Introdução à Física e Resolução de Problemas

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Notas de Aula de F́ısica 2
Dáfni Fernanda Zenedin Marchioro
Setembro de 2014
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O que é F́ısica?∗
Como todas as outras ciências, a f́ısica é baseada em observações experimentais e
medidas quantitativas. O principal objetivo da f́ısica é encontrar o número limitado de
leis fundamentais que governam os fenômenos naturais, e usá-las para desenvolver teorias
que podem prever os resultados de experimentos futuros. As leis fundamentais usadas
nas teorias desenvolvidas são expressas na linguagem da matemática, a ferramenta que
fornece a ponte entre teoria e experimento.
Quando uma discrepância entre teoria e experimento surge, novas teorias devem ser
formuladas para remover a discrepância. Muitas vezes uma teoria é satisfatória apenas
sob certas condições limitadas; uma teoria mais geral deve ser satisfatória sem tais li-
mitações. Por exemplo, as leis de movimento descobertas por Isaac Newton (1642 - 1727)
no século 17 descrevem acuradamente o movimento de corpos a velocidades normais, mas
não se aplicam a objetos se movendo a velocidades comparáveis com a velocidade da luz.
Em contraste, a teoria especial da relatividade desenvolvida por Albert Einstein (1879
- 1955) no ińıcio dos anos 1900 fornece os mesmos resultados que as leis de Newton a
baixas velocidades, mas também descreve corretamente movimento a velocidades que se
aproximam da velocidade da luz. Assim, a teoria de Einstein é uma teoria mais geral do
movimento.
F́ısica Clássica, o que significa toda a f́ısica desenvolvida antes de 1900, inclui as teorias,
conceitos, leis e experimentos em mecânica clássica, termodinâmica e eletromagnetismo.
Contribuições importantes à f́ısica clássica foram fornecidas por Newton, que desen-
volveu a mecânica clássica como uma teoria sistemática e foi um dos pioneiros no uso
do cálculo como uma ferramenta matemática. Grandes desenvolvimentos em mecânica
∗tradução das primeiras páginas do livro Fundamentals of Physics, autor Halliday.
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ii
continuaram no século 18, mas os campos da termodinâmica e eletricidade e magnetismo
não foram desenvolvidos até a parte final do século 19, principalmente porque antes deste
tempo, o aparato para experimentos controlados era ou muito cru ou indispońıvel.
Uma nova era na f́ısica, geralmente chamada de f́ısica moderna, começou perto do
final do século 19. A f́ısica moderna se desenvolveu principalmente pela descoberta de
que muitos fenômenos f́ısicos não poderiam ser explicados pela f́ısica clássica. Os dois
mais importantes desenvolvimentos em f́ısica moderna são as teorias da relatividade e
da mecânica quântica. A teoria da relatividade de Einstein revolucionou os tradicio-
nais conceitos de espaço, tempo e energia; a mecânica quântica, que se aplica ao mundo
macroscópico e microscópico, foi originalmente formulada por um número de distintos
cientistas para fornecer descrições de fenômenos f́ısicos a ńıvel atômico.
Cientistas constantemente trabalham na melhora de nosso entendimento dos fenômenos
e leis fundamentais, e novas descobertas são feitas todos os dias. Em muitas áreas de pes-
quisa, uma grande quantidade de superposição existe entre f́ısica, qúımica, geologia e
biologia, assim como com a engenharia. Alguns dos mais notáveis desenvolvimentos são
(1) várias missões espaciais e a aterrissagem de astronautas na Lua, (2) microcircuitos e
computadores de alta velocidade, e (3) técnicas sofisticadas de imagem usadas em pes-
quisa cient́ıfica e medicina. O impacto que tais desenvolvimentos e descobertas tem tido
em nossa sociedade tem sido de fato grande, e é muito provável que descobertas e de-
senvolvimentos futuros serão também tão excitantes e desafiadores e de grande benef́ıcio
para a humanidade.
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Passos para resolver problemas †
Além do que você poderia esperar aprender sobre conceitos de f́ısica, uma habilidade
muito valiosa que você deve esperar adquirir no seu curso de f́ısica é a capacidade de
resolver problemas complicados. A forma como os f́ısicos abordam situações complexas e
as quebram em partes gerenciáveis é extremamente útil.
Reúna a informação
A primeira coisa a fazer ao abordar um problema é entender a situação. Leia cuida-
dosamente o enunciado do problema, procurando por frases-chave como “em repouso” ou
“cai livremente”. Que informação é dada? Qual é exatamente a questão pedida? Não
esqueça de juntar informação de suas próprias experiências e senso comum. Como uma
resposta razoável deveria se parecer? Você não esperaria calcular a velocidade de um
automóvel como sendo 5 × 106 m/s. Você sabe que unidades esperar? Há casos limites
que você pode considerar? O que acontece quando um ângulo se aproxima de 0o ou 90o
ou quando uma massa se torna grande ou tende a zero? Certifique-se também de estudar
cuidadosamente quaisquer desenhos que acompanham o problema.
Organize sua abordagem
Uma vez que você tenha realmente uma boa ideia do que se trata o problema, você pre-
cisa pensar no que fazer a seguir. Você já tinha visto este tipo de questão anteriormente?
Ser capaz de classificar um problema pode tornar muito mais fácil estabelecer um plano
para resolvê-lo. Quase sempre você deve fazer um desenho rápido da situação. Classifique
†tradução da página 47 do livro Fundamentals of Physics, autor Halliday.
iii
iv
eventos importantes com letras circuladas. Indique quaisquer valores conhecidos, talvez
numa tabela ou diretamente no esboço do desenho.
Analise o problema
Porque você já caracterizou o problema, não deveria ser muito dif́ıcil selecionar equações
relevantes que se aplicam a este tipo de situação. Use álgebra (e cálculo, se necessário)
para resolver para a variável desconhecida em termos do que é dado. Substitua os números
apropriados, calcule o resultado, e arredonde-o para o número apropriado de algarismos
significativos.
Aprenda a partir de seus esforços
Esta é a parte mais importante. Examine sua resposta numérica. Ela corresponde às
suas expectativas do primeiro passo? E quanto à forma algébrica do resultado - antes de
você substituir os valores numéricos? Faz sentido? (Tente olhar para as variáveis nela
para ver se a resposta mudaria de forma relevante fisicamente se elas fossem drasticamente
aumentadas ou diminúıdas ou ainda se tornassem zero). Pense em como este problema
se compara com outros que você tenha feito. Como foi similar? De que maneira cŕıtica
eles diferem? Por que este problema foi proposto? Você deve ter aprendido alguma coisa
ao fazê-lo. Você consegue entender o quê?
Quando for resolver problemas complexos, você pode precisar identificar uma série
de sub-problemas e aplicar os passos acima a cada um. Para problemas muito simples,
provavelmente você não precisará dos passos acima. Mas quando você olhar para um
problema e não souber o que fazer a seguir, lembre-se dos passos acima e use-os como
guia.
iv
Conteúdo
1 Movimento Oscilatório 1
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Revisão rápida de trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Movimento Harmônico Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.1 Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 Aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.3 Condições iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Energia do oscilador harmônico simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 O pêndulo simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6 Movimento circular uniforme e MHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7 Oscilações amortecidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8 Oscilações forçadas . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.9 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.9.1 Nı́vel “coloque na fórmula” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.9.2 Nı́vel “pense, então coloque na fórmula” . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.9.3 Elaboradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Ondas: parte 1 30
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.1 Tipos de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.2 Caracteŕısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
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ii Conteúdo
2.2 Ondas progressivas em uma dimensão: propagação . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.1 Função de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.2 Trem de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.3 Velocidade de ondas em cordas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.4 Reflexão e transmissão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3 Energia e potência de uma onda progressiva numa corda . . . . . . . . . . 47
2.4 Superposição de ondas mecânicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4.1 Ondas estacionárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4.2 Ondas estacionárias numa corda fixa em ambas as extremidades . . 60
2.5 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.5.1 Nı́vel “coloque na fórmula” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.5.2 Nı́vel “pense, então coloque na fórmula” . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.5.3 Elaboradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3 Ondas: parte 2 65
3.1 Ondas em duas e três dimensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2 Ondas sonoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2.1 Intensidade de ondas sonoras e ńıvel sonoro . . . . . . . . . . . . . 69
3.2.2 Efeito Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2.3 Ondas estacionárias em colunas de ar . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2.4 Propriedades musicais e quantidades f́ısicas . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3.1 Nı́vel “coloque na fórmula” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3.2 Nı́vel “pense, então coloque na fórmula” . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3.3 Elaboradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4 Gravitação 83
4.1 As três leis de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
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Conteúdo iii
4.2 Lei da Gravitação Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2.1 Aceleração de queda livre e a força gravitacional . . . . . . . . . . . 85
4.3 Campo gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.4 Energia Potencial Gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.5 Considerações de energia no movimento planetário e de satélite . . . . . . . 91
4.5.1 Revendo a Terceira Lei de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.5.2 Velocidade de escape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.6 Força gravitacional entre um objeto extenso e uma part́ıcula . . . . . . . . 96
4.6.1 Força gravitacional entre uma part́ıcula e uma massa esférica . . . . 98
4.7 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5 Mecânica dos Fluidos 103
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.2 Pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.2.1 Variação da pressão com a profundidade e lei de Pascal . . . . . . . 105
5.2.2 Medição de pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.3 Força de Empuxo e Prinćıpio de Arquimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.4 Dinâmica de fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.4.1 Definições que caracterizam um fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.4.2 Modelo de fluido ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.4.3 Linhas de fluxo e a equação da continuidade . . . . . . . . . . . . . 116
5.4.4 Equação de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.5 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6 Termodinâmica - Parte 1 125
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.2 Equiĺıbrio térmico e Lei Zero da Termodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.2.1 Aplicação da Lei Zero da Termodinâmica: termômetros . . . . . . . 128
iii
iv Conteúdo
6.2.2 Escalas de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.2.3 Expansão térmica de sólidos e ĺıquidos . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.3 Calor, capacidade térmica e calor espećıfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.3.1 Calor e energia interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.3.2 Capacidade térmica, calor espećıfico e calor latente . . . . . . . . . 137
6.3.3 Transferência de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.4 Primeira Lei da Termodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.4.1 Trabalho e Calor em Processos Termodinâmicos . . . . . . . . . . . 143
6.4.2 A Primeira Lei da Termodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.4.3 Aplicações da Primeira Lei da Termodinâmica . . . . . . . . . . . . 148
6.5 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
iv
Caṕıtulo 1
Movimento Oscilatório
1.1 Introdução
O movimento oscilatório é descrito em termos de modelos matemáticos de funções trigo-
nométricas, justamente por sua caracteŕıstica periódica. Podemos encontrar movimento
oscilatório nos seguintes fenômenos e situações f́ısicas:
• Movimento de um pêndulo;
• Ondas eletromagnéticas (luz, por exemplo);
• Moléculas num sólido;
• Música (vibrações dos instrumentos de corda e sopro);
• Teoria de cordas.
1.2 Revisão rápida de trigonometria
Ćırculo trigonométrico - ver figura 1.1. Para transformar de radianos para graus e
vice-versa, usamos o fato de que
π rad ≡ 180o (1.1)
1
2 1.2. Revisão rápida de trigonometria
Figura 1.1: Ćırculo trigonométrico.
e usamos uma regra de três, como abaixo:
π rad → 180o
π
3
→ x graus (1.2)
Figura 1.2: Gráfico da função seno.
Função seno - ver figura 1.2. A função seno é periódica, ou seja, a cada 2π, seu gráfico
se repete. Por esta razão,
2
1.3. Movimento Harmônico Simples 3
sen (θ + 2π) = sen θ (1.3)
Figura 1.3: Gráfico da função cosseno.
Função cosseno - ver figura 1.3. A função cosseno também é periódica, e portanto,
cos (θ + 2π) = cos θ (1.4)
1.3 Movimento Harmônico Simples
Ver figura 1.4. Na disciplina de F́ısica 1, vocês viram que a força responsável por restaurar
a posição da massa m à posição de equiĺıbrio é
F = −kx (1.5)
Esta força é chamada de força restauradora da mola ou lei de Hooke. Esta equação é
válida para pequenos deslocamentos x da massa m em torno da posição de equiĺıbrio, de
tal forma que a mola não é deformada e k (constante da mola) é de fato uma constante.
Também podemos escrever (1.5) como
3
4 1.3. Movimento Harmônico Simples
Figura 1.4: Movimento Harmônico Simples no sistema bloco-mola.
ma = −kx (segunda lei de Newton)
m
d2x
dt2
= −kx
d2x
dt2
= − k
m
x (1.6)
Queremos saber como é a função posição x = x(t) de tal forma que a equação (1.6)
seja satisfeita. Primeiro vamos considerar uma equação mais simples:
d2x(t)
dt2
= −x(t) (1.7)
Como deveria ser a função x(t) para quea equação (1.7) seja satisfeita? Precisamos
escolher uma função do tempo tal que, se derivada duas vezes, resulte na mesma função
com sinal negativo.
Primeiro chute:
4
1.3. Movimento Harmônico Simples 5
x = x(t) = cos t (1.8)
Derivando a função (1.8) duas vezes em relação a t, temos
d2(cos t)
dt2
=
d
dt
(−sen t) = − cos t = −x(t) = d
2x(t)
dt2
(1.9)
que é a equação (1.7). No entanto, a função
x(t) = A cos t , A = constante (1.10)
também satisfaz (1.7), pois
d2(A cos t)
dt2
= A
d2(cos t)
dt2
= A
d
dt
(−sen t) = −A cos t = −x(t) = d
2x(t)
dt2
(1.11)
e é mais geral que 1.8). No entanto, queremos resolver a equação (1.6), e a equação (1.10)
não a satisfaz:
d2x
dt2
= − k
m
x
−A cos t = − k
m
x
−x = − k
m
x → ERRADO! (1.12)
A função que satisfaz (1.6) é a função
x(t) = A cos(ωt) , A = constante , ω = constante (1.13)
pois
d2(A cosωt)
dt2
= A
d2(cosωt)
dt2
= A
d
dt
(−ωsen ωt) = Aω d
dt
(−sen ωt)
= −Aω2 cosωt = −ω2x(t) = d
2x(t)
dt2
, com ω2 =
k
m
(1.14)
5
6 1.3. Movimento Harmônico Simples
No entanto, a função mais geral que satisfaz (1.6) é (verifique em casa!)
x(t) = A cos(ωt+ φ) , A = constante , ω = constante , φ = constante (1.15)
sendo que ω2 = k/m, como no caso da equação (1.14).
A equação (1.15) descreve o deslocamento sofrido pelo corpo de massa m preso à mola
de constante de mola k quando o mesmo recebe um impulso inicial externo e sai de sua
posição de equiĺıbrio. Podeŕıamos chegar a esta mesma conclusão olhando para o gráfico
x× t do experimento feito no laboratório, que tem a forma de uma senóide.
Agora, o que são as quantidades A, ω e φ?
• A → amplitude → máximo deslocamento da part́ıcula, tanto no sentido positivo
como negativo.
Como entender isso? Bom, olhando para a função cosseno, sabemos que o maior
e o menor valor dela é ±1. Então, para a função x = cos t, a amplitude A é um
(compare com a equação (1.10)). Agora, para a função x = 2 cos t, se eu quiser
saber seu maior valor, preciso pegar o maior valor do cosseno, que é +1, e portanto
A = 2. E para o menor valor do cosseno, ou seja, −1, então A = −2.
• ω → é dado pela equação
ω =
√
k
m
(1.16)
é a frequência angular do movimento. Tem unidade de radianos/segundo.
• φ → é chamada de fase constante ou ângulo de fase. Determinado pelas condições
iniciais do problema, como veremos a seguir.
A função (1.15), sendo uma “função” cosseno, é periódica: ela se repete, ou melhor,
volta à posição inicial, passado um tempo T , que chamamos de peŕıodo. O peŕıodo é o
6
1.3. Movimento Harmônico Simples 7
tempo que demora para fazer uma oscilação. Equivale a dizer que o argumento ωt + φ
aumenta de 2π quando completa uma oscilação completa, ou seja,
ω(t+ T ) + φ = ωt+ φ+ 2π
ωt+ ωT + φ = ωt+ φ+ 2π
ωT = 2π
T =
2π
ω
(1.17)
O inverso do peŕıodo é o que chamamos de frequência, que representa o número de
oscilações da part́ıcula por unidade de tempo:
f =
1
T
=
ω
2π
(1.18)
sua unidade é s−1 = Hz (Hertz). A quantidade ωt+ φ é chamada de fase do movimento.
1.3.1 Velocidade
Sabemos da disciplina de F́ısica 1 que
v ≡ dx(t)
dt
(1.19)
Portanto, usando a equação acima e a função x(t) que descreve o movimento harmônico
simples (equação (1.15), temos
v(t) =
d
dt
(A cos(ωt+ φ)) = −Aωsen (ωt+ φ) (1.20)
Qual é o valor máximo da velocidade? Será quando ωt+φ for tal que o seno é ±1, ou
seja,
vmax = ±Aω (1.21)
7
8 1.3. Movimento Harmônico Simples
1.3.2 Aceleração
Da F́ısica 1, a aceleração é
a ≡ d
2x(t)
dt2
(1.22)
e da mesma forma que fizemos na seção anterior, temos que a aceleração para o movimento
harmônico simples é
a(t) =
d2
dt2
(A cos(ωt+ φ)) =
d
dt
(−Aωsen (ωt+ φ)) = −Aω2 cos(ωt+ φ) (1.23)
e a aceleração máxima é
amax = ±Aω2 (1.24)
Um caso especial: φ = 0
Figura 1.5: Movimento Harmônico Simples para φ = 0.
Digamos que, em t = 0, a massa m está na posição x = A. Sabemos que a solução
do movimento harmônico simples, para qualquer t, é dada pela equação (1.15). Portanto,
temos, para t = 0,
8
1.3. Movimento Harmônico Simples 9
x(0) = A = A cos(ω · 0 + φ)
A = A cosφ (1.25)
Para satisfazer a equação acima, cosφ = +1, e o menor ângulo com este valor para o
cosseno é φ = 0. Assim, a solução neste caso é somente
x(t) = A cosωt (1.26)
e a velocidade e aceleração são
v = −Aωsen ωt
a = −Aω2 cosωt (1.27)
Em t = 0, a velocidade será v = 0 pois sen 0 = 0. A velocidade será máxima quando
sen ωt = ±1, ou seja, quando ωt = π/2, 3π/2, 5π/2, . . ., que são os valores para os quais
x(t) = 0. Veja na figura 5 os gráficos de deslocamento e velocidade, sendo xm = A.
Com relação à aceleração, em t = 0 ela é dada por a = −Aω2, ou seja, é máxima
no sentido negativo. Ela será mánima (a = 0) quando cosωt = 0, que é quando ωt =
π/2, 3π/2, 5π/2, . . ., ou seja, nos valores onde a velocidade é máxima. Veja a tabela 1 com
as quantidades posição, velocidade e aceleração para uma oscilação completa.
ωt x v a
0 A 0 −Aω2
π
2
0 −Aω 0
π -A 0 +Aω2
3π
2
0 +Aω 0
2π A 0 −Aω2
Tabela 1.1: MHS para φ = 0.
9
10 1.3. Movimento Harmônico Simples
1.3.3 Condições iniciais
Figura 1.6: Condições iniciais.
Veremos agora que as quantidades A e φ estão relacionadas com as condições iniciais
do problema. Digamos que, em t = 0, a posição é x(0) = xi e a velocidade é v(0) = vi.
Assim, as equações (1.15) e (2.20) em t = 0 são
x(0) = A cos(ω · 0 + φ) → xi = A cosφ (1.28)
v(0) = −Aωsen (ω · 0 + φ) → vi = −Aωsen φ (1.29)
Dividindo (1.29) por (1.28), temos
10
1.3. Movimento Harmônico Simples 11
vi
xi
=
−Aωsen φ
A cosφ
vi
xi
= −ωtg φ
tg φ = − vi
ωxi
φ = arctg
(
− vi
ωxi
)
(1.30)
Ou seja, φ é determinado pelas condições iniciais em t = 0.
Agora, vamos elevar ao quadrado as equações (1.28) e (1.29):
x2i = A
2 cos2 φ (1.31)
v2i = A
2ω2sen2φ (1.32)
e dividiremos v2i por ω
2:
v2i
ω2
=
A2ω2sen2φ
ω2
v2i
ω2
= A2sen2φ (1.33)
Somando termo a termo as equações (1.31) e (1.33), temos
x2i +
v2i
ω2
= A2 cos2 φ+ A2sen2φ
x2i +
v2i
ω2
= A2(cos2 φ+ sen2φ)
A2 = x2i +
v2i
ω2
(pois cos2 φ+ sen2φ = 1)
A =
√
x2i +
v2i
ω2
(1.34)
Ou seja, A também é determinado pelas condições iniciais em t = 0. Veja na figura 6
como ficam os gráficos de x(t), v(t) e a(t) sendo as condições iniciais em t = 0: x(0) = xi
e v(0) = vi.
11
12 1.4. Energia do oscilador harmônico simples
1.4 Energia do oscilador harmônico simples
Figura 1.7: Sistema bloco-mola.
Veja a figura 1.7. Consideramos que não há atrito entre o bloco e o solo, ou seja, não
há forças dissipativas, e a força resultante atuando sobre o bloco é a força restauradora
da mola (equação (1.5)). Como a força restaudarora da mola é uma força conservativa, a
energia mecânica do sistema se conserva, ou seja, é constante.
A energia cinética é dada por
K =
mv2
2
=
m
2
(−Aωsen (ωt+ φ))2 = m
2
A2ω2sen2(ωt+ φ) (1.35)
A energia potencial do sistema é devida à força restauradora da mola - é a energia
potencial elástica, dada por
U =
kx2
2
=
k
2
(A cos(ωt+ φ))2 =
k
2
A2 cos2(ωt+ φ) (1.36)
A energia mecânica é a soma da energia cinética com a potencial. Portanto, usando
as equações (1.35) e (1.36), temos
E = K + U =
m
2
A2ω2sen2(ωt+ φ) +
k
2
A2 cos2(ωt+ φ) (1.37)
Usando o fato que ω2 = k/m na equação acima, temos
12
1.4. Energia do oscilador harmônico simples 13
E =
m
2
A2 × k
m
sen2(ωt+ φ) +
k
2
A2 cos2(ωt+ φ)
E =
kA2
2
[sen2(ωt+ φ) + cos2(ωt+ φ)]
E =
kA2
2
(1.38)
pois sen2(ωt+ φ) + cos2(ωt+ φ) = 1. Portanto, a energia mecânica total de um oscilador
harmônico simples é constante (pois não depende de t) e é proporcional ao quadrado da
amplitude.
Figura 1.8: Energia no MHS.
Note que, pelo fato de K depender de seno e U depender de cosseno, K é grande
quando U é pequeno, e U é grande quando K é pequeno. No entanto, E sempre será
dada pela equação(4.19). Veja na figura 1.8, para o caso em que φ = 0, os gráficos de K
e U em relação a t (figura 1.8a) e em relação à amplitude (figura 1.8b).
13
14 1.4. Energia do oscilador harmônico simples
ωt x v a K U
0 A 0 −Aω2 0 1
2
kA2
π
2
0 −Aω 0 1
2
kA2 0
π -A 0 +Aω2 0 1
2
kA2
3π
2
0 +Aω 0 1
2
kA2 0
2π A 0 −Aω2 0 1
2
kA2
Tabela 1.2: MHS para φ = 0.
Agora, vejamos a tabela 1.2, que é a tabela 1.1 acrescida dos valores para energia em
alguns instantes t, para o caso em que φ = 0. Perceba que, quando x e a são máximos, U
é máximo (pois depende de x), e v e K são mı́nimos. Por outro lado, quando v e K são
máximos (pois K depende de v), as quantidades x, a e U são mı́nimas. No entanto, E é
sempre kA2/2.
Podemos encontrar a velocidade do oscilador numa posição arbitrária x, pois a energia
mecânica se conserva:
E = K + U =
mv2
2
+
kx2
2
=
kA2
2
(1.39)
Isolando v2:
mv2
2
=
kA2
2
− kx
2
2
v2 =
kA2
m
− kx
2
m
v2 =
k
m
(A2 − x2)
v = ±
√
k
m
(A2 − x2) = ±
√
ω2(A2 − x2) = ±ω
√
(A2 − x2) (1.40)
Aplicação: Potencial de Lennard-Jones. Este potencial está relacionado à força que
mantém os átomos juntos, formando as moléculas. Veja figura 1.9. Para pequenos
deslocamentos a partir da posição de equiĺıbrio, a curva da energia potencial pode ser
aproximada por uma parábola, como na figura 1.8b. Sendo assim, podemos descrever o
14
1.5. O pêndulo simples 15
Figura 1.9: Modelo para moléculas.
movimento de átomos em moléculas, considerando-os como aproximação o fato de que
eles são osciladores harmônicos simples.
Outros sistemas que podem usar as ideias do MHS: bungee jumping, sintonia de uma
estação de TV, luz emitida por um laser.
1.5 O pêndulo simples
Vejam figura 1.10. O pêndulo simples exibe comportamento oscilatório. Temos um prumo
de massa m suspenso por uma corda leve de comprimento L. O movimento ocorre no
eixo vertical, e é executado devido à força da gravidade. Vamos mostrar que, se θ < 10o,
o movimento é de um oscilador harmônico simples (OHS).
As forças envolvidas:
•
~T - tensão da corda, que se equilibra com a componente ~Fp = mg cos θ da força da
gravidade.
•
~FT - componente tangente ao movimento da força gravitacional. É responsável pelo
movimento, que sempre é na direção de θ = 0, ou seja, contrária ao deslocamento.
15
16 1.5. O pêndulo simples
Figura 1.10: Pêndulo simples.
Esta é uma força restauradora.
Então, pela segunda lei de Newton, temos
∑
FT = −mg sen θ = m
d2s
dt2
(1.41)
onde s é o deslocamento do prumo medido ao longo do arco e o sinal de menos indica que
a força tangente atua em direção à posição de equiĺıbrio.
Relação arco - ângulo
Figura 1.11: Relação arco-ângulo.
16
1.5. O pêndulo simples 17
Veja figura 1.11. Seja s = AP a medida do segmento de arco definido pelo ângulo α,
e r = OP o raio da circunferência ao qual o arco pertence. Temos que
s = rα (1.42)
relação que vem da regra de três abaixo:
2πr → 2π rad
s → α rad (1.43)
Para o nosso caso, ou seja, a figura 10, temos que
s = Lθ (1.44)
e assim, em (1.41), temos
m
d2(Lθ)
dt2
= −mg sen θ (1.45)
Como na equação acima apenas θ = θ(t), ou seja, θ é uma função do tempo e L é constante
(não muda com o tempo), então
L
d2θ
dt2
= −g sen θ
d2θ
dt2
= − g
L
sen θ (1.46)
Do lado direito da equação acima aparece sen θ, portanto o movimento esperado não é de
um OHS - compare com a equação (1.6). No entanto, se θ é pequeno,
sen θ ≈ θ (1.47)
e então
17
18 1.6. Movimento circular uniforme e MHS
d2θ
dt2
= − g
L
θ , para θ pequeno (1.48)
que é análogo à equação (1.6) e, portanto, representa um movimento harmônico simples
(MHS). Assim, podemos escrever a solução para θ como sendo
θ = θmax cos(ωt+ φ) (1.49)
sendo θmax o máximo deslocamento angular (amplitude) e a velocidade angular dada por
ω =
√
g
L
(1.50)
O peŕıodo do movimento será
T =
2π
ω
= 2π
√
L
g
(1.51)
mostrando-nos que, neste caso, o peŕıodo do movimento depende apenas do comprimento
da corda e da aceleração da gravidade. Como não depende da massa do prumo, conclúımos
então que todos os pêndulos simples que tem comprimentos iguais e estão no mesmo local
(com mesmo ~g) oscilam com o mesmo peŕıodo!
Como aplicação, o pêndulo pode ser usado como um relógio - e de fato é usado assim,
nos relógios antigos.
1.6 Movimento circular uniforme e MHS
Veja figura 1.12. À medida que a placa roda com velocidade angular constante, a sombra
da bola se move para frente e para trás em MHS.
Vamos analisar em detalhes o que está acontecendo. Na figura 1.13a, mostramos uma
part́ıcula localizada no ponto P numa circunferência de raio A. Chamamos o ćırculo de
“ćırculo de referência” para comparar o Movimento Circular Uniforme (MCU) e o MHS,
18
1.6. Movimento circular uniforme e MHS 19
Figura 1.12: Experimento para mostrar relação entre MHS e MCU.
e a posição de P em t=0, quando o segmento OP faz um ângulo φ com o eixo x, é a
“posição de referência”.
Digamos que a part́ıcula se move ao longo do circulo com velocidade angular constante
ω. Na figura 1.13b, para t > 0, a part́ıcula se moveu ao longo do circulo, e o segmento
OP agora forma um ângulo θ com o eixo x. Do MCU, temos que
θ = ωt+ φ (1.52)
À medida que a part́ıcula se move ao longo do circulo, o ponto P projeta uma sombra no
eixo x, representada pelo ponto Q; ele se move para frente e para trás ao longo do eixo
x, entre os limites x = ±A. Como P e Q têm a mesma coordenada x, temos que, pelo
triângulo OPQ da figura 1.13b,
19
20 1.6. Movimento circular uniforme e MHS
Figura 1.13: Ćırculo de referência.
cos θ =
x
A
→ x = A cos θ = A cos(ωt+ φ) (1.53)
Ou seja, Q se move de acordo com um MHS ao longo do eixo x. Assim,
MHS ao longo de uma linha reta pode ser representado pela projeção do
MCU ao longo do diâmetro de um circulo de referência.
20
1.6. Movimento circular uniforme e MHS 21
Note que também podemos fazer estas considerações para a projeção de P ao longo do
eixo y, e concluimos que também esta projeção se movimenta de acordo com um MHS.
Podemos concluir, então, que o MCU é uma combinação de dois MHS (um
ao longo do eixo x e outro ao longo do eixo y), com os dois diferindo por uma
fase de π/2, ou seja, 90o.
A velocidade angular ω de P é a frequência angular ω do MHS ao longo do eixo x, pois
o tempo para uma revolução completa de P no ćırculo de referência é igual ao peŕıodo do
movimento T para o MHS entre x = A e x = −A. O ângulo inicial φ corresponde à fase
constante do MHS e o raio A do MCU corresponde à amplitude do MHS.
Com relação à velocidade, no MCU a relação da velocidade linear e da angular é
v = rω (1.54)
sendo r o raio do circulo do MCU. No nosso caso, v = Aω. Veja a figura 14c). Esta
velocidade é tangente à circunferência, como deveria ser. Sua componente em relação ao
eixo x é
vx = v cos(90
o − θ)
= ωA[cos 90o cos θ + sen 90o sen θ]
= ωA sen θ
= ωA sen (ωt+ φ) (1.55)
mas como a velocidade tem a direção contrária ao movimento,
vx = −ωA sen (ωt+ φ) (1.56)
Da mesma forma, pensando na posição de Q ao longo do eixo x:
vx =
dx
dt
=
d(A cos θ)
dt
=
d(A cos(ωt+ φ))
dt
= −Aωsen (ωt+ φ) (1.57)
21
22 1.7. Oscilações amortecidas
e chegamos à mesma conclusão.
Pode-se fazer a mesma análise para aceleração, olhando para a figura 14d). Fica
como exerćıcio mostrar que a componente x da aceleração linear do MCU
corresponde à aceleração do MHS!
1.7 Oscilações amortecidas
Observamos oscilações amortecidas na presença de uma força dissipativa (ou resistiva,
como atrito e resistência do ar), que cessa o movimento em algum momento. A energia
mecânica do sistema diminui com o tempo e o movimento é chamado de amortecido. Se
considerarmos que a força é proporcional à velocidade do objeto que se move (este é um
modelo posśıvel para força resistiva),
~R = −b~v(1.58)
sendo b o coeficiente de amortecimento, e sabendo que a força restauradora é dada por
~F = −k~x, então
∑
Fx = −kx− bv = max
−kx− bdx
dt
= m
d2x
dt2
(1.59)
que é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, cuja solução, para b pequeno
(força resistiva menor que a força restauradora), é
x = A exp
(
− bt
2m
)
cos(ωt+ φ) (1.60)
sendo
ω =
√
k
m
−
(
b
2m
)2
(1.61)
22
1.7. Oscilações amortecidas 23
que é a frequência angular de oscilação. Agora a amplitude de oscilação é dada por
A exp
(
− bt
2m
)
, ou seja, ela não é constante no tempo, mas diminui exponencialmente à
medida que o tempo passa, como pode ser visto pelo gráfico da figura 1.14. Portanto,
quando a força resistiva é menor que a força restauradora, o caráter oscilatório do movi-
mento é preservado, mas a amplitude diminui com o tempo, até que o movimento cesse
finalmente. Um sistema que se comporta desta forma é chamado de oscilador amortecido.
Figura 1.14: Oscilação amortecida.
Chamando de frequência natural do sistema a quantidade
ωo =
√
k
m
(1.62)
podemos reescrever a equação (1.61) como
ω =
√
ω2o −
(
b
2m
)2
(1.63)
É importante destacar que a frequência natural do sistema é a frequência do MHS na
ausência de forças resistivas atuando no sistema.
Vamos analisar três casos do movimento amortecido:
• 1) Sub-amortecido: o maior valor da magnitude da força resistiva Rmax é menor que
o maior valor da força restauradora, ou seja
23
24 1.7. Oscilações amortecidas
Rmax = bvmax < kA (1.64)
À medida que o valor de R se aproxima de kA, as amplitudes de oscilação decrescem
mais e mais rapidamente.
• 2) Amortecido cŕıtico: quando ω = 0, ou seja,
bc
2m
= ω0 (1.65)
O sistema não oscila: quando o sistema é solto de alguma posição de não equiĺıbrio,
ele retorno ao equiĺıbrio e permanece lá.
• 3) Super amortecido: o maior valor da magnitude da força resistiva Rmax é maior
que o maior valor da força restauradora, ou seja
Rmax = bvmax > kA (1.66)
Aqui também temos que b/2m > ω0. Neste caso, o sistema também não oscila:
quando liberado de uma posição de não equiĺıbrio, ele retorna à posição de equiĺıbrio.
No entanto, à medida que o amortecimento aumenta, o tempo que o sistema leva
para chegar ao equiĺıbrio também aumenta.
Vejam na figura 1.15 o gráfico de x× t, que mostra o comportamento do sistema nos
3 casos acima: a - sub-amortecido, b - amortecido cŕıtico, c - super amortecido. Nos três
casos, a energia mecânica é dissipada, ou seja, não é conservada.
Aplicação: amortecedores.
24
1.8. Oscilações forçadas 25
Figura 1.15: Oscilação amortecida.
1.8 Oscilações forçadas
Resultante da aplicação de uma força externa no sistema, que faz trabalho positivo,
compensando a perda de energia devido ao movimento amortecido. Exemplo: criança
no balanão do parque.
A amplitude do movimento se mantém constante se a energia aplicada por ciclo se
iguala à energia perdida pelo amortecimento. O movimento é chamado de oscilação
forçada.
Vamos pensar num oscilador amortecido impulsionado por uma força externa que varia
periodicamente:
F = Fext cos(ωt) (1.67)
sendo ω a frequência angular da força periódica e Fext é constante. então, da Segunda Lei
de Newton,
∑
F = ma
Fext cos(ωt)− kx− b
dx
dt
= m
d2x
dt2
(1.68)
Após um peŕıodo de tempo suficientemente longo, quando a energia fornecida por ciclo
25
26 1.9. ExerćIcios
se iguala à energia perdida por ciclo, o sistema atinge a condição de estado estacionário,
onde as oscilações seguem com amplitude constante. Neste estágio, a solução de (1.68) é
x = A cos(ωt+ φ) (1.69)
sendo
A =
Fext/m
√
(ω2 − ω2
0
)2 +
(
bω
m
)2
(1.70)
e ω0 dada pela equação (1.62). O movimento do oscilador forçado não é amortecido neste
caso, pois o agente externo contribui com a energia necessária para compensar a energia
perdida devido à força resistiva. O sistema oscila com frequência angular ω, ou seja, a
frequência angular da força externa.
No caso de amortecimento pequeno, a amplitude se torna muito grande quando ω
está perto da frequência natural ω0. Podemos ver isto olhando para a equação (1.70): o
termo
(
bω
m
)2
pode ser desprezado no denominador por ser pequeno em relação ao termo
(ω2 − ω2
0
)2, e como ω → ω0, então ω2 − ω20 → 0, e assim A → ∞.
O aumento drástico da amplitude quando ω → ω0 é chamado de ressonância, e por esta
razão ω0 é também chamada de frequência de ressonância do sistema. Ou seja, podemos
relacionar ressonância → oscilações de amplitudes muito grandes.
Veja a figura 1.16, que é o gráfico da amplitude A em função da frequência ω. A curva
em preto é para amortecimento grande (b grande), a curva em azul para amortecimento
pequeno (b pequeno) e a curva em laranja para amortecimento nulo (b = 0).
1.9 Exerćıcios
1.9.1 Nı́vel “coloque na fórmula”
1. Para o MHS descrito pela equação x = (2, 0) cos(4πt+π), sendo x em metros e t em
segundos, encontre: a) amplitude; b) frequência angular; c) frequência; d) peŕıodo;
26
1.9. ExerćIcios 27
Figura 1.16: Oscilação forçada.
e) fase constante.
2. Para o mesmo MHS do exerćıcio anterior, calcule: a) velocidade em qualquer ins-
tante de tempo; b) aceleração em qualquer instante de tempo; c) velocidade máxima;
d) aceleração máxima; e) velocidade em t = 0; f) posição em t = 0.
3. Ainda no mesmo MHS, calcule: a) energia cinética em t = 0; b) energia potencial
em t = 0; c) energia mecânica em t = 0. Assuma que não há forças dissipativas
atuando no sistema.
4. Para um pêndulo que tem comprimento de 1,0 m, encontre a) seu peŕıodo e b) sua
frequência de oscilação.
1.9.2 Nı́vel “pense, então coloque na fórmula”
1. Um objeto que executa um movimento harmônico simples leva 0,25 s para se deslocar
de um ponto de velocidade nula para o ponto seguinte do mesmo tipo. A distância
entre esses pontos é 36 cm. Calcule a) o peŕıodo, b) a frequência e c) a amplitude
do movimento.
27
28 1.9. ExerćIcios
2. Quando o deslocamento em um MHS é metade da amplitude A, que fração da
energia total é a) energia cinética e b) energia potencial? c) Para que deslocamento,
como fração da amplitude, a energia do sistema é metade energia cinética e metade
energia potencial?
3. O fato de g variar com o local sobre a superf́ıcie da Terra despertou a atenção
quando, em 1672, Jean Richer levou um relógio de pêndulo de Paris para Caiena,
na Guiana Francesa, e constatou um atraso de 2,5 min/dia. Se g = 9, 81 m/s2 em
Paris, calcule seu valor em Caiena.
1.9.3 Elaboradas
1. O gráfico da figura 1.17 mostra a aceleração a(t) de uma part́ıcula que executa um
MHS. a) Qual dos pontos indicados corresponde à part́ıcula na posição −A? b) No
ponto 4, a velocidade da part́ıcula é positiva, negativa ou nula? c) No ponto 5, a
part́ıcula está em −A, em +A, em zero, entre −A e zero ou entre zero e +A?
Figura 1.17: Exerćıcio 1.
2. Na figura 1.18, um sistema massa-mola é colocado em MHS em dois experimentos.
No primeiro, o bloco é puxado até sofrer um deslocamento d1 em relação à posição
de equiĺıbrio e depois liberado. No segundo, é puxado até sofrer um deslocamento
maior d2 e depois liberado. a) A amplitude, b) o peŕıodo, c) a frequência, d) a
energia cinética máxima e e) a energia potencial máxima do movimento no segundo
experimento é maior, menor ou igual à do primeiro experimento?
28
1.9. ExerćIcios 29
Figura 1.18: Exerćıcio 2.
3. Um oscilador é formado por um bloco preso a uma mola (k = 400 N/m). Em um
certo instante t, a posição (medida a partir da posição de equiĺıbrio do sistema), a
velocidade e a aceleração do bloco são x = 0, 100 m, v = −13, 6 m/s e a = −123
m/s2. Calcule a) a frequência de oscilação, b) a massa do bloco e c) a amplitude do
movimento.
29
Caṕıtulo 2
Ondas: parte 1
2.1 IntroduçãoNum sentido amplo, uma onda é qualquer sinal que se transmite de um ponto a outro de
um meio com velocidade definida. Em geral, fala-se de uma onda quando a transmissão
do sinal entre dois pontos distantes ocorre sem que haja transporte direto de matéria de
um desses pontos ao outro.
Figura 2.1: Ondas na superf́ıcie da água.
Exemplo: onda na superf́ıcie da água; veja figura 2.1. O sinal pode ser associado com
uma crista, onde a elevação da água é máxima. A onda transporta energia e momento,
30
2.1. Introdução 31
pois uma onda provocada por uma lancha deslocando-se sobre a superf́ıcie tranquila de
um lago sacode um barco distante ao atingi-lo. No entanto, não há transporte direto de
uma dada massa de água da lancha até o barco. Um pequeno objeto flutuante mostra
como se move a superf́ıcie da água na passagem da onda: para cima e para baixo, para
frente e para trás, mas permanecendo, em média, na mesma posição. É a forma da onda
(no caso, a crista) que se propaga de ponto a outro sobre a superf́ıcie.
Até o momento, trabalhamos nas disciplinas básicas de F́ısica com part́ıculas, e é útil
neste momento mostrar as diferenças entre ondas e part́ıculas na F́ısica Clássica:
• part́ıculas são localizadas no espaço, ou seja, têm posição definida. Já ondas não
estão localizadas numa posição definida do espaço, mas “espalhadas” no espaço.
• duas part́ıculas não podem ocupar o mesmo lugar no espaço, já duas ondas podem
coexistir na mesma localização.
• há fenômenos que são tipicamente ondulatórios, ou melhor, que caracterizam o com-
portamento de ondas: interferência e difração. Part́ıculas não sofrem interferência
nem difração.
No entanto, à luz do que chamamos Mecânica Quântica, estas diferenças não fazem
sentido microscopicamente (ou seja, na escala atômica), pois os objetos quânticos (luz e
elétrons, por exemplo) apresentam comportamentos de part́ıcula ou de onda dependendo
do experimento.
2.1.1 Tipos de ondas
Podemos classificar as ondas de várias maneiras, dependendo da caracteŕıstica que se quer
evidenciar para distingui-las.
1. Meio em que se propagam: de acordo com este critério temos
31
32 2.1. Introdução
(a) ondas mecânicas: precisam de um meio para se propagar. São as ondas que
veremos neste curso. Exemplos: ondas sonoras, ondas na água.
(b) ondas eletromagnéticas: não precisam de um meio para se propagar, ou seja, se
propagam no vácuo também. Todas as ondas eletromagnéticas se propagam no
vácuo com a mesma velocidade, ou seja, c = 299.792.458 m/s. Serão tratadas
na disciplina de F́ısica 3. Exemplos: luz viśıvel, ondas de rádio, sinais de TV,
raio X.
2. Direção de movimento das part́ıculas do meio: de acordo com este critério
temos
(a) ondas longitudinais: veja figura 2.2, que mostra a propagação de regiões de
compressão ao longo de uma mola. Note que a onda se propaga no sentido
horizontal, e as espiras da mola são comprimidas e estendidas também nesta
direção. Uma onda propagante que faz as part́ıculas do meio de propagação
moverem-se paralelamente ao movimento da onda é chamada de onda longi-
tudinal. Exemplo: ondas sonoras.
Figura 2.2: Ondas longitudinais.
(b) ondas transversais: Veja a figura 2.3. A onda se propaga pela corda no sentido
horizontal, mas as part́ıculas da corda são perturbadas na direção perpendicu-
lar ao de propagação da onda. Uma onda propagante que faz as part́ıculas do
meio de propagação moverem-se perpendicularmente ao movimento da onda é
32
2.1. Introdução 33
chamada de onda transversal. Exemplos: ondas numa corda, ondas eletro-
magnéticas.
Figura 2.3: Ondas transversais.
Há ondas que exibem uma combinação de deslocamentos transversos e longitudinais.
Exemplo: ondas na água (figura 2.4), ondas śısmicas.
3. Número de dimensões: de acordo com este critério, temos
(a) ondas unidimensionais: se propagam em uma dimensão, como as ondas na
mola da figura 2.2 ou na corda da figura 2.3.
(b) ondas bidimensionais: se propagam em duas dimensões, como as ondas na
superf́ıcie da água da figura 2.1.
33
34 2.1. Introdução
Figura 2.4: Ondas na água: o movimento não é somente transversal ou longitudinal.
(c) ondas tridimensionais: se propagam em três dimensões, como a luz (onda eler-
tromagnética) e o som (onda sonora).
4. Periodicidade: este critério está relacionado com a forma com a qual as part́ıculas
do meio se movem com o tempo. Na figura 2.3, a corda foi balançada para cima
e para baixo apenas uma vez, enviando assim apenas um pulso de onda. Se conti-
nuarmos a balançá-la para cima e para baixo periodicamente, como na figura 2.5,
produziremos um trem de ondas periódico.
Figura 2.5: Trem de ondas numa corda.
5. Perfil da frente de onda: vamos analisar a situação da figura 2.6, que novamente
mostra a formação de ondas na superf́ıcie da água. Percebemos que, de um ponto
espećıfico (em geral, onde caiu uma pedra ou um graveto, iniciando então a per-
turbação na água), partem ondas circulares. Todos os pontos de uma mesma onda
têm o mesmo estado de movimento, e definem uma superf́ıcie chamada de frente de
onda. As frentes de onda podem ser de diferentes perfis ou formas. Por exemplo,
34
2.1. Introdução 35
a frente de onda relacionada à figura 2.6 tem a forma circular; já a frente de onda
de uma onda plana (figura 2.7), tem a forma de um plano.
Figura 2.6: Frentes de onda circulares na superf́ıcie da água.
Figura 2.7: Uma onda plana: as frentes de onda são na forma de planos.
2.1.2 Caracteŕısticas
Tomando como base a figura 2.8 e pensando no exemplo das ondas na água, temos as
seguintes definições:
• Crista - é o ponto no qual o deslocamento de água a partir do seu ńıvel normal é
maior.
• Vale - é o ponto no qual o deslocamento de água a partir do seu ńıvel normal é
menor.
35
36 2.2. Ondas progressivas em uma dimensão: propagação
Figura 2.8: Caracteŕısticas gerais de uma onda.
• Comprimento de onda (λ) - é a distância de uma crista à próxima crista, ou de um
vale ao próximo vale. Em geral, é a distância mı́nima entre quaisquer dois pontos
idênticos (como as cristas e os vales) de ondas adjacentes.
• Peŕıodo (T) - é a contagem do número de segundos entre as chegadas de duas ondas
adjacentes. Em geral, o peŕıodo é o tempo necessário para dois pontos idênticos
(como as cristas e os vales) de ondas adjacentes passarem por um ponto.
• Frequência (f) - é o inverso do peŕıodo. Em geral, a frequência de uma onda periódica
é o número de cristas (ou vales, ou qualquer outro ponto na onda) que passam por
um dado ponto num intervalo de tempo unitário.
• Amplitude (A) - é o deslocamento máximo de uma part́ıcula do meio por onde a
onda se propaga.
2.2 Ondas progressivas em uma dimensão: propagação
Uma onda progressiva é um pulso de onda com velocidade definida. Veja a figura 2.9,
que mostra várias “fotografias instantâneas” de uma onda progressiva numa corda (meio
de propagação). Note que a forma do pulso permanece praticamente inalterada à medida
36
2.2. Ondas progressivas em uma dimensão: propagação 37
Figura 2.9: Onda progressiva.
que a onda se propaga pela corda.
Para a descrição da onda na figura 2.9, precisamos de uma função que forneça a forma
da onda; é o que veremos a seguir.
2.2.1 Função de onda
Vamos analisar o movimento de uma onda progressiva em uma corda. Para isto, vejamos
as figuras 2.10. O pulso de onda se move ao longo do eixo x, e o deslocamento das
part́ıculas da corda (deslocamento vertical) é medido ao longo do eixo y. As figuras 2.10
retratam dois instantes diferentes de propagação da onda. Na figura 2.10a), temos a forma
do pulso em t = 0; na figura 2.10b), a forma do pulso no instante t.
Concentrando-se primeiramente na figura 2.10a), temos que, em t = 0, a forma do
37
38 2.2. Ondas progressivas em uma dimensão: propagaçãoFigura 2.10: Onda progressiva numa corda. Em a), temos a fotografia instantânea do
pulso em t = 0; em b), num instante posterior t.
pulso, seja lá qual for, é dada pela função y = f(x), ou seja, y (a posição vertical de
qualquer ponto da corda) é alguma função definida de x. O deslocamento y, chamado de
função de onda, é uma função de x e de t, ou seja, y = f(x, t).
Considere agora o ponto P assinalado nas figuras 2.10a) e 2.10b). Na figura 2.10a),
vemos que a coordenada y deste ponto é zero, pois o pulso de onda não chegou até o ponto
P . À medida que o pulso de onda se propaga, passando pelo ponto P (como na figura
2.10b)), a coordenada y deste ponto aumenta, alcança seu valor máximo e então diminui,
voltando a ser zero. Portanto, a função de onda y representa a coordenada y de
qualquer part́ıcula (ou ponto) do meio de propagação em qualquer instante
de tempo t.
Da figura 2.10, temos que a onda tem velocidade de propagação v, e está se propagando
para a direita. Passados t segundos, a onda se propagou para a direita uma distância
x = vt. Se a forma do pulso não muda com o tempo, podemos representar a função de
onda y para todos os instantes de tempo após t = 0. Medido a partir de um referencial
estacionário com origem em O, a função de onda é dada por
38
2.2. Ondas progressivas em uma dimensão: propagação 39
y = f(x− vt) (2.1)
Se o pulso de onda está se propagando para a esquerda, então a função de onda será
y = f(x+ vt) (2.2)
Para qualquer t, a função de onda y como função de x define uma curva representando
a forma do pulso neste instante de tempo. Esta curva é equivalente a uma fotografia
instantânea da onda neste instante de tempo. Para um pulso que se move sem mudar a
forma, a velocidade do pulso é a mesma para qualquer caracteŕıstica da onda; por exemplo,
para a crista ou para o vale. Podemos, então, calcular a velocidade da onda acompanhando
o movimento de uma crista da onda num intervalo de tempo curto, medindo o quanto ela
se moveu na direção x e dividindo, então, pelo intervalo de tempo. Encontraremos que a
velocidade da crista é dada por
v =
dx
dt
(2.3)
que representa, portanto, a velocidade da própria onda.
Ondas propagam-se com velocidade espećıfica, e esta velocidade depende das proprie-
dades do meio sendo perturbado (constataremos este fato nas seções seguintes). Exemplo:
no ar a velocidade das ondas sonoras é de 343 m/s; na maioria dos sólidos, a velocidade
de propagação do som é maior que 343 m/s.
2.2.2 Trem de onda
Vamos considerar agora as ondas produzidas numa corda estendida que é sacudida conti-
nuamente para cima e para baixo por uma fonte que se move verticalmente em Movimento
Harmônico Simples - MHS (veja figura 2.11). Do que vimos no caṕıtulo sobre MHS, a
posição vertical y da extremidade da corda conectada à fonte é dada por
39
40 2.2. Ondas progressivas em uma dimensão: propagação
Figura 2.11: Produção de um trem de ondas numa corda.
y = A cos(ωt) = A cos(2πft) (2.4)
sendo que f é o número de vezes por segundo que o oscilador repete seu ciclo de oscilação,
ou seja, a frequência. A posição y = 0 corresponde à posição de equiĺıbrio do MHS,
e A corresponde ao máximo deslocamento do oscilador a partir da posição y = 0, ou seja,
a amplitude. Escolhemos o momento t = 0 para ser aquele em que y = A (portanto,
φ = 0).
Como a corda esticada se comporta ao ser sacudida pela fonte? Cada sacudida na
corda produz um pulso de onda, e como a fonte está continuamente sacudindo a corda,
ora para cima, ora para baixo, há uma produção de pulsos de onda, cada pulso seguindo
imediatamente o outro. Esta série de pulsos de onda produzidos e que se propagam pela
corda é chamada de trem de ondas. As figuras 2.11a), b), c) e d) mostram fotografias
instantâneas da corda, cada uma em um instante de tempo particular. Percebemos na
figura 2.11b) que a distância entre duas cristas da corda é chamada de λ, que é o que
40
2.2. Ondas progressivas em uma dimensão: propagação 41
chamamos de comprimento de onda; esta é a distância entre dois pontos de mesma
coordenada y 6= 0 da corda, ou seja, de mesma localização correspondente no trem de
ondas.
Figura 2.12: Movimento de um ponto de coordenada x da corda ao longo do tempo.
E se observássemos um ponto espećıfico da corda, com uma dada coordenada x ao
longo de um peŕıodo de tempo? O que veŕıamos? Veja a figura 2.12. Agora, estamos
analisando o movimento de apenas um ponto da corda à medida que o tempo passa. O
gráfico y × t da figura 2.12 é muito parecido com os gráficos y × x da figura 2.11, com
a diferença que agora a distância entre duas cristas é uma medida de tempo, ou seja, é
chamada de peŕıodo (T ), que é o peŕıodo de oscilação da part́ıcula - o tempo que ela
leva para realizar um ciclo completo de deslocamentos y.
É importante notar que as figuras 2.11 são gráficos de y × x com tempo fixo (um
“instantâneo” do movimento do trem de ondas) e o gráfico da figura 2.12 é y × t com o
deslocamento horizontal fixo (x fixo - acompanhamento do movimento de um dos pontos
da corda). O movimento da onda, portanto, varia tanto no tempo como no
espaço - x e t são variáveis. Portanto, a função de onda é uma função de duas variáveis,
x e t.
Neste curso, trabalharemos com as ondas senoidais, que são as ondas cuja função de
onda é dada por uma função seno ou cosseno (a forma da onda parece o gráfico do seno
ou do cosseno, ou de forma mais geral, de uma senóide). A função de onda de um trem
de ondas senoidais é dada por
41
42 2.2. Ondas progressivas em uma dimensão: propagação
y(x, t) = A cos
(
2πx
λ
∓ ωt+ φ1
)
(2.5)
ou
y(x, t) = A sen
(
2πx
λ
∓ ωt+ φ2
)
(2.6)
sendo φ1 e φ2 ângulos de fase, que dependem do valor de y e x quando começamos a
observar o movimento em t = 0. O sinal de menos é usado para ondas que se propagam
no sentido positivo do eixo x, e o sinal de mais para ondas que se propagam no sentido
negativo do eixo x.
Definindo a quantidade
k =
2π
λ
(2.7)
que é chamada de número de onda, podemos reescrever (2.5) e (2.6) como
y(x, t) = A cos(kx∓ ωt+ φ1) (2.8)
e
y(x, t) = A sen(kx∓ ωt+ φ2) (2.9)
No texto, ora usaremos a forma com o cosseno, ora a forma com o seno, de acordo com a
necessidade.
A velocidade da onda é dada por
v = λf (2.10)
42
2.2. Ondas progressivas em uma dimensão: propagação 43
Figura 2.13: Segmento de arco formado pelo pulso que se propaga na corda esticada.
2.2.3 Velocidade de ondas em cordas
Vamos analisar o movimento de um pequeno segmento da corda à medida que a onda
está passando por ela. Na figura 2.13, o segmento tem comprimento ∆s, e estamos
considerando o referencial que está junto com a onda. Veja que o pequeno segmento
forma, aproximadamente, um arco de ćırculo de raio R, e que ele está se movendo para
a esquerda com velocidade v e aceleração centŕıpeta dada por v2/R. Esta aceleração é
causada pelas componentes verticais da tensão na corda (~T ), que são tangentes ao arco;
as componentes horizontais se cancelam. Cada componente vertical é dada por
Ty = T sen θ (2.11)
e a somatória das forças resultantes na direção vertical é
∑
Fr = 2T sen θ (2.12)
43
44 2.2. Ondas progressivas em uma dimensão: propagação
Considerando que o segmento de arco é pequeno e, portanto, o ângulo θ é pequeno,
podemos fazer a seguinte aproximação:
sen θ ≈ θ (2.13)
e reescrevemos (2.12) como
∑
Fr = 2T sen θ ≈ 2Tθ (2.14)
Por outro lado, aplicando a segunda lei de Newton, temos
∑
Fr = ma = m
v2
R
(2.15)
Sendo µ a massa da corda por unidade de comprimento, então a massa do segmento de
arco é
m = µ∆s (2.16)
O comprimento do arco é dado por
∆s = R(2θ) (2.17)
e, portanto,
m = µR(2θ) (2.18)
Substituindo (2.18) em (2.15), temos
∑
Fr = µR(2θ)
v2
R
(2.19)
Finalmente, comparando (2.14) e (2.19), temos
44
2.2. Ondasprogressivas em uma dimensão: propagação 45
2Tθ = µR(2θ)
v2
R
→ v =
√
T
µ
(2.20)
ou seja, a velocidade da onda depende de uma propriedade “elástica” do meio
e de uma propriedade de inércia do meio. Essa forma
v =
√
propriedade elástica
propriedade de inércia
(2.21)
se aplica para qualquer onda mecânica.
2.2.4 Reflexão e transmissão
Vamos examinar situações em que um pulso de onda encontra uma “barreira” ou “fron-
teira”, que pode ser representada pela mudança de meio.
Primeiro, para descrever a situação em que ocorre reflexão de uma onda, vamos
considerar dois casos:
• 1) Uma corda com uma das extremidades fixas na parede, como na figura 2.14.
Neste caso, o pulso de onda, ao ser refletido pela parede, volta “invertido”. Isso
ocorre pelo seguinte motivo: quando o pulso alcança a extremidade fixa, a corda
exerce uma força na parede no sentido para cima. Pela terceira lei de Newton,
a parede então “reage” a esta força, com igual magnitude mas sentido contrário,
produzindo um pulso no sentido contrário ao pulso incidente e para baixo.
• 2) Uma corda com uma extremidade presa a um anel na parede, que pode se mover
no sentido vertical, como na figura 2.15.
Neste caso o pulso, ao ser refletido, volta sem ser invertido. Isto ocorre porque o
anel está livre para se mover verticalmente, então não haverá força de reação da
parede. A tensão da corda se encarrega de puxar o anel para baixo e transmitir o
pulso sem invertê-lo.
45
46 2.2. Ondas progressivas em uma dimensão: propagação
Figura 2.14: Reflexão de um pulso de onda ao chegar à extremidade fixa da corda.
No caso de transmissão, vamos analisar duas situações:
• Duas cordas grudadas, com massas diferentes, e o pulso incidente se propaga da
corda mais leve para a corda mais pesada. Veja a figura 2.16.
Parte do pulso é transmitido, ou seja, ultrapassa a fronteira entre as duas cordas,
e parte é refletido como na figura 2.14, pois a corda de massa maior age como a
extremidade fixa na parede.
• Duas cordas grudadas, de massas diferentes, e o pulso incidente se propaga da corda
mais pesada para a corda mais leve. Veja a figura 2.17.
Novamente há transmissão de parte da onda e reflexão ocorrendo nos moldes da
46
2.3. Energia e potência de uma onda progressiva numa corda 47
Figura 2.15: Reflexão de um pulso de onda ao chegar à extremidade da corda com o anel
móvel.
figura 2.15, pois a corda mais leve age como a extremidade móvel da corda na
parede.
Note que, nas situações em que há transmissão, a velocidade da onda é diferente em
cada corda, pois as cordas leve e pesada de mesmo comprimento têm µ diferente (veja a
expressão para a velocidade da onda numa corda, equação (2.20)).
2.3 Energia e potência de uma onda progressiva numa
corda
Uma propriedade fundamental das ondas é que elas transportam energia. Isso pode ser
visto na seguinte situação: quando se deixa cair uma pedra num lago, formam-se ondas
47
48 2.3. Energia e potência de uma onda progressiva numa corda
Figura 2.16: Transmissão de um pulso de onda de uma corda com menor massa para uma
corda com maior massa.
Figura 2.17: Transmissão de um pulso de onda de uma corda com maior massa para uma
corda com menor massa.
nesse lago que, ao atingir, por exemplo, uma bóia que esteja flutuante sobre o lago, faz
com que a bóia se movimente - a energia da pedra que caiu no lago foi transportada pela
onda até a bóia. Outros exemplos: ondas śısmicas, transporte de energia do Sol até a
Terra através da luz.
Na figura 2.18, energia é transportada pela onda para o objeto de massa m pois, para
se mover para cima, é necessário que ele receba energia (trabalho é feito sobre o objeto).
48
2.3. Energia e potência de uma onda progressiva numa corda 49
Figura 2.18: O objeto de massa m recebe trabalho para se movimentar para cima.
Nosso objetivo será calcular qual a taxa de transferência de energia devido à propagação
de uma onda numa corda.
Figura 2.19: Uma onda se propagando numa corda devido à oscilação da extremidade em
MHS.
Considere a figura 2.19: temos uma corda pela qual um trem de ondas está sendo
propagado devido à oscilação da fonte externa numa das extremidades. Portanto, a fonte
externa faz trabalho na corda para produzir o trem de ondas - há uma transferência de
energia da fonte externa para a corda, que é transferida ao longo da corda pela propagação
da onda. A onda transporta energia.
Para deduzir a expressão da taxa de transferência de energia para a corda devido à
49
50 2.3. Energia e potência de uma onda progressiva numa corda
propagação da onda, vamos analisar um segmento da corda de comprimento ∆x e massa
∆m. Cada segmento da corda se move em movimento harmônico simples (MHS) no
sentido vertical; portanto, cada segmento oscilará à mesma frequência angular ω e terá
o mesmo deslocamento máximo (ou amplitude) A. Do caṕıtulo de MHS, temos que a
energia potencial associada a uma part́ıcula oscilando em MHS é
U =
ky2
2
(2.22)
onde y é a direção do movimento, ao redor da posição de equiĺıbrio y = 0, no caso que
estamos analisando. Usando que
ω2 =
k
m
(2.23)
escrevemos U então como
U =
mω2y2
2
(2.24)
Usando a equação acima apenas para o segmento de massa ∆m, temos
∆U =
(∆m)ω2y2
2
(2.25)
Como µ é massa por unidade de comprimento
µ =
∆m
∆x
(2.26)
então
∆m = µ∆x (2.27)
Substituindo (2.27) em (2.25), temos
∆U =
(µ∆x)ω2y2
2
(2.28)
50
2.3. Energia e potência de uma onda progressiva numa corda 51
e esta é a energia potencial de um segmento da corda devido à propagação da onda por
ela. Agora, se fizermos este segmento da corda tão pequeno quanto se queira, ou seja,
∆x → 0, a expressão (2.28) acaba sendo uma relação de diferenciais,
dU =
(µdx)ω2y2
2
(2.29)
e ao substituir a função de onda y para uma onda progressiva (y = A cos(kx−ωt)), temos
a expressão
dU =
µω2A2 cos2(kx− ωt)dx
2
(2.30)
Considerando o movimento da onda pela corda no instante t = 0, temos que a energia
potencial num segmento de tamanho dx é
dU =
µω2A2 cos2(kx)dx
2
(2.31)
Agora queremos calcular a energia potencial devido à propagação da onda num segmento
do tamanho de um comprimento de onda (λ) no instante t = 0. Para isso, basta que
integremos a expressão (2.31) de 0 a λ, para levarmos em conta toda a extensão do
segmento:
Uλ =
∫
U =
λ
∫
0
µω2A2 cos2(kx)dx
2
=
µω2A2
2
λ
∫
0
cos2(kx)dx =
µω2A2
2
[
x
2
+
1
4k
sen (2kx)
]λ
0
=
µω2A2
2
[
λ
2
+
1
4k
sen (2kλ)− 0
2
− 1
4k
sen (2k0)
]
Uλ =
µω2A2
2
λ
2
=
µω2A2λ
4
(2.32)
Além de energia potencial, cada segmento da corda também tem energia cinética,
visto que os segmentos da corda estão se movendo para cima e para baixo em MHS à
51
52 2.4. Superposição de ondas mecânicas
medida que a onda se propaga por ela. Usando um procedimento análogo ao usado aqui
para deduzir a expressão da energia potencial, encontramos que a energia cinética de um
segmento da corda de tamanho λ no instante t = 0 é igual à energia potencial do segmento
de mesmo tamanho, ou seja,
Kλ =
µω2A2λ
4
(2.33)
e, portanto, a energia mecânica para o segmento da corda de tamanho λ e no instante de
tempo t = 0 é
Eλ =
µω2A2λ
2
(2.34)
Esta também é a quantidade de energia que passa por um dado ponto da corda durante
o tempo de uma oscilação (ou seja, um peŕıodo T) à medida que a onda se propaga pela
corda. Assim, a potência, que é a taxa de transferência de energia por tempo, é dada por
P = Eλ
∆t
=
µω2A2λ
2
T
=
µω2A2
2
(
λ
T
)
P = µω
2A2v
2
(2.35)
Note que a taxa de transferência de energia (potência) é proporcional ao quadrado da
frequência angular ω e ao quadrado da amplitude A: esta é uma caracteŕıstica de qualquer
onda senoidal.
2.4 Superposição de ondas mecânicas
Duas ou mais ondas podem estar na mesma região do espaço ao mesmo tempo. Este fato
é o oposto do que acontece comdois corpos ŕıgidos, por exemplo, que não podem estar na
mesma posição ao mesmo tempo. Vamos estudar que tipos de fenômenos ocorrem quando
duas ou mais ondas estão na mesma região do espaço no mesmo instante de tempo.
52
2.4. Superposição de ondas mecânicas 53
Figura 2.20: Superposição de ondas na superf́ıcie da água.
Podemos pensar neste problema colocando a seguinte situação: seja um lago que
contém uma bóia flutuando sobre ele. Jogamos uma pedra neste lago, que resulta na
formação de frentes de onda circulares, centradas no ponto onde foi jogada a pedra. Em
seguida jogamos uma segunda pedra no lago, em outro ponto, o que resulta na formação
de frentes de onda centradas naquele ponto. O que acontecerá com a bóia que está
flutuando neste lago mediante a influência combinada dos dois conjuntos de frentes de
onda circulares? Ou, de forma mais geral, o que acontecerá com qualquer bóia localizada
em qualquer lugar do lago quando um número qualquer de pedras for jogado no mesmo
em instantes arbitrários? (veja a figura 2.20)
Em termos matemáticos, esta pergunta seria a seguinte: qual a forma da função de
onda resultante da superposição de duas ou mais funções de onda? A resposta é o que
chamamos de prinćıpio da superposição: a função de onda resultante será a soma
algébrica das funções de onda individuais. Exemplo: se na mesma região do espaço e
do tempo eu tenho três ondas, cada uma representada pelas funções de onda individuais
f1(x, t), f2(x, t) e f3(x, t), então a função de onda resultante f(x, t) da superposição das
três será
f(x, t) = f1(x, t) + f2(x, t) + f3(x, t) (2.36)
53
54 2.4. Superposição de ondas mecânicas
Este prinćıpio é válido se a amplitude das ondas não é muito grande, e a seguinte
hipótese seja correta: cada onda individual é inalterada pela presença simultânea das
outras ondas (ou seja, a função de onda individual de cada onda não é alterada pela
presença das outras ondas, representadas cada uma por uma função de onda individual).
Por exemplo, quando estamos ouvindo uma orquestra tocar, o som resultante é uma
superposição dos trens de onda de uma série de instrumentos diferentes. No entanto,
podemos captar, com ouvido treinado, o som de um instrumento individualmente - seria
como usar o ouvido e a mente como um filtro para distinguir a função de onda t́ıpica do
instrumento. Isso só é posśıvel porque a função de onda de cada instrumento é inalterada
na presença das outras funções de onda.
Interferência construtiva e destrutiva
Dois fenômenos bastante conhecidos de superposição de ondas são os chamados inter-
ferência construtiva e interferência destrutiva. Veremos a seguir quando eles ocor-
rem.
Vamos considerar, por simplicidade, duas ondas de mesma frequência, mesmo compri-
mento de onda e mesma amplitude, se propagando para a direita, mas diferindo de uma
fase φ. Sejam as funções de onda que as representam:
y1(x, t) = A cos(kx− ωt) ,
y2(x, t) = A cos(kx− ωt+ φ) (2.37)
A função de onda resultante y(x, t) da superposição das duas ondas será a soma algébrica
das funções de onda y1(x, t) e y2(x, t), segundo o prinćıpio da superposição; portanto
y(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) = A cos(kx− ωt) + A cos(kx− ωt+ φ)
= A(cos(kx− ωt) + cos(kx− ωt+ φ)) (2.38)
54
2.4. Superposição de ondas mecânicas 55
Usando a identidade trigonométrica
cos a+ cos b = 2 cos
(
a+ b
2
)
cos
(
a− b
2
)
(2.39)
na equação (2.38), temos
y(x, t) = 2A cos
(
φ
2
)
cos
(
kx− ωt+ φ
2
)
(2.40)
e chamando
A′ = 2A cos
(
φ
2
)
(2.41)
a função de onda resultante é
y(x, t) == A′ cos
(
kx− ωt+ φ
2
)
(2.42)
ou seja, a nova função de onda tem amplitude A′ e ângulo de fase φ/2.
Dependendo do valor de φ, poderemos ter:
• interferência construtiva - quando a amplitude da onda resultante é a máxima, ou
seja, |A′| = 2A;
• interferência destrutiva - quando a amplitude tem valor mı́nimo, ou seja, |A′| = 0;
• superposição com função de onda resultante com amplitude 0 < |A′| < 2A.
Da equação (2.41), vemos que a interferência será construtiva quando cos(φ/2) = ±1, ou
seja, φ = 0, 2π, 4π, . . . e destrutiva quando cos(φ/2) = 0, ou seja, φ = π, 3π, 5π . . . Quando
φ assume outros valores, temos o caso da superposição com amplitude 0 < |A′| < 2A. A
figura 2.21 ilustra os três tipos de superposição mencionados.
55
56 2.4. Superposição de ondas mecânicas
Figura 2.21: (a) Interferência construtiva. (b) Interferência destrutiva. (c) Superposição
de duas ondas idênticas com diferença de fase de φ = 600.
2.4.1 Ondas estacionárias
De forma geral, as ondas estacionárias são formadas pela superposição de duas ondas
iguais que se propagam em sentidos opostos num meio. Veremos a seguir as caracteŕısticas
deste tipo de ondas e suas implicações.
56
2.4. Superposição de ondas mecânicas 57
Figura 2.22: Produção de ondas estacionárias. (a) Onda senoidal que se propaga para a
esquerda. (b) Onda senoidal que se propaga para a direita. (c) Superposição das duas
ondas, formando ondas estacionárias.
Seja um trem de ondas propagando-se numa corda com ambas as extremidades fixas,
produzido por uma fonte oscilando em MHS com frequência angular ω, localizada na
extremidade esquerda (veja figura 2.22). Quando o trem de ondas chega à extremidade
direita, ele é refletido, mudando-se a orientação do pulso, como vimos no caso da reflexão
de uma onda numa corda com a extremidade fixa à parede. Enquanto esta onda refletida
propaga-se pela corda no sentido contrário ao que foi emitida, a fonte oscilatória continua
a produzir ondas que se propagam da esquerda para a direita. As ondas produzidas pela
fonte e refletidas pela extremidade direita então se sobrepõem, produzindo uma onda
estacionária.
Como é a função de onda de uma onda estacionária? Digamos que a onda produzida
pela fonte oscilatória possa ser descrita pela função de onda
y1(x, t) = Asen (kx− ωt) (2.43)
A onda refletida tem as mesmas caracteŕısticas que a onda produzida pela fonte, ou
seja, mesma amplitude, frequência e comprimento de onda, mas se propaga no sentido
57
58 2.4. Superposição de ondas mecânicas
contrário. Portanto, sua função de onda é
y2(x, t) = Asen (kx+ ωt) (2.44)
Pelo prinćıpio de superposição, a função de onda resultante será
y(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) = Asen (kx− ωt) + Asen (kx+ ωt)
= A[sen (kx− ωt) + sen (kx+ ωt)] (2.45)
Usando a identidade trigonométrica
sen (a± b) = sen a cos b± sen b cos a (2.46)
então
sen (kx− ωt) = sen (kx) cos(ωt)− sen (ωt) cos(kx)
sen (kx+ ωt) = sen (kx) cos(ωt) + sen (ωt) cos(kx) (2.47)
e substituindo em (2.45), teremos
y(x, t) = A[sen (kx) cos(ωt)− sen (ωt) cos(kx) + sen (kx) cos(ωt) + sen (ωt) cos(kx)
= 2Asen (kx) cos(ωt) (2.48)
A equação acima representa a função de onda de uma onda estacionária. Perceba que,
pelo fato de não conter nos argumentos das funções seno e cosseno o fator kx − ωt, ela
não é uma onda progressiva. Na verdade, ela se move de acordo com um tipo especial
de MHS: cada part́ıcula do meio oscila em MHS com a mesma frequência ω (por causa
do termo cos(ωt)), mas a amplitude do MHS de uma dada part́ıcula do meio depende da
58
2.4. Superposição de ondas mecânicas 59
Figura 2.23: Ondas estacionárias em vários instantes de tempo.
posição x em que se encontra (por causa do fator 2Asen (kx)). Veja a figura 2.23, que
mostra o movimento da onda estacionária em vários instantes de tempo.
Na figura 2.23 também vemos pontos especiais chamados de nós e anti-nós. Os nós
são pontos na corda com posição definida que não são deslocados pela onda estacionária,
ou seja, sua amplitude é sempre zero - não varia com a passagem do tempo. As posições
em que ocorrem os nós são aquelas em que
2Asen (kx) = 0 → sen (kx) = 0 → kx = 0, π, 2π, 3π, . . . (2.49)
Lembrando que k= 2π/λ, então
59
60 2.4. Superposição de ondas mecânicas
2πx
λ
= 0, π, 2π, 3π, . . .
x = 0,
λ
2
, λ,
3λ
2
, . . . =
nλ
2
, com n = 0, 1, 2, 3, . . . (2.50)
Já os anti-nós são aqueles pontos que terão deslocamento máximo |2A| em algum
instante do tempo. Para que isso aconteça é necessário que
2Asen (kx) = ±1 → sen (kx) = ±1 → kx = π
2
,
3π
2
,
5π
2
. . . (2.51)
e, portanto,
x =
λ
4
,
3λ
4
,
5λ
4
, . . . =
(2n+ 1)λ
4
, com n = 0, 1, 2, 3, . . . (2.52)
2.4.2 Ondas estacionárias numa corda fixa em ambas as extre-
midades
Figura 2.24: Fotografias estroboscópicas de ondas estacionárias em uma corda excitada
por um oscilador na extremidade esquerda.
Neste caso, temos que se as extremidades são fixas, elas não se movem e, portanto,
são nós. Isto restringe quais são as configurações posśıveis de onda estacionária; veja a
figura 2.25. Estes são os padrões de oscilação posśıveis para a corda fixa em ambas as
extremidades, e cada padrão de oscilação tem uma frequência caracteŕıstica. Chamamos
estes padrões de oscilação de modos normais.
De acordo com a figura 2.25, podemos escrever uma expressão geral do comprimento
de onda dos modos normais para uma corda de comprimento fixo L como
60
2.4. Superposição de ondas mecânicas 61
Figura 2.25: Padrões de ondas estacionárias numa corda fixa em ambas as extremidades.
(a) Primeiro harmônico (n = 1). (b) Segundo harmônico (n = 2). (c) Terceiro harmônico
(n = 3).
λn =
2L
n
, com n = 1, 2, 3, . . . (2.53)
sendo que n representa o modo normal ao qual estamos nos referindo. Da relação
v = λf , temos que as frequências associadas aos modos normais, as quais chamamos
de frequências naturais, também podem ser escritas de forma geral como
fn =
v
2L
n
=
nv
2L
, com n = 1, 2, 3, . . . (2.54)
A velocidade é a mesma para todos os modos normais visto que o meio é o mesmo (a
corda), e é dada pela equação (2.20). Substituindo (2.20) na equação acima, temos
fn =
n
2L
√
T
µ
, com n = 1, 2, 3, . . . (2.55)
O modo de frequência mais baixa (n=1) é dado por
f1 =
1
2L
√
T
µ
(2.56)
e é chamado de frequência fundamental, visto que as frequências de todos os outros
modos são múltiplos inteiros dela. Quando os modos normais exibem uma relação de
múltiplo inteiro com a frequência fundamental (f2 = 2f1, f3 = 3f1, f4 = 4f1, . . .) formam
o que chamamos de série harmônica, e os modos normais são chamados de harmônicos.
61
62 2.5. ExerćIcios
Para produzir um harmônico particular numa corda de violão, por exemplo, de-
veŕıamos deformar a corda de tal maneira que sua forma deformada corresponda àquela
do harmônico desejado. Depois de soltá-la, a corda vibra na frequência do harmônico. No
entanto, é dif́ıcil executar esta manobra, e na verdade, não é assim que excitamos uma
corda de um violão. Se a corda é deformada tal que a forma dela não é a de um harmônico,
a vibração resultante inclui vários harmônicos. Tal deformação ocorre em instrumentos
musicais quando a corda é puxada (violão, guitarra), curvada (cello) ou golpeada (piano).
Também variamos a frequência de um instrumento mudando a tensão da corda ou seu
comprimento.
2.5 Exerćıcios
2.5.1 Nı́vel “coloque na fórmula”
1. Uma onda que se propaga em uma corda é descrita pela equação y(x, t) = 0, 00327sen(72, 1x−
2, 72t), onde x e y estão em metros e t em segundos. a) Qual é a amplitude da onda?
b) Quais são o comprimento de onda, o peŕıodo e a frequência da onda? c) Qual é
a velocidade da onda? d) Qual é o deslocamento y para x = 22, 5 cm e t = 18, 9 s?
2. Uma corda esticada tem uma massa espećıfica linear (µ) de 5,00 g/cm e está sujeita
a uma tensão de 10,0 N. Uma onda senoidal na corda tem uma amplitude de 0,12
mm, uma frequência de 100 Hz e está se propagando no sentido negativo de um eixo
x. Se a equação da onda é da forma y(x, t) = Asen(kx± ωt), determine a) A, b) k,
c) ω e d) o sinal que precede ω.
2.5.2 Nı́vel “pense, então coloque na fórmula”
1. As quatro ondas a seguir são produzidas em quatro cordas com a mesma massa
espećıfica linear (µ), onde x e y estão em metros e t em segundos. Ordene as ondas
de acordo a) com a velocidade e b) com a tensão na corda, em ordem decrescente
62
2.5. ExerćIcios 63
(do maior para o menor):
(1) y1 = 3 sen(x− 3t)
(2) y2 = 6 sen(2x− t)
(3) y3 = 1 sen(4x− t)
(4) y1 = 2 sen(x− 2t)
2. Uma corda tem uma massa espećıfica µ = 525 g/m e está submetida a uma tensão
T = 45 N. Uma onda senoidal de frequência f = 120 Hz e amplitude A = 8, 5 mm
é produzida na corda. Com que taxa a onda transporta energia?
3. Duas ondas senoidais iguais, propagando-se no mesmo sentido em uma corda, inter-
ferem entre si. A amplitude A das ondas é 9,8 mm e a diferença de fase entre elas é
1000. a) Qual é a amplitude da onda resultante e qual é o tipo de interferência? b)
Que diferença de fase, em radianos e em graus, faz com que a amplitude da onda
resultante seja 4,9 mm?
4. A figura 2.26 mostra a oscilação ressonante de uma corda de massa m = 2, 500 g e
comprimento L = 0, 800 m sob uma tensão T = 325, 0 N. a) Qual é o comprimento
de onda λ das ondas transversais responsáveis pela onda estacionária mostrada na
figura e qual é o harmônico? b) Qual é a frequência f das ondas transversais e das
oscilações dos elementos da corda?
Figura 2.26: Exerćıcio 4.
5. a) Se uma onda estacionária em uma corda é dada por y′(t) = 3sen(5x) cos(4t),
existe um nó ou um antinó em x = 0? b) Se a onda estacionária é dada por
63
64 2.5. ExerćIcios
y′(t) = 3sen(5x+ π/2) cos(4t) existe um nó ou um antinó em x = 0?
6. Se o sétimo harmônico é excitado em uma corda, a) quantos nós estão presentes e
b) no ponto médio existe um nó, um antinó ou um estado intermediário? Se, em
seguida, é excitado o sexto harmônico, c) o comprimento de onda é maior ou menor
que o do sétimo harmônico e d) a frequência é maior ou menor?
2.5.3 Elaboradas
1. Se você começa com duas ondas senoidais de mesma amplitude que se propagam
em fase em uma corda e desloca a fase de uma das ondas de 5,4 comprimentos de
onda, que tipo de interferência ocorre na corda?
2. Duas ondas são geradas em uma corda com 3,0 m de comprimento para produzir
uma onda estacionária de três meios comprimentos de onda com uma amplitude de
1,0 cm. A velocidade da onda é 100 m/s. A equação de uma das ondas é da forma
y(x, t) = Asen(kx + ωt). Na equação da outra onda, determine a) A, b) k, c) ω e
d) o sinal que precede ω.
64
Caṕıtulo 3
Ondas: parte 2
Neste caṕıtulo iremos voltar nossa atenção para as ondas sonoras, o mais importante
exemplo de onda mecânica.
3.1 Ondas em duas e três dimensões
Ondas sonoras tipicamente se propagam em três dimensões, assim como outros tipos de
ondas longitudinais e transversais. Este é o comportamento, por exemplo, das ondas num
lago.
Considere a figura 3.1, que neste momento representa uma onda se propagando em
duas dimensões. A caracteŕıstica mais óbvia destas ondas que se propagam em duas
dimensões pode ser especificada pela forma das curvas que, a qualquer instante, conectam
todos os pontos comparáveis das ondas. Em outras palavras, esses arcos que vemos na
figura 3.1 representam linhas sobre a qual a fase da onda é constante. Estes arcos são o
que chamamos de frentes de onda. Por se propagarem em todas as direções de forma
equivalente e com a mesma velocidade, elas se afastam da sua fonte em frentes de onda
na forma de circunferências centralizadas na fonte; estas ondas são chamadas de ondas
circulares.
Da mesma forma, vamos considerar ondas se propagando em três dimensões. Neste
caso, as frentes de onda serão superf́ıcies esféricas centradas na fonte, como na figura 3.2.
65
66 3.2. Ondas sonoras
Figura 3.1: Ondas se propagando em duas dimensões.
A distância entre duas frentes de onda adjacentes é de um comprimento