FINANÇAS NAS ORGANIZAÇÕES - MODULOS -1-2-3-4-5

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FINANÇAS NAS ORGANIZAÇÕES
· APRESENTAÇÃO
· MÓDULO 1
· MÓDULO 2
· MÓDULO 3
· CONCLUSÃO
CONCLUSÃO
Definição
Conceitos iniciais de gestão financeira – utilização de recursos financeiros para geração de riqueza.
Propósito
Aprofundar o conhecimento em Finanças quanto à gestão dos recursos financeiros.
Objetivos
Módulo 1
Reconhecer as funções da moeda
Módulo 2
Identificar formas de aplicação e captação de recursos
Módulo 3
Distinguir gasto de investimento com base na definição de conceitos financeiros
Introdução
A globalização permitiu que diversos conhecimentos pudessem ser compartilhados e práticas mais eficientes, implementadas por todos. Dessa forma, a inovação em diversos setores, principalmente na área financeira, tem sido constante, o que faz com que os profissionais desse setor busquem sempre se especializar.
Neste estudo, veremos abordagens sobre os tópicos a seguir:
Conceitos financeiros
Abordaremos os conhecimentos básicos necessários para o entendimento de conceitos mais complexos, requeridos para profissionais que desejem atuar no ramo de Finanças.
Ativos financeiros, investimentos, alocação de recursos e captação de recursos
Todos que estudem de forma aprofundada os ensinamentos descritos aprenderão as características intrínsecas de cada um dos ativos financeiros, investimentos, alocação e formas de captar recursos financeiros.
Conhecimentos financeiros
Abordaremos tópicos muito valiosos que o profissional financeiro deve dominar, pois são a base de todo conhecimento da gestão de recursos financeiros. Além disso, sugeriremos conhecimentos suplementares ao final do conteúdo para que o aprendizado seja completo.
A ideia é que este material possa ajudá-lo em seu crescimento profissional, ressaltando a importância da contínua sede por sabedoria e a pesquisa de novas informações sobre o tópico Finanças.
História da moeda
Na Idade Média, existiam, basicamente, três grandes classes:
1. O Clero;
2. A Nobreza;
3. Os Servos;
Nessa época, no entanto, não existia, ainda, a ideia de empresa ou de organização.
Então, os servos, na maioria das vezes, eram cidadãos humildes que plantavam alimentos ou criavam animais e separavam parte do que produziam para alimentar o clero e a nobreza, que, em troca, permitiam que eles vivessem em suas terras.
Nesse cenário, surgiu um acontecimento importante: a melhoria nos meios de transporte!
Com o passar do tempo e com a melhoria nos meios de transporte, que possibilitavam maiores viagens, as pessoas começaram a trocar alguns dos insumos produzidos com outros reinos. Essas trocas foram primordiais para a fundação das primeiras cidades, como as conhecemos hoje, e ajudaram no conhecimento e na expansão do mundo.
Fonte: Shutterstock
Esse processo de troca de mercadorias é conhecido como escambo.
Incialmente, foi o principal meio de comercialização de mercadorias entre cidadãos, pois, até aquele momento, não havia um meio válido que fosse aceito por todos, como ocorre hoje com as cédulas e moedas.
Para que você compreenda esse processo, analise a situação a seguir:
Case 1
Fonte: Pixabay
Enquanto o reino do Duque Zé conseguia produzir apenas batatas, o reino vizinho, do Conde Chico, tinha muito gado. Então, o Duque Zé dava alguns quilos de batata em troca de algumas cabeças de gado do Conde Chico.
Fonte: Pixabay
No entanto, com base neste exemplo, você deve estar se perguntando: como saber quantos quilos de batata deveriam ser trocados por uma cabeça de gado?
Fonte: Pixabay
Observa-se a equivalência das mercadorias!
Pois bem, apesar de que no processo de escambo há muita negociação para que as duas partes se sintam confortáveis em trocar suas mercadorias, ainda assim, não é possível estabelecer a equivalência das mercadorias em unidade de valor (como real, dólar ou euro, nos dias de hoje).
Independentemente do tempo que se passe negociando termos, um lado sempre sairá com vantagem nas negociações que envolvem o escambo.
Case 2
Fonte: Pixabay
Vamos comparar o tempo gasto para cultivar batatas (por volta de 180 dias, dependendo do solo e do clima) e o tempo que leva a gestação de um bezerro (283 dias). Como é possível constatar, para se ter um bezerro, leva-se quase um ano, enquanto é possível produzir duas plantações de batata por ano.
Fonte: Pixabay
Você deve supor que o valor do bezerro deveria ser o dobro do da plantação de batata, e a troca justa seria essa. Mas o bezerro, que, depois, se tornará vaca, produzirá leite por anos a fio, além de servir como carne suficiente para alimentar dezenas de pessoas.
Assim, talvez, duas plantações de batata não sejam uma troca justa por um bezerro.
Por essa e outras complexidades, o escambo é um método falho de negociação, que logo foi substituído.
Desse modo, a criação de uma moeda única, que fosse aceita por todos, era essencial. Diante da necessidade da compra e venda de produtos, antes usados apenas como subsistência (para consumo próprio), a moeda que hoje conhecemos surgiu como um instrumento para melhorar a eficiência e a eficácia das trocas de produtos e serviços.
Ao longo dos anos, o Feudalismo  deixou de existir, dando origem às nações com um poder centralizado e unificado. Dessa forma, o conceito de moeda foi expandido.
Hoje, há diversas maneiras de trocar mercadorias com base em um equalizador financeiro aceito dentro do país, ou seja, uma moeda única em que todas as mercadorias ou serviços se baseiam.
Fonte: Pixabay
No Brasil, essa moeda é o Real, e nos EUA, o Dólar.
Fonte: Shutterstock
Além disso, com a chegada da internet, foi possível comprar e vender a partir de meios digitais que, instantaneamente, registram a entrada ou saída de dinheiro da conta, tornando todo o processo mais fácil, ágil, prático e seguro.
Na prática
Observando os avanços históricos da moeda, apresentamos, a seguir, empresas que oferecem compra e venda a partir de meios digitais, registrando a entrada ou saída de dinheiro na conta de forma segura. Veja:
Amazon
É uma empresa transnacional de tecnologia que foca em comércio electrónico, computação em nuvem, streaming digital e inteligência artificial. Fundada por Jeff Bezos em julho de 1994, tem sua sede localizada em Seattle, estado de Washington, nos EUA.
Fonte: Site Amazon.
Netshoes
Maior site de lifestyle esportivo da América Latina. É guiada pela inovação e conectividade, por isso é referência em serviço, entrega e qualidade. A marca tem mais de 10 milhões de fãs nas redes sociais e é referência para o varejo digital há mais de 15 anos.
Fonte: Site Netshoes.
AliExpress
É um serviço de varejo on-line fundado em 2010 e pertencente ao Alibaba Group. O AliExpress é diferente da Amazon, pois atua apenas como uma plataforma de e-commerce e não vende os produtos diretamente para os consumidores.
Fonte Site AliExpress.
Americanas.com
No final do ano de 1999, a empresa Lojas Americanas iniciou a venda de mercadorias através da Internet, criando a controlada indireta Americanas.com.
Fonte: Site Lojas Americanas.
Funções da moeda
Estamos acostumados a pensar no dinheiro como algo que serve, basicamente, para comprar Produtos: Bens e/ou Serviços.
Produtos são Bens (físicos, podemos ver e tocar) e/ou Serviços (intangíveis, serviços prestados).
Bens
Celular
Comida
Eletrodomésticos
Serviços
Cabelereiro
Pedreiro
Guia turístico
No entanto, a moeda possui três funções básicas:1. Instru1 ) 1mento de troc 1 ) INSTRUMENTO DE TROCA
2. ominador comum moEsta função define a moeda como um instrumento usado para facilitar uma transação entre duas ou mais pessoas.
Dessa forma, quando pagamos um jantar no restaurante, quando vendemos um carro, recebemos dinheiro por prestarmos um serviço qualquer ou pagamos a um amigo por nos ajudar na mudança, estamos exercendo a função da moeda de instrumento de troca.
Então, sempre que pensar em comprar ou vender algo, você desempenhará a moeda em sua função de troca.2 ) DENOMINADOR COMUM MONETARIO 
árEsta função se baseia na ideia de que a moeda coloca todos os produtos ou serviços sob o mesmo denominador monetário.
Caso você planeje viajar para o exterior, esta função também permite saber o preço de determinada mercadoria estrangeira em moeda nacional, mesmo que o preço original esteja em dólar, euro ou libra.
Quando abordamos esta função da moeda, lembramos o problema que as pessoas tinham no passado, quando precisavam encontrar uma troca justa no escambo.
Como saber se dez peixes que você demorou um dia inteiro para pescar eram suficientes para trocar por um litro de leite que outra pessoa demorou uma hora para ordenhar?
Então, essa função proporciona uma maneira para que todos nós saibamos se determinado produto ou serviço está caro ou barato. Dessa forma, é muito importante entender que uma das funções da moeda é a de ser um denominador comum de valores. 3 ) RESERVA DE VALORES 
iSuponha que você tenha 20 anos e deseje uma renda mensal de R$ 5.000,00 quando se aposentar aos 60 anos.
Existem diversas formas para alcançar essa renda. Você pode ter imóveis alugados e receber mensalmente esse valor de seus inquilinos.
Outra forma seria deter uma grande quantidade de dinheiro aplicada em algum ativo financeiro que gere essa quantia por mês. No entanto, para conquistar essa renda, é necessário que você junte dinheiro ou receba uma herança.
Nesses casos, o dinheiro possui uma nova função: a de reserva de valor, isto é, uma quantia que se manterá quase sempre com o mesmo valor para que você a utilize quando quiser.
o3. Reserva de valor
A partir da compreensão das principais funções da moeda, é possível tomar decisões mais esclarecidas a respeito da gestão de recursos financeiros, seja de forma pessoal ou profissional.
Entender a função que a moeda assume em diferentes situações, tais como compra e venda de mercadorias, investimento financeiro e equivalência de mercadorias de países diferentes, é um ponto primordial na tomada de decisão estratégica de todo profissional da área financeira.
Fonte: Shutterstock
Na prática
Ainda sobre a funcionalidade da moeda, apresentamos, a seguir, instituições que atuam com investimentos financeiros e equivalência de mercadorias em diferentes países.
XPI Investimentos
Por meio de assessoria, a XPI oferece auxílio aos clientes para tomarem as melhores decisões relacionadas ao seus investimentos, sempre de acordo com seus objetivos e seu perfil de investidores.
Fonte: Site XPI Investimentos.
Banco Central do Brasil
Apresenta dados de conversão de moedas.
Efetua o cálculo, que tem caráter informativo, e não substitui as disposições da norma cambial brasileira para casos específicos de conversão.
Fonte: Banco Central do Brasil.
Para reforçar o que você aprendeu até aqui, o professor Antônio Carlos Magalhães da Silva esclarece pontos importantes como: a importância da gestão dos recursos financeiros e o surgimento e evolução da moeda, bem como as suas funções.
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Verificando o Aprendizado
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Assinale a alternativa que possui uma crítica válida para a substituição do escambo.
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1. Antes de existir uma moeda na sociedade, as pessoas negociavam os seus produtos por meio do método conhecido como escambo, que se baseava na troca de mercadorias de forma direta. No entanto, ao longo dos anos, esse modelo de negociação foi substituído por outros mais eficientes e eficazes.
Assinale a alternativa que possui uma crítica válida para a substituição do escambo.
a) O escambo baseava-se na troca de mercadorias de forma indireta, como, por exemplo, um pão por moedas de prata ou ouro, que podiam comprar outras mercadorias. No entanto, como essas moedas não eram aceitas em todo os reinos, os mercadores acabavam ficando limitados aos locais onde tais moedas poderiam ser usadas.
b) O escambo não se baseava na troca de mercadorias, mas em uma negociação de uso com prazo determinado. Por exemplo, o mercador A permitia que o mercador B colhesse frutas em seu pomar durante o ano, enquanto o mercador A extraía leite da vaca do mercador B. No final do ano, o mercador A devolvia a vaca, e o mercador B deixava de colher frutos do pomar do mercador A. No entanto, essa prática acabava sempre por apresentar problemas, caso a vaca morresse, o pomar fosse assolado pela peste ou o trato precisasse ser desfeito antes do período acordado.
c) O escambo baseava-se na troca de mercadorias de forma direta e baseada no peso, como, por exemplo, cinco quilos de batata por cinco quilos de feijão. No entanto, como era possível comparar de forma justa o preço de uma cabeça de gado com outras mercadorias, esse modelo foi rapidamente descontinuado.
d) O escambo baseava-se na troca de mercadorias de forma direta, como, por exemplo, um pão por um saco de arroz. No entanto, como esse modelo de negociação não se fundamentava em moeda única, acabou se tornando um modelo injusto, pois um dos lados sempre acabava levando vantagem na negociação.
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Comentário
Parabéns! A alternativa D está correta.
O escambo era um modelo de troca de mercadorias de forma direta, em que, sem muitas regras definidas, dois ou mais comerciantes decidiam o que acreditavam ser uma troca justa pelos produtos que possuíam. Dessa forma, era comum que algum comerciante terminasse a negociação se sentindo desfavorecido. Para encontrar um método mais justo, foi, então, desenvolvida a moeda, pois, por meio dela, era possível equiparar diversos produtos a uma única unidade.
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2. A moeda possui três funções: instrumento de troca, denominador comum de valores e reserva de valor. Assinale a alternativa que apresenta a principal diferença entre a função instrumento de troca e reserva de valor.
 a) Reserva de valor refere-se à função que a moeda possui de comprar ou vender produtos ou serviços, enquanto instrumento de troca diz respeito à função que a moeda assume de ter seu valor igual, evitando que perca, drasticamente, seu poder de compra ao longo dos anos.
b) Instrumento de troca diz respeito à utilização da moeda para compra ou venda de produtos ou serviços, enquanto reserva de valor refere-se à função que a moeda possui de ter seu valor igual, evitando que perca, drasticamente, seu poder de compra ao longo dos anos.
c) Reserva de valor refere-se à função que a moeda possui de equiparar todos os produtos ou serviços a uma única unidade de valor, enquanto instrumento de troca diz a respeito à função que a moeda assume de ter seu valor igual, evitando que perca, drasticamente, seu poder de compra ao longo dos anos.
d) Instrumento de troca diz respeito à utilização da moeda para compra ou venda de produtos ou serviços, enquanto reserva de valor refere-se à função que a moeda assume de manter produtos e serviços de diversos países em uma mesma unidade de valor.
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Comentário
Parabéns! A alternativa B está correta.
A principal definição da função instrumento de troca refere-se à necessidade de compra e venda de mercadorias ou serviços, enquanto reserva de valor destina-se à função que a moeda assume de ter seu valor o mais próximo de constante ao longo dos anos, isto é, que ela não perca seu poder de compra de forma radical.
a) O escambo baseava-se na troca de mercadorias de forma indireta, como, por exemplo, um pão por moedas de prata ou ouro, que podiam comprar outras mercadorias. No 
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E, com isso, você:
 Reconheceu as funções da moeda.
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Conceitos
Vamos aprender conceitos mais avançados damoeda, como os princípios de oferta e demanda, as formas de captação financeira e os benefícios de se captar recursos de terceiros, bem como utilizar os próprios recursos para financiar projetos.
Com base nos conhecimentos adquiridos, será possível:
Entender as principais formas de captação de recursos para projetos utilizadas por empresas e pessoas.
Oferecer melhor suporte ao gestor, quando questionado sobre decisões estratégicas da organização dentro da alçada financeira.
Fonte: Pixabay
A origem do dinheiro
Vamos supor que você queira comprar um carro de R$ 20.000, mas só tenha R$ 10.000 guardado.
De que maneira você poderia comprá-lo?
Empréstimo ou
financiamento
Você pode buscar um empréstimo no banco de R$ 10.000,00. No entanto, dependendo da taxa de juros, você pagará quase o dobro ao banco, ou seja, o preço de outro carro. O financiamento é parecido com o empréstimo, mas é para uma finalidade específica. Num financiamento de carro, por exemplo, a taxa de juros é menor, mas o carro servirá de garantia: não pagou a prestação? Poderá perder o carro.
Dinheiro
guardado
Outra opção é você juntar dinheiro e guardar em casa. Este processo parece bom, mas, dependendo do quanto você pode juntar por mês e da taxa de juros, é possível que demore anos para comprar o tão sonhado automóvel. Você deixa de investir tal recurso em outro investimento (custos de oportunidade, pois poderia estar rendendo juros) e o dinheiro perde seu valor no decorrer do tempo (por causa da inflação).
Empréstimo
com amigo
Outra opção seria você escolher um amigo em quem confie, que também disponha de R$ 10.000 e queira comprar um carro. A ideia é fazer um acordo com ele. Na primeira semana, você fica com o carro e, na outra, ele desfruta do automóvel. Assim, vocês podem dividir despesas como gasolina, revisão, IPVA etc.
Fonte
Após a análise deste exemplo, é possível entender que existem diversas formas de comprar um carro, uma casa e até mesmo montar uma empresa. Contudo, essas opções de financiamento são distintas.
Veja, a seguir, as principais diferenças entre ganhar ou captar dinheiro.
Aumento de recursos
Quando falamos em aumento de recursos, estamos nos referindo a receber pagamento, seja pela venda de um produto que você produziu ou por um serviço que você prestou.
Fonte: Shutterstock
Podemos “ganhar dinheiro” comprando canetas a R$ 1,00 e vendendo na rua a R$ 2,00, fazendo bolo e vendendo na porta de casa, vendendo o serviço de eletricista (apenas se você for qualificado para tal) etc.
Aqui, estamos mostrando a ideia de lucro nas operações.
Neste contexto, você já ouviu falar sobre os conceitos a seguir?
Oferta X Demanda
Devido ao conceito de oferta e demanda, cada forma gera valores diferentes.
Fonte: Shutterstock
Conforme afirmam Vasconcellos e Garcia (2008, p. 46), demanda pode ser definida como a quantidade de certo bem ou serviço que os consumidores desejam adquirir em determinado período.
Fonte: Pixabay
Oferta, por sua vez, representa as quantidades que os produtores desejam oferecer ao mercado em determinado período.
Dessa forma, podemos entender que a oferta corresponde a todos os produtos ou serviços disponíveis para a venda, enquanto a demanda se refere a todas as pessoas com intenção de comprar esses produtos ou serviços.
Atenção
Os princípios de oferta e demanda tendem a se igualar, pois uma empresa não produzirá mais do que consegue vender, assim como uma pessoa não comprará mais de um produto depois que comprou o suficiente e se sente satisfeita.
No entanto, quando há mais produtos sendo ofertados do que demanda para eles, os preços tendem a cair. E quando há maior demanda do que produtos ofertados, os preços tendem a aumentar.
Para que fique mais claro, basta entender o seguinte caso:
Case 1
Fonte: Shutterstock
Suponha que você é um empresário do ramo de refrigerantes. No mês de janeiro, dos 100 refrigerantes que você produziu, vendeu apenas 90. Como você sabe que, caso não os venda logo, estes estragarão (ou seja, você terá prejuízo), prefere vender os 10 refrigerantes que sobraram mais baratos.
Da mesma forma, se dos 100 refrigerantes que você produziu no mês de janeiro, 150 pessoas quiserem comprar, você poderá aumentar o preço dos refrigerantes, pois há maior demanda do que refrigerantes ofertados.
Então, cabe a você pensar:
Autônomo ou empregado?
Fonte: Shutterstock
Vale a pena passar o dia inteiro produzindo 10 bolos que custaram R$ 10,00 cada um para serem feitos e, no final, vender cada um por R$ 50 reais (o que gera um lucro de R$ 400,00 por dia)?
Ou você prefere estudar e se qualificar (exatamente como está fazendo agora) e ser contratado por uma empresa que lhe paga os mesmos R$ 400,00 por dia (total de R$ 8.800,00 por mês, antes dos impostos), mas com acesso a outros benefícios?
Cabe a cada um analisar os pontos positivos de ser um empreendedor e montar seu negócio ou oferecer seus serviços técnicos avançados a uma empresa que lhe pagará o mesmo valor. No final, caberá a você tomar essa decisão por conta própria.
Captação de recursos
A captação de recursos financeiros é a forma por meio de terceiros ou dos próprios sócios (no caso da pessoa física, seus recursos) de conseguir recursos para seus negócios ou investimentos.
Exemplo
Suponha que, após ler esta explicação, você decida produzir bolos, e que os negócios tenham dado muito certo. Agora, você está recebendo mais pedidos do que é capaz de produzir. A única forma para atender todos esses pedidos é contratando funcionários, comprando um forno novo e se mudando para um galpão.
Você, então, pesquisou e viu que, para fazer esse investimento, precisa de R$ 100.000,00, mas ainda não tem toda essa quantia. Isso significa que você precisa captar recursos.
Veja, a seguir, algumas formas de captação:
Clique nos botões.
1. Investimento de família ou amigos
Nesta opção, será necessário preparar uma apresentação formal que deixe bem claro seu objetivo, aonde sua empresa vai chegar e quanto ela vai render.
Tente vender a ideia para as pessoas que você conhece. Caso elas se interessem em investir na sua ideia, existem diversas formas de fazer um acordo. Seu familiar ou amigo podem ser seus sócios e ficar com uma porcentagem da empresa ou até mesmo lhe emprestar com o acréscimo de uma taxa de juros.
2. Empréstimos em bancos
Caso a opção anterior não tenha dado certo, é possível ir aos bancos e solicitar um empréstimo. O banco analisará seu histórico financeiro e verá se você tem condições de pagá-lo. Se sua ideia der errado, o banco poderá cobrar uma taxa de juros mais elevada para compensar o risco.
3. Crowdfunding
Esta é uma forma recente de captar dinheiro. Nesta modalidade, é necessário, novamente, preparar uma apresentação (em vídeo, texto etc.) e postar em sites de crowdfunding. Pessoas ao redor do mundo decidem, então, emprestar recursos para que você tire sua ideia do papel.
4. Empresas de investimento e investidores anjos
Nesta modalidade de captação, empresas ou pessoas qualificadas analisam sua ideia e decidem se investirão ou não nela.
Na prática
A seguir apresentamos algumas empresas que trabalham com tipos de captação. Veja:
kickante
A Kickante é a Plataforma de crowdfunding mais premiada do Brasil.
Nesse espaço, várias pessoas se identificam com um projeto ou um sonho e resolvem apoiá-lo financeiramente para que se realize. Baseado na economia colaborativa, tem a premissa de que, juntos, todos podem conquistar seus objetivos.
Fonte: Site Kickante.
BNDES
O Banco Nacional de Desenvolvimento Econômico e Social (BNDES) é um dos maiores bancos de desenvolvimento do mundo e, hoje, o principal instrumento do Governo Federal para o financiamento de longo prazo e investimento em todos os segmentos da economia brasileira.
Para isso, apoia empreendedores de todos os portes, inclusive pessoas físicas, na realização de seus planos de modernização, de expansão e na concretização de novos negócios, tendo sempre em vista o potencial de geração de empregos, renda e de inclusão social para o Brasil.
Fonte: Site: BNDES.
Ágora InvestimentosUm Clube de Investimentos é formado por um grupo de pessoas que, geralmente, se conhecem e têm objetivos parecidos, que decidem investir juntas para otimizar tempo e custos, além de formar um capital maior, capaz de acessar melhores oportunidades.
Fonte: Site Agora Investimentos.
Shark Thank
Um dos exemplos deste tipo de investimento é o programa Shark Tank, no qual empreendedores mostram seus negócios ou ideias a uma banca de empreendedores ricos e inteligentes que decidem se vão investir neles.
Fonte: Site Shark Tank.
Uso próprio ou de terceiros
Existe uma grande diferença entre usar o próprio dinheiro ou pedir o dinheiro dos outros para investir em algo.
Fonte: Shutterstock
Ao usar recursos próprios, você é o dono de tudo e quem toma a decisão sem a necessidade de consultar terceiros. Não é bom ser dono do próprio destino?
Usar dinheiro próprio dá a você a liberdade para fazer o que quiser com ele, mas também o risco de ficar sem nada, caso o negócio não dê certo.
Fonte: Pixabay
A outra opção, por sua vez, obriga você a ouvir a opinião de terceiros, mas isso também serve como orientação para não cometer erros.
Veja, a seguir, os principais prós e contras de usar recursos próprios e de terceiros:
	
	Recursos próprios
	Recursos de terceiros
	
P
R
ós
	• Liberdade para tomar qualquer decisão no que diz respeito à empresa;
• Não precisar pagar juros a ninguém.
	• Conseguir mais recursos sozinho.
	
C Contras
	• Assumir sozinho o risco de falência;
• Não ter alguém para ajudar na melhor tomada de decisão para a empresa, o que pode ser compartilhado o há vários sócios.
	• Obrigação de pagar juros, caso você tenha obtido dinheiro emprestado;
• Fazer concessões pontuais à opinião de outras pessoas.
Definição da política de pagamento
Caso você decida pegar um empréstimo no banco ou em outra entidade, é necessário entender as políticas de recebimento.
Mas, afinal, o que são as políticas de pagamento?
As políticas de pagamento são normas que você se compromete a seguir quando aceita o dinheiro de terceiros. Entre essas normas, está a quantia que você vai devolver por mês.
Como os economistas adoram dizer: “Não existe almoço grátis!”. Todo mundo quer receber o dinheiro que emprestou e, na maioria das vezes, com juros, isto é, um pouco mais do que emprestaram.
A fim de não ter nenhuma surpresa no mês seguinte ao do recebimento do empréstimo, você precisa ler todos os detalhes do contrato, principalmente no que se refere:
Vamos tratar brevemente de cada detalhe:
1. Taxa de juros
Fonte: Shutterstock
Se você emprestar dinheiro para alguém por um ano, concorda que, durante esse período, deixará de realizar outras atividades com esse dinheiro? Você poderia comprar aquele sapato novo, trocar de celular ou mesmo deixar o dinheiro rendendo na poupança, certo?
Então, nada mais justo que, após esse período, a pessoa lhe devolva seu dinheiro adicionado de um montante extra. Esse acréscimo é chamado de juros, e o número usado para o cálculo destes é a taxa de juros. Perceba que existe uma diferença entre os dois conceitos.
Enquanto a taxa de juros é um percentual (0,5%, 1%, 10%) usado para calcular quanto o dinheiro vai render, os juros representam a diferença entre o dinheiro que você emprestou e o quanto ele rendeu.
Para que fique mais claro, vamos analisar caso a seguir:
Case 2
Fonte: Pixabay
Suponha que você empreste R$ 120,00 a um amigo e diga a ele que espera esse dinheiro de volta em um mês à taxa de 10% ao mês. Fazendo um cálculo (R$ 120,00 x 10%), sabemos que 10% de R$ 120,00 é R$ 12,00. Assim, você emprestou R$ 120,00 e espera que seu amigo lhe devolva R$ 132,00 (R$ 120,00 + R$ 12,00). Em outros termos, a taxa de juros foi de 10% ao mês, e os juros do período foram de R$ 12,00.
Fonte: Pixabay
Saber em detalhes a diferença entre taxa de juros e juros é muito importante para que você não pegue um empréstimo sem entender em detalhes quanto será cobrado ao final do período, e se a taxa está de acordo com as práticas de mercado.
Por meio de uma rápida análise, é possível identificar os bancos com melhores taxas e, com isso, assessorar o gestor da empresa sobre onde é mais vantajoso adquirir um empréstimo, por exemplo.
2. Prazo de pagamento
O prazo de pagamento corresponde ao período estabelecido para a devolução do dinheiro à pessoa que lhe emprestou.
Quando adquirimos um empréstimo, alguns termos são acordados, tais como taxa de juros, juros e prazo de pagamento. A taxa de juros e o prazo de pagamento influenciam diretamente no valor total que será pago no final do empréstimo. Por isso, é muito importante que você entenda esses conceitos quando optar por um empréstimo.
A fim de que fique mais claro, veja a situação a seguir:
Case 3
Fonte: Shutterstock
Geraldo, um empresário do ramo têxtil, decidiu adquirir um empréstimo no banco para aumentar sua produção. No entanto, como ele precisava adquirir dinheiro rapidamente, não pesquisou quais bancos ofereciam as melhores condições, mas optou por pegar um empréstimo em um banco grande perto de sua empresa.
Fonte: Shutterstock
Após uma análise de seu negócio, o gerente do banco lhe ofereceu o seguinte empréstimo: R$ 10.000,00 a uma taxa de 5% ao mês. Mas cabia a Geraldo escolher a condição de pagamento do empréstimo: em 12 ou 36 meses. Como não entendia do assunto, Geraldo achou que o prazo de pagamento de 36 meses seria melhor, pois as parcelas seriam menores.
Conforme podemos verificar, o prazo de pagamento é importantíssimo quando decidimos pegar um empréstimo, pois alguns meses de diferença podem acarretar uma grande soma de dinheiro.
3. Valor mensal
Por mais que o valor mensal que você pague seja calculado com base no valor que recebeu de empréstimo, na taxa de juros e no prazo de pagamento, ainda assim, é preciso confirmar o valor que você terá de pagar mensalmente (trimestralmente, semestralmente, anualmente etc.). Afinal, muitas vezes, nos atentamos apenas ao montante recebido, à taxa de juros e ao prazo de pagamento, mas esquecemos de verificar o valor que deve ser pago mensalmente.
Caso não tenha certeza de que pode arcar com o valor mensal de um empréstimo, um empresário corre o risco de ir à falência, pois não tem como pagar todas as suas despesas mensais acrescidas à mensalidade do empréstimo. Dessa forma, a sugestão é que todos analisem o contrato com calma e vejam se este apresenta o valor que deve ser pago. Caso o valor não esteja lá, é necessário calculá-lo.
Com base nos conhecimentos adquiridos até o momento, é possível tomar decisões mais seguras referentes a financiamento por base de empréstimos. Afinal, ao longo da carreira em Finanças, desafios referentes a tomadas de decisões estratégicas financeiras serão requeridos. O profissional que entende os principais conceitos sobre essa modalidade de financiamento destaca-se frente a outros que os desconhecem.
O vídeo explica o movimento histórico do controle da moeda no Brasil e no mundo, e as formas de captação de recursos utilizadas por empresas e pessoas.
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Verificando o Aprendizado
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1. Empreendedores precisam decidir se utilizarão recursos próprios de terceiros para financiar seus projetos. Assinale a alternativa que não demonstra uma vantagem e uma desvantagem do uso de recursos próprios:
a) Liberdade para tomar qualquer decisão no que diz respeito à empresa e assumir o risco de falência sozinho.
b) Não precisar pagar juros e não ter alguém para ajudar na melhor tomada de decisão para a empresa, o que pode ser compartilhado quando há vários sócios.
c) Não precisar pagar juros e assumir o risco de falência sozinho.
d) Liberdade para tomar qualquer decisão no que diz respeito à empresa e não precisar pagar juros.
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Parabéns! A alternativa D está correta.
Ao longo da carreira, empresários e gestores precisam tomar decisões financeiras quanto a captar recursos de terceiros ou usar recursos próprios. Essas duas modalidades possuem vantagens e desvantagensbem estruturadas que devem ser do conhecimento de um profissional financeiro. Quase todas as alternativas da questão apresentam vantagens e desvantagens referentes à utilização de recursos próprios, com exceção da letra D, que demonstra duas vantagens.
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2. Quando escolhemos obter um empréstimo, diversos fatores podem influenciar no valor final que deverá ser pago. Qual dos fatores a seguir, com seu respectivo motivo, influencia no valor final a ser pago no empréstimo?
a) Valor mensal, pois, quando pago pelo empréstimo, é usado para cálculo da taxa de juros, que, no final, resultará no total a ser pago ao banco.
b) Prazo de pagamento, pois, conforme a variação, influencia no valor total a ser pago ao banco.
c) Taxa de juros, pois pouco influencia no cálculo geral do empréstimo, constando no acordo apenas para fins regulatórios do Banco Central.
d) Índice futuro, pois, baseado nos contratos de preços futuros, o valor final de um empréstimo varia, mesmo quando a taxa de juros definida é de 1% ao mês.
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Parabéns! A alternativa B está correta.
Quando um empréstimo é feito, devemos averiguar três informações principais: taxa de juros, prazo de pagamento e valor mensal. No entanto, para fins de cálculo do valor final, apenas a taxa de juros e o prazo de pagamento são necessários. O motivo que faz a taxa de juros impactar no valor final a ser pago é o fato de ser usada em cima do montante, a fim de calcular os juros finais a serem pagos. Já o prazo de pagamento influencia no valor final a ser pago, pois, quanto mais tempo demoramos para finalizar o pagamento do empréstimo, maior fica o valor final total a ser pago.
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Você conseguiu desbloquear o MÓDULO 3!
E, com isso, você:
 Identificou as formas de aplicação e captação de recursos.
 Retornar para o início do módulo 2.
Conceitos
Vamos conhecer as principais formas de investimento e seus conceitos básicos. Assim, como gestor de uma empresa, você será capaz de identificar as melhores opções de investimento.
Decisão sobre o uso do dinheiro
Para onde vai o dinheiro? Vamos analisar os cenários a seguir.
Vamos supor que você receba R$ 10.000,00 e gaste tudo em doces e guloseimas que comerá ao longo do ano.
Por mais delicioso que seja esse cenário, você estará apenas gastando esse dinheiro.
Se você usar os mesmos R$ 10.000,00 na compra de doces e guloseimas que, depois, você usará para vender em uma loja a um preço maior do que pagou,
isto é, com lucro, você estará investindo esse dinheiro.
A partir desses dois cenários, é possível entender que o mesmo dinheiro pode ser usado para diferentes situações. Dependendo de como é aplicado, o dinheiro é classificado de formas diferentes.
Decisão sobre gasto ou investimento
Gastar ou investir?
Se você decidir usar seu dinheiro em restaurantes, por exemplo, você o estará gastando. Mas se decidir usá-lo para que gere mais dinheiro no futuro, estará investindo.
Quando falamos em investir, no entanto, não estamos falando apenas de produzir algo ou comprar um produto e vendê-lo mais caro. Existem outras formas de investir dinheiro. Lembre-se:
Investimento é tudo aquilo que você faz com seu dinheiro para aumentá-lo ao longo do tempo.
Vejamos, a seguir, algumas formas de investir:
Caderneta de Poupança
Esta forma de investir o dinheiro é a mais conhecida entre os brasileiros.
Neste tipo de investimento, você coloca dinheiro no banco e este renderá, mensalmente, uma porcentagem a juros compostos. Contudo, essa porcentagem é pequena.
CDB
Esta forma de investimento bancário é basicamente um empréstimo para o banco. Vamos dizer que você esteja com dinheiro sobrando e queira emprestá-lo para alguém. Concorda que é muito difícil um banco grande lhe dar um calote? Então, por que não emprestar a ele?
No entanto, como o risco de o banco não lhe pagar (dependendo do banco) é muito baixo, a taxa de juros cobrada é baixa. Afinal, na área de Finanças, o retorno é correlacionado ao risco.
Tesouro Direto ou títulos públicos
O governo se financia por meio da arrecadação de impostos. No entanto, às vezes, ele também precisa de dinheiro emprestado para poder construir novas rodovias, hospitais, escolas etc. Para isso, bem como investir na melhoria de saúde e transportes, o governo precisa de empréstimos. Dessa forma, pessoas e empresas podem emprestar dinheiro ao governo por meio da compra de títulos públicos.
Títulos públicos são papéis emitidos pelo governo e comprados por pessoas e empresas, sendo acordada a devolução do dinheiro em determinada data, acrescido de juros. Normalmente, o prazo de devolução do dinheiro acrescido de juros é longo. Por isso, é mais indicado para aqueles que não precisarão do dinheiro em curto prazo.
Ações
Quando uma empresa atinge um tamanho relativamente considerável, seus sócios podem decidir pela abertura de seu capital, isto é, lançar ações na bolsa de valores. Esta operação faz com que as pessoas que comprarem as ações da empresa se tornem sócias dela e, com isso, possam receber dividendos ou obter lucro por meio da variação do preço da ação. Por exemplo, podemos comprar a ação a R$ 1,00 e vendê-la a R$ 2,00.
No entanto, como o preço das ações das empresas pode variar muito por diversos motivos, este tipo de investimento apresenta um grande risco para aqueles que desejem se aventurar sem um profundo conhecimento técnico.
Assim, por mais que apresente uma grande oportunidade de enriquecer, o investimento em ações deve ser feito apenas por aqueles que entendem do assunto e que não ficarão mais pobres caso percam parte do dinheiro investido.
Conceitos financeiros
Na prática, toda vez em que precisamos comprar determinado produto para produzir uma mercadoria, dizemos que estamos gastando dinheiro ou que isso é uma despesa, certo?
No entanto, na Administração e na Contabilidade, existe uma grande diferença entre despesa e custo.
1 ) GASTO
Toda saída de dinheiro da empresa. Independente do motivo da saída de dinheiro (seja para comprar uma máquina que produzirá mais pão para sua padaria, seja para aplicar na poupança), nós a chamamos de gasto.
2 ) CUSTO
Toda saída de recursos financeiros que está diretamente ligada à produção de seu produto ou à prestação de serviço. Assim, em uma empresa que monta e vende celulares, o salário dos colaboradores que montam os aparelhos é um custo, pois, sem esses profissionais, não é possível produzir os celulares.
3 ) DESPESAS
Toda saída de dinheiro que não está diretamente ligada à produção do bem ou à prestação de serviço.
Seguindo o mesmo exemplo anterior da empresa de celulares, caso o gestor decida comprar ventiladores para tornar o trabalho de seus colaboradores mais eficiente, ele deve registrar essa compra como despesa, pois a aquisição de ventiladores não influencia na produção dos aparelhos.
Então, a compra de um ventilador para a empresa é uma despesa, pois não é essencial para a prestação de serviço do montador de celular.
4 ) PERDAS
Todo os processos de produção e prestação de serviços envolvem perdas. Imagine que a manicure, ao pintar uma unha sempre use a quantidade exata de esmalte em seu cliente sem nunca borrar ou se sujar. Isso é impossível!
Uma boa manicure sabe que é sempre necessário passar um pouco mais de esmalte, esbarrando nas cutículas e até mesmo na pele (e, depois, limpar usando acetona). Esse esmalte que não foi usado pode ser considerado uma perda.
O mesmo ocorre com a massa que sobra quando se vai fazer um pão ou qualquer outro produto.
Então, quando um empreendedor for calcular seus custos e suas despesas, é necessário que ele tome cuidado para registrar também as perdas. Caso contrário, desperdiçará dinheiro.
1. Gasto
Toda saída de dinheiro da empresa. Independente do motivo da saída de dinheiro (seja para comprar uma máquina que produzirá mais pão para sua padaria, seja para aplicar na poupança), nós a chamamos de gasto.
2. Custo
Toda saída de recursos financeiros que está diretamente ligada à produção de seu produto ouà prestação de serviço. Assim, em uma empresa que monta e vende celulares, o salário dos colaboradores que montam os aparelhos é um custo, pois, sem esses profissionais, não é possível produzir os celulares.
3. Despesas
Toda saída de dinheiro que não está diretamente ligada à produção do bem ou à prestação de serviço.
Seguindo o mesmo exemplo anterior da empresa de celulares, caso o gestor decida comprar ventiladores para tornar o trabalho de seus colaboradores mais eficiente, ele deve registrar essa compra como despesa, pois a aquisição de ventiladores não influencia na produção dos aparelhos.
Então, a compra de um ventilador para a empresa é uma despesa, pois não é essencial para a prestação de serviço do montador de celular.
Todo os processos de produção e prestação de serviços envolvem perdas. Imagine que a manicure, ao pintar uma unha sempre use a quantidade exata de esmalte em seu cliente sem nunca borrar ou se sujar. Isso é impossível!
Uma boa manicure sabe que é sempre necessário passar um pouco mais de esmalte, esbarrando nas cutículas e até mesmo na pele (e, depois, limpar usando acetona). Esse esmalte que não foi usado pode ser considerado uma perda.
O mesmo ocorre com a massa que sobra quando se vai fazer um pão ou qualquer outro produto.
Então, quando um empreendedor for calcular seus custos e suas despesas, é necessário que ele tome cuidado para registrar também as perdas. Caso contrário, desperdiçará dinheiro.
Políticas de recebimento
Agora que você conhece os conceitos de custos e despesas, e sabe que precisa contabilizar as perdas se decidir montar o próprio negócio, é preciso entender sobre as políticas de pagamento.
Estamos acostumados a pensar em pagamento quando devemos a alguém (uma pessoa, um banco, o cartão de crédito ou uma loja). Mas esquecemos que, quando empreendemos, precisamos definir políticas de recebimentos para que os outros nos paguem.
Você concorda que, às vezes, bate aquela vontade de comer um doce, mas, nem sempre, temos dinheiro para pagar por ele?
Fonte: Shutterstock
Quando conhecemos o dono da lojinha de guloseimas, é muito comum que ele nos deixe pegar o doce hoje e só pagar depois. É justamente isso que entendemos como política de recebimento, também muito comum nos cartões de crédito.
Precisamos ter muito cuidado com isso, pois, se não tivermos controle e organização sobre quando vendemos e recebemos, poderemos ter um problema sério no Fluxo de Caixa.
Veja algumas dicas de como ter um bom controle de Fluxo de Caixa e definir suas políticas de recebimento:
1. Explicar suas normas aos clientes
Caso você aceite receber o dinheiro depois da venda, é importante que deixe bem claro quando espera receber o dinheiro de volta e se cobrará juros sobre esse dinheiro. Uma boa conversa resolve muitos problemas no futuro!
2. Fazer contrato
Quando o valor da venda for muito alto e o prejuízo por não recebimento, muito grande, será importante fazer um contrato formal assinado por um advogado e registrado em cartório, para que, caso seu cliente não lhe pague, você possa acionar a Justiça.
Aqui, aprendemos conceitos como gasto, despesa e custo. Além disso, discutimos sobre a tomada de decisão entre gastar ou investir, as principais formas de investimento e a política de recebimento.
A partir desse conhecimento, é possível tomar melhores decisões estratégicas e ser mais eficiente quanto à aplicação de recursos financeiros.
Na conclusão deste módulo, o professor Antônio Carlos Magalhães da Silva explica os tipos de aplicação de recursos e como é possível aplicá-los. Essa abordagem é fundamental para aqueles que atuam em gestão, tanto com pessoas físicas quanto com grandes empresas.
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Verificando o Aprendizado
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1. Existem muitas dúvidas quanto à diferença entre gasto, custo e despesa. Enquanto gasto se refere a toda a saída de recursos financeiros da organização, custo se refere à saída de dinheiro diretamente ligada à produção do produto ou prestação de serviço. Por fim, despesa é toda saída financeira que não está diretamente ligada à produção do produto ou prestação de serviço.
Assinale a alternativa que classifica, de maneira correta, cada uma das situações.
Em uma empresa de bijuterias, devemos classificar como custo a compra de mesas que serão usadas na montagem das joias, como despesa a compra de um carro de entrega, e como gasto todo o dinheiro que saiu da empresa (custo ou despesa).
b) Em uma empresa de ração de cães, devemos classificar como custo a compra de um ar-condicionado para refrescar os funcionários do administrativo, como despesa a compra do maquinário usado para a produção da ração, e como gasto apenas os custos que a empresa teve ao longo do período.
c) Em uma empresa de vestidos, devemos classificar como despesa a compra de tecido que será usado na produção dos vestidos, como custo o salário dos alfaiates, e como gasto o desembolso de dinheiro relacionado apenas às despesas que a empresa teve ao longo do período.
d) Em uma empresa de computador, devemos classificar como custo a compra de peças que serão usadas para montar cada computador, como despesa o salário dos montadores de computador, e como gastos todos aqueles que a empresa teve ao longo do período.
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Comentário
Parabéns! A alternativa A está correta.
Os conceitos de gastos, despesas e custos são diferentes. Por isso, precisamos refletir sobre a finalidade de cada empresa, e se a despesa se refere ou não à produção de um produto/serviço. A alternativa A é a única que aloca, corretamente, despesas, custos e gastos relacionados à empresa de bijuteria.
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2. O entendimento correto de política de recebimento é muito importante para que o gestor financeiro possa saber quando e como receberá pelos produtos vendidos ou pelos serviços prestados. Em caso específico, é altamente recomendado que seja feito um contrato de pagamento.
Assinale a alternativa que explica corretamente o motivo de fazer um contrato de pagamento.
a) Quando a empresa faz negócio com um familiar do sócio, pois sempre que há família envolvida nos negócios, existe uma grande chance de tal familiar não pagar, e a empresa precisa assumir o prejuízo, sem acarretar falência.
b) Quando a venda é feita a prazo, pois vendas a prazo não são muito arriscadas, e, com isso, a empresa pode se sentir confortável em vender independente de quem seja o comprador.
c) O contrato de venda ou prestação de serviço é apenas uma formalidade que pouco influencia no recebimento, pois, devido a uma justiça lenta e pouco eficiente, o gestor da empresa sempre precisará arcar com o prejuízo, caso o comprador não o pague.
d) Quando o valor da venda de um produto ou prestação de serviço é muito alto, pois, caso haja não pagamento ou atraso no pagamento, a empresa que vendeu o produto ou prestou o serviço pode ir à falência. Por meio do contrato, o vendedor pode procurar meios legais de reaver seu dinheiro e não ir à falência.
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Comentário
Parabéns! A alternativa C está correta.
A política de recebimento é importante para que o gestor da empresa não corra o risco de não receber e, com isso, venha a falir. Disto resulta a relevância do contrato: quando o valor de venda é alto, há risco de falência em caso de falta de pagamento, e o contrato garante que isso não aconteça.
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Você chegou ao FINAL DESTA EXPERIÊNCIA!
E, com isso, você:
 Distinguiu gasto de investimento com base na definição de conceitos financeiros.
 Retornar para o início do módulo 3.
Conclusão
Neste tema, você adquiriu os conhecimentos necessários a um profissional de Finanças e aprendeu a realizar corretamente a gestão de recursos financeiros.
Além disso, compreendeu as noções básicas sobre investimentos e política de recebimento, bem como a diferença entre gastos, despesas e custos.
Podcast
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Conquistas
1. Reconheceu as funções da moeda.
2. Identificou as formas de aplicação e captaçãode recursos.
3. Distinguiu gasto de investimento com base na definição de conceitos financeiros.
Conteudista
Matheus Moura
Currículo Lattes
Referências
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 14. ed. São Paulo: Atlas, 2019.
ASSAF NETO, A. Mercado financeiro. 14. ed. São Paulo: Atlas, 2018.
CERBASI, G. Cartas a um jovem investidor: enriquecer é uma questão de escolha. 4. ed. São Paulo: Elsevier, 2008.
CERBASI, G. Casais inteligentes enriquecem juntos. 3. ed. São Paulo: Sextante, 2014.
FORTUNA, E. Mercado financeiro: produtos e serviços. 22. ed. Rio de Janeiro: Qualitymark, 2020.
KIYOSAKI, R. Independência financeira: o guia para a sua libertação. 1. ed. São Paulo: Alta Books, 2017.
KIYOSAKI, R.; LECHTER, S. Pai rico, pai pobre. 20. ed. São Paulo: Alta Books, 2018.
HUBERMAN, L. História da riqueza do homem. 22. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017.
PASSOS, C.; NOGAMI, O. Princípios de economia. 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2015.
VASCONCELLOS, M. A. S.; GARCIA, M. E. Fundamentos de economia. 3. ed. São Paulo: Saraiva, 2008.
Explore+
.Para saber como começar a construir uma poupança e alcançar a independência financeira, pesquise na internet e assista ao vídeo: GUIA BEM BÁSICO para começar a investir com POUCO DINHEIRO! Saiba tudo em 10 minutos. Canal Me Poupe! Publicado em: 8 ago. 2019.
.Entre no site da Casa da Moeda do Brasil e leia o texto Origem do Dinheiro.
.Entre no site do Banco Central do Brasil e leia o texto Origem e Evolução do Dinheiro.
.Assista aos vídeos do canal Finanças 101, que traduz os conceitos de finanças para profissionais que não são da área.
· APRESENTAÇÃO
· MÓDULO 1
· MÓDULO 2
· MÓDULO 3
· MÓDULO 4
· CONCLUSÃO
DEFINIÇÃO
Abordagem das funções por vários pontos de vista complementares: descrição como conceito matemático, estudo analítico e representação gráfica. Consolidação da importante noção de função real de uma variável real.
PROPÓSITO
Compreender a relevância do conceito de função para a interpretação e a resolução de problemas diversos, inclusive fenômenos naturais, sociais e de outras áreas.
OBJETIVOS
Módulo 1
Reconhecer graficamente o domínio, a imagem e o contradomínio de funções
Módulo 2
Identificar graficamente os tipos de funções: injetora, sobrejetora e bijetora
Módulo 3
Definir funções crescentes e decrescentes
Módulo 4
Definir funções periódicas
Reconhecer graficamente o domínio, a imagem e o contradomínio de funções
INTRODUÇÃO
Para fazermos modelos matemáticos de nossa realidade, associamos quantidades numéricas aos acontecimentos, fatos e objetos que desejamos estudar ou analisar.
É comum obtermos relações expressas em termos de fórmulas ou expressões matemáticas, porém, muitas vezes, as expressões obtidas nem sempre dão origem a um número real para todos os possíveis valores da variável independente.
Nessa situação, é importante determinar o conjunto dos valores da variável independente para os quais a fórmula matemática define uma função.
Nosso estudo se restringirá ao estudo das funções reais de variável real, ou seja, tanto o domínio quanto o contradomínio são subconjuntos de ℝ ou até mesmo todo o ℝ.
Antes de darmos prosseguimentos ao nosso estudo de funções, assista ao vídeo que relembra as definições básicas relativas às funções.
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DEFINIÇÃO
O domínio da função 𝑓 é o maior subconjunto de ℝ onde a expressão (ou fórmula) que define a função assume valores reais, ou seja: 
𝐷(𝑓)={𝑥∈ℝ| 𝑓(𝑥)∈ℝ}
Veja nas imagens três representações gráficas de funções cuja lei de formação é 𝑓(𝑥)=𝑥2 e os seus domínios.
𝐷1=ℝ
D2={-2;-2;-1;0;1;2;2}
𝐷3=[0;+∞[
Quando uma função está definida por uma fórmula matemática, a fórmula em si pode impor restrições sobre os valores reais para os quais podemos calculá-la.
Exemplo 1
Qual é o domínio da função 𝑓(x)=1x?
Repare que 𝑥=0 não está no domínio dessa função, pois a divisão por 0 (zero) não está definida. Logo, 𝐷(𝑓)=ℝ∗.
Exemplo 2
Qual é o maior subconjunto de 𝑋⊂ℝ, tal que a fórmula g(x)=x define uma função 𝑓:𝑋→ℝ?
Como só podemos calcular a raiz quadrada de valores não negativos, temos: 𝐷(𝑔)=[0; +∞[.
Vamos ver na prática como determinar o domínio de uma função?
Exemplo 3
Pensando em construir uma piscina retangular em sua casa, João recorreu à Revista Casa e Jardim, da Globo, onde encontrou um modelo de piscina que contracena com a represa no projeto assinado pela arquiteta Eliana Marques Lisboa.
Sabendo que o terreno onde será construída a piscina deve ser cercado com 240 m de cerca, faça o que se pede:
A - Expresse a área do terreno em metros quadrados em função do comprimento do terreno.
B - Determine o domínio da função resultante. Lembre-se de que a expressão que determina a área de uma figura retangular é dada pelo produto entre o comprimento e a largura.
Assista ao vídeo com a resolução das questões apresentadas no exemplo 1.3.
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Exemplo 4
Sabendo que o comprimento do terreno de João é de 100 m, utilize a expressão obtida 𝐴=𝑥⋅(120−𝑥) para determinar a área do terreno onde será construída a piscina.
Resolução da questão
Atenção
Os gráficos das funções podem fornecer informações visuais importantes sobre uma função.
O gráfico de uma função pode ser definido como:
𝐺𝑟𝑎𝑓(𝑓)={(𝑥; 𝑓(𝑥)) | 𝑥∈𝐷(𝑓)}
Portanto, a ordenada 𝑦 de um ponto do gráfico da função 𝑓 é o valor de 𝑓 na abscissa 𝑥 correspondente.
O gráfico de 𝑓 também nos permite visualizar o domínio e a imagem, além de muitas outras informações.
LEITURA GRÁFICA: DOMÍNIO E IMAGEM
O domínio da função 𝑓 é o maior subconjunto de ℝ onde a expressão (ou fórmula) que define a função assume valores reais, ou seja:
Como saber se um número real 𝒂 pertence ao domínio de uma função 𝒇?
O número real 𝑎 pertence ao domínio de uma função 𝑓 se a reta vertical 𝑥=𝑎 corta o gráfico de 𝑓 em um ponto. Como f é uma função, este ponto é necessariamente único.
Fonte: Shutterstock
Exemplo 1
Taxa de crescimento 2010-2060 do Brasil e de Tocantins:
Verifique que, no ano de 2030, temos uma única taxa de crescimento, tanto no Brasil quanto em Tocantins.
Como saber se um número real 𝑏 pertence à imagem de uma função 𝑓?
O número real 𝑏 pertence à imagem de uma função 𝑓 se a reta horizontal 𝑦=𝑏 corta o gráfico de 𝑓 em pelo menos um ponto.
Exemplo 2
Verifique que o valor 0,82 pertence tanto à imagem da função que representa a taxa de crescimento no Tocantins quanto à função que representa a taxa de crescimento no Brasil, em 2029 e 2018, respectivamente.
Taxa de crescimento 2010-2060 do Brasil e de Tocantins:
DOMÍNIO
Dado o gráfico de uma função, uma forma de encontrar o domínio da função é projetar o gráfico no Eixo 𝑂𝑥.
Exemplo 1: Observe o gráfico da função 𝑓:
O que acontece se projetarmos o gráfico da função no Eixo 𝑂𝑥?
Exemplo 2: Observe o gráfico da função 𝑔:
O que acontece se projetarmos o gráfico da função no Eixo 𝑂𝑥?
Assista ao vídeo com mais um exemplo de domínio da função.
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IMAGEM
Dado o gráfico de uma função, uma forma de encontrar a imagem da função é projetar o seu gráfico no Eixo 𝑂𝑦.
Exemplo 1: Observe o gráfico da função 𝑓:
O que acontece se projetarmos o gráfico da função no Eixo 𝑂𝑦?
Exemplo 2: Observe o gráfico da função 𝑔:
O que acontece se projetarmos o gráfico da função no Eixo 𝑂𝑦?
Exemplo 3
Gráfico da função ℎ
Se Projetarmos o gráfico da função no Eixo 𝑂𝑦, vemos que a imagem da função ℎ é o intervalo indicado em vermelho no Eixo 𝑂𝑦.
Sua imagem é o intervalo (−2; 5,25].
𝐼𝑚(ℎ)=(−2;  5,25].
Em resumo, é possível determinar a imagem de um conjunto de pontos:
Se 𝑫 é um subconjunto do domínio da função 𝑓 (pintado de azul na figura), então, a imagem deste subconjunto é dada por 𝒇(𝑫)={ 𝑓(𝑥) | 𝑥 ∈𝐷 }.
Exemplo 4
Assista ao vídeo com mais um exemplo de imagem da função.
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Exemplo 5
Observe o gráfico da função 𝑓 e o intervalo -23;512 destacado em verde no Eixo𝑂𝑦, que é um subconjunto da imagem de 𝑓 :
Ao traçar as retas y=512 e y=-23 de forma horizontal, partindo no Eixo 𝑂𝑦, temos:
Se pegarmos a parte do gráfico restrita à região entre as retas y=-23 e y=512, temos:
Agora, para descobrirmos a parte do domínio correspondente ao intervalo -25;512 da imagem, basta projetarmos no Eixo 𝑂𝑥 :
A parte do Eixo 𝑂𝑥 que nos interessa está destacada em vermelho: [−0,4; 2]∪[3,6; 3,8]
VERIFICANDO O APRENDIZADO
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1. Considere a seguinte função:
fx=-2x,   se   x<0x,   se    0≤x≤42,   se   x>4   
O domínio e a imagem da função são, respectivamente:
 a) 𝐷(𝑓)=ℝ e 𝐼𝑚(𝑓)=[0; +∞┤[.
 b) 𝐷(𝑓) = [0; +∞┤[ e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ.
 c) 𝐷(𝑓) = ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ.
 d) 𝐷(𝑓) = [0; +∞┤[ e 𝐼𝑚(𝑓) = [0; +∞┤[.
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Comentário
Parabéns! A alternativa A está correta.
A função é formada por três pedaços de funções já conhecidas. Cada um desses pedaços corresponde a uma parte do domínio. Para 𝑥<0, o gráfico é parte da reta 𝑦=−2𝑥. Para traçar, basta considerarmos dois pontos.
	𝑥
	𝑦= −2𝑥
	(𝑥; -2𝑥)
	0
	-2 . 0 = 0
	(0; 0)
	-2
	-2 . (-2) = 4
	(-2; 4)
Marcando esses pontos no plano, obtemos a parte da reta que nos interessa:
Repare que o ponto (0;0) ficou traçado como “bolinha aberta”, pois 𝑥=0 não pertence a essa parte do domínio da função.
Para 0≤𝑥≤4, o gráfico é parte do gráfico de 𝑦=√𝑥. Para traçá-lo, devemos olhar para o esboço apresentado anteriormente, bem como calcular o valor da função nos extremos.
	𝑥
	𝑦=√𝑥
	(𝑥; √𝑥)
	0
	√0=0
	(0; 0)
	4
	√4=2
	(4; 2)
Marcamos, então, esses pontos e, em seguida, traçamos uma curva passando por eles com o formato parecido com o do esboço já apresentado.
Finalmente, para 𝑥>4, a função é constante e igual a 2. Seu gráfico é uma reta paralela ao Eixo 𝑂𝑥:
Aqui, o ponto (4;2) também ficou como “bolinha aberta”, pois 𝑥=4 não pertence a essa parte do domínio.
Juntando todas essas informações em um único plano, obtemos o gráfico da função 𝑓:
A partir da representação gráfica, fica fácil perceber que 𝐷(𝑓)=ℝ e 𝐼𝑚(𝑓)=[0; +∞┤[.
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2. (PETROBRAS - 2008) Considere que 𝑓 é uma função definida do conjunto 𝐷 em ℝ por: 𝑓(𝑥)=𝑥2−4𝑥+8.
Sendo 𝐼𝑚 a imagem de 𝑓, é correto afirmar que, se:
 a) 𝐷=[−2,0], então 𝐼𝑚(𝑓)=ℝ+.
 b) 𝐷=[2,+∞[, então 𝐼𝑚(𝑓)=[0;4].
 c) 𝐷=[2,+∞[, então 𝐼𝑚(𝑓)=ℝ+.
 d) 𝐷=[0;2], então 𝐼𝑚(𝑓)=[4;8].
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Comentário
Parabéns! A alternativa D está correta.
O gráfico da função 𝑓 é dado por:
Vamos analisar cada restrição do domínio da função 𝑓.
Note que, se 𝐷=[−2,0], temos que 𝐼𝑚(𝑓)=[8,20].
Se 𝐷=[2,+∞[, temos que 𝐼𝑚(𝑓)=[4,+∞).
Se 𝐷=[0;2], temos que I𝑚(𝑓)=[4;8].
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3. Observe os gráficos das funções 𝒚=𝒇(𝒙), 𝒚=𝒈(𝒙) e 𝒚=𝒉(𝒙):
No mesmo par de eixos, podemos afirmar que:
 a) 𝑓(2)=2, 𝑔(2)=2 𝑒 ℎ(2)=−2.
 b) 𝐷𝑜𝑚(𝑔)=[−3,3] 𝑒 𝐼𝑚(ℎ)=[−4,3].
 c) 𝐷𝑜𝑚(𝑓)=[−4,4] 𝑒 𝐼𝑚(𝑓)=[−4,3].
 d) 𝐷𝑜𝑚(ℎ)=[−2,2] 𝑒 𝐼𝑚(𝑓)=[−4,3].
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Comentário
Parabéns! A alternativa C está correta.
Observando o gráfico, temos: 𝑓(2)=2, 𝑔(2)=2 e ℎ(2)=2.
𝐷𝑜𝑚(𝑓)=[−4,4] e 𝐼𝑚(𝑓)=[−4,3].
𝐷𝑜𝑚(𝑔)=[−3,3] e 𝐼𝑚(𝑔)=[−1,𝑔(3)]
𝐷𝑜𝑚(ℎ)=[−2,2] e 𝐼𝑚(ℎ)=[1,2].
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4. Considere a função f(x)=120x300-x. Podemos afirmar que o domínio da função 𝑓 é:
 a) Todo número real 𝑥.
 b) Todo número real 𝑥, exceto os números positivos.
 c) Todo número real 𝑥, exceto 𝑥=300.
 d) Todo número real 𝑥, exceto os números negativos.
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Comentário
Parabéns! A alternativa C está correta.
A função não está definida para 𝑥=300, pois este número anula o denominador.
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5. Considere o gráfico da função 𝑓:
Após a análise do gráfico, podemos afirmar que:
 a) A função não está definida em 𝑥=1,6
( ) b) 𝐼𝑚(𝑓)=[−4,5].
 c) 𝐷𝑜𝑚(𝑓)=[−4.5, 11].
 d) 𝐷𝑜𝑚(𝑓)=[−4.5, 2)∪(2,11].
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Comentário
Parabéns! A alternativa D está correta.
Projetando o gráfico da função no eixo -𝒙, vemos que o domínio da função 𝒇 é o conjunto no eixo -𝑥 indicado em vermelho na figura.
Seu domínio é a seguinte união de intervalos:[−𝟒.𝟓 , 𝟐) ∪ (𝟐 , 𝟏𝟏].
𝑫𝒐𝒎(𝒇)=[−𝟒.𝟓 , 𝟐) ∪ (𝟐 , 𝟏𝟏].
Projetando o gráfico da função no eixo -𝒚, vemos que a imagem da função 𝒇 é o intervalo no eixo -𝑦 indicado em vermelho na figura.
Sua imagem é o intervalo [−𝟒, 𝟖.𝟑].
𝑰𝒎(𝒇)=[−𝟒, 𝟖.𝟑].
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6. Se a função real definida por f(x)=x+1x-2+11-x possui 𝐷 como domínio e 𝐷=[𝑎,𝑏], então, 𝑎+𝑏 vale:
 a) 11
 b) 5
 c) 15
 d) 3
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Parabéns! A alternativa C está correta.
Primeiramente, vamos determinar o domínio da função 𝑓. Para isso, precisamos analisar para quais valores de 𝑥 a função x-2 e 11-x está bem definida e fazer a interseção dos intervalos.
Note que x-2 está bem definida para 𝑥≥2, e 11-x está bem definida para 11−𝑥≥0, ou seja, 𝑥≤11. Como [2,+∞)∩(−∞,11]=[2,11], temos que 𝐷=[2,11].
Em contrapartida, 𝐵=[1,4]. Por um lado, 𝐷−𝐵=]𝑎,𝑏[, por outro, 𝐷−𝐵= ]4,11[. Logo, 𝑎+𝑏=4+11=15.
Identificar graficamente os tipos de funções: injetora, sobrejetora e bijetora
FUNÇÕES INJETORAS
Uma função 𝑓 é dita injetora (ou injetiva) se, para quaisquer dois números 𝑎1, 𝑎2 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓), tais que 𝑎1≠𝑎2, os números 𝑓(𝑎1) e 𝑓(𝑎2) na imagem de 𝑓 são também distintos.
Exemplo 1
A função 𝑓(𝑥)=𝑥2−1, definida para todos os números reais, é injetiva?
Observe que: 𝑓(−2)=(−2)2−1=3=22−1=𝑓(2)
Em outros termos, –2 e 2 têm a mesma imagem.
Gráfico da função 𝒇 e reta horizontal 𝒚=𝟑
A partir da representação gráfica da função 𝑓(𝑥)=𝑥2−1, é possível observar que há retas horizontais que intersectam seu gráfico mais de uma vez.
Atenção
Teste da reta horizontal
Uma função é injetiva se, e somente se, toda reta horizontal intersecta seu gráfico em, no máximo, um ponto.
Observe que, pelo teste da reta horizontal, a função do exemplo citado não é injetiva.
Exemplo 2
A função 𝑔(𝑥)=𝑥3 é injetiva.
Gráfico de 𝒈(𝒙)=𝒙𝟑
Qualquer reta horizontal intersecta o gráfico em apenas um ponto. Logo, pelo teste da reta horizontal, a função 𝑔 é injetiva.
FUNÇÕES SOBREJETORAS E BIJETORAS
Clique nos botões para ver as informações.
Sobrejetoras
Bijetoras
RELAÇÃO GEOMÉTRICA ENTRE OS GRÁFICOS DE UMA FUNÇÃO E SUA INVERSA
O objetivo é mostrar graficamente a relação existente entre o gráfico de uma função bijetora e sua inversa.
Atenção
Lembre-se de que uma função ter inversa é equivalente a ela ser bijetiva.
No quadro a seguir, sintetizamos algumas informações sobre uma função 𝑓 e sua inversa 𝑓−1:
f: A→B e f-1: B→A
se f"leva" a em b então f-1 "traz" b "de volta" em a
f(a)=b⇔f-1(b)=a
Dom(f)=Im(f-1) e Dom(f-1)=Im(f)
É preciso notar que:
f(a)=b⇔f-1(b)=a
Mas o que essa equivalência significa geometricamente?
Que o ponto (𝑎;𝑏) estar no gráfico da função 𝑓 é equivalente ao ponto (𝑏;𝑎) estar no gráfico da função 𝑓−1.
Simetria dos pontos (𝒂;𝒃) e (𝒃;𝒂) em relação à reta 𝒚=𝒙
No gráfico, percebemos que os pontos (𝑎;𝑏) e (𝑏;𝑎) são simétricos em relação à reta 𝑦=𝑥. Mas isso é verdade para todos os pontos das funções 𝑓 e 𝑓−1.
O gráfico de 𝐟−𝟏 é obtido refletindo-se o gráfico de 𝐟 em torno da reta 𝐲=𝐱.
Se 𝑓 e 𝑔 forem funções inversas entre si, temos:
f∘g=g∘f
Assim, temos:
𝑓(𝑓−1 (𝑦))=𝑓(𝑥)=𝑦, para todo 𝑦 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓−1).
𝑓(𝑓−1 (𝑦))=𝑓(𝑥)=𝑦, para todo 𝑦 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓−1)
A lei da esquerda nos diz que, se começarmos em 𝑥, aplicando 𝑓, e, em seguida, 𝑓−1, obteremos de volta 𝑥.
Da mesma forma, a lei da direita nos diz que, se começarmos em 𝑦, aplicando 𝑓−1, e, em seguida, 𝑓, obteremos de volta 𝑦.
Exemplo 1
Assista ao vídeo com um exemplo de relação geométrica entre os gráficos de uma função e sua inversa.
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VERIFICANDO O PRENDIZADO
Parte superior do formulário1. (Adaptada de: LIVRO ABERTO - s.d.) Considere a função 𝑔:ℝ→ℝ tal que 𝑔(𝑥)=9−𝑥2. Assinale a alternativa correta:
a) Existe algum 𝑥∈ℝ cuja imagem é igual a 10.
b) A função 𝑔 é injetora.
c) A função 𝑔 é sobrejetora.
d) Restringindo o domínio da função 𝑔 para o intervalo [0,+∞), temos que 𝑔 é injetora.
Parte inferior do formulário
Responder
Comentário
Parabéns! A alternativa D está correta.
Observe o gráfico da função 𝑔(𝑥)=9−𝑥2:
Ao traçarmos a reta horizontal 𝑦=10, ela não intersecta o gráfico da função 𝑔. Logo, não existe 𝑥∈ℝ, cuja imagem é igual a 10.
Além disso, utilizando o teste da reta horizontal para saber se a função 𝑔 é injetora em todo o seu domínio, notamos que existem vários números diferentes com imagens iguais. Por exemplo: 𝑔(−1)=8 e 𝑔(1)=8. Assim, 𝑔 não é injetora em ℝ.
Em contrapartida, ao restringir o domínio da função 𝑔 ao intervalo [0,+∞), o gráfico da função 𝑔 é dado por:
Utilizando o teste da horizontal, observamos que a função é injetora nesse intervalo.
Parte superior do formulário
2. Considere a função bijetora 𝑓:[1,∞)→(−∞,3] definida por 𝑓(𝑥)=−3𝑥2+2𝑥+2 e seja (𝑎,𝑏) o ponto de interseção de 𝑓 com sua inversa 𝑓−1. O valor numérico da expressão 𝑎+𝑏 é:
 a) 2
 b) 4
 c) 6
 d) 8
Comentário
Parabéns! A alternativa A está correta.
Para determinar o gráfico da função inversa de uma função bijetiva, basta fazer a reflexão sobre a reta y=x. Dessa forma, a fim de encontrar tal ponto, devemos apenas resolver o sistema:
y=xy=-3x2+2x+2
Fique atento ao fato de que a solução deve estar contida no domínio da função 𝑓, sugerido na questão. Assim, devemos resolver a equação:
x=-3x2+2x+2
-3x2+x+2=0
x=-1±5-6=x1=1x2=-23
Como -23 não pertence ao domínio da função 𝑓, a única solução é 𝑥=1 e, portanto, 𝑦=1, como podemos ver graficamente:
Consequentemente 𝑎+𝑏=2.
Parte superior do formulário
3. (Adaptada de: OBMEP-2019) A calculadora de Dario tem uma tecla especial. Se um número 𝑛, diferente de 2, está no visor, ele aperta a tecla especial e aparece o número, 2×nn-2. Por exemplo, se o número 6 está no visor, ao apertar a tecla especial, aparece 3, pois 2×66-2=3. Para quais valores Dario obtém o mesmo número que está inicialmente no visor?
 a) 1 e 0
 b) 2 e 0
 c) 3 e 0
 d) 4 e 0
Parte inferior do formulário
Responder
Comentário
Parabéns! A alternativa D está correta.
Note que a tecla especial é uma função. Portanto, podemos considerar:
f(n)=nx2n-2
Desejamos obter os valores de 𝑛, tais que 𝑓(𝑛)=𝑛. Note ainda que 2 não está no domínio da função dada. Vamos aos cálculos:
nx2n-2=n
0=n2-4n=n(n-4)
Logo, 𝑛=0 e 𝑛=4.
Parte superior do formulário
4. Considere a função 𝑓:(−1,2]→ℝ, dada por:
fx=x2, se -1≤x≤0x+12, se 0<x≤1-x+2, se 1<x≤2
Nestas condições, é correto afirmar que:
 a) 𝑓 é sobrejetora.
 b) 𝑓 é injetora.
 c) 𝑓 é bijetora.
 d) 𝐼𝑚(𝑓)=[0,1].
Parte inferior do formulário
Responder
Comentário
Parabéns! A alternativa D está correta.
Observe o gráfico da função 𝑓:
Utilizando o teste da horizontal, vemos que a função não é injetora e, consequentemente, não é bijetora. Em contrapartida, 𝐼𝑚(𝑓)=[0,1]≠ℝ. Logo, a função 𝑓 não é sobrejetora.
Parte superior do formulário
5. Seja a função 𝑓: ℝ\2→ℝ\3, definida por f(x)=2x-3x-2+1, cujo gráfico é este:
Com os conhecimentos adquiridos no exemplo do vídeo deste módulo, construa o gráfico da função inversa da 𝑓 antes de responder à atividade.
Sobre a sua inversa, podemos garantir que:
 a) Não está definida, pois 𝑓 não é sobrejetora.
 b) O gráfico da função inversa de 𝑓 é dado pelo gráfico:
 c) O gráfico da função inversa de 𝑓 é dado pelo gráfico:
d) O gráfico da função inversa de 𝑓 é dado pelo gráfico:
Parte inferior do formulário
Responder
Comentário
Parabéns! A alternativa D está correta.
O gráfico da função inversa é dado por:
Parte superior do formulário
6. Seja 𝑓 a função 𝑓:[𝑡,+∞)→ℝ, definida por 𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑥2+1. O menor valor de 𝑡 para que a função seja injetora é:
 a) -1
 b) 0
 c) 1
 d) 2
Parte inferior do formulário
Responder
Comentário
Parabéns! A alternativa D está correta.
Observe o gráfico da função 𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑥2+1:
Note que, para a função 𝑓 ser bijetora, 𝑡=2.
O gráfico em roxo é a função 𝑓:[2,+∞)→ℝ, que é injetora pelo teste da reta horizontal.
m isso, você:
 Identificou graficamente os tipos de funções: injetora, sobrejetora e bijetora.  Retornar para o início do módulo 2 
Definir os conceitos de funções crescentes e decrescentes
INTRODUÇÃO
Grande parte do estudo de Cálculo dirige-se à determinação do comportamento de uma função em certo intervalo. Por exemplo, estamos interessados em algumas perguntas como:
Onde a função é crescente?
Onde ela é decrescente?
O lucro da empresa aumentou?
Neste módulo, mostraremos como as funções se comportam em determinados intervalos da reta real e algumas de suas aplicações.
DEFINIÇÃO
Uma função 𝑓:ℝ→ℝ  é considerada crescente quando os valores das imagens, 𝑓(𝑥), aumentam à medida que os valores de 𝑥 aumentam, ou seja, para 𝑥2>𝑥1, temos: 𝑓(𝑥2 )>𝑓(𝑥1 ).
Em termos gráficos:
Uma função 𝑓:ℝ→ℝ é considerada decrescente quando os valores das imagens, 𝑓(𝑥), diminuem à medida em que os valores de 𝑥 aumentam, ou seja, para 𝑥2>𝑥1, temos 𝑓(𝑥2)<𝑓(𝑥1).
Exemplo 1
O gráfico mostra a Chuva Acumulada Mensal no município de Campos (RJ), em 2020, e a Chuva Acumulada Mensal de acordo com as normas climatológicas entre 61-90:
Fonte: Instituto Nacional de Meteorologia (INMET).
Note que ocorreu um decréscimo da quantidade de chuva acumulada do mês de janeiro ao mês de fevereiro. Além disso, de acordo com a Normal Climatológica, no mês de outubro, a previsão é de um aumento significativo das chuvas acumuladas.
Exemplo 2
Veja a projeção do crescimento da taxa bruta de mortalidade e natalidade do Brasil, do início de 2010 a 2058.
Observe que a taxa bruta de natalidade decresceu, enquanto ocorreu um crescimento na taxa bruta de mortalidade.
Exemplo 3
Considere a função 𝑓(𝑥)=𝑥3
Note que essa função é crescente em toda a reta real.
De fato, dados 𝑥1<𝑥2, temos que 𝑓(𝑥1)=𝑥31<𝑥32=𝑓(𝑥2).
Exemplo 4
Considere a função 𝑓x=−𝑥2, 𝑥<00, 0≤𝑥≤1(𝑥−1)2, 𝑥>1
Observe que a função apresentada não é estritamente crescente em toda reta real, já que ela é constante no intervalo [0,1].
As funções estritamente crescentes têm um papel especial em Cálculo I.
Exemplo 5
Vamos praticar: analise o gráfico da função.
Agora, determine os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente.
Resolução da questão
Observando o gráfico, vemos que a função é crescente em (−∞,−0.22)∪(1.55,+∞) e decrescente em (−0.22,1.55).
VERIFICANDO O APRENDIZADO
Atenção!
Para desbloquear o próximo módulo, é necessário que responda corretamente a uma das seguintes questões.
Parte superior do formulário
1. (Adaptada de: UFPE - 2017) No gráfico a seguir, temos o nível da água armazenada em uma barragem ao longo de três anos:
De acordo com o gráfico, podemos afirmar que:
 a) O nível de 70 m foi atingido uma única vez.
 b) O nível da água armazenada cresce em todo tempo.
 c) O nível da água armazenada é estritamente decrescente.
 d) O nível de 40 m foi atingido 2 vezes nesse período.
Parte inferior do formulário
Responder
Comentário
Parabéns! A alternativa D está correta.
Traçando uma reta horizontal paralela ao eixo x (tempo), vemos que o nível de 40 m foi atingido 2 vezes no período de 3 anos. Isso já mostra que a função, cujo gráfico tem a representação da figura, não é injetora. Além disso, como existem oscilações no nível da água armazenada, em alguns instantes ela cresce e em outros decresce. Assim, a função em questão não é crescente nem decrescente.
Parte superior do formulário
2. No ano de 2020, o mundo foi assolado por uma pandemia, causada pelo vírus SAR-COV-2, conforme mostra o gráfico a seguir:
De acordo com o gráfico, podemos afirmar que:
 a) De 03 a 12 de fevereiro, a número de casos passa de 20k para 40k.A partir do dia 12 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer.
 b) De 03 a 18 de fevereiro, o número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 18 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer.
 c) De 03 a 12 de fevereiro, o número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 24 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer.
 d) De 03 a 12 de fevereiro, o número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 18 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer.
Parte inferior do formulário
Responder
Comentário
Parabéns! A alternativa D está correta.
Fazendo uma análise do gráfico, ou seja, traçando uma reta vertical paralela ao eixo y (correspondente ao número de casos com o vírus SAR-COV-2) e perpendicular às retas 𝑦=20𝑘 e 𝑦=40𝑘, vemos que essas retas intersectam o eixo x (correspondente ao tempo) em 03 e 12 de fevereiro, respectivamente. Assim, o número de casos passa de 20k para 40k de 03 a 12 de fevereiro. Além disso, a partir do dia 18 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer.
Parte superior do formulário
3. Após várias experiências em laboratórios, observou-se que a concentração de certo antibiótico no sangue de cobaias varia de acordo com a função 𝑓(𝑥)=12𝑥−2𝑥2, em que 𝑥 é o tempo decorrido, em horas, após a ingestão do antibiótico.
Nessas condições, a partir de qual momento a concentração desse antibiótico começa a decrescer?
 a) 0
 b) 6
 c) 3
 d) 18
Parte inferior do formulário
Responder
Comentário
Parabéns! A alternativa C está correta.
Observe o gráfico da função 𝑓:
Podemos constatar que a concentração desse antibiótico começa a decrescer a partir do 𝑥𝑉 da parábola. Logo, precisamos determinar o vértice dessa parábola. Isso pode ser feito algebricamente.
Algebricamente, temos:
𝑥𝑉=−𝑏2𝑎
Onde:
𝑎=−2 → coeficiente de  𝑥2 na função quadrática;
𝑏=12 → coeficiente de  𝑥 na função quadrática.
Assim:
𝑥𝑉=−122(−2) =3
Parte superior do formulário
4. Uma função 𝑓:ℝ+→ℝ+ é crescente e satisfaz a seguinte condição: 𝑓(3𝑥)=3𝑓(𝑥), para todo 𝑥∈ℝ+. Se 𝑓(9)=27, qual o valor de 𝑓(1)?
 a) 1
 b) 2
 c) 3
 d) 4
Parte inferior do formulário
Responder
Comentário
Parabéns! A alternativa C está correta.
Note que:
 27=𝑓(9)=𝑓(3⋅3)=3⋅𝑓(3⋅1)=3⋅3⋅𝑓(1)
Logo, temos:
𝑓(1)=279=3
Parte superior do formulário
5. Sabendo que 𝑑 é um número real, o maior valor de 𝑑, tal que a função 𝑓(𝑥)=𝑥2−4𝑥+3, para x < d, seja decrescente, é:
 a) 0
 b) 1
 c) 2
 d) 3
Parte inferior do formulário
Responder
Comentário
Parabéns! A alternativa C está correta.
A parte do gráfico onde x < d é uma parábola, cujo vértice é o ponto (−𝑏2𝑎,−Δ4𝑎)=(2,−1). Assim, a função é decrescente, nas condições do problema, para 𝑥≤2, portanto, o maior valor de 𝑑 é 2.
Parte superior do formulário
6. (Adaptada de: ENEM - 2010) As sacolas plásticas sujam florestas, rios e oceanos, e quase sempre acabam matando por asfixia peixes, baleias e outros animais aquáticos. No Brasil, em 2007, foram consumidas 18 bilhões de sacolas plásticas. Os supermercados brasileiros se prepararam para acabar com as sacolas plásticas até 2016.
Sabemos que a função:
𝑁(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏
Onde:
𝑎,𝑏∈ℝ;
𝑁 = número de sacolas (em bilhões);
𝑥 = número de anos (após 2007).
Observe o gráfico a seguir, que considera a origem como o ano de 2007:
Fonte: LUCENA, 2010
De acordo com as informações, quantos bilhões de sacolas plásticas serão consumidas em 2011?
 a) 4,0
 b) 6,5
 c) 7,0
 d) 10
Parte inferior do formulário
Responder
Comentário
Parabéns! A alternativa D está correta.
Para encontrar o valor pedido, ou seja, 𝑓(4), porque se passaram 4 anos de 2007 até 2011, precisamos determinar os valores de 𝑎 e 𝑏.
Analisando o gráfico, 𝑓(0)=18  e 𝑓(9)=0, onde 9 corresponde ao ano de 2016. Assim, temos:
18=0𝑎+𝑏,     𝑏=18.
Além disso, substituindo o valor de 𝑏 em 𝑓(9)=0, obtemos:
0=9𝑎+18⇒9𝑎=−18⇒𝑎=−2.
Logo: 𝑓(𝑥)=−2𝑥+18.
Portanto: 𝑓(4)=(−2)⋅4+18=10.
 Retornar para oinício do módulo 3
Definir o conceito de funções periódicas
INTRODUÇÃO
Se olharmos para a natureza, vamos descobrir muitos fenômenos que acontecem de forma repetitiva em intervalos de tempos regulares, obedecendo, portanto, a padrões cíclicos.
Veja a seguir alguns exemplos:
As estações do ano
Os batimentos cardíacos
O movimento dos ponteiros de um relógio de pulso
O movimento dos planetas
A corrente elétrica alternada
A circulação do sangue
Fenômenos como esses são modelados usando uma classe importante de funções: as periódicas. Dentre a classe das funções periódicas, destacamos as chamadas funções trigonométricas:
SENO
COSSENO
TANGENTE
DEFINIÇÃO
Uma função é considerada periódica quando existe um número real 𝑇>0, tal que 𝑓(𝑥+𝑇)=𝑓(𝑥), para todo 𝑥 no domínio da função.
O menor dos valores de 𝑇>0, para os quais a propriedade é verificada, é chamado de período da 𝑓.
Atenção
Se uma função 𝑓 é periódica de período 𝑇, então, 𝑓 também é periódica de período 𝑛𝑇, onde 𝑛∈ℕ, já que:
𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥+𝑇)=𝑓(𝑥+2𝑇)=𝑓(𝑥+3𝑇)=⋯=𝑓(𝑥+𝑛𝑇)
Exemplo 1
Considere a função 𝑓 do gráfico mostrado na figura a seguir, que corresponde ao eletrocardiograma de uma pessoa saudável:
Observe que o padrão de repetição ocorre em intervalos de comprimento T, e não em intervalos de comprimento menor. Assim, a função 𝑓 é uma função periódica de período T.
Exemplo 2
Considere a função:
𝑓:ℕ→ℤ, tal que 𝑓(𝑥)=(−1)𝑥
A tabela abaixo mostra o valor da função 𝑓 para os valores de 𝑥 de 0 a 5.
	x
	0
	1
	2
	3
	4
	5
	f(x)
	(-1)0=1
	(-1)1=-1
	(-1)2=1
	(-1)3=-1
	(-1)4=1
	(-1)5=-1
2 - Se 𝑥 é um número par, 𝑓(𝑥)=1.
3 - Se 𝑥 é um número ímpar, 𝑓(𝑥)=−1.
Esta é uma função periódica de período 2. Por quê?
Exemplo 3
Considere a função 𝑓(𝑡)=sen(𝑡) e 𝑃 um ponto no ciclo trigonométrico.
Imagine que o ponto 𝑃 se movimenta no ciclo no sentido anti-horário, a partir da posição (1,0) e dá uma volta completa, ou seja, o ângulo 𝑡 varia de 0 até 2𝜋.
Pensando no ciclo, é possível perceber que:
	Quando o ângulo 𝒕 cresce de
	O valor 𝒇(𝒕)=sen(𝒕)
	0 a π2
	Cresce de 0 𝑎 1
	π2 a π
	Decresce de 1 𝑎 0
	π a 3π2
	Decresce de 0 𝑎 −1
	3π2 a 2π
	Cresce de −1 𝑎 0
Assista ao vídeo e veja uma representação gráfica do que foi descrito no exemplo 3.
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O fluxo de ar através da traqueia é uma função periódica do tempo 𝑥 e ocorre em ambos os sentidos dos pulmões (inspiração e expiração).
O fluxo pode ser representado pela função:
𝑓(𝑥)=Asen(𝜔𝑥)
Onde:
A = fluxo máximo durante a expiração e inspiração
𝜔 = período respiratório
ω=2πT→T= o tempo que o indivíduo leva para fazer um ciclo completo
A função 𝑓 é, certamente, uma aproximação, pois 𝑇 varia de indivíduo para indivíduo. Mas estudos experimentais mostram que é uma “boa” aproximação da realidade.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
Parte superior do formulário
1. Observe o gráfico da função a seguir:
Assinale a resposta correta:
 a) É uma função periódica de período 2.
 b) É uma função periódica de período 1.
 c) É uma função periódica de período 4, e se o gráfico continuar com esse comportamento, 𝑓(14)=2.
 d) É uma função periódica de período 4, e se o gráfico de da função 𝑓 continuar com o mesmo comportamento, 𝑓(17)=0.
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Parabéns! A alternativa D está correta.
Observe que a função é periódica de período 4, porque:
𝑓(𝑥+4)=𝑓(𝑥), ∀ 𝑥∈𝐷𝑜𝑚(𝑓)
Assim:
• 𝑓(14)=𝑓(10+4)=𝑓(10)=𝑓(6)=𝑓(2)=1;
• 𝑓(17)=𝑓(13+4)=𝑓(13)=0.
Parte superior do formulário
2. Sendo 𝑓:ℝ→ℝ uma função periódica de período 2, podemos afirmar que:
 a) A função 𝑔(𝑥)=𝑓(2𝑥) é periódica de período 4.
 b) A função 𝑔(𝑥)=𝑓(2𝑥) é periódica de período 1.
 c) A função ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥/2) é periódica de período 1.
 d) A função ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥+𝑞), onde 𝑞 é uma constante positiva, não é periódica.
Parte inferior do formulário
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Parabéns!