Aula 8 - Exercício Muros de Arrimo

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Muros de Arrimo
Professor: Guilherme Mussi
Fundações e Contenções -
Universidade Estácio de Sá
Muros de Arrimo
2
Guilherme Mussi 
Exercício
Avaliar a estabilidade do muro de arrimo indicado abaixo. Dados: qmáx = 450 kPa; γconcreto = 24 kN/m³, reduzir os
parâmetros de resistência em 2/3 no contato solo-muro, e o empuxo passivo em 1/3.
3,00
A
0,50
6,00
γ = 18 kN/m³
φ’ = 30º
c’ = 15 kPa
1. Cálculo do coeficiente de empuxo ativo (ka) e passivo (kp)
2. Cálculo das tensões verticais (lado ativo)
2,00
2,00
2,00
0,50
1,00
1,00
Δσ = 10 kPa
𝑘𝑎 =
1 − 𝑠𝑒𝑛𝜙′
1 + 𝑠𝑒𝑛𝜙′
𝑘𝑎 =
1 − 𝑠𝑒𝑛30
1 + 𝑠𝑒𝑛30
𝒌𝒂 = 𝟎, 𝟑𝟑𝟑
𝑘𝑝 =
1 + 𝑠𝑒𝑛𝜙′
1 − 𝑠𝑒𝑛𝜙′
𝑘𝑝 =
1 + 𝑠𝑒𝑛30
1 − 𝑠𝑒𝑛30
𝒌𝒑 = 𝟑
𝜎′𝑣 = 𝛾. 𝑧 +𝛥𝑞 𝜎′𝑣 = 18 . 0 + 10 𝝈′𝒗 = 𝟏𝟎 𝒌𝑷𝒂
𝜎′𝑣 = 𝛾. 𝑧 +𝛥𝑞 𝜎′𝑣 = 18 . 6,0 + 10 𝝈′𝒗 = 𝟏𝟏𝟖 𝒌𝑷𝒂
𝑧 = 0 𝑚
𝑧 = 6m
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Exercício
Avaliar a estabilidade do muro de arrimo indicado abaixo. Dados: qmáx = 450 kPa; γconcreto = 24 kN/m³, reduzir os
parâmetros de resistência em 2/3 no contato solo-muro, e o empuxo passivo em 1/3.
3,00
A
0,50
6,00
γ = 18 kN/m³
φ’ = 30º
c’ = 15 kPa
3. Cálculo das tensões verticais (lado passivo)
2,00
2,00
2,00
0,50
1,00
1,00
Δσ = 10 kPa
𝜎′𝑣 = 𝛾. 𝑧 𝜎′𝑣 = 18 . 0 𝝈′𝒗 = 𝟎 𝒌𝑷𝒂
𝜎′𝑣 = 𝛾. 𝑧 𝜎′𝑣 = 18 . 0,5 𝝈′𝒗 = 𝟗 𝒌𝑷𝒂
𝑧 = 0 𝑚
𝑧 = 0,5 𝑚
4. Cálculo das tensões horizontais (lado ativo)
𝜎′ℎ𝑎 = 𝑘𝑎 . 𝜎′𝑣 − 2 . 𝑐
′ . 𝑘𝑎
𝜎′ℎ𝑎 = 0,33 .10 − 2 . 15 0,33 𝝈′𝒉𝒂 = −𝟏𝟑, 𝟒𝟑 𝒌𝑷𝒂
𝜎′ℎ𝑎 = 𝑘𝑎 . 𝜎′𝑣 − 2 . 𝑐
′ . 𝑘𝑎 𝜎′ℎ𝑎 = 0,33 . 118 − 2 . 15 0,33
𝝈′𝒉𝒂 = 𝟐𝟏, 𝟕𝟎 𝒌𝑷𝒂
𝑧 = 0m
𝑧 = 6 𝑚
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Exercício
Avaliar a estabilidade do muro de arrimo indicado abaixo. Dados: qmáx = 450 kPa; γconcreto = 24 kN/m³, reduzir os
parâmetros de resistência em 2/3 no contato solo-muro, e o empuxo passivo em 1/3.
3,00
A
0,50
6,00
γ = 18 kN/m³
φ’ = 30º
c’ = 15 kPa
2,00
2,00
2,00
0,50
1,00
1,00
Δσ = 10 kPa 5. Cálculo das tensões horizontais (lado passivo)
𝜎′ℎ𝑝 = 𝑘𝑝 . 𝜎′𝑣 + 2 . 𝑐
′ . 𝑘𝑝
𝜎′ℎ𝑝 = 3 .0 + 2 . 15 3 𝝈′𝒉𝒑 = 𝟓𝟏, 𝟗𝟔 𝒌𝑷𝒂
𝜎′ℎ𝑝 = 𝑘𝑝 . 𝜎′𝑣 + 2 . 𝑐
′ . 𝑘𝑝
𝜎′ℎ𝑝 = 3 . 9 + 2 . 15 3 𝝈′𝒉𝒑 = 𝟕𝟖, 𝟗𝟔 𝒌𝑷𝒂
𝑧 = 0m
𝑧 = 0,5 𝑚
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Exercício
Avaliar a estabilidade do muro de arrimo indicado abaixo. Dados: qmáx = 450 kPa; γconcreto = 24 kN/m³, reduzir os
parâmetros de resistência em 2/3 no contato solo-muro, e o empuxo passivo em 1/3.
21,70
-13,43
Diagrama aproximado
51,96
78,96
6. Cálculo do empuxo ativo e ponto de aplicação
𝑦𝐴 =
1
3
. 6
𝐸𝑎 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑠õ𝑒𝑠 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑖𝑠
𝐸𝑎 = (
21,70 . 6,0
2
) 𝑬𝒂 = 𝟔𝟓, 𝟏𝟎 𝒌𝑵/𝒎
𝑦𝐴 =
1
3
𝑧 𝒚𝑨 = 𝟐𝒎
𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜Ea = 65,10 kN/m
2,00
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Exercício
Avaliar a estabilidade do muro de arrimo indicado abaixo. Dados: qmáx = 450 kPa; γconcreto = 24 kN/m³, reduzir os
parâmetros de resistência em 2/3 no contato solo-muro, e o empuxo passivo em 1/3.
21,70
-13,43
Diagrama aproximado
51,96
78,96
7. Cálculo do empuxo passivo e ponto de aplicação
𝐸𝑝 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑠õ𝑒𝑠 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑖𝑠
𝐸𝑝1 =
78,96 − 51,96 . 0,5
2
𝑬𝒑𝟏 = 𝟔, 𝟕𝟓 𝒌𝑵/𝒎
𝐸𝑝2 = 51,96 . 0,5 𝑬𝒑𝟐 = 𝟐𝟓, 𝟗𝟖 𝒌𝑵/𝒎
𝑦1 =
1
3
𝑧 𝑦1 =
1
3
. 0,5 𝒚𝟏 = 𝟎, 𝟏𝟕𝒎
𝑦2 =
1
2
𝑧 𝑦2 =
1
2
. 0,5 𝒚𝟐 = 𝟎, 𝟐𝟓𝒎
𝑦𝑃 =
(𝐸1. 𝑦1 + 𝐸2. 𝑦2)
𝐸𝑡
Ea = 65,10 kN/m
2,00
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Exercício
Avaliar a estabilidade do muro de arrimo indicado abaixo. Dados: qmáx = 450 kPa; γconcreto = 24 kN/m³, reduzir os
parâmetros de resistência em 2/3 no contato solo-muro, e o empuxo passivo em 1/3.
7. Cálculo do empuxo passivo e ponto de aplicação
𝑦𝑃 =
(6,75 . 0,17 + 25,98 .0,25)
32,73
𝑦𝑃 =
(𝐸1. 𝑦1 + 𝐸2. 𝑦2)
𝐸𝑡
𝒚𝑷 = 𝟎, 𝟐𝟑𝒎
𝑬𝒑𝒕 = 𝟑𝟐, 𝟕𝟑𝒌𝑵/𝒎𝐸𝑝𝑡 = 𝐸𝑝1 + 𝐸𝑝2
21,70
-13,43
Diagrama aproximado
Ea = 65,10 kN/m
2,00EPP = 10,91 kN/m
0,23
8. Cálculo do empuxo passivo de projeto (EPP)
𝐸𝑝𝑝 =
𝐸𝑝
3
𝐸𝑝𝑝 =
32,73
3
𝑬𝒑𝒑 = 𝟏𝟎, 𝟗𝟏 𝒌𝑵/𝒎
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Exercício
Avaliar a estabilidade do muro de arrimo indicado abaixo. Dados: qmáx = 450 kPa; γconcreto = 24 kN/m³, reduzir os
parâmetros de resistência em 2/3 no contato solo-muro, e o empuxo passivo em 1/3.
9. Cálculo dos pesos e dos braços de alavanca em relação a base (ponto A)
𝑃𝑚𝑢𝑟𝑜 = 𝛾𝑐 . 𝐴
3,00
A
0,50
γ = 18 kN/m³
φ’ = 30º
c’ = 15 kPa
2,00
2,00
2,00
1,00
1,00
Δσ = 10 kPa
6
2 3 4
5
1
7
𝑃𝑠𝑜𝑙𝑜 = 𝛾. 𝐴 𝑃𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 = 𝛥𝜎. 𝐿
𝑃1 = 𝛾𝑐 . 𝐴 𝑃1 = 24 . (
0,5 . 6
2
) 𝑷𝟏 = 𝟑𝟔 𝒌𝑵/𝒎
𝑥1 =
2
3
𝑥 𝑥1 =
2
3
. 0,5 𝒙𝟏 = 𝟎, 𝟑𝟑 𝒎
𝑃2 = 𝛾𝑐 . 𝐴 𝑃2 = 24 . (0,5 . 6) 𝑷𝟐 = 𝟕𝟐 𝒌𝑵/𝒎
𝑥2 = 0,5 +
𝑥
2
𝑥2 = 0,5 +
0,5
2
𝒙𝟐 = 𝟎, 𝟕𝟓𝒎
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Exercício
Avaliar a estabilidade do muro de arrimo indicado abaixo. Dados: qmáx = 450 kPa; γconcreto = 24 kN/m³, reduzir os
parâmetros de resistência em 2/3 no contato solo-muro, e o empuxo passivo em 1/3.
9. Cálculo dos pesos e dos braços de alavanca em relação a base (ponto A)
𝑃𝑚𝑢𝑟𝑜 = 𝛾𝑐 . 𝐴
3,00
A
0,50
γ = 18 kN/m³
φ’ = 30º
c’ = 15 kPa
2,00
2,00
2,00
1,00
1,00
Δσ = 10 kPa
6
2 3 4
5
1
7
𝑃𝑠𝑜𝑙𝑜 = 𝛾. 𝐴 𝑃𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 = 𝛥𝜎. 𝐿
𝑃3 = 𝛾𝑐 . 𝐴 𝑃3 = 24 . (1 . 4) 𝑷𝟑 = 𝟗𝟔 𝒌𝑵/𝒎
𝑥3 = 1 +
𝑥
2
𝑥3 = 1 +
1
2
𝒙𝟑 = 𝟏, 𝟓 𝒎
𝑃4 = 𝛾𝑐 . 𝐴 𝑃4 = 24 . (1 . 2) 𝑷𝟒 = 𝟒𝟖 𝒌𝑵/𝒎
𝑥4 = 2 +
𝑥
2
𝑥4 = 2 +
1
2
𝒙𝟒 = 𝟐, 𝟓𝒎
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Exercício
Avaliar a estabilidade do muro de arrimo indicado abaixo. Dados: qmáx = 450 kPa; γconcreto = 24 kN/m³, reduzir os
parâmetros de resistência em 2/3 no contato solo-muro, e o empuxo passivo em 1/3.
9. Cálculo dos pesos e dos braços de alavanca em relação a base (ponto A)
𝑃𝑚𝑢𝑟𝑜 = 𝛾𝑐 . 𝐴
3,00
A
0,50
γ = 18 kN/m³
φ’ = 30º
c’ = 15 kPa
2,00
2,00
2,00
1,00
1,00
Δσ = 10 kPa
6
2 3 4
5
1
7
𝑃𝑠𝑜𝑙𝑜 = 𝛾. 𝐴 𝑃𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 = 𝛥𝜎. 𝐿
𝑃5 = 𝛾𝑠𝑜𝑙𝑜 . 𝐴 𝑃5 = 18 . (1 . 2) 𝑷𝟓 = 𝟑𝟔 𝒌𝑵/𝒎
𝑥5 = 1 +
𝑥
2
𝑥5 = 1 +
1
2
𝒙𝟓 = 𝟏, 𝟓𝒎
𝑃6 = 𝛾𝑠𝑜𝑙𝑜 . 𝐴 𝑃6 = 18 . (1 . 2) 𝑷𝟔 = 𝟑𝟔 𝒌𝑵/𝒎
𝑥6 = 2 +
𝑥
2
𝑥6 = 2 +
1
2
𝒙𝟔 = 𝟐𝒎
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Exercício
Avaliar a estabilidade do muro de arrimo indicado abaixo. Dados: qmáx = 450 kPa; γconcreto = 24 kN/m³, reduzir os
parâmetros de resistência em 2/3 no contato solo-muro, e o empuxo passivo em 1/3.
9. Cálculo dos pesos e dos braços de alavanca em relação a base (ponto A)
𝑃𝑚𝑢𝑟𝑜 = 𝛾𝑐 . 𝐴
3,00
A
0,50
γ = 18 kN/m³
φ’ = 30º
c’ = 15 kPa
2,00
2,00
2,00
1,00
1,00
Δσ = 10 kPa
6
2 3 4
5
1
7
𝑃𝑠𝑜𝑙𝑜 = 𝛾. 𝐴 𝑃𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 = 𝛥𝜎. 𝐿
𝑃7 = 𝛥𝜎. 𝐿 𝑃7 = 10 . 2 𝑷𝟕 = 𝟐𝟎 𝒌𝑵/𝒎
𝑥7 = 1 +
2
2
𝑥7 = 1 + 1 𝒙𝟕 = 𝟐𝒎
 𝐹𝑉 = 𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3 + 𝑃4 + 𝑃5 + 𝑃6 + 𝑃7 𝑭𝑽 = 𝟑𝟖𝟎 𝒌𝑵/𝒎
 𝑥 =
(𝑃1. 𝑥1 + 𝑃2. 𝑥2 +⋯+ 𝑃7. 𝑥7)
 𝐹𝑉
 𝑥 =
604,2
380
 𝒙 = 𝟏, 𝟓𝟗 𝒎
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Exercício
Avaliar a estabilidade do muro de arrimo indicado abaixo. Dados: qmáx = 450 kPa; γconcreto = 24 kN/m³, reduzir os
parâmetros de resistência em 2/3 no contato solo-muro, e o empuxo passivo em 1/3.
10. Segurança contra o tombamento
Ea = 65,10 kN/m
2,00EPP = 10,91 kN/m
0,23
∑Fv = 380 kN/m
1,59
𝐹𝑆𝑇𝑂𝑀𝐵 =
𝑀𝑟𝑒𝑠
𝑀𝑠𝑜𝑙
≥ 1,5
𝑀𝑟𝑒𝑠 = 𝐹𝑣. 𝑥 + (𝐸𝑝𝑝. 𝑦𝑝)
𝑀𝑟𝑒𝑠 = 380 . 1,59 + (10,91 .0,23)
𝑀𝑟𝑒𝑠 = 606,70 𝑘𝑁.𝑚/m
𝑀𝑠𝑜𝑙 = 𝐸𝑎 . 𝑦𝑎
𝑀𝑠𝑜𝑙 = 65,10 . 2
𝑀𝑠𝑜𝑙 = 130,2 𝑘𝑁.𝑚/m
𝐹𝑆𝑇𝑂𝑀𝐵 =
606,70
130,2
≥ 1,5
𝑭𝑺𝑻𝑶𝑴𝑩 = 𝟒, 𝟔𝟓 ≥ 𝟏, 𝟓 (𝒐𝒌, 𝒂𝒕𝒆𝒏𝒅𝒆!)
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Exercício
Avaliar a estabilidade do muro de arrimo indicado abaixo. Dados: qmáx = 450 kPa; γconcreto = 24 kN/m³, reduzir os
parâmetros de resistênciaem 2/3 no contato solo-muro, e o empuxo passivo em 1/3.
11. Segurança contra o deslizamento
Ea = 65,10 kN/m
2,00EPP = 10,91 kN/m
0,23
∑Fv = 380 kN/m
1,59
𝐹𝑆𝐷𝐸𝑆𝐿𝐼𝑍 =
𝐹𝑟𝑒𝑠
𝐹𝑠𝑜𝑙
≥ 1,5
𝐹𝑟𝑒𝑠 = 𝑠 + 𝐸𝑝𝑝 𝐹𝑠𝑜𝑙 = 𝐸𝑎
No contato solo-muro , consideraremos uma redução nos
parâmetros de resistência de 2/3. Portanto:
𝑐𝑤
′ =
2
3
𝑐′ 𝑐𝑤
′ =
2
3
15 𝒄𝒘
′ = 𝟏𝟎 𝐤𝐏𝐚
𝛿 =
2
3
𝜙′ 𝛿 =
2
3
30º 𝜹 = 𝟐𝟎º
s
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Exercício
Avaliar a estabilidade do muro de arrimo indicado abaixo. Dados: qmáx = 450 kPa; γconcreto = 24 kN/m³, reduzir os
parâmetros de resistência em 2/3 no contato solo-muro, e o empuxo passivo em 1/3.
12. Segurança contra o deslizamento
Ea = 65,10 kN/m
2,00EPP = 10,91 kN/m
0,23
∑Fv = 380 kN/m
1,59
𝐹𝑆𝐷𝐸𝑆𝐿𝐼𝑍 =
𝐹𝑟𝑒𝑠
𝐹𝑠𝑜𝑙
≥ 1,5
𝐹𝑟𝑒𝑠 = 𝑠 + 𝐸𝑝𝑝
𝑠 = B . 𝑐𝑤
′ +
 𝐹𝑉
𝐵
− 𝑢 𝑡𝑎𝑛𝛿
𝐹𝑠𝑜𝑙 = 𝐸𝑎
𝑭𝒔𝒐𝒍 = 𝟔𝟓, 𝟏𝟎𝒌𝑵/𝒎
𝑠 = 3 . 10 +
380
3
− 0 𝑡𝑎𝑛20 𝒔 = 𝟏𝟔𝟖, 𝟑𝟎𝒌𝑵/𝒎
s
𝐹𝑟𝑒𝑠 = 𝑠 + 𝐸𝑝𝑝 𝐹𝑟𝑒𝑠 = 168,30 + 10,91
𝑭𝒓𝒆𝒔 = 𝟏𝟕𝟗, 𝟐𝟏 𝒌𝑵/𝒎
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Exercício
Avaliar a estabilidade do muro de arrimo indicado abaixo. Dados: qmáx = 450 kPa; γconcreto = 24 kN/m³, reduzir os
parâmetros de resistência em 2/3 no contato solo-muro, e o empuxo passivo em 1/3.
12. Segurança contra o deslizamento
Ea = 65,10 kN/m
2,00EPP = 10,91 kN/m
0,23
∑Fv = 380 kN/m
1,59
𝐹𝑆𝐷𝐸𝑆𝐿𝐼𝑍 =
𝐹𝑟𝑒𝑠
𝐹𝑠𝑜𝑙
≥ 1,5
s
𝐹𝑆𝐷𝐸𝑆𝐿𝐼𝑍 =
179,21
65,10
≥ 1,5
𝑭𝑺𝑫𝑬𝑺𝑳𝑰𝒁 = 𝟐, 𝟕𝟓 ≥ 𝟏, 𝟓 𝒐𝒌, 𝒂𝒕𝒆𝒏𝒅𝒆!
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Exercício
Avaliar a estabilidade do muro de arrimo indicado abaixo. Dados: qmáx = 450 kPa; γconcreto = 24 kN/m³, reduzir os
parâmetros de resistência em 2/3 no contato solo-muro, e o empuxo passivo em 1/3.
13. Capacidade de carga da fundação
Ea = 65,10 kN/m
2,00EPP = 10,91 kN/m
0,23
∑Fv = 380 kN/m
1,0
𝑒′ =
 𝑀𝐴
 𝐹𝑉
 𝑀𝐴 = 𝑀𝑟𝑒𝑠 −𝑀𝑠𝑜𝑙
 𝑭𝒗 = 𝟑𝟖𝟎 𝒌𝑵/𝒎
𝑒′ =
476,5
380
 𝑀𝐴 = 606,70 − 130,2
 𝑴𝑨 = 𝟒𝟕𝟔, 𝟓 𝒌𝑵.𝒎/𝒎
𝒆′ = 𝟏, 𝟐𝟓𝒎
𝐹𝑆 =
𝑞𝑚á𝑥
𝜎𝐴
≥ 2,5
Mres 606,70 kN.m/m
Msol = 130,2 kN.m/m
1,0 1,0
R
1,25
Resultante dentro do núcleo central. 
Portanto, o diagrama de tensões é trapezoidal
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Exercício
Avaliar a estabilidade do muro de arrimo indicado abaixo. Dados: qmáx = 450 kPa; γconcreto = 24 kN/m³, reduzir os
parâmetros de resistência em 2/3 no contato solo-muro, e o empuxo passivo em 1/3.
13. Capacidade de carga da fundação
Ea = 65,10 kN/m
2,00EPP = 10,91 kN/m
0,23
∑Fv = 380 kN/m
1,0
𝒆′ = 𝟏, 𝟐𝟓𝒎
Mres 606,70 kN.m/m
Msol = 130,2 kN.m/m
1,0 1,0
𝜎𝐴 =
 𝐹𝑉
𝐵
(1 +
6𝑒
𝐵
)
𝐹𝑆 =
𝑞𝑚á𝑥
𝜎𝐴
≥ 2,5
𝐹𝑆 =
450
190
≥ 2,5
𝑭𝑺 = 𝟐, 𝟑𝟕 < 𝟐, 𝟓 (𝒏ã𝒐 𝒐𝒌, 𝒏ã𝒐 𝒂𝒕𝒆𝒏𝒅𝒆!)
Seria necessário alterar a geometria do muro 
e reavaliar as condições de segurança.
𝑒 =
𝐵
2
− 𝑒′
R
1,25
𝑒 =
3
2
− 1,25
𝒆 = 𝟎, 𝟐𝟓𝒎
𝜎𝐴 =
380
3
(1 +
6 . 0,25
3
)
𝝈𝑨 = 𝟏𝟗𝟎 𝒌𝑷𝒂