3

. Assim, encontramos a combinação linear 
2
v AS b a
3
= = +
   
.
 Observação
Note que 
1 1 2
DS DR RS a a a
3 3 3
= + = + =
  
  
Podemos utilizar o mesmo raciocínio para figuras espaciais. Veja, no próximo exemplo, como trabalhar 
com um paralelepípedo.
2) M é o ponto médio do lado HG, isto é, divide o lado HG em duas partes iguais:

v
A
D
E
H M G
B
C
F
a

b

c

Figura 43 
Resolução:
Num paralelogramo, temos:
a AB DC EF HG= = = =
    
b AD BC EH FG= = = =
    
c AE BF DH CG= = = =
    
O ponto M divide o lado HG em duas partes iguais. Assim, temos:
1 1
HM MG HG a
2 2
= = =
   
 
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Unidade II
Queremos escrever o vetor v BM=
 
 em função dos vetores a AB, b AD e c AE= = =
     
 .
Assim, temos:
v BM BAAE EH HM= = + + +
     
Observando a figura, temos:
BA ‑ AB ‑a= =
  
 
AE c=
 
EH b=
 
1 1
HM HG a
2 2
= =
  
Substituindo na expressão, obtém‑se:
1
v BM a c b a
2
= = − + + +
     
Logo, 
1
v a c b
2
= − + +
   
.
A partir de combinação linear, definimos vetores linearmente dependentes e linearmente 
independentes. Esses conceitos são essenciais no estudo de vetores, tanto na geometria analítica 
quanto na álgebra linear. Com eles, definimos a base de um espaço vetorial e, como consequência, as 
coordenadas dos vetores.
O estudo dos resultados importantes relativos a bases de um espaço vetorial é feito em álgebra 
linear. Portanto, não detalharemos esses resultados neste livro‑texto.
Vejamos, então, esses novos conceitos.
5.3.4 Dependência e independência linear
Dois ou mais vetores são chamados de linearmente dependentes (LD) se pelo menos um deles é 
combinação linear dos demais, isto é, podemos escrever um deles como combinação linear dos outros.
Dois ou mais vetores serão linearmente independentes (LI) se nenhum deles é combinação linear 
dos demais.
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Nos exemplos anteriores, quando escrevemos um vetor em função dos outros, temos vetores LD.
Por exemplo:
2
v b a , os vetores a, b e v são LD.
3
= +

 
  
1
v a c b, os vetores a, b, c e v são LD.
2
= − + +
 
     
Agora, você já sabe quando dois ou mais vetores são LD ou LI. Mas o que acontece se você tiver 
somente um vetor?
Nesse caso, o conjunto formado por só um vetor será LI, se ele não for o vetor nulo, e será LD se ele 
for o vetor nulo.
a LI a 0⇔ ≠
  
 
Para continuarmos o nosso estudo e assimilarmos o conceito de LI e LD, vamos ver o significado 
geométrico da dependência linear, isto é, como representamos geometricamente vetores LI e LD.
 Lembrete
Vetores são linearmente independentes (LI) se não são linearmente 
dependentes (LD), ou seja, LI é negação de LD.
5.3.4.1 Interpretação geométrica da dependência linear
Os conceitos de combinação linear e de vetores LI e LD, dados anteriormente, não dependem do tipo 
de vetor que estamos tratando, isto é, podemos utilizar a mesma definição para vetores no plano (IR2) 
e no espaço (IR3).
No entanto, a interpretação geométrica da dependência linear é diferente no plano e no espaço. 
Assim, vamos dividir o nosso estudo em vetores no IR2 e vetores no IR3.
No plano (IR2), temos:
Dois vetores: a, b são LD a b ou b a⇔ = a = β
     
 , isto é, um é combinação linear do outro.
Geometricamente, temos que são vetores paralelos, assim:
a, b LD a / / b⇔
   
 
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Unidade II
De modo análogo, temos:
a, b LI a e b não são paralelos⇔
   
 
Observe a figura a seguir. Você é capaz de indicar quais dos vetores são LI e quais são LD?
a

b

c

d

Figura 44 
Observando os vetores e a definição de vetores LI e LD, temos que:
• os pares de vetores: a e b ; a e c; b e c
 
    , são LD;
• os pares de vetores: a e d ; b e d ; c e d
   
 
 , são LI.
Três ou mais vetores: no plano (IR2), três ou mais vetores serão sempre LD.
No espaço (IR3), temos:
Dois vetores: do mesmo modo que no plano temos a, b são LD a b ou b a⇔ = a = β
     
 , isto é, um 
é combinação linear do outro.
Geometricamente, são vetores paralelos, assim:
a, b LD a / / b⇔
   
 
De modo análogo, temos:
a, b LI a e b não são paralelos⇔
   
 
Três vetores: a, b, c são LD a, b, c são coplanares⇔
     
 .
De modo análogo, temos:
a, b, c são LI a, b, c não são coplanares⇔
     
 .
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 Observação
Vetores são coplanares se têm representante no mesmo plano, isto é, 
no plano do desenho.
Observe a representação a seguir.
a

b

c

a
Figura 45 
Os três vetores representados estão no plano a, isto é, são coplanares. Logo, a, b, c são LD
  
 .
Para que você visualize melhor a representação de vetores LI, ou seja, vetores não coplanares, vamos 
observar a figura seguinte (paralelepípedo). Tomaremos representantes dos vetores a, b, c
  
 nas arestas 
da figura:
A
D
E F
H G
B
C
a

b

c

Figura 46 
Note que não é possível representar a, b, c
  
 num mesmo plano.
Se considerarmos a face que tem os vetores a e b
 
 , não conseguimos representar o vetor c  nessa 
mesma face. Da mesma forma, sempre que considerarmos o plano que contém uma das faces, teremos 
o terceiro vetor fora dele.
 Observação
Para representar vetores LI, você não precisará sempre utilizar uma 
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Unidade II
figura geométrica, mas esse é um artifício que facilita a visualização.
Quatro ou mais vetores: no espaço (IR3) são sempre LD.
Assim, você só conseguirá encontrar conjuntos de vetores LI, no IR3, com no máximo três vetores.
5.3.5 Base
Veremos agora o conceito de base, fundamental no estudo da geometria analítica e da álgebra linear.
No espaço vetorial IR2 (plano), temos que qualquer conjunto ordenado com dois vetores LI será uma 
base. De modo idêntico, no espaço vetorial IR3 (espaço), qualquer conjunto ordenado com três vetores 
LI será uma base.
O número de vetores LI na base depende do espaço vetorial que estamos trabalhando. Em álgebra 
linear, estudamos outros espaços vetoriais além do IR2 e do IR3.
5.3.5.1 Base ortonormal
Nessa mesma lógica, teremos, por exemplo, que o conjunto B { i , j}=
 
 , formado pelos versores dos 
eixos coordenados do plano, é uma base do IR2. Da mesma forma, B {i , j , k }=
  
 , dos versores dos eixos 
coordenados do espaço, são uma base do IR3.
Essas duas bases são chamadas de bases ortonormais ou bases canônicas: os vetores são LI, unitários 
e ortogonais dois a dois.
A seguir, acentuamos a representação mais comum para essas duas bases.
Base ortonormal do IR²:
1
x1
y
i

j

Figura 47 
Base ortonormal do IR³ (representação usual):
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1
y
x
1
1
z
i

j

k

Figura 48 
Dada uma base qualquer no plano, todo vetor desse plano é combinação linear dos vetores dessa 
base de modo único. Assim, temos:
• no plano:
B {i , j}=
 
 base ortonormal e, para qualquer vetor 2u IR∈

, podemos escrever u i j= a + β
  
 de 
modo único.
• no espaço:
B {i , j, k}=
  
 base ortonormal e, para qualquer vetor 3u IR∈

 , podemos escrever u i j k= a + β + γ
   
 
de modo único.
Os escalares da combinação linear dos vetores da base serão as coordenadas do vetor u

 na base B.
Assim, se escrevemos o vetor do IR2 da forma u i j= a + β
  
, temos u ( , )B= a β
 . Do mesmo modo, 
se escrevemos u i j k= a + β + γ
   
, temos u ( , , )B= a β γ
 .
O índice B indica a base a que se referem as coordenadas. Em geral, trabalhamos com a base canônica, por 
isso escreveremos simplesmente u ( , )= a β
 para vetor do plano e u ( , , )= a β γ para vetor do espaço.
As coordenadas dos vetores da base canônica do IR2 serão i (1,0)=

 e j

 = (0,1). Já as coordenadas 
dos vetores da base canônica do IR3 serão i (1,0,0), j (0,1,0) e k (0,0,1)= = =
  
 .
Se u (x,y)=

, temos que a primeira componente x é chamada abscissa de 

u , e a segunda componente 
y é a ordenada de 

u .
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Se 1 2 3B {e , e , e }=
   é uma base do IR3, então, as coordenadas de v na base B são 2, 3 e ‑1,portanto, escrevemos Bv ( 2 , 3, ‑ 1)=

.
Note que, nesse caso, é obrigatório indicar a base B.
 Saiba mais
Para saber mais sobre base e mudança de base, veja os capítulos 7 e 8 de:
BOULOS, P.; OLIVEIRA, I. C. Geometria analítica: um tratamento vetorial. 
São Paulo: Prentice Hall, 2005.
Agora que já temos as coordenadas de um vetor, devemos rever os conceitos estudados anteriormente.
5.4 Operações com vetores utilizando as coordenadas
Para que seja possível efetuar a adição de vetores, é necessário verificar se eles estão escritos em 
relação à mesma base. Vamos trabalhar com as coordenadas na base canônica.
5.4.1 Adição
• no IR2:
Se 1 1 2 2u (x ,y ) e v (x ,y )= =
  , então 1 2 1 2u v (x x , y y )+ = + +
  .
• no IR3:
 1 1 1 2 2 2u (x ,y ,z ) e v (x ,y ,z )= =
  1 2 1 2 1 2u v (x x , y y , z z )⇒ + = + + +
  
Exemplos:
Determinar a soma dos vetores:
a) u (2,‑1) e v (0,2)= =
  
Conforme a definição, a adição de vetores é feita somando as coordenadas correspondentes, isto é, 
1ª coordenada de um com a 1ª do outro, e 2ª coordenada de um com a 2ª coordenada do outro.
Assim, temos:
1 1 2 2 1 2 1 2u v ( x ,y ) (x , y ) (x x ,y y )+ = + = + +
  
u v (2,‑1) (0,2) (2 0, ‑1 2) (2,1)+ = + = + + =
  
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
b) u (1, ‑2,0) e v (3,1,4)= =
  
Conforme a definição, a adição de vetores é feita somando as coordenadas correspondentes, 
isto é, 1ª coordenada de um com a 1ª do outro, 2ª coordenada com 2ª coordenada, e 3ª coordenada 
com 3ª coordenada.
Assim, temos:
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2u v (x ,y ,z ) (x ,y ,z ) (x x , y y , z z )+ = + = + + +
  
u v (1,‑2,0) (3,1,4) (1 3,‑2 1, 0 4) (4,‑1,4)+ = + = + + + =
  
5.4.2 Multiplicação por escalar
• no IR2:
1 1 1 1u (x ,y ) e IR u ( x , y )= a∈ ⇒ a = a a
  
• no IR3:
1 1 1 1 1 1u (x , y ,z ) e IR u ( x , y , z )= a∈ ⇒ a = a a a
  
Exemplos:
Determine as coordenadas dos vetores indicados:
a) 1u (2,‑1); 2 u ; ‑ 3 u ; u
2
=
    
Conforme a definição de multiplicação por escalar, devemos multiplicar o escalar por cada coordenada.
Assim, temos:
2u 2(2,‑1) (4,‑2)= =

3u 3(2, 1) ( 6,3)− = − − = −

1 1 1
u (2, 1) (1, )
2 2 2
= − = −

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b) 1u (2, 1,3); 2u; 3u; u
2
= − −
    
Devemos multiplicar o escalar por cada uma das coordenadas do vetor.
Assim, temos:
2u 2(2, 1,3) (4, 2,6)= − = −

3u 3(2, 1, 3) ( 6, 3, 9)− = − − = − −
 
1 1 1 3
u (2, 1, 3) (1, , )
2 2 2 2
= − = −
 
5.4.3 Vetores paralelos
Vetores são paralelos se têm coordenadas proporcionais. Nessa lógica, temos:
• no IR2
1 1 2 2u (x ,y ) e v (x ,y )= =
  
 
u v x
x
= y 
y
1
2
1
2
 // ⇔
• no IR3
1 1 1 2 2 2u (x ,y ,z ) e v (x ,y ,z )= =
  
1 1 1
2 2 2
x y z
u / /v
x y z
⇔ = =
  
Para verificar se são paralelos, você deve colocar as coordenadas de um dos vetores nos numeradores, 
as coordenadas do outro nos denominadores e verificar se todos os resultados são iguais. Sendo iguais, 
os vetores são paralelos. Se alguma das frações não for igual às outras, os vetores não serão paralelos.
Exemplos:
Verifique se os vetores são paralelos ou não:
a) u (2,6) e v (1,3)= =
  
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Nesse caso, temos:
2 6
1 3
 
Simplificando as frações, encontramos:
2 = 2
Logo, 
2 6
1 3
= , isto é, os vetores são paralelos e podemos escrever u 2v=
 
 Observação
Vetores paralelos são do tipo u v= a
 
 e o valor de a é determinado 
pelo resultado da proporção das coordenadas.
b) u (1, 6) e v (2,3)= =
  
Nesse caso, temos:
1 6
 
2 3
Simplificando as frações, encontramos:
1
2
2
≠
Assim, 1 6
2 3
≠ e os vetores não são paralelos.
c) u (‑1, 2, 4) e v (2, 4, ‑8)= =
  
Montando as proporções, temos:
‑1 2 4
2 4 ‑8
 
Simplificando as frações:
1 1 1
2 2 2
≠ ≠ −− 
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Unidade II
Nem todos os resultados deram iguais, por isso os vetores não são paralelos.
d) u ( 1,2,4) e v (2, 4, 8)= − = − −
  
Notamos que, montando as proporções, temos:
1 2 4
2 4 8
−
− −
 
Simplificando as frações:
1 1 1
2 2 2
− = − = − 
Todos os resultados são iguais, por isso os vetores são paralelos e, assim, podemos escrever 
1
u v
2
= −
 
 Observação
Você pode escrever tanto 
1
u v
2
= −
 
 como 2u v− =
 
Vetor nulo
Todas as suas coordenadas devem ser iguais a zero.
Assim, 0 (0,0)=

 representa o vetor nulo do plano e 0 (0,0,0)=

 indica o vetor nulo do espaço.
5.4.4 Dependência linear
Novamente, vamos separar nosso estudo em vetores do plano e do espaço.
• no IR2:
Dois vetores: sabemos que vetores são LD se são paralelos, logo, têm coordenadas proporcionais.
Assim, se 1 1 2 2 2 2u ( x , y ) , v ( x , y ) e x . y 0= = ≠
  , podemos escrever:
1 1
2 2
x y
u , v são LD 
x y
⇔ =
  
De modo análogo, os vetores são LI se não têm coordenadas proporcionais.
u , v são LI suas coordenadas não são proporcionais.⇔
  
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Note a necessidade da condição 2 2 x . y 0≠ , pois, se algum deles for zero, não poderemos montar 
as frações para comparação. Nesse caso, você vai procurar o número , para que u va = a
  . Se existir o 
número, são LD, caso contrário, são LI.
Três ou mais vetores: já sabemos que no plano serão sempre LD.
• no IR3:
Dois vetores: do mesmo modo que para vetores do plano, temos que dois vetores do espaço serão 
LD se suas coordenadas são proporcionais.
Assim, se 1 1 1 2 2 2 2 2 2u ( x , y , z ) , v ( x , y , z ) e x . y . z 0= = ≠
  , podemos escrever:
 
u v s o LD
x
x
y
y
z
z
 , ã � � �1
2
1
2
1
2
 Lembrete
Novamente, é necessária a condição 2 2 2 x . y . z 0≠ , pois, se 
algum deles for zero, não poderemos montar as frações para comparação. 
Você deve procurar o número , para que u va = a
  . Se existir o número, 
são LD, caso contrário, são LI.
Três vetores: já sabemos que três vetores no espaço são LD se um forem combinação linear dos 
demais, isto é, se são coplanares.
Consideremos os vetores 1 1 1 2 2 2u (x ,y ,z ), v (x ,y ,z )= =
  e 3 3 3w (x ,y ,z )=

 do espaço. Podemos 
verificar se são LI ou LD utilizando a combinação linear ou o determinante formado pelas coordenadas 
dos vetores.
Nesse caso, temos:
  
u v w s o LD
x y z
x y z
x y z
 , , ã � � ��
1 1 1
2 2 2
3 3 3
0
Do mesmo modo:
  
u v w s o LI
x y z
x y z
x y z
, , ã � � ��
1 1 1
2 2 2
3 3 3
0
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As condições que destacamos servem também para estudarmos se os vetores são ou não coplanares. 
Então, para verificar se três vetores do espaço são LD ou LI, você deve montar o determinante formado 
pelas coordenadas deles e avaliar o resultado comparando com zero.
Vejamos agora alguns exemplos com vetores tanto do plano quanto do espaço, assim você saberá 
como proceder para determinar se os vetores dados são LI ou LD.
Exemplos:
Verifique se os vetores a seguir são LI ou LD:
a) u (‑2,8), v (1,‑4)= =
  
Os vetores dados são do plano. Para verificar se são LI ou LD, é preciso comparar suas coordenadas.
Assim, temos:
2 8
1 4
−
−
 
Simplificando as frações, encontramos:
–2 = –2
Logo, 2 8
1 4
− = − , isto é, as coordenadas são proporcionais, e os vetores são LD.
b) u (0,2, 1), v (0, 4,2)= − = −
  
Note que o produto das três coordenadas, tanto do vetor 

u quanto dovetor 

v , é igual a zero. Para 
verificar se são LI ou LD, não podemos usar a comparação das coordenadas.
Nesse caso, você deve resolver a equação u v= a
 
. Se encontramos o valor de a , teremos vetores 
LD, se não encontramos, teremos vetores LI.
Assim, substituindo as coordenadas dos vetores, obtém‑se:
u v= a
 
(0,2,‑1) (0,‑4,2)= a
(0, 2, ‑1) (0, ‑ 4 , 2 )= a a 
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Igualando as coordenadas, temos o sistema:
0 0
1
 2 4
2
1
1 2
2

 =

 = − a ⇒ a = −

− = a ⇒ a = −
 
 
 
Como o sistema tem solução 
1
2
a = − , os vetores são LD, assim podemos escrever 
1
u v
2
= −
 
.
c) u (3,1, 1), v (1, 2, 0) e w (2, 1, 1)= − = = − −
   
Temos agora três vetores do IR3. Montemos o determinante com as coordenadas dos vetores:
1 1 1
2 2 2
3 3 3
x y z 3 1 1 
 x y z 1 2 0 
x y z 2 1 1
−
∆ = =
− −
Você já viu anteriormente como desenvolver um determinante, escolha um dos processos e confirme 
o resultado a seguir.
Temos:
3 1 1
 1 2 0 0
2 1 1
−
∆ = =
− −
Como 0∆ = , os vetores u , v e w
   são LD.
Relação para vetores ortogonais
Já sabemos que dois vetores são ortogonais se têm representantes em retas perpendiculares ou um 
deles for nulo.
Observe a figura a seguir. Nela estão representados dois vetores ortogonais não nulos:
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+
A
C
Bu

u

v v
Figura 49 
De acordo com o teorema de Pitágoras:
2 2 2
AC AB BC= + .
Você já sabe que o comprimento ou norma de um vetor é representado por u 

. Portanto, 
reescrevendo a expressão anterior, temos:
2 2 2 u v u v+ = +
    
Dessa forma, obtém‑se:
u v u v u v
     
, || || || || || ||ortogonais � � � �2 2 2
5.4.5 Módulo ou norma de um vetor
Se os vetores têm suas coordenadas dadas em relação a uma base ortonormal, teremos:
• no plano: 2 2 u (x, y) x y= = +

 
0
y
x

u
Figura 50
• no espaço: 2 2 2 u (x, y, z) x y z= = + +

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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Exemplos:
Determinar o módulo dos vetores:
a) u (2, 1)= −

2 2u (2, ‑1) 2 (‑1) 4 1 5= = + = + =
 
b) u (0,1, 3)=
 
2 2 2u (0,1, 3) 0 1 3 0 1 9 10= = + + = + + =
 
c) u (0, 0, 0)=
 
2 2 2u (0, 0, 0) 0 0 0 0 0 0 0 0= = + + = + + = =
 
Soma de ponto com vetor
Vamos agora considerar um ponto A e um vetor 

u , Existe somente um segmento orientado AB 
representante de 

u .
B
A

u
Figura 51 
Podemos interpretar essa situação como o deslocamento do ponto A para o ponto B, determinado 
pelo vetor 

u , isto é, A + 

u = B.
Essa notação será conveniente para o estudo da reta, que veremos mais adiante.
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5.5 Produto escalar
5.5.1 Definição algébrica
O produto escalar dos vetores u e v
 
 é indicado por u . v
  e é calculado por:
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2u . v (x , y , z ) . (x , y , z ) x . x y . y z . z= = + +
  
O produto escalar u . v
 
 é sempre um número real.
5.5.2 Propriedades do produto escalar
Em quaisquer vetores u , v e w 
  
e qualquer número real a , temos:
I) u . v v . u=
    
II) u . ( v w) u . v u . w+ = +
       e (u v ). w u . w v . w+ = +       
III) ( u . v ) ( u) . v u . ( v )a = a = a
      
IV) u . u 0 se u 0
u . u 0 se u 0
> ≠
= =

  

  
 
 
V) 2u . u u =
  
VI) u v u . v 0⊥ ⇔ =
    
Para destacar essas propriedades, precisamos das coordenadas dos vetores.
Essas propriedades valem para vetores do plano e do espaço, e faremos nossa demonstração 
com vetores do espaço. Tente refazer a demonstração das propriedades utilizando vetores do plano 
(duas coordenadas).
Tomemos u , v e w
   , três vetores do espaço e sejam 1 1 1 2 2 2u (x , y , z ) , v (x , y , z )= =
  e 

w x y z = ( , , )3 3 3 as coordenadas desses vetores numa base ortonormal. Então, tem‑se:
I) u . v v . u=
    
Vamos substituir as coordenadas dos vetores e efetuar o produto escalar:
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2u . v (x , y , z ) . (x , y , z ) x . x y . y z . z= = + +
  
2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1v . u (x , y , z ) . (x , y , z ) x . x y . y z . z= = + +
  
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Agora é preciso comparar os resultados e verificar se são iguais. As coordenadas são formadas por 
números reais, e o produto de números reais é comutativo. Temos, então, que:
1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1x . x y . y z . z x . x y . y z . z+ + = + + 
Logo, u . v v . u=
    
II) u . ( v w) u . v u . w+ = +
       e (u v ). w u . w v . w+ = +       
Nesse caso, vamos demonstrar somente uma das afirmações.
Devemos substituir as coordenadas dos vetores e efetuar as operações indicadas.
Assim, temos:
[ ]1 1 1 2 2 2 3 3 3u . ( v w) (x , y , z ) . (x , y , z ) (x , y , z )+ = +
  
 
[ ]1 1 1 2 3 2 3 2 3u . ( v w) (x , y , z ) . (x x , y y , z z )+ = + + +
  
 
( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 3u . ( v w) x . x x y . y y z . z z+ = + + + + +
  
 
Agrupando de forma conveniente, obtém‑se:
( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3u . ( v w) x . x y . y z . z x . x y . y z . z+ = + + + + +
  
 
u . ( v w) u . v u . w+ = +
       
Tente demonstrar a outra afirmação utilizando a primeira como modelo.
III) ( u . v ) ( u) . v u . ( v )a = a = a
      
Substituindo as coordenadas dos vetores, temos:
( )1 1 1 2 2 2( u . v ) (x , y , z ) . (x , y , z )a = a 
 
 
( )1 2 1 2 1 2( u . v ) x . x y . y z . za = a + +
 
 
1 2 1 2 1 2( u . v ) (x . x ) (y . y ) (z . z )a = a + a + a
 
 
( )1 2 1 2 1 2( u . v ) ( x ). x ( y ). y z . za = a + a + a
 
 
Assim, temos ( u . v ) ( u ). va = a
    .
Do mesmo modo, você pode verificar que ( u . v ) u . ( v )a = a
    .
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Unidade II
IV) u . u 0 se u 0
u . u 0 se u 0
> ≠
= =

  

  
 
 
Inicialmente, vamos demonstrar que u . u 0 se u 0> ≠

   .
Substituindo as coordenadas do vetor 

u na expressão, obtém‑se:
1 1 1 1 1 1u . u (x , y , z ) . (x , y , z )=
  
2 2 2
1 1 1u . u (x ) (y ) ( z )= + +
  
Como temos a soma de valores positivos e ao menos um deles diferente de zero, concluímos que o 
produto u . u
 
 é maior que zero:
2 2 2
1 1 1u . u (x ) (y ) ( z ) 0, se u 0= + + > ≠
   , isto é, u . u 0, se u 0> ≠   
Para demonstrar que u . u 0 se u 0= =

   , vamos utilizar a mesma igualdade da primeira parte, 
isto é, 2 2 21 1 1u . u (x ) (y ) ( z )= + +
  .
Então, igualando a zero: 2 2 21 1 1u . u (x ) (y ) ( z ) 0= + + =
  . A única maneira de termos a soma de 
números positivos igual a zero é se todos os números forem iguais a zero.
Logo, 
2 2 2
1 1 1u . u (x ) (y ) ( z ) 0= + + =
  se 1 1 1x y z 0= = = , isto é, se 
1 1 1u ( x , y , z ) (0,0,0) 0= = =

 .
Assim, u . u 0 se u 0= =

   .
V) 2u . u u =
  
Já sabemos que 2 2 21 1 1u . u (x ) (y ) ( z )= + +
  e 2 2 21 1 1u (x ) (y ) ( z )= + +
 .
Elevando ao quadradoos dois lados da igualdade 2 2 21 1 1 u (x ) (y ) ( z )= + +

, encontramos 
( )22 2 2 21 1 1 u (x ) (y ) ( z )= + + .
Então, obtém‑se 
2 2 2 2
1 1 1 u (x ) (y ) ( z )= + +

, isto é, 
2 u u . u=
  
Para vetores, não tem significado a notação 
2 2( u) ou u
  para indicar o produto u . u  . O correto é 
utilizar a notação com a norma do vetor ao quadrado.
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
VI) u v u . v 0⊥ ⇔ =
    
Já vimos, pelo teorema de Pitágoras, que 2 2 2u v u v u v⊥ ⇔ + = +
      .
Utilizando a propriedade anterior, temos:
2 u v ( u v ) . ( u v )+ = + +
     
 . Substituindo na expressão anterior, obtém‑se:
2 2( u v ) . ( u v ) u v + + = +
     
Utilizando a propriedade distributiva, temos:
2 2u . u u . v v . u v . v u v+ + + = +
          
Como 
22u . u u e v . v v= =
      , podemos escrever:
2 2 2 2|| u || 2 u . v || v || u v + + = +
     
Simplificando, chegamos em 2 u . v 0=
  , isto é, u . v 0=  
Por fim, obtém‑se ⊥ ⇔
   
 u v u . v = 0
5.5.3 Ângulo entre dois vetores
Só podemos definir ângulo entre vetores se eles forem não nulos.
Assim, se u e v 
 
são não nulos, chamamos de ângulo entre u e v
 
 ao menor ângulo formado por 
seus representantes, com mesma origem.
Podemos indicar o ângulo θ entre os vetores u e v
 
. Para tal, usaremos as notações: âng ( u , v )θ =
  
ou ( u , v )θ = ∠
  .
Veja a seguir algumas representações de ângulos entre dois vetores.
θ θ

u

u

v

v
A) B)
Figura 52 – A) θ < 90º (ângulo agudo); B) θ > 90º (ângulo agudo)
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Unidade II
Temos ainda dois casos extremos quando os vetores são paralelos. Podem ter mesmo sentido ou 
sentidos opostos. Vejamos o que acontece com o ângulo entre os vetores nesses casos.
θ = 0º θ = 180º

u

u

v

v
A) B)
Figura 53 – A) Mesmo sentido (ângulo nulo); B) Sentido oposto (ângulo raso)
Note que o ângulo entre dois vetores está entre 0º e 180º, isto é, 0º < θ < 180º ou em radianos 
0 < θ < π.
Geometricamente, você já sabe o ângulo entre dois vetores. Como calcular a medida desse ângulo?
Para calcular o ângulo analiticamente, vamos precisar de mais uma propriedade do produto escalar, 
a propriedade VII.
Vejamos, então, o que diz essa propriedade:
VII) u . v u v cos se u 0 e v 0 
u . v 0 se u 0 e v 0 
= θ ≠ ≠
= = =
 
     
 
   
Não faremos, neste livro‑texto, a demonstração dessa propriedade.
Exemplos:
Sendo u 2 , v 3 e âng ( u , v ) 120 º= = θ = =
   
, calcular:
a) 

u . v
Resolução:
Para calcular o produto escalar de 

u por v , como não temos as coordenadas dos vetores, devemos 
utilizar a propriedade VII.
Assim, temos:
u . v u v cos = θ
   
1
u . v 2 . 3 . cos 120º 6 . 3 
 2
− = = = − 
 
 
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
1
u . v 6 . 3
 2
− = = − 
 
 
u . v 3 = −
 
b) u v +
 
Resolução:
Para determinar a norma de (

u + v ), vamos calcular inicialmente ||

u + v ||2.
Vejamos:
2 u v (u v) . (u v)+ = + +
     
Utilizando a propriedade distributiva:
2 u v u . u u . v v . u v . v+ = + + +
         
Dessa forma, obtém‑se:
2 2 2 u v u 2 u . v v + = + +
     
Substituindo os dados do enunciado:
2 2 2 u v 2 2 u . v 3 + = + +
   
No exemplo anterior, vimos que u . v 3= −
  . Substituindo em 2 2 2u v 2 2 u . v 3+ = + +
    , 
encontramos 2 2 2u v 2 2 (‑ 3) 3+ = + +
  
A partir disso, determinamos 2 2 2u v = 2 6 3+ − +
  e, em seguida:
2u v 4 6 9 7+ = − + =
  
 u v 7 + =
 
c) u v −
 
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Unidade II
Resolução:
Novamente, vamos calcular 
2 u v −
 
.
Observe:
2u v (u v).(u v)− = − −
     
Utilizando a propriedade distributiva, temos:
2 u v u . u u . v v . u v . v− = − − +
         
Então, obtém‑se:
2 2 2 u v u 2 u . v v − = − +
     
Substituindo os dados do enunciado:
2 2 2 u v 2 2 u . v 3 − = − +
   
No exemplo anterior, vimos que u . v 3= −
  . Substituindo na expressão
2 2 2u v 2 2 u . v 3− = − +
    , encontramos 
2 2 2u v 2 2 ( 3) 3− = − − +
  .
Em seguida, determinamos:
2 u v 4 6 9 19 + = + + =
 
 u v 19+ =
 
5.5.4 Projeção ortogonal
Dados dois vetores 

u e v , chamamos de projeção ortogonal do vetor 

u na direção do vetor v ao 
vetor uvproj

 , paralelo a v , dado por:
u
v 2
u . v
proj v
v
 
 =
 
 


 

 
 
 
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Geometricamente:

uu

v

v
proj v
u


proj v
u


Figura 54 
Exemplo:
Determine as projeções ortogonais uvproj

 e vuproj

 , sendo u (1, ‑2,0) e v (1,1, 2)= =
  .
Resolução:
Para calcular a projeção de 

u na direção de 

v , isto é, uvproj

 , precisamos calcular o produto escalar 
de 

u por v e a norma de 

v : 
u . v (1, 2, 0) . (1,1, 2) 1 2 0 1= − = − + = −
  
Vejamos a norma de v :
 v (1, 1, 2) . (1, 1, 2) 1 1 4 6= = + + =

Substituindo em uv 2
u . v
proj v
v
 
 =
 
 


 

 
 
 
, temos:
( )
u
v 2 2
u . v 1 1
proj v (1,1, 2) (1,1, 2)
6v 6
   − −   = = =          


 

 
 
 
u
v
1 1 1
ou proj , ,
6 6 3
− − − =  
 

 
.
Agora, queremos calcular a projeção de v na direção de 

u , isto é, vuproj

 .
Precisamos determinar v . u
 
 e o módulo do vetor 

u . Como o produto escalar é comutativo, isto é, 
v . u u . v=
    , temos que v . u u . v ‑1= =    .
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Unidade II
Vamos determinar o módulo de 

u :
 u (1, ‑2, 0) . (1, ‑2, 0) 1 4 0 5= = + + =

Substituindo em vu 2
u . v
proj u
u
 
 =
 
 


 

 
 
 
 , obtém‑se:
( )
v
u 2 2
u . v 1 1
proj u (1, 2, 0) (1, 2, 0) 
5 u 5
   − −   = = − = −         


 


v
u
1 2
ou proj , , 0 .
5 5
− =  
 

 
Então, definimos outro produto entre vetores do IR3, o produto vetorial. Nesse caso, o resultado 
do produto será um novo vetor, diferente do produto escalar no qual o resultado encontrado era um 
número real.
Para tal, será necessário definir a orientação no espaço vetorial IR3, isto é, queremos saber quando 
uma base é positiva e quando é negativa.
5.6 Produto vetorial
5.6.1 Orientação no espaço vetorial IR3
As bases do IR3 podem ser divididas em dois tipos: as de orientação positiva e as de orientação 
negativa. Para facilitar a visualização dessa orientação, é comum utilizarmos a seguinte correspondência: 
mão esquerda para a orientação positiva, e mão direita para a orientação negativa.
Consideremos uma base B { u, v, w }=
   . Para saber se B é positiva ou negativa, usamos a 
correspondência a seguir:
Orientação positiva: regra da mão esquerda
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

v

u
w
��polegar
dedo 
indicador
dedo médioDedo médio ↔ vetor 

u
Dedo indicador ↔ vetor 

v
Polegar ↔ vetor w
��
Figura 55 
Orientação negativa: regra da mão direita

v

u
w
��
polegar
dedo 
indicador
dedo médio
Dedo médio ↔ vetor 

u
Dedo indicador ↔ vetor 

v
Polegar ↔ vetor w
��
Figura 56 
5.6.2 Produto vetorial – definição
Chamamos de produto vetorial de u por v
  ao vetor u v∧
  ou u x v  , tal que:
• u e v LD u v 0⇒ ∧ =

    
• u e v L I u v⇒ ∧
    é o vetor que tem:
— Direção: u v u e u v v ∧ ⊥ ∧ ⊥
     
.
— Sentido: o sentido de u v∧
 
 é tal que a base B { u, v, u v }= ∧
    é positiva.
— Norma ou módulo: u v u v sen , ang( u , v )∧ = θ θ =
      .
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Unidade II
Se os vetores u e v
  são LI, representamos o vetor produto vetorial, u v∧
  , da seguinte forma:

v

v

u

u
∧
θ
Figura 57 
Lemos a notação u v∧
  ou u x v  como "u vetorial v". 
A base B { u, v, u v }= ∧
    , sendo de orientação positiva, obedece à regra da mão esquerda.
O sentido do produto vetorial depende da ordem que colocamos os vetores u e v
 
. Assim, são 
diferentes os produtos u v∧
  e v u .∧  Sendo 1 1 1 2 2 2u ( x , y , z ) e v ( x , y , z )= =
 
 , definimos 
o produto vetorial de u por v
  por:
 
u
y z
y z
x z
x z
x y
x y
 v , � � �
�
�
�
�
�
�
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
,
Ou escrevendo em função da base ortonormal:
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
y z x z x y
u v i j k
y z x z x y
∧ = − +
  
 
Para memorizar essa expressão, utilizamos um determinante simbólico que tem na primeira linha os 
vetores da base ortonormal { i , j , k }
  
 , na segunda linha as coordenadas do vetor u

 e na terceira linha 
as coordenadas do vetor v

. Assim, escrevemos:
1 1 1
2 2 2
i j k
u v x y z
x y z
∧ =
  
  
Se desenvolvemos esse determinante “simbólico” utilizando Laplace na primeira linha, temos:
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
1 1 1 1 1 1
1 1 1
2 2 2 2 2 2
2 2 2
i j k
y z x z x y
u v x y z i ‑ j k
y z x z x y
x y z
∧ = = +
  
  
  
É importante notarmos que a representação anterior não é um determinante, pois a primeira linha 
contém vetores em vez de escalares.
Exemplo:
Dados os vetores u (1, ‑ 2, 2) e v ( 0,1, 2)= =
  , referidos a uma base ortonormal positiva 
B { i , j , k }=
  
 , calcule:
a) u v∧
  
b) v u∧
  
Resolução: 
Vamos utilizar o determinante formado pelas coordenadas dos vetores e pelos vetores da base ortonormal, 
observando que, em cada item, devemos obedecer à ordem de colocação dos vetores nas linhas.
Assim:
a) 
i j k
u v 1 ‑2 2 
0 1 2
∧ =
  
 
Desenvolvendo o determinante pela 1ª linha, temos:
2 2 1 2 1 2
u v i j k
1 2 0 2 0 1
− −
∧ = − +
  
 
u v (‑ 4 ‑2) i ‑ ( 2 ‑ 0) j ( 1‑ 0) k∧ = +
  
  
u v ‑ 6 i ‑ 2 j k∧ = +
  
  
u v ( 6, 2 ,1)∧ = − −
  
b) 
i j k
v u 0 1 2
1 ‑2 2
∧ =
  
  
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Unidade II
Nesse item vamos desenvolver o determinante usando a regra de Sarrus, assim você poderá optar 
pelo procedimento que melhor se adaptar.
i j k i j
v u 0 1 2 0 1
1 ‑2 2 1 ‑2
∧ =
    
 
v u 2 i 2 j 0k ‑ (1k ‑ 4 i 0 j)∧ = + + +
     
  
v u 2 i 2 j 0 k ‑1k 4 i ‑ 0 j)∧ = + + +
     
  
v u 6 i 2 j ‑1k∧ = +
  
  
( )v u 6,2,‑1∧ =
 
Comparando os valores encontrados em u v∧
 
 e v u∧
 
, notamos que são vetores opostos.
5.6.3 Propriedades
Acentuaremos algumas propriedades do produto vetorial, entre elas a observada no exemplo anterior.
Para as propriedades a seguir, considere u , v e w
   vetores quaisquer do IR3 e a, β números reais:
1. (Anticomutativa) u v ‑ v u∧ = ∧
   
2. u v (u v)a ∧ β = a β ∧
    
3. (Distributivas) (i) u ( v w) u v u w∧ + = ∧ + ∧
       
 (ii) ( v w) u v u w u+ ∧ = ∧ + ∧
       
4. Interpretação geométrica do módulo do produto vetorial de vetores não nulos e não paralelos.
paralelogramoA u v = ∧
 
Para demonstrar essa propriedade, observe o paralelogramo a seguir, cujos vetores u e v
 
 são LI e 
não nulos.
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

v

uA
h
D
θ
B
C
Figura 58 
Da geometria plana, temos:
Aparalelogramo = base x altura
Da trigonometria, sabemos que:
h v sen= θ

No paralelogramo ABCD, temos: 
base u
h v sen
=
= θ


Assim:
paralelogramoA =base x altura= u v sen θ
 
paralelogramoA u v u v sen= ∧ = θ
    
paralelogramoA u v= ∧
  
Exemplos:
1) Utilizando as propriedades, determine (2u ‑ v) (u 2v)∧ +
    .
Resolução:
Pela propriedade distributiva, temos:
( 2 u ‑ v) ( u 2 v) (2 u u) (2 u 2 v) (‑v u) (‑v 2 v)∧ + = ∧ + ∧ + ∧ + ∧
            
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Unidade II
(2 u v) (u 2 v) 0 2.2(u v) (v u) 0− ∧ + = + ∧ − ∧ +
        
(2 u v) (u 2 v) 4(u v) ( (u v))− ∧ + = ∧ − − ∧
        
(2 u v) (u 2 v) 4(u v) (u v)− ∧ + = ∧ + ∧
        
(2 u v) (u 2v) 5(u v)− ∧ + = ∧
      
2) Determine a área do paralelogramo definido pelos vetores u ( 1,1, 2)= −
 e v (1, 2, 2)= .
Resolução:
Para encontrarmos a área do paralelogramo, vamos utilizar a propriedade 4. Assim, devemos 
determinar o módulo do produto vetorial dos vetores u e v
  , isto é:
paralelogramoA u v= ∧
  
Calculando o produto vetorial dos vetores, temos:
i j k
u v ‑1 1 2
1 2 2
∧ =
  
  
u v 2 i 2 j 2k (1k 4 i 2 j)∧ = + − − + −
     
  
u v 2 i 2 j 2k 1k 4 i 2 j∧ = + − − − +
     
  
u v 2 i 4 j 3k∧ = − + −
  
 
u v ( 2, 4, 3)∧ = − −
  
Determinando agora o módulo do produto vetorial, obtém‑se:
2 2 2u v ( 2,4, 3) ( 2) 4 ( 3) 4 16 9 29∧ = − − = − + + − = + + =
  
paralelogramoA 29= 
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
5.7 Produto misto
5.7.1 Definição
Esse tipo de produto envolve tanto o produto escalar quanto o produto vetorial, por isso o nome 
produto misto.
Tomemos três vetores cujas coordenadas em relação a uma base ortonormal positiva, B { i , j , k}=
  
 , 
são 1 1 1u (x , y , z )=

 , 2 2 2v (x , y , z )=
 e 3 3 3w (x , y , z )=
 . Chamamos de produto misto de u, v, w
   ao 
número u v w∧ ⋅
   .
Para indicar esse produto, usamos a notação [u, v, w]
   , assim:
[ u, v, w] u v w= ∧ ⋅
      
 Observação
O único modo possível de se efetuar este cálculo é fazendo primeiro o 
produto vetorial e depois o produto escalar.
Para efetuar o produto [u, v, w]
   , você pode adotar a definição de produto vetorial e depois de 
produto escalar, ou então aplicar o determinante formado pelas coordenadas dos vetores, obedecendo 
à ordem que desejar para o cálculo.
Então, se queremos determinar o valor de [u, v, w]
   , usaremos o determinante com as coordenadas 
de u

na 1ª linha, as coordenadas de v

 na 2ª linha e as coordenadas de w

 na 3ª linha, isto é:
1 1 1
2 2 2
3 3 3
x y z
[u, v, w ] x y z 
x y z
=
  
 Lembrete
O produto misto é um número real.
Exemplo:Determine o valor de [u, v, w]
   , dados u (3i ‑ j 2k)= +
  
 , v 2 i ‑ j k= +
  
 e w i j 2k= − + +
  

.
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Unidade II
Resolução:
Inicialmente devemos definir as coordenadas dos três vetores. Observando as expressões, notamos 
que: u (3, 1, 2)= −
 , v (2, 1,1)= −

 e w ( 1,1,2)= −

. Assim:
1 1 1
2 2 2
3 3 3
x y z 3 ‑1 2
[u, v, w ] x y z 2 ‑1 1 
x y z ‑1 1 2
= =
  
Desenvolvendo o determinante, encontramos [u, v, w] 2= −
   .
Definimos mais uma operação com vetores, agora devemos verificar quais propriedades valem para ela.
5.7.2 Propriedades do produto misto
Consideremos os vetores 1 1 1u (x , y , z )=
 , 2 2 2v (x , y , z )=
 e 3 3 3w (x , y , z )=
 , com coordenadas 
dadas em relação a uma base canônica B { i , j , k}=
  
 . 
[ u , v, w] 0 u, v, w são LD= ⇔
      
Demonstração:
Já vimos, em dependência linear, que:
1 1 1
2 2 2
3 3 3
x y z
 x y z 0 u, v, w são LD
x y z
= ⇔
  
Logo, [ u , v, w] 0 u, v, w são LD= ⇔
      .
De forma equivalente, temos:
[u, v, w] 0 u, v, w são LI≠ ⇔
      
 Lembrete
Vetores LD são coplanares. Logo, [u, v, w] 0 u, v, w= ⇔
      são coplanares.
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
1. Propriedade anticíclica:
[u, v, w] [v, u, w]= −
      
Demonstração:
Pela definição, temos [ u, v, w] u v w= ∧ ⋅
      ; pela propriedade anticomutativa do produto vetorial, 
temos u v v u∧ = − ∧
 
  . Portanto: [u, v, w] u v w ‑ v u w= ∧ ⋅ = ∧ ⋅
         .
2. Propriedades cíclicas:
[u, v, w] [v, w, u] [w, u, v]= =
       
 
[ u, v, w] . . [ u, v, w]a β γ = a β γ
      
Demonstração:
Pela definição de produto misto, temos:
[ u, v, w] u v wa β γ = a ∧ β ⋅ γ
      
Usando a propriedade do produto vetorial, obtém‑se:
( )[ u, v, w] u v wa β γ = aβ ∧ ⋅ γ      
Pela propriedade de produto escalar, podemos escrever:
[ u, v, w] . . [u, v, w]a β γ = a β γ
      
1 1[u u , v, w] [ u, v, w] [ u , v, w]+ = +
         
 , sendo 1u

 um vetor dado.
Demonstração:
Adotando a definição de produto misto e as propriedades de produto vetorial, temos:
( )
( )
1 1
1 1
1 1
1 1
[u u , v, w] u u v w
[u u , v, w] u v u v w
[u u , v, w] u v w u v w
[u u , v, w] [u, v, w] [u , v, w]
+ = + ∧ ⋅
+ = ∧ + ∧ ⋅
+ = ∧ ⋅ + ∧ ⋅
+ = +
      
       
        
         
 
 
 
 
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Unidade II
 Observação
Essa propriedade pode ser generalizada para os outros vetores, assim:
1 1[u u , v, w] [u, v, w] [u , v, w]+ = +
         
 
1 1[u, v v , w] [u, v, w] [u, v , w]+ = +
         
1 1[u, v, w w ] [u, v, w] [u, v, w ]+ = +
          
Interpretação geométrica do módulo do produto misto:
parelelepípedo[u, v, w] V=
   
Demonstração:
Pela definição de produto misto e pela interpretação geométrica do módulo do produto vetorial, 
sabemos que: [u, v, w] u v w u v w cos= ∧ ⋅ = ∧ θ
         , em que âng (u v, w)θ = ∧   
Observemos o paralelepípedo formado pelos vetores u, v, w
   :
A
D
h
∧
θ
E
H G
B
C
F

u

u

v

v
w
��
Figura 59 
Note que h w cos = θ

, assim:
base paralelepípedo[u, v, w] u v w cos A .h V= ∧ θ = =
      
paralelepípedo[u, v, w] V=
   
Com o produto misto, também podemos calcular o volume do prisma triangular ABCDEF e do 
tetraedro ABDE.
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Vejamos o paralelepípedo a seguir:
A
D
E
H G
B
C
F

u

v
w
��
 V V u, v, prisma triangular paralelepipedo 
1
2
1
2
  
ww  ´
Figura 60 
Observe agora o tetraedro ABDE no paralelepípedo:
A
D
E
H G
B
C
F

u

v
w
��
V V u, v, w tetraedro paralelepipedo   16
1
6
  
´
Figura 61 
Acentuamos a seguir a relação entre produto misto e orientação da base:
     
u v w B u v w, , { , , } � � � � �0 é base positiva.
     
u v w B u v w, , { , , } � � � � �0 é base negativa.
Demonstração:
Podemos demonstrar esses resultados através da definição de produto misto e das propriedades de 
produto escalar, assim:
[ , , ] cos
        
u v w u v w u v w � � � � � �
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Unidade II
Observando as possibilidades para o ângulo ang (u v, w)θ = ∧
   , podemos ter um ângulo agudo 
0º 90º< θ < ou um ângulo obtuso 90º 180º< θ < .
Para o ângulo agudo, temos cos 0θ > , então, B {u, v, w}=    é base positiva:
[u, v, w] u v w u v w cos 0 B {u, v, w}= ∧ ⋅ = ∧ θ > ⇔ =
            é base positiva.
Para o ângulo obtuso, temos cos 0θ < , então, B {u, v, w}=    é base negativa:
[u, v, w] u v w u v w cos 0 B {u, v, w}= ∧ ⋅ = ∧ θ < ⇔ =
            é base negativa.
Exemplos:
1) Calcule o produto misto dos vetores:
a) u i 3 j 2k= − + +
  
 , v 2 i j 3k= + +
  
 e w 2 i ‑ j 2k= +
  
 .
Resolução:
Inicialmente, vamos determinar as coordenadas dos três vetores. Observando as expressões, temos: 
u ( 1, 3, 2)= −
 , v (2,1, 3)=
 e w (2, 1, 2)= −
 . Portanto:
1 1 1
2 2 2
3 3 3
x y z 1 3 2
[u,v,w] x y z 2 1 3 
x y z 2 1 2
−
= =
−
  
Desenvolvendo o determinante por Sarrus:
1 3 2 1 3
u, v, w 2 1 3 2 1
2 1 2 2 1
− −
  = 
− −
  
 
u, v, w ( 1).1.2 3.3.2 2.2.( 1) 2.1.2 ( 1).3.( 1) 3.2.2  = − + + − − − − − − 
  
 
Logo, u, v, w 7  = − 
  
 .
b) u (2, 2, 3)=
 , v (0, 2, 1)= −
 , e w (2, 4, 2)= .
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Resolução:
Montando o determinante formado pelas coordenadas dos vetores, obtém‑se:
1 1 1
2 2 2
3 3 3
x y z 2 2 3
[u,v,w] x y z 0 2 ‑1 
x y z 2 4 2
= =
  
Desenvolvendo o determinante por Sarrus:
2 2 3 2 2
[u , v, w] 0 2 ‑1 0 2
2 4 2 2 4
=
   
 
u, v, w 2.2.2 2.( 1).2 3.0.4 3.2.2 ‑2.( 1).4 2.0.2  = + − + − − − 
  
 
u, v, w 8 4 0 12 8 0  = − + − + + 
  
 
Logo, u, v, w 0  = 
  
 .
2) Determine o volume do paralelepípedo formado pelos vetores u (2, 2, 3)= −
 , v (1, 2,1)=
 , e 
w (2,1, 2)=
 .
Resolução:
Sabemos que o volume do paralelepípedo pode ser calculado pelo módulo do produto misto dos 
vetores que formam o paralelepípedo.
Assim:
paralelepípedoV [u, v, w]=
   
Calculando o produto misto, temos:
2 2 3 2 2
[u,v,w] 1 2 1 1 2
2 1 2 2 1
− −
=
  
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Unidade II
( )[ u,v,w ] 2 . 2 . 2 ( 2) .1. 2 3.1.1 3 . 2 . 2 2 .1.1 ( 2) .1. 2= + − + − + + −   
( )[u,v,w] 8 4 3 12 2 4= − + − + −   
[u,v,w] 7 10= −
   
[u,v,w] 3= −
   
Como o volume do paralelepípedo é o módulo do produto misto, obtém‑se:
paralelepípedoV ‑3 3 u . v.= = 
5.8 Sistema de coordenadas
5.8.1 No plano
Vamos usar a notação E 2 para indicar o conjunto dos pontos do plano.
O conjunto O = { i , j }
 
 é um sistema de coordenadas no plano E 2. Fixado um sistema de coordenadas, 
podemos escrever as coordenadas de um ponto 2P E∈ . Dessa forma, P = (x1, y1).
y1
x1
P
x1
1
0
y
i

j

Figura 62 
Observando as coordenadas do vetor OP

 na base B { i , j }=
 
 , teremos:
BOP (x,y)=

Agora vamos