Transformações Conformes em Física Matemática I

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(
Física
 
Matemática
 
I
 
– FIS01207
 
–
 
Unidade
 
I
) (
Lista
 
4
 
–
 
Funções
 
de
 
Variável
 
Complexa
 
–
 
TRANSFORMAÇÕES
 
CONFORMES
) (
1.
 
Determine
 
como
 
a
 
função
 
Log
 
z
 
transforma
 
as
 
condições
 
de
 
contorno
 
do
 
problema
 
a
 
seguir
 
e
calcule
 
o
 
potencial
 
eletrostático
 
V
(
x,y
).
 
Duas
 
placas
 
condutoras
 
em
 
forma
 
de
 
quadrante
 
x 

 0, 
y 

 0 , sendo que 
a placa ao longo do eixo 
x 
tem 
V
(
x,y=0
) 
= 
0 e a placa ao longo do eixo 
y
,
 
V
(
x=0,y
)
 
=
 
1,
 
como
 
mostra
 
a
 
figura
 
abaixo.
 
Esboce
 
algumas
 
equipotenciais
 
e
 
linhas
 
de
 
campo.
) (
y
) (
V
) (
x
) (
V=
0
) (
Resp.:
 
V
 
(
x
,
 
y
)
 

 
(2
 
/

 
)
 
arctan(
 
y
 
/
 
x
)
) (
2.
 
Determine
 
o
 
potencial
 
eletrostático
 
na
 
região
 
e
 
condições
 
de
 
contorno
 
especificadas
 
abaixo
 
e
esboce
 
algumas equipotenciais.
a)
 
Região
 
que
 
satisfaz
 
x
2
 

 
y
2
 

 
1,
 
y
 

 
0
 
,
 
com
 
condições
 
V
 
(
x
2
 

 
y
2
 

 
1)
 

 
0
 
e
 
V
 
(
x
,
 
y
 

 
0)
 

 
1.
) (
b) Região
 com
 
y
 

 
0
 
e
 
condições
 
V
 
(
 
x
) (
a
,
 
y
 

 
0)
 

 
0
 
e
 
V
 
(
 
x
) (

 
a
,
 
y
 

 
0)
 

 
1
 
.
) (
-

2
) (
x
 
=
 

2,
 
com
) (
c)
 
Região
 
com
 
y
 

 
0
 
limitada
 
lateralmente
 
pelas
 
retas
 
x
 
=
) (
e
) (
condições
) (
V
 
(
x
 

 


 
/
 
2,
 
y
)
 

 
V
 
(
x
 

 

 
/
 
2,
 
y
)
 

 
0
 
e
 
V
 
(
 
x
y
) (

 

 
/
 
2,
 
y
 

 
0)
 

 
1.
y
) (
y
) (
V=
0
) (
1
) (
V=
0
) (
V=
0
) (
a)
) (
b)
) (
c)
) (
x
) (
V=
0
 
-
a
) (
a
) (
V=
0
) (
-

/2
) (

/2
) (
x
) (
V=
1
) (
x
) (
V=
1
) (
-1
) (
1
) (
V=
1
) (

 
1
 

 
x
2
 

 
y
2
 

) (

) (

) (

) (

) (
2
) (
1
) (
2
ay
) (
1
) (
2cos
 
x
 
sinh
 
y
) (
Resp.:
 
V
 

arctan

) (

,
 
V
) (

arctan

) (

,
 
V
) (

arctan

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (
x
 

 
y
 

 
a
) (
sinh
 
y
 

 
cos
 
x
) (
2
2
2
) (
2
) (
2
) (

) (
2
 
y
) (

) (

) (

) (

) (

) (
3.
 
Considere
 
o
 
problema
 
(ver
 
figura
 
abaixo).
) (

2
H
 

 

2
H
) (

 

) (

) (

) (

 
0
) (

 
x
,
) (
y
 

) (

 
0
) (
0

 
,
) (

x
2

y
2
) (

) (

) (
2
) (
H
 
(0,
 
y
)
 

 
1,
H
 
(

 
/
 
2,
 
y
)
 

 
0,
H
 
(
x
,0)
 

 
0,
0
 

 
H
 
(
x
,
 
y
)
 

 
1
 
.
Determine
 
como
 
a
 
função
 
sin
 
z
 
transforma
 
as
 
condições
 
de
 
contorno
 
do
 
problema.
Resolva
 
o
 
problema
 
com
 
o
 
auxílio
 
de
 
transformações
 
conformes
 
convenientes.
Esboce
 
as
 
curvas
 
equipotenciais.
) (
y
) (
V=
1
) (
V=
0
) (
V=
0
) (

/2
) (
x
) (
2
 
arctan

 
tanh 
y
 

) (
Resp.:
 
H
 

) (

) (

) (

) (

) (

) (
tan
 
x
) (
=
1
)