Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
iii LISTA DE EXERCICIOS - ÁLGEBRA LINEAR (Vetores no R) Questão 1. Calcular os seguintes produtos vetoriais: a. ��! i ��!j +�!k � � � 2 �! i + �! j ��!k � : Solução: ��! i ��!j +�!k � � � 2 �! i + �! j ��!k � = ������� �! i �! j �! k 1 �1 1 2 1 �1 ������� = �! i +2 �! j + �! k +2 �! k �1�!i +1�!j = 3�!j +3�!k = (0; 3; 3) b. � ��!i + 2�!j + 3�!k � � � 2 �! i ��!j + 3�!k � : Solução: c. � 2 �! i � 3�!j ��!k � � � ��!i +�!j ��!k � : Questão 2. Calcular k�!c k, h�!a ;�!b i = �!a � �!b , �!b ��!c , [�!a ;�!b ;�!c ], e o ângulo entre �!a e �!b , sendo �!a = 2�!i ��!j + 3�!k ;�!b = ��!i + 3�!j � 2�!k ;�!c = ��!i + 2�!j � 2�!k : Solução: k�!c k = q (�1)2 + 22 + (�2)2 = p 1 + 4 + 4 = p 9 = 3 h�!a ;�!b i = �!a � �!b = � 2 �! i ��!j + 3�!k �� ��!i + 3�!j � 2�!k � = 2: (�1) + (�1) :3 + 3 (�2) =? �! b ��!c = ������� �! i �! j �! k �1 3 �2 �1 2 �2 ������� = �6 �! i + 2 �! j � 2�!k + 3�!k + 4�!i � 2�!j = �2�!i +�!k Agora�������!b ��!c ������ =q(�2)2 + 12 + 02 = p5 Finalmente �!a = 2�!i ��!j + 3�!k ;�!b = ��!i + 3�!j � 2�!k ;�!c = ��!i + 2�!j � 2�!k : [�!a ;�!b ;�!c ] = ��!a ;�!b ;�!c � = ������� 2 �1 3 �1 3 �2 �1 2 �2 ������� =? Questão 3. Calcular o produto misto (�!a ;�!b ;�!c ) para os seguintes ternos de vetores: a. �!a = 2�!i ��!j +�!k ; �!b = �!i ��!j +�!k e �!c = �!i + 2�!j ��!k : Solução: (�!a ;�!b ;�!c ) = ������� 2 �1 1 �1 �1 1 1 2 �1 ������� =? iv b. �!a = 2�!i ; �!b = 3�!j e �!c = 4�!k : c. �!a = 2�!i ��!j +�!k ; �!b = 3�!i ��!j +�!k e �!c = �!i + 2�!j � 3�!k : Questão 4. Calcular o volume do paralelepípedo que tem um dos vértices no ponto A (2; 1; 6) e os três vértices adjacentes nos pontos B (4; 1; 3) ; C (1; 3; 2) e D (1; 2; 1) : Solução: �! AB = B � A = (4; 1; 3)� (2; 1; 6) = (2; 0;�3) �! AC = C � A = (1; 3; 2)� (2; 1; 6) = (�1; ; 2;�4) ��! AD = D � A = (1; 2; 1)� (2; 1; 6) = (�1; 1;�5) ( �! AB; �! AC; ��! AD) = ������� 2 0 �3 �1 2 �4 �1 1 �5 ������� = �20 + 3� 6 + 8 = �15 Vparalel = ���(�!AB;�!AC;��!AD)��� = j�15j = 15 Questão 5. Calcular a área do paralelogramo em que três vértices consecutivos são A (1; 0; 1) ; B (2; 1; 3) e C (3; 2; 5) : Solução: Temos que �! AB = (1; 1; 2) �! AC = (2; 2; 4) �! AB ��!AC = ������� �! i �! j �! k 1 1 2 2 2 4 ������� = 4 �! i + 4 �! j + 2 �! k � 2�!k � 4�!i � 4�!j = 0 Aparale = �������!AB ��!AC������ = 0 Questão 6. Calcular a área do triângulo com vértices A (1; 2; 1) ; B (3; 0; 4) e C (5; 1; 3) : v Solução: �! AB = (2;�2; 3) �! AC = (4;�1; 2) �! AB ��!AC = ������� �! i �! j �! k 2 �2 3 4 �1 2 ������� = �4 �! i + 12 �! j � 2�!k + 8�!k + 3�!i � 4�!j = ��!i + 8�!j + 6�!k Aparale log ramo = �������!AB ��!AC������ =q(�1)2 + 82 + 62 =? Atria = 1 2 �������!AB ��!AC������ = 12 :10 =? Questão 7. Determinar um vetor unitário perpendicular aos vetores �!a = �!i � 2�!j + 3�!k e �!b = 3�!i ��!j + 2�!k : Solução: �!a ��!b = ������� �! i �! j �! k 1 �2 3 3 �1 2 ������� = �4 �! i + 9 �! j ��!k + 6�!k + 3�!i � 2�!j = ��!i + 7�!j + 5�!k Note, �������!a ��!b ������ =q(�1)2 + 72 + 52 = p75 = 5p3 Fazendo, u = 1jj�!a ��!b jj ��!a ��!b � = 1 5 p 3 � ��!i + 7�!j + 5�!k � = � �1 5 p 3 �! i + 7 5 p 3 �! j + 5 5 p 3 �! k � Questão 8. Determine um vetor de módulo 3 que seja simultaneamente ortogonal aos vetores �!u = (1; 1; 1) e �!v = (2;�1; 3). Solução: Questão 9. Calcular a área do paralelogramo cujos lados são determinados pelos vetores (2�!u ) e (�2�!v ) sendo �!u = (2;�1; 0) e �!v = (1;�3; 2) : Solução: (2u) = (4;�2; 0) e (�2�!v ) = (�2; 6;�4) Faça, (2�!u ) � (�2�!v ) = ������� �! i �! j �! k 4 �2 0 �2 6 �4 ������� =?? Depois, calcule Aparelelo = jj(2�!u )� (�2�!v )jj =? Questão 10 Sendo dados: A (�1; 3; 2), B (0; 1;�1), C (�2; 0; 1) e D (1;�2; 0): a) Calcule o volume do paralepípedo determinado pelos vetores �! AB, �! AC e ��! AD. b) Calcule o volume do tetraedro ABCD. Solução: a) Vparalel = �����!AB;�!AC;��!AD���� =? b) Vtetraedro = 16Vparalel = 1 6 �����!AB;�!AC;��!AD���� =? Questão 11. Sabendo que jj�!u jj = 3, jj�!v jj = p 2 e � 4 é o ângulo entre os vetores�!u e�!v , calcule jj�!u ��!v jj. vi Solução: ku� vk = kuk kvk sen � = 3: p 2 sen� 4 = 3 p 2 p 2 2 =??? Questão 12 Sabendo que �!u = (1; 2; 1) = ��! i + 2 �! j + �! k � e �!v = (2; 1; 0), calcule a) (�!u + 2�!v )� (�!u � 2�!v ) b) k�!u � 2�!v k Solução: a) (�!u + 2�!v ) = [(1; 2; 1) + 2 (2; 1; 0)] = (5; 4; 1) e (�!u � 2�!v ) = [(1; 2; 1)� 2 (2; 1; 0)] = (�3; 0; 1) Agora (�!u + 2�!v )� (�!u � 2�!v ) = ������� �! i �! j �! k 5 4 1 �3 0 1 ������� =? Questão 13 Qual o volume do cubo determinado pelos vetores �! i , �! j ; �! k . Solução: Sabemos que �! i = (1; 0; 0); �! j = (0; 1; 0) ; �! k = (0; 0; 1) Agora basta calcular �����!i ;�!j ;�!k ���� Questão 14 Determine o valor de k para que os vetores �!u = (2;�1; k), �!v = (1; 0; 2) e �!w = (k; 3; k) sejam coplanares. Solução: os vetores serão coplanares se (�!u ;�!v ;�!w ) = 0 Agora (�!u ;�!v ;�!w ) = ������� 2 �1 k 1 0 2 k 3 k ������� = 0 Façam as contas
Compartilhar