Treliças Planas

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DESCRIÇÃO
Estudo do equilíbrio de treliças planas isostáticas, baseado nas equações de equilíbrio da estática, para determinação da força
atuante em cada elemento (barra), ou seja, seu módulo, e a condição de compressão ou tração.
PROPÓSITO
Perceber a importância do estudo de uma treliça plana — elemento estrutural muito utilizado na Engenharia —, a fim de dar início
aos primeiros passos para projetar tal estrutura, o que ocorrerá durante a formação de um engenheiro.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica ou use a calculadora de seu
smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Identificar a geometria, os tipos, as cargas, o comportamento e os esforços em uma treliça plana
MÓDULO 2
Reconhecer o método de resolução de treliças planas – “método dos nós”
MÓDULO 3
Reconhecer o método de resolução de treliças planas – “método das seções”
MÓDULO 4
Descrever a modelagem computacional das treliças planas
INTRODUÇÃO
MÓDULO 1
 Identificar a geometria, os tipos, as cargas, o comportamento e os esforços em uma treliça plana
INTRODUÇÃO
No início do estudo das treliças planas, alguns aspectos devem ser inicialmente compreendidos.
As treliças planas são estruturas formadas por barras que se unem por meio de rótulas.

Assim, nas uniões, não há uma reação de momento, apenas as duas restrições relativas à translação.

Cada barra que forma essa estrutura, denominada treliça, está sujeita exclusivamente a esforços com linha de ação coincidente
com a barra, que podem estar comprimindo-as ou tracionando-as.
GEOMETRIA DE TRELIÇAS PLANAS
UMA TRELIÇA (PLANA OU ESPACIAL) É FORMADA A PARTIR DE
SEUS ELEMENTOS PRIMÁRIOS (BARRAS RETAS OU CURVAS). A
ESTRUTURA É MONTADA UNINDO-SE OS ELEMENTOS POR MEIO
DE PINOS.
Uma estrutura plana rígida tem como elemento básico um triângulo ABC, conforme mostra a figura 1:
 Figura 1: Elemento básico de uma treliça simples – triângulo / Fonte: Autor
 ATENÇÃO
Observe os pinos de união das barras nas extremidades destas. A partir desse elemento básico, duas novas barras são unidas por
pinos. Essa sequência garante que a estrutura se mantenha rígida, originando a denominada treliça simples.
Observe a figura 2, na qual um par de barras (destacadas em verde) é unido ao elemento básico da treliça — o triângulo (três
barras unidas por pinos nas extremidades):
 Figura 2: Formação de uma treliça simples a partir do elemento básico ABC / Fonte: Autor
A união entre as duas barras, por meio do pino rotulado, é denominada “nó”.
Nem toda treliça rígida é formada apenas de triângulos. É possível que, em algum dos passos citados anteriormente, a figura
formada não seja o triângulo. A questão, nesse caso, é apenas didática. Essa treliça continuará a ser denominada simples e,
portanto, rígida, ou seja, utilizável como estrutura em um projeto.
Observe a figura 3, em que a estrutura é rígida, porém nem todos os elementos são triângulos:
 Figura 3: Treliça simples rígida com elementos não triangulares / Fonte: Autor
 ATENÇÃO
É possível mostrar que, para uma treliça plana isostática simples, a relação matemática dada entre o número de barras “b“ e o
número de “nós” “n” é b = 2n – 3. Na figura 3, são 6 “nós” e 9 barras. Assim: 9 = 2.6 – 3 → 9 = 9 (equação satisfeita).
TIPOS DE TRELIÇAS PLANAS
A partir da ideia descrita no tópico anterior, é fácil perceber que existem várias configurações finais para uma treliça simples. De
maneira semelhante, o mesmo ocorre para as treliças que não são denominadas simples.
MUITAS TRELIÇAS SÃO AMPLAMENTE UTILIZADAS NA
ENGENHARIA, E SEUS NOMES SÃO ASSOCIADOS A SEUS
CRIADORES OU APERFEIÇOADORES.
No slide abaixo, há alguns exemplos de treliças planas comuns na Engenharia:
 
Fonte: Autor
WARREN
 
Fonte: Autor
PRATT
 
Fonte: Autor
FINK
 
Fonte: Autor
HOWE
A partir de agora, a representação das treliças será simplificada. O desenho não as apresentará explicitamente: os pinos rotulados e
as barras serão representados por segmentos, apenas por uma questão de simplicidade de representação.
 SAIBA MAIS
É interessante perceber que todas são rígidas, porém nem todas são simples (não podem ser formadas a partir de um único
triângulo inicial, adicionando-se duas barras e formando um novo “nó”). É o caso da treliça Fink, por exemplo.
CARGAS APLICADAS NAS TRELIÇAS PLANAS
No estudo inicial das treliças, algumas considerações são adotadas, mas, na prática, em vários casos, podem ser utilizadas. Em
termos de cargas, essas são sempre concentradas e aplicadas em um ou mais “nós” da treliça.
Eventualmente, caso o peso das barras de treliça não possa ser desprezado frente aos valores dessas cargas externas aplicadas,
será adotado que cada metade do peso da barra seja aplicada nos “nós” das extremidades da barra.
A figura 5 mostra um exemplo do carregamento que será adotado no estudo do tema:
 Figura 5: Carregamento de treliças planas / Fonte: Autor
COMPORTAMENTO DAS TRELIÇAS PLANAS
No estudo inicial das treliças planas, o objetivo é a determinação das forças que atuam nas barras — elementos unidos por pinos
rotulados da estrutura. Consequentemente, conhecendo a área da seção reta, é possível determinar a tensão normal média atuante
em cada elemento.
 COMENTÁRIO
Neste primeiro contato com o tema, algumas premissas são adotadas para diminuir a complexidade. O objetivo é entender os
métodos matemáticos para que você conheça os elementos básicos da teoria a fim de facilitar a compreensão.
Entre as várias premissas adotadas, algumas já citadas anteriormente, a estrutura não sofre deformações (rígidas), e as uniões
entre os elementos comportam-se como pinos rotulados, ou seja, não oferecem resistência ao momento fletor. Essa última
consideração é mantida mesmo quando os elementos são presos, por exemplo, por meio de solda.
ESFORÇOS EM UMA TRELIÇA PLANA
No estudo deste tema, a treliça se encontra em equilíbrio estático. Assim, cada um de seus elementos também estará em equilíbrio.
Lembrando que as uniões entre as barras são feitas por pinos rotulados (momento fletor nulo); a condição para que ocorra o
equilíbrio da barra, com apenas duas forças agindo em suas extremidades, é que essas forças tenham a mesma linha de ação; e
que esta coincida com a direção do elemento dentro da estrutura. Tais forças são chamadas de forças normais, pois são
perpendiculares à seção reta das barras.
A partir desse entendimento, falta a análise dessas forças sob a óptica do sentido. Duas são as possibilidades: a barra está sendo
tracionada ou está sendo comprimida. De maneira simples e objetiva, a força sob tração tende a ter seu comprimento alongado e,
sob compressão, tende a ter seu comprimento reduzido.
No item anterior, uma restrição foi imposta ao estudo das treliças planas nesse momento: cada elemento é rígido, ou seja, não sofre
deformação. Dessa maneira, a explicação para uma barra tracionada ou comprimida apenas se refere a uma tendência à variação
do comprimento, mas não a uma deformação real. 
Na figura 6, a seguir, duas barras são mostradas — uma sob tração e outra sob compressão:
 Figura 6: Esforços de tração e compressão nas barras de treliças planas / Fonte: Autor
 ATENÇÃO
Perceba que, nos dois casos, a linha de ação do par de forças é coincidente com a barra analisada. Convenciona-se utilizar para
barras sob tração o valor positivo e, para barras sob compressão, valores negativos.
Na resolução dos problemas de treliça, devemos ter muito cuidado com os sinais positivo e negativo. Caso, na resolução, você
tenha arbitrada a força como trativa e encontre um valor positivo, de fato, a força atuante é de tração. Ao contrário, será
compressiva. Na eventualidade de a escolha arbitrar a força como compressiva, o valor negativo indica que a escolha foi oposta em
termos de sentido da força. Nesse caso, a força será trativa. Contudo, o módulo será encontrado.
O momento de uma força é determinado por um produto vetorial. No caso das treliçasplanas, como o carregamento é plano, o
módulo do momento pode ser calculado por M = F.d, sendo d a distância do ponto O à linha de ação da força. Adota-se, como
convenção, que, no sentido anti-horário, o momento é positivo e, no sentido horário, negativo. O vetor M é perpendicular ao plano
da treliça. Observe a ilustração a seguir:
M = + F.d (positivo, pois o giro é no sentido anti-horário), em relação ao ponto O.
 Momento de uma força / Fonte: Autor
TEORIA NA PRÁTICA
A Engenharia é rica em exemplos em que são aplicadas as estruturas reticuladas rotuladas, denominadas treliças (planas ou
espaciais). No dia a dia, é fácil identificar essas aplicações nas gruas, nos viadutos, nas torres, nas coberturas de estádios
esportivos, nos telhados etc.
 EXEMPLO
Algumas vantagens em relação às estruturas totalmente preenchidas podem ser identificadas, como, por exemplo, a resistência
específica (resistência por unidade de peso), a menor resistência oferecida a locais em que o vento é uma análise importante no
projeto etc.
Na figura 7, vemos um croqui esquemático de uma estrutura treliçada, similar ao viaduto da Linha Vermelha sobre a Avenida Brasil,
na cidade do Rio de Janeiro:
 Figura 7: Croqui de uma estrutura com treliças planas / Fonte: Autor
 COMENTÁRIO
A fundamentação matemática para a determinação das forças atuantes nas barras que compõem a treliça será apresentada nos
dois módulos seguintes (método dos “nós” e método das “seções”).
Em linhas gerais, utilizaremos os conceitos e as equações de equilíbrio de um corpo rígido bidimensional. Tomando-se a estrutura
(treliça) como um todo em equilíbrio, cada parte dela também estará em equilíbrio. 
Dessa forma, é possível iniciar o cálculo a partir da estrutura, aplicando as equações de equilíbrio e determinando as reações nos
apoios (vínculos) da treliça. 
Vamos às equações:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As duas primeiras garantem o equilíbrio translacional nos eixos x e y, e a última garante o equilíbrio rotacional. Com a aplicação
dessas três equações, as três incógnitas associadas aos apoios de primeiro e de segundo gênero são determinadas.
 SAIBA MAIS
Na análise das treliças, a Terceira Lei de Newton (ação-reação) também será importante. A barra e o pino trocam forças que
constituem um par ação e reação (a ser detalhado mais à frente).
Supondo que uma dada treliça tenha “n” “nós” e “b” barras, cada nó está associado a um pino. Por sua vez, como se trata de um
equilíbrio no plano, cada “nó” gerará 2 equações ( e ). Assim, os “n” “nós” gerarão “2n” equações lineares (que
∑Fx = 0
∑Fy = 0
∑Mz = 0
∑Fx = 0 ∑Fy = 0
resolverão “2n” incógnitas). Além disso, 3 equações iniciais podem ser escritas para a determinação das reações.
Como já vimos, para treliças simples, é verdadeira a relação: b = 2n – 3 ou, ainda, 2n = b + 3. Assim, para “resolver” a treliça, ou
seja, para determinar as forças nas “b” barras e as três reações nos apoios, serão necessárias “2n” equações.
No vídeo, a seguir, o professor falará sobre a utilização de treliças em viadutos. Assista:
MÃO NA MASSA
1. (ADAPTADO DE: MEC - ENGENHEIRO CIVIL - ARQUITETO - 2009) A TRELIÇA É UM ELEMENTO
ESTRUTURAL MUITO UTILIZADO NA ENGENHARIA E APRESENTA VANTAGENS SOBRE OUTROS,
COMO, POR EXEMPLO, A ELEVADA RESISTÊNCIA ESPECÍFICA. ANALISE A FIGURA, A SEGUIR, EM
QUE EXISTE UMA ESTRUTURA DENOMINADA TRELIÇA: 
 
 
O GRAU HIPERESTÁTICO DA TRELIÇA MOSTRADA NA FIGURA É IGUAL A:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
2. (ADAPTADO DE: FUNIVERSA - IFB - TÉCNICO DE LABORATÓRIO - EDIFICAÇÕES - 2012) UMA
TRELIÇA É UMA ESTRUTURA RETICULADA COMPOSTA DE ELEMENTOS UNIDOS (BARRAS) EM
SUAS EXTREMIDADES, DE MODO A FORMAR UMA ESTRUTURA RÍGIDA. PODEM SER DO TIPO
SIMPLES OU NÃO. COBERTURAS DE GINÁSIO E TELHADOS SÃO APLICAÇÕES DE TRELIÇAS NA
ENGENHARIA. AS ALTERNATIVAS A SEGUIR APRESENTAM EXEMPLOS REAIS DE ESTRUTURAS
SIMPLES NOS DIVERSOS CAMPOS DA ENGENHARIA. QUAL ALTERNATIVA PODE SER ASSOCIADA A
UMA TRELIÇA?
A) Estruturas sob a forma de cavalete, destinadas a abrigar os hidrômetros em prédios públicos.
B) Estruturas reticuladas formadas por barras interligadas entre si por pinos, rebites, parafusos ou soldas, formando malhas
triangulares, cuja finalidade é resistir apenas a esforços axiais.
C) Residências multifamiliares espaciais, construídas sobre estruturas de madeira em regiões sujeitas a alagamentos.
D) Reservatórios destinados ao acúmulo de água da chuva para posterior reaproveitamento.
3. (ADAPTADO DE: FDC - IF-SE - ENGENHEIRO CIVIL - 2014) MUITOS SÃO OS ELEMENTOS
ESTRUTURAIS EM ENGENHARIA. A TRELIÇA É UM DOS TIPOS COM AMPLA UTILIZAÇÃO. OS
ESTÁDIOS MODERNOS DO MUNDO QUE APRESENTAM COBERTURAS SÃO EXEMPLOS DE
APLICAÇÕES DE TRELIÇAS. 
 
CONSIDERE UMA TRELIÇA PLANA E ISOSTÁTICA QUE POSSUI 13 BARRAS, E SEUS VÍNCULOS
EXTERNOS OFERECEM TRÊS REAÇÕES DE APOIO, COMO, POR EXEMPLO, APOIOS DE PRIMEIRO E
DE SEGUNDO GÊNEROS. O NÚMERO DE “NÓS” (UNIÃO ENTRE AS BARRAS) DESSA TRELIÇA É:
A) 9
B) 8
C) 7
D) 6
4. (ADAPTADO DE: FCC - MPE-AP - ANALISTA MINISTERIAL - ENGENHARIA CIVIL - 2012) O USO DE
TRELIÇAS EM EDIFICAÇÕES, COM AS CARGAS APLICADAS NOS “NÓS” IDEAIS, É UM SISTEMA
CONSTRUTIVO COMPOSTO DE BARRAS, IDEALIZADO PARA RESISTIR AOS ESFORÇOS
SOLICITANTES DE:
A) Tração e compressão.
B) Tração e flexão.
C) Compressão e flexão.
D) Cisalhamento e torção.
5. TRELIÇAS SÃO ELEMENTOS ESTRUTURAIS UTILIZADOS EM LARGA ESCALA NA ENGENHARIA.
UMA TRELIÇA PLANA DENOMINADA PRATT É ISOSTÁTICA E ESTÁ SOB DETERMINADO
CARREGAMENTO. SUPONHA QUE ELA APRESENTE “N” NÓS E “B” BARRAS. ALÉM DISSO, A
RAZÃO ENTRE O NÚMERO DE “NÓS” E O NÚMERO DE BARRAS É 4/7. LOGO, O VALOR DE N + B É:
A) 33
B) 40
C) 50
D) 52
6. (ADAPTADO DE: UFLA - ENGENHEIRO CIVIL - 2016) UMA TRELIÇA PARA A SUSTENTAÇÃO DE
TELHADO, FEITA DE BARRAS DE AÇO, TEM DIMENSÕES E FORMATO COMO MOSTRA A FIGURA A
SEGUIR. CONSIDERE AS MEDIDAS APRESENTADAS NA FIGURA EM METROS E AS BARRAS
VERTICAIS, OU SEJA, PARALELAS. 
 
 
O COMPRIMENTO TOTAL NECESSÁRIO DE BARRAS DE AÇO PARA A CONSTRUÇÃO DESSA
TRELIÇA É DE:
A) 24,00 m
B) 28,50 m
C) 30,75 m
D) 32,00 m
GABARITO
1. (Adaptado de: MEC - Engenheiro Civil - Arquiteto - 2009) A treliça é um elemento estrutural muito utilizado na Engenharia
e apresenta vantagens sobre outros, como, por exemplo, a elevada resistência específica. Analise a figura, a seguir, em
que existe uma estrutura denominada treliça: 
 
 
O grau hiperestático da treliça mostrada na figura é igual a:
A alternativa "A " está correta.
A estrutura apresentada é simples e rígida, que está vinculada por meio de dois apoios: o da esquerda é de segundo gênero, e o da
direita é de primeiro gênero. Nesse caso, o apoio da esquerda apresenta até 2 reações (forças), e o apoio da direita, 1 reação
(força), ou seja, 3 são as incógnitas iniciais a se descobrir. Para o equilíbrio do corpo rígido, existem 3 equações (2 relacionadas a
não translação e 1 a não rotação). Assim, é possível determinar as 3 incógnitas por meio das 3 equações. Observe que, na treliça,
existem 7 barras, ou seja, 7 incógnitas. Cada “nó” gera 2 equações. Como são 5 “nós”, 10 equações são geradas. Dessas, 3 já
foram utilizadas, restando 7 equações para resolver as 7 incógnitas (7 barras). Assim, a treliça é isostática, ou seja, não é
hiperestática. Logo, seu grau hiperestático é 0.
2. (Adaptado de: FUNIVERSA - IFB - Técnico de Laboratório - Edificações - 2012) Uma treliça é uma estrutura reticulada
composta de elementos unidos (barras) em suas extremidades, de modo a formar uma estrutura rígida. Podem ser do tipo
simples ou não. Coberturas de ginásio e telhados são aplicações de treliças na Engenharia. As alternativas a seguir
apresentam exemplos reais de estruturas simples nos diversos campos da Engenharia. Qual alternativa pode ser
associada a uma treliça?
A alternativa "B " está correta.
As treliças planas são barras unidas por pinos que formam uma estrutura rígida, a fim de serem utilizadas como elementos
estruturais.Sua unidade básica é um triângulo (união de três barras rotuladas). Como existem rótulas nas extremidades de cada
barra, não existe restrição à rotação, ou seja, momento. Dessa forma, para que a barra esteja em equilíbrio, deve estar sob a ação
de um par de forças na direção de cada barra (forças axiais). Essas forças ao longo das barras podem ser trativas ou compressivas,
na medida em que tendem a, respectivamente, aumentar ou diminuir o comprimento da barra.
3. (Adaptado de: FDC - IF-SE - Engenheiro Civil - 2014) Muitos são os elementos estruturais em Engenharia. A treliça é um
dos tipos com ampla utilização. Os estádios modernos do mundo que apresentam coberturas são exemplos de aplicações
de treliças. 
 
Considere uma treliça plana e isostática que possui 13 barras, e seus vínculos externos oferecem três reações de apoio,
como, por exemplo, apoios de primeiro e de segundo gêneros. O número de “nós” (união entre as barras) dessa treliça é:
A alternativa "B " está correta.
No vídeo, a seguir, o professor apresentará a resolução da questão. Assista:
4. (Adaptado de: FCC - MPE-AP - Analista Ministerial - Engenharia Civil - 2012) O uso de treliças em edificações, com as
cargas aplicadas nos “nós” ideais, é um sistema construtivo composto de barras, idealizado para resistir aos esforços
solicitantes de:
A alternativa "A " está correta.
Em função das premissas adotadas para o estudo da estrutura denominada treliça, para o equilíbrio das barras que a compõem,
estas devem estar sob a ação de um par de forças com linha de ação coincidente com a barra, que pode estar comprimindo-a ou
tracionando-a. No caso de tração, a tendência é o aumento do comprimento da barra e, na compressão, o inverso. Convenciona-se
associar o valor positivo para as forças trativas e o valor negativo para as forças compressivas.
5. Treliças são elementos estruturais utilizados em larga escala na Engenharia. Uma treliça plana denominada Pratt é
isostática e está sob determinado carregamento. Suponha que ela apresente “n” nós e “b” barras. Além disso, a razão
entre o número de “nós” e o número de barras é 4/7. Logo, o valor de n + b é:
A alternativa "A " está correta.
Para a estrutura isostática rotulada e formada por barras e “nós” em equilíbrio, existe uma relação matemática que envolve o
número de barras b e o número de nós n dada por:
 b = 2n - 3. O enunciado do problema apresenta que a razão entre o número de “nós” (n) e o número de barras (b) é 4/7, ou seja,
n/b = 4/7. Assim, n é proporcional a 4 e b a 7. Matematicamente, é possível escrever, portanto, que: n = 4k e b = 7k.
Substituindo n = 4k e b = 7k na expressão
b = 2n - 3, temos que: 7k = 2.(4k) – 3 → 7k = 8k – 3 → k = 3. Assim, como n = 4k e b = 7k, é verdade que: n = 4 x 3 = 12 “nós” e b =
7 x 3 = 21 barras. Portanto, a soma do número de barras e do número de “nós” é dada por: n + b = 33.
6. (Adaptado de: UFLA - Engenheiro Civil - 2016) Uma treliça para a sustentação de telhado, feita de barras de aço, tem
dimensões e formato como mostra a figura a seguir. Considere as medidas apresentadas na figura em metros e as barras
verticais, ou seja, paralelas. 
 
 
O comprimento total necessário de barras de aço para a construção dessa treliça é de:
A alternativa "C " está correta.
No vídeo, a seguir, o professor apresentará a resolução da questão. Assista:
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (IBFC - EBSERH - ARQUITETO - HUGG-UNIRIO - 2017) A TRELIÇA É UM SISTEMA ESTRUTURAL
FORMADO POR BARRAS QUE SE UNEM EM PONTOS DENOMINADOS:
A) Eixos
B) Diagonais
C) Nós
D) Montantes
2. (ADAPTADO DE: CESGRANRIO - UNIRIO - ARQUITETO E URBANISTA - 2016) O SISTEMA
ESTRUTURAL DE UM PROJETO CONCEBIDO PARA RESPONDER, DE FORMA EFICIENTE, AOS
ESFORÇOS DE TRAÇÃO E COMPRESSÃO EXERCIDOS SIMULTANEAMENTE, TEM COMO PROPOSTA
FINAL O USO DE:
A) Cabos
B) Arcos
C) Pórticos
D) Treliças planas
GABARITO
1. (IBFC - EBSERH - Arquiteto - HUGG-UNIRIO - 2017) A treliça é um sistema estrutural formado por barras que se unem em
pontos denominados:
A alternativa "C " está correta.
 
Os elementos básicos de uma treliça são suas barras, que são unidas entre si por pinos rotulados. Essas uniões são denominadas
“nós”. Nesses nós, não existem restrições à rotação, apenas a translações na horizontal e na vertical.
2. (Adaptado de: CESGRANRIO - UNIRIO - Arquiteto e Urbanista - 2016) O sistema estrutural de um projeto concebido para
responder, de forma eficiente, aos esforços de tração e compressão exercidos simultaneamente, tem como proposta final o
uso de:
A alternativa "D " está correta.
 
Os elementos (barras) que compõem a treliça estão submetidos exclusivamente a forças axiais de tração ou compressão. Essas
forças são chamadas de forças normais, pois são perpendiculares à seção reta das barras. Por convenção, quando são trativas,
estão associadas a valores positivos e, quando são compressivas, seus valores são negativos.
MÓDULO 2
 Reconhecer o método de resolução de treliças planas — “método dos nós”
INTRODUÇÃO
O DIMENSIONAMENTO DE UMA TRELIÇA INICIA-SE COM A
DETERMINAÇÃO DOS VALORES DAS FORÇAS QUE ATUAM SOBRE
AS BARRAS QUE CONSTITUEM ESSE ELEMENTO ESTRUTURAL.
Dessa forma, existem métodos específicos para a determinação da intensidade (ou módulo) dessas forças e das condições em que
atuam, isto é, comprimindo ou tracionando cada uma das barras da treliça. 
Neste módulo, apresentaremos o chamado método dos nós, que, em linha gerais, baseia-se na utilização das duas equações do
equilíbrio translacional de cada “nó”, ou seja:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DETERMINAÇÃO DAS REAÇÕES NOS APOIOS DE UMA
TRELIÇA PLANA ISOSTÁTICA PELO MÉTODO DOS “NÓS”
O principal objetivo deste estudo é que a treliça plana isostática seja “resolvida” ou, em outras palavras, que os valores das reações
nos apoios e as forças axiais atuantes nas barras (elementos da treliça unidos por pinos rotulados) sejam determinados tanto em
módulo quanto em direção e sentido. 
O primeiro método que será apresentado denomina-se método dos “nós”: união de duas ou mais barras da treliça. A primeira etapa
desse método é considerar a treliça uma estrutura única rígida (uma das premissas comentadas nos tópicos anteriores) em
equilíbrio.
Utilizando as equações de equilíbrio do corpo rígido bidimensional ( ; e ) é possível fazer
manipulações algébricas e determinar as reações nos apoios (vínculos).
Para que isso fique menos abstrato, segue um exemplo simples, mas que poderá ser utilizado para situações mais complexas.
EXEMPLO 1
(IF-SP - 2011 - IF-SP - Professor - Construção Civil) Vamos calcular o valor das reações RA e RC da treliça a seguir:
∑Fx = 0
∑Fy = 0
∑Fx = 0 ∑Fy = 0 ∑Mz = 0
 
Autor
RESOLUÇÃO
Considerando a treliça em equilíbrio, as reações são: 
 Como não existem forças externas na horizontal, a primeira equação está satisfeita.
 RA + RC – 8 = 0 → RA + RC = 8.
 Considerando o sentido anti-horário como momento positivo e aplicando os momentos em relação ao ponto A,
como a força RA está em A em relação a esse ponto, não gera momento. Assim: 0 + 2a.RC – 1,5a.8 = 0 → RC = 6 kN. Na
segunda equação do equilíbrio: RA + RC = 8. Logo: RA = 2 kN. 
O resultado é RA = 2 kN e RC = 6 kN
 ATENÇÃO
Os valores encontrados para RA e RC foram positivos. Logo, os sentidos inicialmente arbitrados na figura estão corretos.
DETERMINAÇÃO DAS FORÇAS EM BARRAS DE UMA
TRELIÇA PLANA ISOSTÁTICA PELO MÉTODO DOS “NÓS”
Para a utilização deste método, é necessário que você determine, inicialmente, as reações nos apoios da treliça como já foi visto
anteriormente. O método de resolução dos “nós” indica que cada nó que une as barras das treliças se encontra em equilíbrio
translacional. O equilíbrio rotacional já é satisfeito, pois não ocorre reação de momento nos pinos dos “nós”.
É importante ressaltar uma das premissas já comentadas anteriormente: os pinos são rotulados. Então, não existe a restrição de
momento. Dessa forma, a equaçãodo equilíbrio dada por já se encontra satisfeita. Assim, apenas devemos escrever as
duas outras equações do equilíbrio para cada “nó”, ou seja, e .
Para a compreensão do método, um exemplo será resolvido a partir da figura 8:
∑Fx = 0  →
∑Fy = 0 →
∑Mz = 0 →
∑Mz = 0
∑Fx = 0 ∑Fy = 0
 Figura 8: Treliça simples ABC – método dos “nós” / Fonte: Autor
Para resolver esta treliça, inicialmente, devemos seguir os passos apresentados antes, ou seja, determinar as reações nos apoios
da treliça ABC. Uma vez que esses valores tenham sido determinados, o método dos “nós” propriamente dito se inicia.
 ATENÇÃO
Observe o “nó” A: união das barras AB e AC. Apenas por escolha, o processo será iniciado por esse “nó”, ou seja, “isolaremos” tal
“nó” (similar ao DCL de um corpo rígido).
Já sabemos que as forças que agem nas barras das treliças são axiais (compressão ou tração). Observe, na figura 9, o nó A e as
forças que atuam nele:
 Figura 9: Forças que atuam no “nó” A da treliça simples ABC / Fonte: Autor
As forças FAB e FAC têm apenas a direção conhecida (direção da barra). Os sentidos foram arbitrados, e, ao final da resolução,
valores positivos ratificarão a escolha inicial. 
Como o nó A se encontra em equilíbrio, as equações que garantem a não translação em x e y serão escritas. Contudo, existe uma
força (FAC) que não se encontra nem na direção x nem na direção y. Portanto, faremos a projeção desta nos eixos x e y. 
Em módulo: e . Agora, é possível escrever as equações do equilíbrio para os eixos x
e y:
(F
AC
)x = FAC  . cos α (FAC )y = FAC  . senα
∑Fx = 0 → FAB– (FAC )x = 0 ou, ainda, FAB– FAC  .  cosα = 0(*)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo o sistema entre as equações (*) e (**), os valores de FAB e FAC serão determinados, uma vez que RA foi encontrado no
início e o ângulo é conhecido.
Repetindo os passos anteriores, podemos determinar todas as forças que atuam na barra. Mesmo em uma treliça com poucas
barras, o método dos “nós” exige grande algebrismo.
A solução apresentada foi a tradicional. No entanto, para nós com três forças atuantes, é muito prático utilizar o fato de que a soma
vetorial das forças forma um polígono, visto que ele se encontra em equilíbrio. 
Assim, conforme mostra a figura 10 seguinte, temos:
 Figura 10: Resolução do “nó” A da treliça simples ABC pela regra do polígono / Fonte: Autor
Considerando o valor de α e RA conhecidos, a partir das relações trigonométricas, é possível a determinação dos valores de FAB e
FAC.
MAS COMO DESCOBRIR SE A FORÇA ESTÁ SOB UMA AÇÃO
COMPRESSIVA OU TRATIVA?
A partir da Terceira Lei de Newton, é possível fazer o esquema representado na figura 11 a seguir:
 Figura 11: “Nó” e barra sob compressão / Fonte: Autor
TEORIA NA PRÁTICA
Como vimos, as treliças são muito utilizadas nas diversas aplicações da Engenharia. No campo da Engenharia Civil, muitas
estruturas utilizam vigas treliçadas, assim como na Engenharia Mecânica, em estruturas fixas ou móveis (gruas, guindastes etc.). 
∑Fy = 0 → RA– (FAC )y = 0 ou, ainda, RA– FAC .  senα = 0(**)
As torres de transmissão, amplamente utilizadas na Engenharia Elétrica, são mais exemplos de aplicação das treliças. Em muitos
casos, são treliças espaciais e, em outros, treliças planas. De qualquer forma, o entendimento físico-matemático das treliças é
fundamental para a formação do futuro engenheiro. 
Suponha que uma pequena garagem de uma casa tenha a estrutura que suporta o telhado utilizando vigas treliçadas planas, em
que as barras são metálicas. A figura a seguir representa uma dessas vigas e o carregamento a que está sujeita:
 Treliça utilizada como viga em uma garagem / Fonte: Autor
Considere que todas as seis barras horizontais tenham 0,6 m de comprimento, e que as três verticais tenham 0,8 m. As barras são
todas rotuladas. Para reforçar o método aprendido aqui (método dos nós), aplicando-o a uma estrutura na prática da Engenharia,
vamos determinar os valores das reações nos apoios A e B e as forças axiais nas barras AC, AD e EF. 
Aproveitando o exemplo, alguns outros pontos serão explorados. É fácil verificar que a treliça é isostática, tendo apoios do primeiro
e do segundo gêneros, o que implica três incógnitas, que podem ser resolvidas pelas equações de equilíbrio do corpo rígido: 
, e . Também é fácil verificar que a treliça é composta de 13 barras (b) e 8 “nós” (n), valores que
satisfazem a equação 2n = b + 3. 
No vídeo, a seguir, o professor apresentará a resolução da questão. Assista:
∑Fx = 0 ∑Fy = 0 ∑M = 0
MÃO NA MASSA
1. (ADAPTADO DE: FCC - CAIXA - ENGENHEIRO CIVIL - 2013) AS TRELIÇAS SÃO ESTRUTURAS
CONSTITUÍDAS DE BARRAS LIGADAS ENTRE SI POR NÓS. CONSIDERE A TRELIÇA APRESENTADA
A SEGUIR: 
 
 
OS VALORES DO ESFORÇO, EM KN, PARA AS BARRAS AB E ED, RESPECTIVAMENTE, SÃO:
A) 40, 40
B) - 40, - 40
C) - 80, - 80
D) 80, - 80
2. VÁRIOS SÃO OS ELEMENTOS ESTRUTURAIS NA ENGENHARIA: A VIGA, A TRELIÇA, A COLUNA
ETC. CONSIDERE UMA ESTRUTURA TRELIÇA PLANA ISOSTÁTICA BIAPOIADA COM
CARREGAMENTO EM SEUS “NÓS”. ALGUMAS FORÇAS VERTICAIS APONTAM “PARA BAIXO” E UMA
HORIZONTAL “PARA A ESQUERDA”. DESPREZE O PESO DAS BARRAS FRENTE AOS VALORES DO
CARREGAMENTO. 
 
SOBRE ESSA ESTRUTURA, É CORRETO AFIRMAR QUE:
A) Para o carregamento descrito, as reações nos dois apoios são verticais, e um deles apresentará um momento.
B) As forças que atuam sobre as barras são normais e podem estar flexionando ou não as barras.
C) As treliças simples são aquelas que podem ser construídas a partir de seu elemento estrutural básico: o triângulo. Duas novas
barras são acrescentadas e unidas por rótulas.
D) viga apresentada é biapoiada, e uma das possibilidades ocorre: os dois apoios são de segundo gênero, um deles é de segundo
gênero, e o outro de primeiro gênero, ou, ainda, dois apoios de primeiro gênero.
3. (ADAPTADO DE: SENADO FEDERAL - ENGENHEIRO CIVIL - 2008) OBSERVE A FIGURA A SEGUIR: 
 
NESTA TRELIÇA, O ESFORÇO NORMAL NA BARRA 6 –7 É IGUAL A:
A) 1,5P de tração
B) 3P de tração
C) P de compressão
D) 1,5P de compressão
4. (ADAPTADO DE: FCC - TRE-RR - ANALISTA JUDICIÁRIO - ENGENHARIA CIVIL - 2015) CONSIDERE A
TRELIÇA DA FIGURA A SEGUIR: 
 
A FORÇA AXIAL, PELO MÉTODO DOS “NÓS”, ATUANTE NA BARRA AD, EM KN, É IGUAL A:
A) 15
B) 18
C) 16
D) 12
5. (ADAPTADO DE: FUNCAB - IDAF-ES - ENGENHEIRO CIVIL - 2010) OBSERVE A TRELIÇA
ISOSTÁTICA A SEGUIR: 
 
OS VALORES EM MÓDULO DAS REAÇÕES DE APOIO RVA, RVD E RHD SÃO, EM KN,
RESPECTIVAMENTE:
A) 10, 6 e 12
B) 6, 10 e 6
C) 8, 8 e 12
D) 6, 10 e 12
6. (ADAPTADO DE: FUNCAB - MPE-RO - ANALISTA - ENGENHARIA CIVIL - 2012) OBSERVE A TRELIÇA
ISOSTÁTICA A SEGUIR: 
 
OS VALORES DAS REAÇÕES VA, VB E HB, EM KN, SÃO, RESPECTIVAMENTE:
A) 5, 40 e 25
B) 40, 5 e 25
C) 5, 40 e 65
D) 40, 5 e 65
GABARITO
1. (Adaptado de: FCC - Caixa - Engenheiro Civil - 2013) As treliças são estruturas constituídas de barras ligadas entre si por
nós. Considere a treliça apresentada a seguir: 
 
 
Os valores do esforço, em kN, para as barras AB e ED, respectivamente, são:
A alternativa "C " está correta.
Pela simetria da figura, a carga vertical total para baixo é 160 kN, ou seja, 80 kN em cada um dos apoios: (A) e (E). No apoio (A),
não há reação horizontal, pois existe carregamento apenas vertical. Isolando o nó (A), temos:
Em x, como só existe uma força atuando, para garantir resultante 0 (zero) nesse eixo, basta que FAF seja nula. 
Em y, a resultante também deve ser nula. Adotando o eixo y como positivo para cima, temos:
- FAB + RA = 0 → FAB = RA → FAB = 80 kN
Como o pino está sob compressão, a barra AB também estará (Terceira Lei de Newton). Assim, na alternativa, deve ser escolhido -
80 kN (convenção de valor negativo associado à compressão). De maneira similar, ocorre para o ponto E.
2. Vários são os elementos estruturais na Engenharia: a viga, a treliça, a coluna etc. Considere uma estrutura treliça plana
isostática biapoiada com carregamento em seus “nós”. Algumasforças verticais apontam “para baixo” e uma horizontal
“para a esquerda”. Despreze o peso das barras frente aos valores do carregamento. 
 
Sobre essa estrutura, é correto afirmar que:
A alternativa "C " está correta.
Em se tratando de uma viga biapoiada isostática, os apoios devem ser um do primeiro gênero (uma força de reação vertical) e um
de segundo gênero (forças vertical e horizontal). Assim, com as três equações do equilíbrio (∑Fx = 0,∑Fy = 0  e ∑Mz = 0)
, é possível determinar as três reações. Os apoios de primeiro e segundo gêneros não impedem rotação. A união entre as barras é
feita por “nós” que não impedem rotação. Dessa forma, as barras estarão em equilíbrio sob a ação apenas de forças axiais, que
tendem a tracioná-las ou comprimi-las. Como existe uma única força aplicada na horizontal, ela deve ser equilibrada pelo apoio de
segundo gênero, ou seja, uma força horizontal também surgirá nesse apoio, além da vertical. Existem treliças que não podem ser
construídas a partir de um único triângulo. Essas treliças não são consideradas simples.
3. (Adaptado de: Senado Federal - Engenheiro Civil - 2008) Observe a figura a seguir: 
 
Nesta treliça, o esforço normal na barra 6 –7 é igual a:
A alternativa "B " está correta.
Pela simetria da figura e como a carga vertical total para baixo é P, logo, 3P/2 será a reação vertical em cada um dos apoios (1) e
(5). No apoio (1), não há força horizontal, pois o carregamento é apenas vertical. Isolando o nó (1), temos:
Os triângulos são semelhantes (a base é o dobro da altura). Assim: F16 = 3P, tracionando a barra (perceba que o pino também é
tracionado). Isolando o “nó” ponto (6), tem-se:
Em y, como só existe uma força atuando, para garantir resultante 0 (zero) nesse eixo, F62 é nula. 
Em x, as duas forças em módulo serão iguais, ou seja, F61 = F67 = 3P (tração). Observe que o pino é tracionado. Logo, a barra está
tracionada (Terceira Lei de Newton).
4. (Adaptado de: FCC - TRE-RR - Analista Judiciário - Engenharia Civil - 2015) Considere a treliça da figura a seguir: 
 
A força axial, pelo método dos “nós”, atuante na barra AD, em kN, é igual a:
A alternativa "D " está correta.
No vídeo, a seguir, o professor apresentará a resolução da questão. Assista:
5. (Adaptado de: FUNCAB - IDAF-ES - Engenheiro Civil - 2010) Observe a treliça isostática a seguir: 
 
Os valores em módulo das reações de apoio RVA, RVD e RHD são, em kN, respectivamente:
A alternativa "D " está correta.
No vídeo, a seguir, o professor apresentará a resolução da questão. Assista:
6. (Adaptado de: FUNCAB - MPE-RO - Analista - Engenharia Civil - 2012) Observe a treliça isostática a seguir: 
 
Os valores das reações VA, VB e HB, em kN, são, respectivamente:
A alternativa "A " está correta.
Primeiro, consideramos o equilíbrio (translacional) das forças na direção x (adotando-se positivo para direita):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em seguida, consideramos o equilíbrio (translacional) das forças na direção y (considerando positivo para cima):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
∑Fx = 0 → 45 –  20 –  HB = 0 → 25 –  HB = 0 → HB = 25 kN
∑Fy = 0 → V A + V B –  15 –  30 = 0 → V A + V B = 45 (*)
Por fim, consideramos o equilíbrio (rotacional) dos momentos em relação ao ponto B (positivo no sentido anti-horário):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo VA = 5 kN em (*), isto é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. A TRELIÇA É UMA ESTRUTURA COM VÁRIAS APLICAÇÕES NA ENGENHARIA. MUITAS DELAS
APRESENTAM NOMES PRÓPRIOS, COMO HOWE, PRATT, FINK ETC. CONSIDERE A TRELIÇA PLANA
DENOMINADA PRATT, COM O CARREGAMENTO ILUSTRADO NA FIGURA A SEGUIR: 
 
 FONTE: AUTOR
COM RELAÇÃO À BARRA VERTICAL CENTRAL (EM DESTAQUE NA TRELIÇA), É CORRETO AFIRMAR
QUE:
A) A força atuante é nula devido às simetrias geométricas e de carregamento.
B) A força atuante apresenta módulo 40 kN e está sob compressão.
C) A força atuante tem intensidade de 40 kN é está sob tração.
D) A força atuante apresenta módulo 40 kN, mas não é possível afirmar se a barra se encontra sob compressão ou tração.
2. (ADAPTADO DE: CESPE - MEC - ENGENHEIRO MECÂNICO - 2015) CONSIDERE OS CONCEITOS
RELACIONADOS À MECÂNICA DOS SÓLIDOS E A TRELIÇA MOSTRADA NA FIGURA A SEGUIR: 
 
∑MB = 0 → − 6. V A  −  45. 3 + 15. 3 + 20. 6 = 0 → − 6. V A  −  135 + 45 + 120 = 0 → − 6. V A = − 30 → V A = 5 kN
V A + V B = 45 → 5 + V B = 45 → V B = 45  −  5 → V B = 40 kN
 FONTE: AUTOR
SOBRE AS FORÇAS ATUANTES NAS BARRAS AB E AF, RESPECTIVAMENTE, É CORRETO AFIRMAR
QUE:
A) A barra AB está tracionada por uma força de 20 kN, e a barra AF, por uma força de 15 kN, também de tração.
B) A barra AB está comprimida por uma força de 15 kN, e a barra AF, por uma força de 20 kN, também de compressão.
C) A barra AB está tracionada por uma força de 15 kN, e a barra AF, por uma força de 20 kN, também de tração.
D) A barra AB está tracionada por uma força de 15 kN, e a barra AF, comprimida por uma força de 20 kN.
GABARITO
1. A treliça é uma estrutura com várias aplicações na Engenharia. Muitas delas apresentam nomes próprios, como Howe,
Pratt, Fink etc. Considere a treliça plana denominada Pratt, com o carregamento ilustrado na figura a seguir: 
 
 Fonte: Autor
Com relação à barra vertical central (em destaque na treliça), é correto afirmar que:
A alternativa "C " está correta.
 
Observando o nó inferior da barra destacada no enunciado, seu DCL é apresentado na figura a seguir:
 Fonte: Autor
Do equilíbrio translacional na vertical para o “nó”, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o “nó” está sob tração, pela Terceira Lei de Newton, a barra também estará sob tração.
2. (Adaptado de: CESPE - MEC - Engenheiro Mecânico - 2015) Considere os conceitos relacionados à mecânica dos sólidos
e a treliça mostrada na figura a seguir: 
 
 Fonte: Autor
Sobre as forças atuantes nas barras AB e AF, respectivamente, é correto afirmar que:
A alternativa "C " está correta.
 
Desenhando o diagrama do corpo livre da treliça, temos:
 Fonte: Autor
As equações para a condição de equilíbrio de um corpo no plano (translacional e rotacional) são:
∑Fy = 0 → Fbarra– 40 = 0 → Fbarra = 40 kN
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, temos:
• Resultante na direção x nula
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
• Resultante na direção y nula
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
• Soma dos momentos em relação ao ponto A igual a 0 (zero) (sentido anti-horário positivo)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
• Como
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desenhando o DCL do “nó” A, temos:
 Fonte: Autor
A partir da equação que garante o equilíbrio translacional na vertical para o “nó”, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma vez que o “nó” A está sendo tracionado, pela Terceira Lei de Newton (ação-reação), a barra AF também estará sob tração. 
Utilizando a equação do equilíbrio translacional na horizontal para o “nó”, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o “nó” está sob tração, pela Terceira Lei de Newton (ação-reação), a barra AB também estará sob tração.
MÓDULO 3
 Reconhecer o método de resolução de treliças planas — “método das seções”
∑Fx = 0,  ∑Fy = 0  e  ∑Mz = 0
→ ∑Fx = 0 →  − Ax + 5 + 10 = 0  →   Ax = 15 kN
→ ∑Fy = 0 →  − Ay +  By = 0 (*)
∑Mz = 0 → − 5 .  8 − 10 .  4 + By .  4 = 0  → − 40 − 40 + By .   4 = 0  →  4 .  By  = 80 kN  →  By  = = 20 kN .
80
4
−Ay + By = 0 →  Ay = By →  Ay = 20 kN .
∑Fy = 0 → FAF  –  20 = 0 → FAF = 20 kN
∑Fx = 0 → FAB–  15 = 0 → FAB = 15 kN
INTRODUÇÃO
No módulo anterior, estudamos o método dos “nós” para a determinação das forças que atuam nas barras de uma treliça e suas
condições de tracionamento ou compressão. 
O método a ser estudado agora é denominado “método das seções”. Sua principal vantagem é que os cálculos são mais diretos,
sendo particularmente útil quando desejamos determinar a força que age em uma ou mais barras específicas.
DETERMINAÇÃO DAS REAÇÕES NOS APOIOS DE UMA
TRELIÇA PLANA ISOSTÁTICA PELO MÉTODO DAS
“SEÇÕES”
No módulo anterior, estudamos o método dos “nós” para a resolução das treliças planas isostáticas, ou seja, para determinar os
valores das forças de reações nos apoios da estrutura e das forças axiais atuantes nas barras da treliça, estejam elas em seu
estado de compressão ou de tração.
O primeiro passo a ser executado no método estudado no módulo 2 foi a determinação das reações nos vínculos. Para tanto, foram
utilizadas as equações do equilíbrio de um corpo rígido , considerando a treliça uma
estrutura única rígida.
No método das “seções” ou de Ritter, o primeiro passo será exatamente o mesmo. Por isso, inicialmente os métodos se
assemelham.
DETERMINAÇÃO DAS FORÇAS NAS BARRAS DE UMA
TRELIÇA PELO MÉTODO DAS “SEÇÕES”
Na segunda etapa dos métodos das seções (o método propriamente dito), um ou mais “cortes” (abstração) serão realizados na
treliça, fazendo com que as forças axiais que atuam em algumas barras, chamadas de forças internas, comportem-se como forças
externas de um corpo rígido. Feito o corte, uma das partes da treliça será utilizada para a determinação dos valores de algumas
forças axiais.
 ATENÇÃO
A escolha da parte que será utilizada na aplicação do método pode torná-lo mais simples matematicamente. De qualquer forma, é
bom esclarecer que qualquer parte pode ser escolhida para a aplicação do método das “seções”.
Baseando-se no fato de que a treliça está em equilíbrio, uma dessas partes escolhidas também estará. Então, novamente, serão
utilizadas as equações do equilíbrio de um corpo rígido para a determinação das forças axiais nas barras. 
Nas figuras 12 e 13, são mostradas uma treliça com corte a-a’ e as partes a serem escolhidas para a aplicação do método:
(∑Fx = 0,  ∑Fy = 0  e  ∑M = 0)
 Figura 12: Treliça simples / Fonte: Autor
 Figura 13: Treliça seccionada e forças internas “expostas” / Fonte: Autor
O método das seções pode ser facilitado, dependendo da escolha feita para a seção de corte a-a’, o que necessita de experiência e
treinamento. Uma sugestão, que pode ajudar você no início, é evitar utilizar seções para o corte da treliça que atravessem quatro ou
mais barras, uma vez que são três as equações para o equilíbrio do corpo rígido , e .
Outra sugestão que pode ser útil no início do aprendizado do método de Ritter é utilizar seções de corte que levem à exposição de
algumas forças concorrentes. Essa situação é favorável, pois, ao utilizarmos a equação do equilíbrio rotacional ,
momentos em relação ao ponto de concorrência serão nulos.
 ATENÇÃO
Os métodos dos “nós” e das “seções” podem ser utilizados em conjunto. Parte da resolução pode ser iniciada por um dos métodos
e, depois, é possível utilizar o outro método.
Para que você possa perceber os passos a seguir, apresentamos, agora, um exemplo para a resolução de uma treliça pelo método
das seções.
EXEMPLO 2
(PaqTcPB - Prefeitura de Patos - PB - Engenheiro Civil - 2010) Seja a treliça, a seguir, submetida ao carregamento indicado:
(∑Fx = 0 ∑Fy = 0 ∑M = 0)
(∑M = 0)
Os elementos AB e AD estão submetidos a quais esforços normais?
RESOLUÇÃO
Vamos determinar a seção de corte conveniente. Como uma das forças que se deseja determinar é a da barra AB, será efetuado
um seccionamento que passe por essa barra. Por exemplo:
 
Fonte: Autor
Inicialmente, determinaremos o valor da força na barra AB. Assim, é conveniente aplicar os momentos em relação ao ponto D, por
onde a linha de ação da força FAD “passa”. 
Primeiro, consideramos o equilíbrio dos momentos em relação ao ponto D (positivo no sentido anti-horário):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para determinar o valor da força na barra AD, será necessário determinar a distância da linha de ação de FAD ao ponto B (M = F.d).
Da geometria, é verdade que:
 Fonte: Autor
Em seguida, consideramos o equilíbrio dos momentos em relação ao ponto B (positivo no sentido anti-horário):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O valor negativo indica que o sentido arbitrado no DCL é o inverso. Logo: FAD = 200 kN (C). 
Aproveitando o exemplo, será utilizado o método dos “nós” na parte final da resolução para determinar a força na barra AD. Isolando
o “nó” A, temos:
∑MD = 0 → 120. 4 − FAB. 3 = 0 → 480 = FAB. 3 = 0 → FAB. 3 = 480 → FAB = 480/3 = 160 kN(T )
∑MB = 0 → 120. 4 + FAD. 2, 4 = 0 → 480 + FAD. 2, 4 = 0 → FAD. 2, 4 = −480 → FAD = −480/2, 4 = −200 kN
 Fonte: Autor
Há semelhança dos triângulos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resposta: 160 kN (T). 200 kN (C)
TEORIA NA PRÁTICA
Como um elemento estrutural presente em muitos projetos de Engenharia, a treliça é fundamental no curso. Aqui, apresentamos
alguns conceitos que introduzirão o assunto para iniciar seu primeiro contato com o dimensionamento de uma treliça. Para tanto, é
fundamental que você seja capaz de utilizar algum método que determine as forças nas barras que compõem a treliça. 
Para apresentar um aspecto prático, imagine uma treliça plana isostática, que é utilizada como viga de uma estrutura, em que
desejamos determinar para algumas barras o valor da força axial e seu estado de tração ou de compressão. Vamos ao exemplo.
EXEMPLO 3
(Adaptado de: VUNESP - Prefeitura de Cananeia - SP - Engenheiro Civil – 2020) A treliça da figura a seguir está submetida a
uma carga concentrada (P) no nó G:
 
Fonte: Autor
Estudaremos algumas barras que compõem a treliça.
RESOLUÇÃO
Inicialmente, serão determinadas as reações nos apoios (A e E) da treliça. Nesse caso particular, existem simetrias da geometria e
de carregamento. Além disso, não existe carregamento horizontal. Assim, como o carregamento vertical total é P, cada apoio terá
reação vertical para cima: VA = VE = P/2.
= →  3. FAD = 5 .120   →  3. FAD = 600  →  FAD = = 200 kN
FAD
5
120
3
600
3
No segundo passo, serão determinados os valores e as condições de cada barra (tração e compressão) a partir do método das
“seções”. Em alguns momentos, o método dos “nós” poderá ser utilizado por uma questão de simplicidade matemática para alguma
barra particular.
Observe no desenho a seção a-a’, mostrada na figura inicial. Tomando a “parte” à esquerda da treliça após o corte pela seção,
temos:
 Fonte: Autor
Vamos considerar o equilíbrio dos momentos em relação ao ponto F (positivo no sentido anti-horário):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o valor encontrado é negativo, o sentido arbitrado inicialmente é o oposto. Assim, o pino A está comprimido, e, pela Terceira
Lei de Newton, a barra AB também está comprimida. 
Agora, vamos considerar o equilíbrio dos momentos em relação ao ponto B (positivo no sentido anti-horário):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o valor encontrado é positivo, o sentido arbitrado inicialmente está correto. Assim, o pino A está tracionado, e, pela Terceira
Lei de Newton, a barra AF também está tracionada.
Observe no desenho a seção b-b’, mostrada na figura inicial. Tomando a “parte” à direita da treliça, após o corte pela seção, temos:
 Fonte: Autor
∑MF = 0 → −a. FAB –  (P/2). a = 0 → −a. FAB = (P/2). a → FAB = −P/2
∑MB = 0 → (a ). FAF  –(  ). a = 0 → (a ). FAF = (   ). a → FAF =
√2
2
 P
2
√2
2
 P
2
P √2
2
Considerando o equilíbrio dos momentos em relação ao ponto G (positivo no sentido anti-horário):
 Atenção! Para visualização completada equação utilize a rolagem horizontal
Como o valor encontrado é negativo, o sentido arbitrado inicialmente é o oposto. Assim, o pino C está comprimido, e, pela Terceira
Lei de Newton, a barra CB também está comprimida.
No vídeo, a seguir, o professor falará sobre a determinação de forças nas barras de uma treliça pelo “método das seções”. Assista:
MÃO NA MASSA
1. (ADAPTADO DE: FCC - DPE-AM - ANALISTA EM GESTÃO ESPECIALIZADO DE DEFENSORIA -
ENGENHARIA CIVIL - 2018) NO PROJETO DAS ESTRUTURAS DA COBERTURA DE UM GALPÃO,
FORAM PROJETADAS TRELIÇAS METÁLICAS, COMO INDICA A FIGURA A SEGUIR: 
 
∑MG = 0 → a. FCB + (P/2). 2a = 0 → a. FCB + (P). a = 0 → a. FCB = −(P). a → FCB = −P
PARA DIMENSIONAR O TIPO DE PERFIL A SER UTILIZADO, FORAM CALCULADAS AS FORÇAS EM
TODAS AS BARRAS DA TRELIÇA. A FORÇA ATUANTE NA BARRA AE É, EM KN:
A) 15
B) 16
C) 20
D) 18
2. (ADAPTADO DE: VUNESP - PREFEITURA DE SÃO BERNARDO DO CAMPO - SP - ENGENHEIRO
CIVIL - 2018) CONSIDERE A TRELIÇA METÁLICA DO PROJETO DA CONSTRUÇÃO DE UM GALPÃO,
ILUSTRADA NA FIGURA A SEGUIR: 
 
A BARRA AC ESTÁ SOLICITADA PELA FORÇA NORMAL, EM MÓDULO E EM KN, DE:
A) 40
B) 35
C) 20
D) 15
3. A TRELIÇA TEM VÁRIAS APLICAÇÕES ESTRUTURAIS NA ENGENHARIA. PARA DETERMINAR AS
FORÇAS AXIAIS NAS BARRAS ROTULADAS QUE COMPÕEM ESSA ESTRUTURA, EXISTE O MÉTODO
DAS “SEÇÕES”. SOBRE ESSE MÉTODO, É CORRETO AFIRMAR QUE:
A) Substitui o método dos nós para treliças com até 4 cargas externas aplicadas nos nós.
B) Determina o módulo da força que age em uma barra da treliça, porém não é capaz de informar seu estado de tração ou
compressão.
C) Na resolução da treliça, pode ser associado ao método dos “nós”.
D) Em sua utilização, nunca há necessidade de calcular as reações nos apoios.
4. (ADAPTADO DE: FUNCAB - INCA - ANALISTA - ENGENHARIA DE INFRAESTRUTURA -
ENGENHARIA CIVIL - 2014) OBSERVE A TRELIÇA ISOSTÁTICA REPRESENTADA, A SEGUIR, COM UM
APOIO DE 1º GÊNERO EM A E OUTRO DE 2º GÊNERO EM B: 
 
O ESFORÇO NORMAL, EM KN, NA BARRA CD É:
A) 20 de tração.
B) 20 de compressão.
C) 10 de tração.
D) Nulo.
5. (ADAPTADO DE: CESGRANRIO - BR DISTRIBUIDORA - PROFISSIONAL JÚNIOR - ENGENHARIA
MECÂNICA - 2008) A TRELIÇA DE TRÊS BARRAS DA ESTRUTURA MOSTRADA NA FIGURA, A
SEGUIR, ESTÁ SUJEITA À CARGA F APLICADA AO PINO C: 
 
NESTA SITUAÇÃO, A FORÇA DE COMPRESSÃO ATUANTE NA BARRA AB VALE:
A) F cotg θ
B) F tg θ
C) (F/2) tg θ
D) (F/2) cotg θ
6. (ADAPTADO DE: FUNCAB - INCA - ANALISTA - ENGENHARIA DE INFRAESTRUTURA -
ENGENHARIA CIVIL - 2014) OBSERVE A TRELIÇA ISOSTÁTICA REPRESENTADA, A SEGUIR, COM UM
APOIO DE 1º GÊNERO EM A E OUTRO DE 2º GÊNERO EM B: 
 
O ESFORÇO NORMAL, EM KN, NA BARRA AC É:
A) 20 de tração.
B) 20 de compressão.
C) 10 de tração.
D) 10 de compressão.
GABARITO
1. (Adaptado de: FCC - DPE-AM - Analista em Gestão Especializado de Defensoria - Engenharia Civil - 2018) No projeto das
estruturas da cobertura de um galpão, foram projetadas treliças metálicas, como indica a figura a seguir: 
 
Para dimensionar o tipo de perfil a ser utilizado, foram calculadas as forças em todas as barras da treliça. A força atuante
na barra AE é, em kN:
A alternativa "B " está correta.
Pela simetria, é possível determinar as reações verticais nos apoios A e H. A carga total vertical é: 8 + 8 + 8 = 24 kN. Assim:
VA = VH = 12 kN. Não há carregamento horizontal. Então, a reação horizontal no apoio H é nulo. Utilizando o corte mostrado na
figura da questão, temos:
Vamos considerar o equilíbrio dos momentos em relação ao ponto B (positivo no sentido anti-horário):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. (Adaptado de: VUNESP - Prefeitura de São Bernardo do Campo - SP - Engenheiro Civil - 2018) Considere a treliça
metálica do projeto da construção de um galpão, ilustrada na figura a seguir: 
 
∑MB = 0  →   −  12. 2  +  FAE . 1, 5  =  0  →  FAE   =  16kN  (T )
A barra AC está solicitada pela força normal, em módulo e em kN, de:
A alternativa "D " está correta.
No vídeo, a seguir, o professor apresentará a resolução da questão. Assista:
3. A treliça tem várias aplicações estruturais na Engenharia. Para determinar as forças axiais nas barras rotuladas que
compõem essa estrutura, existe o método das “seções”. Sobre esse método, é correto afirmar que:
A alternativa "C " está correta.
O método das “seções” ou de Ritter auxilia na resolução de treliças, pois permite determinar o módulo da força que age em cada
barra e seu estado de tração ou compressão. Muitas vezes, pode ser utilizado em conjunto com o método dos “nós” por questões
de facilidade matemática. Assim como no método dos “nós”, devemos, inicialmente, determinar as reações de apoio, considerando
a treliça uma estrutura única e aplicando as equações do equilíbrio estático de um corpo rígido.
4. (Adaptado de: FUNCAB - INCA - Analista - Engenharia de Infraestrutura - Engenharia Civil - 2014) Observe a treliça
isostática representada, a seguir, com um apoio de 1º gênero em A e outro de 2º gênero em B: 
 
O esforço normal, em kN, na barra CD é:
A alternativa "A " está correta.
No vídeo, a seguir, o professor apresentará a resolução da questão. Assista:
5. (Adaptado de: CESGRANRIO - BR Distribuidora - Profissional Júnior - Engenharia Mecânica - 2008) A treliça de três
barras da estrutura mostrada na figura, a seguir, está sujeita à carga F aplicada ao pino C: 
 
Nesta situação, a força de compressão atuante na barra AB vale:
A alternativa "D " está correta.
Pela simetria e não carregamento horizontal, os apoios apresentam reações iguais a F/2. Observe, na figura da questão, a seção de
corte escolhida:
Há semelhança dos triângulos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Da trigonometria, é possível escrever para o triângulo retângulo AMC que: .
Substituindo na expressão da força na barra AB, temos: 
6. (Adaptado de: FUNCAB - INCA - Analista - Engenharia de Infraestrutura - Engenharia Civil - 2014) Observe a treliça
isostática representada, a seguir, com um apoio de 1º gênero em A e outro de 2º gênero em B: 
 
O esforço normal, em kN, na barra AC é:
A alternativa "C " está correta.
Inicialmente, vamos determinar a reação vertical no apoio A. Primeiro, consideramos o equilíbrio dos momentos (rotacional) em
relação ao ponto B (positivo no sentido anti-horário):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe, na figura da questão, a seção de corte escolhida. O DCL para o “nó” A é apresentado a seguir:
Agora, consideramos o equilíbrio dos momentos em relação ao ponto D (positivo no sentido anti-horário):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
= →  F
AB
=   →  F
AB
=     →  F
AB
=  
F
AB
y
V
A
x
y.V
A
x
y. F/2
x
y.F
2.x
cotgθ =   .
y
x
cotgθ =     
y
x
F
AB
=  
F .cotgθ
2
∑M
B
= 0  → − 4.  V
A
  +  20. 2  +  10. 4  =  0  →   −  4.  V
A
  +  40  +  40  =  0  →  4V
A
  =  80 kN   →  V
A
  =  80/4  =  20 kN
∑M
D
= 0  →   4. F
AC
 –  20. 2  =  0  →   4. F
AC
 –  40  =  0  →   4. F
AC
  =  40  →  F
AC
  =   10 kN
Como o valor encontrado para FAC é positivo, significa que o sentido arbitrado inicialmente está correto. Assim, a força é de tração.
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (ADAPTADO DE: FCC - TRE-RR - ANALISTA JUDICIÁRIO - ENGENHARIA CIVIL - 2015) CONSIDERE A
TRELIÇA DA FIGURA A SEGUIR: 
 
UTILIZANDO O MÉTODO DAS “SEÇÕES”, A FORÇA AXIAL ATUANTE NA BARRA AD, EM KN, É IGUAL
A:
A) 15
B) 18
C) 16
D) 12
2. (ADAPTADO DE: FCC - TJ-AP - ANALISTA JUDICIÁRIO - ÁREA APOIO ESPECIALIZADO -
ENGENHARIA CIVIL - 2014) PARA O PROJETO DA ESTRUTURA DE UM TELHADO, FOI UTILIZADA A
TRELIÇA DA FIGURA A SEGUIR: 
 
A BARRA BF ESTÁ SOLICITADA A UM ESFORÇO DE:
A) 2,40 kN (C
B) 4,50 kN (T)
C) 3,00 kN (T)
D) 0,00 kN
GABARITO
1. (Adaptado de: FCC - TRE-RR - Analista Judiciário - Engenharia Civil - 2015) Considere a treliça da figura a seguir: 
 
Utilizando o método das “seções”, a força axial atuantena barra AD, em kN, é igual a:
A alternativa "D " está correta.
 
Pela simetria da figura, a carga vertical total para baixo é 18 kN, logo, 9 kN em cada um dos apoios (A) e (B). A partir do corte
apresentado na figura e aplicando-se o equilíbrio dos momentos em relação ao ponto C (positivo no sentido anti-horário), temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
∑MC = 0 →   2, 25. FAD  –  9. 3  =  0  →   2, 25. FAD  –  27  =  0  →   2, 25. FAD   =  27  →  FAD   =  27/2, 25  =  12 kN
2. (Adaptado de: FCC - TJ-AP - Analista Judiciário - Área Apoio Especializado - Engenharia Civil - 2014) Para o projeto da
estrutura de um telhado, foi utilizada a treliça da figura a seguir: 
 
A barra BF está solicitada a um esforço de:
A alternativa "D " está correta.
 
Observe o corte apresentado na figura:
Sendo A um ponto de concorrência de várias forças incógnitas, é interessante aplicar a soma dos momentos em relação a esse
ponto. Aplicando o equilíbrio dos momentos em relação ao ponto A (positivo no sentido anti-horário), temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 4
 Descrever a modelagem computacional das treliças planas
∑MA = 0  →   2. FFB   =  0  →  FFB   =   0
INTRODUÇÃO
Nas Ciências Exatas, de maneira genérica, e na Engenharia, em particular, existem algumas fases que devem ser entendidas e
realizadas para a determinação de uma situação real. São elas:
OBSERVAR O FENÔMENO FÍSICO
Inicialmente, deve ser observado o fenômeno físico associado à situação em estudo. Nesta fase, todos os elementos físicos teóricos
devem ser considerados para a elaboração de um modelo físico que reproduza a situação com a maior realidade.
SIMPLIFICAR O MODELO FÍSICO
Na segunda fase, a partir do modelo físico elaborado, algumas simplificações podem ser introduzidas, tornando, assim, o modelo
físico inicial simplificado e com um tratamento matemático menos complexo, porém sem perder informações fundamentais para a
situação real.
FAZER A MODELAGEM MATEMÁTICA DO MODELO FÍSICO
Com o modelo físico simplificado, será necessário fazer a modelagem matemática dele, ou seja, associar os fenômenos físicos por
meio de equações matemáticas que os descrevam.
ENCONTRAR A SOLUÇÃO PARA O CONJUNTO DE 
EQUAÇÕES DESCRITAS NO MODELO MATEMÁTICO
Nesta fase, soluções analíticas podem ser utilizadas, mas as várias ferramentas computacionais já existentes ou desenvolvidas
particularmente para a situação podem ser fundamentais para agilizar a resolução de modelos com grande número de incógnitas,
por exemplo, ou com resolução analítica não possível.
ANÁLISE FÍSICA DE UMA TRELIÇA E SUA MODELAGEM
MATEMÁTICA
A modelagem física de uma treliça já será precedida por algumas simplificações que, neste tema, foram denominadas premissas.
Seguem algumas dessas premissas impostas para o estudo de uma treliça nesta etapa do curso de Engenharia:
1
Treliça simples isostática rígida, ou seja, sem deformações das barras.

2
São estruturas em que as barras estão rotuladas nos “nós”, não oferecendo resistência aos momentos fletores.

3
As forças externas são aplicadas diretamente sobre os “nós”.

4
As barras estão sujeitas apenas às forças axiais de tração (T) ou compressão (C);

5
Os pesos das barras são desprezíveis quando comparados às forças externas. Na eventualidade de se considerar os pesos das
barras, haverá uma divisão desses valores de tal forma que metade do peso será aplicado sobre um dos “nós”, e a outra metade, no
outro “nó” das extremidades da barra.
Para efeito de entendimento da metodologia deste módulo, utilizaremos uma treliça simples, mas todos os passos da técnica serão
apresentados. Exceto pela complexidade algébrica, não há perda de generalidade. 
Na figura, a seguir, observamos uma treliça em que a barra BC mede 6 m, a altura do triângulo isósceles é de 4 m, e as barras AB e
AC têm 5 m:
 Figura 14: Treliça ABC com carregamento externo único / Fonte: Autor
Despreze os pesos das barras e considere a força F vertical e de módulo 20 kN. A orientação é dada pelo par de eixos x-y. 
Inicialmente, serão desenhados os diagramas do corpo livre dos “nós” A, B e C da treliça ABC da figura 14. Note que são 6
incógnitas (3 forças nas barras mais 3 reações nos apoios). Como cada “nó” pode gerar 2 equações (equilíbrios translacional em x e
y), o total de equações também será igual a 6. 
Na figura 15, os nós têm seus DCLs:
 Figura 15: DCLs dos nós A, B e C da treliça ABC / Fonte: Autor
Lembre-se da Terceira Lei de Newton: a força F que a barra AB exerce no “nó” A é, em módulo, igual à força que este exerce na
barra AB. Além disso, como a barra AB está em equilíbrio sob a ação de apenas duas forças, em módulo, FAB é igual a FBA. Assim,
os módulos FAB e FBA, FAC e FCA e FBC e FCB são, dois a dois, iguais.
São 6 as variáveis (também VB, VC e HB). Utilizando o par de eixos do início, serão escritas 6 equações lineares, dando origem a
um sistema linear 6 x 6. Para tanto, serão feitas as projeções das forças oblíquas em relação aos eixos x e y, e iremos impor a
condição de equilíbrio para cada eixo.
NÓ A
NÓ B
NÓ C
Equilíbrio das forças na direção x (positivo para direita): 
Equilíbrio das forças na direção y (positivo para cima): 
Equilíbrio das forças na direção x (positivo para direita):
Equilíbrio das forças na direção y (positivo para cima):
Equilíbrio das forças na direção x (positivo para direita):
Equilíbrio das forças na direção y (positivo para cima):
∑Fx = 0  →   −  FAB . sen α  +   FAC . sen α  =  0
− 0, 6. F
AB
  +   0, 6. F
AC
  =  0 (Equação 1)
∑Fy = 0  →   −  F   −  FAB . cos  α  −   FAC . cos  α  =  0
− 0, 8. F
AB
  −   0, 8. F
AC
  =  20  (Equação 2)
∑Fx = 0  →  FBC   +  HB   +  FAB . cos  θ  =  0
F
BC
  +  H
B
   +   0, 6. F
AB
  =  0  (Equação 3)
∑Fy = 0  →  VB   +  FAB . sen θ  =  0
V
B
  +  0, 8. F
AB
  =  0 (Equação 4)
∑Fx = 0  →   −  FBC   −  FAC . cos  θ  =  0
− F
BC
 –  0, 6. F
AC
  =  0  (Equação 5)
∑Fy = 0  →  VC   +  FAC . sen θ  =  0
V
C
  +  0, 8. F
AC  =  0  (Equação 6)
Depois que todas as duas condições de equilíbrio translacional foram escritas para cada um dos 3 “nós”, foram geradas 6 equações
com 6 incógnitas. A seguir, as 6 equações lineares são dispostas na forma mais comum de um sistema:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Escrevendo na forma matricial o sistema anterior, temos:
É fácil perceber que, mesmo para uma treliça mínima (apenas um triângulo), o sistema apresentará alguma dificuldade para
resolvê-lo, sem, contudo, tornar impossível sua resolução. Dessa forma, o ideal é utilizar os conhecimentos de cálculo numérico ou
modelagem matemática.
 SAIBA MAIS
Vários programas estão disponíveis para a resolução de sistemas lineares. Via de regra, eles utilizam métodos conhecidos como de
Cramer, Gauss-Jordan, decomposição LU etc. Você também pode desenvolver um programa em uma linguagem de programação
(C++, Python etc.) que conheça e utilizá-lo.
Usando uma ferramenta computacional, pelo método do escalonamento, o sistema apresentará o seguinte aspecto escalonado:
A partir da sexta equação, é possível determinar cada incógnita:
VC = 10 kN
2.VB = 20 → VB = 10 kN
⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩
0 ,6. FAB + FBC + HB = 0
0 ,8. FAB + VB = 0
−0 ,6. FAB + 0 ,6. F AC = 0
−0 ,8. FAB − 0 ,8. FAC = 20
−1. FBC − 0 ,6. FAC = 0
VC + 0 ,8. FAC = 0
1.HB = 0 → HB = 0
0,6.FAC + 0,75.VB = 0 → FAC = - 12,5 kN
(-4/3).FBC + (-4/3).HB + VB = 0 → FBC = 7,5 kN
0,6.FAB + FBC + HB = 0 → FAB = - 12,5 kN
Como FAC e FAB apresentaram valores negativos, as opções iniciais dos sentidos são opostas. Assim, as duas barras estão
comprimidas.
Treliças maiores, por exemplo, com 9 “nós”, gerarão 18 equações e 18 incógnitas. A resolução analítica do sistema é
demasiadamente trabalhosa. O uso de uma ferramenta computacional quase se torna imperativo.
O exemplo mostrado anteriormente, mesmo para um númeroreduzido de “nós”, é válido para situações em que a treliça isostática
apresente um número de “nós” bem maior.
TEORIA NA PRÁTICA
Como já vimos, o estudo da estrutura denominada treliça é fundamental para o futuro engenheiro. Muitos projetos nos diversos
ramos da Engenharia usam as treliças como parte de uma estrutura ou, por vezes, como toda a estrutura. Vários exemplos foram
citados ao longo do tema. 
Dois métodos analíticos foram apresentados para a resolução da treliça ou, ainda, para a determinação das forças axiais de
compressão ou de tração atuantes nas barras e as reações nos apoios. 
O entendimento desses métodos é muito importante, pois permite compreender os fenômenos físicos atuantes e transformá-los em
equações matemáticas que solucionem o problema. Sem dúvida, os processos são relevantes, mas demandam grandes esforços
algébricos e aritméticos quando a estrutura apresenta muitas barras. 
Neste último módulo, foi apresentada a possibilidade de minimizar o esforço aritmético pelo uso de alguma ferramenta
computacional. O exemplo a seguir mostra a determinação dos esforços nas barras de uma treliça e em seus apoios, utilizando uma
ferramenta computacional que resolva sistemas lineares (por métodos diretos ou indiretos). Nesta atividade, vamos determinar pela
modelagem computacional todas as forças envolvidas.
(FUNIVERSA - CEB - Engenheiro - 2010) A treliça metálica representada na figura a seguir está submetida ao carregamento
indicado:
 
Fonte: Autor
As letras maiúsculas representam os encontros das barras em nós rotulados. 
A figura é um quadrado ABCD de diagonal BC sobre apoios C e D. O ângulo que a diagonal do quadrado faz com cada lado é 450.
Assim: sen450 = cos 450 = 0,7017.
No vídeo, a seguir, o professor apresentará a resolução da questão:
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERE UMA TRELIÇA PLANA ISOSTÁTICA DE 13 BARRAS (PESO DESPREZÍVEL) COM UM
CARREGAMENTO EM SEUS “NÓS” E ESTES ROTULADOS. QUANTAS INCÓGNITAS SURGIRÃO PARA
A RESOLUÇÃO DESSE PROBLEMA EM UMA MODELAGEM COMPUTACIONAL, EM QUE CADA NÓ
SERÁ ISOLADO, E AS EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO TRANSLACIONAL, APLICADAS?
A) 13
B) 16
C) 20
D) 26
2. NA FIGURA, A SEGUIR, UMA TRELIÇA HOWE PLANA ISOSTÁTICA ENCONTRA-SE COM DOIS
VÍNCULOS E CARREGAMENTO SOBRE SEUS NÓS: 
 
 TRELIÇA HOWE ISOSTÁTICA / FONTE: AUTOR
VOCÊ DECIDE RESOLVER A TRELIÇA, OU SEJA, DETERMINAR OS VALORES DAS REAÇÕES NOS
APOIOS E DAS FORÇAS NAS BARRAS, A PARTIR DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES, COM O
AUXÍLIO DE UMA FERRAMENTA COMPUTACIONAL QUE RESOLVE O SISTEMA PELO MÉTODO DA
ELIMINAÇÃO DE GAUSS. 
 
INICIALMENTE, VOCÊ ISOLA CADA UM DOS “NÓS” E ESCREVE AS EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO
TRANSLACIONAL PARA OS EIXOS X E Y. FEITO ISSO, UM SISTEMA DESSAS EQUAÇÕES LINEARES É
MONTADO. ESSE SISTEMA APRESENTA QUANTAS LINHAS E COLUNAS?
A) 12 x 12
B) 15 x 15
C) 20 x 20
D) 24 x 24
3. A MODELAGEM COMPUTACIONAL DE UMA TRELIÇA PLANA APRESENTA ALGUMAS ETAPAS QUE
DEVEM SER ATENDIDAS ATÉ QUE O RESULTADO SEJA ALCANÇADO, OU SEJA, QUE OS VALORES
DAS FORÇAS QUE AGEM NAS BARRAS E AS REAÇÕES NOS APOIOS SEJAM DETERMINADOS.
SOBRE A MODELAGEM DE UMA TRELIÇA, SÃO FEITAS AS SEGUINTES AFIRMAÇÕES: 
 
I. NA ETAPA DE ELABORAÇÃO DO MODELO FÍSICO, ALGUMAS SIMPLIFICAÇÕES PODEM SER
INTRODUZIDAS PARA QUE O TRATAMENTO MATEMÁTICO SEJA SIMPLIFICADO. 
II. A MODELAGEM MATEMÁTICA BASEIA-SE NOS EQUILÍBRIOS TRANSLACIONAL E ROTACIONAL DE
CADA UM DOS “NÓS” QUE UNEM AS DIVERSAS BARRAS DA TRELIÇA PLANA. 
III. UMA VEZ REALIZADA A MODELAGEM MATEMÁTICA, A PARTIR DOS “NÓS”, SURGEM “K”
EQUAÇÕES LINEARES PARA A SOLUÇÃO DE “K” VARIÁVEIS. 
IV. NA SEQUÊNCIA DA MODELAGEM, A UTILIZAÇÃO DE UMA FERRAMENTA COMPUTACIONAL
AUXILIARÁ A ENCONTRAR OS VALORES DAS INCÓGNITAS DO PROBLEMA. 
 
ESTÃO CORRETAS AS AFIRMAÇÕES:
A) I, II e III
B) I, III e IV
C) II, III e IV
D) I, II, III e IV
4. SUPONHA QUE UMA TRELIÇA PLANA ISOSTÁTICA APRESENTE VÍNCULOS DE PRIMEIRO E
SEGUNDO GÊNEROS E ESTEJA CARREGADA COM FORÇAS CONCENTRADAS EM ALGUNS DE SEUS
NÓS. A TRELIÇA É FORMADA APENAS POR TRIÂNGULOS E POSSUI 7 “NÓS”. 
 
UM ALUNO RESOLVE DETERMINAR AS FORÇAS QUE AGEM NAS BARRAS DAS TRELIÇAS E AS
REAÇÕES NOS APOIOS A PARTIR DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES ORIUNDAS DO
EQUILÍBRIO TRANSLACIONAL DE CADA NÓ. AO ESCREVER O SISTEMA, ELE PERCEBEU QUE,
ANALITICAMENTE, A RESOLUÇÃO SERIA MUITO TRABALHOSA. DESSA FORMA, RESOLVEU
UTILIZAR UMA “CALCULADORA DE SISTEMAS LINEARES”, MAS AS VÁRIAS CALCULADORAS
DISPONÍVEIS APRESENTAVAM LIMITES NO NÚMERO DE EQUAÇÕES. 
 
A SEGUIR, EXISTEM ALGUMAS CALCULADORAS FICTÍCIAS: 
 
I. CALCULADORA ALFA COM LIMITE DE ATÉ 10 EQUAÇÕES. 
II. CALCULADORA BETA COM LIMITE DE ATÉ 12 EQUAÇÕES. 
III. CALCULADORA GAMA COM LIMITE DE ATÉ 15 EQUAÇÕES. 
IV. CALCULADORA DELTA COM LIMITE DE ATÉ 18 EQUAÇÕES. 
 
DAS CALCULADORAS FICTÍCIAS, QUAL(IS) DELAS O ALUNO PODERÁ UTILIZAR PARA RESOLVER O
SISTEMA GERADO?
A) Apenas a calculadora ALFA.
B) As calculadoras GAMA e DELTA.
C) As calculadoras ALFA, BETA e GAMA.
D) Apenas a calculadora GAMA.
5. SUPONHA UMA TRELIÇA PLANA ISOSTÁTICA, FORMADA APENAS POR TRIÂNGULOS, SOBRE
APOIOS DE PRIMEIRO E SEGUNDO GÊNEROS, COM CARREGAMENTO EXCLUSIVAMENTE NOS
“NÓS” SUPERIORES. DESEJA-SE ELABORAR UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
PROVENIENTES DO EQUILÍBRIO DE CADA UM DOS N “NÓS”. CONSIDERE QUE AIJ E BK SÃO
NÚMEROS REAIS, E QUE XI REPRESENTA AS FORÇAS (NAS BARRAS E NOS APOIOS). 
 
NAS ALTERNATIVAS A SEGUIR, EXISTEM VÁRIOS SISTEMAS. QUAL É O ÚNICO QUE PODE
REPRESENTAR O EQUILÍBRIO DESSA TRELIÇA?
A) 
B) 
C) 
⎧⎪
⎨
⎪⎩
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3
⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩
a11x1 + a12x2 + a13x3 + a14x4 = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + a24x4 = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + a34xn = b3
a41x1 + a42x2 + a43x3 + a44xn = b4
⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩
a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a15x5 = b1
a21x1 + a22x2 + a13x3 + … + a15x5 = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + … + a35x5 = b3
⋮
a51x1 + a52x2 + a53x3 + … + a55x5 = b5
D) 
6. (ADAPTADO DE: FCC - TRE-RR - ANALISTA JUDICIÁRIO - ENGENHARIA CIVIL - 2015) CONSIDERE A
TRELIÇA DA FIGURA A SEGUIR: 
 
O ALUNO DESEJA DETERMINAR AS FORÇAS QUE ATUAM NAS BARRAS E NOS APOIOS FAZENDO
UMA MODELAGEM E, DEPOIS, UTILIZAR UMA FERRAMENTA COMPUTACIONAL QUE RESOLVA O
SISTEMA GERADO. CONSIDERANDO OS ÂNGULOS A E C DO TRIÂNGULO RETÂNGULO ADC, PELA
GEOMETRIA, É FÁCIL DETERMINAR OS VALORES DE SENO (RAZÃO ENTRE CATETO OPOSTO E
HIPOTENUSA) E COSSENO (RAZÃO ENTRE CATETO ADJACENTE E HIPOTENUSA). ASSIM, PARA O
ÂNGULO A, SEN A = 0,6 E COSA = 0,8 E PARA O ÂNGULO C, TEMOS SEN C = 0,8 E COSC = 0,6. 
 
APÓS A ANÁLISE DOS 4 NÓS (EQUILÍBRIO TRANSLACIONAL), O ALUNO CHEGOU AO SEGUINTE
SISTEMA DE EQUAÇÕES:
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
ORGANIZANDO EM FORMA MATRICIAL, TEMOS: 
 
⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩
a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a16x6 = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a26x6 = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + … + a36x6 = b3
⋮
a61x1 + a62x2 + a63x3 + … + a66x6 = b6
⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩
0 ,8. FAC + FAD = 0
0 ,6. FAC + VA = 0
−0 ,8. FAC + 0 ,8. F CB = 0
−FCD − 0 ,6. FAC − 0 ,6. F CB = 0
FBD − FAD = 0
FCD = 18
−HB − FBD − 0 ,8. F CB = 0
0 ,6. FBC + VB = 0
UTILIZANDO UMA FERRAMENTA COMPUTACIONAL QUE RESOLVA ESSE SISTEMA LINEAR, QUAL É
O VALOR DE FORÇA QUE AGE NA BARRA CD (FCD)?
A) 15 kN
B) 18 kN
C) 16 kN
D) 12 kN
GABARITO
1. Considere uma treliça plana isostática de 13 barras (peso desprezível) com um carregamento em seus “nós” e estes
rotulados. Quantas incógnitas surgirão para a resolução desse problema em uma modelagem computacional, em que cada
nó será isolado, e as equações do equilíbrio translacional, aplicadas?
A alternativa "B " está correta.
No vídeo, a seguir, o professor apresentará a resolução da questão. Assista:
2. Na figura, a seguir, uma treliça Howe plana isostática encontra-se com dois vínculos e carregamento sobre seus nós: 
 
 Treliça Howe isostática / Fonte: Autor
Você decide resolver a treliça, ou seja, determinaros valores das reações nos apoios e das forças nas barras, a partir de
um sistema de equações lineares, com o auxílio de uma ferramenta computacional que resolve o sistema pelo método da
eliminação de Gauss. 
 
Inicialmente, você isola cada um dos “nós” e escreve as equações do equilíbrio translacional para os eixos x e y. Feito
isso, um sistema dessas equações lineares é montado. Esse sistema apresenta quantas linhas e colunas?
A alternativa "D " está correta.
O número de equações é a soma do número de barras com o número de reações (apoios de primeiro e segundo gêneros). Como
são 21 barras e 3 reações de apoio, são 24 incógnitas. O sistema linear terá, portanto, 24 incógnitas e 24 equações, ou seja: 24 x
24.
3. A modelagem computacional de uma treliça plana apresenta algumas etapas que devem ser atendidas até que o
resultado seja alcançado, ou seja, que os valores das forças que agem nas barras e as reações nos apoios sejam
determinados. Sobre a modelagem de uma treliça, são feitas as seguintes afirmações: 
 
I. Na etapa de elaboração do modelo físico, algumas simplificações podem ser introduzidas para que o tratamento
matemático seja simplificado. 
II. A modelagem matemática baseia-se nos equilíbrios translacional e rotacional de cada um dos “nós” que unem as
diversas barras da treliça plana. 
III. Uma vez realizada a modelagem matemática, a partir dos “nós”, surgem “k” equações lineares para a solução de “k”
variáveis. 
IV. Na sequência da modelagem, a utilização de uma ferramenta computacional auxiliará a encontrar os valores das
incógnitas do problema. 
 
Estão corretas as afirmações:
A alternativa "B " está correta.
Os “nós” são uniões rotuladas entre as barras, não impondo, assim, uma restrição à rotação. Dessa forma, a modelagem
matemática baseia-se apenas no equilíbrio translacional de cada um dos “nós”. Simplificações na modelagem física podem ser
efetuadas para a modelagem matemática. O número de equações lineares deve ser igual ao número de incógnitas para a resolução
do sistema linear por meio de uma ferramenta computacional.
4. Suponha que uma treliça plana isostática apresente vínculos de primeiro e segundo gêneros e esteja carregada com
forças concentradas em alguns de seus nós. A treliça é formada apenas por triângulos e possui 7 “nós”. 
 
Um aluno resolve determinar as forças que agem nas barras das treliças e as reações nos apoios a partir de um sistema de
equações lineares oriundas do equilíbrio translacional de cada nó. Ao escrever o sistema, ele percebeu que,
analiticamente, a resolução seria muito trabalhosa. Dessa forma, resolveu utilizar uma “calculadora de sistemas lineares”,
mas as várias calculadoras disponíveis apresentavam limites no número de equações. 
 
A seguir, existem algumas calculadoras fictícias: 
 
I. Calculadora ALFA com limite de até 10 equações. 
II. Calculadora BETA com limite de até 12 equações. 
III. Calculadora GAMA com limite de até 15 equações. 
IV. Calculadora DELTA com limite de até 18 equações. 
 
Das calculadoras fictícias, qual(is) delas o aluno poderá utilizar para resolver o sistema gerado?
A alternativa "B " está correta.
No vídeo, a seguir, o professor apresentará a resolução da questão. Assista:
5. Suponha uma treliça plana isostática, formada apenas por triângulos, sobre apoios de primeiro e segundo gêneros, com
carregamento exclusivamente nos “nós” superiores. Deseja-se elaborar um sistema de equações lineares provenientes do
equilíbrio de cada um dos n “nós”. Considere que aij e bk são números reais, e que xi representa as forças (nas barras e
nos apoios). 
 
Nas alternativas a seguir, existem vários sistemas. Qual é o único que pode representar o equilíbrio dessa treliça?
A alternativa "D " está correta.
Para uma treliça isostática, é verdadeira a relação matemática existente entre o número n de “nós” e o número b de barras, em que
2n = b + 3. Assim: b = 2.n - 3. A treliça mínima é composta por um triângulo, ou seja, b ≥ 3. Dessa forma:
2.n – 3 ≥ 3 → 2n ≥ 6 → n ≥ 3. Como cada nó gera duas equações (equilíbrio translacional), o número de equações é, no mínimo, 6.
6. (Adaptado de: FCC - TRE-RR - Analista Judiciário - Engenharia Civil - 2015) Considere a treliça da figura a seguir: 
 
O aluno deseja determinar as forças que atuam nas barras e nos apoios fazendo uma modelagem e, depois, utilizar uma
ferramenta computacional que resolva o sistema gerado. Considerando os ângulos A e C do triângulo retângulo ADC, pela
geometria, é fácil determinar os valores de seno (razão entre cateto oposto e hipotenusa) e cosseno (razão entre cateto
adjacente e hipotenusa). Assim, para o ângulo A, sen A = 0,6 e cosA = 0,8 e para o ângulo C, temos sen C = 0,8 e cosC =
0,6. 
 
Após a análise dos 4 nós (equilíbrio translacional), o aluno chegou ao seguinte sistema de equações:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Organizando em forma matricial, temos: 
 
Utilizando uma ferramenta computacional que resolva esse sistema linear, qual é o valor de força que age na barra CD
(FCD)?
A alternativa "B " está correta.
Após o equilíbrio dos 4 “nós”, o sistema linear apresentado na questão é formado. Arrumando na forma matricial (ver questão),
basta alimentar o programa que resolve sistemas lineares e encontrará as respostas. Para isso, você pode pesquisar na internet a
Matrix calculator – Soluções de sistemas de equações lineares ou a ferramenta computacional WolframAlpha: Computational
Intelligence para a resolução do mesmo tipo de sistemas.
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. NA MODELAGEM COMPUTACIONAL DE UMA TRELIÇA, É POSSÍVEL DETERMINAR AS FORÇAS
QUE AGEM NOS ELEMENTOS E NOS APOIOS DA TRELIÇA SIMPLES. EM LINHAS GERAIS, SÃO
APLICADAS AS EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO PARA CADA “N” NÓS, GERANDO UM NÚMERO “K” DE
EQUAÇÕES COM “K” INCÓGNITAS. 
 
SUPONHA UMA TRELIÇA SIMPLES ISOSTÁTICA COM 29 BARRAS APOIADAS SOB DOIS APOIOS DE
⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩
0 ,8. FAC + FAD = 0
0 ,6. FAC + VA = 0
−0 ,8. FAC + 0 ,8. F CB = 0
−FCD − 0 ,6. FAC − 0 ,6. F CB = 0
FBD − FAD = 0
FCD = 18
−HB − FBD − 0 ,8. F CB = 0
0 ,6. FBC + VB = 0
PRIMEIRO E SEGUNDO GÊNEROS. PARA UTILIZAR A MODELAGEM COMPUTACIONAL NA
RESOLUÇÃO DESSE PROBLEMA, QUANTAS EQUAÇÕES LINEARES DEVEM SER GERADAS?
A) 29 equações lineares.
B) 30 equações lineares.
C) 31 equações lineares.
D) 32 equações lineares.
2. UM ALUNO ESTÁ FAZENDO UM TRABALHO PARA A DISCIPLINA DE MECÂNICA DOS SÓLIDOS A
RESPEITO DE TRELIÇAS. ELE FAZ A OPÇÃO DA MODELAGEM COMPUTACIONAL PARA RESOLVER A
TRELIÇA. UTILIZOU O MÉTODO E CHEGOU A SEIS EQUAÇÕES LINEARES. PARA TANTO, USARÁ UM
PROGRAMA QUE DESENVOLVEU E DETERMINARÁ AS FORÇAS NAS BARRAS E NOS APOIOS.
QUANDO VAI INICIAR A ENTRADA DE DADOS, FALTA ENERGIA EM SUA CASA, E ELE NÃO
CONSEGUE UTILIZAR A FERRAMENTA COMPUTACIONAL. 
 
RECORDANDO DO MÉTODO DO ESCALONAMENTO, ELE RESOLVE ANALITICAMENTE O SISTEMA
ATÉ QUE ALCANCE UMA MATRIZ ESCALONADA, CONFORME MOSTRA A FIGURA A SEGUIR: 
 
QUE VALOR O ALUNO ENCONTROU PARA A FORÇA, EM MÓDULO, NA BARRA AB (FAB), SE TODOS
OS VALORES SÃO APRESENTADOS EM KN?
A) 47,5 kN
B) 37,5 kN
C) 22,5 kN
D) 30,0 kN
GABARITO
1. Na modelagem computacional de uma treliça, é possível determinar as forças que agem nos elementos e nos apoios da
treliça simples. Em linhas gerais, são aplicadas as equações de equilíbrio para cada “n” nós, gerando um número “k” de
equações com “k” incógnitas. 
 
Suponha uma treliça simples isostática com 29 barras apoiadas sob dois apoios de primeiro e segundo gêneros. Para
utilizar a modelagem computacional na resolução desse problema, quantas equações lineares devem ser geradas?
A alternativa "D " está correta.
 
Uma treliça com 29 barras terá o número de “nós” dados por 2n = b + 3. Assim: n = 16. Como cada um dos 16 “nós” gera 2
equações do equilíbrio, no total, serão 32 equações.
2. Um aluno está fazendo um trabalho para a disciplina de Mecânica dos Sólidos