Livro de Sistemas Estruturais(1)

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SISTEMAS ESTRUTURAIS
PROF. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
“A Faculdade Católica Paulista tem por missão exercer uma ação integrada de suas atividades educacionais, visando à 
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para formar profissionais empreendedores que promovam 
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Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma 
sem autorização. Todos os gráficos, tabelas e elementos são creditados à autoria, 
salvo quando indicada a referência, sendo de inteira responsabilidade da autoria a 
emissão de conceitos.
Diretor Geral | Valdir Carrenho Junior
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SUMÁRIO
AULA 01
AULA 02
AULA 03
AULA 04
AULA 05
AULA 06
AULA 07
AULA 08
AULA 09
AULA 10
AULA 11
AULA 12
AULA 13
AULA 14
AULA 15
AULA 16
 05
11
17
22
27
32
37
41
46
51
57
62
70
74
79
84
REVISÃO DE CONCEITOS BÁSICOS
ENERGIA DE DEFORMAÇÃO
PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS
APROFUNDAMENTO TEÓRICO
INTRODUÇÃO AO MÉTODO DAS FORÇAS
MÉTODO DAS FORÇAS PARTE 1
MÉTODO DAS FORÇAS PARTE 2
MÉTODO DAS FORÇAS PARTE 3
MÉTODO DAS FORÇAS PARTE 4
MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS PARTE 1
MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS PARTE 2
MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS PARTE 3
MÉTODO DE CROSS
EXERCÍCIO CROSS
TÓPICOS ESPECIAIS
USO DE SOFTWARE (FTOOL)
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INTRODUÇÃO
Nesta disciplina vamos trabalhar com estruturas hiperestáticas. Sim aquelas que 
contêm mais vinculações do que as mínimas necessárias. Isto é de extrema importância, 
pois muitos dos projetos estruturais são feitos com base nesses sistemas.
Por mais que utilizamos softwares no nosso dia a dia, o engenheiro tem que ter 
muita noção sobre os fenômenos que podem acontecer nesses sistemas.
Aqui vai um conselho, vá até a aula 16 do livro e comece estudando e baixando o 
software FTOOL. Ele vai lhe auxiliar durante muitas das aulas.
Sobre a disciplina em si, neste livro vou desenvolver exercícios passo a passo. 
Porém, vá além e depois de entendido o esquema de solução busque mais exercícios, 
mais utilizações e pratique.
Se seguir estes conselhos tirará grande proveito do livro.
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AULA 1
REVISÃO DE 
CONCEITOS BÁSICOS
Começaremos aqui um curso que dará a vocês alunos ferramentas para lidar com 
problemas mais complexos do que os que foram apresentados até agora. É claro que 
este “dará” é apenas uma expressão, você terá que estudar para adquirir de forma 
satisfatória os conhecimentos apresentados aqui. 
É claro que eu farei o possível para traduzir este conhecimento de uma maneira 
que seja agradável e fácil de entender. Em relação ao caminho a seguir, aconselho a 
seguinte ordem.
• Leia este texto antes de tudo.
• Assista ao vídeo respectivo da aula.
• Refaça aquilo que está no texto e no vídeo.
• Leio o assunto em outra fonte (livro).
• Faça exercícios dessas fontes alternativas que possuem resposta para você 
comparar com seus resultados.
Acima está o caminho mais aconselhável possível para conseguir ter um bom 
aprendizado. Você deve estar se perguntando a respeito das fontes. Vou listar aqui 
as fontes que eu particularmente gosto e que utilizei para escrever este texto. Não há 
necessidade de seguir as mesmas fontes que eu existem inúmeros livros excelentes. 
Apenas escolha alguma bibliografia que se identifique mais.
• Análise de estruturas - Conceitos e Métodos básicos (MARTHA)
• Teoria das Estruturas (CAMPANARI)
• Introdução à Mecânica dos Sólidos (POPOV)
• Curso de Análise Estrutural (SUSSEKIND)
• Mecânica dos Sólidos. (TIMOSHENKO)
• Método de Cross (SILVA)
• Teoria e prática estruturas (ROCHA)
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Agora que já sabem como estudar e onde procurar, vamos ao que interessa. Em 
cada subitem abaixo terá um tema que deverá ser revisado antes de prosseguir com 
a leitura das próximas aulas. Nos subitens abaixo estará apenas um breve resumo 
sobre os tópicos é necessário que faça uma revisão mais completa nos materiais 
relativos a cálculo estrutural de disciplinas anteriores.
1.1 Vinculações
Este primeiro item é fácil, porém é muito importante. Como já sabem, as estruturas 
são vinculadas. Isto significa que existem regiões nelas atuantes como limitadores 
de movimento. No caso da engenharia civil podemos nos referir às fundações. Elas 
podem impedir rotações e translações. De forma mais simples, elas podem impedir 
que a estrutura de um prédio não saia andando por aí e nem tombe. Portanto, as 
vinculações reagem aos esforços que chegam até elas.
 Neste tópico vamos relembrar quais as simbologias e o que as vinculações fazem. 
Vamos começar com as possíveis movimentações de um corpo no espaço. A Figura 1 
representa essas movimentações levando em consideração três dimensões. Na Figura 
1 temos três eixos e todas as movimentações possíveis em linha reta que podem ser 
realizadas como uma composição desses movimentos. Além disso, de forma análoga 
temos três rotações. Um total de 6 graus de liberdade.
Figura 1 - Possíveis movimentações de um objeto no espaço.
Fonte: Martinez (2020)
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Um dos objetivos de um projetista é escolher quais serão as vinculações utilizadas 
para impedir esses movimentos. É claro que fazer isso sem ter simbologias e padrões 
é um trabalho impossível em termos de organização. 
Portanto, temos símbolos que vão traduzir quais movimentos serão impedidos. 
Vamos fazer isto no plano em vez de um espaço tridimensional para simplificar o 
nosso raciocínio. A simplificação em um espaço bidimensional por mais que seja mais 
simples nos dá respostas adequadas para muitos tipos de projeto. Abaixo temos um 
resumo do que já foi ensinado, reveja em seus materiais das disciplinas anteriores 
para uma explicação mais detalhada.
Nas Figuras 2, 3 e 4 estão representados os três principais símbolos.
Figura 2 - Apoio móvel
Fonte: Martinez (2020)
Podemos usar o apoio móvel para identificar que em uma região da nossa estrutura 
uma das translações estará impedida e a outra estará livre. No caso da Figura 2 a 
movimentação em x está livre e em z está restringida. Esta vinculação não restringe 
possíveis giros.
Fonte: Martinez (2020)
Figura 3 - Apoio Fixo
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Podemos usar o apoio fixo para identificar uma região da nossa estrutura em que 
não será possível nenhum tipo de translação. A nossa estrutura neste ponto não 
poderá se movimentar na vertical e nem na horizontal. Porém poderá girar neste ponto.
Figura 4 - Engaste
Fonte: Martinez (2020)
Por fim temos o engaste. Este vínculo impede todos os movimentos possíveis em 
uma estrutura. Com estes símbolos podemos idealizar as estruturas das Figuras 5, 
6 e 7.
Figura 5 - Exemplo de vigas
Fonte: Martinez (2020)
Fonte: Martinez (2020)
Figura 6 - Exemplo de pórticos
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Fonte: Martinez (2020)
Figura 7 - Exemplo de treliça
1.2 Grau de estaticidade
Agora que já relembramos um pouco sobre vinculações podemos pensar em como 
vamos definir essas vinculações em um projeto. Uma questão que pode estar em sua 
cabeça agora é: “Posso deixar o meu projeto com o mínimo de vinculações possíveis?”ou 
“Posso colocar mais vinculações do que as mínimas em meu projeto?”
Para as duas perguntas acima a resposta é sim. O engenheiro que vai definir qual 
situação será feita, baseado no que se espera da estrutura em termos de esfoços 
(Reveja o que é tração,compressão, esforço cortante e momento fletor!!!).
Perceba que eu omiti uma das perguntas possíveis: “Posso deixar menos vinculações 
do que as mínimas necessárias?”. Para esta pergunta a resposta é definitivamente não. 
Nesta conversa simples já podemos relembrar três nomes: estruturas hipostáticas, 
isostáticas e hiperestáticas. 
• Hipostáticas são as que possuem menos vinculações que as mínimas necessárias 
para manter o equilíbrio da minha estrutura. 
• Isostáticas são as que possuem o número mínimo de vinculações para manter 
minha estrutura em equilíbrio.
• Hiperestáticas são as que possuem mais vinculações do que as mínimas para 
manter minha estrutura em equilíbrio.
Em um curso anterior vimos como identificar em qual caso estamos. Isto deve ser 
revisto também. Mas podemos dar um exemplo bem simples para identificarmos 
em qual situações estamos. Na Figura 8 está representado um possível projeto. A 
questão é: “ Podemos projetar algo deste tipo?”. 
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Figura 8 - Possível projeto
Fonte: Martinez (2020)
A resposta é não, pois a estrutura acima é hipostática. Como o apoio fixo impede 
apenas translações, a barra vai girar em torno do símbolo do apoio fixo e simplesmente 
cair. 
A solução para este projeto é trocar o apoio fixo por um engaste, pois ele vai 
impedir translações e giros. No plano (duas dimensões) precisamos travar no mínimo 
movimentações na horizontal, vertical e possíveis giros. O engaste faz tudo isso. Na 
Figura 9 temos a correção do projeto apresentado pela Figura 8. A estrutura da Figura 
9 é isostática.
Figura 9 - Projeto corrigido
Fonte: Martinez (2020)
Se o projeto permitir podemos transformar a viga isostática acima em uma viga 
hiperestática adicionando qualquer vinculação mostrada anteriormente na extremidade 
direita da barra. Deste modo ficamos com mais impedimentos que o necessário em 
termos de movimentação.
Nas disciplinas anteriores aprendemos a lidar com estruturas isostáticas. O objetivo 
principal desta disciplina é aprender a lidar com estruturas hiperestáticas. 
ISTO ESTÁ NA REDE
Neste link tem um material sobre patologias em ligações metálicas. Em estruturas 
metálicas os símbolos que usamos são traduzidos em parafusos e soldas 
principalmente.
https://www.abcem.org.br/construmetal/2012/arquivos/Cont-tecnicas/
apresentacoes/31_FALHAS-E-PATOLOGIAS-NAS-ESTRUTURAS-METALICAS.pdf
https://www.abcem.org.br/construmetal/2012/arquivos/Cont-tecnicas/apresentacoes/31_FALHAS-E-PATOLOGIAS-NAS-ESTRUTURAS-METALICAS.pdf
https://www.abcem.org.br/construmetal/2012/arquivos/Cont-tecnicas/apresentacoes/31_FALHAS-E-PATOLOGIAS-NAS-ESTRUTURAS-METALICAS.pdf
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AULA 2
ENERGIA DE DEFORMAÇÃO
Começaremos nesta aula a definir alguns conceitos muito úteis para o cálculo de 
estruturas hiperestáticas. Vamos começar com a energia de deformação. Sim, iremos 
trabalhar com alguns conceitos da física.
Na física básica existe o princípio geral da conservação de energia. Se você lembrar, 
já deve ter resolvido vários exercícios sobre o assunto. Em muitos casos iguala-se a 
energia cinética em um ponto com a energia potencial gravitacional em outro ponto 
para chegar a alguns resultados do problema. Além da energia cinética e potencial foi 
usado também anteriormente em seu curso a ideia do trabalho que uma força exerce.
É muito bom ir puxando em nossa memória estas ideias, pois vamos pensar em 
formas análogas de utilização das mesmas para as nossas estruturas. Esta aula será 
para transportar para a realidade das estruturas os conceitos de energia.
2.1 Energia de deformação
Na física a fórmula de trabalho é igual à força vezes a distância percorrida pelo 
corpo na direção da força. Nós devemos pensar nessa mesma ideia fazendo uma 
conversão para as variáveis que utilizamos na resistência dos materiais.
As variáveis que estou mencionando são as tensões e deformações. Como vocês 
sabem existem alguns tipos de tensões. Vou lembrar de duas importantes, as tensões 
normais de tração e compressão e as tensões cisalhantes. Em relação às deformações 
podemos lembrar das deformações no sentido normal ao plano onde atuam e as 
deformações longitudinais ao plano.
Estou me referindo às seguintes fórmulas de tensões e trabalho.
 Tensão normal a uma área. (pode ser tração ou compressão)
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 Tensão de cisalhamento
 Trabalho realizado por uma força, sendo “d” à distância na 
direção do movimento.
Relembrado o tema acima podemos ir para a Figura 10. Nela temos um cubo 
infinitesimal, podemos pensar em um pequeno ponto em nossa estrutura formado 
pelos lados dx, dy e dz. Se em um projeto uma barra sofre uma tração, podemos 
pensar em cada um dos pontos internos desta barra. Cada um dos pontos internos 
vai sofrer a tração em termos de tensão normal conforme a própria Figura 10.
Figura 10 - Representação das tensões e deformações em um infinitesimal
Fonte: Martha (2020)
Em outras palavras, cada um dos pontos internos da nossa estrutura terá um 
trabalho realizado com suas respectivas tensões. Chamamos, portanto, de energia 
de deformação a integral de cada um desses trabalhos ao longo do volume da nossa 
estrutura.
Lembre-se dos conceitos relacionados às integrais e as áreas e volte para a Figura 10 
no gráfico representado à direita. Ali encontra-se um gráfico de tensão por deformação. 
A área correspondente deste gráfico equivale à energia de deformação interna por 
unidade de volume da estrutura.
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Escrevendo a fórmula necessária ficamos com a seguinte expressão.
Percebam que a integral acima equivale à área e a área equivale à energia de 
deformação interna por unidade de volume da estrutura. Neste caso estamos pensando 
na tração apenas. Porém, a fórmula pode ser generalizada levando-se em consideração 
os outros fenômenos possíveis. Os fenômenos possíveis a que me refiro podem ser 
também a flexão, cortante e torção.
A mesma fórmula pode ser montada para um caso de pórtico levando-se em 
consideração a parcela referente à normal, a flexão e a cortante. Dessa forma, a 
fórmula final ficará da seguinte forma.
Sendo 
 parcela referente a força normal
 parcela referente à flexão
 parcela referente ao cisalhamento
A última parcela é diferente das demais porque ela é referente à tensão de cisalhamento 
e a sua respectiva deformação. A deformação referente à tensão de cisalhamento é 
uma distorção ou deformação angular e por isso utiliza-se a letra .
2.2 Aplicação básica
Para fazer uma aplicação do que foi descrito acima precisamos primeiramente 
modificar as expressões acima utilizando os conhecimentos adquiridos em disciplinas 
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anteriores. Percebam como utilizamos tudo o que foi ensinado a vocês até agora no 
decorrer de todo o curso.
Vamos transformar as integrais em termos da área e ao longo da barra. Por que 
fazemos isso? Porque nossas estruturas são compostas de barras e deixar tudo em 
função do comprimento de cada barra é mais adequado. A nossa equação ficará da 
seguinte forma. 
Só falta resolver cada uma dessas parcelas. Na Figura 11 temos cada uma dessas 
soluções. Nela N é o esforço normal, M é o momento fletor e Q é o esforço cortante.
Figura 11 - Resolução das integrais
Fonte: Martha (2020)
U = energia de deformação elástica total armazenada na estrutura.
 = energia de deformação para o efeito axial armazenada em um elemento 
infinitesimal da barra.
 = energia de deformação para o efeito da flexão armazenada em um elemento 
infinitesimal da barra.
= energia de deformação para o efeito da cortante armazenada em um 
elemento infinitesimal da barra.
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De forma geral o que tem-se é:
Por extenso significa que o trabalho realizado pelas forças externas quando a 
estrutura se deforma é igual à energia de deformação elástica armazenada na estrutura.
Então, essa formulação serve para tudo? Do jeito que foi idealizada não. Temos 
que levar em consideração as seguintes hipóteses.
• O carregamento é aplicado de forma lenta. Não consideramos a energia cinética.
• A única energia armazenada é a energia de deformação elástica.
• A energia de deformação por efeito cortante é desprezada.
• A estrutura tem comportamento linear elástico. Não há plastificação e os 
deslocamentos são pequenos.
Você pode estar pensando que limitou demais, porém é possível resolver muitos 
projetos com estas hipóteses. Nas Figuras 12 e 13 temos a aplicação dessas equações 
em um exemplo muito simples, no qual desejamos conhecer o deslocamento vertical 
máximo da estrutura em um determinado ponto.
Figura 12 - Estrutura do exemplo com o gráfico do momento fletor e a relação do trabalho externo.
Fonte: Martha (2020)
Pela Figura 12 podemos chegar à conclusão que o trabalho externo da estrutura 
é dado pela seguinte equação.
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O trabalho externo da estrutura foi dado pela área do gráfico 
 
Figura 13 - Solução das integrais passo a passo
Fonte: Martha (2020)
A conclusão aqui é a mais importante. A fórmula da flecha pela energia de deformação 
é igual à solução feita por linha elástica (feita em disciplinas anteriores). É possível, 
portanto, chegar a resultados iguais aos das outras teorias.
Nas próximas aulas vamos continuar nosso caminho pelos métodos energéticos 
e suas consequências.
ISTO ESTÁ NA REDE
Sobre a energia de deformação você pode fazer uma leitura complementar 
da seguinte apostila http://www.fec.unicamp.br/~nilson/apostilas/energia-de-
deformacao-teoremas-de-energia.pdf
ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
É possível fazer alguns exercícios como segue no link https://www.youtube.com/
watch?v=2osY0S8kbK0
http://www.fec.unicamp.br/~nilson/apostilas/energia-de-deformacao-teoremas-de-energia.pdf
http://www.fec.unicamp.br/~nilson/apostilas/energia-de-deformacao-teoremas-de-energia.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=2osY0S8kbK0
https://www.youtube.com/watch?v=2osY0S8kbK0
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AULA 3
PRINCÍPIO DOS 
TRABALHOS VIRTUAIS
Trabalhamos na aula passada com o conceito de energia de deformação. Este 
conceito é de muita importância para conseguirmos entendermos o que é o trabalho 
virtual.
Vamos começar com a limitação da aula anterior. Qual?
• Só é possível aplicar as fórmulas anteriores quando há uma força concentrada 
no ponto onde há o deslocamento. Da mesma forma em relação a momentos 
fletores concentrados.
Na aula de hoje vamos acabar com a limitação apresentada acima. O que é muito bom 
e nos dará a possibilidade de resolver exercícios diversos. É claro que estamos falando 
aqui de estruturas hiperestáticas. As isostáticas já foram trabalhadas anteriormente.
3.1 Desenvolvendo o princípio de trabalho virtual
Na aula anterior vimos basicamente que existe uma relação entre a força aplicada 
externamente (sistema de forças externas) e a deformação final da estrutura 
(configuração deformada). Isto faz muito sentido, é claro.
Porém, é possível “separar” essas duas situações. A questão é como? Em primeiro 
lugar não vai mais ser estabelecido a relação de causa e efeito entre as forças e as 
deformações, porém vai ser respeitado o equilíbrio da estrutura e a compatibilidade 
entre deslocamentos e deformações.
A combinação do que foi dito acima resulta no princípio dos trabalhos virtuais 
(PTV). Agora vamos às formulações.
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Acima temos que o trabalho externo realizado é igual à energia interna da estrutura. 
Até agora igual à aula anterior.
Se abrirmos a fórmula acima ficaremos com a seguinte sentença.
Temos a somatória das forças (Fa) vezes os deslocamentos (Db), isto nada mais é 
que a somatória dos trabalhos externos. Do outro lado temos a energia de deformação 
interna da estrutura.
O que vamos fazer é compatibilizar as forças externas com as tensões internas e 
os deslocamentos externos com as deformações internas da estrutura. De uma forma 
mais simples seria manter o sistema em equilíbrio devido às forças e tensões e os 
deslocamentos e deformações compatíveis.
Em resumo o que vamos fazer (repetindo) é retirar a causa e efeito do sistema, as 
deformações e forças não serão consequências uma das outras. Por causa disso surge 
o nome virtual, pois este processo tem mais a ver com a matemática do problema 
do que com a física da situação. Neste caso, chamamos de trabalho virtual e energia 
de deformação virtual.
Agora vamos expressar em termos de relações matemáticas o que foi descrito acima.
Precisamos entender o que é a nova integral à direita. Ela equivale à energia 
de deformação interna da estrutura combinando os esforços internos (fa) com os 
correspondentes deslocamentos internos da estrutura (db).
A tradução da sentença acima é a seguinte.
O que são as forças externas em nossas estruturas ?
• As forças externas em nossas estruturas são as solicitações e reações de 
apoio. Sim, se estamos pensando em uma viga de um prédio, as solicitações 
são todas as forças que chegam até ali. Peso de parede, acabamentos, peso 
de laje, peso de pessoas em cima da laje. As reações de apoio nada mais são 
do que a reação que um pilar faz em uma viga.
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Quais são os esforços internos compatíveis com as forças externas?
• Os esforços internos em nossas estruturas são as respostas dadas pelos 
diagramas que vocês viram em disciplinas anteriores. Sim, estamos falando 
dos diagramas (gráficos) de esforço normal (compressão e tração), esforço 
cortante (cisalhamento), momento fletor e momento torsor. No caso de pórticos 
planos podemos retirar a parcela de momento torsor.
Percebam que devido a esta relação podemos relacionar o trabalho externo 
diretamente com as respostas que buscamos em disciplinas anteriores. As soluções 
para pórticos planos ficam da seguinte forma.
As integrais acima são respectivas às forças normais, aos momentos fletores e 
aos esforços cortantes, nesta ordem.
Vale lembrar que o PTV (princípio do trabalho virtual) é válido se as condições 
de equilíbrio e a configuração deformada da estrutura realmente satisfizerem a 
compatibilidade. De maneira bem simples a matemática e a física devem bater no final.
A consequência do PTV é que podemos estabelecer um conjunto de forças arbitrárias 
que satisfazem as condições de equilíbrio da estrutura. De maneira mais simples, 
podemos criar um conjunto de forças externas que não existem (virtuais), mas que 
criam as mesmas condições da estrutura na situação desejada de projeto. A estas 
forças virtuais estamos nos referindo ao princípio das forças virtuais.
Isto facilita demais nossas soluções e abre caminho para metodologias de cálculo 
que vamos estudar nas próximas aulas.
3.2 Princípio das forças virtuais
Agora que possuímos um norte para onde vamos, podemos trabalhar melhor 
em cima do conceito de forças virtuais. Basicamente, vamos impor condições de 
compatibilidade para estruturas em situações deformadas que facilitam o cálculo 
de estruturas hiperestáticas. Porém, vamos começar com algo mais simples. Para o 
exemplo vamos usar Figura 14 abaixo. 
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O que queremos ?
Queremos calcular o deslocamento D2 devido a uma força P1 no centro de uma viga 
biapoiada conforme o esquema à esquerda da Figura 14. Temos que entender aqui que 
esta é uma situação real de projeto, ou seja, é o que vai realmente acontecer na prática. 
Figura 14 - Sistemareal e sistema virtual
Fonte: Martha (2020)
O que vamos fazer é utilizar o princípio das forças virtuais para encontrar uma 
situação que nos dê a mesma resposta naquele ponto onde desejamos encontrar 
o deslocamento D2. Podemos fazer melhor ainda, deixar P2 igual a 1 e depois fazer 
a proporção necessária equivalente ao sistema real em termos de momento fletor.
Agora que fizemos a equivalência vamos aos cálculos necessários.
Temos que lembrar que é a rotação relativa ao sistema real do problema.
A conclusão aqui é que o princípio das forças virtuais nos permite calcular os 
deslocamentos e rotações de forma generalizada. As cargas na estrutura podem ser de 
qualquer tipo e quantidades, pois vamos estabelecer uma equivalência com um sistema 
virtual de baixa complexidade para extrairmos as respostas necessárias do problema.
As respostas podem ser deslocamentos e rotações em qualquer ponto da estrutura. 
Percebam que a ferramenta apresentada aqui é poderosíssima e será aplicada com 
frequência durante este curso.
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Com a fórmula de D2 fica mais fácil entender porque podemos igualar P2 a 1. O 
momento fletor é função de P2 e ele será cancelado naturalmente.
Em relação à fórmula de D2 podemos retirar da integral a parcela 1/E supondo que 
as propriedades do material e sua seção transversal não mudará no comprimento 
da viga. 
Fazendo isso pode-se recorrer a uma tabela com respostas clássicas que podem 
ocorrer. Esta tabela está representada na Figura 15.
ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
Na prática muito dos métodos energéticos são utilizados para resolver problemas 
de forma aproximada numericamente. 
Figura 15 - Relações práticas da integral referente aos momentos fletores
Fonte: Martha (2020)
ISTO ESTÁ NA REDE
Um link extra para ajudar é https://www.youtube.com/watch?v=l4Kw8n7Aix8
https://www.youtube.com/watch?v=l4Kw8n7Aix8
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AULA 4
APROFUNDAMENTO TEÓRICO
Nesta aula vamos nos dedicar um pouco a alguns nomes importantes que 
desenvolveram teoremas muito úteis para a resolução de problemas hiperestáticos. 
Cada um desses personagens nos deram contribuições teóricas que nos capacitam a 
transformar um sistema com maior complexidade em sistema de menor complexidade.
Estamos nos referindo aos:
• Teorema de Betti
• Teorema de Maxwell
• Teoremas de Castigliano
Nos tópicos a seguir será desenvolvido cada um deles de forma sucinta.
4.1 Teorema de Betti
Antes de qualquer coisa, vamos explicar o teorema da maneira mais simples 
possível e depois partiremos para fórmulas mais avançadas. Neste teorema você 
precisa imaginar duas situações em termos de esquema estático e estrutura que 
geram o mesmo fenômeno.
Isto não é difícil de fazer, pois sabemos que é possível combinar esforços de diferentes 
maneiras para gerar os mesmos deslocamentos. Se isto não fosse possível, não teria 
como gerar sistemas equivalentes ou até mesmo fazer a famosa superposição de 
efeitos.
Resumindo podemos imaginar vários tipos de esforços diferentes que geram a 
mesma posição deformada na estrutura.
O Teorema de Betti vai trabalhar com esta equivalência em termos do trabalho 
virtual produzido nas possíveis situações.
Em termos mais formais podemos adotar uma estrutura qualquer na qual está 
submetida a um grupo de cargas Pi que constituem o estado de deformação. Podemos 
adicionar ainda outro grupo de cargas Pk que constitui o estado de carregamento.
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Em cima disso podemos aplicar o teorema dos trabalhos virtuais conforme as 
aulas passadas.
 indica a deformação na direção da carga Pk devido ao carregamento Pi.
Para a mesma estrutura podemos inverter a situação e pegar Pk como o estado 
de deformação e Pi como o estado de carregamento. Ficaríamos com a respectiva 
fórmula.
 indica a deformação na direção da carga Pi devido ao carregamento Pk.
Podemos agora igualar as duas situações
A expressão que está logo acima indica o teorema de Betti. A tradução do teorema 
acima no diz que:
O trabalho virtual produzido por um sistema de forças em equilíbrio, 
quando se desloca devido às deformações produzidas por um outro 
sistema de forças em equilíbrio, é igual ao trabalho virtual produzido 
por este segundo sistema de forças quando se desloca devido às 
deformações produzidas pelo primeiro sistema (SUSSEKIND,1983, 
p.79).
4.2 Teorema de Maxwell
Este teorema segue o raciocínio anterior, porém modifica Pi e Pk de forma que 
assumam um valor unitário e que sejam uma única força ou momento. A equação, 
portanto, ficará da seguinte maneira.
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A tradução da expressão acima é:
O deslocamento de um ponto na direção de um esforço unitário, 
provocado por um segundo esforço unitário, é igual ao deslocamento 
do ponto de aplicação do segundo esforço, em sua direção, devido 
a aplicação do primeiro esforço unitário (SUSSEKIND,1983, p.79).
Temos que lembrar aqui que o esforço pode ser uma força ou um momento. Podemos 
usar a Figura 16 para exemplificar a relação acima.
Figura 16 - Dois casos onde se aplicam o teorema
Fonte: (SUSSEKIND,1983)
4.3 Teoremas de Castigliano
Por fim, estamos no último tópico. Neste tópico falaremos um pouco de derivadas. 
Sim, isso mesmo, as derivadas do cálculo diferencial e integral. Mas fique tranquilo 
é coisa simples.
Temos que compreender duas situações básicas que já foram referenciadas nesta 
disciplina.
• O trabalho das forças externas ocasionadas em uma estrutura. Para relembrar 
você deve olhar a Figura 12 da aula 2 e a fórmula correspondente.
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 Trabalho realizado por forças externas que variam de zero 
até o valor final
 Somatória dos trabalhos realizados.
A Figura 17 ajudará a entender os próximos desenvolvimentos.
Figura 17 - Gráfico da carga pelo deslocamento
Fonte: (SUSSEKIND,1983)
• O trabalho das forças internas (energia real de deformação da estrutura). Revisem 
as aulas anteriores para conseguir entender melhor o assunto.
Relembrando as informações acima podemos agora expressar os dois teoremas 
de Castigliano.
O primeiro teorema nos diz o seguinte:
“A derivada parcial da energia real de deformação em relação a uma das 
cargas aplicadas é igual a deformação elástica segundo a direção desta carga” 
(SUSSEKIND,1983, p.82).
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Segundo teorema nos diz que:
“A derivada parcial da energia real de deformação em relação à deformação 
elástica segundo a direção de uma das cargas aplicadas é igual ao valor desta carga” 
(SUSSEKIND,1983, p.82).
ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
Os teoremas aqui são utilizados nos métodos das próximas aulas.
ISTO ESTÁ NA REDE
Aqui temos um complemento teórico sobre o assunto https://repositorium.sdum.
uminho.pt/bitstream/1822/12991/2/SPR_33b.pdf
https://repositorium.sdum.uminho.pt/bitstream/1822/12991/2/SPR_33b.pdf
https://repositorium.sdum.uminho.pt/bitstream/1822/12991/2/SPR_33b.pdf
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AULA 5
INTRODUÇÃO AO 
MÉTODO DAS FORÇAS
Nesta aula vamos fazer uma abordagem teórica sobre o método das forças utilizando 
todos os conhecimentos adquiridos até agora. Em resumo sabemos pelos métodos 
energéticos apresentados que podemos criar casos virtuais em uma estrutura.
Esses casos virtuais são casos que não estão acontecendo de fato ali, mas que no 
final das resoluções e compatibilização de esforços vão nos ajudar para chegarmos 
a resolução final do nosso problema.
O nosso problema aqui será sempre um caso hiperestático. Vamos fazer uma breve 
revisão sobre o tema. Primeiro, o que é uma estrutura isostática?
Uma estrutura isostáticaé uma estrutura que possui um número mínimo de 
vinculações (apoios e engastes) que a deixam em equilíbrio estático. Em termos de 
formulações conseguimos resolver o problema apenas aplicando as equações básicas 
da estática.
 Somatória de forças horizontais é igual a zero
 Somatória de forças verticais é igual a zero
 Somatória de momentos é igual a zero
As equações acima foram usadas exaustivamente por você durante o curso. Porém, 
não dá para resolver todas as estruturas dessa forma. Vamos a uma situação.
Em termos gerais, na Figura 18 temos três travamentos. Dois travamentos no 
apoio fixo da esquerda e um travamento no apoio móvel da direita. Como o esquema 
estático é muito simples (viga biapoiada) sabemos que esses três travamentos fazem 
com que ela seja isostática. Leia mais sobre o assunto na aula 1.
Fonte: elaborado pelo autor
Figura 18 - Viga isostática
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Outro exemplo de uma viga isostática é o exemplo da Figura 19.
Figura 19 - Viga em balanço
Fonte: elaborado pelo autor.
Também temos três tratamentos. Porém agora em apenas uma vinculação à 
esquerda (engaste). Tanto na Figura 18 quanto na Figura 19 conseguimos usar as 
fórmulas básicas apresentadas acima e resolver o problema.
A grande questão aqui é como resolver o problema o problema se o esquema 
estático for hiperestático conforme a Figura 20.
Figura 20 - Viga hiperestático
Fonte: elaborado pelo autor.
Na Figura 20 teremos um número maior de incógnitas do que equações para resolver 
o problema. No caso temos três equações de somatória e cinco travamentos. Cinco 
menos três é igual a dois e, portanto, temos uma estrutura duas vezes hiperestática. 
É claro que a sentença acima é uma simplificação de algumas contas que já foram 
apresentadas em disciplinas anteriores. Revisem sobre o tema grau de hiperestaticidade.
O que o método das forças vai fazer para resolver este problema? Simples, nós 
iremos utilizar os conceitos sobre situações virtuais para transformar o problema 
acima em um problema isostático. Existem várias opções possíveis para isso em 
uma única estrutura, duas delas estão representadas na Figura 21.
Figura 21 - Duas opções para a transformação em um sistema isostático
Fonte: elaborado pelo autor
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Na primeira opção da Figura 21 rotulamos em cima dos apoios e acrescentamos os 
momentos equivalentes para que o sistema continuasse com as mesmas características 
do sistema da Figura 19.
Na segunda opção retiramos os apoios e acrescentamos forças no lugar dos 
mesmos.
Para que as situações apresentadas na Figura 21 não sejam diferentes da apresentada 
na Figura 20 temos que estabelecer uma compatibilização dos deslocamentos.
O que quero dizer é o seguinte:
• Se tirarmos um apoio móvel, vamos colocar uma força no lugar que terá uma 
intensidade, direção e sentido que anule o deslocamento vertical ali. De outra 
forma esta força será equivalente ao apoio que tiramos.
• Se rotularmos em um determinado ponto, vamos colocar um momento ali que 
também anule o deslocamento e funcione como o vínculo retirado.
Depois de escolher quais vínculos serão retirados para formar um problema isostático 
o próximo passo será montar um sistema de compatibilidade entre as situações 
geradas.
Para ficar claro, vamos ao exemplo da Figura 22. Na Figura 22 o primeiro esquema 
estático é o real, ou seja, é o que você realmente tem para resolver no seu projeto, 
por exemplo.
O segundo caso de cima para baixo chamamos de principal, ou seja, é o caso 
isostático a partir da retirada de vínculos ou da aplicação de rótulas. No nosso caso 
foi escolhido colocar rótulas.
O caso 1 e 2 também são isostáticos, porém neles são aplicados esforços unitários 
( igual a 1) equivalente ao vínculo retirado. No nosso caso rotulamos a estrutura então 
o esforço unitário é igual a um momento de valor 1.
ANOTE ISSO
Separar os casos é de extrema importância para o método. Por esta razão, atenção 
dobrada nesta parte.
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Figura 22- Como transformar a estrutura
Fonte: elaborado pelo autor
Qual é o objetivo aqui? O objetivo é fazer uma combinação entre o sistema principal, 
o caso 1 e o caso 2 de tal forma que chegaremos aos valores do sistema real.
Isto só é possível de fazer por causa das demonstrações das aulas passadas a 
respeito da possibilidade de trabalhar com sistemas virtuais.
Tanto o caso principal, quanto o caso 1 e o caso 2 são isostáticos e portanto, o 
próximo passo é encontrar os diagramas de momento de cada um deles da maneira 
que você já conhece. Fazendo as somatórias de forças e momentos passo a passo 
como nas disciplinas anteriores.
Na Figura 23 temos como exemplo todos os diagramas, do caso real, do principal, 
do caso 1 e do caso 2.
Baseado no princípio dos trabalhos virtuais o objetivo será montar um sistema 
de equações que combinarão o caso principal, com o caso 1 e com o caso 2 para 
chegarmos na situação real.
Tudo isto que foi falado acima é um resumo de como funciona o método das forças. 
Nas aulas que se seguem, vamos fazer um passo a passo em cima de um exemplo 
para que você entenda todo o procedimento.
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Figura 23 - Diagramas obtidos de cada uma das parcelas
Fonte: elaborado pelo autor.
ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
Na prática os diagramas são muito úteis para compreendermos como a estrutura 
funciona.
ISTO ESTÁ NA REDE
Um material complementar pode ser encontrado em http://professor.pucgoias.
edu.br/SiteDocente/admin/arquivosUpload/17451/material/Aula%203%20-%20
M%C3%A9todo%20das%20for%C3%A7as%20-%20folhetos%20-%202%20por%20
pag..pdf
http://professor.pucgoias.edu.br/SiteDocente/admin/arquivosUpload/17451/material/Aula%203%20-%20M%C3%A9todo%20das%20for%C3%A7as%20-%20folhetos%20-%202%20por%20pag..pdf
http://professor.pucgoias.edu.br/SiteDocente/admin/arquivosUpload/17451/material/Aula%203%20-%20M%C3%A9todo%20das%20for%C3%A7as%20-%20folhetos%20-%202%20por%20pag..pdf
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http://professor.pucgoias.edu.br/SiteDocente/admin/arquivosUpload/17451/material/Aula%203%20-%20M%C3%A9todo%20das%20for%C3%A7as%20-%20folhetos%20-%202%20por%20pag..pdf
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AULA 6
MÉTODO DAS FORÇAS PARTE 1
Começaremos esta aula com um caso prático. O que fizermos aqui em termos de 
roteiro você poderá usar para exercícios diferentes. Vamos usar a situação da aula 
passada. Como você já conhece o primeiro passo começaremos a nossa resolução 
do problema a partir da Figura 24 e 25. Vamos considerar o módulo de elasticidade 
E e o momento de inércia I igual em toda a viga.
Figura 24 - Dados iniciais do problema
Fonte: elaborado pelo autor
Agora que já temos em mãos os dados necessários para a combinação do caso 
principal, caso 1 e caso 2. Vamos às formulações necessárias. Temos que resolver o 
seguinte sistema de equações mostrados na Figura 26. As formulações são baseadas 
na combinação dos diagramas formados.
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=combinação entre o caso principal e o caso 1 
=combinação entre o caso principal e o caso 2 
=combinação entre o caso “n” e o caso “n” 
Figura 25 - Momentos calculados para as situações isostáticas
Fonte: elaborado pelo autor
Figura 26 - Fórmula das combinações e compatibilização
Fonte: elaborado pelo autor
=é o coeficiente que desejamos encontrar.
Por fim, a fórmula para cada um dos esforços será dada pela seguinte relação.
Traduzindo a fórmula acima. O esforço final será dado pelo esforço do caso principal 
mais a somatória dos esforçosde cada caso vezes o coeficiente X encontrado.
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ANOTE ISSO
O número de equações é proporcional ao número de travamentos retirados. No 
nosso caso retiramos 2 travamentos e portanto temos duas equações. Se for 
necessário remover 10 travamentos o número de equações será 10.
ANOTE ISSO
Agora que já sabemos o que será feito vamos começar nesta aula combinando os 
diagramas. Vamos utilizar como ferramenta a Tabela de Kurt Beyer. A Figura 27 é a 
representação da tabela.
ISTO ESTÁ NA REDE
A Tabela de Kurt Beyer pode ser encontrada no seguinte link https://kupdf.net/
download/tabela-de-kurt-beyer_59a6e352dc0d60ff6f568edb_pdf
Caso não encontre neste link, não se desespere. É uma Tabela fácil de ser 
encontrada pelo google.
Dito tudo isso podemos fazer as combinações usando a tabela de Kurt Beyer. A 
combinação irei demonstrar passo a passo, o restante segue o mesmo raciocínio.
A combinação é a combinação entre uma parábola e um triângulo, porém os 
dois possuem sentidos contrários, isto significa que a combinação será negativa. Pela 
tabela de Kurt Beyer utilizaremos o caso demonstrado na Figura 28. Os valores da 
fórmula abaixo foram retirados das Figuras 27 e 28. Sendo E o módulo de elasticidade 
do trecho e I o momento de inércia do trecho. Não há uma terceira parcela, pois no 
último trecho o caso 1 vale zero (sem diagrama)
https://kupdf.net/download/tabela-de-kurt-beyer_59a6e352dc0d60ff6f568edb_pdf
https://kupdf.net/download/tabela-de-kurt-beyer_59a6e352dc0d60ff6f568edb_pdf
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Figura 27 - Tabela de Kurt Beyer
Fonte: (KUPDF, 2017)
Figura 28 - Combinação entre parábola e triângulo
Fonte: Adaptado de KUPDF
Se você seguir o mesmo raciocínio chegará às seguintes equações.
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Só foi necessário calcular porque é igual a .Isto ocorre pelos teoremas 
de energia apresentados nas aulas passadas.
Basta agora substituir no sistema de equações e ficaremos com os seguintes 
valores. Na Figura 29 temos o sistema e o resultado.
Figura 29 - Sistema e sua solução
Fonte: Próprio autor.
Como os valores de X1 e X2 são positivos significa que acertamos o sentido dos 
momentos na Figura 25. Na próxima aula continuaremos com a solução deste problema.
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AULA 7
MÉTODO DAS FORÇAS PARTE 2
Na aula passada caminhamos bastante com o método das forças e agora falta a 
finalização do mesmo. Vamos fazer um resuminho e apresentar os cálculos finais. 
Na Figura 30 temos os dados iniciais do problema e como transformamos tudo em 
isostático.
Figura 30 - Começo do problema
Fonte: elaborado pelo autor
Na Figura 31 temos os momentos fletores de cada um dos casos isostáticos. Na 
Figura 32 temos o resultado de X1 e de X2. E agora, qual é o próximo passo?
O próximo passo é encontrar as reações de apoio de cada uma das situações 
isostáticas que adotamos. Como fazemos isso? 
Isto é simples, usamos os métodos convencionais que vocês já estudaram nas 
disciplinas anteriores. Os resultados encontrados serão explicitados na Figura 33.
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Figura 31 - Diagramas de momento fletor
Fonte: elaborado pelo autor
Figura 32 - Resultados dos coeficientes de proporcionalidade
Fonte: elaborado pelo autor
É interessante que você como aluno treine encontrar as reações de apoio em cada 
uma das estruturas manualmente.
Figura 33 - Reações de apoio de cada um dos casos isostáticos
Fonte: elaborado pelo autor
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Depois de encontrar as reações de apoio nos casos isostáticos criados deve ser feito 
as combinações conforme a seguinte fórmula que já foi apresentada na aula passada.
O resultado da aplicação da fórmula acima nos dará as reações de apoio do caso 
real em cada um dos vínculos.
Começaremos com o primeiro vínculo da esquerda para a direita. 
O segundo vínculo da esquerda para a direita será:
O terceiro vínculo da esquerda para a direita será:
O quarto vínculo ficará com o seguinte valor.
Os esforços finais na viga hiperestática do exercício ficam conforme a Figura 34.
Figura 34 - Esforços finais reais da viga hiperestática
Fonte: elaborado pelo autor
Agora que os esforços foram encontrados é possível traçar os diagramas conforme 
as regras básicas de traçado. Na Figura 35 temos o diagrama de esforço cortante.
Figura 35 - Diagrama de esforço cortante da viga real
Fonte: elaborado pelo autor
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Na Figura 36 temos o diagrama de momento fletor da viga real
Figura 36 - Diagrama de momento fletor da viga real
Fonte: elaborado pelo autor
ISTO ESTÁ NA REDE
Outro exercício interessante está no seguinte link https://www.youtube.com/
watch?v=D8CRK1vbXRU
ANOTE ISSO
Saber fazer os diagramas é fundamental para a resolução dos problemas, por esta 
razão preste muita atenção nas aulas gravadas. O assunto será comentado lá.
https://www.youtube.com/watch?v=D8CRK1vbXRU
https://www.youtube.com/watch?v=D8CRK1vbXRU
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AULA 8
MÉTODO DAS FORÇAS PARTE 3
Nesta aula vamos nos dedicar a resolver um problema de pórtico pelo método das 
forças. O pórtico será o da Figura 37.
Figura 37 - Pórtico do problema
Fonte: Próprio autor.
O que temos que saber? Primeiro, o grau de hiperestaticidade. A estrutura acima é 
2x hiperestática. Ela possui dois vínculos a mais que o necessário. Logo precisaremos 
retirar duas vinculações.
Nas aulas anteriores vimos que é mais interessante rotular pontos em vez de tirar as 
vinculações externas. É isso que vamos fazer, rotular dois pontos conforme mostrado 
na Figura 38.
Como retiramos dois vínculos, temos então 3 modelos para serem resolvidos.
O principal, o caso 1 e o caso 2. Isto está evidenciado na Figura 39.
O próximo passo é montar nosso sistema de equações representado na Figura 40. 
É claro que para isto precisaremos recorrer a tabela de Kurt Beyer da mesma forma 
que fizemos no exercício anterior.
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Figura 38 - Aplicação de rótulas e momentos unitários
Fonte: elaborado pelo autor
Figura 39 - Separação em três casos isostáticos
Fonte: elaborado pelo autor
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Figura 40 - Sistema de equações necessárias para resolver o problema
Fonte: elaborado pelo autor
Portanto, abriremos as equações necessárias abaixo. é a combinação entre o 
sistema principal e o caso 1. Na Tabela de Kurt Beyer você deverá olhar na representação 
da Figura 41.
 é a combinação do sistema principal com o caso 2. A Figura 42 também 
serve para esta situação.
 é a combinação do caso 1 com o próprio caso 1.
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Figura 41 - Representação pela Tabela de Kurt Beyer para 
Fonte: Adaptado de KUPDF
Figura 42 - Representação da combinação para 
Fonte: Adaptado de KUPDF
 é a combinação do caso 2 com o caso 2. Nesta combinação os diagramas 
combinados são em formato de triângulo apenas.
 é a combinação do caso 1 com o caso 2.
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Figura 43 - Representação da combinação para 
Fonte: Adaptado de KUPDF
Como já temos todas as combinações possíveis para resolver o 
problema. Agora montaremos o sistema de equações e encontraremos X1 e X2 conforme 
Figura 44.
Figura 44 - Resolução do sistema de equações
Fonte: elaborado pelo autor
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Outra aplicação para pórticos pode serencontrada neste link https://www.youtube.
com/watch?v=_kV29ZIY5RM
https://www.youtube.com/watch?v=_kV29ZIY5RM
https://www.youtube.com/watch?v=_kV29ZIY5RM
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AULA 9
MÉTODO DAS FORÇAS PARTE 4
Para finalizar o método das forças vamos encerrar o exercício da aula passada. 
Em resumo temos os esquemas estáticos da Figura 45.
Figura 45 - Resumo dos esquemas estáticos
Fonte: elaborado pelo autor.
Na Figura 46 temos os diagramas de momentos fletores de cada um dos casos. 
O diagrama de momento fletor é fácil de encontrar, pois a estrutura hiperestática foi 
transformada em três estruturas isostáticas.
E por fim na Figura 47 temos os coeficientes encontrados na aula anterior. O próximo 
passo funciona da mesma forma que fizemos no exemplo da viga. Precisamos encontrar 
as reações de apoio em cada um dos esquemas.
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Para isso basta utilizar as equações básicas da estática: somatória de momentos, 
somatória de esforços verticais e somatória de esforços horizontais. Cada uma dessas 
somatórias devem ser igualadas a zero.
Figura 46 - Diagrama de momento fletor em cada um dos esquemas
Fonte: elaborado pelo autor
Figura 47 - Resolução do sistema de equações
Fonte: elaborado pelo autor
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As reações encontradas estão explicitadas na Figura 48.
Figura 48 - Reações de apoio do caso principal, caso 1 e caso 2
Fonte: elaborado pelo autor
Após encontrarmos as reações de cada um dos casos, precisamos combinar os 
mesmos para encontrarmos as reações no caso real. A combinação é feita com a 
seguinte fórmula.
Começaremos com as reações verticais da esquerda para a direita.
Agora passaremos aos esforços horizontais da esquerda para a direita
Por fim calculamos o momento fletor no engaste.
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Em resumo ficamos com as seguintes reações de apoio. Aqui vale uma observação. 
Os valores podem sofrer pequenas variações devido a arredondamentos. Na Figura 49 
temos a representação das reações de apoio no esquema estático real do problema.
Figura 49 - Reações de apoio no esquema hiperestático real
Fonte: elaborado pelo autor
A partir das reações acima e do carregamento real basta seguir a lógica de desenhar 
os diagramas. Lembrando que aqui serão três diagramas. Diagrama de esforço normal, 
diagrama de esforço cortante e diagrama de momento fletor.
O diagrama de esforço normal está representado na Figura 50, o diagrama de 
esforço cortante está representado na Figura 51 e o diagrama de momento fletor 
está representado na Figura 52.
Figura 50 - Diagrama de esforço normal
Fonte: elaborado pelo autor
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Figura 51 – Diagrama de esforço cortante
Fonte: elaborado pelo autor
Figura 52 - Diagrama de momento fletor
Fonte: elaborado pelo autor
ISTO ESTÁ NA REDE
O método das forças também pode ser utilizado para calcular esforços 
causados por deslocamentos externos conforme link https://www.youtube.com/
watch?v=fAjihMi-7ns&t=2828s
https://www.youtube.com/watch?v=fAjihMi-7ns&t=2828s
https://www.youtube.com/watch?v=fAjihMi-7ns&t=2828s
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AULA 10
MÉTODO DOS 
DESLOCAMENTOS PARTE 1
Nesta aula vamos apresentar um novo método para resolver problemas hiperestáticos. 
O método dos deslocamentos. Para entendermos ele de maneira simples pensem o 
seguinte. 
No método das forças nós trabalhamos com um sistema de forças que nos geram 
as equações necessárias para resolver o nosso esquema estático. Aqui no método 
dos deslocamentos nós vamos trabalhar com um sistema de deslocamentos para 
conseguir essas informações. Mais especificamente, aqui nós iremos trabalhar com 
os giros em uma estrutura.
Como vocês alunos já conseguiram entender bem o método anterior, aqui 
explicaremos ele no decorrer de um exercício.
O exercício que vamos fazer aqui como exemplo será o da Figura 53.
Figura 53 - Exercício proposto
Fonte: elaborado pelo autor
O primeiro passo aqui consiste em aplicar uma chapa no encontro entre barras. No 
caso do exercício consideramos a posição intermediária. Essa chapa gerará no ponto 
o que chamamos de engastamento perfeito. Na Figura 54 temos a representação 
do esquema.
Figura 54 - Viga com uma chapa na região onde tínhamos um apoio
Fonte: elaborado pelo autor
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A chapa instalada teoricamente é extremamente rígida e impedirá qualquer giro, 
por esta razão o nome de engastamento perfeito. O que você, aluno, deve entender é 
que o esquema estático mudará. Na Figura 55 temos a representação dos esquemas 
estáticos gerados.
Figura 55 - Esquema estático gerado
Fonte: elaborado pelo autor
Este esquema gerado é análogo ao sistema principal do método dos esforços. É 
necessário resolver este sistema. Porém, o problema é que ele é hiperestático também. 
Não se preocupem, vamos fazer isso com o auxílio de tabelas. O esquema formado 
pelo sistema da Figura 55 é uma viga engastada de um lado e rotulada do outro 
lado. Na Figura 56 está representada uma Tabela com o valor dos momentos deste 
engastamento perfeito para a situação do exercício.
 
Com o auxílio da Figura 56 vamos encontrar as reações de apoio e os momentos de 
engastamento perfeito conforme segue para a barra 1.
 (Momento no engaste da 
barra 1)
 (Reação vertical do apoio a esquerda 
da barra 1)
 (Reação vertical do engaste a direita 
da barra 1)
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Figura 56 - Momento de engastamento perfeito e reações de apoio
Fonte: UFPR (2021)
Para a barra 2 as fórmulas estão representadas abaixo.
 (Momento no engaste 
da barra 2)
 (Reação vertical do engaste a 
esquerda da barra 2)
 (Reação vertical do apoio à direita 
da barra 2)
Fizemos todas as reações pela tabela o diagrama de momento de cada uma das 
barras está representado na Figura 57. Pequenas variações dos valores é por questão 
de arredondamentos.
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Figura 57 - Representação do diagrama e reações
Fonte: elaborado pelo autor
O próximo passo consiste em somar os momentos encontrados para determinar 
o nosso primeiro coeficiente do método dos deslocamentos.
Este coeficiente é importante pois vamos resolver a seguinte equação.
A equação acima é a análoga ao método dos esforços, lá fazíamos a compatibilização 
entre esforços e aqui vamos fazer a compatibilização entre giros (deslocamentos)
A pergunta é: onde estão estes giros? Vamos encontrá-los abaixo. Para isto 
precisamos encontrar os momentos e reações de apoio quando giramos o engaste, 
ou se preferir a chapa, conforme a Figura 58.
A rotação que a chapa foi girada equivale a 1 radiano. Isso mesmo, no método dos 
esforços nós colocamos um esforço unitário e aqui nós colocamos um giro unitário.
Agora devemos encontrar as reações e os momentos deste novo esquema onde 
possuímos apenas um giro. Também faremos isso com o auxílio de tabelas, as Figuras 
59 e 60 são as nossas tabelas.
Fonte: elaborado pelo autor
Figura 58 - Rotação da chapa em 1 radiano
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Figura 59 - Reações e momentos para giros 1
Fonte: UFPR (2021)
Figura 60 - Reações e momentos para giros 2
Fonte: UFPR (2021)
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Aplicando as condições chegaremos nas seguintes equações.
 (Momento no engaste da barra 1 devido ao giro)
 (Reação vertical do apoio a esquerda da barra 1)
 (Reação vertical do engaste a direitada barra 1)
 (Momento no engaste da barra 2)
 (Reação vertical do engaste a esquerda da barra 2)
 (Reação vertical do apoio à direita da barra 2)
Continuaremos o exercício na próxima aula.
ISTO ESTÁ NA REDE
Você encontrará também exercícios no seguinte link https://www.youtube.com/
watch?v=ZqQC04nOAS8
https://www.youtube.com/watch?v=ZqQC04nOAS8
https://www.youtube.com/watch?v=ZqQC04nOAS8
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AULA 11
MÉTODO DOS 
DESLOCAMENTOS PARTE 2
Continuaremos agora a resolução do nosso problema. Para isto ficar claro vamos 
a um pequeno resumo dos passos realizados. O primeiro passo consiste em ter os 
dados do nosso problema conforme Figura 61.
Figura 61 - Dados do problema
Fonte: elaborado pelo autor
O segundo passo consiste em colocar uma chapa gerando o que chamamos de 
engastamento perfeito conforme Figura 62.
Figura 62 - Chapa para travar os deslocamentos
Fonte: elaborado pelo autor
O terceiro passo é resolver os dois sistemas gerados conforme Figura 63. Os 
esquemas estáticos gerados podem ser resolvidos de duas maneiras. Da maneira 
convencional aprendida aqui mesmo em hiperestática ou pelas tabelas apresentadas 
nas aulas anteriores.
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Seguimos pelas tabelas, pois a solução será encontrada de forma mais fácil. Quais 
os dados que me interessam? Simples, os momentos fletores e as reações de apoio. 
Pois nesta aula nós vamos combiná-los para encontrarmos as respostas finais.
Figura 63 - Esquema estático gerado
Fonte: elaborado pelo autor
O quarto passo é gerar novos esquemas estáticos sem o carregamento do exercício, 
neste caso 2kN/m. Os momentos fletores e as reações de apoio serão geradas a partir 
de uma rotação do próprio engaste em um ângulo de 1 radiano. Aqui vale lembrar 
que tudo isso é só é possível devido a teoria apresentada no começo da disciplina 
sobre trabalhos virtuais e compatibilização. Na Figura 64 temos a representação dos 
esquemas com as rotações impostas.
Figura 64 - Chapa rotacionada em um radiano no sentido antihorário
Fonte: Próprio autor.
As informações que precisamos extrair dessa rotação são as mesmas obtidas no terceiro 
passo. Precisamos dos momentos gerados e das reações. Como resolver manualmente 
esse problema é um pouco complexo, também utilizamos o auxílio das tabelas das aulas 
anteriores. Feito tudo isso chegamos até a etapa final do problema que consiste em 
resolver o seguinte sistema linear. Neste caso temos apenas uma equação.
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Já sabemos o valor de que equivale a 1,75kN.m. Precisamos encontrar agora 
. Este valor será a soma dos momentos devido às rotações. 
Finalmente podemos resolver o sistema final.
Agora vamos às proporções que nos dão a resposta final das reações. Mas primeiro 
abaixo colocaremos um resumo dos dados encontrados na aula anterior.
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A partir do resumo acima podemos ir para o passo final.
Encontramos então as reações de apoio do nosso sistema hiperestático. Na Figura 
65 estão representadas as reações do problema.
Figura 65 - Reações de apoio do problema pelo método dos deslocamentos
Fonte: elaborado pelo autor
Com as reações encontradas não existe mais mistério, temos apenas que encontrar 
o diagrama de esforço cortante e o diagrama de momento fletor da estrutura.
Na Figura 66 temos a representação do diagrama de esforço Cortante do problema.
Figura 66 - Diagrama final de esforço cortante
Fonte: elaborado pelo autor
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Na Figura 67 temos a representação do diagrama de momento fletor do problema.
Figura 67 - Diagrama de momento fletor
Fonte: elaborado pelo autor
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AULA 12
MÉTODO DOS 
DESLOCAMENTOS PARTE 3
Nesta aula vamos resolver um pórtico pelo método dos deslocamentos. O pórtico que 
será resolvido é o da Figura 68. Neste exercício o módulo de elasticidade e o momento 
de inércia são iguais para as duas barras. Entenda que se eles forem diferentes basta 
colocar seus valores nas fórmulas.
Figura 68 - Pórtico do problema
Fonte: elaborado pelo autor
Os passos são iguais aos das aulas anteriores. Vamos aplicar uma chapa na estrutura 
em um lugar estratégico conforme a Figura 69.
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Figura 69 - Pórtico do problema com a chapa rígida
Fonte: elaborado pelo autor
A partir desse esquema vamos criar duas situações, uma com os engastes 
representada pela Figura 70 e a outra com os giros representada pela Figura 71.
Figura 70 - Partes do sistema
Fonte: elaborado pelo autor
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Figura 71 - Rotação de 1 radiano na chapa 
Fonte: elaborado pelo autor
Agora já é possível encontrar as reações devido a cada um dos esquemas. 
Começaremos pela tabela de engastamento perfeito da Figura 72
Figura 72 - Tabela de engastamento perfeito para vigas bi-engastadas
Fonte: UFPR (2021)
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Pela tabela chegamos as seguintes equações da barra 1
Pela tabela chegamos as seguintes equações da barra 2
Para encontrar os valores referentes ao giro vamos recorrer à Figura 73
Figura 73 - Tabela de rigidez
Fonte: elaborado pelo autor
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Ficaremos, portanto com as seguintes equações para a barra 1.
Agora para a barra dois.
O passo agora é encontrar.
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Por fim basta calcularmos as reações. Começaremos pelas reações em A.
Agora vamos para as reações em C.
Por fim, com as reações encontramos os três diagramas, o de esforço normal, o 
de esforço cortante e o de momento fletor. As Figuras 74, 75 e 76 representam estes 
diagramas respectivamente.
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Figura 74 - Diagrama de esforço normal
Fonte: elaborado pelo autor
Figura 75 - Diagrama de esforço cortante
Fonte: elaborado pelo autor
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Figura 76 - Diagrama de momento fletor
Fonte: elaborado pelo autor
ISTO ESTÁ NA REDE
Outro exercício pode ser encontrado em https://www.youtube.com/
watch?v=8IcHkKSmJ9w&t=524s
https://www.youtube.com/watch?v=8IcHkKSmJ9w&t=524s
https://www.youtube.com/watch?v=8IcHkKSmJ9w&t=524s
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AULA 13
MÉTODO DE CROSS
Este será o último método estudado por nós para resolver sistemas hiperestáticos. 
Ele é chamado de Cross, pois foi um matemático alemão que desenvolveu este método.
O método é bem simples e funciona como um algoritmo de computador. São vários 
procedimentos iterativos sucessivos até encontrarmos a resposta correta. De certa 
forma ele é muito parecido com alguns procedimentos anteriores.
Por exemplo, suponha o esquema estático real da Figura 77. Para resolvermos 
este sistema por Cross devemos primeiramente aplicar um engaste nas vinculações 
intermediárias. No caso da Figura 77 o resultado disso é formar dois esquemas 
hiperestáticos que nós já aprendemos a lidar por meio de tabelas. Inclusive demos o 
nome engastamento perfeito. 
Portanto quando realizamos este processo usaremos este dado inicial dos momentos 
adquiridos pelas tabelas das aulas passadas.
A partir disso Cross teve a seguinte ideia a respeito dos giros representados pela 
Figura 78.
Figura 77 - Começando Cross
Fonte: elaborado pelo autor
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Figura 78 - Momentos depois do equilíbrio estático
Fonte: elaborado pelo autor
Quando a viga da Figura 78 está em equilíbrio, o giro existe e é igual tanto para o 
tramo AB quanto para o tramo BC. Isto ocorre porque neste caso a viga é contínua. 
Dessa forma podemos escrever.
Portanto, no equilíbrio temos os momentos iguais e nos esquemas 1 e 2 da Figura 
77 temos momentos diferentes devido a várias possibilidades genéricas. Se tirarmos 
um momento de engastamento perfeito do outro teremos uma variação, um delta.
 são os momentos de engastamento perfeito.
Sabendo que o lado mais rígido da estrutura “puxará” mais esforços para si. Devemos 
distribuir essa diferença de forma a equilibrar o sistema levando em consideração 
a rigidez de cada trecho. 
Para calcularmos a rigidez usaremos os exemplos da Figura 79.
Figura 79 - Esquema estático A e B
Fonte: elaborado pelo autor
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A rigidez em A é dada pela seguinte relação. 
A rigidez em B é dada pela seguinte relação.
Vale lembrar que “l” é o vão da viga. Como vimos devemos distribuir levando 
em consideração a rigidez de cada um dos trechos. Para fazer isso de forma mais 
simples vamos calcular um coeficiente de distribuição dado pela seguinte equação 
em relação ao esquema da Figura 80.
As equações estão explícitas logo abaixo. Sendo D o coeficiente de distribuição. 
Figura 80 - Esquema para solução
Fonte: elaborado pelo autor
Em resumo o procedimento para usar o método segue as seguintes etapas.
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• Primeiro dividimos a estrutura em trechos teóricos engastados.
• Calculamos pelas tabelas o momento de engastamento perfeito.
• Calculamos a rigidez de cada trecho.
• Calculamos o coeficiente de distribuição para cada trecho.
• Calculamos a diferença entre os momentos de engastamento de cada trecho.
• Fazemos a diferença entre os momentos vezes os respectivos coeficientes de 
distribuição.
• Calculamos um novo momento somando o passo acima com o momento de 
engastamento perfeito.
• Verificamos se o resultado foi igual com sinais trocados 
• Se não, repetimos o procedimento.
Na Figura 81 temos um esquema que pode ser utilizado para resolver o problema.
Figura 81 - Esquema de solução usando o método de Cross
Fonte: Próprio autor
Após encontrado os momentos devemos seguir com o cálculo das reações. Na 
próxima aula vamos resolver um exercício pelo método de Cross.
ISTO ESTÁ NA REDE
Aqui encontrará uma leitura complementar a respeito do método http://coral.ufsm.
br/decc/ECC1002/Downloads/_Cap_8_Processo_de_Cross.pdf
http://coral.ufsm.br/decc/ECC1002/Downloads/_Cap_8_Processo_de_Cross.pdf
http://coral.ufsm.br/decc/ECC1002/Downloads/_Cap_8_Processo_de_Cross.pdf
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AULA 14
EXERCÍCIO CROSS
Nesta aula vamos desenvolver o exercício da Figura 82 pelo método de Cross.
Figura 82 - Exercício pelo
Fonte: elaborado pelo autor
O Primeiro passo consiste em encontrar o coeficiente de rigidez conforme a 
Figura 83 e as fórmulas que seguem.
Figura 83 - Separação da estrutura em dois tramos
Fonte: elaborado pelo autor
Podemos desprezar a parcela EI, pois como vimos na aula passada se a rigidez 
não mudar ela não influenciará.
Seguimos com o cálculo dos coeficientes de distribuição.
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Agora calculamos o momento de engastamento perfeito, nesse caso temos engaste 
de um lado e apoio do outro.
Nesta etapa calculamos e a parcela que será ajustada.
No próximo passo vamos usar o esquema didático da Figura 84 para prosseguir 
com o algoritmo. Percebam que na Figura 84 o sinal de é colocado de forma a 
deixar os dois momentos em equilíbrio. No caso o momento de -6,25kN.m tem que 
ficar menor e o momento de 4,00kN.m tem que ficar maior.
Fazendo o primeiro procedimento ficamos com uma diferença de 0,02 conforme a 
Figura 84 indica. Ainda não conseguimos zerar e portanto podemos repetir mais uma 
vez o procedimento. Para não ficarmos infinitamente reproduzindo o procedimento, 
podemos adotar uma precisão de duas casas para o momento fletor.
Neste caso vamos repetir mais uma vez conforme a Figura 85.
Figura 84 - Esquema para a solução pelo método de cross
Fonte: elaborado pelo autor
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Figura 85 - Finalização do processo de Cross
Fonte: elaborado pelo autor
Como o valor da diferença entre os momentos é muito pequena podemos adotar 
que o momento no meio do vão da estrutura vale 5,25 kN.m e traciona a região de 
cima do esquema estático. 
Agora precisamos encontrar as reações de apoio. Para isso separamos a estrutura 
em duas isostáticas conforme a Figura 86.
Figura 86 - Cálculo das reações de apoio 
Fonte: elaborado pelo autor
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As reações serão as seguintes.
Como possuímos todas as reações desejadas basta calcular os diagramas de esforço 
cortante e de momento fletor conforme as Figuras 87 e 88.
Figura 87 - Diagrama de esforço cortante
Fonte: elaborado pelo autor
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Figura 88 - Diagrama de momento fletor
Fonte: elaborado pelo autor
ISTO ESTÁ NA REDE
Um link para complementar o método de Cross https://www.youtube.com/
watch?v=VyY6COBJ4IQ
Aplicação do método de cross em pórticos https://www.youtube.com/
watch?v=d8z0fWM63OU
Outra aplicação do método de Cross https://www.youtube.com/watch?v=jEGGQ76-
thg
ANOTE ISSO
Refaça todos os exercícios apresentados em aula e nos links.
https://www.youtube.com/watch?v=VyY6COBJ4IQ
https://www.youtube.com/watch?v=VyY6COBJ4IQ
https://www.youtube.com/watch?v=d8z0fWM63OU
https://www.youtube.com/watch?v=d8z0fWM63OU
https://www.youtube.com/watch?v=jEGGQ76-thg
https://www.youtube.com/watch?v=jEGGQ76-thg
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AULA 15
TÓPICOS ESPECIAIS
15.1 Deslocabilidade externa
Nas últimas aulas nos dedicamos a resolver estruturas hiperestáticas pelos seguintes 
métodos.
• Método dos esforços
• Método dos deslocamentos
• Método de Cross
Mostramos como funciona o mecanismo de cada método e resolvemos alguns exercícios 
básicos. Para complementar é possível resolver exercícios quando há um deslocamento 
imposto. Na engenharia civil um exemplo seria o recalque, em outras palavras quando 
uma das fundações da estrutura se desloca no sentido para baixo. A Figura 89 é um 
esquema do que pode acontecer com uma estrutura quando sofre este fenômeno.
Figura 89 - Fenômeno do recalque
Fonte: elaborado pelo autor
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É possível calcular os esforços devido ao deslocamento externo e a variação de 
temperatura em uma estrutura pelos métodos estudados anteriormente. Deixarei 
aqui alguns links para conseguir desenvolver exemplos dessas situações.
https://www.youtube.com/watch?v=fAjihMi-7ns (exemplo de exercício)
https://www.tecgraf.puc-rio.br/ftp_pub/lfm/civ1127p1-011.pdf (exemplo de exercício)
15.2 Tipos de análises
Quando estudamos as análises estruturais em geral é de extrema importância que 
saibamos as considerações e validades daquilo que estamos calculando.
Para isso devemos relembrar conceitos básicos de resistência dos materiais. Um 
deles é sobre o gráfico de tensão versus deformação. A Figura 90 é um exemplo 
deste gráfico.
Figura 90 - Gráfico de tensão x deformação
Fonte: elaborado pelo autor
https://www.youtube.com/watch?v=fAjihMi-7ns
https://www.tecgraf.puc-rio.br/ftp_pub/lfm/civ1127p1-011.pdf
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Sabemos que até certa deformação o material deformado depois de cessado as 
ações sobre ele tende a voltar ao estado inicial. Quando o projetista faz um projeto 
levando em consideração que as ações não causarão deformações que ultrapassam 
a região elástica do material dizemos que a analise estrutural foi feito em regime 
elástico. Muitos projetos são feitos com base nessa consideração, como exemplo 
podemos citar pilares em aço. Neste caso as ações ficam abaixo do limite elástico 
do material.
Outra consideração neste regime é considerar constante o módulo de elasticidade 
do material. Sabemos que o módulo de elasticidade do material é dado pela tangente 
do gráfico da Figura 90. Neste caso considera-se a linha reta da Figura 90 desde que 
seja respeitado o limite elástico do material.
Como você já deve imaginar, quando passamos desse limite o projeto passa a ser 
idealizado no regime plástico do material. Quando fazemos isso estamos considerando 
a existência de deformações residuais no material. Em muitas situações em projetos 
é levado em consideração nesta análise. Um exemplo são as ligações metálicas 
com parafusos. Nas regiões dos furos deixamos que haja certa plastificação para a 
acomodação dos parafusos. Podemos identificar este fenômeno na prática quando 
uma estrutura metálica está sendo executada e à medida que aumenta-se a carga 
com a execução conseguimos ouvir uns estalos na estrutura.
15.3 Análise de segunda ordem 
Quando resolvemos as estruturas nesta disciplina, fazemos uma análise de primeira 
ordem. Isto significa que não levamos em consideração o estado deformado da 
estrutura.
Para entendermos a situação vamos imaginar a estrutura da Figura 91. Nela temos 
um pórtico com uma carga concentrada na extremidade. O momento que calculamos 
nesta situação será dado pela seguinte equação.
Até aqui nada demais, porém podemos pensar que isto de fato não é o que acontece 
com a estrutura. Como assim? Para que você entenda bem vamos olhar a Figura 92 e 
recalcular o mesmo momento fletor levando em consideração a situação deformada 
da estrutura.
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Percebam que quando levamos em consideração efeitos de segunda ordem devemos 
usar as distâncias da situação deformada da estrutura.
Figura 91 - Análise de primeira ordem
Fonte: elaborado pelo autor
Figura 92 - Situação real deformada. (efeito de segunda ordem)
Fonte: elaborado pelo autor
Quando temos estruturas muito rígidas e pequenos deslocamentos não precisamos 
projetar levando em consideração os efeitos de segunda ordem.
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15.4 Ações nas estruturas
Quando fazemos um projeto estrutural devemos encontrar as cargas que atuam 
ali. Em outras palavras, qual é o carregamento que vamos admitir em cima de uma 
viga, laje ou qualquer outro elemento estrutural?
Aqui não há muito segredo, existem normas para nos auxiliar neste processo. A 
primeira norma a ser citada aqui é a NBR 6120:2019. Nela vamos encontrar os pesos 
que devem ser adotados de elementos estruturais e não estruturais. Como exemplo 
segue a lista a seguir.
• Peso do concreto armado = 25kN/m³
• Peso da alvenaria estrutural = 14kN/m³
• Peso de pessoas em cima de uma laje quando pensamos em uma sala = 1,5kN/m²
Você como projetista tem que saber bem as condições do seu projeto e buscar os 
dados dos pesos na norma acima.
Outra norma importante é a da combinação das ações, a NBR 8681:2003. Ela serve 
para sabermos como vamos aumentar o carregamento existente em uma estrutura. Por 
que fazemos isso? Simples, se sabemos que em cima de uma laje existe a chance do 
carregamento chegar a 100kN, se projetarmos a mesma para resistir apenas 100kN, 
quando o carregamento chegar neste valor a laje vai romper. Portanto devemos projetar 
uma estrutura para ela resistir mais que o carregamento possível de acontecer. 
Vou listar aqui uma série de normas interessantes que um projetista deve se atentar.
• NBR 6118:2014 - Norma sobre estruturas concreto armado
• NBR 6123:2008 - Ações do vento nas estruturas
• NBR 6120: 2019 - Fundações
• NBR 8800: 2008 - Estruturas de aço 
ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
Os projetos práticos são embasados nas normas da ABNT, portanto é de extrema 
importância a leitura destes textos na integra.
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AULA 16
USO DE SOFTWARE (FTOOL)
Nesta última aula vamos focar na utilização de um software muito útil que nos dá 
todas as informações que foram calculadas no decorrer do curso. Além do software 
servir para conferir exercícios é possível utilizá-lo como auxílio para projetos. O nome 
do software é FTOOL e ele é facilmente encontrado na internet.
Para que vocês compreendam o funcionamento básico do software, vamos utilizá-
lo em um exemplo prático de uma viga.
Na Figura 93 temos a tela inicial do software. É nesta tela inicial que estão todos 
os comandos necessários para desenhar a estrutura e para fazer todos os cálculos 
necessários.
Figura 93 - Tela inicial do software
Fonte: elaborado pelo autor
O primeiro passo aqui é desenhar as ferramentas de desenho estão do lado esquerdo 
conforme Figura 94. 
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Para desenhar uma reta com 3 metros de comprimento vamos marcar a opção 
Grid e snap na parte inferior do software conforme Figura 92.
Agora é muito simples, clicamos na opção de desenho da reta exibida na Figura 
94 e logo em seguida clicamos em um ponto da tela onde começará a reta e depois 
clicamos a três metros à direita. Isto é fácil de fazer, pois a opção grid e snap esta 
programada para marcar na tela pontos de um em um metro. Desenhado a reta vamos 
ao segundo passo.
Figura 94 - Opções de desenho
Fonte: elaborado pelo autor
Figura 92 - Grid e snap
Fonte: elaborado pelo autor
O segundo passo consiste em definir as vinculações do problema (apoio, apoio 
móvel, engaste…). Para isto selecionamos a opção da Figura 95.
Figura 95 - Vinculações
Fonte: elaborado pelo autor
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Para desenharmos uma viga bi-apoiada isostática padrão, devemos travar os 
deslocamentos em x, em y e deixar o giro livre em uma das extremidades selecionadas. 
Na outra extremidade devemos fazer um apoio móvel, neste caso deixamos x livre, 
giro livre e impedimos y. Na Figura 96 temos a representação de um apoio fixo e as 
opções marcadas e na Figura 97 o que obtemos como resultado.
Figura 96 - Aplicando as vinculações
Fonte: elaborado pelo autor
Figura 97 - Desenho da Viga completo
Fonte: elaborado pelo autor
O terceiro passo consiste em definir os materiais e as inércias dos elementos de 
barra. Na Figura 98 está representado as opções necessárias para isso.
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Figura 98 - Definindo materiais e propriedades da seção
Fonte: elaborado pelo autor
O roteiro aqui é o mesmo para as duas situações, selecionado a opção materiais 
ou as opções de seção você deverá iniciar o seguinte procedimento representado 
pelas Figuras 99 e 100.
O quarto passo é colocar o carregamento na estrutura usando as opções de 
carregamento do programa. Na Figura 101 está destacado onde encontramos as 
opções desejadas.
Figura 99 - Definindo material
Fonte: elaborado pelo autor
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Figura 100 - Definindo seção
Fonte: elaborado pelo autor
ANOTE ISSO
Caso for usar uma seção genérica, coloque o valor 1 na área e na inércia do 
material.
Figura 101 - Opções de carregamento
Fonte: elaborado pelo autor
Para colocar o carregamento basta seguir o roteiro da Figura 102 e 103.
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