MATEMÁTICA I

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MATEMÁTICA I
Prof. ME. TIAGO PERES DA SILVA SUGUIURA
Conjuntos 
Múltiplos e Divisores 
Frações e Dízimas Periódicas 
Potenciação e Radiciação
005 Aula 01:
015 Aula 02:
026 Aula 03:
036 Aula 04:
045 Aula 05:
052 Aula 06:
061 Aula 07:
069 Aula 08:
076 Aula 09:
087 Aula 10:
098 Aula 11:
106 Aula 12:
124 Aula 13:
133 Aula 14:
140 Aula 15:
150 Aula 16:
Razão, Proporção e Regra de 3 
Expressões Algébricas 
Equações e Sistemas de Equações 
Inequações 
Frações e Equações Algébricas 
Trigonometria 
Sequências Numéricas 
Relações e Funções 
Funções: Composta, Inversa, Linear, Afim e Modular 
Funções Quadráticas 
Funções: Exponencial e Logarítmica 
Funções Trigonométricas
Introdução
Seja bem-vindo(a)!
Esta disciplina foi elaborada pensando em você, caro(a) aluno(a). Entendemos a
dificuldade existente com as disciplinas de matemática e a maneira com a qual ela foi
ensinada. Com isso em mente, este material foi elaborado justamente para auxiliar
você.
Antes de introduzir o conteúdo que será apresentado é importante deixar algo claro –
quando se estuda algo relacionado à matemática, não adianta decorar. É importante
que os assuntos sejam compreendidos, de maneira que consiga absorver o
conhecimento, e não somente decorá-los para realizar uma atividade. A base da
matemática é a lógica e é por meio dessa ferramenta que seu entendimento deve ser
realizado.
Embora este livro apresente diversos estudos e propriedades sobre diversos assuntos,
suas ideias são simples e devem ser incorporados para absorverem cada
conhecimento apresentado.
Os conteúdos abordados nesta disciplina remetem desde a tal chamada “matemática
básica” até algumas noções sobre funções.
Iremos começar nosso livro com o conteúdo que é a base para toda a matemática: a
teoria de conjuntos. Tudo que desejamos falar sobre matemática se envolve em saber
quando é válida tal propriedade. E, uma maneira de entendermos essa situação é
quando falamos sobre raiz quadrada, por exemplo. Você já deve ter ouvido falar em
“não existe raiz quadrada de número negativo”. Mas por que isso acontece? Essa e
outras respostas serão apresentadas neste livro.
Continuando com nossos conteúdos, serão abordados os múltiplos e divisores, frações,
potenciação e radiciação, nos auxiliando a entender melhor sobre suas operações e
aplicações, como, por exemplo, as razões e proporções, a regra de três, e culminando
nas equações e inequações.
Será trabalhado neste livro também o conceito de trigonometria e suas funções
trigonométricas. Funções aliás, que serão trabalhadas desde seu início, partindo de
suas definições e propriedades até alguns tipos de funções clássicas com
características próprias.
3
Este é um material especial, preparado para você, caro(a) aluno(a). A base necessária
para as disciplinas que envolvem qualquer tipo de cálculo partirá das definições e
propriedades descritas neste conteúdo, então, aproveitem!
4
01
Conjuntos
Introdução
A ideia de conjunto nada mais é do que um agrupamento ou coleção de
elementos que atendam a certo requisito.
Para denominar um conjunto, usamos as letras maiúsculas do nosso alfabeto
 e, para representar os elementos de cada conjunto, utilizamos
as letras minúsculas. Estes últimos devem estar entre chaves, separados por
vírgulas (quando existir mais de um elemento) ou no interior do diagrama,
como podemos observar a seguir:
Vejamos algumas formas de apresentação dos elementos de um conjunto:
a. Por meio de suas propriedades: 
b. Por meio de enumeração: 
c. Por meio de uma sentença matemática: 
OBSERVAÇÃO: O símbolo “ ” lê-se “pertence” e indica que um elemento faz
parte de um conjunto. Iremos falar mais sobre a relação de pertinência nos
tópicos a seguir.
Outra maneira de qualificarmos os conjuntos é por meio da quantidade de
elementos:
(A, B, C, ⋯)
A = {a, e, i, o, u}
B = {laranja, pera}
A = {números naturais pares}
A = {0, 2, 4, 6, ⋯ }
A = {x|x = 2n, n ∈ N}
∈
6
a. Conjunto vazio: Trata-se de um conjunto que não possui elemento.
Assim, temos um conjunto vazio que pode ser representado por
OBSERVAÇÃO: Esta representação é diferente do conjunto unitário 
, que tem como seu elemento.
b. Conjunto unitário: É o conjunto que possui um único elemento. Por
exemplo, o conjunto formado apenas por você, ou pelo professor que
está redigindo este livro.
c. Conjunto finito: É o conjunto que possui uma quantidade limitada de
elementos. Por exemplo, o conjunto cujos elementos são vogais de
nosso alfabeto. Esse conjunto pode ser representado como:
Pensando ainda em conjuntos finitos, você já imaginou tentar escrever
todos os elementos de um conjunto que possui , ou mais
elementos? 
Por exemplo, se quisermos representar os números positivos menores
ou iguais a mil, escrevemos por meio de sentenças matemáticas da
seguinte maneira:
d. Conjunto infinito: a quantidade de elementos é infinita. Por exemplo, o
conjunto cujos elementos são números naturais pares. Podemos
denotá-los como:
A = {}  ou A = ϕ
A = {ϕ} ϕ
B = {Tiago}
C = {a, e, i, o, u}
100 1000
D = {x ∈ N|x ≤ 1000}
7
e. Conjunto universo: é o conjunto representativo de todos os elementos
da conjuntura em que estamos trabalhando e, também, de todos os
conjuntos relacionados. Na representação do conjunto universo
utilizamos a letra maiúscula . Geralmente, o conjunto universo é
definido de acordo com o necessário.
E = {x|x = 2n,n ∈ N}
U
Subconjuntos
Um subconjunto é, nada mais, do que uma parte de um conjunto maior que o
contém. Imagine, por exemplo, o conjunto de todos os alunos desta instituição de
ensino. Agora, imagine somente os alunos que estão matriculados no mesmo curso
que você. Podemos perceber que o segundo conjunto é um subconjunto do primeiro.
Da mesma maneira, podemos verificar que o conjunto é um
subconjunto de , por ser parte de .
E quando comparamos os conjuntos e ?
Atentem-se que não são todos os elementos do conjunto que estão no conjunto ,
pois o elemento não pertence ao conjunto . Então, para reforçar, todos os
elementos de um subconjunto devem pertencer ao conjunto que o contém.   
A = {2, 3, 4}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A B
C = {2, 4, 6, 7, 8, 10} D = {2, 4, 6, ⋯}
C D
7 D
Conjuntos Numéricos
Focaremos agora no estudo dos conjuntos numéricos, ou seja, os conjuntos
cujos elementos são números obedecendo certo requisito. Vamos aos
conjuntos e suas principais características:
a. Conjunto dos números naturais: É o conjunto cujos elementos são os
números que servem para contar a quantidade dos objetos existentes
na natureza. É representado por: .
b. Conjunto dos números inteiros relativos: Nada mais é do que todos
os números naturais, acrescido de números inteiros negativos e,
geralmente, é escrito como: .
N= {0, 1, 2, 3, ⋯ }
Z = {⋯ , − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, ⋯}
8
c. Conjunto dos números racionais: O conjunto dos números racionais
são representados pelas frações: .
d. Conjunto dos números irracionais: Existem números que não podem
ser representados na forma , como a medida da hipotenusa cujos
catetos medem , exibida abaixo. Neste caso, a hipotenusa “h” mede 
 e, assim, não resulta em um número inteiro, nem
em um número decimal exato e nem em uma dízima periódica e,
consequentemente, não pode ser escrito na forma para 
. Da mesma maneira, temos o número ,
o número de ouro, e o número de Euler,
representado por , que também não podem ser
escritos na forma , portanto, não são números racionais. Os números
 e são chamados de números irracionais, por não serem
números racionais, mesmo que eles existam ao nosso redor. A
representação do conjunto dos números irracionais é .
Associamos o símbolo “ ” como crédito, ganho ou sobra e, o símbolo “ ”
como dívida, perda, gasto ou falta.
Você deve se lembrar de que a representação do vinte negativo, em maioria
dos casos, é , isto é, quando o valor é negativo, geralmente, é precedido
de símbolo “ ”. Para entender essa noção de número relativo, imagine a
situação em que você emprestou para seu amigo. Podemos
observar que elelhe deve e esta situação pode ser representada
por -50. Você, entretanto, tem a receber, e esta situação pode ser
representada por ou, simplesmente, por , tendo em vista que,
geralmente, omitimos o símbolo “ ” dos números positivos. Não estamos
falando do mesmo , mas diferenciando apenas do ponto de vista.
Pois é, esta é a ideia de números inteiros relativos.
+ −
−20
−
R$50, 00
R$50, 00
R$50, 00
+50 50
+
R$50, 00
Q = {x|x = , a ∈ Zeb ∈ Z∗}a
b
a
b
1
√2 = 1, 41421 ⋯
a
b
a ∈ Zeb ∈ Z∗ π = 3, 14159 ⋯
φ = 1, 61803 ⋯
e = 2, 718281 ⋯
a
b
√2, π,φ e
I
9
e. Conjunto dos números reais: É o conjunto numérico que contém
todos os números racionais e irracionais. Esse conjunto é representado
por .R
Relação de Pertinência e
Continência
Agora chegamos a uma parte a qual não podemos deixar de lado: a relação de
pertinência e de continência.
Relação de Pertinência
No estudo de conjuntos matemáticos, se o elemento pertencer ( ) ao conjunto     
, representamos por . Igualmente, se o elemento não pertencer ( ) ao
conjunto , representamos por .
Observação: agora conseguimos entender melhor as sentenças matemáticas
anteriores, por exemplo: ou 
 .
Exemplo: note que , tendo em vista que pode ser escrito como uma fração 
 e por isso faz parte dos elementos do conjunto , enquanto que , pois 
 não pode ser escrito como uma fração.
a ∈
A a ∈ A b ∉
A b ∉ A
Q = {x|x = , a ∈ Zeb ∈ Z∗}a
b
Z∗− = {x|x = − n, n ∈ N
∗}
15 ∈ Q 15
15
1 Q √7 ∉ Q
√7
10
Relação de Continência
Quando comparamos conjuntos e subconjuntos, utilizamos a notação de continência,
ou seja, quando todos os elementos do conjunto também estão no conjunto ,
dizemos que é um subconjunto de e denotamos essa relação por - lê-
se “ está contido em ”. Caso exista pelo menos um elemento de que não esteja
no conjunto , dizemos que “ não está contido em ” e denotamos por .
Exemplo: dados dos conjuntos e , verificamos que
 e .
A B
A B (A ⊂ B)
A B A
B A B (A ⊄ B)
A = {2, 3, 4, 5, 6} B = {−1, 0, 1}
A ⊂ N, B ⊄ N B ⊄ A
Em relação aos conjuntos numéricosapresentados, verificamos que:
tal que representa o conjunto dos númeroscomplexos. Essa relação
também pode ser representada como na figura abaixo:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
C
11
Operações com
Conjuntos
A seguir, descreveremos as operações que podem ser realizadas entre
conjuntos.
a. União: o conjunto resultante da união de dois conjuntos possui todos
os elementos de ambos. O símbolo usado para esta operação é “ ”, e
essa operação é definida como .
Exemplo: considerando os conjuntos e ,
temos que a união dos conjuntos é , e pode
ser representada como exibido a seguir:
No exemplo anterior, você pode verificar que o elemento , mesmo
pertencendo simultaneamente aos conjuntos e , foi escrito apenas uma
única vez no conjunto resultante .
OBSERVAÇÃO: em relação aos conjuntos numéricos, verificamos que:
No entanto, , pois o conjunto dos racionais e dos irracionais não
são subconjuntos um do outro.
∪
A ∪ B = {x|x ∈ Aoux ∈ B}
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B = {6, 7, 8}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
6
A B
A ∪ B
N ∪ Z = Z
Z ∪ Q = Q
Q ∪ R = R
R ∪ C = C
Q ∪ I = R
12
b. Interseção: o conjunto resultante da interseção de dois conjuntos
possui somente os elementos em comum, isto é, somente aquele(s) que
pertence(m), simultaneamente, aos dois conjuntos. O símbolo usado
para esta operação é “ ”, e é definido como: 
.
Exemplo: considerando e , temos 
 ou ainda, verificamos que está localizado na região
pontilhada da figura a seguir.
Precisamos redobrar a atenção quando estão envolvidos conjuntos infinitos.
No caso de e , temos 
, por conter todos os números ímpares maiores
ou iguais a , e conter apenas os números inteiros positivos menores ou
iguais a .
Observação: em relação aos conjuntos numéricos, verificamos:
entretanto, , por não existirem elementos comuns entre esses
dois conjuntos numéricos.
∩
A ∩ B = {x|x ∈ Aex ∈ B}
A = {2, 3, 4, 5, 6, 7} B = {5, 7, 9}
A ∩ B = {5, 7} A ∩ B
C = {3, 5, 7, ⋯} D = {1, 2, 3, ⋯ , 20}
C ∩ D = {3, 5, 7, ⋯ , 19} C
3 D
20
Z ∩ N = N
Q ∩ Z = Z
R ∩ Q = Q
R ∩ I = I
C ∩ R = R
Q ∩ I = {}
13
c. Diferença: o conjunto resultante da diferença entre dois conjuntos
possui somente os elementos pertencentes ao primeiro conjunto e não
ao segundo. O símbolo utilizado para esta operação é “ ” e é definido,
como
Exemplo: considerando e , temos  
 e . Verificamos que o conjunto resultante 
 possui todos os elementos do conjunto , exceto os elementos e 
que pertencem também ao conjunto .
−
A − B = {x|x ∈ Aex ∉ B}
A = {2, 3, 4, 5, 6, 7} B = {5, 7, 9}
A − B = {2, 4, 6} B − A = {9}
A − B A 5 7
B
14
02
Múltiplos e 
Divisores
Múltiplos
Vamos iniciar a aula a partir de uma situação do cotidiano. Suponhamos, por
exemplo, que você precise tomar 3 medicamentos diferentes, e cada um deles com
um intervalo diferente de tempo. O remédio A, você deve tomar a cada 12 horas, o
remédio B, a cada 6 horas, e o remédio C, a cada 4 horas. Se você tomou os 3
remédios agora, daqui a quantas horas você tomará os 3 remédios simultaneamente
de novo?
Com essa ideia em mente, vamos para nossa primeira de�nição formal.
De�nição: Dizemos que um número natural é múltiplo de outro quando, ao
dividirmos o primeiro pelo segundo, o resto é zero.
Exemplo: Suponhamos que, em uma escola, será realizada uma atividade onde estão
inscritos 108 alunos. Para essa atividade, é necessário formar grupos com 6 alunos
cada. Será que algum aluno �cará de fora? Para responder a essa questão,
precisamos saber se, 108 dividido por 6 é uma divisão exata (que sobra resto 0).
Ao realizarmos essa operação, podemos a�rmar que sim, 108 dividido por 6 tem resto
0, então dizemos que 108 é divisível por 6.
Observe as seguintes divisões entre números naturais:
                         
As três primeiras divisões, que apresentam resto zero, chamam-se divisões exatas. A
última, que apresenta resto diferente de zero, chama-se divisão inexata. Note que o
número é múltiplo de , é múltiplo de , é múltiplo de , mas não é
múltiplo de , isto é, se o número , dividido pelo número , possui divisão exata,
então é múltiplo de . Escrevemos o conjunto dos múltiplos de um número por 
, ou seja, os múltiplos de e os múltiplos de são dados por: 
 e .
10 |2––
0 5
12 |3––
0 4
15 |3––
0 5
9 |2––
1 4
10 2 12 3 15 3 9
2 x y
x y x
M(x) 2 5
M (2) = {0, 2, 4, 6, 8, ⋯} M (5) = {0, 5, 10, 15, ⋯}
16
O conjunto dos múltiplos de um número natural não nulo é in�nito e
podemos consegui-lo multiplicando o número dado por todos os números
naturais, isto é,
.
Note que o menor múltiplo de qualquer número é sempre o zero.
M (3) = {3 ⋅ 0, 3 ⋅ 1, 3 ⋅ 2, 3 ⋅ 3, 3 ⋅ 4, ⋯} ⇒ M (3) = {0, 3, 6, 9, 12, ⋯}
Divisores
Agora, vejamos uma situação em que nos apresentará a “situação oposta” dos
números múltiplos. Uma senhora fez pães e pretende distribuí-los em caixas, de
maneira que todas as caixas sempre possuam a mesma quantidade de pães e
nenhum pão �que fora delas. Assim, essa senhora reparou que ela tem algumas
opções. Vejamos:
Utilizar caixa contendo os pães – observe que é uma divisão
exata.
Utilizar caixas contendo pães cada – observe que é uma divisão
exata.
Utilizar caixas contendo pães cada – observe que é uma divisão
exata.
Utilizar caixas contendo pães cada – observe que é uma divisão
exata.
Utilizar caixas contendo pães cada – observe que é uma divisão
exata.
Utilizar caixas contendo pão cada – observe que é uma divisão
exata.
12
1 12 12 : 1 = 12
2 6 12 : 2 = 6
3 4 12 : 3 = 4
4 3 12 : 4 = 3
6 2 12 : 6 = 2
12 1 12 : 12 = 1
17
Note que ela não pode utilizar ou caixas, pois sobrariam pães.
Assim, dizemos que e são os divisores de , pois a divisão de por
qualquer um desses números é sempre exata.
De uma maneira formal, temos a de�nição a seguir que agrupa as de�nições de
divisor e múltiplo.
De�nição: dizemos que um número é divisor de outro, se o segundo for múltiplo do
primeiro.
Vimos, anteriormente, que é múltiplo de . Logo, é divisor de . Vimostambém
que e são múltiplos de , portanto, é divisor de e .
Denotamos o conjunto dos divisores de um número por . Assim, o conjunto
dos divisores de e de são, respectivamente, .
Observação: é importante notar que o conjunto dos divisores de um número natural
não nulo é sempre um conjunto �nito e que o menor elemento é o número e o
maior elemento é o próprio número.
5, 7, 8, 9, 10 11
1, 2, 3, 4, 6 12 12 12
10 2 2 10
12 15 3 3 12 15
x D(x)
15 20 D (15) = {1, 3, 5, 15}
1
Números Primos
Um número natural é denominado número primo quando apresenta apenas dois
divisores: ele mesmo e o . Os primeirosnúmeros primos menores que são:1 100
2 3 5 7 11
13 17 19 23 29
31 37 41 43 47
53 59 61 67 71
73 79 83 89 97
18
Propriedades
1. Existem in�nitos números primos;
2. O número não é primo;
3. O número é o único primo que é par;
4. Até hoje, não há uma fórmula geral para encontrar todos os números primos.
5. Qualquer número natural ou é primo ou pode ser escrito como um produto de
números primos. Essa propriedade é conhecida como Teorema Fundamental
da Aritmética.
Decomposição de um Número em Fatores
Primos
Os números não primos e diferentes de recebem o nome de número composto,
uma vez que se compõem de um produto de números primos.
Observação: o número não é um número primo e nem um número composto.
Decompor um número em fatores primos signi�ca expressar esse número como um
produto de outros que sejam primos. Vejamos, por exemplo, o número . Ele pode
ser escrito de diversas maneiras como um produto de dois ou mais números.
Algumas opções são:
Entre todas as fatorações do número , há uma em que todos os fatores são primos:
. Ela é a decomposição do número em fatores primos, ou a
fatoração completa do número .
Exemplo: vamos fazer um passo a passo da decomposição do número :
1. Observamos que o número é divisível por (menor número primo). Logo,
efetuamos essa divisão e obtemos o valor .
2. O número não é divisível por , porém, sabemos que ele é divisível por .
Então realizamos essa divisão e obtemos o número .
1
2
1
1
36
36 = 6 ⋅ 6
36 = 2 ⋅ 18
36 = 2 ⋅ 2 ⋅ 9
36 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3
36
36 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 36
36
210
210 2
105
105 2 3
35
19
3. Agora, o número não é mais divisível por , mas ele é divisível por .
Realizamos essa operação e obtemos o número .
4. Para �nalizar, dividimos esse número por , e o resultado da divisão é .
Podemos escrever esse procedimento da seguinte maneira:
Podemos reescrever , como 
Exemplo: vamos decompor o número :    
Logo, reescrevemos o número , como 
Máximo Divisor Comum (M.D.C.)
Vamos iniciar este tópico já com um problema prático, e descobrir como solucionar.
35 3 5
7
7 1
210
105
35
7
1
∣
∣ 
∣ 
∣ 
∣ 
∣
∣
2
3
5
7
210 210 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7
96
96
48
24
12
6
3
1
∣
∣ 
∣ 
∣ 
∣ 
∣ 
∣ 
∣ 
∣
∣
2
2
2
2
2
3
96 96 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3
20
Imagine a situação em que você possui canetas vermelhas, canetas
azuis e quer reparti-las igualmente entre um grupo de amigos de modo que
não sobrem canetas vermelhas nem azuis. Qual é o número máximo de
amigos que o grupo pode ter para que isso seja possível?
12 30
Vejamos:
As canetas vermelhas podem ser distribuídas entre
Assim, .
As canetas azuis podem ser distribuídas entre:
Assim, .
Dessa maneira, as canetas vermelhas e azuis podem ser distribuídas, ao mesmo
tempo, entre:
Logo, representa os divisores comuns entre e .
Dentre eles, o valor máximo representa o número máximo de amigos que esse grupo
pode ter para que as divisões das canetas sejam exatas, isto é, o máximo divisor
comum entre e é , e indicamos como .
12
1, 2, 3, 4, 6 ou 12 amigos

divisores de 12
D (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
30
1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 ou 30 amigos

divisores de 30
D (30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
1, 2, 3 ou 6 amigos

divisores comuns entre 12 e 30
DC (12, 30) = {1, 2, 3, 6} 12 30
12 30 6 MDC (12,  30) = 6
21
A seguir, um procedimento para se calcular o MDC entre dois ou mais números.
Etapas:
1. Decompor todos os números em fatores primos.
2. Considerar apenas os fatores comuns com que aparecem menos vezes.
3. Multiplicar esses fatores entre si.
Vejamos alguns exemplos sobre o cálculo do MDC.
Exemplo: vamos calcular o máximo divisor comum entre e , isto é, 
. Primeiramente, efetuaremos a decomposição em fatores primos de
ambos os números.
                  
Observe, o número aparece uma vez na decomposição do número e, também,
aparece uma vez na decomposição do número . Note que não há nenhum outro
número em comum entre as duas decomposições. Assim, temos que 
.
Exemplo: vamos calcular o máximo divisor comum entre e , isto é, 
.
Primeiramente, realizaremos a decomposição em fatores primos de ambos os
números.
            
Note que não há termos em comum nas decomposições dos números e ,
 portanto, .
Observação: quando o máximo divisor comum entre dois ou mais números é igual a 
, dizemos que esses números são primos entre si.
15 24
MDC (15,  24)
15
5
1
∣
∣ 
∣
∣
3
5 ⇒ 15 = 3 ⋅ 5
24
12
6
3
1
∣
∣ 
∣ 
∣ 
∣ 
∣
∣
2
2
2
3
⇒ 24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3
3 15
24
MDC (15,  24) = 3
20 21
MDC (20,  21)
20
10
5
1
∣
∣ 
∣ 
∣ 
∣
∣
2
2
5
⇒ 20 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5
21
7
1
∣
∣ 
∣
∣
3
7 ⇒ 21 = 3 ⋅ 7
20 21
MDC (20,  21) = 1
1
22
Exemplo: vamos calcular o máximo divisor comum entre e , 
.
Primeiramente, efetuaremos a decomposição em fatores primos de todos os
números.
                        
Note que os termos em comum são e . Além disso, na fatoração do número ,
aparece o somente uma vez, e na fatoração do , aparece o somente uma vez.
Utilizamos, então, os números e somente uma vez, isto é, 
Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.)
O mínimo múltiplo comum, ou MMC, entre dois números ou mais não nulos, é o
menor número, diferente de zero, que é múltiplo comum dos números.
Vamos voltar ao primeiro exemplo da nossa unidade: suponha que você precise
tomar medicamentos diferentes, e cada um deles com um intervalo diferente de
tempo. Digamos que o remédio A você deve tomar a cada horas, o remédio B a
cada horas e o remédio C a cada horas. Se você tomou os remédios agora, daqui
quantas horas você tomará os remédios, simultaneamente, de novo?
Horário para tomar o remédio A:
18, 36 60
MDC (18,  36,  60)
18
9
3
1
∣
∣ 
∣ 
∣ 
∣
∣
2
3
3
⇒ 18 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3
36
18
9
3
1
∣
∣ 
∣ 
∣ 
∣ 
∣
∣
2
2
3
3
⇒ 36 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3
60
30
15
5
1
∣
∣ 
∣ 
∣ 
∣ 
∣
∣
2
2
3
5
⇒ 60 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5
2 3 18
2 60 3
2 3
MDC (18,  36,  60) = 2 ⋅ 3 = 6
12
6 4 3
3
0, 12, 24,

Múltiplos de 12,  até  24
23
Horário para tomar o remédio B:
Horário para tomar o remédio C:
Note que os horários que coincidem os três remédios são:
Temos, portanto, que o primeiro horário comum, após a zero hora (momento que
tomou os 3 remédios), é 12, que é o mínimo múltiplo comum.
A seguir, um procedimento para se calcular o MMC entre dois ou mais números.
ETAPAS:
1. Decompor todos os números em fatores primos.
2. Considerar os fatores comuns e não comuns que aparecem mais vezes.
3. Multiplicar esses fatores entre si.
Vejamos alguns exemplos sobre o cálculo do MMC.
Exemplo: vamos calcular o mínimo múltiplo comum entre e , isto é, 
.
Primeiramente, realizaremos a decomposição em fatores primos de ambos os
números.
         
0, 6, 12, 18, 24

 Múltiplos de 6, até 24
0, 4, 8, 12, 16, 20, 24

 Múltiplos de 4, até 24
0, 12, 24

Múltiplos comuns de 12, 6 e 4 até 24
15 24
MMC (15,  24)
15
5
1
∣
∣ 
∣
∣
3
5 ⇒ 15 = 3 ⋅ 5
24
12
6
3
1
∣
∣ 
∣ 
∣ 
∣ 
∣
∣
2
2
2
3
⇒ 24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3
24
Note que as decomposições apresentam os números e . O número aparece
três vezes na decomposição do número , então vamos utilizar . Os números
 e aparecem somente uma vez, portanto temos 
.
Outra maneira de encontrarmos o MMC entre dois ou mais números é realizando
uma fatoraçãosimultânea. Nesse procedimento, realizamos a fatoração ao mesmo
tempo entre todos os números. Caso um dos números seja divisível por um certo
primo, e o outro não, repetimos esse número. Vejamos alguns exemplos:
Exemplo: calcule o MMC entre 15 e 24, e entre 15, 30 e 45.
2, 3 5 2
24 2 ⋅ 2 ⋅ 2
3 5
MMC (15,  24) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 120
15, 24
15, 12
15, 6
15, 3
5, 1
1, 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2
2
2
3
5
⇒ MMC (15,  24) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 120
15, 30, 45
15, 15, 45
5, 5, 15
5, 5, 5
1, 1, 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2
3
3
5
⇒ MMC (15,  30,  45) = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 90
25
03
Frações e Dízimas 
Periódicas
Vamos começar nossa aula trabalhando com os elementos do conjunto dos números
racionais: as frações.
Frações
As frações são as representações de um número racional , isto é, um número
racional é todo número que pode ser escrito na forma de uma fração, com
numerador e denominador inteiros e denominador diferente de zero. Vejamos:
Q
Definição: Sejam e dois números inteiros, tais que , então, definimos 
como um número fracionário.
Definição: Dizemos que duas ou mais frações são equivalentes, quando
representam a mesma parte do todo, ou seja, se multiplicarmos ou dividirmos o
numerador e o denominador por um inteiro diferente de , obtemos a mesma fração.
Exemplo: As frações e são frações equivalentes:
Ligado à definição anterior, temos a operação para encontrarmos frações
equivalentes.
Definição: dizemos que simplificar uma fração consiste em reduzi-la a uma fração
equivalente, dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número.
a b b ≠ 0 a
b
0
, ,2
3
4
6
40
60
8
12
×2

=

×2
×10

=

×10
÷5

=

÷5
2
3
4
6
40
60
8
12
27
Definição: uma fração é dita irredutível quando o numerador e o
denominador são primos entre si.
Exemplo: é equivalente à sua fração irredutível dada por .
Apresentaremos, a seguir, uma série de definições muito importantes no
estudo das frações.
Definição: chamamos de fração própria toda fração cujo numerador é
menor que o denominador. Também podemos dizer que uma fração própria
representa a parte de um todo, por exemplo, .
Definição: nominamos de fração imprópria aquelas que não são próprias,
ou seja, quando o numerador é maior ou igual ao denominador, por
exemplo, .
Definição: denominamos de fração aparente quando o numerador é
múltiplo do denominador, ou seja, a fração pode ser reescrita como um
número inteiro, por exemplo, .
Multiplicação e Divisão de Fração
Para multiplicar um número inteiro por uma fração, deve-se multiplicar o
número inteiro pelo numerador da fração, conservando o denominador.
Haverá casos, no entanto, que não conseguiremos simplificar uma fração, ou
então, simplificamos uma fração até que essa operação não seja mais
possível. Quando isso acontecer, dizemos que a fração é irredutível.
87
116
3
4
, ,
1
2
2
3
75
85
, ,
3
2
4
3
107
85
, ,
4
2
16
4
90
3
28
Exemplo: ,   
Note que as preposições “de”, “dos”, “da”, “das” são substituídas pela
multiplicação. Vejamos alguns exemplos:
a. 
b. 
c. 
Para multiplicar uma fração por outra fração, deve-se multiplicar o
numerador pelo numerador e o denominador pelo denominador.
Exemplo: ,   ,  
Para dividir uma fração por uma outra fração, deve-se multiplicar a fração do
numerador pelo inverso da fração do denominador.
Exemplo: ,   ,  
Adição e Subtração de Frações
Para somar ou subtrair frações, utilizamos as seguintes propriedades:
a. Se as frações têm o mesmo denominador, deve-se adicionar ou subtrair
os numeradores, conservando os denominadores.
b. Para somar ou subtrair frações com denominadores diferentes,
primeiramente é necessário obter frações equivalentes, cujos
denominadores sejam iguais, ou seja, denominadores comuns. Uma
forma prática é obter frações cujos denominadores sejam iguais ao
mínimo múltiplo comum entre seus denominadores.
⋅ 6 = =
3
10
3⋅6
10
18
10
5 ⋅ = =
2
3
5⋅2
3
10
3
 de 18 ⇒ ⋅ 18 = = = 10
5
9
5
9
5⋅18
9
90
9
 de 135 ⇒ ⋅ 135 = = = 108
4
5
4
5
4⋅135
5
540
5
 de 99 ⇒ ⋅ 99 = = = 63
7
11
7
11
7⋅99
11
693
11
⋅ = =
3
4
5
2
3⋅5
4⋅2
15
8
⋅ = =
3
2
7
9
3⋅7
2⋅9
21
18
= = = 1
5
2
2
5
10
10
= ⋅ = =
3
4
5
2
3
4
2
5
3⋅2
4⋅5
6
20
= = ⋅ = =
3
2
5
3
1
2
5
3
1
5
2
3⋅5
1⋅2
15
2
= = ⋅ = =
3
7
2
3
7
2
1
3
7
1
2
3⋅1
7⋅2
3
14
Exemplo:
1) + =?1
2
1
5
29
Temos , logo, conseguimos reescrever as frações, como: e 
. Assim, temos   .
Após uma certa prática, podemos realizar essa operação de uma maneira mais direta,
realizando as operações conjuntamente. Vejamos o mesmo exemplo anterior, mas
agora utilizando a maneira direta.
O desenho a seguir mostra o que de fato ocorre nessa operação, isto é, como 
, a nova fração terá como denominador.
MMC (2, 5) = 10 =1
2
5
10
=1
5
2
10
+ = + = =1
2
1
5
5
10
2
10
5+2
10
7
10
+ = =
1
2
1
5
5 + 2
10
7
10
MMC (2,  5) = 10 10
Ao invés de encontrar as frações equivalentes, individualmente, podemos encontrá-
las de maneira direta. O procedimento é o seguinte: (o MMC), dividido por (que é
o denominador da fração original), resulta em , multiplicamos esse valor pelo
numerador original e obtemos o novo numerador. O mesmo ocorre para a
segunda fração: (que é o MMC), dividido por (denominador da fração original),
resulta em , multiplicamos por (numerador da fração original) e temos o resultado 
.
Observação: o mínimo múltiplo comum (MMC) entre dois números primos é dado
pelo produto entre eles. Logo, .
2) 
10 2
5
(1)
10 5
2 1
2
MMC (2,  5) = 2 × 5 = 10
+ + = =1
2
3
4
5
6
6+9+10
12
25
12
30
Para esse exemplo, primeiro temos que calcular .
Agora, temos que será o denominador da nossa nova fração. Seguimos o mesmo
procedimento dos exemplos anteriores.
MMC (2,  4,  6)
2, 4, 6
1, 2, 3
1, 1, 3
1, 1, 1
∣
∣ 
∣ 
∣ 
∣
∣
2
2
3
⇒ MMC (2,  4,  6) = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12
12
Representação dos Números
Racionais
Todos os números na forma resultam em: um número inteiro, um
número decimal exato ou em uma dízima periódica.
As representações de números decimais exatos ou dízimas são dadas por:
1. A representação decimal sempre possui quantidade finita de algarismos
diferentes de zero.
Exemplo: , .
2. A representação decimal possui quantidade infinita de algarismos que se
repetem periodicamente e que se denomina dízima periódica.
Exemplo: (período 3).
 (período 285714).
 (período 18).
,a ∈ Zeb ∈ Z∗a
b
= 0, 51
2
= 0, 753
4
= 0, 333333 ⋯ = 0, 3̄1
3
= 0, 285714285714285714 ⋯ = 0,
¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄
2857142
7
= 1, 18181818 ⋯ = 1,
¯̄¯̄̄ ¯
1813
11
31
Obtendo a Fração Geratriz de uma Dízima
Periódica
Vejamos a seguir, como obter a fração que gera uma certa dízima periódica. Para isso,
usaremos como exemplo a dízima . Queremos saber qual é a fração que
gera essa dízima. Para isso, denotaremos o valor por e, depois, o multiplicaremos
por , obtendo:
Agora, faremos a subtração entre esses termos:  
0, 444 ⋯
x
10
x = 0, 444 ⋯
⇒ 10 ⋅ x = 10 ⋅ 0, 444 ⋯
⇒ 10 ⋅ x = 4, 444 ⋯
10 ⋅ x − x = 4, 4̄ − 0, 4̄
⇒ x ⋅ (10 − 1) = 4
⇒ x ⋅ 9 = 4
⇒ x = 4
9
32
Fração geratriz é aquela que quando dividimos seu numerador pelo
denominador, o resultado será uma dízima periódica (número decimal
periódico).
Os números decimais periódicos apresentam um ou mais algarismos que se
repetem infinitamente. Esse algarismo ou algarismos que se repetem
representam o período do número.
Quando a parte decimal é composta apenas pelo período, a dízima é
classificada como simples. Já quando além do período existir, na parte
decimal, algarismos que não se repetem, a dízima será composta.
A seguir, veremos outros exemplos.            
Exemplo:
a) 
De fato, denotaremos . Agora, multiplicaremos esse número
por , note que, aqui, há uma diferença. O valor que você multiplica é influenciado
pela quantidade de valores que estão se repetindo. No primeiro exemplo, o número 
(um algarismo) se repetia, então multiplicamos por . Agora, como temos o número 
 (doisalgarismos) se repetindo, vamos multiplicar por . Assim, temos:
1, 252525 ⋯
x = 1, 2525 ⋯ = 1,
¯̄¯̄̄ ¯
25
100
4
10
25 100
100 ⋅ x = 100 ⋅ 1,
¯̄¯̄̄ ¯
25
⇒ 100 ⋅ x = 125,
¯̄¯̄̄ ¯
25
33
Fazendo a subtração dos termos:
a) 
De fato, vamos denotar . Agora, realizaremos o
mesmo processo. Ao invés de multiplicar por , multiplicaremos por , pois o
número que se repete possui três algarismos. Assim, temos:
Agora, subtrairemos os termos:
Note que podemos simplificar esse valor quando dividimos o numerador e o
denominador por , obtendo .
Portanto, .
b) 
Perceba que esse caso é um pouco diferente dos anteriores, pois temos o dígito 
após a vírgula, antes de iniciar a dízima. Nesse caso, denotando , vamos
multiplicar por para deixarmos, após a vírgula, somente a dízima. Assim, temos
100 ⋅ x − x = 125,
¯̄¯̄̄ ¯
25 − 1,
¯̄¯̄̄ ¯
25
⇒ x ⋅ (100 − 1) = 124
⇒ x ⋅ 99 = 124
⇒ x = 124
99
0, 123123123 ⋯
x = 0, 123123123 ⋯ = 0,
¯̄¯̄¯̄¯̄
123
100 1000
1000 ⋅ x = 1000 ⋅ 0,
¯̄¯̄¯̄¯̄
123
⇒ 1000 ⋅ x = 123,
¯̄¯̄¯̄¯̄
123
1000 ⋅ x − x = 123,
¯̄¯̄¯̄¯̄
123 − 0,
¯̄¯̄¯̄¯̄
123
⇒ 999 ⋅ x = 123
⇒ x = 123
999
3 41
333
0, 123123 ⋯ = 41
333
0, 166666 ⋯
1
x = 0, 1
¯̄̄
6
x 10
x = 0, 1
¯̄̄
6
10x = 1,
¯̄̄
6
10x = 1 + 0,
¯̄̄
6
34
Note que já sabemos transformar a dízima em fração, que é equivalente a .
Logo, temos
Portanto, .
0,
¯̄̄
6
6
9
10x = 1 +
10x =
10x =
x =
6
9
9+6
9
15
9
15
90
0, 1
¯̄̄
6 = =
15
90
1
6
35
04
Potenciação e 
Radiciação
Potenciação
Você deve se lembrar de que, para indicar uma adição de parcelas iguais, usávamos a
multiplicação da seguinte maneira:
Agora, para indicar uma multiplicação de fatores iguais, utilizaremos a potenciação, da
seguinte maneira:
Vamos formalizar essa operação:
8 + 8 + 8 + 8 + 8

5 vezes
= 5 × 8
5 × 5 × 5

3 fatores
= 53 = 125
7 × 7

2 fatores
= 72 = 49
3 × 3 × 3 × 3

4 fatores
= 34 = 81
Definição: Sejam .
Potenciação é a multiplicação de fatores repetidos, isto é, ,
onde “ ” é a base e “ ” é o expoente.
a, m ∈ R
a
n = a × a × a ⋯ a × a

n vezes
a n
37
Potências de Base 10 ou Potências de 10
Um caso particular e muito utilizado nas potências ocorre quando o valor da
base é . Vejamos o cálculo de alguns exemplos:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
Exemplo:
1. 
2. 
3. 
É importante notarmos o sinal presente em uma potenciação. Caso o sinal esteja
dentro dos parênteses, como no exemplo (b), ele deve ser considerado nas
multiplicações e o jogo de sinal deve ser realizado. Agora, se o sinal está “fora” dos
parênteses, como exibido no exemplo (c), ele não é considerado nas multiplicações.
42 = 4 × 4 = 16
(−2)
4
= (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16
−24 = − (2 × 2 × 2 × 2) = −16
Quando temos uma potência, cujo expoente é , o resultado é igual à base.
Quando temos uma potência, cujo expoente é , e a base é diferente de ,
temos que o resultado é .
1
0 0
1
10
100 = 1
101 = 10
102 = 10 × 10 = 100
103 = 10 × 10 × 10 = 1000
104 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10000
1010 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10×
10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 10000000000
38
Observe que em toda potenciação de base , o resultado tem o como
primeiro algarismo, seguido de tantos zeros quantos indicar o expoente.
Vejamos um exemplo com a utilização das potências de na decomposição
de números.
Propriedades de Potências
a. Produto de potências de mesma base: Para realizarmos o produto
(multiplicação) entre potências com a mesma base, devemos manter a
base e somarmos os expoentes: 
b. Potenciação com números negativos no expoente: Toda potência de
expoente negativo equivale a uma fração, cujo numerador é e o
10 1
10
O recorde de público em uma partida de futebol na história aconteceu no
dia de julho de , na final da Copa do Mundo, no estádio do
Maracanã, no Rio de Janeiro, com um total de presentes. Vamos
decompor esse valor.
ou
ou
16 1950
199854
199854 = 100000 + 90000 + 9000 + 800 + 50 + 4
199854 = 100000 + 9 ⋅ 10000 + 9 ⋅ 1000 + 8 ⋅ 100 + 5 ⋅ 10 + 4
199854 = 10
5
+ 9 ⋅ 10
4
+ 9 ⋅ 10
3
+ 8 ⋅ 10
2
+ 5 ⋅ 10
1
+ 4
a
m ⋅ an = am+n
1
39
denominador é a potência com o expoente positivo. Se é um número
diferente de , então 
c. Divisão de potências de mesma base: Ao contrário do que acontece
com a multiplicação de potências de mesma base, ao invés de
conservarmos a base e somarmos os expoentes, iremos conservar a
base e subtrair os expoentes: 
d. Potência de uma potência: Para realizarmos a potência de uma
potência, devemos conservar a base e multiplicar os expoentes, ou seja,
.
e. Potência de um produto: Caso nossa base da potência seja um
produto entre dois números, essa potência irá ser distribuída entre os
fatores do produto, isto é, 
f. Potência de um quociente: Para o caso de termos uma fração elevada
a uma potência, elevamos tanto o numerador quanto o denominador à
potência indicada, isto é, .
a
0 a−n = 1
an
= am−na
m
an
(am)n = am⋅n
(a ⋅ b)n = an ⋅ bn
( )
n
=a
b
an
bn
De maneira direta, a radiciação é a operação inversa da potenciação. Quando
falamos de raiz diretamente pensamos em raiz quadrada , já estamos
acostumados. Mas é importante notar que não existe somente a raiz
quadrada, existe a raiz cúbica , a raiz décima , até a generalização, que
é a raiz -ésima .
Radiciação
√  
n
Definição: Definimos como raiz quadrada de um número positivo , o número
positivo que elevado ao quadrado, dê .
a
a
40
Temos uma informação muito importante dessa definição: devemos calcular
a raiz quadrada de um número positivo, e o resultado também é um número
positivo. Dessa definição retiramos uma dúvida recorrente: Se ,
por que não pode ser ?
Apesar de , temos que , pois só há um sinal possível
para o resultado de uma raiz quadrada: positivo. A raiz quadrada de é .
Porém, se a questão for “Que número, que elevado ao quadrado, resulta em 
?”, temos que o conjunto solução é realmente formado por dois números 
e . Indicamos isso da seguinte maneira: .
OBSERVAÇÃO: Para o caso de uma raiz quadrada podemos utilizar tanto o
símbolo quanto .
Definição: Dizemos que uma raiz quadrada de um número real é exata,
quando seu resultado é um número natural.
A maneira mais usual de se encontrar a raiz quadrada de um número é
realizando uma fatoração desse número.
Exemplo: Calcule a raiz quadrada de 256.
, pois , isto é: 
Acesse o link: Disponível aqui
Durante muitos anos os matemáticos tentaram descobrir uma maneira de
determinar a raiz quadrada de um número negativo. Muitos diziam ser
impossível tal solução, tendo em vista as propriedades desta raiz.
(−4)2 = 16
√16 −4
(−4)2 = 16 √16 = 4
16 4
16 4
−4 x2 = 16 ⇔ x = ±√16 = ±4
√  
√256 = 16 16 ⋅ 16 = 256 √256 = √16 ⋅ 16 =
2√162 = 16
41
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/raiz-quadrada-um-numero-negativo.htm
OBSERVAÇÃO: A partir das informações anteriores, temos que .
Para a raiz cúbica , temos a mesma ideia. Se quisermos calcular a raiz
cúbica de um número, basta encontrarmos um número que, multiplicado por
ele mesmo três vezes, é o número da raiz. Isto é, .
Exemplo: Calcule .
Fazendo a fatoração do número , temos:
Isto é:  
Exemplo: Calcule .
Isto é:  
256
128
64
32
16
8
4
2
1
∣
∣ 
∣ 
∣ 
∣ 
∣ 
∣ 
∣ 
∣ 
∣ 
∣ 
∣
∣
2
2
2
2
⎫⎪ ⎪ ⎪
⎬
⎪ ⎪ ⎪⎭
2
2
2
2
⎫⎪ ⎪ ⎪
⎬
⎪ ⎪ ⎪⎭
16
16
√x2 = |x|
3√x = y ⇔ y3 = x
3√125
125
125
25
5
1
∣
∣ 
∣ 
∣ 
∣
∣
5
5
5
⇒ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 53 = 125
3√125 = 3√5 ⋅ 5 ⋅ 5 =
3√53 = 5
3√2744
2744
1372
686
343
49
7
1
∣
∣ 
∣ 
∣ 
∣ 
∣ 
∣ 
∣ 
∣
∣
2
2
2
⎫⎪
⎬
⎪⎭
⇒ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 23
7
7
7
⎫⎪
⎬
⎪⎭
⇒ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 = 73
⇒ 2744 = 23 ⋅ 73
3√2744 =
3√23 ⋅ 73 = 2 ⋅ 7 = 14
42
Propriedades de Radiciação
a. Multiplicação de dois radicais de mesmo índice: Quando queremos
realizar um produto entre duas raízes que possuem o mesmo índice,
temos: .
b. Divisão de radicais de mesmo índice: Quando queremos realizar uma
divisão entre raízes com mesmo índice, temos: .
c. Potência de uma raiz: Quando queremos elevar uma raiz a uma
potência, temos: 
d.Multiplicação (ou divisão) de índice e expoente: Quando
multiplicamos tanto o índice quanto o expoente de um radicando pelo
mesmo número, o valor da raiz não é alterado. Isto é . O
mesmo ocorre com a divisão: 
e. Raiz de uma raiz: Quando queremos aplicar uma raiz -ésima de uma
raiz -ésima já existente, temos: .
f. Adição e subtração de raízes: É necessário tomar muito cuidado com
essa propriedade, pois ao calcularmos uma soma ou subtração de duas
raízes com radicandos diferentes nem sempre .
Racionalização de Denominadores
No conjunto dos números reais existem expressões que apresentam um
radical no denominador, como, por exemplo, .
Definição: Dizemos que racionalizar uma fração é eliminar, por meio de
propriedades algébricas, o radical ou radicais que estiverem em seu
denominador.
a. Quando o denominador é composto somente por uma raiz: Os
métodos para realizar uma racionalização é multiplicar tanto o
numerador quando o denominador por um mesmo “fator de
racionalização”, isto é, se temos a fração , vamos multiplicar por .
Note que estamos multiplicando a fração por . Assim, obtemos:
n√x ⋅ n√y = n√x ⋅ y
= n√
n√x
n√y
x
y
( n√xy)
m
= n√xy⋅m
n√am =
n⋅p
√am⋅p
n√am =
n:p
√am:p
n
m
n√m√x = n⋅m√x
√a + b = √a + √b
1
√3
a
√b
√b
√b
1
43
b. Quando o denominador é composto por uma soma envolvendo
raízes: Quando temos, no denominador, uma soma ou diferença
envolvendo raiz quadrada, ou seja, quando o denominador é do tipo:
 ;    ;    ;   
Se temos uma fração , iremos multiplicar tanto o numerador
quanto o denominador por , isto é, teremos: .
Quando tivermos uma fração do tipo , iremos multiplicar tanto o
numerador quanto denominador por , isto é, teremos: 
.
Resumindo, precisamos alterar o sinal presente no denominador.
⋅ =
=
=
a
√b
√b
√b
a⋅√b
√b⋅√b
a⋅√b
√b2
a⋅√b
b
a + √b a − √b √a + √b √a − √b
1
a+√b
a − √b ⋅1
a+√b
a−√b
a−√b
1
a−√b
a + √b
⋅1
a−√b
1+√b
1+√b
44
05
Razão, Proporção 
e Regra de 3
Precisamos nos lembrar de nosso cotidiano para compreender que a razão
corresponde ao quociente entre dois números não nulos ou quociente entre duas
grandezas, grandezas de espécies diferentes, ou seja, razão é sinônimo de uma
fração.
Reforçando esse conceito, podemos definir razão como – a divisão entre dois
números – podendo ser descrita como a comparação entre as duas quantidades por
meio da divisão, porém ela não é utilizada individualmente, pois trata-se de uma
ferramenta para outros problemas.
Apresentamos a seguir a definição de razão:
Razão
Definição: sendo e dois números racionais, com , denomina-se razão entre 
 e o quociente ou , em que é o antecedente, e é o consequente, ou seja,
a razão de duas grandezas é o quociente dos números que medem essas grandezas
numa mesma unidade.
a b b ≠ 0
a b
a
b
a : b a b
Digamos que um menino chamado João esteja brincando com um estilingue,
praticando tiro ao alvo em latas, em cima do muro, e queira analisar seu
aproveitamento. Assim, imaginemos que ele realizou tentativas e acertou 
 vezes a lata. Portanto, de disparos, ele acerta e erra vezes. Nesta
situação, podemos expor uma razão entre o número de acertos e erros da
seguinte forma:
10
2 10 2 8
R =
2
8
46
Logo, acertos e erros, simplificando a razão teremos , ou seja, para cada
uma vez que a pedra acerta a lata, terá lançamentos que não acertaram a lata.
2 8 R = 1
4
4
Proporção
Provavelmente, em algum momento de sua vida, você utilizou a ideia de
proporcionalidade para decidir qual era a melhor opção para uma compra. Por
exemplo, digamos que você foi à feira e encontrou a seguinte oferta:
“Leve três laranjas por ou seis laranjas por ”.
Você se pergunta: será que a oferta de seis laranjas é vantajosa? Podemos dizer que o
preço de seis laranjas está relativamente barato em comparação ao preço de três. Se
o preço fosse proporcional ao número de laranjas, seis delas custariam e não
. Por isso, a oferta do feirante era realmente boa para a compra de seis
laranjas.
Então, de forma geral, a proporção é a comparação entre duas razões, mas vamos
formalizar esse conceito.
Definição: chama-se proporção a equivalência entre duas razões. Assim, temos
genericamente: ou , que se lê: “a” está para “b”, assim como “c”
está para “d”, onde “a” e “d” são chamados de extremos e “b” e “c” são os meios.
R$0, 60 R$1, 00
R$1, 20
R$1, 00
=a
b
c
d
a : b = c : d
47
Acesse o link: Disponível aqui
Em seus dois últimos artigos para a RPM, o Professor Geraldo Ávila discute o
conceito de grandezas proporcionais e ilustra seus pontos de vista com
exemplos e comentários interessantes. No todo, sua contribuição é positiva
no sentido de esclarecer um tipo de problema tradicional, que ocorre com
frequência no ensino da Matemática, nas suas aplicações às outras Ciências
e mesmo na vida prática.
O ponto crucial da questão se situa na definição precisa de “grandezas proporcionais”.
Grandezas Diretamente Proporcionais
Atrelado ao conceito de proporção está outro tema importante: as grandezas
diretamente proporcionais. Antes, porém, continuaremos a analisar a variação das
grandezas. Digamos que o preço que se paga na padaria pela compra de pãezinhos é
proporcional à quantidade que se leva, pois, geralmente, não há descontos.
O preço de pãezinhos é o dobro do preço de ; o preço de é o triplo do preço de 
e, assim por diante. Logo, quem comprar pãezinhos deve pagar o quádruplo de
quem compra , pois está levando uma quantidade vezes maior.              
Nesse caso, dizemos que as duas grandezas envolvidas, quantidade de pães e o
preço, são diretamente proporcionais, ou seja, há uma proporcionalidade direta entre
essas grandezas.
Exemplo: os funcionários de uma fábrica estão reivindicando de aumento para
todos. Quanto passará a receber um funcionário cujo salário é ?
2 1 3 1
20
5 4
20%
R$400, 00
48
http://www.rpm.org.br/cdrpm/9/4.htm
Para cada reais do salário, os funcionários da fábrica querem um aumento de 
reais. Desse modo, quem ganha o dobro receberá uma quantia duas vezes maior.
Então, quem recebe reais receberá reais de aumento, quem ganha reais
terá um aumento de reais, e assim por diante.
Podemos então dizer que o aumento é diretamente proporcional ao salário, pois
quem recebe , que é o quíntuplo de , receberá um aumento vezes
maior: .
Grandezas Inversamente Proporcionais
Vamos analisar o seguinte caso. Um automóvel que mantém a velocidade média de 
 leva horas para percorrer um trecho de uma estrada. Quanto tempo ele
levaria para percorrer esse mesmo trecho se a velocidade fosse de ?
Não é difícil compreender que, se o automóvel se movimentar com o dobro da
velocidade, , ele não levaria o dobro do tempo, mas sim a metade, ou seja, 
. Se a velocidade fosse a metade, o tempo gasto seria o dobro. Caso
a velocidade fosse vezes menor, o tempo gasto também seria vezes maior.
Podemos dizer que as grandezas envolvidas nesse problema, no caso a velocidade
média e o tempo gasto para percorrer a distância dada, não são diretamente
proporcionais. Essas grandezas são chamadas de inversamente proporcionais.
100 20
200 40 400
80
R$500, 00 100 5
5 × 20 = 100
60km/h 3
120km/h
120km/h
1, 5h(1h30 min)
3 3
Regra de Três
A regra de três simples é um processo prático para determinar, a partir de três
valores conhecidos, um quarto valor com o qual todos se relacionem
proporcionalmente.
Na prática, a regra de três é a mecanização da proporção, dispondo-os em uma
espécie de tabela organizada, por esse motivo, para entendermos melhor a regra de
três na resolução de determinados problemas, é necessário que você domine
grandezas proporcionais.
49
Não pense que “regra de três é só multiplicar cruzado”, pois há
circunstâncias em que o caminho é multiplicar cruzado diretamente e outros
devemos inverter os termos de uma das razões. Portanto, sempre tenha
essa pergunta em mente: “as grandezas são direta ou inversamente
proporcionais”?
Exemplo: Bianca comprou camisetas e pagou . Quanto pagaria se
comprasse camisetas domesmo tipo e preço?
Observe que estão relacionados dois valores da grandeza “quantidade de camisetas”
com dois valores da grandeza “preço”. Organizando esses dados temos:
Nessa tabela conhecemos três de seus elementos e procuramos o valor do quarto,
que se chama de problemas de regra de três simples. Veja que as grandezas
camisetas e preço são diretamente proporcionais; assim, podemos escrever a
proporção: 
Aplicando a propriedade fundamental, temos:
Logo, Bianca pagaria pelas cinco camisetas.
3 $1200, 00
5
Camisetas Preços($)
3
5
1200
x
=3
5
1200
x
3x = 1200 ⋅ 5
x =
x = 2000
1200⋅5
3
$2000, 00
50
Exemplo: com a velocidade média de por hora, um avião percorre uma
distância entre duas cidades em horas. Que tempo levaria uma aeronave que
desenvolve por hora, de velocidade média, para percorrer o mesmo espaço?
Conforme apresentado anteriormente, invertendo-se os termos de umas das razões,
então, calcula-se o valor da incógnita.
Logo, a aeronave levaria para percorrer o mesmo espaço.
500km
3
800km
↓
Velocidade(Km/h) Tempo(h)
500
800
3
x
↑
=
800x = 500 ⋅ 3
800x = 1500
x =
x = 1h52 min 30seg.
500
800
x
3
1500
800
1h52 min 30seg
51
06
Expressões 
Algébricas
O que são Variáveis?
Para alguns, esse tema não traz boas lembranças, às vezes utilizamos , muitas o e
isso faz com que surjam dificuldades pelo simples fato de uma letra estar presente no
lugar de um número, mas por que isso acontece? Qual a necessidade de utilizar letras
e não números?
Se levarmos em consideração o ambiente dos fenômenos observáveis, ele pode ser
ligado a um dado conjunto de resultados possíveis, assim consideramos como uma
variável qualquer quantidade, qualidade ou magnitude de uma característica que pode
possuir vários valores numéricos.
Por outro lado, uma variável pode ser entendida como uma classificação ou uma
medida, uma quantidade que se altera em cada caso ou unidade de estudo e por que
não uma propriedade no objeto de estudo que pode ser medida e enumerada?
A seguir, apresentaremos uma definição do que seria variável.
Definição: denomina-se variável a letra que irá representar qualquer número ou um
conjunto de números, ou seja, é um símbolo representativo (incógnita) capaz de
representar o número de um conjunto, que corresponde ao domínio da incógnita.
Dessa forma, a variável corresponde, convencionalmente, a um elemento
representante do conjunto de todos os resultados possíveis de um fenômeno,
podendo ser classificada em dois tipos:
Exemplo: Temos que é a quantidade de um produto na prateleira de um
supermercado. Assim, pode ser o conjunto dos inteiros ,
identificando uma quantidade.
Exemplo: Temos que é um dia do mês de janeiro. Logo, é representado pelos
números , que representam os dias do mês.
a x
x
x {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, . . . }
x
{1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . , 31}
53
Expressões Algébricas
Agora vamos expandir o conceito de variável, pois, na resolução de problemas, é
muito comum ocorrerem situações em que a leitura e a compreensão do enunciado
nos levam a formular expressões que permitam depois a resolução do problema, por
meio de uma equação oriunda das expressões obtidas.
Digamos que, por exemplo, o enunciado nos leve à seguinte figura e suas dimensões:
Trata-se de uma região retangular de dimensões e , cujo perímetro (soma dos
lados) é indicado pela expressão:
Exemplo: As expressões a seguir são denominadas expressões algébricas:
: expressão algébrica do 1º grau (grau 1).
: expressão algébrica do 2º grau (grau 2).
: expressão algébrica do 3º grau (grau 3).
x x + 3
2x + 2(x + 3) ou 4x + 6
4x + 6
x
2 + 3x
x
3
54
Substituição, Cálculo de Expressões e
Expressões Modulares
Considere uma expressão algébrica e um número real . Definimos como o
valor numérico da expressão para o número que obtemos na
substituição de por . Então, é o valor numérico de para , sendo
que o valor numérico de uma expressão algébrica nula é o zero para qualquer valor
de .
Exemplo: O valor numérico de para é dado por 
. Logo, .
Exemplo: Dado , o valor de para é 
. Logo, .
Note que, para o cálculo de expressões algébricas, você observará a presença de
letras representando números, sem especificações, sendo que algumas vezes estas
letras serão chamadas de constantes e outras vezes serão chamadas de variáveis.
Assim, como já apresentamos, temos como variável a letra que irá representar
qualquer número ou um conjunto de números. Como exemplo, teríamos: , onde 
poderá representar qualquer número. Então estará representando o dobro desse
número.
Por outro lado, denomina-se constante (ou coeficiente) o caso contrário ao anterior.
Assim, no exemplo , o é uma constante, pois está representando uma quantidade
que é o valor dois.
p(x) α
p(x) x = α
x α p(α) p(x) x = α
x
p(x) = −3x + 5 x = 4
p(4) = −3(4) + 5 = −12 + 5 = −7 p(4) = −7
p(x) = 4x − 3x + 5x − 10 p(x) x = 3
p(3) = 4(3) − 3(3) + 5(3) − 10 = 12 − 9 + 15 − 10 = 8 p(3) = 8
2x x
2x
2x 2
Expressões Modulares
Mas acredito que você deve estar se perguntando: e expressões modulares? O que
são? Onde vivem? Esse será nosso próximo assunto.
55
Definimos que o módulo ou valor absoluto de um número real , que representamos
por , é igual a se e igual a se . Por exemplo:
, porque, neste caso, e .
, porque, neste caso, .
, porque e .
De forma geral, podemos escrever:
r
|r| r r ≥ 0 −r r < 0
|2| = 2 r = 2 2 > 0
|0| = 0 r = 0
|−2| = − (−2) = 2 r = −2 −2 < 0
|r| = r, ser ≥ 0
e
|r| = −r, ser < 0
Geometricamente, o módulo de um número real indica, na reta real, a
distância desse número ao zero.
distância do 2 ao 0 : 2 unidades → |2| = 2
distância do  − 3 ao 0 : 3 unidades → |−3| = 3
Exemplo: Para uma melhor análise, veja os exemplos seguintes.
.
.
.
|1, 5| = 1, 5
|−6| = − (−6) = 6
∣∣ ∣∣ =
1
2
1
2
56
.∣∣−√2∣∣ = −(−√2) = √2
Portanto, podemos notar que o módulo de um número real qualquer nunca
é negativo, ou seja, é sempre positivo ou zero.
Agora que o conceito de módulo foi apresentado e está bem assimilado, podemos
chegar ao tão esperado tema proposto: expressões modulares, lembrando que
limitaremos nosso estudo a apenas expressões do primeiro grau.
Assim, dada a expressão quando , temos como resultado que 
 e caso a expressão for com ,
trata-se de um processo um pouco mais elaborado, o qual apresentaremos
detalhadamente a seguir.
Exemplo: com .
Para resolver este exercício, devemos analisar alguns casos:
Se então e .
Se então . Assim, .
Logo, quando e quando .
Exemplo: com .
Se então e, pela definição, .
Se então e, pela definição, .
Assim, se então 
Exemplo: com .
|3 − x| x = 7
|3 − x| = |3 − 7| = |−4| = − (−4) = 4 |x − 3| x ∈ R
|x − 3| x ∈ R
x ≥ 3 x − 3 ≥ 0 |x − 3| = x − 3
x < 3 x − 3 < 0 |x − 3| = − (x − 3) = −x + 3
|x − 3| = x − 3 x ≥ 3 |x − 3| = −x + 3 x < 3
|x − 2| + |x − 6| x < 2
x < 2 x − 2 < 0 |x − 2| = − (x − 2) = −x + 2
x < 2 x − 6 < 0 |x − 6| = − (x − 6) = −x + 6
x < 2
|x − 2| + |x − 6| = (−x + 2) + (−x + 6) = −x + 2 − x + 6 = −2x + 8
|x − 2| + |x − 6| x ∈ R
57
Nesta expressão, temos três casos a serem analisados: , e 
Se , pelo exemplo anterior sabemos que .
Se então, temos e . Então: 
.
Se temos e . Então: 
.
Logo, 
x < 2 2 ≤ x ≤ 6 x > 6.
x < 2 |x − 2| + |x − 6| = −2x + 8
2 ≤ x ≤ 6 x − 2 ≥ 0 x − 6 ≤ 0
|x − 2| + |x − 6| = (x − 2) + (−x + 6) = x − 2 − x + 6 = 4
x > 6 x − 2 > 0 x − 6 > 0
|x − 2| + |x − 6| = (x − 2) + (x − 6) = x − 2 + x − 6 = 2x − 8
|x − 2| + |x − 6| =
⎧⎪
⎨
⎪⎩
−2x + 8, sex < 2
4, se2 ≤ x ≤ 6
2x − 8, sex > 6
Produto Notável
Alguns produtos envolvendo expressões algébricas apresentam uma
regularidade em seu resultado, digamos que um padrão, e por esse motivo
são conhecidos como produtos notáveis, sendo uma ferramenta importante
para conseguirmos economizar muitos cálculos.
Vamos trabalhar com os produtos notáveis mais conhecidos, que são os
quadrados da soma, da diferença e da soma pela diferença
a. Quadrado de uma soma indicada: 
b. Quadrado de uma diferença indicada: 
c. Produto de uma somapor uma diferença: 
(a + b)
2
= a2 + 2ab + b2
(a − b)
2
= a2 − 2ab + b2
(a + b) (a − b) = a2 − b2
58
Fatoração e Simplificação de
Expressões Algébricas
Apresentaremos alguns casos de fatoração de expressões algébricas e algumas
simplificações de expressões em formato de frações, a fim de reduzir o número de
termos da expressão e com isso facilitar cálculos futuros.
1. Fatoração por colocação de Termo em Evidência: Analisemos o seguinte caso:
dada uma expressão do tipo como podemos escrevê-la de forma
mais simplificada? Temos que e que , assim podemos
transformar a expressão inicial em uma multiplicação de por e
dizemos que foi feita uma fatoração de , pois fatorar uma expressão é
expressá-la por meio de uma multiplicação. Veja como foi feito o processo de
fatoração de :
Temos que é o fator comum às duas parcelas de , assim
. Para verificarmos se a fatoração está correta, basta
desenvolver o produto e observar se o resultado
corresponde à expressão inicial.
2. Fatoração por Agrupamento: Analisando a expressão ,
trata-se de uma expressão algébrica com quatro termos. Não existe um fator
comum aos quatro termos, mas agrupando-os de forma conveniente, podemos
fazer a sua fatoração aplicando duas vezes a fatoração por colocação de um
termo em evidência, ou seja:
3a2 + 3ab
3a2 = 3a ⋅ a 3ab = 3a ⋅ b
3a (a + b)
3a2 + 3ab
3a2 + 3ab
3a2 + 3ab = 3a

fator comum
⋅ a + 3a

fator comum
⋅ b = 3a

fator comum
⋅ (a + b)
3a 3a2 + 3ab3a2 + 3ab
3a2 + 3ab = 3a (a + b)

forma fatorada
3a (a + b) = 3a2 + 3ab
ax + 2a + 5x + 10
ax + 2a
–––––––––
+ 5x + 10
–––––––––
↓ ↓
a (x + 2) + 5 (x + 2)
––––––––––––––––––––––
↓
(x + 2) (a + 5)
59
Veja que, o que ocorreu aqui é que inicialmente não foi possível observar um
fator comum presente na expressão, porém dividindo a expressão em dois
grupos e fatorando separadamente, “geramos” um fator comum para uma nova
fatoração.
3. Simplificação de Expressões Algébricas: A simplificação de expressões
consiste em escrevê-las de forma mais simples, facilitando a visualização e até
um futuro cálculo, sendo que a mais usual é por agrupamento, onde termos
semelhantes a fim de que a expressão se torne menor, ou seja:
Mas aqui vamos trabalhar com expressões em forma de fração e apresentar
alguns casos em que a fatoração será uma grande aliada no processo.
Iniciaremos com a fatoração de um produto entre uma soma e uma diferença.
3xy + 7xy4 − 6x3y + 2xy − 10xy4
= (3xy + 2xy) + (7xy4 − 10xy4) − 6x3y
= 5xy − 3xy4 − 6x3y
60
07
Equações e Sistemas 
de Equações
Equações Polinomiais
As expressões matemáticas em que ocorrem igualdade entre polinômios são chamadas de
equações, sendo algumas bem conhecidas por todos. As equações que iremos trabalhar
nesta aula são as de 1º grau e de 2º grau.
Quando dizemos “vamos resolver uma equação”, estamos a determinar o(s) valor(es) da
variável tal que a expressão matemática se torne verdadeira.
Equação do 1º Grau
O polinômio envolvido nesta igualdade possui grau , ou seja, sua representação é da forma 
. Esse tipo de equação é muito presente em nossa vida.
Vamos pensar em algumas situações:
Exemplo: Ao comprar uma roupa, você utiliza uma nota de e recebe de troco uma
nota de . Quase que instantaneamente você já responde que essa roupa custou 
. Mas ao apresentar a equação , nem todos respondem que ,
além de demorar mais para chegar ao resultado. Para resolvê-la, podemos proceder como a
seguir:
Exemplo: Se em uma mercearia verificarmos que pacotes de doces custaram ,
sem dúvida, a resposta é que cada pacote custou . Mas qual é o raciocínio?
Considerando o valor do pacote de doces como , temos:
Exemplo: Para resolver a equação , vamos adicionar   e em ambos
os lados da equação. Assim, temos:
1
a ⋅ x + b = 0
R$100, 00
R$20, 00
R$80, 00 x + 20 = 100 x = 80
x + 20 = 100
⇒ x + 20 + (−20) = 100 + (−20) Adicionamos(−20) em ambos os lados da equação
⇒ x = 80
4 R$20, 00
R$5, 00
x
4 ⋅ x = 20
⇒ 4 ⋅ x ⋅ ( ) = 20 ⋅ ( )  Multiplicamos ambos os termos por ( )
⇒ x ⋅ ( ) =
⇒ x = 5
1
4
1
4
1
4
4
4
20
4
4x + 8 = 2x + 2 −8 −2x
62
Prosseguindo, vamos multiplicar ambos os lados por . Assim, temos:
Equação do 2º Grau
O polinômio envolvido nesse tipo de equação é aquele cujo maior expoente é de grau 2. Sua
representação geral é , com .
4x + 8 = 2x + 2
⇒ 4x + 8 + (−2x) + (−8) = 2x + 2 + (−2x) + (−8)
⇒ 4x − 2x + 8 − 8 = 2x − 2x + 2 − 8
⇒ 2x = −6
1
2
2x ⋅ ( ) = −6 ⋅ ( )
⇒ =
⇒ x = −3
1
2
1
2
2x
2
−6
2
ax
2 + bx + c = 0 a ≠ 0
Resolver uma equação é encontrar suas raízes ou soluções. Por exemplo, as raízes
da equação são e , pois esses valores são os números que
tornam a sentença verdadeira. Uma pergunta que pode ocorrer é se existem
equações do 2º grau sem solução.
E de maneira direta, a resposta é: SIM. Por exemplo, não tem solução no
conjunto dos números reais.
x
2 − 5x + 6 = 0 2 3
x
2 = −4
Uma das maneiras mais conhecidas e utilizadas para resolverem uma equação do 2º grau é
utilizar a Equação de Bháskara (ou fórmula quadrática) que é dada da seguinte maneira:
x =
−b ± √b2 − 4ac
2a
63
Uma parte muito importante dessa equação é o que chamamos de discriminante, que nada
mais é do que o que equivale a .Δ Δ = b2 − 4ac
A partir do valor do discriminante podemos determinar a quantidade de raízes reais
que uma certa equação do segundo grau possui.
Quando , a equação possui duas raízes reais distintas;
Quando , a equação possui duas raízes reais iguais;
Quando , a equação não possui raízes reais.
Δ > 0
Δ = 0
Δ < 0
Exemplo: Vamos determinar a quantidade de raízes da equação . Para isso,
vamos calcular o discriminante. Note que, para essa equação possuímos os coeficientes 
, e . Daí, temos:
Note que , portanto, sabemos que a equação dada possui duas raízes reais
distintas.
Assim, vamos realizar alguns exemplos para encontrarmos as raízes de equações do segundo
grau.
Exemplo: Determine as soluções reais das equações:
i) 
Vamos utilizar a Equação de Bháskara. Assim, temos:
−3x2 − 4x = 0
a = −3 b = −4 c = 0
Δ = b2 − 4 ⋅ a ⋅ c
= (−4)
2
− 4 ⋅ (−3) ⋅ 0
= 16
Δ = 16 > 0
2x2 − 3x + 1 = 0
Δ = b2 − 4ac
= (−3)
2
− 4 ⋅ 2 ⋅ 1
= 9 − 8
= 1
64
Assim, sabemos que a equação possui duas raízes reais distintas. Vamos encontrá-las:
Portanto, temos que as raízes são: e .
ii) 
Calculando o discriminante, temos:
Como vimos que o discriminante é menor do que zero, sabemos que essa equação não
possui raízes reais.
x =
=
=
⇒ {
x
′ = = 1
x
′′ = =
−b±√Δ
2a
−(−3)±√1
2⋅2
3±1
4
3+1
4
3−1
4
1
2
x
′ = 1 x′′ = 12
x
2 + x + 2 = 0
Δ = b2 − 4ac
= 12 − 4 ⋅ 1 ⋅ 1
= −3
Sistemas de Equações
Um sistema de equações é formado por um conjunto de equações que apresentam mais de
uma incógnita. Se possuirmos incógnitas, precisamos de duas equações, se possuirmos 
incógnitas, precisamos de equações e, assim, sucessivamente.
Para resolver um sistema é necessário encontrar valores que satisfaçam simultaneamente
todas as equações. E, para isso, existem algumas maneiras de se resolver um sistema de
equações, que veremos adiante.
Dizemos que um sistema é do 1º grau, quando o maior expoente das incógnitas é igual a , e
não existe multiplicação entre essas variáveis. O conjunto solução para um sistema de
equações é dado por um par de valores, que satisfaçam as equações simultaneamente.
2 3
3
1
65
Método da Substituição
Para este método, primeiramente resolvemos uma das equações em termo de uma das
variáveis. Por exemplo, se uma das equações for , fazemos Então,
substituímos essa expressão na segunda equação, obtendo uma equação somente
dependendo da variável . Após resolver essa equação e encontrar o valor da variável ,
retornamos a uma das equações para encontrarmos o valor da variável .
Exemplo: Resolva o sistema .
Como na segunda equação a variável não está sendo multiplicada por nenhum valor, vamos
aproveitar e isolá-la na equação, obtendo:
Agora, vamos substituir esse valor da variável , na primeira equação e obtemos:
Agora que encontramos o valorde , vamos substituir em qualquer uma das equações para
encontrarmos o valor de . Substituindo em , temos:
Logo, temos que a solução para esse sistema de equações é , isto é, e .
Método da Adição
Consiste basicamente em somar as variáveis semelhantes de ambas as equações com o
intuito de obtermos um resultado igual a zero. Isto é, realizando uma adição (ou subtração)
entre as equações, a ideia é que uma das variáveis seja “cancelada”, e assim podemos
encontrar o valor da segunda variável.
3x + y = 2 y = 2 − 3x.
x x
y
{ 3x + 2y = 16
7x + y = 19
y
7x + y = 19 ⇒ y = 19 − 7x
y
3x + 2y = 16 ⇒ 3x + 2 ⋅ (19 − 7x) = 16
⇒ 3x + 38 − 14x = 16
⇒ −11x = −22
⇒ x = 2
x
y y = 19 − 7x
y = 19 − 7x ⇒ y = 19 − 7 ⋅ 2
⇒ y = 19 − 14
⇒ y = 5
(2, 5) x = 2 y = 5
66
Exemplo: Resolva o sistema dado por .
Note que se somarmos as duas equações, o termo com a variável irá se cancelar, restando
somente a variável . Assim, temos:
Daí, podemos encontrar o valor da variável :
Agora, realizamos o mesmo procedimento do exemplo anterior, substituímos esse
resultado em uma das equações, para obtermos o valor da variável :
Logo, temos que a solução para esse sistema de equações é dada por isto é, e 
.
Exemplo: Resolva o sistema .
Analisando, não conseguimos realizar uma soma que diretamente elimine uma das variáveis,
então o que podemos fazer é multiplicar uma das equações por um valor, que resulte em algo
desejável. Neste caso, vamos multiplicar a primeira equação por , e obtemos:
{x + 2y = 17
x − 2y = −11
y
x
{x + 2y = 17
x − 2y = −11
+
− − − − − − −−
2x + 0y = 6
x
2x + 0y = 6 ⇒ 2x = 6
⇒ x =
⇒ x = 3
6
2
y
x + 2y = 17 ⇒ 3 + 2y = 17
⇒ 2y = 17 − 3
⇒ 2y = 14
⇒ y =
⇒ y = 7
14
2
(3, 7) , x = 3
y = 7
{ 4x + 3y = −2
8x − 2y = 12
−2
{
4x + 3y = −2 ⋅ (−2)
8x − 2y = 12
⇒ {
−8x − 6y = 4
8x − 2y = 12
67
Agora, podemos realizar a soma entre as duas equações, e obtemos:  
A partir daí, podemos encontrar o valor de :
Substituindo esse valor em qualquer uma das equações originais, temos:
Portanto, o conjunto solução desse sistema de equações é , ou e .
{−8x − 6y = 4
8x − 2y = 12
− − − − − − −−
0 − 8y = 16
y
− 8y = 16
⇒ y =
⇒ y = −2
16
−8
4x + 3y = −2 ⇒ 4x + 3 ⋅ (−2) = −2
⇒ 4x − 6 = −2
⇒ 4x = 4
⇒ x =
⇒ x = 1
4
4
(1, −2) x = 1 y = −2
68
08
Inequações
Vamos iniciar esta aula diretamente com uma abordagem prática das inequações.
Às vezes, nos deparamos com a situação em que precisamos pensar se o
dinheiro que temos seria ou não suficiente para comprar certa quantidade
de produtos.
Esta situação, sem dúvida, é um dos exemplos das inequações por envolver
polinômios e desigualdades. Assim, podemos definir as inequações como expressões
matemáticas que envolvem polinômios e desigualdades como   ou .
Inequação do 1º Grau
Para determinarmos o conjunto solução das inequações polinomiais do 1º grau, em
muitos casos, procedemos de forma análoga a de equações.
Exemplo: Para determinarmos o conjunto solução da inequação definida por 
, procedemos como a seguir:
Assim, .
Exemplo: Para determinarmos o conjunto solução da inequação definida por 
, procedemos da seguinte maneira:
>, ≥, < ≤
3x + 2 ≥ 11
3x + 2 + (−2) ≥ 11 + (−2)
⇒ 3x ≥ 9
⇒ 3x ⋅ ( ) ≥ 9 ⋅ ( )
⇒ x ≥ 3
1
3
1
3
S = {x ∈ R|x ≥ 3}
4x + 7 > 6x + 15
70
Assim, 
4x + 7 + (−6x) > 6x + 15 + (−6x)
⇒ −2x + 7 + (−7) > 15 + (−7)
⇒ −2x > 8
⇒ −2x > 8 ⋅ (−1)
⇒ −2x ⋅ (−1) < 8 ⋅ (−1)
⇒ 2x < −8
⇒ 2x ⋅ ( ) < −8 ⋅ ( )
⇒ x < −4
1
2
1
2
S = {x ∈ R|x < −4}
Ao multiplicar ambos os membros de uma inequação por , invertemos
o sentido do sinal da desigualdade.
(−1)
Inequação do 2º Grau
Uma inequação do segundo grau na incógnita é uma expressão que pode ser
escrita numa das seguintes formas:
Para resolver uma inequação do segundo grau devemos inicialmente estudar o sinal
da expressão correspondente à equação obtida trocando-se a desigualdade pela
igualdade. Localizando as raízes da equação, estudamos o sinal da equação
x
ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c < 0
ax2 + bx + c ≥ 0
ax2 + bx + c ≤ 0
71
correspondente.
Veremos dois casos de inequações do 2º grau.
Inequação-Produto
Por exemplo, vamos considerar a seguinte inequação do segundo grau:
Fatorando o primeiro termo da desigualdade, temos:
Assim, transformamos um polinômio de grau em um produto de polinômios de
grau . Como sabemos que o produto de dois termos é positivo quando ambos são
positivos, ou quando ambos são negativos, temos que a solução dessa inequação
produto é o conjunto de todos os reais tais que: e ou 
 e .
Para o primeiro caso, temos, e .
Analisando esses intervalos, temos:
x
2 + 2x − 8 ≥ 0
(x − 2) ⋅ (x + 4) ≥ 0
2
1
x (x − 2) ≥ 0 (x + 4) ≥ 0
(x − 2) ≤ 0 (x + 4) ≤ 0
x − 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2 x + 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ −4
x ≥ 2
x ≥ −4
x ≥ 2 e x ≥ −4
72
Portanto, para essa opção temos .
Por outro lado, para a segunda opção termos e 
. Analisando esses intervalos, temos:
x ≥ 2
x − 2 ≤ 0 ⇒ x ≤ 2
x + 4 ≤ 0 ⇒ x ≤ −4
x ≤ 2
x ≤ −4
x ≤ 2 e x ≤ −4
Portanto, para essa opção temos .
Logo, o conjunto solução para a inequação é 
 ou .
Observação: Note que realizamos primeiramente a interseção entre os intervalos de
uma mesma condição para posteriormente unir os resultados.
Inequação-Quociente
Observe que as seguintes inequações apresentam um quociente de polinômios de 1º
grau:
x ≤ −4
x2 + 2x − 8 ≥ 0
S = {x ∈ R|x ≥ 2 ou x ≤ −4} S = (−∞, −4] ∪ [2, ∞)
(≤ 0 ou  ≥ 0)
73
A maneira para resolvermos esse tipo de inequação é semelhante ao visto nas
inequações-produto. Isto é, analisamos os sinais das equações polinomiais de 1º grau
envolvidos e depois analisamos o sinal do produto ou quociente lembrando as regras
de sinais para números reais.
Exemplo: Determine os valores de tal que .
Primeiramente, observamos que deve ser verdadeiro para que a expressão
faça sentido.
Temos duas opções para o termo :
1. Se , segue que .
2. Se , segue que .
Para (i), temos , ou ainda,
isto é, .
Observe que as raízes da equação são: e , e a inequação é satisfeita
para e .
Analisando os intervalos, temos
> 0, x − 1 ≠ 0
≥ 0, 3x − 2 ≠ 0
< 0, x + 4 ≠ 0
≤ 0, x + 2 ≠ 0
x+1
x−1
x+1
3x−2
2x−1
x+4
2x−3
x+2
x ∈ R x + 1 > 2
x+2
x ≠ 2
x + 2
x + 2 > 0 (x + 1) ⋅ (x + 2) > 2
x + 2 < 0 (x + 1) ⋅ (x + 2) < 2
x
2 + 3x + 2 − 2 > 0
x
2 + 3x > 0
x ⋅ (x + 3) > 0
x = 0 x = −3
x > −3 x > 0
x > −3
x > 0
74
x > −3 e x > 0
E mais, a condição do item (i), de que , implica que a solução
para o item (i) é   ou .
Para o item (ii) segue da mesma forma que .
E a inequação, nesse caso, é satisfeita para .
Porém, a condição do item (ii) indica que devemos ter .
Assim, temos que a solução para esse item é .
Logo, a solução da inequação dada é a união entre as duas soluções:
.  
Observação: Para o caso de uma inequação produto ou inequação quociente na qual
o resultado desejado é , devemos recordar que o produto entre dois termos
para ser negativo, os sinais dos termos devem ser opostos. Isto é, é necessário
analisar os casos que um termo é positivo e o outro termo é negativo, e vice-versa
para depois realizar a união dos resultados.
x + 2 > 0 ⇒ x > −2
x > 0 (0, ∞)
x ⋅ (x + 3) < 0
−3 < x < 0
x < −2
−3 < x < −2 ou  (−3, 2)
(−3, 2) ∪ (0, ∞)
< ou ≤
75
09
Frações e Equações 
Algébricas
Expressões Algébricas em
Forma de Fração
Vamos analisar um caso específico de expressões que é quando as frações
estão envolvidas. Mas não é qualquer tipo de fração. Veja os exemplos a
seguir.
Exemplo: , , , .
Perceba que em todos os casos temos números conhecidos, variáveis cujo
valor não conhecemos (uma ou mais variáveis), e operações aritméticas. O
que também é comum, é que todos os casos apresentam variáveis no
denominador das frações. Por isso, essas expressões recebem o nome de
frações algébricas.
Algo muito importante que deve ser destacado é: nunca podemos ter o valor
zero no denominador de uma fração. Como temos variáveis nos
denominadores de nossas frações, precisamos estar atentos aos valores que
essas variáveis podem assumir. Por exemplo, nafração algébrica , sabemos
diretamente que , pois é o único elemento do denominador e,
portanto, deve ser diferente de zero. Vejamos outros exemplos.
Exemplo:
i. . 
Nesse caso, temos que a expressão no denominador é .
Precisamos encontrar qual a restrição que deve acontecer:
Logo, a restrição é que deve ser diferente de .
1
x
a−b
b−2
x
x2−2⋅x⋅y+y2
a⋅x
2⋅b⋅y
1
x
x ≠ 0 x
x
x−1
x − 1
x − 1 ≠ 0+ (1)
x − 1 + (1) ≠ 0 + (1)
x ≠ 1
x 1
77
ii. . 
Aqui, temos que a expressão no denominador é . Isto é,
possuímos duas variáveis distintas. Isso implica que a restrição de uma
das variáveis está ligada à restrição da outra. Novamente, sabemos que
o denominador deve ser diferente de zero.
Assim, temos:
Logo, temos que a restrição é .
Por exemplo, se , temos que não pode assumir o valor .
iii. . 
Nesse exemplo, temos que a expressão no denominador é , a
qual é uma expressão do segundo grau. Podemos reescrever essa
expressão, utilizando produto notável, como 
.
Assim, a restrição de nosso denominador deve ser
Ou seja, temos duas restrições para nossa variável: não pode ser e
não pode ser .
n
m−3n
m − 3n
m − 3n ≠ 0+ (3n)
m − 3n + (3n) ≠ 0 + (3n)
m ≠ 3n
m ≠ 3n
n = 1 m 3
y
x2−1
x2 − 1
x2 − 1 = (x − 1) (x + 1)
(x − 1) ⋅ (x + 1) ≠ 0
⇒ (x − 1) ≠ 0 e  (x + 1) ≠ 0
⇒ x ≠ 1 e x ≠ −1
x 1
−1
78
Simplificação de Frações Algébricas
Quando queremos realizar a simplificação de uma fração, dividimos tanto o
numerador quanto o denominador pelo mesmo número diferente de zero, e
isso equivale a “cancelar” os fatores em comum, obtendo uma fração mais
simples, por exemplo.
                 
Com o mesmo procedimento em mente, podemos realizar simplificações de
frações algébricas quando há algum fator em comum, não nulo, no
numerador e no denominador.
Exemplo:
i. 
ii. . Note que o numerador é uma diferença entre dois quadrados,
então podemos reescrever como .
Assim, temos 
iii. . Temos que é um fator comum das parcelas do numerador,
portanto, podemos colocá-lo em evidência e simplificar:
= =
15
20
3⋅ /5
2 ⋅ 2⋅ /5
3
4
= =
42
252
/2⋅ /3⋅ /7
2/2 ⋅ 3/2⋅ /7
1
6
= =
4⋅x⋅y2
6⋅x2⋅y
/2⋅2⋅x/⋅y/⋅y
/2⋅3⋅x/⋅x⋅y/
2⋅y
3⋅x
x2−y2
x+y
x2 − y2 = (x + y) ⋅ (x − y)
= x − y
(x+y)⋅(x−y)
x+y
8b−4b2
2b
4b
=
=
= 4 − 2b
8b−4b2
2b
2/4b/(2−b)
/2b/
2(2−b)
1
79
Adição e Subtração de Frações Algébricas
As operações de adição e subtração com frações algébricas são realizadas da
mesma maneira que adicionamos ou subtraímos números na forma
fracionária.
Obtemos frações equivalentes e de mesmo denominador;
O denominador comum poderá ser o produto ou o mmc dos
denominadores.
Exemplo:
i. . Vamos realizar essa operação usando o produto dos
denominadores.
ii. . Vamos realizar essa operação utilizando o mmc.
+ −1
2x
3
4y
2
3
+ − =
=
=
1
2x
3
4y
2
3
12⋅y+18x−16⋅x⋅y
24⋅x⋅y
/2⋅(6⋅y+9⋅x+8⋅x⋅y)
/2⋅12⋅x⋅y
6⋅y+9⋅x+8⋅x⋅y
12⋅x⋅y
+1x−y
x
x2−y2
+ =
=
=
1
x−y
x
x2−y2
(x+y)+x
(x−y)⋅(x+y)
2x+y
(x−y)⋅(x+y)
2x+y
x2−y2
80
Multiplicação de Frações Algébricas
A operação de multiplicação envolvendo frações algébricas ocorre da mesma
maneira que multiplicamos números em forma de fração. Vejamos alguns
exemplos.
Exemplo:
i. 
ii. 
OBSERVAÇÃO: É necessário sempre estar atento às restrições:
Para o exemplo i), temos que .
Para o exemplo ii), temos que 
Além disso, .
Note que , ou seja, os denominadores, e 
 possuem um termo em comum, isso quer dizer que 
. Isto é, quando
queremos calcular o mmc entre duas expressões algébricas e ambas
possuem um termo em comum, não é necessário realizar o produto entre
elas.
x2 − y2 = (x − y) ⋅ (x + y) x − y
(x − y) ⋅ (x + y)
mmc (x − y, (x − y) (x + y)) = (x − y) ⋅ (x + y)
⋅ = =3x
4y
8⋅y2
7⋅x3
3⋅x/⋅2/8⋅y/⋅y
/4⋅y/⋅7⋅x/⋅x⋅x
6⋅y
7⋅x2
⋅ = ⋅ = =
6⋅x⋅y
x2−y2
x+y
2⋅x
6⋅x⋅y
(x+y)⋅(x−y)
x+y
2⋅x
3/6⋅x/⋅y⋅(x+y)
(x+y)⋅(x−y)⋅/2⋅x/
3y
x−y
x, y ≠ 0
x2 − y2 ≠ 0 ⇒ x2 ≠ y2
⇒ √x2 ≠ √y2
⇒ |x| ≠ |y|
x ≠ 0
81
Divisão de Frações Algébricas
Da mesma maneira que ocorre com as outras operações, a divisão de frações
algébricas também ocorre de modo similar: multiplicando a primeira fração
pelo inverso da segunda fração.
Exemplo:
i. 
ii. 
OBSERVAÇÃO: Lembrando que .
: = ⋅ =
4xy
z2
4x
5z
/4x/y
z2
5z/
/4x/
y5
z
: = ⋅ = =x
2−4
x+2⋅x⋅y
x2+2x
2⋅y+1
x2−4
x+2⋅x⋅y
2⋅y+1
x2+2x
(x−2)(x+2)⋅(2⋅y+1)
x(1+2⋅y)⋅x(x+2)
x−2
x2
: =
4xy
z2
4x
5z
4xy
z2
4x
5z
Equações Fracionárias
Denominamos equação fracionária toda fração que possui ao menos uma
variável no denominador.
i. 
ii. 
Resolução de Equações Fracionárias
i. 
= 445
3x
= 0
23(x−3)
4x
+ = , x ∈ R∗3
4
2
x
1
3
82
+ =  Reduzimos ao mesmo denominador
⇒ + =  Realizamos a soma do lado esquerdo
⇒ =  Eliminamos o denominador
⇒ 9x + 24 = 4x
⇒ 9x − 4x = −24
⇒ 5x = −24
⇒ x =
3
4
2
x
1
3
9x
12x
24
12x
4x
12x
9x+24
12x
4x
12x
−24
5
Sistemas com Equações
Fracionárias
Neste tópico iremos apresentar um caso particular dos sistemas de equações
que vimos em aulas anteriores. Aqui, as equações que aparecem no sistema
são equações fracionárias, isto é, possuem pelo menos uma variável no
denominador. Vejamos, por meio de exemplos, como devemos solucionar
um sistema de equações fracionárias.
83
Exemplo:
i. .
O primeiro passo é impor as restrições: para a primeira equação temos 
 e para a segunda equação temos .
Isto é, para o nosso sistema, as restrições são .
Agora, é necessário reescrever o sistema, de forma que as equações estejam
na forma .
Isto é, devemos reduzir o denominador a um termo comum e realizar a
simplificação:
Agora, resolvemos o sistema resultante: .
⎧
⎨⎩
+ 3 =
+ =
2x
y
21
5
1
x
2
y−1
5
6x
y ≠ 0 x ≠ 0, y ≠ 1
x ≠ 0, y ≠ 0, y ≠ 1
ax + by = c
+ =
⇒ + =
⇒ 10x + 15y = 21y
⇒ 10x + 15y − 21y = 0
⇒ 10x − 6y = 0
2x
y
3
1
21
5
10x
5y
15y
5y
21y
5y
+ =
⇒ + =
⇒ 6 (y − 1) + 12x = 5 (y − 1)
⇒ 6y − 6 + 12x = 5y − 5
⇒ 12x + 6y − 5y = −5 + 6
⇒ 12x + y = 1
1
x
2
y−1
5
6x
1⋅6(y−1)
6x(y−1)
2⋅6x
6x(y−1)
5⋅(y−1)
6x(y−1)
{ 10x − 6y = 0
12x + y = 1
84
Precisamos, então, verificar as restrições. Assim, como e 
, a solução do sistema é o par ordenado . 
i. , sabendo que .
Note que as restrições são e . Assim, vamos reduzir a equação
que possui uma fração algébrica a um denominador comum.
Isso resulta, então, no sistema dado por .
{
10x − 6y = 0
12x + y = 1 (⋅6)
⇒
{
10x − 6y = 0
72x + 6y = 6
––––––––––––––
82x = 6
⇒ x =
⇒ x =
6
82
3
41
10x − 6y = 0
⇒ 10 ⋅ − 6y = 0
⇒ = 6y
⇒ y =
⇒ y =
3
41
30
41
30
246
5
41
≠ 0, ≠ 03
41
5
41
≠ 15
41
( , )3
41
5
41
{
x + y = 60
+ =5
x
9
y
8
15
x ⋅ y = 675
x ≠ 0 y ≠ 0
+ =
⇒ + =
⇒ 75y + 135x = 8 xy
xy=675
⇒ 135x + 75y = 8 ⋅ 675
⇒ 135x + 75y = 5400 (÷15)
⇒ 9x + 5y = 360
5
x
9
y
8
15
75y
15xy
135x
15xy
8xy
15xy
{x + y = 60
9x + 5y = 360
85
Vamos resolvê-lo pelo método da substituição:
x + y = 60
⇒ y = 60 − x
9x + 5y = 360
⇒ 9x + 5 (60 − x) = 360
⇒ 9x + 300 − 5x = 360
⇒ 4x = 60
⇒ x = 15
y = 60 − x
⇒ y = 60 − 15
⇒ y = 45
86
10
Trigonometria
Figura 1 – A partir da divisão de um retângulo obtemos dois triângulos | Fonte: o
autor.
Triângulo Retângulo e o
Teorema de Pitágoras
Antes de iniciarmos o estudo da trigonometria propriamente dita, vamos estudar um
pouco sobre o triângulo retângulo.
Triângulo Retângulo
Ao dividirmos um retângulo por uma das diagonais, obtemos dois triângulos
semelhantes, como podemos observar a seguir:
Por ser exatamente a metade de um retângulo, podemos verificar que o maior ângulo
de cada um dos triângulos é de 90º graus. O lado oposto ao ângulo reto (ângulo de
90º) do triângulo retângulo, neste caso, o que era diagonal, é o lado de maior medida
e é chamado de hipotenusa. Os lados adjacentes ao ângulo reto, que eram os lados do
retângulo, são chamados de catetos.
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Teorema de Pitágoras
A partir da medida de dois lados de um triângulo retângulo, podemos determinar a
medida do terceiro lado, por meio do Teorema de Pitágoras.
Sendo,
: hipotenusa,
: cateto , e
: cateto